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2Tecnologia em Gestão de Recursos Humanos

Caderno de AtividadesMatemática

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Caderno de AtividadesTecnologia em Gestão de Recursos Humanos

Disciplina Matemática

Coordenação do CursoProfessora Msc. Arley Regina Lobo

Professor Msc. Carlos Eduardo de Azevedo

Autor Prof. Me. Guilherme Macorin

FICHA TÉCNICA

Equipe de Gestão EditorialRegina Cláudia FiorinAna Cristina FerreiraJoão Henrique Canella FiórioPriscilla Ramos Capello

Análise de ProcessosJuliana Cristina e SilvaFlávia Lopes

Revisão TextualAlexia Galvão AlvesGiovana Valente FerreiraIngrid FavorettoJulio CamilloLuana Mercúrio

DiagramaçãoCélula de Inovação e Produção de Conteúdos

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ChancelerAna Maria Costa de Sousa

ReitoraLeocádia Aglaé Petry Leme

Pró-Reitor AdministrativoAntonio Fonseca de Carvalho

Pró-Reitor de GraduaçãoEduardo de Oliveira Elias

Pró-Reitor de ExtensãoIvo Arcangêlo Vedrúsculo Busato

Pró-Reitora de Pesquisa e PósGraduaçãoLuciana Paes de Andrade

Realização:

Diretoria de Planejamento de EAD José Manuel Moran Barbara Campos

Diretoria de Desenvolvimento de EAD Thais Costa de Sousa

Gerência de Design EducacionalRodolfo PinelliGabriel Araújo

© 2013 Anhanguera EducacionalProibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua por-tuguesa ou qualquer outro idioma.

Como citar esse documento:

MACORIN, Guilherme. Matemática. Valinhos: Anhanguera Educacional, 2013. Disponível em: <www.anhanguera.edu.br/cead>. Acesso em: jun. 2013.

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

AGORAÉASUAVEZ

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Tema

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Conjuntos numéricos.

• Expressões numéricas.

• Introdução às expressões algébricas.

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ÍNICIO

LEITURAOBRIGATÓRIA

I. Os conjuntos numéricos

Para iniciar este estudo, é válido revisar a definição de conjuntos. Um conjunto pode ser entendido como um grupo de elementos com características semelhantes. No caso dos conjuntos numéricos, tais elementos são números. Agora você verá quais serão os con-juntos estudados.

• Conjunto dos Números Naturais: são todos os números positivos, incluindo o zero, e é infinito. A representação desse conjunto é dada pela letra N.

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Em todos os casos exemplificados, a utilização das chaves {} representa a formação de um conjunto.

• Conjunto dos Números Inteiros: são todos os números naturais mais os números in-teiros negativos. A representação desse conjunto é dada pela letra Z.

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• O que são conjuntos numéricos?

• Quais são os principais conjuntos numéricos?

• O que diferencia uma expressão numérica de uma expressão algébrica?

• Como se determina o grau de uma expressão algébrica?

• Que nome se dá a uma expressão algébrica que possui mais de um termo com coefi-ciente literal?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

• Conjunto dos Números Racionais: são todos os números inteiros mais os números decimais finitos (10,15859 e 537,59874, por exemplo) e decimais infinitos periódicos (936,33333... e 4,121212..., por exemplo). A representação desse conjunto é dada pela letra Q.

• Conjunto dos Números Irracionais: são todos os números decimais infinitos não periódi-cos (por exemplo, 2,5369842...). A representação desse conjunto é dada pela letra I.

• Conjunto dos Números Reais: é a união do conjunto dos números racionais e dos ir-racionais. A representação do conjunto é dada pela letra R.

• Conjunto dos Números Complexos: é um número que possui uma parte real e outra imaginária. Pode ser escrito como z = x + Yi, sendo que x e y são números reais e i é a parte imaginária. Este conjunto compreende, por exemplo, o resultado de uma raiz quadrada de um número negativo. A representação desse conjunto é dada pela letra C.

Os conjuntos numéricos fundamentais podem ser representados pelo diagrama a seguir:

Figura 1.1 Diagrama dos conjuntos numéricos fundamentais.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIO

II. As expressões numéricas

Uma expressão numérica é uma combinação de números associados por operações. Uma expressão algébrica é uma combinação de números e letras associadas por operações.

Exemplos:

• Expressão numérica -> 5-2+6÷3=5

• Expressão algébrica -> 2q+20=-y

Nas expressões numéricas e algébricas, a utilização de parênteses, colchetes e chaves determina a ordem na qual as operações devem ser realizadas. Primeiramente, calcule as operações dentro dos parênteses; depois, realize as operações dentro dos colchetes; e, por fim, calcule as que estiverem entre chaves. Por último, calcule as demais operações. As op-erações também possuem uma ordem para serem efetuadas e devem respeitar a seguinte ordem: 1. potenciação (também chamada de exponenciação) e radiciação; 2. multiplicação e divisão; 3. adição e subtração.

Exemplo:

20+[8÷2-(2*2+1)] =

=20+[8÷2-(4+1)]=

=20+[8÷2-5]=

=20+[4-5]=

=20-1=

=19

Repare na ordem da resolução das operações. Ela está de acordo com as regras citadas anteriormente.

Também é conveniente relembrar as regras de sinais em operações.

Em adição e subtração:

• No caso de sinais iguais, mantenha os sinais e some os valores. Exemplos: 1+3=4 e -1-2=-3No caso de sinais diferentes, subtraia os valores e mantenha o sinal do maior valor. Exemplos: -2+5=3 e 2-5=-3

LEITURAOBRIGATÓRIA

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Em multiplicação e divisão:

• No caso de sinais iguais, o resultado será sempre positivo.

Exemplos na multiplicação: 2*2=(+4) e (-3)*(-5)=(+15)

Exemplos na divisão: 4÷2=(+2) e (-15)÷(-3)=(+5)

• No caso de sinais diferentes, o resultado será sempre negativo.

Exemplos na multiplicação: (-3)*5=(-15) e 3*(-5)=(-15)

Exemplos na divisão: (-15)÷3=(-5) e 20÷(-4)=(-5)

Potenciação é uma operação na qual há uma base (q) e um expoente (n), representada por qn. Isto significa repetir a multiplicação de q por ele mesmo por n vezes, ou seja, q1 * q2 * q3 ... * qn. A expressão é lida como q elevado a n ou, então, q elevado à n-ésima potência.

• No caso de base negativa ou positiva com expoente par, o resultado é positivo.

Exemplos: (-2)²=(-2)*(-2)=4 e (2)²=(2)*(2)=4

No entanto, se o sinal de negativo não estiver sendo elevado, o resultado será diferente. Exemplo: -(2)²=-(2*2)=-4

• No caso de base negativa com expoente ímpar, o resultado é negativo.

Exemplo:

(-2)³=(-2)*(-2)*(-2)=

=(-2*-2)*(-2)=

=4*(-2)=(-8)

• No caso de base positiva com expoente ímpar, o resultado é positivo.

Exemplo: (2)³=8

Ainda há outras especificidades da potenciação, como será visto a seguir:

q¹=q, q0=1, 1n=1 e 0n=0

Em multiplicação de potências com bases iguais, os expoentes se somam.

Exemplo: q²*q³=q(²+³)=q5

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIO

Multiplicação de potências com bases diferentes mas expoentes iguais.

Exemplo: q³*r³=(q.r)³

Em divisão com potências diferentes e bases iguais, a base se mantém e os expoentes se subtraem.

Exemplo: q8÷q3=q(8-3)=q5

Em divisão com potências iguais e bases diferentes, o expoente se mantém e as bases se dividem.

Exemplo: q³÷r³=(q÷r)³

Há também o caso chamado de potência de potência, no qual se eleva um valor que já está sendo elevado a alguma potência.

Exemplo: (q²)³=(q*q)³=

=(q*q)*(q*q)*(q*q)=

=q6

Portanto, (q²)³=q(²*³)=q6

A radiciação, por sua vez, é a operação inversa da potenciação. Ela é representada por n√a, em que (n) é chamado de índice, ou radical, e (a) de radicando. A expressão determina qual o valor que, ao ser elevado à potência (n), resultará no valor de (a), ou seja, determinará o valor que, se multiplicado ele mesmo por (n) vezes, resultará em (a). Para o estudo dos sinais em radiciação de números racionais, lembre-se dos principais pontos a seguir: n√a=a1/n, portanto, n√an=an/n=a.

Nas multiplicações de raízes de mesmo radicando com índices diferentes, os radicandos se mantêm e os índices se somam.

Exemplo: 3√8*2√8=5√8

Nas multiplicações de radicandos diferentes e índices iguais, os índices se mantêm e os radicandos se multiplicam.

Exemplo: ²√3*²√2=²√6

Em divisões de radicandos diferentes mas índices iguais, os índices se mantêm e os radi-candos se dividem.

Exemplo: ²√8÷²√2=²√4

LEITURAOBRIGATÓRIA

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Você acabou de rever as regras básicas de operações em expressões numéricas. O próxi-mo passo é estudar as expressões algébricas.

III. Introdução às expressões algébricas

Conforme já citado anteriormente, uma expressão algébrica é uma combinação de números e letras associadas por operações.

Exemplo: 10=5y

No exemplo anterior, o valor numérico 5 é chamado de coeficiente numérico e a letra (y) é chamada de coeficiente literal. Verifique também que o coeficiente literal (y) é uma variável. Essa variável irá assumir um valor numérico. No caso anterior, y=2, pois y=10÷5. Você verá no próximo tema como resolver e simplificar equações algébricas e como encontrar os re-sultados dessas variáveis.

Lembre-se de que já foi citada a ordem em que as operações devem ser realizadas e o papel dos parênteses, colchetes e chaves nas expressões numéricas. Nas expressões al-gébricas, as regras dos sinais e das operações continuam iguais às vistas nas expressões numéricas, mas agora foi introduzida uma letra como variável. Muitas vezes, as expressões algébricas são utilizadas para representar situações-problema. As letras substituem valores inicialmente desconhecidos, de modo a facilitar a resolução do problema.

Uma expressão que contenha apenas um termo com coeficiente literal, ou seja, um termo que possua letras, é chamada de monômio; se tiver dois termos com coeficientes literais é chamada de binômio; e, no caso de três termos com coeficientes literais, chama-se trinô-mio. No entanto, sempre que houver mais de um termo com coeficiente literal, a expressão é também classificada como polinômio. É o número de termos com letras que determina a classificação, e não somente a quantidade de letras na expressão. Exemplos:

• Monômio -> 2xy

• Binômio (polinômio) -> 2x+y

• Trinômio (polinômio) -> 2x+y-wr

Note que, se a classificação anterior é dada em função do número de termos com coefici-entes literais, uma expressão do tipo 2x+8 é, portanto, um monômio, por possuir apenas um

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIO

termo com a letra (x) como coeficiente literal. A expressão 2xy+8 também é um monômio, pois as letras (x) e (y) pertencem a um mesmo termo.

As expressões algébricas também podem ser classificadas quanto ao grau relativo, ou seja, o expoente de uma variável.

No exemplo 2x² o monômio é de grau 2 em relação a (x). Já 2x²-3y³ é um binômio de grau 3 em relação a (y) e de grau 2 em relação a (x). Contudo, para classificar uma expressão algébrica quanto ao seu grau, citamos apenas o maior grau.

Exemplo: 4x³+x²-x -> trinômio de grau 3

Exemplo: 5x+6 -> monômio de grau 1

Exemplo: 2x²-3y³+(2*5z5) -> trinômio de grau 5

LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:

Acesse o material preparado pelo site Mundo Vestibular sobre conjuntos numéricos.Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br/articles/5951/1/Conjuntos-Numericos/Paacutegina1.html>. Acesso em: 18 abr. 2013.

No link, a seguir, são apresentados alguns exemplos práticos com as regras de sinais das operações que você acabou de estudar. Vale a pena rever. Disponível em: <http://www.matematica.com.br/site/index.php?option=com_content&view=article&id=388:regra-de-sinais&catid=109:numeros-inteiros&Itemid=178>. Acesso em: 1 abr. 2013.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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Acesse um site muito útil e completo sobre matemática chamado Matemática Didática.Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br>. Acesso em: 17 abr. 2013.

Acesso um link interessante sobre expressões algébricas e revise definições e operações. Disponível em: <http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos021.asp>. Acesso em: 20 abr. 2013.

VÍDEOS

Videoaula – Expressões Algébricas.

Trata-se de uma breve revisão sobre o conceito de expressão algébrica que você acabou de estudar. Um vídeo rápido e muito didático.Disponível em: <http://www.auladoguto.com.br/videoaulas-de-matematica/videoaula-expressoes-algebricas>. Acesso em: 19 abr. 2013.

LINKSIMPORTANTES

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ÍNICIO

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 1, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Para que você possa fazer os exercícios propostos neste tema, é necessário que relembre as regras básicas de sinais em operações. Pratique algumas dessas re-gras antes de iniciar as outras questões. Resolva os casos a seguir:

a) (-8)+(-35)=

b) (-3)²=

c) (-2)³=

d) (-4)*3=

e) (-5)*(-5)=

Questão 2:

Levando em consideração as regras das operações estudadas, responda (V) para Verdadeiro e (F) para Falso.

a) ( ) 2+4*10-9÷3=57

b) ( ) (2+4)*10-9÷3=57

c) ( ) ³√8+3²=11

d) ( ) 3²*3³-52=5

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) O Conjunto dos Números Irracionais é representado pela letra C.

b) Uma potenciação do tipo q³ significa multiplicar o número 3 por ele mesmo por (q) vezes.

c) A expressão algébrica 2xy+3 é um binômio.

d) A radiciação é considerada a operação inversa da potenciação.

Questão 4: Assinale a alternativa correta:

a) ²√3*²√5=4√15

b) ²√3*²√5=²√15

c) ²√12÷²√3=¹√4

d) ²√12÷²√3=4√4

RESPOSTA DISSERTATIVA

AGORAÉASUAVEZ

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

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RESPOSTA DISSERTATIVA

Questão 5:

Considerando a classificação das ex-pressões algébricas quanto ao grau e ao número de coeficientes literais, assinale a alternativa correta:

a) 2x²+y³-2 é um trinômio de grau 3 em relação a y e grau 2 em relação a x.

b) x³y é um binômio de grau 3 em relação a x e grau 3 em relação a y.

c) 2x+3yz é um binômio de grau 1 em re-lação a x, y e em relação a z.

d) z²-(2*8)+y4 é um trinômio de grau 2 em relação a z e grau 4 em relação a y.

Questão 6: Resolva a seguinte expressão numérica: (4*(2+4)÷(4+2*2))²

Questão 7:

Sabendo que a área de um quadrado é de-terminada pela multiplicação de um lado pelo outro, represente algebricamente a área de um quadrado que possui um lado igual a x+5-y.

Questão 8:

Classifique as expressões a seguir quanto ao número de coeficientes literais e quanto ao grau das variáveis.

a) X²+2

b) Y+3x³+z

c) xz+y²

Questão 9:

Resolva a expressão numérica a seguir:

²√4*²√3÷²√3+4²*4³÷25

Questão 10

Ana possui determinada quantidade de maçãs e outra quantidade de bananas. Se ela conseguir dobrar a quantidade de suas maçãs e doar 5 maçãs e 1 banana para sua amiga, com quantas maçãs e bananas Ana ficará no final em relação ao que pos-suía no início?

Elabore uma expressão algébrica que re-solva este problema.

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

AGORAÉASUAVEZ

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

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ÍNICIOFINALIZANDO

No Tema 1 você relembrou conjuntos numéricos, expressões numéricas e foram introdu-zidos os conceitos básicos e as regras das expressões algébricas. No Tema 2, você verá mais a fundo as expressões algébricas, com os métodos de simplificação, resolução de equações, produtos notáveis, entre outros conceitos.

REFERÊNCIAS

IEZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 6. ed. São Paulo: Editora Atual, 2009.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, eco-nomia e contabilidade. 2ª edição revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622).

GLOSSÁRIO

Conjuntos numéricos: grupo de elementos com características semelhantes.

Expressão algébrica: combinação de números e letras associadas por operações.

Expressão numérica: combinação de números associados por operações.

Polinômio: expressão que possui dois ou mais coeficientes literais.

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GLOSSÁRIO

GABARITOTema 1Conjuntos Numéricos e Estudo de ExpressõesQuestão 1Resposta:

a) -43

b) 9

c) -8d) -12e) 25

Questão 2Resposta: a) F; b) V; c) V; d) F

Questão 3Resposta: d)

Questão 4Resposta: b)

Questão 5Resposta: c)

Potenciação: operação na qual há uma base (q) e um expoente (n), sendo representada por qn. Isto significa repetir a multiplicação de (q) por ele mesmo por (n) vezes.

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ÍNICIOGABARITO

Questão 6Resposta: (4*(2+4)÷(4+2*2))²=

=(4*(6)÷(4+4))²=

=(24÷8)²=

=(3)²=9

Questão 7Resposta: Se o lado do quadrado é igual a x+5 e sua área é determinada por seu lado mul-tiplicado pelo outro, temos que a área é igual à: (x+5-y)*(x+5-y)=(x+5-y)²

Questão 8Resposta:

a) x²+2 – monômio de grau 2 em relação a (x).b) y+3x³+z – trinômio de grau 1 em relação a (y) e (z) e grau 3 em relação a (x). Portanto, trinômio de grau 3.c) xz+y² - binômio de grau 1 em relação a (x) e (z) e grau 2 em relação a (y). Portanto, binômio de grau 2.

Questão 9Resposta:

²√4*²√3÷²√3+4²*4³÷25=

=²√(4*3)÷²√3+45÷25=

=²√(12÷3)+(4÷2)5=

=²√4+25=

=2+32=34

Questão 10Resposta: Represente maçã por uma letra qualquer. Aqui a chamaremos de x. Represente banana por outra letra qualquer. Aqui a chamaremos de y.

