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Ciclo trigonométrico

Professor Fiore

A partir de um triângulo retângulo é possível determinar

as relações básicas para seno, cosseno e tangente em

um ângulo interno ao triângulo.

a

bsin

a

ccos

cos

sintan

c

b

Esses valores são inerente aos ângulos, ou seja, um mesmo ângulo possui um valor

fixo para cada razão trigonométrica. Por exemplo 2130sin em qualquer situação.

A partir de um triângulo equilátero qualquer e outro triângulo retângulo e isósceles,

pode-se calcular as razões trigonométricas para os ângulos 30°, 45° e 60°.

Usando o ciclo trigonométrico, um circulo com raio igual a um e centro na origem do

plano cartesiano, é possível calcular os valores de seno, cosseno e tangente para

qualquer ângulo.

Outro fator relevante, fundamentado no ciclo trigonométrico, é a medida para graus

em radiano, onde uma volta de 360° equivale a medida da circunferência 2 .

1. Para entender melhor ângulos em radianos e graus e o valor de seno e cosseno para os principais ângulos

complete a tabela abaixo.

Graus 0° 30° 45º 60° 90° 120º 135° 150° 180° 210°

Rad.

sin

cos

tan

2. Como converter ângulos de graus para radiano?

3. Como converter ângulos de radianos para grau?

4. Complete a tabela

Graus 10° 45° 180°

Radianos rad

2

rad

2

3

rad

6

5. Observando o ciclo trigonométrico justifique as relações abaixo:

a. )2sin(sin k , com Zk

b. )2cos(cos k , com Zk

c. 1²cos²sin

d. sin)sin(

e. cos)cos(

f. xx 2

cossin

g. xx 2

sincos

6. Usando um triângulo equilátero encontre o valor para seno e cosseno de 30° e 60°

7. Usando um triângulo retângulo isósceles com catetos medindo uma unidade, encontre o valor de seno e

cosseno de 45°.

30° 45° 60°

sin 21

2

2

2

3

cos 2

3

2

2 2

1

tan 3

3 1 3

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Problemas

1. (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante

de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m.

Use a aproximação sen 3º = 0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer

completamente a rampa é

a. 2,5

b. 7,5

c. 10

d. 15

e. 30

2. Em uma roda-gigante, a altura (em metros) em que um passageiro se encontra no instante t (em segundos) é

dada pela lei

6).9(.56)(

tsenth , para 1800 t . Determine:

a. A altura inicial do passageiro.

b. A altura do passageiro após 6 segundos.

c. A altura máxima que esse passageiro atinge no passeio.

d. Quanto tempo leva para a roda gigante dar uma volta completa.

e. Quantas voltas completas um pessoa dará durante o passeio de 180 segundos?

f. As dimensões da roda gigante. A altura mínima, a altura máxima e o raio da roda.

g. Qual a velocidade média de um passageiro nesta roda gigante?

3. (UERJ) Observe a ilustração do pistão e seu esquema no plano. O pistão é ligado, por meio da haste BC, a

um disco que gira em torno do centro A. Considere que:

- o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4

polegadas.

- à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima

ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo CAB ˆ .

Se a medida do ângulo CAB ˆ é dada por x radianos, a distância

entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação:

(Dica: use a lei dos cossenos)

a. )(4 xseny

b. )cos(4 xy

c. )(cos16)( 2 xxseny

d. )(16)cos( 2 xsenxy

4. Usando a relação yxyxyx sinsincoscos)cos( calcule o valor de º15cos .

5. Usando a relação xyyxyx cossincossin)sin( calcule o valor de º75sin .