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153 Geografia CASD Vestibulares

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Aulas 09 e 10 – Urbanização

Áreas Urbanas e Rurais

O estudo da urbanização está relacionado ao hábitat das pessoas. A definição de hábitat vem da ecologia, sendo o lugar em que determinada espécie ou população vive. Esse conceito pode ser estendido para os seres humanos, representando onde eles vivem. Dessa forma, o hábitat do ser humano pode ser urbano ou rural. O hábitat é dito rural quando a população se dedica predominantemente a atividades primárias (ou seja, agropecuária e extrativismo). Normalmente não há grandes concentrações populacionais, pois há a necessidade de espaços razoáveis para a execução das atividades econômicas primordiais. Já o hábitat urbano se caracteriza por altas concentrações populacionais, sem a dedicação da maior parte das pessoas a atividades agropecuárias e extrativas. Desse modo, na área urbana floresceram os setores secundário e terciário, lá se concentrando o comércio, a administração, o poder. A unidade básica do hábitat urbano é a cidade. Ela é um ente difícil de definir, pois depende do país. Para alguns países, o critério para se definir cidade é o número de habitantes: se a aglomeração urbana passa de certo número de habitantes, ela é classificada como cidade. No Brasil, toda aglomeração urbana que for sede de um município é classificada como cidade (critério político-administrativo).

URBANIZAÇÃO A urbanização é a concentração da população nas cidades (mais precisamente, nas aglomerações urbanas). Dessa forma, o processo de urbanização nada mais é que a passagem de uma sociedade predominantemente rural para uma urbana. A urbanização é um fenômeno recente. Foi impulsionada basicamente pela industrialização, principalmente pela 2ª fase da Revolução Industrial. Porém, o maior impulso em termos mundiais nesse processo ocorreu após a Segunda Guerra Mundial, com o espalhamento da industrialização pelo globo. Para medir o estágio atingido por esse processo, existe um indicador chamado taxa de urbanização, que mede a porcentagem de população de um país ou região que vive em cidades. A URBANIZAÇÃO NOS DIVERSOS GRU-POS DE PAÍSES Países Desenvolvidos Nos países desenvolvidos, a urbanização é bastante antiga. O aumento expressivo de população

urbana se iniciou com a Revolução Industrial, notadamente na Inglaterra, urbanizada (50% da população em cidades) em 1850. Mas foi na 2ª fase da Revolução Industrial que o processo se intensificou por todo o mundo desenvolvido (os industrializados da época). Desse modo, o processo de urbanização desses países foi relativamente gradual, de modo que as cidades tiveram condições de ir absorvendo esse aumento populacional. Atualmente os países desenvolvidos têm taxas de urbanização estabilizadas, além de serem as maiores do mundo em geral.

Taxas de Urbanização País 1960 1992 2000 Reino Unido 86 89 90

Holanda 85 89 89 Alemanha 76 86 88

Japão 63 77 78 EUA 70 76 78

Países Subdesenvolvidos Industrializados A maior parte dos países subdesenvolvidos industrializados sofreu um rápido surto industrial após a 2ª Guerra Mundial. Desse modo, houve uma grande melhoria nas condições de vida nas cidades. Enquanto isso, o campo sofria com falta de incentivos, grandes concentrações fundiárias e difíceis condições de vida. Todos esses fatores contribuíram para um grande fluxo de pessoas do campo para as cidades nessa época. Esse movimento migratório é conhecido como êxodo rural. Com isso, as taxas de urbanização desses países sofreram grande salto após a 2ª Guerra Mundial. Esse grande aumento populacional no meio urbano não pôde ser absorvido pelas cidades, ou seja, a infra-estrutura urbana não crescia a um ritmo compatível com o crescimento populacional. Com isso, ocorreu o “inchamento” das cidades, a macrocefalia urbana. Dessa forma, houve um significativo aumento do desemprego e subemprego, além do surgimento e rápida expansão de sem-tetos e favelas, muitas das quais em áreas de risco. Assim, criou-se uma “cidade” à margem da cidade. Atualmente, tais taxas são normalmente altas.

Taxas de Urbanização País 1960 1992 2000

Argentina 74 87 89 Brasil 45 76 81

México 51 74 78 Malásia 27 51 57 China 19 28 35

Países Subdesenvolvidos Periféricos

CASD Vestibulares Geografia 154

Normalmente esses países possuem economia baseada no setor primário, de modo que ainda apresentam baixas taxas de urbanização. Alguns apresentam taxas altas, por não terem na agropecuária sua principal fonte de renda.

Taxas de Urbanização País 1960 1992 2000

Kuwait 72 95 96 Bahamas 74 85 89

Cuba 55 75 78 Paraguai 36 51 56 Nigéria 14 37 43

Bangladesh 3 17 21 Ruanda 2 6 7

AS CIDADES

Praticamente toda a população das áreas urbanas vive em cidades, de modo que área urbana e cidade podem ser tratadas igualmente. CLASSIFICAÇÃO DAS CIDADES Quanto ao Sítio Urbano O sítio urbano é o local sobre o qual a cidade está assentada. Ou seja, é a formação de relevo que suporta a cidade. Uma cidade pode ser de: → planície: Manaus e Paris; → planalto: Brasília e Madri; → acrópole ou colina: São Paulo e Atenas; → montanha: Campos do Jordão; → ilha: Florianópolis. Quanto à Situação Urbana A situação urbana é a posição que a cidade ocupa em relação a fatores naturais ou geográficos de sua região. Ela designa o fator geográfico que deu condições ou suporte para seu crescimento e desenvolvimento. Existem diversas situações urbanas, como: cidades fluviais (Paris, Manaus), marítimas (Amsterdã e Rio de Janeiro), de entroncamento ferroviário (Chicago e Bauru), de ligação litoral-interior (Campina Grande). Quanto à Função Urbana A função de uma cidade é a principal atividade econômica da mesma, sendo o suporte de sua existência. Há inúmeras funções urbanas; eis algumas: → Portuária: Santos e Roterdã. → Industrial: Cubatão e Detroit. → Administrativa: Brasília e Washington DC. → Religiosa: Aparecida e Meca. → Turística: Ouro Preto e Lãs Vegas. → Militar: Resende e Pearl Harbor. Há também diversas cidades globais. São cidades de múltiplas funções, de grande dinamismo

econômico. Abrigam escritórios de grandes empresas transnacionais, sedes de outras empresas e serviços de ponta. Por exemplo, São Paulo e Nova Iórque. Quanto à Origem Uma cidade pode se originar de duas formas: espontânea e planejada. Quase todas as cidades são espontâneas, ou seja, surgiram naturalmente. Algumas foram criadas com um planejamento prévio, como Brasília, Teresina e Washington DC, sendo então planejadas. AGLOMERAÇÕES URBANAS As cidades são entes dinâmicos, em constante crescimento e modificação. Podem apresentar crescimento horizontal, que representa o aumento da área das cidades devido à ocupação de mais lugares. Também apresentam crescimento vertical, que é a substituição de construções baixas por edifícios mais altos, podendo abrigar mais pessoas sem ocupar mais áreas. Existem também vários conceitos agregados a grandes aglomerações urbanas. Conurbação É o encontro de duas ou mais cidades próximas devido ao seu crescimento horizontal. Desse modo, as duas (ou só uma) crescem, até que suas áreas urbanas se encontrem, muitas vezes não havendo distinção entre uma e outra. Exemplos: Juazeiro e Petrolina, região do ABC, Grande Nova York, Grande São Paulo. Metrópole Cidade que possui os melhores equipamentos urbanos de um país ou região, exercendo influência e polarizando outras cidades. Exemplo: São Paulo. Região Metropolitana É um conjunto de cidades, normalmente conurbadas, integradas sócio-economicamente em torno de uma cidade central (metrópole), com serviços de infra-estrutura comuns. Exemplo: Grande São Paulo (o ‘Grande’ significa que estamos falando da região metropolitana, não da cidade). Megalópole É a conurbação de várias metrópoles ou regiões metropolitanas, formando uma vasta área urbanizada, com grande fluxo de pessoas e mercadorias. É uma região com quase ausência de regiões rurais visíveis, e estas estão integradas ao sistema urbano, fornecendo bens para o abastecimento da megalópole. A maior megalópole está no Nordeste dos EUA: Boswash, que vai de Boston a Washington, centrada em Nova Iorque. Há algumas outras, como

San-San, de San Diego a San Francisco passando por Los Angeles, a megalópole Tóquio – Nagóia – Osaka e Londres – Birmingham – Manchester. No Brasil, há uma megalópole em formação (para alguns estudiosos ela já está formada): ela liga São Paulo e Rio de Janeiro, através do vale do Paraíba, e se estende até Campinas e a baixada Santista. REDE E HIERARQUIA URBANA A rede urbana é o conjunto integrado e articulado de cidades de uma região ou país, em que umas exercem influência sobre as outras. A rede urbana é mais completa e bem estruturada em regiões desenvolvidas, nas quais há uma grande integração entre as diversas cidades. A formação da rede urbana forma uma escala de influência entre as cidades, com as maiores polarizando as menores. Essa é a hierarquia urbana. As cidades maiores (metrópoles) detêm os serviços e equipamentos urbanos mais avançados de uma região (metrópole regional) ou de um país (metrópole nacional), polarizando essa região ou país.


Mas a metrópole nacional não é o mais alto posto na hierarquia urbana. As cidades globais, já comentadas, cidades totalmente integradas à globalização, que abrigam os escritórios das grandes transnacionais, são classificadas como metrópoles globais. Eis a rede e hierarquia urbana do Brasil:

URBANIZAÇÃO BRASILEIRA O Brasil, como país subdesenvolvido industrializado, teve seu grande surto de urbanização após a Segunda Guerra Mundial, a partir das décadas de 50 e 60. Na década de 60 atingiu 50% de urbanização. A urbanização nacional foi bastante concen-tradora, ou seja, caracterizou-se pela concentração da

população basicamente nas grandes metrópoles. Assim, algumas poucas cidades passaram a contar com grandes populações, concentrando quase toda a população urbana do país. Atualmente, há uma tendência, ainda incipiente, à desmetropolização. Ou seja, as grandes metrópoles estão crescendo menos e a população urbana está se distribuindo de forma mais descentralizada, ocupando cidades médias. A cidade brasileira reflete o subdesen-volvimento do país. Altos índices de desemprego, falta de moradias e excesso de favelas mostram a macrocefalia urbana. A especulação imobiliária cria as condições para uma segregação espacial, criando a oposição entre a cidade formal, com infra-estrutura e serviços, e a cidade informal, praticamente esquecida pelo poder público. Nesse ambiente florescem diversas mazelas urbanas: a violência, moradias em áreas de risco (morros, mangues, etc.), dentre outras. As regiões metropolitanas, áreas de planejamento e infra-estrutura integrados, também se multiplicaram rapidamente no país. Hoje são 22, nem todas em torno de uma metrópole central.

EXERCÍCIOS Questão 1. (UEPG-PR Adaptada) À medida que uma cidade consegue desenvolver e diversificar produtos e serviços para atender às necessidades da população, ela passa a exercer maior influência sobre sua região. Sobre esse assunto, que diz respeito à hierarquização urbana, assinale a alternativa que apresenta a afirmação incorreta: a) As cidades pequenas são dotadas de produtos e

serviços de demanda muito freqüente. b) As cidades grandes são dotadas de produtos e

serviços de demanda rara. c) É através do setor terciário que uma cidade exerce

influência sobre as outras cidades de uma mesma região.

d) Apenas os grandes centros urbanos regionais são dotados dos setores primário, secundário e terciário da economia.

e) A cidade de Ponta Grossa pode ser classificada como um centro sub-regional.

Questão 2. (UEPG-PR) “A cidade enquanto espaço de reprodução do capital, caracterizada pela concentração de instrumentos de produção, serviços, mercadorias, infra-estrutura, trabalhadores e reserva de mão-de-obra.” Esta caracterização de cidade diz respeito: a) aos grandes centros urbanos; b) às cidades de países capitalistas; c) às cidades dos países industrializados; d) as alternativas a, b e c estão corretas; e) somente as alternativas a e b estão corretas. Questão 3. (UEPG-PR) Com o crescente desenvolvimento econômico de determinadas regiões

do país é inevitável a ocorrência de conurbações. O texto refere-se: a) a constantes conflitos de terras em todo o Brasil; b) a movimentos migratórios representados

principalmente pelo êxodo rural; c) à fusão de cidades vizinhas; d) a relações de trabalho nas grandes cidades; e) a perturbações meteorológicas provocadas pela

poluição atmosférica. Questão 4. (PUC-SP) Examine os dados abaixo:

Observando os dados gerais do Brasil, pode-se constatar que 35,5% das escolas não possuem energia elétrica (o que corresponde a 63 mil escolas) e que as presenças da informática e da Internet são ínfimas. Tendo em conta a clássica contraposição rural e urbano, leia com atenção as afirmações a seguir e assinale a alternativa que indica aquelas que interpretam corretamente os dados. 1. As zonas rurais possuem baixa densidade demográfica e dispersão territorial da população. Como as atividades rurais dependeram menos, ao longo da história, de energia elétrica do que as atividades urbanas, a eletrificação ainda não se generalizou inteiramente. O mesmo raciocínio serve para a rede de telefones. 2. A informática e a Internet são novos instrumentos e ferramentas que se associaram rapidamente às empresas urbanas (indústrias, bancos etc.) e às profissões desenvolvidas nas cidades. Em decorrência disso, as escolas urbanas tomam contato antes com essas novas tecnologias. 3. Para as atividades no campo, assim como o modo de vida que daí resulta, tanto a informática quanto o acesso à Internet não terão qualquer utilidade, já que esses instrumentos estão ligados às práticas urbanas e é por isso que o número de escolas rurais que possuem esses equipamentos é tão baixo.

a) 2 e 3 estão corretas b) Todas estão corretas c) 1 e 2 estão corretas d) 1 e 3 estão corretas e) Nenhuma é correta

Questão 5. (PUC-SP) Ainda tendo como referência a tabela da questão 4 (Infra-estrutura escolar no ensino fundamental em 1999), nota-se a enorme desigualdade regional na distribuição da infra-estrutura escolar, assim como entre as escolas públicas e as particulares. Levando esses dados em consideração, assinale a afirmação incorreta. a) Os estudantes das escolas do Sul e do Sudeste

estão potencialmente expostos a um número bem mais elevado de informações.

b) Os estudantes matriculados em escolas particulares têm potencialmente um acesso superior às informações do mundo moderno.

c) A proporção inferior de infra-estrutura escolar no Norte e no Nordeste deve-se, antes de tudo, ao menor número de habitantes dessas regiões.

d) As condições para os alunos do Sudeste se envolverem em relações de maior alcance geográfico são, em tese, superiores às dos alunos de outras regiões.

e) Os dados demonstram que os estudantes que pertencem aos segmentos de renda mais elevados têm, potencialmente, mais acesso às informações.

Questão 6. (Mackenzie-SP) No limiar do século XXI, o mundo já é uma imensa cidade. Uma cidade modulada em muitas cidades. O globo terrestre deixa de parecer um planeta, uma configuração cósmica, para se revelar uma criação humana da atividade social, de algo que se cria e recria no curso da história dos povos. Esse é o atlas no qual se localizam as grandes e as pequenas cidades. São metrópoles e megalópoles, povoados e vilas, centros e periferias; sempre atados de perto e de longe por estradas, rodovias, ferrovias, linhas aéreas, infovias, sempre atados pelas atividades sociais, econômicas, políticas e culturais. Octavio Ianni – Folha Mais – 19/08/2001 No texto o autor sugere que: I. o planeta Terra é, hoje, uma construção humana,

que se faz ao longo do tempo. II. as cidades, por menores que sejam, formam,

graças aos meios de transporte e comunicação um conjunto único.

III. a cidade é a síntese de todo o país e de toda a sociedade.

IV. as cidades formam um conjunto acabado, atado e imobilizado em suas relações.

São verdadeiras: a) apenas I, II, III. b) apenas I e II. c) I, II, III e IV. d) apenas I, III e IV. e) apenas II e IV.



Questão 7. (PUC-SP) No dia 10 de setembro de 2000 a Folha de S. Paulo publicou uma reportagem sobre as cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo, cuja manchete era: “Geografia urbana impõe ‘exílio’ ao deficiente.” O subtítulo complementava-a da seguinte maneira: “EXCLUSÃO – Barreiras arquitetônicas e pobreza condenam ao isolamento pessoas portadoras de dificuldades de locomoção.” Assinale, dentre as afirmações abaixo, aquela em que a interpretação da manchete e do subtítulo apresentados é incorreta. a) O modo como o espaço geográfico de uma cidade

está organizado pode propiciar mais ou menos relações sociais às pessoas com dificuldades de locomoção. Pode produzir mais ou menos isolamento geográfico e social.

b) As barreiras arquitetônicas presentes nessas cidades, e nas grandes cidades brasileiras de um modo geral, decorrem de obstáculos naturais presentes na geografia física, tais como, terrenos declivosos.

c) Se o modo como uma cidade tem seu espaço organizado facilita ou dificulta um maior número de relações sociais, podemos afirmar que a organização do espaço é um dos elementos da estruturação geral de uma sociedade.

d) Além das barreiras ligadas à geografia urbana, há também barreiras de outra ordem que condenam o deficiente ao isolamento, tais como, o preconceito social contra ele, o que inclusive veda seu acesso ao mercado de trabalho.

e) Em vista da complexidade, da estrutura física e do tamanho da população de São Paulo e do Rio de Janeiro, podemos afirmar que, nestas cidades, as dificuldades de locomoção e, portanto, do estabelecimento de um maior número de relações, atingem sobretudo as pessoas com deficiência.

Questão 8. (UEL-PR) As áreas dependentes de um centro urbano, principalmente no que diz respeito a demandas de serviços, são denominadas regiões polarizadas ou funcionais. Associe corretamente na tabela abaixo os exemplos dessas regiões, (I, II, III e IV), com seus respectivos centros urbanos (1, 2, 3 e 4). I. Vale do Paraíba II. Triângulo Mineiro III. Sul da Bahia IV. Serras Gaúchas (1) Uberlândia (2) Itabuna (3) Caxias do Sul (4) São José dos Campos I II III IV a) 1 2 3 4 b) 2 4 3 1 c) 3 2 1 4 d) 4 1 2 3

e) 4 3 1 2 Questão 9. (Mackenzie-SP) As redes urbanas apresentam mudanças ligadas à dinâmica das cidades que as constituem. Nos países onde a população rural é predominante, a dinâmica urbana depende da relação campo-cidade. Já nos países em que a urbanização é intensa, a dinâmica urbana depende das mudanças da função econômica das cidades. Jean-Robert Pitte A partir do texto pode-se caracterizar dinâmica urbana como: a) a evolução econômica e demográfica de uma

cidade que afeta sua classificação na hierarquia urbana e suas funções no interior da rede urbana.

b) as condições de acesso a um determinado lugar e a facilidade com que ele pode ser alcançado a partir de outros pontos do espaço de referência.

c) o desequilíbrio pronunciado de uma rede urbana em favor da primeira cidade, cujo volume de população e cujas funções a distinguem, nitidamente, de outras grandes cidades.

d) a localização de uma cidade em relação a um conjunto geográfico mais amplo que pode colocá-la numa situação central ou periférica.

e) o processo pelo qual o espaço se polariza nas metrópoles, que passa a monopolizar o crescimento demográfico, o desenvolvimento econômico e os fluxos, em detrimento do campo e das outras cidades da região.

Questão 10. (Unicenp-PR – adaptada) Entre as cidades brasileiras abaixo citadas, assinale a alternativa que apresenta uma metrópole global e outra metrópole nacional:

a) São Paulo e Curitiba. b) Belém e Fortaleza. c) Fortaleza e Recife. d) Recife e Porto Alegre. e) Porto Alegre e Salvador.

Questão 11. (FUVEST) “Morar não é fracionável. Não se pode morar um dia e no outro não morar. Morar uma semana e na outra não morar... Não é possível pedir um pedaço “de casa” para morar, um banheiro para se tomar banho, um tanque para lavar roupa, uma cama para dormir um pouco, exceto, é claro, quando se trata de relações pessoais (parentesco e amizade), de aluguel de quartos, de lavanderias, etc. e, é claro, pagando-se por este uso.” (RODRIGUES, Aríete M. Moradia nas Cidades Brasileiras, São Paulo: Contexto, 1990, 3a ed.) A partir do texto e tomando como referência o caso das grandes cidades brasileiras, qual das afirmativas NÃO apresenta corretamente uma questão relativa ao “morar”? a) A moradia não é fracionável em partes que possam

ser "vendidas" ao longo do dia, da semana ou mesmo do mês.

b) Para morar é necessário ter capacidade de pagar por esta moradia não fracionável, que compreende a terra e a edificação.

c) Por terem os serviços coletivos mais eficientes, os espaços mais densamente ocupados, como moradia, apresentam os preços de terra/edificação mais altos.

d) O preço do morar depende da localização em relação aos equipamentos coletivos e infra-estrutura nas proximidades da casa/terreno.

e) O preço da terra/edificação é elevado pois no cálculo geral entra a renda do proprietário da terra, o lucro das indústrias de insumo e construção e os juros dos financistas.

Questão 12. (UEPG-PR) A questão do inflacionamento da moradia, particularmente na grande cidade brasileira, está relacionada com o processo acelerado de urbanização do país, marcado, por exempIo, pela presença de cortiços, que são: a) habitações coletivas em regime de aluguel; b) habitações construídas em terrenos de terceiros; c) concentrações de barracos em morros periféricos e

terrenos baldios; d) áreas caracterizadas por singular carência de infra-

estrutura de serviços básicos; e) áreas caracterizadas por aglomerados de

habitações paupérrimas. Questão 13. (PUC-SP) Um olhar ligeiro a um dos muitos guias de lazer da cidade de São Paulo (cf. Guia da Folha de 21 a 27 de setembro) nos dá idéia do que é essa localidade: são mais de 50 filmes no “circuito oficial” (mais de 250 salas localizadas em 34 shoppings e pelo menos 50 salas em outros endereços) e de um outro tanto semelhante de “filmes alternativos” em cinemas de arte; em torno de 80 encenações de teatro adulto e 20 de teatro infantil estão em cartaz; são mais de 40 shows de música popular (nacionais e estrangeiros); 15 espetáculos (concertos e dança de nacionais e estrangeiros); 20 exposições de artes plásticas (nacionais e estrangeiras) nas galerias e nos museus das cidades; restaurantes, bares e casas noturnas revezam-se em, ao menos, 350 indicações a cada semana. Tudo isso sem contar os vários festivais de cinema e de música que se alternam ao longo do ano. Assinale a afirmação ERRADA. a) As opções de S. Paulo não são bem aproveitadas

pelo público do interior e de outros estados, em razão da precariedade do acesso físico à cidade de S. Paulo, o que reduz sua condição de metrópole no país.

b) O fato de a cidade possuir uma população muito grande explica em boa medida a diversidade de atrações, mas a esse aspecto deve-se acrescentar a renda existente e o fato de atrair público externo.

c) O quadro do lazer em São Paulo é uma demonstração de sua condição de metrópole, não só pelo tamanho, mas porque indica que a cidade é

integrada, como pólo importante, num circuito de artes e espetáculos.

d) uma vida cultural rica é um “capital” da cidade que, em tese, beneficia a população. No entanto, boa parte da população de S. Paulo está alijada dessa condição em função da má distribuição da renda.

e) a diversidade de opções de lazer, numa cidade como São Paulo, reflete a heterogeneidade de expectativas e comportamentos sociais, marca comum das cidades que têm condição de metrópole.

Questão 14. (FGV-SP) (...) A cidade não pára, a cidade só cresce/ O de cima sobe e o debaixo desce/ A cidade se encontra prostituída/ Por aqueles que ousaram em busca de saída/ Ilusora de pessoas de outros lugares/ A cidade, sua fama vai além dos mares (...). (Chico Science e Nação Zumbi – “A cidade” em “Da lama ao caos”) A letra da música acima refere-se de maneira explícita e implícita a importantes questões que interessam à Geografia, tais como: a) O contínuo crescimento demográfico acelerado das

Regiões Metropolitanas, exceto as do Rio de Janeiro e Fortaleza, que apresentaram, nas duas últimas décadas, cifras abaixo das registradas nos respectivos Estados.

b) As desigualdades sociais provocadas pela concentração de renda, quesito que equipara o Brasil a outros países também detentores de altas taxas, a exemplo da França.

c) O crescimento do terceiro setor da economia como uma forma de atuação da sociedade civil na solução de problemas sociais, promovendo a cidadania e a inclusão da população de baixa renda.

d) A falta de fiscalização na aplicação do dinheiro público, apesar de gerar a “prostituição das cidades” e a conseqüente desestruturação das políticas sociais do Estado e das iniciativas privadas, o que impediu a criação de um Estado de Bem-Estar Social no Brasil.

e) O contínuo crescimento dos fluxos migratórios para São Paulo, “ilusora” cidade mundial, pelo fato de não terem surgido novos pólos de atração demográfica, em outras regiões do Brasil.

Questão 15. (FEI-SP) Observe com atenção a tabela abaixo, com dados sobre a evolução mundial da população rural e urbana no mundo:


Analisando a tabela acima, podemos concluir que: I. O século XX caracterizou-se por um processo de

crescimento das cidades. II. De 1920 a 1980 a população urbana mais que

dobrou em termos relativos. III. A presença ainda majoritária da população mundial

nos espaços rurais mostra que o processo de urbanização não atingiu todo o mundo, mas apenas a sua parte mais industrializada e rica.

a) apenas I e III estão corretas b) apenas I e II estão corretas c) apenas I está correta d) apenas II está correta e) I, II e III estão corretas INSTRUÇÃO: Responder à questão com base no gráfico e nas afirmativas que relacionam o processo de urbanização ao contexto econômico do Brasil.

I. A partir dos anos 50, a indústria passou a desempenhar um papel importante na economia brasileira, colaborando para o crescimento da população urbana. II. Em 1990, mais de 70% da população brasileira concentrava-se nas áreas urbanas. III. Apesar do crescimento das cidades, demonstrado pelo gráfico, nos últimos cinqüenta anos não se evidencia um processo de urbanização. IV. O acelerado crescimento urbano das últimas décadas provocou conurbação urbana, manchas urbanizadas onde fica difícil a distinção de limites territoriais.


Questão 16. (PUC-RS) A análise das afirmativas permite concluir que está correta a alternativa:

a) I e II b) I, II e III c) I, II e IV d) II e III

e) III e IV Questão 17. (UEL-PR) Assinale a alternativa INCORRETA. a) A acelerada industrialização e a modernização da

agricultura ocorridas nos anos 70 levaram a um intenso crescimento populacional nas metrópoles, o que agravou seus problemas urbanos e ambientais.

b) Existe um processo de megalopolização em curso no Brasil devido ao crescimento urbano nas cidades do eixo Rio/São Paulo, embora o ritmo de crescimento populacional nas principais regiões metropolitanas desses estados tenha diminuído nas últimas décadas.

c) A Região Metropolitana de Curitiba é um caso particular na urbanização brasileira, visto que seu crescimento populacional vem se mantendo intenso nos anos 90, ao contrário das outras metrópoles.

d) Na última década, o sentido predominante das migrações tem sido da cidade para o campo.

e) O redirecionamento dos fluxos migratórios tem reduzido as pressões sobre a infra-estrutura urbana das grandes metrópoles, mas a contrapartida desse fenômeno foi o comprometimento da qualidade de vida nas cidades médias do interior.

Questão 18. (UFPR) “As cidades sempre tiveram uma enorme relação com o espaço econômico. A maior parte dos grandes negócios do país é realizada em algumas delas. Em suma, quase tudo o que acontece de mais importante na vida nacional está, de alguma maneira, ligado a elas.” (Adaptado da revista EXAME, 20/09/2000.) Com base nos conhecimentos sobre as regiões metropolitanas brasileiras e as cidades que as compõem e nas informações contidas na tabela abaixo, é correto afirmar:

REGIÕES METROPOLITANAS BRASILEIRAS: PESO DE CADA REGIÃO NO TOTAL DO BRASIL -

EM % Região Metropolitana Pop.

Renda formal estimada

Pou-pança

Consumo de álcool e gasolina

Empregos formais

São Paulo 10,6 20,1 27,6 15,8 19,1 Rio de Janeiro 6,5 10,1 12,5 6,8 9,4 Belo Horizonte 2,4 3,1 3,5 3,0 4,6 Porto Alegre 2,1 3,3 3,1 3,3 3,7 Curitiba 1,5 2,2 3,2 2,6 2,7 Salvador 1,7 1,9 1,7 1,7 2,5 Recife 2,0 2,0 1,7 1,8 2,4 Fortaleza 1,6 1,3 1,2 1,4 1,9 Belém 1,0 1,0 0,6 0,7 1,2 Fonte: Revista EXAME, 20/09/2000. 01) Os valores mais expressivos dos indicadores da economia brasileira estão na região Sudeste. 02) Apesar do crescimento recente de Curitiba e de outras metrópoles, São Paulo continua sendo a área de maior concentração econômica do país. 04) As regiões metropolitanas do Nordeste têm um comportamento econômico semelhante ao das regiões metropolitanas do Sudeste, quando se comparam população e poupança.


08) Como a qualidade de vida de uma população se mede por sua renda, São Paulo é, no Brasil, a região metropolitana com os melhores indicadores sociais. 16) A influência das regiões metropolitanas no conjunto da economia brasileira é insignificante. 32) Pelo seu tamanho e sua integração, as cidades que compõem as regiões metropolitanas do Sul do país transformaram-se em megalópoles. 64) Embora o percentual de população das regiões metropolitanas seja significativo em relação à população absoluta brasileira, está ocorrendo uma desconcentração populacional devido à multiplicação de cidades de porte médio. Questão 19. (UFPR) Sobre a metropolização, é correto afirmar que: 01) As regiões metropolitanas de São Paulo e Rio de Janeiro são as mais industrializadas da América Latina. 02) A capital do México, por seu sítio, tem dois graves problemas: as condições instáveis do subsolo e altos índices de poluição do ar. 04) Embora situado a cerca de 80 km do mar, o porto de Londres é o maior do Reino Unido, graças à navegabilidade do Tâmisa. 08) Mesmo após a reunificação da Alemanha, Munique é a maior metrópole do país, pela concentração populacional e seu movimentado porto. 16) Chicago, a grande metrópole do centro-oeste dos Estados Unidos, tem importante função como principal pólo de transportes do país. Questão 20. Assinale a(s) alternativa(s) correta(s), acerca das regiões metropolitanas brasileiras e da hierarquia urbana. 01) A Grande São Paulo é a região metropolitana mais populosa o Brasil, sendo também uma das mais populosas do mundo. 02) A região da Grande Belém tem sua área de influência econômica reduzida, devido à proximidade com São Luis. 04) Florianópolis e Porto Alegre são as metrópoles regionais do sul do Brasil. A primeira polariza as atividades turísticas, e a segunda, industriais. 08) O eixo Rio – São Paulo – Curitiba representa a megalópole brasileira em formação. GABARITO

1- D 2- D 3- C 4- C 5- C 6- A 7- B 8- D 9- A 10- A 11- C 12- A 13- A 14- C 15- B 16- C 17- D 18- 67(01+02+64) 19- 23(01+02+04+16) 20- 01(01)

Aulas 11 e 12 - Migrações As migrações são deslocamentos espaciais de populações, que se movem de um ponto a outro do globo. As migrações são um fenômeno bastante antigo, existindo desde o surgimento da humanidade. Os movimentos migratórios também são responsáveis pelo crescimento populacional de países ou regiões, ao lado do crescimento vegetativo. Desse modo, o crescimento total de uma população é dado pelo crescimento vegetativo mais as taxas de migração. As taxas de migração são dadas pelos índices de imigração menos os de emigração: → imigração: entrada de pessoas em determinado lugar, normalmente uma área de atração populacional. → emigração: saída de pessoas de determinado lugar, normalmente uma área de repulsão populacional. As razões para a ocorrência desses movimentos populacionais são diversas: conflitos políticos, religiosos, étnicos; perseguição a minorias; fatores naturais; condições econômicas. TIPOS DE MIGRAÇÕES As migrações podem ser classificadas segundo diversos aspectos. Quanto ao Tempo Quanto à duração do movimento migratório, este pode ser: → temporário: quando o migrante volta para a região de origem; → permanente ou definitiva: quando o migrante se desloca de forma definitiva sem voltar mais. Um importante caso de migrações temporárias são as ditas sazonais, que ocorrem periodicamente, de acordo com as estações do ano. Quanto ao Espaço Quanto ao espaço de deslocamento, as migrações podem ser: → externas: quando o migrante atravessa fronteiras nacionais, indo para outros países; → internas: quando ocorrem dentro do território de um mesmo país. Para migrações internas (basicamente a nível de Brasil), fala-se ainda de migrações intra-regionais e inter-regionais. MOVIMENTOS MIGRATÓRIOS NOTÁVEIS Migrações Temporárias Existem várias migrações temporárias dignas de nota.


O nomadismo é um dos movimentos migratórios mais antigos da humanidade. Consiste na ausência de localidade fixa para se viver, de modo que o povo está em constante movimento atrás de terras mais propícias a melhores condições. Ele é realizado por comunidades que vivem da coleta de frutos, caça, pesca e pequenos rebanhos, podendo se relacionar com a irregularidade de chuvas. O caso dos bóias-frias é uma migração sazonal. Eles se deslocam para as regiões de plantações, por exemplo de cana, na época da colheita, para trabalharem nas mesmas. Outra importante migração sazonal é a transumância, deslocamento de pastores europeus com seus rebanhos. Durante o verão, o rebanho é movido para as encostas montanhosas, retornando para as planícies durante o inverno. Outro importante movimento temporário é a migração (ou movimento) pendular, também conhecido por commuting. Essa é uma migração diária, que consiste no movimento dos trabalhadores das grandes metrópoles, que todos os dias vão das periferias ao centro, voltando para suas casas ao fim dos mesmos. Os refugiados de guerras normalmente são também migrantes temporários. Seu objetivo é escapar da guerra, ficando em campos de refugiados até o fim dos conflitos. Obviamente, muitos fogem das guerras de modo permanente. As grandes peregrinações religiosas também são movimentos temporários. Migrações Permanentes Migrações permanentes são resultado da saída de pessoas de áreas de repulsão populacional para áreas de atração populacional. Áreas de repulsão populacional são normalmente lugares marcados por ruins condições de vida, ausência de oportunidades e perspectivas para a população. Áreas de atração populacional são normalmente lugares que se mostram como terras de oportunidades para as pessoas que neles chegam. São lugares em que se vêem melhores condições de vida e maiores perspectivas. Porém, muitas vezes essas oportunidades são na verdade ilusórias, e áreas de atração acabam por guardar aos imigrantes condições de vida análogas às existentes em suas terras de origem, áreas de repulsão populacional. Muitas das migrações motivadas por razões econômicas são permanentes. Por exemplo, tem-se os brasileiros que tentam a sorte nos EUA. Tal movimento pode ser generalizado para todos os habitantes de países subdesenvolvidos que migram para países desenvolvidos em busca de melhores condições de vida. Esses migrantes são chamados de bárbaros do sul. Outro movimento definitivo de enorme importância é o êxodo rural. Ele consiste no fluxo de pessoas que abandonam o campo para ir à cidade. O êxodo rural é um fenômeno muito comum em países subdesenvolvidos, como no Brasil. Ele é motivado por razões principalmente econômicas, a saber: condições

precárias de vida no campo, alta concentração fundiária e às vezes o clima, como as secas no Nordeste. O êxodo rural provoca muitas conseqüências, muitas vezes negativas. Contribui para um maior crescimento da concentração fundiária, sendo que muitas vezes os latifúndios produzem bens para exportação, reduzindo a produção de alimentos para o mercado local. Além disso, é talvez a principal causa para a macrocefalia urbana, principalmente pelo fato de os migrantes costumarem ir para as grandes metrópoles. A macrocefalia urbana, por sua vez, revela-se em várias mazelas urbanas.

EXERCÍCIOS Questão 1. (PUC-PR) Fluxo de população: movimento irregular, de intensidade variável no sentido urbano-rural, em que os trabalhadores são temporários, sem garantias legais, em geral cortam cana-de-açúcar, colhem laranjas, capinam o milho e o cafezal. Estes trabalhadores são denominados: a) corumbas b) transumantes c) bóias-frias d) caiçaras e) homens-gabirus Questão 2. Considere as afirmativas abaixo, em relação às recentes imigrações internacionais da população de países pobres para países ricos. I. Anualmente milhões de pessoas abandonam seus países de origem, na América Latina, África, Ásia e países mediterrâneos e do leste Europeu, em busca de trabalho em outros países. II. Nos países desenvolvidos cresce a aversão aos povos imigrantes da América Latina, África e Ásia. Muitos países têm criado leis para evitar a entrada desses estrangeiros. III. A reação à presença de trabalhadores estrangeiros tem gerado formas radicais de extremismo de intenso caráter racista. Esta reação tem causado, principalmente, conflito com os emigrantes árabes. As afirmativas acima referem-se respectivamente: a) aos chamados "Bárbaros do Sul", ao nacionalismo e

aos grupos populares de controle sobre imigrantes. b) aos chamados "Bárbaros do Norte", à xenofobia,

aos neonazistas na Alemanha, Itália, França. c) aos chamados "Bárbaros do Sul", à xenofobia, aos

grupos populares de controle de imigrantes. d) aos chamados "Bárbaros do Norte", ao

nacionalismo, aos grupos populares de controle de imigrantes.

e) aos chamados "Bárbaros do Sul", à xenofobia, aos grupos neonazistas na Alemanha, França e Itália.

Questão 3. (UNIFENAS-MG) No Nordeste há, no decorrer do ano, um constante movimento de trabalhadores do Agreste para a Mata e desta para aquele. Os agricultores do Agreste cultivam suas

terras durante a estação chuvosa, de março a setembro: de setembro a março, durante a safra de cana-de-açúcar, eles se transferem para a Mata; com as chuvas, retornam ao Agreste, onde o trabalho os espera. Esta movimentação de trabalhadores configura o que se chama: a) êxodo rural b) migrações diárias c) migrações sazonais d) itinerância e) emigração Questão 4. (FUVEST) O movimento pendular da população que se verifica, diariamente, com bastante intensidade, em quase todas as grandes cidades brasileiras está associado a: a) movimentos rítmicos sazonais, resultantes da

homogeneidade do espaço urbano. b) uma modalidade de transumância para aproveitar

trabalhadores temporários nas áreas centrais. c) expansão horizontal urbana e periferização da mão-

de-obra. d) um intenso nomadismo gerado pela especulação

imobiliária com verticalização da mancha urbana. e) movimentos rítmicos sazonais ligados às atividades

do setor terciário. Questão 5. O sensível aumento da população urbana, em detrimento da população rural, caracteriza-se pela absorção da mão-de-obra agrícola, que, por falta de melhores condições no campo, sai em busca de novas condições de trabalho nas atividades industriais. Este fenômeno chama-se Êxodo Rural. Assinale um problema NÃO decorrente deste processo: a) O deficiente nível técnico da população. b) A criação de favelas. c) A desaceleração do processo industrial. d) A falta de mercado de trabalho. e) O subemprego. Questão 6. (FEMPAR-PR) Assinale o texto que melhor explica as diferenças entre transumância e nomadismo: a) o nomadismo existe especialmente nos desertos da

Arábia, enquanto a transumância existe em todos os desertos do Globo.

b) a transumância obedece a ritmos sazonários, enquanto o nomadismo não obedece a nenhum ritmo, com exceção do praticado na América do Sul.

c) o nomadismo obedece a ritmo sazonário, enquanto a transumância não obedece a nenhum ritmo.

d) a transumância representa um estágio mais atrasado em relação ao nomadismo, pois nela toda a população é nômade.

e) a transumância obedece a ritmos sazonários relativamente rígidos, enquanto o ritmo de nomadismo depende da irregularidade das chuvas.

Questão 7. (PUC-PR) Chama-se crescimento vegetativo ou natural: a) ao quociente obtido entre número de nascimentos e

número de habitantes de uma área; b) ao número de óbitos multiplicado por 1000 e

dividido pela população total de uma área; c) à diferença (saldo) entre as taxas de natalidade e

de mortalidade; d) ao estudo comparativo entre o crescimento da

população de um local e as alterações ocorridas na cobertura vegetal;

e) à diferença entre os fluxos imigratório e emigratório em determinada região.

Questão 8. (UNESP-SP) Os gráficos I e II representam a taxa de desemprego e os índices migratórios na Irlanda, na década de noventa. Analise-os e assinale a alternativa correta.

a) O decréscimo na taxa de desemprego a partir de

1993 não foi suficiente para atrair trabalhadores estrangeiros.

b) A taxa de desemprego manteve-se elevada em todo o período, não provocando alteração nos índices migratórios.

c) A forte queda nos índices de emigração ocorrida a partir de 1998 foi decorrente do aumento da taxa de desemprego.

d) O decréscimo na taxa de desemprego a partir de 1993 foi acompanhado pelo aumento nos índices de imigração.



e) O decréscimo na taxa de desemprego a partir de 1993 foi acompanhado pelo aumento nos índices de imigração e emigração.

Questão 9. (UFRRJ-RJ) Um dos tipos mais perversos de migração populacional é aquele em que o trabalhador se desloca da sua área de habitação em busca de frentes de trabalho, principalmente para a colheita, fato que acontece regularmente na região Nordeste. Essa população submete-se ao trabalho de poucos meses, ficando a maior parte do ano sem remuneração e sendo obrigada a viver do que ganhou naquele período. Esse tipo de migração é denominado a) nomadismo. b) sedentarismo. c) transumância. d) imigração. e) pendular. Questão 10. (FURG-RS) Uma pirâmide etária com base larga e ápice bem estreito indica: a) país com crescimento vegetativo na fase

intermediária já próxima da fase madura ou velha; b) país que apresenta elevado crescimento vegetativo

e baixa expectativa de vida; c) países com baixos índices de crescimento

vegetativo e elevada expectativa de vida; d) país onde a taxa de mortalidade infantil e a

expectativa de vida são elevadas; e) nda. INSTRUÇÃO: Responder à questão 11 com base no texto “Migração e Vida Urbana”, apresentado abaixo. MIGRAÇÃO E VIDA URBANA Os que pensam que a urbanização é um bem sustentam que a emigração para a cidade faz parte de um processo dinâmico de desenvolvimento. Os que pensam que é um mal estimam que o excesso de população rural torna-se um excesso de população urbana e provoca uma superurbanização, na qual um setor nãoestruturado, ineficaz e improdutivo, composto de vendedores ambulantes, de engraxates, de pequenos “faz-tudo” instalados nas calçadas, e de outros trabalhadores ditos marginais torna-se cada vez mais importante. A vida urbana tem seu lado positivo, mas principalmente no que diz respeito a empregos e não no que concerne aos ganhos dos trabalhadores. Talvez um trabalhador ganhe mais que um camponês, mas será que isto lhe permite satisfazer suas necessidades básicas em matéria de alimentação, saúde, moradia e educação? SALAS, Rafael M. O Correio. Rio de Janeiro, mar. 1987. p. 13 Questão 11. (PUC-RS) A única afirmativa que não se relaciona diretamente com o texto é:

a) A grande concentração populacional supõe um setor terciário “hipertrofiado”, com pouca circulação de capital.

b) O êxodo rural é um movimento migratório que impulsiona a urbanização.

c) A maioria dos camponeses que invade as cidades não consegue empregos com remuneração condizente para o sustento.

d) O processo de urbanização está intimamente relacionado ao excedente populacional do campo que se dirige aos centros urbanos.

e) A população que migra para a cidade, nos países subdesenvolvidos industrializados, é absorvida pelo trabalho no setor secundário da economia.

Questão 12. (UFPR) Sobre a situação demográfica do mundo, é correto afirmar que: 01) Entre os anos 1960 e 1980 houve brusca aceleração do ritmo de crescimento demográfico, sobretudo nos países subdesenvolvidos. 02) Na segunda metade do século XIX, ocorreu forte redução no crescimento demográfico mundial, causada por epidemias, fome e guerras. 04) Atualmente há certa homogeneidade nos países desenvolvidos com relação ao baixo crescimento demográfico. 08) Na América Latina, as altas taxas de natalidade estão vinculadas às tradições familiares, ao casamento, à gravidez precoce e às normas religiosas. 16) Nos últimos dez anos a população mundial, em valores absolutos, estacionou em três bilhões de habitantes. Questão 13. (PUC-SP) Percorrendo o século XIX e, principalmente, o século XX, o fenômeno das migrações internacionais, foi a energia forjadora e constituidora do novo quadro social dos Estados-Nação modernos. Tendo em conta esse fenômeno, leia atentamente as afirmações abaixo: 1. As sociedades receptoras de imigrantes são mais ou menos assimiladoras. Há sociedades que se constituem em formas pluriculturalistas, o que dará origem (pensando-se em cidades) a bairros de comunidades específicas (“guetos”), em que membros de uma comunidade se casam, em geral, no interior dela e normalmente só encontram os de fora no trabalho. Esse é o modelo que está mais disseminado nos países anglo-saxões (EUA, principalmente). 2. Os movimentos migratórios europeus são vigorosos entre 1880 e 1913. São majoritariamente dirigidos às Américas, embora haja correntes que vão povoar a Austrália e a Nova Zelândia. A assimilação desses europeus nas sociedades americanas foi facilitada, pois eram sociedades em constituição nas quais muitos imigrantes europeus se posicionaram razoavelmente bem e alguns acabaram por pertencer aos segmentos sociais dominantes. 3. O fluxo migratório internacional no século XX, praticamente se deu em todas as direções. A Ásia – em especial China e Japão – recebeu enormes fluxos de ocidentais atraídos por seu desenvolvimento


tecnológico e, também, forneceu grandes contingentes populacionais para a América. Nesse momento, a caminho do século XXI, há uma certa estabilidade no fluxo migratório, e a única região do planeta que ainda recebe grandes fluxos é a América Latina. Qual a alternativa que contém as afirmações corretas? a) Todas são corretas. b) Somente a 2 e a 3 são corretas. c) Nenhuma delas é correta. d) Somente a 1 e a 2 são corretas. e) Somente a 1 e a 3 são corretas. Questão 14. Quanto à Geografia da População podemos afirmar que: 01) A América Latina, nos últimos anos, apresentou uma das maiores taxas de crescimento demográfico do mundo. 02) Crescimento horizontal é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade da população de um país ou região, num determinado espaço de tempo. 04) O elevado índice de natalidade e a baixa esperança de vida explicam a alta percentagem de população jovem em muitos países. 08) O que diferencia o grupo de países desenvolvidos dos subdesenvolvidos, no que diz respeito às causas de mortalidade, é a maior ocorrência de fatores endógenos dos primeiros. 16) O grande crescimento populacional brasileiro após a Segunda Guerra Mundial não é um fenômeno isolado; coloca-se como parte integrante de uma situação demográfica mundial. Questão 15. (UFPR) Leia o texto abaixo: “Segundo cálculos do Ministério das Relações Exteriores, há 1,7 milhão de brasileiros vivendo no exterior. Pegos pela crise dos anos 80, centenas de milhares de brasileiros partiram em busca de melhores oportunidades em países ricos. E gente que aperta parafusos em Tóquio, lava pratos em Londres ou engraxa sapatos em Nova York. Mas os emigrantes brasileiros não são formados apenas por mão-de-obra desqualificada que desempenham tarefas menores em cidades do Hemisfério Norte em troca de salários em moeda forte. O próprio ltamaraty calcula que nada menos que meio milhão de brasileiros está vivendo e trabalhando nos dez países com que o Brasil tem fronteira... Esses 500 000 imigrantes brasileiros plantam 60% do arroz uruguaio, 90% da soja paraguaia, extraem 80% do ouro da Venezuela.” Revista Veja, 19/07/95. p.60 Com relação ao processo descrito no texto acima, é correto afirmar: 01) Denomina-se emigração o momento de saída das pessoas de certa área e de imigração o momento de entrada em uma nova. 02) O fator econômico continua sendo o principal motivador do processo migratório recente.

04) O texto trata de um processo de migração interna, uma vez que predominam os deslocamentos no interior de um mesmo continente. 08) Pode-se classificar o processo migratório para os países vizinhos como de migração pendular. 16) As migrações ocorridas de um país para outro recebem a denominação de emigração, enquanto aquelas realizadas dentro de um mesmo pais são denominadas de imigração. Questão 16. Em relação aos movimentos populacionais é correto afirmar: 01) São países de emigração na atualidade o Japão, a Índia e Portugal. 02) São países de imigração o Canadá, EUA e Austrália. 04) Os escravos africanos que vieram ao Brasil correspondem a um tipo de migração espontânea. 08) Os Andorinhas eram italianos que periodicamente deslocavam-se para a Argentina em virtude da falta de mão-de-obra argentina para a triticultura. 16) Os dekasseguis fazem migração temporária intercontinental. Os brasiguaios fazem migração permanente. Questão 17. (FEMPAR-PR) Sobre a estrutura de população, pode-se afirmar que: 01) Depende de dois fatores: crescimento vegetativo e crescimento vertical. 02) Sua representação gráfica ressalta a composição por sexo e idade. 04) Pirâmides de base estreita representam populações jovens. 08) Quanto mais largo o ápice de uma pirâmide, maior percentual de população jovem que ela representa. 16) A estrutura de uma população consiste na sua distribuição por grupos de idades, principalmente em três faixas: jovens, adultos e velhos. Questão 18. (UFPR) É correto afirmar que: 01) Dinâmica populacional é o conjunto de transformações que uma população sofre em seus diferentes aspectos, como crescimento, estrutura por idade ou sexo e origem étnica. 02) Taxa de natalidade é o número de indivíduos nascidos vivos por 1000 habitantes de uma dada população, durante o ano considerado. 04) Taxa de mortalidade é o número de óbitos, inclusive natimortos, considerado em relação aos índices de natalidade. 08) Taxa de fecundidade é a relação entre o número de crianças com menos de 5 anos de idade e o número de mulheres em idade reprodutiva. 16) As migrações controladas correspondem a deslocamentos de população, como a de negros africanos para o Brasil. Questão 19. (UFBA) Em relação ao crescimento populacional, pode-se afirmar:


01) O controle da natalidade e o planejamento familiar constituem uma visão neomalthusiana na análise demográfica. 02) Na visão dos otimistas, reformas nas estruturas socioeconômicas refletem o início do processo de desenvolvimento e, como conseqüência, o declínio do crescimento vegetativo. 04) O controle da natalidade soluciona, por si só, o problema do subdesenvolvimento do Brasil. 08) Alguns países subdesenvolvidos apresentam baixas taxas de crescimento natural. 16) A queda da mortalidade foi mais acelerada nos países subdesenvolvidos, em razão do avanço bioquímico que neles se verificou. Questão 20. (UFRRJ-RJ) As grandes migrações são, aliás, uma resposta e representam, na maior parte dos casos, uma queda no valor individual: o abandono não desejado da rede tradicional de relações longamente tecidas através de gerações; a entrada já como perdedor em outra arena de competições cujas regras ainda tem que aprender; a ruptura cultural com todas as suas seqüelas e todos os seus reflexos. A maior parte das pessoas não é, hoje, diretamente responsável por estar aqui e não ali, vítimas de migrações que podem ser qualificadas de forçadas. Adap. de OLIVA, Jaime e GIANSANTI, Roberto. Temas da geografia do Brasil. São Paulo, Atual, 1999. p. 326. O que melhor traduz a natureza do processo descrito acima é: a) a oportunidade de trabalho não é determinante para

as migrações. b) essa migração, embora de difícil adaptação, é do

tipo diária ou pendular. c) a adaptação cultural do migrante é demorada, mas

acaba inevitavelmente acontecendo. d) a necessidade determina a migração, que se torna

involuntária e sofrida. e) nessas migrações, a queda no valor individual é

decorrência exclusiva dos salários. Questão 21. Em relação aos movimentos populacionais é correto afirmar: 01) A melhoria dos serviços de saúde, em alguns países subdesenvolvidos, teve como resultado a diminuição da taxa de mortalidade havendo, portanto, estabilização da população. 02) A melhoria das condições médico-sociais de um povo diminui o crescimento vegetativo. 04) Entende-se por crescimento vegetativo de um país a diferença entre a taxa de natalidade e taxa de mortalidade. 08) O deslocamento efetuado por grupos que vivem da coleta de frutos, caça e pesca denomina-se nomadismo. 16) Deslocamentos humanos periódicos, determinados por motivos climáticos, são de transumância. Questão 22. (ACAFE-SC) Para analisar a situação socioeconômica de um país, alguns aspectos são

importantes, tais como: densidade demográfica, número de carros por grupos de habitantes, índices de população rural e urbana, taxa de mortalidade infantil, população absoluta. Dentre os aspectos citados dê resposta ao que se pede.

a) Destaque aquele que dá uma visão real do nível de vida da totalidade de uma população.

b) Justifique a sua escolha. GABARITO

1-C 12-13(01+04+08) 2-E 13-D 3-C 14-29(01+04+08+16) 4-C 15-03(01+02) 5-C 16-26(02+08+16) 6-E 17-18(02+16) 7-C 18-10(02+08) 8-D 19-11(01+02+08) 9-C 20-D 10-B 21-28(04+08+16) 11-E


GGeeooggrraaffiiaa Frente II CCLLIIMMAASS

EXERCÍCIOS

1) “Menino travesso: El Niño retorna mais poderoso e ameaça enlouquecer o tempo em todo o mundo.”

(Revista Veja, 27/08/97 p. 42-43) A notícia acima exemplifica a ampla cobertura da mídia sobre esse fenômeno, geralmente relacionado à: a) atuação inesperada da massa de ar úmida que, ao resfriar as águas do Oceano Pacífico, eleva os índices de evaporação e intensifica as chuvas de monções no sudeste asiático. b) presença de correntes marítimas com baixas temperaturas na costa ocidental americana, justificando a diminuição dos cardumes no Chile e as estiagens no sudeste do Brasil e dos EUA. c) inversão térmica oceânica que aquece parte das águas superficiais do Pacífico, aumenta o número de tempestades marítimas e desregula os índices de chuva na região tropical. d) temporada de furacões e episódios de secas nas costas ocidentais americanas, devido ao aumento da força dos ventos tropicais que sopram da Ásia em direção à América do Sul. e) formação de ondas que trazem à tona as águas mais frias do fundo do Oceano Pacífico, intensificando os índices de aridez no Peru e Sul do Brasil e as inundações na Ásia tropical. 2) Quanto às atividades humanas que podem interferir no clima, estão corretas: I. O efeito estufa é provocado pelo excesso de gás carbônico na atmosfera, aprisionando os raios de infra-vermelhos do Sol. II. A urbanização excessiva do centro da cidade pode criar um a ”ilha de calor” III. O buraco na camada de ozônio parece ter sido provocado pelo fenômeno El Niño. IV. Na inversão térmica,o ar frio fica acima do quente, impedindo a subida e dispersão dos poluentes. V. As chuvas ácidas são conseqüências da poluição atmosférica. a) I, II, V b) I, III, IV c) I, II, IV d) I, III, V e) II, III, IV 3) (Fuvest 94) Considere as características abaixo: • Temperaturas médias superiores a 18° C com diferenças sazonais marcadas pelo regime de chuvas. • Amplitude térmica anual inferior a 6° C. • Circulação atmosférica controlada por massas equatoriais e tropicais. • Regimes fluviais dependentes, basicamente, do comportamento da precipitação. • Paisagens vegetais dominantes: florestas latifoliadas e savanas.

Tais feições ocorrem, predominantemente, em regiões: a-) intertropicais de baixa latitude e modesta altitude. b-) extratropicais de média latitude e elevada altitude. c-) temperadas com forte influência dos oceanos. d-) de planícies inundáveis de alta latitude. e-) litorâneas de qualquer latitude. 4) (Fuvest 96)

A leitura da carta sinótica acima permite afirmar que as condições do tempo nas cidades indicadas são, mais provavelmente: a-) estáveis, com temperatura em ligeiro declínio e fraca probabilidade de chuvas, em Curitiba e Belo Horizonte. b-) instáveis, com chuvas esparsas e temperatura em ascensão, em São Paulo e Brasília. c-) instáveis, com fortes chuvas, alto teor de umidade e temperatura estável, em Brasília e Manaus. d-) instáveis, com céu encoberto, chuvas e temperatura em declínio, em São Paulo e Curitiba. e-) estáveis, com céu claro, baixo teor de umidade e temperatura em ascensão, em Porto Alegre e São Paulo.

5) Gás carbônico e vapor de água são os responsáveis por este fenômeno que se identifica por um recobrimento da região, permitindo a entrada de raios do sol e dificultando a saída de calor. Este fenômeno é denominado: a) Ilha de calor. b) Destruição da camada de ozônio. c) Efeito estufa. d) Inversão térmica. e) El niño.

6) (Unicamp 2ª Fase) Dê os 5 tipos principais de clima do Brasil, sua localização e vegetação típica. 7) (Unicamp 2ª Fase) Explique os motivos pelos quais o Sertão Nordestino possui clima semi-árido, levando em conta seus conhecimentos sobre geologia e meteorologia.

8) A cidade de Campos do Jordão está mais próxima à linha do Equador do que a cidade de São Paulo.Assim ,teoricamente,São Paulo deveria ser mais frio do que Campos do Jordão.Mas isso não acontece.Tal fato é explicado pela influência da:

a)maritidade b)longitude c)altitude d)pluviosidade e)latitude 9) No Brasil, o maiores índices pluviométricos ocorrem: a)Na Serra do Mar,Amazônia Ocidental e litoral do Amapá b)No Sertão Nordestino e Vale do São Fancisco c)No pantanal Matogrossensse,Planalto central e Planalto Meridional d)Na Zona da Mata Nosdestina,Recôncavo baiano e litoral capixaba. e)Na Baixada Paulista,Baixada Fluminense e Vale do Itajaí. 10) Assinale a alternativa falsa: a ) o litoral norte do Brasil é banhado pela corrente das Guianas. b ) a corrente brasileira que banha as costas orientais e sul do Brasil é fria. c ) as correntes marítimas não exercem notável influência sobre o clima do litoral do Brasil. d ) são originárias das costas africanas as correntes marítimas que banham o litoral brasileiro. e ) as correntes marítimas brasileiras são quentes. 11) Observe o mapa de pluviosidade e verifique as variações, ocorrendo a redução da pluviosidade de uma faixa ao norte de MT (mais de 2 000 mm) para o sul de MS e leste de GO. A área de menor quantidade de chuvas, com cerca de 1.200mm é:

a ) Vale do rio Jurena e Teles Pires; b ) Ilha do Bananal; c ) Brasília; d ) Pantanal; e ) Alto Xingu. 12) (Fuvest 80) Tendo em vista as características físicas e as atividades econômicas numa escala global, qual das correlações abaixo pode ser considerada correta? a-) faixa das médias latitudes do hemisfério sul – zonas agrícolas de produtos tropicais. b-) zonas equatoriais e tropicais de ambos os hemisférios – cultura de cereais em grande escala. c-) faixa de clima temperado do hemisfério norte – grandes áreas industriais. d-) regiões polares setentrionais – agricultura de jardinagem. e-) regiões montanhosas e de planaltos – extração de minérios e cultura de vegetais de clima quente.

13) (Fuvest) Redija um texto enfatizando a importância da questão ambiental para a Geografia. Faça-o, utilizando, no seu significado adequado, pelo menos seis dos seguintes termos: biodiversidade, tropical, economia, latitude, região, recursos, poluição espaço, superpopulação, industrialização, conurbação. 14. (UFV-2000) Qual das opções abaixo faz uma associação INCORRETA entre os tipos climáticos brasileiros e sua localização espacial? a) Clima Tropical Semi-úmido - Predomina na porção continental do território nacional, principalmente no Planalto Central e em trechos do Sudeste e do Nordeste. b) Clima Tropical Úmido ou Atlântico - Faixa costeira, do Rio Grande do Sul até São Paulo, podendo aparecer também ao longo da porção oriental da bacia do rio Doce e em parte da Zona da Mata Mineira. c) Clima Tropical Semi-árido - Predomina no sertão nordestino e em parte do médio vale do rio São Francisco. d) Clima Equatorial - Toda a região Sudeste e parte norte do Paraná. e) Clima Subtropical - Predomina no sul do país, abaixo do Trópico de Capricórnio. 15) Assinale a alternativa com o climograma mais característico do clima subtropical no Brasil. (Ferreira, 2000.)

16) Os climogramas acima dizem respeito ao clima de duas das regiões assinaladas com letras na figura ao lado. Diga qual a região associada a I e qual está associada a II, declarando qual o clima de cada uma. Diga quais elementos no climograma lhe permitiram chegar a sua conclusão.


17) A existência de extensas áreas secas localizadas nas costas ocidentais dos continentes em latitudes vizinhas a ambos os trópicos é determinada, essencialmente, pela a) dinâmica atmosférica controlada pela zona de convergência intertropical. b) presença de áreas de baixa pressão atmosférica. c) alternância entre massas polares e equatoriais em tais latitudes. d) presença de correntes marítimas quentes ao longo dos litorais. e) presença de correntes marítimas frias ao longo dos litorais. 18)“Quando o nível do mar recuou e permaneceu por alguns milênios a uma centena de metros mais baixo do que atualmente, o clima regional em seu conjunto era menos quente e muito mais seco (...). Havendo muito menos precipitações, os rios eram bem menos volumosos (...). Pelo oposto, durante a ascensão do nível do mar (...), processou-se uma retropicalização generalizada da região, com aumento de calor e, sobretudo, dos níveis de pluviosidade e umidade do ar. Mais chuvas e teor de umidade (...) provocaram a reexpansão florestal”.

Fonte: Ab’Saber, 1996. O texto acima descreve o processo de uma região natural brasileira. Identifique-a corretamente, relacionando-a ao processo. Região Natural Processo a) Mata Atlântica Tectonismo b) Cerrado Tectonismo c) Pampa Gaúcho Variação Climática d) Mata de Araucária Tectonismo e) Floresta Amazônica Variação Climática O texto descreve as características do paleoclima amazônico e o impacto de sua variação sobre os outros elementos da paisagem. 19)

20) (PUC 2006) Analise o gráfico de precipitação:

Assinale a alternativa que explica as diferenças de precipitação entre as cidades do Rio de Janeiro e de Belo Horizonte. a) A diminuição da precipitação nos meses de abril a setembro em Belo Horizonte é decorrência do aumento da atuação da massa de ar Equatorial Continental em Minas Gerais. b) A maior ocorrência de precipitação nos meses de outubro a março em Belo Horizonte é conseqüência da atuação mais intensa, nesse período, da massa de ar Polar Atlântica. c) As chuvas se distribuem com maior regularidade, ao longo do ano, no Rio de Janeiro devido à constante influência da massa de ar Tropical Atlântica nessa área do litoral. d) A precipitação entre outubro e março no Rio de Janeiro é menor em comparação a Belo Horizonte, devido à densidade maior de edificações, fator que dificulta as precipitações. e) A precipitação mais elevada entre outubro e março em Belo Horizonte decorre da atuação da massa de ar Tropical Continental, mais úmida que a massa Tropical Atlântica. 21) (Unicamp 2005) A figura abaixo representa a distribuição das correntes oceânicas na Terra.


Adaptado de Paulo Roberto Moraes, Geografia Geral e do Brasil.

São Paulo: Harbra, 2003, p. 97. a) Por que existem correntes frias e correntes quentes nos oceanos? b) Explique a associação existente entre as correntes marítimas frias e o aparecimento de desertos em algumas costas continentais, como nos casos dos desertos do Atacama e do Calaari . c) O fenômeno da ressurgência está associado à existência das correntes marítimas. Explique por que as áreas de ressurgência são as mais piscosas dos oceanos. 22) (UNICAMP 2004-Adaptada) Os mapas abaixo representam a situação das massas de ar que atuam no Brasil no solstício de verão e no solstício de inverno. Observe e faça o que se pede:

Adaptado de Marcos de Amorim Coelho e Nilce Bueno Soncin. Geografia do Brasil. São Paulo:

Editora Moderna, 1985, p.48 e 50. a) Durante o inverno, por que a massa polar consegue atingir mais facilmente a região amazônica? Como é chamado este fenômeno? b) Explique o porquê do elevado índice de chuvas na região da Serra do Mar no litoral do Sudeste c) Na Zona da Mata nordestina, por que as chuvas concentram-se no inverno? d) Explique porque, apesar de ser uma massa de ar continental, a mEc é úmida. Diga também qual o tipo predominante de chuva na sua região.

GABARITO 20) A cidade do Rio de Janeiro recebe forte influência da sua posição geográfica marítima, com menor amplitude térmica, maior pluviosidade e chuvas regularmente distribuídas. São aspectos associados à massa Tropical Atlântica quente e úmida. Entretanto, Belo Horizonte sofre maior influência continental, com clima mais rigoroso, mais bem marcado por alternância de chuvas no verão, secas no inverno, sujeito a quedas de temperatura no inverno, com clima tropical de altitude. 21) a) Os diversos pontos do planeta, por onde se distribuem as águas oceânicas, recebem diferentes graus de insolação. Essa insolação é maior nas proximidades do Equador (onde se originam as correntes quentes) e menor na proximidade dos pólos (onde se originam as frias). b) As correntes marinhas frias apresentam águas com baixas temperaturas que dificultam a evaporação da água. Assim, locais banhados por essas correntes vão apresentar menores índices de umidade, e os ventos que sopram do mar em direção ao continente são secos, facilitando a instalação de desertos. As correntes marítimas frias, como Humboldt, que banha o litoral do Chile, e Benguela, que banha o litoral da Namíbia, estão associadas à presença dos desertos de Atacama (Chile) e Calaari (Namíbia), pois o fato de serem frias acarreta o baixo grau de evaporação e, portanto, baixa umidade atmosférica, o que explica a baixa taxa de pluviosidade. c) A ressurgência é o surgimento de águas frias, transportadas por correntes submarinas que afloram à superfície em determinados locais. Essas correntes frias transportam grande quantidade de plâncton, que atrai peixes em profusão. Como exemplos, podemos citar a corrente fria de Humboldt (Peru), que beneficia a pesca na costa do Chile e do Peru, e a corrente Oya-sivo, que incrementa a pesca no Japão.


__________________________________________________________________________________________________________________ CASD Vestibulares Geografia 170

GEOGRAFIA FFrreennttee IIII

HHIIDDRROOGGRRAAFFIIAA DDOO BBRRAASSIILL

O Brasil é um país cuja rede hidrográfica é mui-to extensa, e é um dos países com maior potencial hi-drelétrico do mundo, devido à presença de rios de pla-nalto. Outras características apresentadas pela rede hidrográfica brasileira, de modo geral, são: • Drenagem exorréica: rios correm direta ou indireta-mente para o Oceano Atlântico. • Foz ou desembocadura em forma de estuário. • Regime fluvial tropical austral: cheias de verão e vazantes no inverno. • Rios perenes (a maioria). • Ausência de lagos naturais. BACIAS HIDROGRÁFICAS

Bacias hidrográficas brasileiras São quatro as principais bacias hidrográficas brasilei-ras: Bacia Amazônica, Bacia do Tocantins-Araguaia, Bacia Platina e Bacia do São Francisco. A Bacia Plati-na engloba as Bacias do Paraná, Paraguai e Uruguai. Existem ainda as Bacias Secundárias, que são as Ba-cias do Amapá, do Sudeste, do Leste e do Nordeste. BACIA AMAZÔNICA

Encontro das águas dos Rios Negro e Solimões

A Bacia Amazônica é a maior bacia hidrográfica do mundo. Ocupa 3.904.392,8 km2, cerca de 46% das terras brasileiras. Devido à proximidade da linha do Equador, apresenta um regime complexo de cheias. Comunica-se com a Bacia do Orenoco, na Venezuela, através de canais, entre os quais o Canal Cassiquiare, e com a do Paraguai, através da “região das águas e-mendadas”, no nordeste do Mato Grosso.

O principal rio desta bacia é o Rio Amazonas, que é o maior rio do mundo em volume de águas e em extensão. Nasce no Peru, a 5300 m de altitude e recebe várias denominações. Seu principal formador é o Uca-yali, que desce em direção a Tabatinga, no estado do Amazonas, recebendo o nome de Solimões. Da conflu-ência com o Rio Negro, recebe o nome de Amazonas. No Brasil, banha os estados do Amazonas, Pará e A-mapá, percorrendo 3160 km, ao longo dos quais desce somente 65 metros, ou seja, é um rio de planícies, e navegável. A largura média varia de 3.000 a 15.000 m, e o ponto mais estreito (1800 m) está localizado em Óbidos, no estado do Pará. A profundidade varia de 20 a 200 m. O grande volume de água é devido ao degelo dos An-des e à alimentação e regime pluviométrico de seus afluentes. Sua foz é do tipo mista (delta-estuário). Na Bacia Amazônica observam-se ainda fenô-menos como o das terras caídas e o da pororoca ou macaréu. • Terra caída: escavação produzido pelas águas dos rios nas margens, provocando desmoronamentos. • Pororoca: encontro das águas do rio, por ocasião das cheias, com as águas do mar durante as marés altas. O potencial hidrelétrico instalado é de 2.234,0 GWh e as principais hidrelétricas são: São Félix, no Rio Xingu, Balbina, no Rio Uatumã e Curuá-Una, no Rio Curuá-Una. BACIA DO TOCANTINS-ARAGUAIA É considerada a maior Bacia Hidrográfica total-mente brasileira. É composta pelo rios Tocantins, Ara-guaia e seus afluentes, drenando uma área de 813.674,1 km2, abrangendo as Regiões Norte, Nordeste e Centro-Oeste do Brasil. O Rio Araguaia é um afluente do Rio Tocantins, e é considerado o rio mais piscoso do mundo. Ainda no Rio Araguaia situa-se a maior ilha fluvial do mundo: a Ilha do Bananal. Os principais rios da Bacia do Tocantins-Araguaia nascem nos planaltos da porção central do Brasil.

Assim como a Bacia Amazônica, a bacia do To-cantins-Araguaia possui um grande potencial hidrelétri-co. No Rio Tocantins está localizada a hidrelétrica de Tucuruí, que fornece energia para o Projeto Carajás, no estado do Pará. O potencial hidrelétrico instalado da bacia é de 29.614,4 Gwh.

__________________________________________________________________________________________________________________171 Geografia CASD Vestibulares

BACIA PLATINA Abrange uma área de 1.397.905,5 km2 e tem um potencial hidrelétrico instalado de 184.917,4 GWh, o maior de todas as bacias brasileiras. É composta pelas Bacias do Paraná, Paraguai e Uruguai. É nesta bacia que estão a maioria das usinas hidrelétricas do país. Dentre elas: Itaipú e Urubupungá (Rio Paraná), Furnas, Peixoto e Água Vermelha (Rio Grande), Emborcação, Itumbiara, Cachoeira Dourada e São Simão (Rio Para-naíba), Henry Borden, Barra Bonita, Bariri, Ibitinga e Promissão (Rio Tietê), Xavantes e Capivara (Rio Para-napanema) e Foz do Areia, Salto Osório, Salto Santiago e Salto Segredo (Rio Iguaçu). A Bacia do Paraná é a mais extensa das três e possui o maior potencial hidrelétrico instalado do Brasil e o segundo maior potencial hidrelétrico, com rios tipi-camente de planalto. A navegação nestes rios é realiza-da utilizando-se o sistema de eclusas. O rio Paraná é formado pela confluência do Rio Grande com o Rio Pa-ranaíba. A Bacia do Paraguai tem como principal rio o Rio Paraguai, que é a artéria hidrográfica do Pantanal. Nasce no estado do Mato Grosso e desce em direção à planície do Pantanal, onde recebe vários afluentes, co-mo São Lourenço, Taquari, Miranda e Apa. É um rio de planície, portanto, navegável. Durante a época das cheias, o Rio Paraguai inunda vastas áreas do Panta-nal, formando muitas lagoas denominadas ‘baías’. Há três portos fluviais principais neste rio: o de Corumbá e o de Porto Murtinho, no estado de Mato Grosso do Sul e o de Cáceres, no estado de Mato Grosso. A Bacia do Uruguai nasce da confluência do Rio Pelotas com o Rio Canoas, entre os estados de Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Possui pouca utili-zação hidrelétrica e é navegável em apenas alguns trechos.

Bacia Platina BACIA DO SÃO FRANCISCO A Bacia do São Francisco ocupa 645.067,2 km2 e tem um potencial hidrelétrico instalado de 54.713,8 GWh.

O Rio São Francisco é um rio de planalto, que nasce na Serra da Canastra, em Minas Gerais, e tem sua foz na divisa entre os estados de Alagoas e Sergi-pe.

Bacia do São Francisco Neste rio, estão localizadas as hidrelétricas de Três Marias, Paulo Afonso, Sobradinho e Moxotó. Apre-senta cachoeiras, porém é navegável por 2000 km, de Pirapora a Juazeiro, e atravessa grande parte da região semi-árida do nordeste. Por esta razão, desempenhou papel importante no contexto histórico do Brasil. Atual-mente permite a irrigação ao longo do seu curso. Os principais afluentes são: Abaeté, Indaiá, Paraopeba, Paracatu, Urucaia, Verde Grande, Verde Pequeno e Carinhanha. O Rio São Francisco é denominado Nilo Brasi-leiro (devido às cheias periódicas que fertilizam seu vale), Rio dos Currais (devido à penetração de gado através de seu vale) e Rio da Unidade Nacional (porque foi um importante elo de ligação entre o Nordeste e Su-deste). BACIAS SECUNDÁRIAS BACIA DO AMAPÁ É a menor bacia hidrográfica brasileira. Abrange os rios do estado do Amapá: Oiapoque, Cassiporé, Cal-çoene e Araguari. O Rio Araguari se destaca-se pela ocorrência do fenômeno da pororoca. BACIA DO NORDESTE Abrange os rios do Sertão Nordestino, dos quais a maioria são temporários, ou seja, secam durante os períodos de estiagem. Os principais rios são: Jaguaribe (Ceará), Piranhas (Rio Grande do Norte), Pindaré, Mea-rim, Itapecuru e Grajaú (Maranhão) e Parnaíba (Mara-nhão e Piauí). Os rios Mearim, Pindaré, Grajaú, Itapecu-ru e Parnaíba são perenes. No Rio Parnaíba está situa-da a hidrelétrica Castelo Branco. BACIA DO LESTE É constituída pelos rios que descem do Planalto Atlântico em direção ao oceano Atlântico. Estes rios nascem nas encostas das Serras do Mar, Mantiqueira e Espinhaço, e correm de oeste para leste. Os principais rios são: Jequitinhonha, Doce e Paraíba do Sul. BACIA DO SUDESTE É composta por rios que possuem pequeno curso por nascerem a leste dos planaltos e serras e


desaguarem no oceano. Dentre eles: Ribeira do Iguape (São Paulo), Itajaí-Açú, Tubarão e Araranguá (Santa Catarina), Jacuí, Guaíba, Jaguarão e Camaquã (Rio Grande do Sul).

Bacias secundárias

Bacias Secundárias Bacia do Amapá Bacia do Leste 1. Rio Oiapoque 13. Rio Vaza-Barris 2. Rio Araguari 14. Rio Itapecuru Bacia do Nordeste 15. Rio Paraguaçu 3. Rio Pindaré 16. Rio das Contas 4. Rio Grajaú 17. Rio Jequitinhonha 5. Rio Mearim 18. Rio Doce 6. Rio Itapecuru 19. Rio Paraíba do Sul 7. Rio Parnaíba Bacia do Sudeste 8. Rio Gurguéia 20. Rio Ribeira do I-

guape 9. Rio Piauí 21. Rio Itajaí 10. Rio Acaraú 22. Rio Taquari 11. Rio Jaguaribe 23. Rio Jacuí 12. Rio Piranhas 24. Rio Camaquã

Rios das Bacias Secundárias Energia Hidrelétrica

A associação de condições como a grande exten-são territorial do Brasil, o predomínio de relevo planálti-co, o predomínio do regime pluvial tropical em uma vas-ta rede hidrográfica propicia fortemente a utilização de hidreletricidade no país.

O potencial hidrográfico de um rio é determinado por dois fatores: • volume de água • altura da queda d’água ou declividade de um rio.

As hidrelétricas são responsáveis por 95% da gera-ção de energia do país. Os 5% restantes são supridos por usinas termelétricas (carvão, xisto pirobetuminoso, lenha, etc.). O Brasil não tem abundância de combustí-veis fósseis em seu subsolo (como petróleo ou carvão

mineral). A produção de energia nuclear é inexpressiva e não confiável. Não há cultura de produção energética provinda de fontes alternativas como de biodigestores.

