chela e kamogawa

Joo Luiz ChelaDoutor em Matemtica Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Mestre em Matemtica Aplicada pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho (Unesp). Graduado em Matemtica Pura pela Unesp.Professor do Centro de Cincias Sociais e Aplicadas da Universidade Presbiteriana Mackenzie (UPM) e superintendente de modelagem de crdito do Banco Safra. e-mail: [email protected]

Jean Carlos AbrahoMaster in Business Administration (MBA) pela Carnegie Mellon University (EUA). Graduado em Engenharia Civil pela Escola Politcnica da Universidade de So Paulo (PoliUSP). Superintendente no Banco ItaUnibanco. e-mail: [email protected]

Luiz Fernando Ohara KamogawaGraduado, mestre e doutor em Economia pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (EsalqUSP).Professor do Centro de Cincias Sociais e Aplicadas da Universidade Presbiteriana Mackenzie (UPM) e gerente de validao de modelos de risco no Banco ItaUnibanco. e-mail: [email protected]

MODELOS ORTOGONAIS PARA A ESTIMATIVA MULTIVARIADA DE VAR (VAlUe-At-risK) PARA RISCO DE MERCADO: UM ESTUDO DE CASO COMPARATIVO

Modelos ortogonais para a estimativa multivariada de VAR (value-at-risk) para risco de mercado: um estudo de caso comparativo, Joo Luiz Chela, Jean Carlos Abraho, Luiz Fernando Ohara Kamogawa

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ResumoO presente trabalho tem como objetivo explorar diferentes modelos de esti

mativa da distribuio conjunta de fatores para risco de mercado, com nfase nos modelos ortogonais. Foram explorados cinco modelos: 1. o de correlao condicional dinmica (DCC); 2. o de ortogonais (ou por componentes principais); 3. o tradicional RiskMetrics EWMA com fator de decaimento 0.94; 4. o com otimizao de parmetros GARCH e correlao EWMA; e 5. o de aproximao para valores extremos. Todos os modelos foram explorados de forma emprica, com o uso de uma srie de carteiras previamente selecionada, incluindo dados da ETTJ brasileira durante o perodo da crise financeira de 2008. Os resultados indicam uso favorvel do modelo de componentes principais.

Palavras-chave: Componentes principais; GARCH; EWMA.

1INTRODUO

A literatura de finanas para a modelagem da volatilidade univariada (nico fator de risco) extremamente densa e desenvolvida, e h um consenso geral das melhores prticas, convenincias e usos de cada modelo.

A fim de aplicar esses modelos para que haja uma distribuio conjunta dos fatores de risco (modelos multivariados), ainda no existe uma metodologia que atenda plenamente os pressupostos metodolgicos quantitativos sem ferir tambm os princpios econmicos, mostrandose parcimonioso em sua implantao.

Grande parte da literatura compese de generalizaes dos procedimentos de modelagem da volatilidade estocstica univariada (em que GARCH e EWMA so exemplos). Tal generalizao se torna onerosa e imprecisa medida que so adicionados novos ativos carteira.

Existem n (n + 1)/2 conjuntos de variveis a serem calculadas para n nmero de ativos, o que pode representar, por exemplo, 15 conjuntos a serem

Revista de Economia Mackenzie v. 9 n. 1 p. 70-92

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estimados com 5 ativos e 325 com 25 ativos. Adicionase a dificuldade de ter de garantir, em cada instante, que a matriz de covarincia/varincia seja positiva e semidefinida (TSAY, 2005).

Outro ponto negativo no uso da generalizao dos modelos univariados consiste no fato de que eles ignoram a presena de estruturas de dependncia de longo prazo entre as variveis, tendo em vista que as varincias/covarincias estocsticas e, consequentemente, as correlaes respondem automaticamente a choques de curto prazo. Concomitantemente, esses modelos tambm ignoram a presena de correlaes esprias entre as variveis.

Das diversas sugestes metodolgicas para os estimadores da volatilidade multivariada, duas se mostram promissoras: 1. os modelos de correlao condicional, em que se destacam os modelos de correlao constante desenvolvidos por Bollerslev (1990) e o modelo de correlao condicional dinmica, DCC, de Engle (2002); e 2. os modelos de reduo de dimenses ou modelos ortogonais GARCH (OGARCH) e EWMA (OEWMA), que so o principal objeto do presente trabalho.

W1.1 Modelos de correlao condicional

Bollerslev (1990) introduziu uma nova classe de estimadores multivariados de volatilidade, os modelos de correlao condicional constante (CCC), parte da matriz de varincia/covarincia definida pela Equao (1):

H D R Dt t t= (1)

em que:

Ht a matriz de varincia/covarincia no perodo de tempo t;

D diag ht i t= , , e hi,t a varincia do ativo i em t; R a matriz de correlao constante.

