cdi 1 tabela geral de derivadas
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GUIDG.COM 1 28/7/2012 – Tabela geral de derivadas Tags: Resumo informal dos principais teoremas e regras gerais de diferenciação, revisões de teorias, definições, propriedades, exemplos...
t, u, v são funções deriváveis de x ; a, b, c são constantes ; e ≈ 2,718 , lnu = logeu
1 y = f g x` a
b c
= f N g x` a
[ y. = f N gb c
. x` a
= f . g x` a
b c
Ag. x` a
oudydxffffffff= dy
duffffffffAdudxffffffff
# y = f (x) y'=f ' (x) # y = f (x) y'=f ' (x)
2 c 0 3 x 1
4 a.u a.u' 5 u + v u' + v'
6 u.v u'.v + u.v' 7 uvffff u. A v@uA v .
v2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
8 ua , a ≠ 0 a . u a – 1. u' 11 t u , t > 0 u .t u – 1. t' + u' . t u . ln t
9 au , 0 < a ≠ 1 u' . a u . ln a 12 lnu u.ufffffffffffff
10 e u e u. u' 13 loga
u u.ufffffffffffffA log
ae
14 sen u cos u . u 26 senh u cosh u . u' 15 cos u – sen u . u' 27 cosh u senh u . u'
16 tg u sec² u . u' 28 tgh u sech² u . u'
17 cotg u – csc² u . u' 29 cotgh u – csch² u . u'
18 sec v sec v . tg v . v' 30 sech v – sech v . tgh v . v' 19 csc v – csc v . cotg v . v' 31 csch v – csch v . cotgh v . v'
20 arc sen u u.
1@u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff 32 arg senh u
u.
1 + u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff
21 arc cos u @u.
1@u2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff 33 arg cosh u
u.
u2@1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff , u> 1
22 arc tg u u.
1 + u2ffffffffffffffffff 34 arg tgh u
u.1@u2fffffffffffffffffff , |u | < 1
23 arc cotg u @u.
1 + u2ffffffffffffffffff 35 arg cotgh u
u.1@u2fffffffffffffffffff , |u | > 1
24 arc sec v , |v | ≥ 1 v .
vL
L
M
M v2@1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffff, |v | > 1 36 arg sech v
@ v .
v 1@ v2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffff , 0 <v < 1
25 arc csc v , |v | ≥ 1 @ v .
vL
L
M
M v2@1qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffff, |v | > 1 37 arg csch v
@ v .
|v | 1 + v2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwffffffffffffffffffffffffffffffffffffff , v ≠ 0
* Tabela de derivadas elementares considerando a regra da cadeia. ** O nome de cada regra pode ser visto na seção três do sumário.
GUIDG.COM 2
Sumário
1 CONCEITOS BÁSICOS....................................................................................................................................................3 1.1 Inclinação da reta secante............................................................................................................................................3 1.2 Derivada ......................................................................................................................................................................3 1.3 Notações para a derivada.............................................................................................................................................4 1.4 Equação da reta tangente.............................................................................................................................................4 1.5 Condição de paralelismo .............................................................................................................................................5 1.6 Condição de perpendicularismo (condição de ortogonalidade)...................................................................................5
2 DEFINIÇÕES E TEOREMAS ..........................................................................................................................................6 2.1 Continuidade da função...............................................................................................................................................6 2.2 Continuidade de funções deriváveis............................................................................................................................6 2.3 Derivadas laterais ........................................................................................................................................................6 2.4 Equação da reta normal à curva no ponto ...................................................................................................................7 2.5 Derivada da função inversa .........................................................................................................................................7
3 REGRAS DE DERIVAÇÃO..............................................................................................................................................9 3.1 Derivada da função composta (regra da cadeia)..........................................................................................................9 3.2 Derivada de uma constante .........................................................................................................................................9 3.3 Derivada de funções polinomiais de primeiro grau.....................................................................................................9 3.4 Derivada de um produto por uma constante..............................................................................................................10 3.5 Derivada da soma......................................................................................................................................................10 3.6 Derivada do produto..................................................................................................................................................10 3.7 Derivada do quociente...............................................................................................................................................10 3.8 Função exponencial (expoente constante).................................................................................................................10 3.9 Função exponencial (base constante, expoente funcional)........................................................................................10 3.10 Função exponencial (base natural, expoente funcional)............................................................................................10 3.11 Função exponencial composta...................................................................................................................................10 3.12 Função logaritmo natural ..........................................................................................................................................10 3.13 Função logarítmica (base qualquer) ..........................................................................................................................10 3.14 Função seno...............................................................................................................................................................11 