choque hidráulico

MODELAO DO FUNCIONAMENTO DE UM RAC RESERVATRIO DE AR

COMPRIMIDO Definio de Parmetros de Operao

HUGO DANIEL MESQUITA COSTA

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM HIDRULICA

Orientador: Professor Doutor Jos Carlos Tentgal Valente

Co-Orientador: Professor Doutor Manuel Maria Pacheco Figueiredo

JULHO DE 2011

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2010/2011 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Este documento foi produzido a partir de verso electrnica fornecida pelo respectivo Autor.

Modelao do Funcionamento de um RAC. Definio de Parmetros de Avaliao

A meus Pais e ao meu irmo

Eu no falhei, apenas encontrei 10.000 maneiras que no funcionam

Thomas Edison


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AGRADECIMENTOS

Quando procurarmos ser justos na formulao de um agradecimento, damos o primeiro passo para cometermos esquecimentos e omisses imperdoveis. O presente trabalho no teria sido possvel sem o apoio de um conjunto variado de pessoas e organizaes que de diferentes formas contriburam para a sua concretizao. Ao meu orientador Professor Doutor Jos Carlos Tentgal Valente, uma palavra de enorme gratido pela forma sabedora e dedicada com que me acompanhou, pelos conhecimentos e ensinamentos transmitidos e pela disponibilidade em todas as fases de execuo deste trabalho. Ao co-orientador Professor Doutor Manuel Maria Pacheco Figueiredo, pelas horas de trabalho despendidas e pelo apoio que me deu na realizao deste Projecto, pelo muito que me ensinou e ajudou, quer no esclarecimento de dvidas, quer na disponibilizao de documentos. guas do Noroeste, S.A., nas pessoas dos seus colaboradores Eng Cristiana Barbosa, Eng Jorge Lopes, Eng Paulo Rego, Sr. Rui Oliveira e Sr. Pedro Barbosa, que sempre mostraram toda a disponibilidade para executar as diversas tarefas necessrias para a elaborao da componente prtica do presente estudo e que me forneceram todos os elementos indispensveis para a realizao do mesmo. famlia que, se viu privada da minha disponibilidade e do tempo que no lhes dediquei, bem como a fora transmitida e o acompanhamento no desenvolvimento deste trabalho. Uma palavra especial Sylvie pela sua enorme pacincia e que num ou noutro momento de desiluso ou desnimo me incentivou a continuar. Aos meus colegas e amigos, em particular ao Z e ao Joo, que me acompanharam e apoiaram ao longo de todo o percurso acadmico. Finalmente, aqueles aqum se destinam os contedos e propostas apresentadas neste trabalho, porque so eles a verdadeira razo da sua existncia.


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RESUMO Em sistemas hidrulicos que integram condutas sob presso, o fechamento de um rgo obturador (condutas gravticas) ou a paragem abrupta no funcionamento do grupo elevatrio (condutas elevatrias), causam alteraes ao escoamento permanente dando origem a regimes variveis caracterizados pela modificao da velocidade mdia e presso ao longo da conduta e com variabilidade temporal. O fenmeno de propagao da onda de presso causado por essas alteraes ao escoamento denominado de Choque Hidrulico ou Golpe de Arete. O presente projecto constitui um estudo de avaliao das principais variveis e parmetros de funcionamento de um reservatrio de ar comprimido integrado num sistema adutor elevatrio como rgo de proteco ocorrncia deste fenmeno a que ficar sujeito a variaes de presso resultantes e focado, essencialmente, na anlise de presses em vrias seces do sistema elevatrio. O desenvolvimento do estudo incide particularmente na especificidade e na complexidade que ocorrem na modelao do funcionamento de um reservatrio de ar comprimido em que a sua ligao conduta elevatria principal realizada em trechos de dimetros muito diferentes. Esta situao corrente na grande parte das instalaes em explorao sem, contudo, ser devidamente considerado o efeito ou efeitos da resultantes. A anlise e avaliao dos principais parmetros de funcionamento do RAC, teve como princpio a comparao de resultados obtidos por modelos tericos e as medies locais efectuadas num sistema elevatrio integrado no Sistema Multimunicipal de Abastecimento de gua concessionado empresa guas do Noroeste, SA, designado por Barradas e localizado em Vila Nova de Famalico. Os principais critrios de escolha dos modelos tericos utilizados resultam do facto de serem softwares livres, disponveis a toda a comunidade cientfica e em que a base do seu algoritmo de programao seja estruturado pelo Mtodo das Caractersticas, que o mtodo matemtico actualmente mais utilizado. PALAVRAS-CHAVE: Choque Hidrulico, Regimes variveis, Presso; RAC, Mtodo das Caractersticas


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ABSTRACT In hydraulic systems incorporating pipelines under pressure, closing a valve (gravity pipelines) or an abrupt stopping of a pump (pumping line) causes changes in the flow leading to hydraulic transients regimes characterized by changes in the average speed and the pressure over the pipeline along the time.

The phenomenon of pressure wave propagation caused by these changes in the flow is known as "hydraulic shock" or "water hammer".

This project is a study of the main variables and operating parameters of an air chamber integrated into a pump pipeline system as a mean to prevent the occurrence of this phenomenon and is mainly focused on the analysis of the pressures in various sections of the water pumping system.

The study focuses particularly on the specificity and complexity that occur when modeling the behavior of an air chamber which connection to the main pipeline is made by sections of very different diameters. This is a usual situation in the most of the systems in service, although, without properly consider the effects resulting therefrom.

The analysis and evaluation of the main operating parameters of the air compressed reservoir - RAC, was based in the comparison of the results obtained by theoretical models and in-situ measurements made in Barradas water pumping system which is integrated in the Sistema Multimunicipal de Abastecimento de gua (Multi-city Water Supply System) operated by guas do Noroeste, S.A, and located in Vila Nova de Famalico.

The main criteria to select the theoretical models resulted from the fact that they are freeware software, available to the entire scientific community and with a programming algorithm based on the Method of Characteristics, which is currently the most used mathematical method.

KEYWORDS: Water Hammer, unsteady flows, pressure, RAC, Method of Characteristics.


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NDICE GERAL

AGRADECIMENTOS .................................................................................................................................. i

RESUMO ................................................................................................................................... iii

ABSTRACT .............................................................................................................................................. v

1. INTRODUO ........................................................................................................ 1 1.1. ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................................................. 2

2. ENQUADRAMENTO ........................................................................................... 3 2.1. ESTADO DE ARTE ................................................................................................................ 3

2.2. DESENVOLVIMENTO HISTRICO: BREVE SUMRIO ............................................................... 5

3. CONCEITOS BSICOS DO CHOQUE HIDRULICO ............... 7 3.1. COMPRESSIBILIDADE ........................................................................................................... 7

3.2. CELERIDADE ....................................................................................................................... 7

3.3. CAVITAO/SEPARAO DA COLUNA LQUIDA .................................................................... 9

4. CHOQUE HIDRULICO ................................................................................. 11 4.1. O FENMENO DO CHOQUE HIDRULICO ............................................................................. 11

4.2. TIPOS DE ESCOAMENTOS TRANSITRIOS SOB PRESSO .................................................... 13

4.3. EQUAES FUNDAMENTAIS. HIPTESES E SIMPLIFICAES ............................................... 14

4.3.1. EQUAO DO EQUILBRIO DINMICO ...................................................................................... 15

4.3.2. EQUAO DA CONSERVAO DA MASSA ................................................................................. 16

4.4. RESOLUO DAS EQUAES FUNDAMENTAIS .................................................................... 18

4.5. MTODOS NUMRICOS PARA A RESOLUO DAS EQUAES ............................................ 21

4.5.1. MTODO NUMRICO DE ALLIEVI ............................................................................................ 23

4.5.2. MTODO DAS CARACTERSTICAS ........................................................................................... 25

5. INTERPRETAO FSICA DO FENMENO DO CHOQUE HIDRULICO ............................................................................................................... 37 5.1. CONDUTAS GRAVTICAS .................................................................................................... 38

5.2. CONDUTAS ELEVATRIAS ................................................................................................. 42

5.3. TEMPOS DE MANOBRA E ENVOLVENTES DE PRESSES ...................................................... 46

5.3.1. CONDUTAS GRAVTICAS ................................................................................................................. 46

5.3.2. CONDUTAS ELEVATRIAS .............................................................................................................. 47


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6. DISPOSITIVOS DE PROTECO ......................................................... 51 6.1. VOLANTES DE INRCIA ...................................................................................................... 52

6.2. RESERVATRIO DE AR COMPRIMIDO RAC ........................................................................ 53

6.3. CHAMINS DE EQUILBRIO ................................................................................................. 55

6.4. RESERVATTIO UNIDIRECCIONAL ...................................................................................... 56

6.5. CONDUTA DE ASPIRAO PARALELA ................................................................................ 56

6.6. VLVULA DE DESCARGA AUTOMTICA .............................................................................. 57

7. RESERVATRIO DE AR COMPRIMIDO ......................................... 59 7.1. TRABALHOS PIONEIROS .................................................................................................... 59

7.2. FUNCIONAMENTO DE UM RAC ........................................................................................... 59

7.3. DIMENSIONAMENTO .......................................................................................................... 61

7.4. LEGISLAO APLICVEL .................................................................................................. 63

7.4.1. INSTALAO .................................................................................................................................. 63

7.4.2. CONDIES DE EXPLORAO ......................................................................................................... 65

8. CASO DE ESTUDO .......................................................................................... 67 8.1. SUBSISTEMA DE ABASTECIMENTO DE GUA DE AREIAS DE VILAR ..................................... 67

8.2. SISTEMA ELEVATRIO DE BARRADAS ............................................................................... 68

8.3. RESERVATRIO DE AR COMPRIMIDO DE BARRADAS .......................................................... 72

8.4. ENSAIOS REALIZADOS ...................................................................................................... 73

8.4.1. METODOLOGIA ............................................................................................................................... 73

8.4.2. TESTE EXPERIMENTAL 1 ............................................................................................................. 77

8.4.3. TESTE EXPERIMENTAL 2 ............................................................................................................. 80

