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1 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL FÍSICA EXPERIMENTAL I LABORATÓRIO DE FÍSICA I Mario Takeya José A. M. Moreira 2008_1

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

FÍSICA EXPERIMENTAL I

LABORATÓRIO DE FÍSICA I

Mario Takeya José A. M. Moreira

2008_1

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INTRODUÇÃO

1. Objetivos do Laboratório de Física Básica I

O Laboratório de Física Básica I tem como objetivos específicos ensinar procedimentos e técnicas experimentais de medidas e de análise de dados assim como, desenvolver a capacidade do aluno em analisar criticamente um experimento avaliando a qualidade e a confiabilidade dos dados. Assim, mais do que uma ajuda visual para a compreensão das leis da Física, o Laboratório se constitui uma fonte de conhecimentos com seus objetivos específicos que não são encontrados nas aulas de teoria. O objetivo mais geral do laboratório é contribuir para melhor entender as leis da Física.

2. Organização do Laboratório As atividades experimentais dar-se-ão numa única sala denominada Laboratório de Física Experimental I. A primeira aula será sempre de Introdução seguida de sete ou oito experiências dependendo do semestre. As turmas serão distribuídas de forma a não ultrapassar vinte alunos. Cada turma ocupará uma das bancadas e pode ter no máximo quatro alunos. A presença do aluno é importante numa atividade experimental e os alunos não devem chegar atrasados, havendo uma tolerância de no máximo 15 minutos. Devido às limitações físicas, não haverá aulas durante a semana em que houver um feriado a fim de evitar defasagem entre as turmas. Entretanto, durante tais períodos, a critério do professor, fica a possibilidade de aulas complementares ou reposições para as turmas não afetadas pelo feriado. 3. Caderno de Laboratório. O Caderno de Laboratório será utilizado pelo aluno para fazer anotações de medidas, possíveis deduções, esboço de gráficos, resultado de cálculos, análises de resultados, responder às perguntas da apostila, síntese da experiência, conclusões, etc. Não se trata de um caderno de relatórios e sim um caderno para anotar os detalhes de um trabalho em andamento. Um aspecto que distingue bem um do outro é que o caderno de anotações usualmente contém inúmeras rasuras pois nenhuma anotação feita deve ser apagada pois as rasuras podem ser úteis posteriormente. Devido à sua importância, será exigido que cada aluno tenha um Caderno de Laboratório exclusivo para o Laboratório de Física 1 com o nome do aluno escrito na capa. Eventualmente, o professor poderá solicitar ao aluno o Caderno para efeito de avaliação bem como permitir a sua consulta durante as provas. Recomendamos como Caderno de Laboratório um caderno simples de 50 folhas, grampeado, no tamanho A4. No mínimo, para cada experimento o Caderno de Laboratório deve sempre conter:

1. Título do experimento, data de realização e colaboradores; 2. Objetivos do experimento; 3. Roteiro dos procedimentos experimentais; 4. Esquema do aparato utilizado; 5. Descrição dos principais instrumentos; 6. Dados; 7. Cálculos; 8. Gráficos; 9. Resultados e conclusões.

4. Organização e Análise dos dados. O computador

Procuramos atualizar as atividades do Laboratório de Física Básica I no sentido de, sempre que possível, acompanhar as tendências que surgem num laboratório de pesquisa. Assim, em várias atividades, os dados são coletados através do uso de interfaces digitais. Se por um lado tal procedimento torna a aquisição de dados bem mais rápida, por outro torna o procedimento mais obscuro, uma “caixa preta”, já que o processamento digital envolve o uso de circuitos eletrônicos.

Dentro deste espírito de atualização, sempre que possível, utilizaremos programas de computadores para organizar, calcular ou analisar os dados. Entendemos que hoje um bom profissional não pode prescindir desta ferramenta. Assim os alunos são convidados a terem à mão um disquete para nele copiarem as informações relevantes de uma atividade. No Laboratório de Física Básica a ferramenta computacional mais conveniente para a organização e análise de dados é a chamada planilha eletrônica.

Os dados obtidos devem ser preferencialmente organizados em forma de tabelas e visualizados em forma de gráficos. Tanto um como outro serão feitos na planilha eletrônica e elas devem conter todas as informações necessárias tais como título ou legenda, nome e símbolo das grandezas, unidades, parâmetros mantidos constantes, etc. Atualmente, é possível construir ràpidamente gráficos utilizando os utilitários da planilha. Entretanto, a

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rapidez dos computadores pode gerar uma série de equívocos e alguns cuidados são necessários. O principal lembrete é que a variável dependente deve estar sempre no eixo vertical (y) e a variável independente no eixo horizontal (x). Isto é uma simples convenção mas que seguiremos à risca. Além disso, o aluno deve escrever abaixo do eixo horizontal e ao lado do eixo vertical o nome da variável ali representada e, entre parênteses, as unidades usadas. Na parte superior da área do gráfico, o aluno deve escrever o Título do gráfico. Os gráficos não servem apenas para visualizar os dados. Elas servem também para analisá-las. Como já foi dito, um dos objetivos do Laboratório de Física Básica é ensinar os alunos a analisar os dados. A principal ferramenta gráfica para tal será o utilitário denominado “Linha de Tendência”. Antes da popularização dos computadores pessoais essa determinação, demorada e penosa devido aos cálculos envolvidos, era de difícil assimilação por parte dos alunos. Daremos particular ênfase a tal ferramenta de análise, pois não há ramo da engenharia que não a utilize. Na verdade, ela é utilizada nos mais variados campos de atividade humana onde dados devem ser analisados visando alguma tipo de previsão. Daremos alguns exemplos apenas para ilustrar a sua potencialidade: “Análise do comportamento de um corpo em queda livre”; “Análise de resistência dos materiais”; “Análise da tendência dos custos de manutenção e do consumo de materiais na construção civil”; “Tendência do mercado de capitais no Brasil”; “Tendência da inflação nos próximos dois anos no Brasil”; “Análise da tendência da queda de mortalidade infantil”; “Análise estatística da eficácia de uma determinada substância na cura de determinada doença”; “Pesquisas eleitorais mostrando as tendências do eleitorado”; etc, etc. 5. Noções sobre a Precisão das Medidas.

5.1. Medidas As grandezas físicas são determinadas experimentalmente, por medidas ou combinações de medidas. Ao fazermos uma medida (M) achamos um número (m) que a caracteriza. Quando este resultado vai ser aplicado é necessária uma indicação da confiabilidade da medida, representada pelo erro provável da medida (∆m). Simbolicamente: M=m±∆m

5.2. Algarismos Significativos (A.S) Definimos algarismos significativos de uma medida como todos os algarismos lidos com certeza mais o primeiro algarismo duvidoso. O algarismo duvidoso é o algarismo que contém erros. Este algarismo é uma fração da menor divisão do instrumento.

A figura 1 apresenta, ao lado de uma barra, uma régua cuja menor divisão e de 1cm, ou seja, uma régua graduada em centímetros.

Pode-se observar que o comprimento da barra está, certamente, compreendido entre 14 e 15. Qual seria o algarismo que viria depois do 14? Apesar da menor divisão de escala da régua ser 1 cm, é razoável fazer uma subdivisão mental do intervalo compreendido entre 14 e 15cm, para avaliar o algarismo procurado, que pode ser, por exemplo, o 3. Desta maneira representa-se o resultado como 14,3cm. Os algarismos 1 e 4 desta medida foram lidos com certeza, porém o 3 não. Outras pessoas poderiam ler 14,4cm ou 14,2cm. Na leitura 14,3cm, o algarismo 3 foi avaliado. Não se tem certeza do algarismo 3, por isso ele é denominado algarismo duvidoso. Não teria sentido algum tentar avaliar o algarismo que viria depois do 3. Dizemos que nesta leitura o número de A.S. é 3. A regra geral é que se deve apresentar a medida com apenas os algarismos de que se tem certeza mais um único

algarismo duvidoso.

Suponha agora que a mesma barra fosse medida utilizando-se uma escala milimetrada como ilustrada na Figura 2.

Utilizando-se o mesmo critério, pode-se expressar o comprimento da barra como L=14,38cm. Nesta medida, todos os algarismos são significativos; o algarismo 8 foi avaliado, porém sendo ele o primeiro algarismo duvidoso,

0 5 10 15 20

Figura 1

0 1 2 3 4 5

Figura 2

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4

∑=

=n

iix

nx

1

1

ele também é significativo. Portanto, nesta leitura o número de A.S. é de 4 e pode-se notar que em relação à medida anterior, ganhou-se um algarismo.

Damos a seguir algumas regras práticas envolvendo a manipulação de medidas.

a) Zeros à esquerda do número, isto é, zeros que posicionam a vírgula, não são significativos. Elas servem para indicar uma mudança de unidades. O comprimento L=14,38cm pode ser escrito:

L=0,1438m ou L=0,0001438km Todas as leituras anteriores possuem o mesmo número de A.S

b) Notação científica. Como foi visto no item anterior, uma mudança de unidade na medida não deve alterar o número de A.S. Para seguir esta norma é muitas vezes conveniente empregarmos a notação científica, a qual consiste em utilizar preferencialmente um ou dois algarismo significativo antes da vírgula e uma potência de dez condizente, seguida pela unidade. Assim, para expressarmos em notação científica a medida dado no exemplo acima, escreveríamos:

L=14,38cm = 1,438x10-1m = 1,438x10-4km=1,438x102mm

Uma das vantagens da notação científica é que ela nos permite identificar rapidamente o número de A.S.

5.3. Erros

Qualquer medida instrumental possui um erro. No laboratório temos que conviver com erros nas medidas. Quando obtemos o resultado de uma medida, é necessário saber com que confiança o número obtido representa uma determinada grandeza física. Portanto, neste ambiente, uma das primeiras atitudes deve ser uma análise da precisão das medidas. As palavras erro, incerteza e desvio serão tomadas como sinônimos. Não se pretende adotar neste curso o cálculo rigoroso dos erros conforme os manuais da Estatística, mas apenas uma versão simplificada da mesma. Tal procedimento se justifica pelo fato de que até agora não existem recomendações que sejam universalmente aceitas com respeito à maneira de apresentar os resultados das investigações experimentais.

Num processo de medição, inúmeros fatores contribuem para o erro (∆m) na medida (m) sendo impossível analisar ou indicar todas as fontes de erro que atuam sobre o mesmo. As fontes de erro fazem com que toda medida realizada, por mais cuidadosa que seja, esteja afetada por um erro experimental. Assim, o erro ou desvio na medida é a soma de todos os erros, ou seja: ∆m = Erro sistemático+Erro estatístico + Erro de escala + Erro grosseiro + ..etc.. Em geral um dos tipos de erro predomina sobre os demais e nestes casos é usual assumir como erro (∆m) na medida o erro predominante. Os erros experimentais podem ser classificados em dois grandes grupos: erros sistemáticos e erros aleatórios. Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Erros sistemáticos fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão. Um exemplo pode ser uma balança, dessas de farmácia, mal calibrada e marcando sempre 0,5 kg a mais, mesmo sem nenhuma carga. Neste caso, dizemos que os números fornecidos por ela estarão sistemàticamente indicando 0,5 kg a mais do que o valor verdadeiro. Em geral identificar as fontes de erros sistemáticos não é tão óbvia como no exemplo acima e uma das principais tarefas do autor das medidas é identificar e eliminar o maior número possível de fontes de erro sistemático. Os erros aleatórios ou estatísticos são flutuações, para cima ou para baixo, que decorrem de perturbações estatísticas imprevisíveis, e que fazem com que aproximadamente a metade das medidas realizadas de uma mesma grandeza esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos. Os erros aleatórios não seguem qualquer regra definida e assim, diferentemente dos erros sistemáticos, não se pode evitá-los embora se possa avaliá-los e mesmo minimizá-los através de um tratamento estatístico desenvolvido a partir dos trabalhos de Gauss. a) O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das várias medidas de uma grandeza (xi). Representando a média por x , tem-se:

Equação 1

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5

1)( 2

1 −

Δ= ∑

− nxi

%100.%R

RiX

Xxx −=Δ

%100.%mmm Δ

b) Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. Quando eles se afastam muito da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão. Quando o conjunto de medidas feitas está mais concentrado em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta, e os valores medidos têm uma distribuição de baixa dispersão. Quantitativamente a dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada pelo desvio padrão (σn-1 ) do conjunto de medidas, definido como: c) Conjuntos de medidas com desvio padrão baixo são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto. Adicionalmente, pode-se demonstrar que o desvio padrão caracteriza o intervalo dentro do qual há 68% de probabilidade de ocorrência de um valor medido. Dito de outra forma, isto significa que se for feito um conjunto muito grande de medições, 68% delas estarão dentro do intervalo x+σn-1e x-σ n-1. Além do desvio padrão, usualmente se define o desvio padrão da média (σn.). Entretanto neste curso não faremos uso deste último conceito. A utilização dos conceitos de média e do desvio padrão, no sentido gaussiano, requer uma análise estatística cuidadosa das medidas. O número (n) de medidas necessárias para se obter valores confiáveis da média e desvio padrão da média depende da complexidade do experimento. Por exemplo, se o objetivo do experimento é simplesmente medir o comprimento (L) de uma barra metálica usando uma escala milimetrada, umas poucas medidas serão suficientes para tais estimativas. Entretanto, em experimentos complicados como uma pesquisa eleitoral para se medir a preferência por um determinado candidato são necessárias várias centenas ou mesmo milhares de dados. Portanto, o número de dados depende de cada experimento. Como neste curso o tempo para se realizar um experimento é bastante limitado, torna-se inviável fazer uma análise estatística mais rigorosa dos erros e o número de medições de cada grandeza será em torno de dez. Assim, no Laboratório de Física Básica usaremos a equação 1 não no sentido de média gaussiana, mas para indicar uma medida confiável e a equação 2 para estimarmos o erro naquela medida. Avaliação do erro quando a medida foi feita apenas uma vez. Muitas vezes nos deparamos com o problema de avaliarmos o erro (∆m) em uma grandeza que foi medida apenas uma vez. É evidente que com apenas uma única medida não é possível calcularmos nem a média nem o erro estatístico (desvio padrão) embora saibamos que ela existe. Nestes casos o nosso procedimento será o de exagerarmos no erro de escala do instrumento utilizado e dizer que o erro (∆m) é devido apenas ao erro de escala. Normalmente, o erro de escala de um instrumento analógico equivale a 0,1 ou 0,2 da menor divisão do mesmo, mas no caso da medição única consideraremos esse erro para mais e igual à metade da menor divisão de escala do instrumento. Por exemplo, ao medirmos um comprimento L com uma régua milimetrada avaliamos o erro como sendo igual a ± 0,5 mm o qual corresponde à metade da menor divisão da referida régua, que no caso é o milímetro. Assim no caso de uma única medição avaliamos o erro na medida através do erro de escala (∆m) e escrevemos o resultado da maneira usual: M=m±∆m Observação:

É importante observar que tanto o erro de escala como o desvio padrão devem ser fornecidos com apenas um A.S. 5.4. Desvio relativo percentual.