Dado que o resduo padronizado de uma srie de retornos de um ativo definido pela razo entre o retorno observado e a varincia estimada, temse a forma matricial expressa por:


73

t t tD r= 1 (2)

em que rt so os retornos dos ativos em t.

Assim, Bollerslev (1990) define a matriz de correlao pela simples relao mtua dos resduos padronizados, de acordo com:

E D H D Rt t t t t ( ) = = 1 1 (3)

Engle (2002) prope uma generalizao do modelo constante para um modelo dinmico (time varying), pela ponderao geomtrica dos resduos padronizados definidos no caso do alisamento exponencial EWMA:

q qi j t i t j t

s, , , ,= ( ) ( ) + = ( ) 1 11 1 = i t s j t ss , ,1 (4)

em que:

qi, j, t a covarincia entre os ativos i e j em t;

l o fator de decaimento.

Para a aproximao GARCH (1,1) temse1:

q qi j t i j i t j t i j i j t, , , , , , , ,= + ( ) + 1 1 ( )1 i j, (5)

em que:

i j, a correlao no condicional entre os resduos padronizados de i e j.

Os estimadores de parmetros da matriz de varincia/covarincia ocorrem em duas etapas: na primeira etapa, estimamse individualmente as varincias dos ativos; na segunda etapa, so estimados os parmetros nicos da matriz dos elementos de qi, j, t.

1 Para maiores detalhes, consultar Engle (2002).


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Salientase que esse processo garante, a cada instante, que a matriz de correlao e dos elementos qi, j, t seja positiva e semidefinida, tendo em vista que se trata de uma ponderao de uma matriz positiva definida com outra positiva semidefinida.

Resumidamente, as vantagens do modelo de correlao condicional so:

Do ponto de vista operacional, o nmero reduzido de conjuntos de variveis a serem estimados (de n (n + 1)/2 para n + 1);

Do ponto de vista emprico, obtmse matriz de correlaes mais estveis e melhor performance, quanto aos quantis de frequncia das falhas2.

W1.2 Modelos ortogonaisOutra classe de estimadores de modelos de volatilidade multivariada

composta por modelos ortogonais ou modelos de volatilidade por componentes principais, os quais assumem que uma matriz de varincia/covarincia t de uma srie de retornos multivariados (carteira) pode ser transformada em um conjunto de combinaes lineares (componentes) ortogonais entre si.

A anlise de componentes principais tem como atribuio explicar a estrutura de t com o menor nmero de combinaes lineares ortogonais do conjunto total de variveis, com o objetivo de reduzir o nmero de dimenses de anlise, assim como interpretar os resultados (JOHNSON; WICHERN, 2002).

Dada uma matriz de informao t, possvel, ento, decompla em conjuntos de autovalores e autovetores:

t nxn t ni

n

X e e

a

a

( ) = ( ) =

cov 1

0

0

e

en

1

(6)

em que:

X

r r

r rt Txn

t T n t T

t n t

( ) =

1

1

, ,

, ,

a matriz de retorno dos n ativos;

2 Em testes empricos aplicados por Engle (2002).


75

ai o autovalor i (1 < i < n);

e1 o vetor de autovetores do conjunto i de autovalores.

Resultase no conjunto de combinaes lineares definido por3:

Y e X

Y e X

Y e X

t i t

t t

n t n t

= ==

=

1 1,

,

(7)

Dado que VAR Y e e ai t i t i i,( ) = = e pela ortogonalidade dos componentes cov ,, ,Y Y e ei t j t i t j( ) = = 0 , temse que a soma total dos autovalores uma representao da varincia total da populao: tr at i

i

n

( ) ==

1

. Dessa forma,

possvel reduzir o posto da matriz de varincia/covarincia de n para k, se essas k dimenses forem representativas para explicar a varincia total populacional (JOHNSON; WICHERN, 2002). Se 80~90%4 da varincia suficiente, a adio de novas dimenses encarada como rudo e no traz ganhos de predio do modelo de volatilidade (ALEXANDER, 2008).

3 Centrando os retornos na mdia zero, temse: 1

1nX Xt t t

( ) = . Prmultiplicando a matriz t pela matriz de autovetores e psmultiplicando por sua transposta, temse:

1

1nE X X E At t ( ) = , em que:

E e en= 1 a matriz de autovetores; e Aa

a

i

n

=

0

0

, a matriz de autovalores.

Definindo Y X Et t= como a matriz de componentes principais, definese: 1

1nY Y At t

( ) = . Dado que E A E A = , temse: 1

1

1

1nX X

nY Yt t t t t

( ) = ( ) = .4 Testes empricos demonstram que de trs a quatro dimenses j so capazes de representar de forma ade

quada a matriz de varincia/covarincia (ALEXANDER, 2008).


76

A matriz de covarincia redefinida pelos componentes principais expressa por:

t t t t n ti t

Y H diag h h

h

= ( ) = = ( ) ==

cov , ,, ,

,

1

1 0

hh hn t n t1 0, , ,=

(8)

A somatria das volatilidades dos componentes , consequentemente, equivalente volatilidade dos ativos da carteira. De forma anloga, podese, ento, definir um processo ponderado para as volatilidades dos componentes, a exemplo dos modelos univariados como EWMA, Equao (8) e GARCH , Equao (9).

Pela ortogonalidade dos componentes, tambm possvel tomar um processo otimizado para cada componente sem ferir o princpio da manuteno de uma matriz de varincia/covarincia positiva semidefinida.

Assim, dada a representatividade dos componentes, possvel reduzir a dimenso de anlise de n (n + 1)/2, conjunto de variveis, para k (k < n).

h r h

h

i t i i t i i t

k t

, , ,

,

= ( ) + +

+ =

1

1

12

1

k k t k k tr h( ) + ==

, ,

12

1

volatilidade totall da carteira

(9)

em que:

i o fator de decaimento para o componente i;ri t, 1

2 o retorno do componente i em t1.

h r hi t i i i i t i i t, , , = ( ) + + +

+

1 12

1

hh r hk t k k k k t k k t, , , = ( ) + + =

= 1 1

21

voolatilidade total da carteira

(10)


77

Notadamente, a grande virtude dos modelos de volatilidade por componentes principais est na parcimnia que o modelo tem na estimativa de seus parmetros. Por exemplo, comparativamente aos modelos de correlao condicionada, h uma reduo de n k 1 dimenses; o que pode representar, supondo k = 5, em uma carteira com 5005 ativos, uma reduo de 494 dimenses de anlise. Comparativamente com a generalizao do modelo univariado, isso representa uma reduo de 125.245 dimenses.

Outra justificativa para o uso dos modelos ortogonais est na interpretao dos componentes e no argumento econmico da existncia de relaes de equilbrio de longo prazo entre os ativos.

Todas as variveis econmicas, consequentemente os ativos, resguardam uma relao de longo prazo entre si. Essas relaes no so nada mais que ligaes de dependncia resultantes de reduo de equaes de equilbrio econmico.

Assim, o processo de decomposio da matriz de informao t tende a encontrar essa estrutura reduzida de equilbrios, diminuindo de forma significativa a presena de correlaes esprias.

No entanto, uma grande restrio ao uso dos componentes principais o pressuposto da normalidade multivariada.

Suponha uma distribuio normal multivariada Nn (, ) com centroide e distncia euclidiana c X X2 1= ( ) ( ) . Ao decomporse a matriz de varincia/covarincia em autovalores e autovetores e, convenientemente, ao assumir = 0, temse:

c X X

ae X

ae X

nn

2 1

11

2 21 1= = ( ) + + ( ) (11)As combinaes lineares a X a Xn1

, , so, conforme definido na Equao (6), os componentes principais de X. Assim, ao supor uma representao bivariada (1 e 2) de um conjunto de n ativos, existir uma representao das coordenadas para as dimenses 1 e 2 dos autovetores correspondentes para cada ativo. Ou seja, para cada ativo existir um autovetor associado ao autovalor 1 e outro ao autovalor 2.

5 Plausvel em uma carteira trading.


78

Os componentes principais so a melhor representao ortogonal desse conjunto de autovetores, em que se pressupe distribuio normal multivariada em torno do centroide, conforme demonstra o grfico a seguir.

Grfico 1

Representao grfica da decomposio em autovalores e autovetores, sob o ponto de vista dos autovetores 1 e 2, e os componentes principais correspondentes a esses autovetores

Y1

Y2

E ( e1,i )

E ( e2,i )

a2

a1

Fonte: Elaborado pelos autores .

A rejeio da normalidade multivariada, no entanto, indica que os elementos dessa decomposio no esto precisamente distribudos em torno do centroide especificado, o que pode levar a inconsistncias na definio dos componentes. Assim, conforme recomendao, seria necessrio um processo de pragrupamento dos ativos, antes da decomposio em componentes principais (ALEXANDER, 2008), conforme Grfico 2.