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GABARITO

Se Ana vai dobrar a quantidade inicial de maçã, então ela terá 2x de maçãs. Depois, ela irá doar 5 maçãs, ficando então com (2x-5) maçãs. Ao doar 1 banana, ela terá (y-1) bananas. Portanto, Ana ficará com (2x-5) maçãs e (y-1) bananas.

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

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REFERÊNCIASFINALIZANDO

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Tema

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Simplificação e operações de equações algébricas.

• Os chamados produtos notáveis.

• Regras de fatoração.

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ÍNICIO

LEITURAOBRIGATÓRIA

I. Simplificação de expressões algébricas

O procedimento de simplificação de expressões algébricas visa tornar a resolução de uma expressão mais fácil, pois agrupa termos semelhantes, ou seja, agrupa termos literais iguais. Lembre-se de que um polinômio é classificado quanto ao número de termos literais que possui, portanto, um polinômio pode ser encarado como uma soma de monômios. A simplificação tem o intuito de transformar a expressão no menor número de termos literais possíveis por meio das operações, semelhantemente ao que ocorre com as expressões numéricas.

Veja alguns exemplos do que significa um termo ser semelhante ao outro:

• 2x+x -> o termo (x) aparece nos dois termos e é elevado a grau 1, portanto, são ter-mos iguais. É possível somá-los. Simplificando a expressão, teremos 2x+x=3x.

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Qual a importância de se simplificar expressões algébricas?

• Em uma expressão algébrica, o que é um fator comum?

• O que são e qual a importância dos produtos notáveis?

• Quais são os principais métodos de fatoração?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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• 3x²+x-2x²+5x -> aqui, a simplificação deverá ocorrer apenas entre os termos semel-hantes. É possível realizar operações entre (+3x²) e (-2x²) e entre (+x) e (+5x). Portanto, 3x²-2x²+x+5x=x²+6x.

Exemplos de simplificações com operações:

Soma e subtração: se os termos são semelhantes, conserve a parte literal e realize a op-eração indicada:

Exemplo: 3x+4x=7x porque esta é uma soma de termos semelhantes.

Exemplo: 3x²-2-x²-x=2x²-x-2

Exemplo: 4x+5x³-8+(4x-x)-3x³=7x+2x³-8

Em uma multiplicação de monômios, é necessário relembrar as regras da potenciação. Em termos semelhantes, multiplicam-se as bases e os expoentes se somam.

Exemplo:

(4x²y³)*(2x³)=

=4*2*x²*x³*y³=

=8x5y³

É importante notar que apenas o coeficiente literal (x) e as bases sofreram simplificação. O coeficiente literal (y) não possui termo semelhante nesta expressão e, portanto, não sofreu alteração.

Mais um exemplo:

(5x²y³)*(4y³x)=

=20x³y6

Partiremos, agora, para a multiplicação de um monômio por um polinômio. Neste caso, aplica-se a propriedade distributiva, o que significa multiplicar o monômio por todos os ter-mos do polinômio. Veja os exemplos:

• (x²)*(2+x)=(x²*2)+(x²*x)=2x²+x³

• (xy)*(y+x-1)=(xy*y)+(xy*x)-(xy*1)=(xy²)+(x²y)-(xy)

• (x)*(y²÷x)=y²

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIO

A multiplicação de polinômios por polinômios é semelhante ao caso anterior. Aplica-se a regra distributiva entre cada um dos termos.

Exemplo: (x+2)*(y-x)=(xy-xx)+(2y-2x)=(xy-x²)+(2y-2x)

Exemplo: (x+2)*(x+1)*(2x-1)=(x²+x+2x+2)*(2x-1)=

=(x²+3x+2)*(2x-1)=2x³-x²+6x²-3x+4x-2=

=2x³+5x²+x-2

O próximo passo é relembrar as divisões com expressões algébricas. Em uma divisão de monômio por monômio, divida os coeficientes literais semelhantes e as bases.

Exemplo: 8x³÷4x²=2x

Exemplo: (12y²x5)÷(4x²y²)=3x³

Outra possibilidade, assim como na multiplicação, é a divisão de um polinômio por um monômio. Divida cada um dos termos semelhantes do polinômio pelo monômio e as re-spectivas bases.

Exemplo: (4x³+2x)÷x=4x²+2

Exemplo: (3xy-6y²x²+2)÷3x=y-2y²x+(2÷3x)

Agora é a vez da divisão de polinômios por polinômios. A operação é bem semelhante a que ocorre com números naturais. Utilizaremos como exemplo a operação a seguir: (12x²+23x+13)÷(4x+1). A partir desta expressão, demonstraremos o caso. A primeira parte da expressão é o dividendo e a segunda é o divisor.

O primeiro passo é dividir o termo de maior grau, neste caso 12x², pelo divisor de maior grau, que é o 4x. O quociente (resultado) é 3x, e este valor irá multiplicar o divisor (4x+1), re-sultando em: 3x*(4x+1)=(12x²+3x). Este valor será subtraído do dividendo: (12x²+23x+13)-(12x²+3x)=20x+13. O resultado (20x+13) é chamado de resto parcial.

O próximo passo é pegar o termo de maior grau do resto parcial e dividir pelo termo de maior grau do divisor. Neste caso, a divisão será 20x por 4x, que resultará em 5. Siga os mesmos passos descritos anteriormente e multiplique 5 pelo divisor, 5*(4x+1)=20x+5. Este resultado será subtraído do resto parcial. Agora, subtraindo do resto parcial, temos: (20x+13)-(20x+5)=8. O valor 8 é chamado de resto, pois, como o grau dele é menor que o grau do divisor, não há divisões a serem feitas. Então, a divisão termina quando encontra-mos um resto 0 (zero) ou um resto que tenha grau menor que o divisor.

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Neste exemplo, o resultado, chamado de quociente, é (3x+5) com resto 8.

Um novo exemplo para melhor fixação:

(4x²+6x+8)÷(2x+2)=

=(4x²÷2x)=2x=quociente, portanto ->(4x²+6x+8)-2x(2x+2)=

=Resto parcial (2x+8). O termo de maior grau, 2x, será dividido novamente pelo divisor de maior grau, que é 2x. O quociente é igual a 1 (um).

=(2x+8)-1(2x+2)=6 = Resto

Portanto, o quociente é (2x+1) com resto 6.

II. Produtos notáveis

A utilização de produtos notáveis visa facilitar os cálculos com expressões algébricas. Al-guns polinômios aparecem com muita frequência e são resultado da multiplicação de outras expressões. Chamamos tais produtos de produtos notáveis.

O primeiro caso a ser estudado é o quadrado da soma de dois termos.

A expressão (x+y)² é uma soma de termos elevada ao quadrado. Aplicando a regra distribu-tiva, tem-se que:

(x+y)*(x+y)=(x²+xy+yx+y²)=

=x²+2xy+y².

Resumidamente, o que ocorreu foi o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o pri-meiro vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

O segundo caso é conhecido como o quadrado da diferença de dois termos. Exemplo:

(x-y)²=(x²-xy-yx+y²)=

=x²-2xy+y²

Este caso é bem parecido com o demonstrado anteriormente, mas muda o sinal do segundo termo. Resumidamente, o resultado será sempre o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais o segundo termo ao quadrado.

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ÍNICIO

O terceiro caso que estudaremos é o produto da soma pela diferença de dois termos. Este produto é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Veja o exemplo:

(x+y)*(x-y)=x²-xy+yx-y²=

=x²-y²

Estes são os três produtos notáveis que estudaremos neste Caderno.

III. Fatoração

Fatorar é o ato de decompor um número em outros que estejam na forma de produto e que sejam equivalentes ao valor inicial. Há diversas técnicas. Veremos algumas.

• Fator comum

O primeiro exemplo corresponde a colocar em evidência o fator comum aos termos da expressão. Exemplos:

X²+3x -> neste binômio, o fator comum é o (x), portanto, coloque-o em evidência da se-guinte maneira: x(x+3). Pronto, expressão fatorada.

10x4-6x²+8x³ -> neste caso, o fator comum é 2x². A expressão fatorada fica 2x²(5x³-3+4x²).

• Fatoração por agrupamento

Significa encontrar um fator que seja comum a diferentes termos da expressão. Exemplos:

ax-mx+ay-my -> encontre os termos semelhantes -> x(a-m)+y(a-m). Portanto, temos que a expressão é igual a (a-m)*(x+y). O fator comum é (a-m).

wx-w-5x+5 = w(x-1)-5(x-1). Neste caso, o fator comum é (x-1). A expressão é igual a (x-1).(w-5).

• Quadrados perfeitos

Um monômio é quadrado perfeito quando é igual ao quadrado de outro monômio. Exemplos:

16x4=(4x²)²

9x²=(3x)²

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• Diferença de dois quadrados

Veja exemplos de um valor ao quadrado menos outro valor ao quadrado em sua forma fa-torada:

x²-y²=(x+y)*(x-y). Aplique a regra distributiva no caso anterior e verá que há igualdade.

4x²-9=(2x-3)*(2x+3). Novamente a expressão encontrada após o sinal de igualdade é uma fatoração.

• Trinômio quadrado perfeito

Quando um trinômio é igual ao quadrado de um binômio. Exemplos:

a²+2ab+b². Esta é a expressão genérica utilizada para exemplificar o caso. Aplique a regra distributiva e veja que (a+b)²=a²+2ab+b².

a²-2ab+b²=(a-b)²

Os trinômios foram reduzidos a binômios ao quadrado.

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ÍNICIOLINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:Acesse o link de um site direcionado a vestibulando. Este tópico desenvolve a questão de simplificação de expressões algébricas. Disponível em: <http://www.mundovestibular.com.br/articles/4618/1/EXPRESSOES-ALGEBRI-CAS/Paacutegina1.html>. Acesso em: 22 abr. 2013.

Acesse o site da Infoescola e encontre conceitos, exemplos e exercícios sobre produtos notáveis. Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis>. Acesso em: 22 abr. 2013.

Acesse um site muito útil e completo sobre matemática chamado Matemática Didática. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br>. Acesso em: 17 abr. 2013.

Acesso o link e encontre alguns exercícios resolvidos sobre produtos notáveis. Disponível em: <http://www.sempretops.com/estudo/produtos-notaveis-exercicios-resolvidos/>. Acesso em: 23 abr. 2013.

VÍDEOS

Assista ao vídeo Produtos Notáveis e Fatoração Produto da soma pela diferença. Vídeo bem completo sobre produtos notáveis e fatoração. Vários exemplos para revisar os con-ceitos estudados. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=g8ea9bdba80>. Acesso em: 23 abr. 2013.

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 2, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Simplifique as expressões a seguir:

a) 3x²+2*5x-12y÷y-2³

b) 2*[5x*x*y+(4y÷2+y)-3]

c) 3²*3²÷3+x*y*x³

Questão 2:

Assinale a alternativa correta:

a) Na soma e na subtração, se os termos são semelhantes, realiza-se a operação indicada para os coeficientes numéricos e para os coeficientes literais.

b) Em uma divisão de monômio por monômio, dividem-se os coeficientes literais semelhantes e as bases numéricas.

c) Em uma multiplicação de monômios com termos semelhantes, multiplicam-se as bases numéricas e os expoentes.

d) Em uma divisão de polinômio por monômio, mantêm-se os coeficientes literais e dividem-se as bases numéricas.

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) (x+5)²=(x²+25x)b) (y-3x)²=(y²-3xy+9x²)c) 9x²-16=(3x-4).(3x+4)d) 2yx²-2y-25x²+25=(2y-5)*(x²+5)

Questão 4:

Considerando o processo de simplificação de expressões algébricas, assinale a alter-nativa correta:

a) x²-4x²+x+5x=-3x+6x²

b) (4y²x)÷(xy²)=4yx³

c) (8xy-2y²x²)÷2x=4y-y²x

d) (x+1).(x²+3)*(2x)=(2x4+4x+3)

Questão 5:

Utilizando as regras sobre produtos no-táveis, calcule:

a) (x-4)²

b) (2x+3y)²

c) (3x+5y)*(3x-5y)

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

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ÍNICIO

Questão 6:

Simplifique a expressão algébrica a seguir:

(6x²+4x+3)÷(x+3)

Questão 7:

Imagine um quadrado com os lados de ta-manho x inserido em outro quadrado maior com lado (x+2). Calcule a área do quadrado maior que não está ocupada pelo quadrado menor.

Questão 8:

Imagine um retângulo com um lado de ta-manho x e o outro lado de tamanho (x-2). Dentro dele, há um quadrado de lado (x-3). Calcule a área do retângulo que não está ocupada pelo quadrado.

Questão 9:

Fatore as expressões a seguir:

a) ax+2bx+3ª+6b

b) xy+2x-2x-4

Questão 10:

Considere um quadrado de lado (x-y) e um retângulo com um lado (x+2) e outro lado (x-2). Qual a soma das áreas do quadrado e do retângulo?

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

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FINALIZANDO

No Tema 2 você relembrou simplificação e operações de expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração. No Tema 3, você verá as regras de três simples e composta, porcenta-gens, conceito de função e as funções crescentes e decrescentes.

REFERÊNCIAS

IEZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 6. ed. São Paulo: Editora Atual, 2009.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Fatoração: ato de decompor um número em outros números que estejam na forma de produto (multiplicação) e que sejam equivalentes ao valor inicial.

Fator comum: elemento que é comum aos termos da expressão.

Simplificação de expressões algébricas: procedimento que agrupa termos semelhantes, ou seja, agrupa termos literais iguais visando simplificar as expressões.

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ÍNICIOGLOSSÁRIO

Tema 2Simplificação de Equações Algébricas, Produtos Notáveis e Resolução de EquaçõesQuestão 1Resposta:

a) 3x²+2*5x-12y÷y-2³=3x²+10x-12-8=3x²+10-18b) 2*[5x*x*y+(4y÷2+y)-3]=2*[5x²y+(3y)-3]=10x²y+6y-6c) 3²*3²÷3+x*y*x³=3³+x4y=27+x4y

Questão 2Resposta: b)

Questão 3Resposta: c)

Questão 4Resposta: c)

Questão 5Resposta:

a) (x-4)²=x²-8x+16

Produtos notáveis: polinômios que aparecem com muita frequência e são resultado da multiplicação de outras expressões.

Quociente: resultado de uma divisão.

GABARITO

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GABARITO

b) (2x+3y)²=4x²+12xy+9y²c) (3x+5y)*(3x-5y)=9x²-25y²

Questão 6Resposta:

a) (6x²+8x+3)÷(x+1)=

• dividindo 6x² por x temos 6x. Este valor irá multiplicar o divisor.

• 6x(x+1)=6x²+6x. O próximo passo é subtrair este resultante do dividendo: (6x²+8x+3)-(6x²+6x)=2x+3=resto parcial

• agora, divida 2x por x. O resultado (2) irá multiplicar o divisor 2(x+1)=2x+2. Agora, subtraia do resto parcial.

• (2x+3)-(2x+2)=1. Pronto, o quociente é 6x+2 com resto 1.

Questão 7Resposta: Se o lado de um quadrado é igual a x, sua área será x². Por outro lado, o outro quadrado de área (x+2) terá área igual a x²+4x+4. Agora, é só subtrair a área do quadrado menor do quadrado maior -> (x²+4x+4)-x²=(4x+4). Esta é a área do quadrado maior não ocupada pelo quadrado menor.

Questão 8Resposta: Área do retângulo é igual a x(x-2)=x²-2x. A área do quadrado é igual a (x-3)²=x²-6x+9. Basta subtrair a área do quadrado da área do retângulo: (x²-2x)-(x²-6x+9)=4x-9.

Questão 9Resposta:

a) ax+2bx+3a+6b = (a+2b)*(x+3)

b) xy+2x-2x-4 = (y+2)*(x-2)

Questão 10Resposta: O quadrado de lado (x-y) possui área (x-y)²=x²-2xy+y². A área do retângulo é (x+2)*(x-2)=x²-4. Portanto, a soma das áreas é igual a x²-2xy+y²+x²-4 = 2x²+y²-2xy-4.

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

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Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

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Tema

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Regra de três simples.

• Regra de três composta.

• Porcentagem.

• Conceito de função, função crescente e decrescente.

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LEITURAOBRIGATÓRIA

I. Regra de três simples

A regra de três simples é utilizada quando temos quatro valores relacionados e conhecemos apenas três deles. Este quarto valor é descoberto em função dos outros três. No entanto, os valores representam apenas duas grandezas de valor diferentes, como tempo e velocidade, por exemplo. Dois valores representam uma grandeza, e outros dois valores representam a outra grandeza relacionada.

Quando há uma relação entre os valores, é necessário identificar se eles são diretamente ou inversamente proporcionais. Em valores diretamente proporcionais há uma correlação positiva entre eles, enquanto os valores inversamente proporcionais possuem correlação negativa.

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

• Se um corredor percorre determinado trecho em 300 segundos correndo a 5 metros por segundo, em quanto tempo irá percorrer o mesmo percurso se correr a 7 metros por segundo?

• Se uma fábrica produz 10 toneladas de farinha por mês funcionando 20 dias por mês por 8 horas por dia, quantas toneladas essa mesma fábrica produziria se funcionasse 26 dias por mês por 6 horas por dia?

• O que são domínio e imagem de uma função?

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Exemplo de valores diretamente proporcionais: quanto mais tempo uma torneira fica aberta, mais água será gasta; ou quanto menos uma pessoa come, menor é a ingestão de calorias.

Exemplo de valores inversamente proporcionais: quanto maior a velocidade de um carro, menor o tempo do percurso percorrido; ou quanto mais trabalhadores em uma obra, menor o tempo para que ela fique pronta.

