CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

DE VOTORANTIM

OBJETIVOS ( Módulo 5)

Nesta U.E. você será capaz de:

- Usar a proporcionalidade para resolver problemas;

- Aplicar o Teorema de Pitágoras na solução de situações-problemas.

MÓDULO 5

Freqüentemente, engenheiros

arquitetos, construtores e urbanistas têm

a precaução de desenhar e mostar suas

obras em dimensões reduzidas, como um

primeiro passo para a sua construção.

Para isso, esses profissionais fazem uso

de maquetes e plantas em seus

respectivos trabalhos.

O desenho da planta de um apartamento, um desenho e sua imagem vistam

por uma lupa, são exemplos de semelhança.

FIGURAS SEMELHANTES

Ítalo e Aline fazem ginástica diariamente. Veja a foto e sua ampliação:

Observe que as medidas dos lados das duas fotos são diferentes, mas as

medidas dos ângulos são iguais.

66 cm 99 cm

Na matemática, uma foto e sua ampliação são exemplo de figuras

semelhantes.

Pode-se dizer que dois triângulos têm a mesma forma, uma vez que ambos

têm forma triangular, mas nem sempre são semelhantes. Porém, dois

triângulos eqüiláteros são sempre semelhantes. Eles têm a mesma forma!

Dois círculos são sempre semelhantes:

Em figuras semelhantes há certas propriedades notáveis. Uma delas refere-

se a comprimentos.

Observe que as medidas das figuras (Ítalo e Aline) são diretamente

proporcionais aos comprimentos correspondentes da outra. Multiplicando os

comprimentos da figura menor por 1,5 obtemos os comprimentos da maior.

Dizendo de outra maneira, temos: 99 mm = 69 mm = 48 mm

66 mm 46 mm 32 mm

Figuras semelhantes têm também uma propriedade referente a ângulos.

Os ângulos de uma figura são iguais aos ângulos correspondentes da outra.

(Veja bem, aqui não entra proporcionalidade).

Em dois triângulos semelhantes:

Os ângulos congruentes (mesmas medidas) são chamados ângulos

correspondentes;

Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados

homólogos.

Você verá que a semelhança de triângulos é muito utilizada no Teorema

de Tales.

46

mm

32

mm

69

mm

124 º

124 º

35º

35º

48

mm

TEOREMA DE TALES

Curiosidades sobre Tales de Mileto Você sabe quem foi Tales?

- Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo.

- Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 646 aC. e

morreu em 546 aC.

- A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:

Três ou mais retas paralelas (r,s,t) cortadas por duas retas transversais

(m,n) determinam segmentos proporcionais:

a = c

b d

m n

ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Quando dois triângulos são semelhantes, os seus lados

correspondentes são proporcionais.

Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar

a medida de um dos segmentos das retas transversais.

12 20 12 = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10

X 10 x 10 X . 20 = 120

X = 120

20

x = 6

Você sabe que existem situações em que é difícil efetuar medições então,

podemos usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) usando a teoria dos

triângulos semelhantes.

Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como

calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento da ponte?

Veja o esquema e observe como resolve a proporção para achar o valor de x.

O Teorema de Tales estabelece que: Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais, segmentos proporcionais

O formato de um triângulo fica completamente definido quando são

conhecidos os seus ângulos. Para isso basta conhecer dois ângulos, pois o

terceiro é o que falta para que a soma dos três seja igual a 180º.

“A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO

QUALQUER É SEMPRE IGUAL A 180º”.

Essa propriedade dos triângulos tem inúmeras aplicações práticas.

Veja o exemplo abaixo.

Imagine que para fazer um mapa, seja necessário saber a largura de um

rio. Graças a essa propriedade dos triângulos a largura pode ser obtida

facilmente. Veja:

Representação matemática

Apenas com essas medidas resolve-se o problema. Para isso desenha-se

um triângulo semelhante àquele do rio. Veja a representação dos dois

triângulos ao lado.

Medindo-se os lados e usando proporcionalidade encontra-se a largura

do rio.

Medem-se os ângulos B e C e a distância BC.

X X

105

5,8

4

Calculando a largura do rio dessa maneira, evita-se muito trabalho. Nem

é preciso atravessar o rio. É por isso que a semelhança de triângulos é um

conhecimento importante para geógrafos, cartógrafos, agrimensores,

topógrafos e engenheiros.

EXERCÍCIOS

1 - Observando o exemplo anterior, resolva em seu caderno.

Um homem de 1,80 de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento

no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de

comprimento. Qual é a altura da árvore?

Representação matemática

2) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado

pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?

Faça a representação matemática.

Observe que têm dois triângulos: um menor dentro do outro maior.

1,80 m

2,70 m

X

9 m

60º 60º

x

Exemplo resolvido. Calcule o comprimento de X

2,4

17

1,2

x (multiplica cruzado)

4,2 X = 2,1 17

X = 35,7

4,2

X = 8,5

EXERCÍCIOS –

3 ) Faça em seu caderno.

4 ) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma

sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m

produz uma sombra de 2,5m?

sombra 18m sombra 2,5m

1,5m X

5 ) Uma haste de um metro projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de

um poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 m?

SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos

triângulos.

6 ) Três retas paralelas ( a, b, c ) são cortadas por duas retas transversais (s, t )

formando quarteirões com as respectivas medidas.

Determine a medida do quarteirão x.

TEOREMA DE PITÁGORAS

No século VI a.C. foi descoberta uma propriedade válida em todos os

triângulos retângulos. Recordando:

Elementos do Triângulo Retângulo

Teorema de Pitágoras.

x

80

m

100 m

50

m

a

b

c

s t

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos

catetos.

Cateto ( lados que formam o ângulo reto

90º )

Hipotenusa (é o lado maior,

oposto ao ângulo reto)

cateto

Exemplo:

2 ) Observe o terreno triangular abaixo e descubra a medida do terceiro lado.

EXERCÍCIOS:

7 ) O carpinteiro precisa calcular o comprimento dos caibros do telhado:

10 X

2,90

Nesta situação você encontra um triângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras descubra o comprimento do caibro.

Hip² = cat² + cat² X² = 3² + 4² X² = 9 + 16

X = 25

X = 5

3

4

X

24 (cateto)

X (cateto)

25 (hipotenusa)

Hip² = cat² + cat² 25² = x² + 24² 625 = X² + 576 625 – 576 = x² X² = 49

X = 49

X = 7

8 ) Os lados de um quadrado medem 10 cm. Qual é o comprimento de suas

diagonais?

Dica : DIAGONAL: SEGMENTO DE RETA QUE UNE VÉRTICES

OPOSTOS. Veja o desenho ao lado e observe que a

diagonal passa a ser a hipotenusa dos dois triângulos

retângulos formados.

9 ) Para que o portão ganhe rigidez ( lembra-se da rigidez do triângulo? ) o

carpinteiro deve colocar uma trave de madeira que se estenda do ponto A até

C ( conforme figura):

GABARITO

MÓDULO 5

GABARITO

1) 6 m

2) 250 m

3) 8,4

4) 10,8

5) 7,5 m

6 ) 160 m

7) 10,41 m

8 ) 14,142

9) 198,49 cm

Diagonal =

hipotenusa

X

130

C

A

150

Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.

ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes ATUALIZADA EM 2008 APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim