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- 2007 - Londrina

CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO

Prof. Roberto Buchaim

CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ESTRUTURAL I

Notas de Aula

Notas de aula, da disciplina Construções em Concreto Estrutural, 6TRU017, ministrada pelo prof. Roberto Buchaim, digitalizada por Hellen Cristina Marcon.

Revisão 1 em 02 de outubro de 2008

Revisão em 05 de Agosto de 2010

Revisão 3 em 14 de julho de 2014

Revisão 4 em 15 de agosto de 2014

CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO – Departamento de Estruturas Construções em Concreto Estrutural – 3TRU024 – Prof. Roberto Buchaim

Sumário:

1. MATERIAIS .......................................................................................................................................1

1.1. Concreto ........................................................................................................................................1

1.1.1. Componentes .........................................................................................................................1

a. Aglomerante ................................................................................................................................1

b. Material Inerte: agregados ...........................................................................................................1

1.1.2. Características Mecânicas do Concreto: ................................................................................2

a. Concreto em Compressão Uniaxial .............................................................................................2

b. Efeito da Velocidade de Carregamento do Concreto em Compressão Uniaxial (Efeito Rüsch) .7

b.1. Fluência do Concreto ................................................................................................................9

b.2. Relaxação do Concreto .............................................................................................................9

c. Resistência Característica ..........................................................................................................10

d. Modulo de Elasticidade do Concreto para Projeto (conforme NBR 6118) ...............................10

e. Resistência à Tração Axial do Concreto ....................................................................................11

f. Resistência à Tração na Flexão do Concreto em Lajes e Vigas (em peças fletidas) ..................11

Exemplo 01 ....................................................................................................................................12

g. Peso especifico ..........................................................................................................................12

1.2. Aço ..............................................................................................................................................13

1.2.1. Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA .........................................................13

1.2.2. Propriedades do aço .............................................................................................................13

Exemplo 02 ....................................................................................................................................13

1.2.3. Diagrama Tensão-Deformação )( SS εσ .............................................................................14

a. Laminado a quente:....................................................................................................................14

b. Encruado a frio ..........................................................................................................................14

c. Diagramas idealizados na NBR 6118 ........................................................................................14

1.2.4. Classificação dos Aços ........................................................................................................15

2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO ............................................................................16

2.1. Retração do Concreto ..................................................................................................................17

2.1.1. Fatores que influem na retração...........................................................................................17

a. Gráfico da deformação no concreto por retração ao longo do tempo ........................................17

2.2. Fluência do Concreto ..................................................................................................................17

2.2.1. Fluência pura .......................................................................................................................17

a. Deformação total do concreto na data t ....................................................................................18

b. Deformação total do concreto na data ∞t .................................................................................18

c. Espessura equivalente ................................................................................................................19

Exemplo 01 ....................................................................................................................................20


Exemplo 02 ....................................................................................................................................20

3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO .......................22

3.1. Introdução ...................................................................................................................................22

3.2. Ação da Força Normal ................................................................................................................22

3.3. Peça usada como tirante ..............................................................................................................26

4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA ...............................................................................................29

4.1. Nos Materiais ..............................................................................................................................29

4.2. Nas Cargas ..................................................................................................................................30

5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES ............................................................................30

Exemplo 01 ....................................................................................................................................31

Exemplo 02 ....................................................................................................................................35

5.1.1. Rigidez à flexão no Estádio II .............................................................................................35

a. Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado ........................................37

5.1.2. Rigidez equivalente segundo a NBR 6118 ..........................................................................36

5.1.3. Momento Resistente de Cálculo (no Projeto) ......................................................................41

5.1.4. Resumo ................................................................................................................................41

5.1.5. Resistência à tração na flexão para o projeto.......................................................................43

5.1.6. Armadura mínima de flexão ................................................................................................43

5.1.7. Exercício ..............................................................................................................................45

6. ESTADOS LIMITES .......................................................................................................................50

6.1. Estados Limites Últimos (ELU) ..................................................................................................50

6.2. Estados Limites de Serviço (ELS) ..............................................................................................52

6.3. Tabelas ........................................................................................................................................53

6.4. ELU: Flexão simples e/ou composta ..........................................................................................56

6.5. ELU: flexão simples (vigas e lajes) ............................................................................................57

6.6. ELU: Solicitações Normais (Flexão Simples) ............................................................................58

a. Hipóteses: ..................................................................................................................................58

b. Domínios de deformação: ..........................................................................................................58

6.7. Exemplo 01 .................................................................................................................................59

6.8. Exemplo 02 .................................................................................................................................60

7. SEÇÃO T ..........................................................................................................................................62

7.1. Exemplo 01 .................................................................................................................................62


NOTAS DE AULA

UEL CTI Depto Estruturas 6tru017 Concreto I Prof. Roberto Buchaim Revisão 15/08/2014 Página 1

1. MATERIAIS

1.1. CONCRETO

1.1.1. COMPONENTES Componentes � Aglomerantes + Material Inerte + Água A água deve ser inerte e sem impurezas! Cimento + água � pasta Pasta + agregado miúdo � argamassa Argamassa + agregado graúdo � concreto simples Concreto simples + armadura passiva � concreto armado (CA) Concreto (simples ou armado) + armadura ativa � concreto protendido (CP) Concreto normal: fck ≈ 20 a 50 MPa (200 a 500 Kgf/cm²) Concreto de alto desempenho (CAD): fck ≈ 55 a 100 MPa; aos componentes anteriores adiciona-

se micro sílica ou fumo de sílica. Obs.: fck = resistência característica do concreto à compressão (f de failure = ruptura).

A. AGLOMERANTE Cimento Portland Comum: material aglomerante que se endurece exposto ao ar e água e após

reagir com a água, mantém-se endurecido de forma estável. Composição do cimento: CaO (óxido de cálcio – cal); SiO2 (óxido de silício); Al3O2 (óxido de alumínio); Fe2O3 (óxido de ferro).

B. MATERIAL INERTE: AGREGADOS

- naturais: areia – agregado miúdo (passa pela peneira # 4 ou 4,8 mm); pedregulho – agregado

graúdo (não passa pela peneira # 4). - artificiais: pedrisco; pedra britada ou brita.

Brita 0 1 2 3 4 5 Diâmetro (mm) 4,8 9,5 19,0 25 50 76 100

Como escolher o diâmetro do agregado: - øagregado ≤ ¼ da menor dimensão da peça; - øagregado depende também da taxa de armadura da peça; - øagregado ≤ c = cobrimento.


NOTAS DE AULA


1.1.2. CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO:

A. CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL

Ensaio de Compressão

fc = resistência à compressão do concreto εc0 ≅ 1,8 ‰ a 2,2 ‰, valor médio (comumente adotado) = 2 ‰. A lei σ(εc) é, com boa aproximação, uma parábola do 2º Grau:

−=

2

00

2c

c

c

ccc f

ε

ε

εε

σ

máximodepontoparafc

ccc

c

c

cc

c

c

⇒=∂

∂⇒=

−=

∂

∂0

.212 02

00 εσ

εεεε

εε

σ

ic0c

c Ef2

tan ==ε

α

Eci = módulo de elasticidade tangente na origem da lei σ(εc) ou módulo inicial. Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto em compressão. A NBR 6118: 2014, item 8.2.8, adota as seguintes características mecânicas e físicas do concreto:


NOTAS DE AULA


NBR 6118: 2014, Item 8.2.8 Módulo de elasticidade

O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade. Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial usando as expressões a seguir:

Eci = αE. 5600 ckf , para fck de 20 MPa a 50 MPa;

Eci = 21,5.103 . αE .

3/1

ck 25,110

+

f, para fck de 55 MPa a 90MPa.

Sendo:

αE = 1,2 para basalto e diabásio

αE = 1,0 para granito e gnaisse

αE = 0,9 para calcário

αE = 0,7 para arenito

Onde:

Eci e fck são dados em megapascals (MPa).

O módulo de deformação secante pode ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na ABNT NBR 8522, ou estimado pela expressão:

Ecs = αi . Eci

com αi = 0,8+0,2 .80

ckf ≤ 1,0

A Tabela 8.1 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto estrutural.

Tabela 8.1 - Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado

graúdo, i.e., ααααE = 1,0)

Classe de resistência

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90

Eci

(GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47

Ecs

(GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47

αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00


NOTAS DE AULA


NOTAS

1) A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, especialmente da natureza dos agregados.

2) Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs.

3) Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade inicial Eci.

O módulo de elasticidade numa idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a seguir, substituindo fck por fcj:

ci

c

c

ci

E

f

tf

tE .

)(

)(

,50

= , para os concretos com fck de 20 MPa a 45 MPa;

ci

c

c

ci

E

f

tf

tE .

)(

)(

,30

= , para os concretos com fck de 50 MPa a 90MPa.

Onde:

Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias e 28 dias;

fc(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar o módulo de elasticidade, em megapascal (MPa).

8.2.9 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal

Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o

coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade transversal Gc igual a Ecs./2,4 .

A resistência à tração do concreto está dada no item 8.2.5 da NBR 6118: 2014:

NBR 6118: 2014 Item 8.2.5 Resistência à tração

A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente.

A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das equações seguintes:

fctk,inf = 0,7 fct,m

fctk,sup = 1,3 fct,m

para concretos de classes até C50:

fct,m = 0,3 fck2/3


NOTAS DE AULA


para concreto de classes de C50 até C90:

fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck)

onde:

fct,m e fck são expressos em megapascal.

Sendo fckj ≥ 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28

dias.

NBR 6118, item 8.2.6 Resistência no estado multiaxial de tensões

Estando o concreto submetido às tensões principais σ3 ≥ σ2 ≥ σ1, deve-se ter:

σ1 ≥ − fctk

σ3 ≤ fck + 4 σ1

sendo as tensões de compressão consideradas positivas e as de tração negativas, o estado multiaxial de tensões deve ser verificado conforme ilustrado na figura 8.1.

Outras leis usadas em projeto:


NOTAS DE AULA


Lei parábola-retângulo

�s valores a serem adotados para os parâmetros �c2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e �cu (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a seguir:

para concretos de classes até C50:

�c2 = 2,00/00;�

��cu = 3,50/00

para concretos de classes de C50 até C90:

�c2 = 2,00/00 + 0,0850/00.(fck - 50)0,53;

��cu = 2,60/00 + 350/00.[(90 - fck)/100]4

Ver indicação sobre o valor de fcd em 12.3.3.


NOTAS DE AULA


Lei rígido-plástica para dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) por solicitações normais, “bloco de tensões”.

B. EFEITO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO DO CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL (EFEITO RÜSCH)

ηηηη0,85fcd


NOTAS DE AULA


Conclusão: quanto mais lentamente se carregar o concreto menor é sua resistência fc.

3

3

2

2

1

1

ttt ∆

∆>

∆

∆>

∆

∆ εεε

1º fator: com a velocidade de deformação decrescente, a resistência do concreto cai e sua deformabilidade aumenta. Este fenômeno é um dos componentes do chamado “Efeito Rüsch”.

2º fator: por outro lado, a resistência do concreto aumenta com o passar do tempo.

