choque mate 25

Ano IX - N . º 25 - Outubro / Dezembro 2003 - Escola Secundár ia Ja ime Moniz

C A R TC A R T O O NO O N

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Gra

tuita

Partição de Perigal"O quadrado da hipotenusa é igual à soma dosquadrados dos catetos."

pág. 14

- Um ponto de vista

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O Grupo de Matemática da nossa escolalançou, no primeiro período deste ano lectivo,um site de Matemática na Internet.

O Site, denominado MatNET, encontra-se alojado no endereço http://stop.to/matnet etem como principal objectivo apoiar os estu-dantes do secundário nesta disciplina.

Ainda em construção, os principais con-teúdos a destacar são: Testes - Secundário; SitesInteressantes; Software Útil e Informações.

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Toque de feriado!!!Onde estás?

MatNET - Matemática na Internet

A tua página- Trabalhos dos alunos

pág. 4

Matemática:Um "gosto" que vale a

pena descobrir

02Outubro / Dezembro 2003

EDITEDITORIALORIAL

SUMÁRIOSUMÁRIO

FICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICA

Execução Gráfica Grafimadeira - 2500 exemplares

Produção Liceu de Jaime Moniz

Paginação Luís Martins

Graça Vieira, Paulino Spínola, Núcleo de Estágio de Matemática(Carlos Gonçalves, Carolina Nóbrega)

Redactores Convidados

Correcção e Revisão Sandra Almeida e Vanda Gouveia

O Choque Mate inibe-se de qualquer encargo pelos artigos publicados, estes são inteiramente da responsabilidade dos seus autores.

MatNET: um site de Matemática 3

Matemática:Um "gosto" que vale a pena descobrir 4

Biografia de Platão 6

Problemas, Passatempos eCuriosidades. Inclui um jogo

7 a 10

Página do Aluno 11

Ficha de Trabalho 12

A informática: Um desafio à escola e aos docentes

13

A Partição de Perigal 14

Soluções dos desafios propostos naspáginas 7 e 10 e Sugestão de Leitura

15

Problema do Período 16

Novamente, o Choque Mate, um jornal de Matemática com tradição na EscolaSecundária Jaime Moniz, tem o grande prazer de cumprimentar todos os leitores em maisum ano lectivo. Lembramos que o apoio e o incentivo de todos é a nossa maior razão paraa continuidade da nossa existência.

Esta é a vigésima quinta edição do Jornal, poderemos considerar que são as "Bodasde Prata" de uma iniciativa preservada pela nossa escola. Aproveitamos para agradecer àSecretaria Regional da Educação, que permite a distribuição gratuita deste Jornal por toda aRegião.

Faremos o nosso melhor, para que cada jor-nal supere o anterior e que vá ao encontro dasexpectativas de cada um dos nossos leitores.

Esperamos que todos os alunos e profes-sores de Matemática continuem a encontrar grandeinteresse nas nossas páginas e, como tal, tambémcontribuam para que estas sejam cada vez me-lhores.

Boas Férias e um Feliz Natal !!!!!.....

Edição Equipa Editorial da escola


MAMATEMÁTICA NA INTERNETTEMÁTICA NA INTERNET

Coordenadores do MatNETProfessores de Matemática da E.S.J.M.

Depois de no ano transacto termosdivulgado alguns sites sobre Matemática,em particular com testes, fichas de trabalhoe exames, este ano quisemos ir mais longee construir o nosso próprio site. O site daMatemática da Escola Secundária de JaimeMoniz, tem o seguinte endereço:

http://stop.to/matnet

Embora ainda esteja em fase expe-rimental, já temos disponíveis on-linealguns testes interactivos para o 10º ano ealguns testes em formato pdf, especial-mente indicados para impressão. Temosainda uma secção onde podes consultaruma lista de sites interessantes com testes,exames e outras informações e ainda o jor-nal Choque Mate n.º 25, entre outrassecções.

Devido à recente mudança dos pro-gramas, este ano daremos maior ênfase ao10º ano e nos próximos dois anos espe-ramos dar maior cobertura ao 11º e ao 12ºanos. No entanto, apresentaremos algunssites onde poderás encontrar muitos mate-

riais importantes para os vários níveis deescolaridade.

Dado que o principal objectivodeste site é o de proporcionar aos alunosuma ferramenta útil para a sua aprendiza-gem, esperamos poder contar com a cola-boração de todos , com o intuito de poder-mos proporcionar uma ajuda prática e útil.Neste sentido, agradecemos antecipada-mente que nos enviem sugestões ecomentários que vos pareçam pertinentespara o endereço: [email protected]

Em função das sugestões rece-bidas e dos novos materiais que iremosconstruir, efectuaremos actualizações commuita regularidade, num site que espe-ramos manter em permanente actualiza-ção.

A elaboração e manutenção destesite estará a cargo dos professores LuísMartins, Pedro Nóia e Sandra Almeida.

Boas navegações

MatNET: um site de Matemática


Como professora de Matemática, têmsido muitas as vezes em que me confronteicom opiniões de alunos e amigos, classifi-cando a disciplina que procuro dar a co-nhecer como muito difícil (só acessível aalguns) e pouco interessante. Há mesmoquem a considere pouco útil, limitando assuas aplicações às contas do supermercado,ao cálculo de percentagens e, eventual-mente, à medição de grandezas.

Estas opiniões, evidenciando umavisão da Matemática distinta da que me foidada a conhecer e daquela que se pode verdefendida em inúmeras publicações dematemáticos, educadores matemáticos epolíticos, não podem nem devem serdesprezadas. Com efeito, elas traduzem osentir de uma grande parte da população econtribuem para uma cada vez maior desva-lorização da aprendizagem da Matemática,com efeitos visíveis no insucesso, não sóescolar (altas percentagens de alunos reti-dos nos vários anos de escolaridade egrande número de classificações negativasno exame do 12º ano de escolaridade), mastambém e sobretudo no número crescentede indivíduos designados de matematica-mente iletrados, isto é com dificuldade deactuar matematicamente em situações davida diária.

Assim, e se acreditamos que vale apena e é possível alterar o grave problemado insucesso - hoje não é possível o exercí-cio de uma cidadania responsável e actuantesem o recurso ao pensamento matemático -torna-se fundamental alterar aquela visão daMatemática o que passa, necessariamente eem primeiro lugar, por procurar compreendê--la.

PONTPONTOO DEDE VISTVISTAA

Porque reage grande parte da popu-lação daquela maneira em relação àMatemática, não é difícil de explicar. Aorigem daqueles comentários pode, comcerteza, encontrar-se no contacto escolarque tiveram com esta disciplina grande partedas pessoas que daquele modo a classifi-cam. Para muitos, a aprendizagem daMatemática envolveu muitas dificuldades einúmeras frustrações, mas não acredito queisto se deva atribuir à natureza de umaCiência que tem, como todas as outras, assuas características próprias (neste caso aabstracção e o recurso a linguagem simbóli-ca e a métodos rigorosos). O cerne daquestão está, na minha opinião, no modocomo a Matemática tem sido dada a apren-der: uma Matemática identificada com umconjunto de técnicas e com um acumular deconceitos e conteúdos, cuja aprendizagemse faz em "escada" e cujo domínio só inte-ressa a quem pretende continuar a subir a"escada" ao longo do ensino superior. Comefeito, a justificação apresentada para aaprendizagem dos conceitos e métodosmatemáticos tem sido, quase sempre, a suautilidade, mas uma utilidade tendo em vistaas aprendizagens matemáticas dos anos deescolaridade seguintes e a compreensão deoutras disciplinas e, por isso, nem semprereconhecida (porque desconhecida) pelosalunos. Deste modo, falta contexto para aaprendizagem da Matemática, tornando-adifícil, porque excessivamente centrada namemória e grandemente apoiada nas apren-dizagens anteriores (só acessível a quemdomina bem todos os "degraus anteriores") eao mesmo tempo dificultando o reconheci-mento do seu interesse, valor e utilidade.

Matemática: Um "gosto" que vale a pena descobrirMatemática: Um "gosto" que vale a pena descobrir

Graça VieiraProfessora de Matemática da E.S.J.M.


Inverter esta situação, implica, ne-cessariamente e principalmente, alterar omodo como a Matemática tem vindo a serapresentada e trabalhada no contexto esco-lar, sendo, aliás, neste sentido que trabalhamjá muitos professores e que aponta tambémo actual Currículo da disciplina deMatemática para todos os anos de escolari-dade.