Exemplos de cálculo da regra de três simples:

• Em uma construção é necessário utilizar 1 kg de cimento para cobrir uma área de 4 m². Quantos quilos de cimento são necessários para cobrir 20 m²?

Resposta: 1 kg de cimento se relaciona a 4m², assim como x kg de cimento se relaciona com 20 m². Portanto:

1 kg ---- 4 m²

X kg ---- 20 m²

Realizando uma multiplicação cruzada, temos -> 20=4x, então, x=5.

São necessários 5 kg de cimento!

Para valores inversamente proporcionais, o procedimento é o mesmo, mas ocorre uma in-versão dos termos.

• Se uma pessoa estuda 10 páginas por dia e demora 24 dias para ler todo o livro, em quantos dias lerá todo o livro se estudar 12 páginas por dia?

10 páginas por dia – 24 dias

12 páginas por dia – x dias

Neste caso, quanto mais a pessoa ler, menos dias irá demorar para terminar os estudos. Assim, é necessário inverter a coluna onde está a incógnita.

10 – x

12 – 24

Desta maneira, a multiplicação cruzada retorna a expressão: 10*24=12x. Então, x=20 dias.

II. Regra de três composta

Este outro caso é utilizado quando há mais de duas grandezas relacionadas no problema.

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ÍNICIO

O princípio de cálculo é o mesmo que o da regra de três simples. Vejamos os exemplos:

• Para pintar uma parede de 10 metros de comprimento e 5 metros de altura, foram utilizadas 3 latas de tinta. Quantas latas são necessárias para pintar uma parede de 15 metros de comprimento por 4 metros de altura?

Para este problema colocado, primeiramente é preciso identificar quais grandezas são di-retamente proporcionais e quais são inversamente proporcionais à quantidade de latas uti-lizadas.

A relação é esta:

Latas Comprimento Altura

3 10 5

x 15 4

Separe sempre a variável na primeira coluna. Assim como na regra simples, identifique a relação da variável com as demais grandezas. No exemplo, quanto maior o comprimento do muro, mais latas de tintas serão utilizadas, portanto, são diretamente proporcionais. O mes-mo ocorre em relação à altura, quanto maior a altura, mais latas de tinta são necessárias para pintar o muro, então, são diretamente proporcionais. É hora de multiplicar!

=50x=180 -> x=3,6

Portanto, serão utilizadas aproximadamente 3,6 latas de tintas.

Quando as grandezas são inversamente proporcionais, inverte-se a grandeza e efetua-se a multiplicação do mesmo modo que na regra de três simples.

• Para pintar uma casa são necessários 3 pintores trabalhando 4 dias por 8 horas diárias.

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Quantos pintores são necessários para pintar uma casa trabalhando 5 dias por 6 horas diárias?

Pintores Dias Horas

3 4 8

x 6 2

Repare que, quanto mais trabalhadores, o trabalho será executado em menos dias. A mes-ma relação vale para as horas trabalhadas, então, dias e horas são inversamente propor-cionais à variável (x). Então, basta inverter os termos da expressão inversamente propor-cionais:

Pintores Dias Horas

3 6 2

x 4 8

Agora, basta efetuar a multiplicação e encontrar o valor da variável.

Portanto, x=8. São necessários 8 trabalhadores.

III. Porcentagem

Expressões com porcentagens são muito utilizadas em transações financeiras, engenharia, para indicar promoções, índices, entre outros. A representação de números porcentuais ocorre dividindo-se o número por 100 ou adicionando o símbolo (%). Portanto, x% de um valor significa multiplicar esse valor por (x/100). Exemplos:

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• O número 50 é expresso em porcentual como 50%. Na razão centesimal como (50÷100) e em número decimal como 0,5. Todas as representações possuem o mesmo valor numérico.

Obter (x%) de outro valor significa encontrar essa tal proporção do valor desejado, por ex-emplo:

• 20% de 10,00 = (20*10)÷100 = 2,00. Isto é a mesma coisa que 0,2*100=2,00. Trans-formamos a expressão porcentual em razão centesimal e, depois, em número (ou valor) decimal para multiplicar por 10, de modo a encontrar 20% deste valor.

Conceder um porcentual de desconto significa diminuir o valor em tal proporção porcentual; conceder um acréscimo porcentual significa somar.

Para isso, o ideal é encontrar o Fator Multiplicação, que, para o acréscimo de valor, nada mais é que somar (1+valor decimal). No caso de decréscimo de valor, ou desconto, basta subtrair o valor decimal (1-valor decimal). Este fator será usado para multiplicar o parâmetro de valor a ser somado/descontado. Exemplos:

Somar 20% -> fator de multiplicação = (1+0,2) = 1,2

Descontar 30% -> fator multiplicação = (1-0,3) = 0,7

Ao comprar um televisor de R$ 600,00 e conseguir desconto de 10%, você pagará (1-0,1) do valor inicial, ou seja, 0,9*600,00=540,00. Seu desconto foi de R$ 60,00.

Ao aplicar R$ 600,00 em um investimento e conseguir um retorno financeiro de 10% do valor investido, você terá no final 1,1*600=660,00. Seu lucro foi de R$ 60,00.

IV. Conceito de função

As funções matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução de problemas de diver-sos tipos. Dizer que algo está em função de outra coisa quer dizer que há uma relação de dependência entre estas variáveis. O valor de uma variável se altera em função de outra.

Imagine que a produção de um produto qualquer depende exclusivamente de quantos trab-alhadores estão empregados no processo produtivo. Chamaremos a quantidade produzida de (p) e o número de trabalhadores empregados de (t). Portanto, em p=f(t), conforme a quantidade de (t) varia, (p) também varia. Existe uma relação em que, para cada valor de (t), há um único valor de (p) correspondente. Dizemos que (p) está como função de (t). Neste caso, (t) é a variável independente e (p) é a variável dependente. Já o conjunto de valores

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possíveis que a variável (t) pode assumir é o domínio da função, e o conjunto de resultados da dependente (p) correspondentes ao domínio é chamado de imagem.

Uma função é expressa com fórmulas que relacionam as variáveis e o conjunto domínio com as respectivas imagens da função.

V. Função crescente e decrescente

Neste Caderno de Atividades, você estudará diversos tipos de função. As primeiras serão as funções crescentes e decrescentes.

Uma função é crescente quando, conforme o número da variável independente aumenta, a dependente também aumenta. Por outro lado, a função decrescente se caracteriza da seguinte forma: na medida em que o número da variável independente aumenta, o valor da dependente diminui. Veja os exemplos a seguir:

• Função crescente: imagine o crescimento de uma pessoa até os 18 anos. Com 5 anos, esta pessoa já possui, por exemplo, 110 cm; portanto, este é o ponto de partida do gráfico que utilizaremos. De acordo com o passar dos anos, a pessoa cresce até atin-gir, por exemplo, 190 cm aos 18 anos. Então, temos uma função crescente da seguinte forma: considerando (A) como variável para altura, que é a variável dependente, e (t) para cada ano, que é a variável independente. A função é A=f(t), em que o eixo horizontal corresponde à idade e o eixo vertical corresponde à altura (Figura 3.1).

Figura 3.1 Gráfico da altura em centímetros em função da idade.

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ÍNICIO

Idade (domínio) 5 6 8 10 12 14 16 18

Altura (ima-gem) 110 121 133 144 156 167 179 190

Exemplos de função crescente: 2x+3; 7x-10; (x÷5).Em todos os casos, quanto maior o valor de (x), maior será a variável dependente.

• A função decrescente apresenta relações inversas. Imagine que uma obra está sen-do construída por operários que possuem uma produtividade igual e contínua. A obra tem previsão de ser concluída em 31 dias se houver apenas 1 operário. A cada novo operário contratado, o tempo da obra é reduzido em 1 dia, portanto, se houver 30 operários, a obra pode ser concluída em 1 dia. Esta é uma função decrescente, na qual (d) são os dias de obra e (p) é o número de operários. Então, d=f(p), em que o eixo horizontal cor-responde ao número de operários e o eixo vertical mostra os dias de obra (Figura 3.2).

Figura 3.2 Gráfico dos dias de obra em função do número de operários.

Número de operários (domínio) 1 5 10 15 20 25 30

Dias de obra (imagem) 31 26 21 16 11 6 1

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Exemplos de função crescente: -2x+3; -x-2; -10x

Em todos os casos, quanto maior o valor de (x), menor será a variável dependente.

LINKSIMPORTANTESQuer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:Acesse o site Brasil Escola, que apresenta exemplos de cálculo de porcentagens. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/porcentagem.htm>. Acesso em: 23 abr. 2013.

Acesse o link com o conceito e exemplo gráfico de uma função. Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/conceito.htm>. Acesso em: 26 abr. 2013.

Acesse o link com exemplos de funções de primeiro grau crescentes e decrescentes. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcao-1-grau.htm>. Acesso em: 27 abr. 2013.

VÍDEOSDefinição formal de função crescente e função decrescente. É uma breve revisão sobre o conceito de funções crescentes e decrescentes que você acabou de estudar.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=3g6quxWFlQU>. Acesso em: 27 abr. 2013.

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ÍNICIO

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 3, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Utilizando a regra de três simples, encon-tre a expressão algébrica para definir o que se pede. Se um corredor percorre (3x÷2) km em 90 minutos, quanto percorrerá em 5 horas?

Questão 2:

Levando em consideração o que foi estu-dado sobre porcentagem, responda (V) para Verdadeiro e (F) para Falso.

a) ( ) 115%*40=43,2

b) ( ) (63÷100)*50=31,5

c) ( ) 120*85%÷(100*105%)=1,02

d) ( ) 108%*0,90*10=9,72

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) Uma função é uma relação de duas variáveis, na qual há um único valor de imagem para cada valor do domínio.

b) A regra de três composta é utilizada quando há mais de três grandezas en-volvidas e ao menos duas delas são desconhecidas.

c) Uma função crescente é sempre posi-tiva.

d) Uma função é uma relação de duas variáveis, na qual há um único valor de domínio para cada valor da imagem.

Questão 4:

Assinale a alternativa correta:

a) A função (-3x+15) é crescente.

b) A função (1÷x) é decrescente.

c) A função (-x÷x²) é decrescente.

d) A função (-x÷-2) é decrescente.

Questão 5:

Uma pessoa consegue ler 300 páginas em 10 dias, lendo 4 horas por dia. Quan-tas horas por dia esta mesma pessoa pre-cisará de leitura diária para ler 720 páginas em 12 dias?

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

AGORAÉASUAVEZ

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVARESPOSTA DISSERTATIVA

AGORAÉASUAVEZ

Questão 6:

Uma pessoa ganha R$ 1.000,00 por mês trabalhando 15 dias por mês por 5 horas diárias. Quanto esta mesma pessoa gan-haria se trabalhasse 30 dias por mês por 8 horas diárias?

Questão 7:

Uma pessoa vai ao mercado para tentar comprar uma geladeira. O boleto a ser pago daqui a 30 dias está no valor de R$ 1.500,00. Se pagar 5 dias antes, há um desconto de 5%, se pagar 10 dias antes, há um desconto adicional de 5% sobre o valor pago com 5 dias de antecedência. Por outro lado, se o pagamento atrasar em até 5 dias, terá uma multa de 3% do valor e, se atrasar mais que 5 dias, a multa será de mais 3% sobre o valor, já considerando a multa anterior. Calcule o valor a ser pago se:

a) Antecipar o pagamento em 10 dias.

b) Atrasar o pagamento em mais de 5 dias.

Questão 8:

Considere a função f(x)=3x²+5x-x²-15. En-contre o valor de f(3)-f(2).

Questão 9:

Se 1 máquina empacota 450 produtos a cada 80 minutos, quantas máquinas são necessárias para empacotar 1.350 produ-tos funcionando por 120 minutos?

Questão 10:

Considere uma função de produção na qual a quantidade (q) é uma função dos insumos (x). A função é dada por q=3x+20-(x÷2)

a) Qual a quantidade produzida quando a quantidade de insumos é 6?

b) Encontre a quantidade de insumos para uma quantidade total produzida igual a 50.

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ÍNICIOFINALIZANDONo Tema 3 você relembrou as regras de três simples e composta, porcentagem. Também foi introduzido o tema funções. No Tema 4, você verá mais a fundo os tipos de funções e as funções de 1o grau.

REFERÊNCIAS

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Função crescente: é quando a variável independente aumenta e a variável dependente também.

Função decrescente: é quando a variável independente aumenta e a variável dependente decresce.

Imagem da função: conjunto dos valores assumidos pela variável dependente na função.

Valores diretamente proporcionais: valores com correlação positiva.

Valores inversamente proporcionais: valores com correlação negativa.

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GABARITOTema 3Regras de Três Simples, Composta, Porcentagem e Introdução às FunçõesQuestão 1Resposta: Se em 90 minutos ele percorre (3x÷2) km, então em 60 min irá percorrer 60(3x÷2)/90 = x km a cada hora. Portanto, em 5 horas irá percorrer 5x.

Questão 2Resposta: a) F; b) V; c) F; d) V

Questão 3Resposta: c)

Questão 4Resposta: a)

Questão 5Resposta:

Horas Páginas Dias

4 300 10

x 720 12

Se aumentar o número de horas de leitura, é possível ler mais páginas, portanto, direta-mente proporcional. Se aumentar o número de horas de leitura, é possível ler em menos tempo, portanto, inversamente proporcional. Inverta o número.

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ÍNICIOGABARITO

Horas Páginas Dias

4 300 12

x 720 10

Agora é só multiplicar -> x*300*12=4*720*10, então x= 8 horas.

Questão 6Resposta:

Salário Dias Horas

1000 15 5

x 30 8

Neste caso, todos os valores são diretamente proporcionais, pois, se o salário é dado por hora, quanto mais se trabalha, maior o salário.

Então: x*15*5=1000*30*8. O salário da pessoa seria de R$ 3.200,00.

Questão 7Resposta:

a) Antecipar 5 dias dá desconto de 5% sobre R$ 1.500,00, portanto, pagará (1-0,05)*1500=1.425,00. Se pagar com 10 dias de antecedência, receberá mais 5% sobre este valor, portanto, (1-0,05)*1.425=1.353,75. O valor a ser pago antecipando o boleto em 10 dias será de R$ 1.353,75.

b) Se o pagamento atrasar 5 dias, haverá multa de 3%, portanto, pagará (1+0,03)*1500=1545. Se atrasar mais de 5 dias, haverá nova multa de 3% sobre este valor, então pagará (1+0,03)*1545=1591,35. O valor a ser pago com a multa será de R$ 1.591,35.

Questão 8Resposta: A função é f(x)=3x²+5x-x²-15. Em seu modo simplificado, pode ser escrita como x²+5x-15

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GABARITO

f(3)= 3²+5*(3)-15=9

f(2)= 2²+5*(2)-15=-1

Portanto, f(3)-f(2)=9-(-1)=10

Questão 9Resposta: Quanto mais máquinas, mais produtos serão empacotados, então são valores diretamente proporcionais. Quanto mais máquinas, menos tempo é necessário para o em-pacotamento, portanto, são valores inversamente proporcionais. Inverta o número.

Máquinas Produtos Minutos

1 450 120

x 1350 80

X=(1350*80)÷(450*120)=2 máquinas

Questão 10Resposta:

a) X=6 e a função é igual a q=3x+20-(x÷2). Basta substituir o (x) da função pelo número 6 e teremos:

q=3x+20-(x÷2)=

=3*6+20-(6/2)=35

b) Agora a quantidade total é igual a 50. Basta fazer q=50 e encontrar o valor de (x).

q=3x+20-(x÷2)=

=50=3x+20-(x÷2)=

=50-20=3x-(x÷2)=

=30*2=6x-x=

=60=5x, então x=12

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

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Tema

04

Tipo

s de

Fun

ção

e Fu

nção

de

1o Gra

u

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Função limitada.

• Função composta.

• Função de 1o grau.

• Juros simples.

• Restrição orçamentária.

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ÍNICIO

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I. Função limitada

No tema anterior, foram apresentadas as funções crescentes e decrescentes. Agora, você verá as funções limitadas. Uma função é chamada de limitada quando a imagem, ou seja, a variável dependente, não ultrapassa determinado valor, seja ele superior ou inferior. Se o resultado nunca é menor que determinado resultado, tal valor é chamado de limitante infe-rior; se o resultado nunca é maior que outro resultado determinado, este valor é chamado de limitante superior.

• Exemplo de função limitada superiormente e inferiormente:

Considere a função y=(1÷x), sendo que x≥0,1

Domínio (x) 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,10 100,0

Imagem (y) 10,00 3,33 2,00 1,43 1,11 0,91 0,01

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Qual a diferença de uma função limitada superiormente de uma função limitada infe-riormente?

• O que significa uma função ser composta?

• O que indica a taxa de variação em uma função?

• O que é break-even point?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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Figura 4.1 Função limitada inferiormente e superiormente.

Note que a função acima é limitada superiormente quando x=0,10 (Figura 4.1). Quanto maior (x), mais próximo a zero será (y). Então, y=10 é o limite superior, e o limite inferior tende a zero.

II. Função composta

Você também já aprendeu que uma função pode ser descrita como f(x), ou seja, algo que se relaciona com as variações decorrentes de (x). Já a função g(f(x)) quer dizer que a fun-ção g depende da função f, ou seja, primeiramente é necessário resolver a função f(x) para depois resolver a função g(f(x)). Esta função é composta e envolve mais de uma grandeza.

Veja o exemplo a seguir:

• Imagine um plano dividido em 6 áreas quadradas e iguais. Considerando o lado de cada área como (x), encontre a área total do plano.