Dentre as usinas hidrelétricas no Brasil, Itaipu se destaca, sendo atualmente a maior usina hidrelétrica do planeta. Itaipu é uma usina binacional, construída com capital brasileiro e paraguaio. Produz 1/5 da demanda energética do país. Junto com a energia que é compra-da do Paraguai (que não utiliza toda a sua metade de direito da produção), inteira-se 1/4 da demanda do Bra-sil. Privatizações do Setor Energético

A partir de 1995, começou o processo de privatiza-

ção do setor, ou seja, venda da empresa estatal para a iniciativa privada. Vantagens da privatização: maiores investimentos e melhoria do serviço, desoneração do Estado. Desvantagens: redução de pessoal (desempre-go), perda do controle em um setor estratégico (energi-a), aumento das tarifas ao consumidor. Leitura Complementar: Para que serve uma barragem? As grandes represas podem gerar energia elétrica e controlar inundações. Mas também podem desestru-turar comunidades inteiras. Uma grande barragem pode ter um impacto muito positivo sobre a vida de um determinado país. Ao formar imensos lagos - que serão usados na geração de energia elétrica - ela pode controlar o fluxo dos rios e as inundações. Também é capaz de corrigir o curso dos rios, facilitando a navegação - um meio de transporte relativamente barato. E a geração de energia ajuda a combater a pobreza e a abrir novos postos de trabalho. A mesma barragem, porém, pode causar muita tristeza para comunidades inteiras. Se a obra não for debatida pelas populações afetadas e se não houver indenizações adequadas, milhares de pessoas podem perder tudo com a inundação de suas casas e campos. Espécies de peixes e plantas podem simplesmente de-saparecer. O coração da represa é o lago, seguido por quedas que farão girar turbinas. Esses equipamentos geram energia elétrica, logo retransmitida. Cerca de 19% da energia elétrica produzida no mundo provém dessas usinas hidrelétricas. Mas essa fatia cresce muito em países que contam com grandes rios e que-das d’água. No Brasil, 91% da energia é hidrelétrica. De acordo com a Comissão Mundial de Barra-gens, criada para debater formas de reduzir o impacto social e ambiental da construção de grandes represas, até 1997 haviam sido erguidas no mundo cerca de 800 mil barragens de todos os tipos. Dessas, 45 mil são grandes unidades, com mais de 15 metros de queda d’água. A China e a Índia são, hoje, os dois maiores construtores de represas do mundo. E cerca de 4 mi-lhões de pessoas têm de ser deslocadas a cada ano, para dar lugar aos novos lagos. Parte desses deslocamentos humanos é muito positiva. As pessoas recebem indenizações e terras melhores. Nos anos 30, uma série de barragens e de sistemas de irrigação no vale do Tennessee, nos EUA, permitiu controlar grandes inundações e levou a uma importante melhoria do nível de vida da população.


Há, porém, casos dramáticos. A inauguração da represa de Chixoy, na Guatemala, em 1983, foi precedi-da de um massacre de mais de duas mil pessoas. O país vivia uma guerra civil entre o governo (uma ditadu-ra militar) e grupos guerrilheiros. A tática do governo militar era massacrar comunidades camponesas intei-ras, para eliminar possíveis bases de apoio da guerrilha e amedrontar a população. Milícias apoiadas pelo go-verno exterminaram, em dois grandes massacres, a maior parte das 3.500 pessoas - a maioria, índios achì - afetadas pelas barragens. Casos como esse levou as grandes agências que financiam a construção de barragens - como o Ban-co Mundial - a impor regras rígidas para liberar o dinhei-ro. A obra e as indenizações têm de ser amplamente discutidas com as populações afetadas e com entidades que defendem o meio ambiente. Se não houver um mínimo de acordo, o dinheiro não sai. Existe hoje um grande debate entre aqueles que defendem a construção de barragens, (uns sugerem mais, outros menos cuidado social e ambiental) e aque-les que são radicalmente contrários, apostando em ou-tras fontes de geração de energia, como a solar. Uma coisa, porém, é certa. Seja qual for a justificativa eco-nômica, daqui para diante será muito difícil construir uma barragem de grande porte, sem levar em conta as espécies animais e vegetais ameaçadas, e as popula-ções atingidas. Retirado da Revista Pangea

EXERCÍCIOS Questão 1. (UFV-MG) Sobre a hidrografia brasileira é CORRETO afirmar que: a) apesar da maioria dos rios brasileiros ter a vertente para o oceano Atlântico, o rio Negro, na bacia amazôni-ca, tem sua vertente para o oceano Pacífico em virtude de sua nascente se localizar nos Andes peruanos. b) todas as grandes bacias hidrográficas brasileiras têm sua vertente para o oceano Atlântico. c) a grande maioria dos rios brasileiros tem sua foz em forma de delta, como é o caso do rio São Francisco. d) o rio São Francisco atravessa vários estados brasilei-ros percorrendo uma trajetória no sentido norte / sul do país. e) no Brasil predominam rios de planície, o que favorece a navegação fluvial como nos rios Uruguai e na maior parte do São Francisco.

Questão 2. Identifique as bacias hidrográficas corres-pondentes às letras: Questão 3. (Unicenp-PR) Em relação à hidrografia, assinale a alternativa CORRETA: a) Bacia hidrográfica é um conjunto de rios que não apresentam foz. b) As bacias hidrográficas que deságuam nos oceanos são denominadas de exorréicas. c) Delta é um tipo de foz que não apresenta ilhas. d) Jusante é a direção contrária ao curso de um rio. e) Regime fluvial é a maneira como o rio pode ser utili-zado para gerar energia elétrica. Questão 4. No mapa abaixo, estão indicadas algumas hidrelétricas brasileiras. Assinale a alternativa que iden-tifica a seqüência CORRETA:

a) 1. Itaipu, 2. Balbina, 3. Paulo Afonso, 4. Furnas, 5. Xingo b) 1. Urubupungá, 2. Castelo Branco, 3. Tucuruí, 4. Três Marias, 5. Furnas c) 1. Rossana, 2. Paulo Afonso, 3. Coaracy Nunes, 4. Furnas, 5. Três Marias d) 1. Marimbondo, 2. Xingó, 3. Sobradinho, 4. Passo Real, 5. Segredo e) 1. Capivara, 2. Xavantes, 3. Paulo Afonso, 4. Tucuruí, 5. Foz do Areia


Questão 5. A bacia hidrográfica que apresenta o maior potencial energético em utilização é: a) Amazônica b) Tietê c) Paraná d) Itajaí e) São Francisco Questão 6. (UEPG-PR) A integração brasileira à produ-ção econômica do Mercosul será possível através de uma hidrovia conhecida como espinha dorsal. No mapa abaixo, os números 1 e 2 assinalam, respectivamente, os dois rios básicos dessa hidrovia de integração regio-nal, que são os rios:

a) Grande e Paranapanema b) Tietê e Paranaíba c) Paraná e Paranaíba d) Grande e Tietê e) Tietê e Paraná Questão 7. Ao longo do _____________, único rio pe-rene que atravessa o Sertão do Nordeste brasileiro, desenvolvem-se projetos de irrigação para o cultivo de vários produtos. Na Bacia do ______, encontra-se a maior produção energética do Brasil. a) Parnaíba – Amazonas b) Jaguaribe – Paraguai c) Rio Grande – Tocantins d) São Francisco – Paraná e) Paraíba – Uruguai Questão 8. (UEPG-PR) O Brasil concentra uma grande parte dos recursos hídricos da Terra, e a utilização eco-nômica de tais recursos acarreta uma série de conse-qüências danosas. Assinale a alternativa que NÃO caracteriza tal tipo de conseqüência: a) As inundações de grandes superfícies produtivas em virtude da construção de barragens hidrelétricas. b) A conscientização da necessidade de uma gestão patrimonial dos recursos hídricos. c) As enchentes provocadas pela erosão das terras e a destruição da vegetação. d) A sedimentação e colmatação dos leitos. e) As poluições cíclicas de ordem doméstica e industri-al. Questão 9. (FUVEST) Na bacia hidrográfica amazônica ocorrem dificuldades para implantação de usinas hidroe-létricas, porque ela apresenta:

a) oscilação na vazão fluvial maior que em outras baci-as, o que exige grandes reservatórios e altas barragens. b) relevo de altiplanos com solos friáveis que dificultam a execução de barragens. c) relevo com pequena variação altimétrica exigindo extensos reservatórios que podem acarretar forte im-pacto ao ambiente natural. d) relevo plano, regularidade na vazão fluvial e extensa cobertura florestal. e) quedas d'água nos baixos cursos dos afluentes do Amazonas que dificultam a geração de energia. Questão 10. (PUC-RS) 42) Os números 1 e 2, repre-sentados no mapa, indicam usinas hidrelétricas locali-zadas em um rio brasileiro. A alternativa que indica cor-retamente o nome do rio e as respectivas usinas é:

a) Rio Parnaíba - Urubupunga e Furnas. b) Rio Paraná - Boa Esperança e Urubupunga. c) Rio São Francisco - Paulo Afonso e Três Marias. d) Rio Parnaíba - Furnas e Tucuruí. e) Rio São Francisco - Balbina e Paulo Afonso. Questão 11. (FURG-RS) A questão a seguir refere-se ao texto abaixo: "A hidrovia é um projeto que envolve os governos do Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai e Bolívia, com o objetivo de melhorar as condições de navegabilidade entre os portos de Cáceres e Nova Palmira (...). Tais obras poderão aumentar a velocidade do fluxo da água do rio com conseqüências danosas ao meio ambiente. Uma delas seria a aceleração do movimento dos bace-ros ou batumes - verdadeiras ilhas flutuantes, cuja base é formada por aguapés." (Ciência Hoje, julho de 1995) Qual bacia hidrográfica a que o texto faz referência? a) Amazônica b) São-Franciscana c) Araguaia-Tocantins d) Platina e) Nordestina Questão 12. (FUVEST) O rio São Francisco, no Brasil, e o Rio Nilo, na África, apesar de suas diferenças de extensão, traçado e paisagens percorridas, oferecem algumas sugestivas analogias geográficas. Isto ocorre porque apresentam: a) trechos terminais em forma de estuários, situados em regiões intertropicais secas, e nascentes em áreas e-quatoriais úmidas. b) trechos terminais fertilíssimos, em forma de grandes deltas intensivamente cultivados, situados em oceanos abertos. c) médio e baixos cursos em zonas desérticas que se beneficiam com a regularidade de suas cheias, obtidas


graças aos grandes represamentos realizados nos altos cursos. d) longos cursos permanentes de direção sul-norte, cortando zonas de climas quentes muito contrastantes, inclusive secos, alimentados por cabeceiras situadas em áreas úmidas. e) cursos típicos de planaltos, em clima tropical de esta-ções alternadas, só atingindo cotas abaixo de 200 m em trechos bem próximos da foz. Questão 13. (FATEC-SP)

Potencialmente, o Brasil apresenta 38 mil quilômetros de hidrovias, algumas das quais já em estudos de viabi-lização. Observando o mapa pode-se afirmar que a hidrovia: a) 1 beneficiará não só o Brasil como nossos vizinhos do sul, pois será importante para o transporte de soja, ferro, manganês e muitos outros produtos agroindustri-ais. b) 1 beneficiará tanto a Amazônia como o Centro-Sul, pois permitirá o escoamento da produção madeireira e agropecuária dessas regiões para os mercados exter-nos. c) 2 beneficiará a porção Centro-Norte do país, pois permitirá o assentamento de milhares de famílias de sem-terras que produzirão gêneros alimentícios para o mercado interno. d) 2 beneficiará sobretudo as novas áreas industriais do Centro-Oeste, inclusive reforçando o papel de Brasília como metrópole regional. e) 3 beneficiará não só a Amazônia brasileira como a de nossos vizinhos do norte, pois será importante para o escoamento da produção minero-industrial da Amazônia Ocidental para países como o Japão e os Estados Uni-dos. Questão 14. (ACAFE-SC) O Brasil possui uma das mais ricas e extensas redes fluviais do mundo. Esta rede origina-se a partir de três divisores de água. Des-taque as afirmativas que correspondem ao que foi aci-ma especificado: 1. A Cordilheira dos Andes dá origem aos rios formado-res do Rio Amazonas. 2. O Planalto das Guianas dá origem aos rios da mar-gem esquerda do Rio Amazonas. 3. O Planalto Brasileiro dá origem às mais importantes bacias brasileiras, ou seja, Amazônica (os afluentes da margem direita), Platina, Tocantins-Araguaia e São Francisco.

4. O Planalto Central dá origem a todos os rios da Bacia Platina. 5. O Planalto Nordestino dá origem aos rios da Bacia do Sudeste. A alternativa com as afirmativas Verdadeiras é: a) 1, 2, 3 e 4 b) 1, 2 e 3 c) 1, 2, 3, 4 e 5 d) 1, 2 e 5 e) 1 e 5 Questão 15. Quanto à rede hidrográfica brasileira, a alternativa INCORRETA é: a) Devido à estrutura geológica e ao relevo, o território brasileiro não possui grandes lagos. b) Com relação ao seu aproveitamento energético, a hidrografia brasileira é subutilizada como fonte de ener-gia. c) A foz da maioria dos rios brasileiros é na forma de delta, cujo principal exemplo é o Rio Parnaíba. d) O regime de alimentação da maioria dos rios brasilei-ros é basicamente pluvial. e) No Nordeste há rios temporários. Questão 16. (UEL-PR) Essa questão deve ser respon-dida com base no perfil topográfico apresentado a se-guir:

Este perfil está orientado no sentido SE-NO e represen-ta uma parcela do relevo da Região Sul e Centro-Oeste do Brasil. As bacias hidrográficas indicadas por I e II são, respectivamente, as dos rios: a) Paraná e Corumbá b) Paraná e Paraguai c) Paraguai e Paraná d) Iguaçu e Paraguai e) Corumbá e Iguaçu Questão 17. (UEPG-PR) Localiza-se totalmente em território brasileiro, possuindo um vale muito fértil, o que possibilita uma elevada concentração demográfica (em contraste com outras partes da região); tem um elevado potencial hidrelétrico, além de grande potência instala-da, e é navegável em grande trecho, tendo desempe-nhado no período colonial um grande papel na interiori-zação e povoamento do Brasil. Trata-se do Rio: a) Amazonas b) Paraná c) São Francisco d) Uruguai e) Araguaia Questão 18. É bastante conhecido, por meio de fotogra-fias e filmes na televisão, tornando-se até atração turís-tica, o encontro entre águas escuras do Rio Negro e as claras e turvas do Solimões, nas proximidades de Ma-


naus. Muitos outros rios amazônicos são do tipo "ne-gro". Essa coloração se deve: a) à ação do mercúrio usado nos garimpos. b) à localização das nascentes nos Andes, pois elas são formadas por águas barrentas. c) à grande quantidade de sedimentos em suspensão. d) à dissolução de ácidos orgânicos e ao fato de carre-garem poucos sedimentos. e) à pesca indígena e ao uso do carvão vegetal para paralisar os peixes. Questão 19. (UNICAP-PE) Observe atentamente a figura 1. Com relação à área destacada, podemos dizer que: ( ) se trata da Bacia do Paraguaçu, caracterizada por rios de planície e vegetação xerófita.

( ) se refere à Bacia do São Francisco. ( ) delimita um espaço geográfico do Brasil onde predo-minam florestas subtropicais e rios intermitentes. ( ) ela apresenta um grande potencial hidrelétrico. ( ) o maior rio que atravessa esse espaço é navegável entre Pirapora e Juazeiro.

Questão 20. (UFPE) O Brasil possui a maior reserva de água doce do planeta. Em relação à rede fluvial nacio-nal pode-se dizer que: ( ) os rios brasileiros são, na sua maior parte, de planí-cie, facilitando o aproveitamento hidroelétrico.

( ) domina a drenagem exorréica, sendo poucos os de drenagem endorréica como o Negro, o Paraná e o Tietê. ( ) a Bacia do Paraná apresenta o maior número de usinas hidroelétricas do país, formando um grande sis-tema integrado, fornecendo energia para o Sudeste, Sul e boa parte do Centro-Oeste. ( ) a Cordilheira dos Andes, o planalto das Guianas e o Planalto Brasileiro representam importantes centros dispersores para a hidrografia brasileira. ( ) situada na porção ocidental do país, a Bacia do São Francisco é típica de uma região semi-árida, apresen-tando regime intermitente. Questão 21. (UFPR) Quanto às relações entre as baci-as hidrográficas, povoamento e atividades econômicas no Brasil, é CORRETO afirmar que: 01) A Bacia Amazônica oferece condições naturais favo-ráveis para o extrativismo vegetal. A carnaubeira, por exemplo, é uma planta que se adaptou às áreas sujeitas a inundações do igapó.

02) O tipo de povoamento no Vale do Rio São Francisco foi e continua sendo esparso, com baixas densidades demográficas, fato associado sobretudo à atividade de pecuária extensiva. 04) No tocante à utilização, a Bacia do Paraná é a mais aproveitada para a construção de usinas hidrelétricas, tais como as de Furnas no Rio Grande, Foz do Areia no Rio Iguaçu e Ilha Solteira no Rio Paraná. 08) Nas várzeas dos rios permanentes da Bacia do Nordeste, tais como: Pindaré, Mearim e Parnaíba, prati-ca-se a monocultura de cana-de-açúcar, estimulada pelo Proálcool. 16) A diversificação industrial no Vale do Itajaí originou-se na indústria têxtil, com a colonização alemã nas ci-dades de Blumenau e Brusque.

Questão 22. O Brasil possui seis grandes bacias hidro-gráficas e cinco conjuntos de bacias menores, de ver-tente oceânica. Nesse contexto, observa-se abundância de água nas regiões Norte e Centro-Oeste, e escassez na região Nordeste e em alguns estados do Sudeste, tais como: Rio de Janeiro e São Paulo. Com base nas informações relacionadas a essa assertiva, assinale as CORRETAS:

01) O crescimento demográfico e econômico do país nas três últimas décadas acarretou a utilização das re-cursos hídricos além de sua capacidade tanto em quan-tidade como em qualidade.

02) Entre as razões que justificam o uso da água subter-rânea para o abastecimento, estão a sua alta quantida-de, que dispensa o tratamento convencional dado às águas superficiais, e o seu menor custo de obtenção em relação à alternativa superficial.

04) O desenvolvimento de tecnologias apropriadas à realidade socioeconômica do país, tais como filtros bio-lógicos e lagoas de oxidação, e a utilização de solos filtrantes, como o da cultura de arroz, têm sido alternati-vas para despoluição hídrica.

08) A contaminação hídrica por defensivos agrícolas, metais pesados e fertilizantes deve-se à falta de sane-amento básico.

16) No Brasil, a elevada perda anual de solo deve-se às características climáticas e podológicas, associadas às práticas agrícolas inadequadas e ao crescimento urbano indiscriminado, sem os cuidados de proteção do terreno.

32) As bacias do Nordeste apresentam dificuldades em relação à demanda de água em função de os solos não apresentarem condições de reter a água que abundan-temente cai sobre a região.

Questão 23. (UEM-PR) Denomina-se bacia hidrográfica a área abrangida por um rio principal e sua rede de a-fluentes (e subafluentes). Assinale a(s) alternativa(s) CORRETA(S) em relação às bacias hidrográficas:

01) A Bacia Platina é constituída por três rios principais: o Paraná, o Uruguai e o Paraguai e respectivos afluen-tes. No território brasileiro, eles formam bacias fluviais separadas, mas se unem no Estuário do Prata, entre o Uruguai e a Argentina.


02) A vazão ou débito fluvial do Rio Amazonas é enor-me, abrangendo cerca de 15% da descarga total dos rios do globo nos oceanos e mares.

04) O Rio Amazonas é o quinto do mundo em vazão e o primeiro em extensão (em relação as rios Nilo e Missisi-pi-Missouri).

08) O potencial hidráulico da Bacia do São Francisco está representado pelas usinas de Tucuruí, São Félix e Moxotó.

16) O Rio São Francisco, nos séculos XVII e XVIII, e-xerceu relevante papel na ocupação de seu vale e do Sertão Nordestino, pela expansão da pecuária, que visava abastecer a Zona da Mata açucareira.

32) O Rio Paraguai é um típico rio de planalto, atraves-sa o Pantanal Mato-Grossense e é utilizado como hidro-via para escoar o minério de manganês do maciço de Urucum.

Questão 24. O mapa acima representa, de forma sim-plificada, a distribuição das bacias hidrográficas brasilei-ras. Sua observação atenta nos permite concluir:

01) A parte meridional do território brasileiro é drenada em quase sua totalidade pelas bacias dos rios Paraná, Paraguai e Uruguai, representadas no mapa, respecti-vamente, pelos números 7, 8 e 9.

02) O Rio São Francisco, com cerca de 3 161 km, nasce no sul de Minas Gerais e caminha em direção ao norte, indo desembocar entre Alagoas e Sergipe. No mapa, sua bacia está representada pelo número 4.

04) É na Bacia do Tocantins, representada no mapa pelo número 2, que se localiza a hidrelétrica de Tucuruí em fase final de implantação.

08) A região representada no mapa pelo número 5 inclui várias bacias de pequeno porte, entre as quais podem ser mencionadas as do Jequitinhonha, Doce e Paraíba do Sul.

16) A Bacia Hidrográfica do Amazonas, representada no mapa pelo número 1, está limitada por três divisores principais: o Planalto Brasileiro, o Planalto das Guianas e a Cordilheira dos Andes.

Questão 25. (FUVEST) O fragmento de mapa, corres-pondente ao Brasil de Sudeste, nos mostra um dos mais

importantes núcleos de irradiação de drenagem do país. Identifique as redes hidrográficas que participam dessa zona de drenagem radial irregular, indicadas pelas le-tras A, B, C e D.

___________________________________________

Questão 26. Defina os seguintes termos: a) Pirambóia b) Pororoca c) Perereca d) Piracema e) Pirapora

Questão 27. Cite pelo menos um aspecto (econômico, social ou político) importante de cada uma das bacias hidrográficas abaixo: a) Bacia Amazônica b) Bacia Tocantins Araguaia c) Bacia do Rio São Francisco d) Bacia do Prata

Questão 28. No Brasil há predomínio de foz em Delta ou Estuário? O Rio desemboca em um canal só ou se ramifica? Os rios do Brasil são de que tipo? Há muitos ou poucos lagos no Brasil?

Questão 29. Quanto à crise energética no Brasil, qual das opções NÃO representa uma conseqüência em potencial ao país? a) Desemprego b) Baixo crescimento industrial c) Inflação d) Aumento do dólar e) Crescimento econômico Questão 30. Sobre a Bacia do Paraná é falso afirmar. a)devido ao enorme número de usinas, é a de maior potencial hidráulico utilizado no Brasil b)no Brasil é um rio predominantemente planáltico c)é parcialmente navegável e deverá ser um escoadou-ro dos produtos do NAFTA. d)o grande número de usinas dificulta a abertura de novas. e) foi um importante eixo na colonização platina.

Questão 31. A rede hidrográfica brasileira apresenta, dentre outras, as seguintes características: a) Grande potencial hidráulico, predomínio de rios pere-nes e predomínio de foz do tipo delta.


b) Drenagem exorréica, predomínio de rios de planalto e predomínio de foz do tipo estuário. c) Predomínio de rios temporários, drenagem endorréi-ca e grande potencial hidráulico. d) Regime de alimentação pluvial, baixo potencial hi-dráulico e predomínio de rios de planície. Drenagem endorréica, predomínio de rios perenes e regime de alimentação pluvial.

Questão 32. A bacia hidrográfica brasileira com maior possibilidade de navegação é: a) Bacia Amazônica. b) Bacia do Rio São Francisco. c) Bacia do Uruguai. d) Bacia do Paraná. e) Bacia do Paraíba do Sul.

Questão 33. (Unicamp 2 fase) Sabe-se que a construção usina Hidrelétrica de Balbina, no rio Uatamã, causou sérios problemas ecológicos na região Amazônica. a ) Cite os principais problemas ambientais causados pela construção de hidrelétricas do porte de Balbina e Tucuruí na região Norte. b ) Explique porque a relação quantidade de energia gerada pela área alagada é pequena se comparada com o resultado de outras hidrelétricas brasileiras.

Questão 34. (Fuvest) "A terra atrai irresistivelmente o homem, arrebatando-o na própria correnteza dos rios (..) do Iguaçu ao Tietê, traçando originalíssima rede hidrográfica (...) Rasgam facilmente aqueles estratos em traçados uniformes, sem talvegues deprimidos e dão ao conjunto dos terrenos (...) a feição de largos plainos ondulados, desmedidos".

Adapt. de Euclides da Cunha, Os Sertões. Os termos sublinhados referem-se, respectivamente,

a) aos rios que correm de leste para oeste, devido à localização dos divisores de água; / à ausência de mon-tanhas dobradas no relevo brasileiro.

b) às Sete Quedas, que desapareceram com a constru-ção de Itaipu; / às margens largas das planícies sedi-mentares.

c) aos rios que correm de leste para oeste, devido à localização dos divisores de água; / à linha de maior profundidade no leito fluvial.

d) às Sete Quedas, que desapareceram com a constru-ção de Itaipu; / à linha de maior profundidade no leito fluvial.

e) aos rios de planalto que servem tanto para a navega-ção como para gerar energia; / à ausência de monta-nhas dobradas no relevo brasileiro.

Questão 35. (Fuvest) Com base na figura:

a-) Explique por que muitos dos grandes rios brasileiros têm origem na região de Brasília. b ) Indique o nome de duas bacias hidrográficas cujas nascentes de alguns de seus formadores estão locali-zadas nesta região. c ) Comente a intensa utilização econômica de uma dessas bacias.

Questão 36. (FUVEST) Na produção de energia elétri-ca, no Brasil, a fonte hidráulica suplanta em muito a fonte térmica. Por quê? Questão 37. (USP) A usina hidrelétrica localizada no pé da Serra do Mar, em Cubatão, tem o nome de: a ) Presidente Bernardes. b ) Henry Borden. c ) Nilo Peçanha. d ) Marechal Mascarenhas de Moraes. e ) Não sei. Questão 38. (UFMG-97) O gráfico apresenta, para uma região coberta por vegetação natural, o comportamento do escoamento superficial da água a partir de um perío-do de precipitação pluvial.

O gráfico que caracteriza, corretamente, o com-

portamento do escoamento superficial da água pluvial após o desmatamento da vegetação natural e após a urbanização da região, é


Questão 39. (G.V. julho 99)

No mapa acima, a parte destacada refere- se: a ) à área de vegetação de araucárias. b ) à área de derrames basálticos do mesozóico. c ) ao planalto Meridional. d ) à bacia hidrográfica do rio Paraguai. e ) à área de clima tropical de altitude. Questão 40. No dia 4 de outubro de 2001 completaram-se 500 anos de descobrimento do Rio São Francisco, que desempenhou importante papel no contexto históri-co do Brasil. Sobre este rio e as bacias hidrográficas brasileiras, é CORRETO afirmar:

a-) O rio São Francisco nasce em Minas Gerais e de-semboca no Oceano Atlântico, na divisa entre Sergipe e Alagoas. Neste rio estão localizadas as hidrelétricas de Sobradinho, Paulo Afonso, Moxotó e Três Marias. Parte da energia gerada é fornecida para o Grande Projeto Carajás. b-) A Bacia do Paraná é a que apresenta maior poten-cial hidrelétrico e a navegação em seus rios é possível através do sistema de eclusas. c-) A concentração geográfica das usinas hidrelétricas brasileiras está relacionada com e a demanda energéti-ca e o potencial hidrelétrico dos rios. d-) O rio Paraguai é um rio perene que atravessa o Pantanal Mato-Grossense e é utilizado como hidrovia para escoar produtos oriundos da Amazônia. e-) O rio São Francisco irriga o sertão semi-árido nor-destino e é um rio de planalto. Há usinas hidrelétricas instaladas, impedindo a navegação ao longo do leito do rio. Questão 41.(Unicenp-PR) O Brasil apresenta riqueza de rios, que são agrupados em bacias hidrográficas. Entre elas destaca-se a Bacia Amazônica, que é a mai-or do mundo. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta: a) O Rio Amazonas é um rio de planalto, que apresenta um grande aproveitamento hidrelétrico. b) No vale do Rio Trombetas, verificam-se jazidas de bauxita. c) O Rio Tocantins, afluente de margem esquerda do Amazonas, banha a cidade de Manaus. d) O Rio Araguaia tem suas nascentes na Cordilheira dos Andes. e) A cidade de Manaus se situa na foz do Rio Amazo-nas. Questão 42.(UFRJ) O Rio Amazonas tem fama interna-cional, entre outros motivos, por seu extraordinário vo-lume d'água. Esta característica é conseqüência: a) de sua extensão, por causa da quantidade de afluen-tes; b) de seus inúmeros afluentes das margens direita e esquerda; c) do degelo do Planalto das Guia-nas e da contribuição do Tocantins; d) do seu curso encaixado entre os planaltos das Guia-nas e Brasileiro; e) do degelo dos Andes e da alimentação pluviométrica dos hemisférios. Questão 43. (CEFET-PR) Região riquíssima, criadora do melhor gado de corte do Brasil (zebu), o Triângulo Mineiro é banhado pelos dois rios formadores do Rio Paraná: a) Rio São Francisco e Rio Grande; b) Rio Paraíba do Sul e Rio Doce; c) Rio Parnaíba e Rio Grande; d) Rio Paranaíba e Rio Grande; e) Rio Canoas e Rio Pelotas. Questão 44.(UNESP) (adaptada) – Com base na tabela abaixo responda aos ítens propostos:

Ano Consumo total Consumo per capita

Escoamento superficial da água antes do desmatamento e da urbanização

Escoamento superficial da água após o desmatamento e após a urbanização


de água (km3) (m3) 1940 1.000 700 1950 1.100 800 1960 2.000 1.100 1970 2.700 1.200 1975 3.000 1.300 1980 3.800 1.500

a) Observando a tabela, descreva o comportamento do uso de água antes e depois de 1950 (para os dois tipos de consumo). b) O que isto significa? Questão 45. ‘‘No século XX, a sujeição do ciclo da água às necessidades e às vontades humanas assumiu uma amplitude sem precedentes. Em menos de um século, empregando recursos técnicos, cada vez mais eficien-tes, a humanidade terá disposto e mobilizado as águas continentais mais do que durante os milênios anteriores.’’ Margat, Jean-François, in: Ciência e Tecnologia Hoje, Editora Ensaio, S. Paulo 1995.

A forma mais empregada de controle desse re-curso foi a de construir imensas barragens, represando enormes volumes de água. Essas obras, por vezes ob-jeto de crítica e contestação, implicam muitas transfor-mações geográficas nas regiões atingidas.

Baseado no Registro Mundial de Grandes Barragens, do ICOLD de 1998, foram feitos ajustes de estimativas preliminares de WCD em relação ao número de grandes barragens da China, que não estão incluídas no Regis-tro Mundial. As Barragens do CIS anterior podem estar sub-representadas. Considerando o enunciado e o gráfico, assinale a afir-mativa incorreta. a) Boa parte das contestações deve-se ao custo social do deslocamento das populações das áreas alagadas que, a exemplo das populações indígenas, terão gran-des dificuldades de adaptação em outras áreas. b) Com os grandes represamentos, a extensão das superfícies de água expostas à insolação amplia-se significativamente, aumentando, por conseguinte, o índice de evaporação da água, o que não é compensa-

do inteiramente pelo aumento da precipitação pluviomé-trica. c) Com as barragens, os regimes fluviais são alterados, assim como as áreas ribeirinhas associadas. À montan-te, no lago, haverá grande retenção de sedimentos. À jusante, o fluxo será controlado e, sem a presença dos sedimentos, haverá modificação na fertilidade das terras inundáveis. d) O represamento de água tem como principais finali-dades: a irrigação, a geração de energia elétrica, o su-primento de água potável de modo regular o ano inteiro, o controle do fluxo dos rios para navegação, a formação de vias artificiais para a navegação e a recreação. e) O baixo índice de represamento na América Latina, se comparado com a China, por exemplo, deve-se a: hidrografia pobre, pouca necessidade de água para a irrigação, uso preferencial de outras fontes para energia elétrica e pressão bem-sucedida dos movimentos ambi-entalistas.

Questão 46 (FGV Economia 2007) Observe o texto e o mapa apresentados. Estudo ambiental das usinas do Madeira volta ao Ibama Chega hoje ao Ibama, pela quarta vez em 15 meses, o Estudo de Impacto Ambiental do megaprojeto das usi-nas hidrelétricas do Rio Madeira. (...) O único item pen-dente pode estar sanado em uma semana, depois da análise da equipe técnica do Ibama. Se o órgão ambien-tal der “ok” a este ponto, que versa sobre o fato de o Madeira ser um dos maiores corredores de biodiversi-dade da Amazônia, o EIA-Rima é aprovado em seu mérito, torna-se aberto à consulta pública e o cronogra-ma passa a contemplar as audiências públicas. As audiências devem ocorrer em outubro, em Porto Velho e outras comunidades da área de influência do projeto de R$ 20 bilhões, que prevê a construção de duas hidrelétricas no Rio Madeira – Jirau e Santo Antô-nio –, uma na Bolívia e outra binacional, no Rio Mamo-ré. (Valor Econômico. 31 de agosto de 2006)

A exigência dos EIAs/RIMAs, para a realização de o-bras, visa principalmente identificar e avaliar todos os efeitos físicos, ecológicos, socioeconômicos e culturais do empreendimento. Considerando as informações do texto e a localização das obras, um dos impactos socioambientais que pode-ria ocorrer na região, seria


(A) a inundação de grandes áreas de agricultura de soja e banana, típicas de exportação. (B) o aumento do volume de cardumes no baixo curso dos rios Mamoré e Madeira. (C) a redução da fauna e da flora pela inundação de grandes áreas de florestas. (D) a modificação climática, na região, com menor grau de evaporação nos limites das represas e diminuição das chuvas. (E) o deslocamento de milhões de pessoas que residem às margens dos rios Mamoré e Madeira.

Questão 47 (Fuvest 2007) O mapa 1 representa áreas da região nordeste do Brasil com diversas característi-cas físicas. O mapa 2 detalha a hidrografia atual e a rede de canais artificiais que poderá resultar da trans-posição do rio São Francisco

Fontes: IBGE, 2002; Estado de S. Paulo, 07/11/2006. a) Identifique a área anotada com a letra B, no mapa 1, e caracterize-a do ponto de vista climático e hidrográfi-co. b) Apresente um argumento favorável ou contrário à obra da transposição do rio São Francisco, consideran-do características físicas e socioeconômicas da área B. Justifique. Questão 48 (Mack 2007) No Brasil a geração de ener-gia elétrica tem se tornado uma constante preocupação, uma vez que não tem crescido na proporção que as necessidades econômicas exigem. Em relação à hidre-letricidade é correto afirmar que (A) a construção de usinas em áreas planálticas causa grandes impactos ambientais pela necessidade de grande movimentação de terras a serem aplainadas. (B) pelo fato de estar em áreas de planícies e depres-sões, a bacia Amazônica apresenta pequenas possibili-dades de aproveitamento hidrelétrico. (C) a maior presença de hidrelétricas no Centro-Sul pode ser explicada, dentre outros fatores, pela maior densidade demográfica e industrial. (D) a opção pelas hidrelétricas revelou-se um erro estra-tégico, pois a flutuação dos volumes de chuvas nesta década de 2000 tem gerado sérios problemas. (E) vários projetos de usinas hidrelétricas na região Nordeste foram engavetados porque exigiam o alaga-mento de importantes sítios arqueológicos.

Questão 49 (UEL 2007 ) Sobre as grandes bacias hi-drográficas brasileiras, é correto afirmar que: a) A bacia do Amazonas é a que apresenta maior índice de poluição. b) A bacia do Tocantins possui o maior número de usi-nas hidrelétricas. c) A bacia do Paraná possui número reduzido de hidre-létricas. d) A bacia do São Francisco apresenta o maior índice de poluição. e) A bacia do Atlântico Sul, trecho Norte-nordeste, apre-senta escassez hídrica. Questão 50 (UEM 2007)Em relação à Bacia do Paraná, assinale a alternativa correta. A) Não é inteiramente brasileira, pois o rio Paraná de-semboca no oceano Atlântico com o nome de rio da Prata entre o Uruguai e a Argentina. B) É inteiramente brasileira, tanto que o rio principal e todos os seus afluentes nascem no Brasil e desembo-cam no oceano Atlântico, no litoral brasileiro. C) É a bacia com o maior potencial de geração de ener-gia elétrica do Brasil, sendo que a maior usina, a de Tucuruí, está localizada próximo à confluência dos rios Grande e Paranaíba. D) O rio Paraná, que dá nome à Bacia, corta os estados das regiões Sul e Sudeste do Brasil, depois de banhar a planície do Pantanal. E) Tanto o rio principal quanto seus principais afluentes drenam as regiões agrícolas do Sul e do Sudeste, ga-rantindo o abastecimento de água para importantes projetos de irrigação de lavouras de café e de frutas tropicais.

GABARITO

1-B 10-C 18-D

3-B 11-D 19-FVFVV

4-B 12-D 20-FFVVF

5-C 13-A 21-(04+16)

6-E 14-B 22-(01+04+16)

7-D 15-C 23-(01+02+16)

8-B 16-B 24-(02+08+16)

9-C 17-C

____________________________________________ 25 A- São Francisco B- Doce C- Paraíba do sul D- Paraná 26- a) Peixe b) Invasão das águas do mar no rio por sua foz, decor-rente da maré alta c) Um anfíbio d) Fenômeno do deslocamento dos peixes para desova e) Cidade ribeirinha do rio São Francisco 27-)


a) Principal meio de transporte da região / Grande po-tencial hidrelétrico / Meio de sobrevivência da população local fornecendo alimentos b) Totalmente Brasileira / Onde foi instalada a usina de Tucuruí do Complexo de Carajás c) Promove a integração nacional / Irriga culturas em regiões de clima não favorável d) Importante meio de transporte do Mercosul / Grande potencial hidrelétrico 28) a) Estuário b) Um canal só c) Planálticos / Perenes / Exorréicos / Tributários do Atlântico d) Poucas formações lacustres (poucos lagos) 29-) E 30-) C 31-) B 32-) A

33) Sabemos que a construção de hidrelétricas na regi-ão Norte do Brasil trouxe uma série de problemas ambi-entais em suas áreas de implementação. Além disso, os resultados de rendimento energético não são tão altos como os das hidrelétricas da região Sudeste. Isso é verificado quando se compara a relação área alagada por quantidade de energia gerada.

34-) A 40-) C 41-) B 42-) E

43-) D 45-) E 46-) C

47-) a) A área anotada com a letra B é a sub-região nordestina denominada Sertão, que se caracteriza pelo domínio de clima semi-árido e é marcada pela forte presença de rios temporários. b) Entre os argumentos favoráveis temos: melhor distri-buição e maior acesso aos recursos hídricos, dinamiza-ção da economia por meio de projetos agropecuários e melhoria da qualidade de vida, entre outros. Entre os argumentos contrários temos: perda das áreas de vege-tação, redução dos habitats da fauna terrestre e aumen-to da tensão social provocada pela desapropriação de terras, perda de água do rio São Francisco (principal-mente no período de menor vazão do rio) e possível desarticulação do modo de vida da população ribeirinha, entre outros. 48-) C 49-) E 50-) A

Inglês Gramática CCAAPPÍÍTTUULLOO 33 –– PPAASSTT TTEENNSSEESS

SIMPLE PAST

As past tenses são usadas para indicar ações no passado. Podem ser ações pontuais, ou repetitivas. No caso do simpe past, a ação tem que ser delimitadas por um espaço. Deve ter inínicio e fim no passado. I went home last weekend. He enjoyed your party very much. She was the company’s president its hardest days. They lost the train because they slept in the station. Verbos regulares têm sua past form e seu past participle terminados em –ed. Os verbos irregulares não seguem essa norma. É importante saber todas as formas dos principais verbos irregulares. Algumas regras • Regulares: verbo + ed/d Ex: love → loved watch → watched • verbos terminados em y precedido de consoante recebem “ied” no final. Ex: study → studied carry → carried • have → had. had → didn’t have • verbos terminados em consoante/vogal/consoante, sendo a útima sílaba tônica, dobram a última consoante. Ex: stop → stopped permit → permitted • Irregulares: lista de verbos irregulares Normalmente, a lista dos verbos irregulares divide-se em três colunas. A primeira contém a base form. A segunda, a forma de passado, e a terceira, o infinitivo.

Present Simple Past

Past Participle

• Verbo to be O verbo to be é um verbo anômalo, possuindo todas as suas conjugações de modo particularizado. A tabela abaixo apresenta as formas no presente e passado desse verbo. A memorização e o domínio completo dessas formas são imprescindíveis para uma boa compreensão da língua inglesa.

Subject Present past I am Was You are Were He She It

is

Was

We are You are They are

were

Ex.: • I’m 25 now. I am a teacher. When I was 20, I was a student. • He was a vet. She was a doctor. They were married. • We were friends, but she was very selfish. • Are those girls singers? Weren’t they at the theater yesterday? • Verbos auxiliares: Did / Didn’t Usados para frases interrogativas (did) e negativas (didn’t). Nas frases com did ou didn’t, o verbo volta para o infinitivo. Ex: You played soccer last week. Did you play soccer last week? You didn’t play soccer last week. You didn’t play soccer, did you? You played soccer, didn’t you? Obs.: O verbo to be já é auxiliar. As negativas do simple past com verbo to bo são feitas acrescentando-se not após a forma passada desse verbo. Ex.: + She was my girlfriend - She was not my girlfriend. - She wasn’t my girlfriend.

+ They were at the club last week. - They were not at the club last week. - They weren’t at the club last week. Para fazer perguntas, o verbo auxiliar sempre deve ser a primeira palavra. Logo, começa-se a frase com was/were, colocando-se, em seguida, o sujeito. + You were at her home today. ? Were you at her home today?

PAST CONTINUOUS Semelhante à estrutura do pretérito imperfeito, o past continuous ou past progressive caracteriza-se, principalmente, por uma ação que tem iniciou-se no passado, mas não terminou. Infinitivo Sintaxe

to be (past) + ING

183 Inglês CASD Vestibulares

CASD Vestibulares Inglês 184

• Indica ações que tiveram uma certa duração no passado. • Normalmente vem na forma: when/ while. - When: liga o past continuous com o simple past. - While: liga o simple past ou o past continuous com o past continuous.

Ex: I was listening to music when the phone rang.

Ex: The phone rang while I was listening to music.

She was sleeping while I was listening to music.

Cuidado

• Para expressar fatos em seqüência, usa-se apenas o simple past. Ex.: When Helen arrived, we had dinner. = Helen chegou, depois,nós jantamos. When we were having dinner, Helen arrived. = Helen chegou no meio do jantar.

• Não se deve usar passado simples, nem passado contínuo, junto com as palavras while e for, indicando duração. Errado: I was a doctor for 20 years.Certo: I had been a doctor for 20 years.

Exercises 1. Use the Simple Past or the Past Continuous in the following sentences. a) I am sitting in the class right now. I ____________ (sit) in class at this exact time yesterday. b) I don’t want to go to the zoo today because it is raining. The same thing happened yesterday. I ____________ (want; neg.) to go to the zoo because it ____________ (rain). c) I ____________ (call) Roger at nine last night, but he ____________ (be; neg.) at home. He ____________ (study) at the library. d) I ____________ (hear; neg.) the thunder during the storm last night because I ______________ (sleep). e) It was beautiful yesterday when we went for a walk in the park. The sun ______________ (shine), a cool

breeze ______________ (blow) and the birds ______________ (sing). f) My brother and sister ______________ (argue) about something when I ______________ (walk) into the room. g) While Mrs. Emerson ______________ (read) the little boy a story, he ______________ (fall) asleep, so he ______________ (close) the book and quietly ______________ (tiptoe) out of the

Past Continuous Simple Past room. 2) Put one of these verbs in each sentence.

Simple Past Hurt teach spend Sell throw fall Catch buy cost

ou Past ContinuousPast Continuous

1. Ann’s father ..................... him how to drive when she was 17. 2. Martha ............................. from a horse, this morning, and ...................................... her leg. 3. He needed more money, so he............... his house. 4. Mary ............................... a lot of money yesterday. She ..................................... two watches and a french purse.

Time I was listening to music

I starte

The phone

I stopp

Now

5. The dog........................... the ball, and its owner ............................................ it again. 3) Put the verb into the correct form. Use simple past. 1. Jerry .....................(not/shave) before work, because he................................................ (not/have) time 2. I ....................................... (not/drink) any wine that night because I ................... ....................... (have) a headache. 3. We................................... (not/eat) very well. Then, we........................................ (get) hungry. 4. They ................................ (not drive) fast because they ..................................... (not be) in a hurry. 5. She ................................. ( be) alseep at the lecture. When she ............................ ....................... (get) home, she ...................................... (sleep) the whole day. Answers 1.)a) was sitting b) didn’t want / was raining c) called / wasn’t / was studying d) didn’t hear / was sleeping e) was shining / was blowing / were singing f) were arguing / walked g) was reading / fell / closed / tiptoed 2) 1. taught 2. fell – hurt 3. sold 4. spent – bought 5. caught – threw 3.) 1. didn’t shave – didn’t have 2. didn’t drink – had 3. didn’t eat – got 4. didn’t drive – weren’t 5. was – got – slept.

Inglês Gramática CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 –– FFUUTTUURREE TTEENNSSEESS

WILL

Regras gerais Will pode expressar intenções ou. É usado para se anunciar uma decisão que se tomou no momento da fala: - I’ll get out of here! It’s too hot. - We’ll buy you the ticket if if you will bake us a chocolate cake - The phone is ringing. - I’ll take it! Não se usa o presente simples para essas decisões. - I’ll get some coffee. (e não I get some coffee). - Will you open the door, please? (e não Do you open the door, please). Will não pode ser usado para falar sobre decisões que já estão feitas há muito tempo, ou ações planejadas. Para isso, usa-se o gerúndio do verbo, ou a expressão going to. - I can’t get out tonight, because I am taking an exam tomorrow morning. - (e não because I’ll take an exam tomorrow morning). Will + not = won’t. Won’t pode ser usado para recusar, ou expressar decisões negativas, no futuro. - He won’t stop singing this horrible music, will he? Tell him I’ll call the cops. - This car won’t start. The engine must be broken. - Won’t we travel this weekend? I’m bored of staying here. Will pode ser usado para fazer ameaças, ou promessas: I’ll beat you if you don’t stop. You’ll get your package in one week. - I promise I will loose 20 kg until next year. Também é usado para fazer pedidos, de uma forma polida. - Will you close thise window, please? - Will you guys be quiet? I’m doing my homework.

GOING TO Expressa ações prestes a ocorrer, ou já previstas. - I’m going to play football tomorrow. - It’s going to rain. - My God! The car is going to crash! - She is going to work after lunch.

Was/were going to é usado para indicar algo já previsto, mas que não se concluiu. - Martha was going to drive home, but her car broke down. Também usa-se present continuous quando algo já está preparado para ser executado.

- I’m starting my piano classes on Monday - I’m taking FUVEST exams in November Para expressar previsões ou possibilidades, prefere-se o uso do will. - Tom won’t pass the exam. He didn’t study anything. - You’ll probably get confused with this map. It is too complicated. - I bet Corinthians will win the National Championship. - I guess Sheila will get the job. She’s the right person.

ShallShall também pode ser usado com os pronomes I e We (primeira pessoa), com o mesmo sentido de will: - We shall ( ou we will ) probably go to Caraguatatuba this weekend. - I shall ( ou I will ) get ready in one hour. - Não se deve usar shall com as outras pessoas ( he/ she/ it/ you/ they ) Usa-se shall no lugar de will para oferecer ajuda. - Shall I open the door? When shall we leave?

WOULD Forma auxiliar do futuro do pretérito (passado de will). - He would love to come with us, but he is too busy. - = Ele adoraria vir conosco, mas ele está muito ocupado. - Would you mind picking up Carol at school today? - = Você se importaria em buscar Carol na escola hoje? - He wouldn’t hurt anyone. I know him very well. - = Ele não se importaria em machucar ninguém. Eu o conheço muito bem. Would normalmente é empregado com orações condicionais, que serão vistas futuramente.

Exercícios

1) Faça um comentário usando going to. 1. Maria has been eating too much. She never exercises __________________________________ 2. Marcos didn’t study for the test. He doesn’t know anything about the subject _____________________ 3. Her dream was always to have a house in the beach. She’s just won the lotterie _______________ 4. Have you already bought food for this month? (No/ buy / tomorrow) _____________________________ 5. Have you done your English homework? (No/do /after dinner) _______________________________ 6. I saw a beautiful mobile phone and it was very cheap.(you/ buy / it? _________________________ 7. I’m marrying Drew and I need a best man.(who/ you/ choose?) ......................................................................................... 1. It’s cold here.I (am shutting/ will shut) the window.


2. I think (I’ll / I’m going to) visit aunt Claudia today.


3. I think it (will/ is going to rain). The sky is so cloudy. 4. I’m sure that you (are going to/ will) win. 5. Frank (is moving / will move) to Taubaté tomorrow. 6. Do you think she (is getting/ will get) the job? 7. Your are too sleepy. ( I’ll make/ I’m making) some coffe. 3) Complete the dialog — I’ve already taken the car out. Now, I_______(go/ market)._____ (you/ coming / with me?) — I can’t. I________( make /soup for the children). By the way, I need cheese and bacon.

— OK. ____________(bring/ some) Cloning in China: No sex, please, we are pandas. The Chinese______(I) desperate in their efforts to preserve the giant panda, whose population is down to about 1,000. Captive-breeding programs have had only modest success, since the animals have little sex drive, and the females are fertile just once a year. So the Chinese Academy of Sciences launched a project to mass-produce pandas through cloning. But it ______ (II) as easy as copying a sheep or making a litter of mice. With so few pandas left, the Chinese ______(III) to find surrogate mothers – perhaps a different large mammal – to give birth to cloned panda embryos. In exercises 4, 5 and 6, choose the verb forms that best fill blanks I, II and III, respectively. 4) a) Gets b-) are getting c-) is getting d-) will get e-) are geting 5) a) will not be b-) will not c-) won’t being d-) isn’t going to be e-) isn’t going be 6) a) has b-) having c-) will have d-) are have e-) will have 7) Complete the sentences with will/ would + verbs from the box. (Neste exercício, will e would são usados como forma de expresser um comportamento típico ). Be drive fall Keep listen make Play ring take Tal tell 1. ‘Dad, I’ve broken my watch.’ ‘Well, you ... with it.’ 2. On Sundays when we were kids, Mother us pancakes for breakfast. 3. He’s no trouble – he .................. by himself for hours. 4. She’s nice, but she .................... about people behind their backs. 5. People ....................................... to you if you listen to them. 6. We lived by a lake, and sometimes Dad us fishing.

7. I’m not surprised you had an accident – you too fast. 8. If you drop toast, it ..................... butter side down every time. 9. If you’re having a bath, the phone .. And if you answer it, it ................... a wrong number. 10. .................................................. He you one thing one minute and the opposite the next – he’s crazy. 8) Complete the sentences with I’ll + an appropriate verb. Example: I’m too tired to walk home. I think I’ll take a taxi. 1. “We have no more money.” “Oh, we don’t? and get some.” 2. “Did you send her that e-mail? .. “Oh, I forgot.. Thanks for reminding me. .............. Tonight.” 3. “You prefer orange juice or just water?” “ , please.” 4. I’m so thirsty. I think ................... something to drink. 5. It’s too early to call him now. .... Him at school. 6. “It’s a little cold in here.” “Really? The heater.”

Respostas 1)1-She’s going to get fat. 2-He is going to fail, ou he’s not going to pass. 3-She’s going to buy it. 4-No. I’m going to buy it tomorrow. 5-No. I’m going to do it after dinner. 6-Are you going to buy it ? 7-Who are you going to choose? Choose the best answer. 2)1 will shut 2- I’ll (possibilidade) 3- will 4- will 5- is moving 6-will get 7- I’ll make 3)1- I’m going to go to the market / I’m going to the market. 2- Will you come with me? 3-am going to make siyo for the children. 4-I’ll bring some. 4) B 5) a 6) e 7) 1. would keep 2. would make 3. will talk 4. would talk 5. would listen 6. would take 7.would drive 8. will fall 9.will ring – will be 10. will tell 8)1-I’ll go to the bank 2- I’ll send it 3-I’l have just water 4-I’ll get 5-I will talk to 6- I’ll turn on

Inglês Gramática CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 –– PPRREESSEENNTT TTEENNSSEESS IIII

PRESENT PERFECT - Marcia is wearing clean shoes. They are very tidy. - Marcia has cleaned her shoes. - William is looking for his wallet. He can’t find it. - William has lost his wallet. O present perfect indica que a ação tem uma conexão com o presente: - William hás lost his wallet (Ele não está com a carteira neste momento.) - Marcia hás cleaned her shoes. (Os sapatos estão limpos agora.) Usa-se o present perfect, geralmente, para passar novas informações, ou acontecimentos recentes. - Did you hear about Janice’s daughters? They’ve gone to France, for a piano contest. São utilizadas com o present perfect as seguintes expressões: Just – algo que acabou de acontecer, ou um fato que se deu num curto período de tempo. - Maria and Thom have just married. They just bought a huge apartment in the beach and now they are living there. - You’ve just arrived. You must be hungry. I’ll get something for you. - I won’t eat anything, thank you. I’ve just had lunch at the airplane. Already – Algo que aconteceu mais cedo do que se pensava. Tem o mesmo significado que já. - Don’t forget to mail the letter. - T’ve already mailed it. - When is Carol going to start her new job? - She’s already started it. - She has already finished the homework. - Has she already finished the homework?

Yet – tem um sentido semelhante ao de already. Corresponde ao já usado em perguntas e negativas. - Don’t forget to mail the letter. - That’s true. I haven’t mailed it yet. - Has Carol started her new job yet? - Has she finished the homework yet? - She hasn’t finished the homework yet. Sintaxe

HAVE HAS + Past Participle

(3º col) Have/has = verbos auxiliares. Indicam tempo indefinido. Ex: The physician proved the theory last year.

Simple Past Tempo definido

The physician has proved the theory. → Tempo indefinido (Present Perfect)

• Ações que começaram no passado e duram até o momento presente. - for = por, durante - since = desde Ex: They have studied the moon for thirty years. They have studied the moon since 1974. • O present perfect também é empregado com os advérbios: - ever = alguma vez (interrogativa) - never = nunca (negativa) Ex: - Have you ever lied to your parents? - Has she ever been to Europe? - I think I have never tasted something like this before. - No, she’s never been to Europe. Present Perfect Continuous

HAVE HAS + BEEN + ING

Usa-se o present perfect progressive para dar ênfase na proximidade da ação ao momento da fala. • Have/has = verbos auxiliares. • Enfatiza a continuidade da ação (ela não só está acontecendo agora, mas também já começou a um tempo atrás e continuará acontecendo). Ex: He has been cooking since 10 o’clock day after day for one hour Has he been cooking for a long time? No, he hasn’t been cooking too much.

Exercícios 1) Write sentences with already 1. Don’t forget to sweep the floor.............. 2. Why don’t you read the newspaper?.... 3. Shall I close the front door?.................. 4. Let me pay the bill, will you?................. 5. Can you drive Alicia home today? ........ 2) Use the Simple Past or the Present Perfect. a) I ______________ (attend; neg.) any parties since I came here. b) Al ______________ (go) to Sally’s apartment last night. c) I ______________ (know) Greg Adams for ten years.


d) So far this week, I ______________ (have) two tests and a quiz.


e) Up to now, Professor Williams ______________ (give) our class five VA’s. f) He ________________ (study) in this school since he ________________ (be) eight. g) They ________________________ (arrive, yet, neg.) h) ________________________ (hear, ever, you) such a stupid thing?

3) Complete the sentences with present perfect or simple past. 1. I (play) a lot of tennis this year. 2. She ......................... (have) six different jobs since she left school. 3. He ........................... (run) away from school twice when he was fourteen. 4. How many glasses of water ......................(you drink) today? 5. In those years, Alex to stay with us most weekends. 6. Bach ....................... (to write) Masses, as well as Concerts. 7. Since my friend lost his job, he.................. (read) 25 books. 8. I’m not driving today. I ...............................( drive) yesterday. In fact, I ..... (drive) our car most of the time this week. 9. Would you believe I (make) twenty-three phone calls today? 10. Our team are really strong. They ......... (just win) five games one after the other. 4) Responda às perguntas, baseando-se nas frases. 1. “How long has she lived in Italy?” - Does she still live in Italy? 2. “How long did Thom live in France?” – Does Tom still live in France? 3. “Joe worked with me for two years.” – Does Joe stil work with the speaker? ............................. 4. “Suelen has worked with me for two years.” Does Suelen still work with the speaker? 5. “I’ve had a headache all day.” Has the speaker got a headache? 6. “I had a headache all day.” Has the speaker got a headache? 5) Escolha a alternative que melhor completa a frase. 1. I (haven’t seen / didn’t see ) much of Katherine lately. 2. Who is she? I (‘ve never seen / never saw) her before 3. I (‘ve done / did) a lot of stupid things in my life. 4. She (has left / left) school last year. 5. When (have you got / did you get) married? 6. I’m sorry. I (haven’t finished / didn’t finish) yet. 7. I (‘ve often wondered / often wondered) what he does for a living. 8. He (has caught / caught ) the plane at eight this morning. 9. I (‘ve read/ read) a lot of her books when I was at school. 10. (Have you seen / Did you see ) any good films recently?

6) Complete the setences with the verbs from the box. Use the present perfect progressive. Cry learn live Play (twice) rain Wait (twice) walk work 1) It ....................... all day. 2) I ........................ English since I was six. 3) She .................. tennis professionally for ten years. 4) We.................... n’t ................................. in this house for very long. 5) That man.......... up and down the street for ages. 6) I ........................ very hard this week, 7) She .................. non-stop since she got his letter. 8) He .................... that music for hours. I wish he’d stop. 9) You .................. long, sir? 10) They call me waiter, but you .............. for half an hour.

Respostas 1) 1.I’ve already swept it. 2.I’ve already read it. 3.I’ve already closed it. 4.I’ve already paid it. 5.I’ve already driven. 2)a)haven’t attended b)went c)have known d)have had e)has given f)has studied / was g)haven’t arrived yet h)Have you ever heard 3)1.have played 2.has had 3.ran 4.did you drink 5.came 6.has written 7.has read 8.drove – have driven 9.made 10.have just won 4)1.yes 2.no 3.no 4.yes 5. yes 6.no 5)1.haven’t seen 2.I’ve never seen 3.‘ve done 4.left 5.did you get 6.haven’t 7.‘ve often wondered 8.caught 9.read 10.Have you seen

6)1.has been raining 2.have been learning 3.has been playing 4.have – been living 5.has been walking 6.have been working 7.has been crying 8.has been listening 9.ave been waiting 10.have been waiting

Inglês Gramática IINNTTEERRPPRREETTAAÇÇÃÃOO DDEE TTEEXXTTOO

A questão 1 refere-se ao quadrinho cujo vocabulário principal se segue: • plates = pratos • to mean = querer dizer • by myself = sozinho 1- No diálogo apresentado no quadrinho abaixo, o que a mãe quer salientar para a criança e o que a criança entende?

Ilustração de Sophie Grillet in P.M. Lightbown e N. Spada, How languages are learned. Oxford, Oxford University Press, 1999, p. 16. Leia, abaixo, um trecho do livro East of Eden de John Steinbeck e responda às questões 2 e 3 , sobre a personagem Cathy.

Cathy’s lies were never innocent. Their purpose

was to escape punishment, or work, or responsibility, and they were used for profit. Most liars are tripped up either because they forget what they have told or because the lie is suddenly faced with an incontrovertible truth. But Cathy did not forget her lies, and she developed the most effective method of lying. She stayed close enough to the truth so that one could never be sure. She knew two other methods also —either to interlard her lies with truth or to tell a truth as though it were a lie. If one is accused of a lie and it turns out to be the truth, there is a backlog that will last a long time and protect a number of untruths. As questões 2 e 3 baseiam-se no texto cujo vocabulário principal se segue: • lies = mentiras • purpose = finalidade • punishment = castigo • profit = proveito, vantagem • most liars = a maioria dos mentirosos • to be tripped up = ser apanhado • to forget = esquecer • suddenly = de repente • to face = confrontar • to develop = desenvolver • to stay = permanecer • close enough = suficientemente próxima • to interlard = entremear • as though = como se • to turn out = acabar sendo, vir (pessoas) a ser • to last = durar

ulo

- A que estratégias Cathy recorria para não ser

- Por que as estratégias utilizadas por Cathy eram

comportamento materno é freqüentemente

• backlog = acúm 2desmascarada? 3eficientes? Ocaracterizado com base em idéias preconcebidas (ou lugares comuns). Leia os quadrinhos abaixo e responda à questão 4.

- Que estereótipo de mãe é quebrado nesses 4quadrinhos? Por quê?


PPoorrttuugguuêêss Frente I FFUUVVEESSTT -- 22000033

Leia atentamente os três textos abaixo

TEXTO 1 Está no dicionário Houaiss: auto-estima s.f. qualidade de quem se valoriza, se contenta com seu modo de ser e demonstra, conseqüentemente, confiança em seus atos e julgamentos. A definição do dicionário parece limitar-se ao âmbito do indivíduo, mas a palavra auto-estima já há algum tempo é associada a uma necessidade coletiva. Por exemplo: nós, brasileiros, precisamos fortalecer nossa auto-estima. Neste caso, a satisfação com nosso modo de ser, como povo, nos levaria à confiança em nossos atos e julgamentos. Mas talvez seja o caso de perguntar: não são os nossos atos e julgamentos que acabam por fortalecer ou enfraquecer nossa auto-estima, como indivíduos ou como povo?

TEXTO 2 Estão num poema de Drummond, da década de vinte, os versos: E a gente viajando na pátria sente saudades da pátria. (...) Aqui ao menos a gente sabe que é tudo uma canalha só.

TEXTO 3 Está num artigo do jornalista Zuenir Ventura, de dois anos atrás: De um país em crise e cheio de mazelas, onde, segundo o IBGE, quase um quarto da população ganha R$ 4 por dia, o que se esperaria? Que fosse a morada de um povo infeliz, cético e pessimista, não? Não. Por incrível que pareça, não. Os brasileiros não só consideram seu país um lugar bom e ótimo para viver, como estão otimistas em relação a seu futuro e acreditam que ele se transformará numa superpotência econômica em cinco anos. Pelo menos essa é a conclusão de um levantamento sobre a "utopia brasileira" realizado pelo Datafolha. Com o apoio dos três textos apresentados, escreva uma dissertação em prosa, na qual você deverá discutir manifestações concretas de afirmação ou de negação da auto-estima entre os brasileiros. Apresente argumentos que dêem sustentação ao ponto de vista que você adotou.

Auto-estima ingênua

Diante de um início de século assolado por inúmeras crises, ao contrário do que se poderia

esperar, o povo brasileiro mostra-se alegre com o país e otimista em relação ao futuro. Auto-estima verde-amarela parece inabalável e mostra-se a todo momento. Entretanto é preciso perceber que se trata de um sentimento mais associado à evasão da realidade do que à compreensão da mesma. Classificado como um dos campeões mundiais em desigualdade, o Brasil apresenta contradições até mesmo no comportamento de seus habitantes. Milhões de famílias miseráveis, submetidas a situação de extrema privação, são capazes de louvar pela conquista de uma Copa do Mundo de Futebol a mesma terra que não lhes permite uma sobrevivência digna. O esporte parece ter o poder de elevar a auto-estima dos brasileiros, como se as vitórias nos campos significassem que o país será melhor e mais justo. Outra manifestação de otimismo brasileiro é o fato de grande parte da população acreditar que o país será uma super potência, certamente essa é uma visão ingênua que marcará a real situação. Infelizmente, nosso sistema educacional não oferece à maioria da população a visão crítica necessária para entender que melhorar efetivamente o Brasil requer a superação de problemas praticamente instransponíveis: desigualdades, fome, corrupção. É certo que auto-estima brasileira está intimamente ligada à alegria pela qual nosso povo é mundialmente conhecido e à força que ele tem para viver mergulhado em um oceano de dificuldades. Entretanto, esse sentimento resulta do não entendimento completo da situação de nosso país. É como se o brasileiro tivesse dentro de si um vestígio de Macabéa, personagem de Clarice Lispector que não tem consciência da própria condição.

Brasil: Luta e Alegria

O Brasil é um país que, desde sempre, enfrenta crises de cunho político, econômico e social. Mas, apesar disso, é amplamente difundida a idéia de que, com todos os seus dramas, possui um povo alegre e confiante. Pode-se dizer, então, tratar-se de um povo com auto-estima? Para achar resposta a esta questão, há de se levar em conta o histórico das manifestações populares no país. É através delas que o povo tenta impor sua soberania, e esta é a maior prova de confiança e auto-estima que as pessoas podem dar a si é a sua pátria. Existem vários bons exemplos na história do país. Nas duas últimas décadas, é possível destacar provas de que o povo brasileiro tem, realmente, alta auto-estima. Um dos exemplos é o movimento “Diretas Já”, onde a sociedade civil mostra sua convicção em seu próprio poder e no poder da democracia ao exigir, em inesquecíveis manifestações, a volta do regime democrático, da liberdade de expressão e de escolha. Outra boa evidência é o movimento sem Terra. Só quem valoriza e acredita em si consegue organizar e manter um movimento como esse, que já é um ícone no que diz respeito à luta pelos direitos do cidadão. O

CASD Vestibulares Redação 190

MST representa a luta e resistência conta séculos de opressão e concentração fundiária, e mais que isso, simboliza um basta à domização das elites, não só sobre a população rural, mas sobre toda a classe menos favorecida, que sofre com uma das piores distribuições de renda do mundo. Mas o maior exemplo de valorização, confiança e auto-estima está no resultado da mais recente eleição do país, sobretudo a presidencial. O maciço comparecimento às urnas para eleger Luís Inácio Lula da Silva, presidente da nação é a maior prova de auto-estima que o povo se deu nos últimos tempos. O brasileiro confia tanto em si próprio, que escolheu um autêntico brasileiro para governar a nação. Nordestino, pobre, operário e sem acesso à escola, mas nem por isso burro, Lula é um retrato do país. E por também ser povo, realmente o representa, e quer tirar uma nova foto, digna dos brasileiros, para que sua auto-estima se torne cada vez mais forte, com motivos cada vez melhores. Portanto, se ter auto-estima é valorizar-se, pode-se ter certeza de que o brasileiro a tem. Quem sabe um dia o Brasil não seja considerado um lugar bom de viver, e sim o seja verdade. Mas isso não virá sem luta. Há que endurecer, porém sem perder a ternura.

IDENTIDADE E AUTO-ESTIMA

A identidade de um povo é produto da sua própria história, e da história das relações que esse povo estabelece com o poder e com a direção da vida pública. No caso de um povo como o Brasileiro, no qual conviveram e convivem culturas diversas, essas relações ganham uma rica .complexidade derivada da diversidade, o que dificulta qualquer tentativa de homogeneização da população.

Ainda assim, o povo brasileiro é identificado, por ele mesmo e pelos que vêm de fora, como simpático, receptivo, aleggre e sensual. A elite brasileira reforça e exalta sua imagem formada, pois essas características relacionam-se intimamente com uma outra: a submissão. E, de certa forma, justificam-se assim o paternalismo que caracteriza a vida privada e a vida publica da nação, que se expressa quotidianamente e em momentos históricos determinados, como o populismo e o autoritarismo.

Dessa forma, a auto-estima do brasileiro é direcionada para a sua alegria, para o futeol, para o fato de viver num país “abençoado por Deus e bonito por natureza”. Por outro lado, o povo conforma-se com a propria incapacidade de formulas suas opiniões e de intervir nos rumos do seu país; e isso lhe é exibido como secundário diante das qualidades das quais ele deve se orgulhar.

Durante vinte anos, disseram aos barsileiros que eles são incapazes de escolher seu presidente. Ainda hoje, decisões salutares a qualquer povo são tomadas a portas fechadas, como se esse povo não fosse capaz de refletir, posicionar-se, aceitar ou rejeitar propostas. Mas as qualidades do Brasil encantam turistas do mundo inteiro, nosso futebol é o melhor do mundo e temos músicos e cineastas reconhecidos mundialmente justamente por poetizar ou ionizar nossa situação.

A auto-estima vem, antes de tudo, da consciência de si mesmo. Entretanto, nossos atos e julgamentos não vêm de nós, vêm de terceiros, e nós aderimos a eles. Daí vem a crise de auto-estima dos brasileiros, que vez em quando percebem que não são donos da sua Pátria. Mas esse sentimento é logo sufocado por outro, o orgulho de ser brasileiro mesmo na adversidade, afinal, somos admirados pelo nosso futebol, somos adorados pela nossa simpatia. Outro milagre brasileiro.

Os moldes da auto-estima brasileira O passado colonial de exploração e submissão do Brasil deixou seqüelas, e uma delas atinge a consciência coletiva de nosso povo. A idéia de uma nação sem caráter, condenada a apenas copiar, aceitar, receber, ainda paira sutilmente sobre nossas mentes. O que chega a ser paradoxal, visto o caráter alegre, criativo e otimista do brasileiro, mesmo às vezes abafados ou esquecidos, guardamos os orgulhos de haver criado o samba, o choro, a bossa e, claro, o futebol como se conhece hoje, citando apenas exemplos de âmbito cultural. Porém, é inegável que nossa potencialidade é sufocada por grandes interesses externos e contrários aos nossos que, como já dito, impregnam nossa consciência fazendo-nos aceitar, por exemplo, o estereótipo do brasileiro preguiçoso. Tudo parece piorar sob o paradigma do país da eterna crise, má administração e flagelos sociais, políticos e econômicos. Um golpe de conformismo na auto-estima brasileira, o sentimento de impotência... Mas, mesmo desse quadro desanimador, podemos citar casos exemplares de competência verde-amarela. O Brasil conta com expoentes de tecnologia como a Petrobrás e a Embraer; no campo político-social, somos aplaudidos pelo notável processo democrático que vem se consolidando, haja visto o movimento da Diretas Já e, mais recentemente, as últimas eleições e o processo de transição. Capacidade e autenticidade brasileiras, que só se viabilizam quando há disposição e confiança, fatores relacionados a uma boa auto-estima.

Portanto, ao analisarmos nossa própria auto-estima coletiva, encontramos-na “passada” por duas forças antagônicas: uma, que a vem arrastando para trás já há cinco séculos, e outra, ainda que tímida, que a impulsiona, lembrando feitos e potencialidades do Brasil. Ora, é necessário que uma força seja a maior, caso se queira melhoras e mudanças na mente brasileira.

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“O petróleo é nosso”, “Brasil, o país que vai frente”, “Agora é penta”. Máximas que embalaram a auto-estima e o nacionalismo do povo brasileiro. Embora em épocas diferentes, tais frases representam a permanente fibra de um povo que, em mesmo vivendo em realidade como a de Bene, Zé Pequeno e

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Mane Galinha, parece não deixar de valorizar o fato de ser brasileiro.

Das grandes fontes de afirmação da auto-estima e da valorização do fator ser brasileiro destaca-se o esporte, cujo maior expoente é o futebol. O esporte possui no entanto, duas vertentes: por um lado, as vitórias esportivas brasileiras engrandecem o país o país e fortalecem a auto-estima nacional, por outro, fazem com que grande parte dos brasileiros contentem-se apenas com o esporte em si, desligando-se de questões sociais e poéticas.

Contudo, a auto-estima do povo tupiniquim é, por vezes, abalada pela ação ccorrupta de políticos nacionais. A corrupção é um dos principais fatores, se não o principal, que destituem do brasileiro o sonho de que o país pode melhorar.

Muiths vezes é a atuação de corruptos que, além de negar a auto-estima dos brasileiros, faz com que ela se localize apenas em setores específicos, como a riqueza natural, o parque industrial ou o esporte, impossibilitando o engajamento num processo de auto-afirmação da auto-estima no campo político-social.

Intrigas e mazelas à parte, o povo brasileiro não se deixa abater pelos infinitos ataques à sua auto-estima. Já dizia Holderlini “O homem é um deus quando sonha, mas não passa de um mendigo quando pensa”. Talvez porque o brasileiro nunca deixe de nutrir sua auto-estima por meio de sonhos e utopias da um país melhor é que se afirme que Deus é brasileiro.

UUMM CCAALLDDEEIIRRÃÃOO DDEE IINNCCOONNSSTTÂÂNNCCIIAA

Diversos artistas brasileiros discutem e buscam em sua arte a representação de uma identidade nacional distinguível entre a intensa miscigenação étnica e cultural no país. Como numa feijoada, espécie de ícone gastronômico brasileiros, são muitos os ingredientes envolvidos e portanto, muitos sabores a serem sentidos. A auto estima brasileira sofre também dessa variedade, resultando numa mistura de humores que não permite generosidades, apenas a ;constatação de que ela é incosntante por natureza.

Ahas na auto-estima são sazonais no Brasil. Determinados períodos, como durante copas do mundo ou olimpíadas, servem de morte para maanifestações apaixonadas de patriotismo. O esporte é o elemento mais visível de união nacional, através das bandeiras vendidas em semafaros e das propagandas de tevê. A principio, espera-se sempre o sucesso de nossas atletas. No entanto, a miscigenação tem sua influencia na final da copa de 2002 contra Alemanha, um imigrante alemão bem poderia ser uma voz dissonante no caro da confiança brasileira.

Já a baixa auto-estima geralmente não tem época certa. A política, a economia e a segurança publica dão desgosto ao povo diversas vezes ao longo de um ano. Denuncias de corrupção(como no caso de Jader Barbalho e Luis Estevão); altas da inflação e do dolar; o ataque de traficantes armadas à prefeitura do Rio de Janeiro: cada exemplo ilustra alguma fonte de descontentamento da população e sua conseqüente queda de auto-estima.

Algum acontecimento extraordinário pode servir de escala para avaliação superficial da auto-estima nacional. A mais recente foi no inicio do ano, quando da posse do presidente Luis Inácio Lula da Silva: a participação popular mostra intenso dimismo e confiança em relação aos próximos anos. As pessoas pareciam portar a bandeira nacional com sincero orgulho.

Contudo, como dito anteriormente, não há espaço para generalizações. Talvez a identidade brasileira seja indistinguível por isso, pela diversidade e pela incerteza. Muitas estão pessimistas em relação ao novo governo, e não há como quantificar esse numero. Talvez a auto-estima brasileira deva ser como a feijoada mesmo: uma mistura exótica e única.

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O povo brasileiro, apesar de todas as dificuldades que enfrenta, tem sua auto-estima elevada, valoriza-se e acredita em seus atos. Essa confiança pode ser notada em ações como os trabalhos voluntários, a colaboração com programas do governo, a alegria e a vibração com o esporte e na própria saudade sentida pelos que se ausentam do país. Solidariedade é o que se nota na maior parte da população brasileira. Motivada por esse sentimento, ela dedica-se cada vez mais em ajudar o próximo, voluntariamente, como observa-se através do crescimento de muitas organizações não-governamentais, aglutinadoras de pessoas em prol do bem comum. Por acreditarem em si próprias e no país, essas pessoas também colaboram com ações propostas pelo governo. Um exemplo foi o que aconteceu no ano passado com o caso do “apagão” e no combate ao mosquito trasmissor da dengue. O povo se uniu e lutou junto, valorizando cada esforço. A manifestação do amor à pátria fica principalmente diante dos eventos esportivos, com maior destaque para o futebol. Milhares de brasileiros vibram, torcem, ficam alegres ou tristes quando há um fogo, quando os atletas nacionais destacam-se e brilham, e então todos sentem orgulho de serem brasileiros. Esse orgulho também é conseqüência da grande riqueza natural que o Brasil apresenta: florestas, rios, flora, fauna, tudo demonstra que o país possui um grande potencial e isso aumenta o otimismo da população. Há, no entanto, que diga que o Brasileiro é preguiçoso, não gosta de trabalhar e não participa, mas basta observar a atuação do povo na posse do presidente Luis Inácio Lula da Silva para notar que a afirmação não se justifica. Houve intensa participação e tudo indica que o apoio irá continuar. O próprio presidente é um exemplo da vitória da auto-estima, da determinação e da persistência. A confiança e a valorização existem, as ações estão se intensificando, mas ainda há muitos problemas a serem resolvidos e muito a ser feito. O desafio é transformar o sonho em realidade e para isso será necessário muita luta, coragem, julgamento positivo e o constante fortalecimento da auto-estima.


PPoorrttuugguuêêss Frente I CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 -- DDEESSCCRRIIÇÇÃÃOO

APRESENTAÇÃO

Vamos abordar o texto descritivo, sob o ponto de vista da sua produção e funcionamento discursivo, com base na idéia de que um texto se define pela sua finalidade situacional - todo o ato de linguagem tem uma intencionalidade e submete-se a condições particulares de produção, o que exige do falante da língua determinadas estratégias de construção textual. Em cada texto, portanto, podem combinar-se diferentes recursos (narrativos, descritivos, dissertativos), em função do tipo de interação que se estabelece entre os interlocutores. Nesse contexto teórico, o texto descritivo identifica-se por ter a descrição como estratégia predominante. Inserindo-se numa abordagem mais geral sobre os mecanismos de elaboração textual, com base nos conceitos de coesão e coerência, o trabalho pedagógico de leitura e produção do texto de base descritiva deve partir dos seguintes pontos: a) O texto de base descritiva tem como objetivo oferecer ao leitor /ouvinte a oportunidade de visualizar o cenário onde uma ação se desenvolve e as personagens que dela participam; b) A descrição está presente no nosso dia-a-dia, tanto na ficção (nos romances, nas novelas, nos contos, nos poemas) como em outros tipos de textos (nas obras técnico-científicas, nas enciclopédias, nas propagandas, nos textos de jornais e revistas); c) A descrição pode ter uma finalidade subsidiária na construção de outros tipos de texto, funcionando como um plano de fundo, o que explica e situa a ação (na narração) ou que comenta e justifica a argumentação; d) Existem características lingüísticas próprias do texto de base descritiva, que o diferenciam de outros tipos de textos; e) Os advérbios de lugar são elementos essenciais para a coesão e a coerência do texto de base descritiva, permitindo a localização espacial dos cenários e personagens descritos; f) O texto descritivo detém-se sobre objetos e seres considerados na sua simultaneidade, e os tempos verbais mais freqüentes são o presente do indicativo no comentário e o pretérito imperfeito do indicativo no relato.