É preciso que os alunos tomem cons-ciência do grande impacto desta Ciência noMundo de hoje, onde a Matemática influen-cia cada vez mais a vida e a profissão daspessoas, que sintam a sua importância naresolução de muitos problemas dahumanidade e outros tantos que surgemdiariamente em situações de trabalho (veja-se a necessidade cada vez maior de saberinterpretar, utilizar e avaliar a informação,cada vez mais matematizada) e que co-nheçam o seu papel ao longo da História ena construção da nossa sociedade. Importa,sobretudo, que os alunos façam Matemática,encontrando sentido na aprendizagem damatemática no momento exacto em que elaprópria ocorre, surpreendendo-se com aajuda que o pensamento e as técnicasmatemáticas podem fornecer à resolução

das situações problemáticas que enfrentamna sala de aula e no dia a dia. Só assim,creio que será possível criar uma atitudepositiva em relação a esta Ciência.

Contudo, é preciso não esquecer o"gosto" pela aprendizagem da Matemática,procurando desenvolvê-lo e incrementá-lo.Para isso, a Matemática tem de surgir aosolhos dos alunos não com uma ciência feita,mas antes como algo a ser construído, comoum desafio capaz de ser ultrapassado, o quetraz para primeiro plano as actividades aber-tas, os problemas e as pequenas investi-gações que podem e devem ser discutidaspor todos. O aluno torna-se assim a figuracentral na sala de aula, cabendo ao profes-sor o papel de incentivar e orientar a apren-dizagem.

Este "gosto" é fundamental, porquepara o que se faz com prazer, não se exigeutilidade nem finalidade - vale por si próprio.Quando existe gosto no que se faz, a dificul-dade não intimida, nem existem obstáculos,porque se quer e se acredita que se é capazde ultrapassá-los. É assim que encaro aCiência que escolhi partilhar com os outros eé assim que espero conseguir que os meusalunos a sintam e a vivenciem.


BiografiaBiografia

PlatãoPlatão

Platão foi Filósofo e Matemáticogrego. Nasceu e faleceu em Atenas entre 427e 347 a.c., tendo sido o mais genial discípulode Sócrates.

Após a morte de seu mestre, Platãodedicou o seu esforço intelectual a construir efundamentar teoricamente um modelo idealde Sociedade.

Fundou em Atenas a sua Academia,onde se dava uma atenção especial àsMatemáticas e à Astronomia bem como àFilosofia, de acordo com um plano de edu-cação progressista.

Na sua época, a matemática gregapassou por drásticas modificações. A álgebraaritmética deu lugar à álgebra geométrica,surgindo a homogeneidade das equações. Éa ele que se deve o facto de a matemática ter--se tornado uma disciplina essencial para aeducação dos Homens.

No livro Timeu, que escreveu por volta do ano 350 a.c., Platão apresentava uma teo-ria segundo a qual os quatro "elementos" que admitimos como constituintes do Mundo - ofogo, o ar, a água e a terra - eram todos agregados de sólidos minúsculos. Além disso,defendia ele, uma vez que o Mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, esteselementos só poderiam ter a forma de sólidos regulares. Sendo o mais leve e o mais violen-to dos elementos, o fogo será um tetraedro. Como é o mais estável dos elementos, a terradeve ser constituída por cubos. Como sendo a mais inconstante e fluida, a água tem de serum icosaedro, o sólido regular capaz de rolar mais facilmente. Quanto ao ar, Platão obser-vou que "... o ar é para a água o que a água é para a terra..." e conclui, de forma algo mis-teriosa, que o ar deve ser um octaedro. Finalmente, para não deixar de fora um sólido regu-lar, atribui ao dodecaedro a representação de todo o universo.

Por muito excêntrica e fantástica que esta teoria possa parecer aos nossos olhos, nosséculos XVI e XVII foi levada muito a sério, mesmo que não fosse completamente aceitecomo verdadeira, quando Johannos Kepler iniciou as suas buscas sobre a ordem matemáti-ca no mundo à sua volta.

