cargas em movimento eletromagnetismo · 243 eletromagnetismo 2 10.1 introdução até o início do...

Licenciatura em cincias USP/ Univesp

10.1 Introduo10.2 As descobertas de Oersted e de Ampre10.3 Campos Produzidos por uma Carga Eltrica em Movimento10.4 A Lei de Biot-Savart

10.4.1 Campo magntico gerado por corrente eltrica percorrendo um fio muito fino10.5 Fora sobre um condutor quando num campo magntico

Gil da Costa Marques

CArGAS EM MOvIMEntO10

Elet

rom

agne

tism

o

243

Eletromagnetismo

Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 2

10.1 IntroduoAt o incio do sculo XIX, pensava-se que os fenmenos eltricos e magnticos fossem

completamente distintos, ou seja, havia a cincia do magnetismo, cujo grande marco fora o livro

De Magnete, de William Gilbert (ano de 1600), e a cincia da eletricidade. Esta ltima encontrava-se

num estgio mais avanado, pois alguns princpios da eletrosttica j eram conhecidos. At 1820,

tudo que se sabia sobre o magnetismo era o comportamento estranho dos materiais magnticos

e o magnetismo da Terra refletindo-se na orientao das bssolas.

Evidncias de que os dois fenmenos tivessem alguma relao eram praticamente inexis-

tentes. Sabia-se, por exemplo, que relmpagos provocavam alteraes no funcionamento das

bssolas. No entanto, isso no era suficiente para se estabelecer uma relao segura entre os

fenmenos eltricos e magnticos.

A partir dos trabalhos de Oersted e de Ampre, tudo isso mudou. A partir da, ocorreu uma

unificao das duas cincias. O eletromagnetismo passou a ser a cincia dos fenmenos eltricos

e magnticos, pois, como sabemos, eles esto inter-relacionados.

Neste tpico, veremos que o resultado das experincias de Oersted e de Ampre pode ser

traduzido de uma forma simples, afirmando que, conquanto uma carga eltrica em repouso

produza apenas um tipo de campo, uma carga eltrica em movimento produz dois tipos de

campos: o potencial escalar, V, e o potencial vetor A

. claro que a partir deles podemos deter-

minar o campo eltrico e o campo magntico produzidos por cargas eltricas em movimento.

Com essas experincias podemos concluir que a eletricidade e o magnetismo esto interligados. Eles so as duas faces da mesma moeda.

10.2 As descobertas de Oersted e de Ampre

Hans Christian Oersted era professor na Universidade de

Copenhague quando, em 1819, decidiu dar uma aula de demons-

traes sobre fenmenos associados eletricidade. Sua ideia era

comprovar o fenmeno do aquecimento de um fio resultante da Figura 10.1: Hans Christian Oersted (1777-1851).

244

10 Cargas em movimento


passagem de uma corrente eltrica e fazer demonstraes do fenmeno do magnetismo.

Por isso, tinha diante da plateia de alunos e amigos uma pilha para produzir a corrente eltrica

e uma bssola. Notou que, ao colocar a bssola paralelamente ao fio, ento, a partir do instante

em que o fio era percorrido por uma corrente eltrica (ao estabelec-la, portanto), a bssola se

movimentava procura da direo perpendicular ao fio. No entanto, quando nessa posio

desde o incio, nada acontecia ao se iniciar a corrente.

Com essa experincia pioneira ficava estabelecida, pela primeira vez, uma relao entre os

fenmenos eltricos e magnticos, pois verifica-se que a mera passagem da corrente eltrica

por um fio suficiente para produzir um campo magntico, ao qual a

bssola fica sujeita e que a impele a se movimentar.

Tendo tomado conhecimento da descoberta de Oersted, Andr-

Marie Ampre decidiu realizar experincias envolvendo as conse-

quncias da passagem da corrente eltrica por fios dispostos

paralelamente um em relao ao outro. Verificou, experimental-

mente, que os fios sofriam a ao de foras. Verificou que essas foras

tm duas caractersticas interessantes.

Se as correntes tiverem o mesmo sentido, os fios

experimentam uma fora de atrao. No entanto, eles

se repelem se as correntes tiverem sentidos opostos

(veja Figura 10.4).

Figura 10.3: Andr-Marie Ampre (1775-1836).

Figura 10.2: A experincia pioneira de Oersted.

Figura 10.4: A experincia de Ampre. Um fio exerce fora sobre outro fio, quando ambos so percorridos por correntes eltricas.