3.15 Função co-seno..........................................................................................................................................................11 3.16 Função tangente ........................................................................................................................................................11 3.17 Função co-tangente ...................................................................................................................................................11 3.18 Função secante ..........................................................................................................................................................11 3.19 Função co-secante .....................................................................................................................................................11 3.20 Função arco seno.......................................................................................................................................................12 3.21 Função arco co-seno..................................................................................................................................................12 3.22 Função arco tangente.................................................................................................................................................12 3.23 Função arco co-tangente............................................................................................................................................12 3.24 Função arco secante ..................................................................................................................................................12 3.25 Função arco co-secante .............................................................................................................................................12 3.26 Função seno hiperbólico............................................................................................................................................13 3.27 Função co-seno hiperbólico ......................................................................................................................................13 3.28 Função tangente hiperbólica......................................................................................................................................13 3.29 Função co-tangente hiperbólica.................................................................................................................................13 3.30 Função secante hiperbólica .......................................................................................................................................13 3.31 Função co-secante hiperbólica ..................................................................................................................................13 3.32 Função argumento seno hiperbólico..........................................................................................................................13 3.33 Função argumento co-seno hiperbólico.....................................................................................................................13 3.34 Função argumento tangente hiperbólica....................................................................................................................13 3.35 Função argumento co-tangente hiperbólica...............................................................................................................13 3.36 Função argumento secante hiperbólica .....................................................................................................................13 3.37 Função argumento co-secante hiperbólica ................................................................................................................13
4 REVISÕES DE TEOREMAS E NOTAÇÕES...............................................................................................................14 4.1 Derivadas Sucessivas (derivadas de ordem superior)................................................................................................14 4.2 A derivada num ponto ...............................................................................................................................................14 4.3 Acrécimos (incrementos) ..........................................................................................................................................15 4.4 Diferencial.................................................................................................................................................................15 4.5 Diferenciação sucessiva (diferencial de ordem superior)..........................................................................................16 4.6 Aproximação linear local ..........................................................................................................................................17 4.7 Taxa de variação .......................................................................................................................................................18
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .. ...............................................................19
GUIDG.COM 3 1 CONCEITOS BÁSICOS
Um dos problemas ao se estudar a derivada, é que todo o estudo se fundamenta em conceitos de limites, então este conhecimento é necessário. Você pode fazer uma breve revisão utilizando a “Tabela de Limites” e quando houver duvidas quanto aos símbolos use o arquivo “Notação Matemática”. Feito isso, novos símbolos serão introduzidos, fique atento. Faremos o máximo possível para alertá-lo das diferenças entre os símbolos que parecem ter o mesmo significado, porém ficam só de aparência e na verdade são completamente diferentes. Recomendamos utilizar esta tabela acompanhada de um livro para auxilia-lo nos estudos. 1.1 Inclinação da reta secante
m = tanα =y2@ y1
x2@ x1
fffffffffffffffffffffff= ∆y∆xfffffffff
Sejam A( x1, y1 ) e B( x2, y2 ) dois pontos quaisquer distintos no plano cartesiano, então o segmento AB defini uma reta, tal que a inclinação da reta (m) relativa ao eixo x é dado pelo quociente ∆y sobre ∆x . ∆y = y2 − y1 ∆x = x2 − x1 Se o segmento AB for paralelo ao eixo y , então não existe m . * Em diferenciais, entraremos numa nova definição. 1.2 Derivada
A partir de 1.1 , admita que os dois pontos A e B fazem parte de uma função f (uma curva por exemplo), então se fizermos B se aproximar a A de maneira que a inclinação da reta AB tenda a um valor limite constante, chamamos este valor de inclinação da reta tangente no ponto P (mp) . Assim defini-se a derivada quando este limite existe e denota-se por f ' . Portanto geometricamente, a derivada é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P .
