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Um verdadeiro kit de sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio no que diz respeito a Matemática.

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Sumário3 Bem vindo à nossa jornada

4 Matemática é para todo mundo

6 Estudando para aprender

8 Superando o medo de errar

11 O que é matemática?

15 O mapa para compreender a matemática

22 Muito obrigado!

23 Referências

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Capítulo 1

Bem vindo à nossa jornadaTudo bem! Meu nome é Valério. Eu já passei por essas fases do ensino: fundamental e médio e sei oquanto são complicadas. Por isso vou repassar algumas dicas para diminuir um pouco a ansiedadedessas fases e desmistificar os mitos ao redor dessa área de conhecimento que está a todo tempo aonosso redor sem a gente nem perceber: a matemática. Para facilitar o processo eu chamei Mateus que éum amigo meu que está passando pela mesma fase que você. Espero que a conversa entre eu e Mateussobre a matemática seja muito proveitosa para você. Uma pequena curiosidade antes de começarmos éque coincidentemente as iniciais do nome Mateus são as mesmas que o nome Matemática. Fique agoracom o texto.

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Capítulo 2

Matemática é para todo mundoValério diz: Tudo bem Mateus! Como vai!

Mateus diz: Poderia está melhor. É que não estou indo bem nas aulas de matemática da escola.

Valério: Você sempre foi tão alegre e agora está com esse jeito abatido. Conte-me mais detalhes do queaconteceu?

Mateus: É que eu acho que eu não nasci para matemática. Matemática não é para mim. Minhas notasestão baixas e estou a cada dia sem ânimo para estudar. Acho as aulas chatas, distantes e não vejosentido em assisti-las. Assisto porque sou obrigado.

Valério: Mateus, eu te entendo, você não é o único. São centenas de adolescentes que estão sentindoessa ansiedade que você está sentindo. Eu já passei por isso quando tinha a sua idade. Eu persisti, meesforcei e consegui superar essa fase. Mas tenho uma surpresa para você. Vou te dar algumas dicas sobrematemática que aprendi pesquisando fora da escola que vão te ajudar a superar sua dificuldade. Você vaiachar a matemática até divertida depois da nossa conversa.

Mateus: Que dicas são essas?! Me conte logo! Matemática divertida?! Isso é possível?

Valério: Claro que é possível. Mas não existe pilula mágica. Minhas dicas te ajudarão somente se você secomprometer com seu aprendizado e se esforçar diariamente. Se eu soubesse dessas dicas quando tinhaa sua idade teria sido tudo mais simples. Lembre-se que isso não é uma aula e sim uma conversa. Fiquesempre a vontade para falar sobre dúvidas e ansiedades do seu dia a dia. Meu objetivo não é bancar osabe tudo e sim te ajudar. Está preparado para começar a viagem ao mundo da matemática?

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Mateus: Estou sim! Quero saber de tudo! Cada detalhe! Não esconda nada!

Valério: Calma Mateus, vamos um passo por vez. O primeiro ponto que é preciso saber é quematemática é uma disciplina para todos os seres humanos: meninos, meninas, crianças, adultos eidosos. Qualquer frase que você ouvir, seja na escola ou em filmes do tipo: matemática é coisa demenino, ou, em escolas que tem alunos de vários países você escutar frases como: só os orientais(japoneses, chineses) dominam a matemática, diga na mesma hora para si mesmo: isso é uma grandementira, matemática é para todo mundo, para todos os seres humanos, a única coisa necessária é oesforço individual para conseguir aprendê-la.

O segundo ponto é que matemática serve para pessoas em todos os níveis de aprendizado. Se você ouvirfrases do tipo: matemática é só para pessoas muito inteligentes ou matemática é só para nerds. Diga nomesmo minuto para si mesmo: isso não passa de uma mentira. Matemática é para todos os níveis deaprendizado. Você só precisa identificar, com a ajuda dos seus pais e de seu professor, o seu nível deaprendizado. Em seguida, resolver problemas para esse nível até dominá-los. Logo você poderá ir parapróximo nível. O outro ponto é que não existe essa coisa de já nascer inteligente. Inteligência é acapacidade que a pessoa tem de detectar e resolver problemas. A inteligência é desenvolvida através doesforço individual. Os mais inteligentes se esforçaram mais. Pode ter algumas pessoas que aprendemmais rápido que outras, mas todas as pessoas, quando se esforçam conseguem aprender os problemas deforma efetiva. A exceção é para pessoas que tenham algum problema cerebral, mas mesmos nesses casosexistem pesquisadores e instituições que criam atividades de aprendizado específicas e essas pessoasconseguem aprender. A neurociência, que é a área do conhecimento que estuda o cérebro humano, jácomprovou a plasticidade do cérebro, que é a capacidade do cérebro se adaptar e se superar quando étrabalhado por meio de problemas apropriados. O ponto chave é o ESFORÇO INDIVIDUAL.

