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Cilindro

1. (Ueg 2013) Uma coluna de sustentação de determinada ponte é um cilindro circular reto.

Sabendo-se que na maquete que representa essa ponte, construída na escala 1:100, a base

da coluna possui 2 cm de diâmetro e 9 cm de altura, o volume, em m3 de concreto utilizado na

coluna, é: (Use 3,14)π

a) 2,826 b) 28,26 c) 282,6 d) 2826 2. (Ufmg 2013) O lucro bruto de uma empresa é a diferença entre a receita obtida com as vendas e o custo de produção. Um determinado fabricante de cerveja só vende latas cilíndricas de alumínio, fechadas, cheias de cerveja, com 12 cm de altura e 3 cm de raio. O custo da produção de certo número de latas cheias de cerveja é de 1 real por litro de cerveja e mais p reais por metro quadrado de alumínio utilizado na fabricação das latas. A receita da empresa por cada litro de cerveja vendido é de dois reais por litro. Considerando estas informações, a) DETERMINE a receita gerada pela venda de cada lata de cerveja. b) DETERMINE o custo total de produção de cada lata de cerveja em função de p. c) DETERMINE o valor máximo do preço p do alumínio para que o fabricante não tenha

prejuízo. 3. (Espm 2012) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem

6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24cm, a diferença entre elas é de: a) 5,34 cm b) 8,12 cm c) 5,78 cm d) 7,66 cm e) 6,72 cm 4. (Ufpb 2012) Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim de formato circular com 16 m de diâmetro. Contornando o jardim, haverá uma calçada, medindo 1 m de largura por 0,1 m de altura, conforme figura a seguir:

Supondo que o preço médio do 3m da calçada a ser construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa do Sr. Ptolomeu com a construção da calçada será, aproximadamente, de: a) 685,30 reais b) 653,80 reais c) 583,30 reais d) 533,80 reais e) 835,30 reais


5. (Insper 2012) Na figura a seguir, a base inferior do cubo de aresta a está inscrita na base

superior do cilindro circular reto de altura a.

A distância entre o vértice V do cubo e o centro da base inferior do cilindro é igual a

a) 5a 3

.2

b) 5a 2

.2

c) 3a 3

.2

d) a 3

.2

e) 3a 2

.2

6. (Ueg 2012) Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base dessa jarra, em cm, é a) 10 b) 30 c) 60 d) 80 7. (Ucs 2012) A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâmetro, durante

uma chuva torrencial, é depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja

circunferência da base mede 24 cm.π Qual é a altura que a água havia alcançado no

pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 200 mm de altura?

a) 1,2 cm b) 12 cm c) 3,6 cm d) 7,2 cm e) 72 cm


8. (Unifesp 2012) Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro

circular reto (reservatório 1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório, que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um cilindro circular reto (reservatório 2). Admita

que a altura interna h(t), em metros, da água no reservatório 1, t horas a partir do instante em

que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função

15t 120h(t)

t 12

a) Determine quantas horas após o início do processo de esvaziamento a altura interna da

água no reservatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse reservatório

ficasse completamente vazio.

b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno

da base do reservatório 2 mede 12 m, determine o volume de água que o reservatório 1

continha inicialmente e a altura interna H, em metros, que o nível da água atingiu no

reservatório 2, após o término do processo de esvaziamento do reservatório 1. 9. (Ulbra 2012) A Gestão Ambiental visa ao uso de práticas que garantem a conservação e a

preservação da biodiversidade, a reciclagem das matérias-primas e a redução do impacto ambiental das atividades humanas sobre os recursos naturais. Consciente da importância de reaproveitar sobras de madeira, uma serraria que trabalha apenas com madeira de reflorestamento resolveu calcular a sobra de madeira na confecção de peças cilíndricas. Para confeccionar uma peça cilíndrica, a serraria faz os cortes adequados em um prisma quadrangular de arestas da base 5 cm e altura 0,8 m e obtém um cilindro de 5 cm de diâmetro e 0,8 m de altura. A sobra de madeira na fabricação de mil destas peças é, em cm

3 (utilize π =

3,14), a seguinte: a) 4,3 x 10

-5. b) 430. c) 4,3 x 10

5. d) 1 570. e) 2 000.

10. (Ufba 2012) Um reservatório em forma de cilindro circular reto de raio da base r = 0,80m e altura H metros tem capacidade para 1984 litros de combustível e, para enchê-lo, são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para quatro litros de gasolina. O gráfico – em que h indica, em cm, a altura do nível de combustível contido no reservatório – descreve a variação desse nível durante um período de dez horas.