lim∆xQ 0
f x + ∆x` a
@ f x` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff (I)
Demonstração:
mx1= lim
BQ A
∆y∆xfffffffff= lim
x2Q x1
y2@ y1
x2@ x1
fffffffffffffffffffffff= f x2
` a
@ f x1
` a
x2@ x1
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
mas x2 = x1 + ∆x
e se x2Q x1 , ∆xQ 0
então mx1= lim
∆xQ 0
f x1 + ∆xb c
@ f x1
` a
∆xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
GUIDG.COM 4 O processo para se encontrar mp (a derivada) é chamado derivação ou diferenciação. Logo a fórmula (I) é a generalização para um ponto qualquer, de uma função qualquer desde que satisfaça os critérios dados.
f x + ∆x` a
@ f x` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff é por homenagem chamado de Quociente de Newton.
* Se 8 x 2 ao D f 9 f . , então dizemos que f é derivável . * Se mp // ao eixo y então 9+ f . . * Se mp // ao eixo x então f ' = 0 # se f é constante f . = 0 . 1.3 Notações para a derivada
Veremos agora os símbolos usados para representar a derivada de uma função (1.2). Também podemos encontrar notações extras dependendo do livro. dydxffffffff= f . x
` a
Identificação dos símbolos:
ddxffffffff
Operador de derivação: Isto não é um quociente e deve ser visto como um todo. Indica que o que estiver a sua direita deve ser diferenciado em relação a x (uma variável qualquer).
dydxffffffff Lê-se: A derivada de y em relação à x . Também fala-se dy dx como se escreve.
f . x` a
Lê-se: f linha de x . Veja que f. x` a
≠ f x` a
, Mas f. x` a
= y.
Dx f x` a
Lê-se: A derivada de f de x “ f (x) ” em relação a x .
Dx y Lê-se: A derivada de y em relação a x .
Todas essas notações podem ser aplicadas às regras da tabela de derivadas elementares.
1.4 Equação da reta tangente
Com base em 1.1 e 1.2 , podemos definir a equação da reta tangente. α` a
y@ y1 = m x@ x1
` a
A fórmula pode variar substituindo y1 = f ( x1) em (α) temos:
βb c
y@ f x1
` a
= m x@ x1
` a
α e β são todas equações da reta tangente.
GUIDG.COM 5 1.5 Condição de paralelismo
Duas retas r e s são paralelas ( r // s ) quando seus coeficientes angulares (as derivadas) são iguais. r // s ̂ mr = ms 1.6 Condição de perpendicularismo (condição de ortogonalidade)
Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual à um negativo: r? s ^ mr Ams =@1 Os exercícios costumam dizer “dada uma reta r normal a s ...”, ou vice e versa. Isto nos diz que as retas são perpendiculares entre si (formam um ângulo de 90º). *O ângulo de 90º é conhecido como o ângulo reto.