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Capítulo 3

Estudando para aprenderMateus: Tudo bem Valério o esforço é importante, já entendi. Mas o que faço se der um branco naprova?!

Valério: Mateus, o primeiro ponto é que não se estuda para provas, nem para tirar notas, se estuda paraAPRENDER. Quando você estuda somente para provas e notas, o conteúdo é visto de maneirasuperficial, de forma que você esquece rapidamente. Quando você estuda para aprender é igual a andarde bicicleta: estuda uma vez e vale para toda a vida.

Mateus: Certo, estudar para aprender e não para tirar nota. Mas como é que eu faço isso? Como possoestudar para aprender?

Valério: Apenas compreenda que você vai à escola para ENTENDER assunto, e no MESMO DIA, vocêdeverá escrever apontamentos com suas palavras ou resolver problemas a respeito da aula que assistiu,na escola ou em casa (ESTUDAR). Pierluigi Piazzi (professor Pier), em seu livro: AprendendoInteligência, resume esse processo na seguinte frase: aula dada, aula estudada hoje. Estudar paraaprender é reescrever o que você entendeu na aula com suas palavras um pouquinho por dia. Com essehábito, a nota boa, ou a prova será uma consequência, sua ansiedade diminui e a sensação de dar obranco que era frequente, vai acontecer só de vez em quando. Com hábitos de estudos saudáveis, as suasnotas aumentarão sem você se preocupar com elas. Lembre-se apenas de nunca estudar excessivamenteum dia antes da prova, pois só aumentará sua ansiedade. Estude um pouco, todos os dias e descanse umdia antes da prova. Dessa forma, sua mente tranquila poderá captar as informações estudadas eaprendidas e você poderá resolver os problemas contidos na prova de forma mais efetiva.

Mateus: Porque devo estudar no mesmo dia da aula? Não posso deixar somente para o final de semana?

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Valério: Em hipótese nenhuma. A não ser que você queira enganar a si próprio e ir empurrando com abarriga, tirando nota suficiente para passar e fingindo que sabe de algo sem saber de nada. Eu tenhocerteza que não é o seu caso. A questão é que se você assiste à aula e entende o conteúdo, mas nãoreescreve em casa no mesmo dia (não estuda), aquele conteúdo não será armazenado no seu cérebro.Será esquecido e você perde literalmente um dia de sua vida no que diz respeito a aprendizado. Océrebro aprende no decorrer do dia. Tudo que você exercitou com mais intensidade fica armazenado deforma permanente durante o sono. Se você não estudou, durante o sono as informações que você viu naaula são quase 100% esquecidas. Entendeu agora porque eu repito tanto que o esforço é essencial para oaprendizado?

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Capítulo 4

Superando o medo de errarMateus: Estudar um pouquinho todo dia, já entendi. Mas eu tenho muito medo de errar. O que eu façopara superar isso?

Valério: Eu compreendo e sinto muito por você está nessa situação. Eu posso pensar em dois motivospossíveis para que você tenha chegado a esse ponto:

1. A cultura excessiva em torno de provas e notas e, pior ainda, a cultura de testes cronometrados que oscolégios adotam, na qual o aluno pode perder o ano se cometeu um erro na prova é o que pode criaressas fobias e afastar o aluno da cultura empolgante do aprendizado contínuo. A Finlândia já resolveuisso muito bem. Lá, os alunos passam um bom tempo experimentando, exercitando, fazendo projetos,debatendo, errando, acertando e aprendendo efetivamente. Só depois desse período é que sãosubmetidos a testes. Não é a toa que os alunos da Finlândia geralmente estão entre os mais bempreparados do mundo segundo o teste PISA. Juro para você que se eu tivesse um botão quetransformasse a cultura de notas e provas em cultura de aprendizado eu já teria apertado. Mas,infelizmente não existe. Esse equívoco cultural ocorre em diversos países, inclusive nos EUA. A questãoaqui não é eliminar os testes, mas colocá-los somente depois dos alunos terem vivenciado e assimiladoos conceitos básicos e, de preferência, que o teste não seja feito pelo professor daquela turma e sim poroutro profissional ou outra instituição. Dessa forma, o aluno se sentirá mais a vontade e não ficaráconstrangido durante a fase de aprendizado, convivendo com um professor que ao invés de treinadorexerce o papel de juiz. Ver mais sobre isso no livro: Ensinando inteligência de Pierluigi Piazzi.