Resolvendo o problema, temos que, se as áreas dos quadrados são iguais e a somatória das 6 áreas é igual ao plano total, então esta é um função composta. Primeiramente, é ne-cessário encontrar a área do quadrado para encontrar a área do plano. Escrevemos como g(f(x)), em que g é uma função para encontrar a área total do plano.

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ÍNICIO

Substituindo: y=f(x)=x² -> g(y)=6y ->6x²

Então, podemos reescrever a função como g(x)=6x². Esta é a área total do plano. III. Função de 1o grau

As funções de 1º grau, chamadas também de funções polinomiais de primeiro grau, são consideradas as funções mais simples. Elas são escritas como y=f(x), sendo que f(x)=mx+b. Aqui, (m) é chamado de coeficiente angular e é sempre diferente de zero, enquanto (b) é o coeficiente linear.

A função de 1o grau é caracterizada quando uma variação na variável independente resulta em uma variação proporcional na variável dependente. Para verificar este caso, podemos calcular a taxa de variação da variável dependente em relação à variável independente. É o que veremos no exemplo a seguir.

• Função y=2x+3. Neste exemplo, veremos o que acontece com as variáveis.

Domínio (x) 1 2 3 4 5

Imagem (y) 5 7 9 11 13

Agora, calcularemos a taxa de variação da variável dependente em relação à variação da variável independente. A variação de (x) está ocorrendo sempre em uma unidade de valor, e o efeito disso sobre (y) está sendo sempre de duas unidades.

Neste exemplo, a taxa de variação da variável dependente é igual a 2. Isso quer dizer que cada variação de uma unidade em (x), (y) irá variar em 2 unidades. O coeficiente angular também é a taxa de variação de uma função e, portanto, indica a inclinação da reta.

Pense no exemplo apresentado como uma função de custo de produção, na qual 2x é o custo que varia de acordo com o aumento da produção (custo variável) e 3 é o custo fixo. O custo inicial para a quantidade x=0 é igual a 3, e a inclinação da reta, que é a taxa de variação calculada, é igual a 2 (Figura 4.2).

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Figura 4.2 Função custo de produção y=2x+3.

O próximo passo é definir uma função de receita para esta produção. Sabendo que receita é igual à quantidade vendida vezes o preço unitário, faremos R=p*x. Trabalharemos com preço unitário igual a R$ 5,00, então, R=5x. Neste caso, a inclinação da reta de receita é igual a 5.

O lucro é uma decorrência da receita menos custos.

L=R-C=

=5x-(2x+3)=

=3x-3=L

A inclinação da função lucro é igual a 3. Agora, é importante encontrar a quantidade mínima a ser produzida com dada função, e este ponto é quando o lucro é igual a zero. Se produzir menos que tal quantidade haverá prejuízo, se produzir mais haverá lucro.

L=0=3x-3. Temos que x=1 é a quantidade mínima a ser produzida. Esta é a quantidade que a receita se iguala ao custo, ou seja, R=C quando 5x=2x-3 -> x=1. Por termos trabalhado com exemplos que envolvem custos e receitas, este ponto é chamado de break-even point ou ponto de equilíbrio.

Mas a premissa para encontrarmos o ponto em comum entre um sistema de funções de primeiro grau é a mesma, pois basta igualarmos as funções para encontrarmos o valor da variável que torna comum o resultado das funções. Se, por exemplo, duas funções se cru-

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zam em um ponto em comum, ou seja, há apenas um valor comum da função e apenas um valor da variável, este sistema é chamado de possível e determinado. Se não há solução em comum, o sistema é chamado de impossível, pois as retas nunca se cruzarão em um ponto comum.

IV. Juros simples

Veremos agora funções de juros simples. Sabendo que a função do montante (juros mais capital inicial) é igual ao capital inicial investido multiplicado pelos juros e multiplicado pelo período aplicado.

Deste modo:

M=C*i*n+C

M=Montante; i=taxa de juros; C=capital inicial; n=período da aplicação.

Por outro lado, a equação M-C indica o valor dos juros recebidos pelo investimento no período, ou seja, os juros recebidos (J) correspondem a J=C*i*n.

A função de juros simples é sempre de 1o grau, pois é uma reta (Figura 4.3). Note que o maior grau da função é 1 para qualquer termo.

Figura 4.3 Montante e Juros.

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V. Restrição orçamentária

Mais um exemplo de função de 1o grau é o caso de restrição orçamentária. Aqui, dadas as funções de gastos com os produtos a serem comprados, a meta é encontrar a quantidade comprada de cada produto até os gastos se igualarem ao orçamento. Suponha orçamento total igual a R$ 100,00. Com esse orçamento serão comprados dois produtos diferentes, um de custo unitário de R$ 2,00 e outro de R$ 4,00. A quantidade do produto um é igual a (x) e do produto dois igual a (y). Portanto:

100=2x+4y, esta é a restrição orçamentária do exemplo.

Se fizermos y=0, teremos x=50; se fizermos x=0, teremos y=25. Estes casos ilustram a pos-sibilidade de se comprar apenas um dos produtos com o orçamento disponível.

Se na função 100=2x+4y isolarmos as variáveis em momentos distintos, teremos a relação entre elas. Por exemplo:

X=50-2y e y=25-0,5x

Já sabemos quais são as quantidades extremas de cada produto que cabem no orçamento e agora temos a relação entre as variáveis. Então, se, por exemplo, a pessoa optar por comprar 30 unidades de x, temos que o orçamento irá comportar mais: y=25-0,5x -> y=10. Vamos verificar:

100=2*30+4y -> y=10

Por outro lado, se a pessoa optar por comprar 20 unidades do produto y, o orçamento irá comportar:

x=50-2y=

=x=50-40=10

Então, ao comprar 20 unidades do produto y, ainda haverá orçamento para mais 10 uni-dades do produto x.

Lembre-se de que, neste exemplo, as quantidades de cada produto devem respeitar os casos extremos que encontramos anteriormente, x=50 ou y=25.

O maior grau desta função de restrição orçamentária é 1, portanto, é uma função de 1o grau.

Combinações de quantidades que não somem um valor gasto menor que o orçamento disponível são chamadas de pontos abaixo da reta. Combinações que proporcionem um gasto igual ao orçamento são pontos na reta, e combinações nas quais os gastos excedam o orçamento são pontos acima da reta.

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ÍNICIOLINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:

Acesse o site Brasil Escola e veja exemplos de funções compostas. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-composta.htm>. Acesso em: 28 abr. 2013.

Acesse o site Só Matemática e veja novamente os conceitos sobre juros simples.

Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/finan2.php>. Acesso em: 29 abr. 2013.

Acesse o link do Guia do Estudante sobre sistemas impossíveis, possíveis e determinados. Disponível em: <http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/matematica/sistemas-lineares-677814.shtml>. Acesso em: 30 abr. 2013.

Acesse o link do site Mundo Educação e veja exemplo de cálculo de ponto de equilíbrio. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-equilibrio.htm>. Acesso em: 30 abr. 2013.

VÍDEOS

Matemática - Aula 4 - Função do Primeiro Grau - Parte 1. É uma breve revisão sobre a fun-ção de 1o grau que você acabou de estudar.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=pYqp-57y0D8>. Acesso em: 28 abr. 2013.

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 4, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Considerando os tipos de funções apre-sentadas no Tema 3 e no Tema 4, classi-fique as funções a seguir como crescente, decrescente, limitada ou composta.

a) y=(1÷x)+550

b) y=8x-(1÷x)

c) y=f(2x+1)

d) y=3x÷7x-2x

Questão 2:

Levando em consideração o que foi estu-dado sobre as funções de 1o grau, respon-da (V) para Verdadeiro e (F) para Falso.

a) ( ) Uma função limitada inferiormente pode possuir infinitos resultados.

b) ( ) Uma função limitada superiormente pode possuir infinitos resultados.

c) ( ) Na função y=mx+b, o coeficiente (b) determina a inclinação da reta.

d) ( ) O break-even point é o ponto de equilíbrio de uma função de lucro.

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) Na função y=8x-6, a taxa de variação é igual a (-6).b) Na função y=-2+3x÷2, a inclinação da reta é igual a 3.c) O coeficiente angular de uma função indica o ponto gráfico onde a reta irá cru-zar o eixo vertical y. d) A função f(x)=4x também pode ser es-crita como y=4x.

Questão 4:

Assinale a alternativa correta:

a) O sistema de funções y=4x+30 e y=-2x-10 é impossível.b) O ponto de equilíbrio das funções y=(2x³÷x²)-4 e y=4x+50 é quando x=27.c) Se o coeficiente angular de uma fun-ção é igual a (5÷2), se o valor de (x) variar em 4 unidades, a variável dependente (y) irá variar em 2 unidades.d) O sistema de funções y=2x+2 e f(x)=2x-2 é possível e determinado.

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

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ÍNICIO

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Questão 5:

Considerando o que foi estudado sobre funções compostas neste Tema 4, assinale a alternativa correta:

a) Se f(x)=2x+2 e g(y)=4x, então g(f(x))=8x²+8x.

b) Se f(x)=2x+2 e g(y)=4x, então g(x)=8x+2.

c) Se f(x)=x e g(y)=x, então g(x)=2x.

d) Se f(x)=x² e g(y)=(1÷x), então g(f(x))=x²-x.

Questão 6:

Encontre o ponto de equilíbrio das funções y=4x-15 e y=x-3.

Questão 7: Calcule o montante de um investimento no qual o capital inicial aplicado seja de R$ 5.000,00 por um período de 14 meses, com juros mensais de 3%.

Questão 8:

A receita de uma clínica médica é dada pela quantidade de pacientes e pelo valor cob-rado pelo atendimento. O custo da clínica possui uma parte variável, de acordo com a quantidade de pacientes, e outra parte de

despesas fixas, que é igual a R$ 21.000,00 por mês. Considerando o valor médio co-brado por atendimento de R$ 200,00 e a função de custo fixo de 50x, determine a quantidade mínima de pacientes para esta clínica não ter prejuízo.

Questão 9:

Um hospital atendeu há 8 meses 50 paci-entes além da quantidade que determina seu ponto de equilíbrio. Com o lucro que obteve, resolveu aplicar em um investimen-to que rende 2% ao mês. Considerando o custo variável do hospital de 10x, o custo fixo de R$ 49.400,00 e uma receita média por paciente de R$ 200,00, calcule a recei-ta total obtida no mês em questão e qual o rendimento com juros que o hospital obteve após os 8 meses com o dinheiro investido. (x=número de pacientes)

Questão 10:

Imagine um processo produtivo integrado. Uma etapa do processo é produzir bar-ras de aço e a outra etapa é cortar esta barra de aço em (8y-2) pedaços iguais. A função produção da barra de aço é igual a y=4x+10, e (x) é o peso da barra em kg. Determine quantos pedaços de barra de aço serão produzidos se inserirem 2 kg de aço na máquina.

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

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No Tema 4 você relembrou as funções de 1o grau do tipo composta e limitada, viu como calcular juros simples e restrição orçamentária. No Tema 5, será introduzido o tema funções de 2o grau.

FINALIZANDO

REFERÊNCIAS

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Break-even point: ponto no qual o lucro é zero, ou seja, a receita é igual ao custo.

Montante: soma do capital inicial investido mais os ganhos com os juros.

Sistema impossível: um sistema de funções que não possui solução. Graficamente, isto quer dizer que as retas formadas pelas funções não se cruzam.

Sistema possível e determinado: um sistema de funções que possui apenas um valor para a incógnita como solução. Graficamente, isto quer dizer que as retas formadas pelas funções se encontram em apenas um ponto determinado.

Taxa de variação: é a taxa de variação causada na variável dependente a cada variação unitária da variável independente.

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ÍNICIOGABARITOTema 4Tipos de Função e Função de 1o Grau

Questão 1Resposta:

a) Função limitada e decrescente.b) Função crescente.c) Função composta.d) Função decrescente.

Questão 2Resposta: a) V; b) V; c) F; d) V

Questão 3Resposta: d)

Questão 4Resposta: b)

Questão 5Resposta: b)

Questão 6Resposta: Para encontrar o ponto de equilíbrio, basta igualar as duas funções, portanto, 4x-15=(x)-3==3x=12 ->x=4 determina o ponto de equilíbrio. Agora, substituindo o valor na função, temos que y=3*(4)-15=-3

Questão 7Resposta: Calcule o montante de um investimento no qual o capital inicial aplicado seja de R$ 5.000,00 por um período de 14 meses, com juros mensais de 3%.Montante=Capital*juros*período, ou seja, M=C*i*n+C

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Então, M=5.000*14*0,03+5.000=R$ 7.100,00.

Questão 8Resposta: A função de custo é igual ao custo fixo mais custo variável, portanto, Custo=50x+21000. Já a Receita é dada por pacientes*valor do atendimento. A Receita da clínica é igual a 200x. Agora, é só igualar as duas funções para saber a quantidade mínima de (x) para que não tenha prejuízo, ou seja, Custo=Receita.50x+21000=200x==21000=150x -> x=140São necessários 140 pacientes para que a clínica não tenha prejuízo.

Questão 9Resposta: Primeiramente, é necessário encontrar o ponto de equilíbrio para depois saber qual o lucro obtido há 8 meses. Para isto, iguale a função de receita=200*x à função de custo=custo fixo+custo variável=10x+49.400. Portanto,200x=10x+49400==190x=49400 -> x=260, ou seja, são necessários 260 pacientes mensais para que o hos-pital não tenha prejuízo. Agora, é só acrescer 50 pacientes, além do ponto de equilíbrio, ou seja, x=(260+50)=310.Receita=200x. No mês em questão, a receita total do hospital foi de R$ 62.000,00.O lucro obtido foi de 50 pacientes. Este valor será calculado com a receita menos os custos quando o total de pacientes atendido for de 310 pessoas.Portanto, 200*310-10*310+49400=Lucro=R$ 9.500,00Agora, basta relembrar que juros recebidos= Capital investido*taxa de juros*período. Neste caso, a taxa e o período foram dados no enunciado.Valor de juros= C*i*n==9500*0,02*8=1.500,00O total recebido apenas de juros da aplicação feita após 8 meses é de R$ 1.500,00.

Questão 10Resposta: A função composta é g(f(x)), sendo g(y)=8x-2 e f(x)=y=4x+10. Portanto, a função g(x)=8(4x+10)-2. Se forem inseridos 2 kg de aço na máquina, teremos g(f(2))=8(4*2+10)-2=72. Serão produzidos 72 pedaços de aço.

GABARITO

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

AGORAÉASUAVEZ

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Tema

05

Funç

ões

de 2

o Gra

u

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Definição de função de 2o grau.

• Modelos de função de 2o grau.

• Como calcular as raízes das funções de 2o grau.

• Como definir o conjunto imagem de uma função de 2o grau.

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ÍNICIO

LEITURAOBRIGATÓRIA

No Tema 5, você estudará as funções de 2o grau. No tema anterior, foram apresentadas as funções de 1o grau, com seus tipos básicos, juros simples e restrição orçamentária. Agora, estudaremos as funções de grau 2, que também são chamadas de funções quadráticas, ou seja, aquelas funções que possuem o maior expoente de um coeficiente literal igual a 2. No próximo tema, aprenderemos a utilizar as funções quadráticas para resolver problemas práticos que podem surgir no dia a dia.

Uma função de 2o grau pode ser escrita da seguinte forma:

f(x)=ax²+bx+c

em que os coeficientes (a), (b) e (c) são números reais e a≠0. O coeficiente (c) também é chamado de termo independente. No entanto, (b) e (c) podem ser iguais a zero ou nulos. Neste caso, a função é chamada de função incompleta. Por outro lado, quando todos os coeficientes são diferentes de zero, é chamada de função completa.

Exemplos de funções completas:

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• O que é uma função completa e uma função incompleta?

• Como se verifica a direção da concavidade de uma parábola?

• Para que é utilizada a fórmula de Bhaskara?

• O que determina o sinal do discriminante da equação ∆?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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• 2x²+3x-15

• -X²+x+1

Exemplos de funções incompletas:

• X²+4x

• 5x²-20

• -8x²

Há algumas características comuns que podem ser observadas nas funções de segundo grau. Quando o termo de maior grau é elevado ao quadrado, o gráfico que representa a função é uma parábola, também chamada de curva.

O primeiro ponto a ser observado é que, se o sinal do coeficiente da variável indepen-dente, que nos exemplos anteriores foi representada por (a), for positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima. Se o sinal do coeficiente da variável independente for nega-tivo, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Veja as figuras a seguir:

Figura 5.1 Parábola da função x2.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIO

A Figura 5.1 representa um gráfico para a função incompleta x². Apenas como exemplo, foram utilizados valores entre -3 e 3 para a variável. Note que a curva corta o eixo horizontal quando x=0, portanto, esta é a raiz da função. O coeficiente (a) é igual a 1.

Figura 5.2 Parábola da função –x2.

A Figura 5.2 representa a função (–x²). Note que y=0 quando x=0, portanto, x=0 é a raiz dessa função. O coeficiente (a) é igual a (-1).

Mais exemplos:

• f(x)=-9x²+10 -> o coeficiente da variável independente é igual a -9, portanto, menor que zero. A concavidade da parábola é voltada para baixo.

• f(x)=30x²-50x -> o coeficiente da variável independente é igual a 30, portanto, maior que zero. A concavidade da parábola é voltada para cima.