GUIDG.COM 6 2 DEFINIÇÕES E TEOREMAS
Nesta seção agrupamos os teoremas mais importantes para uma otimização do estudo de derivadas. 2.1 Continuidade da função
Uma função é continua num ponto x1 se atender simultaneamente a três condições, e são elas: 1a
9 f x1
` a
2a
9 limxQ x1
f x1
` a
3a
limxQ x1
f x1
` a
= f x1
` a
2.2 Continuidade de funções deriváveis
A continuidade de uma função num ponto não implica na existência da derivada dessa função nesse mesmo ponto. Porém, toda função derivável num ponto é continua nesse mesmo ponto. * A demonstração foi omitida. 2.3 Derivadas laterais
I - Seja a função f definida num ponto a então:
f@
, a` a
= lim∆xQ a@
f a + ∆x` a
@ f a` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Isto é, a derivada à esquerda de f , é o limite para quando ∆x tende à a por valores menores que a . II - Seja a função f definida num ponto a então:
f +, a` a
= lim∆xQ a+
f a + ∆x` a
@ f a` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Isto é, a deriva à direita de f , é o limite para quando ∆x tende à a por valores maiores que a . *Se tiver dificuldades, estude primeiro limites laterais. III - Conclui-se a partir de I e II que a derivada de uma função num ponto a , existe se, e somente se as derivadas laterais existirem e forem iguais, isto é: 9 f ,
^ f +, = f
@
, Quando as derivadas laterais existirem, mas forem diferentes, dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função. Portanto a derivada de f neste caso não existe. 9+ f , se f+
, ≠ f@
,
GUIDG.COM 7 2.4 Equação da reta normal à curva no ponto
Seja f (x) uma curva contínua e derivável. Logo esta tem n retas tangentes, e portanto n retas normais. Num ponto de uma curva, pode-se determinar uma reta normal a esta, desde que determine-se previamente a derivada neste ponto. 2.5 Derivada da função inversa
Nesta seção vamos alerta-lo sobre alguns erros comuns quando a derivada da inversa, e quanto as notações. I - A derivada da inversa de uma função é igual ao inverso da derivada.
f @ 1b c
. = 1f .ffffffff
II - Lembre-se f @ 1 ≠ 1ffffff , f @ 1
é a notação para a inversa da função f , e não o inverso da função f .
*Se tiver dúvidas, estude a determinação da inversa de uma função (funções inversas).
**Erro comum entre alunos: Se por um instante você acreditar que f @ 1 = 1ffffff e por isso f @ 1
b c
. = 1f .ffffffff ,
então você ainda não entendeu. III – Notações para a derivada da inversa.
f @ 1b c
. , y@ 1b c
. ,ddxffffffff f @ 1 x
` a
b c
IV – Formalização do teorema, considere as seguintes propriedades relativas à função f : i ) Seja f uma função definida (contínua) num intervalo (a, b) ;
ii ) Suponhamos que f admita inversa f @ 1b c
. Então por ( i ) f@ 1
também é contínua.
iii ) Se a derivada de f existe e é diferente de zero para qualquer x pertencente ao intervalo dado, então a derivada da inversa é igual ao inverso da derivada de f .
f @ 1b c
. = 1f .ffffffff se, e somente se, i , ii e iii forem satisfeitas.
Em linguagem matemática podemos resumir tudo isso como:
Se9 f x` a
8 x 2 a, bb c
e 9 f . x` a
| f . x` a
≠ 0 8 x 2 a, bb c
, então9 f @ 1b c
. = 1f .ffffffff= f .
b c@ 1
.
GUIDG.COM 8 Resumindo ainda mais (se fazendo valer i , ii e iii ), dizemos que: A derivada da inversa é igual ao inverso da derivada. *Este teorema é importante para a definição das derivadas de funções trigonométricas inversas, por isso deve ser compreendido. ** Este teorema foi resumido, no caso de obscuridade procure a demonstração em um dos livros citados em referências bibliográficas e leitura complementar.