2. Seus pais, por ignorância, na sua infância, elogiaram demais sua personalidade ao invés do seu esforço.Elogiar a personalidade de uma criança com frases do tipo: "Você é o menino mais inteligente domundo! Você é a garota mais bonita do mundo!" é muito prejudicial, pois a criança passa a acreditarnisso e a consequência é muito ruim. Se ela já sabe que é inteligente porque seus pais disseram, ela não

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vai querer se esforçar nas aulas e o pior: ela vai ter medo de errar, pois isso iria expô-la à difícil situaçãode contrariar a definição estática que seus pais deram para ela. Por outro lado, se os pais elogiam oesforço da criança, ela passa a ver o erro como parte do aprendizado e lida com naturalidade diantedele. Esses dois tipos de mentalidade: fixa e de crescimento são detalhadas no livro: Porque algumaspessoas fazem sucesso e outras não, escrito por Carol Dweck, uma pesquisadora americana. Peça paraseus pais lerem esse livro assim que puderem.

O que eu posso apenas é te dar algumas dicas para lidar com esse dilema:

1. O primeiro ponto que você precisa saber é que ninguém nasce com medo de errar. Pode observar umbebê e veja quantas vezes ele se mete em encrenca e sempre parece está se divertindo. Devemossempre nos dedicar ao resgate dessa ação de explorar as coisas ao nosso redor sem receio, quetínhamos quando éramos bebê.

2. O segundo ponto que você deve saber é que o erro faz parte do aprendizado. Não existe aprendizadoefetivo sem erro. Se você nunca errou, você nunca aprendeu nada. O erro cria novas conexões cerebrais(sinapses), ou seja, ele faz com que seu cérebro fique cada vez mais desenvolvido. O erro é umaoportunidade para te deixar mais preparado ao enfrentar problemas maiores. Errar é essencial, errar ébom.

3. Se no seu colégio a cultura de notas e provas é muito exagerada, peça para seus pais lerem essa carta ecogite a possibilidade de mudar de colégio.

4. Se seus colegas falarem mal de você por você ter errado, comunique aos seus pais o acontecido, não dêatenção aos seus colegas, se eles fossem especialistas não estariam ainda na escola, estariam sendo útila sociedade.

5. Caso você se encaixa no segundo item, vítima do excesso de elogio a sua personalidade ao invés de seuesforço tome consciência disso. Perdoe seus pais, eles não têm culpa, por ignorância fizeram isso.Tenho certeza que eles pensaram estar fazendo o melhor para você. Apenas comece a se esforçar mais,que aos poucos você vai evoluindo e perdendo o medo.

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6. Assim que você cometer um erro pense sempre: Que ótimo! O que posso aprender a partir desse erro?Como posso fazer para concertar? Que lição eu tiro a partir desse meu erro? E de erro em erro você vaise preparando para problemas mais complexos que virão na sua fase adulta.

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Capítulo 5

O que é matemática?Mateus: Puxa Valério, já estou me sentindo mais confiante. Amanhã vou entrar na escola com o pédireito e disposto a enfrentar os desafios sem medo de errar. Mas me fale um pouco sobre a matemáticaem si. Para você o que é matemática?

Valério: Gosto muito da definição de Paul Lockhart: Matemática é a arte de explorar padrões. Padrão équalquer coisa que estiver ao nosso redor que se repete. Ex: A cerâmica da sala tem as mesmasdimensões, formato de um quadrado e se encaixa uma na outra direitinho. Daí podemos ter acuriosidade e perguntar: Será que outras formas se encaixam perfeitamente, semelhante ao quadrado?Pelas experimentações e observações percebemos que a outra forma que se encaixa bem são oshexágonos (seis lados), que na natureza são encontrados nos casulos de abelha. Portanto poderíamossubstituir nosso piso de cerâmica que é quadrado por outro de forma hexagonal e continuaríamos com opiso da sala se encaixando direitinho. Viu como é interessante! É uma área de constante investigação. Oobjetivo é detectar o padrão envolvido naquele problema e você deve brincar de detetive. Isso mesmobrincar. Matemática não é para ser chata, ela pode ser transformada em algo chato se focar totalmentena repetição mecânica de fórmulas e procedimentos, mas não precisa ser assim.

Mateus: Você tocou num ponto que eu nunca tinha imaginado. Eu imaginava que matemática fosse algodistante, sem sentido, chato. Mas pelo seu exemplo, vejo que é exatamente o oposto. Matemática eracinza para mim, agora passou a ser colorida. Mas as fórmulas e procedimentos não são importantes?

Valério: Eles são importantes. São através deles que você ganha fluência na matemática, ou seja, quevocê consegue saber a resposta na ponta da língua, num piscar de olhos. O ponto que eu falo é não focar100% nisso. Pois as fórmulas e procedimentos são o resultado de se fazer matemática, a consequência deexplorar os padrões. Se você eliminar o exercício de saber o propósito daquela fórmula ou de como

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aquela pessoa chegou àquela fórmula, obviamente está tirando a parte humana, viva e divertida damatemática e restará somente a repetição vazia, que tem sua importância, mas se focar somente nela amatemática torna-se entediante.

Mateus: Mas o que você quis dizer com arte? Na minha escola tenho a aula de educação artística, quetem desenho, pintura e às vezes música e é uma aula totalmente diferente da matemática. Expliquemelhor isso.