Como veremos mais adiante, essas funções possuem duas raízes, que podem ser iguais ou diferentes. Nos exemplos anteriores, ambas as raízes são iguais a zero. Essas raízes são representadas no gráfico como o(s) ponto(s) onde a curva corta o eixo horizontal. Se as raízes são representadas como os pontos que cortam o eixo horizontal, isso quer dizer que o valor correspondente no eixo vertical é igual a zero. Portanto, quando substituímos

LEITURAOBRIGATÓRIA

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a variável independente da função pelo valor de uma das raízes, o valor de f(x)=y=0. Para encontrarmos as raízes de uma função quadrática, o primeiro passo é igualarmos f(x)=0 e calcularmos o valor da variável independente. O modo que utilizaremos para encontrar as raízes é a fórmula de Bhaskara, descrita a seguir:

Neste caso, podemos fazer b²-4ac=Δ. Então,

A letra grega delta, representada por Δ, é chamada de discriminante da equação. Veja al-gumas características do delta:

• Se Δ>0, a função terá duas raízes reais e distintas.

Uma raiz será igual a e a outra raiz será igual a .

• Se Δ=0, a função terá duas raízes reais e iguais.

Se delta é igual a zero, então a raiz é igual a .

• Se Δ<0, não existem raízes reais.

O vértice da parábola é chamado de ponto de mínimo se a concavidade estiver voltada para cima (a>0) ou ponto de máximo se a concavidade estiver voltada para baixo (a<0). As coordenadas do vértice determinam o conjunto imagem da função e são dadas por:

V=(-b÷2a, -Δ÷4a)

em que a primeira coordenada determina o valor do ponto no eixo horizontal e a segunda coordenada determina o valor do ponto no eixo vertical.

Veremos, agora, a resolução de alguns exemplos para servir de base para futuros exercícios.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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Exemplo 1 Determine as raízes das funções, a seguir, e as coordenadas dos vértices. Es-boce em um gráfico.

a) f(x)=x²+3x-4

b) f(x)=-2x²+6

• Resolução f(x)=x²+3x-4

Primeiro, acharemos as raízes, conforme a fórmula de Bhaskara.

Portanto, x1=(-3+√(3²-4*1*-4))÷(2*1) e x2=(-3-√(3²-4*1*-4))÷(2*1)

Temos que as raízes são x1=1 e x2=-4. Isto quer dizer que a parábola irá cortar o eixo hori-zontal, ou seja, quando y=0, quando x for igual a x1 e também em x2.

O coeficiente da variável independente, que no caso geral foi representado pela letra (a), é maior que zero. Assim, a concavidade da parábola é voltada para cima.

Vamos analisar agora o valor de delta, que é dado por Δ=b²-4ac. No exemplo, Δ=25. Como o valor é positivo, a função possui duas raízes reais e diferentes, como já calculamos ante-riormente.

O próximo passo é calcular as coordenadas do vértice. Temos que V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(-3÷2,-25÷4)=((-1,5),(-6,25)). Portanto, como a parábola está com a concavidade voltada para cima, as coordenadas do vértice determinam o ponto mínimo da função. Veja o grá-fico (Figura 5.3) representando o exemplo que acabamos de verificar com a curva cortando o eixo horizontal nas raízes -4 e 1 e o ponto mínimo quando x=-1,5 e resultando em y=-6,25.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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Figura 5.3 Gráfico f(x)=x2+3x-4.

O exemplo dado foi de uma função completa com delta maior que zero. Veremos outro caso.

Exemplo 2 Resolver f(x)=-2x²-3.

O primeiro ponto a verificar é a respeito da concavidade da parábola. Temos que o coefi-ciente da variável independente (a) é igual a -2, portanto, menor que zero. Neste caso, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Isso quer dizer que o vértice será um ponto máximo no gráfico.

Verificando o valor de delta, temos que Δ=-24. Desta forma, não há raízes reais para esta função, ou seja, considerando os números reais, não há pontos em que y=0. Consequent-emente, não é possível calcular x1 e x2.

Mas é possível calcular o vértice da parábola conforme coordenadas já indicadas anterior-mente. O ponto máximo é V=(0,-3). Repare no gráfico (Figura 5.4), a seguir, que a curva não corta o eixo horizontal em nenhum momento e que o ponto de máximo ocorre quando x=0 e, consequentemente, y=-3.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIO

Figura 5.4 Gráfico f(x)=-2x2-3Com a definição do vértice de uma função, é possível definir seu conjunto imagem. Se uma função possui concavidade voltada para cima, seu vértice é um ponto mínimo e, portanto, todos os demais valores de y=f(x) serão maiores que o ponto mínimo. Por outro lado, se a função possui concavidade voltada para baixo, seu vértice é um ponto máximo e, portanto, todos os demais valores de y=f(x) serão menores que ele.

Se, por exemplo, um ponto mínimo é dado por V=(1,-2), qualquer outro valor da função no conjunto Reais será maior que -1. Podemos definir o conjunto imagem da seguinte forma: Im(f)={y Є R| y≥-2}.

Agora, se um ponto máximo é dado por V=(1,-2), qualquer outro valor da função no conjunto Reais será menor que -2. Neste caso, o conjunto imagem da função será: Im(f)={y Є R|y≤-2}.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:

Acesse o link Matemática Pura, com material bem completo sobre função de segundo grau.Disponível em: <http://www.matematicapura.com.br/download/material/funcao_do_2_grau.pdf>. Acesso em: 5 maio 2013.

Acesse o site Alunos On Line, que trata um pouco sobre funções de 2o grau.Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-do-2-grau.html>. Acesso em: 4 maio 2013.

Acesse o link do site Brasil Escola, com alguns exercícios sobre funções de 2o grau diferen-tes do que vimos neste Tema 5.Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-funcao-2-o-grau.htm>. Acesso em: 4 maio 2013.

Acesse o site Tutor Brasil, que mostra exemplos de como calcular o vértice de uma função de 2o grau.Disponível em: <http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/funcoes/funcao_segun-do_grau/funcao_segundo_grau_09_vertice_imagem.php>. Acesso em: 4 maio 2013.

VÍDEOS

Videoaula Função Quadrática 2o grau. São aproximadamente 6 minutos de uma videoaula resumindo o que foi visto neste Tema 5.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=sm3FjI7HnYg>. Acesso em: 6 maio 2013.

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ÍNICIO

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 5, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Antes de realizar os demais exercícios deste tema, é importante que fixe como determinar a direção da concavidade da parábola. Indique para cada função, a se-guir, para onde a concavidade da parábola está voltada.

a) y=9x-2x²+4

b) y=x²÷3

c) y=3x²+1

Questão 2:

Levando em consideração o que foi estu-dado sobre as funções de 2o grau, respon-da (V) para Verdadeiro e (F) para Falso.

a) ( ) A função f(x)=4x²+x²÷3-4 é uma função completa.

b) ( ) Em f(x)=x²-4x÷3, o termo indepen-dente é igual a 3.

c) ( ) O conjunto imagem de uma fun-ção, cujo ponto mínimo é V=(-1,5), é igual a Im(f)={y Є R|y≤-1}.

d) ( ) O conjunto imagem de uma fun-

ção, cujo ponto máximo é V=(3,8), é igual a Im(f)={y Є R|y≤8}

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) A função x²-3 não possui raízes Reais.

b) A função –x²-2x+5 possui duas raízes Reais e distintas.

c) A função 2x²-x possui duas raízes Reais e iguais.

d) A função 6x+3-2x² não possui raízes Reais.

Questão 4:

Assinale a alternativa correta:

a) O vértice de f(x)=2x²-2x+2 é V(0,2).

b) O vértice de f(x)=2x²-2x+2 é V((0,5),(0,75)).

c) O vértice V(-1,3) de f(x)=x²-2x+9 é um ponto máximo.

d) O vértice de f(x)=-x²+4 é V(2,0).

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

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INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVAQuestão 5:

Considerando o que foi estudado sobre funções de 2o grau neste Tema 5, assinale a alternativa correta:

a) O vértice de f(x)=-4x+x²+10 é V=(1,4).

b) O conjunto imagem de uma função, cujo ponto mínimo é V=(3,6), é igual a Im(f)={y Є R|y≤6}.

c) O conjunto imagem de uma função, cujo ponto máximo é V=(1,0), é igual a Im(f)={y Є R|y≤0}.

d) O vértice de x²+15x+8 é um ponto máximo.

Questão 6:

Encontre o vértice da função f(x)=x²-x+2.

Questão 7: Determine a direção da concavidade da parábola e as raízes da função y=-3x-8x²-1.

Questão 8:

Determine a direção da concavidade da parábola e as raízes da função y=8x+5x²+3.

Questão 9:

Encontre e esboce em um gráfico as raízes e o vértice da função -3x²+6x-3.

Questão 10:

Encontre e esboce em um gráfico as raízes e o vértice da função x²-3x+4.

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

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No Tema 5, você relembrou as funções de 2o grau. O Tema 6 irá aprofundar este mesmo assunto com o estudo de sinal e aplicações práticas para uso de funções de 2o grau.

FINALIZANDO

REFERÊNCIAS

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Eixo horizontal: reta no gráfico que representa os valores da variável independente.

Eixo vertical: reta no gráfico que representa os valores da variável dependente.

Parábola: nome dado à curva gráfica que representa uma função de 2o grau.

Ponto máximo: valor extremo máximo que uma função pode alcançar.

Ponto mínimo: valor extremo mínimo que uma função pode alcançar.

Termo independente: coeficiente numérico da função que não está associado à variável independente.

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GABARITOTema 5Funções de 2o Grau

Questão 1Resposta:

a) Concavidade voltada para baixo.

b) Concavidade voltada para cima.

c) Concavidade voltada para cima.

Questão 2Resposta: a) F ; b) F ; c) F ; d) V.

Questão 3Resposta: b)

Questão 4Resposta: b)

Questão 5Resposta: c)

Questão 6Resposta: Conforme visto, o vértice é dado por V=(-b÷2a, -Δ÷4a). Portanto, para f(x)=3x²-x+2, basta calcular as coordenadas V=(-(-1÷(2*1)),-((-1)²-(4*1*2))÷(4*1)), então, V=((0,5),(7÷4)).

Questão 7Resposta: O coeficiente do termo independente é menor que zero, portanto, a concavidade da parábola está voltada para baixo.

Para encontrarmos as raízes da função, calcularemos x1 e x2 pela fórmula de Bhaskara. Primeiramente, é necessário encontrarmos o valor de delta.

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Δ=b²-4ac -> Δ=(-3)²-4*(-8)*(-1)

Δ=9-32=-23

O valor de delta é negativo, portanto, não há raízes no conjunto Reais.

Questão 8Resposta: 8x+5x²+3

O coeficiente do termo independente é maior que zero, portanto, a concavidade da parábola está voltada para cima.

Para encontrarmos as raízes da função, calcularemos x1 e x2 pela fórmula de Bhaskara. Primeiramente, é necessário encontrarmos o valor de delta.

Δ=b²-4ac -> Δ=(8)²-4*(5)*(3)=4, portanto, Δ=4.

Agora, é a vez de utilizarmos a fórmula de Bhaskara:

X1=(-8+√4)÷(2*5)=(-3÷5)

X2=(-8-√4)÷(2*5)=-1

As raízes da função são (-3÷5) e (-1).

Questão 9Resposta: -3x²+6x-3.

O coeficiente (a) da função é negativo, portanto, a concavidade da parábola é voltada para baixo. Assim, o vértice é o ponto máximo da função.

Para encontrarmos as raízes, é necessário calcularmos o valor de delta para depois utilizar-mos a fórmula de Bhaskara.

Δ=b²-4ac -> Δ=(-6)²-4*3*(-3)=0

Se o delta é igual a zero, as duas raízes são iguais. Então:

x1=x2=(-b÷2a)=

=(-6)÷(2*-3)=1=x1=x2

Agora, é necessário acharmos o vértice e esboçarmos o gráfico .

V=(-b÷2a, -Δ÷4a) -> V(1,0)

GABARITO

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GABARITO

Neste caso, a própria raiz é o vértice.

Questão 10Resposta: O coeficiente (a) da função é positivo, portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima. Assim, o vértice é o ponto mínimo da função.

Para encontrarmos as raízes, é necessário calcularmos o valor de delta para depois utilizar-mos a fórmula de Bhaskara.

Δ=b²-4ac -> Δ=(-4)²-4*(1)*(3)=4

X1= (-(-4)+√4)÷(2*1) =3

X2= (-(-4)-√4)÷(2*1)=1

Os pontos em que a parábola corta o eixo horizontal ocorrem quando x=3 e x=1. Nestes dois casos, f(x)=0.

O vértice é dado por V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(2,-1), ou seja, quando x=2, y será igual a -1, que é o menor valor possível da função dada. Vamos ao gráfico:

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ÍNICIOGABARITO

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

AGORAÉASUAVEZ

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Tema

06

Funç

ões

de 2

o Gra

u: A

plic

açõe

s

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Como realizar o estudo de sinais de funções de 2o grau.

• Como calcular o ponto de equilíbrio em funções de 2o grau.

• Como esboçar gráficos de funções de 2o grau.

• Aplicações para uso prático de funções de 2o grau.

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ÍNICIO

LEITURAOBRIGATÓRIA

I. Estudo dos sinais de uma função quadrática

No Tema 6, você continuará estudando funções de 2o grau. No Tema 5, você aprendeu a verificar a direção da concavidade da parábola, a calcular as raízes de uma função quadráti-ca, a calcular o vértice e a definir o conjunto imagem. Agora, você fará um estudo do sinal da função e uma aplicação prática das funções quadráticas.

Começaremos pelo estudo de sinal. Estudar o sinal de uma função y=ax²+bx+c significa de-terminar valores de (x), de modo que (y) seja positivo, negativo ou zero. A análise começa com o valor do discriminante ∆. Portanto, há três opções, como veremos a seguir:

• Se ∆>0, há duas raízes distintas que definiremos x1 e x2. Se o coeficiente (a) for maior que zero, a concavidade é voltada para cima e, então, temos a parábola conforme a Figura 6.1:

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Como se realiza um estudo de sinal em uma função de 2o grau?

• Como se determina o break-even point em uma função de 2o grau?

• Como se encontra o lucro máximo de uma função de 2o grau?

• Como se determinam os valores que fazem uma função lucro positiva?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 6.1 Parábola – concavidade voltada para cima (∆>0 e coeficiente (a) maior que zero).

Neste caso, verifica-se que para qualquer valor menor que x1 ou maior que x2 a função y terá um valor maior que zero, portanto, para:

• y>0 quando x<x1 ou x>x2.

• Y<0 quando x1<x<x2.

• y=0 quando x=x1 ou x=x2.

Outro caso possível quando ∆>0: se o coeficiente (a) for menor que zero, consequente-mente, a parábola estará com a concavidade voltada para baixo. Veja a Figura 6.2 a seguir:

Figura 6.2 Parábola – concavidade voltada para baixo (∆>0 e coeficiente (a) menor que zero).

Aqui, os três casos possíveis são:

• y>0 quando x1<x<x2.

• y=0 quando x=x1 ou x=x2.

• y<0 quando x<x1 ou x>x2.

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ÍNICIOLEITURAOBRIGATÓRIA

Quando ∆=0, as duas raízes, x1 e x2, são iguais, portanto, o estudo do sinal é mais simples.

• Se a>0, a concavidade da curva estará voltada para cima, como mostra a Figura 6.3 a seguir:

Figura 6.3 Parábola – concavidade voltada para cima (∆=0 e coeficiente (a) maior que zero).

Neste caso, quando x=x1=x2, a curva tangencia o eixo horizontal e o valor resultante da função é nulo. Nos demais casos, a função é sempre positiva. Os casos possíveis são:

• y=0 quando x=x1=x2.

• y>0 para qualquer valor de x≠x1 pertencente aos Reais.

• Se a<0, a parábola muda de direção. Como ∆=0, só há um valor que torna y=0. Então, a curva tangencia o eixo horizontal em apenas um ponto. Veja a Figura 6.4:

Figura 6.4 Parábola – concavidade voltada para baixo (∆=0 e coeficiente (a) menor que zero).

Os casos possíveis são:

• y=0 quando x=x1=x2 ou

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LEITURAOBRIGATÓRIA

• y<0 para qualquer valor de x≠x1 pertencente aos Reais.

Já para valores de ∆<0, vimos que não existem raízes no conjunto dos números Reais. Isto significa que nenhum valor de (x) irá resultar em y=0.

• Se a>0, todos os valores que a variável independente (x) pode assumir dentro dos números Reais irá resultar em um valor de y>0.

Figura 6.5 Parábola – concavidade voltada para cima (∆<0 e coeficiente (a) maior que zero).

• Por outro lado, se a<0, qualquer valor de (x) irá resultar em y<0. A Figura 6.6 a seguir mostra este caso:

Figura 6.6 Parábola – concavidade voltada para baixo (∆<0 e coeficiente (a) menor que zero).

II. Aplicação das funções de 2o grau

Veremos, agora, como podemos utilizar em situações práticas as funções de 2o grau e como as regras que acabamos de estudar podem ser úteis.

Novamente o exemplo será em torno de funções de receita e custo.

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ÍNICIOLEITURAOBRIGATÓRIA

A função receita será dada por R=p*x, em que (p) é o preço e (x) é a quantidade vendida. Por sua vez, há uma relação do preço do produto com a quantidade, ou seja, o preço é in-fluenciado pela quantidade vendida. Faremos p=-x+10. Assim, R=(-x+10)*x=-x²+10x. Para que possamos ver melhor a relação da quantidade vendida com a receita obtida, basta simularmos valores de (x) e traçarmos o gráfico. Veja o exemplo:

Quantidade - x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Receita - R 0 9 16 21 24 25 24 21 16 9 0

Com o quadro mostrado, é possível verificarmos que o ponto máximo que a receita atinge é 25 quando a quantidade é igual a 5. Nos demais casos, a receita não é a maior possível. Isto também pode ser visualizado graficamente.

Figura 6.7 Gráfico de f(x)=(-x2+10x).