−=β=

21

1

28

281exp

tS

f

f

c

jc

Onde: t = idade do concreto em dias j = data em que se deseja calcular a resistência fcj do concreto (a compressão) fc28 = resistência à compressão do concreto medida na idade de 28 dias S = depende do tipo de concreto

−=

=

=

ARICPVcimentodeconcretopara

CPIIeCPIcimentodeconcretopara

CPIVeCPIIIcimentodeconcretopara

S

20,0

25,0

38,0

Exemplo: para S = 0,38/0,25/0,20

S t (dias) 3 7 15 28 60 365 3650 (10 anos)

0,38 28c

jc

ff

0,46 0,68 0,87 1,00 1,13 1,32 1,41

0,25 28c

jc

ff

0,60 0,78 0,91 1,00 1,08 1,20 1,26

0,20 28c

jc

ff

0,66 0,82 0,93 1,00 1,06 1,16 1,20


NOTAS DE AULA


=⇒=

=⇒=

=⇒=

==

20,120,0

26,125,0

41,138,0

365010

28

28

28

c

jc

c

jc

c

jc

f

f

f

f

f

f

Sediasanostpara

Um terceiro fator que influi na resistência do concreto refere-se à diferença entre fc (resistência) medida no cilindro e aquela do concreto da estrutura (laje, viga, pilar – forma prismática).

cilindrocprismac ff ,, 95,0=

Em resumo, os 3 fenômenos juntos levam a um fator multiplicativo da resistência do concreto igual a 95,02,175,032185,0 ××=××≅ fatorfatorfator . O fator 0,85 reduz a resistência do concreto no dimensionamento de peças no E.L.U. (Estado Limite Último). Não é considerado em ensaios rápidos, nem nos Estados Limites de Serviço.

B.1. FLUÊNCIA DO CONCRETO

Fluência é o aumento gradual na deformação ao longo do tempo, sob uma carga constante. Se a tensão também for constante tem-se a “fluência pura”. É inversamente proporcional ao módulo de elasticidade do concreto e diretamente proporcional à tensão normal aplicada. Nas estruturas de concreto armado e protendido, a fluência não é pura, i.e., mesmo que a carga seja permanente (constante), a simples presença do aço aderente leva à uma fluência sob tensão variável ao longo do tempo. A fluência do concreto é importante na compressão. Ao ser aplicada uma força de compressão no concreto, ocorre um encurtamento (deformação) imediato. Com o passar do tempo, para carga mantida constante a deformação do concreto aumenta, sem que haja aumento da carga. Os principais fatores que influem na fluência do concreto são os mesmo para a retração, a saber:

• Idade 0t do concreto ao ser carregado: quanto mais velho for o concreto ao ser carregado,

menor é a sua fluência. • Umidade relativa do meio ambiente • Espessura fictícia da peça

No caso de estruturas reais, a fluência começa a ocorrer assim que a carga é aplicada ao concreto. A retração ocorre tão logo se inicie a cura do concreto. Para efeito de análise estrutural mais simples, os dois fenômenos podem ser considerados como iniciando na mesma data.

B.2. RELAXAÇÃO DO CONCRETO

Para situações onde atuam ações de longa duração, além da fluência, deve-se considerar também o fenômeno da relaxação do concreto. A relaxação consiste na diminuição da tensão ao longo do tempo, estando o concreto submetido a um estado de deformações constante (relaxação pura). Por exemplo, a ação de um recalque da estrutura,


NOTAS DE AULA


mantido constante pelos seus vínculos, impõe um estado de deformação constante no concreto, com o que as tensões decorrentes desse recalque imposto diminuem com o tempo.

C. RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA Entende-se por resistência característica do concreto (fck) aquela correspondente aos 28 dias, por ser esta a idade convencional em que uma estrutura usual é colocada sob carregamento total (pelo menos no projeto). A esta resistência associa-se uma probabilidade de ocorrência de 95%. Quer dizer, a resistência característica de um lote de corpos de prova de concreto ensaiados corresponde um total de 5% dos resultados obtidos com valores iguais ou inferiores a fck.

D. MODULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO PARA PROJETO (CONFORME NBR 6118)


NOTAS DE AULA


E. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO AXIAL (OU DIRETA) DO CONCRETO

O concreto simples rompe quando tcσ for igual à

resistência à tração do concreto fct. A dispersão da resistência fct é muito maior do que a dispersão da resistência à compressão fc. Os valores de fct são probabilísticos. Em MPa tem-se:

32

,,inf

,

,,sup

21,0

30,0

39,0

7,0

3,1

ck

mctctk

mct

mctctk

f

ff

f

ff

=

=

=

fck (MPa) 20 30 40 50

fct k,inf 1,47 1,93 2,34 2,71

m 2,21 2,90 3,51 4,07 k,sup 2,95 3,86 4,68 5,43

F. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO DO CONCRETO EM LAJES E VIGAS (EM PEÇAS FLETIDAS)

7,0

0

7,0

0,

5,1

5,11

+

=

h

h

h

h

ff tcfltc

Onde, h0 = 100 mm h = altura da peça em mm. fct = resistência à tração axial


NOTAS DE AULA


h (mm) tc

fltc

ff ,

laje

viga

100 1,67 200 1,41 300 1,31 400 1,25 500 1,22 750 1,16

1000 1,13

Para peças com h > 1000 mm (ou 1m) fct,fl ≈ fct, ou seja, as resistências à tração na flexão e axial são aproximadamente iguais.

EXEMPLO 01 Determinar a carga qcr tal que se q <= qcr há uma probabilidade de 95% de não haver fissuração. Dados: fck = 20 MPa.

Índice de Esbeltez: 10400

4000==

l

h

Momento máximo: !máximoémomentoovãodocentroNo8

lqM

2

cr →=

Para h = 400 mm tcfltc ff 25,1, =→

A menor carga qcr abaixo da qual a viga não vai fissurar com 95% de probabilidade corresponde a

MPaff kctflct 84,12020,025,125,1 32

inf,inf, =

××==

kNmkNmmmNmmfbh

WfMcr tflctflc 82,9][10²]/[84,1³][6

400200

66

2

inf,

2

inf, =×××

=== −

W = módulo elástico de resistência (Para fctk,sup resulta Mcr = 19,62 kNm)

mkNl

Mcrqcr /91,4

4

82,98822

=×

== (Para fctk,sup resulta qcr = 9,82 KN/m)

Se q < qcr,sup = 9,82 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração. Se q < qcr,inf = 4,91 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração.

G. PESO ESPECIFICO

Concreto simples: 3CONC m/kN24=γ

Concreto armado: 3/25 mkNCA =γ

Isto mostra que o aço contribui (em média) com 3m/kN1 (ou 3m/kgf100 ) no peso específico do CA.


NOTAS DE AULA


1.2. AÇO

Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA

Fios

(mm) Barras (mm)

Área (mm²)

4,2 13,8

CA 60

4,6 16,6 5 20 6 28,3 7 38,5 8 50 9 63,6

10 78,5 ≈ 80 6,3 31,5

CA 50 ou 25

8 50 10 80 12,5 125 16 200 20 315 25 500 32 800

Notar que para barras a soma das áreas de duas bitolas sucessivas dá aproximadamente a área da bitola

seguinte. P.ex., para 8e3,6 ΦΦ , tem-se as áreas 2mm50e5,31 , respectivamente. A soma destas áreas

é igual a 2m5,81 , que é aprox. a área da barra de bitola 10Φ .

1.2.1. PROPRIEDADES DO AÇO

Nervuras: melhoram as condições de aderência entre aço e concreto - Barras lisas (CA-25) - Barras nervuradas (CA-50) de alta aderência - Fios (CA-60) – para lajes.

Peso específico do aço: ³/85,7³/5,78 mtfoumkNAÇO

=γ

Peso por metro linear de uma barra = γπφAÇO4

²

Módulo de elasticidade do aço: GPaouMPaEs 21000.210=

Coeficiente de dilatação térmica:

)º10,(º101 1515 −−−− =≅≅ CconcretodoaoigualCx CS αα

EXEMPLO 02

KgmmKgpesametrosdebarra

mKgmkNmkNmmlinearmetropeso

84,18][12]/[57,116,121

/57,1/0157,0]³/[5,7810]²[200/16 6

=×=φ∴

==××=φ −


NOTAS DE AULA


1.2.2. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO )( SS εσ

Os diagramas )( SS εσ na tração e na

compressão são admitidos iguais.

A. LAMINADO A QUENTE: Com patamar de escoamento.

B. ENCRUADO A FRIO Sem patamar de escoamento definido

(exemplos: aço de protensão e aço CA-60).

C. DIAGRAMAS IDEALIZADOS NA NBR 6118: AÇO DE ARMADURA PASSIVA

fy = resistência ao escoamento da barra ensaiada.

S

ky

dy

ff

γ=

s

dy

yds

ky

yk E

f

E

f=ε=ε ;

k indica valor característico, probabilidade de 5% de ser ultrapassado para o lado desfavorável.

SSS E ε=σ (Lei de Hooke)

‰48,215,1

‰86,2;‰86,21086,2

10210

60060060

‰07,215,1

‰38,2;‰38,21038,2

10210

50050050

33

33

====×=×

=⇒=−

====×=×

=⇒=−

εε

εε

−−

−−

s

dy

ydykky

s

dy

ydykky

E

fMPafCA

E

fMPafCA

diagrama simplificado do ELU


NOTAS DE AULA


CLASSIFICAÇÃO DOS AÇOS

Obs.: (C) alongamento em 10 φ ≈ εsuk

*Fonte: NBR 7480/96 - Barras e Fios de Aço para Armadura de Concreto

Observação: quanto maior a bitola da barra de aço melhor a aderência com o concreto.


NOTAS DE AULA


φ

φ−=

−=ε φ 10

102

1

1210

l

l

ll

Quanto maior a área sob a curva )( SS εσ até a ruptura, tanto mais dúctil é o aço e

tanto mais dúctil pode ser a peça de CA. Na descarga antes da ou na ruptura, a

parcela de deformação elástica é recuperada. Na descarga, igualmente, a parcela plástica

é permanente ou irrecuperável.

‰48,210210

522522

15,1

60060

‰07,210210

435435

15,1

50050

3

3

=×

=⇒==−−

=×

=⇒==−−

−

−

ε

ε

ydyd

ydyd

MPafCA

MPafCA

2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO

NBR 6118: 2014, Tabela 8.2 - Valores característicos superiores da deformação específica de retração

εεεεcs(t∞∞∞∞,t0) e do coeficiente de fluência ϕϕϕϕ(t∞∞∞∞,t0)

Umidade média

ambiente

%

40 55 75 90

Espessura fictícia 2Ac/u cm

20 60 20 60 20 60 20 60

ϕ(t∞,t

0)

Concreto das

classes C20 a C45

t0

dias

5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9

30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5

60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4

ϕ(t∞,t

0)

Concreto das

classes C50 a C90

5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5

30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1

60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0

εcs(t∞,t0) 0/00

5 − 0,53 − 0,47 − 0,48 − 0,43 − 0,36 − 0,32 − 0,18 − 0,15

30 − 0,44 − 0,45 − 0,41 − 0,41 − 0,33 − 0,31 − 0,17 − 0,15

60 − 0,39 − 0,43 − 0,36 − 0,40 − 0,30 − 0,31 − 0,17 − 0,15

εεεεelástica


NOTAS DE AULA


2.1. RETRAÇÃO DO CONCRETO Diminuição de volume da peca de concreto por perda de água não fixada quimicamente, ou seja,

perda da água que não reagiu com o concreto. Corresponde a uma deformação de encurtamento em todas as direções do corpo de concreto. Se impedida, seja pela armadura ou pelos vínculos da peça, causa tração no concreto e mesmo fissuração. Os valores da deformação podem ser estimados pela Tabela 8.1 da NBR 6118.