GUIDG.COM 9 3 REGRAS DE DERIVAÇÃO
Agora já podemos seguir para as regras de derivação, e serão enunciadas a baixo, onde o sinal numérico # indica a ordem na tabela geral de derivadas elementares que pode ser vista na primeira página. As regras de derivação existem com o único objetivo de tornar o método de diferenciação mais eficiente, visto que o uso da definição é extenso e desnecessário para os próximos casos. 3.1 Derivada da função composta (regra da cadeia)
Se f x` a
e g x` a
são funções deriváveis, e f g x` a
b c
= f N g x` a
está definida, então a derivada de
f N g x` a
é dada por:
f N gb c
. x` a
= f . g x` a
b c
Ag. x` a
Aplicando a notação definida em 1.3 temos: dydxffffffff= dy
duffffffffAdudxffffffff
Exemplo: Derive a função y = ln x2 + 1
b c
:
Solução: Para este exemplo precisamos conhecer primeiramente a derivada da função logaritmo natural.
Fazendou = x2 + 1 , temosy = ln u` a
, então:
y. = dyduffffffff= 1
uffff , u. = du
dxffffffff= 2x
Aplicando a regradydxffffffff= dy
duffffffffAdudxfffffffftemos:
dydxffffffff= 1
uffffA2x = 2x
ufffffff, como u = x2 + 1 , então
dydxffffffff= 2x
x2 + 1ffffffffffffffffff
A
* Não precisamos dar nomes as funções como fizemos, a importância da regra é quanto a cadeia, ou seja, quando tratamos de funções compostas: a derivação começa com a aplicação das regras externamente em direção as funções internas, e por isso o nome. A demonstração foi omitida. 3.2 Derivada de uma constante
A derivada da função constante é zero por que a reta tangente à curva é paralela ao eixo x , logo não existe inclinação, e se a derivada é a inclinação, então não existe a derivada. 3.3 Derivada de funções polinomiais de primeiro grau
A derivada de uma variável independente qualquer com expoente um, é um. Exemplo: Se x , y , z são variáveis independentes então suas derivadas são um, respectivamente. A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f (x) = x .
GUIDG.COM 10 3.4 Derivada de um produto por uma constante
Por aplicação de propriedade de limites podemos enunciar: A derivada de um produto de f(x) por uma constante, é a constante vezes a derivada de f(x). A prova desta regra é obtida derivando-se pela definição a função f (x) = c.x . 3.5 Derivada da soma
A derivada da soma é a soma das derivadas. *Demonstração em breve. 3.6 Derivada do produto
*Demonstração em breve. 3.7 Derivada do quociente
*Demonstração em breve. 3.8 Função exponencial (expoente constante)
*Demonstração em breve. 3.9 Função exponencial (base constante, expoente funcional)
*Demonstração em breve. 3.10 Função exponencial (base natural, expoente funcional)
*Demonstração em breve. 3.11 Função exponencial composta
*Demonstração em breve. 3.12 Função logaritmo natural
Derivada da função logaritmo natural ou logaritmo de base e, ou também logaritmo neperiano. 3.13 Função logarítmica (base qualquer)
*Demonstração em breve.
GUIDG.COM 11 3.14 Função seno
A regra #13 diz que para y = sin u implica que y’ = u´cos u , levando em consideração a regra da cadeia (3.1). Demonstração: Se y = sin u , então aplicando a definição temos:
y. = lim∆xQ 0
f x + ∆x` a
@ f x` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= sin x + ∆x
` a
@ sin x` a
∆xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
mas: sin x + ∆x` a
= sinx A cos∆x + sin∆x A cosx
y. = lim∆xQ 0
sinx A cos∆x + sin∆x A cosx@ sinx∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
y. = lim∆xQ 0
sinx cos∆x@1` a
A+ sin∆x A cosx∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
S` a
y. = lim∆xQ 0
sinx A lim∆xQ 0
cos∆x@1∆x
fffffffffffffffffffffffffffffff+ lim∆xQ 0
sin∆x∆xfffffffffffffffff
A lim∆xQ 0
cosx
y. = sinx A0 + 1A cos# y. = cosx
(S) Simplificação: Para este ponto em diante utilizou-se as propriedades de limites junto com a aplicação de limites fundamentais. 3.15 Função co-seno
*Demonstração em breve. 3.16 Função tangente
*Demonstração em breve. 3.17 Função co-tangente
*Demonstração em breve. 3.18 Função secante
*Demonstração em breve. 3.19 Função co-secante
*Demonstração em breve.