Sabemos que as relações entre grandezas de mesma espécie podem ser representadas em termos relativos ou percentuais. Assim dadas as grandezas A e B podemos escrever em termos percentuais várias relações entre elas tais como: A em relação ao total A+B, ou a diferença A-B em relação a A, a B ou ao total A+B, etc. No caso, de uma medida M dada por: M=m±∆m em que m representa o valor da medida e ∆m o valor absoluto do erro, podemos expressar o erro relativo percentual fazendo-se:

Podemos também comparar o resultado (xi) de um experimento com um valor conhecido da literatura XR usando o desvio relativo percentual:

Equação 2

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%2,1%100.000,1

000,1012,1% =

−=D

Por exemplo, suponha que numa experiência você encontre o valor para a densidade da água pura como d=1,012g/cm3, enquanto valor tabelado é dt=1,000g/cm3. Neste caso dizemos que o desvio relativo percentual ou simplesmente desvio percentual foi de:

Não se trata de um novo tipo de erro, mas uma forma alternativa e elegante de apresentá-la.

Vamos ilustrar a diferença entre a forma absoluta e a forma relativa de apresentar as grandezas e os erros através de uma forma bem conhecida de pesquisa que é a pesquisa eleitoral. É comum nos depararmos com o seguinte tipo de noticiário:

“A pesquisa realizada esta semana mostra o candidato A com 35% das intenções de votos e o candidato B com 25%. Como a margem de erro foi de 2% para mais ou para menos isto significa que, se as eleições fossem realizadas hoje, seria eleito o candidato A. O total de entrevistados foi de 1000 eleitores.”

Note que os dados foram fornecidos em termos percentuais com exceção do número total de eleitores. Traduzindo a pesquisa para uma linguagem formal, teríamos:

A=(35% ± 2%) votos B=(25% ± 2%) votos

Como o candidato A obteve a preferência de 35% e o candidato B de 25% dos 1000 eleitores, podemos escrever o resultado de outra maneira:

A=(350 ± 2%) votos B=(250 ± 2%) votos

Podemos também expressar o erro percentual ou a margem de erro, dados acima, em termos absolutos.

A=(350 ± 7) votos B=(250 ± 5) votos

5.5. Propagação de Erros Muitas vezes nos deparamos com o caso de determinar uma grandeza física através de cálculos com valores obtidos na medida direta das grandezas que figuram na lei representativa do fenômeno em consideração. Por exemplo, a energia potencial de um corpo de massa m situada a uma altura h, E=mgh. Para estes casos, surge o problema de como avaliarmos o desvio padrão na grandeza dependente, conhecendo-se os desvios padrão nas medidas diretas. Este tipo de estudo recebe o nome de Propagação de Erros. Seja uma grandeza y dependente de outras grandezas x1, x2, x3, , xn. Pode-se, então, escrever:

y=f(x1, x2, x3, , xn )

A variação de y, em função de cada uma das variações infinitesimais de cada um dos xi, é dada pela diferencial exata de y:

nn

dxxfdx

xfdx

xfdy ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= .........22

11

Onde os termos entre parêntesis representam as derivadas parciais de f em relação a cada uma das varáveis xi de que depende. É possível fazer uma analogia entre as variações infinitesimais (dx) e os desvios (Δx) das variáveis, uma vez que ambos representam variações. Assim, podemos escrever:

nn

xxfx

xfx

xfy Δ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=Δ .........22

11

Como se pretende determinar o máximo erro na medida, deve-se considerar a situação na qual os erros, atuando no mesmo sentido, somam-se. Isto só é possível tomando-se o módulo das derivadas parciais na equação anterior. Assim:

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nn

xxfx

xfx

xfy Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ .........22

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A formulação acima foi baseada em João J. Piacentini e outros, outras formulações podem ser obtidas em Brito Cruz (ver bibliografia). 6. Operações com algarismos significativos (A.S.) A necessidade de se fazer operações com A.S. decorre do fato de que é necessário medir várias grandezas físicas iguais ou diferentes, com aparelhos de classes de precisão diferentes, e reuni-las de forma a obter o valor da grandeza procurada. Ao efetuarmos cálculos e apresentar os resultados de medições, é importante dar atenção aos A.S., porque tanto é errado incluir demasiados algarismos como excessivamente poucos. Um exemplo típico vem do uso que fazemos das calculadoras de bolso. Suponha que queiramos dividir por 3 o comprimento L=2,0 cm medida com uma régua milimetrada. Colocados numa calculadora ela nos fornecerá algo como 0,6666666666. Obviamente, escrever este número com dez A.S. como sendo o resultado da divisão está incorreto, pois ela não reflete a precisão da medida original. As calculadoras não sabem o que são A.S., cabendo ao aluno interpretar e escrever o resultado corretamente em termos de A.S. No caso do exemplo, o resultado deve ser expresso como L=0,67. Como regra geral podemos dizer que o resultado de uma operação com A.S. é determinado pelas condições da pior das medidas. Damos a seguir algumas regras mais específicas, que são baseadas, num caso, no número de A.S. e, no outro, no desvio relativo.

a) Adição e subtração: Após efetuar a operação escreva arredondando o resultado de forma que o último A.S. ocupe a mesma casa decimal da parcela mais pobre em decimais (isto é, mais à esquerda possível) e despreze os algarismos à direita desta casa decimal. Exemplo:

b) Multiplicação e Divisão: O resultado deve possuir, em geral, o mesmo número de A.S. da medida mais pobre em significativos.

Às vezes, é necessário um pouco de bom senso na aplicação dessa regra, como no exemplo seguinte:

9,8 x 1,03 = 10,1

porque, embora 9,8 tenha só dois A.S., ele está bem próximo de ser um número de 3 A.S. e o produto deve ser escrito com 3 A.S.

6.1. Critérios de Arredondamento O aluno deve ter notado que nos exemplos do item anterior os resultados foram arredondados no primeiro algarismo duvidoso Os critérios para isso são:

- Se o algarismo seguinte ao primeiro algarismo duvidoso for um número igual ou superior a 5, aumenta-se de uma unidade o primeiro algarismo duvidoso e desprezam-se os demais. - Se o algarismo seguinte ao primeiro algarismo duvidoso for um número inferior a 5, o primeiro algarismo duvidoso não se altera e desprezam-se os demais.

Adição: 438,38??? 21,8???? 0,287?? 3,14159 463,6???

Subtração: 8,2436 6,72?? 1,52??

Multiplicação: 3,14159 x 1,32 = 4,15

Divisão: 62,72 ÷ 23,1 = 2,76

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ATIVIDADE 01

1. TÍTULO: ANÁLISE DE UMA EXPERIÊNCIA ATRAVÉS DE GRÁFICOS 2. OBJETIVO: Estudar a aplicação do método empírico. Construir e analisar gráficos numa planilha eletrônica.

Aplicar os conceitos de algarismos significativos, de erros em uma medida, de linearização e de “reta média”.

3. INTRODUÇÃO

A Física é uma ciência caracterizada por um forte componente empírico. Nele, o investigador começa suas pesquisas verificando o que acontece, registrando e repetindo suas observações. De posse dos dados registrados, ordenados, sistematizados e classificados passa a fazer generalizações gradualmente mais amplas adotando para isto um procedimento indutivo que o conduz do particular para o geral. Estas generalizações se prestam para explicar não só o observado mas também para fazer previsões quanto ao que deve ocorrer.

A importância da utilização de gráficos na análise de experiências em laboratório, decorre do fato de nos permitir uma imediata visualização do comportamento de uma grandeza (variável dependente) em relação à outra (variável independente).

Atualmente é possível construir ràpidamente gráficos e realizar uma série de análises utilizando os computadores pessoais. Entretanto, a rapidez dos computadores pode gerar uma série de equívocos pois deixa pouca margem para que os alunos pensem no que estão fazendo. Aos poucos, introduziremos o uso de programas de computador na análise dos dados pois entendemos que um bom profissional não pode prescindir desta ferramenta. Adiantamos que a melhor ferramenta computacional para a análise de dados é a chamada planilha eletrônica. Além do computador, faremos uso das chamadas calculadoras científicas. Constatamos que a maioria dos alunos que possuem uma, não sabe das suas potencialidades no tratamento de dados. Embora as calculadoras científicas não tenham as potencialidades dos computadores elas são úteis porque são mais baratas e mais portáteis.

Já, a partir desta atividade, os gráficos serão feitos no computador. Infelizmente o laboratório não dispõe de uma impressora para proporcionar aos alunos cópias das mesmas. Assim, recomendamos que a cada gráfico feito eletronicamente você faça um esboço do mesmo no seu caderno de anotações. Eventualmente o seu professor pode lhe fornecer um papel de gráfico para o mesmo fim.

Definimos algarismos significativos de uma medida como todos os algarismos lidos com certeza mais o primeiro algarismo duvidoso. O algarismo duvidoso é o algarismo que contém erros. Este algarismo é uma fração da menor divisão do instrumento. Erros de medidas são inerentes a qualquer processo de medição.

Como esta atividade é longa, dedicaremos a ela duas aulas. A primeira parte vai até o item 5.2.3 inclusive 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL A Tabela 1 contém os resultados de uma experiência. Você é convidado a apresentar e analisar estes resultados de forma a possibilitá-lo a tirar conclusões sobre a natureza do processo que está sendo investigado e a predizer o resultado de experiências similares. A apresentação e a análise de resultados experimentais constituem um setor essencial da física.

h em cm → 30,0 10,0 4,0 1,0

d em cm ↓ Tempo de esvaziamento (em segundos)

1,5 74,0 44,5 26,7 14,1

2,0 41,2 23,7 15,0 7,3

3,0 18,4 10,5 6,8 3,7

5,0 6,8 3,9 2,2 1,5 Tabela 1. Tempo de esvaziamento (em segundos) em função simultânea da altura (h) da coluna de água e do diâmetro (d) do orifício.

A experiência em questão se constitui em investigar o tempo que leva a água para extravasar pelo buraco do fundo de uma lata. Conforme se esperava, este tempo depende do tamanho do orifício e da quantidade de água do recipiente. Para averiguar a dependência deste tempo em relação ao tamanho do orifício, extravasou-se através de orifícios circulares de diferentes diâmetros, relativamente pequenos, a água contida em grandes recipientes

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cilíndricos de igual tamanho. Para verificar de quanto este tempo depende da quantidade de água verteu-se este líquido para (h) alturas diferentes em cada um dos recipientes. 5. ANÁLISE DOS RESULTADOS

5.1. Análise da Tabela. 5.1.1 Algarismos significativos

Registraram-se na Tabela 1 os valores dos tempos necessários para esvaziar cada recipiente. Devido à dificuldade de se medir precisamente intervalos de tempo usando um relógio, há um número menor de algarismos significativos nas medidas de pequenos intervalos de tempos do que nas de longos intervalos de tempos. Responda:

a) O que são algarismos significativos? b) Examine os dados referentes ao diâmetro d. Quantos são os algarismos significativos de cada

medida? c) Ainda com referencia ao diâmetro d, sugira o tipo de instrumento utilizado na medição (uma

característica importante associada aos algarismos significativos é que elas nos permitem identificar o tipo de instrumento utilizado na medição). No caso do diâmetro d, qual a menor divisão da escala utilizada (metros, centímetros, milímetros, etc.)?

d) Que tipo de instrumento foi utilizado na medição dos tempos de esvaziamento? (relógio de parede, relógio de pulso, cronômetro eletrônico com milésimos de segundo de precisão, etc.).