2.1.1. FATORES QUE INFLUEM

- tipo de cimento e agregado; - relação água-cimento; - clima (umidade ambiente, temperatura); - dimensões das peças. A retração não depende da carga!

A. GRÁFICO DA DEFORMAÇÃO NO CONCRETO POR RETRAÇÃO AO LONGO DO TEMPO

ε shc,= deformação no concreto por retração.

ε ∞,,shc= valor final da deformação de retração.

2.2. FLUÊNCIA DO CONCRETO

A fluência depende diretamente da intensidade da tensão permanente aplicada, e é inversamente proporcional ao módulo de elasticidade do concreto. Depende também dos fatores que influem na retração.

2.2.1. FLUÊNCIA PURA

Ec = módulo de elasticidade do concreto

0l∆ = encurtamento elástico instantâneo

lAEc

Gl

Ecll C

C .0

00 ===∆σ

ε

Cl∆ = encurtamento do concreto por fluência

Dividindo l∆ por l = deformação Cε

0Cε = Deformação elástica instantânea

=ε ϕc Deformação por fluência pura, isto é, sob

tensão constante.


NOTAS DE AULA


( )ϕεε

εεεεε ϕ

ϕ +=

+=+= 11)( 0

000 c

c

cCccc t

ϕ = coeficiente de fluência = 0

)(c

ctε

εϕ ϕ=

5,35,1 a≈ϕ (2 a 2,5 valores freqüentes)

( )ϕ+σ

=ε 1)( 0

Ect C

C : deformação total na data t>t0 para fluência pura.

Nas estruturas a carga permanente fica evidentemente constante, mas a tensão Cσ varia com o tempo (é

decrescente com o tempo) � a fluência não é pura. Basta a simples presença da armadura para que a fluência não seja pura, i.e., não ocorra sob tensão constante, mesmo que a carga permaneça constante. Ver os exemplos 1 e 2 a seguir: o primeiro refere-se apenas à retração, o segundo refere-se ao efeito da carga permanente, ambos para um pilar isostático de concreto armado.

A. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA t (USUALMENTE ∞=t )

( ) ( ) ( ) ( )0,0

0 ,8,011, ttEE

tt shcc

C

c

CC ε+ϕ+

σ∆+ϕ+

σ=ε

Onde:

( )ϕ+σ

10

c

C

E = deformação total por fluência pura, isto é, se Cσ fosse

constante e igual a 0Cσ .

( )ϕ+σ∆

8,01c

C

E = acréscimo de deformação por fluência sob variação

de tensão Cσ∆ ao longo do tempo. Esta variação é decrescente com o tempo.

shc,ε = retração.

B. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA ∞t

Ação isolada da retração:


NOTAS DE AULA


( ) ( ) ( ) ( )0,0

0 ,8,011, ttEE

tt shcc

C

c

CC ε+ϕ+

σ∆+ϕ+

σ=ε ∞

( )ϕ+σ

10

c

C

E = 0 (zero), pois não há carga aplicada (G = 0 neste exemplo)

No aço:

- Deformação: s

SS E

σ=ε

- Variação de deformação: s

SS E

σ∆=ε∆

As variações de encurtamentos do concreto e do aço são iguais, ( ) SCC tt ε∆=−ε=ε∆ ∞ 0, 0 :

),()8,01(),()8,01( 0,0, ttEttEE

E shcsCSshcsc

CsS ∞∞ ε+ϕ+σ∆α=ε+ϕ+

σ∆=σ∆

c

sS E

E=α = coeficiente de equivalência

Por outro lado, a soma da variação de forcas no concreto e no aço é igual a zero:

S

C

c

s

CS

SsCc

A

A

AA

NsNc

ρ

σ∆−=

σ∆−=σ∆

=σ∆+σ∆

=∆+∆

0

0

Ac

AsS =ρ = taxa geométrica de armadura

C. ESPESSURA EQUIVALENTE

Espessura equivalente = u

A02

Onde: u = perímetro em contato com a atmosfera. A0 = área da seção. - Espessura equivalente para toda peça em contato com o ambiente (seção retangular):

( ) hb

bh

hb

bh

u

A

+=

+=

2

22 0

Para b >> h (laje):

h

b

hh

u

A=

+=

1

2 0 , ou seja, a espessura equivalente de uma laje com as duas faces em

contato com o ambiente é sua própria espessura.


NOTAS DE AULA


EXEMPLO 01

Pilar curto sob retração (continuação do cálculo anterior): 350, 106,01060),( −−

∞ ×−=×−=ε ttshc ;

5,2),( 0 =ϕ ∞ tt .

Solução:

%273,202273,08800

2000

0,730

210

30000

210000

88002000300

2000500425422

2

ouAc

As

MPaE

MPaE

mmAbhA

mmA

S

Sc

s

sc

s

===ρ

==α→

=

=

=−=−=

=×=φ=

Sabendo que S

CS ρ

σ∆−=σ∆

Logo:

( ) ),(8,01 0, ttE shcsCSS

C∞ε+ϕ+σ∆α=

ρ

σ∆−

( )( )

( )( )

!!94,1

5,28,0102273,071

10601021002273,0

8,011

, 530,

fissurarPodeconcretonotraçãoMPa

ttE

C

SS

shcsSC

→+=∆

×+××+

×−×××−=

++−=∆

−∞

σ

ϕρα

ερσ

No aço:

( )2/85335,8502273,0

94,1cmKgfouMPa

S

CS −−=−=

ρ

σ∆−=σ∆ � compressão no aço!

Estes resultados mostram que sob a ação da retração, a peça encolhe, mas o concreto está tracionado. Quanto maior for a taxa geométrica da armadura, maior será a tração no concreto, o que pode levá-lo à fissuração, mesmo sem carga aplicada (exemplo: peças pré-moldadas com excesso de armadura). O impedimento à retração pode ocorrer pela ação dos vínculos da peça, ou por pela união de concretos de idade muito diferentes, p.ex, parede de concreto sobre uma sapata corrida. Se a parede for concretada muito tempo depois que a sapata, há uma retração diferencial dos dois elementos estruturais. Com isto a sapata impede a retração da parede e pode gerar fissuras verticais na parede.

EXEMPLO 02 Efeito da fluência do concreto (a retração agora é zero): G = -1530 kN (compressão); 5,2),( 0 =ϕ ∞ tt

Tensões iniciais logo após aplicação da carga permanente G:

( ) ( )( )[ ] 0

00

0000

1 CsS

CsSsCsSc

CsSCcSsCc

AbhG

AAbhAAG

AAAAG

σ−α+=

σα+−=σα+=

σα+σ=σ+σ=


NOTAS DE AULA


Área ideal: ( ) sSi AAA 10 −α+=

Área da peça: bhA =0

( )

MPa

MPa

N

Ai

G

CSS

C

C

105157

15

200017300

101530

00

0

2

3

0

−=×−=σα=σ

−=σ

×−+

×−==σ

� Tensões iniciais nos dois materiais, quando começa a fluência do concreto.

( )( )ϕ+αρ+

ϕσαρ−=σ∆ ∞

8,011

, 00

SS

CSSC

tt

Variação de tensão no concreto:

( )MPaC 039,4

5,28,0102273,071

5,21502273,07 =

×+××+

×−××−=σ∆

Tensão total no concreto: MPaMPaCCC 1196,10039,4150 −≈−=+−=σ∆+σ=σ � há perda da

compressão de -15 para -11 MPa, ou aproximadamente 40% de queda. Variação de tensão no aço:

)(7,17702273,0

039,4compressãodeaumentoMPa

S

CS −=−=

ρ

σ∆−=σ∆

Tensão total no aço: MPaSSS 2837,1771050 −≅−−=σ∆+σ=σ

Note-se que a compressão no aço quase triplica, neste exemplo, ao passo que o concreto tem um alívio de compressão da ordem 40%. Este resultado qualitativo pode ser transposto para as estruturas aporticadas. Assim, se no pórtico, após a aplicação de toda a carga (boa parte da qual é permanente) não houver ruptura pelo lado do concreto, então não mais haverá ruptura pelo concreto, a não ser que haja aumento posterior e imprevisto de carga.


NOTAS DE AULA


3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO

3.1. INTRODUÇÃO Características básicas do concreto armado (CA) � aderência entre concreto e aço! Na compressão e na tração antes de fissurar as deformações no concreto e no aço vizinho são

iguais: SC ε=ε .

Após a fissuração o aço alonga-se mais que o concreto. Por conseqüência há deslizamento do aço em relação ao concreto vizinho. A quantidade de deslizamento é igual à abertura da fissura!

3.2. AÇÃO DA FORÇA NORMAL

Como construir a curva força aplicada-deslocamento axial, ?)( LF ∆ Ou seja, para cada L∆ crescente pergunta-se: qual é

a força F correspondente? O presente exemplo refere-se a um ensaio em laboratório. Dados: Aço CA-50: fyk = 500 MPa Es = 200000 MPa

‰ 2,5 10200

5003yk =

×==ε

s

ky

E

f

Área de aço: As = 4 φ 25 = 4x500 = 2000 mm² Concreto: coeficiente de variação: para vários corpos de prova %20=δ Resistência média: fcm = 30 MPa Resistência característica:

( ) ( ) MPaff cmck 2020,0645,1130645,11 =×−×=δ−=

(probabilidade de 5% de ocorrer fc ≤fck)

Área de peça: 220 90000300 mmbhA ===

Área do concreto: Ac = A0 – As = 90000 – 2000 = 88000 mm² Lei dos materiais

Aço

Concreto em compressão

2

00

2

ε

ε−

ε

ε=

σ

C

C

C

CC

fc


NOTAS DE AULA


(Neste exercício trabalha-se com valores absolutos)

L∆ (mm) L

LSC

∆=ε=ε

(‰)

concreto aço F = Fc+Fs

(kN) Cσ

(MPa) CCC AF σ=

(kN)

Sσ

(Mpa) SSS AF σ=

(kN) 0 0 0 0 0 0 0

0,5 0,5 13,125 1155 100 200 1355 1 1 22,5 1980 200 400 2380

1,5 1,5 28,125 2475 300 600 3075 2 2 30 2640 400 800 3440

2,5 2,5 28,125 2475 500 1000 3475 3 3 22,5 1980 500 1000 2980

3,5 3,5 13,125 1155 500 1000 2155 4 4 0 0 500 1000 1000

Gráfico F(∆L):

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

∆L (mm)

F (

kN)

F Fc Fs

1ª conclusão: embora a deformação correspondente a máxFc (ou seja, 2/1000) não coincida com

aquela correspondente a máxF (que vale 2,5/1000) pode-se, em face da pequena diferença entre 3475 e 3440, obter a resistência do pilar pela soma das resistências das partes, isto é,

kNfAfAFkyscc 364010)5002000308800( 3 =××+×=+= − � 5% maior que 3475 kN

=cc fA resistência da seção de concreto

=kys fA resistência da seção de aço

2ª conclusão: o comportamento da curva F(∆L) é aproximadamente linear em boa parte do trecho ascendente da parábola. Como em serviço cc f5,0≤σ , a reta é uma aproximação muito boa da parábola.