Valério: Quero dizer o seguinte: da mesma forma que o desenho, pintura e música, a matemáticatambém é uma arte. A arte tem diversos significados. Eu me refiro a arte como qualquer atividadehumana executada pelo simples prazer de expressar a beleza por meio das formas, sons, cores e no casoda matemática expressar por meio dos padrões. Por seu caráter universal, qualquer forma de arte podeser usada pelas pessoas da maneira que sua criatividade permitir. Alguns usam pelo prazer doentretenimento. Outros pelo prazer em encontrar a beleza nas formas e padrões. Outros pela sensaçãode ser terapêutico. Outros para preencherem seu tempo ocioso. Outros fazem disso um negócio e tiramseu sustento e outros preferem associar e ver a arte por outras visões como a científica e filosófica. Eugosto dessa definição porque ela não limita a matemática. A matemática, nessa visão, pode ser umaforma de entretenimento, uma forma de sustento e pode ter ou não utilidade prática. Parte damatemática é utilizada no ambiente científico auxiliando a criar modelos aproximados de comofunciona a natureza. Parte dela é usada na animação digital, suas fórmulas se transformam nos pinceisdigitais que criam os objetos do cenário. Parte dela é usada em projetos de robótica, como o projeto docarro da Google que anda sozinho. Mas a matemática em si é muito mais ampla que isso e portantoprefiro chamá-la de arte. O único motivo dela não ser amplamente conhecida como arte é porque asociedade não a reconhece como tal, preferiram limitar seu conceito somente a sua utilidade e às vezesforçam a barra ao ponto de procurar dar utilidade prática a conceitos abstratos como álgebra, que é umproduto criado pela inteligência humana e em sua maior parte não se encaixa com as características domundo cotidiano, nem tem esse objetivo.

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Mateus: Puxa vida! Se minhas aulas de matemática seguissem esse conceito e eu me sentisse como seestivesse em uma aula de música ou pintura, envolvido com o prazer de experimentar e explorar ospadrões seria um sonho! Infelizmente tenho que voltar para minha aula chata que se limita a decorarfórmulas e repetir procedimentos. Como posso sobreviver a essa dura realidade?

Valério: Primeiro lugar tenha calma, pois você já dispõe de várias dicas que eu te repassei: comoaprender de forma efetiva, não se prender a mitos e mentiras, entender que o erro faz parte doaprendizado e é sempre bem vindo e entender de forma mais abrangente o conceito da matemática. Issojá te dá uma estrutura inicial na qual você pode se apoiar. Mas as dicas não param por aí, vou te repassaralguns conceitos mais específicos que servirão como um kit de sobrevivência para que você possasuperar essa fase tumultuada de sua vida escolar. Vai depender só do seu esforço. Lembre que a equaçãotem dois lados, eu estou dando as informações que sonhei ter na minha época de escola, mas vocêdeverá se esforçar e colocar em prática as dicas que estou te fornecendo.

Mateus: Prometo que vou me esforçar e fazer a minha parte! Mas se matemática é uma arte, porquetenho mais aulas dela do que de educação artística que trabalhamos as formas de artes reconhecidascomo tal?

Valério: A sociedade define em cada época suas prioridades e o que deve deixar de lado. Afirmo oseguinte: a matemática serve de base para todas as engenharias e ciências, que são as estruturasresponsáveis pelo progresso de nossa sociedade. Seu bisavô só se comunicava por carta, seu avôadicionou o telefone, seu pai passou a usar e-mail e agora você usa também o WhatsApp. Compreendeua evolução? A carta ainda continua disponível, mas teve uma diversificação de possibilidades de como secomunicar, graças à criação do computador. A estrutura por baixo que faz isso tudo funcionar sãosequências de bits, ou seja, matemática binária, já que o computador só entende 0 e 1. Compreendeuagora a importância? Se você domina a matemática estará com o conhecimento básico para continuarcontribuindo com o progresso da nossa sociedade. O outro ponto que você deve compreender é que amatemática é um ótimo exercício para o cérebro. Mesmo que você não utilize a matemática avançada daengenharia no futuro, quando você exercita seu cérebro, resolvendo os problemas matemáticos,

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reconhecendo os padrões na matemática, você passa a assimilar outras disciplinas de forma mais leve.Além disso, você estará bem preparado para a diversidade do mundo real que envolve tomada dedecisões e agilidade. O meu único ponto é que se eu me limitar durante o aprendizado básico somenteàs partes úteis da matemática, repassadas como mera repetição mecânica, acabo tirando a parte lúdica eartística de lado, tornando o aprendizado maçante. Compreendeu onde quero chegar?

Mateus: Entendi sim Valério, já estou pensando em ser um futuro engenheiro. Mas será que eu vouprecisar mudar de escola para finalmente aprender matemática dessa forma divertida?