8.5. SOLUES PROPOSTAS ................................................................................................... 88

9. CONCLUSES .................................................................................................... 93 10. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 97


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NDICE DE FIGURAS

Fig.3.1 Efeito da espessura da parede de vrios materiais de tubagens na celeridade ...................... 9

Fig.3.2 Fenmeno de Cavitao. Ruptura da Veia lquida ................................................................ 10

Fig.4.1 Ruptura de um troo de conduta devido a sobrepresses em Oigawa no Japo ................. 12

Fig.4.2 Colapso num segmento da conduta por efeitos de presses negativas ou subpresses em Oigawa no Japo .................................................................................................................................. 12

Fig.4.3 Na Central Hidroelctrica em Big Creek, nos Estados Unidos, deu-se a rotura de uma conduta devido s variaes de presso .............................................................................................. 13

Fig.4.4 Trecho elementar de conduta ................................................................................................ 15

Fig.3.5 Esquema de um sistema elevatrio ....................................................................................... 18

Fig.3.6 Curva caracterstica de uma bomba ...................................................................................... 21

Fig.3.7 Ondas F e ondas f .................................................................................................................. 24

Fig.3.8 Linhas caractersticas ............................................................................................................ 27

Fig.3.9 Mudana de inclinao da conduta ........................................................................................ 29

Fig.3.10 Localizao do RAC no circuito hidrulico ........................................................................... 30

Fig.3.11 Lei da Continuidade no RAC ................................................................................................ 32

Fig.3.12 Mtodo das Caractersticas Aplicao Fronteira de Montante ...................................... 34

Fig.3.13 Dimenses de tubeira no RAC ............................................................................................. 34

Fig.5.1 Exemplo de um sistema de aduo gravtico ........................................................................ 38

Fig.5.2 Variao de presso na vizinhana do rgo obturador ........................................................ 39

Fig.5.3 Evoluo no tempo da perturbao numa conduta gravtica ................................................. 40

Fig.5.4 Variao de presso na vizinhana da bomba no considerando perdas de carga .............. 43

Fig.5.5 Variao de presso na vizinhana da bomba considerando perdas de carga ..................... 43

Fig.5.6 Manobra instantnea numa conduta gravtica ....................................................................... 46

Fig.5.7 Manobra rpida numa conduta gravtica ................................................................................ 46

Fig.5.8 Manobra lenta numa conduta gravtica .................................................................................. 47

Fig.5.9 Manobra instantnea numa conduta elevatria ..................................................................... 49

Fig.5.10 Manobra rpida numa conduta elevatria ............................................................................ 50

Fig.5.11 Manobra lenta numa conduta elevatria .............................................................................. 50

Fig.6.1 Representao esquemtica de perfil longitudinal de uma conduta elevatria com vrios dispositivos de proteco ...................................................................................................................... 52

Fig.6.2 Representao esquemtica volante de inrcia .................................................................... 53

Fig.6.3 Fotografia de um volante de inrcia associado a uma bomba ............................................... 53


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Fig.6.4 Layout bsico de um RAC ...................................................................................................... 54

Fig.6.5 Fotografia exterior de um RAC E.E.Barradas ..................................................................... 54

Fig.6.6 Representao grfica da localizao de uma chamin de equilbrio numa central hidroelctrica ......................................................................................................................................... 55

Fig.6.7 Chamin de equilbrio de ao em Montevideu, Uruguai ........................................................ 55

Fig.7.1 Funcionamento do RAC ......................................................................................................... 60

Fig.7.2 Imagem RAC no interior de um edifcio ................................................................................. 64

Fig.7.3 Reservatrio de Ar Comprimido da ETA de Areias de Vilar sujeito a operao de fiscalizao. Pormenor de inscrio no mesmo. ................................................................................... 65

Fig.8.1 rea geogrfica dos municpios integrados no sistema multimunicipal de abastecimento de gua e de saneamento do Noroeste ..................................................................................................... 67

Fig.8.2 Mapa da rede do subsistema de Areias de Vilar Vista panormica da ETA de Areias de

Vilar ...................................................................................................................................................... 68

Fig.8.3 Fotografia Area do Sistema Elevatrio ................................................................................ 69

Fig.8.4 Representao esquemtica em planta da Estao Elevatria de Barradas ........................ 69

Fig.8.5 Condutas de aspirao na cmara de manobras do Reservatrio de Montante. Representao esquemtica em planta ................................................................................................ 70

Fig.8.6 Fotografia do interior da estao elevatria de Barradas ...................................................... 70

Fig.8.7 Curva caracterstica e fotografia da Bomba EFAFLU, tipo 3-250 KZ 40.5 com motor Siemens 355kW ................................................................................................................................................... 71

Fig.8.8 Vista panormica do Reservatrio de Cerite .......................................................................... 71

Fig.8.9 Representao esquemtica em planta do RAC de Barradas antes da interveno ............ 72

Fig.8.10 Fotografia do actual poo de manobras do RAC ............................................................... 73

Fig.8.11 Representao esquemtica em planta da localizao das seces de medio .............. 74

Fig.8.12 Equipamentos de medio instalados na conduta de compresso ..................................... 74

Fig.8.13 Exemplo de Faseamento Ensaio 1 ...................................................................................... 78

Fig.8.14 Registo de presses nas quatro seces nos vrios ensaios. ............................................. 79

Fig.8.15 Instalao de um datalogger na conduta de ligao ao RAC .............................................. 80

Fig.8.16 Velocidades tericas no RAC ............................................................................................... 82

Fig.8.17 Correlao de valores tericos ............................................................................................. 84

Fig.8.18 Correlao de de valores reais ............................................................................................ 84

Fig.8.19 Comparao modelo terico e dados experimentais do ensaio 5 ....................................... 85

Fig.8.20 Comparao modelo terico e dados experimentais do ensaio 6 ....................................... 86

Fig.8.21 Comparao de presses para vrios keq no modelo terico e dados experimentais do ensaio 5 ................................................................................................................................................. 87


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Fig.8.22 Comparao de presses para vrios keq no modelo terico e dados experimentais do ensaio 6 ................................................................................................................................................. 87

Fig.8.23 Comparao de presses para keq elevados no modelo terico e medies na compresso do ensaio 5 ............................................................................................................................................ 88

Fig.8.24 Soluo proposta com conduta de ligao em DN150 ........................................................ 89

Fig.8.25 Variaes volume de ar e nvel de gua no RAC com conduta de ligao em DN150 ....... 90

Fig.8.26 Evoluo de presses no RAC. ........................................................................................... 90

Fig.8.27 Envolvente de presses na conduta elevatria com conduta de ligao ao RAC em

DN150 ................................................................................................................................................... 91


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NDICE DE QUADROS

Quadro 1 Etapas a considerar na anlise do fenmeno de Choque Hidrulico ................................ 37

Quadro 2 Quadro resumo do fenmeno de choque hidrulico em condutas gravticas .................... 41

Quadro 3 Quadro resumo do fenmeno de choque hidrulico em condutas elevatrias .................. 45

Quadro 4 Coeficiente de Inclinao da Conduta ................................................................................ 48

Quadro 5 Coeficiente de inrcia do grupo electrobomba ................................................................... 48

Quadro 6 Caractersticas dos vrios dispositivos de proteco ......................................................... 58

Quadro 7 Alguns dos principais autores de bacos para dimensionamento e verificao hidrulica de reservatrios de ar comprimido ........................................................................................................ 62

Quadro 8 Distncias de segurana para diferentes classes de Perigo .............................................. 63

Quadro 9 Identificao e localizao das Seces de Medio ........................................................ 73

Quadro 10 Ensaios Realizados .......................................................................................................... 77

Quadro 11 Perdas de carga reais totais na conduta de ligao ao RAC e perdas contnuas tericas no trecho Bomba-seco de ligao ..................................................................................................... 81

Quadro 12 Coeficientes de perda de carga globais e equivalentes ................................................... 84


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SMBOLOS E ABREVIATURAS !

a Celeridade [L T-1]

D Dimetro [L]

E - Mdulo de elasticidade [L M T-2/L2]

e Espessura [L]

g Acelerao gravtica [L T-2]

H Energia mecnica por unidade de peso [L]

Hb Energia, por unidade de peso, fornecida ao sistema pelo exterior [L]

j Perda de carga unitria

keq coeficiente de perda de carga equivalente

KG coeficiente de perda de carga global

KLoc coeficiente de perda de carga localizada

L Comprimento de um trecho de conduta [L]

M Quantidade de massa [M]

M0 momento actuante sobre as massas girantes da bomba [L2 M T-2]

P Presso relativa [L M T-2/L2]

Patm Presso Atmosfrica [L M T-2/L2]

Q caudal [L3/T]

S rea de seco [L2]

T Tempo de manobra [T]

U Velocidade mdia do escoamento [L T-1]

V Volume [L3]

Z Cota em relao a um dado plano horizontal de referncia [L]

!b-acelerao angular das massas girantes da bomba [L T-2]

" Peso volmico [L M T-2/L3]

# extenso [L]

$H Perda de carga (ou energia) [L]

% Mdulo de elasticidade da gua [L M T-2/L2]

& rendimento

' Coeficiente de resistncia ou de Darcy-Weisbach

Fase [T]

( Densidade do fludo (gua) [M/L3]


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RAC Reservatrio de Ar comprimido

