CE-204 CÁLCULO DE PROBABILIDADES I

NOTAS DE AULAS Estas notas seguem de muito perto a bibliografia

referenciada abaixo e que correspondem aos livros texto deste Curso, sugere-se a sua aquisição. De forma nenhuma a bibliografia está dispensada, ela é necessária ao estudo completo dos tópicos abordados. O único objetivo destas notas é facilitar as atividades dos alunos em sala de aula, pois não precisarão anotar os conteúdos ministrados pelo professor e, conseqüentemente, ficarão mais atentos à exposição.

Anselmo Chaves Neto

• Hoel, Port and Stone - Introdução à Teoria da Probabilidade, Ed. Interciência,

• Meyer, P.L. (1973). Probabilidade, Aplicações à Estatística, Edt. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.

• Spiegel, M.L. (1978). Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, S. Paulo: Ed. McGraw-Hill.

• James, B (1981). Probabilidade, um curso em nível intermediário, Rio de Janeiro: IMPA (RJ).

• Mood A. M., Graybill, F., Boes, D. C. (1974). Introduction to The Theory of Statistics, New York: McGraw-Hill book Company.

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ÍNDICE: CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1. CONCEITOS INICIAIS ................................................................................................. 3

1.1- CONJUNTOS ............................................................................................................ 3 1.2 - AMOSTRAS ORDENADAS E NÃO-ORDENADAS: Princípio Fundamental da Contagem, Diagrama em Árvore e Análise Combinatória ............................................ 6

1.2.1 - Princípio Fundamental da Contagem ............................................................. 6 1.2.2 - Amostras Ordenadas ........................................................................................ 6 1.2.3 - Amostras não-ordenadas .................................................................................. 8

2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE...................................... 10 2.1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS........................................................................... 10 2.2 - PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE ............................................................ 14 2.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS:...... 16

2.3.1 - Probabilidade Condicional ............................................................................. 16 2.3.2 Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta .......................... 17 2.3.3 - Independência de Eventos .............................................................................. 17

2.4 - EVENTOS ALEATÓRIOS ..................................................................................... 18 2.4.1 - Eventos Mutuamente Exclusivos ................................................................... 18 2.4.2 - Eventos Independentes .................................................................................. 18 2.4.3 - Propriedades de Eventos Independentes ...................................................... 18

2.5- PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL Ω............................................................. 22 2.5.1- Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes................................. 22

3. VARIÁVEL ALEATÓRIA............................................................................................ 36 3.1- VARIÁVEL ALEATÓRIA ...................................................................................... 36 3.2 - FUNÇÃO DE PROBABILIDADE (f.p.) E FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.) .............................................................................................. 37

3.2.1- Distribuição de Probabilidades ....................................................................... 37 3.3. ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA................... 47

3.3.1. Definições........................................................................................................... 47

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1. CONCEITOS INICIAIS

1.1- CONJUNTOS Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas A, B, C, .... , N,... etc. e a sua representação é feita por enumeração dos elementos, p.ex. D = 1,2,3,4,5,6 ou por compreensão, p.ex. Z+ = x ∈ R x > 0. EXEMPLOS: 1) Conjunto dos números naturais Ν = 0,1,2,3, ... ; 2) Conjunto dos números das faces de um dado D = 1,2,3,4,5,6 ; 3) Conjunto das faces de uma moeda F = cara, coroa . RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA A relação existente entre elemento e conjunto é a de pertinência. EXEMPLOS: 1) 3 ∈ N 2) -1 ∈ Z 3) 2 ∉ N 4) 2 ∈ R SUBCONJUNTO Seja o conjunto A, tal que todo elemento de A é também elemento do conjunto B. Então dizemos que A é subconjunto de B. RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação existente entre subconjunto e conjunto é a de inclusão. EXEMPLOS: 1) Seja B = 1,2,3,4,5,6 e A = 2,4,6), então A está contido em B ou B contém A e

representa-se por: A ⊂ B ou B ⊃ A . CONJUNTO VAZIO O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de vazio e representado por ∅.

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CONJUNTO UNIVERSO O conjunto que contiver todos os demais conjuntos é chamado de conjunto universo e representado por U. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Entre conjuntos existem as seguintes operações: 1a.) UNIÃO O conjunto de todos os elementos (pontos) que pertencem ao conjunto A ou pertençam ao conjunto B ou a ambos é chamado UNIÃO de A e B e denotado por A∪B. U diagrama de Venn A B 2a.) INTERSECÇÃO O conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B é chamado interseção entre A e B e representado por A ∩ B. EXERCÍCIO: Represente por um diagrama de Venn a intercessão dos conjuntos A e B. 3a.) DIFERENÇA O conjunto formado pelos elementos de A e que não pertencem a B é chamado diferença entre A e B, e denotado por A - B. Se B ⊂ A, então A - B é chamado de complemento de B em relação a A e representado por BA

c e se A é o conjunto universo A - B é chamado de complemento e representado por Bc. EXERCÍCIO: Represente por um diagrama de Venn a diferença dos conjuntos A - B e U - B.

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CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO Dado o conjunto A, chamamos conjunto das partes de A ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A e o representamos por P(A). Assim, definimos o conjunto das

partes por P(A) = X X ⊂ A. EXERCÍCIOS: 1) Dado o conjunto A = a,b,c, pede-se o conjunto das partes de A; 2) Mostre que o número de elementos de P(A) (cardinal de P(A)) é sempre 2n , onde n é

o número de elementos do conjunto A . CONJUNTOS DISJUNTOS Os conjuntos A e B são chamados de disjuntos quando a sua interseção é um conjunto vazio, ou seja, A ∩ B = ∅. EXERCÍCIOS: 1.1.1) Mostre que os conjuntos A = 2, 4, 6 e B = 1, 3, 5 são disjuntos. 1.1.2) Prove, usando as operações com conjuntos, as seguintes propriedades de conjuntos: a) A∪B = B∪A - Lei Comutativa da União b) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C = A∪B∪C - Lei Associativa da União c) A∩B = B∩A - Lei Comutativa da Interseção d) A∩(B∩C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C - Lei Associativa da Interseção e) A∩( B∪C) = (A ∩ B) ∪ (A∩C) - Lei distributiva da Interseção f) A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) - Lei distributiva da União g) A - B = A ∩ Bc h) Se A⊂ B, então Ac ⊃ Bc ou Bc ⊂ Ac i) (A∪B)c = Ac ∩ Bc - 1a. Lei de De Morgan j) ( A ∩B)c = Ac∪Bc - 2a. Lei de De Morgan k) A = (A ∩B) ∪ (A∩Bc) 1.1.3) Seja A o conjunto de todos os reais cujos quadrados são iguais a 25. Descreva A . 1.1.4) Sejam os conjuntos A = x ∈ℜ x é inteiro impar e B = x ∈ℜ x2-8x+15=0,

mostre que B⊂ A . 1.1.5) Seja o conjunto Ω = 0,1,2. Quantos elementos tem o conjunto das partes de Ω?

Descreva o conjunto das partes de Ω, P(Ω). 1.1.6) Verifique se os conjuntos A = 1, 2, 3, 4 e B = 10, 20, 30 são disjuntos. 1.1.7) Prove que se A⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. 1.1.8) Álgebra de subconjuntos, A, do conjunto não-vazio Ω é uma classe de

subconjuntos de Ω satisfazendo os axiomas: • A1) Ω ∈ A • A2) Se A ∈ A ⇒ Ac ∈ A

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• A3) Se A ∈ A e B ∈ A ⇒ A∪B ∈ A Desta forma, mostre que valem ainda para a álgebra de conjuntos as seguintes propriedades: • A4) ∅ ∈ A

• A5) ∀n, ∀A1, A2, ...... ,An ∈ A tem-se Aii

n

=1∪ ∈ A e Ai

i

n

=1∩ ∈ A

1.2 - AMOSTRAS ORDENADAS E NÃO-ORDENADAS: Princípio Fundamental da Contagem, Diagrama em Árvore e Análise Combinatória

1.2.1 - Princípio Fundamental da Contagem Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: m1 é o número de possibilidades da 1a. etapa; m2 é o número de possibilidades da 2a. etapa; ..................................................................... ..................................................................... mk é o número de possibilidades da ka. etapa, então o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é m1. m2.m3. ..... .mk . EXERCÍCIO No Brasil, as placas de automóveis são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos. Usando o alfabeto de 26 letras, quantas placas diferentes são possíveis de serem formadas? R. 263.104 = 175.760.000

1.2.2 - Amostras Ordenadas Suponha que se tenha os conjuntos A e B. Se A tem m elementos (pontos) distintos a1, a2, ..... , am e B tem p elementos distintos b1, b2, ..... , bp, então o número de pares (ai, bj) i = 1,2, ..... ,m j = 1,2, .... ,p , que podem ser formados, tomando-se um ponto de A e um ponto de B é m.p (pelo Princípio Fundamental da Contagem). Suponha, ainda que se tenha n conjuntos A1, A2, .... ,An cada um tendo m1,m2, ...... ,mn elementos distintos, respectivamente. Então, o número de n-uplas (x1, x2, ..... ,xn) que podem ser formadas com um elemento xi de cada conjunto Ai é m1.m2.m3. ..... .mn (Princípio Fundamental da Contagem). Quando cada conjunto Ai, i = 1,2, .... , n, é o mesmo conjunto A com N elementos distintos, tem-se Nn n-uplas, pois N.N.N. ..... .N = Nn.

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EXERCÍCIO 1: Amostragem com Reposição Suponha que uma caixa contenha N bolas distintas numeradas de 1 a N. Extrai-se uma bola da caixa, registra-se o seu número e a seguir repõe-se à bola na caixa. Repete-se o procedimento n vezes. Pergunta-se: 1o.) Que tipo de número cada extração produz? 2o.) Como você pode representar o resultado final da operação? 3o.) Quantas n-uplas podem ser formadas com os n números obtidos nas extrações? 4o.) Suponha que a caixa tenha apenas três bolas, represente as possíveis n-uplas

resultantes de n=2 extrações. 5o.) Qual o nome do procedimento que consiste em se retirar n elementos, com possível repetição, de uma população com N elementos distintos? O resultado (x1, x2, ... ,xn) dos registros das extrações recebe que denominação? EXERCÍCIO 2: Amostragem sem Reposição Seja o experimento do exercício 1, anterior, onde se retira n bolas da caixa com N bolas numeradas de 1 a N. Mas, agora, não se recoloca a bola na caixa depois de registrar-se o seu número. Assim, quando se vai retirar a 2a. bola existem N-1 bolas na caixa. Se novamente registrarmos o número de cada bola na n-upla (x1, x2, ...... ,xn) pergunta-se? 1o.) Qual o número registrado na 1a. extração? E na 2a. extração? E na na. Extração? 2o.) Os elementos da n-upla (x1, x2, .... ,xn) são todos distintos ou podem se repetir? 3o.) Quantas n-uplas distintas podem ser formadas? 4o.) Qual o nome do procedimento que consiste em se retirar n elementos, sem repetição, de uma população com N elementos distintos? O resultado (x1, x2, ... ,xn) dos registros das extrações recebe que denominação? EXERCÍCIO 3: Diagrama em Árvore Represente esquematicamente o experimento de se extrair um elemento do conjunto A = a1, a2, .... ,am e um elemento do conjunto B = b1, b2, ..... ,bn, quanto a possível dupla formada responda as perguntas seguintes: 1o.) Quantas e quais são as duplas que podem ser formadas? 2o.) Mostre que você pode obter o resultado por meio de um Diagrama em Árvore. 3o.) Suponha G = g1, g2 um conjunto com duas gravatas distintas e C = c1, c2, c3, c4 um conjunto com quatro camisas distintas. Quantas são as maneiras de se combinar uma das camisas e uma das gravatas? 4o.) Suponha a situação anterior das camisas e gravatas. Quantas são as maneiras de se combinar a camisa, a gravata e um paletó do conjunto P = p1, p2, p3?

