GUIDG.COM 1 19/6/2012 – CDI-2: Resumo dos Teoremas de Séries Infinitas. Tags: Séries infinitas, Séries, Resumo de Séries, Definições, Critérios de Convergência, Testes de Séries infinitas, Teoremas, Propriedades, Colorários, Séries Convergentes e Divergentes, Condicionalmente Convergente e Absolutamente Convergente...

Este resumo foi escrito para alunos que já cursaram ou estão cursando a disciplina de Cálculo II. O objetivo é por os teoremas mais importantes em mãos numa linguagem clara e rápida. No entanto o aluno que usar este resumo deve demonstrar ou ao menos ver a demonstração dos teoremas abaixo, a fim de esclarecer todos os detalhes e as conclusões. Bibliografia: Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 2; Apostila de Cálculo Diferencial e Integral II (Udesc-CCT)

Série infinita. Seja an :N

C

QR uma seqüência numérica. Denomina-se série infinita, a soma de todos os infinitos termos dessa seqüência, e denota-se por:

Xn = 1

+1

an = a1 + a2 + a3 + …+ an + …

Os números a1 , a2 , a3 , … , an , … são chamados de termos da série infinita. an é chamado também de termo geral da série, ou n-ésimo termo da série. Soma parcial e Seqüência de somas parciais.

Seja a série Xn = 1

+1

an , então a soma dos k primeiros termos desta série, é dada por...

S k =Xn = 1

k

an = a1 + a2 + a3 + …+ ak

...e é denominada soma parcial da série dada. Note que as somas... S1 = a1

S 2 = a1 + a2 = S1 + a2

S 3 = a1 + a2 + a3 = S 2 + a3

S 4 = a1 + a2 + a3 + a4 = S 3 + a4

… = …S k = S k@ 1 + ak

...formam uma seqüência, denominada seqüência de somas parciais. Soma de uma série, Série Convergente e Série Divergente.

Seja Xn = 1

+1

an uma série infinita e S k a seqüência de somas parciais desta série.

Então se existir o limkQ +1

S k e for igual a S , dizemos que a série dada é convergente, sendo S a soma

desta série. Mas se não existir o lim

kQ +1S k , então a série será divergente e não terá uma soma.

GUIDG.COM 2 Permanência de Caráter.

I) Seja a série infinita Xn = 1

+1

an , podemos multiplicar a série por uma constante c , e adicionar ou subtrair

um número finito de termos da série que seu caráter divergente ou convergente permanecerá inalterado.

II) Se Xn = 1

+1

an for uma série convergente, e S n a soma parcial dos termos desta série, então o produto de

uma constante c pela série, é o produto de c pela soma desta série:

c AXn = 1

+1

an = c A S n .

A série resultante permanece convergente, e a soma agora multiplicada por c .

III) Se Xn = 1

+1

an for uma série convergente de termos positivos, seus termos podem ser agrupados de

qualquer maneira, e a série resultante permanecerá convergente e com a mesma soma que a série inicial.

IV) Se Xn = 1

+1

an for uma série convergente de termos positivos, a ordem dos termos pode ser rearranjada

de qualquer maneira, e a série resultante permanecerá convergente e com a mesma soma que a série inicial. Propriedades.

Seja Xn = 1

+1

an uma série convergente e Xn = 1

+1

bn uma série divergente, então a série Xn = 1

+1

an + bn

b c

será

divergente.

Se ambas as séries forem convergentes, então a série Xn = 1

+1

an + bn

b c

será convergente.

Mas se ambas forem divergentes, a série Xn = 1

+1

an + bn

b c

pode ou não ser convergente.

Séries Especiais. I) Série geométrica: É a série que pode ser escrita na forma:

Xn = 1

+1

c A rn@ 1 = c + cr + cr2 + …+ crn@ 1 + …

c é uma constante, e r é a razão. A série geométrica é divergente se r

L

L

M

M≥ 1 . A série geométrica é convergente se r

L

L

M

M< 1 .