Considerando-se 3,1π e que não houve entrada e saída simultâneas de combustível do

reservatório, pode-se afirmar: 01) O reservatório, quando cheio, contém 396,8 litros de álcool. 02) O reservatório estava cheio quando t = 6. 04) Em t = 0, havia no reservatório 600 litros de combustível. 08) Em t = 2, o combustível que havia no reservatório ocupava menos da metade de sua

capacidade. 16) No intervalo de tempo entre t = 6 e t = 9, houve um consumo médio de combustível de

198,4 litros por hora. 32) No intervalo de tempo entre t = 4 e t = 6, houve crescimento do consumo de combustível.


11. (Unisc 2012) Uma indústria de tonéis produz 4000 unidades mensais. Estes tonéis são

cilindros equiláteros de 1 metro de altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é

utilizada uma tinta cujo rendimento é de 200 gramas por 2m . Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês, encontramos um valor próximo de

Observação: Utilize o valor da constante Pi 3,14π

a) 1.500 kg. b) 1.800 kg. c) 1.900 kg. d) 2,2 toneladas. e) 2,5 toneladas. 12. (Ufmg 2012) João comprou um balde em forma de um cilindro circular reto, cujo diâmetro

da base D, e cuja altura H medem, cada um deles, 30 cm. Ele precisa introduzir, nesse balde, verticalmente, uma peça metálica, também em forma ver de um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base d, e cuja altura l medem, respectivamente, 20 cm e 27 cm. Suponha que o balde contém água até um nível h. Considerando essas informações, a) Calcule o volume total do balde, em cm

3.

b) Calcule o volume total da peça metálica, em cm3.

c) João observou que, se a peça fosse introduzida no balde, de modo que 2

3 dela ficassem

fora do balde, o nível da água subiria até atingir a borda, sem transbordar. Suponha que, em seguida, a peça foi introduzida, de modo que a metade dela ficou fora do balde. Determine o volume da água que transborda, nesse caso.

13. (Acafe 2012) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia

com uma mangueira a uma taxa de 1.570 L por hora.

Com base nestes dados, e considerando 3,14,π analise as afirmações a seguir.

I. A função h(t), em que h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o

tempo em horas, é uma função do segundo grau. II. O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia;

neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto

D t | 0 x 12,56 .

III. O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos. Assinale a alternativa correta. a) Apenas I e II são verdadeiras. b) Apenas II e III são verdadeiras. c) Todas as afirmações são verdadeiras. d) Apenas a afirmação II é verdadeira.


14. (G1 - ifsc 2012) A lata abaixo deverá ser produzida a partir de uma chapa de metal que

possui 0,8 g por centímetro quadrado de área.

Sabendo que essa lata não possui tampa, é CORRETO afirmar que a massa de cada lata

desse tipo será de: a) 2900 g.π

b) 5250 g.π

c) 10400 g.π

d) 13000 g.π

e) 8240 g.π

15. (Ufpr 2012) As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros

circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h?

a) 5 cm. b) 6 cm. c) 6,25 cm. d) 7,11 cm. e) 8,43 cm. 16. (Acafe 2012) Um posto de combustíveis abastece mensalmente seu reservatório cilíndrico subterrâneo, cujas medidas estão indicadas no esquema a seguir.

Considerando que o reservatório esteja vazio e que será abastecido com 80% de sua

capacidade por um caminhão tanque, a uma vazão de 10 L por segundo, em

aproximadamente quantos minutos o reservatório será abastecido? a) 59 min. b) 51 min. c) 47 min. d) 48 min.


17. (Udesc 2011) A figura ilustra duas moedas brasileiras, a deR$ 1,00 e a de R$ 0,50,

descritas a seguir.

Moeda de R$ 1,00 — As faces da moeda são compostas por dois círculos concêntricos. O

diâmetro do círculo maior é igual a 2,8cm e o diâmetro do círculo menor é igual a 1,8cm. A

espessura desta moeda é igual a 1,5mm.

Moeda de R$ 0,50 — As faces da moeda são compostas por um círculo de diâmetro igual a

2,2cm. A espessura desta moeda é igual a 3mm.

Com base nestas informações, analise as proposições abaixo. I. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos concêntricos da

moeda de R$ 1,00 é aproximadamente 30,1725 cm .

II. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 é necessário aproximadamente 30,069 cm de metal a

mais que para cunhar uma moeda de R$ 0,50.

III. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é 20,34 cm maior que a do

círculo interno. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmativas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são falsas. 18. (Uftm 2011) Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V1, e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V2, têm a mesma altura h = 4 m.