5.1.2 Erros

Conforme afirmamos na Introdução, qualquer medida instrumental possui um erro. O uso de instrumentos de medida é um dos fatores que distingue as atividades das aulas teóricas das atividades experimentais. No laboratório temos que conviver com erros nas medidas. O procedimento que usaremos para avaliarmos de maneira mais precisa o erro ou desvio padrão numa medida x é repetirmos várias vezes a mesma medida e calcularmos o erro ou desvio padrão através da expressão dada no Apêndice. Muitas vezes apenas avaliaremos tal erro usando o bom senso. É importante calcularmos ou pelo menos avaliarmos o erro de uma medida porque o número de algarismos significativos da medida é determinado pelo erro contido numa medida. Como exemplo, suponha que um aluno de alguma forma encontrou o seguinte resultado para a medida L=23,564829m e que o erro ou desvio padrão dessa medida seja de 0,03. Isto significa que o erro está na casa dos centésimos de metros (ou nos centímetros) e que a maneira como a grandeza L está expressa não está correta. No caso ela deve ser escrita como L=(23,56±0,03)m, portanto com 4 significativos. Esta é a maneira correta de se expressar qualquer medida, ou seja, a medida acompanhada do seu erro ou desvio padrão. Note que o último algarismo de 23,56 embora duvidoso é um algarismo significativo.

a) Erro estimado do instrumento de medida ou estimativa do desvio padrão de uma medida. Conforme foi dito acima, o procedimento para tal será repetirmos várias vezes a mesma medida e daí calcularmos o erro ou desvio padrão. No caso da Tabela 1, não há nenhum indício de que as medidas foram feitas várias vezes. Estamos supondo que as medidas foram feitas apenas uma única vez e assim não há como calcularmos o desvio padrão. Nestes casos, podemos inferir o erro na medida superestimando o erro de escala tomando-o como igual à metade da menor divisão do instrumento utilizado. Assim, no caso de uma medida realizada com uma escala milimetrada comum, o erro estimado será de ± 0,5mm. Isto é apenas uma estimativa com o erro avaliado para mais.

b) Para o caso da Tabela 1, qual é o erro estimado ou desvio padrão estimado nas leituras do

diâmetros d? Qual a menor divisão do instrumento utilizado?

c) Erro relativo. Você deve notar que o erro referido no item anterior é um erro absoluto e é o mesmo para quaisquer medidas do diâmetro d. Portanto, ela não diz qual das medidas apresenta maior precisão relativa. Ela se refere apenas ao aparelho de medição e não ao objeto medido. Ao erro do aparelho em relação ao objeto medido denominamos erro relativo o qual pode ser expresso em porcentagem:

medidadaValoroinstrumentdoErro

=ε ou 100%medidadaValor

oinstrumentdoErro=ε

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10

Verifique que cada medida de diâmetro d tem um mesmo erro absoluto (dado pelo instrumento) mas um erro relativo diferente para cada medida (que depende do valor da medida). d) Faça agora a análise dos dados da altura h na Tabela 1. Qual das alturas tem o maior erro relativo

e qual a que tem o menor?

e) Examine as leituras de tempo da Tabela 1. Qual o erro estimado do instrumento utilizado? Qual a menor divisão do instrumento utilizado?

Obs.: Uma observação de caráter geral acerca de operações com algarismos significativos é a de que você não pode aumentar a precisão das grandezas resultantes através de operações matemáticas.

5.2. Gráficos Todos os dados necessários constam da Tabela 1; uma representação gráfica dos mesmos, possibilitar-nos-á inferir conclusões, e facilitará o estabelecimento de uma relação matemática entre estes dados. Os gráficos serão feitos no computador utilizando-se as ferramentas de uma planilha eletrônica.

5.2.1 Organizando os dados na sua planilha

a) Ligue o seu computador.

b) Vá ao menu Iniciar do Windows e abra a planilha:

Menu Iniciar → Programa → Excel

c) Copie e organize os dados da Tabela 1 de maneira conveniente. Há várias maneiras de organizar os dados, damos abaixo apenas uma sugestão:

ANÁLISE DE UMA EXPERIÊNCIA h(cm)-----> 30,0 10,0 4,0 1,0

d(cm) ↓ t(s)

1,5 74,0 44,5 26,7 14,1

2,0 41,2 23,7 15,0 7,3 3,0 18,4 10,5 6,8 3,7

5,0 6,8 3,9 2,2 1,5

5.2.2 Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d). Faça inicialmente um gráfico representativo da variação do tempo em função do diâmetro do orifício, para a altura h=30 cm. É uma convenção marcar no eixo horizontal os valores da variável independente (neste caso o diâmetro d) e os da variável dependente (no caso, o tempo t) no eixo vertical. Dizemos simplesmente, t versus d.

a) Para construir o gráfico de interesse na sua planilha siga:

Inserir →Gráfico→Dispersão (escolha o 1º subtipo: apenas pontos) → Avançar

Neste ponto, deve surgir uma janela como a ilustrada na Figura 1. Continue a ação:

→Seqüência (ou Série) →

→Adicionar→:

Nome: escreva no espaço correspondente um nome para a série ou seqüência (por ex. h=30). Como você vai mais tarde sobrepor outras curvas neste mesmo gráfico, o nome vai servir para distinguir uma curva da outra.

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Valores de x: acione com o mouse o pequeno quadrado com a seta vermelha. Com o mouse, selecione a coluna contendo os valores de d. Acione a tecla “Entra” para finalizar a inserção.

Valores de y: acione com o

mouse o pequeno quadrado com a seta vermelha. Com o mouse, selecione a coluna contendo os valores dos tempos (t) para a altura de 30cm. Acione a tecla “Entra” para finalizar a inserção. Ainda no quadro da Figura 1, acione:

→Adicionar→

Nome: Você vai agora

sobrepor uma outra curva ao que acabou de fazer. No espaço correspondente escreva h=10cm.

Valores de x: acione com o mouse o pequeno quadrado com a seta vermelha. Com o mouse, selecione a coluna contendo os valores de d para a altura de 10cm. Acione a tecla “Entra” para finalizar a inserção.

Valores de y: acione com o mouse o pequeno quadrado com a seta vermelha. Com o mouse, selecione a coluna contendo os valores dos tempos (t) para a altura de 10cm Acione a tecla “Entra”.

→Adicionar→ Repita o procedimento acima para as demais alturas h. Depois, para finalizar acione:

Concluir

Agora você vai desenhar uma curva “média” através dos pontos. Coloque o ícone do seu mouse sobre um dos pontos da seqüência correspondente a h=30cm e pressione duas vezes o botão direito do mouse até surgir um pequeno menu. Escolha:

→Adicionar linha de tendência → Potência →OK

Repita o procedimento para as demais séries. Finalmente, escreva o título do gráfico e os nomes de cada um dos eixos acionando no menu principal. Note que a escala do gráfico é fornecida automaticamente pela planilha. Para inserir o título do gráfico, siga:

Gráfico→Opções de gráfico→Título

O gráfico resultante deve ser semelhante ao ilustrado na Figura 2.

Figura 1

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12

Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8d(cm)

t (s)

h=30

h=10

h=4

h=1

Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8d(cm)

t (s)

h=30

h=10

h=4

h=1

Gráfico do tempo (t) versus diâmetro (d)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8d(cm)

t (s)

h=30

h=10

h=4

h=1

b) Embora você possa usar as curvas da Figura 2 para interpolar entre suas medidas e, grosseiramente

extrapolar além delas, você ainda não estabeleceu uma expressão algébrica para relacionar t e d. Seu gráfico mostra que t diminuiu rapidamente com d; tal fato sugere uma relação inversa entre t e d e nada mais. A curva pode ser pedaço de uma elipse, de uma parábola, de uma hipérbole, etc. Ou, tal relação inversa pode ser do tipo 1/d, 1/ d ; 1/d2, 1/d3, etc. Descobrir qual das relações gera uma relação linear é chamado de linearização que é essencialmente um processo de tentativas e cuja solução não é necessariamente única. A relação inversa procurada é aquela que se torna linear com t. O Excel pode nos ajudar a encontrar o expoente adequado. Para tanto, coloque a seta do seu mouse sobre uma das linhas de tendência e aperte duas vezes o botão esquerdo do mouse e siga:

Formatar linha de tendência →Opções→Exibir equação no gráfico

→Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

Repita o procedimento para todas as curvas.

c) No final do processo descrito acima você deve ter obtido quatro equações do tipo αdCt 1= . Entretanto, observando os números que aparecem nestas equações notamos que elas estão escritas com um número excessivo de algarismos e que nem todos são significativos. Os coeficientes óbitos na sua planilha são resultados de cálculos e o Excel apresenta os números sem considerar quais são os A.S. Por exemplo, o Excel fornece o valor de C1 (p/ h=30) com cinco significativos, o que está errado. Cabe a nós determinarmos com quantos algarismos devemos escrever os mesmos. Primeiro você deve perceber que o y da equação deve ser entendido como a variável tempo de esvaziamento (t). Em seguida você deve notar na Tabela 1 que nenhuma medida de tempo (t) tem mais do que três A. S. Portanto é razoável supor que as constantes 1C que aparecem em cada equação não podem ter mais do que três A.S. Quanto ao expoente de x ela não deve ter mais do que dois significativos. Levando em conta estas considerações escreva na sua planilha na forma de tabela, próximo do gráfico, as referidas equações com os arredondamentos necessários.

Figura 2. Gráfico t versus d. As curvas sugerem uma relação inversa entre t e d, isto é, sugerem que tdiminuiu com d mas não fornecem uma relação matemática entre elas.

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h 30.0 10.0 4.0 1.0 α

d) Analisemos em especial o expoente α. Escreva, com apenas dois algarismos significativos, os expoentes da equação αdCt 1= , para cada curva da figura 2.

e) A esta altura é conveniente “salvar“ o seu trabalho feito na planilha. Para salvar os seus dados,

escolha o diretório: • C:\Turmas\ • Escolha o subdiretório correspondente a sua turma (por exemplo, 3M456). • Dê um nome que traga alguma informação sobre o conteúdo do seu arquivo, por exemplo,

Ativ2_g.

5.2.3 Linearização. Gráfico de t versus 1/d2 e o conceito de reta média.

a) Acrescente em sua planilha uma coluna para os valores de 1/d2. b) As Figuras 3a e 3b abaixo ilustram como o aluno pode obter rapidamente a coluna desejada na

sua planilha. Na célula A3 escreve-se a “formula” para 1/d2 onde B3 é o endereço onde se localiza o diâmetro d=1,5. Escrito a fórmula, tecle Enter. Copie a formula para as demais células da coluna A.

c) Para construir o gráfico t versus 1/d2 na sua planilha siga:

Inserir →Gráfico→Dispersão (escolha o 1º subtipo: apenas pontos) → Avançar

d) Complete o seu gráfico seguindo os procedimentos dados no parágrafo 4.2.2.para todas as alturas

h e observando que a variável independente deve ser sempre a coluna 1/d2. Ao acrescentar a linha de tendência, faça-a de acordo com o item abaixo.

e) Linha de tendência:

→Adicionar linha de tendência → Linear →OK

f) Escreva o título do gráfico e os nomes das variáveis em cada um dos eixos. A figura 4 ilustra

apenas o aspecto do gráfico para a altura h=30 cm.

g) Equação da reta. Uma vez adicionadas as linhas de tendência, você deve notar visualmente que as retas se aproximam bastante dos dados experimentais. A sua planilha possui uma ferramenta que lhe permite obter ràpidamente as equações das retas obtidas. Para tanto, coloque a seta do seu mouse sobre uma das linhas de tendência e aperte duas vezes o botão esquerdo do mouse e siga:

→Formatar linha de tendência →Opções→Exibir equação no gráfico

→Exibir valor de R-quadrado no gráfico. h) Este procedimento deve resultar no aparecimento de uma equação. Arraste com o mouse a

equação para próximo da reta que a gerou. A equação da reta, assim obtida, mostra a relação

A B 1 2 1/d2 d(cm) ↓ 3 =1/(B3*B3) 1.5 4 2.0 5 3.0 6 5.0 Figura 3a. Para inserir uma fórmula matemática numa célula é necessário teclar o sinal “=”.

A B 1 2 1/d2 d(cm) ↓ 3 0.44 1.5 4 0.25 2.0 5 0.11 3.0 6 0.04 5.0 Figura 3b. Note que o número de algarismos significativos é igual nas duas colunas.

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algébrica existente entre t e d, para a altura de água considerada. Repita o procedimento para as demais retas.

i) Anote os resultados das equações obtidas no gráfico e escreva-as na Tabela 2. As equações devem

ser escritas na forma:

(equação 1)

Note que C1(h) é uma constante que vai depender de h. Ao transcrever os números obtidos na sua planilha para a Tabela 2, considere o problema dos algarismos significativos. Os coeficientes óbitos na sua planilha são resultados de cálculos e o Excel apresenta os números sem considerar quais são os A.S. Por exemplo, o Excel fornece o valor de C1 (p/ h=30) com cinco significativos, o que está errado. Cabe então ao aluno determinar com quantos A.S se deve escrever a constante C1.

j) Compare as relações algébricas obtidas na Tabela 2. O que você pode dizer acerca delas?

k) O procedimento de acrescentar uma “linha de tendência” e assim determinar a função que nos leva à equação da reta recebe o nome de “linearização” ou “regressão linear” a qual é baseada no “Método dos Mínimos Quadrados”. Os parâmetros da são determinados por um programa estatístico de aproximações sucessivas. Entretanto, é necessário notar que o procedimento aqui descrito, o da linearização ou regressão, fica “camuflado” quando se utiliza o programa Excel.

21 )(d

hCt =

t = Para h=30 cm

t = Para h=10 cm

t = Para h=4 cm

t = Para h=1 cm

Tabela 2. Relação algébrica entre t e d para diferentes alturas h.

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Isto pode ser visto no item anterior 5.2.3, acerca da linearização, que serviu para nos mostrar que a sugestão dada anteriormente pelo programa Excel no item 5.2.2, acerca da melhor função que levariam a uma linearização é correta. Note em particular que a função potência sugerida no gráfico t versus d da Figura 2 é a mesma que aparece no gráfico de t versus 1/d2 da Figura 4. Isto significa que para efeitos “práticos”, mas não para efeito de conhecimento, o que foi feito no item 5.2.3 foi “desnecessário”. Portanto, uma vez compreendido este ponto, passaremos a determinar diretamente a função que melhor se ajusta aos dados experimentais simplesmente evocando o comando ”adicionar linha de tendência”, conforme foi feito no item 5.2.2.

Observação:

A “reta média” obtida pela adição da “linha de tendência” é uma idealização enquanto os pontos ou dados representam a realidade. Traçar a “reta média” entre os pontos significa inferir um modelo matemático que melhor se aproxima dos seus dados experimentais. Assim, não tem sentido unir os pontos experimentais através de várias retas, pois isto significaria não um modelo, mas vários modelos matemáticos.

5.2.4 O significado da “linha de tendência do Excel” e do coeficiente de correlação (R2)

Agora que você entendeu a idéia de linearização, fica a pergunta de como descobrir qual das várias relações matemáticas gera uma relação linear entre as grandezas envolvidas. Você deve ter notado que no item 5.2.2a) foi lhe sugerido “Adicionar linha de tendência” do tipo “ Potência”, isto é, você foi induzido, por razões didáticas, a escolher uma determinada família de funções em detrimento de outras. Em princípio, a razão para esta escolha está no valor de R2 a qual pode ser definida como sendo uma medida do grau de ajuste (índice de correlação) entre a equação determinada pelo programa e os seus pontos experimentais. Quanto mais próximo R2 estiver de 1, melhor o ajuste. Podem ocorrer casos em que duas ou mais funções apresentam valores de R2 praticamente iguais. Nestes casos o aluno deve confrontar cada uma das funções obtidas com o fenômeno físico em questão e descartar aquelas que levam a possíveis incompatibilidades teóricas. Vamos dar um exemplo deste processo.

