cargas de colapso de sistemas de alvenaria - … · wd taxa de dissipação da energia plástica...

CARGAS DE COLAPSO DE SISTEMAS DE ALVENARIA

Por:

Nuno André Martins Deusdado

Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa

para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil na especialidade de Estruturas

Orientador: Professor Doutor Armando Manuel Sequeira Nunes Antão

Monte de Caparica, 2011

i

Agradecimentos Dedico este espaço a todos os que contribuíram para que esta dissertação fosse realizada. Aos

meus colegas, professores, amigos e familiares, em especial:

Ao meu avô, por transmitir os princípios da família Deusdado;

Aos meus pais, pela compreensão, carinho, apoio, paciência, orientação pessoal e pelos valores que me transmitiram;

Ao meu irmão, por responder às inúmeras questões que lhe coloco.

À minha namorada, por todo o amor, por aturar todos os disparates que faço e por estar sempre do meu lado;

Um agradecimento especial ao meu orientador, Professor Doutor Armando Nunes Antão, pela forma como orientou o meu trabalho. As notas dominantes da sua orientação foram a utilidade das suas recomendações e a cordialidade com que sempre me recebeu. Estou grato por ambas e pela oportunidade de realizar este trabalho sob sua orientação, que foi decisivo para que este trabalho contribuísse para o meu desenvolvimento pessoal.

Agradeço também ao Professor Doutor Mário Vicente da Silva, pela paciência e disponibilidade apresentada para solucionar todas as propostas que lhe foram colocadas com o desenvolvimento deste trabalho.

Agradece‐se ao projecto de investigação PTDC/ECM/70368/2006, por possibilitar a plataforma informática que tornou possível a realização de alguns cálculos desta dissertação.

Sem todos vós, este trabalho não seria possível.

Aqui deixo o meu agradecimento simples, mas muito sincero: Muito Obrigado!!!

iii

Resumo Esta dissertação é baseada na ferramenta SUBLIM3d que é fundamentada no teorema

cinemático da análise limite, que visa o cálculo de limites superiores estritos de cargas de colapso de estruturas [1]. A utilização desta ferramenta deve‐se à análise limite ter vindo a demonstrar um vasto potencial para o desenvolvimento de modelos numéricos, que permitem a determinação da máxima carga suportada por uma estrutura caracterizada por um comportamento perfeitamente plástico.

No presente documento, pretende‐se validar a ferramenta SUBLIM3d para um caso particular das estruturas, por isso, limita‐se este estudo a paredes de alvenaria não reforçada. Adoptou‐se neste estudo condições de deformação plana e considerou‐se apenas carregamentos no plano.

O comportamento da alvenaria é controlado pelas propriedades mecânicas das unidades e das juntas, bem como pela orientação e posição relativa destas. Por isso, trata‐se a alvenaria como um material anisotrópico e heterogéneo.

A modelação da alvenaria baseou‐se na modelação micro simplificada, em que resumidamente, as unidades são representadas por elementos contínuos e o comportamento das juntas e dos interfaces unidade/junta são substituídos por uma única superfície que é constituída por elementos de junta. Para cada elemento considerou‐se que se podia associar a superfície de cedência de Mohr‐Coulomb ou as duas superfícies de cedência propostas (Armando Nunes Antão e Mário Vicente da Silva).

Com o objectivo de validar e aferir a capacidade das formulações propostas, a solução obtida pelo SUBLIM3d para os vários exemplos numéricos é comparada com os resultados experimentais e teóricos disponíveis na literatura.

v

Abstract This dissertation is based on SUBLIM3d tool which is grounded on the kinematic theorem of limit

analysis, that aims to calculate the strict upper bounds of collapse loads of structures[1]. The use of this tool was due to the fact that the limit analysis has come to show a great potential for development of numerical models, which allows the determination of the maximum load supported by a structure characterized with a perfectly plastic behavior.

This document intends to validate the SUBLIM3d tool for the particular case of non‐reinforced masonry walls structures. Plane strain conditions were adopted only loads in the plan of the wall were considered.

The behavior of masonry is controlled by the mechanical properties of the units and joints as well as by their relative position and orientation. Due to these reasons, the masonry is treated as an anisotropic and heterogeneous material.

The shaping of the masonry was based on simplified micro modeling, in which the units are represented by continuous elements and the behavior of joints and interfaces unit/joint are replaced by a single surface that consists of joint elements. For each element was considered that could be associate the yield surface of Mohr‐Coulomb or the two yield surfaces proposed (Armando Nunes Antão and Mário Vicente da Silva).