Bibliografia:Matemática A 10ºano, Porto editora, Maria Augusta Neves

Matemática A 10ºano, Lisboa editora,Marinela Cabral Aubyn


PROBLEMAS - PPROBLEMAS - PASSAASSATEMPOS - CURIOSIDADESTEMPOS - CURIOSIDADES

PPaassssaatteemmppoo

11

Descobre as oito diferenças

PPaassssaatteemmppoo22

Percorre o labirinto desde o seu interior até encontrar a saída


JJooggoo

De um lado Revista Educação e Matemática n.º 33, Jogo adaptado do livro

Electronic Calculators, Teacher’s Handbook, de Gordon Haigh e Andy Bailey,da colectânea Nuffied Maths, ed. Longman, 1984.

Número de Jogadores: 2Número de calculadoras: 1Materiais: 1 lápis vermelho e um lápis azul

Objectivo: Ligar dois lados opostos do tabuleiro com uma linha contínua passando alter-

nadamente por quadrados e círculos.

Regras:Cada jogador escolhe uma cor. O jogador azul selecciona, como ponto de par-

tida, um círculo qualquer e o jogador vermelho um quadrado qualquer.Os jogadores movem-se um de cada vez no tabuleiro realizando as operações

adição, subtracção, multiplicação ou divisão, utilizando a calculadora quandonecessário.

Se o jogador usar adição ou subtracção joga apenas uma vez; se o jogadorusar a multiplicação ou a divisão pode jogar duas vezes seguidas.

Se um jogador dá uma resposta errada, não pode fazer a ligação e perde avez.

Exemplo:O vermelho decide começar no 7 na linha de cima. Faz entrar o número 7 na

calculadora e diz que quer mover-se para o número 23. Para poder ocupar esse cír-culo, tem de informar o colega da operação que vai usar, na calculadora, para trans-formar o 7 no número 23. (7 + 16 = 23)

Se a operação for bem sucedida pode traçar uma linha ligando o 7 ao 23.Agora é a vez do azul.Decide começar no 6 à esquerda do tabuleiro. Faz entrar o 6 na calculadora e

diz que deseja mover-se para o 36. Decide transformar o 6 em 36 através da multi-plicação (6 x 6 = 36). Como a operação foi bem sucedida, pode ligar os dois númeroscom uma linha azul. Porque usou a operação multiplicação, joga outra vez.



ao outro

1746

254840

6 2240

28 23 42 16

10

21

7 23

46

20 16

5

16

12

51 14

34

36 38

18 21

8

6

9

13

48

8

1019

50

7

2856

33

18

15

22

34

9

38

48

8

17

7

18 48

12

9

19

264

52 45 43

25 1749404

36 47 819 13

4537

12

14 28 35

515236

24

2934

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Azu

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Vermelho

Vermelho



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33Sequência

PPrroobblleemmaa

44

Mexe em três fósforos para formar oito triângulos.

Na China

Na China é possível, a umhomem, casar com a irmã da suaviúva?

Complete a sequência: S , T , Q , Q , __ , __ , __

A Família Freitas

O casal Freitas tem cinco filhas e cada filhatem um irmão. Quantas pessoas constituem a famíliaFreitas?

PPrroobblleemmaa

558 Triângulos

PPrroobblleemmaa66


Página do alunoPágina do aluno

1. Se uma camisa molhada demora 45 minutos asecar na corda do estendal, quanto tempo demoram 3camisas a secar?

2. Tira 2 maças de 3 maças. Com quantas ficas?

3. Uma árvore tem meia dúzia de pássaros. Um caçador deu umtiro e acertou num pássaro. Quantos pássaros ficaram na árvore?

4. Uma cave tem 20 pipas, os ladrões foram lá e levaram 10pipas. Quantas pipas ficaram?

5. Uma casa tem 4 cantos. Cada canto tem 4 gatos. Quantosgatos vê cada gato?

Recolha de:Nádia Camacho

10.º 11, n.º 16

Problemas DivertidosProblemas Divertidos

1. 45 minutos.2. Ficas apenas com as duas que tiraste.3. Nenhum, os outros fugiram.4. Ficaram 30 pipas.5. Vê 15 gatos.

O Jogo da PaciênciaO Jogo da Paciência

Recolha de:Tiago Fernandes

10.º 11, n.º 20

Disponha os números de 1 a30 sobre as intersecções de formaa obter sobre cada círculo a mesmasoma, que é de 155.

Solução:


FICHA DE TRABALHOFICHA DE TRABALHO

Um Mergulho na Piscina

O António, a Beatriz e o Carlos querem praticar natação numa piscina do Clube.