O que é um texto descritivo

Segundo Othon M. Garcia (1973), "Descrição é a representação verbal de um objeto sensível (ser, coisa, paisagem), através da indicação dos seus aspectos mais característicos, dos pormenores que o individualizam, que o distinguem."

Descrever não é enumerar o maior número possível de detalhes, mas assinalar os traços mais singulares, mais salientes; é fazer ressaltar do conjunto uma impressão dominante e singular. Dependendo da

intenção do autor, varia o grau de exatidão e minúcia na descrição.

Diferentemente da narração, que faz uma história progredir, a descrição faz interrupções na história, para apresentar melhor um personagem, um lugar, um objeto, enfim, o que o autor julgar necessário para dar mais consistência ao texto. Pode também ter a finalidade de ambientar a história, mostrando primeiro o cenário, como acontece no texto abaixo: "Ao lado do meu prédio construíram um enorme edifício de apartamentos. Onde antes eram cinco românticas casinhas geminadas, hoje se instalaram mais de 20 andares. Da minha sala vejo a varandas (estilo mediterrâneo) do novo monstro. Devem distar uns 30 metros, não mais. E foi numa dessas varandas que o fato se deu."

A descrição tem sido normalmente considerada como uma expansão da narrativa. Sob esse ponto de vista, uma descrição resulta freqüentemente da combinação de um ou vários personagens com um cenário, um meio, uma paisagem, uma coleção de objetos. Esse cenário desencadeia o aparecimento de uma série de sub-temas, de unidades constitutivas que estão em relação metonímica de inclusão: a descrição de um jardim (tema principal introdutor) pode desencadear a enumeração das diversas flores, canteiros, árvores, utensílios, etc., que constituem esse jardim. Cada sub-tema pode igualmente dar lugar a um maior detalhe (os diferentes tipos de flor, as suas cores, a sua beleza, o seu perfume...).

Em trabalho recente, Hamon (1981) mostra que o descritivo tem características próprias e não apenas a função de auxiliar a narrativa, chegando a apontar aspectos lingüísticos da descrição: freqüência de imagens, de analogias, adjetivos, formas adjetivas do verbo, termos técnicos... Além disso, o autor ressalta a função utilitária desempenhada pela descrição em face de qualquer tipo de texto do qual faz parte: "descrever para completar, descrever para ensinar, descrever para significar, descrever para arquivar, descrever para classificar, descrever para prestar contas, descrever para explicar."

No texto dissertativo, por exemplo, a descrição funciona como uma maneira de comentar ou detalhar os argumentos contra ou a favor de determinada tese defendida pelo autor. Assim, para analisar o problema da evasão escolar, podemos utilizar como estratégia argumentativa à descrição detalhada de salas vazias, corredores vazios, estudantes desmotivados, repetência.

Numa descrição, quer literária, quer técnica, o ponto de vista do autor interfere na produção do texto. O ponto de vista consiste não apenas na posição física do observador, mas também na sua atitude, na sua predisposição afetiva em face do objeto a ser descrito. Desta forma, existe o ponto de vista físico e o ponto de vista mental. a) Ponto de vista físico É a perspectiva que o observador tem do objeto; pode determinar a ordem na enumeração dos pormenores


significativos. Enquanto uma fotografia ou uma tela apresenta o objeto de uma só vez, a descrição apresenta-o progressivamente, detalhe por detalhe, levando o leitor a combinar impressões isoladas para formar uma imagem unificada. Por esse motivo, os detalhes não são todos apresentados num único período, mas pouco a pouco, para que o leitor, associando-os, interligando-os, possa compor a imagem que faz do objeto da descrição. Observamos e percebemos com todos os sentidos, não apenas com os olhos. Por isso, informações a respeito de ruídos, cheiros, sensações tácteis são importantes num texto descritivo, dependendo da intenção comunicativa. Outro fator importante diz respeito à ordem de apresentação dos detalhes. Texto - Trecho de conversa informal (entrevista) "Vamos ver. Bom, a sala tem forma de ele, apesar de não ser grande, né, dá dois ambientes perfeitamente separados. O primeiro ambiente da sala de estar tem um sofá forrado de couro, uma forração verde, as almofadas verdes, ladeado com duas mesinhas de mármore, abajur, um quadro, reprodução de Van Gogh. Em frente tem uma mesinha de mármore e em frente a esta mesa e portanto defronte do sofá tem um estrado com almofadas areia, o aparelho de som, um baú preto. À esquerda desse estrado há uma televisão enorme, horrorosa, depois há em frente à televisão duas poltroninhas vermelhas de jacarandá e aí termina o primeiro ambiente. Depois então no outro, no alongamento da sala há uma mesa grande com seis cadeiras com um abajur em cima, um abajur vermelho. A sala é toda pintadinha de branco ..." Comentário sobre o texto Neste trecho da entrevista, a informante descreve a sala, nomeando as peças que compõem os dois ambientes, reproduzidos numa seqüência bem organizada. A localização da mobília é fornecida por meio de diversas expressões de lugar, como em frente, defronte, à esquerda, em cima, que ajudam a imaginar com clareza a distribuição espacial. Há uma preocupação da informante em fazer o nosso olhar percorrer a sala, dando os detalhes por meio das cores (verde, areia, preto, vermelhas), do tamanho ( televisão enorme, poltroninhas, mesinhas, sala pintadinha). É também interessante observar que essa informante deixa transparecer as suas impressões pessoais, como por exemplo ao usar o adjetivo horrorosa, para falar da televisão e pintadinha, no diminutivo, referindo-se com carinho à sua sala de estar e de jantar. b) ponto de vista mental ou psicológico A descrição pode ser apresentada de modo a manifestar uma impressão pessoal, uma interpretação do objeto. A simpatia ou antipatia do observador pode resultar em imagens bastante diferenciadas do mesmo objeto. Deste ponto de vista, dois tipos de descrição podem ocorrer: a objetiva e a subjetiva.

A descrição objetiva, também chamada realista, é a descrição exata, dimensional. Os detalhes não se diluem, pelo contrário, destacam-se nítidos em forma, cor, peso, tamanho, cheiro, etc. Este tipo de descrição pode ser encontrado em textos literários de intenção

realista (por exemplo, em Euclides da Cunha, Eça de Queiroz, Flaubert, Zola), enquanto em textos não-literários (técnicos e científicos), a descrição subjetiva reflete o estado de espírito do observador, as suas preferências. Isto faz com que veja apenas o que quer ou pensa ver e não o que está para ser visto. O resultado dessa descrição é uma imagem vaga, diluída, nebulosa, como os quadros impressionistas do fim do século passado. É uma descrição em que predomina a conotação. "Ao descrever um determinado ser, tendemos sempre a acentuar alguns aspectos, de acordo com a reação que esse ser provoca em nós. Ao enfatizar tais aspectos, corremos o risco de acentuar qualidades negativas ou positivas. Mesmo usando a linguagem científica, que é imparcial, a tarefa de descrever objetivamente é bastante difícil”. Apesar dessa dificuldade, podemos atingir um grau satisfatório de imparcialidade se nos tornarmos conscientes dos sentimentos favoráveis ou desfavoráveis que as coisas podem provocar em nós. A consciência disso habilitar-nos-á a confrontar e equilibrar os julgamentos favoráveis ou desfavoráveis. Um bom exercício consiste em fazer dois levantamentos sobre a coisa que queremos descrever: o primeiro, contendo características tendentes a enfatizar aspectos positivos; o segundo, a enfatizar aspectos negativos. Características lingüísticas da descrição O enunciado narrativo, por ter a representação de um acontecimento, fazer-transformador, é marcado pela temporalidade, na relação situação inicial e situação final, enquanto que o enunciado descritivo, não tendo transformação, é atemporal. Na dimensão lingüística, destacam-se marcas sintático-semânticas encontradas no texto que vão facilitar a compreensão: Predominância de verbos de estado, situação ou indicadores de propriedades, atitudes, qualidades, usados principalmente no presente e no imperfeito do indicativo (ser, estar, haver, situar-se, existir, ficar). Ênfase na adjetivação para melhor caracterizar o que é descrito; Exemplo: "Era alto , magro, vestido todo de preto, com o pescoço entalado num colarinho direito. O rosto aguçado no queixo ia-se alargando até à calva, vasta e polida, um pouco amolgado no alto; tingia os cabelos que de uma orelha à outra lhe faziam colar por trás da nuca - e aquele preto lustroso dava, pelo contraste, mais brilho à calva; mas não tingia o bigode; tinha-o grisalho, farto, caído aos cantos da boca. Era muito pálido; nunca tirava as lunetas escuras. Tinha uma covinha no queixo, e as orelhas grandes muito despegadas do crânio. "(Eça de Queiroz - O Primo Basílio) Emprego de figuras (metáforas, metonímias, comparações, sinestesias). Exemplos: "Era o Sr. Lemos um velho de pequena estatura, não muito gordo, mas rolho e bojudo como um vaso chinês. Apesar de seu corpo rechonchudo, tinha certa vivacidade buliçosa e saltitante que lhe dava petulância


de rapaz e casava perfeitamente com os olhinhos de azougue." (José de Alencar - Senhora) Uso de advérbios de localização espacial. Exemplo: "Até os onze anos, eu morei numa casa, uma casa velha, e essa casa era assim: na frente, uma grade de ferro; depois você entrava tinha um jardinzinho; no final tinha uma escadinha que devia ter uns cinco degraus; aí você entrava na sala da frente; dali tinha um corredor comprido de onde saíam três portas; no final do corredor tinha a cozinha, depois tinha uma escadinha que ia dar no quintal e atrás ainda tinha um galpão, que era o lugar da bagunça ..." (Entrevista gravada para o Projeto NURC/RJ)

A ordem dos detalhes é, pois, muito importante. Não se faz a descrição de uma casa de maneira desordenada; ponha-se o autor na posição de quem dela se aproxima pela primeira vez; comece de fora para dentro à medida que vai caminhando na sua direção e percebendo pouco a pouco os seus traços mais característicos com um simples correr de olhos: primeiro, a visão do conjunto, depois a fachada, a cor das paredes, as janelas e portas, anotando alguma singularidade expressiva, algo que dê ao leitor uma idéia do seu estilo, da época da construção. Mas não se esqueça de que percebemos ou observamos com todos os sentidos, e não apenas com os olhos. Haverá sons, ruídos, cheiros, sensações de calor, vultos que passam, mil acidentes, enfim, que evitarão que se torne a descrição uma fotografia pálida daquela riqueza de impressões que os sentidos atentos podem colher. Continue o observador: entre na casa, examine a primeira peça, a posição dos móveis, a claridade ou obscuridade do ambiente, destaque o que lhe chame de pronto a atenção (um móvel antigo, uma goteira, um vão de parede, uma massa no reboco, um cão sonolento...). Continue assim gradativamente. Seria absurdo começar pela fachada, passar à cozinha, voltar à sala de visitas, sair para o quintal, regressar a um dos quartos, olhar depois para o telhado, ou notar que as paredes de fora estão descaiadas. Quase sempre a direção em que se caminha, ou se poderia normalmente caminhar rumo ao objeto, serve de roteiro, impõe uma ordem natural para a indicação dos seus pormenores.

Fica evidente que esse "passeio" pelo cenário, feito como se tivéssemos nas mãos uma câmara cinematográfica, registrando os detalhes e compondo com eles um todo, deve obedecer a um roteiro coerente, evitando idas e vindas desconexas, que certamente perturbam a organização espacial e prejudicam a coerência do texto descritivo. Textos descritivos Conforme o objetivo a alcançar, a descrição pode ser não-literária ou literária. Na descrição não-literária, há maior preocupação com a exatidão dos detalhes e a precisão vocabular. Por ser objetiva, há predominância da denotação. Textos descritivos não-literários A descrição técnica é um tipo de descrição objetiva: ela recria o objeto usando uma linguagem científica, precisa. Esse tipo de texto é usado para descrever aparelhos, o seu funcionamento, as peças que os compõem, para descrever experiências, processos, etc.

Exemplo: a) Folheto de propaganda de carro Conforto interno - É impossível falar de conforto sem incluir o espaço interno. Os seus interiores são amplos, acomodando tranqüilamente passageiros e bagagens. O Passat e o Passat Variant possuem direção hidráulica e ar condicionado de elevada capacidade, proporcionando a climatização perfeita do ambiente. Porta-malas - O compartimento de bagagens possui capacidade de 465 litros, que pode ser ampliada para até 1500 litros, com o encosto do banco traseiro rebaixado. Tanque - O tanque de combustível é confeccionado em plástico reciclável e posicionado entre as rodas traseiras, para evitar a deformação em caso de colisão. Textos descritivos literários Na descrição literária predomina o aspecto subjetivo, com ênfase no conjunto de associações conotativas que podem ser exploradas a partir de descrições de pessoas; cenários, paisagens, espaço; ambientes; situações e coisas. Vale lembrar que textos descritivos também podem ocorrer tanto em prosa como em verso. Descrição de pessoas A descrição de personagem pode ser feita na primeira ou terceira pessoa. No primeiro caso, fica claro que o personagem faz parte da história; no segundo, a descrição é feita pelo narrador, que, ele próprio, pode fazer ou não parte da história. Texto - Retrato de Mônica Mônica é uma pessoa tão extraordinária que consegue simultaneamente: ser boa mãe de família, ser chiquíssima, ser dirigente da "Liga Internacional das Mulheres Inúteis", ajudar o marido nos negócios, fazer ginástica todas as manhãs, ser pontual, ter imensos amigos, dar muitos jantares, ir a muitos jantares, não fumar, não envelhecer, gostar de toda gente, toda gente gostar dela, colecionar colheres do século XVII, jogar golfe, deitar-se tarde, levantar-se cedo, comer iogurte, fazer ioga, gostar de pintura abstrata, ser sócia de todas as sociedades musicais, estar sempre divertida, ser um belo exemplo de virtudes, ter muito sucesso e ser muito séria. Tenho conhecido na vida muitas pessoas parecidas com a Mónica. Mas são só a sua caricatura. Esquecem-se sempre do ioga ou da pintura abstracta. Por trás de tudo isto há um trabalho severo e sem tréguas e uma disciplina rigorosa e contente. Pode-se dizer que Mónica trabalha de sol a sol. De fato, para conquistar todo o sucesso e todos os gloriosos bens que possui, Mônica teve de renunciar a três coisas: à poesia, ao amor e à santidade. Texto - Calisto Elói Calisto Elói, naquele tempo, orçava por quarenta e quatro anos. Não era desajeitado de sua pessoa. Tinha poucas carnes e compleição, como dizem, afidalgada. A sensível e dissimétrica saliência do abdómen devia-se ao uso destemperado da carne de porcos e outros alimentos intumescentes. Pés e mãos justificavam a raça que as gerações vieram adelgaçando de carnes. Tinha o nariz algum tanto estragado das invasões do rapé e torceduras do lenço de algodão vermelho. A dilatação das ventas e o escarlate das cartilagens não eram assim mesmo coisa de repulsão.


(Camilo Castelo Branco, A queda dum anjo) Comentário sobre a descrição de pessoas A descrição de pessoas pode ser feita a partir das características físicas, com predomínio da objetividade, ou das características psicológicas, com predomínio da subjetividade. Muitas vezes, o autor, propositadamente, faz uma caricatura do personagem, acentuando os seus traços físicos ou comportamentais. Os personagens podem ser apresentados diretamente, isto é, num determinado momento da história, e neste caso a narrativa é momentaneamente interrompida. Podem, por outro lado, ser apresentados indiretamente, por meio de dados, como comportamentos, traços físicos, opiniões, que vão sendo indicados passo a passo, ao longo da narrativa. Texto - Trecho de "A Relíquia" (Eça de Queiroz) "Estávamos sobre a pedra do Calvário. Em torno, a capela que a abriga, resplandecia com um luxo sensual e pagão. No tecto azul-ferrete brilhavam sóis de prata, signos do Zodíaco, estrelas, asas de anjos, flores de púrpura; e, dentre este fausto sideral, pendiam de correntes de pérolas os velhos símbolos da fecundidade, os ovos de avestruz, ovos sacros de Astarté e Baco de ouro. [...] Globos espelhados, pousando sobre peanhas de ébano, reflectiam as jóias dos retábulos, a refulgência das paredes revestidas de jaspe, de nácar e de ágata. E no chão, no meio deste clarão, precioso de pedraria e luz, emergindo dentre as lajes de mármore branco, destacava um bocado de rocha bruta e brava, com uma fenda alargada e polida por longos séculos de beijos e afagos beatos." Trecho – “O Senhor do Anéis”( J.R.R. Tolkien) A Muralha do Abismo tinha seis metros de altura, e era tão larga que quatro homens podiam andar lado a lado em cima dela, protegidos por um parapeito sobre o qual apenas um homem alto poderia olhar. Em alguns pontos havia fendas na pedra, através das quais os combatentes podiam atirar. Podia-se chegar a esse parapeito por uma escada que descia de uma porta no pátio externo do Forte da trombeta; três lances de degraus também conduziam para a parte superior da muralha, saindo do Abismo lá embaixo; mas a parte da frente era lisa, e as grandes pedras foram assentadas com tal habilidade que não se via nenhuma saliência nas suas junções, e no topo elas tinham a forma de um penhasco esculpido pelo mar. Considerações Finais Um enunciado descritivo, portanto, é um enunciado de ser. A descrição não é um objeto literário por princípio, embora esteja sempre presente nos textos de ficção, ela encontra-se nos dicionários, na publicidade, nos textos científicos. Há autores que apresentam a definição como um tipo de texto descritivo. Para Othon M.Garcia (1973), "a definição é uma fórmula verbal através da qual se exprime a essência de uma coisa (ser, objeto, idéia)", enquanto "a descrição consiste na enumeração de caracteres próprios dos seres (animados e inanimados), coisas, cenários, ambientes e costumes sociais; de ruídos, odores, sabores e impressões tácteis." Enquanto a definição generaliza, a descrição individualiza, isto porque, quando definimos, estamos a

tratar de classes, de espécies e, quando descrevemos, estamos a detalhar indivíduos de uma espécie. Definições de futebol Texto extraído de uma publicidade - encontramos aqui uma interessante definição do futebol, feita de uma maneira bastante diferente daquela que está nos dicionários. Futebol é bola na rede. Festa. Grito de golo. Não só. Não mais. No Brasil de hoje, futebol é a reunião da família, a redenção da Pátria, a união dos povos. Futebol é saúde, amizade, solidariedade, saber vencer. Futebol é arte, cultura, educação. Futebol é balé, samba, capoeira. Futebol é fonte de riqueza. Futebol é competição leal. Esta é a profissão de fé da ***. Porque a *** tem o compromisso de estar ao lado do torcedor e do cidadão brasileiro. Sempre. Enciclopédia e Dicionário Koogan/Houaiss Desporto no qual 22 jogadores, divididos em dois conjuntos, se esforçam por fazer entrar uma bola de couro na baliza do conjunto contrário, sem intervenção das mãos. (As primeiras regras foram elaboradas em 1860).


LLIITTEERRAATTUURRAA Frente II CCAAPPÍÍTTUULLOO 66 –– AARRCCAADDIISSMMOO

A poesia é um modo de compreensão e de expressão

(...) É uma atitude em face do universo e uma modalidade de tradução dessa atitude.

Tristão de Ataíde

CONTEXTO O século XVIII ficou conhecido como o século das

luzes, graças ao esforço desenvolvido por um grupo de pensadores, que fizeram da razão o soberano condutor da vida humana, procurando irradiar a luz do conhecimento. O Iluminismo foi um movimento que se empenhou em retomar e expandir os ideais do Renascimento, truncado pela Contra-Reforma. Porém, o conjunto de idéias dessa filosofia chocava-se com duas instituições poderosas da estrutura social da época: o Estado absolutista e a Igreja. No plano político, os iluministas rejeitaram o autoritarismo dos reis absolutistas e começaram a estabelecer idéias de democracia e igualdade; no plano religioso, chocaram-se com as correntes dogmáticas, baseadas na fé. A principal expressão do pensamento iluminista foi a Enciclopédia, obra que representou o ponto mais alto desse processo de fermentação de idéias e que, somado aos conflitos de ordem social e política, conduziram à Revolução Francesa (1789).

O triunfo desse espírito crítico se espalhou por todo o mundo. Muitas monarquias absolutistas, pressionadas, procuraram adaptar-se às novas idéias, gerando o fenômeno do despotismo esclarecido. Na América, deu-se a independência dos Estados Unidos e a adoção de um Constituição. Outro fenômeno relevante foi o da intensificação da atividade comercial, relacionada à Revolução Industrial, que transformou a vida da maior parte da população.

CARACTERÍSTICAS O Arcadismo reflete a ideologia da classe

aristocrática em decadência e da alta burguesia, insatisfeitas com o absolutismo real, com a pesada solenidade do Barroco, com as formas sociais de convivência rígidas, artificiais e complicadas. Como expressão artística dessas camadas sociais, esse movimento literário identifica-se com as idéias iluministas e contesta o Barroco elitista e aristocrático, valorizando o racionalismo e uma vida de prazeres amenos (Aurea mediocritas**, Carpe diem**) em oposição aos gastos exorbitantes dos nobres. Assim, a fórmula básica do Arcadismo pode ser representada assim: Verdade, razão e simplicidade.

Texto 1: Trecho de Marília de Dirceu, de Tomás Antônio Gonzaga. O ser herói, Marília, não consiste Em queimar os Impérios: move a guerra, Espalha o sangue humano, E despovoa a terra Também o mau tirano. Consiste o ser herói em viver justo: E tanto pode ser herói pobre,

Como o maior Augusto. Texto 2: Soneto de Bocage. Já se afastou de nós o Inverno agreste* envolto nos seus úmidos vapores; a fértil Primavera, a mãe das flores O prado ameno de boninas* veste: Varrendo os ares, o subtil* nordeste Os torna azuis; as aves de mil cores Adejam* entre Zéfiros*, e Amores, E toma o fresco Tejo a cor celeste: Vem, ó Marília, vem lograr* comigo Destes alegres campos a beleza. Destas copadas árvores o abrigo: Deixa louvar da corte a vã grandeza: Quanto me agrada mais estar contigo Notando as perfeições da Natureza!

* agreste: inclemente, rigoroso. * subtil: sutil. * bonina: planta de flores vistosas. * lograr: desfrutar. * adejar: mover as asas para manter-se em equilíbrio no ar. * Zéfiro: nome dado a ventos brandos.

A intensa e desordenada urbanização provocada pela Revolução Industrial levou a uma constante evocação do bucolismo**, do pastoralismo e do lema fugere urbem**, como uma alternativa para a violência e intranqüilidade das cidades. Como na literatura clássica, a natureza adquire um sentido de simplicidade e harmonia (locus amoenus**). Cultua-se o "homem natural", isto é, o homem que "imita" a natureza em sua ordenação, em sua serenidade, em seu equilíbrio, e condena-se toda ousadia, extravagância, exacerbação das emoções. Esta aproximação com o natural se dá por intermédio de uma literatura de caráter pastoril: o Arcadismo é uma festa campestre, representando a descuidada existência de pastores e pastoras na paz do campo, entre ovelhinhas.

Texto 3: Soneto de Cláudio Manuel da Costa. Torno a ver-vos, ó montes; o destino Aqui me torna a pôr nestes oiteiros*; Onde um tempo os gabões* deixei grosseiros Pelo traje da Côrte rico, e fino. Aqui estou entre Almendro, entre Corino*, Os meus fiéis, meus doces companheiros, Vendo correr os míseros vaqueiros Atrás de seu cansado desatino. Se o bem desta choupana pode tanto, Que chega a ter mais preço, e mais valia, Que da cidade o lisonjeiro encanto; Aqui descanse a louca fantasia; E o que té agora se tornava em pranto, Se converta em afetos de alegria.

* oiteiro: pequeno monte, colina. * gabão: capote de mangas ou casacão, com capuz e cabeção.

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* Almendro, Corino: nomes de pastores.

Texto 4: Trecho de Marília de Dirceu, de Tomás Antônio Gonzaga. Enquanto pasta alegre o manso gado, minha bela Marília, nos sentemos à sombra deste cedro levantado. Um pouco meditemos na regular beleza, Que em tudo quanto vive nos descobre A sábia natureza.

Porém, essa literatura pastoril não surge da

vivência direta da natureza. Pode-se dizer que uma distância infinita separa os pastores reais dos "pastores" árcades. E que sua poesia campestre é meramente uma convenção, ou seja, uma espécie de modismo de época a que todo escritor deve se submeter. Perdendo suas ligações com a realidade, a obra literária se converterá muitas vezes, num inconseqüente jogo de espíritos ociosos, os quais encontrarão na estilizada natureza pastoril algo como um paraíso perdido.

Processa-se também um retorno ao universo de referências clássicas, que é proporcional à reação anti-barroca do movimento. O escritor árcade está preocupado em ser simples, racional, inteligível (inutilia truncat**). E para atingir esses requisitos exige-se a imitação dos autores consagrados da Antiguidade, preferencialmente os pastoris. Logo, só a imitação dos clássicos asseguraria a vitalidade, o racionalismo e a simplicidade da manifestação literária. Deduz-se daí que se encontram traços como universalismo, idealização amorosa e a natureza - principal elemento de sua estética - não é a dos poetas do período, e sim a natureza das éclogas* de Virgílio e dos idílios* de Teócrito, os dois autores mais imitados pelos árcades. Por isso, o Arcadismo também é conhecido por Neoclassicismo.

Observe-se, também, a contínua utilização da mitologia clássica. Esta mitologia, que era um acervo cultural concreto de Grécia, Roma e mesmo do Renascimento, agora se converte apenas num recurso poético de valor duvidoso. Mais outra convenção, tornada obrigatória pelo prestígio dos modelos antigos.

Texto 5: Trecho de Marília de Dirceu, de Tomás Antônio Gonzaga Pintam, Marília, os poetas a um menino vendado, com uma aljava* de setas, arco empunhado na mão; ligeiras asas nos ombros, o terno corpo despido, e de Amor ou de Cupido são os nomes que lhe dão.

* aljava: estojo onde se colocavam as setas. A constante e obrigatória utilização de imagens

clássicas tradicionais acaba sedimentando uma poesia despersonalizada. A renúncia à manifestação subjetiva faz parte do "decoro e da dignidade" do homem virtuoso. O poeta deve expressar sentimentos comuns, genéricos, médios, reduzindo suas criações a fórmulas convencionais. O conteúdo passional, a impulsividade e

o frenesi íntimo, que costumamos ver no amor, são dissolvidos em pura galanteria, isto é, a paixão normalmente transforma-se num jogo de galanteios.

Quando o poeta declara seu amor à pastora, o faz de uma maneira elegante e discreta, exatamente porque as regras desse jogo exigem o respeito à etiqueta afetiva. Assim, o seu "amor" pode ser apenas um fingimento, um artifício de imagens repetitivas e banalizadas. * écloga: poesia pastoril, em geral dialogada. * idílio: pequena composição poética de caráter campestre. ** Aurea mediocritas: simplicidade do ouro. ** Carpe diem: aproveite o dia. ** bucolismo: relativo à natureza ou à vida natural. ** Fugere urbem: fugir das cidades. ** Locus amoenus: lugar agradável. ** Inutilia truncat: cortar os excessos, o que é inútil.

ARCADISMO EM PORTUGAL O Arcadismo foi marcado pela formação de

academias literárias, que eram agremiações que tinham por objetivo promover um debate permanente sobre a criação artística, avaliar criticamente a produção de seus afiliados e facilitar a publicação de suas obras. Pouco antes da era pombalina, o início do Arcadismo em Portugal se dá com a criação da Arcádia Lusitana, em 1756. A maior expressão do arcadismo português é Manoel Maria Barbosa du Bocage, também conhecido pelo pseudônimo pastoril Elmano Sadino. MANOEL MARIA DU BOCAGE (1765-1805) Obra: Rimas (6 volumes publicados entre 1791 e 1853, que abrangem vários gêneros poéticos).

Bocage foi extremamente respeitado pela sua poesia lírica, que contou com duas fases: a primeira quando ainda escrevia de acordo com os padrões árcades e integrava a Arcádia Lusitana; a segunda quando, tachando os clichês árcades de insípidos* e superficiais, passa a escrever de forma a extravasar sua sensibilidade e, assim, prenuncia já o Romantismo por tratar de temas como morte, desespero, horror e solidão.

Em muitos desses poemas pré-românticos, percebe-se uma certa dubiedade, revelando o quanto ele oscilou entre um estado de contemplação filosófica e submissão total ao amor ou à obsessão pela morte. Se se somar a isso um certo individualismo, a certeza de um destino infeliz e a dinamização da natureza, delineiam-se com mais precisão os contornos antecipadores do Romantismo em sua poesia.

Texto 6: Soneto da 1ª fase lírica de Bocage. Olha, Marília, as flautas dos pastores Que bem que soam, como estão cadentes*! Olha o Tejo a sorrir-se! Olha, não sentes Os Zéfiros a brincar por entre as flores? Vê como ali, beijando-se, os Amores Incitam nossos ósculos* ardentes: Ei-las de planta em planta as inocentes, As vagas borboletas de mil cores: Naquele arbusto o rouxinol suspira,

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Ora nas folhas a abelhinha pára, Ora nos ares, sussurrando, gira. Que alegre campo! Que manhã tão clara! Mas ah! Tudo o que vês, se eu te não vira Mais tristeza que noite me causara.

* cadente: com cadência. * ósculo: beijo.

Texto 7: Soneto da 2ª fase lírica de Bocage. Ó retrato da Morte! Ó Noite amiga, Por cuja escuridão suspiro há tanto! Calada testemunha de meu pranto, De meus desgostos secretária antiga! Pois manda Amor que a ti somente os diga Dá-lhes pio* agasalho no teu manto; Ouve-os, como costumas, ouve, enquanto Dorme a cruel que a delirar me obriga. E vós, ó cortesãos da escuridade, Fantasmas vagos, mochos* piadores, Inimigos, como eu, da claridade! Em bandos acudi aos meus clamores; Quero a vossa medonha sociedade, Quero fartar o meu coração de horrores.

* pio: caridoso. * mocho: coruja.

Indiscutivelmente, Bocage tornou-se um dos poetas mais populares da Literatura portuguesa, sobretudo, pela exuberante veia erótico-satírica, manifesta em versos de linguagem obscena e/ou agressiva.

Texto 8: Aos sócios da "Nova Arcádia" Vós, ó Franças, Semedos, Quintanilhas, Macedos* e outras pestes condenadas; Vós, de cujas buzinas penduradas Tremem de Jove* as melindrosas* filhas; Vós, néscios*, que mamais das vis quadrilhas Do baixo vulgo insossas gargalhadas, Por versos maus, por trovas aleijadas, De que engenhais as vossas maravilhas, Deixai Elmano, que, inocente e honrado Nunca de vós se lembra, meditando Em coisas sérias, de mais alto estado. E se quereis, os olhos alongando, Ei-lo! Vede-o no Pindo* recostado, De perna erguida sobre vós mijando.

* Franças,..., Macedos: pseudônimos de escritores árcades da época. * Jove: Júpiter, senhor dos deuses na mitologia latina. * melindrosa: delicada, mimosa. * néscio: ignorante. * Pindo: maciço montanhoso da Grécia. Um de seus cumes era consagrado a Apolo e às Musas.

Texto 9: Exemplo da poesia erótica de Bocage. Meus braços nus, meu colo, eu toda estava Coberta de sinais de ardentes beijos. Os leves trajos que ainda conservava, Em vão eu quis suster: rápido impulso Guiava Alcino: de Hércules as forças Ali vencera...As minhas que fariam? Co´as forças do pudor desfalecido Deixei fartar seus olhos, e seus gestos. “Que lindos membros!... Que divinais formas!...

* insípido: desagradável; tedioso; monótono.

ARCADISMO NO BRASIL A descoberta do ouro na região de Minas Gerais,

em fins do século XVII, significa o início de grandes mudanças na sociedade colonial brasileira. A corrida em busca do metal precioso desloca para serras uma multidão de aventureiros. A abundância do ouro gera extraordinária riqueza e os primeiros acampamentos de mineiros transformam-se rapidamente em cidades.

A existência citadina (medíocre até o século anterior) aproxima as pessoas através da vizinhança. A literatura, a exemplo da música, vai funcionar, nesta circunstância, como elemento de ligação social, de conversação e de prestígio. Nos saraus - muito comuns na época - pessoas ilustradas vão ouvir recitais de poemas e pequenas peças musicais, emitirão opiniões, trocarão impressões e acabarão constituindo o núcleo de um público regular e permanente, interessado em arte, sobretudo, na arte literária.

Surgem Academias e Arcádias, associações de intelectuais - geralmente poetas - com objetivos e princípios literários comuns. Pela primeira vez, no país, temos uma noção de escola artística, entendida como a articulação de um grupo numeroso de letrados em torno de valores estéticos e ideológicos. A partir de então, de forma contínua, autores produziriam obras que seriam consumidas por gerações de leitores. Ou seja, quando o crescimento urbano estrutura o sistema literário, cria também as condições mínimas para o surgimento de uma literatura autônoma.

Contudo, a partir da segunda metade do século XVIII, a produção aurífera começa a cair e as minas dão sinais de esgotamento. O crescente endividamento dos proprietários de minas com a Coroa aumenta o desconforto e a repulsa pelo fisco insaciável. Na consciência de muitos ecoa o sucesso da Independência Americana, de 1776. E também a força subversiva das idéias iluministas - expressas em livros que circulam clandestinamente por Vila Rica e outras cidades. Tudo isso termina por estimular membros das elites e alguns representantes populares ao levante de 1789. Apenas a traição de Joaquim Silvério impedirá que a Inconfidência Mineira chegue a bom termo. Porém, o martírio de Tiradentes e a participação de poetas árcades (dentre esses escritores, figuravam grandes nomes do Arcadismo brasileiro, tais como Tomás Antônio Gonzaga e Cláudio Manuel da Costa), no esforço revolucionário, transformam a sedição* no episódio de maior grandeza do passado colonial brasileiro. * sedição: perturbação da ordem pública; revolta. CLÁUDIO MANUEL DA COSTA (1729-1789) Obras: Obras poéticas, Vila Rica.

Cláudio Manuel da Costa (Glauceste Saturnio) é um curioso caso de poeta de transição. Ele reconhece e admira os princípios estéticos do Arcadismo, aos quais pretende se filiar, mas não consegue vencer as fortes influências barrocas e camonianas que marcaram a sua juventude intelectual. Racionalmente um árcade, emotivamente um barroco.

O poeta admite a contradição que existe entre o ideal poético e a realidade de sua obra. Com efeito, se os poemas estão cheios de pastores - comprovando o projeto de literatura árcade - o seu gosto pela antítese e a preferência pelo soneto indicam a herança de uma


tradição que remonta ao Camões lírico e à poesia portuguesa do século XVII.

Aliás, os seus temas são quase sempre barrocos. O desencanto com a vida, a brevidade dolorosa do amor, a rapidez com que todos os sentimentos passam são os motivos principais de sua expressão. Motivos barrocos. Contudo, para o homem barroco do século XVII, havia a perspectiva da divindade. Para o poeta de transição, existe apenas o sofrimento. E desse sofrimento dos amores perdidos e de sua ânsia em revivê-los, nasce a desolada angústia de alguém que, procurando o objeto de sua paixão, não o encontra. A todo instante, o autor vale-se de antíteses - típico procedimento barroco - para registrar os seus conflitos pessoais.

Texto 10: Soneto. Quando cheios de gosto, e de alegria Estes campos diviso* florescentes, Então me vêm as lágrimas ardentes Com mais ânsia, mais dor, mais agonia. Aquele mesmo objeto, que desvia Do humano peito as mágoas inclementes, Esse mesmo em imagens diferentes Toda a minha tristeza desafia. Se das flores a bela contextura Esmalta o campo na melhor fragrância, Para dar uma idéia da ventura; Como, ó Céus, para os ver terei constância, Se cada flor me lembra a formosura Da bela causadora de minha ânsia?

* divisar: avistar.

Texto 11: Soneto. Nise? Nise? Onde estás? Aonde espera Achar-te uma alma, que por ti suspira, Se quanto a vista se dilata, e gira, Tanto mais de encontrar te desespera! Ah se ao menos teu nome ouvir pudera Entre esta aura suave, que respira! Nise, cuido, que diz; mas é mentira. Nise, cuidei que ouvia; e tal não era. Grutas, troncos, penhascos da espessura, Se o meu bem, se a minha alma em vós se

[esconde, Mostrai, mostrai me a sua formosura. Nem ao menos o eco me responde! Ah como é certa a minha desventura! Nise? Nise? onde estás? aonde? aonde?

A síntese admirável desta visão pungente das

relações amorosas é encontrada no soneto XXII: sentado sobre uma rocha, o pastor Fido chora a sua desventura de amor e, num belo jogo de inversões, as lágrimas que derrama fazem brotar um rio na pedra, enquanto ele, cristalizando (eternizando) a sua dor, transforma-se em estátua:

Texto 12: Soneto XXII

Neste álamo* sombrio, aonde a escura Noite produz a imagem do segredo; Em que apenas distingue o próprio medo Do feio assombro a hórrida figura Aqui, onde não geme, nem murmura Zéfiro* brando em fúnebre arvoredo, Sentado sobre o tosco de um penedo* Chorava Fido a sua desventura. Às lágrimas, a penha* enternecida Um rio fecundou, donde manava D'ânsia mortal a cópia derretida; A natureza em ambos se mudava; Abalava-se a penha comovida; Fido, estátua de dor, se congelava.

* álamo: árvore de grande porte. * Zéfiro: vento suave. * penedo: rocha do penhasco. * penha: rocha.

O crítico Antônio Cândido mostra que esta preferência por imagens e cenários onde predominam a pedra, a rocha e os penhascos, indica a maior das contradições de Cláudio Manuel da Costa. Educado em Portugal, lá encontra a sua pátria intelectual, lá dialoga com a cultura do Ocidente, lá forja suas concepções artísticas. No entanto, o seu inconsciente está preso à sua pátria afetiva, à pátria das primeiras emoções, da infância e da adolescência. Sua memória gira em torno deste mundo feito das rochas e das pedras de Minas Gerais. Por isso, a todo momento elas afloram em seus poemas europeizados, como símbolos das raízes brasileiras, que ele não quer (ou não consegue) eliminar.

Além do gênero lírico, Cláudio Manuel da Costa tenta a epopéia num poemeto chamado Vila Rica, onde canta a fundação da cidade e procura mostrá-la já incorporada aos padrões civilizatórios europeus. Apesar da influência visível de O Uraguai, de Basílio da Gama, o resultado é de uma mediocridade irremediável.

Texto 13: Fragmento da obra Vila RicaCantemos, Musa, a fundação primeira Da Capital das Minas; onde inteira Se guarda ainda, e vive inda a memória, Que enche de aplauso de Albuquerque a história. Tu, pátrio ribeirão, que em outra edade Deste assunto a meu verso, na egualdade De um épico transporte, hoje me inspira Mais digno influxo; por que entoe a lira; Porque leve o meu canto ao clima estranho O claro herói, que sigo, e que acompanho: Faze vizinho ao Tejo, enfim que eu veja Cheias de Ninfas de amorosa inveja.

TOMÁS ANTÔNIO GONZAGA (1744-1810) Obras: Marília de Dirceu, Cartas Chilenas.

Depois de concluir o curso de Direito em Coimbra, Gonzaga (Dirceu) passou a viver em Vila Rica, onde iniciou sua atividade literária e suas relações amorosas com Maria Dorotéia de Seixas. Porém, em 1789, Gonzaga foi preso, acusado de participar da Inconfidência, e mandado ao Rio de Janeiro, onde ficou


encarcerado até 1792, quando foi exilado para Moçambique.

Esses fatos dão à sua poesia, escrita antes e durante a prisão, maior subjetividade, espontaneidade e emotividade, com o que Gonzaga conseguiu quebrar em grande parte a rigidez dos princípios árcades, prenunciando o Romantismo.

A poesia lírica de Tomás Antônio Gonzaga representa, sem dúvida, o melhor momento da criação literária no Brasil do século XVIII, sendo Marília de Dirceu sua grande obra. Marília de Dirceu

Uma das obras líricas mais estimadas e lidas no país, Marília de Dirceu permite duas abordagens igualmente válidas. A primeira mostra-a como o texto árcade por excelência. A segunda aponta para sua dimensão pré-romântica.

O pastoralismo, a galanteria, a clareza, a recusa em intensificar a subjetividade, o racionalismo neoclássico que transforma a vida num caminho fácil para as almas sossegadas, eis alguns dos elementos que configuram o Arcadismo nas liras de Tomás Antônio Gonzaga, especialmente as da primeira parte do livro, produzidas ainda em liberdade.

As vinte e três liras iniciais de Marília de Dirceu são autobiográficas dentro dos limites que as regras árcades impõem à confissão pessoal, isto é, o EU não deve expor nada além do permitido pelas convenções da época. Assim um pastor (que é o poeta) celebra, em tom moderadamente apaixonado, as graças da pastora Marília, que conquistou o seu coração:

Texto 14: Trechos da 1ª parte da obra. Os teus olhos espalham luz divina, A quem a luz do Sol em vão se atreve: Papoula*, ou rosa delicada, e fina, Te cobre as faces, que são cor de neve. Os teus cabelos são uns fios d’ouro; Teu lindo corpo bálsamos* vapora. Ah! Não, não fez o Céu, gentil Pastora, Para glória de Amor igual tesouro.

Graças, Marília bela, Graças à minha Estrela!

(...) Tu, Marília, agora vendo Do Amor o lindo retrato Contigo estarás dizendo Que é este o retrato teu. Sim, Marília, a cópia é tua, Que Cupido é Deus suposto: Se há Cupido, é só teu rosto Que ele foi quem me venceu.

* papoula: planta de grandes flores coloridas. * bálsamo: perfume.

Percebe-se no poema o enquadramento dos impulsos afetivos dentro do amor galante. Estamos longe do passionalismo romântico. A expressão sentimental vale-se de alegorias mitológicas e concentra-se em fórmulas mais ou menos graciosas. Vamos encontrar um conjunto de frases feitas sobre os encantos da amada, sobre as qualidades do pastor Dirceu e sobre a felicidade do futuro relacionamento entre ambos. Conforme o gosto do período, há um esforço para cantar as qualidades da vida em família,

do casamento, das módicas alegrias que sustentam um lar. Na verdade, o pastor Dirceu é um pacato funcionário público que sonha com a tranqüilidade do matrimônio, alheio a qualquer sobressalto, certo de que a domesticidade gratificará Marília. Por isso, ele trata de ressaltar a estabilidade de sua situação econômica:

Texto 15: Trechos da 1ª parte da obra. Eu, Marília, não sou algum vaqueiro, Que viva de guardar alheio gado; De tosco trato, de expressões grosseiro, Dos frios gelos, e dos sóis queimado. Tenho próprio casal* e nele assisto*; Dá-me vinho, legume, frutas, azeite. Das brancas ovelhinhas tiro o leite, E mais as finas lãs, de que me visto. Graças, Marília bela, Graças à minha Estrela! (...) Mas tendo tantos dotes da ventura, Só apreço lhes dou, gentil Pastora, Depois que teu afeto me segura, Que queres do que tenho ser senhora. É bom, minha Marília, é bom ser dono De um rebanho, que cubra monte, e prado; Porém, gentil Pastora, o teu agrado Vale mais q’um rebanho, e mais q’um trono. Graças, Marília bela, Graças à minha Estrela! (...) Irás a divertir-te na floresta, Sustentada, Marília, no meu braço; Ali descansarei a quente sesta, Dormindo um leve sono em teu regaço: Enquanto a luta jogam os Pastores, E emparelhados correm nas campinas, Toucarei teus cabelos de boninas, Nos troncos gravarei os teus louvores. Graças, Marília bela, Graças à minha Estrela!

* casal: pequena propriedade rústica. * assistir: morar.

Há em Tomás Antônio, o gosto típico do século XVIII pela existência moderada e amena. Hoje, chamaríamos esta perspectiva de pequeno-burguesa. Contudo, o ideal de equilíbrio, compostura e honradez, em seu tempo, é progressista. Enquadra-se no princípio da "aurea mediocritas", da "mediania de ouro", isto é, a aspiração a uma vida comum, uma vida de classe média.

Estando ligado às concepções rígidas do Arcadismo, Tomás Antônio Gonzaga tende à generalização insossa dos sentimentos e ao amor comedido e discreto. Mas há vários momentos, em Marília de Dirceu, que indicam um desejo de confidência e onde aparecem atrevimentos eróticos surpreendentes. São momentos de emoção genuína: o poeta lembra que o tempo passa, que com os anos os corpos se entorpecem, e convoca Marília para o "carpe diem" renascentista:

Texto 16: Trecho da 1ª parte da obra. Ornemos nossas testas com as flores, E façamos de feno um brando leito; Prendamo-nos, Marília, em laço estreito,


Gozemos do prazer de sãos Amores. Sobre as nossas cabeças, Sem que o possam deter, o tempo corre; E para nós o tempo, que se passa, Também, Marília, morre.

A tristeza da prisão domina a segunda e a terceira

partes do poema. Há uma tendência maior à confissão. Por outro lado, as convenções arcádicas diminuem e o equilíbrio neoclássico é várias vezes rompido pelo tom de desabafo que percorre o texto. Nem sempre a amargura confere vigor poético aos versos, que continuam controlados nas imagens, nos ritmos e na pintura das emoções. Mas, aqui e ali, surgem flagrantes de grande beleza lírica, centrados nos sentimentos de injustiça, de medo do futuro e de medo da morte e, acima de tudo, na lembrança dolorosa de Marília. Estas passagens induziram alguns críticos a considerá-las manifestações de pré-romantismo.

Texto 17: Trechos da 2ª parte da obra. Já não cinjo* de louro a minha testa; Nem sonoras canções o Deus me inspira: Ah! que nem me resta Uma já quebrada, Mal sonora Lira*! (...) Nesta cruel masmorra tenebrosa Ainda vendo estou teus olhos belos, A testa formosa, Os dentes nevados, Os negros cabelos. (...) As faces vão perdendo as vivas cores, E vão-se sobre os ossos enrugando, Vai fugindo a viveza dos meus olhos; Tudo se vai mudando. (...)

* cingir: ornar. * lira: instrumento musical de corda.

Apesar de seus inúmeros defeitos, Marília de Dirceu possui um encanto que mantém cativo os seus leitores: a linguagem simples e aparentemente espontânea. O poeta disfarça o seu esforço na construção da obra, através de um ritmo gracioso, alternando versos de dez e seis sílabas (decassílabos e hexassílabos). Usa também uma espécie de rima quebrada, combinado o segundo e o quarto versos, enquanto os outros são brancos. Vale-se, por vezes, do refrão e foge de todo e qualquer ornamento retórico de origem barroca. Mesmo quando as imagens clássicas tornam as liras afetadas e artificiais, o estilo continua simples, direto, envolvente. Cartas Chilenas

Como poeta satírico, Tomás A. Gonzaga produziu Cartas Chilenas, que circularam clandestinamente em Vila Rica e registraram a insatisfação das elites mineiras para com a administração do governador Cunha Menezes, ridicularizado como “Fanfarrão Minésio”. Em treze cartas, assinadas por Critilo (pseudônimo do poeta), escritas em versos decassílabos brancos e endereçadas a Doroteu (que se pressupõe seja o amigo Cláudio M. da Costa), Gonzaga

denunciou a corrupção produzida pelo governador e pela corja de velhacos que o protegia.

Ainda há algumas dúvidas a respeito da autoria desta obra satírica, mas todos os indícios apontam para o autor de Marília de Dirceu. O que já se tornou consenso é o caráter pessoal dos ataques, não havendo nenhuma insinuação nativista ou desejo de sublevação revolucionária nos mesmos.

Texto 18: Fragmento de Cartas ChilenasDo nosso Fanfarrão? Tu não o viste Em trajes de casquilho*, nessa corte? E pode, meu amigo, de um peralta* Formar-se, de repente, um homem sério? Carece, Doroteu, qualquer ministro Apertados estudos, mil exames, E pode ser o chefe onipotente Quem não sabe escrever uma só regra Onde, ao menos, se encontre um nome certo? (...) Agora, Fanfarrão, agora falo Contigo, e só contigo. Por que causa Ordenas que se faça uma cobrança Tão rápida e tão forte contra aqueles Que ao erário* só devem tênues somas? Não tens contratadores, que ao rei devem, De mil cruzados centos e mais centos? Uma só quinta parte, que estes dessem, Não matava, do erário, o grande empenho*? O pobre, porque é pobre, pague tudo, E o rico, porque é rico, vai pagando Sem soldados à porta, com sossego! Não era menos torpe, e mais prudente Que os devedores todos se igualassem? (...) Não quis o nosso herói chamasse a moça, Para mestre das obras, um pedreiro, Entregou o conserto ao grão-tenente, Que o fez baratinho, c’o massame* Que pertencia às obras da cadeia. Entende Fanfarrão que não devia Deixar ao desamparo a sua dama; Que a lei da Igreja pede que amparemos As que, por nossa culpa, se perderam, E a lei da fidalguia, que professa O nosso chefe, manda que ele ampare As mesmas, que na fama já têm nota, Contanto que isto seja à custa alheia. Chama, pois, o bom chefe a um peralta, Que era cabo de esquadra, e lhe comete A glória de casar com uma dama Que, se não fez descer dos céus à terra Ao Supremo Tonante, fez, contudo, Humanizar um chefe, que descende Da mais distinta, mais soberba raça.

* traje de casquilho: veste com apuro exagerado. * peralta: indivíduo ocioso, vadio. * erário: recursos financeiros do poder público. * empenho: despesa pública. * massame: mistura de tijolos e argamassa de cimento. OS ÁRCADES ÉPICOS

O esforço neoclássico do século XVIII leva alguns autores a sonhar com a possibilidade de um retorno ao sentido épico do mundo antigo. No entanto, numa era onde as concepções burguesas, o racionalismo e a


Ilustração triunfam, o heroísmo guerreiro ou aventureiro parecem irremediavelmente fora de moda. A epopéia ressurge, é verdade, mas quase como farsa. Houve, durante o Arcadismo, duas manifestações de árcades que elaboraram, além da poesia neoclássica, também a poesia épica: Basílio da Gama, com a obra O Uraguai e Frei Santa Rita Durão, com a obra Caramuru.

Basílio da Gama (Termindo Sipílio) estudara em colégio jesuíta no Brasil, foi para Portugal na época de perseguição pombalina aos jesuítas e acusado de jesuitofilia. Portanto, com a finalidade de livrar-se das acusações do Marquês de Pombal, escreveu poema com as idéias do político e criou na figura do jesuíta, que permeia a obra, uma espécie de mau-caráter, instigador de lutas.

A obra de Frei Santa Rita Durão é posterior à de Basílio e foi publicada em pleno reinado de D. Maria I, a louca; no entanto, reflete ainda a política pombalina: defesa do território, expansão econômica e fortalecimento do poder regente; ou seja, o Herói deve lealdade ao rei, servindo-o e auxiliando-o como colonizador, desbravador e defensor da terra. Além do que, põe-se também a catequizar os indígenas, convertendo-os ao catolicismo. O Uraguai

Compare-se, por exemplo, a grandeza do assunto de Os Lusíadas - os notáveis descobrimentos de Vasco da Gama - com o mesquinho tema de O Uraguai - a tomada das Missões jesuíticas do Rio Grande do Sul pela expedição punitiva de Gomes Freire de Andrade, em 1756 - para se ter uma idéia das diferenças que separam as duas obras. A pobreza temática impele Basílio da Gama a substituir o modelo camoniano de dez cantos por um poema épico de apenas cinco cantos, constituídos por versos brancos, ou seja, versos sem rimas. O enredo situa-se todo em torno dos eventos expedicionários e de um caso de amor e morte no reduto missioneiro.

No primeiro canto, Gomes Freire fala a respeito dos motivos da expedição. No segundo, trava-se a batalha entre conquistadores e índios, com a derrota dos últimos, apesar da valentia de seus principais chefes, Cacambo e Sepé. No terceiro canto, por motivos que o autor não aponta, Cacambo é preso e envenenado pelo jesuíta Balda. No quarto canto, tudo se esclarece: Balda queria casar o índio Baldeta, seu protegido e, provavelmente, seu filho, com Lindóia, esposa de Cacambo, mas ela prefere se deixar picar por uma serpente e morre. No último canto, temos a vitória final da expedição luso-espanhola e a descrição do templo central das Missões.

O curioso é que, fracassando como epopéia, o poema narrativo de Basílio da Gama tem passagens de excelente força dramática e lírica. De longe a cena mais conhecida de O Uraguai é a da morte da jovem Lindóia, que se suicida para fugir a um casamento indesejado. Quer dizer, o momento supremo do texto é lírico e não épico.

Texto 19: Fragmentos de O Uraguai (morte de Lindóia). Parte de antigo bosque, escuro e negro, Onde, ao pé duma lapa* cavernosa, Cobre uma rouca fonte, que murmura,

Curva latada e jasmins e rosas. Este lugar delicioso e triste, Cansada de viver, tinha escolhido Para morrer a mísera Lindóia. (...) Descobrem que se enrola no seu corpo Verde serpente, e lhe passeia e cinge Pescoço e braços, e lhe lambe o seio. Fogem de a ver assim sobressaltados E param cheios de temor ao longe; (...) Inda conserva o pálido semblante Um não sei quê de magoado, e triste, Que os corações mais duros enternece.

Tanto era bela no seu rosto a morte! * lapa: grande pedra ou laje que forma um abrigo.

Além disso, a apologia das façanhas de Gomes Freire de Andrade e seus soldados, que invadem e conquistam as reduções missioneiras para o cumprimento do tratado de Madri, de 1750, é a parte mais fraca do poema. Percebe-se aí a louvação implícita ao Marquês de Pombal, responsável pela ação destruidora e símbolo da ordenação racional européia. (O livro, aliás, é dedicado ao irmão do primeiro-ministro). Só que o efeito deste expansionismo do Império é o apocalipse dos Sete Povos das Missões.

Texto 20: Fragmentos de O Uraguai. Fumam ainda nas desertas praias Lagos de sangue tépidos* e impuros Em que ondeiam cadáveres despidos, Pasto de corvos. Dura inda nos vales O rouco som da irada artilharia. Musa, honremos o Herói que o povo rude Subjugou do Uraguai, e no seu sangue Dos decretos reais lavou a afronta. Ai tanto custas, ambição de império! E Vós, por quem o Maranhão pendura (...) Tatu-Guaçu mais forte na desgraça Já banhado em seu sangue pretendia Por seu braço ele só pôr termo à guerra. Caitutu de outra parte altivo e forte Opunha o peito à fúria do inimigo, E servia de muro à sua gente. (...) Tinha-se retirado da peleja* Caitutu mal ferido; e do seu corpo Deixa Tatu-Guaçu por onde passa Rios de sangue. Os outros mais valentes Ou eram mortos, ou feridos. Pende O ferro vencedor sobre os vencidos. Ao número, ao valor cede Cacambo: Salva os índios que pode, e se retira.

* tépido: morno. * peleja: batalha.

O choque das intenções racionalistas da Europa e o primitivismo americano torna-se melancólico (e portanto, não-épico) quando o general Gomes Freire dialoga com os chefes indígenas, Cacambo e Sepé. O ponto-de-vista de Basílio da Gama diante da conversa entre os inimigos revela-se paradoxal: em termos ideológicos, ele se coloca ao lado dos europeus mas, em termos sentimentais, simpatiza com os índios.


A contradição que envolve Basílio da Gama por glorificar tanto o conquistador quanto o índio missioneiro é equacionada pela crítica feroz a um terceiro elemento: o jesuíta. Já no poema, o único jesuíta que aparece, padre Balda, é ambicioso e pérfido*. Não satisfeito, o autor se vale de notas explicativas em profusão, nas quais acusa os padres como responsáveis pelo conflito.

A crítica se divide a respeito do indianismo do autor. Alguns assinalam a presença de um forte sentido antieuropeu neste indianismo, porém a maioria inclina-se a ver em O Uraguai apenas pastores árcades travestidos de indígenas. E a repulsa dos mesmos aos desígnios dos governos europeus, de acordo com o poema e com as intenções do escritor, não seria motivada por qualquer nacionalismo. Seria apenas a rejeição do "homem natural" do Arcadismo ao mundo urbano. No entanto, não se pode deixar de reconhecer que O Uraguai será retomado pelos românticos como um precursor do indianismo do século XIX. * pérfido: traidor. Caramuru

O poema épico Caramuru é publicado doze anos depois de O Uraguai, contudo não existe uma continuidade entre ambos. Nem formal, nem ideológica. Ao contrário de Basílio da Gama, admirador de Pombal, Santa Rita Durão lembra o período pombalino como uma época de horrores. Assim, a visão anti-jesuítica de seu antecessor cede lugar a uma narrativa de inspiração religiosa.

Também ao inverso de Basílio da Gama, que procurou inovar usando versos brancos e dividindo o poema em apenas cinco cantos, o frei segue rigidamente o modelo camoniano de Os Lusíadas. Realiza seu poema em dez cantos, com estrofes de oito versos decassílabos e rimados. Sua pretensão, tão maiúscula quanto a sua falta de criatividade, é compor uma obra-síntese sobre a colonização do Brasil: “Os sucessos do Brasil não mereceriam menos um poema que os da Índia. Incitou-me a escrever este, o amor pela Pátria.”

O poema narra a história do aventureiro Diogo Álvares Correia, que naufraga na costa da Bahia, no século XVI, sendo recolhido por índios. Ele os maravilha com sua espingarda, procurando depois catequizá-los e colonizá-los. Esta junção do herói português com o herói católico é representado pelo desejo de Caramuru em desposar uma jovem indígena e assim sacramentar a união entre os nativos e os conquistadores.

Noiva então com a casta Paraguaçu, filha de um cacique e, como não há padres para efetivar o matrimônio, os noivos embarcam, ainda puros, numa caravela francesa, rumo à Europa. Lá, a exótica dupla dos trópicos vai deslumbrar a requintada Corte da França. Na partida do litoral brasileiro, ocorre a cena mais famosa de Caramuru: jovens indígenas apaixonadas pelo "filho do trovão" nadam em desespero atrás do navio, suplicando que o herói não se fosse. Em certo momento, já debilitadas resolvem retornar à terra. Uma indígena, entretanto, prefere morrer a perder de vista o homem branco. É Moema, que vai perecer tragada pelas ondas:

Texto 21: Fragmentos de Caramuru (morte de Moema). É fama então que a multidão formosa as damas, que Diogo pretendiam, Vendo avançar-se a nau* na via undosa*, E que a esperança de o alcançar perdiam, Entre as ondas com ânsia furiosa, Nadando o esposo pelo mar seguiam, E nem tanta água que flutua vaga ardor que o peito tem, banhando apaga. Copiosa multidão da nau francesa Corre a ver o espetáculo assombrada; E, ignorando a ocasião de estranha empresa, Pasma da turba feminil que nada. Uma, que às mais precede em gentileza, Não vinha menos bela do que irada: Era Moema, que de inveja geme, E já vizinha à nau se apega ao leme. (...) Enfim, tens coração de ver-me aflita, Flutuar moribunda entre estas ondas; Nem o passado amor teu peito incita A um ai somente com que aos meus respondas! Bárbaro, se esta fé teu peito irrita, (Disse, vendo-o fugir), ah! não te escondas Dispara sobre mim teu cruel raio... E indo a dizer o mais, cai num desmaio. Perde o lume* dos olhos, pasma e treme, Pálida a cor, o aspecto moribundo, Com mão já sem vigor, soltando o leme, Entre as salsas* escumas desce ao fundo. Mas na onda do mar, que irado freme, Tornando a aparecer desde o profundo: "Ah! Diogo cruel!" disse com mágoa, E, sem mais vista ser, sorveu-se n'água.

* nau: navio. * undosa: em que há ondas. * lume: brilho. * salsa: salgada.

Como o tema era pobre em demasia, Santa Rita Durão enche os dez cantos do Caramuru com guerras, visões da história do Brasil dos séculos XVI a XVIII, viagens, festas na Corte, etc. O resultado dessa mistura é uma obra prolixa*, onde os episódios se atropelam sem unidade, dissolvendo qualquer possibilidade de significado épico.

Caramuru é o elogio do trabalho de colonização e de catequese do europeu, especialmente da ação civilizadora do português. Mesmo não sendo padre, Diogo Álvares está interessado em conduzir o índio ao caminho do cristianismo. Este é o seu principal objetivo. Inexiste em Santa Rita Durão aquela fascinante ambigüidade com que Basílio da Gama trata o relacionamento entre brancos e nativos. Seu poema, além de monótono, é banal.

Trata-se de uma epopéia anacrônica*, escrita por alguém que, vivendo longe do Brasil desde a infância, armazena toda a bibliografia existente a respeito de sua terra. Ele quer conferir ao Caramuru uma atmosfera fidedigna e objetiva, o que infelizmente não consegue. E mesmo que os seus índios sejam retratados de forma um pouco mais realista que os de Basílio da Gama, há ainda na sua visão um pesado tributo aos preconceitos da época. A descrição da "doce Paraguaçu", por


exemplo, contraria todo o princípio da realidade fisionômica e da cor dos indígenas. Ela é sem dúvida uma moça branca:

Texto 22: Fragmento de Caramuru (descrição de Paraguaçu). Paraguaçu gentil (tal nome teve), Bem diversa de gente tão nojosa, De cor tão alva como a branca neve, E donde não é neve, era de rosa; O nariz natural, boca mui breve, Olhos de bela luz, testa espaçosa.

* prolixa: muito longa. * anacrônica: que está em desacordo com o uso, constituindo atraso em relação a ele.

EXERCÍCIOS (MACK) Textos para as questões 1 e 2.

Texto I Olha, Marília, as flautas dos pastores, Que bem que soam, como estão cadentes! Olha o Tejo, a sorrir-se! Olha, não sentes Os Zéfiros brincar por entre as flores? Bocage Texto II Ah! Não me roubou tudo a negra sorte: Inda tenho este abrigo, inda me resta O pranto, a queixa, a solidão, e a morte. Bocage

1. No texto I encontra-se representação da natureza que a) se caracteriza como o locus amoenus; (lugar aprazível), motivo poético desenvolvido pela estética árcade. b) corresponde a um quadro harmonioso, segundo modelo típico das cantigas de amor medievais. c) é resultado de uma concepção romântica, característica do mal do século. d) é expressão da religiosidade cristã que marcou os ideais iluministas. e) corresponde a um padrão estético que reflete a cosmovisão dos escritores naturalistas do século XIX. 2. Sobre os textos I e II é correto afirmar: a) ambos indicam, por meio do vocativo, a presença da mulher amada. b) em I, concretiza-se poeticamente a alegria por meio da personificação. c) ambos expressam um lamento frente àquilo que a negra sorte pode roubar do ser humano. d) em II, o pranto, a queixa, a solidão, e a morte apresentam-se como algo indesejável. e) em I, a recorrência de exclamações é índice de contenção emotiva. (MACK) Texto para as questões 3 e 4.

Ornemos nossas testas com as flores, e façamos de feno um brando leito; prendamo-nos, Marília, em laço estreito, gozemos do prazer de sãos amores (...) (...) aproveite-se o tempo, antes que faça o estrago de roubar ao corpo as forças e ao semblante a graça. Tomás Antônio Gonzaga

3. Nos versos acima, a) o eu-lírico, ao lamentar as transformações notadas em seu corpo e alma pela passagem do tempo, revela-se amoroso homem de meia-idade.

b) que retomam tema e estrutura de uma “canção de amigo”, está expresso o estado de alma de quem sente a ausência do ser amado. c) nomeia-se diretamente a figura ironizada pelo eu-lírico, a mulher a quem se poderiam fazer convites amorosos mais ousados. d) em que se notam diálogo e estrutura paralelística, o ponto de vista dominante é o do amante que vê seus sentimentos antagônicos refletidos na natureza. e) a natureza é o espaço onde o amado se sente à vontade para expressar diretamente à amada suas inclinações sensuais. 4. Quanto ao estilo, os versos a) revelam a presença não só de formas mais exageradas de inversão sintática — hipérbatos —, como também de comparações excessivas, resíduos do estilo cultista. b) comprovam a predileção pelo verso branco e pela ordem direta da frase, característicos da naturalidade desejada pelos poetas do Arcadismo. c) denotam — pela singeleza do vocabulário, pela sintaxe quase prosaica — a vontade de alcançar a simplicidade da linguagem, em oposição à artificialidade do Barroco. d) organizam-se em torno de antíteses, na busca de caracterizar, em atitude pré-romântica, o amor ideal e a pureza do lavor da terra. e) constroem-se pelo desdobramento contínuo de imagens, compondo um quadro em que a emoção é tratada de modo abstrato, de acordo com a convenção árcade. (MACK) Texto para as questões de 5 a 7.

Já sobre o coche de ébano* estrelado Deu meio giro a noite escura e feia; Que profundo silêncio me rodeia Neste deserto bosque, à luz vedado! Jaz* entre as folhas Zéfiro abafado, O Tejo adormeceu na lisa areia; Nem o mavioso rouxinol gorjeia, Nem pia o mocho*, às trevas costumado: Só eu velo, só eu, pedindo à sorte Que o fio, com que está minha alma presa À vil matéria lânguida* me corte: Consola-me este horror, esta tristeza; Porque a meus olhos se afigura a morte No silêncio total da natureza. Bocage

* coche de ébano: carruagem de madeira escura. * jaz: está ou parece morto. * mocho: coruja. * lânguida: doentia. 5. De acordo com o texto, é correto afirmar que a) a noite escura e feia é a razão da tristeza do eu-lírico. b) a natureza, para o eu-lírico, é, nesse contexto, expressão da morte. c) a perspectiva da morte iminente torna o eu-lírico angustiado. d) a alma está caracterizada como matéria lânguida. e) a noite escura e feia transformou-se em noite iluminada e silenciosa. 6. Está presente no texto o seguinte traço característico da poesia de Bocage: a) temática religiosa.


b) idealização do “locus amoenus”. c) quebra dos padrões formais clássicos. d) supremacia dos efeitos sonoros em detrimento da idéia. e) linguagem emotivo-confessional. 7. Nesse poema, a referência à cultura mitológica (Zéfiro) revela influência da estética a) romântica. b) simbolista. c) trovadoresca. d) árcade. e) parnasiana. (MACK) Texto para a questão 8.

Importuna Razão, não me persigas; Cesse a ríspida voz, que em vão murmura, Se a lei de amor, se a força da ternura Nem domas, nem contrastas, nem mitigas: Se acusas os mortais, e os não abrigas, Se (conhecendo o mal) não dás a cura, Deixa-me apreciar minha loucura; Importuna Razão, não me persigas. Bocage

Obs.: mitigar= aliviar 8. Essas estrofes comprovam que a poesia do autor a) abandona os padrões métricos regulares, em busca de uma expressão rítmica mais adequada aos impulsos emotivos. b) recria uma experiência notadamente emotiva, apesar de o eu lírico reconhecer que o comportamento racional, comedido, é a única via de acesso à felicidade. c) utiliza uma linguagem ainda presa a esquemas argumentativos, embora revele o desejo do eu lírico de se satisfazer com a loucura provocada pelo fluxo emotivo. d) manifesta a angústia de um homem exilado, numa linguagem marcadamente confessional, livre dos travamentos impostos pela razão. e) tem como traços estilísticos períodos longos, cuja pontuação imprime um ritmo de desespero e desregramento a que o eu lírico se entrega. (MACK) Texto para as questões de 9 a 11.

Se das flores a bela contextura Esmalta o campo na melhor fragrância, Para dar uma idéia da ventura; Como, ó Céus, para os ver terei constância, Se cada flor me lembra a formosura Da bela causadora de minha ânsia? Cláudio Manuel da Costa

9. Nos versos acima, componentes de um soneto, o eu lírico a) associa imagens provenientes de sensações distintas para cantar a beleza da Natureza, tema principal dos tercetos. b) faz uso de uma estrutura silogística cuja conclusão nega a proposição inicial acerca da Natureza, manifesta no primeiro terceto. c) levanta uma hipótese acerca do espaço que o cerca para exaltar as qualidades superiores da Natureza em relação a qualquer outro ser. d) confessa sua incapacidade de ser fiel a qualquer amor possível, dada a exuberância com que a Natureza concede formosura às mais variadas mulheres.

e) confessa desgosto por não usufruir em plenitude a harmonia da Natureza, cuja imagem ele associa à da amada distante. 10. A produção de Cláudio Manuel da Costa, poeta brasileiro do século XVIII, a) retrata um contexto social, político e estético completamente distinto do representado na obra do inconfidente Tomás Antônio Gonzaga. b) exemplifica o esforço de sua geração poética em renunciar à expressão da vida sentimental, em busca da reprodução de objetos decorativos, em versos perfeitos. c) tem em comum com a de José de Anchieta, Gregório de Matos e Padre Antônio Vieira o fato de constituir manifestação cultural do Brasil-Colônia. d) é exemplo da poesia condoreira, de caráter social e político, que defendia, sobretudo, a necessidade da libertação dos escravos. e) caracteriza-se pela contestação das formas poéticas tradicionais, manifesta, por exemplo, pela adoção de versos brancos e livres. 11. Contemporâneo de Cláudio Manuel da Costa, Silva Alvarenga entende que o poeta deve ser sincero, expressando diretamente o que sente; para ele, a poesia deveria partir de uma vivência autêntica. É o que comprovam seus versos: a) Torce, aprimora, alteia, lima / A frase; e, enfim, / No verso de ouro engasta a rima (...) b) Quem estuda o que diz, na pena não se iguala / Ao que de mágoa e dor geme (...) c) Não sou alegre nem sou triste / sou poeta. d) Meninas de bicicleta / Quero ser vosso poeta! e) Meus olhos têm telescópios / espiando a rua, / espiando minha alma / longe de mim mil metros. 12. (UNFESP) Leia os versos do poeta português Bocage.

Vem, oh Marília, vem lograr comigo Destes alegres campos a beleza, Destas copadas árvores o abrigo. Deixa louvar da corte a vã grandeza; Quanto me agrada mais estar contigo, Notando as perfeições da Natureza!

Nestes versos, a) o poeta encara o amor de forma negativa por causa da fugacidade do tempo. b) a linguagem, altamente subjetiva, denuncia características pré-românticas do autor. c) a emoção predomina sobre a razão, numa ânsia de se aproveitar o tempo presente. d) o amor e a mulher são idealizados pelo poeta, portanto, inacessíveis a ele. e) o poeta propõe, em linguagem clara, que se aproveite o presente de forma simples junto à natureza. 13. (PUC-Campinas) Podemos dizer que as principais características do movimento arcádico são: a) a busca do claro, do racional, do verossímil e o desenvolvimento de temas pastoris. b) o sentimento religioso, inspirado na Contra-Reforma. c) presença do tema da morte e de temas pastoris. d) apologia dos contrastes, onde cada palavra deveria ser símbolo conotativo de seu oposto. e) n. d. a.


Texto para a questão 14.

Apenas, Doroteu, o nosso chefe As rédeas manejou do seu governo, Fingir nos intentou que tinha uma alma Amante da virtude. Assim foi Nero.

14. Aponte a alternativa incorreta com relação à obra da qual foi extraído o fragmento acima: a) constitui-se de poemas satíricos em forma de carta que circularam pela cidade de Vila Rica antes da Inconfidência Mineira. b) sua autoria foi discutida, durante muito tempo, pelos historiadores. c) narra os desmandos e arbitrariedades de Luís da Cunha Meneses, governador de Minas Gerais, apresentado como Fanfarrão Minésio. d) Doroteu escreve de Santiago do Chile, para o amigo Critilo, que se encontra em Vila Rica. e) Doroteu e Critilo são pseudônimos satíricos de Cláudio Manuel da Costa e Tomás Antônio Gonzaga na obra em questão. 15. Leia atentamente o soneto de Manuel Maria Barbosa du Bocage, a seguir.

Incultas produções da mocidade Exponho a vossos olhos, ó leitores. Vede-as com mágoas, vede-as com piedade, Que elas buscam piedade e não louvores. Ponderai da Fortuna a variedade Nos meus suspiros, lágrimas e amores; Notai dos males seus a imensidade, A curta duração dos seus favores. E se entre versos mil de sentimento Encontrardes alguns, cuja aparência Indique festival contentamento. Crede, ó mortais, que foram com violência Escritos pela mão do Fingimento, Cantados pela voz da Dependência

Considerando o soneto acima e a relação do poeta com o Arcadismo português, é correto afirmar: a) Criticamente pode-se dividir a obra poética de Bocage em duas fases: uma árcade – quando a obediência do autor à normas da escola neoclássica é observada – e a outra pré-romântica – quando a individualidade, o pessimismo e o sentimentalismo levam o autor a discordar dos ideais seguidos na fase anterior. b) Criticamente pode-se considerar a obra poética de Bocage integralmente árcade, com o poeta revelando pleno domínio das técnicas propostas pela escola neoclássica e demonstrando uma atitude de conformismo com o conteúdo dessas propostas. c) Criticamente pode-se dizer que Bocage representa o mais autêntico estilo romântico na totalidade de sua produção, com o poeta ultrapassando as normas estéticas do Arcadismo do século XVIII. d) Criticamente a obra poética de Bocage é vista como um divisor de águas entre a estética da poesia do Renascimento e os propósitos de valorização do individualismo no movimento do Realismo. e) Nenhuma das reflexões acima está correta.

(VUNESP) Texto para a questão 16. O ser herói, Marília, não consiste Em queimar os Impérios: move a guerra, Espalha o sangue humano, E despovoa a terra Também o mau tirano. Consiste o ser herói em viver justo: E tanto pode ser herói pobre, Como o maior Augusto.

16. Assinale a alternativa correta: a) Os versos pertencem a Cláudio Manuel da Costa e denunciam aspectos ideológicos do Iluminismo. b) Os versos são de Tomás Antônio Gonzaga e neles se percebem alguns traços ideológicos da ilustração. c) Os versos são de Basílio da Gama e neles se notam características do bucolismo. d) Os versos criticam os poderosos do tempo, pertencem a Gregório de Matos e trazem as marcas do estilo barroco. e) Os versos exprimem o contraste entre o herói comum e anônimo e os heróis oficiais, pertencendo, portanto, a autor realista do século XIX. 17. (FAAP) Indique a que movimentos literários fazem referência as seguintes afirmações: a) A poesia do *** expressa uma visão de mundo marcada pelos contrastes entre o sensual e o espiritual, o prazer e o sofrimento, a essência e a aparência. b) Idealizando a vida campestre, o *** tem no bucolismo sua característica marcante. (FUVEST) Texto para a questão 18.

E em arte aos de Minerva se não rendem Teus alvos, curtos dedos melindrosos.

18. Indique a característica presente nos versos anteriores, da autoria de Bocage: a) uso de pseudônimos. b) rompimento com os clássicos. c) recurso à mitologia greco-romana. d) predominância de subjetivismo. e) tema pastoril. 19. (TAUBATÉ) O Arcadismo caracteriza-se por: a) idéias e pensamentos rebuscados, preciosismo. b) um meio ‘grandiloquente’ e enfático para expressar-se através da palavra. c) simplicidade, regresso à natureza, pureza de palavra. d) musicalidade, escolha de palavras, sondagem de um mundo de essências. e) n.r.a.

RESPOSTAS 1.a 2.b 3.e 4.c 5.b 6.e 7.d 8.c 9.e 10.c 11.b 12.e 13.a 15.a 16.b 17. a) Barroco. b) Arcadismo. 18.c 19.c


LLIITTEERRAATTUURRAA Frente II RREEVVIISSÃÃOO IIIIII

EXERCÍCIOS

1. (UNIFESP) Sobre a Farsa de Inês Pereira, é correto afirmar que é um texto de natureza a) satírica, pertencente ao Humanismo português, em que se ridiculariza a ascensão social de Inês Pereira por meio de um casamento de conveniências. b) didático-moralizante, do Barroco português, no qual as contradições humanas entre a vida terrena e a espiritual são apresentadas a partir dos casamentos complicados de Inês Pereira. c) religiosa, pertencente ao Renascimento português, no qual se delineia o papel moralizante, com vistas à transformação do homem, a partir das situações embaraçosas vividas por Inês Pereira. d) reformadora, do Renascimento português, com forte apelo religioso, pois se apresenta a religião como forma de orientar e salvar as pessoas pecadoras. e) cômica, pertencente ao Humanismo português, no qual Gil Vicente, de forma sutil e irônica, critica a sociedade mercantil emergente, que prioriza os valores essencialmente materialistas. (USF-SP) Texto para a questão 2.