Gráfico de t versus 1/d2

t = 164/d2

01020304050607080

0.00 0.20 0.40 0.601/d2

tem

po (s

)h=30

h=10

h=4

Figura 4. Gráfico de t versus 1/d2. O resultado sugere fortemente que o tempo de esvaziamento é diretamente proporcional a 1/d2. Neste exemplo é mostrado apenas o resultado para h= 30 cm. Complete o gráfico para todas as outras alturas.

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a) Faça novamente um gráfico (tipo dispersão) do tempo versus diâmetro seguindo os passos

do item 5.2.2. Para simplificarmos o procedimento coloque nele apenas os dados referentes à altura h=30 cm. Vamos chamá-lo de gráfico A.

b) Em seguida, em outra página de sua planilha, faça quatro cópias do gráfico A usando o

método copiar – colar, colocando-as lado a lado. Chamemos as cópias de gráficos B, C, D e E

c) Vá ao gráfico A e acione com o mouse um dos pontos experimentais para inserir uma linha

de tendência. →Adicionar linha de tendência → “Linear” →Opções→Exibir equação no gráfico→ →Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

d) Vá agora ao gráfico B e novamente acione com o mouse um dos pontos experimentais para

inserir uma linha de tendência. Adicionar linha de tendência → “Polinomial”

→Opções→Exibir equação no gráfico→ →Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

e) Repita o procedimento acima para os gráficos C e D para os quais você deve inserir as

linhas de tendência dos tipos “Logaritmo” e “Exponencial” respectivamente. f) Ao final do processo, você vai comparar os valores de R2 para cada Tipo de função. O Tipo

que melhor se ajusta aos nossos dados é aquele que apresentar o R2 mais próximo de 1. Qual foi o tipo de função que gerou R2 mais próximo de 1?

g) Que conclusões você tira dos procedimentos acima? h) Vamos examinar agora o efeito de uma medida mal feita sobre R2. Para isto vá à Tabela 1 e

altere o valor de t para a altura de 30,0cm e diâmetro de 3,0cm. Inicialmente altere o valor de 18,4s para 10,0s e verifique os efeitos no gráfico, na equação e no valor de R2. Em seguida, mude de 10,0s para 8,0s. Qual foi o efeito destas alterações no valor de R2?

i) Este exemplo mostra como a precisão dos dados pode mudar as características da função

procurada. Retorne o seu dado original de tempo para 18,4.

Os exemplos acima ilustram o procedimento seguido para a escolha da função tipo “Potência” nesta Atividade. Entretanto, alertamos que, embora sendo um procedimento poderoso, a solução fornecida não é necessariamente única e às vezes é também necessário levar em conta certas considerações físicas não presentes nas medidas efetuadas. Você ainda deve ter notado que não discutimos como são calculados os coeficientes das equações bem como não lhe foi mostrado como se calcula o coeficiente R2. Os alunos interessados em se aprofundar neste assunto devem consultar a bibliografia suplementar em particular o livro “Modelos de Regressão Linear” do professor Paulo Roberto Medeiros de Azevedo editado pela Editora da UFRN. Explicações sucintas podem ser obtidas em “Introdução ao Laboratório de Física, J. Piacentini e colaboradores, Ed. UFSC” ou então no Guia para Física Experimental na página da web:www.dfte.ufrn.br/fis315/

5.3. Análise da “constante” C1(h) e determinação da expressão geral.

5.3.1 Análise da “constante” C1(h).

a) Você deve ter notado que a “constante” C1 muda conforme o valor da altura h e que esta mudança aparenta seguir algum padrão. Para deixarmos isto mais claro, copie os valores da constante C1 para a Tabela 3 abaixo e em seguida copie a mesma tabela para a sua planilha.

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b) Faça o gráfico (tipo dispersão) de C1 (ordenada) em função de h (abscissa) na sua planilha usando os dados da Tabela 3 e seguindo as instruções do parágrafo 5.2.2.

c) Uma rápida análise do gráfico obtido mostra que a relação não é linear embora C1 seja crescente

com h. Isto sugere várias opções de dependência de C1 com h, tais como 3 h ; h ; log(h), etc. Discuta porque funções do tipo h2, h3, etc, embora possíveis não são adequadas para o presente caso.

d) Novamente você está frente ao problema de descobrir qual das possíveis relações gera uma

relação linear e qual dessas relações lineares é a que melhor explica os seus dados. No gráfico feito acione com o mouse um dos pontos experimentais para inserir uma linha de tendência. Tente várias linhas de tendência e compare os valores de R2 gerados em cada uma delas.

e) Determine a função de C1 (h) que melhor explica os seus dados e preencha o quadro abaixo:

Equação de C1 obtida pelo gráfico.

5.3.2 Determinação da expressão “geral” do tempo (t) de esvaziamento como função simultânea da altura (h) da coluna de água e do diâmetro (d) do furo.

a) Lembre-se que C1 faz parte da equação 1 determinada anteriormente em 5.2.3i). Portanto,

substituindo a expressão de C1 na equação 1 teremos a forma da expressão geral procurada:

b) Estabeleça a função geral para o tempo de fluxo como uma função simultânea de h e d para este experimento determinando o valor numérico da nova constante C2 e preencha o quadro abaixo:

t =

Função geral

c) Se a expressão obtida no quadro acima é realmente válida para este experimento, ela deve ser capaz de explicar as expressões particulares obtidas na Tabela 2. Obtenha as equações da Tabela 2 a partir da função geral.

d) Além de explicar as equações da Tabela 2, a função geral deve também explicar qualquer dado da

Tabela 1. Para isto volte à sua planilha onde está a Tabela 1 e ao lado desta desenhe uma outra como mostrada abaixo. A partir da expressão geral determinada acima, calcule os tempos t de esvaziamento preenchendo as células vazias da tabela 4. Os cálculos devem ser feitos preferencialmente através dos recursos de sua planilha eletrônica. Após os cálculos, compare a Tabela 4 com a Tabela 1 e caso necessário, faça correções na constante C2.

C1 h(cm)

30

10

4

1

Tabela 3. Relação algébrica entre C1 e altura h.

C1(h)=

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h(cm)-----> 30,0 10,0 4,0 1,0

d(cm) ↓ t(s)

1,5 2,0 3,0 5,0

e) Voltando ao que foi afirmado na Introdução, estas generalizações devem explicar não só o que foi observado mas também para fazer previsões quanto ao que ainda não foi observado. Assim, se a expressão encontrada é realmente geral ela deve ainda prever situações não incluídas na Tabela 1. Faça algumas previsões do tempo de esvaziamento t para os pares de h e de d sugeridos na Tabela 5.

h (em cm) d (em cm) t (em cm)

6,0 1,0 50,0 6,0 60,0 4,0

Tabela 5. Previsões (análise de tendência) para alguns valores de h e de d

f) A expressão obtida é válida para qualquer tamanho de lata? Para qualquer tipo de líquido? Afinal

qual é a limitação da Função geral encontrada?

g) Em sua opinião, que grandezas físicas determinam o valor da constante C2?

h) Antes de desligar o computador não se esqueça de salvar o seu trabalho.

Tabela 4. Valores do tempo de esvaziamento t calculados pela fórmula geral.

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ATIVIDADE 02

1. TÍTULO: DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE LOCAL . 2. OBJETIVO: Determinar a aceleração gravitacional experimentalmente, calcular o desvio padrão de uma

medida.

3. INTRODUÇÃO Para um bom desempenho nesta atividade, você deverá conhecer toda a fundamentação teórica sobre os fenômenos físicos que serão aqui estudados. Para isso, é essencial que sejam consultados no livro texto os capítulos sobre Cinemática da partícula. Você fará determinações da aceleração gravitacional, a partir da equação horária de um corpo em queda livre, aplicada a três alturas diferentes. Para cada altura serão realizadas 10 medidas e o melhor valor de g será considerado como sendo a média aritmética dessas 10 medidas. É usual exprimirmos a média acompanhada de seu erro ou desvio padrão na forma gg σ± onde g representa a média aritmética e gσ representa o erro. 4. MATERIAL UTILIZADO

(1) Régua; (2) Fios diversos; (3) Sensor Phywe (Basic Unit/Phywe—Cobra3); (4) Sensor de chegada da esfera (receptáculo); (5) Esfera de aço; (6) Liberador da esfera de aço; (7) Gatilho da queda livre; (8) Tripé e suporte; (9) Computador

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Esta experiência é feita utilizando o aparato experimental da figura acima. Prenda a esfera metálica mantendo pressionado o gatilho da esfera (item (6) da figura acima) e, utilizando o suporte, ajuste a distância na qual você deseja medir o tempo de queda livre da esfera. Este tempo de queda será o registro de nossa experiência.

a) Para obter os dados do tempo de queda da esfera, você deve acionar o programa “measure” no diretório Phywe seguindo as instruções abaixo.

Menu Iniciar--- Programas--- Phywe--- Measure

b) Após invocar o programa Measure, você deverá ter na tela o seguinte menu:

c) Com o mouse acessar o menu:

File New Measuring (ou simplesmente acione a figura com o botao vermelho no menu conforme mostrado acima).

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20

Figura 2

Figura 3

Voce será levado imediatamente à Figura 1 ao lado.

Observe na figura 1 a configuração do sistema de medidas. Mantenha os campos como mostrado.

d) Agora, prenda a esfera utilizando o

gatilho. Certifique-se que, ao soltar a esfera metálica, ela irá de fato cair dentro do receptáculo (item 4, da lista de material utilizado);

e) Você irá agora realizar uma primeira

medida. Para isto pressione o campo <Continue>. Você será levado à janela ilustrada na Figura 2. O sistema agora está preparado para registrar as medidas.

f) Ao soltar a esfera, o circuito é aberto

e só é desativado quando a esfera toca o receptáculo. Neste instante, você deverá obter sua primeira medida, conforme mostra a figura 3:

g) O valor que aparece na

figura 3 é o tempo de queda livre da esfera. Ao pressionar <Close>, você será levado à tela inicial do programa e, portanto, você deverá iniciar uma nova medida

h) Familiarize-se com o

programa e realize 10 medidas do tempo de chegada para 3 alturas diferentes. Sugerimos h=10 cm, h=20 cm e h=40 cm. Anote as medidas no seu caderno numa tabela semelhante à Tabela 1 abaixo onde as alturas entre parêntesis são apenas uma indicação. Você deve medir as alturas reais de queda. Por exemplo, se você mediu a altura como 10,3 cm, não perca tempo ajustando a altura do disparador para 10 cm.

6. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Sabendo que o espaço percorrido em função do tempo, para um corpo em queda livre, é dado

por: 2

21)( gttS = , onde g é a aceleração gravitacional, você vai calcular a aceleração gravitacional (g) para

cada uma das suas medidas de tempo de queda ti utilizando a equação 1:

Figura 1

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21

22thg = (equação 1)

6.1. Determinação da aceleração da gravidade e do desvio padrão usando os recursos da planilha

eletrônica.

Sugerimos abaixo uma estrutura de tabela para organizar os seus dados e os resultados dos seus cálculos h(m)= 0,10 h(m)= 0,20 h(m)= 0,40

ti gi 2)( ggi − ti gi

2)( ggi − ti gi 2)( ggi −

∑gi ∑ 2)( ggi − ∑gi ∑ 2)( ggi − ∑gi ∑ 2)( ggi −

g gσ g gσ g gσ

Tabela 1

a) Vá para o menu Iniciar do Windows e abra a sua planilha:

Menu Iniciar → Programa → Excel

Copie para a sua planilha a estrutura da Tabela 1. Copie, na coluna correspondente, todos os valores medidos de ti. Lembramos que nesta experiência apenas os tempos e as alturas são dados primitivos. Os valores de gi são calculados a partir da equação 1 e para isto aproveitaremos as funções da planilha para calcular os valores individuais gi. Use de preferência o sistema MKS. Acione com o mouse a primeira célula da coluna correspondente a gi. Em seguida, acione a tecla “=” e insira a equação 1 na linguagem da sua planilha. Um exemplo para calcular o gi para a altura h=0,10m e o tempo de queda escrito na célula A3 é dado na Figura 4. Neste exemplo, o símbolo $ serve para fixar tanto a coluna (no caso, a coluna B) como a linha (no caso, a linha 1) contendo o valor 0,10, enquanto que a célula A3, que aparece dentro da função potência, não tem o símbolo $ o que indica que o endereço A3 é flutuante, isto é, quando se arrasta a fórmula para as outras células o endereço $B$1 não muda enquanto o endereço A3 vai mudar automàticamente e de acordo com a direção do arrasto. Lembramos que para chamar uma determinada função para uma célula, o procedimento geral consiste em ir ao menu principal e acionar:

Inserir Função Para determinar o quadrado de um número, seleciona-se a categoria:

matemática e trigonométrica Potência Para se escolher a função raiz quadrada, seleciona-se a categoria:

matemática e trigonométrica Raiz

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22

1)( 2

−= ∑

nggi

b) Depois de inserir a fórmula, “arraste” a mesma com o mouse para as demais células da coluna. Depois de arrastar a fórmula, deve surgir em cada célula o valor correspondente de gi. Repita o procedimento para as outras duas alturas. No caso de dúvida consulte o professor.

c) Não esqueça de colocar na sua

planilha todas as informações necessárias, como grandezas envolvidas, unidades e principalmente identificando claramente cada uma das colunas. Em seguida você vai calcular o valor médio e o desvio padrão de g.

d) No final de cada uma das

colunas de gi, invoque a função “somatório” de sua planilha acionando com o mouse o símbolo Σ que aparece no menu: Siga as instruções da sua planilha e selecione com mouse os dados a serem somados.

e) Na célula abaixo de cada “somatório” calcule a média de g ( g ) pela expressão da média

traduzida para a linguagem da sua planilha. f) A partir do valor de g e dos valores individuais de gi preencha a última coluna 2)( ggi − de cada

uma das tabelas. Anote a soma da coluna dos 2)( ggi − na última linha. g) Calcule o desvio padrão ( gσ ) na célula imediatamente abaixo do “somatório” usando a

expressão do desvio padrão de g (ver Apêndice) empregando a linguagem da planilha.

h) Agora, exprima a aceleração gravitacional local na forma ggg σ±= obtido para cada altura h.