GUIDG.COM 12 3.20 Função arco seno
A função f(x) = arc sin x é definida no intervalo D: [-1 , 1] em IM: [-π/2 , π/2] .
Então y = f(x) é derivável em (-1 , 1) e y. = 1
1@ x2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff .
A demonstração é trivial, por aplicação do teorema da inversa (2.5) : Se y = arcsinx então:α` a
x = siny , procuramos pela derivada da inversa, então por T5:
x@ 1b c
. = 1
sinyb c
.
ffffffffffffffffffffff[ β
b c
x@ 1b c
. = 1cosyfffffffffffffff
sin2y + cos2 y = 1
cos2 y = 1@sin2 y [ γ` a
cosy = 1@sin2 yqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
por α` a
temos: x = siny [ x2 = sin2 y
substituindo em γ` a
:
cosy = 1@ x2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
substituindo emβb c
:
x@ 1b c
. = y. = 1
1@ x2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffff
* Neste caso x@ 1 ≠ 1xffff , x@ 1 e está indicando a inversa da funçãoA
3.21 Função arco co-seno
*Demonstração em breve. 3.22 Função arco tangente
*Demonstração em breve. 3.23 Função arco co-tangente
*Demonstração em breve. 3.24 Função arco secante
*Demonstração em breve. 3.25 Função arco co-secante
*Demonstração em breve.
GUIDG.COM 13 3.26 Função seno hiperbólico
*As derivadas das funções hiperbólicas, são as derivadas de suas respectivas funções exponenciais. 3.27 Função co-seno hiperbólico
*Demonstração em breve. 3.28 Função tangente hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.29 Função co-tangente hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.30 Função secante hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.31 Função co-secante hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.32 Função argumento seno hiperbólico
*As derivadas das funções hiperbólicas inversas, são as derivadas dos argumentos das funções hiperbólicas. 3.33 Função argumento co-seno hiperbólico
*Demonstração em breve. 3.34 Função argumento tangente hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.35 Função argumento co-tangente hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.36 Função argumento secante hiperbólica
*Demonstração em breve. 3.37 Função argumento co-secante hiperbólica
*Demonstração em breve.
GUIDG.COM 14 4 REVISÕES DE TEOREMAS E NOTAÇÕES
Nesta seção agrupamos mais alguns teoremas com observações importantes para a uma otimização do estudo de derivadas. 4.1 Derivadas Sucessivas (derivadas de ordem superior)
Seja f uma função derivável, e se a própria derivada de f for derivável, então chamamos esta de derivada segunda. Se a derivada segunda for derivável, esta se chamará derivada terceira, e assim sucessivamente. Notações extras:
y. = f . x` a
[dydxffffffff= d
dxffffffff f x
` a
b c
y. = f . x` a
[d2 y
dx2
ffffffffffff= ddxffffffff d
dxffffffff f x
` a
b c
f g
= d2
dx2
fffffffffff f x` a
b c
y/ = f / x` a
[d3 y
dx3
ffffffffffff= ddxffffffff d2
dx2
fffffffffff f x` a
b c
h
j
i
k= d3
dx3
fffffffffff f x` a
b c
(
Em geral isto pode ser resumido como:
y n` a
= f n` a
x` a
[dn ydxnffffffffffffff= dn
dxnfffffffffff f x
` a
b c
Lê-se: A derivada n-ésima de y = a derivada n-ésima de f (x). Por razões de interpretação, para n > III' , utiliza-se números naturais dentro de parênteses: f . , f . , f / , f 4
` a
, f 5` a
, f 6` a
, f 7` a
, f n` a
… 4.2 A derivada num ponto
A seguir veremos a notação para a derivada de uma função num ponto, a partir da notação de Leibniz. Neste caso k sendo uma constante, que seria substituída na variável x da função y já derivada. Assim obtendo o valor da derivada neste ponto. Esta notação é uma variação da notação convencional, isto é:
ou
= y. x
` a
= f . x` a
para x = k
Isto será muito aplicado na derivada na forma paramétrica, na forma implícita e principalmente na taxa de variação e taxas relacionadas, com o intuito de aliviar a notação.