245

Eletromagnetismo para Cincias


Entre outras caractersticas, a fora tem uma intensidade (ou mdulo) que diretamente

proporcional intensidade das correntes. Ademais, a intensidade da fora varia com o inverso

do quadrado da distncia entre os fios. Portanto, um afastamento produz uma fora mais dbil

e o contrrio ocorre quando aproximamos os fios. Esse resultado pode ser resumido, para fios

paralelos, pela expresso:

10.1

onde k uma constante (que depende do comprimento dos fios e, em geral, das suas orientaes relativas), d a distncia entre os fios, e i1, i2 so as correntes que passam pelos fios.

Ampre entendeu que se tratava, como no caso da experincia de Oersted, da interao entre

o campo magntico produzido por um dos fios com a corrente eltrica que passa pelo outro.

1 2ki iFd

=

Figura 10.5: Dois pedaos de fios rgidos, condutores e retilneos, com dimetros D 2 mm e comprimentos L 50 mm, so pendurados por meio de fios condutores finos e flexveis, de modo que eles fiquem paralelos entre si. Suas extremidades so ligadas aos terminais de uma fonte de tenso. Quando uma chave (no representada na figura) for ligada, pelos fios circula uma corrente eltrica I. Quando as correntes tm o mesmo sentido, os fios se atraem (a); e quando as correntes tm sentidos opostos, os fios se repelem (b).

a b

246



10.3 Campos Produzidos por uma Carga Eltrica em Movimento

Como primeiro passo no entendimento dos fenmenos observados por Oersted e Ampre,

consideremos a situao mais simples entre todas:

Aquela na qual observamos uma carga eltrica puntiforme em movimento uniforme.

Se uma partcula dotada de carga q se move ao longo do eixo x com velocidade constante v0, o vetor velocidade ser escrito como:

10.2

Com a experincia de Oersted, conclumos que uma corrente el-trica ao passar por um condutor (o fio, no caso) gera um campo magntico. Esse campo se localiza ao redor do condutor e pode inte-ragir com um m.Com a experincia de Ampre in-ferimos que um condutor, quando percorrido por uma corrente eltrica, e situado numa regio na qual exista um campo magntico, fica sujeito ao de uma fora magntica (veja Figura 10.6).Figura 10.6: Da interao entre a corrente el-trica i que percorre um fio e o campo magntico existente no local, surge uma fora F no fio. Com a inverso da posio do m (portanto, a inverso do sentido do campo magntico), a fora tem o seu sentido invertido. O mesmo ocorre se invertermos o sentido da corrente.

0v v i=

247

Eletromagnetismo


De acordo com a Teoria da Relatividade de Einstein, no limite de baixas velocidades, velo-

cidades muito menores do que a velocidade da luz c(v/c 1), esse movimento d lugar a dois campos potenciais:

o potencial escalar, dado por:

10.3

e o potencial vetor, dado pela expresso:

10.4

As expresses acima ilustram com muita clareza a interdependncia entre os fenmenos

eltricos e magnticos. Quando em movimento, uma partcula gera dois potenciais. Nesse caso,

o potencial vetor pode ser expresso em termos do potencial eltrico.

A despeito de a expresso 10.4 ter sido derivada, neste texto, a partir da teoria da relati-

vidade, uma verso mais geral das relaes entre campos eltricos e magnticos em diferentes

referenciais foi apresentada pela primeira vez por Jean-Baptiste Biot e Flix Savart.

10.4 A Lei de Biot-SavartA lei de Biot-Savart se constitui num elemento importante para a determinao do campo

magntico produzido por correntes estacionrias. Para apresentar essa lei, consideraremos o

caso, discutido anteriormente, de uma partcula puntiforme em movimento. Um observador

para o qual ela se desloca com velocidade v detectar dois campos. O primeiro deles o campo eltrico, cuja expresso :

10.5

Consideremos o campo magntico percebido no mesmo referencial. Para o caso simples

de cargas eltricas que se movimentam numa nica direo, tal campo obtido tomando-se o

( )( )2 2 20

1, , ,4

qV x y z tx vt y z

= + +

( ) ( )( )

2 2 2 2 20

1, , , , , ,4

v v qA x y z t V x y z tc c x vt y z

= = + +

( ) ( )( )( )3/22 2 20

, , ,4

x vt i yj zkqE x y z tx vt y z

+ +=

+ +

248



rotacional do potencial vetor dado pela expresso 10.4. Nessas circunstncias, podemos escrever o

campo magntico produzido, utilizando a expresso 4.28 e levando em conta 10.5, sob a forma:

10.6

O inverso do produto de constantes 0c2 define outra constante, 0:

10.7

A constante 0, denominada permeabilidade do vcuo tem o valor dado por:

10.8

A lei de Biot-Savart uma extenso da expresso 10.6 para uma distribuio volumtrica

de correntes. De fato, num volume infinitesimal dV localizado em r , a carga ali concentrada :

10.9

Assim, o deslocamento dessa carga infinitesimal com uma velocidade uniforme, v, produzir um campo magntico infinitesimal no ponto r, o qual, de acordo com 10.6, dado por:

10.10

B vc

E vc

q x vt i yj zk

x vt y z= =

( ) + +( ) + +( )2 20 2 2 2 3 24 /

020

1c

=

70 4 10 henry/metro T.m/A (tesla.metro/ampre)

= =

( ) = dq r dV

320

v4

dq r rdBc r r

=

Figura 10.7: O campo magntico ( )

dB r gerado no ponto P(r) por uma carga dq que se move ao longo do eixo 0x com velocidade v. O vetor ( )

dB r ortogonal ao plano formado pelos vetores v e ( ) r r .

249

Eletromagnetismo


Levando-se em conta a definio de densidade de corrente (equao 4.24), obtemos que o

campo infinitesimal produzido em r como consequncia do movimento da carga infinitesimal localizada em

r dado, em termos da densidade de corrente, pela expresso:

10.11

E, portanto, o campo magntico total devido existncia de uma distribuio de correntes numa

regio do espao dado pela soma de todas as contribuies infinitesimais; da resultando a expresso:

10.12

Donde, utilizando a expresso 10.7, obtemos

10.13

Quando a velocidade dos eltrons for constante, a expresso para o campo B

pode ser escrita

de uma forma muito semelhante ao da eletrosttica. Escrevemos:

10.14

onde 0E

o campo eltrico produzido por uma distribuio de cargas. Assim, em muitos casos,

o problema de determinar o campo magntico se reduz ao de determinar o campo eltrico

associado a uma distribuio uniforme de cargas eltricas.

10.4.1 Campo magntico gerado por corrente eltrica percorrendo um fio muito fino

No caso de uma corrente i que percorre um fio muito fino, efetuamos a substituio:

10.15

onde o vetor dl

um vetor tangente ao fio em cada ponto, e tem o sentido da corrente. O seu

mdulo, |dl

|, o elemento de comprimento infinitesimal do fio.

( ) ( ) 320

14

J r r rdB r dVc r r =

( ) ( ) 320

1 1 4

=

J r rB r r dVc r r

( ) ( ) 30 4 =

r rB r r dr r

J V

0 032 20

14

= =

v r r vB dV Ec cr r

( )r dV dlJ I

250



Nessas circunstncias, de 10.13, depois de efetuada a substituio 10.14, segue-se que o

campo produzido por uma corrente ao longo de um fio disposto em uma curva :

10.16

Considerando-se uma curva no plano xy, os elementos da expresso 10.16 so representados na Figura 10.8.

No caso em que a densidade de corrente uniforme, podemos escolher o eixo z coincidente com a direo da corrente:

10.17

Exemplos

ExEmplo 01Consideremos, a ttulo de exemplo, o caso de um fio infinito de raio da base R. O fio no neces-sariamente delgado. Como sabemos, esse problema se reduz ao de determinar o campo eltrico produzido por uma densidade uniforme de cargas (veja expresso 10.14). A seguir, resolveremos tal problema fazendo uso da lei de Gauss, o que possvel desde que faamos uso de argumentos de simetria. De acordo com a lei de Gauss,

10.18

( ) 0 34r rB r i dlr r

=

Figura 10.8: Os elementos da Lei de Biot-Savart no caso de um fio percorrido por uma corrente i.

0 0J J k v= =

0S

QE dS =

251

Eletromagnetismo


Utilizando argumentos de simetria, inferimos que o campo eltrico de uma distribuio uniforme no interior de um cilindro (um cilindro imaginrio interno de raio r < R) dado pela expresso geral:

10.19

Para um cilindro de altura h e raio r, obtemos que o fluxo do campo eltrico numa superfcie cilndrica de raio r e de altura h dado por (veja Figura 10.9):

10.20

Enquanto, para a carga contida no interior do cilindro, devemos distinguir duas situaes.Se r > R a carga contida a carga total, a qual dada pelo produto da densidade de carga pelo volume do cilindro que contm todo o fio:

10.21

Se r < R, a carga no interior do cilindro dada por:

10.22

Assim, temos que, se r > R o campo eltrico dado por:

10.23

Enquanto, se r < R o campo :

10.24

E, portanto, o campo magntico na regio externa ao fio ser:

10.25

No interior do fio, a dependncia do campo ( )B r

da forma:

10.26

onde r a distncia at o eixo de simetria do fio.