In order to validate and assess the capacity of the proposed formulations the solution obtained by SUBLIM3d for several numerical examples is compared with experimental and theoretical results available in literature.

vii

Simbologia e Notações Maiúsculas latinas

B Operador padrão de compatibilidade diferencial C Matriz de amortecimento C Carregamento tangencial

Cc Espaço auxiliar que confina a taxa do tensor da deformação plástica admissível Cd Espaço que confina as descontinuidades do campo de velocidade D Matriz flexibilidade D Taxa da dissipação da energia plástica interna total por unidade de volume E Módulo de Young F Força aplicada no corpo F Vector das cargas nodais

Forças de contacto entre as partículas Forças geradas através dos elementos lineares de vínculo entre duas partículas Acções externas Esforços internos

Fs Resistência limite ao corte Ft Resistência limite à tracção F1 Tensão principal horizontal aplicada ao painel F2 Tensão principal vertical aplicada ao painel G Módulo de distorção H Carregamento normal H Força horizontal de cedência K Matriz de rigidez

Coeficiente de impulso activo Coeficiente de impulso passivo

L Função Lagrangiana aumentada na cedênciaL Largura do corpoL Largura do tijolo

L* Função que define o problema de minimização local M Matriz de massa

Ni Matriz que reúne as funções de aproximação da forma nodal convencional do elemento i

O Ponto de origem do sistema de coordenadas OC Distância desde a origem do sistema de coordenadas ao centro do círculo de Mohr

Conjunto genérico de carregamento Conjunto genérico de carregamento

R Raio do círculo de Mohr Rc Raio do círculo de Mohr no estado de tensão no colapso Rt Raio do círculo de Mohr no estado de tensão que origina a truncatura T Matriz de transformação Truncatura à compressão Truncatura à tracção

Matriz que reúne as funções de aproximação ao campo das velocidades relativas na fronteira dos elementos

V Carregamento normal V Força vertical total aplicada à alvenaria

Volume considerado da viga de betão reforçado

Volume real da viga de betão reforçado

WD Taxa de dissipação da energia plástica interna We Taxa do trabalho das forças exteriores aplicada ao sistema

Welástico Trabalho elástico Wλ Taxa do trabalho das forças variáveis

viii

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mponentes damponentes danstituem o copessura da junctor que juntstica ctor que guarformação ução sem resndidatos que nção que defisociadas sistência médnção que defio associadas ura da parederecção

mero do elemmero do nó ido mero do interrecção nstante mero da iteragidez rgura da pared

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DE COLAPSO

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Simbologia e Notações

ix

rp Parâmetro de penalidade para os elementos degenerados r0 Parâmetro de penalidade inicial Vector que contem as componentes do tensor Si Vector que reúne os valores próprios do tensor Si

t Forças de superfície externas (afectadas pelo multiplicador) t Componente tangencialt Espessura da parede

t0 Forças de superfície externas iniciais Forças de superfície externas não afectadas pelo multiplicador

u Campo de deslocamentos Campo de deslocamentos inicial Tensor da taxa dos deslocamentos Campo das velocidades

; Campo das velocidades das duas regiões delimitadas pela fronteira Γd Campo das acelerações x Ponto de tensão x Ponto do interior do corpo Maiúsculas gregas

Ω Domínio do corpo Ω Volume do corpo Γ Superfície do corpo Γd Região da superfície Γ onde ocorrem as descontinuidades do campo de velocidade Γu Região da superfície Γ, representada pelas condições de fronteira cinemática Γσ Região da superfície Γ, representada pelas condições de fronteira estáticas Δp Volume do elemento degenerado Ψ Ângulo que a superfície de deslizamento faz com a horizontal Ψ Ângulo que relaciona a F2 com a F1

Minúsculas gregas λ Multiplicador λ Parâmetro de carregamento não dimensional λc Mínimo valor da região superior do multiplicador da carga de colapso (cedência)

Valor experimental do λ no colapso Ultimo valor de λ Valor da região superior de ε (Campo das) Deformação εe Deformação elástica εp Deformação plástica εT Deformação total plástica

Componentes contínuas da deformação plástica Taxa das deformações Tensor de deformação plástica Campos da taxa de deformação plástica Tensor da taxa de deformação elástica Taxa de deformação plástica

, , Tensores principais da taxa de deformação (elástica)

, , Tensores principais da taxa de deformação plástica μ Vectores colectores dos multiplicadores de Lagrange μk Valor do vector μ na iteração K μλ Vectores colectores dos multiplicadores de Lagrange na cedência α Multiplicador plástico σ Tensão (normal) σ Estado de tensão finalσ Tensor de tensão σc Ponto de tensão principal no estado de colapso

x

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Collapmu

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nsão de cortncatura ao consão de corte eficiente de Pmponentes dempo das velocstorção so específico dso específico dso específico eno de carregano de carregalocidade do prâmetro adimgulo de atritogulo de inclinagulo de inclinagulo entre a jugulo θ limite epessura do ele

reviaturas/Trmerican Concreura dos tijolosmité Europeu

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dos blocos do betão refoequivalente damento verticamento horizoonto O ensional que interno do mação do planoação da gravidunta horizontem que o colaemento degen