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1.2.3 - Amostras não-ordenadas

Suponha que se deseja calcular o número de amostras sem reposição com tamanho n, ou seja, com n elementos, tomadas de uma população (conjunto) com N elementos N > n. Pode-se observar o seguinte: 1o.) O número de amostras sem reposição, portanto com todos os elementos distintos, de

tamanho n tomadas da população é dado por AnN = N.(N-1).(N-2)...(N-n+1) =

)!nN(!N

−.

2o.) Cada amostra (subconjunto) distinta (x1, x2, ... ,xn) com n objetos distintos pode ser re-arranjada de n! modos distintos e, portanto tem-se:

Nn

An

N N N N nn

Nn N n

nN

= =

− − − +=

−!.( ).( )....( )

!!

!( )!1 2 1

combinações distintas ou melhor Nn

diferentes amostras de tamanho n que podem

ser extraídas, sem reposição e sem consideração de ordem, de um conjunto com N objetos distintos. Como se pode observar, nos arranjos (permutações) intervém a ordem dos objetos (elementos). Assim, abc é um arranjo distinto de bca. Quando se está interessado apenas nos objetos, sem distinção da ordem (posição) que eles ocupam, os grupos são chamados de combinações. Então, abc e bca representam a mesma combinação. EXERCÍCIOS: 1.2.1) Suponha que se tenha n caixas distintas e n bolas distintas. Qual é o número total de maneiras de se distribuir as n bolas nas n caixas de modo que cada caixa contenha exatamente uma bola?

1.2.2) Um Departamento é composto por 25 professores titulares, 15 professores adjuntos e 35 professores assistentes. Uma comissão de 6 membros deve ser selecionada ao acaso do corpo docente do Departamento. Determine: a) O número de comissões distintas que podem ser formadas com esses professores; b) O número de comissões que podem ser constituídas somente com professores assistentes; 1.2.3) Considere uma “mão de pôquer” com cinco cartas de um baralho com 52 cartas.

Calcule: a) O número possível de “mãos” diferentes de se obter; b) O número de “four”, isto é, quatro cartas de mesmo valor; 1.2.4) Suponha que se distribui n bolas em n caixas, de modo que a caixa 1 fique vazia,

uma das outras n-1 caixas contenha 2 bolas e as outras n-2 caixas contenham apenas 1 bola. Calcule o número de maneiras de se fazer isto.

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1.2.5) O código morse consiste de uma seqüência de pontos e traços em que repetições

são permitidas. a) Quantas letras se podem codificar usando exatamente n símbolos? b) Qual é o número de letras que se pode codificar usando n ou menos símbolos?

1.2.6) Uma pessoa possui n moedas no bolso, das quais somente uma é de R$0,50. Se

ele olhar o valor das moedas de uma em uma, qual o número máximo de tentativas que deverá fazer até achar a sua moeda de R$0,50?

1.2.7) Um ônibus parte com duas pessoas e para em três pontos diferentes. Supondo que

os passageiros possam descer em qualquer dos pontos com igual possibilidade, determinar: a) O número de maneiras de se distribuir os passageiros nos pontos tal que os dois

passageiros não desembarquem na mesma parada? b) O número de maneiras possíveis dos passageiros desembarcarem nos pontos?

1.2.8) Suponha que se tenha r caixas numeradas 1, 2, 3, ... ,r onde são colocadas n < r

bolas numeradas 1, 2, 3, ... ,n, aleatoriamente, uma de cada vez. Determine: a) O número total de maneiras de se colocar as n bolas nas r caixas, que tipo de

amostragem pode ser associado a este experimento? b) O número de maneiras de se colocar as n bolas nas r caixas até que se pare na n-

ésima bola com 2 bolas numa caixa e no máximo uma bola nas outras caixas. 1.2.9) Uma caixa contém N bolas numeradas de 1 a N. Seleciona-se ao acaso n bolas da

caixa (com n < N), registrando o seu número e repondo a bola na caixa. O processo é repetido n vezes. Pergunta-se: qual o número total de maneiras de se agrupar estas n bolas em uma das tentativas? Qual o tipo de amostragem correspondente a este experimento?

1.2.10) Se o Anselmo e o Festa estão dispostos aleatoriamente numa fila entre n - 2 outras

pessoas determine: a) o número de modos em que podem ficar exatamente k pessoas entre eles;

b) o número total de modos em que podem ficar o Anselmo e o Festa e as outras n - 2 pessoas?

1.2.11) Um dominó é um bloco retangular dividido em dois sub-retângulos. Cada sub-

retângulo possui um número. Sejam x e y esses números (não necessariamente distintos). Como o bloco é simétrico, o dominó (x, y) é o mesmo que (y, x). Quantos blocos diferentes de dominó se pode fazer usando n números diferentes?

1.2.12) Suponha que se distribui n bolas em n caixas.

a) De quantos modos poderemos colocar as n bolas nas n caixas, de maneira que exatamente uma caixa fique vazia?

b) Dado que a caixa 1 está vazia, de quantos modos se tem somente uma caixa vazia?

1.2.13) O código genético especifica um aminoácido através de uma seqüência de três

nucleotídeos. Cada nucleotídeo pode ser de um dos quatro tipos T, A, C e G,

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sendo permitido a repetição. Quantos aminoácidos podem ser codificados desta maneira?

2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE

2.1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e observar o número da face superior. Observa-se no experimento que: a) Os “resultados possíveis” de ocorrer formam o conjunto Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. DEF. 1 ESPAÇO AMOSTRAL, Ω, de um experimento realizado sob condições fixas, é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento, entendendo-se por resultado possível todo resultado elementar e indivisível do experimento. DEF. 2 RESULTADO COMPOSTO é todo resultado formado por mais de um resultado elementar e indivisível. b) Observa-se no experimento que o resultado “número par” não é elementar e

indivisível, pois é composto por três resultados deste tipo 2, 4, 6, logo “número par” é um resultado composto.

c) Cada resultado pode ser associado ao espaço amostral como um subconjunto dele. O

resultado “número par” é o subconjunto NP = 2, 4, 6 ⊂ Ω .Assim, todo resultado do experimento é subconjunto do espaço amostral.

EXERCÍCIOS 2.1.1) Considere, agora, outro experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto eqüidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido no eixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do sistema. a) Descreva o espaço amostral do experimento; b) Descreva o resultado ω1 “distância entre o ponto escolhido e o ponto médio do

segmento é ≤ 2” na forma de subconjunto do espaço amostral; c) Descreva o resultado ω2 “distância entre o ponto escolhido e a origem é ≤ ½”; d) Descreva o resultado ω3 “ a 1a. coordenada do ponto escolhido tem comprimento

menor que a 2a “. 2.1.2) Seja, agora, outro experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto do círculo unitário (círculo com raio igual a 1), com centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas.

a) Escreva o espaço amostral do experimento, represente-o graficamente. b) Escreva o resultado A = “distância entre o ponto escolhido e a origem é < ½”,

represente-o graficamente. c) Escreva o resultado B = “distância entre o ponto escolhido e a origem é > 15”;

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d) Escreva o resultado C = "A 1a. coordenada do ponto escolhido é maior que a

2a.", represente-o graficamente.

DEF. 3 σ-ÁLGEBRA, A, de subconjuntos do conjunto não-vazio Ω é a classe de subconjuntos de Ω satisfazendo os Axiomas: 1a.) Ω ∈ A 2a.) Se A ∈ A ⇒ Ac ∈ A

3a.) Se A1, A2, A3, ..... ∈ A ⇒ Aii=

∞

1∪ ∈ A

DEF. 4 Seja Ω o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto A ⊂ Ω será chamado de evento, o conjunto Ω é evento certo, o subconjunto ∅ é o evento impossível e se ω ∈Ω o evento ω é dito elementar e indivisível. DEF. 5 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (quando Ω é finito). Seja A um subconjunto do espaço amostral Ω , A ∈ P (Ω), então se todos os resultados elementares de Ω são equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento

A é dada por P(A) = ##

AΩ

, A ∈ A. DEF. 6 Seja A um evento do espaço amostral Ω, então se atribuirmos uma probabilidade ao evento A ele é chamado de evento aleatório. DEF. 7 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DE PROBABILIDADE (Gnedenko) Suponha que um segmento seja parte de um outro segmento L e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L. Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a é proporcional ao comprimento de e não depende do lugar que ocupa em L , então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em é :

P compcompL

( ) .=

L Analogamente suponha que uma figura plana g seja parte de uma outra figura plana G e que se escolha ao acaso um ponto de G. Admitindo-se que a probabilidade deste ponto pertencer a g seja proporcional à área de g e não depende do lugar que g ocupa em G, então a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em g é:

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P g areagareaG

( ) =

G g

Analogamente tem-se P v volvvolV

( ) = , onde ν é um volume contido no volume maior V.

DEF. 8 DEFINIÇÃO FREQUENTISTA DE PROBABILIDADE (Von Mises) A probabilidade de ocorrência do evento A em n ensaios é definida, segundo Von Mises, por

P Ann

( ) lim=→∞

1 (número de ocorrências de A em n ensaios)

DEF. 9 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE (Kolmogorov) Probabilidade ou medida de probabilidade na σ-álgebra A é a função P definida em A e que satisfaz os axiomas seguintes: A1) P(A) ≥0 A2) P(Ω)=1 A3) Se A e B ∈ A e são disjuntos ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Se A1, A2, A3, ... , An ∈ A e são disjuntos ⇒ P U A P Ai

n

i ii

n

( ) ( )=

=

= ∑11

(A3’) Se A1, A2, A3, ... ∈ A e são disjuntos ⇒ ==

∞

=

∞

∑P U A P Ai i I

i

( ) ( )1

1

DEF.10 ESPAÇO DE PROBABILIDADE É o trio (Ω , A , P) , onde Ω , A e P são definidas acima. EXERCÍCIOS: 2.1.3) Um dado é lançado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos: a) A= sair um número ímpar. b) B= sair um número menor que três. c) C= sair um número maior que 10. d) Ω= sair um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6. 2.1.4) Uma carta é retirada ao acaso de um baralho com 52 cartas.

a) Qual a probabilidade de sair a carta de espadas? b) Qual a probabilidade de sair um rei?

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2.1.5) Suponha que 4 cartas estejam numeradas de 1 a 4. Das 4 cartas retira-se uma de cada vez, ao acaso e sem reposição, até retirar-se o 1o. número par. Conta-se o número de retiradas necessárias. Descreva um espaço de probabilidade para o experimento. 2.1.6) Seja o experimento, onde se escolhe ao acaso um ponto do quadrado de lado igual a 3 e centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. a) Qual a probabilidade de ocorrer o evento A = “distância entre ponto escolhido e a

origem é maior ou igual a 2”? b) Qual a probabilidade de ocorrer o evento B = “ 1 a coordenada do ponto escolhido é

menor do que a 2 a ”? 2.1.7) Seja o experimento, onde se escolhe ao acaso um ponto do triângulo eqüilátero de lado igual a 2 e centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. a) Qual a probabilidade de ocorrer o evento T1 = “distância entre ponto escolhido e a

origem é maior ou igual a 1”? b) Qual a probabilidade de ocorrer o evento T2 = “ 1 a coordenada do ponto escolhido é

menor do que a 2 a ”?

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2.2 - PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE Além das propriedades enunciadas na definição axiomática, a função P goza, ainda, das seguintes: P1) Se A é um evento aleatório, então a probabilidade de A não ocorrer é dada por P A P AC( ) ( )= −1 P2) Se A é um evento aleatório, então 0 ≤ P(A) ≤ 1 P3) Se A1 ⊂ A2 ⇒ P(A1) ≤ P(A2) e P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1) P4) P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1∩A2)

P5) P U A P Ai

n

i ii

n

( ) ( )=

=

≤ ∑11

P6) P U A P Ai i i

i

( ) ( )=

∞

=

∞

≤ ∑11

P7) P A A A P U A S S S S Sn i

n

ir

rr

nr

n

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1

11 2 3

1

1

1 1∪ ∪…∪ …= = − = − + − + −=

− −

=∑

P8) P A P Ai

n

I iC

i

n

( ) ( )∩ ≥ −=

=∑1

1

1

P9) P A P Ai

i iC

i

( ) ( )∩=

∞

=

∞

≥ − ∑1 1

1

P10) Continuidade em Probabilidade: “Seja a seqüência Ai i = 1, 2, 3, ... onde Ai ∈ A ∀i, então: a) se Ai ↑ A ⇒ P(Ai) ↑ P(A) e b) se Ai ↓ A ⇒ P(Ai) ↓ P(A). EXERCÍCIOS 2.2.1) Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosas (D) ou não defeituosas (P). As peças são inspecionadas e suas condições registradas. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorrer em primeiro lugar. Descreva o espaço amostral para este experimento. 2.2.2) Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N) com filamento partido. Essas lâmpadas são verificadas uma a uma até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. a) Descreva o espaço amostral do experimento. b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o espaço amostral para este experimento. 2.2.3) Considere 4 objetos a, b, c, d. Suponha que a ordem em que tais objetos sejam listados represente o resultado de um experimento. Sejam os eventos A e B definidos por: A = a está na 1a. posição B = b está na 2a. posição

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a) Enumere todos os elementos do espaço amostral do experimento. b) Enumere todos os elementos dos eventos: A ∩ B e A ∪ B.

2.2.4) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15, ... , 50 g. Admite-se que ao menos 2 peças de cada peso sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote . Seja X o peso da 1a. peça escolhida e Y o peso da 2a. . Portanto, o par de números (X, Y) representa um resultado simples do experimento. Empregando o plano XY, marque o espaço amostral e os seguintes eventos:

a) X = Y b) Y > X c) Y = 2X

2.2.5) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição “ligada”. Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada para a posição “desligada”. Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números ( X, Y ).

a) Descreva o espaço amostral. b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:

i) O circuito está ligado por uma hora ou menos. ii) O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h. iii) O circuito é ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (onde t1< t2 são 2 instantes durante o período de 24 h especificado). iv) O circuito permanece ligado 2 vezes mais tempo do que desligado.

2.2.6) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notação de conjunto as seguintes afirmações verbais:

a) Ao menos um dos eventos ocorre; b) Exatamente um dos eventos ocorre; c) Exatamente dois dos eventos ocorrem; d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente.

2.2.7) Demonstre o Teorema “Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então

P(AUBUC) = P(A)+ P(B)+P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P( B C∩ ) + P(A ∩ ∩B C) ”.

2.2.8) Sejam os eventos A e B possíveis de ocorrer. Prove que a probabilidade de que ocorra exatamente um dos eventos é dado por P[(A∩ ∩B U B Ac c) ( ) ]=P(A)+P(B)-2P(A∩B).

2.2.9) Um certo tipo de motor elétrico falha nas seguintes situações:

A. emperramento dos mancais;

B. queima dos rolamentos;

C. desgaste das escovas;

Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta é quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que o motor falhe devido a cada uma dessas circunstâncias?

16

2.2.10) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) z= . Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z:

a) P(A c cUB ) b) P(A c B∩ ) c) P(A cUB) d) P(A c cB∩ )

2.2.11) Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=1/4 , P(A∩ ∩B P C B) ( )= = 0 e P(A∩C) = 1 8/ . Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra.

2.2.12 ) O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 homens com mais de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres com mais de 21 anos e 3 mulheres com menos de 21anos de idade. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Definem-se os seguintes eventos: A=a pessoa é maior de 21 anos; B=a pessoa é menor de 21 anos; C=a pessoa é homem; D=a pessoa é mulher. Calcule:

a)P(BUD) b)P(A c cC∩ )

2.2.13) Em uma sala 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 a 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número do seu emblema é anotado. Qual a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5? Qual a probabilidade de que o maior número do emblema seja 5?

2.2.14) Uma remessa de 1500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas.

a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas?

b) Qual a probabilidade de que sejam encontradas ao menos 2 peças defeituosas?

2.2.15) Suponha que os três dígitos 1, 2 e 3 sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade de que ao menos um dígito ocupe seu lugar próprio? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3 e 4 ocupem os seus lugares próprios quando são escritos em ordem aleatória? Qual a probabilidade de que os dígitos 1, 2, 3, 4, .... ,n ocupem os seus lugares próprios na mesma situação de escrita em ordem aleatória?

2.2.16) Prove as propriedades de probabilidade enunciadas anteriormente, inclusive P10 “Continuidade em Probabilidade”.

2.3. PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS:

2.3.1 - Probabilidade Condicional DEF. Sejam o espaço de probabilidade ( Ω,A,P) e os eventos A, B∈ A com P(B) > 0, a probabilidade condicional do evento A dado B é definida por:

P(AB)= P A BP B

( )( )∩ A∈A

17

OBS: 1a. ) Se P(B)=0, P(AB) pode ser arbitrariamente definida. A maioria dos livros faz P(AB)=0, mas é conveniente pela independência se fazer P(AB)=P(A).

2a. ) Como P(AB) é uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de

probabilidade.

3a. ) Como P(AB)= P A BP B

( )( )∩ , então a probabilidade da ocorrência simultânea

dos eventos A e B é dada por : P(A∩B P A P B A P B P A B) ( ). ( / ) ( ). ( / )= = .

2.3.2 Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta “Seja o espaço de probabilidade (Ω, A, P), então:

I. P(A∩B P A P B A) ( ). ( / )= ∀ A,B ∈ A II. P(A1 ∩ ∩ ∩A An2 ... ) = P(A 1 2 1 3 1 2 1 2 1). ( / ). ( / )... ( / ... )P A A P A A A P A A A An n∩ ∩ ∩ − ∀A 1 2 3, ,...A A ∈A ”.

EXERCÍCIOS 2.3.0) Prove o Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta. 2.3.1) Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas,

numeradas (x, y), são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de x + y =10?

2.3.2) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos

graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que: a) Ele não tenha defeitos; b) Ele não tenha defeitos graves; c) Ele seja perfeito ou tenha defeitos graves; d) Resolva os itens c e b aplicando a definição de probabilidade.

2.3.3 - Independência de Eventos DEFINIÇÃO: Seja o espaço de probabilidade (Ω, A, P). Os eventos aleatórios A e B são estocasticamente independentes se P(A∩B P A P B) ( ). ( )= ou seja P(B/A)=P(B) e P(A/B)=P(A).

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EXERCÍCIOS: 2.3.3) Se do lote de artigos do problema anterior, dois artigos forem escolhidos (sem

reposição), ache a probabilidade de que: a) Ambos sejam perfeitos; b) Ambos tenham defeitos graves; c) Ao menos 1 seja perfeito; d) No máximo 1 seja perfeito; e) Exatamente 1 seja perfeito; f) Nenhum tenha defeitos graves; g) Nenhum deles seja perfeito. 2.3.4) Um número inteiro é escolhido ao acaso, dentre os números 1, 2, ... , 50. Qual

será a probabilidade de que o número escolhido seja divisível por 6 ou por 8? Qual é a probabilidade do número escolhido ser divisível por 6 e por 8?

2.3.5) Uma propriedade de eventos aleatórios independentes é que o evento A ∈ A é independente de si mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1. Prove esta propriedade e as outras duas de eventos independentes e mutuamente exclusivos enunciadas a seguir.

2.4 - EVENTOS ALEATÓRIOS

2.4.1 - Eventos Mutuamente Exclusivos Os eventos A e B, com A,B ∈ A, são mutuamente exclusivos (disjuntos) se P(A∩B) = 0 ou seja A∩B = ∅.

2.4.2 - Eventos Independentes Os eventos A e B, com A,B ∈ A, são independentes se P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B).

2.4.3 - Propriedades de Eventos Independentes 1a.) O evento aleatório A∈A é independente de si mesmo se e somente se P(A)=0 ou P(A)=1. 2a.) Se A e B são eventos aleatórios independentes pertencentes a A, então A e

B c c c cA eB A eB, , também são independentes. 3 ª) Se A e B são eventos aleatórios mutuamente exclusivos pertencentes a A, então A e

B são independentes somente se P(A)=0 ou P(B)=0.

19

EXERCICIOS: 2.4.1) Uma caixa contém etiquetas numeradas 1, 2, 3,..., n. Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas escolhidas sejam inteiros consecutivos se:

a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição. b) As etiquetas forem escolhidas com reposição.

2.4.2) Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhe-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um número positivo? 2.4.3) Um lote contém n peças, das quais se sabe serem r defeituosas. Se a ordem da inspeção das peças se fizer ao acaso, qual a probabilidade de que a peça inspecionada em k-ésimo lugar (k ≥ r) seja a última peça defeituosa mantida no lote? 2.4.4) A urna 1 contém x1 bolas brancas e y 1 bolas vermelhas. A urna 2 contém x 2 bolas brancas e y 2 bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da urna 1 e posta na urna 2. A seguir uma bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual seria a probabilidade de que esta bola seja branca? 2.4.5) Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas.

a) Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio?

b) Qual a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio?

c) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio?

d) Some os números de (a), (b) e (c) acima. O resultado será surpreendente? 2.4.6) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita? 2.4.7) No problema anterior, as válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-se e repetindo-se o procedimento até que todas as 4 válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada,

a) No quinto ensaio b) No décimo ensaio.

2.4.8) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência de A for igual a 0,4 determine a probabilidade da ocorrência de B 2.4.9) Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas são inspecionadas uma após outra. Se essas peças forem extraídas ao acaso, qual será a probabilidade de que: a) as duas primeiras peças sejam defeituosas:

20

b) as duas primeiras peças sejam perfeitas c) das duas primeiras peças inspecionadas, uma seja perfeita e a outra defeituosa. 2.4.10) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4 enquanto P(AUB) = 0,7. Seja P(B) = p.

a) Para qual valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? b) Para qual valor de p, A e B são independentes?