RUD Reservatrio Unidireccional

CAP Conduta de aspirao paralela

VDA Vlvula descarga automtica

ITC Instruo tcnica complementar

ESP Equipamento sob presso

ASAE Autoridade de Segurana Alimentar e Econmica

DRE Direco Geral de Economia

Modelao Funcionamento de um RAC. Definio de Parmetros de Operao

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1 INTRODUO

Os sistemas hidrulicos constitudos por condutas com escoamento em regime permanente sob presso, quando sofrem alteraes nas condies do seu funcionamento ocasionam regimes variveis. Essas alteraes caracterizam-se pela modificao da velocidade mdia e da presso, ao longo do tempo, em qualquer seco da conduta. Essas alteraes ao escoamento do origem a um fenmeno de propagao de ondas de presso denominado de Choque Hidrulico ou Golpe de Arete, gerando variaes de presso e de caudal capazes de mobilizarem foras de natureza elstica resultantes da compressibilidade da gua e da deformabilidade da conduta. Durante a ocorrncia desse fenmeno, os escoamentos transitrios originados podem comprometer funcionalmente e estruturalmente todos os equipamentos e dispositivos constituintes do sistema elevatrio. Dessa forma, para atenuar as elevadas variaes de presso geradas, idealizaram-se vrios dispositivos de proteco, dos quais se salienta o Reservatrio de Ar Comprimido, por ser um dos mais eficazes e mais utilizados actualmente. Este dispositivo consiste num reservatrio de gua fechado em permanente ligao com a conduta que se pretende proteger e que contm no seu interior um gs comprimido, geralmente ar. Poder a superfcie de separao ar-gua ser livre, mas tambm poder tal separao ser realizada atravs de uma manga de borracha ou equivalente, que possibilita a separao dos fludos no seu interior. Considerado um equipamento potencialmente perigoso devido s suas condies de funcionamento (sob presso), essencial que o seu funcionamento seja bem analisado e estudado, e adaptado a cada situao especfica, pois caso isso no se verifique poder a segurana dos equipamentos ficar comprometida, assim como do ambiente envolvente e, muito principalmente, de pessoas. Assim sendo, considera-se que ser importante desenvolver um estudo experimental que analise e avalie o funcionamento de um Reservatrio de Ar Comprimido com caractersticas muito prprias e diferentes das idealizadas teoricamente e a sua adaptabilidade a modelos tericos que constituam uma base para anlises futuras em situaes anlogas. A finalidade deste projecto desenvolver um estudo prtico acerca do funcionamento de um Reservatrio de Ar Comprimido que contrariamente ao idealizado na teoria da especialidade, a sua ligao conduta principal realizada por uma conduta composta por trechos de dimetros muito diferentes, tal como acontece em grande parte das aplicaes prticas.


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1.1 ESTRUTURA DO TRABALHO

O presente trabalho constitudo por nove captulos, nos quais se insere o presente captulo em que se faz uma breve introduo. Alm disso, o presente estudo constitudo por vrios Anexos onde se incluem os quadros e grficos dos registos experimentais realizados, bem como outros aspectos auxiliares essenciais demonstrao de concluses e includos no texto do presente relatrio. No captulo 2 Enquadramento realizado uma breve descrio de alguns trabalhos realizados ao longo dos tempos at actualidade na temtica do choque hidrulico, bem como a origem do seu estudo e as novas tendncias para estudos futuros. O captulo 3 Choque Hidrulico destina-se explicao do fenmeno do choque hidrulico, descrevendo e caracterizando matematicamente as variveis a ele associadas. feita tambm uma referncia aos mtodos numricos usados na sua modelao, nomeadamente o Mtodo de Allievi e o Mtodo das Caractersticas. O captulo 4 descreve e esclarece alguns dos conceitos bsicos a ter em conta na interpretao e anlise do choque hidrulico. O captulo 5 dedicado interpretao qualitativa fsica do fenmeno supracitado, propondo uma anlise separada da ocorrncia do fenmeno tanto em condutas gravticas como em condutas elevatrias. No captulo 6 realizada uma breve descrio do funcionamento dos dispositivos de segurana ao choque hidrulicos usualmente utilizados. O captulo 7 focado essencialmente no objecto de estudo deste projecto, o Reservatrio de Ar Comprimido. Comea por introduzir historicamente o seu desenvolvimento e posteriormente descrito o seu funcionamento, alm de abordar tambm, ainda de que forma muito breve os mtodos historicamente usados para o seu dimensionamento. Este captulo termina com uma descrio de algumas da normas em vigor que se devem ter sempre em conta quando se lida com um dispositivo deste tipo. O captulo 8 Caso de Estudo inicia-se pelo enquadramento e descrio fsica dos sistema elevatrio de Barradas e explicao do seu funcionamento. descrito o modo como se realizaram os vrios ensaios experimentais, bem como a adaptao das variveis deste sistema elevatrio aos modelos tericos utilizados, fazendo uma anlise crtica dos resultados obtidos. Alm disso so propostas solues que visam melhorar o funcionamento do RAC em estudo.

Por fim, o Captulo 9 rene as concluses que foram possveis retirar no decurso do trabalho, propondo algumas consideraes e ideias que possam ser susceptveis de constituir desenvolvimentos em trabalhos futuros.


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2 ENQUADRAMENTO

2.1 ESTADO DE ARTE

A problemtica do choque hidrulico foi inicialmente estudada por Manabrea que, em 1858, estabeleceu pela primeira vez as equaes que determinam as subpresses em condutas gravticas. No entanto, alguma literatura relativa a esta rea de conhecimento, atribui essa distino geralmente a Michaud que examinou o controlo do choque hidrulico atravs de cmaras de ar (chamins de equilbrio) e vlvulas de controlo. Este concluiu que a expresso para obteno das variaes de presso, para manobras lentas do dispositivo obturador, dada por: !!! ! !! ! !!!!!" (2.1)

De realar que os estudos que analisam a relao entre as variaes de presso com a velocidade foram primeiramente desenvolvidos por Weston, Carpenter e Frizell (1897) na passagem para o sculo XX [1] No entanto, do ponto de vista de engenharia, s se comearam a realizar os primeiros trabalhos importantes neste domnio atravs do seu contemporneo Jowkowsky, com a anlise do fenmeno em ensaios sistemticos de condutas de abastecimento de gua. A sua contribuio para o entendimento do fenmeno bastante importante tambm a nvel da fundamentao terica, uma vez que em 1898 estabelece a Equao Fundamental do Choque Hidrulico , tambm designada por Equao de Joukowsky, Equao de Allievi-Joukowsky ou ainda Equao de Allievi [1], [2]: !! ! !!"!! (2.2)

ou !! ! !!! ! !!"!!! ! ! !!!! (2.3)

consoante expressas em termos de presses ou de variaes de carga. Estas expresses associam a cada variao instantnea de velocidade (!U) a variao de presso (!P ou variao de carga, !H), no considerando as perdas de carga na conduta e desprezando a velocidade do fludo em comparao com a celeridade. Note-se que esta simplificao a pricinpal


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diferena comparativamente abordagem para escoamentos em superfcie livre. Define-se assim a lei que permite determinar a presso mxima provocada pelo fechamento brusco de uma vlvula instalada numa tubagem, em que:

a-celeridade da onda de propagao P Presso, dada por P= !g (H - Z) Z Cota Topogrfica ! massa volmica " Peso volmico da gua g acelerao da gravidade H altura piezmetrica #U variao instantnea da velocidade

A formulao anterior no considera alguns aspectos na sua deduo, tais como as elevadas perdas de carga contnuas, fenmenos de cavitao e rotura da veia lquida, a lei no uniforme de velocidades, a existncia de bolsas de ar acumulado e ainda as vibraes na conduta e nos equipamentos associados. Assim sendo, os valores obtidos pela frmula de Joukowsky, excede na maioria dos casos os valores para variaes de presses medidas em instalaes reais, pelo que pode revelar-se anti-econmica [3]. As referidas expresses so alvo de anlise na bibliografia consultada, nomeadamente Manual de Saneamento Bsico- Betmio de Almeida [3] . Posteriormente, nos incios do mesmo sculo, com base nos trabalhos anteriores de Joukowsky, Allievi (1902) [4] apresentou a fundamentao terica das perturbaes de fluxo em tubagens, atravs da simplificao da integrao das indefinidas que modelam o regime varivel em presso de um modo bastante exaustivo atravs da no considerao das perdas de carga, dos efeitos do peso e dos termos convectivos, simplificao que nem sempre se poder justificar na prtica[4],[5]. Este autor, em 1913, publica o primeiro documento relativamente completo acerca do tratamento analtico deste fenmeno intitulado Teoria del copo dariete. Em virtude da necessidade do conhecimento do desenvolvimento deste fenmeno em sistemas mais complexos, Schnyder em 1930, desenvolveu um mtodo grfico que viria a ser trabalhado e apresentado por Bergeron em 1933. Surge assim o Mtodo Grfico de Schnyder-Bergeron nos anos 30 do sculo XX, que apresenta ainda nos dias de hoje bastante utilidade, uma vez que permite a compreenso dos fenmenos de choque hidrulico com determinadas condies fronteira e a influncia de alguns parmetros nestas, considerando pela primeira vez as perdas de carga, ainda que de forma aproximada. Mais recentemente, com a crescente evoluo da capacidade e utilizao do clculo automtico, os mtodos usados no estudo deste fenmeno tm convergido no sentido de optimizar o mesmo com recurso s potencialidades informticas cada vez mais poderosas. Nesse sentido, o Mtodo das Caractersticas tem-se imposto como o mtodo mais potente e verstil tendo em vista as aplicaes em engenharia. No entanto, em estudos posteriores, verificou-se que em algumas medies geralmente havia falhas no clculo com preciso do amortecimento e disperso da frente de onda, uma vez que os valores obtidos


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divergiam dos clculos efectuados segundo a teoria clssica . A razo dessa discrepncia nos valores seria o facto de alguns efeitos no serem tidos em conta, tais como o ar livre e dissolvido na conduta, depsito de sedimentos solidificados nas paredes, o comportamento no-elstico do material das paredes, a interaco fluido-estrutura, entre outros. Como consequncia, na segunda metade do sculo XX, Richard Skalak publicou um artigo intitulado An extension of the theory of water hammer [6], visando complementar a teoria clssica do choque hidrulico. A sua teoria foca-se na previso da influncia da interaco fluido-parede e no modo de propagao das frentes das ondas de choque. O seu modelo matemtico inclui, em relao teoria clssica do choque hidrulico, os efeitos da inrcia radial do lquido e da tubagem, bem como as ondas longitudinais de presso nas paredes desta. Esforos de flexo e inrcia rotacional na parede da conduta foram tambm tidos em conta, sendo negligenciadas as deformaes aximtricas de cisalhamento, a viscosidade do fluido e modos de vibrao da parede. Nos dias de hoje, os estudos emergentes acerca do choque hidrulico convergem para duas reas muito importantes que esto a desenvolver um papel de relevo na modelao de transitrios hidrulicos. Essas reas so a deteco de fugas em tubagens sujeitas a variaes no escoamento, atravs da estimao de um parmetro de fuga, e a previso de alteraes na qualidade da gua potvel em sistemas de abastecimento de gua [1]. 2.2 DESENVOLVIMENTO HISTRICO: BREVE SUMRIO

O interesse no estudo do fenmeno do choque hidrulico tem origem nos finais do sculo XIX, em que a Europa se encontrava no auge da revoluo industrial, com elevado crescimento da populao e da indstria em zonas urbanas que conduziam a uma procura de energia elctrica mais elevada. A energia hidroelctrica desempenhou um papel de relevo na resposta a essa crescente procura de fornecimento energtico, no entanto ainda no apresentava a mesma proporo na produo da energia dos dias de hoje. A necessidade do controlo do escoamento da gua nas turbinas e nas comportas levou a problemas na anlise do escoamento de transio a que, usualmente, se designa por transiente hidrulico ou simplesmente escoamento transitrio. Surge assim a necessidade por parte das organizaes de produo hidroelctrica de um conhecimento mais aprofundado do fenmeno do choque hidrulico, bem como dos mtodos de controlo e os modos de atenuao dos seus efeitos. Os escoamentos transitrios foram assim tidos como factores de elevado relevo no dimensionamento de grande nmero de sistemas de condutas, desde a sua aplicao a nvel industrial como ao nvel do abastecimento de gua. A crescente pesquisa nesta rea, principalmente em condutas de pequeno dimetro e elevada velocidade nos sistemas de distribuio de gua, conduziu constatao da importncia da resistncia das paredes das tubagens e das perdas de carga ao longo do seu desenvolvimento, levando considerao desses factores na abordagem do problema em anlise [1].


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3 CONCEITOS BSICOS DO CHOQUE HIDRULICO

Antes de proceder ao desenvolvimento mais detalhado do fenmeno visado neste trabalho, realizada, no presente subcaptulo, a uma breve abordagem a conceitos frequentemente usados no estudo do mesmo. 3.1 COMPRESSIBILIDADE

A compressibilidade dos fluidos, nomeadamente da gua e do ar, traduz-se pela reduo do volume ocupado pela massa fluida ( consequente aumento da massa volmica), quando aumenta a presso a que est sujeita. Esta caracterstica dos fludos e o seu efeito na variao da massa volmica, muito pequena ou at desprezvel no caso dos lquidos, o que j no acontece no caso dos gases[7]. De acordo com o seu comportamento e sob a aco de uma presso aplicada exteriormente, os fluidos podem ser classificados da seguinte forma:

Incompressveis: A variao do volume independe da presso da temperatura. Quando nos fenmenos de escoamento ou repouso de lquidos as variaes de presso so pequenas, logo tambm pequenas as variaes da massa volmica, o fludo pode geralmente considerar-se incompressvel;

Compressveis: No caso dos gases, o volume do fludo varia com a sua presso e temperatura. de notar que nenhum fludo real perfeitamente compressvel. Contudo, para efeitos de estudo de grande parte das aplicaes prticas este pode ser considerado como tal devendo salientar-se a excepo no caso do movimento varivel em condutas sobre presso sujeitas ao choque hidrulico, pois caso este fosse considerado incompressvel, ter-se-ia uma propagao instantnea de qualquer modificao do caudal que fosse provocada pela variao das condies de escoamento, o que no representativo da realidade. 3.2 CELERIDADE

A celeridade a velocidade de propagao da onda de choque ou de presso originada pela alterao ao regime permanente do escoamento. Este parmetro apresenta elevada importncia na anlise dos escoamentos transitrios, sendo a sua expresso obtida por Korteweg em 1878 e posteriormente apresentada por Allievi.


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Segundo Marques et al [8], a referida expresso do clculo da celeridade surge da aplicao da equao da continuidade considerando a compressibilidade do fluido, em que aps algumas simplificaes permite escrever :

! ! !!!! !!! ! !"! !!!!!!!!!!(3.1) No caso de uma conduta infinitamente rgida, a variao relativa das caractersticas da conduta seria nula, dS/S=0, que conduz pela expresso anterior, expresso da velocidade de propagao do som num fludo.

! ! !!!! !!! ! ! ! !! !!!!!!!!!!(3.2) No geral, as condutas utilizadas em sistemas hidrulicos apresentam uma relao espessura/dimetro inferior a 1/20, sendo por isso vlida a frmula dos tubos para a obteno da tenso circunferencial. Pela frmula dos tubos tem-se que para uma conduta com comportamento elstico linear a extenso dada por: ! ! !!!!!!!!! !!!!!!!!!(3.3)

Caso no existam constrangimentos deformao longitudinal, a deformaes da conduta sero condicionadas pelas extenses diametrais, pelo que: !"! ! !!!!!!!!!!!!!!!(3.4)

Ento, atravs das expresses 3.1 e 3.4 obtm-se a expresso apresentada por Allievi, vlida para condutas finas (e/D


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de notar pela expresso 3.5 que a celeridade depende as caractersticas elsticas do lquido e da conduta. O efeito das propriedades fsicas (mdulo de elasticidade E) das condutas circulares, em seco cheia, na celeridade da onda de propagao do choque hidrulico apresentado na figura 3.1 para uma vasta gama de espessuras (D/e) e tipos de materiais.

Fig.3.1 - Efeito da espessura da parede de vrios materiais de tubagens na celeridade [9]

3.3 CAVITAO/ SEPARAO DA COLUNA LQUIDA

A palavra cavitao tem origem do latim cavus que significa buraco ou cavidade e utilizada para descrever o processo de nucleao, crescimento e colapso de bolhas de vapor num fluido. Este fenmeno fsico ocorre muitas vezes em sistemas hidrulicos e nos seus componentes, uma vez que surge associado a variaes significativas de presso e consequente alterao nas caractersticas do comportamento do escoamento. Durante a fase de subpresso, as variaes de presso originadas pelo choque hidrulico podem fazer com que em determinadas seces da conduta a presso seja inferior presso atmosfrica, levando a que gases presentes na gua se libertem sob a forma de bolhas. Como consequncia disso a celeridade das ondas de choque diminuir. Quando numa determinada seco da conduta a presso baixa para valores prximos ou iguais presso de vaporizao do lquido, neste caso da gua, d-se a rotura da veia lquida ou separao da coluna lquida . Essa separao originada pelo parcial ou total preenchimento da seco em causa por vapor de gua resultante da variao de presso anteriormente referida e pela difuso dos gases dissolvidos na gua. As zonas da conduta em que tipicamente ocorre o fenmeno descrito so os pontos altos intermdios ao longo do seu perfil longitudinal (Fig. 3.2), e as zonas vizinhas de rgos obturadores/fronteiras .


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Fig. 3.2 Fenmeno de cavitao. Roptura da veia lquida [3]

Os seus efeitos so de todo indesejveis, podendo provocar: (i) reduo da eficincia dos equipamentos hidrulicos, (ii) vibrao, rudo excessivo,(iii) instabilidade do escoamento, ocorrncia de sobrepresses demasiadamente elevadas devido ao choque das colunas lquidas separadas (iv) desgaste superficial nas paredes das superfcies metlicas por eroso, podendo esta provocar a contaminao do fluido (gua) e fugas, (v) bloqueios e dificuldades de operao no sistema (vi) Esmagamento da conduta devido incapacidade de resistir presso externa [3],[10] e [11]. Sendo um fenmeno prejudicial/nocivo para o normal funcionamento de um sistema hidrulico, devem ser considerados meios de preveno do seu aparecimento, de localizao da seco de formao, bem como alteraes aos modos de operao do sistema hidrulico. Segundo Koivula [10], os mtodos de localizao directa so frequentemente impossveis de aplicar devido complexidade dos componentes pertencentes a um sistema hidrulico sendo necessrio o recurso a mtodos indirectos em que as medies so focadas tipicamente no choque de ondas gerado pela imploses das cavidades.


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4 O CHOQUE HIDRULICO

4.1 O FENMENO DO CHOQUE HIDRULICO

Os sistemas hidrulicos constitudos por condutas em regime permanente sob presso, quando sofrem alteraes nas condies do seu funcionamento ocasionam regimes variveis. Essas alteraes caracterizam-se pela modificao da velocidade mdia e da presso, ao longo do tempo e em qualquer seco da conduta. O fenmeno de propagao da onda de presso gerada por essas alteraes ao escoamento denominado de Choque Hidrulico ou Golpe de Arete, originando variaes de presso e de caudal capazes de mobilizarem foras de natureza elstica resultantes da compressibilidade da gua e da deformabilidade da conduta. A onda de presso gerada, responsvel pela alterao do regime hidrulico, caracterizada pela sua velocidade de propagao ou celeridade. Os extremos da conduta funcionam como obstculo sua propagao, reflectindo a onda, mudando a sua orientao ou no de acordo com as condies fsicas encontradas [12]. As referidas alteraes ao comportamento permanente inicial do escoamento (aparecimento de escoamentos variveis na conduta), originam regimes de escoamento transitrios, levando a que a velocidade na vizinhana de uma fronteira passe bruscamente do valor em regime permanente (U0) para um valor prximo de zero. Desta forma, no caso de uma conduta gravtica, por exemplo, criam-se ao longo da conduta, numa primeira fase, variaes negativas de presso (depresses) que desenvolvem foras de inrcia capazes de originar fenmenos de cavitao, e posteriormente numa segunda fase, variaes de presso positivas, ou sobrepresses, que podero eventualmente exceder a capacidade resistente do material constituinte da conduta, ou vice-versa, dependendo do tipo de sistema hidrulico. Uma abordagem qualitativa do fenmeno em diferentes sistemas hidrulicos ser abordada posteriormente. Aquando da variao temporal da velocidade, quanto mais rpida for a sua variao maior ser o aumento da presso (em mdulo). relevante mencionar que os referidos distrbios no escoamento, planeados ou acidentais, segundo Ghidaoui et al [1] so essencialmente unidireccionais (i.e. segundo a direco axial), desde que os fluxos de massa, momento, e energia sejam superiores aos seus homlogos radiais. Os mesmos autores referem tambm que a validade da abordagem unidireccional no estudo do choque hidrulico em condutas fundamentado pelas pesquisas de Mitra e Rouleau no caso de choque hidrulico laminar, e por Vardy e Hwang no caso deste ser turbulento. Assim sendo, fcil perceber que uma situao de choque hidrulico poder ser particularmente gravosa para o comportamento mecnico e hidrulico de uma conduta sujeita a esse fenmeno.