Logo, para o concreto em serviço vale a lei de Hooke: ccsc E ε=σ com Ecs = módulo de elasticidade

secante. 3ª conclusão: Para ?;124,0 =ε≅=σ ccc MPaf


NOTAS DE AULA


[ ]

MPaEEMPa

curvadaesquerdoladooknão

f

MPaf

fpondof

cscic

c

cc

c

c

c

cc

ccc

c

c

c

c

ccc

2550085,03000085,067,26666

1000

45,012

‰45,0‰2225,0

)!(225,0;)!(775,12

6,142

240,030

12

30;‰2

2;2

0

21

2

0

2

0

2

00

=×==≅≅=

=×=∴=

==→−±

=

−===

==

−=∴=

−=

εσ

ελεε

λλλ

λλσ

ε

λλσεε

λεε

εε

σ

Da NBR: )!(255002600030560085,0560085,0 okMPaMPafE ccs ≈=××=×= ; no ensaio

usa-se fc no lugar de fck (fck usa-se no projeto). Conclusão: os módulos de elasticidade tangente na origem (Eci) e secante (Ecs = 0,85Eci) correspondem respectivamente a:

MPaEE

e

MPaf

E

cics

c

cci

2550085,0

30000

1000

23022

0

==

=×

==ε

Estes valores no ensaio são aproximadamente os mesmos obtidos pela expressão da NBR 6118 se no lugar de fck for usado fc, mas no projeto usa-se os estabelecidos nessa norma.

Em serviço o concreto comprimido pode ser calculado elasticamente (isto é, vale a lei de Hooke).

ccsc E ε=σ

No pilar:

sscc AAF σ+σ=

Para a força F = 1385 kN, quais são σ e ε nos materiais? (isto é o Estádio I)

( ) sscs AAAF σ+σ−= 0

Como vale a lei de Hooke para os 2 materiais, vem:

sssccsc EeE ε=σε=σ

Mas por aderência os encurtamentos dos 2 materiais são iguais, isto é, sc ε=ε .


NOTAS DE AULA


( ) ( )

( )

( )[ ]( )

iCCS

SSi

SSCCS

CS

SS

sCS

SSCCS

cSsCCSSsssccsS

AEF

idealáreaAAA

AAEF

iaequivalêncdeecoeficientE

E

AE

EAAEF

EAEAAEAEAAF

ε

α

αε

α

ε

εεεε

=

=−+=

−+=

==

+−=

+−=+−=

1

1

0

0

0

00

No exemplo:

( )

‰52,0200000

105

3000085,0

4,13

1054,1384,7

4,133,103686

101385

27,1036862000184,7300

84,73085,0

200

3

22

==×

=ε=ε

=×=σ

σα=σ=σ⇒σ

=σ

=×

==σ

≈×−+=

=×

=α

sc

s

csccs

ss

cs

c

s

s

ic

i

s

MPa

E

E

EE

MPaA

F

mmA

Ver na Tabela anterior, para a deformação 0,5/1000, a carga vale 1355 kN. Estes valores são praticamente coincidentes com os calculados elasticamente (0,52/1000 e 1385 kN).


NOTAS DE AULA


3.3. PEÇA USADA COMO TIRANTE

Antes da fissuração os dois materiais trabalham em conjunto ( SC ε=ε ).

Resistência do concreto na tração axial: fct = 3 MPa Para tensões baixas usa-se

MPaf

Ec

cci 30000

002,0

3022

0

=×==ε

Imediatamente antes da fissuração: Fcr = força de fissuração Área ideal, com:

22 1013402000)167,6(300

67,630

200

mmA

E

E

i

ci

sS

=×−+=

===α

mmlE

fl

confereOKkNF

kNAfAF

kNAfF

FFF

kNAfF

ci

ctcr

cr

sctSsSs

cctcrc

scrccr

ictcr

10,010001030

3

!,30440264

40102000367,6)(

26410)2000300(3

304101013403

3

3

32,

,

3

=××

==∆

=+=

=×××=⋅==

=×−×==

+=

=××==

−

−

−

ασ

Imediatamente após a fissuração só o aço resiste a F.

mml

l

l

E

MPaN

A

sejaoucolaboranãoconcretoo

AAaçonoTensão

kNFF

cr

cr

s

SS

S

SSScr

C

SSCCcr

cr

76,010001000

76,0

‰76,010200

152

1522000

10304

2000

0,,

304

3

3

=×=∆

∆==

×==

=×

=

⋅==

=

+=→

==

σε

σ

σσσ

σ

σσσ

Conclusão: na fissuração o alongamento do tirante salta de 0,10 mm para 0,76 mm.

Outro valor notável da força F: início do escoamento da armadura:


NOTAS DE AULA


mmlE

fll

kNF

fAFF

s

yk

syy

yksy

5,210001000

5,2

!1000max

105002000max 3

=×===∆

=∴

××=== −

ε

Gráfico )( lF ∆ na tração:

Rigidez do tirante:

- antes de fissurar:

mkNmmNl

AEAE sscic /1004,3/1004,31000

2000200000880030000 66 ×=×=×+×

=+

- após fissurar: a rigidez do tirante é a rigidez da seção metálica, pois Ac=0.

( )anteriordomkNl

AE ss %13/104,01000

2000200000 6×=×

=

Este é um aspecto muito negativo dos tirantes, a saber, a grande perda de rigidez axial na passagem do Estádio I (sem fissuras) para o Estádio II (com fissuras). Isto pode ocorrer em estacas de concreto armado tracionadas, e é um problema a ser evitado, a menos que as tensões de tração sejam baixas e eventualmente temporárias (ação do vento), cerca de 3 a 4,5% de fck. Outro aspecto relacionado com os tirantes, na mencionada passagem dos Estádios I para o II, refere-se à armadura mínima, examinada a seguir.


NOTAS DE AULA


)(

200

500

2000254

3

20

30

30

2

ensaiodomédiovalor

GPaE

MPaf

mmA

MPaf

MPaf

MPaf

GPaE

s

yk

s

tc

ck

c

ic

=

=

=φ=

=

=

=

=

Na compressão e na tração antes de fissurar os dois materiais têm a mesma deformação: SC ε=ε .

Antes de fissurar, e antes de haver escoamento tem-se o chamado Estádio I:

Na tração, imediatamente antes de fissurar:

ctsctccr fAfAFS

α+=

Imediatamente após a fissuração:

67,6==α

σ=

ic

sS

sscr

E

E

AF

( )[ ]

!1522000

10304

0304

30410367,6200038800

3

,

,

3

projetodecondiçãofMPa

AF

kNF

ykcrs

crsscr

cr

→<=×

=σ

σ+==

=×××+×=

+

−

Condição de projeto: deve-se impor uma armadura mínima tal

que não haja escoamento do aço na passagem do Estádio I para o Estádio II.


NOTAS DE AULA


( )

( )

%62,0%2,2

:existenteteefetivameneentrefazsecomparaçãoaou

mm2000Amm559300100

62,0AA

;Logo

%62,0167,63500

3

:exemplodonúmerososcom

1ff

f

A

Af

fissuraçãoaapósologaçonotensão11

f

:ApordivideeAsseisola

armaduradegeométricataxaA

Ae

E

Ecom

)f,(Af)AA(AF

min,ss

Smin,s

2exist,s

220min,smin,s

min,s

Sictyk

ct

0

min,smin,sykcr,s

SiS

ctcr,s

0

0

sS

ic

sSi

ctSscts0cr,sscr

=>>=

=<=×==

=−×−

=

−−==⇒<

→

−+=

−

===

+−==

ρρ

ρρ

ρ

ρ

αρσ

αρ

σ

ρα

ασ

4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA

4.1. NOS MATERIAIS Há dois passos para impor a segurança: 1º passo: consiste em obter o valor característico da resistência. Conhecidos cmf = valor médio da resistência à compressão de uma série de ensaios.

δ = coeficiente de variação das amostras ensaiadas. Obtém-se ckf = valor característico da resistência à compressão do concreto ao qual corresponde à

probabilidade de 5% de ser ultrapassado para o lado desfavorável (isto é, para ↓ ). Se a distribuição for normal ( )δ−= 645,11cmck ff

( ) MPafck 202,0645,1130 =×−×=

2º passo: consiste em introduzir os coeficientes de segurança parciais:

ticascaracterísasresistênciasdividemCPouCAaçoopara

concretoopara

S

C

=→

=→

15,1)(

4,1

γ

γ

Para o concreto tem-se ainda o fator 0,85.

Resistências de cálculo do ELU:

MPafexemplonof

faço

MPafexemplonof

fconcreto

ydS

ykyd

cdC

ckcd

43515,1

500:

14,124,1

2085,085,085,085,0:

===

=×==

γ

γ


NOTAS DE AULA


4.2. NAS CARGAS

Faz-se o caminho em sentido oposto: 1º passo: toma-se o valor característico superior da carga (ou o valor representativo): Fk 2º passo: majora-se Fk pelo coeficiente de segurança parcial das cargas fγ (=1,4 em geral): kfd FF γ=

Condições de segurança: o esforço solicitante de cálculo Fd,S (onde S = solicitante) deve ser menor ou igual ao esforço resistente de cálculo Fd,R (onde R = resistente): RdSd FF ,, ≤

Na compressão simples:

( )

)5,2rupturapara"distância("kN13854,1

6,1938FkN6,1938FF

kN6,19381020004358800014,12F

AfAf85,0F

kkfS,d

3R,d

sydccdR,d

==≤⇒≤=

=××+×=

+=

−

γ

Na tração axial (o concreto é desconsiderado):

( )

rupturapara"distância"61,115,14,115,1

fAF4,1F

kN6214,1

870FkN870FF

kN8701020004350F

Af0F

S

ykskR,d

kkfS,d

3R,d

sydR,d

==×→=

≤=

=≤⇒≤=

=××+=

+=

−

γ

γ

5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES

No CA (concreto armado) e no CP (concreto protendido) há três fases distintas de comportamento, conforme haja ou não dois fenômenos: fissuração do concreto e plastificação dos materiais. O Estádio I caracteriza-se pela ausência de fissuração e de plastificação dos materiais, enquanto o Estádio II é caracterizado pela fissuração, mas os materiais ainda podem ser considerados elásticos (Notar que o concreto só trabalha à compressão, na seção transversal, a tração é desconsiderada por facilidade de cálculo e por ter pouca influência). A plastificação aparece no Estádio III, com fissuras (vigas e lajes) ou sem fissuras (pilares). Ver nos diagramas tensão-deformação dos materiais, dados a seguir, o trecho plastificado.