Escreva o valor de σg com apenas um significativo. O número de algarismos significativos de g deverá ser dado em função de σg. Para exemplificar, se originalmente os resultados fossem g = 9,8723457 e σg = 0,06127, então σg =0,06 (um significativo) o que indica que o erro no valor de g está na 2ª casa decimal. Portanto neste exemplo o valor de g seria escrito como g=9,87±0,06.

6.2. Determinação da aceleração da gravidade e do desvio padrão usando a calculadora científica.

a) Uso da calculadora. As calculadoras científicas possuem funções estatísticas pré-definidas. Na maioria dos modelos, para ativá-las, pressiona-se a tecla ”MODE” e escolhe-se a opção “SD” que se entende por “Standard Deviation” cuja tradução é “desvio padrão”. No visor da calculadora deverá aparecer as siglas “SD” ou “STAT”. Com esta opção ficam disponíveis as funções para o cálculo da média ( x ), do desvio padrão ( 1−nσ ) e outras funções estatísticas. Os dados são armazenados acionando-se a tecla “DAT”. Em algumas calculadoras o desvio padrão é representado pela letra “s”.

Para os alunos que não possuem calculadora científica. Uma alternativa é utilizar a “calculadora” do seu computador. As funções estatísticas são acionadas através da tecla “STA”. A tecla “AVE” fornece o valor médio e a tecla “s” o desvio padrão. Os dados são introduzidos através da tecla

∑=

=n

iig

ng

1

1

A B 1 h(m)= 0,10 2 ti(s) gi(m/s2)

3 0,021 =

(2*$B$1)/Potencia(A3;2) 4 0,025 5 0,022 6 0,024 Figura 4. Para inserir uma fórmula matemática numa célula é necessário teclar o sinal “=”.

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23

“DAT”. Quando se aciona a tecla “STAT” deve surgir na tela a “caixa de estatística” que lhe mostrará os dados à medida que estas forem inseridas

b) Inicialmente, concentre-se nos dados gi para a altura h=10cm da Tabela1. Introduza na sua

calculadora os dez valores de gi correspondentes a esta altura. Lembre-se que a cada valor de gi você deve acionar a tecla “DAT”. Depois chame as funções da média ( x ), do desvio padrão ( 1−nσ ). Anote estes valores.

c) Antes de repetir o mesmo procedimento para as outras duas alturas você deve limpar os registros

anteriores que ficaram na memória de sua calculadora. Novamente, tal procedimento de limpeza varia de calculadora para calculadora e, em geral, tal processo de limpeza não pode ser feito apenas desligando a calculadora. No caso da calculadora do seu computador, esta limpeza é feita acionando-se o comando CAD na caixa de estatística. Depois da limpeza determine os valores de g e de gσ para as demais alturas. Escreva a aceleração gravitacional local na forma

ggg σ±= d) Compare os resultados dados pela sua calculadora com os calculados “manualmente” por você no

item anterior. Caso você constate alguma diferença, explique-a.

Observação Note que nas calculadoras existe o símbolo nσ o qual designa desvio padrão da média que é um conceito mais complexo que o desvio padrão de uma medida e não será usado neste curso. Neste curso adotaremos, por simplicidade, o símbolo gσ (letra grega com o símbolo da grandeza física) para

designar o desvio padrão de uma medida que nas calculadoras é simbolizada por 1−nσ Os alunos que estiverem interessados em maiores informações sobre desvio padrão podem obtê-las no Guia para Física Experimental na página da web:

www.dfte.ufrn.br/fis315/

6.3. Determinação da aceleração da gravidade e do desvio padrão usando as funções pré-definidas na planilha eletrônica.

a) Acione uma célula qualquer vazia abaixo do último valor de gi. Nela você vai calcular o valor

médio dos gi, acionando no menu:

Inserir Função Estatística Média OK

aparecerá na tela um quadro solicitando o campo de dados. Indique os dados digitando o campo ou usando o seu mouse. Pressione OK. Surgirá na célula acionada o valor médio de g..

b) Para calcular o desvio padrão, ative a célula abaixo daquela onde você determinou o valor médio

de g e siga os passos:

Inserir Função Estatística DESVPAD OK

Seguindo os mesmos passos do item anterior você deve obter o desvio padrão de g.

c) Escreva, para cada uma das alturas, a aceleração gravitacional local na forma ggg σ±= . d) Para salvar os seus dados, escolha o diretório:

• C:\Turmas\ • Escolha o subdiretório correspondente a sua turma (por exemplo, 3M456).

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6.4. Comparação dos valores de g .

a) Analise e compare os três valores de g (um para cada altura) determinados nos itens anteriores. Qual deles é o mais confiável. Qual deles é o mais preciso. Por quê?

b) Você pode afirmar que houve variação de g com a altura h? Por quê

c) Compare o seu melhor valor com o valor da gravidade aqui no laboratório medido com um gravímetro LaCoste & Romberg g=9,78107 m/s2.

d) Considerando os 10 valores de g obtidos para uma dada altura, você considera que o erro na medida de h pode ser considerado um erro sistemático? Justifique.

e) O erro sistemático, uma vez identificado, pode ser corrigido. Se você considerar que o valor médio de g que você calculou não está correto devido a um erro sistemático na medida de h, qual deveria ser o valor correto de h para cada uma das alturas? (Dica: Analise como o h entra no cálculo da média e observe que a média de g depende linearmente de h).

f) Calcule o erro cometido na medida de h, ou seja, a diferença entre o valor suposto correto e o valor que você mediu. Qual é o erro relativo?

g) Você considera estes erros aceitáveis?

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ATIVIDADE 03

1. TÍTULO: LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS 2. OBJETIVO: Estudar as equações do Movimento num Plano.

Aplicar a lei da Conservação da Energia Mecânica. Entender o significado do desvio padrão de uma medida.

3. MATERIAL UTILIZADO:

• Rampa de lançamentos • Esfera de massa m e raio r=0.016m • Régua, papel carbono e papel branco.

4. INTRODUÇÃO Nesta atividade, aplicaremos a Lei de Conservação da Energia Mecânica ao movimento de uma esfera maciça que desce rolando em uma rampa e é lançada horizontalmente no espaço, usaremos os conceitos de desvio padrão e média como descrito na atividade anterior.

Faça uma revisão de toda a fundamentação teórica que será aqui aplicada, consultando no livro texto os capítulos sobre Movimento num Plano, Conservação da Energia e Dinâmica da Rotação.

Depois de feita a revisão, considere a Figura 1 onde uma esfera metálica é abandonada no ponto I, situada a uma altura y do plano da mesa, e atinge o ponto de lançamento O, situada a uma altura h,. Depois de passar pelo ponto de lançamento O, a esfera atinge o ponto A situada sobre a mesa. Nessas condições;

Figura 1

a) Despreze a energia cinética de rotação associada ao movimento da esfera. Usando a Lei da

Conservação da Energia Mecânica entre os pontos I e O, e usando as equações horárias de lançamento de um projétil no plano entre os pontos O e A, mostre que o alcance ASR da esfera, quando largada de uma altura y na rampa de lançamentos, é dado por:

( )hhyASR −= 2 (equação 1)

b) Considere agora o momento de inércia de uma esfera maciça, a qual é dada por 2

52 mrI = , e a

energia cinética de rotação associada ao movimento, que é dada por 2

21 Iw . Usando a Lei da

Conservação da Energia Mecânica entre os pontos I e O, e usando as equações horárias de

I

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lançamento de um projétil no plano entre os pontos O e A, mostre que o alcance ACR da esfera, quando largada de uma altura y na rampa de lançamentos, é dado por:

( )hhyACR −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

752 (equação 2)

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Sobre a sua bancada encontra-se uma rampa de lançamentos na qual estão identificadas as várias posições de onde uma esfera deverá ser largada.

a) Meça a altura h do ponto de lançamento da esfera (extremidade da rampa) e anote no quadro

seguinte. (Veja figura 1) h (em cm)

b) Com o fio de prumo, identifique sobre o papel branco a origem O dos lançamentos (projeção do

ponto de lançamento sobre o papel).

c) Solte a esfera de cada altura y marcada na rampa, de modo que ela caia na folha de carbono colocado sobre o papel branco fixado na mesa, deixando neste as marcas do ponto de impacto. Identifique-as como o alcance A para cada altura y, meça-os e anote na tabela 1. Repita o procedimento 10 vezes para encontrar a média de A e o desvio padrão de A (σA) e preencha a Tabela 1.

Tabela 1 (Valores experimentais) y (cm) 30 35 40 45 50 A (cm) σA

6. ANÁLISE DOS RESULTADOS

6.1. Gráfico do alcance versus altura y a) Vá ao menu Iniciar do Windows e abra a planilha:

Menu Iniciar → Programa → Excel

b) Copie os dados experimentais (Tabela 1) para a sua planilha. c) Escreva o valor da altura h em alguma célula da planilha. d) Copie a estrutura da Tabela 2, mostrada abaixo, no Excel.

o A

O alcance médio A, é a medida ao centro do círculo. A medida do raio do círculo representa o desvio padrão de A (σA). De acordo com a estatística o círculo por você esboçado e cujo raio é σA, deve conter 68% dos dados. No nosso exemplo, embora apenas avaliado, o raio da circunferência representa uma boa aproximação do desvio padrão (σA) no alcance A.

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Gráfico do Alcance versus altura de lançamento y

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60

Altura y (cm)

Alc

ance

(cm

)

AASRACR

e) Na Tabela 2, acesse as células correspondentes a ASR e ACR e introduza as equações 1 e 2, usando a linguagem do Excel. Use os valores de y e de h para calcular os valores “teóricos” de ASR e ACR.

Tabela 2 (valores “teóricos”)

y (cm) 30 35 40 45 50 ASR (cm) ACR (cm)

f) Usando os valores experimentais

obtidos para o alcance A (Tabela 1) e os valores “teóricos” da Tabela 2, você vai construir os gráficos A versus y, ASR versus y, e ACR versus y no mesmo sistema de eixos para facilitar a comparação dos dados.

g) Para construir o gráfico de

interesse na sua planilha siga:

Inserir →Gráfico→Dispersão (escolha o 1º subtipo: apenas pontos)

→ Avançar

Continue a ação:

→Seqüência (ou Série) →

→Adicionar→:

Complete os três gráficos pedidos seguindo as instruções gerais dadas na Atividade 1 adaptando tais instruções para os dados da presente experiência. A Figura 2 é um exemplo do gráfico esperado. h) Desenhe uma curva “média” através dos pontos. Coloque o ícone do seu mouse sobre um dos

pontos de uma das seqüências e pressione duas vezes o botão direito do mouse até surgir um pequeno menu. Escolha:

→Adicionar linha de tendência → Polinômio →OK

Repita o procedimento para as demais séries.

6.2. Análise do gráfico com a barra de erros.

a) Para se fazer uma análise mais consistente dos resultados é usual colocarmos a barra de erros em torno dos pontos experimentais. A barra de erros nada mais é do que a representação gráfica do desvio padrão σA. Para introduzir a barra de erros no seu gráfico, coloque o ícone do “mouse” sobre um dos pontos experimentais e pressione o botão esquerdo do “mouse”. Com esta ação todos os pontos experimentais devem ficar em evidência. Em seguida, acione o botão direito do mouse. Deve surgir um pequeno quadro com um menu. Escolha a opção:

Formatar Série de Dados

Com esta última ação, deve surgir na sua tela, um quadro de opções semelhante à mostrada na Figura 3. Escolha:

Barra de erros em y

Figura 2

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No item Exibir, escolha:

Ambas

No item Erro, escolha : Personalizar

Acione o quadrado vermelho correspondente ao quadro +. Deve surgir um novo quadro onde você é convidado a colocar os valores dos erros. Neste ponto vá à Tabela 1 e escolha a linha correspondente aos valores de σA. Confirme e faça o mesmo procedimento em relação ao quadro – em Personalizar. Acione a tecla OK. Se tudo foi feito corretamente, as barras de erro devem aparecer no seu gráfico em torno dos pontos

experimentais conforme mostra a Figura 4.

Figura 4. Exemplo de uma curva experimental com as barras de erro.

b) Analisando as três curvas e levando em conta a barra de erros, identifique qual dos modelos

teóricos melhor descreve a experiência realizada; justificando a sua escolha. A que você atribui as diferenças entre as curvas?

Figura 3

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ATIVIDADE 04

1. TÍTULO: SEGUNDA LEI DE NEWTON 2. OBJETIVO:

Verificar experimentalmente a Segunda Lei de Newton.

3. MATERIAL UTILIZADO

(1) Canhão de ar; (2) Corpo de massa m1

(cavaleiro+100gramas adicionais); (3) Trilho de ar; (4) Sensor Phywe (Basic Unit/Phywe—

Cobra3); (5) Massas diversas; (6) Porta-peso (de massa m2); (7) Sensor Phywe com polia dentada; (8) Fios diversos, cabos, barbante e

computador 4. INTRODUÇÃO

Esta experiência é feita utilizando o aparato experimental da figura 1 acima. Para um bom desempenho nesta atividade, você deverá conhecer toda a fundamentação teórica sobre os fenômenos físicos que serão aqui estudados. Para isso, é essencial que sejam consultados no livro texto os capítulos sobre a Segunda Lei de Newton e aplicações. Concomitantemente à verificação dos conceitos teóricos, você irá desenvolver procedimentos de análise baseados no uso de uma planilha eletrônica. Embora os gráficos gerados por ela não sejam dos mais convenientes, os procedimentos são rápidos e eficientes.