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No caso de ocorrncia de elevadas subpresses, poder ocorrer a separao indesejada da coluna lquida, fenmeno ser descrito mais pormenorizadamente no ponto 3.3. Por outro lado, elevadas presses podero acarretar vrios problemas, tais como a rotura de condutas ou infiltrao de gua ou ar do exterior para o interior da mesma. de notar que no caso de grandes obras hidrulicas, o fenmeno do choque hidrulico poder ser altamente perigoso, com elevado risco de segurana de pessoas e equipamentos. A ttulo de exemplo, em 1950 no Japo, na Central Hidroelctrica de Oigawa, um repentino fechamento de uma vlvula borboleta gerou ondas de choque que destruram as turbinas levando inundao da sala de maquinaria, resultando em trs vtimas fatais (Fig.4.1. /Fig. 4.2.).

Fig.4.1 - Ruptura de um troo de conduta devido a sobrepresses em Oigawa no Japo [13].

Fig.4.2 Colapso num segmento da conduta por efeitos de presses negativas em Oigawa no Japo [13].

Nos Estados Unidos, a ruptura do corpo de uma vlvula de agulha na barragem de Bartlett e a quebra de uma conduta forada de ao no aproveitamento hidroelctrico de Oneida (Fig. 4.3.), deveram-se ao choque de ondas de presso originadas pelas elevadas variaes de presso criadas. Como consequncia, verificou-se a morte de cinco pessoas [14].


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Fig.4.3 Na Central Hidroeltrica em Big Creek, nos Estados Unidos, deu-se a rotura de uma conduta devido s

variaes de presso [13]. A anlise dos seus efeitos particularmente importante nos seguintes sistemas hidrulicos: (i) condutas elevatrias e gravticas de guas para abastecimento ou residuais, nos sistemas de saneamento bsico; (ii) circuitos hidrulicos de aproveitamentos hidroelctricos com ou sem bombagem (Fig.4.1. /Fig.4.2. e Fig.4.3.); (iii) Condutas sistemas de rega; (iv) circuitos de refrigerao de centrais termoelctricas ou nucleares; (v) condutas de transporte de fluidos, nomeadamente oleodutos de produtos combustveis e qumicos [15]. 4.2 TIPOS DE ESCOAMENTOS TRANSITRIOS SOB PRESSO

Tal como referido no captulo anterior, o fenmeno em anlise altera o regime permanente de um escoamento sob presso, resultando em alteraes das variveis que caracterizam o mesmo durante um intervalo de tempo, originando um regime de escoamento varivel. O intervalo de tempo com que se d essa alterao, de regime permanente para varivel, poder ser muito diferenciado de caso para caso, levando a que surjam tambm diferentes condies de compatibilidade interna para as diferentes situaes. Desta forma, os regimes variveis podem ser divididos em duas categorias, regimes gradualmente variveis ou quase-permanentes e regimes rapidamente variveis. Na primeira categoria, tal como o nome indica, a transio entre os regimes do escoamento feita de forma progressiva, em que as variaes dos parmetros do escoamento se do de forma lenta, atingindo-se as condies de compatibilidade quase sem atraso. Na segunda, as condies de compatibilidade interna so estabelecidas com um atraso significativo, resultando em elevadas variaes de presso e caudal que por sua vez mobilizam foras de natureza elstica resultantes da compressibilidade do fludo e da deformabilidade da conduta [16]. Escoamento transitrio ou transiente hidrulico um regime rapidamente varivel entre dois regimes permanentes ou quase-permantes, resultante de uma alterao no escoamento e posteriormente na estabilizao do mesmo, at este atingir as condies inicias. Este tipo de escoamento caracteriza-se pelas variaes de caudal e presso capazes de mobilizar foras elsticas, surgindo assim associado ao fenmeno de choque hidrulico.

Junho/2007 Golpe de Arete Perigo Potencial e Real 5

Estrangulamento da mangueira

O estrangulamento da mangueira pode ocorrer numa manobra com curva muito fechada. O golpe de arete se propaga por toda a rede de incndio, isto significa que mesmo uma mangueira sendo operada em condies normais de trabalho pode desempatar repentinamente sem explicaes, caso ocorra um golpe de arete em algum outro ponto da rede, por exemplo pela entrada de uma bomba ou ar retido na tubulao.

A intensidade do golpe de arete depende dos fatores:

- Velocidade: quanto maior a velocidade da gua na linha, maior a intensidade do golpe; - Comprimento: quanto maior o comprimento da linha (medido deste a bomba), maior a intensidade do golpe. - Tempo: quanto mais rpido o fechamento de vlvulas, esguichos ou a parada/entrada da bomba, maior a

intensidade do golpe;

- Formas: as curvas agravam a situao particularmente no caso das mangueiras (curva junto extremidade conectada ao hidrante).

As conseqncias do golpe de arete podem ser catastrficas. Veja alguns casos:

(1) Fotos: CHAUDHRY, M, H., "Applied HydraulicTransients", 2a edio, Van Nostrand Reinholds, 1987 (2) Fotos cedidas pelo Eng. Angel Jimnez.

(1) Em Big Creek n 3 Hydropower Plant USA ocorreu a ruptura da tubulao

(1) Em Oigawa Power Station Japo houve o rompimento da tubulao por sobrepresso num segmento e em outro segmento houve o colapso da tubulao devido presso negativa


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4.3 EQUAES FUNDAMENTAIS. HIPTESES E SIMPLIFICAES

A fundamentao matemtica do choque hidrulico baseada na aplicao de trs princpios da fsica, o do equilbrio dinmico, o da conservao da massa e primeira lei da termodinmica, bem como pela lei linear e volumtrica de Hooke. A aplicao destes princpios a um tubo de corrente elementar definido por um trecho elementar da conduta sob presso, permite desenvolver esses mesmos princpios, possibilitando a deduo das equaes fundamentais (globais) atravs da considerao de algumas simplificaes e princpios que se enunciam de seguida. No que se refere ao comportamento e caractersticas do escoamento, considera-se que:

A distribuio de velocidades e de presso uniforme na seco transversal e o escoamento unidimensional;

No considerao de fenmenos de cavitao (ver ponto 3.3), uma vez que se considera que o fludo e se mantm homogneo e monofsico durante todo o regime transitrio;

O fludo compressvel, sendo a compressibilidade do mesmo caracterizada pelo mdulo de elasticidade de volume !, definido por:!

! ! !! !"!" ! ! !"!" (4.1)

Este conceito sujeito a uma breve descrio no ponto 3.2. No regime transitrio o clculo das perdas de carga para cada instante feito atravs da aplicao das expresses utilizadas para o calculo de perdas de carga num escoamento permanente tangente. considerada desprezvel a altura cintica, definindo-se a carga H por: ! ! ! ! !! (4.2)

A massa volmica no interior do tubo de corrente elementar considerada constante a cada instante, pelo que se pode considerar: !"!" ! ! (4.3)

O comportamento da conduta tambm alvo de algumas simplificaes e hipteses, de forma a possibilitar a definio matemtica dos escoamentos transitrios sob presso. Assim sendo, segundo Pacheco Figueiredo [16] necessria a considerao dos seguintes pressupostos:

a) Imobilidade do eixo da conduta durante o regime transitrio, pelo que: !"!" ! ! (4.4)


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b) A conduta (o invlucro) tem um comportamento elstico regido pela lei de Hooke, sendo caracterizado pelo seu mdulo de elasticidade E e pelo coeficiente de Poisson !.

c) Em cada instante o dimetro, espessura do invlucro e caractersticas elsticas do trecho elementar da conduta so constantes, admitindo-se que: !"!" ! ! (4.5)

4.3.1 Equao do Equilbrio Dinmico

A equao do equilbrio dinmico resulta da aplicao da Equao Geral da Dinmica ao movimento de um fludo, traduzindo o equilbrio de um sistema de foras (exteriores e de inrcia) actuantes num determinado corpo ou volume. ! !!"#!$%&$ ! !!!"#$%!& ! ! (4.6) Na sua deduo considerado um trecho elementar de fludo delimitado por duas seces prximas, contidas em dois planos paralelos distanciadas de dx, e perpendiculares ao eixo da conduta, tal como a figura 3.4 ilustra.

Fig.4.4 - Trecho elementar de conduta [11]

Nas equaes a seguir apresentadas, as variveis dependentes so a presso P (ou altura piezomtrica H) bem como a velocidade mdia V (ou caudal Q) numa determinada seco S. Como variveis independentes surgem a distncia x sobre o eixo da conduta a partir da extremidade de montante, e o tempo t. Tal como referido anteriormente, de acordo com Pacheco Figueiredo [16] a equao do movimento reflecte um somatrio de foras, as quais so definidas da seguinte forma:

Comportamento Dinmico de Sistemas Elevatrios

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Fig. 2.1 Trecho elementar de conduta. [Figueiredo, 1990]

A simplificao da equao de equilbrio dinmico resulta da adio das vrias aces que se encontram no eixo da conduta:

- Fora resultante da diferena de presses entre as duas seces do tubo de corrente, separadas por dx (figura 2.2);

dxx

sSdxx

SSdxx

pppS

=

+

+ ))(( (2.7)

Fig. 2.2 Fora resultante da diferena de presses entre as duas seces do tubo de corrente.