NOTAS DE AULA


Concreto na flexão: Leis tensão-deformação, ver páginas 5 e 6;

Aço: ver página 14

Resistência à tração na flexão:

mmemhh

h

ff tcfltc ;

1005,1

1005,11

.7,0

7,0

inf,,

+=

EXEMPLO 01: FISSURAÇÃO EM VIGA DE CA, SEPARAÇÃO DOS TRECHOS NOS ESTÁDIOS I E II;

Características dos materiais:

( ) ( ) SSSSSi

ckkct

ci

sS

s

ci

ck

AAAAAAidealÁrea

MPaff

E

E

MPaE

MPaE

MPaf

1

47,1202,020,0

0,825

200

000.200

000.25044.25205600

20

00

32

32

inf,

−α+=α+−==

=×==

===α

=

≈=×=

=

CG ideal?


NOTAS DE AULA


( )

( ) iSSSSi

SSSi

OSSSSSii

yyAIIAi

yAy

yAyAAyA

00

00

000

1

1

0

−α+=

−α=

α+−=

Na fibra inferior, módulo de resistência da seção:

1i

ii y

IW =

ifltccr WfM ,=

( )( ) 2

0

2

5,1085600

16080018

8560080018400200

mmy

mmA

i

i

=××−

=

=×−+×=

( ) ( ) 463

1065,12005,101601608001812

400200mmI i ×=−×××−+

×=

( )36

6

10336,65,10200

1065,1200:inf mmWeriorfibraNa i ×=

−

×=

MPaf fltc 84,125,147,1

100

4005,1

100

4005,11

47,17,0

7,0

, =×=

×

×+×=

mKNmmNM cr .66,11.1066,1110366,684,1 66 =×=××=

Quando crcr M

lq=

8

2

, haverá fissuração. A carga vale:

mKNMl

q crcr /59,266,116

8822

=×==

=−=

==+−

58,542,06

42,0066,11455,7

2

12

x

xxx


NOTAS DE AULA


Trecho fissurado = !20,542,026 mmm ≈×−

A determinação das tensões no concreto e no aço em serviço para a peça no Estádio II se faz com as três ferramentas da mecânica: (1) Equilíbrio, (2) Leis constitutivas e (3) Condições de compatibilidade. Notando que as deformações têm distribuição linear na seção transversal (hipótese de Bernoulli), para sua determinação é preciso conhecer duas incógnitas que a definem, p.ex., a profundidade x da LN e a curvatura 1/r ou uma das deformações extremas, SC ou εε .

Por equilíbrio de forças horizontais, tem-se que a força no concreto, Cc

bxR σ

2= , é igual à força no aço,

SSs AR σ= . Esta é a primeira condição de equilíbrio. Como em serviço vale a lei de Hooke para ambos

os materiais, pode-se substituir as tensões pelo produto dos módulos de elasticidade e das deformações. Logo:

)1(2 SsSCcs EAE

bxε=ε

Por outro lado, as deformações ligam-se entre si pela curvatura 1/r da seção como segue:


NOTAS DE AULA


dXr

ddXd

r1

22=ϕ→=

ϕ

=

=

=

xr

dXx

dX

r

dXx

d

Concreto

c

c

c

ε

ε

εϕ

122

122

( )

( )

−

ε=

ε=−

ε=−ϕ

xdr

dXxddXr

dXxd

d

Aço

s

s

s

1

122

)2(

1

x

xdxdxr

curvatura

CS

SC

−ε=ε

−

ε=

ε==

022

;;:dim

)3(022

)(022

2:)1()2(

2

2

22

=−+

→=

==−

=−+

÷=−+

−=

SSSS

sS

cs

sS

SSSS

SSSS

CsSCcs

armaduradegeometricataxabd

A

E

E

d

xensionaisaossedefinem

d

d

bd

A

d

x

bd

A

d

x

ddb

Ax

b

Ax

x

xdEAE

bxem

ραξραξ

ρ

αξ

αα

αα

εε

−

ρα+ρα==ξ 1

21

SSSSd

x profundidade relativa da linha neutra na flexão simples de

seção retangular com armadura simples. Notar que a profundidade relativa x/d da LN não depende do momento fletor, no caso de flexão simples! Depende apenas do produto do coeficiente de equivalência pela taxa geométrica da armadura. Isto quer dizer que a altura da fissura é aproximadamente constante ao longo da viga.


NOTAS DE AULA


EXEMPLO 02

mmdx

d

x

bd

AEcs

GPaEGPaE

SS

sS

Scss

24,1313603646,0

3646,011046,0

211046,0

1046,0%11,14,9

%11,1360200

800

4,9200

;25,21;200

=×==

=

−+×==

=×=

=×

==

====

ξ

ξ

ρα

ρ

α

2ª equação de equilíbrio � momento! Determinado x, fica conhecido o braço de alavanca das forças internas:

3/xdz −=

Igualando os momentos solicitante e resistente e usando a expressão de z, obtém-se:

( )

( )

( ) ( )

−=

−−=

=

=÷

−=

−−=

−=ε

−ε=

−ε=

3231

1

32

1

3

1

32

.

3

2

2

xd

bxE

xdxdAE

r

MEI

flexãoàrigidezcurvaturaMomento

r

xd

bxE

r

xdxdAEM

rxdonde

xdE

xbxdEAM

csssII

csss

S

CScsSss

Há duas expressões de ( )IIEI , e ambas dão mesmo resultado, pois são iguais!

5.1.1. RIGIDEZ À FLEXÃO NO ESTÁDIO II

( ) ( )

−=

−−=323

2 xd

bxE

xdxdAEEI csssII

( )

−−α=

−=332

2 xdxdA

xd

bxI SSII

( ) ( ) ( )

( ) 213

3

10158,1

3

2,1313602,13136080010200

3

NmmEI

xdxdAEEI

II

ssII

×=

−×−×××=

−−=

No Estádio I tinha-se ( ) 213 .10002,3 mmNIEEI IciI ×==

Queda na rigidez %4,61100002,3

158,11 =×

−=


NOTAS DE AULA


Admite-se, como exemplo, a carga q =15 kN/m

No : mkNM máx .5,678

615 2

=×

=

mmx

dz 3,3163

2,131360

3=−=−=

Forças nos materiais: Nmm

mmN

z

MRR máx

sc3

6

1045,2133,316

.105,67×=

×===

Tensão na armadura: MPaNAR SSSSs 2671045,213800 3 =σ∴×=σ→σ= (faixa em serviço no

aproximadamente 200 a 300 MPa).

Tensão no concreto:

Nz

MbxR CCc

31045,2132

2,131200

2×=σ

×→=σ= MPaC 3,16=σ∴ (valor alto próximo de fck =

20MPa, haverá flecha por fluência do concreto comprimido!).

0δ = flecha inicial em t = t0

Cδ = acréscimo de flecha por fluência

5.1.2. RIGIDEZ EQUIVALENTE SEGUNDO A NBR 6118: EXPRESSÃO DE BRANSON

( ) ( )[ ]( )

( )

diretatraçãoàaresistênciMPaff

mmW

fWM

mmbh

I

M

M

IIEstádiodoponderaçãodefator

IEstádiodoponderaçãodefator

EIIE

IEIIEEI

ckmct

i

fltcicr

a

cr

IIIIcs

csIIcseq

21,23,0

10336,6

100667,112

400200

12

26,05,67

75,1

1

1

32

36inf,

,

4933

0

3

3

03

03

==

×=

=

×=×

==

===Ψ

Ψ−=

Ψ=

=

≤Ψ−+Ψ=

( ) ( ) 31313393

66

7,0

7,0

,

1018,110158,126,01100667,126,021250

5,171077,210336,6

77,2

100

4005,1

100

4005,11

21,2

NmmEI

KNmM

flexãonatraçãoàaresistênciMPaf

eq

cr

fltc

×=××−+×××=

=×××=

=

×

×+×=

−


NOTAS DE AULA


Flecha imediata no Estádio I:( )eq

II

EI

ql 4

0 384

5=δ

( )280

5,211018,1

10615

384

513

43

0

lmmII ≈=

×

×××=δ

Observação: Se IIcseq IEEIsetem ≅−≤ )(4,0ψ (os trechos no Estádio I têm pouca influência na

flecha no centro do vão e na rotação da peça nos apoios). Outro modo de calcular a flecha no Estádio II: através da curvatura na seção central. Notando que a curvatura é igual ao momento fletor dividido pela rigidez à flexão, ou seja:

( )eqEI

qlr

8//1

2

== resulta a flecha ( )

)1

(6,9

])(

8/[

48

5

384

5 22

24

0 r

ll

EI

ql

EI

ql

eqeq

II ===δ

No exemplo, sendo 33 10/335,1)10200/(267/ =×== sSs Eσε , mmxd 8,2282,131360)( =−=−

tem-se a curvatura igual a:

133 104,171

1

108,228

335,11 −

×=

×=

−= mm

xdrsε

A flecha imediata resulta igual a:

mmr

lII 9,21104,171

1

6,9

)106()

1(

6,9 3

232

0 =×

××

==δ (pequena diferença de aproximação numérica com o

valor anterior) A. CÁLCULO DA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO PARA VIGAS DE CONCRETO ARMADO: PARCELA DA FLUÊNCIA DO

CONCRETO= fαδ0

Ver o item 17.3.2.1.2 da NBR 6118: 2014 para o cálculo de ( )ftot αδδ += 10

Com

comprimidaarmaduradeáreaAbd

As

s

f

==ρ

ρ+

ξ∆=α

';'

'

'501

( ) ( )

gaplicasequandomesesemconcretodoidadet

diferidaflechadavalorodesejasequandomesesemtempooét

tempodofunçãoecoeficienttt

,,

;,,

;

0

0

=

=ξξ−ξ=ξ∆

* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto


NOTAS DE AULA


No exemplo:

( )( )

( ) mm545,25,215,11

5,101

54,02

54,0tmês5,0t

2tmeses70t

0'As

0tot

f

00

≈×=+=

≈+

−=

=→=

=→≥

=

δδ

α

ξ

ξ

Como se vê a flecha total é 2,5 vezes maior do que a flecha imediata. O aumento da flecha de 21,5mm para 54mm ocorre ao longo dos anos. Assim, ao concluir a obra, a flecha parece estar em ordem, mas o problema da fluência do concreto comprimido só passa a ser evidente após vários anos.

O controle das flechas se faz pela Tabela 13.3 - Limites para deslocamentos (NBR 6118:2014, item 13.3).

Tabela 13.3 - Limites para deslocamentos

Tipo de efeito Razão da limitação

Exemplo Deslocamento a

considerar Deslocamento

limite

Aceitabilidade sensorial

Visual

Deslocamentos visíveis em elementos estruturais

Total l /250

Outro Vibrações

sentidas no piso

Devido a cargas acidentais

l /350

Efeitos estruturais em

serviço

Superfícies que devem drenar água

Coberturas e varandas

Total l /2501)

Pavimentos que devem permanecer

planos

Ginásios e pistas de boliche

Total l /350+

contraflecha2)

Ocorrido após a construção do piso

l /600

Elementos que suportam equipamentos

sensíveis

Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento

De acordo com recomendação do fabricante do

equipamento

Efeitos em elementos

não estruturais

Paredes

Alvenaria, caixilhos e

revestimentos

Após a construção da parede

l /5003) e

10 mm e

θ = 0,0017 rad4)

Divisórias leves e

caixilhos telescópicos

Ocorrido após a instalação da divisória

l /2503) e

25 mm


NOTAS DE AULA


Movimento lateral de edifícios

Provocado pela ação do vento para

combinação freqüente

(ψ1=0,30)

H/1 700 e Hi/8505) entre pavimentos6)

Movimentos térmicos verticais

Provocado por diferença de temperatura

l /4007) e

15 mm

Tabela 13.3 (cont.)