De maneira sucinta, a presente experiência irá verificar a 2a. Lei a

partir de um exemplo clássico da Mecânica esquematizado na figura 2, onde o atrito da mesa (representado pelo trilho de ar na figura 1) e as massas da corda e da polia são considerados desprezíveis. Sabemos que a 2a. Lei pode ser aplicada a cada corpo isoladamente ou ao sistema de massa m1 +m2. Demonstre que neste caso, a 2a. Lei de Newton pode ser escrita como:

ammF )( 21 += (equação 1)

onde F=m2g é a força resultante atuando no sistema Na presente experiência, a massa (m1+m2) do sistema embora

desconhecida, permanecerá constante durante o experimento. Varia-se a força resultante F (através da variação da massa m2) e mede-se a aceleração resultante. A força resultante F será suposta conhecida (as massas m2 são conhecidas), cabendo ao aluno calcular a aceleração resultante a em cada caso e preenchendo-se a tabela abaixo. A verificação da 2a. Lei dar-se-á através da análise dos dados obtidos para a força (F) e para a aceleração (a).

m2 (g) F (N) a (m/s2) 10 20 30 40

A seguir indicaremos os procedimentos experimentais para se determinar as acelerações a.

m1m1

2

Figura 2

Figura 1

Tabela 1

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5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

A aceleração é uma grandeza derivada cujo valor depende das grandezas fundamentais espaço (s.) e tempo (t). O espaço percorrido (s), no trilho de ar, pelo corpo de massa m1 (chamada de cavaleiro) será registrada em função do tempo (t) e mostrada na tela do computador.

a) Ligue o canhão de ar e verifique que o atrito é minimizado. Coloque inicialmente o porta-peso vazio (de massa m2=10 gramas) de modo que ao soltá-lo ele cairá e puxará o cavaleiro através do barbante que por sua vez girará a polia. Este deslocamento da polia será registrado pela interface Cobra. Verifique que isto, de fato, ocorre com sua experiência. Certifique-se que o barbante não desliza na polia.

b) Para obter os dados desta distância percorrida, você deve acionar o programa “measure” no diretório

Phywe seguindo as instruções abaixo.

Menu Iniciar--- Programas--- Phywe--- Measure

c) Após invocar o programa Measure, você deverá ter na tela o seguinte menu:

d) Com o mouse acessar o menu:

File New Measuring

Voce será levado imediatamente à Figura 3 abaixo.

Figura 3

Observe na figura a configuração do sistema de medidas. O sistema está configurado para iniciar e finalizar as medições automaticamente. Durante o período ativo deve registrar uma medição de s e de t a cada 30 ms. Mantenha os campos como mostrado na figura 3.

e) Você irá agora realizar uma primeira medida. Para isto pressione o campo <Continue>. Você será

levado à janela ilustrada abaixo. O sistema agora está preparado para registrar as medidas.

30

25.4

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f) Acione o canhão de ar e segure o

corpo que fica sobre o trilho de ar. Certifique-se que o barbante que liga o cavaleiro que está sobre o trilho de ar e o porta-pesos passa pela polia. Solte o corpo.

g) Os dois corpos ganham velocidade e

eventualmente o porta-amostras tocará o solo e o corpo sobre o trilho atingirá o final do trilho quando então o sistema automaticamente cessará a aquisição de dados.

h) Aparecerá no seu monitor um gráfico parecido com o da Figura 5 abaixo.

Figura 5

i) O gráfico da figura 5 acima mostra o deslocamento em função do tempo. Repare que nesta

experiência até aproximadamente 2,3 seg o gráfico indica uma curvatura num certo sentido e após este instante uma curvatura em sentido contrário. A mudança na curvatura indica que o corpo iniciou a colisão com o batente.

j) Você pode ver visualizar os valores numéricos registrados nesta medida. Escolha:

Mesurement Data table

Uma tabela surgirá na sua tela, conforme mostra a figura abaixo:

Figura 4

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0,6

2,1

0,0

2,3

Figura 6

Você pode navegar por esta tabela utilizando o mouse, ou as setas do teclado. No caso ilustrado acima, os dados “úteis” para nossa experiência são aqueles entre 0,0 e 2,3 seg. Isto é, temos 2,3 seg. de dados.

k) Você pode salvar suas medidas num arquivo,

escolhendo:

File Export data.

Surgirá um painel de opções, como a figura ao lado. Escolha “Save to file” e “Export as numbers”. Além disso, você deve preencher os dois quadros seguintes colocando o intervalo de interesse. No caso do nosso exemplo acima seria “from 0,0” to “2,3”. Pressione “OK”.

Para salvar os seus dados, escolha o diretório:

• C:\Turmas\ • Escolha o subdiretório correspondente a sua turma (por exemplo, 3M456). • Dê um nome que traga alguma informação sobre o conteúdo do seu arquivo, por exemplo,

Ativ3_10g. O arquivo será salvo como texto e poderá ser lido por outros programas.

l) Familiarize-se com o programa e realize medidas variando as massas que vão no porta-peso. Ponha algo para absorver o impacto do porta-peso no chão. Utilize massas de 10, 20, 30 e 40g, mas de maneira a manter a massa total do sistema (m1 + m2) constante. Para cada massa utilizada você deve criar um arquivo correspondente o qual será exportado conforme explicado no item anterior.

6. ANÁLISE DOS RESULTADOS

6.1. Organização dos dados e confecção dos gráficos.

a) Considere: a aceleração sofrida pelo corpo sobre o trilho de ar; g aceleração da gravidade (utilize um valor calculado experimentalmente por você numa

experiência anterior!); m1 massa total do corpo sobre o trilho de ar (cavaleiro + pino prendedor do barbante +100g extra);

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m2 massa total do porta-pesos (a massa do porta-pesos é 10g) (m1 + m2) constante

b) Determinação da aceleração do cavaleiro (corpo sobre o trilho de ar). O espaço percorrido em função

do tempo, para um movimento uniformemente acelerado é dado por:

221

00)( attvstS ++= (equação 2)

onde as constantes vo e so representam as condições iniciais e a é a aceleração do corpo. Note que, matematicamente, a expressão é um polinômio do 2° grau. Através do gráfico espaço (s) versus tempo(t) você vai encontrar a aceleração (a) do corpo sobre o trilho de ar para os diferentes valores de massas (m2) que foram utilizadas no porta-peso. Os gráficos bem como a determinação das acelerações serão feitos no computador através da planilha eletrônica seguindo os passos dados a seguir

c) Vá para o menu Iniciar do Windows e abra a sua planilha:

Menu Iniciar → Programa → Excel

d) Você vai importar os dados. Iniciaremos com os dados correspondentes a 10g. Ative o menu da sua planilha:

Dados → Importar dados externos → Importar dados →:

C:\Turmas\Turma\Ativ3_10g.txt →Delimitado →Avançar →Avançar →Concluir

e) Importe os demais dados para 20g 30g e 40g

f) Se você importou os dados corretamente, você deve obter na sua planilha colunas como as mostradas

na figura 7. A 1ª coluna contem as medidas de tempo (t) e a 2ª deve conter as correspondentes posições (s) do cavaleiro.

g) Para construir o gráfico de interesse:

Inserir →Gráfico→Dispersão (escolha o 1º subtipo) → Avançar→Seqüência (ou Série) →Adicionar→:

Nome: escreva no espaço correspondente um nome para a seqüência (por ex. 10 g). Como você vai

mais tarde sobrepor outras curvas neste mesmo gráfico, o nome vai servir para distinguir uma curva da outra.

Figura 7

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Valores de x: acione com o mouse o pequeno quadrado com a seta vermelha. Aparecerá na tela uma pequena janela pedindo os valores de x. Com o mouse, selecione a célula contendo o primeiro valor de t. Acione ao mesmo tempo as teclas SHIFT, Ctrl e Seta para baixo. Esta ação o levará a selecionar todos os dados de t contido naquela coluna. Acione a tecla “Entra” para finalizar a inserção.

Valores de y: acione com o mouse o pequeno quadrado com a seta vermelha. Com o mouse, selecione a coluna contendo os valores das posições (s). Acione a tecla “Entra” para finalizar a inserção.

→ Avançar→:

Escreva nos espaços correspondentes o título do gráfico e os nomes das grandezas físicas em cada eixo. Em seguida acione o botão de “Concluir”. Deverá aparecer na sua planilha o gráfico s versus t.

h) Salve a sua planilha dando um nome adequado a ela. i) Para importar os dados da massa de 20g repita os itens acima. O gráfico correspondente deve ser feito

no mesmo sistema de eixos do gráfico anterior. Para tanto, com o mouse coloque em evidência o gráfico já feito. Apertando o botão direito do seu mouse deve surgir um submenu:

Dados de origem→Seqüência→Adicionar→

Nome: escreva um nome para a seqüência (20g) Valores de x: indique onde estão os valores de x. Valores de y: indique onde estão os valores de y.

→ Avançar→OK j) Repita o procedimento anterior para as massas de 30g e 40g. Ao final desta operação você deve obter

quatro seqüências de pontos num mesmo sistema de eixos. As legendas servem para identificar cada uma delas.

6.2. Linha de Tendência.

a) Coloque o ícone do seu mouse sobre um dos pontos da seqüência correspondente a 10g e pressione

duas vezes o botão direito do mouse até surgir um pequeno menu. Escolha:

Adicionar linha de tendência → Polinomial→ 10g → Opções → Exibir equação da reta→Exibir valor de R-quadrado no gráfico.

1a Compare a equação obtida com a equação teórica 2. Porque razão foi escolhida a linha de

tendência tipo polinomial? 2a Qual é o significado da constante independente na equação determinada? 3a Qual o significado da constante do termo linear? 4a Qual o significado da constante do termo quadrático?

b) Determine o valor da aceleração correspondente à massa de 10g. c) Repita o procedimento para as demais seqüências com o fim de determinar as acelerações em cada

caso e preencha a Tabela 1 abaixo, na coluna da “Aceleração”.

d) Você deve ser também capaz de identificar a força resultante (F) que atuando sobre o sistema provocou as acelerações a calculadas no item anterior. Feito isto, complete a tabela abaixo.

Massa m2 Força resultante (F) Aceleração (a)

10g 20g 30g 40g

Tabela 1 e) Na sua planilha eletrônica, faça o gráfico da força resultante (F) versus a aceleração (a) do sistema e

determine a equação da reta obtida.

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f) Note que o coeficiente angular do gráfico (F) versus (a) tem o significado físico de massa. Qual o valor do coeficiente angular e que massa ela representa?

g) Determine a massa do sistema usando uma balança e compare-a com o valor determinado a partir do

gráfico. h) Em sua opinião, o procedimento seguido provou a 2ª Lei de Newton? Justifique. i) Note que as acelerações constantes da Tabela 1 são valores experimentais porquanto foram obtidas

através de medidas feitas pelo equipamento Phywe. Uma outra maneira de verificar a Segunda Lei de Newton é comparar as acelerações experimentais com aquelas previstas pela teoria. Denominando de at a aceleração “teórica”, demonstre que a mesma é dada por:

gmm

mat21

2

+=

j) Compare os valores das acelerações experimentais com as “teóricas” completando a Tabela 1.

Calcule o erro relativo destas suas medidas.

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ATIVIDADE 05

1. TÍTULO: COLISÕES ELÁSTICAS E PERFEITAMENTE INELÁSTICAS 2. OBJETIVOS: A partir das medidas das velocidades dos carrinhos antes e depois do choque, determinar a

relação entre as suas energias e momenta inic93iais e finais, de modo a verificar as dependências com as massas e condições iniciais, bem como verificar as leis de conservação da energia e momentum.

3. MATERIAL UTILIZADO

• Trilho de ar com compressor: • Dois carrinhos (o carrinho 2 marcado como Alvo). • Batedor para choque elástico; • Prendedor para choque perfeitamente inelástico; • Modulo Interface Phywe (Basic Unit—Cobra3); • Disparador mecânico; • Massas diversas; • Balança; • Fios diversos, cabos e o computador com o programa Measure.

4. INTRODUÇÃO Nesta atividade, aplicaremos os conceitos de Conservação do momento linear, conservação da energia mecânica, velocidade, colisões elásticas, colisões inelásticas, dissipação de energia. Como sabemos, existem várias situações em que em um dado sistema a energia mecânica e o momento linear se conservam, de modo que estas leis podem ser facilmente usadas para descrever o movimento dos componentes do sistema. Na presente atividade, estudaremos apenas os casos mais simples e básicos de colisões. Assim os choques envolverão apenas dois corpos. Um deles será denominado “alvo”, marcado como carrinho 2 e estará sempre em repouso antes do choque. O segundo corpo será chamado de ”projétil” e marcado como carrinho 1. As colisões se darão sempre em uma dimensão. Bàsicamente, o problema será em conhecendo as condições do sistema “antes do choque”, determinar o que acontecerá com os corpos “depois do choque”. Examinaremos dois tipos de colisões: a colisão elástica e a colisão perfeitamente inelástica. As notações adotadas serão as mesmas encontradas nos livros de Física Básica. Assim, denominaremos a massa de m, a velocidade de V, a energia cinética de EC e o momento linear de p. Dependendo da situação, cada uma dessas grandezas receberá um índice que pode ser um “2” ou um “1” para distinguir o “alvo” do “projétil” ou ainda poderá receber um índice “i”, para significar inicial, ou um “f” para se referir à situação final. Assim, como exemplo, m2 significa massa do “alvo” e V1i significa velocidade inicial do projétil.