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Foras resultantes da diferena de presses entre as duas seces da conduta !" ! ! ! !"!" !" ! ! !"!" !" ! !! !"!" !"! (4.7)

Fora resultante da componente do peso do fludo contido no tubo de corrente

elementar !!" !"# ! !"!! (4.8)

Fora resultante da resistncia devido ao atrito do fludo com a conduta. Esta fora

tangencial sendo distribuda pela superfcie lateral da conduta, em sentido contrrio ao escoamento.

! !"# ! !!!" !"! (4.9) Aps a simplificaes sucessivas das equaes anteriormente referidas e considerando o caudal em vez da velocidade, a equao do equilbrio dinmico toma a seguinte aspecto: !! !"!" ! !!! !"!" ! ! !"!" ! !" !!!!! ! ! ! (4.10) 4.3.2 Equao da Conservao da Massa

O princpio da conservao da massa ,numa perspectiva de equao de balano, estabelece que a diferena de quantidade de massa que entra e sai no interior de um trecho elementar do tubo de corrente iguala a diminuio da quantidade de massa nesse mesmo trecho. Dessa forma pode-se estabelecer que: !" !!" ! !!" (4.11) Em que a massa que entra no volume de controle, durante um intervalo dt dada por: !" ! !"#$ ! !"#$%!!! (4.12) E a massa que sai nesse mesmo intervalo de tempo : !" ! ! ! !"!" ! ! !"!" !" ! ! !"!" !" !" (4.13)


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A variao da massa no interior do volume elementar escrita da seguinte forma: !!" ! ! ! !"!" !"!# (4.14) Substituindo as equaes anteriores na equao do balano, desenvolvendo e arrumando as diferentes parcelas no primeiro membro da igualdade, chega-se seguinte expresso: !"!" ! !! !"!" ! !! !"!" ! ! (4.15)

A substituio destas equaes no possibilita um tratamento numrico adequado, sendo necessrio alter-la de modo a que as variaes de seco S e massa volmica do fluido ! sejam expressas custa das variveis do problema como o caudal Q (ou a velocidade U) e a presso (ou carga H). Para tal, considere-se que a segunda parcela da equao (4.15) equivalente a : !! !"!" (4.16) tal como demonstrado em [16], chegando-se seguinte equao da conservao da massa: !"!" ! !! !"!" ! !! !"!" ! ! (4.17) Tendo em conta a expresso (4.5), bem como a considerao de que a derivada parcial da seco em ordem ao tempo pode ser expressa pela derivada total, aps a multiplicao por !, o desenvolvimento da 3 parcela conduz introduo de uma nova varivel na expresso da conservao da massa, a celeridade - a. Como ser analisado posteriormente, a celeridade desempenha um papel de extrema importncia no fenmeno em estudo. De acordo com o enunciado no ponto 3.1 a celeridade pode ser definida por: ! ! !!!!!!!"!" (4.18) a equao anterior transforma-se em: ! !"!" ! !!! !"!" ! ! (4.19)


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Aps sucessivas dedues e considerando os pressupostos definidos no captulo anterior, tais como a considerao da imobilidade do eixo (Eq. 4.4) ou o facto de se considerar desprezvel a variao da massa volmica comparativamente variao de carga, possvel obter a equao de Conservao da Massa para um escoamento transitrio considerando como variveis o caudal Q ou U e a carga H, tal como se indica nas seguintes expresses: !"!" ! ! !"!" ! !!! !"!" ! ! !"# ! ! ! (4.20) !"!" ! !! !"!" ! !!!" !"!" ! !! !"# ! ! ! (4.21)

Finalmente de referir a primeira lei da termodinmica est presente pelo facto de se considerar a perda de carga no princpio da conservao de massa. 4.4 RESOLUO DAS EQUAES FUNDAMENTAIS

As equaes do Equilbrio Dinmico e da Conservao da Massa atrs introduzidas constituem um par de equaes indefinidas do regime varivel sob presso, sendo necessrio definir condies fronteira para que estas possam ser integradas, isto , tornando possvel a obteno de uma soluo analtica. As fronteiras tm uma grande importncia nesta anlise pois so estas que definem a forma como se desenvolve o regime transitrio. De forma a identifica-las e defini-las, considere-se a conduta elevatria ilustrada na figura 4.5 constituda por uma bomba hidrulica (B), uma vlvula de reteno (VR) colocada imediatamente a jusante da bomba, acopladas a uma conduta de comprimento L que permite a conduo da gua at um reservatrio (R) implementado a uma cota superior.

Fig.4.5 - Esquema de um sistema elevatrio

Neste caso as condies a considerar encontram-se nas extremidades da conduta (domnio unidimensional), so as seces do reservatrio e da bomba hidrulica.

B VR

R

LR

! Ho


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No que concerne seco do reservatrio o nvel de gua considerado constate , logo a carga tambm o ser. A traduo analtica desta condio para cada valor de caudal pode ser escrita como: ! ! !! ! !"#$%%' (4.22)

Para se estabelecer uma condio fronteira na bomba necessrio definir uma relao entre parmetros que caracterizam o funcionamento desta. Recorrendo-se curva caracterstica da bomba, possvel relacionar a altura manomtrica H, com o caudal Q a bombear . As condies atribudas a uma bomba so dependentes da influncia que o seu comportamento tem nas alteraes do escoamento. No exemplo em anlise, a bomba apresentar um comportamento activo no escoamento, isto , o seu comportamento influencia directamente o modo como este se d, uma vez que interessa perceber o efeito produzido pela sua paragem devido a uma falha sbita de corrente, Assim, para este caso, Pacheco Figueiredo [16] estabelece duas equaes para reger a condio de fronteira dinmica da bomba: a) A equao diferencial que estabelece a relao dinmica entre a cinemtica do movimento de

rotao das massas girantes e o momento actuante sobre as mesmas. Como ponto de partida para a deduo desta equao admite-se que as massas girantes da bomba so rgidas, tornando possvel escrever a seguinte equao diferencial: !! ! !! !!! ! !!!! (4.23)

em que:

M0 momento actuante sobre as massas girantes da bomba Mm momento motor Mr momento resistente b-acelerao angular das massas girantes da bomba I0- momento de inrcia das massas girantes relativamente ao eixo de rotao

Aps algumas consideraes para os valores dos momentos resistente e do motor, possvel obter uma equao diferencial das massas girantes, que integrando entre os instantes t1 e ti+1 recorrendo a uma tcnica de diferenas finitas se obtm: !!!! ! !! ! ! !""!!!!! !!!!!" !!!!"# !!!! ! !! (4.24)


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Na expresso apresentada a varivel N exprime a velocidade de rotao da bomba em rotaes por minuto (r.p.m) entre o instante ti+1 e ti, Hb a altura de elevao da bomba, ! e " o peso volmico da gua e o rendimento da bomba respectivamente. No entanto, torna-se conveniente adoptar a integrao explcita (k=0) para evitar um processo iterativo, resultando a lei de paragem da bomba que se escreve do seguinte modo: !!!! ! !! ! ! !""!!!!! !!!!!" !! !!!!! ! !!! (4.25)

O valor do momento de inrcia I0 relaciona o parmetro PD2 da bomba que pode ser obtido atravs de expresses experimentais, com a potncia e regime da bomba. No entanto aconselhvel a utilizao do valor recomendado pelo fabricante para este parmetro. A expresso que relaciona PD2 com I0 : !!! ! !!!! (4.26)

expresso em N.m2 b) A equao representativa das curvas caractersticas da bomba, que estabelece a relao existente

entre a altura manomtrica Hb, a velocidade de rotao da bomba N e o caudal bombeado Qb. No caso de bombas centrfugas essas relaes podem ser dadas por:

!! ! !!! ! !"!! ! !!!! (4.27) sendo A,B e C coeficientes que dependem da bomba e podem ser obtidos atravs da curva caracterstica da bomba para determinada velocidade de rotao em regime permanente. Para a determinao da lei de funcionamento suficiente conhecer a zona normal de funcionamento de bombagem. Geralmente num sistema elevatrio est presente uma vlvula de reteno a jusante da bomba que impede o retorno da gua, pelo que o caudal bombeado no pode ter valores negativos. Deste modo, a curva estar presente apenas no primeiro quadrante com as curvas a prolongarem-se pela recta Qb=0 para valores de Hb superiores ao do funcionamento no vazio (Fig.4.6).


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Fig.4.6 - Curva Caracterstica de uma bomba

4.5 MTODOS NUMRICOS PARA A RESOLUO DAS EQUAES

Como referido anteriormente, o estudo do regime varivel regido pelas equaes da Dinmica e da Conservao da Massa (eq. 4.10 e 4.21) A impossibilidade de obteno de uma soluo exacta quando se integra as referidas equaes de forma a encontrar expresses que exprimam o comportamento do caudal Q e da carga H em funo das variveis independentes x e t, leva necessidade de se recorrem a mtodos mais ou menos complexos que permitam a obteno de valores aproximados. Nos vrios mtodos de estudo, alguns deles so mais complexos do que outros (mtodos grficos e analticos) baseados em diferentes suposies restritivas. Numa soluo explcita, por exemplo, os valores de H e Q podem ser calculados para qualquer valor dado de x e t. Por sua vez, numa soluo numrica, a soluo destas equaes obtida para valores conhecidos de H e Q num determinado instante. Os primeiros mtodos, ainda que simples, so atribudos a Allievi que no incio do sculo XX concebeu um mtodo numrico e a Schnyder-Bergeron na dcada de 30 apresentam um mtodo grfico. Allievi no seu mtodo define condies fronteira de forma muito simplificada e considera as perdas de carga desprezveis, facto que muitas no justificvel na prtica, obtendo assim para alguns casos simples solues formais .O ltimo admite que no seu mtodo, as perdas de carga so conseguidas atravs de diafragmas localizados em determinadas seces. Estes mtodos apesar da sua simplicidade e consequente facilidade de compreenso para o estudo do fenmeno do choque hidrulico obtiveram muita popularidade. No entanto, devido sua menor aproximao soluo pretendida, estes mtodos revelaram-se insuficientes para anlise de grandes sistemas pois estes apresentam condies fronteira complexas, o que tornaram os referidos mtodos inutilizveis nessas situaes. Com o advento do computador, desenvolveram-se vrios modelos computacionais, que permitiram evoluir para mtodos numricos mais complexos, como por exemplo, o Mtodo das Diferenas Finitas (implcito ou explcito), o Mtodo das Caractersticas, o Mtodo dos Elementos Finitos, o Mtodo Espectral e o Mtodo dos Elementos de Contorno [17]. Os mtodos computacionais tornam-se assim uma ferramenta vantajosa no ponto de vista da engenharia, na medida em que permite a anlise de sistemas mais complexos num menor intervalo de tempo, obtendo resultados mais precisos.