Tipo de efeito Razão da limitação

Exemplo Deslocamento a

considerar Deslocamento

limite

Efeitos em elementos

não estruturais

Forros

Movimentos térmicos

horizontais

Provocado por diferença de temperatura

Hi/500

Revestimentos colados

Ocorrido após construção do forro

l /350

Revestimentos pendurados ou

com juntas

Deslocamento ocorrido após construção do

forro l /175

Pontes rolantes

Desalinhamento de trilhos

Deslocamento provocado pelas ações

decorrentes da frenação

H/400

Efeitos em elementos estruturais

Afastamento em relação

às hipóteses de cálculo adotadas

Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a

estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-os ao modelo estrutural adotado.

1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l /350.

3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.

4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 5) H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos. 6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 7) O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.

NOTAS

1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em ambas as

extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.

2 Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor l é o menor vão,

exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou


NOTAS DE AULA


divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor.

3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 11.

4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas.

Estádio III: (os diagramas mostrados neste texto não consideram concretos de resistência acima de 50MPa)

No Estádio III, em lajes e vigas, a armadura deve plastificar-se, para que se possa aproveitar a resistência do material. O concreto também pode ser considerado plastificado. Com isto, a lei curva do concreto pode ser substituída por um bloco retangular de tensões e a tensão fica independente da deformação (encurtamento) sofrida pelo concreto. Ver a Figura seguinte.

A altura do bloco de tensões obtém-se da igualdade de forças resistentes, supondo a armadura em escoamento:

ysc fAbyf = ,

divide-se ambos os lados por bdfc e define-se a taxa mecânica da armadura ω :

)/()/( cyscc bdffAbdfbyf = ou, trabalhando com as resistências características de ambos os materiais:

278,020

500

360200

8008,0=×

×====

ck

ykS

f

f

bd

A

d

x

d

yω

My = momento do início do escoamento e qy = carga que produz My na seção mais solicitada ( ):

( ) ( )

mKNq

qKNmdfAM

y

yykSy

/56,276

81248

6124278,05,013605008005,01

2

2

=×

=

==×−×××=ω−=

Segunda equação de equilíbrio:

( )

( ) ( )ωωωµ

ω

5,015,01

)(5,01

int;

2

2

−=−===

÷−=

=×=

c

ykS

c

cykS

f

f

bd

A

fbd

Mrelativomomento

fbddfAM

ernasforçasdasalavancadebraçozzaçonoforçaM

Considere-se agora um ensaio em laboratório. Se no ensaio rápido as resistências medidas experimentalmente forem iguais a fc = 28 MPa e fy = 500 MPa, tem-se, com AS = 800 mm²:


NOTAS DE AULA


Taxa mecânica: 198,028

500

360200

800=×

×==

c

yS

f

f

bd

Aω

Momento relativo: ( ) ( ) 179,0278,05,01278,05,01 =×−×=ω−ω=µ Mu = momento último:

KNmMMfbd

Mu

c

7,1291028360200179,0 622

=××××==→=µ −

qu = carga última = ruína ou ruptura da viga: mkNM

q uu /8,28

6

82

==

5.1.3. MOMENTO RESISTENTE DE CÁLCULO (NO PROJETO)

O momento resistente de cálculo (design) resulta da resistência de cálculo dos materiais:

MPaf

f

MPaf

f

S

ykyd

C

ckcd

8,43415,1

500

14,124,1

2085,085,085,0

==γ

=

=×=γ

=

Taxa mecânica de cálculo:

398,014,12

435

360200

800

85,0=×

×==ω

cd

ydSd f

f

bd

A

(notar que dω é aproximadamente o dobro de 198,0=ω obtido no ensaio).

Momento relativo resistente de cálculo:

( ) ( )

KNmfbdM cdRdRd

ddRd

3,1001014,1236020032,085,0

319,0398,05,01398,05,01622

,,

,

=××××=µ=

=×−×=ω−ω=µ

Condição de segurança:

( ) KNmMl

qM RdKfSd 3,1008 ,

2

, =≤γ=

Coeficiente de segurança parcial da carga: 4,1=fγ

Carga de cálculo:

mKNl

Mq Rd

d /29,226

3,1008822

, =×

==

Carga característica (valor superior):

mkNl

Mq

f

Rdk /9,15

4,16

3,1008822

, =×

×=

γ≤ ou mkN

qqqq

f

dkkfd /9,15

4,1

29,22==

γ=→γ=

Esta é a máxima carga que a viga deve suportar em serviço com segurança adequada com relação ao Estado Limite Último- Flexão (atenção: Há outros estados limites a serem atendidos! ).

5.1.4. RESUMO (a) Carga de ruptura no ensaio: Carga última: mkNqu /8,28=


NOTAS DE AULA


(b) Carga de fissuração: mKNqcr /89,3=

Para kNmfWM fltcicr 5,171077,210336,6 66, =×××== −

MPaf

MPaff

mmW

fltc

ckmct

i

77,2

21,23,0

10336,6

,

32

36inf,

=

==

×=

(c) Carga de serviço:

=σ

=σ

=

=

MPa

MPa

kNmM

mKNq

C

S

máx

3,16

267

50,67

/15

(d) Carga de cálculo (no projeto):

mkNq

mkNq

k

d

/9,15

/29,22

=

= Resistências de cálculo:

=

=

MPaf

MPaf

yd

cd

8,434

14,1285,0

uuu xdou

xr −=

1000/10100/5,31: corresponde a uma deformação última seja no concreto (3,5‰), seja

no aço (10‰);

y

yd

yd xdr −=

ε1: corresponde à deformação do início do escoamento do aço,

s

ydyd E

f=ε ;

y

yk

yk xdr −=

ε1: corresponde à deformação do início do escoamento do aço,

s

ykyk E

f=ε .


NOTAS DE AULA


5.1.5. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO PARA O PROJETO A resistência à tração na flexão a usar no projeto depende da finalidade do cálculo.

=

=

=

=→

+=

32

sup,

32

32

inf,

7,0

7,0

,,

39,0

30,0

21,0

1005,1

1005,11

ckkct

ckmct

ckkct

tctcfltc

ff

ff

ff

fh

h

ff

- fctm (valor médio) é usado para obter Mcr = W.fct,fl e também no cálculo da rigidez equivalente (EI)eq, e portanto, no cálculo dos deslocamentos (flechas, rotação de apoios). - fctk,inf (valor característico inferior) é usado para checar se há ou não fissuração, com no máximo 5% de probabilidade. Notar que, se a peça fissurar para uma ocorrência rara da carga, ela permanecerá fissurada ao longo de sua vida útil. - fctk,sup (valor característico superior) é usado para obter a armadura mínima na flexão.

5.1.6. ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO (ITEM 17.3.5.2.1 DA NBR 6118)

Esta armadura mínima, cf. a NBR 6118, deve ser dimensionada para resistir ao momento mínimo de

cálculo: sup,0min, kctd fWM = , não se colocando menos do que bhAs 100

15,0min, = (seção retangular).

Considera-se Md,min atendido para as taxas dadas na tabela seguinte. Para Lajes ver a Tabela 19.1.

Sugestão de alteração do item 17.3.5.2.1 Armadura de tração (Não está em acordo com a NBR 6118: 2014)

Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Forma da

Seção Valores de , com Ac=bh seção ret. e Ac=bwh seção T com flange comprimido

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Retangular

e T com

comprimido

0,15 0,15 0,16 0,18 0,20 0,21 0,23 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,27 0,28 0,28

Para as lajes deve-se seguir a Tabela 19.1 da NBR 6118: 2014:

19.3.3 NBR 6118: 2014, item 19.3.3 Armaduras longitudinais máximas e mínimas

Princípios básicos

Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados em 17.3.5.1. Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos definidos para elementos estruturais lineares.


NOTAS DE AULA


Armaduras mínimas

Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva definidos na Tabela 19.1. Alternativamente, estes valores mínimos podem ser calculados com base no momento mínimo, conforme 17.3.5.2.1. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

Nos apoios de lajes que não apresentem continuidade com planos de lajes adjacentes e que tenham ligação com os elementos de apoio, deve-se dispor de armadura negativa de borda conforme Tabela 19.1. Essa armadura deve se estender até pelo menos 0,15 do vão menor da laje a partir da face do apoio.

No caso de lajes lisas ou lajes-cogumelo com armadura ativa não aderente, as armaduras passivas positivas devem respeitar os valores mínimos da tabela 19.1 e a armadura negativa passiva sobre os apoios deve ter como valor mínimo:

As ≥ 0,00075 h l

onde:

h é a altura da laje;

l é o vão médio da laje medido na direção da armadura a ser colocada.

Essa armadura deve cobrir a região transversal a ela, compreendida pela dimensão dos apoios acrescida de 1,5 h para cada lado.

Tabela 19.1 - Valores mínimos para armaduras passivas aderentes

Armadura

Elementos estruturais

sem armaduras

ativas

Elementos estruturais com armadura ativa

aderente

Elementos estruturais com armadura ativa

não aderente

Armaduras negativas

ρs ≥ ρmin ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,67ρmin

ρs ≥ ρmin – 0,5ρp

≥ 0,67ρmin

(ver 19.3.3.2)

Armaduras negativas de bordas sem continuidade

ρs ≥ 0,67ρmin

Armaduras positivas de lajes

armadas nas duas direções

ρs ≥ 0,67ρmin ρs ≥ 0,67ρmin – ρp

≥ 0,5ρmin

ρs ≥ ρmin – 0,5ρp

≥ 0,5 ρmin

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma

direção

ρs ≥ ρmin ρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5ρmin ρs ≥ ρmin – 0,5ρp

≥ 0,5ρmin

Armadura positiva As/s ≥ 20% da armadura principal -


NOTAS DE AULA


(secundária) de lajes armadas em

uma direção

As/s ≥ 0,9 cm2/m

ρs ≥ 0,5 ρmin

Onde:

ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw h.

NOTA Os valores de ρmin são definidos em 17.3.5.2.1.

NBR 6118: 2014, item 17.3.5.2.4 Armaduras de tração e de compressão

A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que 4% Ac, calculada na região fora da zona de emendas, devendo ser garantidas as condições de dutilidade requeridas em 14.6.4.3.

5.1.7. EXERCÍCIO Obter para a viga bi-apoiada da figura de seção retangular com armadura simples:

(a) O momento de fissuração correspondente aos quantís de 5% (valor característico inferior) e de 50% (valor médio).

(b) O valor da carga última Qu para romper a viga num ensaio de laboratório. As resistências medidas experimentalmente são: fc = 38 MPa e fy = 540 MPa.

(c) Obter o valor do momento máximo resistente de cálculo e as correspondentes cargas Qd e Qk para fck = 30 MPa e aço CA-50.

(d) Quais são as tensões na seção central para a carga Qk, no concreto e no aço? (e) Qual é a flecha instantânea no centro da viga quando atuar Qk? (f) Qual a armadura mínima a usar nessa viga?