Vós, diz Cristo Senhor nosso, (...) sois o sal da terra, chama-lhes sal da terra, porque quer que façam, na terra, o que faz o sal, O efeito do sal é impedir a corrupção, mas quando a terra se vê tão corrupta como está a nossa, havendo tantos nela, que têm ofício de sal, qual será, ou qual pode ser a causa desta corrupção? Ou é porque o sal não salga, ou porque a terra se não deixa salgar.

2. No exceto, a argumentação é exemplo: a) do conceptismo barroco do padre Antônio Vieira. b) da crítica social de Gregório de Matos Guerra. c) da sátira política de Tomás Antônio Gonzaga. d) da poesia épica do árcade Basílio da Gama. e) do poema histórico de Cláudio Manuel da Costa. (UMC) Leia o seguinte soneto de Camões para resolver as questões 3 e 4.

O tempo acaba o ano, o mês e a hora, A força, a arte, a manha, a fortaleza; O tempo acaba a fama e a riqueza, O tempo o mesmo tempo de si chora; O tempo busca e acaba o onde mora Qualquer ingratidão, qualquer dureza; Mas não pode acabar minha tristeza, Enquanto não quiserdes vós, Senhora. O tempo o claro dia torna escuro E o mais ledo prazer em choro triste; O tempo, a tempestade em grão bonança. Mas de abrandar o tempo estou seguro O peito de diamante, onde consiste A pena e o prazer desta esperança.

3. Pela leitura, pode-se apreender os elementos que constituem o seu tema.

a) Indique os elementos fundamentais que constituem o núcleo do tema desenvolvido. b) Elabore um enunciado que sintetize a idéia central do soneto. c) A quem o poeta se refere quando diz “o peito de diamante”? Explique o significado dessa metáfora no contexto do soneto. d) Comente a aparente contradição do verso “A pena e o prazer desta esperança”. E explique sobre o que o poeta está falando, quando aplica essa contradição. 4. O poeta, além disso, mostra o poder do Tempo. a) Transcreva os versos que sinalizam para o leitor esse poder exercido pelo Tempo. b) Explique quais são as duas principais ações praticadas pelo Tempo. c) Explique as ações enunciadas na 1ª e na 3ª estrofes, no que se refere ao poder exercido pelo Tempo. d) Sintetize num enunciado a conclusão a que se pode chegar a respeito da vida, da existência, partindo dessa reflexão sobre a ação do Tempo. 5. (FUVEST) Dê argumentos que permitam considerar o padre Antônio Vieira como um expoente tanto da Literatura Portuguesa quanto da Literatura Brasileira. (MACK) Texto para as questões 6 e 7.

O prazer com a pena se embaraça; Porém quando um com outro mais porfia, O gosto corre, a dor apenas passa. Gregório de Matos

6. Assinale a alternativa correta. a) “Pena”, no primeiro verso, é um substantivo concreto, pois, aqui, significa uma parte da caneta. b) “Prazer” é o sentimento que o poeta considera o mais estável. c) “Prazer” e “dor” se harmonizam, numa trégua dada à luta entre os sentimentos opostos. d) “Corre”, no terceiro verso, relaciona-se à idéia de “ir embora”. e) “A dor”, sujeito da última oração do poema, refere-se ao sentimento mais efêmero. 7. Assinale a alternativa incorreta com relação a estilo de época, obra e autor do texto. a) Num jogo verbal típico da estética seiscentista, o poeta revela seu pessimismo com relação à vida. b) Um dos traços da estética barroca é a tentativa de conciliar numa síntese aspectos antagônicos da existência. c) Cultismo e conceptismo são tendências literárias do século XVII, cuja visão de mundo está baseada, respectivamente, no apego à aparência do mundo e na busca da essência da vida. d) No barroco literário brasileiro destacam-se a poesia de Gregório de Matos e a sermonística de padre Antônio Vieira. e) O texto exemplifica a obra de um poeta português – O Boca do Inferno – que, exilado em terras brasileiras, só produziu poesia satírica, criticando a conduta imoral, promíscua e corrupta da sociedade baiana do século XVII.


(UFPA) Texto para a questão 8. De manhã escureço De dia tardo De tarde anoiteço De noite ardo A oeste a morte Contra quem vivo Do sul cativo O este é meu norte

Outros que contém Passo por passo: Eu morro ontem Nasço amanhã Ando onde há espaço - Meu tempo é quando?”

8. O poema acima é de Vinícius de Moraes, princípios estéticos semelhantes aos desta poesia de Vinícius orientavam normas do período: a) árcade b) barroco c) simbolista d) romântico e) parnasiano 9. Assinale a alternativa em que se encontra uma afirmação incorreta sobre a obra de Gil Vicente. a) Sofreu influência de Juan del Encina, principalmente no teatro pastoril de sua primeira fase. b) Seus personagens representam tipos de uma vasta galeria de estratos da sociedade portuguesa da época. c) Por viver em pleno renascimento, apega-se aos valores greco-romanos, desprezando os princípios da Idade Média. d) Um dos maiores valores de sua obra é ter contrabalançado uma sátira contundente com o pensamento cristão. e) Suas obras-primas, como a Farsa de Inês Pereira, são escritas na terceira fase de sua carreira, período de maturidade intelectual. 10. (SANTA CASA) A preocupação com a brevidade da vida induz o poeta barroco a assumir uma atitude de quem: a) descrê da misericórdia divina e contesta os valores da religião. b) desiste de lutar contra o tempo, menosprezando a mocidade e a beleza. c) se deixa subjugar pelo desânimo e pela apatia dos céticos. d) se revolta contra os insondáveis desígnios de Deus. e) quer gozar ao máximo seus dias, enquanto a mocidade dura. 11. A Farsa de Inês Pereira, como maior parte do teatro vicentino, faz parte de uma vertente de teatro popular conhecida como teatro de costumes. Recursos importantes desse tipo de representação são: a) a linguagem rigorosa, as leis de seqüência e a riqueza cenográfica. b) a linguagem moralizante e maniqueísta e a riqueza cenográfica. c) a linguagem satírica e moralizante e a observância das leis de seqüência clássicas. d) os diálogos e os personagens tipificados e a riqueza cenográfica. e) a tipificação e a alegorização tanto dos personagens quanto dos diálogos, além da sátira moralizante. (FUVEST) Texto para a questão 12.

Quando da bela vista e doce riso, tomando estão meus olhos mantimento, tão enlevado sinto o pensamento que me faz ver na terra o Paraíso.

Tanto do bem humano estou diviso, que qualquer outro bem julgo por vento; assi, que em caso tal, segundo sento, assaz de pouco faz quem perde o siso. Em vos louvar, Senhora, não me fundo, porque quem vossas cousas claro sente, sentirá que não pode merecê-las. Que de tanta estranheza sois ao mundo, que não é de estranhar, Dama excelente, que quem vos fez, fizesse Céu e estrelas.

12. a) Caracterize brevemente a concepção de mulher que este soneto apresenta. b) Aponte duas características desse soneto que o filiam ao Classicismo, explicando-as sucintamente. 13. O bifrontismo do homem, santo e pecador; o impulso pessoal prevalecendo sobre normas ditadas por modelos; o culto do contraste; a riqueza de pormenores - são traços constantes da: a) composição poética parnasiana b) poesia simbolista c) produção poética arcádica de inspiração bucólica d) poesia condoreirista e) poesia barroca

RESPOSTAS 1.e 2.a 3. a) A passagem do tempo, que tudo pode, e o sofrimento amoroso. b) O poeta expressa sua profunda tristeza por constatar que o tempo resolve todos os males, exceto a tristeza que sente pelo amor não correspondido. c) À amada. O diamante tem a propriedade de ser a mais preciosa das pedras, mas extremamente dura, daí ser equivalente ao coração da amante. d) O conflito entre dor (castigo) e prazer, refletido nas antíteses, constitui o cerne da lírica camoniana, dividida entre a carnalização e a idealização do amor. 4. a) O soneto todo marca o poder exercido pelo tempo, que o poeta deixa mais sinalizado em “Mas de abrandar o tempo estou seguro / O peito de diamante (...)”. b) Acabar e abrandar, justamente as duas ações que marcam a passagem do tempo. Tudo no mundo é transitório e sujeito a mudanças. c) Ambas as estrofes referem-se às transformações produzidas pelo tempo. d) O tempo é implacável e poderoso; a existência está a mercê dele. 5. Escritor barroco, Vieira defende em seus sermões tanto causas sociais relativas a Portugal (Restauração, por exemplo), como relativas ao Brasil (defesa da liberdade dos escravos indígenas). 6.d 7.e 8.b 9.c 10.e 11.e 12. a) A mulher é idealizada, endeusada, superior e perfeita. b) Uso da forma clássica do soneto (decassílabos com rima fixa). Tematicamente, influência de Petrarca no tratamento do platonismo amoroso. 13.e


__________________________________________________________________________________________________________________ CASD Vestibulares Gramática 210

Português FFrreennttee IIIIII

CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 -- MMOORRFFOOSSSSIINNTTAAXXEE

MORFOLOGIA TAXONÔMICA Classes de palavras a) classes nucleares: substantivo; verbo; alguns pro-

nomes e numerais. b) classes determinantes: artigo; alguns pronomes e

numerais. c) classes modificadores: adjetivo; advérbio. d) classes conectivas: preposições; conjunções; pala-

vras denotativas.

SUBSTANTIVO a) Definição: • Semântica: classe que nomeia os seres. • Morfológica: classe que sofre flexões de gênero e

de número. • Sintática: termo que funciona como núcleo de sin-

tagma nominal. b) Classificação: • Comum ou Próprio • Concreto ou Abstrato • Primitivo ou Derivado • Simples, Composto ou Coletivo. c) Flexão de gênero: Regra geral: substitui-se o “-o” por ”-a”. Ex: menino, menina.

• Substantivos uniformes: são os substantivos que possuem uma única forma para o masculino e para o feminino.

Ex.: Boi (vaca); peixe-boi (peixe-mulher). • Epiceno: designa um nome de planta ou animal. Para diferenciar o gênero, utilizam-se as palavras macho ou fêmea. Ex: a águia (a águia macho, a águia fêmea).

• Comum de dois gêneros: substantivo cujo gênero é diferenciado pelo artigo.

Ex: o colega, a colega; o cliente, a cliente. • Sobrecomum: substantivo cujo gênero não é di-

ferenciado. Ex: a testemunha, a vítima, a pessoa, a criança. b) Variação de gênero e de significado Alguns substantivos mudam de significado quando se modifica o seu gênero. Exemplos: o cabeça (chefe), a cabeça (parte do corpo) o caixa (funcionário), a caixa (o objeto) o grama (medida de massa), a grama (a relva) c) Substantivos de gênero vacilante: O alvará, o aneurisma, o antílope, o apetite, o algoz, o bóia-fria, o cônjuge, o champanhe, o clã, o cola-tudo, o cós, o coma, o diagrama, o dó, o decalque, o eclipse, o estratagema, o formicida, o guaraná, o gengibre, o her-pes, o lança-perfume, o haras, o lotação, o magma, o milhar, o pijama, o sósia, o suéter, o talismã, o toalete, o tapa, o telefonema.

A alface, a aguardente, a alcunha, a couve, a couve-flor, a cal, a derme, a dinamite, a elipse, a ênfase, a enzima, a faringe, a ferrugem, a fênix, a gênese, a mascote, a omoplata, a omelete, a quitinete, a sentine-la, a soja, a xérox.

d) Flexão de grau • Aumentativo: sintético: Ex: fornalha, fogaréu, casarão, cachorrão Analítico: Ex: casa grande, cenário imenso. • Diminutivo: sintético: Ex: casebre, livrinho Analítico: Ex: casa pequena, cenário minúsculo. e) Flexão de número: todo substantivo em português

possui plural. Lúcifer → Lucíferes caráter → caracteres espéci-men → especímenes Regra geral: adiciona-se um “s”. Ex: livro, livros. Casos especiais: • –AL, -EL, -OL, -UL: troca-se “l” por “is” Ex: sais, papéis, sóis • –IL: Oxítonos: troca-se “il” por “is”. Ex: barril – barris Paroxítonos: troca-se “il” por “eis”. Ex: projétil – projéteis • –R, -Z: acrescenta-se “es”. Ex: colheres, cruzes, mártires • –S Paroxítonos e proparoxítonos: Invariáveis, diferenciados pelo artigo. Ex: os atlas, os ônibus. Oxítonos e monossílabos: acrescenta-se “es”. Ex: meses, franceses. • –M: troca-se “-m” por “-ns” Ex: pajens, álbuns, nuvens. • –ÃO: troca-se “ão” por “ães”, “ãos” ou “ões” Ex: pães, cães; limões, anões; irmãos, grãos. Observações: Quando o substantivo termina com o sufixo –zinho, o plural também é feito no interior da palavra. Ex: amorzinho: amorezinhos mulherzinha: mulherezinhas. Alguns substantivos só são utilizados no plural. Ex: arredores, núpcias, víveres. Obs.: o(s) guarda-costas Plural com metafonia: alguns substantivos sofrem uma mudança no timbre da vogal tônica do singular “ô” para o plural “ó”. Corpo [o] → corpos [Ɔ] É definido por: se o feminino é aberto, então o plural do masculino também o será. e-1) flexão de substantivos compostos

__________________________________________________________________________________________________________________211 Gramática CASD Vestibulares

• Varia apenas o primeiro elemento → Em núcleos ligados por preposição Ex.: pés-de-moleque. → Quando o último elemento é mero modificador do primeiro (substantivo – substantivo) Ex.: pombos-correio. • Varia apenas o último elemento → Palavras onomatopaicas → Palavras com repetição de elementos →Se o primeiro for advérbio, verbo ou interjeição. Ex.: guarda-roupas. • Variam ambos → Substantivo + adjetivo; adjetivo + substantivo; subs-tantivo + substantivo (exceto ao primeiro caso). Ex.: cachorros-quentes; Más-línguas; Couves-flores. Obs.: padre-nosso→ padres-nossos pai-nosso→ pai-nossos grã-cruz→ grã-cruzes Bel-prazer→ bel-prazeres capitão-mor→ capitães-mores

ARTIGO

a) Definição: • Morfológica: classe que, anteposta a um substantivo, determina-lhe gênero e número. • Sintática: funcionam como determinantes do núcleo do sintagma nominal, ou seja, adjunto adnominal. • Podem ser definidos ou indefinidos b) Uso dos artigos definidos • Após o numeral ambos/ambas, caso haja substantivo acompanhando o mesmo numeral. Ambos saíram. Ambos os alunos saíram. Obs.: Reforço do numeral ambos (as) Ambos (as) os (as) dois (duas). Ambos (as) de dois (duas). • Após o pronome indefinido todo/toda → Significando qualquer, cada: não se usa artigo. → Significando inteiro, totalidade: usa-se artigo. Obs.: Expressões idiomáticas A todo o vapor; por todo o canto; em todo o lugar; a toda a velocidade; a todo o momento; a todo o custo. • Após o pronome indefinido todos/todas Todos os cinco alunos saíram. Todos cinco saíram. • Evita-se o uso do definido antes dos advérbios quan-to e quão. Ex.: Ela queria saber o quanto eu... • É facultativo o uso dos definidos antes de pronomes possessivos. Ex.: Conversei com (o) teu pai hoje. Obs.1: Trouxe (os) meus livros; e você, trouxe os seus? Obs.2: “Quando olhaste bem nos olhos meus...” (meus: obrigatoriamente posposto). Obs.3: os meus; os nossos} entes queridos

• Antes de nomes próprios, o uso do definido denota intimidade. Ex.: Li um livro de Machado de Assis. Li um livro da Arbonete, aquela lá da esquina. Obs.: Cecília Meireles é uma ótima escritora. A romântica Cecília Meireles.... (se houver modificado-res, usa-se o artigo). • Antes das palavras casa, palácio e terra (chão firme). → Com modificadores: com artigo → Sem modificadores: sem artigo. Ex.: Joana estava em casa. Joana estava na casa dos tios. Os pára-quedistas saltaram em terra. Os pára-quedistas saltaram na terra inimiga. O presidente chamou os assessores em palácio. O presidente chamou os assessores no Palácio dos Bandeirantes. c) Uso dos artigos indefinidos • Após todo/toda (inteiro, totalidade) Ex.: Chorou durante toda uma semana. • Evita-se o uso dos indefinidos antes de pronomes indefinidos. Ex.: Um outro homem esteve aqui. Obs.: Ela não é uma qualquer (comum). d) Preposições articuladas

Preposição \ Artigo

O(s) A(s) Um(ns) Uma(s)

A Ao(s) À(s) - - Com Co(s) Coa(s) - - De Do(s) Da(s) De um

Dum(ns) De uma duma(s)

Em No(s) Na(s) Em um num(ns)

Em uma numa(s)

Por Pelo(s) Pela(s) - - Crase: às Combinação: ao(s) Contração: restante. e) Substantivação Toda palavra antecedida por artigo torna-se substantivo, pelo processo chamado de substantivação. Ex.: O moderno não precisa se opor ao clássico. Cuidado com o uso de adjetivos que possuem substan-tivos correlatos. Ex.: fim e final.

PPOORRTTUUGGUUÊÊSS Frente III

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 -- CCRRAASSEE

CRASE Há casos em que os verbos necessitam de complemento para que o seu significado faça sentido na frase exigem preposição. Esses verbos são chamados de transitivos indiretos. Em algumas situações esses verbos estarão formando frases com outras palavras que necessitam do artigo definido feminino a. Quando isso ocorre, a preposição do verbo transitivo se funde junto com o artigo definido feminino e assim apareça crase. Ex: Fomos à praia e assistimos às festas. Fomos a a praia e assistimos a as festas. O verbo “ir” no caso acima necessita de uma preposição “a”, pois quem vai, vai “a algum lugar”. E sendo que o lugar é “a praia”. Da junção da preposição e do artigo surge a crase. Da mesma forma no segundo verbo, assistir. O verbo assistir quando está no sentido de ver, observar, apreciar, precisa da preposição a (quem assiste, assiste a alguma coisa) e, no caso acima, o que é assistido são “as festas”. Então, da fusão desses dois temos, há uma crase. 1-Definição A crase vem do grego, krásis=fusão, mistura, junção. Portanto, a crase é a fusão de preposições, artigos e/ou pronomes. 2-Ocorrência A crase ocorre obrigatoriamente em três casos. a) Primeiro caso Quando o verbo necessitar da preposição a e quando esse verbo se relacionar com um termo que exige artigo a. Temos então: Preposição a + artigo a = à Ex: Iremos à (=a+a) Argentina. Refiro-me às (=a + as) novelas de ontem. Pedi informações à (=a+a) secretária. Regra prática: para saber se a crase é aplicada na situação: Iremos à Bahia. Verifica-se se quando usamos o verbo voltar. Voltaremos da Bahia. Exemplo em que não ocorre: Viajarei a Roma (não leva crase, basta ver que aplicando o mesmo procedimento do caso anterior temos: voltarei de Roma). Caso o lugar esteja especificado por alguma característica ou adjetivo, aí ocorre crase. Ex: Viajarei à Roma das ruínas.

Regra prática2: para o primeiro caso, pode-se fazer a substituição do termo feminino por um masculino e verificar a existência do artigo: Ex.: Dei o pacote ao entregador. Dei o pacote à entregadora. b) Segundo caso Quando o verbo transitivo indireto vier necessitando dos pronomes demonstrativos como aquele, aqueles, aquela, aquelas, aquilo, aquilo. Ex: Dei atenção àqueles alunos. Veja que temos a contração entre a preposição exigida pelo verbo e o artigo Ex: Fiz critica àquilo que disse. Esta história é igual às que vovó contava. Note que se trata da preposição contraída com o pronome demonstrativo aquelas. c) Terceiro caso A letra que forma locução com palavras femininas recebe acento grave • Locução adjetiva: Soldado à paisana; fato à toa; baile à fantasia. • Locuções adverbiais: Dobre à direita; vire à esquerda. • Locuções Prepositivas À espera de; à procura de; à beira de. • Locuções conjuntivas À proporção que; à medida que. OBS1: Não ocorre crase em locuções adverbiais que indiquem modo ou instrumento: Ex: O bandido foi morto a bala. Pagamento a vista. Andei a cavalo. OBS2: Caso haja locução adverbial e palavra adjetiva no plural, não ocorrerá crase. Ex: Reunião a portas fechadas. OBS3: Em locução adverbial de distância não há crase, a menos que apareça determinada a distância. Ex: Olhamos o desfile a distancia. Olhamos o desfile à distância de trinta metros. OBS4: Em locuções adverbiais formadas por palavras repetidas não ocorre crase. Ex: Tomei o liquido gota a gota. Ficamos frente a frente.

CASD Vestibulares Gramática 212

OBS5: Quando as locuções prepositivas “à moda” e “à maneira” ficarem subentendidas, ocorrerá crase. Ex: Fiz um gol à Pelé. Escrevi um poema à Cecília Meireles. 3-Crase Facultativa a) Antes de nomes de mulheres OBS: Diante de pronome feminino em que não se pode notar relação de intimidade não ocorre crase. Ex: Fiz referência a Joana D’Arc. b)Antes de pronomes adjetivos possessivos no singular Ex: Fiz alusão a sua carta c) Após a preposição até Ex: Iremos ate a escola. 4-Casos em que não ocorre crase a) Antes de verbo Ex: Pôs –se a falar muito alto b) Antes de palavras masculinas, desde que não estejam subentendidas as locuções à moda ou à maneira. Ex: Não faço exercício a lápis. Refiro-me a Marcelo. c) No singular anteposto a substantivo no plural Ex: Não vou a festas. Não me refiro a atividades desonestas. d)Antes da palavra casa, não especificada. Ex: Voltei tarde a casa. Caso esteja especificada: Voltarei à casa de meus pais. e) Antes da palavra terra, usada no sentido de chão firme. Ex: Os marinheiros foram a terra para descansar. f) Antes de pronomes que repelem o artigo Ex: Apelo a Vossa Senhoria. Sentou-se junto a mim. Este é o autor a cuja obra me refiro. OBS1: Pronomes adjetivos femininos a crase é facultativa. OBS2: Hora Ex: Cheguei às cinco horas. Cheguei a uma hora morta.


CASD Vestibulares Matrizes 214

MMaatteemmáátt iiccaa Frente I CCAAPPÍÍTTUULLOO 22 -- MMAATTRRIIZZEESS

MATRIZES AULA 9 Tópicos de Aula 1. Introdução às matrizes 2. Lei de formação de uma matriz 3. Operações básicas Exercícios de Aula 01. Localizar os elementos a11, a21 e a33 na

matriz

1 2 3

A = 4 -2 0

1 5 4

.

02. Obter a matriz A2x2 tal que:

ij

3, se i = ja =

2i + j, se i j

≠

03. Dadas as matrizes -2 3

A = 0 1

e 1 2

B = 4 0

,

calcular A + B. Orientações para o aluno 1. Tarefa Básica: 01, 02, 03, 13 2. Humanas/Biológicas: 22, 23 3. Exatas: 44, 45, 46, 48, 49 4. ITA/IME: 42, 53

MATRIZES AULA 10 Tópico de Aula 1. Produto de matrizes 2. Propriedades do produto Exercícios de Aula

01. Sendo

0 2 3

A = -2 3 0

1 1 4

, calcule 3A.

02. Calcule o produto da matriz 1 2 3

A 0 1 2

− =

pela matriz

2 3

B 0 4

1 1

− = −

03. Mostre para as matrizes A [1 3]= e 2

B 0

− =

que não é válida a propriedade comutativa das matrizes. 04. Encontre um exemplo onde AB = 0, mas A e B são diferentes da matriz nula. Orientações para o aluno 1. Tarefa Básica: 4, 5, 6, 20 2. Humanas/Biológicas: 30, 31 3. Exatas: 25, 27, 40, 41, 47 50, 51, 52 4. ITA/IME: 54, 59

MATRIZES AULA 11 Tópico de Aula 1. Potência de matriz 2. Matriz transposta 3. Matriz simétrica e anti-simétrica Exercícios de Aula

01. Sendo 2 3

A = 1 2

−

, calcule A2.

02. Obtenha a transposta da matriz

-1 0

A = 2 1

3 4

03. Reescreve a expressão X = t t[A .(A + B).B]

eliminando os parênteses e colchetes da mesma. 04. Calcule x, y e z para que a seguinte matriz seja anti-simétrica:

0 z 2 y + 3

M = 3 x 2

5 2 0

− − −

05. Demonstre que a soma de duas matrizes simétricas também é simétrica, ou seja, se A e B são simétricas então A + B é simétrica.


Orientações para o aluno 1. Tarefa Básica: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18 2. Humanas/Biológicas: 19, 24 3. Exatas: 36, 38 4. ITA/IME: 55, 56, 60, 61, 62, 63, 64

MATRIZES AULA 12 Tópicos de Aula 1. Definição de matriz inversa 2. Propriedades das matrizes inversas Exercícios de Aula 01. Calcule a inversa das matrizes abaixo:

a) 1 3

A = 2 7

b) 1 1

B = 0 0

02. Isole X na equação a seguir: AXBC = I, sabendo-se que A, B e C são invertíveis. 03. Mostre que (ABC)-1 = C-1B-1A-1 Orientações para o aluno 1. Tarefa Básica: 14, 15, 16, 17, 21 2. Humanas/Biológicas: 32, 33, 34, 35 3. Exatas: 26, 37 4. ITA/IME: Ler Complemento 5; 57, 58, 65 a 77

MATRIZES 1. INTRODUÇÃO Definição Chama-se matriz m n× a uma tabela retangular com mn elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Na grande maioria das vezes esses elementos são números. Elas são usadas frequentemente para organizar dados. Por exemplo, as notas finais dos alunos de uma turma no colégio podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas e cujas linhas representam os alunos. Na interseção de uma linha com uma coluna figura um número, que é a nota daquele aluno naquela matéria.

Como foi visto no capítulo anterior, as matrizes também aparecem como quadros com os coeficientes de um determinado sistema linear. Maiores aplicações para esse fato aparecerão no capítulo sobre determinantes. Para localizarmos um elemento numa matriz precisamos de duas informações: a linha e a coluna em que se está. Usaremos esse fato para nomearmos os elementos de uma matriz. Dada uma matriz m n× , a que chamemos de M, seus elementos são uma lista de números aij, com índices duplos, sendo 1 i m≤ ≤ e 1 j n≤ ≤ . O primeiro índice, i, representa a linha em que está o elemento e o segundo, j, representa a coluna do mesmo. Ou seja, temos a seguinte representa genérica:

11 12 1n

21 22 2n

m1 m2 mn

a a ... a

a a ... aM

... ... ...

a a ... a

=

O elemento a34, por exemplo, encontra-se no cruzamento da 3ª linha com a 4ª coluna. Finalmente, nos casos onde o número de linhas é igual ao número de colunas dizemos que a matriz é quadrada, enquanto nos demais caso ela é dita retangular. ER 01. Seja a matriz

1 3 7

0 4 1A

4 3 2

7 2 5

− = − − −

a) Qual é a sua ordem? b) Quantos elementos ela possui? c) Complete: a41 = __, a22 = __, a13= __ d) Se aij = 0, então i = __ e j = __ Resolução a) A matriz é constituída por 4 linhas e por 3 colunas; diremos que sua ordem é 4 X 3. b) Ela possui 4.3 = 12 elementos. c) a41 = 7, a22 = 4, a13= 7 d) Na matriz, a21 = 0 e daí, i = 2 e j = 0. Lei de formação Pela freqüência com que este tópico está nos vestibulares, tratamo-lo em uma seção separada. Chamamos de lei de formação de uma matriz a uma função que permite obter para cada i (1 i m≤ ≤ ) e cada j (1 j n≤ ≤ ) o elemento aij desta matriz. Exemplo A expressão aij = i + j é uma lei de formação de matriz. Por meio dela, se desejarmos montar uma matriz A2x2 por exemplo, basta calcular seus quatro elementos a partir da relação acima. Para o elemento a11 temos i = 1 e j = 1. Assim sendo pela fórmula teríamos: a11 = 1 + 1 = 2. O elemento a12 tem i = 1 e j = 2. Logo: a12 = 1+ 2 = 3. Procedendo analogamente para o restante dos elementos montamos a matriz A desejada:


2 3M

3 4

=

ER 02. Construa A = (aij)3x3, para a qual aij = i2 – j e em seguida calcule o traço da matriz (Traço é a soma dos elementos da diagonal principal) Resolução A lei de formação dada: aij = i2 – j indica que para obter-se um elemento qualquer de A deve-se elevar seu primeiro índice ao quadrado e desse quadrado subtraímos o seu segundo índice. Então:

2 2 211 12 13

2 2 221 22 23

2 2 231 32 33

a a a 1 1 1 2 1 3

A a a a 2 1 2 2 2 3

a a a 3 1 3 2 3 3

− − − = = − − − = − − −

0 1 2

3 2 1

8 7 6

− − =

trA = 0 + 2 + 6 = 8 ER 03. Construa a matriz A = (aij)4x4 para qual

ij

i j, se i j

a 1, se i j

0, se i j

+ <= = >

Resolução Observe que na matriz quadrada de ordem 4:

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a aA

a a a a

a a a a

=

os elementos para que os quais i = j pertencem à diagonal principal, e eles são todos iguais a 1, aqueles para os quais i < j estão “acima da diagonal principal”, e para calculá-los somamos os seus índices; e, aqueles os quais i > j estão “abaixo da diagonal principal”, e eles todos são iguais a zero. Então:

1 3 4 5

0 1 5 6A

0 0 1 7

0 0 0 1

=

2. OPERAÇÕES BÁSICAS Igualdade A operação mais básica de matrizes é a de igualdade. Dizemos que duas matrizes são iguais se, e somente se, seus elementos correspondentes (aqueles que ocupam a mesma posição) são iguais. Exemplo

2 1

0 4

= 2 1

0 4

, mas 2 1

0 4

≠2 -1

0 4

pois há

um par de elementos correspondentes distintos.

ER 04. Sex y a b 5 1

x y a b 1 3

+ + − = − −

, determine x, y, a

e b. Resolução Da definição de igualdade de matrizes, os elementos correspondentes devem ser iguais; então:

x y 5 a b 1 e

x y 1 a b 3

+ = + = − − = − =

Resolvemos os dois sistemas acima obtemos: x = 3, y = 2, a = 1 e b = –2. Adição A adição de duas matrizes se dá pela soma de seus termos correspondentes. Esquematicamente, se A + B = C, então cij = aij + bij. Assim, sendo a soma de duas matrizes só está definida quando elas possuem a mesma ordem (número de linhas e colunas). Exemplo

Seja A = 3 -1

5 1

, B = 1 3

2 0

e C = A + B. Então:

C = 3 -1

5 1

+ 1 3

2 0

= (3+1) (-1+3)

(5+2) (1+0)

=4 2

7 1

Propriedades A adição de matrizes possui as seguintes propriedades: P1. Comutativa: A + B = B + A P2. Associativa: (A + B) +C = A + (B + C) P3. Elemento neutro: 0 + A = A. Essa matriz O é chamada nula, e todos seus elementos são iguais a zero. P4. Elemento oposto: A + (–A) = O Observação A propriedade P4 permite que escrevamos uma subtração de matrizes, do tipo A – B como a adição A + (–B) e então resolvê-la como tal. Porém, é fácil visualizar que isso é o mesmo que fazer a subtração de termos correspondentes.

ER 05. Se 3 1 5

A2 1 6

− =

e

5 2 4B

0 7 6

− =

,

determine: a) A + B b) A – B Resolução

a)3 1 5 5 2 4

A B2 1 6 0 7 6

− − + = + =

3 5 1 2 5 ( 4) 8 3 9

2 0 1 7 6 6 2 8 12

+ + − + − − = = + + +


b)3 1 5 5 2 4

A B2 1 6 0 7 6

− − − = − =

3 5 1 2 5 ( 4) 2 1 1

2 0 1 7 6 6 2 6 0

− − − − − − − − = = − − − −

ER 06. Se

4 2 4 3

A 5 7 ,B 5 6

3 10 1 2

= = −

e

0 1

C 1 0

1 1

=

’

calcule A – B + C. Resolução A adição de matrizes é associativa; não há, então, ambigüidade na notação A – B + C; ela pode ser escrita, por exemplo, (A –- B) + C; então: A – B + C = (A – B) + C =

4 2 4 3 0 1 0 1 0 1

5 7 5 6 1 0 0 13 1 0

3 10 1 2 1 1 2 8 1 1

0 0

1 13

3 9

− = − − + = + =

ER 07. Determine os números reais x, y, z e m sabendo que:

x 1 3 2 y 2x 3

8 z 1 m 0 5 1

+ + = −

Resolução

x 3 3 y 2x 3

8 m z 1 5 1

+ + = + −

Então: x 3 2x

3 y 3

8 m 5

z 1 1

+ = + = + = − =

Daí: x = 3, y = 0, m = –3 e z = 2. Produto de número por matriz Dada uma matriz A, o que significaria calcular 2A? No caso de um numero natural multiplicado por uma matriz podemos encarar como: 2A = A + A; e então transformamos o produto numa adição de parcelas iguais.

Suponhamos que A = 3 2

1 -3

Então, 2A = 3 2

1 -3

+ 3 2

1 -3

= 6 4

2 -6

Na prática, percebemos que bastava ter multiplicado todos os elementos da matriz A por 2. Essa idéia permite generalizar o produto de um número real k por uma matriz. O mesmo se dará pela multiplicação de todos os elementos da matriz por k. Exemplo

Seja M = 3 4 1

2 -1 0

.

Então 1

M2

=

3 4 1

2 2 22 -1 0

2 2 2

=

3 1 2

2 2-1

1 02

ER 08. Se

1 1 3

A 2 5 1

4 3 2

− = −

e

0 0 1

B 7 11 0

5 3 4

− = −

,

calcule: a) 5A – B b) 2A + 3B Resolução

a)

1 1 3 0 0 1

5A B 5. 2 5 1 7 11 0

4 3 2 5 3 4

− − − = − − = −

5 5 15 0 0 1 5 5 16

10 25 5 7 11 0 3 14 5

20 15 10 5 3 4 15 18 6

− − − = − − = − −

b)

1 1 3 0 0 1

2A 3B 2 2 5 1 3 7 11 0

4 3 2 5 3 4

− − + = − + = −

2 2 6 0 0 3 2 2 3

4 10 2 21 33 0 25 43 2

8 6 4 15 9 12 23 3 16

− − − = − + = − − −

ER 09. Seja J =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

. Determine a matriz X tal

que: – 4(X – I3) = X + J Resolução: As propriedades da adição de matrizes e da multiplicação de uma matriz por um número real, possibilitam escrever sucessivamente: – 4(X – I3) = X + J ⇒ – 4X + 4I3 = X + J ⇒

– 4X – X = J – 4I3 ⇒ 3

1 4X J I

5 5= − +

Então: X

1 1 1 1 0 01 4

. 1 1 1 . 0 1 05 5

1 1 1 0 0 1

= − + =

1 1 1 40 0

5 5 5 51 1 1 4

0 05 5 5 51 1 1 4

0 05 5 5 5

− − − = − − − + = − − −

3 1 15 5 51 3 15 5 51 1 35 5 5

− − − − − −

ER 10. Determine as matrizes X e Y sabendo-se que:


1 1X Y

2 2

+ =

e 2 2

X Y1 1

− =

Resolução Somando membro a membro as duas equações, resulta:

3 32X

3 3

=

⇒

3 32 2X3 32 2

=

Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta:

2Y =1 1

1 1

− −

⇒ Y =

1 12 2

1 12 2

− −

3. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Definição Dadas duas matrizes: A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p e B = (bij), com 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ n Chamamos de produto da matriz A pela matriz B à matriz: C = (cij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, tal que:

p

ij i1 1j i2 2 j i[ pi ik kjk I

c a .b a .b ... a b a .b=

= + + + = ∑ ,

para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Ou seja, o elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de b e somando-se esses produtos. O produto feito dessa maneira é chamado, em matemática, de produto escalar. O produto de matrizes, ao contrário do produto dos números naturais nem sempre está definido. Existe uma condição para que se possam multiplicar duas matrizes quaisquer. O número de colunas da primeira matriz do produto deve ser igual ao número de linhas da segunda. Além disso, a matriz resultante pode ter uma ordem distinta da ordem dos fatores. Seu número de linhas é igual ao número de linhas da primeira matriz e o de colunas igual ao número de colunas da segunda matriz. Essas primeiras idéias apresentadas estão expressas esquematicamente abaixo: I) Condição de Existência e dimensão da matriz resultante:

II) Obtenção de um elemento da matriz resultante:

No exercício abaixo, veremos passo-a-passo como se obtém o produto de matrizes.

ER 11. Sendo 2 3

A4 1

=

e

1 2B

3 4

=

, determine a

matriz C = AB. Resolução

2 3C

4 1

=

.1 2

3 4

O produto existe, pois o número de colunas de A é igual ao de linhas de B. Além disso, verificamos que a matriz resultante C é 2× 2. Calculemos então os quatro elementos de C: Cálculo de c11: Produto escalar da 1ª linha de A e 1ª coluna de B

2 3

4 1

.1 2

3 4

⇒ c11 = 2.1 + 3.3 = 11

Cálculo de a12: Produto escalar da 1ª linha de A e 2ª coluna de B

2 3

4 1

.1 2

3 4

⇒ c12 = 2.2 + 3.4 = 16


2 3

4 1

.1 2

3 4

⇒ c21 = 4.1 + 1.3 = 7


2 3

4 1

.1 2

3 4

⇒ c22 = 4.2 + 1.4 = 12

Logo:

C = 11 16

7 12

Mesmo que as matrizes tenham dimensões distintas o produto pode estar bem definido, como mostra o exercício a seguir.

ER 12. Sendo

2 3

A 0 1

1 4

= −

e1 2 3

B2 0 4

= −

,

determinar AB. Resolução O produto existe pois o nº de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Além disso, a matriz resultante é 3 x 3, dimensão diferente de A e B.


2 3

A.B 0 1

1 4

= −

.1 2 3

2 0 4 −

=

2.1 3.( 2) 2.2 3.0 2.3 3.4

0.1 1.( 2) 0.2 1.0 0.3 1.4

1.1 4.( 2) 1.2 4.0 1.3 4.4

+ − + + = + − + + ⇒ − + − − + − +

4 4 18

A.B 2 0 4

9 2 13

− ⇒ = − − −

Aplicações Veremos nos exemplos abaixo que o produto de matrizes, da forma como está definido, pode ser útil em diversas situações do cotidiano. Exemplo 1 Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B são necessários na produção de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z. X Y Z

gramas de A/kg 1 1 1M

gramas de B/kg 2 1 4

=

x kg de X produzidos

X y kg deY produzidos

z kg de Z produzidos

=

x y z gramas de A usados

MX2x y 4z gramas de B usados

+ + = + +

Exemplo 2 As tabelas a seguir fornecem os pesos do 1°, 2°, 3° e 4° bimestres dos colégios I e II e as notas de Matemática dos alunos X do colégio I, Y do colégio II e Z do colégio II.

Bimestres Colégio 1º 2º 3º 4º

I 2 2 3 3 II 2 3 2 3

Alunos Bimestres

X Y Z 1º 1 5 3 2º 4 8 2 3º 6 0 10 4º 7 9 6

Vamos comparar as notas que os alunos teriam se estudassem em cada um dos colégios. Colégio I: X obteve 2× 1 + 2× 4 + 3× 6 + 3× 7 = 49 pontos Y obteria 2× 5 + 2× 8 + 3× 0 + 3× 9 = 53 pontos Z obteria 2× 3 + 2× 2 + 3× 10 + 3× 6 = 58 pontos Colégio II: X obteria 2× 1 + 3× 4 + 2× 6 + 3× 7 = 47 pontos Y obteve 2× 5 + 2× 8 + 2× 0 + 3× 9 = 61 pontos Z obteve 2× 3 + 3× 2 + 2× 10 + 3× 6 = 50 pontos Colocamos esses valores em tabelas, temos: Colégios/Alunos X Y Z

I 49 53 58 II 47 61 50

Realizando os mesmos cálculos em termos de matrizes, teríamos:

1 5 3

2 2 3 3 4 8 2.

2 3 2 3 6 0 10

7 9 6

=

2 1 2 4 3 6 3 7 2 5 2 8 3 0 3 9

2 1 3 4 2 6 3 7 2 5 3 8 2 0 3 9

× + × + × + × × + × + × + × = × + × + × + × × + × + × + ×

49 53 58

47 61 50

=

Propriedades Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades: P1. Associativa: (AB)C = A(BC) P2. Elemento Neutro: é matriz I tal que IA = A = AI (quando esses produtos estão bem definidos). É chamada de matriz identidade, e é formada por “uns” na diagonal principal e “zeros” nas demais posições. P3. Distributiva em relação à adição: a) A(B + C) = AB + AC b) (A + B)C = AC + BC Falsas Propriedades Os vestibulares, em sua maioria, gostam de cobrar do aluno o conhecimento das chamadas falsas propriedades de produto de matrizes, por serem cheios de “pegadinhas”. Em geral são propriedades que seriam válidas se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números reais, mas que se tornam falsa quando tratam-se de matrizes. FP1. Não vale a comutativa, pois, em geral, AB ≠ BA. Exemplo Considerando as matrizes


1 0A

2 1

=

e 2 1

B0 1

=

têm-se: 2 1

AB4 3

AB BA4 1

BA2 1

= ≠ =

Nos poucos casos onde se verifica AB = BA, as matrizes A e B são chamadas de comutativas. Observe que a matriz identidade comuta com qualquer matriz (ver P2). FP2. Sendo OmXn uma matriz nula, o fato de A.B = OmXn não implica necessariamente em A = OmXn ou B = OmXn Exemplo Considerando as matrizes

1 1A

1 1

=

e

1 1B

1 1

= − −

tem-se: 0 0

A.B 00 0

= =

, embora A ≠ 0 e B ≠ 0.

FP3. Não vale a lei do cancelamento do produto, ou seja, AB = AC não implica necessariamente em B = C (mesmo que A não seja a matriz nula). Exemplo Considerando as matrizes

1 2 0

A 1 1 0

1 4 0

= −

,

1 2 3

B 1 1 1

2 2 2

= −

e

1 2 3

C 1 1 1

1 1 1

= −

tem-se: 3 4 1

A.B 2 3 2

3 2 7

= −

e

3 4 1

A.C 2 3 2

3 2 7

= −

Logo, AB = AC, embora B ≠ C e A≠ 0 Observação Atente para outras propriedades contra-intuitivas que apareçam no capítulo como a transposta do produto ou a inversa do produto, pois são sempre fortes candidatos a caírem em provas. ER 13. Mostre que para quaisquer a, b, c e d, reais, as matrizes:

a bA

b a

= −

e c d

Bd c

= −

comutam.

Resolução: a b

A.Bb a

= −

.c d

d c

−

= ac bd ad bc

bc ad bd ac

− + − − − +

c dB.A

d c

= −

.a b

b a

−

ca bd cb da

da cd db ca

− + = − − − +

Observe que AB = BA, isto é, A e B comutam. Potências de Matrizes

Se A é uma matriz quadrada, de ordem n, define-se: A0 = In, se A ≠ 0n A1 = A Ap+1 = Ap . A, para p∈N* Note que da definição tem-se, por exemplo: A2 = A . A A3 = A2.A = (A.A).A Na prática, é comum escrever-se: A3 = A.A.A As considerações anteriores permitem-nos concluir que para p inteiro e p ≥ 2, notação de p fatores iguais a A:

p

p fatores

A A.A.A....A= 14243

ER 14. Segundo as definições acima, calcule A2 e

A3, se1 1

A1 2

− =

.

Resolução

2 1 1A A.A

1 2

− = =

.

1 1

1 2

− =

1.1 ( 1).1 1.( 1) ( 1).2 0 3

1.1 2.1 1.( 1) 2.2 3 3

+ − − + − − = = + − +

3 2 0 3A A .A

3 3

− = =

.

1 1

1 2

− =

0.1 ( 3).1 0.( 1) ( 3).2 3 6

3.1 3.1 3.( 1) 3.2 6 3

+ − − + − − − = = + − +

ER 15. Dê todas as matrizes 0 a

Ab 0

=

que

satisfazem A3 + A = 0. Resolução Calculemos inicialmente A2.

2 0 aA A.A

b 0

= =

.0 a

b 0

=

0.0 a.b 0.a a.0 ab 0

b.0 0.b b.a 0.0 0 ab

+ + = = + +

3 2 ab 0A A .A

0 ab

= =

.0 a

b 0

=

2

2

ab.0 0.b ab.a 0.0 0 ab0.0 ab.b 0.a ab.0 ab 0

+ + = = + +

então: 2 2

3

2 2

0 a0 ab 0 ab aA A

b 0ab 0 ab b 0

+ + = + = +

E, sendo A3 + A = 0, tem-se: 2

2

ab a 0

ab b 0

+ =

+ =

A 1ª equação pode ser escrita: a.(ab + 1) = 0 e daí obtemos: a = 0 ou ab = 1 Para a = 0, na 2ª equação, tem-se b = 0, e então a solução fica:


2

0 0A 0

0 0

= =

Agora, observe que a equação ab = -1 não é satisfeita para a = 0, então, supondo a ≠ 0, tem-se

1b

a= − , substituindo na 2ª equação :

2

1 1a. 0

aa− =

equação que fica satisfeita pata todo a, a ≠ 0. Então a solução fica:

*

0 aA ,a R1

0a

= ∈ −

.

ER 16. Uma matriz A, quadrada, diz-se involutiva se A2 = I. Determine uma matriz de ordem 2 que seja diagonal e involutiva. Resolução:

Se A é diagonal, entãoa 0

A0 b

=

, se A é involutiva

tem-se: a 0

A0 b

=

.

2

22

a 0 1 0a 0I

0 b 0 10 b

= = =

Então, a2 = 1 ⇒ a ± 1 e b2 = 1 ⇒ b = ± 1, e daí as soluções:

1 0 1 0 1 0, ,

0 1 0 1 0 1

− −

e 1 0

0 1

− −

ER 17. Seja A uma matriz quadrada. Uma matriz polinomial, na matriz A, é uma expressão da forma:

p p 1 p 20 1 2 p 1 pa .A a .A a .A ... a .A a .I− −

−+ + + + + onde ia R,∈ 0 ≤ i ≤ p.

Para

1 1 2

A 1 3 1

4 1 1

=

determine a matriz polinomial:

2A2 + 3A + 5I Resolução

2

1 1 2

A 1 3 1

4 1 1

=

.

1 1 2 10 6 4

1 3 1 8 11 6

4 1 1 9 8 10

=

⇒

2

20 12 8

2A 16 22 12

18 16 20

=

3 3 6

3A 3 9 3

12 3 3

=

; 5 0 0

5I 0 5 0

0 0 5

=

Então:

2

28 15 16

2A 3A 5I 19 36 15

30 19 28

+ + =

ER 18. Dadas duas matrizes A e B, n× n, que comutam, demonstre que:

(A + B)2 = A2 + 2A.B + B2 Resolução (A + B)2 = (A + B).(A + B) A distributividade da multiplicação permite-nos escrever sucessivamente: (A + B)(A + B) = A.(A + B) + B.(A + B) = A.A + A.B + B.A + B.B = A2 + AB + BA + B2 Como, por hipótese, A e B comutam, tem-se: AB = BA, e por isso podemos somar as duas parcelas do meio: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Observe que se A e B não comutam: (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2 3. MATRIZ TRANSPOSTA Definições Dada uma matriz A = ij n m(a ) × , chama-se transposta

de A a matriz At = 'ij n m(a ) × tal que a’ji = aij, para todo i

e j. Isto significa dizer que, por exemplo, a’11, a’21, a’31, ... , a’n1, são respectivamente iguais a a11, a12, a13, ..., a1n; Vale dizer que a 1ª coluna de At é igual a 1ª linha de A. Repetindo o raciocínio, chegaríamos a conclusão de que as colunas de At são ordenadamente iguais às linhas de A. Exemplos

a) t

7 07 3 2

A A 3 10 1 4

2 4

− − = ⇒ = − −

b) [ ]t

5

2

B B 5 2 1 3 71

3

7

= ⇒ = − −− −

c) t

2 7 4 2 1 2

C 1 0 3 C 7 0 8

2 8 3 4 3 3

− = ⇒ = − − −

A partir da definição de matriz transposta, podemos resumir que: � O número de linha de At é igual ao número de colunas de A � O número de colunas de At é igual ao número de linhas de A; � O elemento que em At ocupa a linha j e a coluna i ocupa em A, a linha i e a coluna j. ER 19. Obter a matriz transposta de A = (aij)2x3, onde

aij = 2i – j Resolução: a11 = 2.1 – 1 = 1; a12 = 2.1 – 2 = 0; a13 = 2.1 – 3 = -1; a21 = 2.2 – 1 = 3; a22 = 2.2 – 2 = 2; a23 = 2.2 – 3 = 1;


Temos, então1 0 1

A3 2 1

− =

.

Para obter a matriz transposta basta “transformar” as linhas de A em colunas de At.

Portanto t

1 3

A 0 2

1 1

= −

Propriedades A matriz transposta goza das seguintes propriedades: P1. A = B → At = Bt para toda matriz A = (aij)mXn e B = (bij)mXn; P2. (At)t = A para toda matriz A = (aij)mXn P3. Se A = (aij)mXn, e B = (bij)mXn então (A + B)t = At + Bt; P4. Se A = (aij)mXn e k ∈R, então (k . A)t = k.At; P5. Se a = (aij)mXn, e B = (bjk)nXp, então (AB)t = BtAt. Observação Na propriedade P5, é importante lembrar que BtAt. ≠ AtBt e portanto só poderíamos dizer que (AB)t =AtBt (que parece mais intuitivo) se A e B fossem comutativas Matriz simétrica e anti-simétrica Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A. Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz simétrica, temos:

ij jia a ; i, j {1,2,3,...,n}= ∀ ∀ ∈

isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais. Exemplos

a) x y

y z

b)

2 5 1 1

5 1 4 6

1 4 3 7

1 5 7 0

− −

Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada de ordem n, tal que At = -A. Decorre da definição que se A = (aij) é uma matriz anti-simétrica, temos:

ij jia a ; i, j {1,2,3,...,n}= − ∀ ∀ ∈

Isto é, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos. Exemplos

a) 0 1

1 0

−

b)

0 x z

x 0 y

z y 0

− − −

4. MATRIZ INVERSA Definições Dada a matriz invertível A, chama-se inversa de A, a matriz A-1 (que é única), tal que A . A-1 = A-1 . A = In. É evidente que A-1 deve ser quadrada de ordem n, pois A-1 comuta com A. Se A não é invertível, dizemos que A é uma matriz singular . Teorema “Se a matriz A é invertível é única a matriz B tal que: A.B = B.A = I. Isto é, se A possui uma inversa, esta é única” Demonstração por absurdo: Suponha que exista uma segunda matriz H, diferente de B, que também seja inversa de A. Então teremos: AH = HA = I Então, H = I.H = (B.A).H = B.(A.H) = B.I = B, ou seja, H = B, o que contradiz nossa condição de que H fosse diferente de B. Logo, a suposição feita estava errada, e a inversa de A é única (no caso, B = A-1). Exemplo

A matriz 1 3

A2 7

=

é invertível e 1 7 3

A2 1

− − = −

,

pois:

1

1 2 7

A.A 0 3 1

0 5 2

−

=

.

1 31 19

0 2 1

0 5 3

− − −

3

1 0 0

0 1 0 I

0 0 1

= =

1

1 31 19

A .A 0 2 1

0 5 3

−

− = − −

.

1 2 7

0 3 1

0 5 2

3

1 0 0

0 1 0 I

0 0 1

= =

ER 20. Determinar, caso exista, a matriz inversa de:

0 1A

2 1

− = −

Resolução

Seja então 1 a bA

c d−

=

a matriz tal que A.A-1 = I2,

assim temos: 0 1

2 1 −

.a b

c d

1 0

0 1

=

Calculando o produto das matrizes do primeiro membro, temos:

c d 1 0

2a c 2b d 0 1

= − −


A partir da igualdade das matrizes montamos dois sitemas:

c 1 d 0 e

2a c 0 2b d 1

= = − = − =

Resolvendo esses dois sistemas, encontramos: 1 1

c 1, a , d 0, b2 2

= = = =

Logo, a matriz A é invertível e 11 12 2A

1 0

−

=

ER 21. Seja a matriz 1 1

A .0 0

=

Determine A-1, se

existir. Resolução

Suponhamos que exista A-1; 1 a bA

c d−

=

. Então:

1 1 1A.A

0 0−

=

. 2

a b 1 0I

c d 0 1

= =

⇒a c b d 1 0

0 0 0 1

+ + =

Essas duas matrizes nunca são iguais, devido aos seus elementos a22 serem constantes e distintos. Assim, por não existir A-1; dizemos que a matriz A é singular, ou ainda, não-invertível.

ER 22. Seja a matriz

1 2 1

A 0 1 2

1 4 1

− = − −

. Determine A-1,

se existir. Resolução Suponhamos que exista A-1. Sua ordem é 3× 3. Então:

1

a b c

A d e f

g h i

−

=

1

1 2 1

A.A 0 1 2

1 4 1

−

− = − −

.

a b c

d e f

g h i

=

3

1 0 0

I 0 1 0

0 0 1

=

⇒a 2d g b 2e h c 2f i

0 d 2g 0 e 2h 0 f 2i

a 4d g 0 b 4e h c 4f i

− + + − + + − + + + − + − + − = + − = + − + −

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

Da igualdade das matrizes obtemos os seguintes sistemas:

a 2d g 1

d 2g 0

a 4d g 0

− + + = − = + − =

7 1 1a , d , g

12 6 12⇒ = − = =

b 2e h 0

e 2h 1

b 4e h 0

− + + = − = + − =

1 1b , e 0, h

2 12⇒ = − = = −

c 2f i 0

f 2i 0

c 4f i 1

− + + = − = + − =

5 1 1c , f , i

12 6 12⇒ = − = =

Portanto:

1

7 1 512 2 121 1

A 06 61 1 1

12 2 12

−

− − = −

Observe que para invertermos uma matriz A, de ordem n, pelo processo exposto acima, devemos resolver n sistemas, cada um deles com n equações e n incógnitas. Posteriormente veremos que há outros métodos para determinação da inversa de uma matriz.

ER 23. Sejam as matrizes 2 1

A1 1

=

e

1 2B .

3 4

=

Resolva a equação matricial: A.X = B Resolução Resolver a equação matricial dada, é encontrar a matriz X que torne a igualdade verdadeira. Se A for invertível, podemos fazer: A-1AX = A-1B ⇒ X = A-1B Calculando A-1, obtemos:

1 1 1A

1 2− −

= −

Então:

1 1 1X A .B

1 2− −

= = − .

1 2

3 4

=

1.1 ( 1).3 1.2 ( 1).4

( 1).1 2.3 ( 1).2 2.4

+ − + − = − + − +

=2 2

5 6

− −

Observação Se A não fosse invertível o sistema seria SPI ou SI. Nesse caso, deveria ser resolvido por escalonamento. ER 24. Expresse X em função de A, B e C, sabendo que A, B e C são matrizes quadradas de ordem n invertíveis e A.X.B = C Resolução Multipliquemos na expressão dada, ambos os membros da igualdade por A-1 (pela esquerda): A.A-1XB = A-1C ⇒ IXB = A-1C ⇒ XB = A-1C Multipliquemos agora ambos os membros por B-1 (pela direita): XBB-1 = A-1CB-1 ⇒ XI = A-1CB-1 ⇒ X = A-1CB-1


E temos X expressa em função de A, B e C. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 01. Escreva a matriz A (aij)3 × 2 tal que:

aij =i j, se i j

i j,se i j

+ > − ≤

02. Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde

ij

i j, se i j

x 1 j, se i j

1, se i j

+ == − > <

A soma dos seus elementos é igual a: a) -1 b) 1 c) 6 d) 7 e) 8 03. Seja X uma matriz tal que: 2A+X = B, sendo:

= −

3 9A

4 2e

= −

7 18B

1 3.

Então X é:

a) −

1 0

7 1 b)

1 0

7 1 c)

−

1 0

7 1

d) − −

4 9

3 1 e)

1 0

0 1

04. (CESGRANRIO) Multiplicando

1 a

b 2 e

2 3

1 0

obtemos

4 3

2 0.

Determine o valor de a . b. 05. (UFPR) Dada a equação matricial:

x 2

1 3

.0 1 4 8

2 3 y z

=

Calcule x.y.z

06. Dadas as matrizes A =0 0

x 0

, B =0 x

0 0

, C =

x y 0

x z

−

e D =z 4 0

y z 0

− −

, sabendo-se que A.B =

C.D, obtenha o traço da matriz C.

07. Se 1 2

A3 4

=

e

1 0B

2 1

=

, então a matriz M,

tal que M = (A + B)t, é dada por:

08. Se

=

x yA

1 0 e

=

1 zB

0 z e AB = B t, então

determine x + y + z. 09. (SANTA CASA/SP) Sabendo-se que a matriz

− − −

2

2 1 1

x 0 1 y

x y 3 1

é simétrica, determinar x e y.

10. (F.C.M.STA.CASA) Se uma matriz quadrada A é tal que At = − A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e

+ = + −

4 a ... ...

M a b 2 ...

b c 2c 8

Os termos a12, a13 e a23 da matriz M valem respectivamente: a) −4, −2 e 4 b) 4, 2 e −4 c) 4, −2 e −4 d) 2, −4 e 2 e) n.d.a.

11. Sendo2 2

A1 2

=

, calcule A2 + 4A – 5I2.

12. A matriz A é do tipo 5x7 e a matriz B, do tipo 7x5. Assinale a alternativa correta: a) a matriz AB tem 49 elementos. b) a matriz BA tem 25 elementos. c) a matriz (AB)2 tem 625 elementos. d) a matriz (BA)2 tem 49 elementos. e) a matriz (AB) admite inversa. 13. Define-se distância entre duas matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas e de mesma ordem n pela fórmula d(A;B) = máx |aij - bij| i, j = 1,2,...,n

Calcule a distância entre as matrizes 1 2

3 4

e5 7

6 8

.

14. Sendo A e B matrizes invertíveis de ordem n, isolar X na equação BAX = A 15. Usando propriedades da matriz transposta obter X em função de A e B, invertíveis, nas igualdades abaixo: a) (AX)t = B b) (A + X)t = B

16. ((U.F.RS-82) A inversa da matriz 3 1

5 2

é:

a)2 1

5 3

− −

b)3 1

5 2

− −

c) 2 5

1 3

− −

d)2 1

5 3

− −

e) 3 1

5 5

− −

17. A = (aij) é uma matriz de ordem 2 X 2 com aij = 2i, se i = j, e aij = 0, se i ≠ j. Determine A-1. TREINAMENTO – 1ª FASE 18. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, a igualdade falsa entre essas matrizes é: a) (A+B).C = A.C + B.C b) (A+B)t = At + Bt c) (A.B)t = AtBt d) (A-B)C = AC – BC


e) (At)t = A 19. (UNIMEP/SP) Dadas as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxk, onde m, k, n são números inteiros positivos distintos, a operação possível é: a) A – B b) B . A c) A . B d) A . (Bt) e) (At) . B 20. (EsPCEx) As matrizes A, B e C são do tipo × × ×r s, t u e 2 w , respectivamente. Se a matriz (A – B)C é do tipo ×3 4 então r + s + t + u é igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 21. (FGV) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3 e 0 é a matriz nula de ordem 3. Assinale a alternativa falsa: a) (A+B)C = AC + BC b) AB = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0 c) (A + C)I = A + C d) (BC)t = CtBt e) AC = CA = I ⇒ C = A-1 22. (UFPB-95) O traço de uma matriz quadrada é definido pela soma dos elementos de sua diagonal principal. Se A = (aij)3x3, onde = πija icos( j) , então o

traço de A é igual a: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 3 e) 5 23. (UFPB-99) Considere a seguinte definição: Em uma matriz B = (bij)mxn, um elemento bij∈ � é denominado ponto de sela caso satisfaça a uma das condições: 1) bij é o maior elemento da linha i e o menor da coluna j. 2) bij é o menor elemento da linha i e o maior da coluna j De acordo com esta definição, na matriz

A =

− − − − − − −

2 10 3 1

5 3 4 7

1 2 0 99

15 5 3 6

o ponto de sela é a) a34 b) a22 c) a24 d) a43 e) a33 24. (UCMG) O valor de x para que o produto das matrizes:

− − = =

2 x 1 1A e B

3 1 0 1

seja uma matriz simétrica é: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 25. (PUC-SP) Alfeu, Bento e Cíntia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisas escolhidas entre três tipos, gastando nessa compra os totais de R$ 134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. Sejam as matrizes

A =

0 3 4

1 0 5

2 1 0

e X =

x

y

z

, tais que:

→ os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas

por Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha);

→ os elementos de cada coluna de A correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa; → os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa. Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é a) R$ 53,00 b) R$ 55,00 c) R$ 57,00 d) R$ 62,00 e) R$ 65,00 26. (Espcex-99) Na resolução do sistema =

matriz x 1

dos . y 1

coeficientes z 2

sabe-se que a matriz

− −

1 1 0

0 1 2

1 0 1

é a inversa da matriz dos coeficientes.

Nessas condições, os valores de x, y e z são, respectivamente a) 1, 2, 3 b) 1, 3, 2 c) 2, 1, 3 d) 3, 2, 1 e) 2, 3, 1 27. (UFF-01) Alessandra, Joana e Sônia vendem saladas prontas, contendo porções de tomate, pimentão e repolho. A matriz M fornece o número de porções de tomate, pimentão e repolho usadas na composição das saladas:

=

Tomate Pimentao Repolho

1 1 1 Alessandra

2 2 2 Joana

Sonia3 3 3

T P R

M T P R

T P R

A matriz N fornece, em real, o custo das saladas:

=

1 Alessandra

2 Joana

Sonia3

Q

N Q

Q

Sabendo-se que o determinante de M é não-nulo, obtém-se a matriz que fornece, em real, o custo de cada porção de tomate, pimentão e repolho, efetuando-se a operação:

a) MN b) NM-1 c) MN-1 d) M-1N e) N-1M 28. (PUC/PR) Um batalhão do Exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada: À B C D E F G H I J L M N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Desta forma, supondo-se que o batalhão em questão deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode-se tomar uma matriz 2 X 2, da forma: −

P A

Z, a qual, usando-se a tabela acima, será

dada por:

=

15 1M

25 0

Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:

C =

21

32, transmite-se a mensagem “PAZ”

através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:

=

15 1M.C

25 0.

=

2 3 31 47

1 2 50 75ou através da

cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra: a) LUTE b)FOGO c) AMOR d) VIDA e) FUGA 29. (EFEI-adaptado) Antônio pesa 80 quilos e deseja perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a Tabela 1, ele monta um programa de exercícios conforme a Tabela 2. A Tabela 2 pode ser representada por uma matriz A (5x4) e cada linha i da Tabela 1 pode ser representada por uma matriz Xi (4x1). Tabela 1: Calorias Queimadas por hora

Atividade Esportiva Peso Andar a

3km/h Correr a 9 km/h

Bicicleta a 9 km/h

Jogar Tênis (Moderado)

69 213 651 304 340 73 225 688 321 368 77 237 726 338 385 80 250 760 350 400

Tabela 2: Horas/dias para cada atividade

Atividade Esportiva Dia da Semana Andar Correr Bicicleta JogarTênis Segunda 1,0 0,0 1,0 0,0

Terça 0,0 0,0 0,0 2,0 Quarta 0,4 0,5 0,0 0,0 Quinta 0,0 0,0 0,5 2,0 Sexta 0,4 0,5 0,0 0,0

De acordo com as informações acima e por meio de notação matricial , calcule quantas calorias ele irá queimar em cada dia, se seguir o programa.

a)

800

680

480

975

480

b)

600

800

480

975

480

c)

600

800

680

975

680

d)

600

975

680

800

680

30. (Puccamp-SP) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada na fabricação de dois medicamentos. O Mariax é fabricado com 5 g de A, 8 g de B e 10 g de C e o Luciax é fabricado com 9 g de A, 6 g de B e 4 g de C. Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X , y e Z de um grama das substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos correspondem aos preços de custo da matéria prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode ser obtida de:

a) 5 8 10 9 6 4

X Y Z X Y Z

+

b)

X5 8 10

Y9 6 4

Z

⋅

c) 5 8 10 X Y Z

X Y Z 9 6 4

+

d)

95 8 10

6X Y Z

4

⋅

e) [ ]4 10

X Y Z 6 8

9 5

⋅

31. (AFA-95) Dadas as matrizes: A = (aij)8x3 e B = (bij)3x7, onde aij = 2i – j e bij = i.j, o elemento c56 da matriz C = (cij) = AxB é: a) 74 b) 162 c) 228 d) 276 32. (UNIFOR/CE) Seja A = (aij) a matriz quadrada de 2ª ordem definida por:

aij =

ji , se i > j

i + j, se i = j

-i, se i < j

Nestas condições:

a)0 0

A0 0

=

b)

1 1A

1 2

− =

c) t 1 2A

4 2

− =

d) 1 2 1

A2 4

− − = − −

e) 2 2 6A

12 14

− =

33. (MACK-SP) Sejam as matrizes

1 2A

3 1

=

e 1 3

B3 1

= −


A matriz X tal que X = A-1 . B, onde A-1 é a inversa da matriz A, é igual a:

a)1 1

2 0

b)1 1

0 2

−

c) 0 2

1 1 −

d)2 2

1 1 −

e) 1 2

0 1 −

34. (PUC) Sendo A e B, matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X.A)t = B, então: a) X = A-1Bt b) X = Bt.A-1

c) X = (B.A)t d) X = (AB)t

e) X = AtB-1

35. (STA.CASA) São dadas as matrizes A e B, quadradas, de ordem n e invertíveis. A solução da equação A.X-1.B-1 = In é a matriz X tal que: a) X = A-1B b) X = B.A-1 c) X = B-1A d) X = A.B-1 e) X = B-1A-1

36. (FGV) Seja A uma “matriz diagonal” de ordem 2;

isto é, A é do tipo

x 0

y 0onde x e y são números

quaisquer. Nestas condições, o números de matrizes que satisfazem a equação matricial: A2 – A = 0 é a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nda 37. (UFV) Considere A, B e I matrizes quadradas, de mesma ordem e com elementos arbitrários. Se I é a matriz identidade e B é a inversa da matriz A, então (2A + 3B)(A − B) é igual a: a) 2A2 + 2I − 3B2

b) 2A2 + I − 3B2

c) 2A2 − I 3B2 d) 2A2 − 2I − 3B2

e) 2A2 + 3I − 3B2 38. (ITA) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem n e On a matriz nula, também de ordem n. Considere as seguintes afirmações: 1) AB = BA 2) Se AB = AC então B = C 3) Se A2 = On então A = On 4) (AB) C = A (BC) 5) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A respeito dessas afirmações, qual das alternativas abaixo é verdadeira? a) Apenas a afirmação 1 é falsa. b) Apenas a afirmação 4 é verdadeira. c) A afirmação 5 é verdadeira. d) As afirmações 2 e 3 são verdadeiras. e) As afirmações 3 e 4 são verdadeiras. 39. (EsPCEx) Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo fornece a quantidade

de bombons de cada tipo que compõe as caixas grandes e pequenas e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzidas em cada mês do 1º trimestre em um determinado ano. Tabela 1:

Pequena Grande Nozes 2 5 Coco 4 8 Morango 3 7

Tabela 2:

JAN FEV MAR Pequena 150 220 130 Grande 120 150 180

Se associarmos as matrizes A =

2 5

4 8

3 7

e B =

150 220 130

120 150 180

às tabelas 1 e 2 respectivamente,

o produto AB fornecerá: a) a produção média de bombons por caixa fabricada b) a produção total de bombons por caixa fabricada c) número de caixas fabricadas no trimestre d) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom e) a produção mensal de cada tipo de bombom. 40. (UFRGS) A matriz C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados num restaurante:

1 arroz

C 3 carne

2 salada

=

a matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante:

1

2

3

2 1 1 prato P

P 1 2 1 prato P

2 2 0 prato P

=

a matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3 é:

a)

7

8

9

b)

4

4

4

c)

9

11

4

d)

2

6

8

e)

2

2

4

41. (Unb) No Brasil, a gasolina do tipo comum que se utiliza nos veículos automotores é um combustível composto de 75% de gasolina pura e 25% de álcool anidro. Alguns donos de postos de venda, de maneira desonesta, para aumentar as margens de lucro, modificam essa proporção e (ou) acrescentam solvente ao combustível. Considere que os postos P, Q e R vendam combustíveis com as seguintes composições e preços, por litro.


Composição do combustivel Posto

alcool gasolina solvente

Custo por litro (em R$)

Preço de venda

(em R$)

P 25% 75% 0% 1,70 1,78 Q 30% 70% 0% 1,64 1,78 R 30% 40% 30% 1,37 1,78 Para os três postos P, Q e R, considere que x, y e z sejam os preços de custo, em reais, do litro do álcool anidro, de gasolina pura e do solvente, respectivamente, e que , e α β γ sejam os preços de

venda do litro, em reais, desses mesmos produtos, quando misturados para formar o combustível composto. Considere ainda que A, B, C, X e Y sejam as matrizes:

1 3 0

4 4 1,70 1,783 7

A = 0 , B = 1,64 , C = 1,7810 10

1,37 1,783 4 3

10 10 10

x

X = y , Y =

z

α β γ

(1) O preço de custo por litro de combustível composto para cada um dos postos P, Q e R pode ser represntado pela matriz B, que pode ser obtida pelo produto AX (2) Se Y é a solução do sistema AY = C e X, a solução do sistema AX = B, então a matriz Y – X representa o lucro de cada posto, por litro, com a venda do combustível composto. (3) Para obter o mesmo lucro do posto R, enquanto este vende 1000 L de seu combustível composto, o posto P deverá vender mais de 4000 L de gasolina do tipo comum. (4) O sistema de equações lineares representado por

x 1,78

A. y 1,75

z 1,70

=

tem mais de uma solução

(5) O preço de custo do litro da gasolina pura é o dobro do preço de custo do litro do solvente, isto é, y = 2z. (6) Entre os componentes utilizados para formar os combustíveis compostos, o que possui o menor preço de custo é o álcool anidro. 42. (UFRGS) Uma matriz quadrada tem a seguinte configuração:

20;1 20;2

1 0 0 0 ... 0

2 3 0 0 ... 0

4 5 6 0 ... 0

7 8 9 10 ... 0

... ... ... ... ...

a a a20;3 20;4 20;20 a ... a

a soma dos elementos da vigésima linha é: a) 4010 b) 3820

c) 2710 d) 1350 e) 580 43. (CEFET/MG) Dadas as matrizes

cosa senaA

sena cosa

= − e

cos2aB

sen2a

=

, a matriz M, tal

que A.M = B, será:

a)cosa

sena

b)2

2

cos a

sen a

c) cos3a

sen3a

d)3

3

cos a

sen a

e) cos2a

sen2a

TREINAMENTO – 2ª FASE 44. Considere 5 cidades de uma região e que serão numeradas de 1 a 5. Na matriz A a seguir:

A =

0 18 24 16 42

18 0 35 17 22

24 35 0 14 56

16 17 14 0 28

42 22 56 28 0

o elemento aij é a distância(em km) entre as cidades i e j. Responda, justificando a sua resposta: (a) Qual a distância entre as cidades 2 e 4 ? (b) Uma viagem da cidade 3 até a cidade 1, passando pela cidade 4, a uma velocidade média de 80 km/h, teria uma duração de quanto tempo ? (c) Qual a cidade mais próxima da cidade 4 ? (d) Porque os elementos da diagonal principal são nulos ? (e) Porque os elemento simétricos em relação à diagonal principal (aij e aji) são iguais ? 45. Um supermercado utiliza uma matriz para identificar os produtos quando ocorre um problema com o sistema de leitura óptica. Os elementos da matriz são representados por um número de um algarismo. Cada produto é identificado por uma matriz 3x3 onde o produto da diagonal principal, cujos termos se apresentam em ordem crescente, representa a parte inteira do preço do produto, e a multiplicação dos termos da diagonal secundária, que também se apresentam em ordem crescente, representa a parte em centavos do preço do produto. O código do produto obedece ao seguinte formato: a12 a21 a23 a32 . a11 a13 a31 a33 (onde a parte anterior ao ponto representa o código do tipo do produto, e o resto o código do produto dentro do tipo a que ele pertence). Vejamos um exemplo:

× × × × = ⇒

3 0 1Pr eço : "(3 3 3)","(1 3 5)" R$27,15

0 3 2Codigo : 0025.3153

5 5 3

Agora diga qual a matriz que se relaciona à um produto de preço R$105,35, sabendo que este produto é do mesmo tipo que o do exemplo dado. Diga também qual o código deste produto.


46. Há 5 senadores designados para uma Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um presidente para a comissão, sendo que cada senador pode votar em até 3 nomes. Realizada a votação onde cada um deles recebeu um número de 1 a 5, os votos foram tabulados na matriz A = (aij), abaixo indicada. Na matriz A, cada elemento aij é igual a 1(um), se i votou em j; e é igual a 0(zero), caso contrário.

=

1 0 1 0 1

0 0 1 1 0

A 0 1 0 1 1

0 0 0 0 1

1 0 0 0 1

Responda, justificando: (a) Qual o candidato mais votado ? (b) Quantos candidatos votaram em si mesmos ? 47. (FUVEST) Considere as matrizes A = (aij)4x7, definida por aij = i – j B = (bij)7x9, definida por bij = i C = (cij), C = A . B Determine C63: 48. (UFRJ-99) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:

=

4 1 4

S 0 2 0

3 1 5

e

=

5 5 3

D 0 3 0

2 1 3

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha de S). a) Quem bebeu mais chope no fim de semana b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 49. (UFRJ-92) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (aij) abaixo, onde aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.

=

5 0 2

A 0 1 3

4 2 1

a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? b) Calcule o total do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 50. (UFRRJ) Durante os anos oitenta, uma dieta alimentar para obesos ficou conhecida como “Dieta de Cambridge” por ter sido desenvolvida na

Universidade de Cambridge pelo Dr. Alan H. Howard e sua equipe. Para equilibrar sua dieta, o Dr. Howard teve de recorrer à matemática, utilizando os sistemas lineares. Suponha que o Dr. Howard quisesse obter um equilíbrio alimentar diário de 3 g de proteínas, 4 g de carboidratos e 3 g de gordura. No quadro abaixo estão dispostas as quantidades em gramas dos nutrientes mencionados acima, presentes em cada 10 g dos alimentos: leite desnatado, farinha de soja e soro de leite.

Alimento Nutrientes Leite

desnatado Farinha de

soja Soro de

Leite Proteína 3 5 2 Carboidrato 5 3 1 Gordura 0 1 7

Calcule as quantidades diárias em gramas de leite desnatado, farinha de soja e soro de leite, para que se obtenha a dieta equilibrada, segundo o Dr. Howard, verificando a necessidade de cada um desses alimentos na dieta em questão. 51. (UERJ - 97) Observe os quadrados I e II, anunciados em uma livraria.

Quantidade Edição Luxo Edição Bolso Livro A 76 240 Livro B 50 180

Quadro I

Preço (em Reais) Regular Oferta Ed. Luxo 8,00 6,00 Ed. Bolso 2,00 1,00

Quadro II a) Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, calcule a quantia arrecadada pela livraria na venda de todos esses livros. b) Considere agora o quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de carta quantidade dos livros A e B (valores em reais).

Preço (Regular) Preço (Oferta) Livro A 720,00 440,00 Livro B 560,00 340,00

Quadro III Utilizando esses dados e os apresentados no quadro II, calcule a quantidade vendida do livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de oferta, edição de bolso). 52. (FUVEST) Dadas as matrizes

= =

a 0 1 bA e B

0 a b 1


determine a e b de modo que AB = I2, onde I2 é a matriz identidade de ordem 2. 53. (FUVEST) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3x3

− − −

1 2 3

23a b + 2c 1 6

1b + c 3a c 2a + b

2

tem posto 1.

54. (FGV) Dada a matriz A =

1 0

2 3e a matriz

incógnita X =

x

y, chama-se autovalor de A qualquer

valor real de λ que faz com que a equação matricial AX = λX tenha soluções não nulas para X. a) Determine os autovalores de A. b) Para os valores encontrados no item anterior, obtenha a expressão da matriz X. TREINAMENTO IME/ITA 55. (ITA) Sejam A e B matrizes n x n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações: (I) AB + BAT é simétrica (II) (A + AT + B) é simétrica (III) ABAT é simétrica Temos que: a) apenas (I) é verdadeira. b) apenas (II) é verdadeira. c) apenas (III) é verdadeira. d) apenas (I) e (II) são verdadeiras. e) todas são verdadeiras

56. (ITA) Considere as matrizes A =

2 1- 01- 0 1

,

B =

21

, I =

1 00 1

, X =

yx

. Se x e y são

soluções do sistema (A.AT – 3I) . X = B, então x+y é igual a: a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) –2

57. (ITA) Considere as matrizes M =

−

1 1 3

0 1 0

2 3 1

,

N=

1 0 2

3 2 0

1 1 1

, P=

0

1

0

e X=

x

y

z

. Se X é solução de

M-1NX = P, então x2 + y2 + z2 é igual a a) 35 b) 17

c) 38 d) 14 e) 29 58. (ITA) Considere a matriz A:

A =

1 1 1 1

1 2 3 4

1 4 9 16

1 8 27 64

A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 59. (ITA) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais que AV = αV e AW = βW

Se a, b ∈ R são tais que aV + bW é igual a matriz nula 2 x 1, então a + b vale: a) 0 b) 1 c) - 1 d) 1/2 e) – 1/2 60. Para cada número real α associa-se a matriz:

α

α − α = α α

cos senT

sen cos.