Vimos no Tema 5 que é possível calcular o vértice de uma função de segundo grau. No atual exemplo, o coeficiente do termo independente de segundo grau é negativo, portanto, a parábola tem sua concavidade voltada para baixo, fazendo com que o vértice seja um ponto máximo. Relembrando:

• V=(-b÷2a, -Δ÷4a)

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LEITURAOBRIGATÓRIA

-b÷2a= -10÷(2*-1)=5

-Δ÷4a=(b²-4ac)÷(4a)=(-10²)÷(4*-1)=25

Então, V=(5,25), ou seja, o ponto máximo de f(x) é igual a 25 e ocorre quando x=5.

No quadro e no gráfico também verificamos que em dois pontos distintos a receita é igual a zero, ou seja, a função possui duas raízes Reais. Veremos:

x1= ((-10)+√100)÷(2*-1)=0

x2=((-10)-√100)÷(2*-1)=10

Novamente, os valores bateram com o que foi visto na tabela e no gráfico.

Encontramos a receita máxima da função dada, mas ainda não temos o lucro máximo. Para encontrarmos o lucro, é necessário sabermos o custo. Consideraremos a função de custo como a junção do custo fixo de produção, que é igual a 5, e o custo variável, que é igual a 4x. Portanto, a função custo total é C=4x+5.

Lucro=Receita-Custo

L=(-x²+10x)-(4x+5)=

=-x²+6x-5=função Lucro

A partir dessa função encontrada, será possível verificarmos em qual ponto há o lucro máx-imo, em qual(quais) ponto(s) o lucro é zero e em quais pontos o lucro é negativo. Temos que o coeficiente (a) é igual a (-1), portanto, a curva tem concavidade voltada para baixo e, consequentemente, haverá um ponto máximo. Calculando o delta, temos que ∆=b²-4ac=16. O resultado é maior que zero, então, existem dois pontos que fazem o lucro igual a zero. Descobriremos as raízes com a fórmula de Bhaskara.

x1=(-6+4)÷(2*-1)=1

x2=(-6-4)÷(2*-1)=5

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102

ÍNICIO

As raízes são x1=1 e x2=5. Se o lucro é zero nos dois pontos, quer dizer que a receita é igual ao custo. X1=1 e x2=5 são os pontos de equilíbrio.

Agora, falta sabermos o vértice para descobrirmos onde está o ponto de lucro máximo dessa função.

V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(3,4). O lucro máximo é igual a 4 e ocorre quando x=3.

O gráfico a seguir (Figura 6.8) resume o exemplo que acabamos de estudar. A reta de custo inicia seu trajeto no eixo vertical, ou seja, quando x=0, com o valor y=5. A curva de receita cruza com a reta de custo em dois pontos, que são os pontos de equilíbrio, como vimos há pouco, quando x=1 e x=5, resultando respectivamente em y=9 e y=25. Já a curva de lucro tem seu ponto máximo quando x=3 e y=4. É neste ponto que há a maior distância no gráfico entre a curva de receita e a reta de custo.

Figura 6.8 Funções Lucro, Receita e Custo.

Agora, relembrando o estudo dos sinais no início deste Tema 6, podemos traçar o gráfico e analisar as variações do lucro em função da quantidade vendida. Considerando os pontos de equilíbrio encontrados, a função de lucro pode ser resumida da seguinte forma:

LEITURAOBRIGATÓRIA

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Figura 6.9 Função de lucro.

O esboço mostra que se x>1 e x<5 haverá lucro. Se x=1 ou x=5, o lucro será zero, pois já vimos que são os pontos nos quais as receitas são iguais aos custos. E, finalmente, se x<1 ou x>5 haverá prejuízo, uma vez que o custo será maior que a receita nas determinadas quantidades produzidas. Resumidamente, temos que a produção deve ser maior que 1 unidade e menor que 5 unidades para haver lucro. Qualquer outra quantidade produzida retornará prejuízo ou lucro zero. No entanto, o melhor cenário possível ocorre com 3 uni-dades produzidas.

Com base no exemplo resolvido, é possível verificar que nem sempre a maior receita irá retornar o maior lucro. O lucro depende também do custo. E, então, é necessário realizar um estudo para saber qual é o melhor ponto de produção, qual a quantidade ou o preço que retorna o maior lucro, considerando as funções de receita e custo.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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ÍNICIOLINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:

Acesse o link do blog Ensino Matemática, que apresenta exercícios de estudo de sinal de funções de 2o grau resolvidos. Disponível em: <http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2011/01/estudo-dos-sinais-da-funcao-de-2-grau.html>. Acesso em: 8 maio 2013.

Acesse o site Mundo Educação, que apresenta exercícios resolvidos sobre funções de 2o

grau de receita, custo e lucro.

Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcoes-custo-receita-lucro.htm>. Acesso em: 6 maio 2013.

Acesse o link da Universidade FEEVALE e veja o exemplo resolvido de exercício de estudo de sinal. Disponível em: <http://www.rostirolla.com.br/diego/sinalSegundoGrau.html>. Acesso em: 8 maio 2013.

Acesse o site Banco de Concursos, com exemplos de aplicações para o uso de funções de 2o grau. Disponível em: <http://www.bancodeconcursos.com/matematica/funcao-2-o-grau.html>. Acesso em: 9 maio 2013.

VÍDEOS

Matemática: Aula estudo do sinal da função quadrática. São aproximadamente 12 minutos de uma videoaula do Curso Sinapse sobre estudo de sinal de uma função de 2o grau, assim como foi visto neste Tema 6.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=6YqKA4Uiuz0>. Acesso em: 8 maio 2013.

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 6, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Antes de realizar os demais exercícios deste tema, é importante que relembre como determinar o conjunto imagem de uma função de 2o grau. Indique o conjunto imagem de cada função a seguir:

a) y=-2x²+4b) y=x²+2x+2

Questão 2:

De acordo com o que foi visto sobre o es-tudo de sinal das funções de 2o grau, re-sponda (V) para Verdadeiro e (F) para Fal-so. Considere x1 e x2 as raízes da função, sendo x1 o menor valor e x2 o maior valor, quando for o caso.

a) ( ) Em uma função de coeficiente (a) negativo e ∆>0, todo valor maior que a raiz x1 tornará f(x)>0.b) ( ) Em uma função de coeficiente (a) positivo e ∆=0, todo valor menor que x2 tornará f(x)>0.c) ( ) Em uma função de coeficiente (a) negativo e ∆<0, todo valor menor que x1 tornará f(x)>0.

d) ( ) Em uma função de coeficiente (a) positivo e ∆>0, todo valor entre x1 e x2 tornará f(x)<0.

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) Sempre no ponto em que função re-ceita for máxima, o lucro também será máximo.

b) Sempre no ponto em que a função custo for mínima, a função lucro terá seu ponto máximo.

c) Graficamente, o lucro será máximo no ponto em que houver a maior distância entre a função custo e a função receita.

d) Sempre que as funções custo e recei-ta se cruzarem no gráfico, a função lucro cruzará o eixo horizontal.

Questão 4:

Com os conhecimentos adquiridos nos Temas 5 e 6, assinale a alternativa correta:

a) Em uma função de coeficiente (a) posi-

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

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ÍNICIO

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

tivo com vértice V=(0,2), o conjunto ima-gem será Im(f)={y Є R| y>2}.

b) Em uma função de coeficiente (a) neg-ativo com vértice V=(1,2), o conjunto ima-gem será Im(f)={y Є R| y≥2}.

c) Em uma função de coeficiente (a) neg-ativo e ∆>0, todo valor menor que x1 tor-nará f(x)<0.

d) Em uma função de coeficiente (a) posi-tivo e ∆>0, todo valor menor que x1 tor-nará f(x)<0.

Questão 5:

Considerando o que foi estudado sobre funções de 2o grau nos Temas 5 e 6, as-sinale a alternativa correta:

a) A raiz da função x²+3 é igual ao ponto mínimo da função.

b) O conjunto imagem da função 3x²-2x-1 é Im(f)={y Є R| y≤4} .

c) As funções x²-2x+3 e 2x²+4x-4 possuem pontos de equilíbrio em x1=1 e x2=-7.

d) O lucro máximo de uma função receita é igual a -4x²-2x+3 e a função custo 3x+6 é igual a 8.

Questão 6:

Encontre o valor de (x) que iguala as fun-ções f(x)=-2x²+12x e f(x)=3x+4.

Questão 7:

Realize um estudo de sinal da função x²+4x-5. Esboce um gráfico.

Questão 8:

Realize um estudo de sinal da função -2x²-7x+4. Esboce um gráfico.

Questão 9:

Uma clínica médica possui função receita igual a -2x²+74x. Seu custo fixo mensal é de R$ 300,00 e o custo por atendimento de 4x, em que (x) é o número de pacien-tes. Considerando os dados apresentados como valores aproximados do real, elabore um estudo para determinar as quantidades de pacientes que a clínica precisa atender por mês para que tenha lucro positivo, lu-cro negativo e lucro zero.

Questão 10:

Uma fábrica possui função receita igual a preços multiplicados pela quantidade ven-dida do seu produto, e o preço do produto varia de acordo com a quantidade vendida, ou seja, preço é uma função da quantidade. Faça a quantidade igual a (x) e (p)=preço, sendo p=-3x+100. O custo da fábrica é dado por C=10x+600. Com essas informa-ções, elabore um estudo de quais as quan-tidades que tornam a empresa lucrativa e quais quantidades retornam prejuízo. De-termine o conjunto imagem da função lucro.

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

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No Tema 6, você relembrou as funções de 2o grau. No Tema 7, você irá estudar as funções exponenciais.

FINALIZANDO

REFERÊNCIAS

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Estudo do sinal: serve para determinar se uma função é positiva, negativa ou nula, de acordo com os valores da variável independente (x).

Ponto de equilíbrio: ponto no qual duas funções distintas possuem o mesmo valor.

Função Receita: função que representa a relação entre o total da quantidade vendida e dos preços de venda.

Função Custo: função que representa os gastos de produção em função da quantidade produzida.

Função Lucro: função que representa a evolução da diferença obtida entre função receita e função custo, de acordo com a variação da quantidade produzida.

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ÍNICIOGABARITOTema 6Funções de 2o Grau: Aplicações

Questão 1Resposta:

a) y=-2x²+4

Para encontrar o conjunto imagem, é necessário encontrar o vértice e saber se ele é um ponto máximo ou mínimo.

V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(0,4). O coeficiente (a) é negativo, portanto, o vértice é um ponto máximo. Então, Im(f)={y Є R|y≤4}.

b) y=x²+2x+2

V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(-1,1). Considerando que o coeficiente (a) é positivo, o vértice é um ponto mínimo. Então, Im(f)={y Є R| y≥1}.

Questão 2Resposta: a) F; b) V; c) F; d) V

Questão 3Resposta: d)

Questão 4Resposta: c)

Questão 5Resposta: c)

Questão 6Resposta: O valor que iguala as funções dadas é quando 2x²+12x=3x+4. Simplificando: -2x²+9x-4. Agora, basta encontrar as raízes da função.

Fórmula de Bhaskara

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Portanto, x1=-0,5 e x2=4.

Questão 7Resposta: x²+4x-5.

A função possui coeficiente (a) positivo, portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima. As raízes da função são x1=1 e x2=-5. Graficamente:

Ou seja, para todos os valores de x<-5, y>0 e para todos os valores de x>1, y>0. Para x=-5 e x=1, y=0.

Questão 8Resposta: A função possui coeficiente (a) negativo, portanto, a concavidade da parábola é voltada para cima. As raízes da função são x1=-4 e x2=-0,5. Graficamente:

GABARITO

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ÍNICIO

Ou seja, para todo valor de x<-4 e x>-0,5, o valor de y<0. Para qualquer valor -4<x<-0,5, y>0 e quando x=-4 ou x=-0,5, o valor de y=0.

Questão 9Resposta: Primeiramente, é necessário encontrar a função lucro. Lembrando que L=R-C, temos L=-2x²+74x-(4x+300) -> L=-2x²+70x-300. As raízes desta função são x1=22,5 e x2=47,5. Estes dois valores tornam a função lucro igual a zero. Como não é possível atender meio paciente, atendendo entre 23 e 47 pacientes a clínica terá lucro positivo. Se atender menos de 23 pacientes ou mais que 47 pacientes, a clínica terá prejuízo. Casos com lucro zero não se aplicam neste caso, dada a impossibilidade de atender meio paciente.

Questão 10Resposta: A função lucro é igual a L=R-C, portanto, L=x(-3x+100)-(10x+600). Simplifican-do, L=-3x²+90x-600. As raízes são x1=10 e x2=20.

Para determinar o conjunto imagem, será necessário encontrar o ponto máximo da função lu-cro. Sabemos que V=(-b÷2a, -Δ÷4a), então, V=(15,75). Esboçando o gráfico, temos o seguinte:

GABARITO

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Com base no gráfico e nas raízes encontradas, é possível verificar que a função lucro será negativa sempre que o valor de x<10 ou x>20. A função lucro será nula quando x=10 ou x=20 e, por último, a função lucro será positiva quando a quantidade produzida variar en-tre 10 e 20, 10<x<20. O lucro máximo de y=75 ocorre quando x=15. O conjunto imagem é Im(f)={y Є R|y≤75}.

GABARITO

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

AGORAÉASUAVEZ

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Tema

07

Funç

ões

Expo

nenc

iais

e s

uas

Apl

icaç

ões

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• A caracterização geral de uma função exponencial.

• Como identificar funções exponenciais crescentes e decrescentes.

• Como representar uma função exponencial pelo método de evolução exponencial.

• Juros compostos.

• Depreciação.

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ÍNICIO

LEITURAOBRIGATÓRIA

No Tema 7 você estudará as funções exponenciais. Aprenderá a resolver problemas en-volvendo juros compostos, crescimento populacional, depreciação, entre outros assuntos.

A forma geral de uma função exponencial é dada por:

y=f(x)=baX

em que x é o expoente, a>0, a≠1, b>0 e b≠0, sendo que b pode ser negativo ou positivo. Este caso é bem similar às equações exponenciais pelo fato de a variável independente ser um expoente.

O coeficiente (b) representa o valor que a função assume quando a variável x=0. É neste ponto que a curva corta o eixo vertical (y).

Y=f(0)=ba0 -> y=b*1, portanto, quando x=0, y=b

Por este motivo, o coeficiente (b) também pode ser chamado de valor inicial da função.

Já o coeficiente (a), também chamado de base, determina se a função é crescente ou de-

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• Qual a forma geral de uma função exponencial?

• O que determina se uma função exponencial é crescente ou decrescente?

• Qual o impacto de uma variação do valor da base (a) no valor de uma função exponencial?

• Qual a diferença entre os juros compostos e os juros simples?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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LEITURAOBRIGATÓRIA

crescente. Considerando b>0, se a>1 a função é crescente, se 0<a<1 a função é decrescente. Sendo a>0, quanto maior for o valor da base, maior será o crescimento proporcional de f(x) a cada variação de (x) (Figura 7.1). Se a função é decrescente, quanto mais próximo a zero for o valor da base, mais rapidamente o valor de f(x) caminhará em direção a zero a cada variação do valor de (x) (Figura 7.2).

Figura 7.1 Funções exponenciais crescentes.

Figura 7.2 Funções exponenciais decrescentes.

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ÍNICIOLEITURAOBRIGATÓRIA

Na Figura 7.1 é possível verificar dois exemplos de funções exponenciais crescentes, ou seja, com a>0. Na Figura 7.2 há dois exemplos de funções decrescentes, ou seja, 0<a<1. O valor inicial, em ambas as figuras, é igual a 2. Repare que, no primeiro caso, quanto maior o valor da base, mais rapidamente a função cresce. No segundo caso, quanto mais próximo a zero é o valor da base, mais rapidamente o valor da função se aproxima de zero.

Nas figuras apresentadas, tivemos o valor inicial b>1, mas este coeficiente também pode ser escrito igual a 1 ou a algum valor entre 0 e 1. O valor de (b) é onde a função sempre cruzará o eixo vertical da função. A imagem da função exponencial será sempre Im=R*

+, ou seja, todos os números Reais positivos diferentes de zero. A função exponencial tende a zero, mas não chega a ser zero.

Uma função exponencial ocorre quando há sucessivas repetições de um valor. No exemplo geral, isto significa multiplicar a base (a) por ela mesma (x) vezes e depois multiplicar pelo valor inicial (b). A seguir, você aprenderá a representar uma função exponencial a partir de diferentes pontos de partida.

I. 1o caso – evolução exponencial

Veja um exemplo de como representar uma função exponencial com base na identificação da evolução exponencial.

Imagine o crescimento do consumo de alimento da população mundial com o passar dos anos. A tabela a seguir ilustra este caso com números fictícios.

Ano (x) 2000 2001 2002 2003 2004

Consumo de alimento (y) 1.460 1.504 1.549 1.595 1.643

O exemplo mostra como cresce o consumo de alimento mundial em bilhões de toneladas a cada ano que passa. Para representarmos isto em forma de função exponencial, é ne-cessário verificarmos se os quocientes, conforme mostrados a seguir, são realmente iguais ou muito aproximados.

Ou seja, o resultado de um ano X dividido pelo resultado anterior tem de ser igual ao resul-

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LEITURAOBRIGATÓRIA

tado do ano seguinte dividido pelo ano X em questão. Se isto ocorrer, teremos encontrado o valor da base (a). No exemplo dado, (a) é igual a (1504÷1460)=(1549÷1504)=(1595÷1549)=1,03=a.

O próximo passo é encontrarmos o valor inicial, mas para isso precisamos saber qual o ano de referência como valor inicial. Faremos 1995 como o primeiro ano da série. Este é o ano zero, portanto, em 1995 x=0, em 1996 x=1, em 1997 x=3 e assim por diante. Assim, em 2000 x=5.