( )0 0 rE E r e=

( )00

2

S

E r rhE dS

=

Figura 10.9: Superfcies Gaussianas para os pontos internos e externos ao fio.

( )2 0dV R h =

20dV r h =

20

002

rRE e

r

=

00

02r

rE e=

( )2 2 2

0 0 0 02 20

1 12 2 2rR R RB r J e Ve e

c r c r r

= = =

( ) 0 02rB r J e

=

252



ExEmplo 02Um condutor retilneo vertical muito comprido, de raio R = 2 10-3 m, conduzindo uma corrente eltrica estacionria de valor i = 10 A, passa perpendicularmente a uma placa de acrlico. Determinar o campo magntico gerado pela corrente eltrica no ponto M distante d = 10 cm do centro do fio.

REsoluo:A Figura 10.10 ilustra a situao descrita no enunciado. As cargas em movimento ao longo do fio geram dois campos no ponto M. Como o ponto se encontra fora do fio, o campo eltrico descrito pela equao 10.23 enquanto o campo magntico des-crito pela equao 10.25.O vetor campo magntico tem direo azimutal e perpen-dicular direo radial bem como corrente; escrevemos:

Lembrando que

onde R = raio do fio (considerado uniforme). Substituindo-se na equao acima, temos:

Neste exemplo, tomamos r = |r| = d (distncia do ponto M at o centro do fio). Assim, o campo magntico gerado pelas cargas em movimento ao longo do fio, na condio considerada, :

Substituindo-se os valores 0 = 4.107 T.m/A; i0 = 10 A e d = 10 m resulta:

onde T = tesla, unidade de campo magntico no Sistema MKS ou SI.A expresso ( ) ( )0 0 2B d i d e=

indica que, para pontos mesma distncia d do fio, o campo possui sempre a mesma intensidade, ou seja, B = 2 105 T. Sua direo coincide com a da tangente circunferncia de raio d concntrica com o fio. Essa a forma como se posicionam agulhas de uma bssola colocadas de acordo com a Figura 10.11.

Figura 10.10: Os trs vetores unitrios importantes: k

(sentido da corrente eltrica); re

(sentido radial) e e (per-pendicular ao vetor re

), ambos situados no plano da placa.

( )2

0.2RB M v e

r

=

020 0.

iv J R = =

( )2 2

0 00 0 0 02.2 2 2

i iR RB M v e e er r R r

= = =

( ) 00 2iB M e

d =

( ) ( ) ( )7 5

2

m 10 A4 .10 T. 2 10 TA 2 10.10 m

B M e e = =

253

Eletromagnetismo


Andr-Marie Ampre (1775-1836), baseado nas suas pr-prias experincias, estabeleceu relao entre a corrente eltrica estacionria (constante) i e o campo magntico B

que ela gera a uma distncia d do fio. Essa relao, conhe-cida como Lei de Ampre, estabelece que a circulao do campo magntico gerado por uma corrente eltrica em planos perpendiculares ao fio que transporta a corrente diretamente proporcional corrente. O sentido de B

determinado pela regra da mo direita, conforme ilustra a Figura 10.12. Neste exemplo, pela regra da mo direita, o vetor B

circula o fio no sentido anti-horrio.

ExEmplo 03Determinar o campo magntico B

(C) no centro de uma espira de material condutor de formato circular de raio R = 10 cm pela qual flui uma corrente eltrica estacionria i = 10 A.

REsoluo: A Figura 10.13 ilustra a espira em questo e o referencial a ser utilizado. O centro da espira tem, nesse referencial, coordenadas x = y = z = 0. Substituindo essas coordenadas em 8.15 obtemos:

Figura 10.11: Direo e sentido do campo magntico produzido por um fio e como se pode determin-lo.

Figura 10.12: Determinao da direo e sentido do campo magntico por meio da regra da mo direita.

Figura 10.13: Uma espira e o referencial adotado.