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Simbologia e Notações

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Dismesh Programa que permite a criação da malha das juntas no formato Ansys DOF Degrees of freedom (Graus de liberdade)

Elapsed Time Duração total do cálculo Elem_altura Número de elementos existentes na altura de cada tijolo Elem_comp Número de elementos existentes na largura de cada tijolo

erro Erro de compatibilidade esp Espessura dos tijolos

FASE 1 Minimização global FASE 2 Minimização local

FRP Fiber‐Reinforced Polymer (Polímero reforçado por fibras) Geocluster Sistema de processamento em paralelo

máx. Máximo Max. Compatibility

error Maximum compatibility error (Erro de compatibilidade máximo)

MED Método de Elementos Discretos ou Método de Elementos Distintos MEF Método de Elementos Finitos

nº fiadas Número de fiadas nº tijolos por fiada Número de tijolos que constituem cada fiada

nrblocosi Número de tijolos inteiros existentes em cada fiada nrlinhasi Número de fiadas ímpar nrlinhasp Número de fiadas par

nr. of total iter. Number of total iteration (Número total de iterações) offseti Largura do primeiro tijolo da fiada ímpar offsetp Largura do primeiro tijolo da fiada par

p.e.e.d.v.b.r Peso específico equivalente e distribuído da viga de betão reforçado Prep_calc3d Comando final que permite a conclusão do ficheiro gerador de malhas

Script_masonry_2d Programa que permite a criação da malha dos tijolos no formato Ansys

SUBLIM3d Strict Upper Bound Limit analysis code (http://www.dec.fct.unl.pt/projectos/SUBLIM3d/)

SW Shear Wall (Parede de corte) TOL Tolerância

2D Bidimensional 3D Tridimensional

Símbolos matemáticos Domínio real de uma função com duas variáveis Reais positivos Reais positivos incluindo o zero · Produto contraído (ou contracção dupla) entre dois tensores da mesma ordem: Produto interno : Que verifique : Resulta

A equação A simplifica‐se na equação B, através da condição C

Congruente |…| Módulo Mínimo da função A

tr(…) Traço - Vector [-] Matriz -T Transposta de uma matriz

--1 Inverso de uma matriz

A(x,…,y) Função A que depende das variáveis x, …, y … , Derivada parcial da componente i de um vector em função da j‐ésima variável

Derivada parcial da componente i de um vector em função da j‐ésima variável

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O DE SISTEMA

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xiii

Índice Agradecimentos ............................................................................................................................... i

Resumo .......................................................................................................................................... iii

Abstract .......................................................................................................................................... v

Simbologia e Notações .................................................................................................................. vii

Índice de Figuras .......................................................................................................................... xvii

Índice de Tabelas .......................................................................................................................... xxi

1 Introdução ............................................................................................................................... 1

1.1 Motivação ................................................................................................................................ 1

1.2 Objectivo ................................................................................................................................. 2

1.3 Metodologia ............................................................................................................................ 3

1.4 Organização do documento .................................................................................................... 6

2 Definição do Problema ............................................................................................................. 7

2.1 Considerações iniciais ............................................................................................................. 7

2.2 Caracterização dos Sistemas de alvenaria .............................................................................. 7

2.3 Comportamento do Material ................................................................................................ 12

2.3.1 Fundamentos da teoria da elasto‐plasticidade ................................................................. 12

2.3.1.1 Parcela elástica .................................................................................................................. 12

2.3.1.1.1 Definição/Solução do tipo de problema ....................................................................... 13

2.3.1.2 Parcela plástica .................................................................................................................. 15

2.3.2 Leis constitutivas ............................................................................................................... 20

2.3.2.1 Definição/Considerações do tipo de problema ................................................................ 20

2.3.3 Estados planos ................................................................................................................... 21

2.4 Métodos de Resolução do problema .................................................................................... 22

2.4.1 Análise Limite .................................................................................................................... 24

2.4.1.1 Teorema da região inferior (Teorema Estático) ................................................................ 25

2.4.1.2 Teorema da região superior (Teorema Cinemático) ......................................................... 26

2.5 Funções de dissipação ........................................................................................................... 27

2.5.1 Critério de Mohr‐Coulomb ................................................................................................ 28