Verifique que Tα . Tβ = Tα + β e que T-α = Tαt.

61. Sendo A, B matrizes nxn, mostre que: a) A + At é simétrica b) AAt é simétrica c) A – At é anti-simétrica d) (A2)t = (At)2 62. Prove que A2 é simétrica quer A seja simétrica quer seja A anti-simétrica. 63. (IME) Determine todas as matrizes x reais,

22 × , tais que: =

2 3 4

X2 3

64. (IME) Sejam A, B e C matrizes 55× com elementos reais. Denotando-se por At a matriz transposta de A: a) Mostre que se A.At = 0, então =A 0 . b) Mostre que se t tB.A.A C.A.A= , então B.A = C.A

MMAATTRRIIZZEESS EESSPPEECCIIAAIISS 1. MATRIZES ORTOGONAIS Definição


Uma matriz A é dita ortogonal se verifica At = A-1, ou seja, se sua transposta é igual à inversa. Observe que multiplicando ambos os membros por A, chegamos a uma definição alternativa: A.At = I De modo geral, essa segunda definição é a mais útil em casos onde se deseja mostrar que uma determinada matriz é ortogonal.

ER 25. Verificar se cosθ senθ

senθ cosθ −

é uma matriz

ortogonal. Resolução Para ser ortogonal, essa matriz multiplicada por sua transposta deve resultar na identidade.

cosθ senθ

senθ cosθ −

.cosθ senθ

senθ cosθ

−

=

2 2

2 2

cos θ + sen θ cosθ senθ + senθ cosθ

senθ cosθ + cosθ senθ sen θ+cos θ

− −

= 1 0

0 1

Logo, a matriz dada é ortogonal. Observação: Na verdade, toda matriz ortogonal 2x2 tem uma das duas formas:

cosθ senθ

senθ cosθ −

ou cosθ senθ

senθ cosθ −

2. MATRIZES REGULARES Definição Matrizes regulares são aquelas para as quais existe uma fórmula para calcular sua n-ésima potência apenas em função de n. Exemplo

A matriz A =

-2 -9

1 4 é regular porque existe uma

fórmula que permite calcular sua n-ésima potência.

Temos que An = 1 3n 9n

n 1 3n

− − +

.

A grande vantagem das matrizes regulares é que para calcularmos qualquer potencia sua, digamos A100, bastar substituir a variável n pelo valor adequado, no caso 100. Observação: No caso das matrizes não-regulares, para calcular sua 100ª potência precisamos multiplicá-la por ela mesma 100 vezes...

ER 26. Dada a matriz A = 1 1

0 1

, determine a matriz

A1993 + 2A1990

Resolução É óbvio que o problema não se trata de fazer uma longa e demorada conta. Devemos na verdade procurar uma fórmula que nos permita calcular

qualquer potência de A. Para isso, o procedimento padrão é iniciar calculando potências menores de A:

A2 = 1 2

0 1

A3 = A2A = 1 3

0 1

A4 = A3A = 1 4

0 1

Desses primeiros casos, o aluno já deve ser capaz de “intuir” a fórmula pela procura de um padrão nos resultados. No caso por exemplo, podemos acreditar que a fórmula será

An = 1 n

0 1

Assim: A1993 = 1 1993

0 1

e A1990 = 1 1990

0 1

Finalmente: A1993 + 2A1990 = 3 5973

0 3

ER 27. Prove a fórmula An = 1 3n 9n

n 1 3n

− − +

citada

para o caso onde A =

-2 -9

1 4

Resolução Essa demonstração usa um recurso que possivelmente não seja conhecido pela maioria dos alunos, mas que certamente ainda será visto ao longo do curso. Trata-se da demonstração por indução finita. Apenas para iniciar o assunto, verifiquemos como esse método permite demonstrar uma fórmula como a que temos. Passo 1: Verificação da validade da fórmula para o caso n = 0 (menor valor natural para o qual a fórmula faz sentido).

A0 = 1 3(0) 9(0)

0 1 + 3(0)

− −

= 1 0

0 1

Passo 2: Fazemos uma hipótese. Supomos que a fórmula vale para o caso n = k, ou seja: Ak = 1 - 3k -9k

k 1 + 3k

e isso será admitido como

verdadeiro para o passo 3. Passo 3: Procuramos verificar se, a partir da hipótese feita no passo 2, é possível mostrar que a fórmula é válida para o caso n = k + 1 (caso seguinte ao da nossa hipótese no passo 2) Observe que nessa etapa usaremos nossa hipótese do item anterior, ou seja, a fórmula para Ak.

Ak+1 = AkA = 1 - 3k -9k

k 1 + 3k

-2 -9

1 4

=

- 2 - 3k - 9 - 9k

k + 1 3k + 4

= 1 - 3(k+1) - 9(k + 1)

k + 1 1+3(k + 1)

Ou seja, de fato a fórmula tornou-se válida para o caso k + 1. Resumidamente o que fizemos foi o seguinte:


� Mostramos que a fórmula é válida para o primeiro caso (passo 1); � Mostramos que sempre que é válida para um determinado caso (passo 2) torna-se válida para o caso seguinte (passo 3); � Conclua desses dois pontos que: valendo para o primeiro caso, vale para o seguinte, o segundo caso. Valendo para o segundo caso, vale para o terceiro caso. E assim, a fórmula acaba por tornar-se válida para todos os casos. 3. MATRIZES IDEMPOTENTES Definição Uma matriz A é dita idempotente se verifica a relação A2 = A, ou seja, se ela for igual ao seu quadrado. Partindo dessa igualdade observamos que: A3 = A2.A = A.A = A2 = A A4 = A3.A = A.A = A2 = A (...) Logo, se A2 = A, temos que An = A, para todo n 2≥ . 4. MATRIZES SEMELHANTES Definição Dadas duas matrizes A e B, dizemos que elas são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que B = P-1AP. Semelhança é uma relação, logo só pode existir entre pares de matrizes. Portanto, não faz sentido dizer que tão somente que a matriz M é semelhante (a quem?). 5. MATRIZES CONGRUENTES Definição Dadas duas matrizes A e B, dizemos que elas são congruentes se existe uma matriz P tal que B = PtAP. Observe que essa definição é bem semelhante à definição anterior, devendo o aluno tomar o devido cuidado com a distinção. Assim como no caso anterior, a congruência de matrizes também é uma relação e, portanto, só existe entre pares de matrizes. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 65. (IME) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz [R], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e α é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.

cos(n ) sen(n ) 0

R sen(n ) cos(n ) 0

0 0 1

α − α = α α

66. (ITA) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que M – M-1 = B. Sabendo que Mt = M-1 podemos afirmar que: a) B2 é a matriz nula. b) B2 = -2I.

c) B é simétrica. d) B é anti-simétrica. e) n.d.a. 67. (ITA) Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n tais que A é simétrica (isto é, A = At) e P é ortogonal (isto é, PPt = I = PtP), P diferente da matriz identidade. Se B = PtAP, então: a) AB é simétrica. b) BA é simétrica. c) det A = det B. d) BA = AB. e) B é ortogonal. 68. (UERJ 96 – 1ª FASE) Cada par ordenado (x, y)

do plano pode ser escrito como uma matriz

x

y.

Para obter uma rotação de 90o do ponto de coordenadas (x, y) em torno da origem, no sentido anti-horário, basta multiplicar a matriz

−

0 1

1 0por

x

y.

Aplicando-se esse método para fazer a rotação do ponto médio do segmento AB da figura acima, suas novas coordenadas serão: a) (5, -1) b) (-1, 5) c) (-5, 1) d) (-1, 5) 69. Uma matriz real nxn A que satisfaz as relações AAt = AtA = I é chamada ortogonal. a) Dê exemplo de uma matriz ortogonal 2x2, distinta da identidade. b) Ache a matriz ortogonal geral 2x2. c) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal. d) Mostre que a inversa de uma matriz ortogonal é uma matriz ortogonal. 70. (ITA) Sejam A, B e P matrizes reais quadradas de ordem n, tais que B = Pt.A. P. Sendo P inversível, dentre as afirmações a seguir, qual é a falsa ? a) se B é simétrica, então A é simétrica. b) se A é simétrica, então B é simétrica. c) se A é inversível, então B é inversível. d) se B é inversível, então A é inversível. e) det A = det B. 71. Uma matriz A é congruente com uma matriz B com a mesma ordem se existir uma matriz real P não-singular tal que A = PBPT. a) Mostre que se A é congruente com B e B é congruente com C então A é congruente relativamente a C.


b) Mostre que se A é congruente com B, então B é congruente com A. 72. (ITA) Dizemos que duas matrizes n x n A e B são semelhantes se existe uma matriz n x n inversível P tal que B = P-1AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então: a) B é sempre inversível. b) Se A é simétrica, então B também é simétrica. c) B2 é semelhante a A. d) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A2 e) det (λI – B) = det (λI – A), onde λI é um real qualquer. 73. (ITA) Seja A uma matriz real quadrada de ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A é inversível e idempotente (isto é, A2 = A), considere as afirmações. I) B é idempotente II) AB = BA III) B é inversível IV) A2 + B2 = I V) AB é simétrica Com respeito a estas afirmações, temos que: a) todas são verdadeiras. b) apenas uma é verdadeira. c) apenas duas são verdadeiras. d) apenas três são verdadeiras. e) apenas quatro são verdadeiras. 74. (ITA) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então

2t(A + B) é igual a:

a) (A+B)2

b) 2.(At.Bt) c) 2.(At +Bt) d) At +Bt e) At.Bt

75. Dada a matriz A =

1 1 0

0 1 0

0 0 1

:

a) prove que A é regular b) calcule An c) calcule os números reais a e b tais que A² + aA + bI = 0 (I é a matriz identidade 3x3)

76. (UFRJ 99 ESP.) Seja

=

1 1A

0 1.

a) Determine A3 = A . A . A b) Se An denota o produto de A por A n vezes,

determine o valor do número natural k tal que

− + =2K 5K 6A A A I , onde I é a matriz identidade.

77. (IME-87) Seja

= −

1 0A

1 1.

a) Encontre todas as matrizes B, 2x2, que comutam com A. b) Calcule A– 1.

c) Mostre que A2 = 2A – I, onde I =

1 0

0 1.

d) Encontre a fórmula para An em função de A e I, e calcule A100.

GGAABBAARRIITTOOSS 01. 02. 03. A 04. Zero 05. 120 06.

07. M =

52

52

08. 1 09. x = -1 e y = 2 10. B

11.

98

169

12. 13. 14. X = A−1B−1A 15. a) X = A−1Bt; b) X = Bt - A 16. A

17. A-1 =

410

021

18. C 19. E 20. 21. B 22. A 23. B 24. C 25. 26. 27. 28. D 29. B 30. B 31. D 32. E 33. B 34. B 35. C 36. E 37. B 38. B 39. 40. A 41. 42. A 43. C 44. 45. 46. 47. Não existe 48. 49. 50.


51. 52. 53. 54. 55. E 56. D 57. A 58. A 59. A 60. Demonstração 61. Demonstração (Sugestão: mostrar que uma determinada matriz é simétrica significa mostrar que ela é igual a sua transposta) 62. Demonstração (Sugestão: prove separadamente para o caso onde A é simétrica e para o caso onde A é anti-simétrica). 63. 64. Demonstração 65. É ortogonal pois R.Rt = I 66. 67. 68. B 69. 70. E 71. Demonstração 72. E 73. 74. C

75. a) A =

1 1 0

0 1 0

0 0 1

; A2 =

1 2 0

0 1 0

0 0 1

; A3 =

1 3 0

0 1 0

0 0 1

, o que nos sugere a expressão geral An =

1 n 0

0 1 0

0 0 1

.

Prova da validade da fórmula por indução:

A0 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= I

Suponhamos que Ak =

1 k 0

0 1 0

0 0 1

, verifiquemos se a

fórmula é valida para o caso k + 1:

Ak+1 = Ak.A =

1 k 0

0 1 0

0 0 1

.

1 1 0

0 1 0

0 0 1

=

1 k+1 0

0 1 0

0 0 1

(cqd)

b) An =

1 n 0

0 1 0

0 0 1

, conforme demonstrado no item

(a) c) A2 + aA + bI = 0 1 2 0

0 1 0

0 0 1

+ a

1 1 0

0 1 0

0 0 1

+ b

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

a + b + 1 a + 2 0

0 a + b + 1 0

0 0 a + b + 1

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

, de onde:

a + 2 = 0 ⇒ a = – 2 a + b + 1 = 0 ⇒ b = 1

76. a)

=

3 1 3A

0 1 b) k = 2 ou k = 3

235 Matemática CASD Vestibulares

Matemática Frente II EExxeerrccíícc iiooss

AULA 10 – Funções do 2º Grau / Raízes (Bhaskara, Soma e Produto)

1) Determine os zeros reais das funções: a) f(x) = x2 –3x + 2 b) f(x) = -x2 +7x – 12 c) f(x) = 3x2 –7x + 2 d) f(x) = x2 –2x + 2 e) f(x) = x2 + 4x + 4 f) f(x) = – x2 + (3/2)x + 1 g) f(x) = x2 – 2x + 1 h) f(x) = -x2 +3x – 4 i)f(x) = x2 –√2 x + ½ j) f(x) = –5x2 k)f(x) = x2 +(1 - √3)x – √3 l) f(x) = 2x2 – 4x m)f(x) = - 3 x2 + 6 n)f(x) = 4x2 + 3 2) Uma empresa produz e vende certo tipo de produto. A quantidade que ela consegue vender varia com o preço, da seguinte forma: a um preço y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação y = 50 – (x/2). Sabendo que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de 1250,00, qual foi a quantidade vendida? 3) Resolva o sistema: 1 1 7

12

12

x y

xy

+ =

=

4) Resolva: a-) A equação x2 – 3x – 4 = 0 b-) O sistema: 2x + y = 4 2x + xy = –8 5) Determine os zeros reais da função f(x) =x4–3x2- 4 6)Determine os zeros das funções reais: a) f(x) = x4 – 5x2 + 4 e) f(x) = 2x4 + 6x2 + 4 b) f(x) = –x4 + 5x2 + 36 f) f(x) = –x4 + 3x2 – 3 c) f(x) = x4 – x2 – 6 g) f(x) = 3x4 – 12x2 d) f(x) = x4 – 4x2 + 4 h) f(x) = x6 – 7x3 – 8 7) Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = mx2 + ( 2m – 1 )x + ( m – 2 ) tenha dois zeros reais e distintos. 8) Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = ( m–1 )x2 + ( 2m + 3 )x + m tenha dois zeros reais e distintos. 9) Determine os valores de m para que a equação do segundo grau ( m + 2 )x2 + ( 3 – 2m )x + ( m – 1 ) = 0 tenha raízes reais. 10) Determine os valores de m para que a função f(x) = mx2 + ( m + 1 )x + ( m + 1 ) tenha duas raízes reais iguais. 11) Determine os valores de m para que a equação x2 + ( 3m + 2 )x + ( m2 + m + 2 ) = 0 tenha raízes reais. 12) Determine os valores de m para que a função f(x) = ( m + 1 )x2 + ( 2m + 3 )x + ( m – 1 ) não tenha zeros reais. 13) Determine os valores de m para que a equação mx2 + ( 2m – 1 )x + ( m – 2 ) = 0 não tenha raízes reais.

14) O trinômio ax2 + bx + c tem duas raízes reais e distintas; α e β são dois números reais não nulos. O que se pode afirmar sobre as raízes do seguinte trinômio?

( a / α )x2 + β bx + α β2c = 0 15) Mostre que na equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0, de raízes reais x1 e x2, temos para a soma S das raízes S = x1 + x2 = –b/a e para o produto P das raízes P = x1.x2 = c/a . 16) Na equação de segundo grau 2x2 – 5x – 1 = 0 de raízes x1 e x2, calcule: a) x1 + x2 d) (x1)

2 + (x2)2

b) x1.x2 e) (x1)3 + (x2)

3 c) 1 2

1 1

x x+

f) 2 1

1 2

x x

x x+

17) As raízes da equação 2x2 – 2mx + 3 = 0 são positivas e uma é o triplo da outra. Calcule o valor de m. 18) As raízes da equação x2 + bx + 47 = 0 são inteiras. Calcule o módulo da diferença entre essas raízes. 19) Se r e s são raízes da equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 e a ≠ 0 e c ≠ 0, qual é o valor de:

2 2

1 1

s r+

20) Determine o parâmetro m na equação x2 + mx + ( m2 – m – 12 ) = 0, de modo que ela tenha uma raiz nula e outra positiva. 21) Dadas a equações x2 – 5x + k = 0 e x2 – 7x + 2k = 0, sabe-se que uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das raízes da primeira. Sendo k ≠ 0, determine o valor de k.

22) Obtenha uma equação de segundo grau de raízes: a) 2 e –3 b) 1/2 e –3/2 c) 0,4 e 5 d) 1 e –√2 e) 1+√3 e 1–√3

23) Determine m na equação mx2 + –( m – 1 )x + m = 0

para que se tenha 1 2

2 1

4x x

x x+ = , em que x1 e x2 são as

raízes da equação. 24) O trinômio f(x) = x2 – px + q tem por raízes a e b, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Qual é o trinômio cujas raízes são 1/a e 1/b? 25) Sejam m,n dois números inteiros positivos tais que m, n são ímpares consecutivos e m.n = 1599. Indique o valor de m + n.

CASD Vestibulares Matemática 236

AULA 11 – Gráfico da Parábola, Concavidade e Vértice.

26) Determine o vértice das parábolas: a) y = x2 – 4 d) y = –x2 + (x/2) + 3/2 b) y = –x2 + 3x e) y = –x2 + x – 2/9

c) y = 2x2 – 5x + 2 f) y = x2 – (7x/3) – 2

27) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em R. a) y = 2x2 + 5x d) y = x2 – (7x/2) + 5/2 b) y = –3x2 + 12x e) y = –x2 + 5x – 7

c) y = 4x2 – 8x + 4 f) y = –(x2/2) + (4x/3) – 1/2

28) Determine o valor de m na função real f(x) = 3x2 – 2x + m para que seu valor mínimo seja 5/3. 29) Determine o valor de m na função real f(x) = –3x2 + 2(m–1)x + (m+1) para que o valor máximo seja 2. 30) Determine o valor de m na função real f(x) = mx2 + (m–1)x + (m+2) para que o valor máximo seja 2. 31) Determine o valor de m na função real f(x) = (m–1)x2 + (m+1)x – m para que o valor mínimo seja 1. 32) Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é o máximo. 33) Seja y = –x2 + 5x – 1. Dado que x varia no intervalo fechado [0;6], determine o mayor valor (yM)e o menor (ym) valor que y assume. 34) Dada f(x) = 2x2 + 7x – 15, para que valor de x a função assume máximo? 35) A parábola de equação y = –2x2 + bx + c passa pelo ponto (1;0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Determine o valor de v. 36) Dentre todos os números reais x e z tais que 2x + z = 8, determine aqueles cujo produto é o máximo. 37) Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima. 38) Dentre todos os x e z de soma 6, determine aquele cuja soma dos quadrados seja mínima. 39) Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = –4x + 5. 40) É dada uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determine esse retângulo sabendo que sua área é máxima

41) Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4cm, estando a base do retângulo num lado do triângulo. 42) Num triângulo isósceles de base 6cm e altura 4cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo. 43) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fino com o formato da parábola y = x2 – 6. Do ponto P de coordenadas (4;10) deixa-se a conta deslizar sobre o arame até que ela atinja o ponto Q de ordenada – 6. Qual é a distância horizontal percorrida pela conta? 44) Uma parede de tijolos será usada com um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos utilizar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir área máxima.Qual é o quociente de um lado pelo outro? 45) Determine a imagem das seguintes funções definidas em R: a) y = x2 – 3x d) y = –4x2 + 8x + 12 b) y = –x2 + 4 e) y = –x2 + (3x/2) + 1

c) y = 3x2 – 9x + 6 f) y = (x2/2) + x + 1 46) Determine m na função f(x) = 3x2 – 4x + m definida em R para que a imagem dessa função seja Im = {y R/ y ≥ 2}.

47) Determine m na função 2 1

( )3 2

xf x mx= − + −

definida em R para que sua imagem seja Im = {y R/ y ≤ 7}. 48) Faça o esboço do gráfico da função y = x2 – 4x + 3. 49) Faça o esboço do gráfico da função y = –x2 + 4x – 4. 50) Faça o esboço do gráfico da função

211

2y x x= + + .

51) Construa o gráfico cartesiano das funções definidas em R: a) y = x2 – 2x – 3 b) y = 4x2 – 10x + 4

237 Matemática CASD Vestibula

c) y = –x2 + (x/2) + 1/2 d) y = –3x2 + 6x – 3 e-) y = x2 – 3x + 9/4 f-) y = 3x2 – 4x + 2 g-) y = –x2 + x – 1 h-) y = –(x2/2) – x – 3/2 52) No gráfico a baixo estão representadas três parábolas, 1, 2 e 3, de equações respectivamente y = ax2, y = bx2 e y = cx2. Qual é a relação entre a, b e c?

53) O gráfico do trinômio do segundo grau ax2 –10x + c é o da figura:

Determine os valores dos coeficientes a e c. 54) A figura abaixo é gráfico de um trinômio do segundo grau. Determine esse trinômio.

55) Seja f: R → R a função definida por f(x) = ax2 + bx + c, cujo gráfico é dado abaixo, sendo a, b, c R. Determine o valor de a.

56) Determine a função g(x) cujo gráfico é o simétrico do gráfico da função f(x) = 2x – x2 em relação à reta y = 3. Esboce o gráfico. 57) Os gráficos de duas funções quadráticas g e h interceptam-se nos pontos P(x1;y1) e Q(x2;y2), com x2>x1, como mostra a figura abaixo.

Se g(x) = ax2 + bx + c e h(x) = dx2 + ex + f, a área da região sombreada na figura é dada por F(x2) – F(x1), em que:

3 2( ) ( )3 2

d a e bF x x x f c x

− −= + + −

Nessas condições, quanto vale a área da região sombreada, no caso em que: g(x) = x2 + x e h(x) = –x2 – x + 4

AULA 12 – Inequações do 2º Grau. 58) Resolva a inequação x2 – 2x + 2 > 0. 59) Resolva a inequação x2 – 2x + 1 ≤ 0. 60) Resolva a inequação –2x2 + 3x + 2 ≥ 0. 61) Resolva as inequações em R: a) x2 – 3x + 2 > 0 b) –x2 + x + 6 > 0 c) –3x2 –8x + 3 ≤ 0 d) –x2 + (3x/2) + 10 ≥ 0 e) 8x2 – 14x + 3 ≤ 0 f-) 4x2 – 4x + 1 > 0 g-) x2 – 6x + 9 ≥ 0 h-) –4x2 + 12x – 9 ≥ 0 i-) x2 + 3x + 7 > 0 j-) –3x2 + 3x – 3 < 0 k-) 2x2 – 4x + 5 < 0 62) Para que valores de x o trinômio –x2 + 3x – 4 é negativo?


63) Se A = {x R/ x2 – 3x + 2 ≤ 0} e B = {x R/ x2 – 4x + 3 > 0}, determine A B. 64) Se A = {x R/ 3x – 2x2 ≥ 0}, B = {x R/ 1 ≤ x ≤ 3} e C = {x R/ x2 – x – 2 ≤ 0}, determine ( A B ) C. 65) Sejam p(x) = x2 – 5x + 6 e q(x) = x2 + 5x + 6. Se a é um número real e p(a) < 0, qual é a condição que deve satisfazer q(a)? 66) Qual é uma condição suficiente para que a

expressão 2 4Y x= + − represente uma função? 67) Resolva a inequação (x2 – x – 2)( –x2 + 4x – 3) > 0 em R. 68) Resolva as inequações: a) (1 – 4x2)(2x2 + 3x) > 0 b) (2x2 – 7x + 6)(2x2 – 7x + 5) ≤ 0 c) (x2 – x – 6)( –x2 + 2x – 1) > 0 d) (x2 + x – 6)( –x2 – 2x + 3) ≥ 0 e) x3 – 2x2 – x + 2 > 0 f) 2x3 – 6x2 + x – 3 ≤ 0 69) É dada a função y = (2x2 – 9x – 5)( x2 – 2x + 2). Determine: a-) Os pontos de interseção dos pontos da função e o eixo das abscissas. b-) O conjunto dos valores de x para os quais y ≤ 0. 70) Dentre os números inteiros que são soluções da inequação (x2 – 21x + 20)(3 – x) > 0, qual é o maior? 71) Determine os valores de x R que satisfazem a inequação abaixo: (x2 – 2x + 8)(x2 – 5x + 6)(x2 – 16) < 0 72) Seja A o conjunto solução da inequação (x2 – 5x)( x2 – 8x + 12) < 0. Determine A. 73) Resolva a inequação:

2

2

2 10

2

x x

x x

+ − ≤−

74) Resolva em R as inequações:

a-) 2

2

4 50

2 3 2

x x

x x

+ − >− −

b-) 2

2

9 9 20

3 7 2

x x

x x

− + − ≤+ +

c-) 2

2

20

5 6

x x

x x

+ ≥+ +

d-) 2

2 30

2 3 2

x

x x

− <+ −

e-) 2

2

3 161

7 10

x x

x x

+ − ≥− + −

f-) 2

2

2 4 52

3 7 2

x x

x x

+ + < −+ +

g-)2

2

6 12 171

2 7 5

x x

x x

+ + ≥ −− + −

h-) ( )( )

3

3

1 11

1 1

x

x

+ −>

− +

75) Determine, em R, o conjunto solução das inequações:

a-) 2

10

3 2

x

x x

+ ≥− +

b-) 3 2

01

x

x x x≥

− + −

c-) 3

12

xx

x

− ≤ −−

d-) 01 1

x x

x x− ≥

+ −

e-) 1

2tt

+ ≤ − f-) 2

2

2 1 1

1 1

x x

x x

+ − ≥− +

76) Tomando com conjunto universo o conjunto U = R – {1}, resolva a inequação abaixo:

1 2

2 1

x x

x

+ +<−

77) Dada f:R → R, definida por f(x) = –x2, resolva a inequação:

( ) ( 2 )( 1)

2

f x ff

x

− − ≤ −+

78) Responda: a-) O que se pretende dizer quando se pede para achar o domínio de uma f(x) igualada a uma expressão em x? b-) Determine, em R, o domínio da função

2

2

1( )

2 15

xf x

x x

− +=− −

79) Ache o domínio da função 2

5

6

xy

x x

− +=+ −

,em R.

80) Determine o conjunto igual a {x R /

2 3 20

1

x x

x

− + ≥−

}.

81) Qual é a condição para que

( )( )2

2

3 2 8

4 3

x x xy

x x

− + −=

+ + , y real, seja definida?

82) Resolva as inequações: a) 4 < x2 – 12 < 4x b) x2 + 1 < 2x2 – 3 < –5x c) 0 ≤ x2 – 3x + 2 ≤ 6 d) 7x + 1 < x2 + 3x – 4 ≤ 2x + 2 e) 0 < x2 + x + 1 < 1 f) 4x2 – 5x + 4 < 3x2 – 6x + 6 < x2 + 3x – 4 83) Resolva os sistemas de inequações: a-) x2 + x – 2 > 0 3x – x2 < 0 b-) x2 + x – 20 ≤ 0 x2 – 4x – 21 > 0 c-)1 + 2x ≥ 0 –4x2 + 8x – 3 < 0


d-) –2x2 – x + 1 ≥ 0 4x2 – 8x + 3 ≤ 0 84) Considere as desigualdades: 4y + 3x ≤ 12 , x ≥ 0 e y ≥ 0 Agora, classifique as proposições abaixo como verdadeiras ou falsas: a-) O conjunto de soluções das desigualdades é limitado no plano xy. b-) O valor máximo da variável x satisfazendo as desigualdades é 4. c-) O conjunto solução das desigualdades não é limitado no plano xy. d-) O valor mínimo da variável y satisfazendo as desigualdades é 3. e-) O valor máximo da variável y satisfazendo as desigualdades é 3. 85) Assinale as proposições verdadeiras e as falsas nos itens abaixo: O conjunto solução do sistema: x2 – 1 > 0 x2 – 2x < 0 é: a-) {x R / –1 < x < 1 } b-) {x R / –1 < x ≤ 0 0 < x < 1 } c-) {x R / x < –1 } {x R / x > 2 } d-) {x R / 1 < x ≤ 3/2 } {x R / 3/2 < x < 2 } e-) {x R / 1 < x < 2 } 86) Resolva a inequação x4 – 5x2 + 4 ≥ 0 ,em R. 87) Resolva em R as inequações: a) x4 – 10x2 + 9 ≤ 0 b) x4 – 3x2 – 4 > 0 c) x4 + 8x2 – 9 < 0 d) 2x4 – 3x2 + 4 < 0 e) x6 – 7x3 – 8 ≥ 0 f) 3x4 – 5x2 + 4 > 0 88) Determine m de modo que a função quadrática a seguir seja positiva para todo x real. f(x) = mx2 + (2m – 1)x + (m + 1) 89) Determine m para que se tenha para qualquer x real: a-) x2 + (2m – 1)x + (m2 – 2) > 0 b-) x2 + (2m + 3)x + (m2 + 3) ≥ 0 c-) x2 – mx + m > 0 d-) x2 + (m + 1)x + m > 0 e-)–x2 + (m + 2)x – (m+3) ≥ 0 f-) (m – 1)x2 + 4(m – 1)x + m > 0 g-) mx2 + (m – 2)x + m ≤ 0 h-) mx2 + (m + 3)x + m ≥ 0 i-) (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3(m – 1) < 0 j-) (m2 – 1)x2 + 2(m – 1)x + 1 > 0 90) Determine m para que se tenha

2

2

( 1) 12

1

x m x

x x

+ + + <+ +

para qualquer x real.

91) Determine m para que se tenha para qualquer x real:

a) 2

2

12

1

x mx

x

+ + <+

b) 2

2

2

2

x mxm

x x

− + >− +

c) 2 24 1

x x m

x x

+>+ +

d-)2

2

23 2

1

x mx

x x

+ −− < <− +

92) Qual é o conjunto de valores de p para os quais a inequação x2 + 2x + p > 10 é verdadeira para qualquer x pertencente a R. 93) Qual é a condição para que a desigualdade x2 –2(m + 2)x + (m + 2) > 0 seja verificada para todo número real x?

94) Se 2 21

x a x a

x x

− +<+

, para todo x ≠ 0, qual a

condição que “a” satisfaz? 95) Determine os valores de m R para os quais o domínio da função a seguir é o conjunto dos números reais.

2

1( )

2f x

x m x m=

− +

96) Para que a função real 2( ) 6f x x x k= − + , em que x e k são reais, seja definida para qualquer valor de x, qual deve ser o valor de k?

GABARITO

AULA 10

1)a)x=1 ou x = 2 b)x = 3 ou x = 4 c)x =2 ou x=1

3

d-) Não existe x ∈� e) x = -2 f) x =-1

2 ou x = 2

g-) x = 1 2+ ou x = 1 2− h) não existe x ∈�

i) x = 2

2 j) x = -1 ou x = 3 k) x = 0 ou x = 2

l)x= 2 ou x= 2− m)não existe x ∈� n)x = 0 2-) 50 3) x = 3 ou x = 4 y = 4 y = 3

4-) a-) S = }{ 1;4− b-) S = ){ }((4; 4 ; 1;6)− −

5-) x = z ou x = -z 6-) a -) x = 1, -1, 2 ou –2 b-) x = 3 ou x = -3

c)x = 3 ou x = 3− d) x = 2 ou x = 2−

e) Não existe x ∈� f) Não existe x ∈� g) x = 0, x = 2 ou x = -2 h) x = 2 ou x = -1

7-) m 0≠ e m > -1

4 8-) m > -

9

16 e m 1≠

9-) 17

16m ≤ e m 2≠ 10-) m = -1 ou m =

1

3


11)m=-2 ou m=2

5 12)m<-

13

12 13) m < -

1

4

14-) Também são reais e distintas. OBS: Tentem ver que são as mesmas raízes só que multiplicadas por αβ . 15-) É só usar a fórmula de Báskara.

16)a)5

2 b)

1

2− c)– 5 d)

29

4 e)

29

2− f)

155

8

17) 2 2 18) 1 2 46x x− = 19) )( 2

2

2b a c

c

−

20-) m = -3 21-) k = 6

22-) a-) 2 6 0x x+ − = b-) 24 4 3 0x x+ − =

c) 2 5,4 2 0x x− + = d) 2 (1 2) 2 0x x− − − =

e) 2 2 2 0x x− − =

23-) m = 2 6+ ou m = 2 6− −

24-) g(x) = 2 1px x

q q− + 25-) m + n = 80

AULA 11

26)a)(0;-4) b)3 9

( ; )2 4

c)5 9

( ; )4 8

−

d) 1 25

( ; )4 16

− e)1 1

( ; )2 36

f) 7 121

( ; )6 36

−

27-) a-) xm = 5

4− e ym =

25

8− � mínimo

b-) xm = 2 e ym = 12 � máximo c-) xm = 1 e ym = 0 � mínimo

d-) xm = 7

4 e ym =

9

16− � mínimo

e-) xm = 5

2 e ym =

3

4− � máximo

f-) xm = 4

3 e ym =

7

18 � máximo

28-) m = 2 29-) m = -2 ou m = 1 30-) m = -1 31-) Não existe x ∈� 32-) 4 e 4

33-) Ymax = Yu = 21

4; Ymin= f(6) = -7

34-) Não existe máximo pois a > 0 35-) v = 8 36-) x = 2 e z = 4 37-) Quadrado de lado 5cm

38-) 3 e 3 39-) Retângulo de lados 5 5

8 2e

40-) Retângulo de lados 4 e 3cm.

41-) Retângulo de lados 2 e 3cm 42-) Retângulo de lados 2 e 3 cm. 43-) 4 44-) 0,5 e 2

45)a)Im=9

/4

y y ∈ ≥ −

� b)Im= }{ / 4y y∈ ≤�

c)Im=3

/4

y y ∈ ≥ −

� d)Im= }{ / 16y y∈ ≤�

e)Im=25

/16

y y ∈ ≤

� f)Im =

1/

2y y

∈ ≥

�

46-) m = 10

3 47-) m = 10 ou m = 10−

48-)

49-)

50-)

51-) a-)

b)


c-)

d-)

e-)

f-)

g-)

h-)

52)0<c<b<a 53)a=1 e c=16 54)y= 21 4 5

3 3 3x x− + +

55)a=2 56)g(x)= 2 2 6x x− + 57-) A= 9

AULA 12

58-) x∀ ∈� 59-) x = 1 60-) 1

22

x− ≤ ≤

61)a)x<1 ou x>2 b)-2<x<3 c) x 3≤ − ou 1

3x ≥

d-) 5

42

x− ≤ ≤ e-) 1 3

4 2x≤ ≤ f-)

1{ }

2−�

g-) x∀ ∈� h-) 3

2 i-) x∀ ∈�

j) x∀ ∈� k)não existe x ∈� l) não existe x ∈� 62) x∀ ∈� 63) 0A B =I 64) 0 2x≤ ≤ 65) 20 (2) 30q< < 66) 2x ≤ − ou 2x ≥ 67) 1 1x− < < ou 2 3x< <

68)a)3 1

2 2x− < < − ou

10

2x< <

b) 3

12

x≤ ≤ ou 5

22

x≤ ≤ c) 2 3x− < < e 1x ≠

d)x=-3 ou 1 2x≤ ≤ e) 1 1x− < < ou 2x > f) 3x ≤

69)a)P1 = (5,0) e P2 1

( ;0)2

− b) 1

52

x− ≤ ≤

70) 19 71) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 72-) 0 < x < 2 ou 5 < x < 6

73-) 1x ≤ ou 1

02

x< ≤ ou x >2


74-) a-) 5

4x < − ou

11

2x− < < ou x > 2

b) 2x < − ou 1 1

3 3x− < ≤ ou

2

3x ≥

c) 3x < − ou 0x ≥ d) 1

22

x− < < ou 2

3x >

e) 1 2x− ≤ < ou 3 5x≤ <

f) 3

22

x− < < − ou 3 1

4 3x− < < −

g) 3

44

x− ≤ ≤ − ou 5

12

x< < h) x > 0

75)a) 1 1x− ≤ < ou 2x > b) 0x ≤ ou x > 1 c) x > 2 d) 1x < − ou 0 1x≤ < e) t < 0 f) 1x < − ou 1 0x< ≤ ou x > 1 76-) x < 1 77-) 3x ≥ 78-) a-) Significa obter para quais valores de x a função está definida. b-) Df = { / 3 1x x∈ − < ≤ −� ou 1 5}x≤ <

79-) x < -3 ou 2 5x< ≤ 80-) 2x ≥ 81-) 4 3x− ≤ ≤ − ou 1 2x− < ≤ ou 3x ≥ 82)a) 4 6x< ≤ b) 3 2x− ≤ < − c) 1 1x− ≤ ≤ ou 2 4x≤ ≤ d) 3 1x− ≤ < − e) 1 0x− < < f) não existe x ∈� 83)a) 2x < − ou x > 3 b) 5 3x− ≤ < −

c)1 1

2 2x− ≤ < ou

3

2x > d)

1

2x =

84-) a-) V b-) V c-) F d-) F e-) V 85-) a-) F b-) F c-) F d-) V e-) V 86-) 2x ≤ ou 1 1x− ≤ ≤ ou 2x ≥ 87-) a-) 3 1x− ≤ ≤ − ou 1 3x− ≤ ≤ b) 2x < − ou x > 2 c)-1<x<1 d)não existe x ∈� e) 1x ≤ − ou 2x ≥ f-) x∀ ∈�

88-) 1

8m >

89)a)9

4m > b)

1

4m ≤ c)0 < m < 4

d)não existe m ∈� e)não existe m ∈� f)4

13

m< <

g) 2m ≤ − h) 3m ≥ i)m< -2 j-) 1m ≥ 90-) -1 < m < 3

91)a) 2 2m− < < b)m < 1 c)3

4m < − d)-1<m<2

92)p > 11 93)-2 < m < -1 94) 2

4a >

95-) 0 < m < 8 96-) 9k ≥

243 Trigonometria CASD Vestibulares

MMaatteemmáátt iiccaa Frente III

CCAAPPIITTUULLOO 33

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS Para o aprofundamento do estudo de trigonometria, faz-se necessário o desenvolvimento de novas relações que envolvam seno, cosseno e tangentes de soma e subtração de ângulos. A necessidade desses desenvolvimentos se dá, principalmente, quando estudamos equações que envolvem termos trigonométricos. A partir de agora estaremos colocando uma série de demonstrações e vamos utilizar alguns conceitos de geometria analítica. Acompanhe o raciocínio abaixo:

Vamos achar a expressão de cada ponto do desenho acima.

1 2

3

4

(cos( ),sen( )) (1,0)

(cos ,sen )

(cos( ),sen( ))

P P

P

P

β βα αα β α β

− −

+ +

Como sabemos que, numa circunferência, ângulos

iguais subentendem arcos iguais, temos: 2 4 1 3P P PP=

Assim:

1 3

2 2 2( ) (cos cos ) ( sen sen )P Pd β α β α= − + − − =

= 2 2sen sen 2cos cosα β α β+ −

2 4

2 2 2( ) (1 cos( )) (0 sen( ))P Pd α β α β= − + + − + =

2 2cos( )α β= − + 2)(42PPd = ⇒2)(

31PPd

)cos(22 βα +− = βαβα coscos2sensen22 −+

assim chegamos que:

βαβαβα sensencoscos)cos( −=+

Para calcular )cos( βα − basta substituir β por

)( β− e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que:

βαβαβα sensencoscos)cos( +=−

Sabendo que sen( )α β+ = cos ( )2

π α β − + =

= cos2

π α β − − aplicamos a formula acima,já

demonstrada. Veja que:

co s co s co s2 2

s enα

π πα β α β − − = − +

6 47 48

cos

2sen sen

β

π α β + − = 14243

cos cossen senα β β α+ .

Assim:αββαβα cossencossen)sen( +=+

Para calcular ( )sen α β− basta substituir β por

)( β− e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que:

αββαβα cossencossen)sen( −=−

Vamos calcular )( batg + :

=++=+

)cos(

)sen()(

βαβα

batg

sen cos sen cos.

cos cos sen sen

α β β αα β α β

+−

Dividindo toda a fração

pelo produto cos cosα β , temos:

( )tg a b+ =

sen cos sen coscos cos cos coscos cos sen sencos cos cos cos

α β β αα β α βα β α βα β α β

+=

−

.1

tg tg

tg tg

α βα β+=

−

Assim,

tgatgb

tgbtgabatg

−+=+

1)(

Para calcular ( )tg α β− basta substituir β por )( β− e utilizar a paridade das funções seno e cosseno. Logo chegamos que:

( )1

tga tgbtg a b

tgatgb

−− =+

Utilizando as fórmulas demostradas acima, vamos calcular alguns resultados muito importantes que nos pouparão tempo em resolução de determinadas questões: a)sen(2 ) ( ) sen cos cosx sen x x x x senx x= + = + =

sen(2 ) 2 cosx senx x=

CASD Vestibulares Trigonometria 244

b) cos(2 ) cos( ) .cos .x x x cox x senx senx= + = − =

2 2cos(2 ) cosx x sen x= −

Da relação fundamental temos que:

2 2cos 1 senx x= − . Substituindo na expressão acima temos uma segunda maneira de escrever o cos(2 )x .

2cos(2 ) 1 2x sen x= −

Podemos ainda substituir na expressão acima a

relação fundamental 2 2sen 1 cosx x= − . Com essa substituição chegamos em uma terceira maneira de escrever o cos(2 )x .

2cos(2 ) 2cos 1x x= −

c) (2 ) ( )1 .

tgx tgxtg x tg x x

tgx tgx

+= + = =−

2

2(2 )

1

tgxtg x

tg x=

−

Desenvolvendo as expressões do cos(2 )x ,

demonstradas acima, chegamos nas seguintes relações:

2

)2cos(1sen2 x

x−=

2

)2cos(1cos2 x

x+=

No capítulo que envolve a resolução de equações trigonométricas, veremos a necessidade de se ter expressões de seno, cosseno e tangente em função de uma única linha trigonométrica. Vamos então

expressar tgxexx cos,sen em função de

2

xtg :

a)sen 2sen cos2 2

x xx

= . Vamos multiplicar e ao

mesmo tempo dividir essa equação por 2sec2

x

.

2

2

2

12

s e c2

2 s e n c o s .2 2

s e c2x

t g

xx x

s e n xx

+

= = 142 43

2

2

2 2

s ec

2 se n c o s . sec 22 2 2 2

1 12 2

x

x x x xtg

x xtg tg

= =

+ +14243

2

22

12

xt g

s e n xx

t g=

+

Utilizando o mesmo raciocínio chegamos que:

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x+

−=

Aplicando a fórmula da tangente de (2a), temos:

21

22

2 xtg

xtg

tgx−

=

PRATICANDO Nível I 1-) Calcule: a) º75sen b) ( )º5,22sen c) º120sen

d) º15sen e) º105sen f) º75cos g) º105cos h) )º5,22cos( i) º15cos

j) º75tg l) º15tg m) ( )º5,22tg 2-) Determine entre que valores a variável m pode variar para que as igualdades abaixo façam sentido. a) (2 1) 3 5sen x m+ = − b) ( 3) 1sen x m− = − 3-) Os valores de x que satisfazem, ao mesmo tempo,

as equações 1sena x= − e cos 2a x= − são: a)0 e -1 b)0 e 1 c)1 e 2 d)1 e -2 e)nda

4-)Dado que 3 1

27sen x = , com 0

2x

π< < , o valor de

3cos x é:

a)26

27 b)

8

27 c)

16

27 d)

16 2

27 e)

1

3

5-) Verifique as identidades abaixo:

a)2

2

.cos .

(1 cos )

sen x x tgxsenx

x=

−

b) 2

2

.cos .

(1 )

sen x x cotgxsenx

sen x=

−

c) 2 2

2

sec .cos .

(1 ). cos

x x tgx sen x

tg x cotgx x=

+

d) 2 2 2

2 22 2

( ).cos( ). ( )( )

(1 cos ( )) ( )

sen x y x cotg xcotg x

x y sen x

− =− −

e) 2 2 2 2.cos coscotg a a cotg a a= −

245 Trigonometria CASD Vestibulare

f) 2 2(1 ) .(1 ) 0tga cotg a cotga tg a− + − =

g) 2 2 2 2sec sectg a tg b a b− = −

h) 2

2

1cos 2

1

tg xx

tg x

− =+

i) 3

3

2

2cos cos

sena sen atga

a a

− =−

Nível II 01) (FEI-95) Se cosx = 0,8 e 0< x < π/2 então o valor de sen2x é: a) 0,6 b) 0,8 c) 0,96 d) 0,36 e) 0,49 02) (FUVEST-95) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10cm. Considere, a seguir, um arco A'B' de 60° numa circunferência de raio 5cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A'B', obtém-se: a) 11/6 b) 2 c) 11/3 d) 22/3 e) 11

03) (MACK-96) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale: a) 24/7 b) -24/7 c) -8/3 d) 8/3 e) -4/3 04) (FEI-94) Se cotg(x) + tg(x) = 3, então sen(2x) é igual a: a) 1/3 b) 3/2 c) 3 d) 2/3 e) n.d.a. 05) (FUVEST-94) O valor de (tg 10º + cotg 10º). sen 20º é: a) ½ b) 1 c) 2 d) 5/2 e) 4 06) (CESGRANRIO-95) Se senx - cosx = 1/2, o valor de senx. cosx é igual a: a) -3/16 b) -3/8 c) 3/8 d) ¾ e) 3/2 07) (FATEC-95) Se sen 2x = 1/2, então tg x + cotg x é igual a: a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 08) (FUVEST-89) A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguinte fórmula: tg 2x = 2 tgx/(1 - tg2x). Calcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22°30'. a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00

09) (MACK) O valor de x

xy

o

cos

)45sen(.2 += , x ≠ π/2 + kπ,

k ∈Z, é : a) sec x. sen x + 1 b) tg x c) sen x + cos x d) sec x – tg x e) 1 + sec x 10) (UNICAMP-95) Encontre todas as soluções do sistema: sen (x + y) = 0 e sen (x - y) = 0 que satisfaçam 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π. 11) (FUVEST-93 - Adaptada) O valor máximo de: f(x, y) = 3cos x + 2sen y é:

a) 2

2 b) 3 c) 5

2

2 d) 13 e) 5

12) (FATEC-96) Se x - y = 60°, então o valor de (senx + seny)2 + (cosx + cosy)2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 13) (FGV-94) Reduza à expressão mais simples possível: a) (cos 15° + sen 15° )2;

14) Dado que sen x. cos x = m, calcule o valor de: y = sen4 x + cos4 x e z = sen6 x + cos6 x, em função de m. 15-) Calcule o valor numérico de I tal que:

( )( ) º79cos30º63cos60cosº27cos

º79º360cosº360cos422222

2

sen

senI

nn

+−=

16-) Elimine x do sistema.

a)sec

sec

tgx x m

x tgx n

+ = − =

b) (2 ) cos(2 )

cos(2 ) (2 )

sen x x m

x sen x n

+ = − =

c) 21 (2 )

s cos

sen x m

enx x n

− =

+ = d)

22cos 1

s cos

x m

enx x n

− =

− =

17-) Verifique as identidades abaixo:

a) 2 4 42 1 cossen x sen x x− = −

b) 2 2 2 2(2 cos )(2 ) (1 2 )(2 )x tg x tg x sen x− + = + −

GABARITO Nível I

1)(a)2 6

4

+ (b) 2 2

2

− (c)3

2

(c) 6 2

4

− (e)

2 6

4

+ (f)

6 2

4

−

(g) 2 6

4

− (h) 2 2

2

+ (i) 2 6

4

+

(j) 2 3+ (l) 2 3− (m) 2 1−

2)(a)4

23

m≤ ≤ (b) 0 2m≤ ≤

3) C 4)D Nível II 01) C 02) C 03) A 04) D 05) C 06) C 07) C 08) B 09) A 10) S = { (0, 0), (0, π), (π, 0), (π,π), (π/2, π/2) } 11) E 12) D 13) a) 3/2; b) 1 14) y = 1 − 2m2; z = 1 − 3m2 15)



CCAAPPIITTUULLOO 44

TRANSFORMAÇÕES VIII.1 – Transformação de soma de senos em produto;

Nessa seção vamos ver como fazer transformações que simplificam muitos problemas no momento em que aparece soma de senos. Muitas vezes transformar essas somas em produtos simplifica as coisas. sen sen ?a b+ = Vamos chamar a p q= + e

b p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos:

a p q

b p q

= + = − 2 2

a b a bp e q

+ −⇒ = =

sen( ) sen( )p q p q+ + − =(sen cos sen cosp q q p+ )

(sen cos sen cosp q q p+ − ) = 2sen cosp q . Como

22

baqe

bap

−=+= , ao substituir na expressão

acima chegamos à:

).2

cos()2

sen(2sensenbaba

ba−+=+

VIII.2 – Transformação de diferença de senos em produto; No caso da diferença de senos temos:

sen( ) sen( )p q p q+ − − = ( sen cosp q cos )senq p+

( sen cosp q− cos )senq p− = 2sen cosq p

Como 22

baqe

bap

−=+= , ao substituir na

expressão acima chegamos à:

)2

cos()2

sen(2sensenbaba

ba+−=−

VIII.3 – Transformação de soma de cossenos em produto; cos cos ?a b+ = Vamos chamar a p q= + e

b p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos:

a p q

b p q

= + = − 2 2

a b a bp e q

+ −⇒ = =

cos( ) cos( )p q p q+ + − =

(cos cos sen senp q q p− )

(cos cos sen senp q q p+ + ) = 2cos cosp q . Como

22

baqe

bap

−=+= , ao substituir na expressão

acima chegamos à:

)2

cos()2

cos(2coscosbaba

ba−+=+

VIII.4 – Transformação de diferença de cossenos em produto; Queremos: cos cos ?a b− = Vamos chamar

a p q= + e b p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos:

a p q

b p q

= + = − 2 2

a b a bp e q

+ −⇒ = =

cos( ) cos( )p q p q+ − − =( cos cosp q sen sen )q p−

( cos cosp q− sen sen )q p+ = 2sen senq p− .

Como 22

baqe

bap

−=+= , ao substituir na

expressão acima chegamos à:

)2

sen()2

sen(2coscosbaba

ba−+−=−

VIII.4 – Fazendo o processo inverso; Muitas vezes temos que fazer o processo inverso, ou seja, transformar produtos de linhas trigonométricas em somas ou diferenças. A técnica para esse processo é semelhante à usada acima. Vamos chamar a p q e b p q= + = − . Resolvendo

esse sistema, temos que:

. :2 2

a b a bp e q OBS p q

+ −= = > . Fazendo a

substituição na formula da soma de senos, temos:

( )1sen cos sen( ) sen( )

2p q p q p q= + + −


Adotando o mesmo raciocínio, temos as expressões abaixo:

( ))sen()sen(2

1cossen qpqppq −−+=

( ))cos()cos(2

1coscos qpqpqp −++=

( )1sen sen cos( ) cos( )

2p q p q p q= − + − −

PRATICANDO Nível I 1-) Calcule xsen4 em função de xsen2 e cos 2x. 2-) Calcular xsen3 em função de senx e xcos . 3-) Calcule cos 4x em função de xsen2 e cos 2x. 4-) Calcule tg6x em função de tg3x. 5-) Calcule sen(6A) em função de sen(3A) e cos(3A). 6-) Transforme em produto as expressões: a) xsenxsen 35 + b) xsenxsen 73 + c) xsenxsen 35 − d) xsenxsen 28 − e) xx 11cos7cos + f) xx 3coscos + g) xx 2cos4cos − g’) xx 5cos9cos −

h) x2cos4

cos −

π

i)

−

4

5cos4cos

πx

j)

++

224cos

πxsenx k)

+

28cos

πsenx

l)

+−

235cos

πxsenx m) xsenx 59cos +

n)

++

−

67

63

ππxsenxsen

o)

++

−

67cos

63cos

ππxx

p)

+−

−

67

63

ππxsenxsen

q)

+−

−

67cos

63cos

ππxx

7-) Calcule xsen2 em função de

2

xtg .

8-) Calcule x2cos em função de

2

xtg .

9-) Calcule xtg2 em função de

2

xtg .

10-) Calcule x2sec em função de

2

xtg .

11-) Calcule gxcot em função de

2

xtg .

12-) Calcule xsen4 em função de tgx .

13-) Calcule x4cos em função de tgx .

14-) Simplifique as expressões abaixo:

a) xsenxsen

xx

53

5cos3cos

+−

b) xsenxsen

xx

62

cos7cos

+−

c) senxxsen

xx

−+

9

6cos4cos d)

senxxsen

xx

−+

7

6cos2cos

e) )2(

6cos4cos

xsen

xx + f)

−

2

5cos2

6cos4cos

x

xx

g)

−

2).4(

7cos9cos

xsenxsen

xx h)

senxxsen

xxsen

−

9

2

5cos)2(4

15-) Faça o processo inverso, ou seja, transforme os produtos em soma ou diferenças. a) ( ) ( )xxsen 3cos42 b) ( ) ( )xx 3cos4cos

c) ( ) ( )xsenxsen 25 d) ( ) ( )xsenxsen 2

e) ( ) ( )xxsen 5cos f) ( ) ( )xsenx 35cos

g)

−

+

22

23

ππxsenxsen

h)

+

−

25cos

22

ππxxsen

i)

−

−

64cos

3cos

ππxx

j)

+

−

36

6

52

ππxsenxsen

16-) Calcule xsen3 em função de senx apenas. 17-) Calcule xtg3 em função de tgx apenas. 18-) Calcule xtg4 em função de tgx apenas. Nível II 1) (FEI-94) Transformando a expressão: (sen a + sen b)/(cos a + cos b), onde existir, temos: a) sen (a + b) b) 1/cos(a + b) c) cotg[(a + b)/2] d) tg[(a + b)/2] e) 1/sen(a + b)


2) Se a – b = π/2, determinar o valor de

ba

bay

coscos

sensen

+−= :

a) 2 b) 1 c) 0 d) - 1 e) - 2

3) (FEI) A expressão y = sen x + cos x pode ser escrita na forma y = k. cos(x - π/4). Determine o coeficiente k. a) 2− b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

4) (FUVEST-96) Os números reais sen (π/12), sen a, sen (5π/12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:

a) 4

1 b) 6

3 c) 42 d)

46 e)

2

3

5) (FGV-94) Reduza à expressão mais simples possível:

a) (cos 15° + sen 15° )2; b) o

oo

20cos

10sen10cos 44 −

6) Calcule o valor numérico das expressões:

a) A = sen12

11π.sen

12

13π b) B = cos

8

7π.cos

8

π

7) Prove que: 16 sen 10o. sen 30o. sen 50o. sen 70o = 1.

GABARITO

1) 2 (2 )cos(2 )sen x x 2) 2 33 cossenx x sen x−

3) 2 2cos (2 ) (2 )x sen x− 4)2

2 3

1 3

tg x

tg x−

5) 2 (3 )cos(3 )sen A A

6)(a) 2 (4 )cos( )sen x x (b) 2 (5 )cos(2 )sen x x

(c) 2 ( )cos(4 )sen x x (d) 2 (3 ) cos(5 )sen x x

(e) 2cos(2 )cos(9 )x x (f) 2cos(2 )cos( )x x

(g) 2 (3 ) ( )sen x sen x− (g’) 2 (7 ) (2 )sen x sen x−

(h) 8 8

28 8

x xsen sen

π π+ − −

(i) 16 5 16 5

28 8

x xsen sen

π π+ − −

(j) 2cos(3 )cos( )x x (l) 2 (4 ) ( )sen x sen x−

m) 2 7 24 4

sen x sen xπ π − + −

n) ( )2 9 cos 26

sen x xπ +

o) ( )2cos 5 cos 26

x xπ +

p) ( )2cos 5 s 26

x en xπ − +

q) ( )2 5 s 26

sen x en xπ +

7) 2

2

2

4 12 2

12

x xtg tg

xtg

− −

8) 2 4

2

2

1 62 2

12

x xtg tg

xtg

− + +

9) 2

2

2 2

4 12 2

1 42 2

x xtg tg

x xtg tg

− − −

10)

2

2

2 4

12

1 62 2

xtg

x xtg tg

+ − +

12) ( )( )

2

22

4 1

1

tgx tg x

tg x

−

− 13)

( )2 4

22

1 6

1

tg x tg x

tg x

− +

+

1) D 2) B 3) E 4) D 5) a) 3/2; b) 1

6) a) 4

23 −; b)

4

22 −−;



CCAAPPIITTUULLOO 55

EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS

Finalmente chegamos ao assunto principal desse ano. Repare que você aprendeu muitos tópicos de Trigonometria, na verdade, você adquiriu muitas ferramentas, que até agora só puderam serem usadas em tópicos específicos para tais assuntos. Essa parte da Trigonometria é de suma importância, pois muitos fenômenos da natureza, situações do dia a dia, se comportam de maneira cíclica, ou periódica e podem ser definidas ou externadas sob funções trigonométricas. Para isso é necessário que saibamos resolver alguns tipos de equações que envolvem linhas trigonométricas, seno, cosseno e tangente.

O fato é que qualquer equação trigonométrica que possa ser resolvida, no final, se resumirá a uma equação do seguinte tipo: 1. sen senα β= 2. cos cosα β= 3. tg tgα β=

Vejamos com detalhes como resolver essas equações. IX.1 – Equação do tipo sen α = senβ;

Nosso objetivo aqui é descobrir que relações devem existir entre α e β, para que os seus senos sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β e tentar expressar α como função de β.

Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo

BÔD. Veja que α e β têm o mesmo seno e o ângulo DÔK também vale β. Como o ângulo CÔK é um ângulo raso, mede 180°, então temos que CÔD + DÔK = CÔK = 180º, ou seja, α β π+ = . Assim, vemos que todo par de ângulos, cuja soma é π, têm senos iguais. Logo, chegamos às seguintes soluções:

⇒= βα sensen ou

α β

α π β

= = −

Claro que essas são soluções da minha equação, mas... e o ângulo 2β π+ . Será que esse também é solução? Ele também é solução, pois é côngruo com o ângulo β. Na verdade todo ângulo que é côngruo com β também é solução, pois as funções trigonométricas não estão preocupadas com ângulos e sim com as posições desses ângulos na circunferência trigonométrica. Assim, são soluções da equação, os ângulos β + (múltiplos de 2π), ou seja, os ângulos da forma 2kβ π+ .

Resumindo, temos:

⇒= βα sensen

+−=+=

πβπαπβα

k

k

2

2

Veja o exemplo: Resolver a equação 2

3=senx . Não

sabemos comparar senos com números, mas sabemos comparer senos com outros senos, assim podemos reescrever a equação como sendo:

3senx sen

π = , logo:

23

22 2

3 3

x kk

x k k

π π

π ππ π π

= + ∈ = − + = +

�

Resumo teórico

( ) asenbbsenabasen coscos ±=± (I)

( ) senbsenababa mcoscoscos =± (II)

±

=±2

cos2

2yxyx

sensenysenxm (III)

−

+=+

2cos

2cos2coscos

yxyxyx (IV)

−

+

−=−22

2coscosyx

senyx

senyx (V)

+

=

21

22

2 xtg

xtg

senx (VI)

+

−

=

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x (VII)

2

2cos12 xxsen

−= (VIII)

2

2cos1cos 2 x

x+= (IX)

2

21cos

244 xsen

xxsen −≡+ (X)

4

231cos

266 xsen

xxsen −≡+ (XI)

1-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo senα = senβ:

Resumo: ⇒= βα sensen

+−=+=

πβπαπβα

k

k

2

2

a) 1−=senx b) 2

3=senx c) 2

2=senx

d) 02 =− senxxsen e) 0132 2 =+− senxxsen

f) senxx −= 1cos2 2 g) 06114 24 =+− xsenxsen

h) 1seccos2 =− xsenx i) xtgx cos23 = j)2

12 =xsen


k)2

23 =xsen l) senxxsen =2 m)

2

3

3=

− π

xsen

n) xsenxsen 35 = o) 232 =+ senxsenxsenx

p)

=−=+

πyx

yxsen 0)(

IX.2 – Equação do tipo cos α = cosβ;

Nosso objetivo aqui é descobrir que relações

devem existir entre α e β, para que os seus cossenos sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β e tentar expressar α como função de β.

Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo BÔD. Veja que α e β têm o mesmo cosseno. Veja que os triângulos ∆AOB e o ∆BOD são congruentes, pois AO é igual a OD que é igual a 1, OB é comum para ambos e ambos são triângulos retângulos (caso LLA), assim possuem ambos a mesma abertura AÔB e BÔD que é igual a β . Como α está no sentido negativo,

dizemos que α β= − . Como vimos no caso dos

senos, na verdade existem infinitas soluções para essa equação, pois qualquer ângulo côngruo com β ou

com β− , satisfaz essa equação. Logo temos as seguintes soluções para essa equação:

⇒= βα coscos

+−=+=

πβαπβαk

k

2

2

Veja o exemplo: Resolver a equação 3

cos2

x = . Não

sabemos comparar cossenos com números, mas sabemos comparar cossenos com outros cossenos, assim podemos reescrever a equação como sendo:

cos cos3

xπ =

, logo:

23

23

x kk

x k

π π

π π

= + ∈ = − +

�

2-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo cosα =cosβ:

Resumo: ⇒= βα coscos

+−=+=

πβαπβαk

k

2

2

a) 1cos −=x b)2

3cos =x c)

2

2cos =x

d) 0coscos 2 =+ xx e) xxsen cos12 += f) 02cos32cos =++ xx g) 8sec3cos4 =+ xx

h) xxxsen 2cos5cos62 2 +=+

i) xx coscos2 2 = j) 0cos3cos =− xx

k) 0cos

34

34

22=

−

−

xxsen

l)

+=

3cos5cos

πxx m) 3642 =++ xsenxsenxsen

n) 244

=

−−

+ ππ

xsenxsen

o)

=+

=+2log tsenysenx

yx π

ache os valores de t para que o sistema tenha solução. IX.3 – Equação do tipo tg α = tgβ; Nosso objetivo aqui é descobrir que relações devem existir entre α e β, para que os suas tangentes sejam iguais. Para isso ser possível, temos que conhecer β (é dado) e tentar expressar α como função de β. Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ângulo BÔD. Veja que α e β são os únicos ângulos, dentro de uma volta na circunferência, que possuem esse valor (EC) de tangente. Da figura, temos que os ângulos AÔB e FÔD são opostos pelo vértice, logo são iguais. Assim, dizemos que α = β + 180º satisfaz essa equação. Logo vemos que uma solução para a equação é α = β é outra solução é α = β + 180º. Certamente que existem infinitas soluções, que serão todos os ângulos côngruos de β e β + 180º.

Veja: Se o ângulo está na posição do ponto A ele é solução. Se está na posição do ponto D esse também é solução. Caso o ângulo esteja no ponto A, se a ele for somado π, chega-se no ponto D, se for somado mais π, volta-se para o ponto A. Isso resulta em um ciclo e para chegar a qualquer solução, basta acrescentar qualquer múltiplo de π ao ângulo β. Logo qualquer solução dessa equação pode ser escrita como:

++=+=

πβπαπβα

k

k

2

2

3-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo tgα = tgβ:

Resumo: ⇒= βα tgtg

++=+=

πβπαπβα

k

k

2

2

a) 1=tgx b) 03 =xtg c) 3−=tgx d) xtgxtg 35 =

e) tgxx += 1sec2 f) 2cot =+ gxtgx g) xxsen 22 cos=

h) 0cos3 =− xsenx i) gxx cot1seccos 2 −=

251 Trigonometria CASD Vestibular

j)

+=

+

4.2cos

4cos.2

ππxsenxxxsen

4-) Resolver as equações trigonométricas. Aqui você vai ter que desenvolver a sua própria técnica, até cair em uma daquelas do tipo que vimos. i) Algumas equações clássicas: cxbsenxa =+ cos.. a, b, c ε R.

Resolvo o sistema:

=+

=+

1cos

cos..22 xxsen

cxbsenxa , acho o valor do

senx e do cosx. Pronto agora tenho duas equações que sei resolver: msenx = e nx =cos . ii) Outra técnica importante é: substituir senx por (VI) e cosx por (VII) e teremos uma equação do 2ª grau em

2

xtg .

a) 14cos4 =+ xxsen b) 3cos.3 −=− xsenx c) 1cos =+ xsenx d) 1cos −=+ xsenx

iii) equações do tipo ∑ = 0)(xsenf i ou ∑ = 0)(cos xfi

,

passamos a soma para produto e analisamos o anulamento de cada fator do produto. a) 057 =+ xsenxsen b) 0=+ senbxsenax a, b ε R\{0} c) 02cos6cos =+ xx d) 0coscos =+ bxax a, b ε R\{0}

e)

+=

4cos2

πxxsex f) xsensenxxsen 325 =+

g) 0)23cos()2cos(cos =++++ axaxx

h) 0643 =+++ xsenxsenxsensenx i) 1)(cos)(cos 22 =−++ axax j) 12cos3 =−+ senxxxsen

k) 01coscos =+++ xsenxxsenx

l)

=+=−++

2cos

2)()(

ysenx

yxsenyxsen

iv) Equações do tipo axxsen =+ 44 cos , aplicamos a relação (X) e antes de resolver verificamos se a

obedece a relação: 12

1 ≤≤ a .

v) Equações do tipo axxsen =+ 66 cos , aplicamos a relação (XI) e antes de resolver verificamos se a

obedece a relação: 14

1 ≤≤ a .

a)8

5cos66 =+ xxsen b)

16

7

2cos

266 =+ xx

sen

c)2

1cos44 =+ xxsen d)

8

5cos44 =+ xxsen

e) 1cos33 =+ xxsen Quaisquer Equações:

a) 02530

4cos5 =+

−+xsen

xxsensenx, π20 ≤≤ x

b)Discuta, segundo m, as equações: b.1) msenxmxm =+− ).1(cos

b.2) mxsenx =+ cos c) )3(2)2( atgatgtga =+ , a ε [0,π/2).

GABARITO

1-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo: senα = senβ:

a)

+=ℜ∈= ππ

kxxS 22

3|

b)

+=+=ℜ∈= ππππ

kxoukxxS 23

22

3|

c)


kxoukxxS 24

32

4|

n)

+==ℜ∈=

48|

πππ kxoukxxS

d)

+==ℜ∈= πππ kxoukxxS 2

2|

j)


kxoukxxS 212

5

12|

e)

+=+=+=ℜ∈= ππππππ

kxoukxoukxxS 26

52

62

2|

f)

+=+−=+=ℜ∈= ππππππ

kxoukxoukxxS 26

72

62

2|

g)

+±=ℜ∈= ππ

kxxS 23

|

h)

+=+−=+=ℜ∈= ππππππ

kxoukxoukxxS 26

72

62

2|

i)


kxoukxxS 26

52

6|

k)

+=+=ℜ∈=

3

2

123

2

4|

ππππ kxou

kxxS

l)

+==ℜ∈=

3

2

32|

πππ kxoukxxS

m)


kxoukxxS 223

2|

o)


kxoukxxS 26

52

6|

p)

+−=+=ℜ∈=

2222|,

ππππ kyou

kxyxS

2-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo: cosα =cosβ: a) { }ππ kxxS 2| +=ℜ∈=

b)

+±=ℜ∈= ππ

kxxS 26

|

c)

+±=ℜ∈= ππ

kxxS 24

|

d)

+=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS

22|

e)

+=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS

22|


f)

+=+±=ℜ∈= ππππ

kxoukxxS 223

2|

g)

+±=ℜ∈= ππ

kxxS 23

|

h)

=+±=ℜ∈= πππ

kxoukxxS 223

|

i)

+=+±=ℜ∈= ππππ

kxoukxxS2

23

|

j)

==ℜ∈=

2|

ππ kxoukxxS

k)

+±==+±=ℜ∈= ππππ

kxxoukxxS 23

23

2|

l)

+−==+=ℜ∈=

318212|

ππππ kxxou

kxxS

m)

+

ℜ∈=2

)12(|

πkxS

n) { }πkxS 2|ℜ∈= o) 101,0 ≤< t 3-) Resolver as equações trigonométricas. Todas essas são do tipo tgα = tgβ:

a)

+=ℜ∈=

4|

ππkxxS b)

=ℜ∈=

3

2|

πkxxS

c)

+=ℜ∈= ππ

kxxS3

2| d)

=ℜ∈= park

kxxS ,

2|

π

e)

=+=ℜ∈= πππ kxoukxxS

4|

f)

+=ℜ∈=

4|

ππkxxS

g)

+=+=ℜ∈=

4

3

4|

ππππ kxoukxxS

h)

+=ℜ∈=

3|

ππkxxS

i)

+=+=ℜ∈=

4

3

2|

ππππ kxoukxxS

j)

+=ℜ∈=

4|

ππkxxS

4-) (i) e (ii)

a)

+==ℜ∈=

282|

πππ kxou

kxxS

b)

+=+=ℜ∈=

2

32

6

112|

ππππ kxoukxxS

c)

=+=ℜ∈= πππ kxoukxxS

2|

d)

+=+=ℜ∈= ππππ kxoukxxS 2

2

32|

(iii)

a)

+==ℜ∈=

26|

πππkxou

kxxS

b)

−+

−=

+=ℜ∈=

baba

kxou

ba

kxxS

πππ 22|

c)

+=+=ℜ∈=

4824|

ππππ kxou

kxxS

d)

−−

−=

++

+=ℜ∈=

baba

kxou

ba

k

baxxS

ππππ 22|

e)


kxouk

xxS 24

3

3

2

12|

f)

==ℜ∈= ππ

kxouk

xxS3

|

g) +−=+−±=ℜ∈= ππππ

kaxouka

xxS 23

2

24| ou

+−= ππ

kax 23

4

h)

+=+=+=ℜ∈=

3

2

32

7

2

2|

ππππππ kxouk

kxoukxxS

i)

+=+=ℜ∈=

4

3

4|

ππππ kxoukxxS

j) oukxoukxoukxxS =+=+=ℜ∈= πππππ

26

52

6|

+= ππ

kx 22

3

k)


kxoukxxS 222

3|

l)

=+=ℜ∈= πππ

kxoukxxS 222

|

(iv) e (v)

a) oukxoukxoukxxS +=+=+=ℜ∈= ππππππ

8

5

8

3

8|

+= ππ

kx8

7

b)


kxoukxxS3

2

3|

c)


kxoukxxS4

3

4|

d) oukxoukxoukxxS +=+=+=ℜ∈= ππππππ

36

5

6|

+= ππ

kx3

2

e)

=+=ℜ∈= πππ

kxoukxxS 222

|

Quaisquer Equações:

a)

ℜ∈ πππππππππ

2,5

9,

4

7,

5

7,

4

5,

4

3,

5

3,

4,

5,0|x

b)Discuta, segundo m, as equações: b.1) ℜ∈∀m

b.2) 22 ≤≤− m c)

ℜ∈

3,0|π

x

253 Polinômios CASD Vestibulares

Matemática Frente IV

CCAAPPÍÍTTUULLOO 22 –– PPOOLLIINNÔÔMMIIOOSS

MONÔMIOS Definição: São funções da forma ( ) nf x ax= , onde

a ∈� , e n ∈� . O número complexo a é chamado de coeficiente do monômio. Exemplos: 2x ; x2 ; x3 ; 4 ; -3x5 ; etc. Ordem do Monômio A ordem do monômio (ou grau) é determinada pelo expoente da variável em questão. Seja um

monômio qualquer dado por nax , então se diz que este é de ordem n. Exemplo 1: 2x é de ordem 1 (ou primeira ordem);

x2 é de ordem 2 (ou segunda ordem); 4 é de ordem 0; -3x5 é de ordem 5 (ou quinta ordem).

Produto e Divisão No produto de monômios devemos multiplicar os coeficientes e, se as variáveis forem as mesmas, somar seus expoentes. Já na divisão dividimos os coeficientes e, se as variáveis forem as mesmas, subtraímos seus expoentes.

Exemplo 2: 3 42 .5 10x x x= ;

( )5 2 313

3x x x− ÷ = − ;

( ) ( )2 6 5 3 7 9.ax y bx y abx y= .

Valor Numérico È o valor que assume o monômio quando substituímos a variável por um número complexo.

Exemplo 3: Se 2( ) 3p x x= − , então o valor numérico

para:

1x = é 2(1) 3.1 3p = − = − ;

2x = é 2(2) 3.2 12p = − = − ;

1x = − é ( )2( 1) 3. 1 3p − = − − = − .

POLINÔMIOS Definição: São funções formadas pela soma de monômios, ou seja, são funções do tipo:

11 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a−−= + + + + ,

onde 0 1, ,..., na a a ∈� , e n ∈� .

Os monômios que compõe um polinômio são chamados termos do polinômio. Cada termo tem seu grau e seu coeficiente conforme visto anteriormente.

Exemplo 4: 1x + ; 2x − ; 2 2 3x x+ − ; 5 43x x− + ; etc. Ordem do Polinômio A ordem do polinômio é igual à ordem do termo de maior grau que o compõe.

Exemplo 5: x+5 é de ordem 1; x2-3x+2 é de ordem 2; x-x4+4x3 é de ordem 4. Produto O produto de polinômios é realizado obedecendo à propriedade distributiva e a regra de multiplicação de monômios. Exemplo 6:

( ) ( )2 3 2 2 3 21 . 2 2 2 2x x x x x x x x x x− + = + − − = + −

( ) ( )3 2 5 3. 2 3 2 5 3x x x x x x− − + = − + − .

Valor Numérico É a soma dos valores numéricos de cada termo.

Exemplo 7: Se ( ) 2 8 12P x x x= − + , então o valor

numérico para:

1x = é 2(1) 1 8.1 12 5P = − + = ;

2x = é 2(2) 2 8.2 12 0P = − + = ;

2x = − é ( ) ( )2( 2) 2 8. 2 12 32P − = − − − + = .

Polinômio Identicamente Nulo Um polinômio qualquer,

11 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + ,

é dito identicamente nulo quando ( ) 0P α = ,

α∀ ∈� , isto implica em:

( ) 0 1 10 ... 0n nP x a a a a−≡ ⇔ = = = = = .

Exemplo 8: Determine m, n, p e q, sabendo que:

( ) ( ) ( )3 22 5 3 3 27 5 0m x q x n x p+ + − + + + − =

para todo x. Solução: Para que a identidade acima seja verdadeira, devemos ter:

2 0 2

5 3 0 3/ 5

m m

q q

+ = ⇒ = −− = ⇒ =

3 27 0 9n n+ = ⇒ = − 5 0 5p p− = ⇒ =

Polinômios Idênticos Dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos

quando ( ) ( )P Qα α= , α∀ ∈� . Ou seja, se

11 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + , e

11 1 0( ) ...n n

n nQ x b x b x b x b−−= + + + + , então

( ) ( ) 0 0 1 1, ,..., n nP x Q x a b a b a b≡ ⇔ = = = .

CASD Vestibulares Polinômios 254

Exemplo 9: Determine a, b, c, d, de modo que os

polinômios ( ) ( )3 22 3 1P x ax b x x= − − + + e

( ) ( )22 1 2Q x x c x d= + + + sejam idênticos.

Solução:

( ) ( )3 2 22 3 1 2 1 2ax b x x x c x d− − + + ≡ + + +

( )( )

0 ;0;

0 ;2 2;

2 ;3 1 ;

11 22

aa

bb

cc

d d

==

= − − = ⇒ ⇒ == + = =

Divisão de Polinômios Na divisão de polinômios temos o polinômio dividendo D(x), polinômio divisor d(x), polinômio quociente Q(x) e polinômio resto R(x). E, analogamente à divisão de números inteiros, temos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

.

ou 0

D x d x Q x R x

gr R x gr d x R x

gr Q x gr D x gr d x

= + < ≡

= −

Método das Chaves Nesse método dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor achando o primeiro termo do quociente. Em seguida multiplicamos o termo encontrado para o quociente pelo divisor, trocamos o sinal do resultado e somamos ao dividendo, encontrando um novo dividendo. O processo se repete para esse novo dividendo, até que não possamos mais fazer a divisão. Exemplo 10:

Dividir o polinômio ( ) 3 22 3 1D x x x x= − + + pelo

polinômio ( ) 2 1d x x x= + − .