Valério: Acho muito improvável que você possa fazer isso. São pouquíssimas escolas que usam aexperimentação na essência do aprendizado: a única que conheço é a escola Lumiar que é sediada nacidade de São Paulo. Se você morar próximo, fale com seus pais e procure se informar mais sobre ofuncionamento dessa escola. Fora esse exemplo eu sei que existem verdadeiros heróis espalhados peloBrasil que procuram despertar a curiosidade de seus alunos. Como é o caso de Josilda Ferreira, dacidade de Paulista na Paraíba, de 11 mil habitantes. Através das suas aulas, a escola Municipal Cândidode Assis Queiroga tornou-se recordista de medalhas e menções honrosas nas olimpíadas de matemáticaOBMEP. Ela coloca os alunos para vivenciar a matemática através de atividades do cotidiano, como fazercompras na feira, medir ingredientes. No ensino de frações ela leva os alunos à pizzaria e ao dividir apizza eles aprendem o conceito. Você pode até procurar por escolas que sejam diferenciadas, mas seráuma tarefa difícil. Porém não fique triste, pois vou te dar algumas dicas que você poderá utilizar paraaprender matemática de uma forma mais prazerosa sem precisar mudar de escola.

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Capítulo 6

O mapa para compreender amatemáticaMateus: Estou ansioso para saber suas dicas.

Valério: Pelo menos é uma ansiedade boa de curiosidade, totalmente diferente das que os alunosgeralmente passam durante o ensino médio nas escolas. Vamos às dicas: Procure sempre entender oconceito por trás do problema. Do que se trata o problema? Qual o padrão envolvido? Sabendo opadrão, como resolver fica mais suave. Ex: Qual o maior número: 1/3 ou 3/3? Apesar desse exemplo serfácil, nem todos darão uma resposta imediata. Se possível, associe esses números a coisas do mundo realpara que você possa entender do que se trata o problema. Vamos imaginar que eu acabei de compraruma pizza e a dividi em 3 fatias. A minha pergunta agora é: Você prefere comer 1 só fatia entre as 3disponíveis ou comer todas as 3 fatias entre as 3 disponíveis? Agora ficou muito intuitivo, sabemos queas frações são partes de um todo representados por fatias da pizza. E ficou óbvio que 3/3, que é igual a 1,é maior que 1/3. Ou seja, a pizza inteira é maior que 1/3, que é só uma fatia entre 3, que dá o númeroirracional 0,333... Portanto 1 é maior que 0,3333... O conceito, ou padrão numérico aqui foi o de fraçõesque são pedaços ou porções de um todo e a estratégia para entender esse conceito foi utilizar objetos docotidiano, no caso a pizza. A partir do momento que você aprende o conceito (qual o padrão, do que setrata) o como você resolve fica mais simples.

Mateus: Esse exemplo eu também resolveria, mas depois que você falou da pizza ficou mais instantâneoainda. É claro que eu prefiro a pizza inteira. Mas não sou fominha, eu deixo você dar uma mordida emuma das fatias, rsrsr. Da próxima vez que eu ver um número sobre o outro já sei que o numeradorsignifica quantas partes eu disponho da quantidade total de partes que está no denominador. Sei

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também que outra forma de representar partes de um todo é a porcentagem: Por exemplo, 50% é omesmo que ½, que é o mesmo que 0,5, que é o mesmo que metade. São várias formas de representar umsó conceito.

Valério: Muito bem Mateus! Você antecipou a minha segunda dica: na matemática, apesar do resultadodo problema ser o mesmo, normalmente, existem várias formas de se chegar ao mesmo resultado. O quesugiro aqui é que você explore o problema de diversos ângulos, não se limite somente aos passos que seuprofessor sugere. Se o padrão numérico puder ser transformado em alguma figura geométrica ou objetodo cotidiano desenhe. Se puder ser representado pelo gráfico cartesiano desenhe o gráfico. Sempre quepossível use blocos como os do LEGO para criar a representação em 3 dimensões do conceitomatemático. Lembre que blocos são para meninos como você e também para meninas. São recursos paraa aprendizagem. Nunca se prenda a esteriótipos durante o aprendizado. Outra forma de exploração dospadrões seria criar um origami da figura geométrica, outra forma seria explorar jogos de tabuleiro,alguns jogos de computador ou até criar seu próprio programa de computador para aprender o conceitomatemático. Enfim, explore todo o universo de possibilidades que o problema possa oferecer, quantomaior sua sede de exploração maior será sua habilidade em lidar com problemas mais complexos.Depois de explorar o maior número possível de possibilidades compare as formas de resolução e tenteachar a forma que levou menos passos, ou seja, a forma mais otimizada, que é um conceito muitoimportante na matemática.

Ex: uma senhora queria saber quantos anos ela tinha de experiência de trabalho como secretária, sendoque ela tinha começado a trabalhar em 1995 e saiu da empresa em 2013.