Agora sabemos que o consumo em 2000 foi de aproximadamente 1.460 bilhões de tonela-das.

bax=b*(1,03)5=1460=

=b*1,15927=1460=

=b é aproximadamente 1259

Então, neste exemplo hipotético, podemos escrever a função de crescimento de consumo de alimentos como f(x)=1259*(1,03)X.

II. 2o caso – função exponencial a partir de dois pontos

Em casos nos quais já é de conhecimento que a função é exponencial, é necessário apenas conhecer dois valores de (x) e seus respectivos resultados (y) para identificarmos a função.

Este caso será explicado com base no exemplo anterior para mostrar que o mesmo resul-tado final será encontrado. Consideraremos somente os anos 2000 e 2003 e seus valores de consumo de alimentos. Em 2000 é x=5 e em 2002 é x=7.

Ano (x) 2000 2002

Consumo de alimento (y) 1.460 1.549

Com tais resultados é possível elaborar que: 1460=ba5 e 1549=ba7. Assim, temos um siste-ma a ser resolvido, em que dividindo a função de maior período, ou seja, x=7, pela função de menor período, x=5, teremos o valor da base (a).

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Simplificando a equação com o que foi aprendido sobre regras de potenciação, temos a²=1,0609, portanto, a=1,03. Agora que já temos os valores da base (a), de (x) e de (y), basta substituirmos os valores na função para encontrarmos o valor de (b).

b(1,03)5=1460 ->b=(1460÷1,15927) -> b=1259

III. 3o caso – função exponencial a partir do fator multiplicativo

Primeiramente, será necessário definir o que é fator multiplicativo, mas esta tarefa será realizada com um exemplo prático para facilitar o entendimento.

O caso exemplificado anteriormente sobre consumo de alimentos será utilizado também para este caso. Suponha que as informações dadas fossem somente que o consumo cresce a uma taxa de 3% ao ano. A fórmula geral para obtermos a base (a) a partir desta informação é:

• Base (a)=1+(i÷100), para casos de acréscimo de valor.

• Base (a)=1-(i÷100), para casos de decréscimo de valor.

No exemplo, a base=1+(3÷100) -> (a)=1,03=fator multiplicativo.

Para obtermos a função exponencial é necessário que o valor inicial também seja informa-do. Temos que b=1259, então a função obtida pelo fator multiplicativo é f(x)=1259*(1,03)X.

Portanto, ao multiplicarmos o valor de um período por um fator multiplicativo, isto resultará no valor do período seguinte. Esse fator multiplicativo é o valor que determina a variação entre os valores de um período e de seu subsequente ou em relação ao valor do período anterior.

Conforme já foi dito, podemos ter um fator multiplicativo que torne a função decrescente. Imagine uma máquina que custa R$ 10.000,00 e que sofre depreciação anual de 10% de seu valor. A função exponencial deste caso pode ser escrita da seguinte forma:

Fator multiplicativo=1-(i÷100)

Como haverá um decréscimo de 10% do valor a cada ano, o termo (i÷100) entra na conta sendo subtraído do termo igual a 1. Neste caso, o fator multiplicativo é (0,9).

Já temos o valor inicial (b), que é de R$ 10.000,00, e o fator multiplicativo. Agora é só mon-tar a função:

f(x)=10.000*(0,9)X

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LEITURAOBRIGATÓRIA

I. Depreciação

Este caso que acabamos de ver é o que chamamos de depreciação. A depreciação é uma perda de valor de um ativo que ocorre período após período, sempre depreciando o valor do período imediatamente anterior. Temos aqui uma situação muito parecida com a dos juros compostos, com a diferença de que neste caso a depreciação diminui o valor ao invés de somar.

Considere uma máquina de valor inicial C. Seu valor será depreciado a uma taxa (i) em valor decimal por ano, isso quer dizer que a cada ano a máquina perderá i% de seu valor. Isso quer dizer que no primeiro período (ano 1) a máquina valerá C*(1-i)=M(1). No segundo período, haverá mais uma depreciação no valor de (i), então, M(2)=M(1)*(1-i), e assim por diante. A fórmula geral da depreciação é M(n)=C*(1-i)n.

II. Juros compostos

Juros compostos, também conhecidos como juros sobre juros, é quando há uma sucessão de acréscimos de juros a uma taxa constante que incide sempre sobre o valor do período anterior. O detalhe é que esse período anterior já possui uma parcela de juros também. Neste tópico, utilizaremos a função exponencial para calcularmos o montante de uma apli-cação capitalizada no sistema de juros compostos.

Simulando uma situação de aplicação de R$ 100,00 com juros de 1% ao mês, por 3 meses, temos:

Na aplicação de R$ 100,00 incide 1% de juros no primeiro mês; portanto, o resultado no fim do período é de 100+100*1%. No segundo mês, teremos uma nova incidência de 1% de juros, mas agora sobre o valor final do mês anterior, ou seja, teremos 100+(100*1%)*1%. Consequentemente, no terceiro mês teremos 100+{(100*1%)*1%}*1%. Isto é a mesma coi-sa que fazer 100+100*(0,01)³ ou, simplificando ainda mais, 100*(1+0,01)³.

Deste modo, temos que 100 é o valor inicial e 100*(0,01)³ são os juros resultantes do perío-do. Somando os dois termos obtemos o montante da aplicação. Portanto, a fórmula geral para juros compostos pode ser escrita da seguinte forma:

M=C*(1+i)n

sendo M o montante, C o capital inicial, (i) a taxa de juros na forma decimal e (n) o número de períodos da aplicação.

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ÍNICIO

O cálculo de juros compostos também pode ser efetuado utilizando um fator multiplicativo. A premissa é a mesma utilizada no exemplo inicial deste tópico. Este procedimento nada mais é do que multiplicar o capital obtido em um período anterior pelo fator (1+i), sendo (i) a taxa de juros na forma decimal. Considere M(1) o montante no primeiro período, M(2) o montante no segundo período, e assim por diante, sendo C o capital inicial investido.

M(1) é igual a M(1)=C*(1+i). M(2) será o montante do período anterior mais os juros sobre o valor de M(1), então, M(2)=M(1)*(1+i), que é a mesma coisa que M(2)=C*(1+i)*(1+i). Temos que, novamente, a fórmula geral para o cálculo de juros compostos é M(n)=C*(1+i)n.

Repare que os casos práticos são funções exponenciais que devem seguir as mesmas pro-priedades gerais descritas no início do tema. No caso geral, o valor inicial foi dado pela letra (b); aqui, por se tratar de valor de máquinas ou aplicações, utilizamos a letra (C). A base (a) do caso geral agora é o termo (1+i) ou (1-i), e o período da aplicação é o expoente.

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LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:

Acesse o site Matemática Didática, que apresenta material sobre funções exponenciais. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx>. Acesso em: 14 maio 2013.

Acesse o site do professor Cardy, que apresenta exercícios resolvidos sobre a matéria deste Tema 7. Disponível em: <http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?pageNum_Recordset1=1&totalRows_Recordset1=15&assunto=Fun%E7%E3o%20Exponencial>. Acesso em: 14 maio 2013.

Acesse o link, a seguir, com material da professora Laura do cursinho da UFRJ, mostrando brevemente as propriedades das funções exponenciais e diversos exercícios com gabaritos. Disponível em: <http://www.ufjf.br/cursinho/files/2012/05/pag49.561.pdf>. Acesso em: 13 maio de 2013.

Acesse o site Banco de Concursos, com boa matéria sobre funções exponenciais. Disponível em: <http://www.bancodeconcursos.com/matematica/funcao-2-o-grau.html>. Acesso em: 13 maio 2013.

VÍDEOS

Matemática - Aula 14 - Função Exponencial - Parte 1 – Final. São aproximadamente 8 minu-tos de uma videoaula do Vestibulândia sobre funções exponenciais, com os tópicos vistos neste Tema 7. Ainda dá dicas para a construção de gráficos. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=7_T2JGEqZgg>. Acesso em: 13 maio 2013.

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ÍNICIO

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 7, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Antes de realizar os demais exercícios deste tema, é importante que relembre al-gumas regras sobre potenciação. Resolva os exercícios a seguir:

a) a²*a³=

b) a³÷a=

c) 54*54=

d) 106÷10³=

Questão 2:

De acordo com o que foi visto sobre as fun-ções exponenciais, responda (V) para Ver-dadeiro e (F) para Falso.

a) ( ) 10*(-2)X é uma função exponencial crescente.

b) ( ) -5*(1,5)X é uma função exponencial decrescente.

c) ( ) 0,28 é uma função exponencial de-crescente.

d) ( ) 1,13 é uma função exponencial cres-cente.

Questão 3:

Assinale a alternativa correta:

a) 3*24=24.

b) 0,55<0,35.

c) O conjunto imagem da função 100*(2)X é Im=R+.

d) Se f(x)=2*3X, então f(3)=54.

Questão 4:

Com os conhecimentos adquiridos no Tema 7, assinale a alternativa correta:

a) Uma função que reproduza uma de-preciação é sempre decrescente.

b) Uma função de juros compostos pode ser decrescente ou crescente.

c) Considerando f(x)=8*2X, então, f(3)=32.

d) Considerando f(x)=8*2X, então f(0)=16.

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

Questão 5:

Se f(3)=12,02 e f(6)=13,135, com taxa de variação por período de 3%, assinale a al-ternativa correta:

a) O valor inicial (b)=9.

b) O valor da base (a)=0,03.

c) f(x)=11,33*(1+0,03)X.

d) O valor inicial (b)=11.

Questão 6:

O número da população de determinado país teve o crescimento anual histórico, conforme dados da tabela a seguir:

1980 1981 1982 1983 1984660.000 667.920 675.935 684.046 692.255

Utilizando o método de evolução exponencial, escreva a função exponencial que traduza o crescimento populacional descrito. Considere 1978 como início da série histórica.

Questão 7:

Ao realizar uma aplicação de R$ 10.000,00 por 5 meses, com retorno mensal de 1,2%, qual será o montante no final do período? Considere a incidência de juros sobre juros.

Questão 8:

A prefeitura de uma cidade irá promover uma campanha para consumo sustentável de água na intenção de que os moradores economizem no consumo anual. A esti-mativa inicial é de queda de 3% ao mês, atingindo o consumo de 990 litros por mês após 3 meses de campanha. Utilizando o método de fator multiplicativo, estime a fun-ção exponencial que ilustra o consumo.

Questão 9:

Represente graficamente a função y=2X, assumindo valores inteiros para a variável independente, tal que 0≤x≤4. Indique as coordenadas em seus respectivos eixos.

Questão 10:

Represente graficamente as funções y=0,3X e y=0,6X, assumindo valores inteiros para a variável independente, tal que -2≤x≤2. Indique as coordenadas em seus respectivos eixos.

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ÍNICIO

No Tema 7, foi introduzido o tema funções exponenciais. No Tema 8, você estudará as de-rivadas e suas aplicações.

FINALIZANDO

REFERÊNCIAS

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Função exponencial: uma função exponencial é dada por y=baX, sendo a>0, a≠1 e b≠0.

Função exponencial crescente: função exponencial com a>1 e b>0.

Função exponencial decrescente: função exponencial com 0<a<1 e b>0.

Depreciação: custo ou despesa corrente de um desgaste de um ativo imobilizado.

Fator multiplicativo: sendo i=taxa de variação da função em porcentual na forma decimal, fator multiplicativo é igual a (1+i) para variações positivas e (1-i) para variações negativas.

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GABARITOTema 7Funções Exponenciais e suas Aplicações

Questão 1Resposta:

a) a²*a³=a5

b) a³÷a=a²

c) 54*54=58

d) 106÷10³=103

Questão 2Resposta: a) F; b) F; c) V ; d) V

Questão 3Resposta: d)

Questão 4Resposta: a)

Questão 5Resposta: c)

Questão 6Resposta: Para encontrar a base (a) é necessário encontrar a relação entre os valores de um período com o valor de seu período anterior.

(667920÷660000)=(675935÷667920)=(684046÷675935)...

Neste caso, todos os resultados são iguais a 1,012. Então, base a=1,012.

Se o início da série histórica é 1978, então 1980 é quando x=2. Assim:

b*(1,012)²=660000=

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ÍNICIO

=b=660000÷1,024144=

=b=644441.

Então, f(x)=644441*(1,012)X

Questão 7Resposta: A fórmula dos juros compostos é M=C*(1+i)n. Basta substituir os valores e cal-cular.

M=10000*(1+0,012)5 -> 10000*(1,0614574)=

M=10.614,57

O montante no final do período será de R$ 10.614,57

Questão 8Resposta: Como este caso é de queda de consumo, o valor da base é igual a 1-(i÷100). Neste caso, i=3%, portanto, a=0,97. O valor de f(x) dado é para x=3. Então, temos f(3)=990 litros.

990=b*(0,97)³ ->b=(990÷0,91267)

Então, em números aproximados, b=1.085.

Portanto, a função que descreve o consumo de água é dada por f(x)=1085*(0,97)X.

Questão 9Resposta: Considerando a função f(x)=2X, basta substituir a variável pelos valores, con-forme enunciado. Faremos da seguinte forma:

Valores de (x) 0 1 2 3 4

Valores de (y) 1 2 4 8 16

GABARITO

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Questão 10Resposta: Considerando as funções dadas, basta substituir a variável pelos valores, con-forme domínio do enunciado, do mesmo modo que foi feito no exercício anterior. Faremos da seguinte forma:

Valores de (x) -2 -1 0 1 2

y=0,6X 2,8 1,7 1,0 0,6 0,4

y=0,3X 11,1 3,3 1,0 0,3 0,1

Repare que, pelo fato de o valor da base (a) ser maior que zero e menor que um, os valores assumidos em ambas as funções são decrescentes.

GABARITO

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seções

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CONTEÚDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATÓRIA

Seções

seções Seções

CONTEÚDOSEHABILIDADES

REFERÊNCIASFINALIZANDO

GLOSSÁRIOLINKSIMPORTANTES

AGORAÉASUAVEZ

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Tema

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Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

ÍNICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada à Ad-ministração, Economia e Contabilidade (2a edição), dos autores Afrânio Carlos Murolo e Giácomo Bonetto, editora Cengage Learning, 2012, Livro-Texto 622.

ROTEIRO DE ESTUDO:

CONTEÚDOSEHABILIDADES

Prof. Me. Guilherme MacorinMatemática

Conteúdos Nesta aula, você estudará:

• Conceito de derivada.

• Técnicas de derivação.

• Pontos máximos e mínimos.

• Funções marginais.

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ÍNICIO

LEITURAOBRIGATÓRIA

I. Conceito de derivada

Começaremos pela taxa de variação média de uma função, que mede o impacto que uma variação na variável independente causa na variável dependente, ou seja, qual a variação em (y) quando alteramos o valor de (x).

em que ∆y é a variação em (y) e ∆x é a variação em (x).

Na prática, imagine uma população de uma cidade que cresceu de 100.000 pessoas em 2000 para 120.000 pessoas em 2005. Então, a taxa de variação média será:

(120000-100000)÷(2005-2000)=

=(20000)÷(5)=4000

Habilidades Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• O que é a derivada de uma função?

• Qual a diferença entre um ponto de máximo local e de máximo global?

• O que é um ponto crítico?

• O que é uma função lucro marginal?

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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LEITURAOBRIGATÓRIA

As grandezas são pessoas e anos; portanto, a taxa de variação média é de 4.000 pessoas por ano.

Em funções, a taxa de variação pode ser escrita da seguinte forma:

em que (a) e (b) são valores da variável (x).

II. Taxa de variação instantânea

Essa é a taxa de variação de um momento específico, e não de um intervalo, como no caso anterior. É utilizada para intervalos de tempo muito pequenos. A intenção, neste caso, é cal-cular uma taxa de variação de um intervalo tão pequeno que se aproxime muito do próprio f(x).

Para ilustrar o caso, imagine um processo produtivo com função f(x²) no qual há produ-tividade diferente para cada período. O intervalo a ser calculado poderia ser (x+0,0001) e também (x-0,0001), por exemplo. Estes pontos muito próximos ao valor (x) são chamados de limites laterais. Se as taxas de variação tendem a ser as mesmas, com uma diferença de f(x) tão pequena que podem ser consideradas iguais, elas darão a própria taxa de variação do momento (x). Na prática, é só substituir o valor de (x) por algum valor Real na função e calcular (y); depois, calcular pelo mesmo valor, somando este intervalo bem pequeno e calcular f(x+h).

Para isto, faremos do intervalo (b-a)=h. Então, b=(a+h), em que (a) será o momento e (h) ditará o tamanho do intervalo. Grosso modo, a taxa de variação instantânea é a taxa de variação média com (h) tendendo a zero, para que o intervalo seja tão pequeno que no limite seja o próprio f(x). No limite, (h) tenderá a zero. Então:

III. Conceito de derivada

O conceito de derivada é a própria taxa de variação instantânea mostrada. A derivada do ponto é simbolizada por f’(x). Graficamente, a derivada representa a inclinação da reta se-

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cante que liga os pontos (x) e (x+h). No gráfico a seguir, fazendo f(x)=x², a reta secante é tangente ao ponto no intervalo -3 e -2 e, portanto, representa a derivada (Figura 8.1).

Figura 8.1 Derivada de f(x)=x2.

No entanto, há pontos nos quais as derivadas não existem. Se a função limite descrita para calcular a taxa de variação for igual a + ou - , não há tangente no ponto. Se os limites laterais forem diferentes, também não haverá derivada.

IV. Regras de derivação

• Função constante

Se uma função é constante, quer dizer que não varia, ou seja, assume um único valor. Por-tanto, sua derivada é zero.

f(x)=k, e (k) é constante. Então, f’(x)=0.

• Função do 1o grau

Se f(x)=m*x+b, a variação da função é dada por (m*x). Então, f’(x)=m.