3 2 2

3 2

2

2

2 3 1 1

3

3 4

3 3 3

7 3

x x x x x

x x x x

x x

x x

x

− + + + −− − + −

− ++ −

−

Logo, ( ) 3Q x x= − e ( ) 7 3R x x= −

Teorema do Resto O resto da divisão de um polinômio qualquer P(x) de grau ≥ 1 por um monômio (x – a) é P(a). Exemplo 10: Calcule o resto da divisão dos polinômios abaixo por x + 1.

a) ( ) 3 2 3h x x x= − − b) ( ) 2 5g x x= +

Solução: Nesse caso 1 1x a x a− = + ⇒ = −

a) ( ) ( ) ( )31 1 2 1 3 2resto h= − = − − − − = −

b) ( ) ( )1 2 1 5 3resto g= − = − + =

Teorema de D´Alembert Um polinômio P(x) de grau ≥ 1 é divisível por um monômio x – a se, e somente se, P(a) = 0. Exemplo 11: Verifique se os polinômios abaixo são divisíveis por x – 2.

a) ( ) 32 4 8s x x x= − − b) ( ) 2 3 1g x x x= − +

Solução: Nesse caso 2 2x a x a− = − ⇒ =

a) ( ) ( ) ( )32 2 2 4 2 8 0s = − − = , é divisível.

b) ( ) ( ) ( )22 2 3 2 1 1g = − + = − , não é divisível.

Algoritmo de Briot - Ruffinni

É um algoritmo para se efetuar a divisão de um polinômio P(x) de grau ≥ 1 por um monômio x – a.

Seja 11 1 0( ) ...n n

n nD x d x d x d x d−−= + + + + o

dividendo, x – a o divisor, R o resto, e 1 2

1 2 1 0( ) ...n nn nQ x q x q x q x q− −

− −= + + + + o quociente,

então R e os coeficientes de Q(x) são determinados da seguinte maneira: dn dn-1 dn-2 ... d1 d0 + + + + a qn-1 qn-2 qn-3 ... q0 R x x x x

EXERCÍCIOS 1) Para cada polinômio abaixo, diga quantos termos possui, qual seu grau e o grau de cada um de seus termos, e o coeficiente de cada termo.

a) ( ) 1P x x= +

b) ( ) 2 5 2H x x x= + −

c) ( ) 2 4S x x x= −

d) ( ) ( )( )1 1K x x x= + −

e) ( ) 5 4 12 3 23

2F x x x x= − − + −

f) ( ) ( )( )2 25 2G x x x= − + − −

g) ( ) ( )( )( )23 2 5 6B x x x x x= − + − + − +

h) ( ) ( )( )( )( )( )21 2 3 4 1R x x x x x x= − − + + +

2) Ache os valores de m e n em cada item abaixo: a) 5 2mx x n+ ≡ − −

b) ( ) ( )2 2 1 5m x n nx− + − ≡ − +

c) ( )3 2 33 1 13 3x m n x n− ≡ − + −

255 Polinômios CASD Vestibulares

d) ( )( )5 3 53 1 2 20 3x m n x x m n− + − + − ≡ − + +

3) Seja P(x) um polinômio qualquer, então o valor numérico P(1) é igual à soma dos coeficientes de P(x). Verifique a afirmação anterior utilizando os polinômios do exercício 1. Para esses mesmos polinômios calcule seus valores numéricos para x = -1 e veja se esses valores numéricos tem alguma relação com os coeficientes dos polinômios. 4) Ache os valores de a, b, c e d de modo que os polinômios abaixo sejam identicamente nulos.

a) ( )1f x ax b= +

b) ( ) 22f x ax bx c= + +

c) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2 1f x a c x b d x c x d= − + + + − + +

d) ( ) ( )4 2f x a b x b a= + + − +

e) ( ) ( ) ( )25 1 2 3f x a b x b a x c= + + + − + +

5) Um determinado polinômio D(x) é dividido por outro polinômio d(x), obtendo-se o quociente Q(x) e o resto R(x). Determine o grau de Q(x) e os possíveis graus de R(x) nos seguintes casos: a) gr [D(x)] = 1 e gr [d(x)] = 1. b) gr [D(x)] = 2 e gr [d(x)] = 1. c) gr [D(x)] = 3 e gr [d(x)] = 1. d) gr [D(x)] = 4 e gr [d(x)] = 1. e) gr [D(x)] = 2 e gr [d(x)] = 2. f) gr [D(x)] = 3 e gr [d(x)] = 2. g) gr [D(x)] = 4 e gr [d(x)] = 2. h) gr [D(x)] = 5 e gr [d(x)] = 2. i) gr [D(x)] = 3 e gr [d(x)] = 3. j) gr [D(x)] = 4 e gr [d(x)] = 3. l) gr [D(x)] = 5 e gr [d(x)] = 3. m) gr [D(x)] = 6 e gr [d(x)] = 3. n) gr [D(x)] = 7 e gr [d(x)] = 5. 6) Divida g(x) por h(x) através do método dos coeficientes a determinar nos itens abaixo.

a) 2( ) 2 5 1

( ) 2

g x x x

h x x

= + −= +

b) 2( ) 1

( ) 1

g x x

h x x

= −= +

c) 2( ) 3 2

( ) 2 1

g x x x

h x x

= − += −

d) 3 2

2

( ) 2 4

( ) 1

g x x x

h x x x

= + += − +

e) 3( ) 1

( ) 1

g x x x

h x x

= − + −= −

f) 3 2

2

( ) 3 4 3

( ) 5 2

g x x x x

h x x x

= − + − += − +

7) Divida p(x) por d(x) através do algoritmo de divisão nos itens abaixo.

a) 2( ) 5 1

( ) 1

p x x x

d x x

= + −= +

b) ( ) 3

( ) 1

p x x

d x x

= −= −

c) 2( ) 2 4 4

( ) 2

p x x x

d x x

= − − += −

d) 2( ) 4

( ) 2

p x x

d x x

= −= +

e) 2( ) 5 6

( ) 3

p x x x

d x x

= − += −

f) 2( ) 15 50

( ) 5

p x x x

d x x

= − += −

g) 3 2( ) 2 3

( ) 2

p x x x x

d x x

= + − −= −

h) 3 2

2

( ) 5

( ) 2 4

p x x x x

d x x

= − + += +

i) ( )

4 3 2

2

( ) 1

( ) 1

p x x x x x

d x x

= − + − + +

= + j)

3

2

( ) 1

( ) 1

p x x

d x x

= −= +

k)5 3 2

2

( ) 3 4 10

( ) 3

p x x x x

d x x x

= + − += − +

l) 7 5 3

4 3

( ) 2

( ) 5 2

p x x x x

d x x x

= − += − −

8) Através do Teorema do Resto verifique, quando possível, os restos encontrados nas divisões dos exercícios 6 e 7. 9) Ache o resto da divisão dos polinômios F(x) abaixo por 3x + , 2x + , 1x + , x , 1x − , 2x − , e 3x − . (Dica: utilize o Teorema do Resto).

a) ( ) 10F x x= + b) 2( ) 12F x x x= − −

c) 2( ) 5 6F x x x= − + d) 2( ) 3 18F x x x= + −

e) 3 2( ) 2 3 10F x x x x= + − −

f) 3 2( ) 1F x x x x= − + − +

g) 3 2( ) 2 5 5 2F x x x x= + + +

h) 3 2( ) 1F x x x x= − + − + i) 3 2( ) 1F x x x x= − + − +

j) 4 3 2( ) 4 3 4 1F x x x x x= − + − +

k) 4 3 2( ) 2 3 4 5F x x x x x= − − + − +

GABARITO 1) a) 2 termos; 2º grau;

x → 1º grau e coeficiente 1; 1 → grau 0 e coeficiente 1.

b) 3 termos; 3º grau; x2 → 2º grau e coeficiente 1; 5x → 1º grau e coeficiente 5; -2 → grau 0 e coeficiente -2.

c) 2 termos; 2º grau; x2 → 2º grau e coeficiente 1; -4x → 1º grau e coeficiente -4.

d) 2 termos; 2º grau; x2 → 2º grau e coeficiente 1; -1 → grau 0 e coeficiente -1.

e) 4 termos; 5º grau; -2x5 → 5º grau e coeficiente -2; -3x4 → 4º grau e coeficiente -3; ½x → 1º grau e coeficiente ½; -23 → grau 0 e coeficiente -23.

f) 3 termos; 4º grau; x4 → 4º grau e coeficiente 1; -3x2 → 2º grau e coeficiente -3; -10 → grau 0 e coeficiente -10.

g) 5 termos; 4º grau; x4 → 4º grau e coeficiente 1; -10x3 → 3º grau e coeficiente -10;

CASD Vestibulares Polinômios 256

37x2 → 2º grau e coeficiente 37; -60x → 1º grau e coeficiente -60; 36 → grau 0 e coeficiente 36.

h) 7 termos; 6º grau; x6 → 6º grau e coeficiente 1; 4x5 → 5º grau e coeficiente 4; -6x4 → 4º grau e coeficiente -6; -18x3 → 3º grau e coeficiente -18; 17x2 → 2º grau e coeficiente 17; -22x → 1º grau e coeficiente -22; 24→ grau 0 e coeficiente 24.

2) a) m = -1 e n = -5/2 b) m = 7/2 e n = -3/2

c) m = 3 2 13

3

− e n = 2 , ou

m = 3 2 13

3

+− e n = 2−

d) m = 1 e n = -21, ou m = -18 e n = -2 3) a) P(1) = 1+1 = 2; P(-1) = -1+1 = 0. b) H(1) = 1+5-2 = 4; H(-1) = 1-5-2 = -6. c) S(1) = 1-4 = -3; S(-1) = 1+4 = 5. d) K(1) = 1-1 = 0; K(-1) = 1-1 = 0. e) F(1) = -2-3+½ -23 = -55/2; F(-1) = 2-3-½-23 = -49/2. f) G(1) = 1-3-10 = -12; G(-1) = 1-3-10 = -12. g) B(1) = 1-10+37-60+36 = 4; B(-1) = 1+10+37+60+36 = 144. h) R(1) = 1+4-6-18+17-22+24 = 0; R(-1) = 1-4-6+18+17+22+24 = 72. Nota-se que o valor numérico para x = -1 é igual à soma dos coeficientes dos termos de grau par com o inverso dos coeficientes dos termos de grau ímpar. 4) a) a = 0 e b = 0 b) a = 0 , b = 0 e c = 0 c) a = c = 2 , b = 1 e d = -1 d) a = -1 e b = 1 e) a = 1/3 , b = -4/3 e c = 0 5) a) gr [Q(x)] = 0 e gr [R(x)] = 0. b) gr [Q(x)] = 1 e gr [R(x)] = 0. c) gr [Q(x)] = 2 e gr [R(x)] = 0. d) gr [Q(x)] = 3 e gr [R(x)] = 0. e) gr [Q(x)] = 0 e gr [R(x)] = 1 ou 0. f) gr [Q(x)] = 1 e gr [R(x)] = 1 ou 0. g) gr [Q(x)] = 2 e gr [R(x)] = 1 ou 0. h) gr [Q(x)] = 3 e gr [R(x)] = 1 ou 0. i) gr [Q(x)] = 0 e gr [R(x)] = 2 ou 1 ou 0. j) gr [Q(x)] = 1 e gr [R(x)] = 2 ou 1 ou 0. l) gr [Q(x)] = 2 e gr [R(x)] = 2 ou 1 ou 0. m) gr [Q(x)] = 3 e gr [R(x)] = 2 ou 1 ou 0. n) gr [Q(x)] = 2 e gr [R(x)] = 4 ou 3 ou 2 ou 1 ou 0. 6) a) Q(x) = 2x+1 e R(x) = -3 b) Q(x) = x-1 e R(x) = 0 c) Q(x) = ½x-5/4 e R(x) = 3/4 d) Q(x) = 2x+3 e R(x) = x+1 e) Q(x) = -x2-x e R(x) = -1 f) Q(x) = -3x-14 e R(x) = -68x+31 7) a) Q(x) = x+4 e R(x) = -5 b) Q(x) = 1 e R(x) = -2 c) Q(x) = -2x-8 e R(x) = -12

d) Q(x) = x-1 e R(x) = 0 e) Q(x) = x-2 e R(x) = 0 f) Q(x) = x-10 e R(x) = 0 g) Q(x) = x2+4x+7 e R(x) = 11 h) Q(x) = ½x-1/2 e R(x) = -x+7 i) Q(x) = -x2+3x-6 e R(x) = 10x+7 j) Q(x) = x e R(x) = -x-1 k) Q(x) = -x3-3x2-12x-32 e R(x) = 96x+10 l)Q(x) = x3+5x2+24x+120 e R(x)= 604x3+10x2+48x+240 8) No exercício 6: a) g(-2) = -3; b) g(-1) = 0; c) g(1/2) = ¾; e) g(1) = -1 No exercício 7: a) p(-1) = -5; b) p(1) = -2; c) p(2) = -12; d) p(-2) = 0; e) p(3) = 0; f) p(5) = 0; g) p(2) = 11 9) Os restos são respectivamente: a) 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. b) 0, -6, -10, -12, -12, -10, -6. c) 30, 20, 12, 6, 2, 0, 0. d) -18, -20, -20, -18, -8, 0. e) -10, -4, -6, -10, -10, 0, 26. f) 40, 15, 4, 1, 0, -5, -20. g) -22, -4, 0, 2, 14, 48, 116. h) 40, 15, 4, 1, 0, -5, -20. i) 40, 15, 4, 1, 0, -5, -20. j) 229, 69, 13, 1, -3, -11, -11. k) 17, 25, 13, 5, 1, -23, -115.

257 Geometria CASD Vestibulares

MMaatteemmáátt iiccaa FFrreennttee VV

CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 -- TTRRIIÂÂNNGGUULLOOSS

CONCEITO – ELEMENTOS - CLASSIFICAÇÃO

1- Definição Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião

dos segmentos AB AC e BC chama-se triângulos ABC. Indicação: Triângulo ABC = ∆ ABC

∆ ABC = AB ∪ AC ∪ BC

2- Elementos Vértice: os pontos A,B e C são os vértices do ∆ ABC.

Lados: os segmentos AB (de medida), AC (de

medida) e BC (de medida a ) são os lados do triângulo.

Ângulos: os ângulos BÂC ou Â, A ˆABC ou B e ˆACB ou C são os ângulos do ∆ ABC (ou ângulos

internos do ∆ ABC.)

Diz-se que os lados BC , AC e AB e os ângulos Â,

B e C são, respectivamente, opostos. 3- Interior e exterior Dado um triângulo ABC, vamos considerar os semiplanos abertos, a saber:

1α com origem na reta BCsuur

e que contem o ponto A,

2α oposto a 1α .

1β com origem na reta ACsuur

e que contem o ponto B,

2β oposto a 1β .

1γ com origem na reta ABsuur

e que contem o ponto C,

2γ oposto a 1γ .

Interior do ∆ ABC =

1α ∩ 1β ∩ 1γ .

O interior de um triângulo é uma região convexa. Os pontos do interior do ∆ ABC são pontos internos ao ∆ ABC. Exterior do ∆ ABC =

2α ∪2β ∪

2γ .

O exterior de um triângulo é uma região côncava. Os pontos do exterior do ∆ ABC são pontos externos ao ∆ ABC.

A reunião do triângulo com seu interior é uma superfície triangular (ou superfície do triângulo). 4- Classificação

Quanto aos lados, os triângulos se classificam em: Eqüiláteros se, e somente se, têm os três lados congruentes; Isósceles se, e somente se, têm dois lados congruentes; Escalenos se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.

Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado de base e o ângulo oposto â base é o ângulo do vértice.

Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triângulo isósceles.

Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em: Retângulos se, e somente se, têm um ângulo reto Acutângulos se, e somente se, têm os três ângulos agudos. Obtusângulos se, e somente se, têm um ângulo obtuso.

O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é sua hipotenusa e os dois são os catetos do triângulo.

II - CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CASD Vestibulares Geometria 258

5- Definição Um triângulo é congruente (símbolo ≡ )a outra se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:

- seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e

- seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva. 6- Casos de congruência A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre lados e três entre ângulos) são totais. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São os chamados casos ou critérios de congruência. 7- 1º caso – LAL – postulado Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes. Esta proposição é um postulado e indica que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então o lado restante e os dois ângulos restantes também são ordenadamente congruentes.

Esquema do 1º caso:

8- Teoremas do triângulo isósceles “Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos opostos a esses lados são congruentes.” Ou “Se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes.” “Todo triângulo isósceles é isoângulo.”

Demonstração Considerando os triângulos ABC e ACD, isto é, associemos a A,B e C, respectivamente, A,C e B.

9- 2º caso – ALA “Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.”

Demonstração Vamos provar que BA ≡ ' 'B A , pois com isso recairemos no 1ºcaso. Pelo postulado do transporte de segmento (item 18),

obtemos na semi-reta ' 'B Auuuuur

um ponto x tal que

'B X BA≡ . (4)

Da hipótese (3) BC A ≡ B’ C ’A’, com (5)

B C A ≡ B’ C ’X e com o postulado do transporte de

ângulos (item 35), decorre que BAsuur

e ' ' 'C X C A=suuuur suuuur

interceptam-se num único ponto X =ª

De X ≡ A’, com (4), decorre que ' 'B A ≡ BA . Então:

ˆ ˆ( ' ', , ' ') ' ' 'BA B A B B BC B C Lal ABC A B C⇒

≡ ≡ ≡ ∆ ≡ ∆uuuuur

10- Notas 1-) esquema do 2ºcaso


2) Com base no 2º caso (ALA), pode-se provar a recíproca do teorema do triângulo isósceles. “Se um triângulo possui dois ângulos congruentes, então esse triângulo é isósceles”. Considerando um triângulo isósceles ABC de base

BCsuur

, basta observar os triângulos ABC e ACD e proceder de modo análogo ao do teorema direto. 11- 3º caso – LLL Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.

Demonstração Pelo postulado do transporte de ângulos (item 35) e do transporte de segmentos (item 38) obtemos um ponto de x tal que:

estando X no semiplano oposto ao de C’ em relação à reta AB

suur

Se D o ponto de interseção de 'C X

suuuurcom a reta

' 'A Bsuuuur

.

(1), (4), (5) (7)

(3)

(8)

' ' '

' ' ' '

Lal

ABC A B X

XB CB XB C B

∆ ≡ ∆ ⇒

≡ ⇒ ≡

⇒

(6) ' 'A C X⇒ ∆ é isósceles de base

'C Xsuuuur

ˆ ˆ' ' ' ' 'A C X A X C⇒ ≡ (9)

(8) ' 'B C X⇒ ∆ é isósceles de base 'C Xsuuuur

ˆ ˆ' ' ' ' 'B C X B X C⇒ ≡ (10)

Por soma ou diferença de (9) e (10) conforme D seja

interno ou não ao segmento ' 'A Bsuuuur

, obtemos: ˆ ˆ' ' ' ' 'A C B A XB≡ (11)

(7)

(6), (11), (8) ' ' '

' ' ' ' '

A B C

A B X ABC A B C

⇒ ∆ ≡

∆ ⇒ ∆ ≡ ∆

12- Existência do ponto médio

Dado um segmento de reta ABsuur

, usando os postulados de transporte de ângulos (item 35) e de segmentos (item 18) construímos

Com C e D em semiplanos opostos em relação à reta AB

suur.

O segmento CDsuur

intercepta o segmento ABsuur

num ponto M. Vejamos uma seqüência de congruência de triângulos.

Desta ultima congruência decorre que AM BM≡ ,

ou seja, M é o ponto médio de ABsuur

. 13-) Existência da bissetriz

Dado um ângulo âOb , usando o postulado do transporte de segmentos (item 18) obtemos A e A’ em Ao e B e B’ em Ob tais que:

Seja C o ponto de interseção de 'AB com

'A B e consideremos a semi-reta OCuuur

= Oc. Vejamos uma seqüência de congruências de

triângulos:

Desta ultima congruência decorre que

ˆ ÂOC BOC≡ , ou seja, Oc é bissetriz de âOb . 14-) Mediana de um triângulo – definição

Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.

M1 é o ponto médio do lado BC .

1AM é a medida relativa ao lado BC .

1AM é medida relativa ao vértice A


15-) Bissetriz interna de um triângulo – definição

Bissetriz interna de um triângulo é o segmento com as extremidades num vértice e no lado oposto que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

16-) Teorema do ângulo externo

Dado um ABC∆ e sendo CXuuur

a semi-reta

oposta à semi-reta CBuuur

, o ângulo ê ACX= é ângulo

externo do ABC∆ adjacente a C e não adjacente aos

ângulos Â e B .

O ângulo e é suplementar adjacente de C .

Teorema Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.

Demonstração

Seja M o ponto médio de AC e P pertence

à semi-reta BMuuuur

tal que:

BM MP≡ Pelo contrario LAL, BAM PMC∆ ≡ ∆ e daí:

ˆ ˆBAM PCM≡ (1)

Como P é interno ao ângulo ê ACX= , vem:

ê PCM> (2)

De (1) e (2), decorre que ê A> .

Analogamente, tomando o ponto médio de BC e usando ângulos opostos pelo vértice, concluímos que:

ê B> 17-) 4º caso de congruência – LAA 0 Se dois ângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.

Demonstração Há três possibilidades para AB e ' 'A B

suuuur

1-) AB ≡ ' 'A Bsuuuur

2-) AB < ' 'A Bsuuuur

3-) AB > ' 'A Bsuuuur

Se a 1º se verifica, temos:

ˆ ˆ( ' ', ', ' '

' 'lal

AB A B B B BC B C

ABC A B C

≡ ≡ ≡

⇒ ∆ ≡ ∆

Se a 2º se verificasse, tomando um ponto D na semi-

reta BAsuur

tal que ' 'BD A B= (postulando do transporte de segmentos – item 18), teríamos:

(3)

ˆ ˆ( ' ', ' ', ' ')

ˆ ˆ ˆˆ' ' '

lal

AB A B B B BC B C

ABC A B C D A A A

≡ ≡ ≡ ⇒

∆ ≡ ∆ ⇒ ≡ ⇒ ⇒ ≡

, o que é absurdo, de acordo com o teorema do ângulo externo no ADC∆ . Logo, a 2º possibilidade não se verifica. A 3º possibilidade também não se verifica, pelo mesmo motivo, com a diferença que D estaria entre A e B. Como só pode ocorrer a 1º possibilidade, temos:

ABC∆ ≡ ' ' 'A B C∆ 18-) Caso especial de congruência de triângulos retângulos Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.


Demonstração Tomemos o ponto D na semi-reta oposta à semi-

reta ' 'A Csuuuur

tal que 'A D ≡ AC (postulado do transporte de segmentos – item 18)

Considerando agora os triângulos ABC e A’B’C’, temos:

EXERCÍCIOS 1-) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) a-) todo triângulo isósceles é eqüilátero b-) todo triângulo eqüilátero é isósceles c-) um triângulo escaleno pode ser isósceles d-) todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo e-) todo triângulo retângulo é triângulo escaleno. f-) Existe triângulo retângulo e isosceles g-) existe triângulo isósceles obtusângulo h-) todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é eqüilátero. 2-) Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) a-) todos os triângulos isósceles são congruentes b-) todos os triângulos eqüiláteros são congruentes c-) todos os triângulos retângulos são congruentes d-) todos os triângulos retângulos isósceles são congruentes e-) todos os triângulos acutângulos são congruentes

3-) Se ABC∆ é isósceles de base BC , determine x. AB = 2x-7 AC = x + 5

4-) O triângulo ABC é eqüilátero. Determine x e y. AB =15-y BC = 2x – 7 AC = 9

5-) Se ABC∆ é isósceles de base BC , determine BC.

AB = 3x-10 BC = 2x + 4 AC = x + 4

6-) Se ABC∆ é isósceles de base BC, determine x. ˆ 2 10º

ˆ 30º

B x

C

= −

=

7-) Se o ABC∆ é isósceles de base AC , determine x. ˆ 30

ˆ 2 20º

A x

C x

= + °

= −

8-) Se ABC∆ é isósceles de base BC, determine x e y.

9-) Determine x e y, sabendo que o triângulo ABC é eqüilátero.

10-) Se o perímetro de um triângulo eqüilátero é de 75cm, quanto mede cada lado? 11-) Se o perímetro de um triângulo isósceles é de 100m e a base mede 40m, quanto mede cada um dos outros lados? 12-) Determine o perímetro do triângulo Abc nos casos: a-) triângulo eqüilátero com AB = x + 2y, AC = 2x – y e BC = x + y + 3.


b-) triângulo isósceles de base BC com AB = 2x+3, AC = 3x –3 e BC =x – 3. 13-) Num triângulo isósceles, o semiperímetro vale 7,5m. Calcule os lados desse triângulo, sabendo que a soma dos lados congruentes é o quádruplo da base. 14-) Os pares de triângulo abaixo são congruentes. Indique o caso de congruência.

15-) Considere os triângulos T1, T2,.... etc, abaixo. Assinale os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência.

16-) Nos casos a, b e c, selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência.

17-) Indique nas figuras abaixo os triângulos congruentes, citando o caso de congruência.

18-) Por que ALL ou LLA não é caso de congruência entre triângulos? 19-) Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEC. Determine o valor de α e β .

20-) Na figura abaixo, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcule x e y e os lados do triângulo ACD. AB = x BC = 2y CD = 3y + 8 DA = 2x


21-) Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros desses triângulos. AB = 35 AC = 2x + 6 CE = 22 DE = 3y + 5

22-) Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD. AB = 15 CD = x + 5 AP = 2y + 17 PD = 3y –2

23-) Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Calcule x e y.

24-) Na figura abaixo, sabendo que C é ponto médio de BE, prove que os triângulos ABC e DEC são congruentes.

25-) Na figura abaixo, sabendo que α β≡ e γ δ≡ ,

prove que os triângulos ABC e CDA são congruentes.

26-) Se α β≡ e 0℘≡ , demonstre que o triângulo ABC é congruente ao triângulo ABD.

27-) Na figura abaixo, sendo

ˆˆ ˆ ˆ, ( ) ( ), ( ) ( )BF CD m ABC m FDE m BAC m DEF≡ = =prove que AC EF≡ .

28-) Na figura abaixo, sendo

ˆ ˆ ˆ, ( ) ( ), ( ) 90º

ˆ( ) 90º

AC AE m BAD m CAE m ABC e

m AED

≡ = =

=

prove que BC DE≡ .

29-) Demonstre que a medida relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz. 30-) Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana. 31-) Prove que as medianas relativas aos lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes. Solução

Demonstração: Consideremos os triângulos BAM e CAN.


32- Prove que as bissetrizes relativas aos lados congruentes de um triângulo isósceles são congruentes. 33-) Prove que, se a bissetriz relativa a um lado de um triângulo é também mediana relativa a esse lado, então esse triângulo é isósceles. III - DESIGUALDADES NOS TRIÂNGULOS

1-) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

Demonstração

Consideremos D em BC tal que CD CA≡ .

BC > AC ⇒ D é interno a ˆ ˆCAB CAD> ˆ ˆCAB CDA⇒ > (1)

ˆCDA é ângulo externo no ˆ ˆ ˆABC CDA ABD ABC∆ ⇒ > = (2)

ˆ ˆCAB ABC> ou seja Â > B ^ 2-) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado

2º) Se BC AC≡ então, pelo teorema do triângulo

isósceles, ˆ ˆA B≡ , o que contraria a hipótese. Logo, por exclusão, temos:

BC AC> 3-) A desigualdade triangular

Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

4-)Notas 1-) A desigualdade triangular também pode ser enunciada como segue:

Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois. 2-) Se a,b e c são as medidas dos lados de um triângulo, devemos ter as três condições abaixo. a<b+c b<a+c c<a+b Estas relações podem ser resumidas como segue:

EXERCÍCIOS 1-) Com segmentos de 8cm, 5cm e 18cm pode-se construir um triângulo? Por quê? 2-) dois lados AB e BC de um triângulo ABC medem respectivamente 8cm e 21cm. Quanto poderá medir o terceiro lado, sabendo que é múltiplo de 6? 3-) Determine o intervalo de variação x, sabendo que os lados de um triângulo são expressos por x +10,2x +4 e 20 – 2x. 4-) Se dois lados de um triângulo isósceles medem 38cm e 14cm, qual poderá ser a medida do terceiro lado?

5-) O lado AB de um triângulo ABC é expresso por numero inteiro. Determine o seu valor Maximo,


sabendo que os lados AC e BC medem

respectivamente 27cm e 16cm e que ˆ ˆ ˆC A B< < 6-) Mostre que o triângulo retângulo tem dois ângulos agudos. Solução Considere o ângulo externo adjacente ao ângulo reto do triângulo retângulo. Note que γ ’=90º

Sendo α e β os ângulos internos não retos do

triângulo, de acordo com o teorema do ângulo externo, temos: γ ’>α e γ ’> β

E como γ ’=90º, obtemos:α <90º e β <90º. Então o triângulo tem dois ângulos agudos.

7-)Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que cada um dos catetos. 8-) Mostre que o triângulo obtusângulo tem dois ângulos agudos. 9-) Mostre que o lado oposto ao ângulo obtuso de um triângulo obtusângulo é maior que cada um dos outros lados. 10-) Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que a semi-soma dos catetos. 11-) Prove que qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro. 12-) Se P é um ponto interno de um triângulo ABC,

mostre que ˆBPC é maior que BÂC 13-) Se P é um ponto interno de um triângulo ABC, mostre que: PB + PC < AB + AC Solução Tese: PB + PC < AB + AC ou x+y<b+c Demonstração

1- prolonguemos BP até que encontre AC num ponto Q. 2- de acordo com a desigualdade triangular, temos:

14-) Se P é um ponto interno de um triângulo ABC e x = PA, y =PB e z = PC, mostre que x +y+z está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo. 15-) Demonstre que o perímetro do triângulo MNP é menor que perímetro do triângulo ABC da figura abaixo.

16-) Se ma é a medida relativa ao lado a de um triângulo de lados a,b e c, então

17-) Prove que a soma das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro.

GABARITO 1-) a-F b-V c-F d-F e-F f-V g-V h-F 2-) a- F b-F c-F d-F e-F 3-) 12 4-) x = 8, y = 6 5-) 18 6-) 20º 7-) 50º 8-) x = 85, y = 50º 9-) a- x = 4, y = 9 b- x = 4, y = 3 10-) 25cm 11-) 30m e 30m 12-) a-45 b-39 13-) 3m, 6m, 6m 14-) a- LAL b- LLL c-LAA0 d-LAA0 e-LAA0 f- LAL ou ALA ou LAA0 g-caso especial 15-)

16-) a- I ≡ II (LAL) b- I ≡ III (ALA) c- I ≡ III (caso especial) 17-)

18-) Porque existem triângulos que têm ALL (ou LLA) e não são congruentes. Por exemplo, os triângulos ABC e ABC’ da figura abaixo:


19-) 10º ; 12ºα β= = 20-) 16;8, AD = CD =AC =32 21-) 14;10;1 22-) 10;19;1 23-) 60º;9º 24-) Use ALA 25-) Use ALA 26-) Use ALA 27-) 0( )CBA FDE LAA∆ ≡ ∆

28-) ( )BAC EAD ALA∆ ≡ ∆ 29-) Use LLL 30-) Use LAL 32-) UseALA 33-)

1-) Não, 8 – 5 < 18 < 8 + 5 é falso 2-) 18cm ou 24cm

3-) 6 26

5 3x< <

4-) 38cm 5-) 15cm 7-)Use o problema anterior e considere que ao maior ângulo está oposto o maior lado. 8-)Do mesmo modo que o resolvido 6 9-) Use o anterior 10-)

11-) Use desigualdade triangular

12-)

14-) Use o resolvido anterior 15-) Considere os triângulos APN;BPM;MNC 16-) Considere o 'ACA∆ (vide a figura).

17-) Use o resultado do problema anterior.


MMaatteemmáátt iiccaa FFrreennttee VV

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 -- PPAARRAALLEELLIISSMMOO

CONCEITOS E PROPRIEDADES 1-) Retas paralelas – definição Duas retas são paralelas (símbolo://) se, e somente se, são coincidentes (iguais) ou são complementares e não tem nenhum ponto comum

2-) Sejam a e b duas retas paralelas ou não e t uma reta concorrente com a e b: 1-) t é uma reta transversal de a e b;

2) dos oito ângulos determinados por essas retas indicados nas figuras acima, chamam-se ângulos

alternos: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 7 , 2 8, 3 5, 4 6e e e e

correspondentes: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 5, 2 6, 3 7 , 4 8e e e e

colaterais: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 8, 2 7 , 3 6, 4 5e e e e

3-) Notas 1- Com mais detalhes podemos ter:

2- A congruência de dois ângulos alternos de um

dos pares (por exemplo, ˆ ˆ1 7≡ ) equivale à congruência dos ângulos de todos os pares de ângulos alternos

( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ2 8, 3 5, 4 6≡ ≡ ≡ ); à congruência dos ângulos de todos os pares correspondentes

( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 5, 2 6, 3 7 , 4 8≡ ≡ ≡ ≡ ); e à suplementaria dos ângulos de todos os pares de colaterais ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 8 2 7 3 6 4 5 180 º+ = + = + = + = 4-) Existência da paralela

Se duas retas coplanares e uma transversal determinam ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) congruentes, então essas duas retas são paralelas.

Demonstração Se a e b não fossem paralelas, teriam um ponto P em comum e a∩ b = { }P

Sendo: { } { }a t A eb t B∩ = ∩ =

Pelo teorema do ângulo externo (item 60) aplicado ao A B C∆ , teríamos: ouα β β α> > Logo, as retas a e b são paralelas, isto é, a // b. 5-) Construção da paralela

Construir uma reta b, paralela a uma reta a dada, por um ponto P dado fora de a.

Passamos uma reta t por P, que determina um ponto M em a.

Tomamos em a um ponto A distinto de M. Construímos, com vértice P, com um lado

P Muuuur

, um ângulo ˆM P B congruente ao ângulo ˆA M P , estando B no semi plano oposto ao de A em

relação à reta P Muuuur

(transporte de ângulos – item 35)

A reta P Bsuur

é a reta b pedida.

De fato, sendo ˆA M P =α e ˆM P B = β pelo

teorema temos: //a bα β= ⇒ 6-) Unicidade da paralela – postulado de Euclides A unicidade da reta paralela a uma reta dada é o postulado de Euclides (300a.C.)ou postulado das paralelas que caracteriza a Geometria que desenvolvemos: a Geometria Euclidiana.


Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada. Com base nesse axioma podemos provar o recíproco do teorema anterior. É o que segue. 7-)

Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, então os ângulos alternos (ou os ângulos correspondentes) são congruentes

Demonstração Se α e β não fossem congruentes, existiria uma

reta x, distintas de b, passando por P, { }P b t= ∩ ,

tal que: xt∧

= β ’ alterno de α e 'β α≡ Pelo teorema da existência (item 70),

' / /x aα β≡ ⇒ Por P teríamos duas retas distintas x e b, ambas paralelas à reta a , o que è absurdo, pois contraria o postulado das paralelas. Logo, α é congruente a β , isto é, α β≡ 8-) Condição necessária e suficiente

Reunindo os resultados dos itens 70e 73, / / / /a b e a bα β α β≡ ⇒ ⇒ ≡

temos o enunciado que segue: uma condição necessária e suficiente para duas retas distintas serem paralelas é formarem com uma transversal ângulos alternos (ou ângulos correspondentes ) congruentes.

9-) Ângulos externos

Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Demonstração

Por C conduzimos a reta C Dsuur

paralela à reta A Bsuur

, determinamos os ângulos α e β caracterizados na figura:

Somando as duas relações acima, vem:

ou seja: 10-) Soma dos ângulos de um triângulo A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos

Demonstração Sendo e o ângulo externo adjacente a C e aplicando o item anterior, vem:

Considerando as medidas dos ângulos, temos:

que representamos simplesmente por:

11-) Notas 1- Ângulos de lados paralelos Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou suplementares Demonstração


Considerando os ângulos de medidas α e 'α adjacentes suplementares e β e 'β adjacentes

suplementares (vide figura)

Pelo paralelismo, considerando o ângulo

auxiliar γ , temos:

2- Triângulo eqüilátero Num triângulo cada ângulo mede 60º Demonstração Seja ABC o triângulo eqüilátero: AB =AC = BC

Usando o teorema do triângulo isósceles (item 52), temos:

Todo triângulo eqüilátero é eqüiângulo e cada ângulo mede 60º

EXERCÍCIOS 1-) Sendo a reta a paralela à reta b, determine x nos casos:

2-) Se as retas r e s são paralelas, determine x nos casos:

3-) As retas r e s da figura são paralelas. Determine x e y.

4-) Na figura, sendo a//b, calcule α + β -γ

5-) A soma dos quatro ângulos agudos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal é igual a 80º. Determine o ângulo obtuso. 6-) Sendo a paralela a b, calcule x.

7-) Na figura, sendo a//b, calcule x.

8-) Na figura abaixo, sendo r//s, calcule x e y.


9-) Na figura temos os ângulos α e β de lados respectivamente paralelos. Sendo α =8x e β =2x +30º, determine o suplemento

de β

10-) Calcule o valor de x + y, sendo r // s e t // v.

11-) Se as retas r e s são paralelas, determine x,y e z nos casos:

12-) Determine o valor de x nos casos:

13-) Determine y nos casos:

14-) Determine x nos casos:

15-) Determine x e y nos casos:

16-) Determine os ângulos do triângulo nos casos:

17-) Se o triângulo ABC é isósceles de base B C , determine x nos casos:

18-) Determine α + β -γ nos casos:

19-) O triângulo ABC é isósceles de base B C . Determine o valor de x nos casos:

20-) Determine o valor da incógnita (segmento com “marcas iguais” são congruentes).


21-) Na figura abaixo, E D é paralela a B C . Sendo

BÂE igual a 80º e Â B C igual a 35º, calcule a medida

de Â E D

Solução

Basta prolongar D E até que a reta D Esuur

encontre

A B . Note que x é externo do triângulo APE. Então:

22-) Determine o valor de x e y, sendo r // s.

23-) Calcule o valor de x, sendo r // s.

24-) Se r //s, calcule α

25-) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule α

26-) Na figura, calcule a medida do ângulo α , sendo r // s.

27-) Na figura, A B é paralelo a C D .Sendo ˆC D B =150º e Â B C =25º, calcule ˆC D B .

28-) Determine o valor de x.

29-) Calcule x no triângulo ABC da figura.

30-) Os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a 2,3e 4, respectivamente. Determine a medida do maior deles. Nos exercícios 31,32 e 33, no triângulo ABC, calcule a(s) incógnita(s).


34-) Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base

B C . Calcule o valor de x.

35-) Calcule x e y indicados na figura abaixo.

36-) a figura mostra um triângulo ABC, isósceles, de

base B C . Sendo B D bissetrizes, de ˆA B C eC D bissetrizes de ACB, calcule o valor de x.

37-) O triângulo ACD da figura é isósceles de base

A D . Sendo 12º a medida do ângulo ˆB A D e 20º a

medida do ângulo ˆB A C , calcule a medida do ângulo ˆA C D .

38-) Um ângulo externo da base de um triângulo

isósceles é os 5

4do ângulo do vértice. Calcule os

ângulos desse triângulo. 39-) Num triângulo isósceles ABC, o ângulo do vértice

a vale 1

10da soma dos ângulos externos em B e C.

Sendo B C a base do triângulo, determine o ângulo Â. 40-) Num triângulo ABC, o ângulo obtuso formado

pelas bissetrizes dos ângulos B e C excede o

ângulo A em 76º. Determine Â.

41-) Prove que no triângulo ABC, da figura, vale a

relação ˆB Cα β− = − , sendo A D bissetriz do

ângulo ˆB A C .

42-) Num triângulo ABC, o ângulo formado pelas

bissetrizes dos ângulos B e C , oposto a B C , é o

quíntuplo do ângulo A . Determine a medida do

ângulo A . 43-) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.

44-) Num triângulo ABC qualquer, o ângulo oposto a

B C formado pelas bissetrizes dos ângulos internos em B e C é igual ao suplemento do complemento da metade do ângulo do vértice A. Solução Com os elementos caracterizados na figura, temos:

45-) Na figura, calcule o ângulo x, sendo α o triplo de

eβ γ o sêxtuplo de β

46-) em um triângulo ABC, o ângulo do vértice A é igual à oitava parte do ângulo obtuso formado pelas

bissetrizes dos ângulos adjacentes a B C . Determine a medida do ângulo do vértice A.


47-) Um ângulo externo do vértice de um triângulo isósceles mede 150º. Determine: a-) os ângulos do triângulo b-) o ângulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ângulos da base do triângulo; c-) os ângulos formados pela bissetriz de um dos ângulos da base e pela bissetriz do ângulo do vértice. 48-) Determine a medida do menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C de um triângulo ABC, sabendo que o ângulo Â mede 76º solução

49-) Determine as medidas dos três ângulos de um

triângulo, sabendo que o segundo é os 3

2do primeiro

e que o terceiro é a semi-soma dos dois primeiros. 50-) Os três ângulos de um triângulo são tais que o segundo mede 28º menos que o primeiro e o terceiro 10º mais que o primeiro. Determine os três ângulos do triângulo. 51-) Em um triângulo isósceles o ângulo do vértice é a metade de cada um dos ângulos da base. Determine os três ângulos do triângulo. 52-) Determine o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos colaterais internos de duas retas paralelas interceptadas por uma transversal qualquer. 53-) Na figura, determine a medida do ângulo α em função de m.

54-) Num triângulo ABC qualquer, o ângulo

oposto a B C formado pelas bissetrizes dos ângulos externos em B e C é igual ao complemento da metade do ângulo do vértice A do triângulo.

55-) Na figura, sendo A B congruente a A C ,

A E congruente a A D ,calcule a medida do ângulo ˆC D E , dado ˆB A D =48º

56-) Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os

segmentos B C , C D , ,D E E F e F A são congruentes.

57-) Na figura, o triângulo ABC é eqüilátero e o triângulo é isósceles. Calcule o valor de 2x + y.

58-) considere o triângulo ABC, em que AB = AC

= 5cm e BC = 7cm. Sobre o lado B C tomamos um ponto D tal que BD =3cm e pelo ponto D traçamos


D E e D F respectivamente paralelos a A C e

A B , com E em A B e F em A C . Calcule o perímetro de AEDF. 60-) Da figura sabemos que AB = AC, Â =100º e AD =

BC. Determine x = ˆC B D .

GABARITO

1-) a- 50º b-60º 2-) a-60º b- 70º 3-) a- x = 120º, y = 75º b- x = 20, y = 50º 4-) 30º 5-) 160º 6-) 45º 7-) 7º12’ 8-) 20º , 30º 9-)140º 10-) 180º 11-) a- x = 50º, y = 60º, z = 70º b-x = 40º, y = z = 120º 12-)a- 50º b- 40º 13-)a- 110º b- 120º 14-)a- 60º b- 50º 15-) a- x = 30º, y = 40º b- x = 30º, y = 30º 16-)a- 40º, 60º, 80º b- 30º, 60º, 90º 17-) a- 40º b-45º c-120º d-105º 18-) a- 360º b- 900º 19-) a- 50º b- 36º c-70º 20-) a- 30º b- 55º c-80º d-36º e- 105º f-25º g-x = 30º, y = 40º h- x = 15º, y = 40º 22-) x = 10º, y = 150º 23-) 72º 24-) 100º 25-) 52º 26-) 100º 27-) 5º 28-) 60º 29-) 15º 30-) 80º 31-) 110º 32-) 55º, 70º 33-) 70º 34-) 65º 35-) 70º, 125º 36-) 130º 37-) 116º 38-) 120º, 30º e 30º 39-) 20º 40-) 28 41-) α é externo no ABC∆ e β é externo no ABC∆ . 42-) 20º

43-) 2 m 45-) 50º 46-) a- 30º, 75º, 75º b- 105º c- 52º30’ e 127º30’ 49-) 48º, 72º, 60º 50-) 66º, 38º, 76º 51-) 36º, 72º, 72º 52-) 90º 53-) 6 m 54-) Faça como o 48. 55-) 24º 56-) 20º 57-) 195º 58-) 10 cm 59-)

__________________________________________________________________________________________________________________ 275 Química Geral CASD Vestibulares

Química FFrreennttee II

CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044

TEORIA DA REPULSÃO DOS PARES DE ELÉTRONS DA CAMADA DE VALÊNCIA

Elaboradas em 1957 pelos químicos norte-americanos Gillispie e Nyholm, a teoria da repulsão dos pares de elétrons da camada de valência (também co-nhecida como teoria VSEPR1), considerada que os pa-res de elétrons da camada de valência – ligados ou não a outros átomos – sofrem repulsão até os ângulos entre eles serem máximos e iguais. Com isso a repulsão entre eles torna-se mínima.

Embora não seja uma teoria completa, não dando conta de fenômenos como o da ressonância, por exemplo, é muito mais simples e rápida na predição de geometrias moleculares.

A seguir, apresentamos a disposição adquirida pelos pares de elétrons e geometria das moléculas que possuem 2,3 ou 4 pares de elétrons na camada de va-lência, onde se enquadram as moléculas mais importan-tes.

Exemplo1:

Determine a disposição dos pares de elétrons em torno do átomo central, as geometrias das moléculas e os ângulos formados entre os átomos ligantes para cada caso a seguir: a-) formol (H2CO). Resolução: As configurações eletrônicas e os elétrons na camada de valência são:

A formula eletrônica mostra a presença de 4 pa-res de elétrons em torno do átomo central. Para efeito desta teoria porém, devemos considerar as duplas e triplas ligações como se fossem única, já que os elé-trons ocupam a mesma região do espaço. Com 3 pares de elétrons na camada de valência, a disposição dos pares de elétrons é trigonal plana e a da molécula, tam-bém.

b-) Cloreto de berílio (Be Cl 2). Resolução:

A formula eletrônica mostra a presença de 2 pares de elétrons em torno do átomo central. Com 2 pares de elétrons na camada de valência, a disposição dos pares de elétrons é linear e a da molécula, também.

c-) Água (H2O) Resolução: As configurações eletrônicas e os elétrons na camada de valência são:

A formula eletrônica mostra a presença de 4 pares de elétrons em torno do átomo central. Com 4 pares de elétrons na camada de valência, a disposição dos elé-trons é tetraédrica. Como 2 dos pares de elétrons não

__________________________________________________________________________________________________________________ CASD Vestibulares Química Geral 276

são compartilhados, a molécula é angular (ou dobrada, ou em forma de “V”). Embora o ângulo previsto (corres-ponde a um tetraedro regular) seria 109º28’’. A teoria, porém, preconiza que pares não compartilhados repe-lem mais seus parceiros que os compartilhados. Com isso, o ângulo entre os átomos de hidrogênio é um pou-co menor, 104º, 5, em medidas experimentais.

Uma lista de moléculas importantes A seguir, uma lista com as geometrias de molé-culas e íons importantes. Estes casos devem ser com-preendidos muito bem, pois a maior parte das moléculas constituem substâncias importantes no ambiente e no cotidiano. Também podemos usá-las como referencias para outras moléculas importantes.

Moléculas com cinco e seis pares de elétrons na camada de valência As moléculas que se encaixam neste grupo possuem um numero de pares de elétrons superior ao octeto. Não são comuns no nosso cotidiano ou ambien-te, mas constituem excelentes temas de pesquisas na química.

A teoria da ligação de valência Os enlaces entre orbitais Essa teoria foi desenvolvida principalmente pelo quími-co norte-americano Linus Pauling (1901-1996). Esta foi a primeira teoria sobre ligação baseada extensamente na química quântica. Vamos apresentar dois princípios nos quais se baseia, assim:

1- As ligações entre os átomos ocorrem entre elé-trons isolados num orbital. Na ligação, há empa-relhamento com um elétron com spin oposto do outro átomo.

2- Pelo menos uma região dos orbitais devem so-frem interpenetração. Essa região é denomina-do overlap.

No estudo que vamos desenvolver, serão levadas em conta as interações entre os elétrons s e p. Por isso vamos recordar suas geometrias e orientações espaci-ais.

Moléculas com apenas ligação σ (sigma) 1- Moléculas do hidrogênio (H 2) Fazendo a configuração eletrênica de cada átomo dehi-drogênio, observamos 1 elétron desemparelhado em cada:

Considerando que a ligação ocorre para emparelhar elétrons com spins opostos, teremos o overlap (interpe-netração) de dois orbitais s, com sua forma característi-ca esférica:

__________________________________________________________________________________________________________________277 Química Geral CASD Vestibulares

Após a ligação, os orbitais mudam sua forma: a probabi-lidade de encontrar o elétron entre os núcleos aumenta. Uma figura que representa esse fato é:

Moléculas onde uma reta passa por todos os núcleo geometria denominada linear. É claro que como toda a molécula blatômica, as de H2 são lineares. Observe que a região de interpenetração (overlap) está sobre o eixo internuclear. Esse tipo de ligação é deno-minado σ (sigma). Neste caso, podemos especificar como σ (s – s), já que se formou na interpenetração de dois orbitais do tipo s. 2-Moléculas do fluoreto de hidrogênio (HF) Fazendo a configuração eletrônica dos átomos de hidrogênio e flúor, observamos 1 elétrons desempa-relhado em cada:

Considerando que a ligação ocorre para emparelhar elétrons com spins opostos, teremos o overlap:

Após a ligação, os orbitais mudam sua forma: a probabi-lidade de encontrar o elétron entre os núcleos aumenta. Uma figura que representa esse fato é:

A geometria da molécula é linear. Novamente,

temos a região de interpenetração (overlap) está sobre o eixo internuclear, por isso é uma ligação σ (sigma). Neste caso, podemos especificar como σ (s – p), já que se formou na interpenetração de um orbital do tipo s e um do tipo p.

É comum a representação que utiliza apenas os orbitais que efetivamente se ligam. No caso do flúor, apenas um:

3- Moléculas de flúor (F 2) Fazendo a configuração eletrônica dos átomos de flúor, observamos 1 elétron desemparelhado em cada:

Considerando que a ligação ocorre com elétrons de-semparelhados, teremos:

Podemos ter ainda as seguintes representações:


A geometria da molécula é linear. Neste caso, a ligação é classificada como σ (p – p), já que se formou na interpenetração de um orbital do tipo p e um do tipo p. É comum a representação que utiliza apenas os orbitais que efetivamente se ligam. No caso do flúor, apenas um de cada átomo. 4-Moléculas da água (H 2O) Fazendo a configuração eletrônica dos átomos de hidrogênio e oxigênio, temos 1 elétron desempare-lhado em cada átomo de hidrogênio e 2 elétrons de-semparelhados n o oxigênio. Serão necessários 2 áto-mos de hidrogênio para um de oxigênio, o mesmo resul-tado portanto, previsto pela regra do octeto3:

Considerando que a ligação ocorre com elétrons desemparelhados, teremos dois átomos de hidrogênio ligando-se a cada um dos dois orbitais semi-preenchidos do oxigênio. Como esses orbitais são per-pendiculares entre si, a geometria da água é dita angu-lar, dobrada, ou em forma de “V” Cada ligação é classificada como σ (s – p), já que se formou na interpenetração de um orbital do tipo s e um do tipo p:

5-moléculas da amônia (NH 3)

As configurações eletrônicas dos átomos de ni-trogênio e hidrogênio mostram que são necessários três átomos de hidrogênio para um de hidrogênio:

Como os átomos de nitrogênio possuem três e-létrons desemparelhados, são necessários três átomos de hidrogênio para a ligação.

Com cada um dos três átomos de hidrogênio ligando-se com orbitais s a cada um dos orbitais ilobulados p. te-remos:

A geometria da molécula é denominada pirâmi-de trigonal e cada ligação classificada como σ (s – p). Moléculas com ligação σ (sigma) e π (pi) 1-moléculas do oxigênio (O 2) Fazendo a configuração eletrônica de cada á-tomo de oxigênio, observamos 2 elétrons desempare-lhados em cada um:

Vai ocorrer uma ligação dupla portanto e isso muda as coisas. Como uma das ligações ocorre com os orbitais p paralelamente ao eixo (σ p – p) os outros orbi-tais estão paralelos entre si e realizam overlaps acima e abaixo do eixo internuclear. É a denominada ligação π (pi)


Após a ligação, os orbitais mudam sua forma: a probabilidade de encontrar o elétron entre os núcleos aumenta e, essa região, deve ser representada maior. Observe, ainda que a probabilidade de encontrar-se os elétrons da ligação π no eixo internuclear (eixo x) é nula:

Como toda a molécula biatômica, as de O2 são lineares. 2-Moléculas do nitrogênio (N 2) Fazendo a configuração eletrônica de cada á-tomo de oxigênio, observamos 3 elétrons desempare-lhados em cada um:

Teremos, com isso, uma ligação tripla. Como uma das ligações ocorre com os orbitais p paralelamente ao eixo (σ p – p) os outros orbitais estão paralelos entre si e rea-lizam overlaps acima e abaixo do eixo internuclear. Te-remos duas ligações p, perpendiculares uma em relação à outra, que por vezes são denominadas px e py:

Após a ligação, os orbitais mudam sua forma: a probabilidade de encontrar o elétron entre os núcleos aumenta e, essa região, deve representada maior. Observe novamente, que a probabilidade de encontrar-se os elétrons das ligações π no eixo internu-clear (eixo x) é nula. Como toda a molécula biatômica, as de N2 são lineares:

Sempre que existir possuir apenas uma ligação entre os dois átomos (ligação simples), esta será σ . Ligações suplementares, que caracterizarão ligações duplas e triplas, serão do tipo π , porque o eixo internuclear já estará ocupado. Dessa forma, podemos fazer a seguin-te generalização:

Moléculas com hibridação e ligações σ 1- moléculas do berílio (BeX 2) hibridação sp Fazendo a configuração eletrônica do átomo de berílio, não observamos elétrons desemparelhados e o berílio não deveria fazer ligação alguma. Como sabe-mos porém que é brivalente, formando moléculas como BeH2, BeC l e outras, foi necessário um adendo à teo-ria da ligação de valência. Em primeiro lugar, imaginamos que um elétron do sub-nível s possa ser promovido ao sub-nível p. Isso é possível às custas de energia e o átomo ficou em estado excitado. Com isso, temos os dois elétrons de-semparelhados para realizar as duas ligações.

Ocorre que as equações da mecânica quântica mostram que esses orbitais não se ligam mais como orbitais puro s ou p, mas como misturas (híbridos) sp, com nova for-ma e disposição no espaço. Tomaremos como regra, que os orbitais híbridos afastam-se o mais possível uns dos outros. Neste caso teremos moléculas lineares (Fig.21 I e II); é o caso do hidreto de berílio. Após a ligação, os orbitais mudam sua forma pois a probabili-dade de encontrar o elétron entre os núcleos aumenta. (Fig.21 III):


Observe que a região de interpenetração (over-lap) está sobre o eixo internuclear e a ligação é denomi-nada σ (s-sp), pois ocorre na interpenetração de um orbital s e um orbital híbrido sp. 2. Moléculas do boro (BX 3) hibridação sp 2 Na configuração eletrônica do átomo de boro, observamos apenas um elétron desemparelhado e o boro seria monovalente. Como sabemos que é trivalen-te, formando moléculas como BH3, BeF3 e outras racio-cinamos de maneira análoga ao caso do berílio. Primeiramente, um elétron do sub-nível s é promovido ao sub-nível p, às custas de energia recebi-da. O átomo fica no estado excitado e três elétrons desemparelhados para realizar as duas ligações. Os átomos de boro ligar-se-ão como misturas (híbridos) de um órbita s e dois p(s): hibridação sp2, com nova forma e disposição no espaço. Com os orbitais híbridos afas-tam-se o mais possível uns dos outros, teremos molécu-las trigonais planas.

As ligações são do tipo σ (s – sp2), pois ocorre na inter-penetração de um orbital s e um orbital híbrido sp2. 3. Moléculas do carbono (CX 4) hibridação sp 3 Fazendo a configuração eletrônica do átomo de carbono observamos dois elétrons desemparelhados. Dessa forma, os átomos de carbono seriam bivalentes. Na enorme maioria das moléculas, os átomos de carbo-no apresentam-se tetravalentes, porém. Procedendo como nos casos anteriores, imagi-namos que um elétron do sub-nível s possa ser promo-vido ao sub-nível p com o átomo permanecendo em estado excitado. Com isso, temos os quatros elétrons desemparelhados para realizar as duas ligações.

A hibridação é denominada sp3. Como os orbitais híbri-dos afastam-se o mais possível uns dos outros, as mo-léculas serão tetraédricas. Na formação do metano (CH4), cada um dos quatro orbitais hibridizados sp3 faz overlaps com cada orbital s dos átomos de hidrogênio, para fazer 4 ligações σ (s – sp3):

Podemos encontrar as mais diversas combinações de orbitais. No clorofórmio (HCC l 3), por exemplo, o átomo de carbono também determina geometria tetraédrica. Neste exemplo, porém, há uma ligação σ (s – sp3) e três ligações σ (p – sp3):


Moléculas com hibridação e ligações –figura e –figura Átomo de carbono com uma ligação dupla e duas simples: Além dos átomos de carbono com 4 liga-ções simples, átomos de carbono também formam mo-léculas com uma ligação dupla e duas ligações simples. Neste caso, um dos orbitais p do átomo de carbono deve fazer uma ligação ---figura. Restam para hibridizar, um orbital s e dois orbitais p, a hibridação é sp2.

Na molécula de formaldeído (H2CO), por exem-plo, dois do orbitais híbridos sp2 ligam-se a dois orbitais s dos átomos de hidrogênio em ligaçõesσ (s – sp2). O terceiro orbital híbrido sp2 liga-se a um orbital p do hi-drogênio numa σ (p – sp2). Um orbital p que não hibri-dizou do átomo de carbono liga-se a um orbital p do átomo de oxigênio em ligação π .

A geometria da molécula é típica da hibridação

é sp2: trigonal plana. Átomo de carbono com uma ligação tripla e uma simples: Neste caso, dois dos orbitais p do átomo de carbono devem fazer ligações π . Restam para hibridi-zar, um orbital s e um orbital p, o que caracteriza a hi-bridização é sp.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível 1 (Básico ) Aula 8 1-) Defina a teoria da repulsão dos pares de elétrons da camada de valência.

1-) Escreva as fórmulas de Lewis das moléculas a se-guir.em seguida, dê as geometria através de um dese-nho esquemático e um nome: a-) H2S b-) HCC l 3

c-) BF3

d-) HC l 2-) Escreva as fórmulas de Lewis para os íons a seguir. Em seguida, dê a geometria através de um desenho esquemático e um nome: a-) [H3O]+ b-) [NH4]

+ c-) SO4

2- d-) NO3

- Aula 9 1-) Como ocorre uma ligação química covalente? 2-) O que é um overlap? 3-) O que é uma ligação sigma (σ )? Aula 10 1-) O que é ligação π ? 2-) Defina hibridação. 3-) Qual geometria devemos esperar nas seguintes hibridações: a-) sp b-) sp2

c-) sp3

Faça as configurações eletrônicas dos átomos que compõe as moléculas dos exercícios 4 e 5 e determine que tipo de orbitais sofrem overlap. Em seguida, repre-sente os enlaces orbitais que formam as moléculas pro-postas e classifique cada ligação em:

4-) H – N figura (Diimina)

5-) Represente os enlaces dos orbitais moleculares na molécula do nitrogênio (N2):

6-) Complete corretamente o quadro a seguir:

Nível 2 (Médio) Aula 8


1-) Qual é o ângulo aproximado entre os átomos de hidrogênio nas moléculas:

2-) Qual é a geometria esperada para a molécula de acetileno? Qual é o ângulo formado pelos átomos de hidrogênio? 3-) (Vunesp) A partir das configurações eletrônicas dos átomos constituintes e das estruturas de Lewis: a-) Determine as fórmulas dos compostos mais simples que se formam entre os elementos: I. hidrogênio e carbono; II. hidrogênio e fósforo. b-) Qual é a geometria de cada uma das moléculas for-madas, considerando-se o número de pares de elétrons: Dados: H = 1; C = 6; P = 15. 4-) (PUC) Com relação à geometria das moléculas, a opção correta a seguir é: a-) NO – linear CO2 – linear NF3 – piramidal H2O – angular BF3 – trigonal plana b-) NO – linear CO2 – angular NF3 – piramidal H2O – angular BF3 – trigonal plana c-) NO – linear CO2 – trigonal NF3 – trigonal H2O – linear BF3 – piramidal d-) NO – angular CO2 – linear NF3 – piramidal H2O – angular BF3 – trigonal d-) NO – angular CO2 – trigonal NF3 – trigonal H2O – linear BF3 – piramidal 5-) (FEI) As moléculas do monóxido de carbono (CO) e do dióxido de carbono (CO2) possuem diferenças nas suas estruturas moleculares. Assinale a alternativa cor-reta: Dados: C = 6, O = 8 a-) CO tem ligações iônicas e CO2 ligações covalentes b-) CO tem duas ligações covalentes simples e CO2 tem duas ligações covalentes simples e duas dativas. c-) ambas possuem duas ligações covalentes dativas d-) CO possui duas ligações covalentes simples e uma dativa e CO2 possui quatro ligações covalentes simples. e-) CO é linear e CO2 é triangular. 6-) (MACK) A substância que apresenta geometria mo-lecular linear é: Dados: 1H; C(4A); N(5A); O(6A); S(6A); C---figura(7A)

a-) NH3 b-) H2SO3 c-) CO2 d-) CC—figura4 e-) H2O 7-) (USFM) Assinale a alternativa que apresenta apenas moléculas contendo geometria piramidal. a-) BF3 – SO3 – CH4 b-) SO3 – PH3 – CHC l 3 c-) NC l 3 – CF2C l 2 – BF3 d-) POC l 2 – NH3 – CH4 e-) PH3 – NC l 3 – PHC l 2 8-) Se enchermos quatro bexigas e amarrarmos todas pelo bico de entrada de ar, estas sofrerão repulsão e os ângulos entre elas serão máximos e iguais (se as bexi-gas preenchidas tiverem forma e volume semelhante). Qual é a disposição espacial esperada para o arranjo de bexigas. Se não souber responder, procure realizar praticamente. 9-) Se enchermos três bexigas e amarrarmos todas pelo bico de entrada de ar, estas sofrerão repulsão e os ân-gulos entre elas serão máximos e iguais (se as bexigas preenchidas tiverem forma e volume semelhante). Qual é a disposição espacial esperada para o arranjo de be-xigas. Se não souber responder, procure realizar prati-camente. Aula 9 Faça as configurações eletrônicas dos átomos que compõe as moléculas dos exercícios 1 a 6 e determine que tipo de orbitais sofrem overlap. Em seguida, repre-sente os enlaces orbitais que formam as moléculas pro-postas e classifique cada ligação em:

1-) H – H (hidrogênio) 2-) H – C ---falta (Cloreto de hidrogênio)

3-) H – S – H (Sulfeto de hidrogênio)

4-) H – O – C---falta (Hipoclorito de hidrogênio ou ácido hipocloroso)


5-) H2N – NH2 (Hidrazina)

6-) H – O – O – H (Peróxido de hidrogênio)

Aula 10 1-) (MACK) Nos compostos triclorometano e trifluoreto de boro, o carbono e o boro apresentam, respectiva-mente, hibridação: Dados: Boro (nº atômico=5) e Carbono (nº atômico=6) C l (7A) e F (7A) a-) sp2 e sp3 b-) sp3 e sp3 c-) sp3 e sp d-) sp e sp2 e-) sp3 e sp2 2-) (ITA) A(s) ligação(ões) carbono-hidrogênio existen-te(s) na molécula de metano (CH4) pode(m) ser interpre-tada(s) como sendo formada(s) pela interpenetração frontal dos orbitais atômicos “s” do átomo de hidrogênio, com os seguintes orbitais atômicos do átomo de carbo-no: Eteno: H2O = CH2; etino: H – C ≡ C – H a-) quatro orbitais p b-) quatro orbitais sp3 c-) um orbital híbrido sp3 d-) um orbital s e três orbitais p e-) um orbital p e três orbitais sp2 3-) (UERJ) Na composição de corretores do tipo “Liquid Paper”, além de hidrocarbonetos e dióxido de titânio, encontra-se a substância isocianato de alila, cuja fórmu-la estrutural plana é representada por CH2 –figura CH – CH2 – N = C = O. Com relação a esta molécula, é corre-to afirmar que o número de carbonos com hibridação sp2 é igual a: a-) 1 b-) 2 c-) 3 d-) 4 4-) (UFRS) O modelo de repulsão dos pares de elétrons da camada de valência estabelece que a configuração eletrônica dos elementos que constituem uma molécula é responsável pela sua geometria molecular. Relacione as moléculas com as respectivas geometrias:

Dados: Números atômicos: H = 1, C = 6, N = 7, O = 8, S = 16 Coluna I – Geometria molecular 1 – linear 2 – quadrada 3 – trigonal plana 4 – angular 5 – piramidal trigonal 6 – bipirâmide trigonal Coluna II – Moléculas ( ) SO3 ( ) NH3 ( ) CO2 ( ) SO2

A relação numérica, de cima para baixo, da coluna II, que estabelece a seqüência de associações corretas é? a-) 5 – 3 – 1 – 4 b-) 3 – 5 – 4 – 6 c-) 3 – 5 – 1 – 4 d-) 5 – 3 – 2 – 1 e-) 2 – 3 – 1 – 6 5-) (MACK) O BeH2 é uma molécula que apresenta: Dados: números atômicos: Be = 4 e H = 1 a-) geométrica molecular linear b-) ângulo de ligação igual a 120º c-) o átomos de berílio com hibridação sp2 d-) uma ligação covalente sigma s – s e uma ligação pi e-) duas ligações covalentes sigma s – p 6-) (UERJ) O gosto amargo da cerveja é devido à se-guinte substância de fórmula estrutural plana:

Essa substância, denominada mirceno, provém das folhas de lúpulo adicionadas durante a fabricação da bebida. O número de ligações pi presentes na estrutura do mir-ceno é igual a: a-) 3 b-) 5 c-) 8 d-) 15 7-) (UFCE) Para ocorrer ligação covalente é necessário que haja interpenetração frontal (linear) de orbitais e também, em muitos casos, interação lateral de orbitais dos dois átomos que se ligam. A figura ilustra, em ter-mos de orbitais, a formação da molécula de:

Dados: Massas molares (g/mol): H = 1, O = 16, Na = 23, C l 35,5.

8-) Desenhe a geometria da molécula de enxofre gaso-so (S2) e classifique as ligações em sigma ou pi. (Consulte a tabela periódica para os elétrons de valên-cia). 9-) Na molécula do aleno, de fórmula H2C=C=CH2 CH2, os átomos de carbono possuem hibridação: a-) sp2 b-) sp2 e sp3 c-) sp3 d-) sp2 e sp


10-) Na molécula do aleno, de fórmula H2C = C = CH2, os números de ligações sigma e pi são, respectivamen-te: a-) 6 e 2 b-) 4 e 2 c-) 2 e 2 e-) 2 e 4 11-) Com relação à molécula I2, determine: a-) O tipo e número de ligações sigma e pi. b-) A classificação da(s) ligação(ões) sigma. c-) A geometria molecular. (Consulte a tabela periódica para os elétrons de valên-cia) Nível 3 (difícil) Aula 8 1-) Leia e responda: a-) Escreva duas fórmulas eletrônicas para o ozônio, uma cíclica e outra que represente a fórmula estrutural O = O - O. b-) Qual seria o ângulo aproximado formado pelos áto-mos de oxigênio na molécula do O3, considerando-o com fórmula figura? Qual seria o ângulo esperado se a molécula fosse cíclica? c-) Um dos ângulos em torno de um dos átomos do ozônio é 121º, medido por métodos de difração de nêu-trons e 117,5º, calculado por computadores.Qual das duas fórmulas, angular ou cíclica é mais condizente com os dados que dispomos? 2-) Quantos pares de elétrons há em torno do átomo central na molécula do tetróxido de xenônio? Qual é a geometria esperada? 3-) A teoria de repulsão dos pares de elétrons na cama-da de valência (VSEPR) é capaz de prever a geometria de várias moléculas. Assinale a associação incorreta: a-) A molécula SO2 apresenta geometria angular. b-) A molécula SO3 apresenta geometria trigonal plana. c-) A molécula C l 2 apresenta geometria linear. d-) A molécula NH3 apresenta geometria trigonal plana. e-) A molécula SiH4 apresenta geometria tetraédrica. 4-) Qual é o ângulo formado pelos átomos de hidrogê-nio: a-) no eteno? H2C = CH2? b-) na amônia? Aula 10 1-) (UERJ) O propeno, a seguir representado, é um hidrocarboneto insaturado, constituindo-se em matéria-prima importante para a fabricação de plásticos.

Sobre esse composto, podemos afirmar que: a-) os carbonos C1 e C2 apresentam hibridização sp, enquanto o carbono C3 apresenta hibridização sp3. b-) a ligação entre os carbonos C2 e C3 é do tipo sigma (s) e resulta da combinação entre um orbital atômico p puro e um orbital atômico híbrido sp3 c-) o ângulo de ligação s entre os hidrogênios do carbo-no C1 é de 109,5º d-) a ligação dupla entre os carbonos C1 e C2 é consti-tuída por uma ligação pi (p) e uma ligação sigma (s) e-) a ligação entre os carbonos C2 e C3 é mais curta que a ligação entre os carbonos C1 e C2.

2-) Qual é a hibridação e a geometria na molécula do A l I3? 3-) Que tipo ligações sigma devemos esperar no BH3 e BF3.

Desafio 1-) Se enchermos cinco bexigas e amarrarmos todas pelo bico de entrada de ar, estas sofrerão repulsão e os ângulos entre elas serão máximos e iguais (se as bexi-gas preenchidas tiverem forma e volume semelhante). Qual é a disposição espacial esperada para o arranjo de bexigas. Se não souber responder, procure realizar praticamente.

GABARITO

Nível 1 (Básico ) Aula 8 1-) Os pares de elétrons da camada de valência – liga-dos ou não a outros átomos – sofrem repulsão até os ângulos entre eles serem máximos e iguais. Com isso a repulsão entre eles torna-se mínima. 2-)

3-)


Aula 9 1-) Ocorre quando há a interpenetração de dois orbitais. Vale observar que existia um elétron desemparelhado em cada orbital antes da ligação. 2-) É a região onde ocorre a máxima probabilidade de encontrar o elétron depois da ligação ter sido formada. 3-) Ocorre quando a interpenetração dos orbitais une os núcleos através de um eixo. Para enxergar melhor, você pode imaginar que a ligação sigma ocorre quando há contato entre os orbitais ligantes. Aula 10 1-) É a ligação que ocorre entre orbitais p paralelos. Observe que não há contato entre os orbitais. 2-) É a união entre dois orbitais s e p. 3-) a-) linear b-) trigonal c-) tetraédrica 4-)

5-)

6-)

Nível 2 (Médio) Aula 8 1-) a-) 120° b-) 109,5° 2-) a-) linear b-) 180° 3-)

4-) D 5-) D 6-) C 7-) E 8-) Tetraédrica 9-) Trigonal plana Aula 9 1-)

2-)

3-)

4-)


5-)

6-)

Aula 10 1-) E 2-) B 3-) B 4-) D 5-) A 6-) A 7-) D 8-)

9-) D 10-) A 11-) a-) 1 sigma e 0 pi. b-) 1 sigma p-p. c-) linear

Nível 3 (difícil) Aula 8 1-)

2-) 4; tetraédrica 3-) D 4-) a-) 120° b-) 107°27’ ou aproximadamente 107,5°. Aula 10 1-) 26 2-) D 3-) sp2 com geometria trigonal plana. 4-) s-sp2 e p-sp2.

Desafio 1-) Bipiramidal (Hexaédrica):

287 Físico - Química CASD Vestibulares

QQuuíímmiiccaa Frente II CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 -- TTEERRMMOOQQUUÍÍMMIICCAA

1- INTRODUÇÃO 1.1-) Energia e reações químicas

Desde a Pré-História o homem utilizou ENERGIA, Inicialmente, para se aquecer e cozer seus alimentos. Com o passar dos séculos, para realizar suas construções, seus deslocamento, etc. Na vida moderna gastamos ENERGIA em grande quantidade: nos transportes (automóveis, trens , aviões, etc.), nas residências (fogões, geladeiras, televisores, etc.), nas diversões (rádio, cinema, etc.) e assim por diante. Podemos dizer que, em média, o homem moderno consome, diariamente, 250.000kcal de energia contra apenas 2000kcal consumidas pelo homem primitivo.

Um navio em movimento consome muita energia, que é fornecida pelo combustível.

A implosão de um edifício só é possível com a energia dos explosivos. Os fogos de artifício liberam muita energia, o que acontece através de várias reações químicas.

Com a freqüência, as reações químicas causam variações de energia, e vice-versa, conforme exemplificamos na tabela seguinte: REAÇÕES QUÍMICAS QUE PRODUZEM VARIAÇÕES DE ENERGIA

REAÇÕES QUÍMICAS QUE SÃO PRODUZIDAS POR VARIAÇÕES DE ENERGIA

- Na queima de uma vela, a variação de energia se manifesta como LUZ (ENERGIA LUMINOSA)

- A ENERGIA LUMINOSA (LUZ ) provoca a fotossíntese clorofiliana nos vegetais

Na queima de uma vela, a variação de energia se manifesta como LUZ (ENERGIA LUMINOSA)

A ENERGIA LUMINOSA (LUZ) provoca a fotossíntese clorofiliana nos vegetais.

Da reação química de uma pilha (ou bateria) aproveitamos a ENERGIA ELÉTRICA.

Com e ENERGIA ELÉTRICA se pode provocar a reação de cromoção de um pára-choque de automóvel.

No motor de um automóvel, a queima da gasolina é transformada em ENERGIA MECÂNICA ou ENERGIA CINÉTICA .

Uma pancada violenta (ENERGIA MECÂNICA ) pode provocar a detonação de um explosivo.

1.2- CALORIMETRIA

Como próprio nome indica, calorimetria é a

medida das quantidades de calor liberadas ou absorvidas durante os fenômenos que observamos.

Neste ponto nosso estudo, é muito importante lembrarmos a diferença entre quantidade de calor e temperatura. Imaginemos, por exemplo, dois béqueres respectivamente com 1l e 2 l de água, ambos em ebulição e ao nível do mar.

A temperatura é a mesma (100ºC) nos dois casos; no entanto, a quantidade de calor no segundo béquer é o dobro daquela que existe no primeiro, já que ali a quantidade de água também é o dobro.

Note que a temperatura de um corpo depende da maior ou menor agitação (velocidade de translação, de vibração e de rotação) das partículas (átomos, moléculas ou íons) que constituem o corpo. A quantidade de calor, por sua vez, depende da própria temperatura e da massa total do sistema. Unidades de quantidades de calor

Conforme já estudamos no volume 1, os sistema de medida oficialmente adotado no Brasil é o SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI), e a unidade indicada pelo SI para medir energia (e, portanto, calor) é o joule(J). Por definição. Joule (J) é a energia (trabalho) decorrente da aplicação de uma força de 1 newton numa distância de 1m, na direção de aplicação de tal força. Newton (N) é a força necessária para que 1 kg de massa tenha uma aceleração de 1m/s2

CASD Vestibulares Físico - Química 288

O quilojoule é o múltiplo do joule mais usado, sendo que: 1 kJ = 1000J

Também se costuma expressar quantidade de calor em calorias (cal ) Caloria é a quantidade de calor necessária para elevar de 14,5ºC para 15,5ºC a temperatura de 1g de água.

Seu múltiplo mais empregado é a quilocaloria (kcal), que é 1000 vezes maior que a caloria. 1 kcal = 1000 cal Devemos ainda lembrar que: 1cal = 4,18 J

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1-) Quantos joules correspondem a 500 cal? Resolução 1 cal ----------- 4,18J x = 2090 J ou x = 2,09 kJ 500 cal -------- x 2-) Uma reação produz 32,8 kcal, dentro de um calorímetro de capacidade calorífica 20 cal/ºC, onde existem 800g de água inicialmente a 20ºC. Qual a temperatura final atingida pelo sistema? Resolução:

( ) 32800 (800 20).( 20)

60ºCQ m k t t

t C

= + ∆ ⇒ = + − ⇒⇒ =

3-) (U.F.Uberlância-MG) Com o objetivo de determinar o calor de reação entre 50m l de uma solução 1 molar de HCI e 50m l de uma solução 1 molar de NaOH sob pressão constante, um aluno obteve os seguintes resultados: - temperatura inicial da solução ácida = 25ºC - temperatura inicial da solução alcalina = 25ºc - temperatura após a mistura = 32ºC; - massa aproximada da solução = 100g a-) qual a quantidade de calor (em calorias) liberado na reação? b-) Na reação de 1mol de HCI com 1 mol de NaOH, qual a quantidade de calor (em calorias) liberado? c-) Essa reação pode ser classificada como exotérmica ou endotérmica? Explique. (calor especifico da água = 1cal/g . ºC) Resolução

a-) . . 100.1.(32 25)

700

Q m c t Q

Q cal

= ∆ ⇒ = − ⇒⇒ =

b-) Na reação foram empregados . 0,050.1 0,050V m= = mol de HCI e igual quantidade de

NaOH. Temos então: 0,50mol 700cal x = 14 000cal 1 mol x c-) como liberou calor, a reação é classificada como exotérmica.