1. Sua primeira intensão é o método tradicional de subtrair 2013 – 1995 que dá 18. Mas será que nãoexistem outras formas?

2. Usando cálculo mental posso somar 20 ao número de 1995 que me dá 2015. Depois vejo quanto devosubtrair de 2015 para chegar a 2013 e obtenho 2. Finalmente subtraio 2 do número que usei de baseanteriormente, no caso 20. 20-2 = 18.

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3. 1995 para chegar a 2000 falta 5. Entre 2000 e 2010 tem 10 anos. De 2010 para 2013 tem 3 anos. Portanto oresultado é 10 + 5 + 3 = 18.

4. 1995 para chegar a 2010 resulta 15 anos. Para chegar de 2010 a 2013 falta 3 anos. Portanto o resultado é 15+ 3 = 18.

Perceba que o resultado foi sempre o mesmo, mas eu consegui resolver de diversas maneiras. Dentrodessas a que posso citar como mais otimizada e ao mesmo tempo intuitiva seria a quarta opção que sópreciso de 2 passos fáceis de compreender. Mas, na prática use o que for mais fácil para você. Essa formade cálculo mental se chama de reagrupamento, no qual você representa o número pela soma ousubtração de outros dois números mais fáceis de lembrar e de calcular. Essa atividade desenvolve osenso numérico, ou seja, a sua percepção de quantidade e relação entre os números. Outro pontoimportante é que o cálculo mental usando reagrupamento é uma espécie de treinamento para álgebra,no qual você procura o valor de x reagrupando a equação. Se você só aprendeu o algoritmo de somapadrão e não desenvolveu o senso numérico através de cálculo mental e reagrupamento, é muitoprovável que você sinta dificuldade com a álgebra. Parecerá algo desconectado, distante. Liping Ma, queé uma pesquisadora chinesa, nos alerta que é preciso trabalhar melhor a aritmética, pois ela é o alicercepara as outras áreas da matemática. Jo Boaler, pesquisadora inglesa e criadora do curso: “Comoaprender Matemática” (somente em inglês), ressalta a importância de desenvolver o raciocínio lógico esenso numérico através da participação ativa dos alunos em atividades de percepção de padrões,quantidades e cálculo mental, além de incluir problemas desafiadores, que fujam da mesmice edespertem a curiosidade.

Mateus: Eu me lembro quando me ensinaram a primeira forma de cálculo. Mas meu professor nuncanos falou dessas outras possibilidades e do cálculo mental. Ele parece bem divertido. Você dividiu onúmero complexo em partes que são fáceis de lembrar, depois juntou novamente, muito interessante. Oúnico problema é que se eu fizesse isso na prova, meu professor me daria um zero, pois está diferente daforma que ele mostrou como sendo a única forma correta.

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Valério: É por isso que estou chamando essas dicas de kit de sobrevivência. Não perca seu tempo seposicionando contra seu professor. Faça a lição do jeito que ele te pedir e por conta própria comece aexercitar também esse outro formato. Professor de matemática é diferente de matemático. Matemático éaquele que se identificou tanto pela disciplina que se tornou um estudioso e pesquisador entusiasmadoe tende a repassar o conteúdo de uma forma mais simples. Professor de matemática, principalmente noBrasil, está na maioria das vezes tentando sobreviver, ganhar seu salário e sustentar sua família. Não oculpe se ele não consegue inovar ou criar aulas dinâmicas e participativas. Isso exigiria uma mudançacultural em toda a nossa sociedade. Por isso eu te peço: a partir de hoje, se comprometa com o que vocêpode fazer, se comprometa com seu aprendizado, independente do ambiente que você esteja, seja elepropício ou precário. Lembre-se do nosso trato! Esforço e dedicação levam a vitória!

Mateus: Missão dada é missão cumprida! Estou comprometido com meu aprendizado! Você me dissemuitos pontos interessantes que eu não conhecia, isso me deixou empolgado. Mas, ao mesmo tempocom um pouco de medo. Medo porque às vezes acho que a matemática é como uma escada cominfinitos degraus, quando a gente acha que a dominou, aparece outro degrau. Eu me sinto muitas vezesdesanimado, pois sinto que nunca terei o domínio suficiente.