Se 1

2

V 2

V

, então a medida x da aresta da base do paralelepípedo é igual a

a) 5 2. b) 5 2

.2

c) 2

.2

d) 2

.4

e) 10

.4


19. (G1 - ifal 2011) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular,

mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:

a) 1.000 b) 2.000 c) 3.000 d) 4.000 e) 5.000 20. (Ufrgs 2011) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário é formado por um cilindro

com altura de 2 m e diâmetro interno de 8 cm. Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do cilindro é a) 7L. b) 8L. c) 9L. d) 10L. e) 11L.


Gabarito: Resposta da questão 1: [B] O volume da coluna na maquete é dado por

2

3 6 329 3,14 1 9 28,26cm 28,26 10 m .

2π

Como a escala da maquete é de 1:100, segue que o volume pedido é tal que

36

328,26 10 1V 28,26 m .

V 100

Resposta da questão 2:

a) Volume da lata: 2 3V 3 12 108 cm 0,108 L.π π π

Receita por lata = 2 (0,108 ) 0,216 reais.π π

b) Calculando a superfície da lada: 2 2 2S 2 3 12 2. .3 90 cm 0,009 m .π π π π

Custo total da lata de cerveja: C 0,108 1 p 0,009 0,009 12 pπ π π

c)

R C 0

0,216 0,009 12 p 0

0,009p 0,108

p 12

π π

Resposta: 12 reais. Resposta da questão 3: [E]

2 2.3 .x .4 .y

9x 16y

9x 16yresolvendo o sistema ,x 15,36 e y 8,64

x y 24

fazendo x y,temos: 15,36 8,64 6,72.

π π



[D] V = Ab . h V = π (9

2 – 8

2 ).0,1

V = 3,14.(81 – 64).0,1 V = 3,14.17.0,1 V = 5,338m

3

Resposta da questão 5: [E]

Considere a figura, sendo A o pé da perpendicular baixada de V sobre a base inferior do

cilindro e C o centro da mesma.

Como AC é igual à metade da diagonal da face do cubo, vem que a 2

AC .2

Além disso,

VA 2a e, portanto, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos

2

2 2 2 2 2

22 2

2

a 2VC VA AC VC (2a)

2

aVC 4a

2

9aVC

2

3a 2VC .

2


[A]


b

3

3

b

2b

A área da base

1mL 1cm

Volume da jarra 8 30mL 2400mL 2400cm

A .30 2400

A 80cm

Resposta da questão 7: [D] Seja r o raio da base do recipiente.

Se a circunferência da base do recipiente mede 24 cm,π então

24 2 r r 12 cm.π π

Logo, o volume de água transferido para o recipiente é dado por 2 312 20cm .π

Por outro lado, como o diâmetro da base do pluviômetro mede 40 cm, segue que o raio da sua

base mede 40

20 cm.2

Portanto, se h é a altura que a água atingiu no pluviômetro, então

2 2 14420 h 12 20 h 7,2cm.

20π π


a) Queremos calcular t, para o qual h(t) 5 m. Desse modo,

15t 1205 t 12 3t 24 t 6 h.

t 12

Por outro lado, para que o reservatório 1 fique vazio, deveremos ter h(t) 0. Assim,

15t 1200 15t 120 0 t 8 h.

t 12

b) Para determinarmos a altura do reservatório 1 basta calcularmos h(0). Logo,

15 0 120h(0) 10 m.

0 12

Se D 6 m é o diâmetro interno do reservatório 1, segue que o volume de água que esse

reservatório continha inicialmente é dado por 2 2

3 4D 6h(0) 10 90 m 9 10 L,

2 2

Portanto, como o raio interno da base do reservatório 2 mede 12

6 m,2

temos que a altura

atingida pela água nesse reservatório foi de 290 6 H H 2,5 m.

Resposta da questão 9: [C] A sobra de madeira na fabricação de uma peça, em cm

3, é dada por

22 5 3,14

5 80 80 2000 12 4

2000 0,215

430.

π


Portanto, na fabricação de 1.000 peças, a sobra de madeira é 5430 1000 4,3 10 .


01 + 08 + 16 = 25. Verdadeira. Como são utilizados álcool e gasolina na proporção de um litro de álcool para

quatro litros de gasolina, segue que o reservatório, quando cheio, contém 1984

396,85

litros de álcool.

Falsa. Do gráfico, temos que, para t 6, a altura do nível de combustível contido no

reservatório é h 70cm 7dm. Logo, o volume de combustível nesse instante é: 2 38 7 3,1 64 7 1.388,8dm 1.388,8 L 1.984 L.π

04. Falsa. Para t 0, temos que h 30cm 3dm. Logo, havia no reservatório:

2 38 3 3,1 64 3 595,2dm 595,2 L 600 L.π

08. Verdadeira. Devemos calcular a altura do combustível no cilindro para t 2.

A reta que passa pelos pontos (0, 30) e (4, 60) tem valor inicial 30 e taxa de variação

60 30 15.