2.4.11) Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: a) O dado mostre um número PAR e a carta seja de um naipe vermelho? b) O dado mostre um número PAR ou a carta seja de um naipe vermelho? 2.4.12) Um número binário é constituído apenas dos dígitos 0 e 1. (Por exemplo, 1011, 1100, etc.). Esses números têm importante papel na utilização de computadores eletrônicos. Suponha que um número binário seja formado por n dígitos. Suponha que a probabilidade de um digito incorreto aparecer seja p e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes uns dos outros. Qual será a probabilidade de formar-se um número incorreto? 2.4.13) Um dado é atirado n vezes. Qual é a probabilidade de que a face 6 apareça ao menos uma vez em n jogadas? 2.4.14) Cada uma de 2 pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de que elas obtenham o mesmo número de caras? 2.4.15) Prove as três propriedades de eventos independentes enunciadas anteriormente. 2.4.16) Na Mega Sena, o apostador tem que marcar de 6 (aposta mínima) a 15 dezenas de um total de 60 dezenas a disposição. Os números vão de 01 a 60. O Emerson (professor de Cursinho) faz a aposta mínima (R$ 1,50) com 6 dezenas. Qual a chance (probabilidade) que ele tem de ganhar? 2.4.17) Na semana seguinte o Emerson continuava trabalhando (o que significa que ele não ganhou). Então, como a Mega Sena acumulou (pois nem o Emerson e nem ninguém ganho) o Emerson pensou: desta vez acerto e cravou 8 dezenas. Qual a chance que o Emerson tem de ganhar? 2.4.18) Na aposta do exercício 2.4.16, qual a chance que o apostador tem de acertar a quina? 2.4.19) Na aposta do exercício 2.4.17, qual a chance do apostador fazer a quadra? 2.4.20) Na Dupla Sena, a nova loteria da CAIXA. No primeiro sorteio, ganha quem acertar os seis números sorteados (sena). Se você não acertou, aguarde o segundo sorteio. Nele, ganha quem acertar quatro (quadra), cinco (quina) ou os seis (sena) números sorteados. Basta marcar entre 6 e 15 números, dos 50 existentes no volante . Um fez uma aposta de Dupla Sena marcando 6 dezenas. Qual a chance que ele tem de ganhar no primeiro sorteio? E no segundo sorteio, explique sem fazer a conta como se calcularia a probabilidade dele ganhar fazendo 5 pontos.

21

2.4.21) Outro apostador fez uma aposta de Dupla Sena marcando 8 dezenas. Qual a chance que ele tem de ganhar no primeiro sorteio? E no segundo sorteio, explique sem fazer a conta como se calcularia a probabilidade dele ganhar fazendo 5 pontos. 2.4.22) Na Quina para se fazer uma aposta você escolhe 5, dentre os 80 números disponíveis, por apenas R$ 0,50, ou pode aumentar a aposta, marcando de cinco a sete números. Um apostador faz a aposta mínima com 5 dezenas. Qual a probabilidade dele ganhar? 2.4.23) Outro apostador faz uma aposta com 7 dezenas, qual a chance que ele tem de acertar?

22

2.5- PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL Ω

2.5.1- Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL Ω A1 Ω A3 ... A2

• Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatórios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto é, os Ai são disjuntos e U Ai = Ω , então os eventos Ai formam uma PARTIÇÃO DO ESPAÇO amostral Ω . • É importante observar DUAS COISAS, admitindo-se que a seqüência A1, A2, A3, ... seja FINITA ou INFINITA ENUMERÁVEL : 1) Ai e A i

C formam uma PARTIÇÃO , ∀ Ai ∈ A . 2) ∀ evento B ∈ A temos B U A B

i i= ∩( ) , pois os Ai são disjuntos, então os B ∩ Ai

também são disjuntos e B U B Ai I= ∩ logo

P B P A B P A P B Ai i

ii

( ) ( ) ( ) ( /= ∩ = ⋅∑∑ i)

A1 A4 A3 Ω A2 A5 B TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

23

Se a seqüência (finita ou infinita enumerável ) de eventos aleatórios A1, A2, A3, ... forma uma PARTIÇÃO do espaço amostral Ω , então a probabilidade de um evento B contido em Ω é dada por: P B P A P B Ai i

i

( ) ( ) ( / )= ⋅∑

OBS: O T. P. Total é utilizado quando se conhece todas as P(Ai) e as P(B/Ai), mas se desconhece diretamente P(B). Com base no Teorema da Probabilidade Total é possível calcular a probabilidade do evento Aj dada à ocorrência do evento B, pela fórmula:

∑ ⋅

⋅=

⋅=

∩=

iii

jjjjjj ABPAP

ABPAPBP

ABPAPBP

BAPBAP

)/()()/()(

)()/()(

)()(

)/(

que é conhecida como FÓRMULA DE BAYES (Teorema de Bayes). EXERCÍCIOS 2.5.1) De um lote com 20 peças defeituosas e 80 perfeitas são extraídas 2 peças, sem reposição. Determine a probabilidade do evento B=a 2a. peça extraída é defeituosa. 2.5.2) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta para uma certa questão, de um exame de múltipla escolha é p. Das opções de resposta para cada questão, somente uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para a questão, ele seleciona ao acaso uma resposta dentre as m opções. Se a probabilidade do aluno responder corretamente dado que ele sabe a resposta é 0, 88, pergunta-se:

a) Se o aluno responder corretamente a questão, qual a probabilidade de que ele “chutou” a resposta?

b) Se o aluno responder incorretamente a questão, qual a probabilidade de que ele não “chutou” a resposta?

2.5.3) Três candidatos A1, A2 e A3 disputam uma eleição. Uma prévia eleitoral mostra que suas chances de vencer são respectivamente 0,5; 0,3 e 0,2. As probabilidades de que eles venham a promover mudanças substanciais caso eleitos são respectivamente 0,7; 0,6 e 0,3. Qual é a probabilidade de que as mudanças substanciais ocorram, após a posse do eleito? 2.5.4) Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é 0,3. O meu time ganha um jogo em dia de chuva com probabilidade 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou o jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovido no dia? 2.5.5) Em um experimento cego de sabor de vinho um júri de 5 juizes é servido de um entre 2 vinhos, um francês e um californiano. O vinho é selecionado por lançamento de

24

uma moeda honesta. Suponha que cada juiz tem probabilidade ¾ de adivinhar corretamente, independente de outros juizes. Se 4 dos 5 juizes acreditarem que o vinho é francês, qual a probabilidade de que realmente o vinho californiano tenha sido servido? 2.5.6) Cinco em 100 homens são daltônicos e 25 em 1000 mulheres são daltônicas. Uma pessoa escolhida ao acaso é daltônica. Qual a probabilidade de que seja homem? 2.5.7) Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada urna tem duas gavetas. A urna 1 contém uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra; enquanto a urna 2 contém uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna é escolhida ao acaso, a seguir uma de suas gavetas é aberta ao acaso. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2? 2.5.8) Um saco contém 3 moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as outras duas moedas são normais. Uma moeda é tirada ao acaso e jogada quatro vezes em seqüência. Se sair CARA toda vez, qual será a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? 2.5.9) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produziram 25, 35 e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2% respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? da B? da C? 2.5.10) Três componentes C1, C2 e C3 de um mecanismo são postos em série (linha reta).Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento C2 está à direita de C1 e seja S o evento C3 está à direita de C1. Os eventos R e S são independentes? Por quê? 2.5.11) Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual será a probabilidade de que uma face seja 4? 2.5.12) Sabe-se que na fabricação de um certo artigo, defeitos de um tipo ocorrem com probabilidade 0,1 e defeitos de outro tipo com probabilidade 0,05. Qual será a probabilidade de que um artigo não tenha ambos os tipos de defeitos? 2.5.13) Enuncie e prove o Teorema da Probabilidade Total. 2.5.14) Enuncie e prove o Teorema de Bayes. 2.5.15) Suponha que um vendedor tem em uma sacola bexigas amarelas, verdes, azuis e

brancas. Sendo, 10 amarelas, 10 verdes, 4 azuis e 4 brancas Este vendedor retira da sacola uma bexiga e a entrega a um torcedor brasileiro sem olhar a cor. A seguir (sem reposição) retira outra bexiga e vê que esta tem a cor amarela.

a) Qual a probabilidade de que a primeira bexiga entregue tenha a cor verde,

dado que o vendedor não olhou a sua cor? b) Suponha que o vendedor retira uma primeira bexiga e a entrega ao torcedor

sem olhar a cor. A seguir retira uma segunda bexiga, não olha a cor, e a entrega ao torcedor. Depois, retira uma terceira bexiga e vê que é da cor verde. Nesta situação, qual a probabilidade de que a segunda bexiga entregue

25

seja amarela? Qual a probabilidade de que a primeira bexiga entregue seja verde?

2.5.16) Suponha uma urna onde estão bolas com números de 1 a 350. Assim, existe a

bola 1, a bola 2, ......, até a bola 350. No mês 1 retiram-se da urna 21 bolas. Este experimento é repetido no segundo mês, mas recolocando-se as 21 bolas retiradas no primeiro mês de volta na urna. Pergunta-se: qual a probabilidade de que duas bolas que saíram no mês 1 repetirem a saída no mês 2, ou seja, se saírem, por exemplo, a bola 15 e a bola 30, qual a probabilidade dessas duas bolas exemplificadas repetirem a saída no mês 2?

SOLUÇÃO A solução é a seguinte: “suponha a urna com 350 bolas, sendo 348 mais 2 que devem se repetir, o número de combinações possíveis das 350 bolas tomadas em agrupamentos de

21 bolas é

21

350 e o número de combinações possíveis envolvendo agrupamentos com

as 2 bolas a se repetirem fixadas envolve apenas as outras 348 bolas e é

2

348. De

modo que a probabilidade de sair as duas bolas a se repetirem é dada por

2135019348

que é

igual a 0,003438395415. Isto é a chance de ocorrer no mês 1 e a probabilidade requerida de repetição no mês 2 é, dado a independência nos eventos, o produto 0,003438395415 x 0,003438395415 que resulta em 0,00001182256303, portanto a probabilidade solicitada é de aproximadamente 1 em 100000, sendo que o número exato está escrito na linha anterior. 2.5.17) Em certa atividade necessita-se sortear pessoas para desempenhar uma função específica. No mês de Setembro foram sorteados 30 nomes entre 336 e no mês de Novembro, entre os mesmos 336 nomes foram sorteados mais 30 nomes, qual a probabilidade matemática de 15 nomes, entre os 30 sorteados em Setembro repetirem-se entre os 30 nomes sorteados em Novembro?” SOLUÇÃO A solução é a seguinte: “suponha que o sorteio seja aleatório com 336 nomes, sendo 321 e mais 15 que devem se repetir; o número de combinações possíveis dos 336 nomes

tomadas em agrupamentos de 30 nomes é

30

336 e o número de combinações possíveis

envolvendo agrupamentos com os 15 nomes a se repetirem fixados envolve apenas os

outros 321 nomes e é

15321

. De modo que a probabilidade de sair os 15 nomes a se

26

repetirem é dada por

3033615321

que é igual a 3,546368021x10-18 =

0,000000000000000003546368021 = 3,5 em um quintilhão. E, esta é a chance desses números fixados saírem em Setembro e a probabilidade deles se repetirem em