Valério: Entendo sua ansiedade. Essa característica de surgir novidades a cada dia não faz parte somenteda matemática, mas de qualquer outra área do conhecimento humano, por isso devemos nos manteratualizados estudando um pouquinho todos os dias. Mas tenho uma dica que vai diminuir um poucosua ansiedade. É o conceito de compactação. Calma, é simples. Procure ver a matemática como umapirâmide invertida ao invés de uma escada infinita. Domine a base da pirâmide, que os outros pontosvão se tornar alcançáveis. O conceito de compactação significa que qualquer área da matemática, apesardas diferenças, está de certa forma conectada com as mais simples operações contidas na base dapirâmide. Na base da pirâmide existem as 4 operações da aritmética: soma, subtração, multiplicação edivisão. Cada uma não recebe um nome diferente por acaso, elas possuem em sua essência caraterísticasdistintas. A soma é a aglutinação, a aproximação de elementos. O oposto dessa operação é chamado desubtração, quando os elementos se separam, ou seja, se subtraem. Quando percebemos uma relação fixa

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entre dois números, passamos a utilizar o conceito de multiplicação. Ex: se uma caixa de chocolatepossui 20 bombons, surge a relação 1 - 20. Se alguém compra 2 caixas, já saberá que terá 40 bombons,pois multiplicará 2 por 20. Se eu só tiver dinheiro suficiente para comprar meia caixa, terei 0.5 x 20 = 10bombons. Quando estamos lidando com números inteiros positivos, a multiplicação, pode ser observadatambém como somas sucessivas: 3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18. Porém, esse conceito quebra quando usamosnúmeros fracionários. O matemático inglês Keith Devlin fala sobre a importância de evitar definiçõessimplistas que firam a essência da matemática. Um exemplo que deve ser evitado é a afirmação de quemultiplicação é sinônimo de somas sucessivas. Já vimos no exemplo anterior que trata-se de umasemelhança entre operações distintas: multiplicação e soma, que só acontece em um contexto restrito:números inteiros positivos. O importante é se aprofundar em cada operação, sabendo que são distintasentre si e no decorrer desse processo perceber seus pontos em comum. Finalmente o oposto damultiplicação é a divisão na qual também existe uma relação fixa de separação de unidades. Ex: querodividir 20 bombons em partes iguais com 2 pessoas, resulta em 10 bombons para cada pessoa. No diaque você se deparar com uma fórmula complexa, relaxe. Lembre-se que, apesar da complexidade ela terácaracterísticas semelhantes as mais básicas das operações. Essa fórmula poderá está representando umaaglutinação ou separação de elementos ou uma relação de escala entre elementos que crescem oudiminuem seguindo um determinado padrão. Dominando a base siga com operações mais complexas, opróximo passo seria a exponenciação e radiciação, sempre explorando individualmente como operaçõesdistintas e em seguida procurando semelhanças entre o que você já absorveu. Deixe de lado o velhohábito de repetir procedimentos e decorar fórmulas mecanicamente, a compactação é o resultado daexploração conceitual da matemática, ou seja, compreender cada operação de forma individual, emseguinda detectar as diferenças e semelhanças, além de saber como aplicar cada conceito. Dessa formavocê terá mais confiança e eliminará sua sensação de não possuir o domínio suficiente. Um exemplosimples do conceito compactação são os cálculos mentais que desenvolve o senso numérico, comoaquele que te falei anteriormente da secretária. Se você aprende a fazer somas ou subtrações dessaforma flexível, quando chegar temas mais complexos como a álgebra, vai dominar com maior facilidade,pois trata-se de procedimentos semelhantes ao que você experimentou na aritmética usando cálculomental. Se você só repetiu as somas e subtrações mecanicamente de uma única maneira padronizada,

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perderá o conceito de compactação e álgebra vai parecer desconectado de tudo que você já viu. Comoconsequência você sentirá muita dificuldade.

Mateus: Puxa vida, agora você transformou o impossível em alcançável! Sei que terei dificuldades, queterei que me esforçar, mas não me sinto mais vagando em uma estrada sem fim, agora estou com umabase de conceitos sólida. Muito obrigado por compartilhar essas dicas! São verdadeiras ferramentas deprimeiros socorros. Um verdadeiro kit de sobrevivência.

Valério: Eu só estou te dando um mapa. O caminho do aprendizado é você que terá que percorrer. Omapa vai evitar que você se perca, vai te orientar. A minha próxima dica é que você complemente oaprendizado de matemática com 3 recursos:

1. Assistindo a série Isto é Matemática, na qual o matemático português Rogério Martins repassa osconceitos, a utilidade, a história dos matemáticos que se destacaram, enfim, ele mostra de uma formalúdica e bem acessível do que se trata realmente a matemática.

2. Acessando o Khan Academy, projeto criado por Salman Khan, que agora já possui versão emportuguês. Nesse projeto você poderá ver quantas vezes quiser a resolução daquele cálculo que oprofessor passou na sala de aula.

3. Com jogos de vídeo game. Calma, não é qualquer jogo, eu já explico.◦ A pesquisadora Kelly Mix, cientista americana descobriu que exercitar com atividades de raciocínio

espacial, mais especificamente exercícios de rotação mental, na qual é preciso imaginar como duasfiguras giram no plano se encaixam, faz com que as crianças se saiam melhor em exercícios dearitmética. Os exercícios de rotação mental trabalham a mesma área cerebral que é utilizada paracálculos matemáticos. Um dos jogos mais conhecidos que envolve rotação mental é o Tetris. Umoutro é o BigSeed. Eles servem como uma espécie de aquecimento.