79

Grfico 2

Representao grfica da decomposio em autovalores e autovetores, sob o ponto de vista dos autovetores 1 e 2, e os efeitos do pr-agrupamento sobre os componentes principais correspondentes a esses autovetores

E ( e1,i )

E ( a2,g1)

a2

a1

E ( a2)

E ( a2,g2)

E ( a1,g1) E ( a1) E ( a1,g2)


Outro problema recorrente na decomposio em componentes principais consiste na instabilidade dos componentes, a qual indica que, na realidade, no existe relao de equilbrio de longo prazo definida. Consequentemente, no possvel extrapolar o resultado obtido pelos componentes para outros perodos. Alexander (2008), no entanto, atenta para o risco de mudanas nos componentes sobre perodos de estresse de mercado. Outra possibilidade a existncia de relaes no lineares entre essas variveis, fato no captado pelos componentes principais.

Um bom indicador da estabilidade dos componentes a distncia estatstica euclidiana (distncia ao quadrado entre os vetores e seu centroide ponderado pela varincia/covarincia), tendo em vista que uma boa demonstrao da estrutura dos componentes.


80

2OBJETIVOS

O presente trabalho tem como objetivos:

1. Verificar o poder de reduo de dimenses do mtodo de componentes principais.

2. Testar a estabilidade dos componentes.

3. Fazer uma anlise comparativa da qualidade dos modelos:

a. VAR EWMA .94;

b. VAR DCC;

c. VAR ortogonal EWMA .94;

d. VAR ortogonal EWMA otimizado;

e. VAR ortogonal GARCH otimizado;

f. Uma aproximao para a distribuio dos valores extremos.

Foram testados dois conjuntos de carteiras:

oprimeiropara testaraestabilidadedoscomponentes,commaisativos(15) e com maior srie de tempo (1.008 dias teis);

osegundopararealizaroestudocomparativo,comtrscarteirasumaconcentrada em juros pr e cupom; outra diversificada em ndices, juros e moedas; e uma terceira de comportamento atpico (altssima volatilidade), com 12 ativos e 645 dias teis.

O poder de reduo foi demonstrado em ambos os estudos. Os testes e as metodologias utilizadas, alm da descrio das carteiras, esto indicados na seo a seguir.

3METODOLOGIA

W3.1 Poder de reduo e estabilidade dos componentesPara testar a estabilidade dos componentes, foram consideradas 41 amos

tras de 200 dias, espaadas em intervalos de 21 dias, de uma carteira com


81

posta por quatro vrtices da estrutura a termo da taxa de juros (ETTJ) do mercado interbancrio brasileiro: 1M, 6M, 1Y e 2Y (obtidos da curva de swaps pr x DI da BM&F e providos pela Bloomberg); quatro vrtices da curva de cupom cambial da BM&F: 1M, 6M, 1Y e 2Y (providos pela Bloomberg); trs preos spot de moedas: BRL, EUR e JPY (providos pelo Bloomberg); e quatro ndices de composies de bolsas de valores: IBOV, SPX, NKY e DAX (providos pelo Bloomberg). Todas as sries iniciaram em 21 de junho de 2005 e finalizaram em 10 outubro de 2008. Foram excludos os dias no teis em todos os mercados, e o resultado foi um remanescente de 1.008 dias de anlise.

Dessas 41 amostras, foram tomadas as taxas dos log retornos dos preos6; desses log retornos, foram tomadas suas matrizes de correlao; e dessas matrizes de correlao por sua vez, foram extrados 41 conjuntos de componentes principais.

Aps realizadas as operaes descritas anteriormente, desses 41 conjuntos de componentes foram tomados os dois principais componentes, bem como foi realizado um estudo da variao histrica dos pesos desses dois principais componentes. O critrio de avaliao foi a anlise grfica (forma) e a distncia euclidiana multivariada (distncia estatstica normalizada do componente ao centroide). Maiores detalhes podem ser encontrados em Johnson e Wichern (2002).

O poder de reduo foi testado pela mdia das inrcias dos dois primeiros componentes obtidos.

W3.2 Estudo comparativoO estudo comparativo foi realizado considerando trs diferentes carteiras:

CarteiraA: seis vrtices da taxa prefixada e cupom cambial (1M, 2M, 3M, 6M, 1Y e 2Y) convertidos em preos unitrios cupom zero.

CarteiraB: moedas BRL, EUR e JPY; ndices de bolsas IBOV, SPX, NKY e DAX; commodities7 de ao, ouro e petrleo NY; juros pr e cupom de um ano.

6 Para o caso da ETTJ da curva prefixada e do cupom cambial, as taxas foram convertidas em preos unitrios cupom zero (compostos para 252 dias teis, no caso da taxa prefixada, e linear 360 para o caso do cupom cambial).