GUIDG.COM 15 4.3 Acrécimos (incrementos)
Seja f (x) uma função, então sempre podemos considerar uma variação de x . Se fizermos x variar de x1 até x2 , definimos o acrécimo de x e denotamos por ∆x. ∆x = x2@ x1 A variação de x origina uma correspondente variação de y , denotada por: ∆y = y2@ y1 = f x2
` a
@ f x1
` a
Mas x2 = x1 + ∆x , então substituindo em ∆y:
∆y = f x1 + ∆xb c
@ f x1
` a
4.4 Diferencial
Com base em 4.3 , entraremos na definição de diferencial. Seja y = f (x) uma função derivável, e ∆x um acrécimo de x , então: I) A diferencial de x (variável independente), denota-se dx = ∆x II) Já a diferencial de y é dependente, é só existe devido a derivada, denota-se: dy = f . x
` a
A∆x ou dy = f . x` a
Adx III) Então com base em 1.2 e 1.3 , re-defimos a derivada como o quociente entre duas diferenciais: dy∆xfffffffff= dy
dxffffffff= f . x
` a
4.4.1 Os significados geométricos
O acrécimo dx = ∆x , ocorre no eixo das abscissas (eixo x ). dy ≠ ∆y mas dy ≈ ∆y se ∆x for considerado um valor pequeno. O acrécimo ∆y , ocorre no eixo das ordenadas (eixo y); Mas o acrécimo dy é um produto, e ocorre devido a variação da reta tangente (isto é de sua inclinação).
É importante lembrar que ∆y∆xfffffffff não é a derivada em si
∆y∆xfffffffff≠ dy
dxfffffffff g
. Mas pode ser interpretado
geometricamente como a inclinação da reta secante definida pelos dois pontos.
GUIDG.COM 16 4.4.2 Derivada, re-definição
Em 1.1 fizemos uma observação que a derivada seria redefinida quando chegássemos em diferenciais, e agora estamos aptos para esta re-definição (que não tem tantas mudanças, apenas na interpretação):
dydxffffffff= lim
∆xQ 0
∆y∆xfffffffff= lim
∆xQ 0
f x1 + ∆xb c
@ f x1
` a
∆xfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Portanto a derivada é o limite do quociente ∆y / ∆x , quando ∆x tende a zero. 4.5 Diferenciação sucessiva (diferencial de ordem superior)
Com base em 4.4 – II , seja y = f x` a
temos que dy = f . x` a
Adx , então se a diferencial da função y for
diferenciável, temos d2 y = f . x` a
Adx2 e esta se chamará a diferencial segunda, se novamente for
diferenciável teremos a diferencial terceira dada por d3 y = f / x` a
Adx3 , e assim sucessivamente. A diferencial n-ésima de y é dada por: dn
y = fn` a
x` a
Adxn .
Veja que isso esta baseado na manipulação algébrica da derivada de ordem superior, isto é, para a função y = f x
` a
, seja # a ordem da operação, temos:
# As derivadas sucessivas: As diferenciais sucessivas:
1 dydxffffffff= f . x
` a
dy = f . x` a
Adx
2 d2 y
dx2ffffffffffff= f . x
` a
d2 y = f . x` a
Adx2
3 d3 y
dx3ffffffffffff= f / x
` a
d3 y = f / x` a
Adx3
... ... ...