Dados:

MPaE

mmáreacom

oubd

A

mmA

mmdhb

s

S

sS

s

200000

200;16

%235,101235,0

12002006166

60/600/180'//

2

2

=

==

==

=×==

=

φ

ρ

φ

50

30

540

38

−

=

=

=

CAaço

MPaf

MPaf

MPaf

ck

y

c

Resolução:

Área da seção 20 108000180600 mmA =×=→

Área de aço ( ) 212006060018001235,0 mmbdA ss =−××=ρ=→

Área de concreto 20 1068001200108000 mmAAA sc =−=−=→

Estádio I MPafE ckci 5,306723056005600 =×==→

Estádio II MPaEE cics 6,260715,3067285,085,0 =×=≅→

h=600mm

b=180mm


NOTAS DE AULA


Coeficiente de equivalência 52,646,30672

200000===α→

ci

ssi E

E( siα para tensões baixas, Estádio I,

M ≤ Mcr).

Área ideal ( ) ( )

( )

=×−+×=

−+=+−=→

MPaA

AAAAAA

i

SsiSsiSi

6,1146241200152,610108

13

00 αα

Resistência à tração axial

==

==

==

=→

MPaff

MPaff

MPaff

f

ckkct

ckmct

ckkct

tc

8,339,0

90,230,0

221,0

32

sup,

32

32

inf,

Momento máximo no centro do vão:

Cálculo do módulo de resistência elástico da seção (Wi):

( )

( )

mmyyy

mmy

mmdhy

A

yAy

iSis

i

S

i

SSsii

13,22687,13240

87,136,114624

2401200152,6

240606005,0'5,0

1

00

0

0

00

=−=−=

=××−

=

=−×=−=

−=

α

( ) ( )

369

1

01

493

00

1058,1213,286

106,3

13,28687,136005,05,0

106,313,2262401200152,612

6001801

mmy

IW

mmyhy

mmyyAII

i

ii

ii

isSSsii

×=×

==

=−×=−=

×=×××−+×

=−α+=

(a.1) Cálculo da resistência à tração na flexão e do momento de fissuração correspondentes ao

quantil de 5%:

kNmMNmmWfM

MPah

h

ff

crifltccr

tcfltc

9,29109,291058,1238,2

38,219,12

100

6005,1

100

6005,11

2

1005,1

1005,11

%566,

7,0

7,0

7,0

7,0

inf,,

=→×=××==

=×=

×

×+×=

+=

(a.2) Cálculo do momento de fissuração correspondente ao quantil de 50%


NOTAS DE AULA


kNmMNmmWfM

MPah

h

ff

crifltccr

mtcfltc

4,4310368,431058,1245,3

45,319,190,2

100

6005,1

100

6005,11

90,2

1005,1

1005,11

%5066,

7,0

7,0

7,0

7,0

,,

=→×=××==

=×=

×

×+×=

+=

Notar que: %50crM é aprox. 1,5 vezes maior que %5

crM , pois fct,m é aprox. 50% maior que fct,inf.

(b) Carga de ruptura no ensaio:

Taxa mecânica 175,038

540

540180

1200=×

×==ω→

c

yS

f

f

bd

A

Momento relativo ( ) ( ) 160,0175,05,01175,05,01 =×−×=ω−ω=µ→

KNmfbdMfbd

Mcu

c

u 2,319103854018016,0 6222

≈××××==→= µµ

Carga de ruptura: KNQl

MQ

lQM u

uu

uu 6,159

8

42,3194

4=∴

×==→=→

(c) Cargas de cálculo (projeto):

MPaf

f

MPaf

MPaf

f

S

ykyd

cd

C

ckcd

78,43415,1

500

214,1843,2185,085,0

43,214,1

30

===

=×=

===

γ

γ

Taxa mecânica de cálculo 295,0214,18

78,434

540180

1200

85,0=×

×==ω→

cd

ydSd f

f

bd

A

Momento relativo resistente de cálculo ( ) ( ) 251,0295,05,01295,05,01, =×−×=−= ddRd ωωµ

Momento resistente de cálculo:

( ) kNmfbdM cdRdRd 2,24010214,18540180251,085,0 622,, ≈××××=µ=

Condições de segurança ( fγ = coeficiente de segurança da carga):

( ) kNmMl

QM RdkfSd 2,2404 ,, =≤γ=

Carga característica kNQl

MQ k

f

Rdk 8,85

4,18

24044 , =→×

×=

γ≤→

Carga de cálculo (projeto) kNQl

MQ d

Rdd 1,120

8

24044 , =→×

==→

Conclusão: Qd é 1,4 vezes maior que Qk, pois a viga é isostática, se não fosse esta conta não valeria em caso de análise não-linear, p.ex., em viga hiperestática! Só valeria, para viga hiperestática se o cálculo for admitido elástico linear, sem redistribuição de solicitações. Em caso de análise diferente da elástica


NOTAS DE AULA


linear sem redistribuição de solicitações, o coeficiente de segurança das cargas deve ser aplicado nas cargas e não nas solicitações delas decorrentes.

(d) Tensões e serviço Coeficiente de equivalência

67,76,071.26

10200 3

=×

==αcs

sS E

E

1ª equação de equilíbrio (soma das forças resistentes=0 na flexão simples)

0222 =−+ SSSS ραξραξ

( )

)(87,4763

4,189540

3

)(40,1895403507,0

3507,01702,401235,067,7

101235,067,7

2101235,067,71

21

serviçoemalavancadebraçommx

dz

serviçoemLNmmdxd

x

d

x

SSSS

=−=−=

=×==

=−××==

−

×+××=

−+==

ξ

ξ

ραραξ

Momento máximo para a carga Qk aplicada no meio do vão:

kNmlQ

M

kNQ

kk

k

6,1714

88,85

4

8,85

=×

==

=

Forças nos materiais: Nmm

Nmm

z

M

z

MRR kmáx

sc3

6

108,35987,476

1058,171×=

×====

Tensão na armadura: MPaA

R

s

sS 3008,299

1200

108,359 3

≈=×

==σ

Tensão no concreto: MPabx

RcC 11,21

40,189180

108,35922 3

=×

××==σ

(e) Flecha imediata: ( )eq

kII

EI

lQ

48

3

0 =δ

253,058,171

368,43===Ψ

k

cr

M

M

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 213

2

.1001,487,47640,1895401200200000

323

mmNEI

xd

bxE

xdxdAEEI

II

csSsII

×=×−××=

−=

−−=

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 2133133

3

03

03

1008,4253,011001,412

600180253,06,26071

1

NmmEI

IEIIEEI

eq

csIIcseq

×=−××+×

××=

≤Ψ−+Ψ=

( )357

40,221008,448

1081079,8513

333

0

lmmII ≈=

××

×××=δ


NOTAS DE AULA


Atenção: quando 40,0≤Ψ os trechos no Estádio I quase não influem, ou seja, (EI)eq é

aproximadamente igual a EcsIII. No caso, 016,0253,0 33 ==Ψ , valor muito baixo multiplicando 0I , e

vice-versa, 984,0016,011 3 =−=Ψ− valor muito alto multiplicando III .

(f) Momento mínimo de cálculo: sup,0min, kctd fWM = (sem o coeficiente 0,8 da NBR 6118: 2014!)

MPaf

mmbh

h

bh

y

IW

kct 86,3

108,106

600180

65,0

12

sup,

3622

3

01

00

=

×=×

==

==

KNmM d 41108,3108,10 66min, =×××= −

166200

1200200

120054018001235,0

216

2

φ==∴=

=××=ρ=→=ρ

φ necessáriaarmadurammA

mmbdAbd

ASS

SS

para fck = 30 MPa, tabela página 45 , %16,0min, =sρ

223,6

210

28

2min,

min,min,

1735,1913,611025,31;80

8450

17350

173600180100

173,0

100

16,0

100

16,0

mmmínimaarmadurammAmmA

ou

mínimaarmadurammA

mmbhAbh

As

ss

>=+=∴==

≅=∴=

=××==→==

φφ

φ

ρ

φφ

φ

A viga tem armadura superior à mínima mesmo fora da região central, pois é obrigatório levar aos

apoios pelo menos !4001623

166

3 min,2,

svãos Amm

A>=φ=

φ=


NOTAS DE AULA


6. ESTADOS LIMITES

6.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS (ELUs)

A segurança das estruturas de concreto deve ser verificada para os seguintes estados limites últimos:

(a) ELU de perda de equilíbrio para a estrutura admitida como corpo rígido:

Barragem ou muro de arrimo

Tom

bam

ento

Momento de tombamento: aFM ⋅= a Majorar por um coeficiente de segurança Momento estabilizante: bGM ⋅= a Minorar por um coeficiente de segurança

Des

liza

men

to

- Força desestabilizadora: F a Majorar por um coeficiente de segurança - Forca estabilizante:

solodocoesãoG +⋅µ =µ coeficiente de atrito

a Minorar por um coeficiente de segurança

(b) ELU por esgotamento da capacidade resistente da estrutura por solicitações normais (N,M) ou por solicitações tangenciais (V,T):

qu - carga última, a máxima que a viga resiste. (1) concreto na zona comprimida pode esmagar. (2) o aço pode alongar-se em excesso ou romper. (3) concreto da diagonal (isto é, da alma da viga) pode esmagar se wb , d

e ckf forem insuficientes.

(4) estribo pode romper se a área e a resistência yf forem insuficientes.

(5) se a armadura longitudinal tracionada não for adequadamente ancorada pode haver perda de aderência.

(5a) se o espaçamento dos estribos for muito grande, mesmo que a área e a resistência estejam ok, a viga pode romper.

s deve ser limitado, por exemplo:

≤mm

ds

200

3,0, se a compressão diagonal for muito alta ou

≤mm

ds

300

6,0, em caso contrario.

Ver item 18.3.3.2 da NBR6118:2003 (p.134). (c) ELU por esgotamento da capacidade resistente, no todo ou em parte, considerando os efeitos de 2ª ordem (ocorre em pilares esbeltos de pórticos):

(5a)


NOTAS DE AULA


Momento fletor na base do pilar:

2FeHlM e +=

onde, =Hl momento de 1ª ordem e =2Fe momento de 2ª ordem.

rle

14,0 2

2 =

rlFHlM e

14,0 2+=

Ponto E: equilíbrio estável

Ponto I: equilíbro instável.

. (d) ELU provocado por ações dinâmicas (por cargas móveis ou sismos, fadiga): - vibração da estrutura → aumento dos esforços solicitantes → ruptura material. - fadiga dos materiais, especialmente do aço. (e) ELU por colapso progressivo → problema de punção de laje


NOTAS DE AULA


6.2. ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)

(a) Flecha excessiva:

(ver tabela 13.2 da NBR 6118)

(b) Abertura de fissura excessiva:

(ver tabela 13.3 da NBR 6118)

(c) vibração excessiva em uso da estrutura.