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De referir que o mtodo das caractersticas, actualmente um dos mtodos mais utilizado devido sua eficincia e pela possibilidade de definir condies fronteira ou de contorno muito diversas. Outros pontos fortes deste mtodo, so por exemplo a facilidade de escrever e implementar um programa de computador, por meio de uso do esquema explcito e o facto da sua conceituao e fundamentao exprimir adequadamente a natureza fsica real do escoamento varivel sob presso.


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4.5.1 Mtodo Numrico de Allievi

Para determinar as equaes de Allievi resultantes da integrao das equaes indefinidas (4.10) e (4.21) necessrio considerar a horizontalidade da conduta (sen! = 0), que o valor das perdas de carga(") face ao efeitos das subpresses causadas pelo choque desprezvel, bem como os termos convectivos. Assim obtm-se uma nova verso das equaes diferenciais para o regime transitrio sob presso, resultando no seguinte sistema de equaes a resolver: !"!" ! !! !"!" ! !!! !"!" (4.28) !"!" ! !!!" !"!" ! !! !"!" ! ! !!! !"!" (4.29)

Aplicando o teorema de Swartz, possvel derivar as equaes apresentadas anteriormente em ordem a x e a t respectivamente.

!!x

!"!" ! !!" !"!" ! !!" !"!" ! !!" !!! !"!" ! !! !!!!!!

!!" !"!" ! !!" ! !!! !"!" ! ! !!! !!!!!! ! !! !!!!!! ! !!!!!! (4.30)

Definindo agora um novo sistema de equaes diferenciais, de forma anloga anterior, alterando apenas as variveis em anlise, tem se que: !"!" ! ! !!" !"!" (4.31)

!"!" ! ! !!!" !"!" (4.32) Aplicando o teorema supracitado, integrando agora a expresso 4.31 em ordem a t e 4.32 em ordem a x resulta:

!!" !"!" ! !!" !"!" ! !!" !"!" ! !!" ! !!" !"!" ! !!! ! !!" !!!!!!

!!" !"!" ! !!" ! !!!" !"!" ! ! !!!" !!!!!! ! !! !!!!!! ! !!! !!!!!! (4.33)

Estas equaes diferenciais de segunda ordem(equaes hiperblicas) so do tipo das Equaes das Cordas Vibrantes cuja integral geral apresenta a seguinte forma:


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! !! ! ! !! ! ! ! ! !! ! ! ! ! !!! !! ! ! !! ! !"! ! ! ! !! ! ! ! ! !! (4.34)

(4.35)

Estas equaes, so as Equaes de Allievi, em que F(x,t) e f(x,t) tm as dimenses de uma altura e so interpretadas como ondas de presso indeformveis, vlidas ao longo de trechos de condutas com as mesmas caractersticas. Quando se d um abaixamento de presso na conduta devido paragem da bomba a perturbao propaga-se para jusante atravs de ondas de presso F que se deslocam com uma grande celeridade (a). Estas ondas reflectem-se no reservatrio, dando origem a ondas f (Fig.4.7).

Fig. 4.7. Ondas F e ondas f

A equao 4.34 mostra que a presso existente numa determinada seco da conduta numa seco x e no instante t da perturbao a soma de trs tipos de presso:

Presso esttica H0, correspondente ao regime permanente Presso F t x

a!varivel no espao e no tempo. No entanto, se t- x

a for constante, significa

que a onde de presso (depresso) se desloca da bomba em direco ao reservatrio com uma determinada celeridade, pois: !!" ! ! !! ! ! ! !"!" ! !! (4.36)

Presso ! ! ! !! , que de modo anlogo ao da onda F, se conclui que a onda se desloca com uma celeridade a na direco da bomba. !!" ! ! !! ! ! ! !"!! ! !!! (4.37)


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Em suma, conclui-se que para se conhecer os valores de presso (H) e caudal(Q) em qualquer seco da conduta elevatria durante o regime transitrio necessrio obter os valores de F e f, ficando assim o problema com quatro incgnitas por resolver(H,Q,F e f). Assim sendo, torna-se necessrio definir condies de fronteira no reservatrio, nas bombas e outros equipamentos que possam existir como por exemplo, um RAC. Para um estudo mais completo do mtodo de Allievi (definio das condies fronteira) e do seu algoritmo de clculo, recomenda-se a bibliografia consultada, nomeadamente Pacheco Figueiredo [16]. 4.5.2 Mtodo das Caractersticas

Neste mtodo, a interpretao do fenmeno segue uma lei de propagao de ondas ao longo de uma conduta associando o tempo t e a coordenada ao largo do desenvolvimento da conduta x atravs da celeridade. As equaes indefinidas (4.10) e (4.21) so transformadas em equaes diferenciais ordinrias integrveis pelo mtodo das diferenas finitas, resultando assim num sistema de equaes parciais hiperblicas quase lineares [16],[17]. Tal como no mtodo de Allievi anteriormente introduzido, desprezando os termos convectivos das equaes (4.10) e (4.21) adquire-se a seguinte abreviao das equaes: !!!"# !"!" !"# !"!" ! !! !!"# !" (4.38) !!!"#$% !"!" !!! !"!" !!" !"# !!" (4.39) Como L1 e L2 so iguais a zero, a combinao das equaes lineares atravs da multiplicao da equao do movimento por um parmetro !, tambm nula: ! ! !! ! !!! ! ! (4.40) Resultando: !"!" ! !!! !"!" ! !"# !"!" ! !! !"!" ! ! ! ! ! !"# !"# ! ! ! (4.41) considerando que ! ! !!"# (4.42) Desta forma, a cada valor de ! corresponde uma nova equao diferencial. Assim, interessa escolher um determinado par de valores de ! que transforme as duas equaes diferenciais parciais (L1=0 e L2=0) , em duas equaes diferenciais ordinrias (A1=0 e A2=0) .


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Para obter as referidas equaes, pode-se optar por dois caminhos distintos, a integrao em ordem ao espao ou em ordem ao tempo. Como referido por Pacheco Figueiredo [16], ambos os pares de equaes obtidas so equivalentes. No entanto quando se procede a uma integrao no espao, as equaes caractersticas C+ e C- apresentam formas finais mais prximas da adequada integrao. Pelo motivo mencionado, no presente trabalho apenas ser demonstrada a integrao ao espao Considerando os diferenciais totais das variveis dependentes Q e H e dividindo-as por dx, tem-se que: !"!" ! !"!" !"!"! !"!" (4.43) !"!" ! !"!" !"!"! !"!" (4.44) sendo que: !"!" ! !! ! !!! ! !"!" ! !!!! ! ! (4.45) Esta condio tem duas consequncias, a fixao do valor de ! e a definio da relao entre as variveis independentes x e t para qual vlida a combinao linear das equaes diferenciais citada anteriormente. Da expresso anterior deduz-se facilmente que !! ! !!! ! ! ! ! !! (4.46) Assim, resulta que a relao entre x e t devido ao conhecimento de !: !"!" ! !!!!!"#"!! ! ! !!!! (4.47) Ou !"!" ! !!!!!"#"!! ! ! !! (4.48) Substituindo na combinao linear das equaes diferenciais 4.41 as equaes 4.43, 4.44 e 4.45, obtm-se dois novos conjuntos de equaes que se podem escrever do seguinte modo:

Equaes C+ , para um conjunto de equaes ! ! ! !!!! !"!" ! !!" !"!" ! ! ! !!" ! !!" !"# ! ! !!! (4.49)


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!"!" ! !!!! (4.50)

Equaes C- , para um conjunto de equaes ! ! ! !! !"!" ! !!" !"!" ! ! ! !!" ! !!" !"# ! ! ! (4.51) !"!" ! !! (4.52) Se se considerar uma representao cartesiana das variveis x e t como na figura ilustrada a seguir, em que a celeridade a constante, a integrao das equaes 4.50 e 4.52 conduz respectivamente a :

Fig. 4.8 - Linhas caractersticas [13]

!! ! !! ! ! !! ! !! (4.53) !! ! !! ! ! !! ! !! (4.54) Simplificando as equaes 4.49 e 4.51 e integrando-as entre A e P e entre B e P, obtm-se respectivamente: !!!!! ! !! ! !!" !! ! !! ! !! ! !!!!!! ! !! ! !!" !! ! !! ! !! ! !