7 No caso das commodities, foram tomados os valores do primeiro vencimento de futuro (near by).


82

CarteiraC:

Grupo 1 aes Citigroup, Lehman Brothers, Goldman Sachs, Merril Lynch, Aracruz Celulose e Papel, Sadia e Petrleo NY.

Grupo 2 CDS Brasil, CDS Chile, CDS IBM, CDS Argentina, CDS Lehman Brothers, todos de cinco anos.

A fonte de todas as carteiras foi o Bloomberg, entre os dias 23 de fevereiro de 2006 e 26 de novembro de 2008. Dessas amostras, foram tomadas as taxas dos log retornos, e dos log retornos foram desenvolvidos os modelos de volatilidade. Em todas as carteiras, para cada ativo foi estipulado um valor marcado a mercado (MtM) inicial de R$ 10.000 (dez mil reais), com seus valores marcados diariamente a mercado.

Dois cenrios foram considerados: um assumindo uma posio comprada e outro, vendida. No caso da carteira C, os cenrios foram: 1. Posio comprada do grupo 1 e vendida para o grupo 2; 2. Posio vendida para o grupo 1 e comprada do grupo 2. O valor de VAR foi padronizado em 99%.

Os critrios de avaliao dos modelos foram:

TestedeKupiecmede a eficincia da proteo;

Pior perda relativa nmero do pior retorno em valores de volatilidade mede a proteo no pior cenrio.

VARmdio (em R$) mede o custo da proteo.

3.2.1 Teste de Kupiec (1995)

O teste de Kupiec avalia as propriedades assintticas da proporo de falhas no intervalo de confiana da distribuio normal do modelo de VAR especificado. Testase pelo log da razo de verossimilhana entre a proporo de falhas observada e o intervalo de confiana do modelo de VAR; ver Equao (12):

LRx n x n

p pKupiec

n x x

n x x=

( ) ( )( ) ( )

log

* *

1

1

( )2

12~ x (12)


83

em que:

x o nmero de falhas;

n o perodo;

p* o intervalo de confiana do modelo de VAR;

o intervalo de confiana de teste.

Pelas propriedades assintticas da proporo das falhas, a razo x/n (proporo observada das falhas) deve, em grandes amostras, tender ao intervalo de confiana de VAR, que a proporo de falhas da distribuio especificada

pelo modelo de VAR lim *n

x

np

. Dessa forma, a log razo de Kupiec, em

grandes amostras, tende a zero e tem uma distribuio quiquadrado com 1 grau de liberdade.

A hiptese nula do teste (considerando o modelo de VAR especificado) est em encontrar valores do teste de Kupiec superiores estatstica quiquadrado sob um intervalo de confiana especificado ou encontrar valores de falhas superiores ao intervalo de falhas permitidas ao intervalo de VAR especificado, para determinada amostra e determinado valor de intervalo de confiana de teste.

Conforme mostra graficamente no Grfico 3, a razo de verossimilhana de Kupiec demonstrada por uma elipse com centroide definido pelo intervalo de VAR especificado (p*) e a esperana da proporo de falhas emprica. As faixas dos valores limites de falhas da hiptese nula (valores para aceitarse um bom modelo) so dadas pelas bordas dessa elipse a qual, por sua vez, definida pelo intervalo de confiana da estatstica quiquadrado especificado no teste. Assim, quanto maior o intervalo de confiana, menor a rea de cobertura da estatstica e menor o intervalo de possibilidade de falhas. No limite ( = 100%), o intervalo de falhas o prprio valor do VAR.


84

Grfico 3

Demonstrao grfica do teste de Kupiec


3.2.2 EWMA .94

Para o caso do estudo aplicado nas carteiras selecionadas com uso do modelo EWMA .94, a srie foi dividida em duas amostras.

A primeira delas de 100 dias, entre 23 de fevereiro de 2006 e 27 de julho de 2006 foi chamada de amostra de aprendizado. Nela foi tomada a srie de partida de estimativa das varincias e covarincias com ajuste exponencial.

A segunda amostra de 540 dias, entre os dias 28 de julho de 2006 e 26 de novembro de 2008 foi chamada de amostra de validao. Nela foram testados as frequncias de falhas (Kupiec), a pior perda e o VAR mdio para as trs carteiras selecionadas nos dois cenrios (posies comprada e vendida).

3.2.3 VAR DCC

A amostra para o modelo de VAR DCC tambm foi dividida em duas.