Novembro é

3033615321

x

3033615321

que é igual 1,257672614x10-35 , que é um número muito

próximo de zero. 2.5.18) Considere a situação do exercício 2.5.17. Qual a probabilidade matemática de cinco sorteados em Setembro serem sorteados também em Dezembro (3º sorteio)?” SOLUÇÃO A solução é a seguinte: “suponha que o sorteio seja aleatório com 336 nomes, sendo 331 e mais 5 que devem se repetir; o número de combinações possíveis dos 336 nomes

tomadas em agrupamentos de 30 nomes é

30

336 e o número de combinações possíveis

envolvendo agrupamentos com os 5 nomes a se repetirem fixados envolve apenas os

outros 331 nomes e é

25331

. De modo que a probabilidade de sair os 5 nomes a se

repetirem é dada por

3033625331

que é igual a 4,114352x10-6 = 0,000004114352 =

4,1/1000000. E, esta é a chance desses números fixados saírem em Setembro e a

probabilidade deles se repetirem em Dezembro é

3033625331

x

3033625331

que é igual

1,692789885x10-11 = 1,69/100000000000 = 1,69 em 100 bilhões. 2.5.19) Considere a situação dos exercícios 2.5.17 e 2.5.18. Qual a possibilidade dos nomes “A” e “L serem sorteados 6 vezes juntos, sendo que foram sorteados três vezes dentre 42 nomes e três vezes dentre 30 nomes? (cada sorteio com o mesmo universo de 526). SOLUÇÃO A solução é a seguinte: “suponha que o sorteio seja aleatório com 526 nomes, sendo 524 e mais 2 (A e L) que devem se repetir; o número de combinações possíveis dos 526

nomes tomadas em agrupamentos de 42 nomes é

42

526 e o número de combinações

27

possíveis envolvendo agrupamentos com os 2 nomes a se repetirem fixados envolve

apenas os outros 524 nomes e é

40

524. De modo que a probabilidade de sair os 2

nomes a se repetirem é dada por

4252640

524

que é igual a 6,235741x10-3 = 0,006235741 =

6,23/1000. E, esta é a chance desses números fixados saírem uma vez em sorteios com 42 nomes e a probabilidade desse evento se repetir em três sorteios independentes é

4252640

524

x

4252640

524

x

4252640

524

que é igual 2,424735097x10-7 = 2,424/10000000. E, a

probabilidade deste evento completo se repetir em sorteios com 30 nomes é

3052628

524

x

3052628

524

x

3052628

524

é igual a 3,126962084 x 10-8 = 3,126/100000000. Finalmente, para que

este ocorra em conjunto de 6 eventos é

4252640

524

x

4252640

524

x

4252640

524

x é

3052628

524

x

3052628

524

x

3052628

524

que é igual a 2,424735097x10-7 x 3,126962084 x 10-8

resultando em

7,581944964 x 10-15 = 0,000000000000007581944964 = 7,58/1000000000000000 ou seja 7,58 por quintilhão. 2.5.20) Considere a situação dos exercícios 2.5.17, 2.5.18 e 2.5.19 e considerando que foram procedidos 10 sorteios no ano, respectivamente, nos meses de Fevereiro a Junho e de Agosto a Dezembro. Nos dois primeiros sorteios são retirados 21 nomes e nos oito restantes 30 nomes, de um universo de 336 nomes para cada sorteio. a) Necessita-se saber a probabilidade de um nome aparecer 5 vezes em 10 sorteios de 30:

28

SOLUÇÃO: A probabilidade do nome aparecer uma vez é:

3033629

335

= 0,089285714 e de

se repetir 5 vezes em 10 eventos independentes é 55 910714286,0089285714,05

10xx

=

0,000895821 = 8,95821x10-4 Essa probabilidade pode ser representada por 8,9x10-4, que equivale a uma chance em 1116 que tal fato ocorra. b) Qual a probabilidade de três nomes aparecerem 4 vezes? O primeiro e o terceiro

nome 1 vez em 2 sorteios de 21 pessoas e 3 vezes em 8 sorteios de 30 pessoas de uma lista de 336 pessoas. O segundo nome apareceu 4 vezes em 10 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 nomes?

Etapa 1 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 1 vez em dois sorteios de 21 nomes e 3 vezes em 8 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas. Sub-etapa 1.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 1 vez em dois sorteios de 21 nomes de uma lista de 336 pessoas Sub-etapa 1.1.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 21 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p11 = =

==

2133620

335

)1X(P =33621 0,06250

Sub-etapa 1.1.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 1 vez em 2 sorteios dado o valor de p11.

p12 = P(Y=1) = =

−

11

336211

33621

12

0,11719

29

Essa probabilidade pode ser representada por 1,1x10-1, que eqüivale a uma chance em 8,5 que tal fato ocorra. Sub-etapa 1.2 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 3 vezes em oito sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 nomes. Sub-etapa 1.2.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p21 = =

==

3033629

335

)1X(P =33630 0,08929

Sub-etapa 1.2.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 3 vezes em 8 sorteios dado o valor de p21.

p22 = P(X=3) = =

−

53

336301

33630

38

0,02497

Essa probabilidade pode ser representada por 2,5x10-2, que eqüivale a uma chance em 40 que tal fato ocorra. O produto de p12 e p22 fornece a probabilidade (p1) de um nome aparecer 1 vez em dois sorteios em amostras de tamanho 21 e três vezes em 8 sorteios em amostras de tamanho 30 de uma lista de 336 nomes. Encerrando a etapa 1. Então:

p1 = p12 x p22 = 0,002926 Essa probabilidade pode ser representada por 2,9 x 10-3, e eqüivale a uma chance em 342 de ocorrência. Etapa 2 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada 4 vezes em 10 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas. Sub-etapa 2.1

30

Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p’ = =

==

3033629

335

)1X(P =33630 0,089286

Sub-etapa 2.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 4 vezes em 10 sorteios dado o valor de p’.

p2 = (X=4) = =

−

64

336301

33630

410

0,007614

Essa probabilidade pode ser representada por 7,6x10-3, que eqüivale a uma chance em 131 que tal fato ocorra. O cálculo dessa probabilidade encerra a etapa 2. Etapa 3 (final) Determinar a probabilidade de ocorrência de 2 vezes o resultado da Etapa 1 e 1 vez o resultado da Etapa 2.

p3 = p12 x p2 = 0,000000006518707826 = 6,518707826x 10-8

Essa probabilidade eqüivale a uma chance em 15 340 463. Uma em 15 milhões. Observar que a probabilidade de uma pessoa ser sorteada na SENA jogando somente o mínimo de 6 dezenas é de uma em 50 milhões.

c) Qual a probabilidade de trinta e três nomes aparecerem 3 vezes? Os nomes 1, 2, 13,

14, 15, 20, 21, 22, 26, 29 e 33, onze nomes, portanto, apareceram uma vez em dois sorteios de 21 pessoas e em dois sorteios de 30. Os nomes 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 31 e 32, vinte e dois nomes, portanto, ocorreram 3 vezes em 10 sorteios de 30 de uma lista de 336 pessoas.

Etapa 1 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 1 vez em dois sorteios de 21 nomes e 2 vezes em 8 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas. Sub-etapa 1.1

31

Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 1 vez em dois sorteios de 21 nomes de uma lista de 336 pessoas Sub-etapa 1.1.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 21 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p11 = =

==

2133620

335

)1X(P =33621 0,06250

Sub-etapa 1.1.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 1 vez em 2 sorteios dado o valor de p11.

p12 = P(Y=1) = =

−

11

336211

33621

12

0,11719

Essa probabilidade pode ser representada por 1,1x10-1, que eqüivale a uma chance em 8,5 que tal fato ocorra. Sub-etapa 1.2 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 2 vezes em oito sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 nomes. Sub-etapa 1.2.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p21 = =

==

3033629

335

)1X(P =33630 0,08929

Sub-etapa 1.2.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 3 vezes em 8 sorteios dado o valor de p21.

p22 = P(Y=2) = =

−

62

336301

33630

28

0,12736

Essa probabilidade pode ser representada por 1,2x10-1, que eqüivale a uma chance em 7,8 que tal fato ocorra.

32

O produto de p12 e p22 fornece a probabilidade (p1) de um nome aparecer 1 vez em dois sorteios em amostras de tamanho 21 e duas vezes em 8 sorteios em amostras de tamanho 30 de uma lista de 336 nomes. Encerrando a etapa 1. Então:

p1 = p12 x p22 = 0,01492 Essa probabilidade pode ser representada por 1,49 x 10-2, e eqüivale a uma chance em 67 de ocorrência. Etapa 2 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada 3 vezes em 10 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas. Sub-etapa 2.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p’ = =

==

3033629

335

)1X(P =33630 0,089286

Sub-etapa 2.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 4 vezes em 10 sorteios dado o valor de p’.

p2 = (Y=3) = =

−

73

336301

33630

310

0,04438

Essa probabilidade pode ser representada por 4,4x10-3, que eqüivale a uma chance em 22,5 que tal fato ocorra. O cálculo dessa probabilidade encerra a etapa 2. Etapa 3 (final) Determinar a probabilidade de ocorrência de 11 vezes o resultado da Etapa 1 e 22 vezes o resultado da Etapa 2.

p3 = p111 x p2

22 = 1,42 x 10-50 Essa probabilidade é raríssima. eqüivale a uma chance em 7,1x1049, ou seja, uma vez em 71 seguido de 48 zeros. d) Qual a probabilidade de quarenta e quatro nomes aparecerem 2 vezes? 10 nomes

aparecem uma vez em 2 sorteios de 21 nomes e 1 vez em 8 sorteios de 30 nomes de

33

uma lista de 336 pessoas. 34 nomes aparecem em 10 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 nomes.

Etapa 1 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 1 vez em dois sorteios de 21 nomes e 1 vez em 8 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas. Sub-etapa 1.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 1 vez em dois sorteios de 21 nomes de uma lista de 336 pessoas Sub-etapa 1.1.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 21 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p11 = =

==

2133620

335

)1X(P =33621 0,06250

Sub-etapa 1.1.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 1 vez em 2 sorteios dado o valor de p11.

p12 = P(Y=1) = =

−

11

336211

33621

12

0,11719

Essa probabilidade pode ser representada por 1,1x10-1, que eqüivale a uma chance em 8,5 que tal fato ocorra. Sub-etapa 1.2 Determinar a probabilidade de uma pessoa aparecer 3 vezes em oito sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 nomes. Sub-etapa 1.2.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p21 = =

==

3033629

335

)1X(P =33630 0,08929

Sub-etapa 1.2.2

34

Determinar a probabilidade de um nome aparecer 1 vez em 8 sorteios dado o valor de p21.

p22 = P(Y=1) = =

−

71

336301

33630

18

0,37115

Essa probabilidade pode ser representada por 3,7x10-1, que eqüivale a uma chance em 2,7 que tal fato ocorra. Ou 10 em 27 ocorrências. O produto de p12 e p22 fornece a probabilidade (p1) de um nome aparecer 1 vez em dois sorteios em amostras de tamanho 21 e uma vez em 8 sorteios em amostras de tamanho 30 de uma lista de 336 nomes. Encerrando a etapa 1. Então:

p1 = p12 x p22 = 0,04349 Essa probabilidade pode ser representada por 4,3 x 10-2, e eqüivale a uma chance em 23 de ocorrência. Etapa 2 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada 2 vezes em 10 sorteios de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas. Sub-etapa 2.1 Determinar a probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma amostra de 30 nomes de uma lista de 336 pessoas.

p’ = =

==

3033629

335

)1X(P =33630 0,089286

Sub-etapa 2.2 Determinar a probabilidade de um nome aparecer 2 vezes em 10 sorteios dado o valor de p’.

p2 = (X=2) = =

−

73

336301

33630

310

0,16976

Essa probabilidade pode ser representada por 1,7x10-1, que eqüivale a uma chance em 6 que tal fato ocorra. O cálculo dessa probabilidade encerra a etapa 2. Etapa 3 (final) Determinar a probabilidade de ocorrência de 10 vezes o resultado da Etapa 1 e 34 vezes o resultado da Etapa 2.

p3 = p110 x p2

34 = 1,01 x 10-54

35

Essa probabilidade também é raríssima. Eqüivale a uma chance em 9,9 x 1053, ou seja, uma vez em 99 seguido de 52 zeros.