(4.55)

(4.56)

Em que I+ e I- correspondem integrao das perdas de carga e do efeito produzido pela inclinao da conduta, que integradas por mtodos numricos aproximados podem ser escritas sinteticamente:


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adtdx

= (3.27)

Fig. 3.1 Linhas caractersticas. [Figueiredo, 2007]

Num plano cartesiano, com as variveis x e t (fig.3.1), em que cada ponto representa uma dada seco, x em determinado instante t, obtm-se um respectivo caudal e uma respectiva carga. Observando o facto de a celeridade a ser constante para uma determinada conduta, a integrao de (3.25) e (3.27) conduz a:

( )tttaxx ap += (3.28)

( )tttaxx bp += (3.29)

As linhas caractersticas consideram-se equaes de rectas no plano (x, t), ao longo das quais as equaes caractersticas (3.2) e (3.3) so vlidas. A estas equaes, atrs deduzidas, corresponde uma integrao em ordem ao tempo. Assim, pode-se obter equaes equivalentes integrveis, em ordem ao espao. Para tal, comea-se por dividir por dx as expresses (3.10) e (3.11), ficando:

dtdx

x

Qt

QdtdQ

+

= (3.30)

dtdx

x

Ht

Hdt

dH

+

= (3.31)


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!! ! ! ! ! !! ! !! !! !! ! !!!! ! !!! !! !! (4.57) !! ! ! ! ! ! !! ! !! !! !! ! !!!! ! !!! !! !! (4.58) Em que para uma dada seco da conduta se definem os parmetros R (perdas de carga) e T(inclinao da conduta) da seguinte forma: ! ! !!!"!! !! (4.59) ! ! !"#!!" ! !! (4.60) No que se refere ao factor de ponderao K, conveniente adoptar o valor 0,5 para considerar uma integrao numrica que valorize do mesmo modo as perdas de carga e a inclinao da conduta nos extremos dos intervalos de integrao. Agora, possvel reescrever as equaes caractersticas em que conhecendo os valores de Q e H nas seces A e B permitam constituir um sistema em que as incgnitas so HP e QP. !!!!! ! ! ! ! !! ! !! !! !! ! !! ! !!!!!! ! ! ! ! !! ! !! !! !! ! !! ! ! (4.61)(4.62) desde que se considere: ! ! !!" (4.63) !! ! !! ! ! ! !! ! !! !! ! !! !! !! ! ! (4.64) !! ! !! ! ! ! !! ! !! !! ! !! !! !! ! ! (4.65) De notar que necessrio desdobrar o parmetro relativo inclinao da conduta, em particular quando se refere seco P, pois quando ocorre uma mudana de inclinao nessa seco, o referido parmetro toma valores diferentes esquerda e direita (Fig.4.9).


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Fig.4.9 Mudana de inclinao da conduta

Retomando o clculo de QP e HP atravs da soma e da subtrao ordenada das equaes caractersticas referidas anteriormente, resolvendo em ordem a HP e QP respectivamente obtm-se: !! ! ! !!!!!!! !! !!!!!!!!! (4.66) !! ! !!!!!!! (4.67) sendo !! ! ! ! !! ! !!!!! ! !!!! ! !!!! !! ! !! (4.68) Assim, conhecendo previamente os valores do caudal e de carga em A e B relacionados pelas equaes caractersticas 4.53 e 4.54, possvel determinar os seus valores em P atravs das expresses 4.66 e 4.67. Por fim, falta ultrapassar a dificuldade criada pelo surgimento do parmetro da perda de carga na equao resolvente do caudal 4.67, uma vez que esse parmetro funo do caudal. Este obstculo pode ser contornado considerando o escoamento turbulento rugoso, o que significa que a perda de carga apenas dependente da rugosidade da conduta. ! ! !"#$%%' ! ! ! ! !! (4.69) Pacheco Figueiredo [16] sugere alternativamente um processo iterativo, em que tomando o valor de QP no instante anterior se obtm uma primeira aproximao de RP, permite convergir para valores QP e RP compatveis. Resolvendo desta forma a equao 4.67, determinao HP atravs de 4.66. Obtidas as equaes caractersticas, torna-se necessrio definir as condies fronteira correspondentes aos elementos pertencentes ao sistema elevatrio, que no presente trabalho, ser logicamente constitudo por um Reservatrio de Ar Comprimido na fronteira de montante, conjuntamente com a presena da bomba, tal como ilustra a figura 4.10.


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Fig.4.10 Localizao do RAC no circuito hidrulico [18]

Para o caso da modelao da fronteira de jusante, tal como referido no ponto 4.4, a carga no reservatrio de jusante constante e igual cota topogrfica da superfcie da gua ou da extremidade da conduta caso a descarga seja feita para a atmosfera. Substituindo as equaes C+ e C- por condies fronteira adequadas, tm-se respectivamente as equaes resolventes do caudal e da carga. Assim, na seco imediatamente a montante da extremidade da conduta o caudal expresso por: !! ! !!!!!!!! (4.70) em que !! ! ! ! !! ! ! !! ! !!! ! !!!! !! ! !! (4.71) A carga na mesma seco dada por: !! ! !! ! !! !! !!! (3.72) O valor de HP pode ser obtido pela substituio do caudal determinado com recurso expresso anteriormente escrita, na expresso 4.66 ou 4.72. De referir que o parmetro KL correspondente ao coeficiente de perda de carga localizada pode apresentar valor nulo quando se considerarem desprezveis essas perdas.


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Para a primeira aproximao toma-se QP(t+!t)=QP(t). Sendo conhecidas as variveis para um dado instante t, a sua determinao no instante seguinte t+!t inicia-se pela equao (1). Resolvendo as 6 equaes pela ordem apresentada, o caudal QP(t+!t) recalculado. O valor determinado, obviamente diferente do inicialmente arbitrado, sendo inserido na primeira equao, resultando numa nova determinao das 6 equaes. Este procedimento repetido ate que as diversas variveis apresentem variaes inferiores a limites (erros) previamente definidos. Desta forma, concludo o processo iterativo passa-se ao instante seguinte.

Fig. 3.12 RAC Localizao no circuito hidrulico. [Figueiredo, 2007]

3.3.4. CONDIO NO CASO DE MUDANA DE INCLINAO

Por vezes existe a necessidade de proceder ao desdobramento do parmetro relativo mudana da inclinao da conduta, em particular quando referido seco P. De facto, quando se verifica uma mudana da inclinao da conduta P, o parmetro T toma valores diferentes, tanto esquerda como direita:

xQaS

senT

p

e

peP =

(3.94)

xQaS

senT

p

dpd

P =

(3.95)


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No grupo elevatrio, a obteno da equao resolvente do caudal obtida pela substituio da curva caracterstica da bomba na equao C+ , sendo a expresso da resultante inserida na equao C-. Recorrendo a uma integrao numrica explcita (K=0), a raiz positiva obtida dada por: !! ! !"!!!!! ! !!! !" ! ! ! ! !! !"! ! !! (4.73) A carga HP pode ser determinada por: !! ! !!! ! !! (4.74) Esta expresso s vlida no caso de CB!DN2, caso contrrio, se CB>DN2 e A>BN (em geral A>>BN) deve-se tomar QP = 0, uma vez que se pode obter uma soluo negativa . Observe-se que o parmetro D relativo ao parmetro A da equao da CCB definida pela eequao 4.27, sendo utilizada esta nomenclatura para evitar confuso com o parmetro A definido anteriormente. Como atrs exposto, o estudo do choque hidrulico pelo mtodo descrito consta da quantificao do caudal e da carga na seco da bomba, a partir da qual se determina essas variveis nas restantes seces da conduta. No caso da presena de um RAC no sistema, o problema adquire cinco novas incgnitas e outras tantas equaes ao mtodo. As incgnitas adicionais so:

QRac Caudal no de sada do RAC Qp Caudal na insero do tubo de ligao do RAC conduta (ponto P) HRAC Carga no RAC PRAC Altura piezomtrica do ar no RAC VRAC Volume de ar no RAC

Este novo sistema de equaes impossvel de resolver, pelo que se torna necessrio recorrer a um processo iterativo. Antes de se proceder introduo das novas variveis no mtodo numrico exposto, interessa descrever as mesmas bem como as equaes a elas associadas e que traduzem o comportamento do RAC. De acordo com a figura 4.11, aplicando a lei da continuidade no ponto P, facilmente se conclui que:


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Fig. 4.11 Lei da Continuidade no RAC[13]

QP= QB + QRAC (4.75)

Admitindo a paragem instantnea do grupo elevatrio:

QB =0 ento QP = QRAC (4.76) Em seguida sero expostas as equaes definidoras do comportamento do RAC com a forma e a ordem adequadas utilizao no processo de clculo.

1) Volume de ar no RAC - VRAC No que se refere ao volume de ar no RAC, a sua variao feita atravs da compatibilidade entre os volumes de ar e gua no seu interior. Facilmente se conclui que uma diminuio do volume de gua implica necessariamente um aumento do volume de ar no seu interior para o mesmo instante de tempo e vice-versa. Deste modo, o aspecto final da expresso do volume de gua no RAC : !!"# ! ! !! ! !!"# ! ! ! ! ! !! ! ! !!! ! ! !! !! (4.77) Saliente-se que o volume de ar no reservatrio no pode superar o volume total do mesmo, sob pena de introduzir ar na conduta, sendo mesmo aconselhado prever uma margem de segurana adequada. O parmetro K um factor de ponderao com valor 0,5.


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Fig. 3.9 RAC Esquema de Princpio. [Figueiredo, 2007]

Sendo impossvel a resoluo em simultneo do sistema de equaes, essencial adoptar um procedimento iterativo na busca da soluo.

Como se constata na figura 3.4, no ponto P, existe uma aplicao que se deve considerar, a qual resulta numa lei, designada por lei da continuidade, resultante na seguinte equao:

RACBP QQQ += (3.75)

Deve-se admitir paragem instantnea do grupo elevatrio:

0=BQ (3.76)

Atendendo ao processo termodinmico, que se d no gs, e considerando a incompressibilidade da gua, o RAC est sujeito seguinte equao, designada por equao do estado do ar no RAC:

n

RAC

RACRACRAC V

VPP !!

"

#$$%

&=

0,0, (3.77)

Escrita para o instante t+!t, em que:

- PRAC,0 e VRAC,0 representam, respectivamente, a altura piezomtrica absoluta e o volume de ar iniciais.

- n representa o expoente da politrpica e depende do tipo de transformao.


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2) A cota topogrfica da superfcie livre da gua no RAC - ZRAC A cota topogrfica ZRAC da superfcie livre da gua no RAC varia durante o regime transitrio, sendo muitas vezes considerado constante para simplificao de clculos. No entanto, se a geometria do RAC for conhecida, possvel estabelecer uma relao analtica entre o volume de ar e gua do reservatrio e a cota topogrfica referida, atravs da seguinte equao: !!"# ! ! !! ! !!!"# !!!!! !!"# ! ! !!"#!!"# (4.78)

3) Altura piezomtrica do ar no RAC - PRAC,abs Considerando a incompreensibilidade

choque hidráulico

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