n dn ydxnfffffffffffff= f n
` a
x` a
dn y = f n` a
x` a
Adxn
GUIDG.COM 17 4.6 Aproximação linear local
A partir de 1.4 , definimos a aproximação linear local. Intuitivamente esta é uma ferramenta que nos dará a partir de dados conhecidos, valores próximos a estes. Para uso por exemplo na resolução de problemas
como: 65,53qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
, tan 45º4. 30.` a
, etc.
f x1 + ∆xb c
≈ f . x1
` a
A∆x + f x1
` a
Demonstração: Partindo de 1.4 (a equação da reta tangente), saímos de α e seguimos:
α` a
y@ y1 = m x@ x1
` a
βb c
y@ f x1
` a
= m x@ x1
` a
mas: x@ x1 = ∆x , y = f x
` a
e m = f . x1
` a
então: γ` a
f x` a
@ f x1
` a
= f . x1
` a
A∆x
logo: δ` a
f x` a
= f . x1
` a
A∆x + f x1
` a
novamente: x@ x1 = ∆x [ x = x1 + ∆x
Agora substituindo em δ chegamos exatamente aonde queremos, ou seja:
ε` a
f x1 + ∆xb c
≈ f . x1
` a
A∆x + f x1
` a
Veja que o sinal de igualdade muda, por estarmos tratando de uma aproximação, por que y = f x
` a
somente para valores próximos de x1 , e é a melhor medida que podemos obter a partir de x1. A interpretação de ε : Podemos interpretar a aproximação linear local da seguinte maneira, dado um valor conhecido x1 , então se estivermos buscando por um valor x próximo de x1 , isto é x = x1 + ∆x , então podemos utilizar (ε) a aproximação linear local para determina-lo, visto que temos x1 e a aproximação ∆x .
GUIDG.COM 18 4.7 Taxa de variação
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f(x) , quando a variável independente varia de x à x + ∆x , existe uma correspondente variação de y dada por ∆y = f (x + ∆x) – f (x) . ∆y que definimos em 1.1 e por equivalência chegou a esta última forma. Com isto definimos genericamente: I - Taxa de variação média:
∆y∆xfffffffff= f x + ∆x
` a
@ f x` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
* Interpretação informal: ∆y∆xfffffffff= variaçãode y
variação dexfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=
y final@ yinicial
x final@ xinicial
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Isto é, com esse quociente podemos definir a média da variação de alguma coisa em relação à outra variação, independente do que seja. Veja a interpretação mecânica. II - Taxa de variação instantânea ou simplesmente Taxa de Variação, que é a própria derivada:
f . x` a
= lim∆xQ 0
∆y∆xfffffffff= lim
∆xQ 0
f x + ∆x` a
@ f x` a
∆xffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
4.7.1 Interpretação mecânica e nomes especiais
I - Velocidade média: Podemos definir com um exemplo prático. Se a distância de um ponto A até outro B é 80Km , e uma partícula viajou de A para B , em uma hora, então sua velocidade média é 80Km/h (lê-se quilômetros por hora), mesmo que durante o percurso ela tenha acelerado ou freado. II - Velocidade instantânea: Esta pode ser vista no painel de um automóvel em movimento, que significa é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo (este medido num intervalo muito curto, por isso emprega-se o limite da função para ∆x tendendo a zero, ∆x é a variação do tempo. III - Aceleração: é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. IV - Densidade Linear: Em fios elétricos, por exemplo, é a taxa de variação da massa em relação ao comprimento do fio. V - Vazão: Em uma torneira, por exemplo, é a taxa de variação do volume de água despejado em relação ao tempo. A aplicação se estende em diversas áreas.
GUIDG.COM 19 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR
(1) Diva Marilia Flemming - Cálculo A (5ª edição) ; (2) Paulo Boulos - Cálculo diferencial e integral Vol.1 ; (3) Louis Leithold – O cálculo com geometria analítica Vol.1 ; (4) W.A. Granville – Elementos de Cálculo Diferencial e Integral ; (5) Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 2010/1 – Departamento de Matemática (UDESC – CCT)