A primeira tambm de 100 dias, entre 23 de fevereiro de 2006 e 27 de julho de 2006 foi chamada novamente de aprendizagem; nela tambm foi tomada a srie de partida de estimativa das varincias e covarincias com ajuste exponen

p* (VAR)

p*

E(x/n) (x/n)

Intervalo _= 5%

r12 (_= 5%)

r12 (_= 1%)

Intervalo _= 1%


85

cial EWMA nos retornos marginais. Nesse caso, no entanto, o fator de decaimento foi otimizado para cada ativo. O processo de otimizao utilizado foi a maximizao da verossimilhana da somatria dos retornos padronizados normal.

A segunda parte da amostra de 540 dias, entre 28 de julho de 2006 e 26 de novembro de 2008 foi utilizada para continuar o processo de estimativa das volatilidades estocsticas para cada ativo, considerando o fator de decaimento da amostra de aprendizado para serem estimadas as covarincias, as quais foram tomadas a partir das marginais, com uso da Equao (4).

Os pesos do alisamento exponencial da DCC foram obtidos pela maximizao da funo de verossimilhana dos retornos padronizados normal, dentro dessa amostra.

Desse resultado foram testados as frequncias de falhas (Kupiec), a pior perda e o VAR mdio para as trs carteiras selecionadas nos dois cenrios (posies comprada e vendida).

3.2.4 VAR OEWMA .94

A amostra para o modelo de VAR OEWMA .94 foi dividida em duas novamente.

A primeira de 100 dias, entre 23 de fevereiro de 2006 e 27 de julho de 2006 foi chamada novamente de aprendizagem, tendo sido o local onde foram obtidos os componentes principais a partir da matriz de correlao histrica, nesses 100 dias. Desses componentes foram tomadas as dimenses que aproximassem 90% da inrcia total, conforme recomendado por Alexander (2008).

A segunda parte da amostra de 540 dias, entre 28 de julho de 2006 e 26 de novembro de 2008 foi utilizada para serem estimadas as volatilidades estocsticas para cada componente. O ponto inicial foi a volatilidade estimada nos 100 dias da amostra de aprendizagem, e o fator de decaimento foi .94 pelo modelo EWMA.

A partir dos componentes obtidos, foram estimados os valores marcados a mercado para cada componente selecionado.

A multiplicao das volatilidades estimadas, o valor marcado a mercado em cada componente e o percentil da normal selecionado definem o valor de VAR em cada componente. Dada a ortogonalidade dos componentes, o VAR da carteira a somatria do VAR nesses componentes.

Desse resultado foram testadas as frequncias de falhas (Kupiec), a pior perda e o VAR mdio para as trs carteiras selecionadas nos dois cenrios (posies comprada e vendida).


86

3.2.5 VAR OEMWA otimizado

A primeira amostra de aprendizado de 100 dias, entre 23 de fevereiro de 2006 e 27 de julho de 2006 foi utilizada para a obteno dos componentes principais a partir da matriz de correlao histrica, nesses 100 dias. Desses componentes foram tomadas as dimenses que aproximassem 90% da inrcia total, conforme recomendado por Alexander (2008).

A partir desses componentes selecionados, foi obtido o fator de decaimento timo, assumindo uma funo de volatilidade estocstica EWMA. O processo de otimizao utilizado foi a maximizao da verossimilhana da somatria dos retornos padronizados normal dentro dessa amostra de 100 dias.

A segunda parte da amostra de 540 dias, entre 28 de julho de 2006 e 26 de novembro de 2008 foi utilizada para serem estimadas as volatilidades estocsticas para cada componente. O ponto inicial foi a volatilidade estimada nos 100 dias da amostra de aprendizagem, e o fator de decaimento utilizado foi o timo obtido na amostra de aprendizado.

A partir dos componentes obtidos, foram estimados os valores marcados a mercado para cada componente selecionado.

A multiplicao das volatilidades estimadas, o valor marcado a mercado em cada componente e o percentil da normal selecionado definem o valor de VAR em cada componente. Dada a ortogonalidade dos componentes, o VAR da carteira a somatria do VAR nesses componentes.

Desse resultado foram testadas as frequncias de falhas (Kupiec), a pior perda e o VAR mdio para as trs carteiras selecionadas nos dois cenrios (posies comprada e vendida).

3.2.6 VAR OGARCH otimizado

O procedimento adotado no modelo OGARCH otimizado foi semelhante ao processo adotado no OEWMA otimizado, com a diferena da funo da volatilidade estocstica. Nesse caso, foi adotada uma funo GARCH.

3.2.7 VAR valores extremos

O procedimento adotado para obter a distribuio dos valores extremos foi o da diviso do resultado das carteiras em uma amostra de 100 dias de resultados e a apurao do pior e do melhor resultado. A partir disso, em uma janela mvel de 250 dias foi tomado o percentil dessa distribuio de dados.