36

3. VARIÁVEL ALEATÓRIA

3.1- VARIÁVEL ALEATÓRIA DEF. Uma variável X em um espaço de probabilidade (Ω, A , P) é uma função real definida no espaço Ω , tal que o evento [ X ≤ x ] é evento aleatório ∀ x ∈ R , isto é a função X : Ω → R é variável aleatória se o evento [ X ≤ x ] ∈ A , ∀ x ∈ R . EXEMPLO Seja uma família com duas crianças. a) Escreva todas as situações possíveis de ocorrer quanto ao sexo das crianças; b) Associe a cada situação possível um número real; A função X(ω) é uma variável aleatória. Associa a cada evento contido no espaço

amostral Ω um número real. c) O campo de variação de variável aleatória X é o conjunto 0, 1, 2 . DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A v.a X é chamada de DISCRETA quando o seu contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável, ou melhor, se existe um conjunto finito ou infinito enumerável x1, x2, x3, ... ⊂ R tal que X(ω) ∈ x1 , x2 , x3 , ... ∀ ω ∈Ω. DEF. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA A v.a X é chamada de CONTÍNUA quando o seu contradomínio é um conjunto infinito DEF. FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO OU FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA X A função distribuição ou função distribuição acumulada da v.a X é definida por FX(x)=PX(X ≤ x). PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO 1a.) A função distribuição da v.a X, FX(x) = PX(X ≤ x), é não decrescente, isto é, se x < y então FX(x) < FX(y). 2a.) A função distribuição da v.a X, FX(x) = PX(X ≤ x), é contínua à direita, isto é, se xn ↓ x ⇒ FX(xn) ↓ FX(x). 3a.) O valor da função distribuição da v.a X, FX(x) = PX(X ≤ x), em -∞ é Fx(-∞) = 0 e em ∞ é FX(∞) = 1, ou seja, se xn ↓ x ⇒ FX(xn) ↓ 0 e se xn ↑ x ⇒ FX(xn) ↑ 1. EXERCÍCIOS

37

3.1.1) Prove as três propriedades da função distribuição, f.d., ou seja FX é não-decrescente, contínua à direita e que F(- ∞) =0 e F( ∞) =1.

3.2 - FUNÇÃO DE PROBABILIDADE (f.p.) E FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.) Uma vez que uma v.a assume um valor do seu contradomínio com uma certa probabilidade tem-se que as probabilidades são associadas a valores da variável aleatória discreta por uma função de probabilidade (f.p.) e as probabilidades são associadas a intervalos de valores de uma variável aleatória contínua por uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). DEF. A função de probabilidade da v.a X, discreta, representada por P(X=x) = p(x) é

uma função tal que para X(ω) ∈ x1,x2,x3, ... ∀ω ∈ A, tem-se p(xi) ≥ 0 e p xii

( ) ==

∞

∑ 11

.

DEF. A função densidade de probabilidade da v.a X, contínua, representada por fX(x) é

uma função tal que fX(x) ≥ 0 e f x dx( ) =−∞

∞

∫ 1 e como a f.d. da v.a. X é P(X < x ) = FX(x)

= ∫∞−

x

dttf )( tem-se que f(x) = x

xFX

∂∂ )( .

DETERMINAÇÃO da DISTRIBUIÇÃO de PROBABILIDADE da v.a. X A distribuição de probabilidades de uma v.a. X fica determinada por qualquer das seguintes funções. Usa-se, geralmente, a mais apropriada. • A função distribuição FX; • A função de probabilidade P(X = x) = p(x); • A função densidade de probabilidade fx(x); • A função característica φX(x) = E(eitx).

3.2.1- Distribuição de Probabilidades Distribuição de Bernoulli Uma v.a X tem uma distribuição de Bernoulli com parâmetro θ quando assume apenas os valores 1 e 0 com probabilidade θ e (1-θ) respectivamente (1 em geral representa sucesso). EXEMPLOS: 1) Face de uma moeda: cara ou coroa. 2) Sexo de uma criança: masculino ou feminino 3) Qualidade de uma peça: perfeita ou defeituosa

38

A v.a X é chamada variável de Bernoulli e θ é a probabilidade de “sucesso” PX(x) = PX (X = x) = θ X (1-θ)1-x x = 0, 1 0 < θ < 1

Os parâmetros de uma variável de Bernoulli são:E X

V X( )

( ) ( )=

= −

θθ θ1

EXERCÍCIOS: 3.2.1.1) Qual a esperança e a variância da v.a X ~ b(1,1/4) Distribuição Binomial Uma v.a Y tem distribuição binomial com parâmetros n e θ quando assume valores no conjunto 0, 1, 2, 3, ... , n e a sua f.p. é dada pela expressão :

−==

−

=== −

)1()()(

)1()()(θθ

θθθ

nYVnYE

yn

yYPyP ynyYY

A v.a Binomial corresponde ao número de sucessos em n provas tipo Bernoulli, independentes. EXEMPLOS: 1) Y conta o número de meninos em uma família com n =5 crianças, com θ = ½ . 2) Y conta o número de peças defeituosas em um lote com n = 20 peças, com

probabilidade de defeitos θ = 0,001. 3) Y conta o número de alunos aprovados em Probabilidade I em uma turma com 90

alunos, com probabilidade θ = 70% = 0,70. EXERCÍCIOS:

3.2.1.2) Qual a esperança e a variância de uma v.a com distribuição binomial. 3.2.1.3) De um lote que contém 25 peças das quais 5 são defeituosas, são escolhidas 4 ao acaso. Seja Y o número de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Estabeleça a distribuição de probabilidade de Y, quando: a) As peças forem escolhidas com reposição; b) As peças forem escolhidas sem reposição; c) Calcule a esperança matemática de Y no experimento do item a; d) Calcule o desvio padrão de Y no experimento do item a. 3.2.1.4) Seja X uma v.a. Bernoulli com parâmetro θ = 0,80, ou seja , X assume o valor 1 com probabilidade igual a 0,80 e X assume o valor 0 com probabilidade igual a 0,20 . a) Escreva a expressão da f.p. da v.a. X; b) Calcule o desvio padrão de X. 3.2.1.5) Uma moeda honesta é lançada 5 vezes. a) Qual a probabilidade de ocorrer CARA na 1a. vez? b) Qual a probabilidade de ocorrer CARA na 2a. vez?

39

c) Os eventos “cara na 1a. vez” e “cara na 2a. vez” são de que tipo? d) Qual a probabilidade de ocorrer CARA exatamente 4 vezes nos 5 lançamentos? e) Qual a probabilidade de ocorrer CARA exatamente 2 vezes nos 5 lançamentos? f) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 caras nos 5 lançamentos? g) Qual a probabilidade de ocorrer no máximo 2 caras? h) Qual a probabilidade de ocorrer 1 ou 3 caras nos 5 lançamentos? 3.2.1.6) Seja X ~ b(10; 0,30 ). Calcule: a) P(X = 1); b) P(X = 2); c) P(X > 1); d) P(1 < X < 3); e) P(X ≤ 2); f) A esperança e o desvio padrão de X. Distribuição Hipergeométrica Uma v.a X tem uma distribuição chamada HIPERGEOMÉTRICA se a sua função de probabilidade é dada por:

P X x

Kx

N Kn x

Nn

X ( )= =

−−

x = 0, 1, 2, ... , n E(X) = n KN

⋅

K= 0, 1, 2, ... , N

n = 1, 2, 3, ... , N V(X) = n KN

N KN

N nN

⋅− −

− 1

N= 1, 2, 3, ...

EXERCÍCIOS

3.2.1.7) Retiram-se 4 cartas ao acaso de um baralho com 52 cartas, sem reposição. Seja a variável X que conta o número de reis na amostra.

a) Qual a distribuição da v.a. X? b) Calcule a probabilidade de não sair rei na amostra. c) Qual o número esperado de reis? d) Qual o desvio padrão da v.a. X?

3.2.1.8) Seja uma lagoa onde existam exatamente N peixes, sendo que deste total K peixes são de uma certa espécie. Uma rede é lançada e são pescados n peixes. Seja a variável X que conta o número de peixes da certa espécie pescados na rede. Qual a distribuição da variável X?

40

Distribuição de Poisson Uma v.a X tem uma distribuição de Poisson quando a sua f.p. é da forma:

P x

x

X x ex

( ) .!

= =−θ θ

x = 0,1,2,3,...

θ >0 A esperança e a variância de X são dadas por E(X) = µ = θ e V(X) = σ2 = θ EXERCÍCIOS 3.2.1.9) Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro θ =1. Calcule a probabilidade de que: a) Uma página qualquer contenha exatamente 1 erro; b) Uma página qualquer não contenha erros; c) Uma página qualquer contenha pelo menos 1 erro; d) Uma página qualquer contenha 2 ou 3 erros; e) No máximo 1 erro na página; f) Qual o número esperado de erros por página? g) Qual o desvio padrão do número de erros por página? 3.2.1.10) Seja X ~ P(2), portanto .2=θ Calcule: a) P )42( ≤≤ Xx ; b) PX )1( ≥X ; c) P )31( ≤≤ XX ; d) A esperança e a variância da v.a. X. 3.2.1.11) Um PBX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribuição de Poisson. a) Calcule a probabilidade de que o PBX não receba chamadas durante um intervalo de

1 minuto; b) Calcule a probabilidade de se obter no máximo 2 chamadas em 4 minutos; c) Calcule a probabilidade de se obter exatamente 2 chamadas em 4 minutos; d) Calcule a probabilidade de se obter no máximo 2 chamadas em 10 minutos; e) Qual o número esperado de chamadas em um período de 4 minutos? Distribuição Normal (Gaussiana)

Uma v.a X tem distribuição Normal ou Gaussiana quando a sua f.d.p. tem a forma:

fX(x) = 12

22 2

σ π

µ

σex

−−( )

x ∈ ℜ, µ ∈ ℜ e σ ∈ ℜ+

41

Na distribuição Normal a probabilidade da v.a X assumir um valor entre a e b (a < b) é

dado por: P(a ⟨ X ⟨ b) = f x dxa

b

( )∫

Como é difícil trabalhar-se com todos os membros da família Normal, prefere-se trabalhar com a Normal Reduzida ou Normal Padrão. Esta v.a é representada por Z e tem a seguinte f.d.p.

fZ(z) = 12

2

2

πe

z−

z ∈ ℜ

A distribuição de Z tem média e variância iguais a, respectivamente, µ = 0 e σ2 = 1 e essa v.a. é obtida da transformação Z = (X - µ)/σ, onde X ~ N(µ, σ2).

EXERCÍCIOS 3.2.1.12) Seja a v.a X ~ N (10,4). Calcule:

a) P(8 < X < 10), P(X ≥ 12), P(X ≤ 5) e P(11 < X < 13); b) Qual é a média e a variância da variável X; c) Calcule P(| X-10| ≤ 1); d) Calcule P(|X-5| ≤ 2) ; e) Calcule P(8 < X < 12).