2- POR QUE OCORREM AS TROCAS DE CALOR NAS REAÇÕES QUÍMICAS?

2.1-) Energia interna

De um modo geral, podemos considerar que existem dois tipos de energia - a ENERGIA CINÉTICA E A ENERGIA POTENCIAL A energia cinética , como próprio nome diz, é a energia que está associada ao movimento, como, por exemplo: a energia de uma pedra rolando montanha abaixo; a energia das águas numa cachoeira; a energia do vento; a energia elétrica (fluxo de elétrons) que percorre um condutor elétrico; as energias radiantes, como a energia solar; e a energia do próprio calor ao se transferir de um corpo para outro. A energia potencial é a que fica armazenada num sistema e que pode ser aproveitada posteriormente para produzir algum trabalho. É o caso da energia que um corpo tem devido à altura em que se encontra. Exemplos: ao descerem, os “pesos” de um relógio carrilhão realizam um trabalho que movimenta seus ponteiros; a água de uma represa, ao cair numa usina, produz eletricidade; a energia potencial de uma mola comprimida (como num relógio de corda) ou de um elástico esticado (como num estilingue); etc. Desse modo, a explicação do calor liberado ou absorvido por uma reação é muito simples. Podemos admitir que toda e qualquer substância possui uma certa quantidade de energia interna ou potencial (E) armazenada em seu interior, parte na forma de energia química (nas ligações entre os átomos, na coesão entre as moléculas, etc.) e parte na forma de energia térmica (nos movimentos de translação, rotação vibração de átomos e moléculas).Desse modo, ao se processar uma reação química: a-) Se a soma das energias internas dos reagentes (energia inicial = Ereag) for maior que a soma das energias internas dos produtos formados (energia final = Eprod), haverá uma sobra de energia e, conseqüentemente, a reação irá liberar calor (reação exotérmica);

b-) ao contrario, se a energia das moléculas iniciais (Ereag) for menor que a das moléculas finais (Eprod), a reação só poderá se processar com, no mínimo, o fornecimento da energia que está faltando; em outras palavras, a reação só poderá realizar-se absorvendo calor (reação endotérmica).


Compare, a seguir, os dois exemplos abaixo, ambos representando processos que liberam energia.

Nas reações químicas, considera-se como variação da energia interna a diferença Eprod - Ereag, que é representada por E∆ (a letra grega ∆ , delta maiúscula, é tradicionalmente empregada para indicar diferenças); Portanto:

prod reagE E E∆ = − Eprod = energia final

Ereag = energia inicial

Acompanhando os esquemas anteriores, veja que numa reação exotérmica (como, por exemplo, a queima do carvão):

0prod reagE E E< ⇒ ∆ > ( ∆ E negativo)

Ao contrario, numa reação endotérmica :

0prod reagE E E> ⇒ ∆ > ( ∆ E positivo)

Note que a perda ou ganho total de energia das

moléculas ( ∆ E) é sempre numericamente igual à quantidade total de calor liberado ou absorvido na reação, a volume constante (Qv).

No entanto, costuma-se convencionar que a quantidade de calor é positiva quando liberada pela reação (reação exotérmica); desse modo, para respeitar os sinais de ∆ E, vistos acima, devemos escrever: Qv = - ∆ E Portanto:

• numa reação exotérmica: Qv > 0 - Qv é positivo (nós ganhamos calor) ∆ E < 0 - ∆ E é negativo (as moléculas perdem energia)

• numa reação endotérmica Qv < 0 – Qv é negativo (nós gastamos calor) ∆ E > 0 - ∆ E é positivo (as moléculas ganham energia) Observação Para entendermos melhor a convenção de sinais algébricos dada acima, podemos repetir a explicação final, falando agora em termos de sistema em reação e meio ambiente: - numa reação exotérmica o meio ambiente ganha calor (aumento = variação positiva) à custa do sistema em reação que perde energia (diminuição = variação negativa);

- numa reação endotérmica o meio ambiente perde calor (diminuição = variação negativa), cedendo-o ao sistema em reação que ganha energia (aumento = variação positiva)

2.2-) ENTALPIA Na bomba calorimétrica a reação se processa num recipiente fechado, de volume constante. Na pratica, contudo, é mais comum a reação se processar “em aberto”, isto é, em contato com o ar. Consideremos, por exemplo, a reação:

Lembrando que, de um modo geral, o volume dos sólidos é desprezível em relação ao volume dos gases, podemos, na reação acima, desprezar o volume do carbono (sólido) e raciocinar apenas com os volumes do O2 e do CO (gasoso); temos então:


O que ocorre, então, nessa reação? O volume se duplica (sob pressão e temperatura constante) simplesmente porque também se duplica o numero de mols gasosos. Ora, se a reação ocorrer em contato com a atmosfera, os gases só poderão duplicar seu volume empurrando o ar atmosférico ao seu redor e, portanto, realizando um trabalho de expansão (σ ) contra pressão atmosférica. E de onde vem a energia necessária a esse trabalho de expansão? Só pode vir da própria energia da reação.

Desse modo, chegamos à seguinte conclusão: se na bomba calorimétrica (que possui volume constante) não há trabalho de expansão, a energia aí liberada (calor a volume constante = Qv ) é a medida da energia total liberada numa reação química. Subtraindo, então, de Qv o trabalho de expansão (σ ), obtemos a quantidade de calor liberado na reação em aberto:

Observe que estamos admitindo que a pressão atmosférica se mantém constante no local onde é feita a reação química; por isso, Qp é denominado calor a pressão constante. Em resumo, temos: Qv = calor a volume constante (medido na bomba calorimétrica) Qp = calor a pressão constante (calculando a partir de Qv e σ ) σ = trabalho de expansão Por convenção:

σ >0 – quando há expansão (o sistema reagente gasta energia”empurrando” o ar atmosférica);

σ <0 - quando há contração (o sistema em reação ganha energia, sendo empurrado pelo ar atmosférico). Vimos, na pagina anterior, que:

De modo análogo,

Nessa ultima linha introduzimos uma nova grandeza, denominada ENTALPIA ou CONTEÚDO DE CALOR (H), a qual depende das substancias que participam da reação química.

Significado da variação de entalpia( ∆ H): Qp e, portanto, ∆ H medem o calor a pressão constante (isto é, a energia que sobra da reação, pra produzir calor, depois de descontado o trabalho de expansão). Na equação Qp = Qv - σ , substituindo Qp = - ∆ H e Qv = - ∆ E, temos: - ∆ H = - ∆ E -σ Ou seja: ∆ H = ∆ E + σ Note que as formulas: Qp = Qv - σ , -Qp = ∆ E + σ e ∆ H = ∆ E +σ são equivalentes e traduzem o PRIMEIRO PRINCIPIO DA TERMODINÂMICA ou PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA, que diz: A energia não pode ser criada nem destruída, apenas transformada. Ou Num sistema isolado, a quantidade total de energia é constante. Ou, ainda A energia total, no universo, é constante. O principio da Conservação de energia surgiu na década de 1840, como resultado dos estudos do cientista inglês James Joule e dos cientistas alemães Julius von Mayer e Hermam von Helmholtz. Os exemplos a seguir mostram a validade desse principio na natureza.

- quando um corpo cai, ele perde energia potencial e ganha igual quantidade de energia cinética, representada pelo movimento do corpo;

- quando esticamos o elástico de um estilingue, gastamos nossa energia; esta fica armazenada no elástico e é transferida à pedra quando soltamos o elástico.

- Numa reação química quando as moléculas perdem energia interna ou potencial (que é uma energia química), os ganhamos igual quantidade de calor + trabalho.

Enfim, o principio da Conservação da Energia nos ensina o seguinte: sempre que um sistema sofre uma transformação física e/ou química, podemos fazer uma CONTABILIDADE DA ENERGIA ou BALANÇO ENERGÉTICO, e constatar que a energia total ganha é sempre à energia total perdida. Em outras palavras, podemos transformar uma forma de energia em outra, mas quantidade total de energia permanece sempre constante. Outra conclusão importante desse principio é que nenhuma maquina pode produzir energia suficiente para mover-se a si própria, isto é, não pode existir o chamado moto continuo. Daí também se origina a frase: “não se pode obter alguma coisa a partir do nada.” Observação:

O Principio da Conservação da Energia tem grande analogia com o principio da conservação da matéria (Lei de Lavoisier) da Química. Se lembrarmos, agora, a possibilidade de transformação de matéria em


energia, e vice-versa, estabelecida por Einstein em sua equação ∆ E = ∆ m.c2 , concluímos que os dois princípios podem ser reunidos em um único: num sistema isolado, a quantidade total de matéria e energia é constante. Finalizando, voltamos a afirmar que na pratica é muito comum uma reação química se processar em aberto do que num recipiente fechado. Por esse motivo, a variação de entalpia ( ∆ H) é de uso mais freqüente que a variação de energia interna ( ∆ E). De fato, atualmente, quando se fala em calor de reação, devemos pensar imediatamente em Qp, isto é, em ∆ H. Sendo assim, é importante relembrar as idéias e convenções, através dos exemplos mencionados abaixo, em que apresentamos os denominados DIAGRAMA DE ENERGIA: Primeiro exemplo Reação exotérmica

Qp >0 – Qp é positivo (nós ganhamos a energia perdida pelas moléculas) Hprod – Hreag = ∆ H<0 - ∆ H é negativo (as moléculas perdem energia; veja, no gráfico, que as moléculas caem para um nível mais baixo) Na reação acima mencionada, a experiência revela que: Qp = - ∆ H =94 kcal Conseqüentemente, podemos escrever:

Atualmente, esta última representação é mais comum. Segundo exemplo Reação endotérmica

Qp <0 – Qp é negativo (nós vamos fornecer o calor que a reação precisa absorver para se processar) Hprod – Hreag = ∆ H>0 - ∆ H é positivo (as moléculas ganham energia; veja, no gráfico, que as moléculas sobem para um nível mais alto). Nessa reação, a experiência revela que:

Portanto, podemos escrever:

Ou, mudando de membro, com as equações matemáticas:

No entanto, a representação usual é:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1-) (Unicamp-SP) Um botijão de gás de cozinha, contendo butano, foi utilizado em um fogão durante um certo tempo, apresentando uma diminuição de massa de 1,0kg. Sabendo-se que:

a-) qual a quantidade de calor que foi produzida no fogão devido à combustão do butano? b-) qual o volume, a 25ºC e 1,0 atm, de butano consumido? (o volume molar de um gás ideal a 25ºC e 1,0 atm é iagual a 24,5 l . Massas atômicas relativas: C =12; H = 1) Resolução a-)

b-)

2-) Calcule o trabalho de expansão realizado, a 127ºC, pela equação:

a-) para as quantidades escritas na equação; b-) em relação a 1mol de C2H6 Resolução:


a-)

(Nesse calculo só consideramos os gases, desprezando sólidos e líquidos.)

Portanto: b-) o valor que acabamos de calcular, 800cal, corresponde à equação escrita no enunciado, em que aparecem 2 mols de C2H6: portanto, para 1 mol de C2H6 temos a metade do valor anterior: 400cal 3-) Numa reação química, em fase gasosa, a 127ºC, ocorre um aumento de números de mols igual a 1. Se a variação da energia interna é 5-6kcal, qual será a variação de entalpia? Resolução:

3. FATORES QUE INFLUEM NAS ENTALPIAS (OU CALORES) DAS REAÇÕES

Já vimos que o fato de a reação química ser

efetuada a volume constante ou a pressão constante influi na quantidade de calor liberada ou absorvida pela reação, dando origem ao ∆ E ou ao ∆ H, respectivamente. Vimos, ainda, como calcular ∆ H a partir de ∆ E. foi também esclarecido que a variação de entalpia ( ∆ H) corresponde ao calor de reação , mais comum e o mais usado na pratica. Desse modo, fica estabelecido que, a partir deste ponto, quando falarmos em calor de reação , estaremos os referindo à variação de entalpia que acompanha a reação. Evidentemente, a quantidade de calor liberada ou absorvida numa reação depende, em primeiro lugar, das quantidades dos reagentes que participam da reação. Por convenção, considera-se que o valor de ∆ H, escrito ao lado de uma equação química, seja referente às quantidades molares escritas na equação; por exemplo, a equação.

Já indica que há liberação de 116,24 kcal

quando 2 mols de hidrogênio reagem com 1mol de oxigênio, produzindo 2mols de água. Se a equação for multiplicada ou dividida por um numero, o mesmo acontecera com a quantidade de calor, assim, por exemplo, dividindo a equação acima por 2, temos:

A entalpia de uma reação química depende

também de uma serie de fatores físicos, presentes durante essa reação. É o que estudaremos agora. 3.1-) Influencia do estado físico dos reagentes e d os produtos da reação

Considere os seguintes exemplos, a 1 atm e 25ºC

Notamos que o simples fato de a água formada

se apresentar nos estados de vapor, liquido e sólido (gelo) já acelerou a entalpia da reação: Graficamente, temos:

Por que aconteceu isso? Porque o próprio fenômeno físico de mudança de estado é acompanhado de liberação ou absorção de calor (calor latente de fusão ou de vaporização); ora, esse calor aparece na contabilidade referente à entalpia da reação química.

De fato, o calor latente de vaporização da água é 580cal/g a 25ºC; isso significa que 1g de água absorve 580cal para evaporar, a 25ºC; ou, ao contrario, que 1g de vapor de água libera 580cal para condensar (voltar à forma liquida), a 225ºC. Como a equação da formação da água se refere a 1 mol (18g) de H2O, temos: 580.18 = 10440cal = 10,44kcal. Então chegamos à seguinte conclusão: - a primeira reação produz 1mol de H2O (vapor) e libera 58,12kcal: ∆ H1 = 58,12kcal - a segunda reação produz 1mol de H2O (liquida) e deve liberar os mesmos 58,12kcal, acrescidos dos 10,44 kcal correspondentes à condensação de 1mol de vapor de água: 58,12+10,44 = 68,56; portanto chegamos a ∆ H2 = -68,56 kcal/mol mostrado na segunda reação. Analogamente, o calor latente de fusão o gelo é 80cal/g a 25°C; portanto, 80.18 = 1440cal/mol = 1,4 4 kcal/mol. Conseqüentemente, quando a reação forma gelo (H2O sólida), teremos, além das 68,56 kcal anteriores, um adicional de 1,44 kcal devido à solidificação da água; 38,56 + 1,44 = 70,00 kcal, isto é: ∆ H2 = -70,00 kcal/mol

Voltando ao gráfico anterior, é importante observar: ∆ Hfus = +1,44 kcal, que é chamada entalpia (ou calor) molar de fusão ∆ Hvap. = + 10,44 kcal, que é chamada entalpia (ou calor) molar de vaporização


Observamos, ainda que a entalpia ou conteúdo de calor da água no estado de vapor é o mais alto, no estado liquido é médio, no estado sólido é o mais baixo, uma vez que a agitação das moléculas decresce nessa ordem.

3.2-) Influencia da alotropia

Influem também, na entalpia ou calor de uma reação as diferentes formas alotrópicas apresentadas pelos elementos químicos, como: -carbono, como grafite ou diamante - enxofre, monoclínico ou rômbico - fósforo, branco ou vermelho - oxigênio, como oxigênio comum (O2) ou ozônio (O3) Por exemplo:

Por que acontece isso? Porque o diamante possui, em sua estrutura cristalina, mais entalpia, ou conteúdo de calor “acumulado” do que a grafite; por ocasião da queima, essa quantidade adicional de conteúdo de calor é liberada, o que explica o maior ∆ H da segunda reação. Mais uma vez, vemos em funcionamento a contabilidade de energia (ou balanço energético) exigida pelo PRINCIPIO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA. Graficamente temos:

Nesse gráfico, notamos ainda que a diferença:

Corresponde à reação:

Ou, processo inverso:

Outros exemplos comuns são:

Como regra geral podemos dizer que a forma cristalina de entalpia maior é mais reativa; a de entalpia menor é mais estável, e mais abundante quando ocorre na natureza. Dos gráficos anteriores concluímos, então, que: - a grafite é mais estável que o diamante - o enxofre rômbico é mais estável que o monoclínico - o fósforo vermelho é mais estável que o branco 3.3-) Influencia da dissolução

Você já reparou que a dissolução da soda cáustica (NaOH) na água é acompanhada por aquecimento? Nesse caso, dizemos que a dissolução é exotérmica. Outras vezes, a dissolução é endotérmica. Por exemplo, dissolvendo tiossulfato de sódio (Na2S2O3) em água, a solução fica gelada.

Vamos imaginar agora a seguinte experiência: 1 mol de ácido sulfúrico (H2SO4) é dissolvido a 25ºC em quantidades crescentes de água. Verificamos que, até certo limite, quanto maior a quantidade de água maior será o calor total liberado na dissolução, de acordo com a seguinte tabela:

Fazendo em gráfico, temos:

Falamos então em: - entalpia (ou calor) de dissolução de 1mol de H2SO4 numa certa quantidade de água; por exemplo, em 2mols de água: ∆ H1 = -9,8 kcal


- entalpia (ou calor) de diluição de 1mol de H2SO4 de uma quantidade para outra quantidade maior de água ; por exemplo, de 4 para 8 mols de água: ∆ H2 = -15,1 – (-13,0) = -2,1 kcal

Por fim, notamos que, mesmo aumentando infinitamente a quantidade de água de dissolução, a quantidade total de calor liberado tende para um certo limite . Essa quantidade máxima de calor, que é liberada pela dissolução de 1 mol de ácido sulfúrico, é denominada entalpia (ou calor) de diluição total ou infinita da substancia, e escreve-se:

onde a abreviação aq indica meio aquoso evidentemente, falar em diluição total ou infinita é apenas força de expressão. No exemplo anterior não é necessário dissolver 1mol de H2SO4 numa quantidade “infinita” de água para que haja liberação de 20,2 kcal, pois com 20 ou 30 mols de água já se consegue esse resultado.

Devemos salientar que nas reações em solução se admite sempre que os reagentes já estejam nesse estado de diluição total ou infinita. Por fim, é importante observar que esses calores de dissolução (ou de diluição) dependem não só do soluto, mas também do solvente utilizados. Leitura compressas de emergência

Uma aplicação interessante do calor de dissolução são as compressas de emergência, que estão à venda em vários paises. Elas são usadas como primeiro-socorro nas contusões sofridas, por exemplo,em praticas esportivas. Existe a compressa quente, que é um saco de plástico com uma ampola de água de água e um produto químico seco (cloreto de cálcio ou sulfato de magnésio por exemplo). Com uma pequena pancada se quebra a ampola, cuja água dissolve então o produto químico, liberando calor:

Analogamente, a compressa fria contem um produto químico de dissolução endotérmica (como nitrato de amônio, por exemplo)

3.4-) Influência da temperatura na qual se efetua a reação química Considere os seguintes exemplos:

Por que ∆ H1 é diferente de ∆ H2?

Simplesmente porque a quantidade de calor ( ∆ H3), necessária para aquecer a mistura H2 + Cl2 de 15ºC para 75ºC, é diferente da quantidade de calor ( ∆ H4)

necessária para aquecer 2 CHl, de 15ºC para 75ºC, em decorrência da diferença entre o calor especifico entre o calor da mistura H2 + Cl2 e o calor especifico do HCl. Mais uma vez estamos fazendo uma contabilidade de energia, como nos obriga o principio da conservação da energia. 3.5-) Influencia da pressão

A pressão praticamente não influi nos calores de reação que envolvam sólidos e líquidos. Meso em reações que envolvam gases, a influencia da pressão é muito pequena, e só se torna perceptível em pressões elevadíssimas (da ordem de 1.000atm). Sendo assim, não devemos nos preocupar com a influencia da pressão em nossos cálculos.

4. EQUAÇÃO TERMOQUÍMICA

É a equação química à qual acrescentamos a entalpia da reação e na qual mencionamos todos os fatores que possam influir no valor dessa entalpia, de acordo com o que já vimos nos itens anteriores. Exemplos:

É importante observar que a quantidade de calor, expressa pelo ∆ H, sempre se refere às quantidades dois reagentes e dos produtos que aparecem escritos na equação termoquímica.

Como já dissemos, antigamente as equações termoquímicas eram escritas colocando-se o calor como um “componente” da própria equação. Por exemplo, a primeira das equações escritas acima ficaria.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1-) Coloque as reações mencinadas abaixo em ordem crescente de liberação de calor, indicando esse fato através do gráfico de entalpia

Resolução: Á medida que uma substancia passa, sucessivamente, do estado sólido para o liquido e para o gasoso, sua entalpia ou conteúdo de calor vai aumentando. Aplicando essa idéia ao enxofre, que é o único que se altera fisicamente nas três reações dadas, e


considerando que a reação de combustão é sempre exotérmica, temos o gráfico abaixo.

Note que ∆ H1, ∆ H2 e ∆ H3 são negativos (reação exotérmica), mas em valor absoluto temos:

que representa a ordem de liberação de calor, pois Qp = - ∆ H concluímos então que o enxofre gasoso, ao queimar-se , libera mais calor que o enxofre liquido, e este libera mais calor do que o enxofre sólido. 2-) (Fuvest-SP) Considere os seguintes dados:

Quantas quilocalorias são necessárias para vaporizar 120g de carbono grafítico? 9massa atômica do carbono = 12.) Resolução Façamos o gráfico que representa os dados do problema:

Vemos, no gráfico, que ∆ H representa a passagem do nível do C grafite par o nível do C gasoso.

Isso indica que são necessárias 172 kcal para transformar 1mol (12g) de C grafite em C gasoso. Considerando que o problema se refere a 120g de carbono grafítico, temos:

3-) Sabendo-se que:

perguntam-se:

a-) a reação é exotérmica ou endotérmica? b-) qual é a quantidade de calor envolvida na neutralização de 146g de HCl(aq), segundo a equação acima? Resolução: a-) A reação é exotérmica, de acordo com o valor negativo do ∆ H dado. b-) Da própria equação concluímos que:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível Básico 1-) Num saquinho hermético, tipo “zip”, foi colocada certa quantidade de gelo seco – CO2(s). Sobre o conjunto uma pequena tara. Após algum tempo, o sólido desapareceu, e o saquinho inchou, elevando a tara. a-) escreva a equação da transformação de estado sofrida e dê nome a essa transformação. b-) qual foi o sentido da troca de calor? Indique se o ∆ H é maior ou menor que zero. c-) Há outro tipo de energia trocada entre sistema e ambiente, além de calor. Qual? 2-) Escreva as equações termoquímicas, utilizando todos os símbolos necessários, incluindo ∆ H, para os processos descritos a seguir: a-)

b-)

3-) Transforme a frase a seguir numa equação termoquímica: “Na combustão completa de 2mols de álcool etílico (C2H5OH) liquido, este reage com 6 mols de O2 gasoso e 6 mols de água gasosa. A energia liberada no processo é 1.368.000 joules.” Classifique-a como endo ou exotérmica. 4-) Em relação ao exercício anterior, escreva a equação termoquímica da reação inversa para a produção de


1mol de etanol. Classifique-a como endotérmica ou exotérmica. 5-) Qual é a energia absorvida na vaporização de 4,50g de água? Escreva a equação correspondente. Dado: ∆ Hvap (H2O) = + 44kJ 6-) Classifique cada transformação abaixo em exotérmica ou endotérmica.

7-UFRJ-) Se o efeito térmico da reação A + B →R + S é ∆ Hº298, o efeito térmico da reação química 2R + 2S →2A + 2B é igual a a-( ) - ∆ Hº 298 b-( ) –1/2 ∆ Hº 298 c-( ) -2 ∆ Hº 298 d-( ) ∆ Hº 298 e-( ) 1/ ∆ Hº 298 8-Mack-) Relativamente às equações abaixo, fazem-se as seguintes afirmações:

( ) 2( ) 2

( ) 2( ) 2( )

94,0

94,5

grafite s g

diamante s g g

C O CO

H kcal

C O CO

H kcal

+ →

∆ = −+ →

∆ = −

I-) Cgrafite é a forma alotrópica menos energética. II-) as duas reações são endotérmicas. III-) se ocorrer a transformação de C(diamante) em Cgrafite haverá liberação de energia. IV-) Cdiamante é a forma alotrópica mais estável. São corretas: a-( ) I e II, somente b-( ) I e III, somente c-( ) I, II e III, somente d-( ) II e IV, somente e-( ) I,III e IV, somente 9-UFPE-) Identifique cada afirmativa como verdadeira ou falsa: ( ) a energia interna de um sistema isolado não pode variar. ( ) num processo endotérmico calor é transferido para o meio ambiente. ( ) processos com variação de entalpia positivo não podem ocorrer.

( ) uma transformação liquido →vapor é um processo endotérmico. ( ) um processo exotérmica é aquele que ocorre a temperatura constante. 10-Mack-) Observando o diagrama a seguir, é correto afirmar que:

Dadas as massas molares (g/mol) H = 1 e O = 16 a-( ) para vaporizar 18g de água são liberados 10,5 kcal. b-( ) o calor de reação, na síntese da água liquida, é igual ao da água gasosa. c-( ) a entalpia molar de vaporização da água é +10,5 kcal. d-( ) a síntese da água gasosa libera mais calor que a da água liquida. e-( ) o ∆ H na síntese de água gasosa é igual a –126,1 kcal/mol. Nível Intermediário 11-) Dada a equação termoquímica: 3/2O2 →O3 (ozônio)-142.700 a-) classifique-a em endotérmica ou exotérmica e determine o ∆ H. b-) escreva a equação termoquimica da conversão do alótropo menos estável no mais estável utilizando os menores coeficientes estequiométricos inteiros. 12-) A partir da equação termoquímica a seguir:

a-) Determine a energia liberada na combustão de 80g de metano. b-) a energia liberada junto com 0,5mol de H2O 13-) Classifique em endotérmico ou exotérmico, cada processo a seguir: a-) a queima da parafina de uma vela. b-) a dissolução do ácido sulfúrico na água liquida. c-) a combustão do álcool hidratado em motores de automóvel. d-) a formação de um iceberg a partir da água do mar. 14-) Dada a equação termoquímica:

2 (1) 2 ( )

10

gH O H O

H kcal

→

∆ = +

Determine a energia necessária para vaporizar completamente 90g de água. Dados: (H = 1, O = 16)


15-) Dadas as entalpias de combustão (em kcal/mol):

( ) 2( ) 2 5 ( )94 58 327g g gC H C H OH⇒ − ⇒ − ⇒ −

Determine qual é o combustível que libera maior quantidade de energia por grama. (C = 12, O = 16, H = 1) 16-GV-) Para a geração de energia mediante queima de carvão analisa-se a possibilidade de se usar um tipo de carvão importado que tem as seguintes características: poder calorífico igual a 10 kcal/g e teor de enxofre igual a 0,5%. A geração de 10.1012 kcal de energia lançaria na atmosfera a seguinte quantidade de dióxido de enxofre. Dados: massas molares: S = 32 g/mol e O = 16g/mol a-( ) 10.000 ton b-( ) 5.000 ton c-( ) 10.106 ton d-( ) 5.106 ton e-( ) 2.500 ton 17-UFRJ-) De acordo com a Coordenadoria Municipal da agricultura, o consumo médio carioca de coco verde é de 8 milhões de frutos por ano, mas a produção do Rio de Janeiro é de apenas 2 milhões de frutos. Dentre as varias qualidades nutricionais da água-de-coco, destaca-se ser ela um isotônico natural. A tabela I apresenta resultados médios de informações nutricionais de uma bebida isotônica comercial e da água-de-coco. a-) Uma função importante das bebidas isotônicas é a reposição de potássio após atividades físicas de longa duração; a quantidade de água de um coco verde (300mL) repõe o potássio perdido em duas horas de corrida. Calcule o volume, em litros, de isotônico comercial necessário para repor o potássio perdido em 2h de corrida. b-) A tabela II apresenta o consumo energético médio (em kcal/min) de diferentes atividades físicos. Calcule o volume, em litros, de água-de-coco necessária para repor a energia gasta após 17 minutos de natação. Informações Nutricionais por 100mL

18-Fuvest-) Considere a reação de fotossíntese (ocorrendo em presença de luz e clorofila) e a reação de combustão da glicose representadas a seguir:

2( ) 2 6 12 6( )

6 12 2( ) 2( ) 2( ) 2

6 6 (1)

6 6 6 (1)g g

g g g

CO H O C H O

C H O O CO H O

+ →

+ → +

Sabendo-se que a energia envolvida na combustão de um mol de glicose é de 2,8x106J, ao sintetizar meio mol de glicose, a planta: a-( ) libera 1,4.106J b-( ) libera 2,8.106J c-( ) absorve 1,4.106J d-( ) absorve 2,8.106J e-( ) absorve 5,6.106J 19-UEL-) sabendo que a combustão completa da glicose com ar libera cerca de 1x102 kcal/mol de oxigênio (O2), a energia liberada na queima de 5 mols de glicose, será, em kcal, Dado: Glicose = C6H12O6

a-( ) 1.103 b-( ) 2.103 c- ( ) 3.103 d-( ) 4.103 e-( ) 5.103 20-UFRJ-) F.Haber (Prêmio Nobel –1918) e c. Bosch (Prêmio Nobel – 1931) foram os responsáveis pelo desenvolvimento do processo de obtenção de amônia (NH3) a partir do nitrogênio (N2) e do hidrogênio (NH3) a partir do nitrogênio (N2) e do hidrogênio (H2) o trabalho de Haber e Bosh foi de fundamental importância para a produção de fertilizantes nitrogenados, o que permitiu um aumento considerável na produção mundial de alimentos; por esse motivo, o processo Haber – Bosh é considerado uma das mais importantes contribuições da química para a humanidade. A amônia, ainda hoje, é produzida com base nesse processo.C a-) o gráfico a seguir relaciona o calor liberado pela reação com a massa de nitrogênio consumida. Determine a entalpia de formação da amônia, em kJ b-) Escreva a formula estrutural do NH3

21-UEL-) O poder calorífico do óleo diesel é 4.104kJ/kg. Que massa aproximada desse combustível deve ser queimada para aquecer 5.104kg de água de 20ºC a 40ºC? Dado: calor especifico da água, 4kJ-1ºC-1 a-( ) 1 quilograma b-( ) 10 quilogramas c-( ) 100 quilogramas d-( ) 1000 quilogramas e-( ) 10000 quilogramas 22-UEL-) Entre as afirmações a seguir, a que descreve melhor a fotossíntese é: a-( ) “Reação endotérmica, que ocorre entre dióxido de carbono e água” b-( ) “Reação endotérmica, que ocorre entre glicose e dióxido oxigênio.” c-( ) “Reação endotérmica, que ocorre entre glicose e dióxido de carbono.” d-( ) “Reação exotérmica, que ocorre entre água e oxigênio” e-( ) “Reação exotérmica, que ocorre entre dióxido de carbono e água. 23-UFMG-) Solicitado a classificar determinados processos como exotérmicos ou endotérmicos, um estudante apresentou este quadro:

Processo classificação Dissolução da molécula de hidrogênio em átomos

Exotérmico

Condensação de vapor de água

Endotérmico

Queima de álcool Exotérmico


Considerando-se esse quadro, o numero de erros cometidos pelo estudante em sua classificação é: a-( ) 1 b-( ) 3 c-( ) 0 d-( ) 2 24-UFMG-)Um béquer aberto, contendo acetona, é mergulhado em outro béquer maior isolado termicamente, o qual contem água, conforme mostrado na figura a seguir. A temperatura da água é monitorada durante o processo de evaporação da acetona, até que o volume desta se reduz à metade do valor inicial. Assinale a alternativa cujo gráfico descreve qualitativamente a variação da temperatura registrada pelo termômetro mergulhado na água, durante esse experimento.

25-PUCCAMP-) Nos Estados Unidos, em 1947, a explosão de um navio carregado do fertilizante nitrato de amônio causou a morte de cerca de 500 pessoas. A reação ocorrida pode ser representada pela equação:

Nesse processo, quando há decomposição de 1,0mol do sal ocorre. a-( ) liberação de 411,2kJ b-( ) absorção de 411,2kJ c-( ) liberação de 305,6 kJ d-( ) absorção de 205,6 kJ e-( ) liberação de 205,6 kJ 26-Fuvest-) Uma das reações que ocorrem na obtenção de ferro a partir da hematita é:

2 3( ) ( ) 2 ( ) ( )3 3 2s g g sFe O CO CO Fe+ → +

O calor liberado por esta reação é cerca de 29kJ por mol de hematita consumida. Supondo que a reação se inicie à temperatura ambiente (25º) e que todo esse calor seja absorvido pelo ferro formado (o qual não chega a fundir), a temperatura alcançada por este é da ordem de calor requerido para elevar de 1ºC a temperatura de um mol de ferro = 25J/(molºC) a-( ) 1.102ºC b-( ) 2.102ºC c-( ) 6.102ºC d-( ) 1.103ºC e-( ) 6.103ºC

27-UFSC-) Observe as equações que representam a formação da água, a partir de seus elementos. Assinale a única proposição falsa.

a-( ) o sinal negativo indica que as reações são exotérmicas b-( ) a transformação H2O(v) → H2O(1) libera 10,5 kcal/mol. c-( ) o calor de solidificação da água vale – 12,2 kcal/mol. d-( ) 1 mol de H2O(1) contém mais energia que 1 mol de H2O(1). e-( ) a formação de água a partir do hidrogênio libera calor. 28-UFMG-) Considere o seguinte diagrama de entalpia, envolvendo o dióxido de carbono e as substancias elementares diamante, grafita e oxigênio. Considerando esse diagrama, assinale a afirmativa falsa. a-( ) a transformação do diamante em grafita é exotérmica. b-( ) a variação de entalpia na combustão de 1 mol de diamante é igual a –392kJ mol-1. c-( ) a variação de entalpia na obtenção de 1 mol de CO2(g), a partir da grafita, é igual a –394kJ mol-1 d-( ) a variação de entalpia na obtenção de 1 mol de diamante, a partir da grafita, é igual a 2 kJ mol-1.

Nível avançado 29-GV) Da hematita obtém-se ferro. Uma das reações do processo é a seguinte:

2 3 23 3 2Fe O CO CO Fe+ → +

Nessa reação, cada mol de hematita libera 30.103J na forma de calor. O ferro formado absorve 80% desse valor, aquecendo-se. São necessários 25J por mol de ferro resultante para elevar sua temperatura de 1ºC. supondo que a reação teve inicio à temperatura de 30ºC e que a massa de ferro resultante não apresentou sinais de fusão, a temperatura final do ferro é igual a: a-( ) 630ºC b-( ) 510ºC c-( ) aproximadamente 30,5ºC d-( ) 990ºC e-( ) 960ºC


30-UFMG-) A energia que um ciclista gasta ao pedalar uma bicicleta é cerca de 180kJ/ hora acima de suas necessidades metabólicas normais. A sacarose, C12H22O11 (massa molar = 342 g/mol), fornece aproximadamente 5400kJ/mol de energia. A alternativa que indica a massa de sacarose que esse ciclista deve ingerir, para obter a energia extra necessária para pedalar 1h, é: a-( ) 1026g b-( ) 114g c-( ) 15,8g d-( ) 3,00g e-( ) 0,333g 31-Unicamp-) As variações de entalpia ( ∆ H) do oxigênio, do estanho e dos seus óxidos, a 298K e 1 bar, estão representadas no diagrama:

Assim, a formação do SnO(s), a partir dos elementos, corresponde a uma variação de entalpia de –286kJ/mol. a-) calcule a variação de entalpia ( ∆ H1) correspondente à decomposição do SnO2(s) nos respectivos elementos, a 298K e 1 bar. b-) escreva a equação química e calcule a respectiva variação de entalpia ( ∆ H2) da reação entre o óxido de estanho (II) e o oxigênio, produzindo o óxido de estanho (IV), a 298K e 1 bar.

GABARITO Nível Básico 1-) a-) CO2 → CO2(g) sublimação. b-) houve absorção de calor com conseqüente aumento da entalpia: ∆ H >0 c-) Sim.Trabalho.O sistema realiza trabalho ao elevar a tara. Mesmo que esta não existisse, há realização de trabalho ao empurrar a atmosfera.

2-) a-) 3( ) 2( ) 3( )2 3

92,2g g gNH N H H

kJ

→ + ∆ =

+

b-) 4( ) 2( ) 2( ) 2 ( )2 2

890g g g gCH O CO H O

H kJ

+ → +

∆ = −

3-) 2 5 (1) 2( ) 2( ) 2 ( )2 60 4 6

1.368 . .g g gC H OH CO H o

H kJ Exotermica

+ → +

∆ = −

4-) 2( ) 2 ( ) 2 5 (1) 2( )2 3 3

684 .g g gCO H O C H OH O

H kJ Endotermica

+ → +

∆ = +

5-)

2 (1) 2 ( ) 44

44 18

4,5 , 11

gH O H O H kJ

kJ g

x g x kJ

→ ∆ = +

→→ =

6-) a-) Exotérmica b-) Endotermica c-) Endotermica d-) Exotérmica e-) Exotérmica f-) endotérmica g-) Endotérmica h-) Exotérmica i-) Endotérmica 7-) C 8-) B 9-) F, F,F,V e F 10-) A Nível Intermediário 11-) a-) 142.700 142,7 .H Jou kJ Endotermica∆ = + +

b-) 3( ) 2( )2 3 285,4g gO O H J→ ∆ = −

12-) a-) x = 4,435kJ b-) x = 222 kJ 13-) a-) Endotérmico b-) Exotérmico c-) Exotermico d-) Exotérmico

14-) 1 18 10

90 , 50

m ol g kca l

g x co m x kca l

→ →→ =

15-) H2 16-) A 17-) a-) 6L b-) 0,25L 18-) C 19-) D 20-) a-) 46 kJ b-) H H N H 21-) C 22-) A 23-) Dissociação de moléculas – Endotérmico Condensação – Exotérmico Combustão – Exotérmico 24-) D 25-) D 26-) C 27-) (01) correta (02) correta. Libera - 68,3-(57,8)=10,5 kcal (04) Errada. Vale - 70-(-68,3) = -1,7 kcal (08) correta. No estado vapor, a entalpia padrão é maior. (16) correta. Em para qualquer estado físico da água, as reações são exotérmicas. 28-) B Nível avançado 29-) B 30-) B 31-) a-) (581 ) 581H kJ kJ∆ = − =

b-) ( ) 2 ( ) 2 ( )

581 ( 286) 295s g gS nO O S nO

H kJ

+ →

∆ = − − − = −


QQuuíímmiiccaa Frente II CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 -- TTEERRMMOOQQUUÍÍMMIICCAA

EXERCÍCIOS Nível Básico 1-) Dadas as equações termoquímicas abaixo. Todos os componentes estão no estado gasoso: I-) H2 + 1/2O2 →H2O ∆ H = -68kcal II-) 3H2 + N2 →2NH3 ∆ H = -22kcal III-) NO →1/2N2 + 1/2O2 ∆ H = -21kcal Determine o ∆ H da reação: 2NH3 + 5/2 O2 →2NO + 3H2O 2-) A partir das equações termoquímicas,

Determine a variação da entalpia da reação representada pela equação:

3-) A qual (ou quais) das seguintes substâncias associa-se ∆ H0 (entalpia padrão ou de formação), zero? a-) A l (1) b-) A l (s) c-) CO2(g) d-) O2(g) e-) C l 2(g) f-) O(g) 4-) Escreva as equações de formação de: a-) H2O(1) b-) CH4O(1) (Álcool metílico) 5-) Dadas as entalpias de formação:

Determine a entalpia da reação: 2H2O(1) + 2SO2( g ) + O2( g ) →2H2SO4(1)

6-(FMU)- Considerando-se o diagrama a seguir, pode-se afirmar que a entalpia de formação do CIF gasoso é:

a-( ) 47,3 kcal/mol b-( ) –47,3 kcal/mol c-( ) 13,3 kcal/mol d-( ) –13,3 kcal/mol e-( ) 60,6 kcal/mol 7-(PUC)- Os propelentes de aerossol são normalmente clorofluorcabonos (CFC), que, com seu uso continuo, podem reduzir a blindagem de ozônio na atmosfera. Na estratosfera, os CFCs e o O2 absorvem radiação de alta energia e produzem, respectivamente, átomos de cloro (que tem efeito catalítico para remover o ozônio) e átomos de oxigênio.

O valor de DH, em kJ, para a reação de remoção de ozônio, representada pela equação:

é igual a: a-( ) –299 b-( ) –108 c-( ) –12,5 d-( ) +108 e-( ) +299 8-(UFMG)- Nos diagramas a seguir as linhas horizontais correspondem a entalpias de substancias ou de misturas de substancias. O diagrama que qualitativamente, indica as entalpias relativas de 1mol de etanol liquido, 1mol de etanol gasoso e dos produtos da combustão de 1 mol desse álcool, 2CO2 + 3H2O, é:


9-) A partir da tabela de entalpias de ligação, determine a entalpias das reações representadas pelas seguintes equações:

10-) A partir da tabela de entalpias de ligação, determine a entalpias das reações representadas pelas seguintes equações:

11-) Dadas as energias de ligação:

Determine a variação da entalpia da reação: 2HI( g ) + CI2( g ) →2HCI( g ) + I2 ∆ H = ? Determine também se a reação é exotérmica ou endotérmica. 12-(UFMG)- a curva a seguir mostra a variação de energia potencial Em entre função da distância entre átomos, durante a formação da molécula H2 a partir e dois átomos de hidrogênio, inicialmente a uma distância infinita um do outro. a-( ) a energia potencial diminui na formação da ligação química b-( ) a quebra da ligação H – H consome 458kJ/mol. c-( ) o comprimento de ligação da molécula H2 é de 7,40x10-11m. d-( ) os átomos separados por uma distância infinita se atraem mutuamente.

Nível Intermediário 13-) Com os seguintes dados:

Determine o ∆ H da reação obtenção de 1mol de água, a partir de hidrogênio e ozônio. 14-) Dada a entalpia de combustão da glicose:

e as entalpias de formação:

Determine a entalpia de formação da glicose. 15-) Os maçaricos são empregados na obtenção de temperaturas elevadas através de reações de combustão. Sabendo-se que: ∆ H de formação de CO2 = -94kcal/mol ∆ H de formação do H2O = -68 kcal/mol ∆ H de formação do CH4 = -18 kcal/mol ∆ H de formação do C2H2 = +54 kcal/mol e dispondo-se de mesmo número de mols de C2H2 e de CH4, assinale a alternativa que indica corretamente qual dessas substâncias deverá ser empregada em um maçarico para se obter maior quantidade de calor e quais os valores de ∆ H de combustão do C2H2 e do CH4.

16-(UFRJ)- O H2SO4 é uma substância tão importante, devido ao seu extenso uso em processos industriais, que a quantidade de ácido sulfúrico produzido anualmente por um país é um dos indicadores de seu nível de desenvolvimento. As reações que descrevem um dos processos de obtenção desse ácido e suas respectivas entalpias a 25ºC são:

a-) Sabendo-se também que:

H2( g ) + 1/2 O2( g ) →H2O(1) ∆ H = -286kJ E que a entalpia de formação ( ∆ Hf) do H2SO4 a 25ºC é igual a –814kJ/mol, calcule o valor de x.


b-) escreva a formula estrutural do ácido sulfúrico. 17-(Unicamp) Quantidades diferentes de entalpia são envolvidas na combustão do etanol, C2H5OH, e etileno, C2H4, como mostram as equações I e II: I-) C2H5OH(1) + 302( g ) = 2CO2( g ) + 3H2O(1) ∆ H = -1368kJ/mol de etanol II-) C2H4(g) + 302(g) = 2CO2(g) + 2H2O(1); ∆ H = -1410kJ/mol de etileno Sob condições adequadas, é possível obter etanol a partir da reação representada pela equação III: III-) C2H4( g ) + H2O(1) = C2H5OH(1)

a-) qual é a variação da entalpia envolvida por mol de C2H4 consumido na reação III? b-) essa reação absorve ou libera calor? Explique. c-) Sabendo-se que a entalpia de formação da H2O(1) é –286kJ/mol e que a do C2H4( g ) é 52kJ/mol, calcule a entalpia de formação por mol de C2H5OH(1). 18-(UEL)- O calor de formação do H2O(g) é –240kJ/mol, do CH4( g ) é –80kJ/mol e do oxigênio gasoso é por definição zero kJ/mol. O calor de combustão completa do metano é –880kJ/mol. Com base nesses dados pode-se concluir que o calor de formação do dióxido de carbono é, em kJ/mol, igual a a-( ) +120 b-( ) +240 c-( ) –360 d-( ) –480 e-( ) –880 19-(UFRJ) O metanol, um combustível liquido, tem sido utilizado como substituto da gasolina, e pode ser produzido a partir do metano, conforme a reação a seguir:

a-) Calcule a variação de entalpia ( ∆ Hº) da reação I, a partir dos dadas fornecidos. b-) Determine o calor liberado na reação III, quando 280 gramas de monóxido de carbono são consumidos. 20-(ITA)- Considere os valores das seguintes variações de entalpia ( ∆ H) para as reações químicas representadas pelas equações I e II, onde (Graf) significa grafite.

Com base nestas informações e considerando que todos ∆ H se referem à temperatura e pressão citadas anteriormente, assinale a opção correta:

21-(Cesgranrio)- O gás hilariante (N2O) tem características anestésicas e age sobre o sistema nervoso central, fazendo com que as pessoas riam de forma histérica. Sua obtenção é feita a partir de decomposição térmica do nitrato de amônio (NH4NO3), que se inicia a 185ºC, de acordo com a seguinte equação:

NH4 NO3( s) →N2O( g ) + 2H2O( g ) No entanto, o processo é exotérmico e a temperatura fornecida age como energia de ativação. Sabe-se que as formações das substâncias N2O, H2O e NH4NO3 ocorreram através das seguintes equações termoquímicas:

A quantidade de calor liberada, em kcal, no processo de obtenção do gás hilariante é: a-( ) 8,8 b-( ) 17,6 c-( ) 28,3 d-( ) 125,6 e-( ) 183,4 22-(FEI)- Á temperatura de 25ºC e pressão de 1atm os calores libertados na formação de 1 mol de CO2 gasoso e de 1 mol de H2O gasoso a partir das substancias simples são respectivamente 393,5 kJ e 285,5kJ. Nas mesmas condições o calor libertado na reação representada pela equação a seguir é 1365,9kJ por mol de etanol. C2H5OH(1) + 302( g ) →2CO2( g ) + 3H2O( g ) Conclui-se que o calor liberado, em kJ, na formação de 1 mol de etanol, nas mesmas condições é: a-( ) 115,0 b-( ) 278,5 c-( ) 293,1 d-( ) 686,6 e-( ) 1365,9 23-) Dadas as energias de ligação a seguir:

a-) Determine os calores (entalpias) de combustão do eteno (H2C = CH2) e do etano (H3C – CH3) em kJ por mol. b-) Compare as energias liberadas na combustão das substâncias acima em J/grama e J/L, considerando os dois gases como ideais nas CA. Dados: (C = 12u; H = 1u, Vmolar a 25ºC e 1atm = 25L).


24-(Fuvest) Calcula-se que 10.1016kJ da energia solar são utilizados na fotossíntese, no período de um dia. A reação da fotossíntese pode ser representada pela equação a seguir, e requer, aproximadamente, 3,0.103kJ por mol de glicose formada. a-) Quantas toneladas de CO2 podem ser retiradas, por dia, da atmosfera, através da fotossíntese? Dados: Massa molar do CO2 = 44 g/mol b-) Se, na fotossíntese, se formasse frutose em vez de glicose , a energia requerida (por mol) nesse processo teria o mesmo valor? Justifique, com base nas energias de ligação. São conhecidos os valores das energias médias de ligação entre os átomos:

25-(Unicamp)- A hidrazina (H2N-NH2) tem sido utilizada como combustível em alguns motores de foguete. A reação de combustão que ocorre pode ser representada, simplificadamente, pela seguinte equação:

H2N–NH2( g )+O2( g ) →N2( g )+2H2O( g )

A variação da entalpia dessa reação pode ser estimada a partir dos dados de entalpia das ligações químicas envolvidas. Para isso, considera-se uma absorção de energia quando a ligação é rompida, e uma liberação de energia quando a ligação é formada. A tabela abaixo apresenta dados de entalpia por mol de ligações rompidas.

a-) Calcule a variação de entalpia para a reação de combustão de um mol de hidrazina. b-) Calcule a entalpia de formação da hidrazina sabendo-se que a entalpia de formação da água no estado gasoso é de –242 kJ mol-1

26-(Fuvest) Pode-se conceituar energia de ligação química como sendo a variação de entalpia ( ∆ H) que ocorre na quebra de 1mol de uma dada ligação. Assim, na reação representada pela equação:

NH3( g ) →N( g )+3H( g ); ∆ H = 1170kJ/molNH3 são quebrados 3 mols de ligação N-H, sendo, portanto, a energia de ligação N-H igual a 390kJ/mol. Sabendo-se que na decomposição: N2H4(g) →2N( g ) + 4H( g ); ∆ H = 1720kJ/mol N2H4, são quebrados ligações N-N e N-H, qual o valor, em kJ/mol, da energia de ligação N-N? a-( ) 80 b-( ) 160 c-( ) 344 d-( ) 550 e-( ) 1330 27-(UEL)- considere as equações termoquímicas a seguir:

Qual o valor do ∆ H, em kJ/mol, da reação

HC1( g ) + 1/2F2( g ) →HF( g ) + 1/2CI2( g )? a-( ) –361,1 b-( ) –352,2 c-( ) –176,1 d-( ) +176,1 e-( ) +352,2 28-(Fuvest) Benzeno pode ser obtido a partir de hexano por reforma catalítica. Considere as reações da combustão: H2( g ) + 1/2 O2( g ) →H2O(1) Calor liberado = 286kJ/mol de combustível C6H6(1) + 15/2 O2( g ) →6 CO2( g ) +3H2O(1) Calor liberado = 3268kJ/mol de combustível C6H14(1) + 19/2 O2(g ) →6 CO2( g ) + 7H2O(1) Calor liberado = 4163kJ/mol de combustível Pode-se então afirmar que na formação de 1mol de benzeno, a partir do hexano, há: a-( ) liberação de 249kJ b-( ) absorção de 249kJ c-( ) liberação de 609kJ d-( ) absorção de 609kJ e-( ) liberação de 895kJ 29-(Unicamp) A variação de entalpia de uma reação na fase gasosa, ∆ Hr, pode ser obtida indiretamente por duas maneiras distintas: 1-) pelas diferenças entre as entalpias de formação, ∆ Hf, dos produtos e dos reagentes; 2-) pela diferença entre as entalpias de ligação, ∆ H1, das ligações rompidas e das ligações formadas. Considerando a reação e as tabelas a seguir: a-) Determine o valor de ∆ Hr.


b-) Calcule a entalpia de formação para o H3CCI( g ).

30-(PUC) – Sejam dados os seguintes sistemas:

Dos sistemas apresentados, os que representam processos endotérmicos são: a-( ) somente I e II b-( ) somente III e IV c-( ) somente II e IV d-( ) somente I e III e-( ) I, III e IV 31-(Fuvest) Determinou-se o calor de combustão* de um alcano obtendo-se o valor 3886kJ/mol de alcano. Utilizando os dados da tabela a seguir, conclui-se que este alcano deve ser um:

* reagentes e produtos gasosos a 25ºC e 1 atm a-( ) pentano b-( ) hexano c-( ) heptano d-( ) octano e-( ) nonano 32-(Fuvest) O ácido nítrico é um importante produto industrial. Um dos processos de obtenção é fazer passar amônia (NH3) e ar, sob pressão, por um catalisador a cerca de 850ºC, ocorrendo a formação de monóxido de nitrogênio e água. O monóxido de nitrogênio em presença do oxigênio do ar se transforma no dióxido, que em água forma ácido nítrico (HNO3) e monóxido de nitrogênio (que é reciclado no processo). a-) escreva as equações balanceadas que representam as diferentes etapas da produção de ácido nítrico através desse processo. b-) O calor envolvido na primeira etapa, ou seja, a oxidação da amônio até o monóxido de nitrogênio, ajuda a manter o catalisador aquecido. Sendo assim, qual deve ser maior: a soma das energias de ligação dos reagentes ou a soma das energias de ligação dos produtos? Justifique. 33-(Vunesp) a reação entre alumínio e óxido de ferro (III) pulverizados é exotérmica, e fornece como produtos ferro metálico e óxido de alumínio (III) sólidos.

a-) escreva a equação balanceada da reação, indicando os estados de agregação de reagentes e produtos. b-) calcule a variação de entalpia deste processo químico, a partir das entalpias de reação dadas a seguir:

34-(Vunesp) A entalpia da reação (I) não pode ser medida diretamente em um calorímetro porque a reação de carbono com excesso de oxigênio produz uma mistura de monóxido de carbono e dióxido de carbono gasosos. As entalpias das reações (II) e (III), a 20ºC e 1 atmosfera, estão indicadas nas equações termoquímicas a seguir:

a-) calcular a entalpia da reação ( I) nas mesmas condições. b-) considerando o calor envolvido, classificar as reações (I), (II) e (III). Nível Avançado 35-(Fatec)- O processo de obtenção industrial de H2SO4 é representado pelas equações:

A quantidade de calor liberada na produção de 700 toneladas de H2SO4 é aproximadamente: Dados: Massa molar do H2SO4 = 98g/mol, 1t = 1,0.106g a-( ) 3,8 kJ b-( ) 536 kJ c-( ) 4025 kJ d-( ) 5,4 x 108 kJ e-( ) 3,8 x 109 kJ 36-(UFMG) Combustíveis orgânicos liberam CO2, em sua combustão. O aumento da concentração de CO2 na atmosfera provoca um aumento do efeito estufa, que contribui para o aquecimento do planeta. A tabela a seguir informa o valor aproximado da energia liberada na queima de alguns combustíveis orgânicos, a 25ºC.

O combustível que apresenta o maior quociente energia liberada/quantidade de CO2 produzido é o


a-( ) metano b-( ) etanol c-( ) n-octano d-( ) metanol 37-(ITA) Considere as informações contidas nas seguintes equações termoquímicas mostradas a seguir, todas referentes à temperatura de 25ºC e pressão de uma atmosfera:

Pode-se afirmar que ∆ H6 = -1277,4kJ/mol está certo ou está errado. Justifique sua resposta. 38-(ITA)- Considere as informações contidas nas seguintes equações termoquímicas mostradas a seguir todas referentes á temperatura de 25ºC e pressão de uma atmosfera:

em relação ao exposto anterior, é ERRADO afirmar que: a-( ) as reações representadas pelas euqações 1 e 2 são endotérmicas. b- ( ) as reações representadas pelas equações3,4,5 e 6 são exotérmicas. c-( ) ∆ H4 = -1234,8 kJ/mol d-( ) ∆ H5 = -1324,2 kJ/mol e-( ) ∆ H6 = -1277,4 kJ/mol 39-(ITA) Sob 1atm e 25ºC, qual das reações a seguir equacionadas deve ser mais exotérmica.

40-(UFRS) Dadas as equações termoquímicas, a 1atm e 25ºC

o combustível que libera a maior quantidade de calor, por grama consumido é: a-( ) CH4 b-( ) C2H6O(1)

c-( ) C8H18(1) d-( ) H2( g )

e-( ) C(grafite) 41-(IME) Uma fabrica que produz cal(Ca(OH)2), necessita reduzir o custo da produção para se manter no mercado com preço competitivo para seu produto. A direção da fabrica solicitou ao departamento técnico o estudo da viabilidade de reduzir a temperatura do forno de calcinação de carbonato de cálcio, dos atuais 1500K, para 800K. Considerando apenas o aspecto termodinâmico, pergunta-se o departamento técnico pode aceitar a nova temperatura de calcinação? Em caso afirmativo, o departamento técnico pode fornecer uma outra temperatura de operação que proporcione maior economia? Em caso negativo, qual é a temperatura mais econômica para operar o forno de calcinação? Dados: Observações: desconsidere a variação das propriedades com a temperatura.

GABARITO Nível básico 1-) ∆ H = -140 kcal 2-) ∆ H = -678 kJ 3-) B, D e E 4-) a-)H2( g ) + 1/2O2( g ) →H2O(1)

b-) C(grafite) +2H2( g )+1/22( g ) →CH4O(1)

5-) 2(-909) – ((2.-286)+(2.297) = -652kJ


6-) D 7-) A 8-) C 9-) a-)+436 b-) –436 c-) –3(431) = -1.293 d-) +343 + 6(414) = 2.827 10-) a-) –243 b-) +4(414) = +1.656 c-) –498 d-) –414 + 3(330) = -1.404 11-) Libera 42kcal 12-) D Nível Intermediário 13-) +289,5kJ 14-) –2,99kJ 15-) A 16-)

17-) a-) –42kJ b-) libera calor ( ∆ H,0) c-) –272kJ 18-) D 19-) a-) ∆ H = 327kJ b-) x = 1.280kJ 20-) E 21-) A 22-) B 23-) a-) –1.552kJ e –1.911kJ b-) 62kJ/L 46,6kJ/L; 55,4kJ/g 38,8kJ 24-) a-) 8,8.108t b-) teria o mesmo valor, pois as substâncias possuem as mesmas ligações e em mesmo número. 25-) a-) –585kJ/mol b-) +101kJ 26-) B 27-) C 28-) B 29-) a-) –206kJ/mol b-) –189kJ/mol 30-) D 31-) B 32-) a-) 2NH3 + 5/2O2 →2NO+3H2O NO + 1/2O2 →NO2 3NO2 + H2O →2HNO3 + NO b-) O valor absoluto da soma das energias de ligação dos produtos ( que possui sinal positivo) é menor que o valor absoluto da soma das energias de ligação dos reagentes ( que possui sinal negativo). A soma é menor que zero, o que significa reação exotérmica. 33-) a-) 2AIc +Fe2O3( c )+AI2O3( c )

b-) ∆ H = -847,8kJ 34-) a-) –505kJ b-) I- exotérmica, II exotérmica,III exotérmica Nível avançado 35-) E 36-) A 37-) Incorreto, ∆ H = 1.232,8kJ 38-) C-D 39-) A 40-) D

__________________________________________________________________________________________________________________ 307 Físico - Química CASD Vestibulares

QUÍMICA FFrreennttee IIII

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 -- CCIINNÉÉTTIICCAA QQUUÍÍMMIICCAA

INTRODUÇÃO No capitulo anterior vimos como a Termodinâmica per-mite prever o “sentido” no qual uma reação química caminha. No entanto a Termodinâmica não prevê com que velocidade a reação caminhará. Na vida diária en-contramos reações químicas mais lentas e mais rápi-das: - a explosão da dinamite ocorre em frações de segundo; - a digestão dos alimentos, em nosso organismo, demo-ra horas; - o vinho leva vários dias para “azedar” e se transformar em vinagre; - a formação do petróleo, no interior da Terra, demorou muitos séculos.

Sem duvidas é muito importante estudar a velo-cidade (rapidez) das reações químicas. Como exemplo, lembramos que se uma industria química conseguir “acelerar” suas reações, ela estará reduzindo o tempo, e tornando seu processo químico mais econômico. Pois bem, o estudo da velocidade das reações é exatamente o objeto da CINETICA QUÍMICA. Cinética química é o estudo da velocidade das reações químicas e dos fatores que nela influem. 2- Velocidade das reações

De um modo geral, para medir a velocidade de uma reação deve-se medir a quantidade de reagente que “desaparece” ou a quantidade de produto que “se forma”, por unidade de tempo. Por exemplo, dada a equação:

Podemos medir sua velocidade medindo as quantida-des de CO ou de NO2 que “desaparecem’ ou as quan-tidades de CO2 ou de NO que “se formam” por hora, por minuto, por segundo etc. Esse procedimento é semelhante ao da medi-da da velocidade de um automóvel, quando mencio-namos “quantos quilômetros são percorridos por hora” (ou pó minuto ou por segundo etc.). 2.1 Conceito de velocidade média

Chama-se velocidade média de uma reação química ao quociente da variação da concentração molar (ou molaridade) de uma das substâncias, dividida pela variação do tempo. Dada a reação química:

e chamando por:

diferença entre a molaridade final e a molaridade inicial da substância C. (Na cinética quími-ca é comum indicar a molaridade com o uso de colche-tes; assim, por exemplo, [HCI] indica a molaridade do HCI numa solução.) ∆ t = variação do tempo Teremos:

Consideremos, por exemplo, que a reação acima men-cionada nos fornecesse os seguintes resultados, sob determinadas condições experimentais:

Teremos então: - no intervalo de 0 a 5 minutos:

- no intervalo de 5 a 10 minutos:



__________________________________________________________________________________________________________________ CASD Vestibulares Físico - Química 308

E assim por diante. Veja que este cálculo é muito semelhante ao calculo de velocidade média feito em Física; de fato, se na segunda coluna da tabela anterior, no lugar de “molaridade” tivéssemos “quilome-tros rodados” por um automóvel, o mesmo calculo teria nos fornecido a velocidade média do automóvel em cada um dos intervalos de tempo. Observações: 1-) também é comum expressar a velocidade de uma reação pelas variações de massa ou de número de moles ou das pressões parciais (em se tratando de gases)etc.; por unidade de tempo. 2-) durante o andamento da reação A + B →C + D, as concentrações molares dos produtos, [C] e [D], vão aumentando, consequentemente ∆ [C] e ∆ [D] serão positivos e vm também. Ao contrario, as concentrações molares dos reagentes, [A] e [B], diminuem com o tempo; portanto, ∆ [A] e ∆ [B] serão negativos, e a vm relacionadas a A ou a B, será também expressa por números negativos; para evitar que isto aconteça, cos-tuma-se trocar o sinal algébrico, nestes casos. Tere-mos então:

Como a velocidade é, em geral, expressa em função dos reagentes,é mais comum que apareça o sinal ne-gativo:

3-) seja agora a reação:

Se, num mesmo intervalo de tempo, forem gastos 10moles/litro de H2 e 10 moles/litro de I2, iremos pro-duzir 20 moles/litro de HI. Consequentemente, a velo-cidade, em função do HI, seria o dobro da velocidade expressa em função do H2 ou do I2. Para evitar que isto aconteça, costuma-se dividir a velocidade do HI por dois. Teremos então:

Generalizando: Para a reação

2.2 conceito de velocidade instantânea

Velocidade da reação num determinado instante (ou velocidade instantânea) é o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero. Para a reação A + B →C+ D, temos então, em rela-ção ao reagente A:

como este limite corresponde matematicamente a uma derivada, podemos também definir: Velocidade da reação num determinado instante (ou velocidade instantânea) é a derivação da concen-tração molar de uma substância, em relação ao tempo. Isto é:

Num automóvel , a velocidade “instantânea” é lida diretamente no velocímetro; como veremos mais adiante, na cinética Química existem também apare-lhos que funcionam como “velocímetros”, medindo a velocidade da reação a cada instante. 3.Medida da velocidade das reações A velocidade de uma reação pode ser determinada por processos químicos e físicos. 3.1 Processos químicos

Medem a velocidade de uma reação, usando uma segunda reação muito mais rápida (praticamente instantânea) com relação à primeira. Por exemplo, a saponificação de um éster:

É uma reação que demora algumas horas. Podemos, de tempo em tempo (digamos de 15 em 15 minutos), retirar uma atmosfera do sistema, e titular o NaOH com um ácido, por exemplo:

Deste modo, medimos o consumo de NaOH na primei-ra reação, em função do tempo. Essa relação indicará a velocidade de saponificação do éster. 3.2 Processos físicos Medem indiretamente a velocidade da reação, medin-do a variação de uma grandeza física (cor, condutivi-dade elétrica etc.) durante a reação química. 1ºexemplo) Na reação

Todas as substâncias são gases incolores, exceto o NO2 vai desaparecendo. A velocidade com que a cor

__________________________________________________________________________________________________________________309 Físico - Química CASD Vestibulares

vermelha desaparece é uma medida da velocidade da própria reação química e será registrada no fotômetro da aparelhagem esquematizada abaixo.

Neste caso, o fotômetro faz o papel de um “velocíme-tro”, medindo a velocidade da reação química a cada instante. 2ºexemplo) Na reação

todas as substâncias são moleculares, exceto o HBr formado, que se dissocia em H+ e Br-. A medida que a reação caminha, a formação de H+ e Br- vai aumen-tando a condutividade elétrica da solução. A velocida-de de aumento da condutividade é uma medida de velocidade da própria reação e ser registrada no am-perímetro (que, neste caso, representa o “velocímetro” da aparelhagem). Hoje em dia, os processos físicos são mais usados, pois são mais rápidos, mais simples (existem inclusive aparelhos automáticos que registram a velo-cidade da reação de um modo continuo) e não alteram o sistema em reação pela introdução de novos reagen-tes, como acontece nos processos químicos.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1-) (FAAP-SP) num dado meio onde ocorre a reação

observou-se a seguinte varia-ção na concentração de N2 O5 em função do tempo:

calcule a velocidade média da reação no intervalo de 3 a 5 minutos. Resolução: Por definição:

ou ainda:

4. Como ocorrem as reações químicas? Agora que já estudamos o conceito de velocidade das reações, vamos procurar analisar quais são os fatores que permitem aumentar essa velocidade. Este assunto

é, sem duvida muito importante, principalmente nas industrias químicas, pois reações mais rápidas “gasta-rão” menos tempo e serão, portanto, mais econômicas. As respostas à pergunta “Como ocorrem as reações químicas?” nos ajudarão, sem duvida, no “controle” da velocidade das reações. A maneira pela qual uma reação se processa é denominada MECANISMO DA REAÇÃO e consiste na explicação da forma pela qual são quebradas as molé-culas iniciais e formadas as moléculas finais. A expli-cação mais simples e comum nos é dada pela TEORIA DAS COLISÕES, que explicaremos com o auxilio da seguinte reação:

De acordo com a teoria das colisões esta reação se processa do seguinte modo:

O mecanismo acima é dos mais simples, pois

a reação ocorreu numa única etapa, que é chamada reação elementar ou parcial. A maioria das reações químicas tem, contudo, um mecanismo mais comple-xo, de tal modo que a reação ocorre em varias etapas (choques) sucessivas. Este problema será detalhado mais adiante. Um aprimoramento da Teoria das Colisões é a teoria do complexo ativado, a qual admite, no instante do choque, ocorre um progressivo enfraquecimento das ligações entre as moléculas iniciais e fortalecimen-to das ligações entre as moléculas finais:


De acordo com a teoria das colisões podemos dizer que a velocidade de uma reação irá depender: a-) da freqüência dos choques entre as moléculas: é evidente que um maior numero de choques por segun-do implicara um maior número de moléculas reagindo e, portanto, uma maior velocidade da reação: b-) da energia (violência) desses choques: é obvio que uma “trombada” violenta (chamada colisão eficaz ou efetiva) ; c-) de uma orientação apropriada das moléculas no instante do choque: é evidente que uma “trombada de frente” (colisão frontal) será mais eficaz que uma ‘trombada de raspão” (colisão não frontal); este fator depende também do tamanho e do formato das molé-culas reagentes. Ora, os fatores mencionados acima são afeta-dos pelo seguintes condições: - estado particular em que se encontra os reagentes - calor - eletricidade - luz - concentração dos reagentes - pressão sobre o sistema em reação - catalisadores Passaremos, a seguir, ao estudo mais deta-lhado dessas condições, iniciando pela análise do es-tado particular em que se encontram os reagentes. a-) estado físico como regra geral, os gases reagem mais facilmente e mais rapidamente que os líquidos, e estes mais rapi-damente que os sólidos. Nos gases, as moléculas reagentes se deslocam com muita liberdade e rapidez; os choques entre elas são muito freqüentes e, consequentemente, a reação é, em geral, rápida. Quando dois líquidos miscíveis são mistura-dos, para reagir, o “contato” entre suas moléculas ain-da é fácil. Mais difícil torna-se entre dois líquidos imis-cíveis:

No estado sólido as reações são, em geral, mais difí-ceis e mais lentas. Seja, por exemplo, a reação:

Outra maneira de se constatar esse fato é usando um medicamento em forma de comprimido efervescente: colocando-se o comprimido inteiro na água, há uma certa efervescência; no entanto, se pulverizarmos o comprimido e depois colocarmos o pó na água, nota-remos que a efervescência é muito mais rápida. b-) estado nascente dos gases

Na primeira reação o hidrogênio encontra-se no ‘estado nascente”, isto é, na forma atômica. Átomos isolados (H) estão “mais preparados” para reagir que as moléculas H2. Consequentemente, a primeira rea-ção é mais rápida que a segunda.


Pelo mesmo motivo, uma reação entre íons é, em geral, mais rápida do que uma reação entre molé-culas inteiras. c-) estado cristalino dos sólidos

A segunda reação é mais difícil e mais lenta que a primeira, pois a forma cristalina do diamante é muito mais compacta que a do grafite. Torna-se, então, mais difícil o contato (choque) do oxigênio com os á-tomos de carbono, que se encontram na estrutura cris-talina do diamante. d-) o fato de os reagentes estarem ou não em solução A reação

se for efetuada entre AgNO3 e NaCI sólidos, pratica-mente não ocorrerá. Em solução aquosa, contudo, a reação será instantânea. Isto porque a água separa os íons Ag+, NO-

3 e Na+, CI-, que ficam “prontos” para reagir. Juntando-se as soluções aquosas de AgNO3 e NaCI, os íons Ag+ e CI- entram imediatamente em con-tato e a reação será instantânea, com a precipitação do AgCI. É interessante notar que a própria natureza do solvente ira influir na velocidade da reação. Por exem-plo: a água é um solvente muito ionizante. “forçando” a ionização (ou a dissociação) do soluto, a água estará facilitando a reação e, portanto, aumentando sua velo-cidade. As influencias dos demais fatores (calor, eletri-cidade, luz, etc.) sobre as velocidades das reações estudadas nos itens seguintes. 5.Como a energia influi na velocidade das reações químicas? o aumento da temperatura sempre acarreta um aumento na velocidade das reações. Podemos obser-var isso, por exemplo, quando aumentamos a chama do fogão, a fim de cozer os alimentos mais depressa, ou quando usamos a panela de pressão, para atingir temperaturas mais altas e acelerar o cozimento; ou, ao contrario, quando usamos a geladeira para diminuir a velocidade de deterioração dos alimentos. No final do século passado, Van’t Hoff estabe-leceu uma lei dizendo que “uma elevação de 10º na temperatura irá duplicar a velocidade de uma reação química”. Atualmente, contudo, conhecemos muitas ex-ceções a essa lei. Devemos reconhecer, porém que a temperatura é um dos fatores que mais influem na velocidade de uma reação. De fato, um aumento de temperatura irá aumentar não só a freqüência dos choques entre as moléculas reagentes como, também, a energia com que as moléculas se chocam. Já foi visto, no capitulo sobre Termoquímica, que a variação de energia, durante o andamento da reação, é dada pelos gráficos:

Nestes gráficos, onde temos energia podemos imaginar não só a entalpia como também a energia livre; nesta ultima hipótese, o primeiro gráfico repre-senta uma reação espontânea ( ∆ G<0) e o segundo uma reação espontânea ( ∆ G>0). No entanto, mesmo as “reações espontâneas”, de um modo geral, não”começam sozinhas”, assim, por exemplo, dizemos que a queima do carvão:

é uma reação “espontânea”, pois ∆ G<0. No entanto, um pedaço de carvão não pega fogo “sozinho”, é ne-cessário aquece-lo um pouco, até faze-lo atingir um estado incandescente, e somente daí em diante ele queimará sozinho. Este “empurrão” inicial (aquecimento) que so-mos obrigados a dar em quase todas as reações é necessários para levar os reagentes a um estado “es-tado ativado”, em que forma o chamado “complexo ativado” Aprimorando então o gráfico já visto em Ter-moquímica, temos:


Para atingir a “elevação” corresponde ao “es-tado ativado”, as moléculas reagentes devem ter uma energia igual (ou maior) que uma energia mínima chamada energia de ativação (Eat). Esta energia cor-responde à “violência mínima da trombada” que será necessária para que duas moléculas realmente reajam entre si – é a chamada “colisão eficaz ou efetiva”. Energia de ativação (Eat) é a energia mínima que as moléculas devem possuir para reagirem, ao se choca-rem. Voltemos ao exemplo da reação H2 + I2 →2 HI, efetu-ada no estado gasoso e já mencionada. Seu gráfico de variação de energia é o seguinte:

No trecho AB, partimos das moléculas reagen-tes, H2 e I2, e chegamos ao “complexo ativado”, com um consumo de 40 kcal por mol de HI formado. No trecho BC, partimos do complexo ativado e chegamos ao produto final, HI, com uma liberação de 46 kcal por mol de HI formado. Há, portanto, um saldo de 6 kcal, que é o calor liberado pela reação ( ∆ H) – trata-se, pois, de uma reação exotérmica. Fazendo uma analogia, podemos imaginar o andamento de uma reação como sendo um problema de física, em que temos a trajetória de um automóvel num trecho montanhoso:

E1 = energia que gastamos, de inicio, para levar o au-tomóvel da altura A para B

E2 = energia liberada na descida do automóvel de B para C E3 = saldo positivo de energia (depende da diferença entre a altura A e C) Vamos agora retomar e analisar melhor a in-fluência da temperatura numa reação química. Seja uma mistura reagente de moléculas H2 e I2, a uma temperatura (T). Existirão moléculas de H2 e de I2 com velocidades maiores e, consequentemente, com maiores. O gráfico de e, ao contrario, moléculas de H2 e de I2 com velocidades e energias menores. O gráfico de distribuição das moléculas em função da energia á apresentado ao lado e denomina-se curva de Maxwell-Boltzmann; ele nos mostra que a maior parte das moléculas tem uma “energia média” (Em); no en-tanto, só as moléculas com energia igual ou superior à “energia de ativação” Eat (área hachurada) conseguirão reagir, pois somente essas moléculas poderão vencer a “elevação” existente nos gráficos de “variação de energia/andamento da reação”.

Voltando à curva de Maxwell-Boltzaman, se aumen-tarmos a temperatura T para T1 ela ira se modificar conforme a figura abaixo:

Considerando que o aumento de temperatura desloca a curva para baixo e para a direita e conside-rando também que a energia de ativação (Eat) é fixa para uma dada reação, concluímos que o número de moléculas com energia igual ou superior à Eat, na tem-peratura T1 (área pontilhada), é muito maior que na temperatura T(área hachurada). Em outras palavras, o aumento da área pontilhada em relação à área hachu-rada é, me geral, muito grande com o aumento de temperatura. Isso nos faz entender por que a tempera-tura influi enormemente na velocidade das reações. Por outro lado, é fácil também entender que, entre duas reações químicas semelhantes, será mais rápida aquela que apresenta menor energia de ativa-ção (E’at < Eat); neste caso, a “elevação” que as mole-culas devem superar, no gráfico de energia, é menor.


Como conclusão final podemos afirmar que:

- uma variação bastante negativa da energia livre ( ∆ G<0) indica que a reação química tem “possibilida-de” de ocorrer; - porem, só uma energia de ativação baixa indicará que a reação poderá ocorrer com velocidade apreciá-vel. 5.2 influência da eletricidade Como exemplo da influência da eletricidade na velocidade das reações podemos mencionar que juma faísca elétrica provoca a explosão da gasolina no mo-tor de um automóvel; ou então a reação do hidrogênio com o oxigênio:

Neste caso, a faísca elétrica forneceu energia para algumas moléculas de H2 e de O2 ultrapassarem a “elevação” corresponde à energia de ativação; como a própria reação libera muita energia, isto será suficiente para desencadear a reação na totalidade das molécu-las de H2 e de O2 restantes.

5.3 Influência da luz Como exemplo da influência da luz na veloci-dade das reações podemos mencionar que uma mistu-ra de H2 e CI2 não reage no escuro. No entanto, pode explodir quando exposta à luz solar direta:

A luz e outras radiações eletromagnéticas (es-pecialmente a ultravioleta) exercem um efeito análogo ao da eletricidade, fornecendo energia para que, de inicio, algumas moléculas consigam ultrapassar a “ele-vação” da energia de ativação. As reações que são influenciadas pela luz são chamadas REAÇÕES FOTOQUIMICAS.Elas podem ser classificadas em: a-) fotossíntese: quando a partir de moléculas menores obtemos moléculas maiores:

açucares, amido, celulose etc. (na síntese clorofiliana dos vegetais) b-) fotólise: quando a partir das moléculas maiores obtemos moléculas menores:

É interessante notar que, como diz a Lei de

Grotthuss-Draper, “só os comprimentos de onda real-mente absorvidas pelo sistema influem na velocidade das reações”.É por isso que certos filmes fotográficos não se alteram e podem ser revelados numa sala ilu-minada como luz vermelha. Lembre-se também que muitos produtos quí-micos e medicamentos são guardados em frascos escuros, a fim de evitar que a luz venha a decompô-los. 6. Como a concentração (pressão) influi na velocidade das reações químicas? É muito fácil constatar que o aumento da con-centração dos reagentes acarreta um aumento de ve-locidade das reações. Por exemplo, a reação

Pode ser executada facilmente com “bombril” (que formado por fios finos de ferro) e ácido muriático (que é HCI impuro, que se compra em lojas de ferragens). Executando-se a reação acima duas vezes, a primeira com o ácido “ao natural” e a segunda com o acido diluído em água, notaremos que o primeiro caso a reação é bem mais rápida. Por que isso acontece? Porque aumentando a concentração dos reagentes (números de moléculas por unidade de volume) iremos aumentar a freqüência dos choques entre as moléculas reagentes e, conse-quentemente, aumentar a velocidade da reação. De fato, seja a reação:


Se num dado volume existem uma moléculas de H2 e uma molécula de I2, elas terão uma certa probabilidade de se chocarem e a reação terá uma certa velocidade. Colocando-se agora duas moléculas de iodo (isto é, dobrando a concentração do iodo), a probabili-dade de a molécula H2 chocar-se com uma molécula I2 irá dobrar e, consequentemente, dobrará a velocidade da reação. O mesmo raciocínio será válido tendo-se duas moléculas de H2 e uma de I2. Duplicando-se as concentrações de H2 e I2, a probabilidade de choques será quatro vezes maior e a velocidade quadruplicará.