O António não tem qualquer actividade para além das aulas e por isso quer nadartodos os Sábados e Domingos, ou seja, de 8 a 10 dias por mês. A Beatriz só pode nadar aos Sábados, pois costuma estar com os pais aosDomingos, isto é, irá nadar 4 ou 5 dias por mês. O Carlos ainda não sabe quantas vezes quer ir nadar.

Estes amigos foram ao Clube de Natação saber quanto lhes custaria esta actividadee encontraram o seguinte folheto:

a) A Beatriz, com vista a gastar menos dinheiro, deve fazer-se sócia ou não?

b) E o António?

c) O Carlos, tendo conhecimento dos preços, fez as contas para descobrir quantasvezes é preciso ir nadar, para valer a pena fazer-se sócio. A que conclusão chegou?

Clube de Natação

Clube de NataçãoTTaabbeellaa ddee pprrrreeççoossPara Sócios:Quota - 7 Euros por mêsCada entrada - 2 EurosPara Não Sócios:

Cada Entrada - 3 Euros


UMA NOVUMA NOVA PERSPECTIVA PERSPECTIVAA

Ninguém se espanta ao entrar na sala deaula e ver lápis, esferográficas, cadernos e livrosde texto. Em alguns países desenvolvidos tam-bém é possível encontrar juntamente com todosestes objectos educativos, computadores dispos-tos numa sala especial,ou distribuídos pelas tur-mas.

Talvez não seja estranho que a presençados computadores na escola seja alvo de maioratenção do que o resto dos materiais de uso cor-rente. E o mais provável é que quem se detenhaneles se pergunte para que é que estão a ser uti-lizados e de que forma.

O computador é, então, um objecto como qual se podem fazer muitas coisas diferentes,mas que não se domina com a mesma facilidadeque os restantes materiais ou ferramentas de tra-balho escolar. Em todo o caso, mesmo que odocente conheça perfeitamente o funcionamentodas últimas novidades que o mercado oferece emesmo que tenha desenvolvido boas práticaseducativas com o uso de computadores, pergun-tar-se-á se extrai destas máquinas o seu rendi-mento máximo. Deste modo, a informática vemsendo introduzida pouco a pouco nas diversasáreas de ensino, muito embora suscite muitaspolémicas.Os especialistas estão empenhados no estudodas suas aplicações educativas. Desenvolveraminúmeras possibilidades de utilização e esforçam--se por simplificar o seu manuseamento, deforma a que a adaptação dos consumidores àsnovas tecnologias seja cada vez mais fácil.

Não obstante, uma grande quantidade deprofissionais de educação não sabe o que fazercom os computadores. Tem-lhes respeito, paranão dizer receio, e por esta razão não se decidea integrá-los na sua prática profissional.

As publicações, congressos e semináriossobre educação, fizeram eco dos responsáveis

A informática: Um desafio à escola e aos docentes

Grupo de estágio dematemática da

E.S.J.M.

Carlos GonçalvesCarolina Nóbrega

das políticas educativas de diversos países, pre-ocupados com a escassa utilização que se está afazer até ao momento das máquinas de infor-mática. Pela sua parte, os investigadoresaveriguam as razões desta renitência da classedocente, uma vez que o computador já revelouser uma ferramenta de grande utilidade noprocesso educativo, assim como no mundo labo-ral, onde se impôs de forma generalizada.

Na maioria das investigações sobre ati-tudes negativas da classe docente são citadas,entre as suas causas, a resistência à mudança, ofacto de não haver uma eficácia real do uso dasnovas tecnologias na aprendizagem, o desco-nhecimento das máquinas e dos programas e afalta de tempo, de dedicação e de meios.

Uma das conclusões destas investi-gações é a de que a formação poderia constituiruma das chaves para a mudança de atitude dosdocentes face às possibilidades educativas douso dos computadores.

Enquanto que os professores têm deadaptar-se de forma quase artificial ao uso dasnovas tecnologias, para grande parte dos alunos,os computadores fazem parte da sua vida quoti-diana. O tempo de que necessitam para dominarestas ferramentas é, portanto, muito menor doque aquele de que devem precisar os seus pro-fessores.