3.2.1.13) O peso dos coelhos criados em uma granja pode muito bem ser representado por uma distribuição normal, com média de 5Kg e desvio-padrão de 0,8Kg. Um frigorífico comprará 5.000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: 20% dos mais leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15% seguintes como grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação? Distribuição Qui-quadrado

Uma v.a X tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade (G.L’S). Quando a sua f.d.p. é dada por:

f x

nn

xx n x e( )

( ). . .=

−−1

2

12

22

11

2

Γ x > 0

n ∈ N * e Γ( n2

) é o valor de função gama no ponto n2

( ∫∞

−−=Γ0

1)( dxexm xm ) m > 0 e no

caso de m inteiro tem-se Γ (m+1) = m! e Γ (m+21 ) = π

mm

2)12.......(5.3.1 −

A v.a Qui-quadrado tem por média o número de graus de liberdade (µ = n) e por variância duas vezes o número de graus de liberdade, σ2 = 2n. EXERCÍCIOS:

42

3.2.1.14) Seja X uma v.a com distribuição Qui-quadrado (X ~ χ 10

2 ) com 10 G.L’S., calcule:

a) P(X < 18,31); b) P(X > 18,31); c) P(X ≥ 6,74); d) P(3,25 )48,20≤≤ X ; e) P(3,94 )31,18≤≤ X ;

3.2.1.15) Seja X uma variável com distribuição qui-quadrado com 20 G.L’S. Determine:

a) P(8,26 )57,37≤≤ X ; b) P(9,59 )17,34≤≤ X ; c) P(X >23,83); d) P(X <34,17); e) Valor de X nas figuras que o professor desenhará no quadro negro.

3.2.1.16) Qual a esperança e a variância da v.a X. ~χ2

ν com o número de graus de liberdade ν = 15.

Distribuição “t” de Student

Sejam as variáveis Z ~ N(0,1) e U ~ χ2ν. Então a v.a. T = Z

Uν

é tem distribuição “t” de

Student com ν graus de liberdade. A v.a T tem média E(T) = µ = 0 e variância V(T) =

σ2 = 2−ν

ν , e é muito parecida com a Normal Padrão. Tem a variância um pouco maior.

EXERCÍCIOS

3.2.1.17) Se X ~ N( µ σ, )2 e se s nn

2 2

1=

−σ (variância amostral) é a estimativa de

σ 2 com base em uma amostra com n observações, então a variável T = Xs− µ tem

distribuição t n−1 ou seja T ~ tn-1. Neste caso, se o tamanho da amostra é n = 10, calcule: a) P(-2,23 )23,2≤≤ T ; b) P(T >2,76); c) P(-1,813 )813,1≤≤ T ; 3.2.1.18) Seja a v.a. T ~ t 20 ,calcule: a) P(T >2,53); b) P(T > 1,725); c) P(T < -2,53); d) P(T < -1,725).

43

Distribuição F de Snedecor

Seja U uma variável X m2 e V uma variável X n

2 . Então a variável X = U mV n

//

tem

distribuição F de Snedecor com m e n G.L’s. A esperança e a variância da v.a. X são

E(X) = µ = 2−n

n n > 2 e V(X) = σ2 = )4()2(

)2(22

2

−−

−+

nnmnmn . A f.d.p. da v.a. X é f(x) =

2/)(

2/)2(2/

])/(1[)(

)2/()2/(]2/)[(

nm

mm

xnmx

nm

nmnm

+

−

+ΓΓ+Γ x > 0 e m, n = 1,2,3, .......

EXERCÍCIOS 3.2.1.19) Escreva a f.d.p. da v.a X, que tem distribuição Fm,n com m = 10 e n = 5 g.l’s. 3.2.1.20) Escreva a esperança e a variância da v.a do exercício anterior. 3.2.1.20A) Qual a esperança e variância da v.a. Y ~ F30, 5? EXERCICIOS: 3.2.1.21) A distribuição da v.a X que corresponde ao tamanho de sementes utilizadas na dieta de uma espécie particular de pardal, segue aproximadamente a distribuição Normal com média 1,5mm e variância 0,99. Calcule P(X ).9,1≥ 3.2.1.22) Suponha que a v.a. que representa o valor do Q.I. siga uma distribuição Normal, em uma população definida, com média 100 e desvio padrão 15.Qual a proporção da população que terá Q.I. menor do que 90? Qual proporção da população que terá Q.I. maior do que 145? E qual será a proporção daqueles que terão Q.I. entre 120 e 140? Distribuição Uniforme no intervalo (a, b) A variável U tem distribuição Uniforme no intervalo (a, b) se a sua f.d.p. é dada por

fU ( )ub a

=−1 . A média e a variância dessa v.a são dadas, respectivamente por: E(U) =

µ = (a+b)/2 e V(U) = σ2 = (b-a)2/12. EXERCÍCIOS 3.2.1.23) Qual a média e a variância da distribuição Uniforme no intervalo (10, 30)? 3.2.1.24) Escreva a f.d.p. da v.a U ~ U(0,1). Para que serve especificamente essa distribuição? Qual a sua média e sua variância?

44

3.2.1.25) Esboce o gráfico da f.d. da v.a Y ~ b(4, ½). 3.2.1.26) Esboce o gráfico da f.d. de uma v.a X contínua, qualquer. 3.2.1.27) Seja Y = F(x) a f.d. da v.a X. Mostre que Y ~ U (0,1). 3.2.1.28) Seja X ~ b(1, ¼). Escreva a f.p. de X e mostre que P(X = x) é realmente uma

f.p. 3.2.1.29) Verifique se f(x), abaixo, é realmente uma f.d.p. e faça o gráfico de f(x). f(x) = abxb-1 baxe − x ∈ R+ a, b ∈ R+ (Weibull). Distribuição Exponencial com Parâmetro θ A v.a. X tem distribuição Exponencial com parâmetro θ se a sua f.d.p. é dada por f(x) = θe-θx x > 0 θ > 0. A média e a variância dessa v.a são dadas, respectivamente por: E(X) = µ = 1/θ e V(U) = 1/θ2. EXERCÍCIOS 3.2.1.30) Seja a v.a X que tem distribuição Exponencial com parâmetro θ, X ~ ε (θ).

a) Escreva a f.d.p. da v.a X; b) Determine a f.d. de X; c) Determine se realmente f(x) é f.d.p e F(x) é f.d. d) Determine a esperança e a variância da v.a X; e) Faça o gráfico da f.d.p de X e da f.d. de X;

3.2.1.31) Suponha uma caixa com D peças defeituosas e N-D peças perfeitas. Sejam os experimentos seguintes:

1) Extrair n<N peças da caixa com reposição das peças;

2) Extrair n<N peças da caixa sem reposição das peças. Seja a v.a X que conta o número de peças defeituosas presente na a.a. a) Qual a distribuição de probabilidade de X quando se faz o experimento um? b) Qual a distribuição de probabilidade de X quando se faz o experimento dois? 3.2.1.32) Seja a v.a X com densidade fX(x) e seja a v.a Y = bX+c, onde b > 0 e c ∈ R.

Então a v.a Y tem densidade fY(y) = 1b

fX ( )y cb− y ∈ R. Prove esta proposição.

3.2.1.33) Qual o nome que é dado para cada um dos parâmetros c e b? 3.2.1.34) Verifique se a função f(x) = 1 com o intervalo [0,1] como contradomínio da v.a. X é f.d.p. (distribuição Uniforme(0, 1)).

45

3.2.1.35) Verifique se a função f(x) = θe-θx com x > 0 é f.d.p. (Exponencial com parâmetro θ).

3.2.1.36) Verifique se a função f(x) = β21 e-

βα || −x

com x ∈ R, α ∈ R e β ∈ R+ é f.d.p.

(distribuição de Laplace ou exponencial dupla).

3.2.1.37) Verifique se a função f(x) = πσ 2

1x

e- 22

))(ln(2

1 µσ

−x com x ∈ R+, µ ∈ R e σ

∈ R+ é f.d.p. (distribuição Lognormal). 3.2.1.38) A v.a. Z tem distribuição de probabilidade conhecida como Normal Padrão ou

seja Z ~ N(0,1) se a sua f.d.p. é f(z) = π2

1 e- 2

21 z z ∈ R. Prove que f(z) realmente é

uma f.d.p. 3.2.1.39) Um resultado muito importante na geração de números aleatórios é o seguinte: “Seja Y = FX(x) a f.d. da v.a. X, então Y tem distribuição Uniforme 0-1, ou seja, Y ~ U(0,1)”. a) Prove este resultado. b) Faça o gráfico de Fx(x) e também de f(y). 3.2.1.40) Seja o experimento onde se conta o número de provas Bernoulli até a ocorrência do primeiro sucesso (inclusive). Esse experimento pode ser, p.ex., aquele onde se está interessado no número de amostras a serem tomadas de um processo produtivo até que ocorra da média amostral ficar fora dos limites de controle do processo. Suponha que a probabilidade de sucesso seja θ. a) Escreva o contradomínio da v.a. X que conta o número de provas até o sucesso; b) Escreva a f.p. da v.a. X e o nome da distribuição dessa v.a.; c) Verifique se a função que você escreveu no item anterior é realmente uma f.p.; 3.2.1.41) Seja X uma v.a. que tem distribuição Bernoulli com parâmetro θ, ou seja, X ~ b(1, θ). a) Escreva a f.p. da v.a. X; b) Verifique se a função do item anterior é realmente uma f.p.; c) Faça o gráfico de p(x). 3.2.1.42) Seja Y uma v.a. que conta o número de sucessos em n provas do tipo Bernoulli. A distribuição dessa v.a. é conhecida como Binomial n - θ, ou seja, Y ~ b(n, θ). a) Escreva a f.p. da v.a. Y; b) Prove que a função que você escreveu é realmente uma f.p.

3.2.1.43) Seja a função definida por f(x) = <<−−

ccxx/0

20|1|1 .

46

a) Verifique se a função f(x) é realmente uma f.d.p.; b) Faça o gráfico de f(x). 3.2.1.44) Seja Y uma v.a. com distribuição Uniforme no intervalo (a, b). a) Escreva a f.d.p. de Y; b) Verifique se a função que você escreveu é realmente f.d.p.; c) Determine a f.d. de Y; d) Verifique se a função que você determinou é realmente f.d.; e) Determine a f.d.p. de Y a partir da f.d. F(y); f) Faça os gráficos: da f.d.p e da f.d. de Y. 3.2.1.45) Seja X uma v.a. com distribuição Exponencial com parâmetro θ. a) Escreva a f.d.p. da distribuição da v.a. X; b) Verifique se a função que você escreveu é realmente uma f.d.p.; c) Determine a f.d. da v.a. X; d) Verifique se a função que você determinou, em c, é realmente f.d.; e) Faça os gráficos: de f(x) e de F(x). 3.2.1.46) Suponha uma caixa com D peças defeituosas e N – D peças perfeitas. Sejam os experimentos seguintes: 10.) Extrair n < N peças da caixa com reposição da peça anteriormente extraída; 20.) Extrair n < N peças da caixa sem reposição da peça anteriormente extraída. Seja a v.a. X que conta o número de peças defeituosas presentes na amostra aleatória. a) Qual a distribuição de X quando se faz o 10. experimento? Determine a f.p.; b) Qual a distribuição de X quando se faz o 20. experimento? Determine a f.p.; c) Verifique se a função do item a é realmente f.p.; d) Verifique se a função do item b é realmente f.p. 3.2.1.47) Um lago possui N peixes, sendo K de certa espécie. Um pescador está autorizado a pescar 5 peixes com anzol. a) Qual a probabilidade do pescador pescar exatamente um peixe da tal espécie? b) Qual a probabilidade do pescador não pescar peixes da tal espécie? 3.2.1.48) Diz-se que o vetor X’ = [X1, X2, ..... , Xk] tem distribuição multinomial com

parâmetros p1, p2, ... ,pk e n onde pi ∈ (0,1) e ∑=

k

iip

1

= 1 se p(x1,x2, ... xn) = P(X1 = x1, X2

= x2, .... , Xk = xk) = kxk

xx

kppp

xxxn .....