( ) 0 210,0,0

4rB i dl

rr

==

254



Verificamos ainda que:

onde re

um vetor unitrio radial. Ademais, devemos lembrar que:

e que

Assim, a expresso para o campo B

, na origem do referencial B

(0, 0, 0), assume a forma:

Mas

onde k

um vetor unitrio perpendicular ao plano da espira e constante. Portanto:

Usando a relao dl = R.d temos:

O campo magntico no centro da espira , nesse caso,

conforme ilustrado na Figura 10.14. No entanto, uma espira gera campos magnticos em outros pontos, alm do ponto localizado no seu centro. A Figura 10.15 ilustra algumas linhas de fora, que representam o campo magntico gerado por uma espira quando percorrida por uma corrente eltrica.

rr e

r=

2 2 2

1 1 1r Rr r

= =

.dl dl e=

( ) ( ) ( )0 02 210,0,0

4 4

= =

r riB i dl e dl e e

R R

( )re e k =

( ) 0 20,0,0 .4iB dl k

R

=

( )

( ) ( )

2 20 0

20 0

0 0

0,0,0 .4 4

24 2

i iB R d k d kR R

iiB C kR R

= =

= =

( ) ( )( )( ) ( )7

54 .10 T m/A 10 A

0,0,0 2 10 (tesla)2 0,1 m

B k

= =

255

Eletromagnetismo


10.5 Fora sobre um condutor quando num campo magntico

Suponhamos que um condutor AC seja colocado

em uma regio na qual existe um campo magntico.

Se por esse condutor passar uma corrente eltrica, o

campo magntico exercer uma fora sobre ele (veja

Figura 10.16).

Consideremos um elemento de volume dV do condutor. A carga nele contida ser dada por:

10.27

Considerando-se que tal elemento infinitesimal se

desloca com velocidade , sobre ele agir uma fora infinitesimal, a qual, de acordo com a fora

de Lorentz (4.26), ser dada por:

10.28

Figura 10.14: Campo magntico no centro da espira.

Figura 10.15: Campo magntico em outros pontos do espao.

Figura 10.16: Fora sobre um elemento infinitesimal de um fio.

dq dV=

dF dqv B=

256



Utilizando a expresso 10.27 em 10.28, obtemos que a fora infinitesimal que age sobre um

tal elemento de volume dada por:

10.29

A fora total sobre o condutor ser dada pela soma das foras infinitesimais. Escrevemos:

10.30

No caso de um fio, de acordo com a substituio 10.15, temos:

10.31

Podemos determinar o mdulo, a direo e o sentido da fora que atua no condutor.

O mdulo da fora |F

| = F que atua em num elemento do fio de comprimento L imerso

num campo magntico de mdulo |B

| = B :

10.32

onde = ngulo entre o fio e o campo magntico. Quando o fio e o campo fazem entre si um ngulo = 90, a fora ter intensidade F = BiL. O sentido da fora pode ser determinado pela regra da mo esquerda (tambm conhecida como regra de Fleming):

O dedo indicador no sentido de B

e o dedo mdio no sentido da corrente eltrica; assim, o

sentido da fora dado pelo dedo polegar.

dF v BdV J BdV= =

V

F J BdV=

l

F idl B=

senF B i L=

Figura 10.17: Determinando a direo e o sentido da fora sobre um fio.

257

Eletromagnetismo


ExEmplo 04Por um fio retilneo passa uma corrente el-trica i = 80 A. Considere o caso em que um trecho do fio de comprimento L = 20 cm se encontra imerso num campo magntico uniforme de mdulo B = 1,2 T. As linhas do campo magntico so perpendiculares ao fio, conforme ilustra a Figura 10.18.Determinar a fora F

que atua no trecho L do fio.

REsoluo:A intensidade da fora pode ser calculada pela equao 10.32 Como as linhas do campo magntico so perpendiculares ao fio, o ngulo = 90. Assim,

F = BiL = (1,2 T)(80 A)(0,20 m) = 19,2 T.A.m.

Em unidades de base do SI, a unidade de campo magntico T = N/A.m; desse modo,

F = 19,1 T.A.m = 19,2 (N/A.m)(A.m) = 19,2 N.

Essa fora perpendicular corrente e ao campo; o seu sentido pode ser determinado pela regra de Fleming: ela vertical para cima.

Figura 10.18: Fora sobre um fio quando sob a ao de um campo magntico uniforme.

10.1 Introduo10.2 As descobertas de Oersted e de Ampre10.3 Campos Produzidos por uma Carga Eltrica em Movimento10.4 A Lei de Biot-Savart10.4.1 Campo magntico gerado por corrente eltrica percorrendo um fio muito fino

10.5 Fora sobre um condutor quando num campo magntico

Biot: Savart: Biot_QD: Biot_X: Savart_QD: Savart_X:

cargas em movimento eletromagnetismo · 243 eletromagnetismo 2 10.1 introdução até o início do...

Documents