• Constante multiplicando função

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Se há uma constante multiplicando a função f(x)=k*m(x), com (m) e (k) diferentes de zero, então f’(x)=k*m’(x). A constante (k) multiplica a derivada da função m(x).

• Soma ou diferença de funções

Se f(x)=u(x)+z(x), então f’(x)=u’(x)+z’(x). O mesmo vale para operações de subtração. Deri-vam-se as funções, e as operações de soma ou diferença não se alteram.

• Potência de x

Seja f(x)=xn, em que (n) é um número Real. Então, f’(x)=n*xn-1.

• Função Exponencial

Se f(x)=ax, sendo a>0 e a≠1, então f’(x)= ax.ln(a).

• Produto de funções

Se uma função é resultado da multiplicação de outras funções, então se aplica a regra a seguir:

f(x)=u(x)*z(x) -> f’(x)=u’(x)*z(x)+u(x)*z’(x)

• Quociente de funções

Se uma função é obtida pelo quociente de funções, siga o procedimento a seguir:

f(x)=u(x)÷z(x) -> f’(x)= [u’(x)*z(x)-u(x)*z’(x)]÷[z(x)]²

• Função composta – regra da cadeia

Se uma função é obtida pela composição de outras funções, tal que f(x)=z[u(x)], e sendo as duas funções deriváveis em função de (x), então a derivada seguirá uma regra em cadeia.

f(x)=z[u(x)], então f’(x)=z’[u(x)]*u’(x)

A derivada da função composta é a derivada da função externa calculada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

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ÍNICIOLEITURAOBRIGATÓRIA

• Notação de Leibniz

Até agora, sempre representamos uma função derivada como f’(x) ou y’. Na notação de Leibniz, desenvolvida pelo matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, a derivada de (y) em função de (x) é representada como:

Essa representação é um símbolo, e não exatamente uma divisão de funções ou valores. É apenas uma menção à divisão ∆y÷∆x para valores muito pequenos.

• Regra da cadeia com a notação de Leibniz

Para realizar a regra da cadeia, em que uma derivada é obtida pela decomposição das fun-ções, com a notação de Leibniz temos que:

f(x)=z[u(x)]

Isto quer dizer que a derivação de (y) irá ocorrer em função de (x), pois (y) é uma função de (x). Assim:

Mas podemos simplificar f(x)=z[u(x)] como y=z(u), em que (u) é uma função de (x). Deste modo, a derivada será:

Isto quer dizer que (y) está em função de (u) e que (u) está em função de (x). Aqui, (dy/du) representa a derivada da função externa z’(u) e (du/dx) representa a derivada da função interna u’. Lembrando que, sem utilizar a notação de Leibniz, a derivada fica y’=z’(u)*u’.

V. Derivada segunda e derivadas de ordem superior

A derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea de f(x). A derivada se-gunda, ou derivada de segunda ordem, é a derivada da derivada da função, ou seja, a taxa

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de variação da taxa de variação de f(x). Este caso é representado pelos símbolos:

Seguindo este exemplo, podemos generalizar para obtermos uma função derivada n-ésima ou função derivada de ordem (n). Neste caso, a função derivada seria representada por:

dny/dxn = yn = f(n)(x)

Isto significa derivar (n) vezes a função f(x).

VI. Diferencial

Lembre-se da notação de Leibniz, na qual

Matematicamente, é a mesma coisa que escrever:

dy=f’(x)*dx

Então, a diferencial dy é obtida pela multiplicação da derivada de f(x) pela diferencial dx. Esta é a função diferencial de y=f(x).

VII. Pontos de máximos e mínimos locais de uma função

Para entender o ponto de máximo ou mínimo local, deve-se entender que há um intervalo determinado de análise, ou seja, tal ponto será o maior ou menor valor assumido pela fun-ção dentro de determinado intervalo do domínio da função. Por exemplo, se dissermos que o domínio da função f(x) é o intervalo [2;8[, haverá um valor assumido por x1 entre 2 e 8 que retornará o maior valor dentro deste domínio e outro valor de x2 que retornará o menor valor. Portanto, x1 é máximo local e x2 é mínimo local.

VIII. Pontos de máximos e mínimos globais de uma função

O entendimento de pontos globais é semelhante ao caso de pontos locais, com a diferença de que agora f(x) assumirá um ponto máximo ou mínimo, considerando todo o domínio da função, e não apenas um intervalo.

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ÍNICIO

Figura 8.2 Pontos de máximo e mínimo.

Na Figura 8.2, se considerarmos o domínio [1;3], o ponto de máximo é f(1)=3 e o ponto de mínimo f(3)=1. Considerando todo o domínio [1;19], o ponto de máximo será f(10)=8 e o ponto de mínimo f(3)=1. Temos que f(1) é o ponto máximo local do domínio [1;3] e f(10) é o ponto máximo global. Neste exemplo, f(3) é o ponto mínimo global e, portanto, também local.

Estes conceitos serão extremamente úteis quando for necessário encontrar, por exemplo, pontos de lucro máximo, receita máxima, custo mínimo, entre outros casos.

IX. Pontos críticos

Um ponto é chamado de ponto crítico se f’(x1)=0 ou se f’(x1) não existir. Se houver ponto crítico, o valor de x1 é chamado de número crítico e f(x1) de valor crítico. Resumidamente, são os pontos nos quais as derivadas valem zero ou não existem. Repare na Figura 8.2 que f(3)=1 e f(10)=8 são pontos críticos, pois em uma função contínua os pontos de máximos e mínimos locais e globais do intervalo serão pontos críticos.

X. Derivada e crescimento/decrescimento de uma função

A derivada é a taxa de variação do ponto. Isso quer dizer que, se a derivada de f’(x1)=2, qualquer variação no valor de (x) próximo ao valor de x1 acarretará uma variação em f(x)

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duas vezes maior. Assim, a variação é crescente e, portanto, a função é crescente neste intervalo. Se f’(x2)=-3, uma variação no valor de (x) próximo ao valor de x2 irá impactar uma variação três vezes menor em f(x). Então, se:

- f’(x)>0, f(x) é crescente no intervalo. Tangente com inclinação positiva.

- f’(x)<0, f(x) é decrescente no intervalo. Tangente com inclinação negativa.

- f’(x)=0, f(x) é constante no intervalo. Tangente com inclinação zero (paralela ao eixo hori-zontal).

XI. Teste da derivada primeira

O teste da derivada primeira permite descobrir se um ponto crítico é ou não um ponto de máximo ou mínimo local. O primeiro passo do procedimento é encontrar os pontos de um intervalo do domínio nos quais as derivadas da função são iguais a zero (f’(x)=0 ou nos pontos em que f’(x) não existe), pois estes são os pontos críticos “candidatos” a máximos ou mínimos locais. O segundo passo é calcular as derivadas para os pontos próximos à es-querda e à direita dos pontos críticos, para assim estudar os sinais destas derivadas laterais e saber se a função é crescente ou decrescente em tais pontos.

Se a derivada à esquerda de um ponto crítico é positiva e à direita é negativa, isso quer dizer que a função antes do ponto crítico era crescente e depois dele se tornou decrescente. Assim, é um ponto de máximo local. Por outro lado, se a derivada à esquerda de um ponto crítico é negativa (função decrescente) e à direita é positiva (função crescente), esse ponto crítico é ponto mínimo local.

Agora, se as duas derivadas laterais possuem o mesmo sinal, ambas positivas ou negati-vas, o ponto crítico não é nem mínimo local nem máximo local. Para um melhor entendi-mento, veja a Figura 8.3:

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ÍNICIO

Figura 8.3 Teste da derivada primeira.

XII. Funções marginais

Aqui, a palavra marginal deve ser entendida como algo que está na margem, algo adicional. Se, dada uma função de produção qualquer, dissermos que o custo marginal de produção de 5 peças for igual a R$ 10,00, isso quer dizer que, para se produzir mais uma peça, além das 5 já produzidas, haverá um custo adicional de R$ 10,00. É como calcular o custo de produção de 6 peças e subtrair o custo de produção de 5 peças. Você terá apenas o custo da unidade adicional. Ainda, isto é a mesma coisa que calcular a derivada no ponto de 5 unidades, pois, como vimos, a derivada mede a taxa de variação no ponto.

Isto quer dizer que calcular o custo ou receita marginal de um ponto é a mesma coisa que calcular sua derivada. Basta calcular a derivada da função e substituir a variável pelo valor do ponto que se deseja encontrar. No exemplo anterior, é encontrar o valor de f’(5) para saber o custo de se produzir a sexta unidade.

O conceito de custo marginal se expande para as funções de receita, lucro, produção e as-sim por diante. A função marginal em um ponto irá mostrar sempre o valor que uma unidade adicional irá retornar. Algumas notações são comuns e importantes:

Função Custo Marginal = Cmg=C’(x)- derivada da função custo.

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Função Receita Marginal = Rmg=R’(x) – derivada da função receita.

Função Lucro Marginal = Lmg=L’(x) – derivada da função lucro.

Função Produção Marginal = Pmg=P’(x) – derivada da função produção.

Função Custo Médio Marginal = Cmemg=C’me(x) – derivada da função custo médio.

Vale lembrar que as funções possuem seus pontos críticos quando as derivadas são inexis-tentes ou iguais a zero, portanto, os pontos de máximo ou mínimo dessas funções ocorrem quando f’(x)=0.

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ÍNICIOLINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SITES:Acesse o link, a seguir, referente a material sobre derivadas e regras de derivação com exemplos resolvidos e gráficos. Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadas.pdf>. Acesso em: 21 maio 2013.

Acesse o site da Universidade Estadual de Londrina sobre pontos de máximos e mínimos locais e globais e também sobre os testes da derivada primeira. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/calculo/maxmin/mm02.htm>. Acesso em: 21 maio 2013.

Acesse o link de um material da Unesp, com teoria e exercícios resolvidos sobre derivadas e os principais pontos estudados. Disponível em: <http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/maximoseminimos.pdf>. Acesso em: 22 maio 2013.

Acesse o site da Universidade Federal do Piauí e confira definições e exercícios resolvidos sobre custos, receitas e lucros marginais. Disponível em: <http://www.uapi.edu.br/conteudo/material_online/disciplinas/matematica/uni04_funcoes.html>. Acesso em: 22 maio 2013.

VÍDEOSCálculo Derivada – Parte 1. São quase 7 minutos de uma videoaula muito didática do con-ceito de derivada, que também mostra como calculá-la. Disponível em: <http://www.dailymotion.com/video/xfhsuq_calculo-derivada-parte-1_school#.UZ5HrqI3tMg>. Acesso em: 23 maio 2013.

Cálculo Derivada – Parte 2. Continuação da videoaula anterior. Este é o segundo vídeo sobre as derivadas, com mais exemplos e notações. Disponível em: <http://www.dailymotion.com/video/xfhsvy_calculo-derivada-parte-2_school?ralg=int.meta2-only#from=playrelon-4>. Acesso em: 23 maio 2013.

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

Instruções: Após você ter realizado a Leitura Obrigatória do Tema 8, agora é sua vez de praticar os conceitos que acabou de rever.

Questão 1:

Neste primeiro exercício do Tema 8, você terá de encontrar as derivadas das funções, a seguir, respeitando as regras de deriva-ção estudadas. Derive as funções a seguir:

a) 4x+2.

b) x²+2x.

c) 4x³-x.

d) x4+3.

e) (2x+1)*x³.

f) x³÷(2x+1).

Questão 2:

De acordo com o que foi visto sobre regras de derivação neste tema, responda (V) para Verdadeiro e (F) para Falso.

a) ( ) A derivada de f(x)=x²*x³ é f’(x)=5x4.

b) ( ) Se f(x)=x³÷2x, então f’(x)=x.

c) ( ) Sendo f(x)=(x²+x)÷x, então f’(x)=1.

d) ( ) Se f(x)=(3+2x)*(x²+1), então f’(2)=35.

Questão 3:

A derivada de segunda ordem da função f(x)=4x³+2x²-1 é igual a:

a) f’’(x)=12x²+4.

b) f’’(x)=24x+4.

c) f’’(x)=12x+4x.

d) f’’(x)=24+4x.

Questão 4:

Com os conhecimentos adquiridos no Tema 8, assinale a alternativa correta:

a) Um ponto de máximo local é sempre um ponto de máximo global.

b) Graficamente, a reta que passa tan-gente a um ponto representa a sua de-rivada.

c) Se a derivada de um ponto é igual a f’(x)=5, isso quer dizer que, para cada variação do valor de (x), o valor f(x) irá variar igual a (5/x).

d) Se uma tangente possui inclinação negativa em um intervalo, f’(x) pode ser

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

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RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

RESPOSTA DISSERTATIVA

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

AGORAÉASUAVEZ

maior ou menor que zero neste mesmo intervalo, dependendo do valor de (x).

Questão 5:

Considerando o que foi estudado neste tema, assinale a alternativa correta:

a) Se função receita marginal é crescente em um intervalo, a função lucro será sem-pre positiva.

b) Se f’(x) é crescente no intervalo ]-4;3[, sua taxa de variação será negativa se x<0.

c) Se a função lucro marginal é positi-va em um intervalo, a função lucro será maior que zero para qualquer valor con-tido no intervalo.

d) Considere que os pontos x1<x2<x3 possuem valores muito próximos. Se f’(x)>0, f’(x2)=0 e f’(x)>0, então f’(x2) é um ponto de máximo local.

Questão 6:

Qual a taxa de variação de f(x)=5x³+2x no ponto x=3?

Questão 7:

Calcule os limites laterais da função f(x)=2x²+x-1 quando x=3. Considere h=0,0001.

Questão 8:

Considere o preço -3x+300. Calcule o pon-to no qual a receita é máxima. Indique o valor da quantidade (x) produzida neste ponto e o valor da receita obtida.

Questão 9:

Encontre os valores de f’(x) para x=10 e x=2 para a função f(x)=x³+2x²-30.

Questão 10:

Considere a função f(x)=2x³-4x² no inter-valo [-3;4]. Se f’(0)=0, identifique se é um ponto de mínimo ou máximo local.

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No Tema 8, você aprendeu o conceito de derivada, as regras de derivação, pontos de máximo e mínimo locais e globais e as funções marginais.

FINALIZANDO

REFERÊNCIAS

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2. ed. revista e ampliada. São Paulo: Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto 622)

GLOSSÁRIO

Custo marginal: mostra a variação do custo quando ocorre o aumento de uma uni-dade produzida.

Derivada: é a própria taxa de variação instantânea de uma função.

Lucro marginal: mostra a variação do lucro quando ocorre o aumento de uma unidade vendida do produto.

Receita marginal: mostra a variação da receita quando ocorre o aumento de uma unidade vendida do produto.

Tangente: neste estudo de derivadas, tangente é a reta secante que liga um intervalo de valores assumidos por (x) e toca a curva de f(x).

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ÍNICIOGABARITOTema 8Conceito de Derivada, Técnicas de Derivação e suas Aplicações

Questão 1Resposta:

a) 4x+2 -> f’(x)=x

b) x²+2x -> f’(x)=2x+2

c) 4x³-x -> f’(x)=12x²-1

d) x4+3 -> f’(x)=4x³

e) (2x+1)*x³ -> f’(x)=2*x³+(2x+1)*3x². Simplificando temos: f’(x)=8x³+3x²

f) x³÷(2x+1) -> f’(x)= (3x²*2x-x*x³)÷(2x)²=

= f’(x)=(6x³+3x²-2x³)÷(4x²+4x+1)=

= f’(x)=(4x³+3x²)÷(4x²+4x+1)

Questão 2Resposta: a) V; b) V; c) V; d) F

Questão 3Resposta: b)

Questão 4Resposta: b)

Questão 5Resposta: c)

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Questão 6Resposta: Para saber a taxa de variação, basta encontrar a derivada da função e depois encontrar o resultado para x=3.

f’(x)=15x²+2, portanto, f’(3)=137.

Questão 7Resposta: Utilizaremos a fórmula do limite, conforme visto no tema. Portanto, temos que calcular quando x=3+0,0001 e quando x=3-0,0001.

f(3)=20

f(3,0001)=20,0013;

f(2,9999)=19,9987

Agora, vamos para o cálculo dos limites laterais:

Taxa de variação para f(3,0001)= (20,0013-20)÷(0,0001)=

=0,0013÷0,0001= aproximadamente 13,0

Taxa de variação para f(2,9999)= (19,9987-20)÷(-0,0001)=

=(-0,0013)÷(-0,0001)= aproximadamente 13,0

Os limites laterais são aproximadamente iguais a 13.

Questão 8Resposta: A função receita é igual à quantidade multiplicada pelo preço. Portanto, Receita=x*(-3x+300). Simplificando, temos -3x²+300x.

Para saber a receita máxima, encontre a derivada. Quando R’(x)=0 será um ponto de máx-imo, pois a função de segundo grau possui concavidade para baixo (coeficiente a<0).

Então: R’(x)= -6x+300=0. A receita será máxima quando x=50, e o valor da receita será igual a f(50)=-3*(50)²+300*(50) -> f(50)=7500.

Questão 9Resposta: f’(x)=3x²+4x, portanto, f’(10)=300+40=340 e f’(2)=20.

GABARITO

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ÍNICIO

Questão 10Resposta: O primeiro passo é encontrar a derivada -> f’(x)=6x²-8x. Agora, calcularemos f’(0)=0. É realmente um ponto crítico. Para saber se é um ponto máximo ou mínimo, fare-mos f’(-1) e f’(1) para saber se as tangentes são crescentes ou decrescentes nos valores próximos a x=0.

f’(-1)=14 e f’(1)=-2, então, antes do ponto x=0, a função é crescente e, depois do ponto, a função é decrescente. Assim, f’(0) é um ponto de máximo local.

GABARITO

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