Resumindo, podemos dizer que a velocidade desta reação será diretamente proporcional às concen-trações molares ou molaridade (moles/litro) do hidro-gênio e do iodo e escrevemos:

A constante de proporcionalidade k é chamada de constante cinética ou constante de velocidade de reação e depende de todos os outros fatores que influ-em na velocidade da reação, especialmente da tempe-ratura. Seja agora a reação:

Mantendo constante a concentração do NO e duplicando a concentração do H2, a velocidade da reação duplicará.

Voltando à concentração inicial do H2 e dupli-cando a concentração do NO, a velocidade da reação quadruplicara. Isso pode ser expresso pela formula matemática abaixo:

No entanto, as coisas não são sempre tão simples assim. De fato, se tivermos uma reação quími-ca mais complicada, como:

Iremos constatar que a velocidade será dada pela for-mula:

A velocidade de uma reação é proporcional às concen-trações molares dos reagentes, elevadas a expoentes que são determinados experimentais. A constante k, como já dissemos, é chamada constan-te cinética ou constante de velocidade da reação. 7. como os catalisadores influem na velo-cidade das reações químicas? 7.1 introdução Catalisador é a substância que aumenta a velocidade de uma reação, sem ser consumido durante o proces-so. Por exemplo, a reação

Praticamente não se verifica em temperatura ambien-te. Se adicionarmos, porém, um pouco de platina em


pó, a mistura H2 e O2 explodira no mesmo instante – dizemos então que a platina catalisou a reação. Catalise é o aumento de velocidade da reação, provo-cado pelo catalisador. Inibidor (antigamente chamado catalisador negativo) é a substância que diminui a velocidade de uma reação. O inibidor, contudo, distingue-se do catalisador, porque é consumido pela reação. Assim, por exemplo, na rea-ção.

A adição de pequenas de oxigênio retarda; tão logo, porém, o oxigênio seja consumido, a reação retoma sua velocidade primitiva. Costuma-se classificar a catalise em homogê-nea e heterogênea, conforme o sistema em reação e o catalisador formem um todo homogêneo ou heterogê-neo. A reação

é um exemplo de catalise homogênea, porque todas as substâncias (SO2, O2, SO3) e o catalisador (NO) são gases e constituem, pois, uma única fase (conjunto homogêneo). A catalise homogênea ocorre em siste-mas gasosos catalisados por um gás ou em sistemas líquidos contendo substâncias e catalisador (sólidos, líquidos ou gases), todos solúveis entre si. A mesma reação, catalisada por platina

é um exemplo de catalise heterogênea, pois o sistema em reação é gasoso, enquanto o catalisador é sólido (são duas fases distintas). A catalise heterogênea sur-ge, em geral, quando uma substância sólida catalisa uma reação entre gases ou líquidos. Chama-se PROMOTOR (ou ATIVADOR) da catalisador a substância que acentua o efeito do catali-sador, embora a própria substância sozinha não tenha nenhum efeito catalítico. A reação N3 + 3H2 →2NH3 é catalisada por ferro; se ao ferro adicionarmos pequenas quantidades de K2O ou AL2O3, a ação catalítica do ferro ficará muito acentuada; dizemos, então, que o K2O e o AI2O3 agem como promotores ou ativadores do ferro. O emprego de promotores em reações indus-triais é tão comum que, frequentemente, são usadas misturas catalíticas bastante complexas. Chama-se VENENO (ou AANTICATALISA-DOR) a substância que diminui ou mesmo anula o efeito de um catalisador. No exemplo anterior

A presença de pequenas quantidades de arsênio ou compostos irá anular o efeito do ferro como catalisa-dor. AUTOCATÁLISE ocorre quando um dos produtos da reação age como catalisador da própria reação.

Esta reação é extremamente lenta. No entanto, logo que se formam as primeiras porções do ácido, este passa a agir como catalisador da reação e o processo se acelera. 7.2 Mecanismo da catálise

Embora existam processos catalíticos comple-xos e não muito bem explicados até hoje, podemos dizer que há duas maneiras principais de ação de um catalisador: a-) formação de um composto intermediário

A reação é lenta. A a-dição de NO torna-a muito mais rápida, pois

Neste caso, o catalisador (NO) toma parte na reação, formando um composto intermediário (NO2), que facilita o andamento da reação. Note que o catali-sador (NO) é recuperado na segunda reação; deste modo, podemos continuar dizendo que o catalisador não é consumido na reação. b-) adsorção dos reagentes A decomposição do HI, a 500ºC á catalisada por platina em pó:

A platina adsorve (isto é, retém em sua super-fície) moléculas de HI. Como a platina é um metal de transição (tem a última e a penúltima camadas eletrô-nicas incompletas), ela é deficitária em elétrons e pro-cura atrair as nuvens eletrônicas do hidrogênio e do iodo. Forma-se, então, um “complexo ativado” entre a platina e o HI, determinando um enfraquecimento da ligação entre o hidrogênio e o iodo, que acelera a quebra da molécula HI e, em conseqüência, aumenta a velocidade da reação.

Observe que, mesmo neste caso, há formação de um “composto intermediário” entre o reagente (HI) e o catalisador (Pt). Por outro lado, é bom salientar que a ação catalítica não dependerá tanto mais ativa quanto mais pulverizada ela estiver.

Entretanto, qualquer que seja o mecanismo da catalise, a ação do catalisador será sempre criar para a reação um novo caminho com energia de ativa-ção menor . Assim, para a reação

a energia de ativação sem catalisador é Eat = 45 kcal/mol, enquanto, sob a catalise da platina em pó, a energia de ativação torna-se Eat = 14 kcal/mol. Observe o gráfico:


Como o próprio rebaixamento da curva indica,

o catalisador tanto age na reação direta como na rea-ção inversa. É por isso que, em reações reversíveis, o catalisador não altera o ponto de equilíbrio, embora nos permita atingir o equilíbrio mais rapidamente, co-mo veremos mais adiante. 7.3 Principais catalisadores a-) Metais. Especialmente metais de transição, como CO, Ni, Pd, Pt etc.

b-) Óxidos metálicos . Por exemplo,

c-) Ácidos . Catalisam muitas reações da Química Orgânica:

São utilizados inclusive ácidos de Lewis, como AICI3, BF3 etc:

d-) Bases . Também atuam como catalisadores de muitas reações:

e-) Substâncias que se oxidam e se reduzem facil-mente. No processo abaixo:

O NO facilmente se oxida a NO2 e este facilmente se reduz, regenerando o NO inicial, e propiciando a trans-formação de SO2 em SO3.

f-) Enzimas . São consideradas produzidos pelos seres vivos, que aceleram reações importantes para o meta-bolismo do próprio ser vivo. Podemos afirmar que sem a colaboração das enzimas seria impossível a vida dos vegetais e animais, como a conhecemos em nosso planeta. Assim, por exemplo, em nosso tubo digestivo a enzima denominada lípase provoca a reação:

Quando colocarmos água oxigenada num cofre feito em nossa pele, notamos uma efervescência, que indi-ca a liberação de oxigênio, segundo a reação:

Esta reação é catalisada pelas enzimas existentes em nosso sangue. O oxigênio é liberado em forma atômica (oxigênio nascente) e tem, por isso, alto poder germi-cida; daí o emprego da água oxigenada para desinfetar o corte. Outras enzimas são também responsáveis por muitas fermentações, caseiras ou industriais, que são empre-gadas na fabricação de queijos, coalhadas, cervejas etc. As enzimas são substâncias complexas, de natureza protéica e coloidal, e que agem de maneira muito sele-tiva – isto é, só um tipo muito bem definido de reação; chegando inclusive a “distinguir” um reagente de um isômero. Essa extraordinária especificidade decorre de fato de a enzimas encaixar-se perfeitamente nas molé-culas reagentes (substratos), como uma chave Yale se encaixa na fechadura correspondente.

Observação : muitas vezes ouvimos falar em fotocatá-lise para designar o aumento de velocidade de uma reação (como, por exemplo, H2 + CI2 →2HCI) provo-cado pela luz. Entretanto, a luz não deve ser conside-rada um catalisador, pois não é uma substância, e sim uma forma de energia, como o calor, a eletricidade etc.

EXERCÍCIOS Nível básico 1-) com dados da reação entre nitrogênio e hidrogênio, em determinadas condições,

Foi construída a seguinte tabela número de mols de H2 em função do tempo:


a-) complete a tabela com os dados que faltam b-) determine a velocidade de reação de H2 de O a 2 minutos. c-) determine a velocidade de formação de NH3 de 0 a 2 minutos. 2-) considerando que a reação do exercício 1 está ocorrendo num recipiente de 1L, determine a velocida-de da reação, no intervalo de 0 a 2 minutos,em mols/L.s. 3-) Considere a reação de decomposição da água, a 820ºC:

Foi construída a seguinte tabela de mols de H2 em função do tempo:

a-) complete a tabela com os dados que faltam b-) determine a velocidade de reação de O2 de 0 a 40 segundos. c-) determine a velocidade de formação de H2O de 0 a 40 segundos g/s. Dado: M(H2o) = 18 g/mol 4-) Considerando que a reação do exercícios 3 está ocorrendo num recipiente de 10L, determine a velocida-de da reação, no intervalo de 0 a 40 minutos, em mols/L.s 5-) Numa das etapas do ciclo de Krebs ocorre a reação.

Nessa reação a enzima fumarase atua como: a-( ) oxidante; oxida o ácido fumárico b-( ) redutor; reduz o ácido fumárico c-( ) ácido de Lewis; aceita par eletrônico oferecido pela água. d-( ) base de Lewis; fornece par eletrônico para a água e-( ) catalisador; aumenta a velocidade da reação 6-(UFMG) O gráfico a seguir representa a variação de energia potencial quando o monóxido de carbono, CO, é oxidado a CO2 pela ação do NO2 de acordo com a e-quação:

Com relação a esse gráfico e à reação acima, a afirma-tiva falsa é: a-( ) a energia de ativação para a reação direta é cerca de 135 kJmol-1. b-( ) a reação inversa é endotérmica. c-( ) em valor absoluto, o ∆ H da reação direta é cerca de 225 kJmol-1. d-( ) em valor absoluto, o ∆ H da reação inversa é cerca de 360 kJmol-1 e-( ) o ∆ H da reação direta é negativo. 7-) Com relação a um fogão de cozinha, que utiliza mistura de hidrocarbonetos gasosos como combustí-vel, é correto afirmar que: a-) a chama se mantém acesa, pois o valor da energia de ativação para ocorrência da combustão é maior que o valor relativo ao calor liberado. 8-) Considere a decomposição fotoquímica da água oxigenada:

a-) Determine a velocidade de decomposição da água oxigenada em moles por hora (H = 1u; O=16u) no in-tervalo 0 a 2h. b-) determine a velocidade de formação de O2 no mesmo período. 9-) Diga qual o efeito de cada fator abaixo, na veloci-dade de uma reação e explique porque: a-) diminuição da temperatura b-) diminuição da concentração dos reagentes c-) introdução de um catalisador d-) pulverização de um reagente sólido 10-) Em presença de ar e à mesma temperatura, o que queima mais rapidamente: 1kg de carvão em pó ou 1kg de carvão em pedaços? Justifique a sua resposta. 11- (Fuvest) A reação representada pela equação a-baixo é realizada segundo dois procedimentos:

I- triturando reagentes sólidos


II- misturando soluções aquosas concentradas dos reagentes. Utilizando mesma quantidade de NaHSO4 e mesma quantidade de CH3COONa nesses procedimentos, à mesma temperatura, a formação do ácido acético: a-( ) é mais rápida em II porque em solução a freqüên-cia de colisões entre os reagentes é maior. b-( ) é mais rápida em I porque no estado sólido a con-centração dos reagentes é maior. c-( ) ocorre em I e II com igual velocidade porque os reagentes são os mesmos d-( ) é mais rápida em I porque o ácido acético é libe-rado na forma de vapor e-( ) é mais rápida em II porque o ácido acético se dissolve na água. 12-(UFC) Os constantes aumentos dos preços dos combustíveis convencionais dos veículos automotores têm motivado a utilização do gás natural (CH4) como combustível alternativo. Analise o gráfico abaixo, que ilustra as variações de entalpia para a combustão do metano.

Assinale a alternativa correta.

13-(Puc-MG) Foi realizado o estudo da cinética da decomposição da água oxigenada, representada pela reação:

A variação da concentração da água oxigenada com o tempo é representada pelo gráfico adiante. Assinale o gráfico que representa a variação da veloci-dade de decomposição de H2O2 com o tempo:

14-(UFSC) Analise o diagrama de energia abaixo, que representa a reação genérica, em equilíbrio,

e 1 atm. Dê a resposta pela soma da(s) proposição(ões) correta(s).

(01) a reação inversa é endotérmica. (02) O valor da energia de ativação da reação dire-ta, sem catalisador, é de 95 kJ. (04) o abaixamento da energia de ativação, produzido pelo uso do catalisador, foi de 40 kJ. (08) um aumento da temperatura do sistema provocara diminuição nas concentrações de A(g) e de B(g). (16) um aumento da temperatura do sistema resultara na diminuição da constante de equilíbrio. (32) o aumento da pressão sobre o sistema favorece a reação inversa. (64) o aumento das concentrações de A(g) a de B(g) favorece a formação de C(g). soma = ( ) 15-(Unitau) Seja a reação de decomposição:


Podemos afirmar que: a-( ) a velocidade da reação pode ser calculada pela expressão;

b-( ) a velocidade da reação pode ser calculada na forma:

c-( ) a ordem global da reação é 5 d-( ) é uma reação endotérmica, por causa do O2 e-( ) é uma reação exotérmica, por causa do NO2. 16-(UFMG) um palito de fósforo não se acende, espon-taneamente, enquanto está guardado. Porém basta um ligeiro atrito com uma superfície espera para que ele, imediatamente, entre em combustão, com emissão de luz e calor. Considerando-se essas observações, é correto afirmar que a reação: a-( ) é endotérmica e tem energia de ativação maior que a energia fornecida pelo atrito. b-( ) é endotérmica e tem energia de ativação menor que a energia fornecida pelo atrito. c-( ) é exotérmica e tem energia de ativação maior que a energia fornecida pelo atrito. d-( ) é exotérmica e tem energia de ativação menor que a energia pelo atrito. 17(UNB) O estudo da teoria cinético-molecular permite ainda compreender processos relacionados à conser-vação e ao cozimento de alimentos, tais como: I-) divisão de alimentos em pequenos pedaços; II- cozimento de alimentos por aquecimento em siste-mas fechados de pressão elevada; III-) resfriamento de alimentos IV-) salga de carne. Com relação a esses processos, julgue os seguintes itens. ( ) o processo I, isoladamente, não é recomendado para a conservação de alimentos, pois aumenta a su-perfície de contato com o meio externo. ( ) o processo II está relacionado com a diminuição do movimento das partículas no sistema fechado. ( ) no processo III, a velocidade das reações químicas que ocorrem nos alimentos é diminuída. ( ) o processo IV está relacionado com a osmose. 18- (UFSM) Considerando a reação: NO2(g) + CO(g) � NO(g) + CO2(g), que ocorre em uma única etapa e que, numa dada temperatura, apresenta a lei experimental de velocidade dada por v = k[NO2].[CO], é correto afirmar que essa reação é de: a-) ( ) 3a ordem e molecularidade 2 b-) ( ) 2a ordem e molecularidade 3 c-) ( ) 3a ordem e molecularidade 3 d-) ( ) 2a ordem e molecularidade 2 e-) ( ) 5a ordem e molecularidade 5 19- (UFES) Considere os diagramas representativos de Energia (E) versus coordenada das reação (cr):

O diagrama da reação mais lenta e o da que tem a e-nergia de ativação igual a zero são, respectivamente: a-) ( ) I e II b-) ( ) I e III c-) ( ) II e III d-) ( ) I e IV e-) ( ) II e IV 20-(PUC-MG) A tabela a seguir mostra situações expe-rimentais realizadas por um estudante sobre a reação: Zn(s) + 2HCl(aq) � ZnCl2 (aq)+ H2(g)

Assinale a experiência em que a reação entre o metal zinco e a solução de ácido clorídrico se processou com maior rapidez: a-( ) I b-( ) II c-( ) III d-( ) IV e-( ) V 21- UERJ) A sabedoria popular indica que, para acen-der uma lareira, devemos utilizar inicialmente lascas de lenha e só depois colocarmos as toras. Em condições reacionais idênticas e utilizando massas iguais de madeira e lascas e em toras, verifica-se que madeira em lascas queima com mais velocidade. O fator determinante, para essa maior velocidade da reação, é o aumento da: a-) ( ) pressão b-) ( ) temperatura c-) ( ) concentração d-) ( ) superfície de contato 22- Puccamp) Considere as duas fogueiras representa-das a seguir, feitas, lado a lado, com o mesmo tipo e quantidade de lenha.

A rapidez da combustão da lenha será: a-) ( ) maior na fogueira 1, pois a superfície de contato com o ar é maior. b-) ( ) maior na fogueira 1, pois a lenha está mais com-pactada, o que evita a vaporização de componentes voláteis.


c-) ( ) igual nas duas fogueiras, uma vez que a quanti-dade de lenha é a mesma e estão no mesmo ambiente. d-) ( ) maior na fogueira 2, pois a lenha está menos compactada, o que permite maior retenção de calor pela madeira. e-) ( ) maior na fogueira 2, pois a superfície de contato com o ar é maior. 23-(Unirio) A hidrazina, N2H4, é utilizada, junto com al-guns dos seus derivados, como combustível sólido nos ônibus espaciais. Sua formação ocorre em várias eta-pas: a-) H3(aq) + OC—figura-

(aq) � NH2C—figura(aq) + OH-(aq)

(Rápida) b-) NH2C—figura(aq) + NH3(aq) � N2H5

+(aq) + C—figura-

(aq) (Lenta) c-) N2H5

+(aq) + OH-

(aq) � N2H4(aq) + H2O(l) (Rápida) Indique a opção que contém a expressão de velocidade para a reação de formação de hidrazina. a-) ( ) v = k [NH2C—figura] [NH3] b-) ( ) v = k [NH3] [OC—figura-] c-) ( ) v = k [NH3]

2 [OC—figura-] d-) ( ) v = k [N2H4] [C—figura-] [H2O] e-) ( ) v = k [N2H5] [OH-] 24- UERJ) Reações químicas ocorrem geralmente, co-mo resultado de colisões entre partículas reagentes. Toda reação requer um certo mínimo de energia, deno-minada energia de ativação. Os gráficos a seguir repre-sentam diferentes reações químicas, sendo R = reagen-te e P = produto.

Aquele que representa um processo químico exotérmico de maior energia de ativação é o de número: a-) ( ) 1 b-) ( ) 2 c-) ( ) 3 d-) ( ) 4 25-(UFMG) A água oxigenada, H2O2, decompõe-se para formar água e oxigênio, de acordo com a equação: H2O2(l) � H2O(l) + ½ O2(g)

A velocidade dessa reação pode ser determinada reco-lhendo-se o gás em um sistema fechado, de volume constante, e medindo-se a pressão do oxigênio formado em função do tempo de reação. Em uma determinada experiência, realizada a 25º C, foram encontrados os resultados mostrados no gráfico.

Considerando-se o gráfico, pode-se afirmar que a velo-cidade de decomposição da água oxigenada: a-) ( ) é constante durante todo o processo de decom-posição b-) ( ) aumenta durante o processo de decomposição c-) ( ) tende para zero no final do processo de decom-posição d-) ( ) é igual a zero no início do processo de decompo-sição. 26-(Fuvest) Foram realizados quatro experimentos. Cada um deles consistiu na adição de solução aquosa de ácido sulfúrico de concentração 1 mol/L a certa mas-sa de ferro. A 25º C e 1 atm, mediram-se os volumes de hidrogênio desprendido em função do tempo. No final de cada experimento, sempre sobrou ferro que não reagiu. A tabela mostra o tipo de ferro usado em cada experimento, a temperatura e o volume da solução do ácido sulfúrico usado. O gráfico abaixo mostra os resul-tados:

As curvas de 1 a 4 correspondem, respectivamente, aos experimentos: a-) ( ) 1 – D; 2 – C; 3 – A; 4 – B b-) ( ) 1 – D; 2 – C; 3 – B; 4 – A c-) ( ) 1 - B; 2 – A; 3 – C; 4 – D d-) ( ) 1 – C; 2 – D; 3 – A; 4 – B e-) ( ) 1 – C; 2 – D; 3 – B; 4 – A 27-(UFRS) O gráfico a seguir refere-se a uma reação genérica, A + B � R + S


A partir das informações contidas no gráfico, é possível afirmar que a reação em questão possui uma energia de ativação de Arrhenius de aproximadamente: a-) ( ) 5 kcal/mol b-) ( ) 15 kcal/mol c-) ( ) 20 kcal/mol d-) ( ) 25 kcal/mol e-) ( ) 40 kcal/mol 28- (Unicamp) O gráfico a seguir representa as varia-ções das massas de um pequeno pedaço de ferro e de uma esponja de ferro (palha de aço usada em limpeza doméstica) expostos ao ar (mistura de hidrogênio, N2, oxigênio, O2, e outros gases além de vapor d’água).

a-) Por que as massas da esponja e do pedaço de ferro aumentam com o tempo? b-) Qual das curvas diz respeito à esponja de ferro? Justifique. 29- (MACK) A partir do diagrama abaixo, é incorreto afirmar que:

a-) ( ) a entalpia das substâncias simples é igual a zero. b-) ( ) a energia fornecida ao carbono e ao gás hidrogê-nio na formação do complexo ativado é igual a 560 kJ. c-) ( ) o figura de formação de um mol de C2H2 é igual a +226 kJ. d-) ( ) a síntese do C2H2 é uma reação exotérmica. e-) ( ) na obtenção de dois mols de C2H2, o sistema absorve 452 kJ. 30-(Puccamp) Os métodos de obtenção da amônia e do etanol:

Representam. Respectivamente, reações de catálise: a-) ( ) heterogênea e enzimática b-) ( ) heterogênea e autocatálise c-) ( ) enzimática e homogênea d-) ( ) homogênea e enzimática e-) ( ) homogênea e autocatálise 31-(UFRS) AS figuras a seguir representam as colisões entre as moléculas reagentes de uma mesma reação em três situações:

Pode-se afirmar que: a-) ( ) na situação I, as moléculas reagentes apresen-tam energia maior que a energia de ativação, mas a geometria da colisão não favorece a formação dos pro-dutos. b-) ( ) na situação II, ocorreu uma colisão com geome-tria favorável e energia suficiente para formar os produ-tos. c-) ( ) na situação III, as moléculas reagentes foram completamente transformadas em produtos. d-) ( ) nas situações I e III, ocorreram reações químicas, pois as colisões foram eficazes. e-) ( ) nas situações I, II e III, ocorreu a formação do complexo ativado, produzindo novas substâncias. 32- (UFRS) O carvão é um combustível constituído de uma mistura de compostos ricos em carbono. A situa-ção em que a forma de apresentação do combustível, do comburente e a temperatura utilizada favorecerão a combustão com maior velocidade é: a-) Combustível – carvão em pedaços; Comburente – ar atmosférico; Temperatura 0ºC. b-) Combustível – carvão pulverizado; Comburente – ar atmosférico; Temperatura 30º C. c-) Combustível – carvão em pedaços; Comburente – oxigênio puro; Temperatura 20º C. d-) Combustível – carvão pulverizado; Comburente – oxigênio puro; Temperatura 100º C. e-) Combustível – carvão em pedaços; Comburente – oxigênio liquefeito; Temperatura 50º C. 33- (UNB) Em um supermercado, um consumidor leu o seguinte texto no rótulo da embalagem lacrada de um produto alimentício: Contém antioxidante EDTA-cálcio dissódico. Conservar em geladeira depois de aberto. Embalado à vácuo. Considerando que o prazo de validade do produto ainda não está vencido, julgue os itens que se seguem: ( ) O ar puro é um bom conservante desse alimento. ( ) Algumas substância componentes desse produto são impedidas de sofrer reações em que perderiam elétrons. ( ) Se a instrução contida no rótulo for devidamente seguida, haverá o retardamento das reações endotérmi-cas de decomposição do alimento. ( ) Se a embalagem estiver estufada, há indícios de que houve reação como formação de gases e que, nessas condições, o alimento é considerado impróprio para o consumo. 34- PUC-MG) A seguir estão representadas as etapas da reação:


H2 + Br2 � 2HBr

A velocidade da reação é determinada pela etapa: a-) ( ) I b-) ( ) II c-) ( ) III d-) ( ) IV e-) ( ) V 35- (UFRS) Uma reação é de primeira ordem em rela-ção ao reagente A e de primeira ordem em relação ao reagente B, sendo representada pela equação: 2 A(g) + B(g) � 2C(g) + D(g) Mantendo-se a temperatura e a massa constantes e reduzindo-se à metade os volumes de A(g) e B(g), a velo-cidade da reação: a-) ( ) duplica b-) ( ) fica reduzida à metade c-) ( ) quadruplica d-) ( ) fica 8 vezes maior e-) ( ) fica 4 vezes menor 36- (UECE) Assinale a alternativa correta: a-) ( ) reação não-elementar é a que ocorre por meio de duas ou mais etapas elementares. b-) ( ) 2NO + H2 � N2O + H2O é um exemplo de reação elementar porque ocorre por meio de três colisões entre duas moléculas de NO e uma de H2. c-) ( ) no processo:

d-) ( ) se a velocidade de uma reação é dada por v = k [NO2] [CO], sua provável reação será: NO + CO2 � NO2 + CO Nível Intermediário 1-(Vunesp) A fonte energética primária do corpo hu-mano vem da reação entre a glicose (C6H12O6) em solução e o oxigênio gasoso transportado pelo sangue. São gerados dióxido de carbono gasoso e água liqui-da como produtos.Na temperatura do corpo (36,5ºC), a interrupção do fornecimento energético para certos órgãos não pode exceder 5 minutos. Em algumas ci-rurgias, para evitar lesões irreversíveis nestes órgãos, decorrentes da redução da oxigenação, o paciente tem sua temperatura corporal reduzida para 25ºC, e só então a circulação sanguínea é interrompida. a-) escreva a equação química balanceada que repre-senta a reação entre a glicose e o oxigênio. b-) explique por que o abaixamento da temperatura do corpo do paciente impede a ocorrência de lesões du-rante a interrupção da circulação. 2-) Qual é o papel dos radicais cloro (C l .) na destrui-ção do ozônio estratosférico? 3-) O gráfico anterior descreve a variação da concen-tração de I2(g) em mol/L em função do tempo:

a-) o iodo é reagente ou produto da reação? Por quê? b-) determine a velocidade da reação do iodo: b1-) de 0 a 1s b2-) de 1s a 3s b3-) de 7s a 8s 4-) O que se pode dizer quanto à variação da veloci-dade no decorrer da reação, baseado no gráfico do exercício anterior? 5-(Fuvest) A reação de persulfato com iodeto:

Pode ser acompanhada pelo aparecimento da cor do iodo. Se no inicio da reação perfulfato e iodeto estive-rem em proporção estequiométrica (1:2),as concentra-ções de persulfato e de iodeto, em função do tempo de reação, serão representadas pelo gráfico: Linha grossa: concentração de I Linha fina: concentração de S2O8

-2 Na alternativa (c) as duas linhas coincidem.

6-(Vunesp) Em duas condições distintas, a decompo-sição do NH4NO3, por aquecimento, conduz a diferen-tes produtos:

Explique, em termos de energia de ativação:


a-) Por que a decomposição do NH4NO3 puro ocorre pelo processo representado em I, embora aquele re-presentado em II corresponde a um processo mais exotérmico. b-) O papel do íon cloreto na decomposição represen-tada em II. 7-(UFPE) A produção de trióxido de enxofre durante a combustão de carvão em usinas termoelétricas (siste-ma aberto ao ar) causa problemas ambientais relacio-nados com a chuva ácida. Esta reação para a produ-ção de trióxido de enxofre, na presença de óxido de nitrogênio, é descrita pelo mecanismo a seguir:

Qual dos gráficos abaixo melhor representa a concen-tração molar (eixo das ordenadas) das principais espé-cies envolvidas na produção de trióxido de enxofre em função do tempo (eixo das abscissas)?

8-(Puc-MG) Em uma experiência, estuda-se a veloci-dade de reação, numa determinada temperatura, entre os íons persulfato e iodeto. A estequiometria da reação entre esses íons é a seguinte :

O gráfico a seguir representa a evolução da concen-tração de duas espécies presentes durante o aconte-cimento da reação.

É correto afirmar que as curvas 1 e 2 representam, respectivamente, a evolução das concentrações das espécies: a-( ) iodo e íon sulfato b-( ) íon persulfato e íon iodeto c-( ) íon iodeto e íon persulfato

d-( ) íon sulfato e iodo 9-(Puc-MG) A água sanitária é uma solução aquosa que contem os íons C lO, Na+, C l

- e OH. O seu po-der desinfetante deve-se essencialmente aos íons C lC-

.Com o tempo, esses íons se dissociam, como representado na seguinte reação: 2C lO →2C l +O2. Considere o gráfico seguinte, representando as evolu-ções, com o tempo da concentração de C lO- em três frascos de água sanitária, cada um guardado numa temperatura diferente. É incorreto afirmar:

a-( ) para manter um melhor poder desinfetante, a água sanitária deve ser conservada num lugar fresco. b-( ) depois de 50 dias de conservação a T = 30ºC, a água sanitária perdeu mais de 50% do seu poder de-sinfetante. c-( ) depois de 200 dias de conservação a T =20ºC, a água sanitária perdeu mais de 50% do seu poder de-sinfetante. d-( ) um frasco de água sanitária, conservado6 meses a T = 40ºC, mantém um bom poder desinfetante. 10-(Unicamp) Soluções aquosas de água oxigenada, H2O2, decompõem-se dando água e gás oxigênio. A figura a seguir representada a decomposição de três soluções de água oxigenada em função do tempo, sendo que uma delas foi catalisada por óxido de ferro (III), Fe2O3.

a-) qual das curvas representa a reação mais lenta? Justifique em função do gráfico. b-) qual das curvas representa a reação catalisada? Justifique em função do gráfico. 11-(Unitau) Na reação de dissociação térmica do HI(g), a velocidade de reação é proporcional ao quadrado da concentração molar do HI. Se triplicarmos a concen-tração do HI, a velocidade da reação: a-( ) aumentara 6 vezes b-( ) aumentará 9 vezes c-( ) diminuirá 6 vezes d-( ) diminuirá 9 vezes e-( ) diminuirá 3 vezes 12-(Fuvest) Para remover uma mancha de um prato de porcelana fez-se o seguinte: cobriu-se a mancha com meio copo de água fria, adicionaram-se algumas gotas


de vinagre e deixou-se por uma noite. No dia seguinte a mancha havia clareado levemente. Usando apenas água e vinagre, sugira duas alterações no procedimen-to, de tal modo que a remoção da mancha possa ocor-rer em menor tempo. Justifique cada uma das altera-ções propostas. 13-(UFMG) Em dois experimentos, massas iguais de ferro reagiram com volumes iguais da mesma solução aquosa de ácido clorídrico, à mesma temperatura. Num dos experimentos, usou-se uma placa de ferro; no outro, a mesma massa de ferro, na forma de lima-lha. Nos dois casos, o volume total de gás hidrogênio produzido foi medido, periodicamente, até que toda a massa de ferro fosse consumida. Assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa as curvas do volume total do gás hidrogênio produzido em função do tempo.

14-(UERJ) A água oxigenada é empregada, frequen-temente, como agente microbicida de ação, oxidante local. A liberação do oxigênio, que ocorre durante a sua decomposição, é acelerada por uma enzima pre-sente no sangue. Na limpeza de um ferimento, esse microbicida liberou, ao se decompor, 1,6g de oxigênio por segundo. Nessas condições, a velocidade de decomposição da água oxigenada, em mol/min, é igual a: Dado: Massa molar: O2 =32,0 g/mol a-( ) 6,0 b-( ) 5,4 c-( ) 3,4 d-( ) 1,7 15-(UFG) Considere a reação de síntese que ocorre, simultaneamente, em dois recipientes idênticos e de paredes rígidas mantidos à mesma temperatura. Os recipientes contêm hidrogênio e oxigênio gasosos, na mesma proporção, porém, guardado uma relação (em massa) de um para dois, entre os recipientes. a-) desenhe no quadrante, a seguir, a(s) curva(s) que representa(m) a(s) variação(ões) de energia dos sis-temas em função do caminho da reação, indicando a energia em cada etapa.

b-) compare as velocidades da reação nos sistema. Justifique. 16-(UFRJ) A decomposição da água oxigenada sem catalisador exige uma energia de ativação de 18,0 kcal/mol. Entretanto, na presença de platina (catálise heterogênea) e de catalase (catálise homogênea) a energia de ativação cai para 12,0 e 5,0 kcal/mol, respec-tivamente, como pode ser observado no gráfico a se-guir:

a-) A reação de decomposição é endo ou exotérmica? Justifique. b-) Associe cada uma das curvas (a, b, c) com as condi-ções de decomposição da água oxigenada. 17- (PUC – MG) A reação: NO2(g) + CO(g) � CO2(g) + NO(g), ocorre em duas etapas: 1a Etapa: NO2(g) + NO2(g) � NO(g) + NO3(g) (lenta) 2a Etapa: NO3(g) + CO(g) � CO2(g) + NO2(g) (Rápida) A lei de velocidade para a reação é: a-) ( ) v = k [NO2]

2 b-) ( ) v = k [NO2]

2 [CO] c-) ( ) v = k [NO3] [CO] d-) ( ) v = k [NO2] [CO] e-) ( ) v = k [CO2]

2 [NO] 18- (PUC-MG) Considere a seguinte reação química: N2(g) + 2O 2(g) � 2NO2(g), em que a velocidade da reação obedece à equação: V = k [N2] [O2]

2 Triplicando a concentração mol/L de gás nitrogênio e duplicando a concentração mol/L de gás oxigênio e mantendo as demais condições constantes, nota-se que a velocidade da reação: a-) ( ) permanece constante b-) ( ) triplica c-) ( ) aumenta seis vezes d-) ( ) aumenta nove vezes e-) ( ) aumenta doze vezes 19- (PUC-SP) Os dados a seguir referem-se a cinética da reação entre o monóxido de nitrogênio (NO) e o oxi-gênio (O2), produzindo o dióxido de nitrogênio (NO2).

[NO] (mol/L)

[O2] (mol/L)

Velocidade da reação (mol/L.s)

Temperatura (º C)

0,020 0,010 1,0.10-4 400 0,040 0,010 4,0.10-4 400


0,020 0,040 4,0.10-4 400 0,020 0,040 16,0.10-4 ???

Analisando a tabela é correto afirmar que: a-) ( ) a expressão da velocidade da reação é v = k[NO][O2] b-) ( ) a temperatura no último experimento é maior que 400ºC c-) ( ) a velocidade da reação independe da concentra-ção O2 d-) ( ) o valor da constante de velocidade (k) a 400ºC é 1L/mol e-) ( ) o valor da constante de velocidade (k) é o mesmo em todos os experimentos. 20- (UFF) Considere a reação: M(g) + N(g) � O(g) Observa-se, experimentalmente, que, dobrando-se a concentração de N, a velocidade de formação de O quadruplica e, dobrando-se a concentração de M, a velocidade da reação não é afetada. A equação da velocidade v desta reação é: a-) ( ) v = k[M]2 b-) ( ) v = k[N]2 c-) ( ) v = k[M] d-) ( ) v = k[M] [N] e-) ( ) v = k[M] [N]2

21- (PUC-RIO) As velocidades iniciais da decomposição do aldeído acético (CH3CHO) foram medidas para as concentrações iniciais de 0,10 mol/l e 0,20 mol/l e apre-sentaram os valores de 0,02 mol/l.s e 0,08 mol/l.s, res-pectivamente. A ordem da reação em relação ao aldeí-do acético é: a-) ( ) ½ b-) ( ) 1 c-) ( ) 2 d-) ( ) 3/2 e-) ( ) 3 22- (UFMG) Uma chama queima metano completamen-te, na razão de 2L/min, medidos nas CNTP. O calor de combustão do metano é 882 kJ/mol. a-) Calcule a velocidade de liberação de energia. b-) Calcule, em mol/min, a velocidade de produção de gás carbônico. c-) Calcule a massa de oxigênio consumida em 20 mi-nutos. Dados: (O = 16u). 23- UNB) Um estudante, consultando um livro didático de Química, encontrou uma experiência que lhe chamou a atenção. Não dispondo dos reagentes em sua escola, ele solicitou, por meio da Internet, no site http://www.unb.br/qui/Ipeq/, informações sobre os resul-tados que poderiam ser obtidos na experiência. Tendo resultado, via Internet, a tabela de dados, o aluno elabo-rou o seguinte relatório. Experiência: estudo sobre a velocidade de reação. Procedimento: preparando-se tubos de ensaio em dife-rentes concentrações de solução de tiossulfato de sódio e em diferentes condições de temperatura, conforme especificado na tabela de dados, adicionaram-se quatro gotas de ácido sulfúrico em cada tubo, medindo-se ime-diatamente o tempo durante o qual a solução ficou tur-va, não permitindo a visualização de um traço feito a lápis em uma tira de papel que estava atrás do tubo. Tabela de dados:

Tubo Concentração da solução de

Condição de tempera-

Tempo (s)

Na2S2O3 (mol/L)

tura da so-lução

1 0,5 Gelada 20 2 0,5 Quente 5 3 0,5 Ambiente 10 4 0,4 Ambiente 15 5 0,3 Ambiente 20 6 0,2 Ambiente 30

Análise de dados: o tiossulfato reage com o ácido sulfú-rico, produzindo um precipitado – o enxofre – o qual turva a solução. A variação das condições da reação afeta a velocidade de formação do produto. Equação: Na2S2O3 + H2SO4 � Na2SO4 + H2O + SO2(g) + S figura <O Com o auxílio das informações acima, julgue os itens a seguir: (0) O aluno pode concluir corretamente que a concen-tração e a temperatura afetam a velocidade da reação. (1) A entalpia da reação variou nos primeiros três tu-bos. (2) A energia de ligação dos produtos é maior que a energia de ligação dos reagentes. (3) No tubo 1, a energia cinética dos reagentes foi mai-or do que no tubo 2; por isso, o tempo da reação foi maior. 24- UEL) O gráfico a seguir mostra o que acontece com a velocidade (v) de determinada reação química quando se altera a concentração inicial (C) de determinado rea-gente.

Na equação da velocidade da reação, o expoente da concentração do reagente deve ser: a-) 4 b-) 3 c-) 2 d-) 1 e-) 0 25-(MACK) Numa certa experiência, a síntese do cloreto de hidrogênio ocorre com o consumo de 3,0 mol de gás hidrogênio por minuto. A velocidade de formação do cloreto de hidrogênio é igual: Dado: 1/2 H2 + 1/2 C l 2 � HC l a-) ( ) ao dobro do consumo de gás cloro b-) ( ) a 3,0 mol/min c-) ( ) a 2,0 mol/min d-) ( ) a 1,0 mol/min e-) ( ) a 1,5 mol/min 26(UFRJ) A expressão da velocidade de uma reação deve ser determinada experimentalmente, não podendo, em geral, ser predita diretamente a partir dos coeficien-tes estequiométricos da reação.


O gráfico a anterior apresenta dados experimentais que possibilitam a obtenção da expressão da velocidade da seguinte reação:

a-) Escreva a expressão da velocidade desta reação. b-) Calcule o número de mols de cada produto ao final da reação apresentada se, no início, há 3 mol de cada reagente. 27-(UFPR) Costuma-se representar a velocidade v de um processo químico através de equações que têm a forma v = k[A]x[B]y[C]t, onde k é uma constante de pro-porcionalidade, [A], [B] e [C] são as concentrações das espécies participantes da reação e x, y e t são números que podem ser inteiros ou fracionários, positivos, nega-tivos ou zero. A reação de decomposição de peróxido de hidrogênio em presença de permanganato ocorre em meio ácido, tendo iodeto como catalisador. A equação não balance-ada é mostrada na figura.

Nos experimentos de 1 a 4, a velocidade da reação anterior foi estudada em função da variação das con-centrações do permanganato [MnO4

-], do peróxido de hidrogênio [H2O2] e do catalisador iodeto [I-]. O quadro a seguir mostra os resultados obtidos.

Com base nas informações anteriores, é correto afirmar: ( ) A velocidade da reação independe da concentração do catalisador iodeto. ( ) A velocidade da reação é diretamente proporcional à concentração de permanganato. ( ) O peróxido de hidrogênio (H2O2) funciona como a-gente redutor. ( ) Os menores coeficientes estequiométricos inteiros a, b e c são iguais a 2, 5 e 6, respectivamente. ( ) Se a concentração de H2O2(aq) fosse triplicada, a velocidade da reação deveria aumentar 15 vezes. ( ) Os valores de x, y e t, que aparecem na equação de velocidade, são determinados experimentalmente e

sempre coincidem com os valores dos coeficientes es-tequiométricos da reação em estudo. 28- ITA) Uma certa reação química é representada pela equação: 2A(g) + 2B(g) � C(g), onde “A” “B” e “C” significam as es-pécies químicas que são colocadas para reagir. Verifi-cou-se experimentalmente numa certa temperatura, que a velocidade desta reação quadruplica com a duplica-ção da concentração da espécie “A”, mas não depende das concentrações das espécies “B” e “C”. Assinale a opção que contém, respectivamente, a expressão corre-ta da velocidade e o valor correto da ordem da reação: a-) ( ) v = k[A]2[B]2 e 4 b-) ( ) v = k[A]2[B]2 e 3 c-) ( ) v = k [A]2 [B]2 e 2 d-) ( ) v = k[A]2 e 4 e-) ( ) v = k[A]2 e 2 29- FUVEST) O composto C6H5N2C—figura reage quan-titativamente com água, a 40ºC, ocorrendo a formação de fenol, ácido clorídrico e liberação de nitrogênio: C6H5N2C l (aq) + H2O � C6H5OH(aq) + HC l (aq) + N2(g) Em um experimento, uma certa quantidade de C6H5N2C l foi colocada em presença de água a 40ºC e acompanhou-se a variação da concentração de C6H5N2C l com o tempo. A tabela a seguir mostra os resultados obtidos:

Conc./mol.L-1 0,80 0,40 0,20 0,10 Tempo/min Zero 9,0 18,0 27,0

a-) Partindo-se de 500 mL da solução de C6H5N2Cl e coletando-se o nitrogênio (isento de umidade) à pressão de 1 atm e 40ºC, qual o volume obtido desse gás decor-ridos 27 minutos? b-) A partir dos dados da tabela pode-se mostrar que a velocidade da reação é dada pela expressão: v = k[C6H5N2C l ] Demonstre esse fato utilizando os dados da tabela. Sugestão: calcule a velocidade média nas concentra-ções 0,60 e 0,30 mol/L. Volume molar de gás a 1 atm e 40ºC = 26L/mol 30- (FUVEST) Para estudar a velocidade da reação que ocorre entre magnésio e ácido clorídrico, foram feitos dois experimentos a 15ºC utilizando a mesma quantidade de magnésio e o mesmo volume de ácido. Os dois experimentos diferiram apenas na concentra-ção do ácido utilizado. O volume de hidrogênio produ-zido em cada experimento, em diferentes tempos, foi medido a pressão e temperatura ambientes. Os dados obtidos foram:


a-) Em qual dos experimentos a velocidade da reação foi maior? Justifique com base nos dados experimen-tais. b-) A curva obtida para o experimento I (15ºC) está no gráfico acima. Neste mesmo gráfico, represente a curva que seria obtida se o experimento I fosse realizado a uma temperatura mais alta. Explique. 31- UFRJ) A oxidação do brometo de hidrogênio pode ser descrita em 3 etapas: I. HBr(g) + O2(g) � HOOBr(g) (lenta) II. HBr(g) + HOOBr(g) � 2 HOBr(g) (rápida) III. HOBr(g) + HBr(g) � Br2(g) + H2O(g) (rápida) a-) Apresente a expressão da velocidade da reação de oxidação do brometo de hidrogênio. b-) Utilizando a equação global da oxidação do brometo de hidrogênio, determine o número de mols de Br2 pro-duzindo quando são consumidos 3,2 g de O2. Dados: (O = 16u; Br = 80u). 32- (FUVEST) Em solução aquosa ocorre a transforma-ção: H2O2 + 2I- + 2H+ � 2H2O + I2 (Reagentes) (Produtos) Em quatro experimentos, mediu-se o tempo decorrido para a formação de mesma concentração de I2, tendo-se na mistura de reação as seguintes concentrações iniciais de reagentes:

Esses dados indicam que a velocidade da reação con-siderada depende apenas da concentração de: a-) ( ) H2O2 e I- b-) ( ) H2O2 e H+ c-) ( ) H2O2 d-) H+ e-) I- Nível avançado 1-) (ITA) O cloreto de sulfurila, SO2C l 2, no estado ga-soso, decompõe-se nos gases cloro e dióxido de enxo-fre em uma reação química de primeira ordem (análogo ao decaimento radioativo). Quantas horas demorará para que ocorra a decomposição de 87,5% de SO2C l 2 a 320ºC? Dados: Constante de velocidade da reação de decom-posição (a 320ºC) = 2,20.10-5s-1; l n 0,5 = -0,693. a-) ( ) 1,58 b-) ( ) 8,75 c-) ( ) 11,1 d-) ( ) 26,3 e-) ( ) 52,5 2-) (ITA) A equação de Arrhenius k = Aex, sendo o ex-poente x = -Ea/RT mostra a relação de dependência da constante de velocidade (k) de uma reação química com a temperatura (T), em Kelvin (K), a constante universal dos gases (R), o fator pré-exponencial (A) e a energia de ativação (Ea). A curva a seguir mostra a variação da constante de velocidade com o inverso da constante de velocidade com o inverso da temperatura absoluta, para

uma dada reação química que obedece à equação ante-rior. A partir da análise deste gráfico, assinale a opção que apresenta o valor da razão Ea/R para essa reação.

a-) ( ) 0,42 b-) ( ) 0,50 c-) ( ) 2,0 d-) ( ) 2,4 e-) ( ) 5,5

GABARITO Nível Básico 1-) a-) Tempo (min)

N2(g) H2(g) NH3(g)

0 5 mol 10 mol 0 2 3 mol 4 mol 4 mol 4 2,66 mol 3 mol 4,66 mol 6 2,33 mol 2 mol 5,33 mol 8 2,00 mol 1 mol 6 mol

b-) 3 mol/min c-) 2 mol/ min 2-) 1 mol/L.min 3-) a-) Tempo (min) H2(g) O2(g) N2O(g)

0 25 mol 10 mol

0

20 15 mol 5mol 10 mol 40 10 mol 2,5

mol 15 mol

60 7,5 mol

1,25 mol

17,5 mol

b-) 0,1875 mol/s c-) 0,375 mol/s 4-) v = 0,01875 mol/L.s 5-) E 6-) D 7-) E 8-) a-) 0,75 mol/h b-) 0,375 mol/h 9-) a-) reduza velocidade pois reduz o número de mo-léculas com energia de ativação. b-) reduz a velocidade pois reduz o número de cho-ques. c-) acelera a reação pois diminui a energia de ativação. d-) acelera a reação já que aumenta a superfície de contato. 10-) um quilograma de carvão em pó, uma vez que possui maior superfície de contato com o oxigênio do ar. 11-)A 12-) B 13-) D 14-) 77


15-) A 16-) D 17-) c,e,e,e 18-) D 19-) B 20-) E 21-) D 22-) E 23-) A 24-) C 25-) C 26-) E 27-) B 28-) a-) enfermagem, incorporando massa de oxigênio. b-) a curva b, pois a velocidade inicial da reação é maior. 29-) D 30-) A 31-) B 32-) D 33-) e,c,e,c 34-) B 35-) C 36-) A Nível Intermediário 1-) a)C6H12O6 + 6 O2 → 6 CO2 + 6 H2O

b) A redução da temperatura diminui a veloci-dade das reações químicas

2-) Possuem ação catalisadora, ou seja, participam da reação mas são regenerados no final (não são consu-midos durante o processo) 3-) a) Reagem. Sua concentração diminui com o

tempo b) (b1) 1,4 mol/L.s (b2) 0,36 mol/L.s (b3) 0,05 mol/L.s 4-) A velocidade diminui com o tempo 5-) B 6-) a) A reação II deve possuir menor energia de

ativação. b) Age como catalisador 7-) B 8-) A 9-) D 10-) a) V1 = 4/7; v2 = 3,5/4; v3 = 2/6 A reação mais lenta é representada por 3 b) A reação 2, que vem a ser a mais rapida 11-) B 12-) Colocar vinagre puro. O aumento da concentração aumenta a velocidade da reação. Utilizar vinagre quente. O aumento da temperatura aumenta a velocidade da reação. 13-) B 14-) A 15-) a)

b) A que

possui o dobro da massa, possui maior con-centração e maior velocidade.

16-) a) Exotérmica. A energia dos reagentes é mai-or que a dos produtos.

b) a → sem catalisador b → presença de platina c → presença de catalose. 17-) A 18- )E 19-) B 20-)B 21-)C 22-) a) 78,7 kJ/min b) 0,0892 mol/min c) 114 g 23-) C; E; C; E 24-)E 25-)E 26-) a) v = k [H2] [ICl] b) nHCL = 3; nI2 = 1,5 27-) E; C; C; C; E; E. 28-)E 29-) a) V=9,1 L b) (0,1/9), 0,15 = k 30-) a)Da tabela, verifica-se que no instantes inici-

ais da reação, a variação do volume de H2 é maior no experimento II que no I, pois: v = ∆ volume de H2/∆ tempo, logo pode-se a-firmar que a velocidade da reação foi maior no experimento II. b) Observe o gráfico a seguir:

A velocidade da reação aumenta pois um au-mento da temperatura causa elevação da e-nergia cinética média das moléculas. O resul-tado é que ocorreram colisões mais eficazes com os mesmos reagentes ao medirmos o vo-lume do gás nas mesmas condições de pres-são e temperatura.

31-) a) v = k [HBr] [O2] b) x = 0,2 mol de Br2 32-)A Nível Avançado 1-) D 2-) C

329 Química Orgânica CASD Vestibulares

QQuuíímmiiccaa Frente III

CCAAPPÍÍTTUULLOO 33 –– IISSOOMMEERRIIAA

Aula 10

10.1 Definição

Sejam os seguintes compostos:

n – Butano metil-propano P.E. = -0,5ºC P.E. = -12ºC

Ambos possuem a mesma fórmula molecular C4H10. Repare que embora a fórmula molecular seja a mesma (C4H10) as moléculas possuem estruturas diferentes e consequentemente muitas propriedades físicas e químicas diferentes.

Dizemos que esses compostos são ISÔMEROS.

Isomeria é o fenômeno da existência de substâncias que apresentam mesmo número de átomos de cada elemento na molécula (mesma fórmula molecular) e no entanto possuem propriedades diferentes em virtude das diferentes disposições espaciais desses átomos na formação da molécula.

Na química orgânica é muito freqüente o

fenômeno da isomeria, principalmente porque o carbono é tetravalente e tem capacidade de formar diversos tipos de cadeias carbônicas com mesmo número de átomos de carbono.

10.2 Classificação

Podemos distinguir duas espécies de isomeria: a isomeria plana e a isomeria espacial. Sejam os seguintes compostos:

Etanol éter dimetílico

Observem que cada um deles possui 2 átomos de C, 6 átomos de H e um átomo de O. Nessas fórmulas planas (de projeção das moléculas reais) já se notam diferenças na estrutura. No etanol o átomo de O está ligado aos átomos de C e H; já no éter o O está ligado somente a átomos de C.

Eles são isômeros, pois possuem a mesma fórmula molecular C2H6O. Reparem no quadro abaixo, que eles apresentam muitas propriedades diferentes:

etanol

Éter dimetílico

Ponto de ebulição 78,5ºC -24,8ºC

Densidade 0,789g/cm3 0,661g/cm3

Reação com sódio (Na) sim Não

Reação com oxigênio (O) não sim Dizemos que eles constituem um caso de

isomeria plana.

Isomeria plana é aquela onde os isômeros apresentam diferentes fórmulas planas .

Reparem que as fórmulas estruturais espaciais

deverão ser sempre diferentes para que ocorra isomeria.

Quando essa diferença já é notada nas fórmulas planas teremos a isomeria plana.

Estudemos agora o 1,2-dicloroeteno: A B Note que as fórmulas estruturais planas A e B

representam o mesmo composto. Ele possui as seguintes representações

espaciais:

A B Observe que suas fórmulas planas são iguais,

pois no mesmo carbono permite-se aos radicais a livre permutação, nas fórmulas planas. No entanto, se as moléculas possuem disposições de seus átomos diferentes no espaço, como se observa nos modelos acima, então, elas são diferentes e serão duas substâncias distintas. De fato estas substâncias apresentam muitas propriedades diferentes.

Diremos então que esse é um caso de isomeria espacial.

Isomeria espacial é o caso de isomeria onde

os isômeros possuem a mesma fórmula plana (e portanto a mesma fórmula molecular) e estruturas espaciais diferentes .

CASD Vestibulares Química Orgânica 330

CH3 CH3

OH

CH3

OH

EXERCÍCIOS Nível Básico 1. Verifique se os compostos abaixo possuem a mesma fórmula molecular. a) metoxibutano e etoxipropano. b) propilamina e metiletilamina. c) ácido propanóico e etanoato de metila. d) metilpropano e butano. e) etanal e etenol. f) 2,2-dicloropropano e 1,2-dicloropropano. g) etanoato de metila e metanoato de etila. Nível Intermediário 1. Os alcinos que possuem cadeia carbônica com mais de dois carbonos são isômeros de outras duas classes de hidrocarbonetos. Quais? 2. Quantos compostos são possíveis obter com a substituição de dois átomos de hidrogênio do benzeno pelo grupo de átomos C2H6, arrumados de todas as maneiras possíveis? Escreva o nome e a fórmula desses compostos. 3. Com a fórmula C5H10O é possível escrever a fórmula estrutural de compostos das seguintes funções orgânicas: aldeído, cetona, enol, álcool e éter. Indique, a partir dessa fórmula, a fórmula estrutural e o nome de: a) dois aldeídos de cadeia alicíclica. b) duas cetonas de cadeia alicíclica. c) dois enóis de cadeia alicíclica. d) dois álcoois de cadeia cíclica. e) dois éteres de cadeia mista. 4. A fórmula molecular C40H82 dá origem a 62.491.178.805.831 compostos diferentes, ou seja, isômeros de diferentes fórmulas estruturais. Indique o nome e a fórmula estrutural de todos os isômeros planos de fórmula molecular C4H6. Nível Avançado 1. Um hidrocarboneto contém, em massa, 85,71% de carbono e sua massa molecular é igual a 56. a) determine sua fórmula mínima e sua fórmula molecular. b) Dê o nome e a fórmula estrutural de todos os isômeros planos que possuem essa fórmula molecular. 2. Um químico analisou quantitativamente um composto X e verificou que: I – uma amostra de 11,5g desse composto continha 6g de C, 1,5g de H e 4g de O. II – um litro dessa substância no estado gasoso e medido a 187ºC e 1,64 atm tem massa igual a dois gramas. a) Indique a massa molecular e a fórmula molecular da substância analisada. b) Proponha fórmulas estruturais para a substância X, sabendo que a mesma é bastante polar, e para o seu isômero Y, muito pouco polar. 3. Um químico de uma indústria pediu a um empregado, não químico, que fosse comprar direto no fornecedor o composto orgânico X, dizendo o nome e escrevendo num papel a fórmula molecular C2H6O e o ponto de ebulição 78ºC. O empregado, ao chegar à loja, mostrou ao vendedor somente a fórmula no papel e adquiriu 1,0 L daquela substância. No entanto, o

laboratório da indústria, ao medir a temperatura de ebulição, achou -24,9ºC. a) O fornecedor vendeu necessariamente um composto com fórmula molecular diferente da apresentada? b) Indique o que pode ter ocorrido, assim como a fórmula estrutural e o nome do composto comprado pelo empregado. Desafio!!! Dê todos os isômeros planos de fórmula C5H12O, indique nome, fórmula estrutural, o grupo funcional a que pertencem, e classifique a cadeia carbônica e os átomos de carbono.

GABARITO Nível Básico 1.a. C5H12O 1.b. C3H9N 1.c. C3H6O2 1.d. C4H10 1.e. C2H4O 1.f. C3H6Cl2 1.g. C3H6O2

Nível Intermediário 1. ciclenos e alcadienos. Fórmula geral: CnH2n – 2. 2. É possível obter quatro compostos diferentes: Etilbenzeno orto-dimetilbenzeno Para-dimetilbenzeno meta-dimetilbenzeno 3.a 3.b 3.c 3.d 3.e

pentanal

CH3 O

CH33-metilbutanal

CH3 CH3

O2-pentanona

CH3CH3

O

CH3

metilbutanona

1-penten-1-ol

CH3

OH

2-penten-3-ol OH

ciclopentanol Ciclo-2-metilbutanol

OCH3

Éter etilciclopropílico

OCH3

Éter metilciclobutílico


CH3

H

O

CH3 CH2 C

O

CH3 C CH3

CH3

OH

O

CH2 C

CH3O

O

H3C C

OHCH3 CH2 CH2

CH3CH3 CH2 O

CH3 CH2 CH2 CH2 OH

CH3

H3C CH CH2 OH

NH2CH2CH2CH3

CH3NHCH2CH3

CH3 CH CH CH3

H2C

CH2

CH2

H2C

CH3

CH3 CH CH2

OH

O

C

4. Nível Avançado 1. a C4H8 1. b 2. a fórmula mínima: C2H6O Fórmula molecular: C2H6O 2. b 3. a não 3. b foi vendido um isômero do álcool etílico: o éter dimetílico que tem mesma fórmula molecular e ponto de ebulição igual a -24,9ºC.

Aula 11 - Isomeria Plana ou estrutural 11.1 Definição

É o caso de isomeria em que a diferença existente entre os isômeros pode ser notada no próprio plano.

No caso dos isômeros etanol e éter dimetílico, a diferença entre eles pode ser notada utilizando-se de fórmulas estruturais planas. Percebe-se facilmente que os arranjos de átomos são diferentes nas duas moléculas.

Temos vários casos de isomeria plana ou estrutural.

11.2 Classificação 11.2.1 Isomeria de função ou funcional;

Os isômeros pertencem a funções químicas diferentes.

Exemplos: a) Aldeído e cetonas Fórmula molecular: C3H6O Aldeído Cetona

b) Ácidos carboxílicos e ésteres Fórmula: C3H6O2 Ácido carboxílico Éster c) Álcoois e éteres Fórmula: C3H8O álcool éter 11.2.2 Isomeria de cadeia;

Os isômeros pertencem à mesma função química, apresentando, porém, tipo diferente de cadeia.

Exemplos: 1) Fórmula: C4H10O Álcool de cadeia normal Álcool de cadeia ramificada 2) Fórmula: C3H9N Amina de cadeia homogênea Amina de cadeia heterogênea 3) Fórmula: C4H8

Hidrocarboneto de cadeia aberta Hidrocarboneto de cadeia fechada 11.2.3 Isomeria de posição;

Os isômeros pertencem à mesma função química, têm o mesmo tipo de cadeia, mas diferem pela posição de um radical, de um grupo funcional ou de uma insaturação.

Exemplos:

a) Posição de um radical Fórmula: C4H9O2 Ácido com radical metil no carbono 3

CHCH3

1-butino

CH3CH3

2-butino CH2

CH3

1,2-butadieno

CH2 CH21,3-butadieno ciclobuteno

CH3

3-metil-1-ciclopropeno

1-metil-1-ciclopropeno

CH2 CH31-buteno

CH3CH3

2-buteno

CH2 CH3

CH3metilpropeno

ciclobutano

CH3

metilciclopropano

X:

etanol

Y:

metoximetano


CH3

CH3 CH2 CH

OH

O

C

OHCH3 CH2 CH2

OH

CH3 CH CH3

CH3CH3 CH CH

CH CH2CH2CH3

CH3 CH2

O

C O CH3

CH3H3C

O

C O CH2

CH3H3C CH2 NH CH2

CH3H3C CH2 CH2 NH

CH3H3C CH2 O CH2

CH3H3C O CH2 CH2

H

H

O

H2C C

HO

CH2 C

H

O

CH3 C

H

CH2 CH3 C CH2

HO

Cl

Cl

Cl

Cl

CH3 CH3

CH3O

CH3

CH3 O CH3

CH3 CH2

H

O

CCH3CH3

O

C

CH3CH3

Ácido com radical metil no carbono 2 b) Posição de um grupo funcional Fórmula: C3H8O Álcool com hidroxila no carbono 1 Álcool com hidroxila no carbono 2 c) Posição da insaturação Fórmula: C4H8 Hidrocarboneto com insaturação no carbono 2 Hidrocarboneto com insaturação no carbono 1 11.2.4 Isomeria de compensação ou metameria;

Os isômeros pertencem à mesma função química, têm o mesmo tipo de cadeia e diferem na posição relativa do heteroátomo.

Todas as funções que apresentam cadeia heterogênea (éter, éster, amina) podem apresentar este tipo de isomeria.

Exemplos:

a) ácido carboxílico Fórmula: C3H8O2 Propanoato de metila Etanoato de etila b) amina Fórmula: C4H11N dietilamina metilpropilamina c) éter Fórmula: C4H10O

etoxietano metóxipropano 11.2.5 Tautomeria;

É um caso particular de isomeria funcional em que dois ou mais isômeros coexistem em equilíbrio dinâmico em solução, transformando-se um no outro, pela mudança de posição de H na molécula.

A tautomeria, ou isomeria dinâmica, também pode ser denominada cetoenólica ou aldoenólica , pois ocorre principalmente entre cetonas e enóis ou aldeídos e enóis. Enol é todo composto que apresenta hidroxila (–OH ) em carbono de dupla ligação.

Exemplos: a) Aldoenólica b) Cetoenólica Obs.: apresentam tautomeria apenas os aldeídos e cetonas que tenham H preso ao carbono vizinho da carbonila.

EXERCÍCIOS Nível Básico 1. A isomeria plana é aquela que se elucida por: a) equilíbrio dinâmico b) dupla ligação c) carbono quaternário d) fórmulas estruturais e) fórmulas planas 2. Verifique se os compostos a seguir apresentam isomeria plana, e caso positivo, classifique a isomeria: a) b) c) d) e)


CH3 OCH2 CH2 CH3CH3 CH2CH2 CH2 OH

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

Cl

OH

CH3 CH3CH

OH

H2C CH3CH2

CH3 O CH3CH2

3. Qual dos compostos abaixo é isômero estrutural do 2,2-dimetilpropano? a) propano b) butano c) hexano d) 2-metilpentano e) pentano 4. O ciclopropano é isômero do: a) propeno b) ciclobutano c) propano d) propino e) propadieno 5. Um alcano pode ser isômero de: a) um alceno com o mesmo número de átomos de carbono. b) um ciclo-alcano com a mesma fórmula estrutural. c) outro alcano de mesma fórmula molecular. d) um alcino com apenas uma ligação tripla. e) um alcadieno com o mesmo número de átomos de hidrogênio. 6. Os isômeros do ácido propanóico têm fórmula molecular: a) C3H6O2 b) C3H8O2 c) C3H6O d) C3H4O2 e) C3H4O Nível Intermediário 1. Teoricamente, todo ácido carboxílico apresenta como isômero funcional pelo menos um éster. Que ácido constitui uma exceção a esta regra? 2. Dadas as fórmulas moleculares os compostos I e II: I – C3H6O; II – C3H8O; a) o composto I pode ser um ácido carboxílico e o composto II, um álcool. b) o composto I pode ser um aldeído e o composto II pode ser um álcool. c) o composto II pode ser um ácido carboxílico e o composto I pode ser um álcool. d) o composto I pode ser um álcool e o composto II, um ácido carboxílico. e) o composto I pode ser um aldeído e o composto II pode ser um éter. 3. Propanoato de etila é isômero do: a) éter metilpropílico. b) pentanol. c) etilpropilcetona. d) 1,5-pentanodiol. e) ácido pentanóico. 4. O número de isômero planos de cadeia cíclica com a fórmula C5H10 é: a) 9. b) 6. c) 5. d) 4. e) 2. 5. O número de éteres acíclicos diferentes, possíveis para a fórmula C4H10O, está corretamente representado pela opção: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 6. Identifique a alternativa onde os compostos não são isômeros. a) propano e propeno. b) 1-buteno e 2-buteno. c) propanal e propanona. d) 1-propanol e 2-propanol. e) 1-buteno e ciclobutano. 7. Representa um isômero de função do propanal: a) 1-propanol. b) 2-propanol. c) ácido propanóico. d) propano. e) propanona. Nível Avançado 1. Uma amina alifática apresenta 19,18% de nitrogênio. Indique o número de isômeros formados por amina primária. Dados: N = 14, C = 12 e H = 1. 2. Dos isômeros com a fórmula C2H2C�2, pode-se dizer que: a) são todos polares. b) são todos apolares. c) apenas um é polar. d) apenas dois são polares.

e) não existem isômeros com essa fórmula molecular. 3. (Fuvest – 2ª Fase) Éter dietílico Álcool butílico Discuta cada um dos procedimentos abaixo para distinguir entre éter dietílico e álcool butílico. a) Determinação das porcentagens de carbono e hidrogênio de cada uma das substâncias. b) Determinação do ponto de ebulição de cada uma das substâncias. 4. (Unesp) Representar as fórmulas estruturais de todos os isômeros resultantes da substituição de dois átomos de hidrogênio do benzeno por dois átomos de cloro. Dar os nomes dos compostos e o tipo de isomeria. 5. (UFTM) A, B e C têm a mesma fórmula molecular C3H8O. A tem 1 hidrogênio em C secundário e é isômero de posição de B. Tanto A como B são isômeros de função de C. Escreva a fórmula estrutural e os nomes de A, B e C. Desafio!!! Quanto ao composto dibromometilbenzeno: a) Qual o seu nome usual? b) Escreva sua fórmula molecular. c) Escreva a fórmula estrutural de todos os seus isômeros de posição. d) Escreva 3 isômeros de cadeia alifática. e) Existe um isômero de cadeia heterogênea? Justifique.

GABARITO Nível Básico 1. d 2.a. isomeria de posição 2.b. não são isômeros 2.c. isomeria de compensação 2.d. isomeria de função 2.e. isomeria de cadeia 3. E 4. A 5. C 6. A Nível Intermediário 1. ácido metanóico. 2. B 3. E 4. D 5. B 6. A 7. E Nível Avançado 1. número de isômeros: 4. 2. A 3. a) os isômeros têm a mesma composição centesimal. 3. b) o álcool tem maior ponto de ebulição, pois estabelece ponte de hidrogênio. 4. Isomeria de posição 1,2-diclorobenzeno 1,3-diclorobenzeno 1,4-diclorobenzeno (orto) (meta) (para) 5. A) 2-propanol B) 1-propanol C) metóxietano


e

d

b

a

C C

b

d

b

a

C C

b

a

b

a

C C

H

CH3

H

H3C

C C

2-buteno 1,2-dicloroetenoH

Cl

H

Cl

C C

3-metil-2-pentenoCH3

CH2CH3

H

CH3

C C

1-buteno H

CH2CH3

H

H

C C

cloroetenoH

Cl

H

H

C C

2-metil-2-butenoH

CH3

CH3

CH3

C C

H

H

H

H

H

H

C C

eteno H

H

H

H

C C

Aula 12 - Isomeria espacial – I 12.1 Definição

É o caso de isomeria em que a diferença existente entre os isômeros só será notada na fórmula espacial dos compostos.

Temos dois casos principais: a) Isomeria geométrica b) Isomeria óptica

12.2 Isomeria geométrica ou cis-trans Pode ocorrer em compostos de cadeia acíclica e

em compostos de cadeia cíclica. 12.2.1 Isomeria geométrica em compostos de cadeia aberta

Neste caso, o composto deve apresentar pelo menos uma dupla ligação entre átomos de carbono e dois ligantes diferentes em cada carbono da dupla.

ou ou

Exemplos: Apresentam isomeria geométrica: Não apresentam isomeria geométrica: 12.2.2 Os átomos de carbono não giram ao redor da ligação dupla

No etano, os átomos de carbono estão unidos por ligação simples:

Observe que é possível girar um átomo de carbono em relação ao outro ao redor da ligação simples, sem haver rompimento de ligações.

Girando um carbono em relação ao outro

No eteno, os átomos de carbono estão unidos por

uma ligação dupla:

Não é possível girar os carbonos ao redor da dupla sem que ela se rompa. É esta impossibilidade de rotação que acarreta o aparecimento de isomeria geométrica. Nesse caso os átomos estão em um mesmo plano , percebe-se que há duas possibilidades quando os átomos de carbono apresentam ligantes diferentes. 12.2.3 Isômeros cis (vizinhos, mesmo lado)

Também são conhecidos por isômeros Z (inicial da palavra alemã zusammen = “juntos”).

Espacialmente nos mostra radicais de maior massa molar do mesmo lado do plano estabelecido pela dupla ligação.

Cis-1,2-dicloroeteno Cis-1-cloropropeno 12.2.4 Isômeros trans (através, transversal)

Também são conhecidos por isômeros E (inicial da palavra alemã entgegen = “opostos”).

Espacialmente nos mostra radicais de maior massa molar em lados opostos do plano estabelecido pela dupla ligação. trans-1,2-dicloroeteno trans-1-cloropropeno RESUMO:

a) radicais de maior massa molecular do mesmo lado: cis ;

b) radicais de maior massa molecular opostos: trans .


ácido butenodióico cis (ácido maleico)

H

COOH

H

HOOC

C C

ácido butenodióico cis (ácido fumárico)

COOH

H

H

HOOC

C C

b

aa

b

CH2

C C

b

ad

e

CH2

C C

H

ClCl

H

CH2

C C

1,2-dicloropropanoH

H

CH3

CH3

H2C

C

CH2

C

1,2-dimetilciclobutano

HH

H

CH3CH3

CH3

C

C C

H

HHH

CH3 C C C CH3

H

HH

CH2 C C CH3

ClCl

H2C

H

C CH3

H

HH

HH

H

C

C

C

C

ClH

H

ClH

H

C

C C

H

CH3

CH3

CH3

CH2

CH2

C C

H

CH3

H

ClC C

OH

OOH

O

C

H

H

CC C

CH3

CH3

CH3

CH3

CH3

H

CH2

C C

CH2

CH3

H

CH3

Cl

CH2

C C

CH2

Cl

CH3

CH3

Cl

C

C

CH2

H2C

CH3

H H

C C CH2 CH3

CH3

CH3

CH2

CH2

C

CH2

12.2.5 Isômeros cis e trans têm propriedades diferentes

Consideremos os ácidos butenodióicos: Os isômeros cis-trans diferem entre si pelas

propriedades físicas (ponto de ebulição, ponto de fusão, densidade, solubilidade etc.)

Ácido butenodióico cis

Ácido butenodióico trans

P.F. 130ºC 287ºC

Densidade 1,590g/cm3 1,635g/cm3

Solubilidade em água solúvel Menos solúvel

No que diz respeito às propriedades químicas, os isômeros geométricos podem apresentar ou não diferenças. Assim, por exemplo, se aquecermos o ácido maleico, obteremos, facilmente, o respectivo anidrido.

OHOH

O

O

H

H C

C C

C

O

O

O

H

H C

C C

C

OH2+

ácido maleico anidrido maleico

∆

O mesmo não acontece com o ácido fumárico, o

que pode ser entendido espacialmente pela maior distância entre as carboxilas.

O ácido fumárico, por aquecimento, nunca fornece o respectivo anidrido; por aquecimento brando, não sofre desidratação e, por aquecimento enérgico, o ácido fumárico fornece o anidrido maleico (o ácido fumárico sofre uma transformação em ácido maleico, e este sofre desidratação).

12.2.6 Isomeria geométrica em compostos de cadeia fechada

Neste caso, o composto deve apresentar pelo menos dois átomos de carbono do ciclo com dois ligantes diferentes.

Exemplos:

Alguns autores chamam a isomeria geométrica em compostos cíclicos de isomeria Baeyeriana , em homenagem ao químico alemão Adolf Van Baeyer.

EXERCÍCIOS Nível Básico 1. Dadas as fórmulas estruturais abaixo, indique se as mesmas apresentam ou não isomeria geométrica. a) b) c) d) e) f) 2. Dê o nome dos isômeros geométricos representados pelas fórmulas abaixo: a) b) c) d) e) f) g) h)


CH3

CH3HCH3

O

H C

H

C C

CCH2CH2 C

neral (isômero Z)

CH3

CH3H

CH3

O

H C

H

C C

CCH2CH2 C

geranial (isômero E)

O

H

CC C

H H

HC CH CH3

OCH3

HC

OCH3

OCH2CHH2C

OCH3

H

OOCH3

C

orto meta H

OC

OCH3

CH3

HH

H3CO

C C

cis

CH3

H

H

H3CO

C C

trans

3. O alceno mais simples que apresenta isomeria geométrica é o: a) eteno b) propeno c) 1-buteno d) 2-buteno e) 3-penteno Nível Intermediário 1. Ao se aquecer brandamente uma mistura de ácidos maléicos e fumáricos com a finalidade de desidrata-los, obtêm-se: a) anidrido maleico e ácido maleico b) anidrido maleico e anidrido fumárico c) anidrido fumárico e ácido maleico, permanecendo inalterado d) anidrido maleico e ácido fumárico, permanecendo inalterado e) ambos os ácidos permanecem inalterados 2. Quantos isômeros geométricos de aldeído cinâmico são previstos? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. (Unb – DF) As seguintes substâncias apresentam isomerismo geométrico: 1) 2-metil-2-buteno 2) 3-hexeno 3) 1,3-dimetilciclobutano 4) 2-buteno 5) 1,2-dimetilbenzeno 6) 1,2-diclorociclopenteno 4. (UFOP – MG) Com relação às estruturas abaixo, que representam substâncias usadas com fins terapêuticos, responda: I II III A) Quais são os isômeros orto e meta da substância II? B) Quais as funções presentes em II? C) Qual(is) da(s) substância(s) I, II e III possui(em) isômeros geométricos? Represente-os. D) Qual a substância que contém uma ligação dupla não conjugada? Nível Avançado 1. O citral, um óleo essencial extraído do limão, se apresenta como uma mistura de neral (isômero Z) e geranial (isômero E). Dada a estrutura plana do citral, indique as estruturas espaciais dos seus isômeros neral e geranial, assim como seus nomes oficiais.

CH3

CH3HCH3

O

H

C

H

C C CCH2CH2 C

Citral

2. (ITA – SP) No total, quantas estruturas isômeras (isômeros geométricos contados separadamente)

podem ser escritas para uma molécula constituída de três átomos de carbono, cinco átomos de hidrogênio e um átomo de cloro? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 3. Sabendo-se que 2,46L de um hidrocarboneto gasoso, medidos à pressão de 1 atm e 27ºC, têm massa igual a 5,6 gramas e que esse hidrocarboneto apresenta isomeria cis-trans, isomeria de cadeia e isomeria de posição, pode-se afirmar que se trata de: a) 1-buteno b) 2-buteno c) propeno d) ciclobutano e) metilciclobutano

GABARITO Nível Básico 1.a. não 1.b. não 1.c. não 1.d. sim 1.e. não 1.f. sim 2.a. trans-3-metil-3-hexeno 2.b. cis-1-cloropropeno 2.c. ácido trans-butenodióico 2.d. cis-1,2-dimetilciclo-hexano 2.e. trans-3-metil-2-hexeno 2.f. E-2-cloro-2-hexeno 2.g. cis-1,3-dicloro-1,3-dimetilciclobutano 2.h. Z-5-etil-5-metil-2-octeno Nível Intermediário 1. D 2.B 3. corretos: 2, 4 e 6. 4. A. 4.B. Éter e aldeído 4.C. A substância I possui isômeros geométricos 4.D. Substância III Nível Avançado 1. 2. C 3. D

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