87

4RESULTADOS

W4.1 Poder de reduo e estabilidade dos componentesA carteira testada indicou que cinco componentes correspondem entre

92~95% da inrcia total da carteira e com baixa variabilidade de sua representao.

No quesito estabilidade, observase relativa estabilidade. Conforme ilustra o Grfico 4 a seguir, a distncia estatstica euclidiana dos dois primeiros componentes teve varincia de apenas 0,215%.

Grfico 4

Distncia estatstica euclidiana em torno do centroide dos dois primeiros componentes

13,8%

13,6%

13,4%

13,2%

13,0%

12,8%

12,6%

12,4%

jun./05

set./05

dez./05

mar./06

jun./06

set./06

dez./06

mar./07

jun./07

set./07

dez./07

mar./08

jun./08

set./08


W4.2 Carteira APara a carteira A, os nicos modelos capazes de controlar erro pela frequn cia

de falhas foram OGARCH e por valores extremos. Entretanto, o VAR por valores extremos foi o de maior custo. O VAR DCC foi o de menor custo; todavia, foi o de pior controle de risco em frequncia e o de pior controle da pior perda.


88

O VAR EWMA, apesar de falhar na frequncia, controlou bem a pior perda e o custo dentro da mdia. O VAR OGARCH tambm controlou bem a pior perda, e o custo ficou dentro da mdia dos demais modelos.

Grfico 5

Backtest da carteira A e VAR 99% por modelo

(6.000)

(4.000)

(2.000)

2.000

4.000

6.000

28/7

/20

06

28/

8/20

06

28/9

/200

6

28/1

0/2

006

28/1

1/20

06

28/1

2/20

06

28/

1/20

07

28/2

/20

07

28/3

/20

07

28/4

/20

07

28/5

/200

7

28/

6/20

07

28/7

/200

7

28/8

/20

07

28/9

/200

7

28/1

0/2

007

28/

11/2

007

28/1

2/20

07

28/1

/20

08

28/

2/20

08

28/3

/200

8

28/4

/200

8

28/5

/200

8

28/6

/200

8

28/7

/200

8

28/

8/20

08

28/9

/200

8

28/1

0/2

008

EWMA 0,94 EWMA 0,94 Retorno DCCDCC EXTREME LOWER BOUND EXTREME UPPER BOUND VAR PCA EWMA .94VAR PCA EWMA .94 PCA O-EW MA OTIMIZADO PCA O-EW MAc OTIMIZADO PCA O-GARCHPCA O-GARCH

-


Tabela 1

Resultado backtest da carteira A

Modelo Falhas VAR 99% Kupiec 5% VAR mdio 99%

Perda mxima (vezes VAR)

Vendido Comprado Vendido Comprado Vendido Comprado

EWMA 2,39% 2,20% Falho Falho 613,53 3,18 -3,83

DCC 12,29% 10,46% Falho Falho 212,31 31,73 -33,39

O-EWMA 2,75% 3,49% Falho Falho 554,48 6,22 -7,59

O-GARCH 1,10% 1,47% OK OK 686,37 4,04 -5,51

O-EWMA .94 2,75% 3,30% Falho Falho 567,10 6,24 -8,76

EXTREME 1,10% 1,10% OK OK 1 .138,90 7,27 -4,04

Fonte: Elaborada pelos autores .


89

W4.3 Carteira BNa presente carteira, todos os modelos controlaram bem o risco em sua fre

quncia. O VAR EWMA foi o de menor custo e melhor controle da pior perda. O VAR por valores extremos foi o de maior custo, seguido pelo OGARCH. O VAR DCC foi o de pior controle da pior perda, seguido pelo de valores extremos.

Grfico 6

Backtest da carteira B e VAR 99% por modelo

(25.000)

(20.000)

(15.000)

(10.000)

(5.000)