!!......!! 21

2121

para toda escolha de x1, x2, ... ,xk inteiros

não-negativos e independentes tais que ∑=

k

iix

1

= n.

47

a) Jogando-se um dado 12 vezes, qual a probabilidade de se obter exatamente uma vez a face 1, duas vezes a face 2, três vezes a face 3, uma vez a face 4, duas vezes a face 5 e três vezes a face 6?

b) Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor e repõe-se a bola de volta na caixa. Determine a probabilidade de que, de 6 bolas extraídas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e uma azul.

c) Prove de acordo com o enunciado do problema que Xi ~ b(12, pi).

3.3. ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

3.3.1. Definições DEF. Seja uma variável aleatória X, discreta, que assume valores no conjunto x1, x2, x3, ... , . Chamamos VALOR MÉDIO ou ESPERANÇA MATEMÁTICA de X ao valor:

µ = = ⋅ = ⋅ ==

∞

=

∞

∑∑E X x P x x P X xi X i i X iii

( ) ( ) ( )11

DEF. Chamamos VARIÂNCIA da v.a X ao valor:

σ [ ] [ ] [ ]∑ ∑= =

=⋅−==⋅−=−==n

i

n

iiXiiXi xXPxxXPXExXEXEXV

1 1

2222 )()()()()( µ

DEF. A raiz quadrada da variância da v.a X é denominada desvio-padrão da v.a X, σ = V X( )

Uma relação muito importante é [ ]V X E X E X( ) ( ) ( )= −2 2 , onde

E X x P X xi ii

n

( ) ( ).2 2

1

= ⋅ ==∑

Da mesma forma, se a v.a é contínua tem-se a esperança de X dada por

E X xf x dx( ) ( )= =−∞

∞

∫µ e a variância por E(x-µ)2 = σ2 = ( ) ( )x f x dx−−∞

∞

∫ µ 2

É importante observar que a variância mede a dispersão (espalhamento) dos dados em torno da média µ = E(X) e o desvio-padrão faz isto também, mas na mesma unidade de medida dos dados. DEF. Se as v.a’s X e Y não são independentes, existe uma diferença entre E(X.Y) e E(X).E(Y), esta diferença é chamada de covariância e definida por cov(X,Y) = E[(X-E(X)).(Y-E(Y))] e se cov(X,Y) = 0, as v.a’s são chamadas de não-correlacionadas. DEF. A covariância entre as v.a’s X e Y padronizadas é chamada de coeficiente de

correlação ρ = E[( X E X Y E Y

x y

− −( ) )( ( )σ σ

)]

EXERCÍCIOS 3.3.1) Mostre que:

48

a) cov(X,Y) = E(X.Y) - E(X).E(Y) sugestão: b) ρ é realmente covariância entre v.a’s padronizadas; c) -1 ≤ ρ ≤ 1 d) ρ(X,Y) = 1 se e somente se P(Y = aX+b) = 1 ∀a > 0 e ∀b ∈ R. e) ρ(X,Y) = -1 se e somente se P(Y = aX+b) = 1 ∀a < 0 e ∀b ∈ R. 3.3.2) Seja X uma variável de Bernoulli, ou seja, X = 1 com probabilidade θ e X = 0 com probabilidade 1 - θ. a) Escreva a f.p. da variável X; b) Determine a esperança matemática de X; c) Determine a variância de X. 3.3.3) Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara 3 vezes mais freqüentemente que coroa. Essa moeda é jogada 3 vezes; seja Y o número de caras que aparece. a) Estabeleça a distribuição de probabilidade (f.p.) de Y. b) Estabeleça a Função Distribuição (f.d.). c) Construa os gráficos dessas funções. d) Determine a esperança (média) e a variância da variável. e) Determine o desvio-padrão da v.a. 3.3.4) Uma sacola contém 3 moedas de prata e 1 de ouro. Retiram-se sucessivamente 3 moedas da sacola com reposição, olhando se ela é de prata ou de ouro. a) Descreva o espaço amostral Ω do experimento. b) Seja a variável aleatória X(ω) que associa com um número real a quantidade de

moedas de ouro ocorridas no experimento, quais os valores que X(ω) pode assumir? c) A variável X é discreta ou contínua, por quê? d) Escreva na tabela anterior uma coluna com a distribuição de probabilidade da

variável X (Função de Probabilidade). e) Faça o gráfico da função de probabilidade. f) Escreva na tabela anterior uma coluna com a Função Distribuição da variável X. g) Faça o gráfico da f.d. h) Calcule a esperança e a variância da variável X. i) Calcule o desvio-padrão da variável X. 3.3.5) Seja uma família com 4 crianças e seja a variável X que é associada a um número de crianças com olhos azuis na família. Sabe-se que nesta família a probabilidade de crianças com olhos azuis é de ¼. a) Calcule a probabilidade de não existir crianças com olhos azuis na família, ou de

uma criança com olhos azuis, ou duas crianças, ou três crianças, ou quatro crianças. b) Escreva a função de probabilidade da variável x, PX, e a função distribuição. c) Calcule a esperança e a variância de X. d) Calcule o desvio-padrão de X. 3.3.6) Classifique as variáveis abaixo relacionadas em discreta ou contínua: a) A variável X correspondente ao número de filhos de um casal, 0, 1, 2, 3,... b) A variável Y correspondente à altura de uma pessoa adulta c) A variável E correspondente ao erro de uma medida física d) A variável W correspondente ao número de pessoas que chegam em casa às 9h e) A variável T correspondente ao tempo de espera em fila de banco f) A variável Z correspondente à duração de uma lâmpada elétrica

49

3.3.7) Prove a relação V(X) = E(X2) - [E(X)]2, para o caso de X ser uma v.a contínua. 3.3.8) Enuncie e demonstre as principais propriedades de Esperança Matemática. 3.3.9) Enuncie e demonstre as principais propriedades de variância. 3.3.10) A definição de Esperança Matemática em termos da integral de Stieltjes é E(X)

= ∫∞

∞−

)(xxdFX = ∫∞

∞−

dxxxf )( . Prove a seguinte proposição: E(X) = ∫∞

−0

)](1[ dxxF - ∫∞−

0

)( dxxF .

3.3.11) A proposição do exercício 3.3.10 tem um corolário muito importante, que é: “se a v.a. X assume apenas valores não-negativos, ou seja, X(ω) > 0 ∀ω ∈ Ω, então F(x) =

0 para x < 0” e ∫∞

−0

)](1[ dxxF = ∫∞

>0

)( dxxXP . Prove o corolário.

3.3.12) Determine a esperança da v.a. X ~ E(θ) partindo do corolário enunciado anteriormente. 3.3.13) A proposição do exercício 3.3.10 tem um segundo corolário também muito importante, que é: “se a v.a. X assume apenas valores não-negativos, ou seja, X(ω) > 0

∀ω ∈ Ω, então F(x) = 0 para x < 0 e E(X) = ∑∞

=

>0

)(x

xXP = ∑∞

=

≥1

)(x

xXP . Prove este

segundo corolário. 3.3.14) Seja a v.a. X com distribuição Geométrica, ou seja, X ~ G(θ). a) Determine a esperança de X usando o corolário enunciado acima; b) Determine a esperança de X usando a forma clássica. 3.3.15) Dada a f.d.p. f(x) = 1 com o intervalo [0,1] como contradomínio de X. Determine: a) A esperança de X; b) A variância de X; c) A esperança de X2; d) O desvio padrão de X.

3.3.16) Dada a v.a. X com f.d.p. f(x) = β21 e-

βα || −x

com x ∈ R, α ∈ R e β ∈ R+ é f.d.p.

(distribuição de Laplace ou exponencial dupla). Determine: a) A esperança de X; b) A variância de X; c) O desvio padrão de X.

50

3.3.17) Dada a v.a. X com f.d.p. f(x) = πσ 2

1x

e- 22

))(ln(2

1 µσ

−x com x ∈ R+, µ ∈ R e σ

∈ R+ é f.d.p. (distribuição Lognormal). Determine: a) A esperança de X; b) A variância de X; c) O desvio padrão de X. 3.3.18) A v.a. Z tem distribuição de probabilidade conhecida como Normal Padrão ou

seja Z ~ N(0,1) se a sua f.d.p. é f(z) = π2

1 e- 2

21 z z ∈ R. Determine:

a) A esperança de Z; b) A variância de Z; c) O desvio padrão de Z. 3.3.19) Uma v.a. X tem distribuição Normal ou Gaussiana, ou seja, X ~ N(µ, σ2). Determine: a) A esperança de X; b) A variância de X; c) O desvio padrão de X.

3.3.20) Seja a v.a. com f.d.p. definida por f(x) = <<−−

ccxx/0

20|1|1 .

a) Calcule a esperança de X; b) Calcule a variância de X; c) Calcule o desvio padrão de X. 3.3.21) Seja Y uma v.a. com distribuição Uniforme no intervalo (a, b). a) Calcule a esperança de Y; b) Calcule a variância de Y; c) Calcule o desvio padrão de Y. 3.3.22) Seja X uma v.a. com distribuição Poisson com parâmetro θ. a) Calcule a esperança de X; b) Calcule a variância de X; c) Calcule o desvio padrão de X. 3.3.23) Suponha uma caixa com D peças defeituosas e N – D peças perfeitas. Sejam os experimentos seguintes: 10.) Extrair n < N peças da caixa com reposição da peça anteriormente extraída; 20.) Extrair n < N peças da caixa sem reposição da peça anteriormente extraída. Seja a v.a. X que conta o número de peças defeituosas presentes na amostra aleatória. a) Determine a esperança de X quando se faz o 10. experimento;

51

b) Determine o desvio padrão de X quando se faz o 10. experimento; c) Determine a esperança de X quando se faz o 20. experimento; c) Determine o desvio padrão de X quando se faz o 20. experimento. 3.3.24) Seja a v.a. X relacionada ao tempo de espera entre ocorrências de um Processo de Poisson com parâmetro θ. Qual a distribuição de probabilidade dessa v.a.? 3.3.25) Seja a v.a. Y relacionada ao número de provas tipo Bernoulli até a ocorrência de sucesso (“tempo” de espera até a ocorrência do sucesso). Qual a distribuição de probabilidade dessa v.a.? 3.3.25) Seja X uma v.a. com distribuição Gama com parâmetros α e β ou seja, X ~ Γ(α,β). a) Escreva a f.d.p. de X; b) Determine a esperança e a variância de X; c) Mostre a condição para a qual a Gama torna-se uma Exponencial; d) Mostre as condições para as quais a Gama torna-se uma Qui-quadrado (na verdade

tanto a Exponencial quanto a Qui-quadrado são membros da ilustre família Gama). 3.3.26) Uma v.a. X tem distribuição Logística se a sua f.d. tem a forma F(x) =

βα )(

1

1−

−+

x

e

x ∈ R, α ∈ R e β > 0.

a) Obtenha a f.d.p. de X; b) Determine a média e a variância de X; c) Verifique se a f.d.p. é simétrica em torno de algum valor;

3.3.27) Uma v.a. X tem distribuição de Pareto se a sua f.d.p. tem a forma f(x) = 1

0+θ

θ

xθx

x > x0 e θ > 0. a) Prove que f(x) é uma f.d.p.; b) Determine a f.d. de X; c) Determine a E(X); d) Determine o desvio padrão σ = )(XV .