Nas condições descritas acima, consideremos inicialmente o tipo de colisão elástica, onde tanto o momento linear como a energia cinética do sistema, antes e depois da colisão, se conservam. Esta situação pode ser formalizada pelas equações abaixo:

Figura 1

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37

Figura 2

ffi vmvmvm 221111 += (momento linear) e

2222

12112

12112

1ffi vmvmvm += (energia cinética)

Pode-se demonstrar que nestes casos as velocidades finais serão dadas por:

if vmmmmv 1

21

211 +

−= e

if vmm

mv 121

12

2+

= (equações 1)

Para o caso da colisão perfeitamente inelástica, onde a energia mecânica não é conservada (após a colisão os dois carrinhos adquirem a mesma velocidade V1) pode-se demonstrar que a velocidade final é dada por:

if vmm

mv 121

1+

= (equação 2)

Analise as equações 1 e 2 e descreva o que acontece com as velocidades finais quando: a) m1=m2 b) m1>>m2 c) m1<<m2

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

5.1. Choque Elástico a) Verifique através do esquema da

Figura 1 se as ligações elétricas para esta experiência estão corretas.

b) Execute o programa de aquisição de dados Measure, e coloque os parâmetros Timer/Counter de acordo com o que está mostrado na Figura 2

c) Coloque o dispositivo (garfo) com a borracha em um carrinho e o batedor laminar no outro.

d) Ligue o compressor de ar na posição 4

e) Dispare um dos carrinhos, o projétil, em direção ao alvo, que vai estar parado. Leia as respectivas velocidades antes e após o choque.

Projétil Alvo

Depois do choque

V1f

1 2

V2f

V2i=0

Projétil Alvo

Antes do choque

V1i

1 2

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f) Para cada par (m1, m2), preencha as tabelas abaixo. Recomendamos aos alunos que reproduzam as mesmas na planilha do Excel com a finalidade de facilitar os cálculos.

5.2. Choque Perfeitamente Inelástico

a) Coloque o batedor de agulha em um dos carrinhos e o batedor com cera no outro. b) Repita os procedimentos do caso elástico, preenchendo as tabelas abaixo.

Caso 1: m1 = m2. massa Vi V1 ECi ECf pi pf projétil alvo

antes do choque depois do choque Momento total Energia cinética total

Caso 2: m1 < m2. massa Vi V1 ECi ECf pi pf projétil alvo

antes do choque depois do choque Momento total Energia cinética total

Caso 3: m1 > m2. massa Vi V1 ECi ECf pi pf projétil alvo

antes do choque depois do choque Momento total Energia cinética total

Tabela 1. Resultados dos choques elásticos.

Caso 1: m1 = m2. massa Vi V1 ECi ECf pi pf projétil alvo

antes do choque depois do choque Momento total Energia cinética total

Caso 2: m1< m2 massa Vi V1 ECi ECf pi pf projétil alvo

antes do choque depois do choque Momento total Energia cinética total

Tabela 2. Resultados dos choques perfeitamente inelásticos.

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6. ANÁLISE DOS RESULTADOS

6.1. Critérios para a análise.

Nos vários casos, aqui estudados, voce vai se defrontar com o problema de interpretar os números de uma experiência. Por exemplo, se o modulo do momento linear antes do choque deu Pa=12,77 kgm/s e o do momento após o choque deu Pd=12,34, qual o critério que devemos usar para afirmar que o momento se conservou ou não? É obvio que em termos de matemática 12,77 é diferente de 12,34, mas aqui estamos lidando com os resultados de um experimento o qual estará sempre sujeito a erros. A diferença entre os dois números é devida aos erros experimentais ou é devida ao fenômeno em si? Sem analisarmos os erros será impossível chegarmos a uma conclusão. Para respondermos à pergunta acima será necessário fazermos uma análise estatística dos erros experimentais. Mais especificamente, será necessário calcularmos o desvio padrão de cada uma das medidas e verificar o que popularmente é denominado de “margem de erro”. Lembrem-se da frase típica em época de eleições: na pesquisa o candidato A teve 34% dos votos e o candidato B teve 31%, mas como a “margem de erro” para cada candidato é de 3% para mais ou para menos concluímos que, estatìsticamente, os dois candidatos estão empatados. Fazer uma análise de erros minuciosa está além dos propósitos deste experimento. Os alunos devem aceitar os resultados de análises preliminares feita pelos professores. Em condições normais, onde o trilho de ar está limpo e bem nivelado e outros cuidados experimentais foram tomados, o erro relativo admissível nas medidas deve ser de:

5% para o momento linear (o que equivale a ± 2,5% de erro no valor de P) e de

7% para a energia (o que equivale a ± 3,5% de erro no valor de E).

Os valores acima devem ser comparados com as obtidas através das expressões:

%100%i

fiP P

PP −=δ e

%100%i

fiE E

EE −=δ

Se δ%P ≤ 5% então Pi=Pf. O mesmo raciocínio se aplica em relação à energia. Portanto, antes de responder as questões abaixo, é recomendável preencher devidamente as tabelas abaixo:

Choque elástico Ei Ef δ%E pI pf δ%P m1 = m2 m1 > m2 m1 < m2

Choque inelástico Ei Ef δ%E pI pf δ%p m1 = m2 m1 < m2

Tabela 3

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6.2. Choque Perfeitamente Elástico

a) Verifique se o choque foi, de fato, perfeitamente elástico nos três casos analisados. Por quê? b) A quantidade de movimento linear se conservou? Por quê? c) O que prevê a teoria para os casos analisados?

6.3. Choque Perfeitamente Inelástico

a) A energia cinética foi conservada nos dois casos? Por quê? b) A quantidade de movimento linear se conservou? Por quê? c) O que prevê a teoria para os casos analisados? d) Que fração da energia cinética foi conservada nos dois casos acima?

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ATIVIDADE 06

1. TÍTULO: MOMENTO DE INÉRCIA DE UM DISCO E A CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 2. OBJETIVO: Determinar o Momento de Inércia de um disco. 3. MATERIAL UTILIZADO

(1) Disco de Inércia M de massa e raios conhecidos. (2) Digitalizador/contador Cobra 3 (3) Sensor Phywe com (4) polia dentada (5) Porta peso m de 10g

Fios diversos Computador (não mostrado)

4. INTRODUÇÃO

Para um bom desempenho nesta atividade, você deverá conhecer toda a fundamentação teórica sobre os fenômenos físicos que serão aqui estudados. Para isso, é essencial que sejam consultados no livro texto os capítulos sobre Conservação da Energia, Torque, Momento de Inércia e Momento Angular.

4.1. Determinação do Momento de Inércia Ig de um disco por considerações geométricas Este experimento consta de um disco de fibra, de massa M e de raio R, montado em um eixo preso firmemente a um conjunto de hastes metálicas. Sabemos que o Momento de Inércia I pode ser determinado

por considerações geométricas através da integral dmrI g ∫= 2 o que aplicado ao disco em questão

resulta:

221 MRI g = (equação 1)

Utilizando a expressão acima calcule o momento de inércia do disco (Ig) e preencha a Tabela 1 sabendo-se que M=(1317±1)gramas e R=(12,25±0,01)cm. Considere os algarismos significativos no seu cálculo. O valor calculado (Ig) servirá como termo de comparação para o momento de inércia que você irá determinar experimentalmente.

4.2. Determinação experimental do Momento de Inércia desprezando-se o atrito (ISA). O Momento de Inércia do Disco (I) pode ser determinado experimentalmente a partir de considerações sobre a Lei de Conservação da Energia. Concêntrico ao disco e ligado a este, há um pequeno cilindro de raio r = 2,24 cm onde se enrola um barbante em cuja extremidade está preso o porta-peso de massa m=10g. O aparelho é montado de forma a permitir que o porta-peso caia de uma altura h de aproximadamente 150 cm. Durante este trajeto a tração do fio fará o disco M girar. Depois de solto, o porta-peso ganha velocidade atingindo uma velocidade final V1 antes de se desprender do disco. O disco M continuará a girar até parar. No instante inicial toda energia do sistema Disco+porta-peso estará na forma de energia potencial do porta-peso, dado por mgh. Chamando Ei de energia inicial do sistema, tem-se: Ei=mgh. À medida que o porta-peso vai caindo, a energia potencial inicial vai se transformando na soma da energia cinética de rotação do Disco, energia cinética de translação do porta-peso, energia potencial do porta-peso. No exato momento em que o porta-peso se desprende do disco, ela terá percorrido uma altura h e estará

Ig=

Tabela 1

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42

com velocidade final V1, e o disco, cujo momento de inércia (ISA) queremos determinar, estará girando a uma velocidade angular wf. Escrevendo o balanço de energia na forma de equação tem-se:

212

1212

1 mvwImgh SA += (equação 2)

Note que na equação acima são supostos conhecidos a altura h, a massa m e o tempo de queda t1. A velocidade final V1, pode ser determinada supondo-se que o movimento do porta-peso se faça com aceleração a constante conhecida. A velocidade angular wf. pode ser expressa em termos de V1 e do raio r do pequeno cilindro. Escreva, a partir da equação 2, a expressão de ID em função de m, r, g, h e V1.

4.3. Determinação do Momento de Inércia experimentalmente considerando-se o atrito (ICA). As equações 2 e 3 não levam em conta a energia perdida por atrito durante o tempo de queda t1. Para se levar em consideração tal perda de energia, adicionamos um termo a mais na equação 2:

1212

1212

1 ptmvwImgh CA ++= (equação 4)

onde o termo pt1 representa a energia perdida por atrito durante o tempo t1.. Ou seja, p representa a energia perdida por unidade de tempo. Assim, temos agora uma equação e duas incógnitas (ICA e p) e para resolvê-la precisaremos de uma outra equação. Esta segunda equação independente pode ser obtida a partir de considerações acerca do balanço de energia entre dois outros instantes. Um instante corresponde ao instante em que o porta-peso se desprendeu do disco M e o outro instante corresponde ao exato momento em que o disco M para de girar. Se você medir este intervalo de tempo, que chamaremos de t2, então teremos condições de determinar I. No instante em que o porta-peso se desprendeu do disco M a energia de rotação do mesmo será dada por 2

121 wICA . Se ao

final do intervalo de tempo t2 o disco deixa de girar, isto significa que toda aquela energia de rotação foi dissipada em forma de energia de atrito, que será quantificada por pt2. Portanto, a segunda equação que procuramos será dada por:

22

21 ptwI fCA = (equação 5)

Assim com duas incógnitas (ICA e p) e duas equações (4 e 5), podemos determinar ICA. Escreva no quadro abaixo, a expressão de ICA em função de m, r, g, h, t1 , t2 e V1.

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

5.1. Determinação da altura de queda (h) e da velocidade final (V1 ) do porta-peso.

Examinando-se as equações 3 e 6, as quais serão utilizadas para se calcular o momento de inércia experimental, nota-se que as grandezas m, r e g são supostas conhecidas. As demais grandezas, h, t1, t2, e V1 serão medidas experimentalmente. Quanto a estas últimas, note que com exceção de V1 todas as demais são medidas diretas. A velocidade final V1 será determinada considerando-se que o corpo de massa m cai com aceleração constante, ou seja, através da expressão: V1. =Vo + at.

ICA=

Equação 6

ISA=

Equação 3

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Figura 4

a) Concêntrico ao disco e ligado a este, há um pequeno cilindro de raio r = 2,24 cm. Enrole no cilindro o barbante em cuja extremidade está preso o porta-peso de massa m=10g conforme mostra a Figura 2 ao lado. Depois passe o fio pela polia do sensor Phywe.

b) Para obter os dados da posição de

m no computador você deve acionar o programa “measure” no diretório Phywe seguindo as instruções abaixo.

Menu Iniciar--- Programas--- Phywe---

Measure

c) Após invocar o programa Measure e ativar a interface, você terá na tela a figura ao lado (Figura 3):

d) Você irá agora realizar uma

primeira medida. Para isto pressione o campo:

<Continue>

e) Uma nova tela aparecerá no monitor (Figura 4). Após ter marcado a posição de largada do corpo m em relação ao piso, solte-o. Simultaneamente pressione com o mouse o campo:

<Start measurement>.

f) O corpo m ganha velocidade e eventualmente toca o chão. O disco M continuará a girar até parar. Quando o disco M parar de girar, você deve encerrar a aquisição de dados pressionando o campo:

<Stop measurement>.

g) Aparecerá no seu monitor um gráfico

parecido com o da Figura 5. Caso o gráfico esteja deformado, é sinal de que algum problema ocorreu. Em geral, é um indicativo de que a polia girou em falso ou deixou de girar devido a uma perda momentânea de contato entre o fio e a polia. Neste caso, realize outra série de medidas até conseguir um conjunto de dados razoáveis.

Disco de Inércia M Sensor Phywe com polia dentada

Porta peso m

Fio

Haste

w

Figura 2

Figura 3

100

25,4

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h) Antes de salvar os seus dados num arquivo, você vai

examinar o gráfico fornecido pelo programa Phywe com a finalidade de determinar os tempos t1, e t2. Você deve notar no gráfico da Figura 5 duas regiões. A primeira corresponde à região dominada pelo tempo de queda t1 da massa m. Nesta região o deslocamento da massa é crescente e supostamente realizado sob aceleração constante. A outra região do gráfico inicia no instante em que a massa m atingiu o solo e termina quando o disco M pára de girar. Chamaremos de t2 à este intervalo de tempo. Com o auxílio do seu mouse determine os tempos t1, e t2 e anote os mesmos na Tabela 2.

i) Em seguida, você deve salvar num arquivo apenas os dados referentes ao intervalo de 0 a t1, isto

é, apenas a região onde o corpo permaneceu acelerado. Você pode salvar suas medidas num arquivo, escolhendo:

File Export data.