NOTAS DE AULA


6.3. TABELAS




NOTAS DE AULA




NOTAS DE AULA


6.4. ELU: FLEXÃO SIMPLES E/OU COMPOSTA Hipóteses de dimensionamento e verificação:

(1) Na compressão o concreto e o aço vizinho têm mesmo encurtamento ε , pois há aderência sem deslizamento; (2) O concreto tracionado é desprezado no cálculo do esforço resistente (a favor da segurança);

(3) As deformações ε distribuem-se linearmente na seção

idadecompatibildecond

Bernoullidehipótese

.;

(4) Equilíbrio: os esforços solicitantes de cálculo ( dS , p. ex., SdM ) são iguais aos esforços resistentes de

cálculo ( dR , p. ex., RdM );

Condição de segurança: simbolicamente ( )

≤→

S

yk

C

ckdKfd

f,

f85,0RFS

γγγ . Esta condição quer dizer

simplesmente que o esforço de cálculo decorrente das ações características majoradas pelo coeficiente de segurança fγ deve ser menor ou igual ao esforço resistente de cálculo resultante das resistências

características divididas pelos coeficientes de segurança sc e γγ , o concreto afetado ainda pelo fator 0,85.

As leis constitutivas do concreto (para fck<=50MPa) e do aço são conhecidas, inclusive as deformações limites:

Compressão e tração

( )( )

( )

=

=

=

puracompressãona

flexãona

oalongament

C

C

S

‰2

‰5,3

‰10

lim,

lim,

lim,

ε

ε

ε

O diagrama parábola-retângulo pode ser substituído por um bloco retangular de tensões cuja altura y é

igual a 80% da profundidade x da linha neutra, porém com a restrição hy ≤ .

0,85fcd


NOTAS DE AULA


6.5. ELU: FLEXÃO SIMPLES (VIGAS E LAJES) - seção retangular, armadura simples:

42

llqzR d

s =

43

12

09,3

1

1,14,3

1

4,3

1

85,0442

=≅=≈=××

≈=h

lhl

d

l

d

l

z

llq

R

d

s ;

quer dizer, as forças do binário resistente na seção central são da ordem de 4 vezes maiores que as forças do binário solicitante.

=h

lEsbeltez

≈

≈→

icahiperestátvigaah

l

isostáticavigaah

l

CA

,1812

,128

Equilíbrio (2 equações):

( )

( )

( )

( ) ( )cálculoderelativomomentobdf

M

bdfMy

dbyf

tesolicieresistentemomentososentreequlíbrioMzRzR

cálculodemecânicataxaf

f

bd

A

d

y

bdfdfAbyf

shorizontaiforçasdeequilíbrioRR

d

dc

ddd

dcddc

dSC

d

dc

yS

dcySdc

SC

µωω

ω

==−

÷=

−

==

==

÷=

=

2

2

5,01

285,0

tan:

85,0

85,0

:


NOTAS DE AULA


6.6. ELU: SOLICITAÇÕES NORMAIS (FLEXÃO SIMPLES)

A. HIPÓTESES: (1) Deformações iguais entre o aço e o concreto vizinho, CS ε=ε , se forem de compressão ou

tração, mas antes da fissuração – Estádio I. (2) Resistência à tração do concreto igual a zero. (3) Hipótese de Bernoulli: deformação ε linear ao longo da altura da seção (compatibilidade) (4) As leis ( )εσ dos materiais são dadas: Aço:

(válido tanto na compressão quanto na tração)

Concreto (fck<=50MPa ATENÇÃO!):

ou

lei não-linear (parábola-retângulo) lei rígido-plástica

B. DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO (VÁLIDA PARA FCK<=50MPA)

* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto – p.108


NOTAS DE AULA


Vig

as, l

ajes

e

tira

ntes

‰10

lim,

=

ε=ε SS

Domínio 1 → tirante, só o aço trabalha. Domínio 2 → o concreto em compressão trabalha e o aço tem

‰10=ε S .

Laj

es e

vig

as

Domínio 3 → idem Dom.2, mas ‰10≤ε≤ε Syd e o concreto tem

‰5,3=εC .

pila

res

Domínio 4 → ‰5,3=εC ; o aço 2 tracionado não escoa e o aço 1 pode escoar.

Domínio 5 → ‰5,3‰2 ≤ε≤ C ; o aço 2 não escoa e o aço 1 pode escoar.

Lembrete:

285,0 bdf

M

dc

dd =µ

( )ddd

dc

dySd d

y

f

f

bd

A

ω−ω=µ

==ω

5,01

85,0

6.7. EXEMPLO 01

fck =20 MPa → MPafcd 14,124,1

2085,085,0 =×=

Aço CA-50; mmd 50'= ; NmmkNmM d61024,8524,85 ×==

Fixar 3

1==ξ

d

x e obter h.

Solução:

Sendo 267,03

8,08,08,0

3

1=∴==ξ=⇒==ξ

d

y

d

x

d

y

d

x

Mas 267,0=ω∴ω= ddd

y

( ) ( )

mmddh

mmd

ddbdf

Md

dcd

ddd

50050450'

450231,0

43,46798

43,46798

15014,12

1024,85

85,0231,0

231,0267,05,01267,05,01

22

6

2

=+=+=

==

=××

×===µ

=×−×=ω−ω=µ

Área As:


NOTAS DE AULA


22

24

4

1254

5,125,121

5,124500103,5

267,0

103,514,12

435

450150267,0

43515,1

500

mm

mmA

AA

f

s

ss

d

dy

≅→

∴≅×

=

××=××

==

==

−

−

πφ

φ

ω

Observação: para vigas e lajes ( )

( )

≤≤≤

≤≤2

1

905035,0

5045,0

MPafMPaparadx

MPafparadx

ck

ck

( ) ( )

( ) !max35,0max

295,036,05,0136,0max36,045,08,0max45,0max

,2

,1

ckmáxd

máxdd

fdedependemed

y

d

xd

y

d

x

µ

µω

→=

=×−×=→==×=→=

Estas equações mostram que tanto faz limitar x/d ou y/d ou dµ . O importante é limitar uma destas

grandezas.

6.8. EXEMPLO 02 Viga hiperestática

b / h / d’ = 300 / 750 / 45 mm fck = 25 MPa CA–50 Md = 672,67 kN.m Qual a armadura AS?

Solução:

MPaf dc 18,154,1

2585,085,0 =×=

mmdhd 70545750' =−=−=

(a) cálculo de ( )

297,070530018,15

1067,672

85,0 2

6

2=

××

×==µ

bdf

M

dc

dd

(b) invertendo ( )ddd ω−ω=µ 5,01 resulta em dd µ−−=ω 211

d

yd ==×−−=ω 363,0297,0211

454,0363,025,1

25,18,0

=×=

=∴=

d

x

yxxymas

Para este valor de dx o aço CA-50 escoa pois:


NOTAS DE AULA


yd

ydyd

d

x

dxdx

d

x

dxdx

ε+=→

ε+=

−

ε=

==→+

=−

=

‰5,3

‰5,3‰5,3‰5,3

267,05,13

5,3105,3105,3

4,3

4,34,3

3,2

3,23,2

=+

=→==ε→−

=+

=→==ε→−

628,0070,25,3

5,3‰070,2

21000015,1

50050

585,0484,25,3

5,3‰484,2

21000015,1

60060

4,3

4,3

d

xCA

d

xCA

yd

yd

Como no pior caso

−→=

−→=<=

50628,0

60585,045,0

4,3

4,3

CAd

x

CAd

x

d

x

Conclusão importante: os aços (CA-50 e CA-60) usualmente empregados no concreto armado, no ELU

escoam em tração se a condição 45,0≤d

x for obedecida!

(c) cálculo de AS: 102208268018,15

15,1

500

705300363,0 2 φφ +=≅→

××

= mmAA

SS

(d) distribuição da armadura:

( )( )

=×=

=φ

≥

=×=

φ

≥

=φ

=

mmd

mm

mm

e

mmd

mme

estribomm

cobrimentommc

agregadomáx

v

agregadomáx

h

t

5,12255,05,0

20

20

30252,12,1

20

3,6

25

,

,


NOTAS DE AULA


( ) ( )( )

( ) ( )

okmme

e

serpodenãonse

nnnmmb

camadaporbarrasdenúmeronondeenncb

h

h

w

htw

304,344

6,162300

152053,6252300

)!6(5

35,53030203,6252300

:12

>≅−

=

×−+×++×=

=

=⇒−×+×++×==

=−+++= φφ

( ) ( ) ( )

( )mmmmdnovo

Adnovo

S

456056,59'

609.159

80231535

3,818023,8631533,413155'

>≅=

=×+×+

××+××+××=

Como existirá armadura dupla não considerada no dimensionamento e também armadura de pele, aceita-se a solução ou repete-se o cálculo com o novo mmd 60'= .

7. SEÇÃO T

7.1. EXEMPLO 01: Viga sala 805 do CTU:


NOTAS DE AULA


carga da laje:

Peso próprio (pp) 3/2510,0 mkN×= 2/50,2 mkN=

Revestimento inferior + superior 3/21025,02 mkN××= 2/05,1 mkN=

Piso cerâmico 3/1801,0 mkN×= 2/18,0 mkN=

Sobrecarga da laje 2/00,2 mkN=

TOTAL 2/73,5 mkN=

Reação na viga 2/73,55 mkNm×= mkN/7,28≅

- carga na viga:

Peso próprio da viga abaixo da laje (pp) 3/2570,020,0 mkN××= mkN/50,3=

Laje mkN/7,28=

Parede sobre a viga 3/153,215,0 mkN××= mkN/20,5=

q mkN/4,37=

Admite-se o seguinte diagrama obtido de um processamento do pórtico:

kNmql

5,4678

104,37

8

22

=×=

KNmMM kfd 4363124,1 =×=γ=

fck = 20 MPa CA-50

Estimativa inicial da armadura e de d’:

mmdmmd

mmzf

MA

kNz

M

z

dy

dS

d

80'758

3,12123,8033,393'

1681542435

10671

67165,0

436

65,005,010,080,0

23

≅∴=×+×+×

=

≈≈×

==

==

=−−≈

φ

Para saber se o dimensionamento é feito como seção T ( )flhy > ou retangular ( )flhy ≤ calcula-se antes

o momento resistente para flhy = . Ou seja, é preciso saber de antemão se a altura y do bloco de tensões

estará contida na laje ou se avança na alma da viga. Com y=hfl=100mm, então a força no concreto e o braço de alavanca ficam conhecidos. Isto permite calcular o momento resistente:

ev =25>20

bw=200

bfl=1400 hfl=100

200 mm

39,3

80,3,3

121,3

eh =44,7>30mm

c=25, estribo 6,3


NOTAS DE AULA


kNmkNmzRM chflyR 436113910)8050800(14001004,1

2085,0 6

, >>=×−−××××== −=

A seção é dimensionada como retangular com b=bfl=1400mm.

049,014,127201400

10436

)85,0( 2

6

2=

××

×=

×=

cdfl

dd fdb

Mµ

dyd /051,0049,0211 ==×−−=ω

Logo, a altura do bloco de tensões é y=0,051x720=36,6mm<hfl=100mm. A armadura tem área igual a:

051,0)85,0(

=×

=cdfl

ydsd fdb

fAω ou 21435435/14,127201400051,0 mmAs =×××= ou

21600168 mm=Φ . Ver a figura da página anterior, onde se tem a disposição da armadura longitudinal, adotando-se cobrimento c=25mm, diâmetro do estribo=6,3mm, ev=25mm, eh=44,7mm>1,2xdiâmetro máximo do agregado=30mm. Note-se que não é possível 164Φ por camada, pois seria eh=24,5mm<30mm.

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