Se rL

L

M

M< 1 , a soma da série geométrica é Xn = 1

+1

c A rn@ 1 = c1@ rfffffffffffffff .

GUIDG.COM 3 II) Séries p: Harmônica e Hiper-harmônica.

São as séries escritas na forma Xn = 1

+1 1n pfffffff , onde p é uma constante.

Se p = 1 temos Xn = 1

+1 1nffff . Esta é a série Harmônica, e ela é divergente.

Se p < 1 , a série p é divergente. Se p > 1 , a série p é convergente. Séries de termos de sinais quaisquer: São as séries formadas por termos positivos e negativos. As Séries Alternadas são casos particulares das séries de termos de sinais quaisquer, por seguirem um padrão de alternância de sinais. Seja an > 0 8 n 2 N

C

. Denominamos série alternada às séries dos tipos:

Xn = 1

+1

@1` an + 1

an = a1@ a2 + a3@ a4 + …+ @1` an + 1

an + …

Xn = 1

+1

@1` an

an =@ a1 + a2@ a3 + a4@…+ @1` an

an + …

Condição necessária para a convergência:

Se Xn = 1

+1

an for uma série convergente, então limn Q +1

an = 0 .

Teste da Divergência: Seja a série Xn = 1

+1

an .

Se limn Q +1

an ≠ 0 então a série é divergente.

Se lim

n Q +1an = 0 a série pode ou não ser convergente.

Teste da Integral: Seja a Série Xn = 1

+1

an , tomando an = f n` a

, então a função deve ser:

Contínua, Positiva e Decrescente 8 n 2 N

C

.

Se a integral imprópria Z1

+1

f n` a

dn convergir então a série será convergente.

Se a integral divergir, então a série será divergente.

GUIDG.COM 4 Teste da Comparação.

Sejam Xn = 1

+1

an e Xn = 1

+1

bn séries de termos positivos.

I) Se Xn = 1

+1

bn for uma série convergente e 0 ≤ an ≤ bn 8 n 2 NC

, então a série Xn = 1

+1

an será

convergente.

II) Se Xn = 1

+1

bn for uma série divergente e an ≥ bn ≥ 0 8 n 2 NC

, então a série Xn = 1

+1

an será divergente.

Teste das séries alternadas (Teste de Leibniz).

Considere a série alternada Xn = 1

+1

@1` an

an ou Xn = 1

+1

@1` an + 1

an , com an > 0 .

I) Se an > an + 1 > an + 2 > … isto é a seqüência é decrescente 8 n 2 NC

. II) E o lim

n Q +1an = 0 .

Então a série alternada é convergente. Convergência Absoluta e Condicional.

Seja Xn = 1

+1

an uma série de termos de sinais quaisquer, então:

I) Se Xn = 1

+1

an

L

L

M

M é convergente, a série Xn = 1

+1

an também será convergente, e é denominada absolutamente

convergente.

II) Se Xn = 1

+1

an

L

L

M

M for divergente, nada podemos concluir sobre Xn = 1

+1

an sem estuda-la.

III) Se Xn = 1

+1

an for convergente e Xn = 1

+1

an

L

L

M

M for divergente, então a série é denominada condicionalmente

convergente.

GUIDG.COM 5 Teste da Razão e Teste da Raiz. * São testes que possuem as mesmas conclusões (e com demonstrações semelhantes) e podem ser aplicados em séries de termos positivos e séries de termos de sinais quaisquer, bastando verificar qual teste é adequado ao caso. Teste da Razão:

Seja Xn = 1

+1

an uma série infinita, com an > 0 8 n 2 N e limn Q +1

an + 1

an

ffffffffffffffL

L

L

L

L

M

M

M

M

M

= L .

Teste da Raiz:

Seja Xn = 1

+1

an uma série infinita, com an > 0 8 n 2 N e limn Q +1

an

L

L

M

M

nqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= L .

Conclusões: I) Se L < 1 , a série é convergente / absolutamente convergente. II) Se L > 1 , a série é divergente. III) Se L = 1 , nada podemos concluir.