4 0 2

Logo, sua equação é

15y x 30.

2 Segue que para x 2, temos

15y 2 30 45cm 4,5dm.

2

Portanto, para t 2, o combustível que havia no reservatório ocupava

2 3 19848 3 3,1 64 4,5 892,9dm 892,9 L L 992 L,

2π ou seja, menos da metade

de sua capacidade.

16. Verdadeira. Entre t 6 e t 9, houve um consumo médio de combustível de

238 (4 7) 3,1 64 3

198,4dm h 198,4L h.9 6 3

π

32. Falsa. A função h, que expressa a altura de combustível no cilindro em função do tempo, é

crescente no intervalo ]4, 6[. Logo, como não houve entrada e saída simultâneas de

combustível do reservatório nesse intervalo, segue que o volume de combustível aumentou, não havendo, portanto, crescimento do consumo de combustível. Resposta da questão 11:

[E] A área total a ser pintada é dada por

214000 1 4000 3,14 m .

2π

Portanto, como o rendimento da tinta é 2 21

200 g m kg m ,5

segue que o consumo mensal de

tinta é 1

4000 3,14 2.512kg 2,5 ton.5


a) 2 2 3balde balde baldeV R H V (15) 30 V 6750 cmπ π π

b) 2 2 3Peça Peça PeçaV R H V (10) 27 V 2700 cmπ π π


c) 3agua balde Peça agua agua

1 1V V V V 6750 (2700 ) V 5850 cm

3 3π π

3 3balde peça

1 2700V V 6750cm 5400 cm

2 2

ππ

Portanto, transborda: 35850 5400 450 cmπ π π .


[D]

I. Falsa. Como o raio da base da piscina é 4

2 m2 e a vazão da mangueira é

31.570 L h 1,57 m h, segue que 2 1,572 h(t) 1,57 t h(t) t,

4π

π ou seja, f é uma

função linear.

II. Verdadeira. Quando a piscina estiver totalmente cheia, teremos h(t) 1,57. Logo,

1,571,57 t t 12,56 s.

4π

Portanto, como a piscina começa a ser enchida em t 0, segue que o domínio de h é

D {t | 0 x 12,56}.

III. Falsa. De (II) vem

12,56 h 12 h 0,56 60min

12 h 33,6min

12 h 33min 0,6 60 s

12 h 33min 36 s 12 h 56min.

Resposta da questão 14: [A] Área da superfície externa da lata: A = π 25

2 + 2 π 25 60 = 625 π + 3000 π = 3625 π cm

2.

Cálculo da massa da lata: 0,8 3625 π = 2900 π g.

Resposta da questão 15: [D] VI = VII

2 2.6 .h .8 .4

64.4h

36

h 7,11 cm

π π


[C]

A capacidade do reservatório é dada por 2

33 95 3,14 5 35,325 m 35325 L.

2 4π


Sabendo que o reservatório será abastecido com 80% de sua capacidade, segue que o

caminhão tanque despejará 0,8 35325 28.260 litros no cilindro e, portanto, levará

282602.826

10 segundos ou

282647

60 minutos para realizar o abastecimento.

Resposta da questão 17: [B] I. Verdadeira. O volume de metal necessário para cunhar a região situada entre os círculos

concêntricos da moeda de R$ 1,00 é dado por

2 2

3

(1,4 0,9 ) 0,15 (1,96 0,81) 0,15

0,1725 cm .

II. Falsa. Para cunhar uma moeda de R$ 1,00 são necessários

2 31,4 0,15 0,294 cm ,

enquanto que na moeda de R$ 0,50 o volume de metal necessário é de

2 31,1 0,3 0,363 cm .

Portanto, para cunhar uma moeda de R$ 1,00 são necessários

30,363 0,294 0,069 cm

de metal a menos do que para cunhar uma moeda de R$ 0,50.

III. Verdadeira. A área entre os círculos concêntricos da moeda de R$ 1,00 é dada por

2 2 2(1,4 0,9 ) 1,15 cm ,

enquanto que a área do círculo interno é 2 20,9 0,81 cm . Logo, a diferença entre essas

duas áreas é 21,15 0,81 0,34 cm .

Resposta da questão 18: [C]

22

2

x .h 2 1 2x x

2 2.(0,5) .h ππ


[A] O volume do objeto é dado por

2320

10 1.000 cm .2


[D]

Se a altura do cilindro mede 2 m 20dm e o diâmetro 8cm 0,8dm, então a capacidade do

cilindro é dada por

230,8

20 3,14 0,16 20 10,048dm 10 L.2

cilindro -...

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