-

5.000

10.000

15.000

20.000

25.000

28/7

/200

6

28/

8/20

06

28/9

/20

06

28/1

0/20

06

28/1

1/2

006

28/1

2/20

06

28/1

/200

7

28/2

/200

7

28/3

/200

7

28/4

/200

7

28/5

/200

7

28/6

/200

7

28/7

/20

07

28/8

/200

7

28/9

/200

7

28/1

0/2

007

28/1

1/20

07

28/1

2/2

007

28/1

/200

8

28/2

/200

8

28/

3/2

008

28/4

/20

08

28/

5/20

08

28/6

/20

08

28/7

/200

8

28/8

/200

8

28/

9/20

08

28/1

0/20

08



Tabela 2

Resultado backtest da carteira BModelo Falhas VAR 99% Kupiec 5% VAR

mdio 99%



EWMA 0,55% 0,73% OK OK 6 .354,66 2,87 -3,23

DCC 1,28% 1,83% OK OK 7 .470,12 5,98 -5,01

O-EWMA 0,37% 0,55% OK OK 7 .933,99 2,97 -4,47

O-GARCH 0,37% 0,55% OK OK 8 .462,28 2,62 -3,98

O-EWMA .94 0,37% 0,55% OK OK 7 .937,85 2,91 -4,49

EXTREME 1,65% 1,28% OK OK 8 .945,74 3,56 -3,79



90

W4.4 Carteira CA carteira C, de comportamento atpico, surpreendentemente, teve um de

sempenho bom do controle do risco pela frequncia de falhas em todos os modelos testados. O VAR OGARCH foi o de melhor controle na frequncia e o de pior na perda. O VAR EWMA foi, destacadamente, o de menor custo e teve bom controle tanto na frequncia quanto na pior perda. O VAR DCC, seguido pelo de valores extremos, foram ambos os que tiveram o pior desempenho do controle da pior perda.

Grfico 7

Backtest da carteira C e VAR 99% por modelo

(200.000)

(150.000)

(100.000)

(50.000)

-

50.000

100.000

150.000

200.000

28/

7/20

06

28/

8/20

06

28/9

/200

6

28/1

0/20

06

28/

11/2

006

28/1

2/2

006

28/1

/200

7

28/

2/20

07

28/3

/20

07

28/4

/200

7

28/5

/200

7

28/6

/20

07

28/

7/20

07

28/8

/200

7

28/9

/20

07

28/1

0/20

07

28/1

1/2

007

28/1

2/2

007

28/1

/200

8

28/2

/200

8

28/3

/200

8

28/

4/20

08

28/5

/200

8

28/6

/20

08

28/

7/20

08

28/8

/200

8

28/9

/20

08

28/

10/2

008




91

Tabela 3

Resultado backtest da carteira CModelo Falhas VAR 99% Kupiec 5% VAR

mdio 99%



EWMA 1,65% 1,10% OK OK 11 .647,84 3,57 -3,18

DCC 1,28% 1,10% OK OK 16 .919,84 7,60 -6,61

O-EWMA 1,28% 0,37% OK OK 16 .878,09 4,11 -4,34

O-GARCH 0,73% 0,37% OK OK 18 .428,00 3,10 -4,34

O-EWMA .94 1,28% 0,37% OK OK 17 .730,03 4,78 -4,05

EXTREME 0,92% 1,28% OK OK 18 .640,89 5,36 -7,56

Fonte: Elaborada pelos autores .

5CONCLUSES

Pelos resultados obtidos dentro da amostra de produtos selecionados e no perodo de anlise, os melhores modelos pelo critrio da ponderao entre controle de risco na frequncia e na pior perda e custo de VAR mdio foram o VAR tradicional por EWMA .94 e o VAR OGARCH.

No entanto, a falha do controle de risco na frequncia do modelo EWMA .94 dentro da carteira A um ponto relevante a ser considerado, apesar do baixo custo mdio de VAR aparente em todas as carteiras e do excelente controle da pior perda.

O VAR OGARCH nessa estrutura se mostra o mais promissor, tendo em vista que ele no falha na frequncia em nenhuma das carteiras selecionadas. Adicionase como ponto favorvel e de melhoria nas prximas aplicaes o uso de reponderaes dos componentes e dos parmetros de GARCH, de forma peridica, ao contrrio de fixa.

Salientase que o resultado do VAR por valores extremos de controle pouco eficiente da pior perda pode ser resultante da metodologia pela qual ele foi construdo: ao considerar um ajuste em um histrico passado para cada uma das caudas. Tal ajuste pode sofrer de vis assimetria (dada a necessidade de um evento em uma das pontas para atualizao do risco), assim como de incapacidade de capturar aumentos repentinos na volatilidade.


92

OrtHOGONAl MUltiVAriAte VAlUe-At-risK FOr MArKet risK: A cOMPArAtiVe stUDY

AbstractThe main approach of the present study is to empirically explore different

approaches to estimate the multivariate distribution of market risk factors with a greater emphasis on orthogonal models. It has been explored five different models: 1. the dynamical conditional correlation models (DCC); 2. the principal component model (better the traditional RiskMetrics EWMA with 0.94 decay factor; 3. optimized GARCH with EWMA 0.94 on the correlation; and 4. an approach for extreme values distributions. The results indicate a better performance of principal component model.

Keywords: Principal components; GARCH; EWMA.

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chela e kamogawa

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