O ensino com as novas tecnologias nãoé nada por si mesmo, pelo contrário, necessita deprofissionais de educação e de estudantes coo-perantes. Outra vantagem que proporcionam, é apossibilidade de trabalho em equipa com outrasinstituições, através da qual a escola adquire ummaior grau de abertura.

Em suma, a utilização das novas tec-nologias pressupõe mudanças importantes naformação, no papel dos docentes e nas formasde aprendizagem dos alunos.


Partição de PerigalPartição de Perigal

Paulino SpínolaProfessor de Matemática da E.S.J.M.

A partição de Perigal possibilita-nos construir umquadrado cuja área é a soma das áreas de dois quadradosquaisquer.

Comecemos por construir um quadrado, dados doisvértices consecutivos. Seguidamente constrói-se um triângulorectângulo e um quadrado sobre cada um dos lados.

"O quadrado da hipotenusa é igual à soma dosquadrados dos catetos."

Como sabemos existem diferentes formas dedemonstrar o Teorema de Pitágoras, e a Partição dePerigal é uma delas.

Partindo da nossa primeira figura já feita, cons-truímos uma outra figura que tem somente mais umquadrado (4), com as mesmas dimensões que oquadrado (1).

Segundo o matemático Perigal (1875), a partir dos quadrados 2 e 4, obtemos um ter-ceiro quadrado cuja área é igual à soma das áreas dos quadrados 2 e 4.

Assim traçamos duas linhas perpendiculares dentro do quadrado maior, tal que oponto B é o ponto médio de [AD] e E é o centro do quadrado. Feita a partição do quadrado2, deslocamos as partes C, D e E à volta do quadrado 4, obtendo assim um novo quadrado.

Se deslocarmos o novo quadrado e o fizermos coincidir com o quadrado já construí-do sobre a hipotenusa do triângulo rectângulo verificamos que as dimensões são iguais.

Com esta actividade obtemos uma visão prática do Teorema de Pitágoras, quepoderá ser executada apenas recortando e manipulando as figuras construídas.


SOLUÇÕESSOLUÇÕESPa

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Problema 33 Problema 44

SUGESTÃO DE LEITURASUGESTÃO DE LEITURA

Título: Uma aventura matemática na InternetAutor: Paulo AfonsoEditora: Asa Editores

"Uma aventura matemática na Internet relata arelação estabelecida, via Internet, entre um conjunto dedez alunos do 9.º ano de escolaridade de uma escola por-tuguesa e um professor de Matemática (Prof. Antunes).Em ambiente de conversação em tempo real (IRC), oProf. Antunes lança permanentemente situações pro-blemáticas para o grupo de alunos resolver, explicando-lhes, com isso, muita da teoria que existe sobre a temáti-ca da resolução de problemas.

Esta relação cria um conflito no seio do grupo,porque esses problemas propostos pelo Prof. Antunesmotivam bastante os alunos, despertando-lhes o gostopela Matemática, contrariamente às aulas da disciplinaque os mesmos têm com o seu professor real (Prof.Artur).

(...)Pelo facto de as situações apresentadas não

requererem, para a sua compreensão, grandes conheci-mentos matemáticos, esta obra destina-se, também, atodos aqueles que sintam curiosidade por actividades quedesafiem o seu próprio raciocínio."

Problema 55 Problema 66

Segunda;Terça;Quarta; Quinta;Sexta;Sábado;Domingo.

Como todas as fi-lhas têm o mesmoirmão, concluimosque a família Freitasé constituída poroito elementos.

Se por acaso forhomem e tiver umaviúva, temos umamá notícia para sí,você está morto.

Problema do PeríodoProblema do Período

“A Geometria é a arte de raciocinar bemsobre figuras mal desenhadas.”

H. Poincaré

“Nem tudo o que vemos está ao nosso alcance para sermedido!”

Foi o que concluiram os irmãos Teresa e João, quandoforam passear ao Paúl da Serra e quiseram saber a alturade um dos moinhos de vento existentes no local.

A Teresa lembrou-se do que tinha aprendido há três diasna aula de Matemática e imediatamente foi para umacerta distância do moinho, ponto A, e pediu ao irmão paracolocar-se entre ela e o moinho.

Procederam às medições registadas na figura.

Com base nos seus registos ajuda-os adeterminar a altura de um moinho.

choque mate 25

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