Surgirá um painel de opções. Escolha “Save to file” e “Export as numbers”. Além disso, você deve preencher os dois quadros seguintes colocando o intervalo de interesse. No caso do nosso exemplo acima seria “from 0,0” to “tempo t1”. Pressione “OK”. Para salvar os seus dados, escolha o diretório:

• C:\Turmas\

6. ANÁLISE DOS RESULTADOS

6.1 Determinação do Momento de Inércia do Disco.

a) Vá para o menu Iniciar do Windows e abra a sua planilha: Menu Iniciar → Programa → Excel

b) Os procedimentos a seguir são muito semelhantes aos utilizados na Atividade 04 ou Leis de

Newton para se calcular a aceleração. O gráfico obtido deve ser semelhante ao da figura 6. Em resumo, os passos são:

• Importar os dados • Inserir gráfico tipo dispersão • Adicionar linha de tendência tipo polinomial

Se você tiver alguma dúvida nos passos a seguir consulte a Atividade 4, parágrafo 6.1.

c) Em seguida analise a linha de tendência obtida no gráfico, identificando o significado físico e o valor de

h = t1 = t2 = massa do porta-peso =(10,0±0,5) g o raio do cilindro - r = (2,24±0,02)cm

Tabela 2

Gráfico da queda do corpo m

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

0 50 100 150 200

Tempo (s)

desl

ocam

ento

(m)

Figura 5

Deslocamento (s) em função do tempo de queda (t)

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30

t(s)

s(m

)

Figura 6

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cada uma das constantes da equação. Com isto, você deve ser capaz de, inicialmente, determinar diretamente a altura h (h=s1-s0) de queda do porta-peso de massa m. Anote esta altura e escreva-a na Tabela 2.

d) Utilizando ainda os resultados da linha de tendência, calcule a velocidade V1 de queda da massa m

no final do tempo t1 através da equação: V1. =Vo + at.

e) Agora você conhece todos os parâmetros para calcular o valor do momento de inércia

experimentalmente. Substitua os mesmos nas equações 3 e 6 para calcular o momento de inércia sem atrito (ISA) e com atrito (ICA) respectivamente. Preencha a Tabela 3.

f) Calcule os erros percentuais dos momentos de inércia ISA e ICA em relação a o valor teórico Ig.

g) Comparando os momentos de inércia experimentais ISA e ICA com o momento de inércia “teórico” Ig, há coerência nos resultados? Justifique sua resposta.

Momento de Inércia Valores (g.cm2) ISA (sem perdas)

ICA (com perdas)

Ig (teórico)

Tabela 3

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1 2 3 4

5

6

ATIVIDADE 07

1. TÍTULO: OSCILAÇÕES AMORTECIDAS 2. Objetivos:

Verificar experimentalmente as equações que regem o movimento harmônico amortecido em uma dimensão. Interpretar os parâmetros da equação.

3. Material utilizado: • Haste com base metálica (1) • Mola (2) • Porta peso c/ massa de 100g (3) • Sensor com polia dentada (4) • Fios diversos (5) • • Digitalizador Cobra 3 (6) • Computador (não mostrado)

4. Introdução Sabemos da teoria que a freqüência de oscilação (w0 ou f0)de um sistema massa-mola ideal, isto é, sem a presença de forças dissipativas é dada pela relação:

mkfw == 00 2π

e que a posição (x) da massa em relação ao tempo pode ser descrita por: )cos()( 0 φ+= twAtx m Ao contrário dos sistemas ideais, os sistemas oscilantes reais sempre apresentam perda de energia devido à atuação de forças não conservativas. Como conseqüência a amplitude das oscilações vai diminuindo com o tempo. A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denomina-se amortecimento e o movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida. O aluno deve consultar um livro de teoria para estudar o fenômeno em mais detalhe. Nosso objeto de estudo é um sistema massa-mola, que oscila na direção vertical sob a ação da gravidade e de pequenas forças dissipativas as quais vamos supor que sejam diretamente proporcionais à velocidade do corpo que oscila. Portanto, a força resultante sobre o corpo será:

bvkxF −−= Onde k é a constante elástica da mola e b é a constante de amortecimento. A segunda lei de Newton para este sistema será dada por:

2

2

dtxdm

dtdxbkx =−−

A teoria nos mostra que a solução da equação acima, para pequenas oscilações, é dada por:

)'cos()( )2/( φ+= − tweAtx tmbm

onde a freqüência angular w’ é dada por:

2

2

4'

mb

mkw −=

Para simplificar, lembremos que 0wmk= e chamemos a razão

mb

2 de β e à qual daremos provisòriamente o

nome de índice de amortecimento. Com isto as duas equações acima podem ser escritas:

)'cos()( . φβ += − tweAtx tm (equação 1)

220' β−= ww (equação 2)

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Figura 1

onde ´2' fw π= e 00 2 fw π= 5. Procedimentos Experimentais

5.1. Medidas do movimento oscilatório amortecido. a) Passe o fio através da polia do conjunto medidor Cobra3 conforme

mostra a figura ao lado. Faça o sistema massa-mola executar pequenas oscilações. Evite grandes amplitudes nas oscilações a fim de evitar danos na mola. Você vai notar que as oscilações amortecem rapidamente principalmente devido ao atrito entre os mancais da polia. Ajuste o sistema de maneira que ele execute pelo menos dez oscilações. Evite que o fio deslize em falso pela polia.

b) Para obter os dados das oscilações no computador você deve

acionar o programa “measure” no diretório Phywe seguindo as instruções abaixo.

Menu Iniciar--- Programas--- Phywe--- Measure

c) Após invocar o programa Measure, você deverá ter na tela o seguinte menu:

d) Com o mouse acessar o menu e escolher o tipo de medidor:

Gauge--- Cobra3 ---

Translation/Rotation

Voce será levado imediatamente à Figura 1 ao lado.

e) Observe na figura a configuração

do sistema de medidas. Mantenha os campos como mostrado na figura com exceção de dois parâmetros: • Ative o campo <oscillating

movement>. • No campo <Get Value>

coloque 30ms. Isto indica que o sistema vai realizar medidas a cada 30 ms. Este valor pode e deve ser ajustado de acordo com o tipo de experimento.

f) Faça uma primeira medida. Para isto pressione o campo <Continue>. Você será levado à janela ilustrada

abaixo.

g) Faça o sistema massa-mola oscilar e pressione o campo:

<Start measurement>.

h) Quando a massa parar de oscilar você deve pressionar o campo:

25,4

30

x

30

x

30

x

30

x

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Figura 2

Fi 4

<Stop measurement>.

Aparecerá no seu monitor um gráfico das oscilações que se bem realizada terá um aspecto parecido com o da Figura 3 abaixo. Caso o gráfico esteja deformado, é sinal de que algum problema ocorreu. Em geral, é um indicativo de que a polia girou em falso ou deixou de girar devido a uma perda momentânea de contato entre o fio e a polia. Neste caso, realize outra série de medidas até conseguir um conjunto de dados razoáveis. Obtenha um conjunto em que apareçam pelo menos cinco oscilações completas. Para realizar nova série de medidas pressione:

File → New measurement

Obs.: Procure obter um conjunto de dados ou um gráfico onde as oscilações sejam simétricas em relação à linha y=0. i) Depois de conseguir uma seqüência razoável salve os seus dados:

File → Save measurement → Nome ao arquivo.

6. ANÁLISE DOS RESULTADOS

6.1. Gráfico do Movimento Harmônico a) Para aprofundar o nosso estudo, iremos processar os

dados obtidos utilizando as ferramentas de uma planilha eletrônica. Antes disso, teremos que salvar os nossos dados num formato universal. No menu escolha:

Measurement → Export data

• Destination: Save to file • Export as numbers • Ok

Figura 3

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Figura 5

Figura 6

• Nome do arquivo Ex.: Grupo1.txt

• Ok.

b) Saia do programa <measure>. Vá para o menu Iniciar do Windows para abrir o programa Excel:

Menu Iniciar → Programa → Excel →Arquivo → Abrir • Nome do arquivo

Ex.: Grupo1.txt

c) Se a importação dos dados foi feita corretamente, a sua planilha deve estar parecida com a da Figura 5 ao lado.

d) Você agora vai fazer o gráfico da elongação (s) versus tempo (t). No menu principal chame:

Inserir →Gráfico→Dispersão (Scatter) → (escolha o 1º subtipo: apenas

pontos)

Complete o gráfico seguindo os passos dados em atividades anteriores.

e) Você deve obter um gráfico semelhante ao obtido durante a aquisição de dados utilizando o programa Measure, ou seja, semelhante a uma função senoidal cuja amplitude vai diminuindo com o tempo.

f) Analise o gráfico obtido e determine a freqüência f´ do

movimento amortecimento. Lembre-se que freqüência é definida como o número de oscilações por segundo.

f´=__________

6.2. Estudo do decaimento. No gráfico obtido, você deve notar que a amplitude das oscilações vai diminuindo com o tempo. Vamos estudar qual é a lei que rege tal decaimento. Para isto você vai anotar o instante (t) e o correspondente valor da amplitude (A) para cada um dos picos do gráfico. Os valores de A serão os máximos relativos da função. Coloque estes dados na sua planilha de maneira semelhante ao mostrado na Figura 6.

a) Construa o gráfico A(t) versus t:

Inserir →Gráfico→Dispersão (Scatter) →

(escolha o 1º subtipo: apenas pontos)

Complete o gráfico seguindo os passos dados em atividades anteriores..

Note que o gráfico não é uma reta. Vamos tentar linearizar o mesmo. Para tanto leve o cursor para um ponto qualquer do eixo y e pressione duas vezes o botão direito do seu “mouse”. No menu que se segue:

Escala→Escala logarítmica→OK

b) Você deve obter um gráfico em que o eixo vertical é logarítmico e que o gráfico obtido neste tipo de escala se aproxima mais de uma reta. Vamos agora determinar a equação desta “reta”. Para isto, coloque o cursor sobre um dos pontos da reta obtida e pressione duas vezes o botão direito do seu “mouse”. No menu que se segue, optar por:

Adicionar linha de tendência

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Tipo→Exponencial Opções→Mostrar equação→Mostrar o valor de R2→OK

c) Observe a equação mostrada no seu gráfico. Note que ela é uma equação do tipo exponencial:

t

meAy .β−=

O que esta equação representa para voce? Interprete os coeficientes Am e β.

6.3. Equação do Movimento Harmônico Amortecido.

a) Tendo os valores de Am e β, determine a frequência angular w´ e o angulo de fase φ. A freqüência angular w´ é dada por ´2' fw π= . Não se esqueça que φ deve ser dado em radianos. Escreva a equação completa do movimento oscilatório estudado por você tendo por base a expressão teórica:

)'cos(t)( . φβ += − tweAtx m

b) Vamos verificar agora a validade da equação obtida. Para isto, escreva na sua planilha os valores obtidos para as seguintes grandezas, conforme exemplificado na Figura 7:

Amplitude Am Fator de amortecimento β, Freqüência da oscilação f´, Angulo de fase φ.

A B C D E F G H I 1 t(s) X(exp) X(equ) 2 0 0.022

mA cβ ´f φ

3 0.03 0.036 0.95 -0.072 1.03 0.45 4 0.06 0.049 5 0.09 0.061 6 0.12 0.071 7 0.15 0.078

Figura 7: Exemplo

c) Na planilha, na coluna correspondente a X(equ), na linha correspondente ao instante t=0 (no nosso exemplo isto significa célula C2), insira a equação do movimento harmônico amortecido:

Obs.: Utilize os valores das constantes conforme definido no grupo das “constantes da equação” usando a técnica do endereçamento das constantes, ao invés de escrever na equação o valor delas diretamente. Lembre-se que ´.2´ fw π= Se você introduziu a corretamente equação acima na célula utilizando a linguagem da planilha, você deve ter escrito alguma coisa semelhante à:

= E$3*exp(F$3*A3)*cos(2*PI()*G$3*A3+H$3) Note que o símbolo $ serve para fixar o valor da variável na casa correspondente.

Em caso de dúvida solicite a ajuda do seu professor.

d) Copie a equação para os demais elementos da coluna das posições x(equ), arrastando a fórmula escrita no item c) com o mouse.

e) Gráfico comparativo. O teste final para os parâmetros determinados por você vai se dar pela sobreposição

do gráfico original com a curva obtida através da equação. Para isto você deve ativar o gráfico que

Constantes da equação

1) (equação)'cos()( . φβ += − tweAtx tm

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contem a curva experimental. Em seguida você vai sobrepor o novo gráfico. Vá ao menu de sua planilha e escolha:

Gráfico→Dados originais→ Seqüência→Adicionar→:

Nome: escreva um nome para a seqüência (por ex.: equação) Valores de x: indique onde estão os valores de t. Valores de y: indique onde estão os X(equ).

→ Avançar→OK

g) Examinando os dois gráficos sobrepostos você poderá julgar a qualidade das suas determinações. Caso haja discrepâncias, você deve reexaminar e recalcular as constantes já determinadas. Por exemplo, verifique se o ângulo de fase foi dado em radianos. Outro erro comum é esquecer que a função co-seno é uma função par, isto é, que dois arcos diferentes podem dar o mesmo valor do co-seno.

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xxxi −=ε %100.%

xxxi −=ε

1)( 2

1 −

Δ= ∑

− nxi

APÊNDICE A.1 Medidas. O resultado de uma medida (x) pode ser escrito como:

A.2 Algarismos significativos. Os algarismos significativos de uma medida são todos os algarismos lidos com certeza mais o primeiro algarismo duvidoso. A.3 Valor mais provável. O valor mais provável de uma grandeza é a média aritmética das medidas individuais xi:

A.4 Desvio de uma medida.

A.5 Desvio padrão de uma medida.

A.6 Erro relativo e erro relativo percentual.

A.7 Propagação de Erros.

y=f(x1,x2,…….xn)

nn

xxfx

xfx

xfy Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=Δ ..........22

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Bibliografia

• Física Geral e Experimental - José Goldemberg, Volume 1, Companhia Editora Nacional, 1977

• Introdução ao Laboratório de Física, J. Piacentini e colaboradores, Ed. UFSC

• Guia para Física Experimental – Brito Cruz e outros, Unicamp, www.dfte.ufrn.br/fis315/

• Física I - Sears & Zemansky, H. D. Young e R. A. Freedman, Addison Wesley.

• Fundamentos de Física - volume 1, D. Halliday, R. Resnick e (J. Walker ou K. Krane), Ed. LTC.

• Física - volume 1, Alaor Chaves, Reichmann e Affonso Editores.

• Modelos de Regressão Linear - Paulo Roberto Medeiros de Azevedo - Editora da UFRN

xxx ii −=Δ

∑=

=n

iix

nx

1

1

mxx ε±=