◦ Para exercitar a matemática em si sugiro os seguintes: WuzzitTrouble para aritmética eDragonBox2 para álgebra. Os dois jogos já levam em conta o conceito de otimização, ou seja, vocêresolve o problema uma vez e depois tenta resolver em menos passos, para chegar ao resultado em

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menos tempo. Tem um fato interessante no caso do DragonBox é que crianças de 5 anos estãoaprendendo os conceitos mais avançados de álgebra se divertindo. Algo que sabemos ser quaseimpossível sem usar o jogo.

◦ Um desses jogos é pago e os outros são gratuitos. Para o caso do pago, converse com seus pais paraque eles se informem mais e tomem a decisão em família. Não estou sendo pago por essas empresasque fizeram os jogos. Estou te dizendo, o que eu pesquisei, experimentei e constatei que dá umgrande impulso no aprendizado.

Mateus: Já estou baixando os jogos para meu tablet. É muito bom saber que posso aprender enquantoestou me divertindo!

Valério: Apenas lembre-se que os jogos são complementos. Frequente todas as aulas. Tire dúvidas comseu professor, converse com seus colegas e principalmente, estude diariamente. A minha dica final é: seno decorrer do seus estudos você desenvolver gosto pela matemática, recomendo a leitura do livro domatemático Ian Stewart: Cartas a Uma Jovem Matemática. Nesse livro Ian retrata de forma acessívelcomo é o dia a dia de um matemático.

Mateus: Está bem Valério. Muito obrigado pelas dicas!

Valério: Lembre-se sempre que o esforço é a chave do sucesso. Tenha um bom estudo! Um bom esforçoe um bom aprendizado!

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Capítulo 7

Muito obrigado!Esse livro também é uma homenagem a todas as pessoas que procuram fazer a diferença na área queatuam. Por esse motivo, aqueles que foram referência para eu aprender e simplificar os conceitosabordados, foram mostrados no decorrer do texto em Negrito.

Um agradecimento especial ao professor Pier (Pierluigi Piazzi). Ele tirou algumas dúvidas minhas poremail e seus livros me fizeram abrir os olhos para o verdadeiro aprendizado.

Um muito obrigado para a dedicada professora e pesquisadora Jo Boaler. Através do seu curso: comoaprender matemática, ofertado através da plataforma Stanford Online, eu pude desmistificar e apreciaresse maravilhoso universo dos padrões, que é a matemática.

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Capítulo 8

ReferênciasBoaler, J. What’s Math Got To Do With It? How Parents and Teachers Can Help Children Learn to LoveTheir Least Favorite Subject. Penguin: New York, 2007.

Devlin, Keith. What exactly is multiplication?, Jan. de 2011. Disponível em http://www.maa.org/externalarchive/devlin/devlin01_11.html. Acessado em 10 de Maio de 2014.

Dweck, Carol S. Mindset: The new psychology of success. New York, NY: Random House, 2007.

Lockhart, P. A mathematician's lament. New York, NY : Bellevue Literary Press, 2009.

Ma, Liping. A Critique of the Structure of U.S. Elementary School Mathematics. Disponível emhttp://lipingma.net/math/Ma-Critique-March-19-2013.pdf. Acessado em 11 de maio de 2014.

Ma, Liping. One-place addition and subtraction. Disponível em http://lipingma.net/math/One-place-number-addition-and-subtraction-Ma-Draft-2011.pdf. Acessado em 11 de maio de 2014.

Piazzi, Pierluigi. Aprendendo Inteligência. Manual de instruções do cérebro para alunos em geral.Coleção Neuroaprendizagem, volume 1. 2.ed. São Paulo: Aleph, 2008.

Piazzi, Pierluigi. Estimulando Inteligência. Manual de instruções do cérebro do seu filho. ColeçãoNeuroaprendizagem, volume 2, São Paulo: Aleph, 2008.

Piazzi, Pierluigi. Ensinando Inteligência. Manual de instruções do cérebro do seu aluno. ColeçãoNeuroaprendizagem, volume 3. São Paulo: Aleph, 2009.

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Yi-Ling Cheng & Kelly S. Mix. Spatial Training Improves Children's Mathematics Ability, Journal ofCognition and Development, 15:1, 2-11, DOI:10.1080/15248372.2012.725186, 2014.

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Carta aos Jovens Estudantes de Matemática - Kit de Sobrevivência para o Ensino Fundamental e Médio.Autor: Valério Farias de Carvalho, site: valeriofarias.com, twitter: @valeriofariasData de publicação: 11/05/2014, primeira edição.Palavras-chave: Matemática, Aprender matemática, Kit de sobrevivência, Ensino Médio, Ensino FundamentalThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0).