2.5.2 Critério de Armando Nunes Antão .................................................................................... 29

2.5.3 Critério de Mário Vicente da Silva ..................................................................................... 31

3 Ferramenta de cálculo ........................................................................................................... 35

3.1 Formulação numérica ........................................................................................................... 35

3.1.1 Modelação das descontinuidades (Elementos de junta) .................................................. 37

xiv

3.1.2

3.2 A

3.2.1

3.2.2

3.2.2.1

3.2.2.2

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5.2.1.2.5

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..... 82

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..... 88

..... 93

..... 96

..... 96

..... 98

... 101

... 105

... 118

Índice

xv

5.2.3 Considerações finais ........................................................................................................ 121

6 Conclusões e Desenvolvimentos futuros .............................................................................. 123

6.1 Conclusão ............................................................................................................................ 123

6.2 Desenvolvimentos futuros .................................................................................................. 124

Bibliografia .................................................................................................................................. 125

xvii

Índice de Figuras Figura 2.1 – Sistemas de alvenaria: Exemplos de alvenaria (a) Simples (b) Armada (c) Pré‐esforçada (d) Confinada (adaptada de [20]) ............................................................................................................ 8 Figura 2.2 – Classificação das unidades em relação às características geométricas da respectiva furação: Unidades (a) Maciças; (b) com Furação Horizontal; (c) com Furação Vertical [20] .................. 9 Figura 2.3 – Tipos de alvenaria de pedra: Alvenaria de (a) Cascalho; (b) Blocos sem alinhamento; (c) Blocos com alinhamento [21] .......................................................................................................... 10 Figura 2.4 – Tipos de disposição da alvenaria de tijolos/blocos: Ligação (a) Americana; (b) Inglesa (ou cruzada); (c) Flamengo; (d) Tipo monte; (e) Alternada (ou comum) [21] ..................... 10 Figura 2.5 – Tipos de secção transversal da alvenaria [21] ................................................................... 10 Figura 2.6 – Estratégias de modelação para alvenarias simples: (a) Amostra de alvenaria; (b) Modelação micro detalhada; (c) Modelação micro simplificada; (d) Modelação macro (adaptada de [6]) ............................................................................................... 11 Figura 2.7 – Diagrama tensão‐deformação típico em condições uniaxiais ........................................... 12 Figura 2.8 – Domínio elástico definido pela superfície de Coulomb – Hipótese de tensão plana ........ 13 Figura 2.9 – Definição do tipo de problema .......................................................................................... 14 Figura 2.10 – Fase de descarregamento, no regime plástico ................................................................ 16 Figura 2.11 – Domínio plástico definido pela superfície de cedência de Coulomb – Hipótese de tensão plana ..................................................................................................................................... 17 Figura 2.12 – Caso particular da normalidade (superfície de Cedência de Coulomb) – Hipótese de tensão plana ..................................................................................................................................... 17 Figura 2.13 – Consequência do trabalho plástico máximo: Convexidade [1] ....................................... 18 Figura 2.14 – Dissipação numa superfície de cedência não estritamente convexa [1] ........................ 19 Figura 2.15 – Diagrama tensão‐deformação de um corpo rígido perfeitamente plástico ................... 20 Figura 2.16 – Domínio dos carregamentos admissíveis [1] ................................................................... 25 Figura 2.17 – Critério de cedência de Mohr ‐ Coulomb ........................................................................ 28 Figura 2.18 – Representação gráfica da superfície de cedência de Mohr‐Coulomb [1] ....................... 28 Figura 2.19 – Superfície de cedência de Mohr‐Coulomb em duas dimensões – Hipótese de tensão plana ..................................................................................................................................... 29 Figura 2.20 – Critério de cedência proposto em [4] ............................................................................. 30 Figura 2.21 – Comparação do modelo de interface composto[6] com o critério de Armando Nunes Antão[4] ..................................................................................................................... 31 Figura 2.22 – Critério de cedência proposto em [5] ............................................................................. 32 Figura 2.23 – Comparação do critério de Armando Nunes Antão com o critério de Mário Vicente da Silva ........................................................................................................................... 33 Figura 3.1 – Interface de dois elementos 2D formado por elementos degenerados [1] ...................... 37 Figura 3.2 – Fronteira com descontinuidades entre dois elementos adjacentes [1] ............................ 38 Figura 3.3 – Graus de liberdade de um corpo rígido [1] ....................................................................... 39 Figura 3.4 – Implementação do algoritmo de minimização de Uzawa [1] ........................................... 41 Figura 3.5 – Zonas que definem o espaço auxiliar, Cc, no critério de Armando Nunes Antão ............. 46 Figura 3.6 – Zonas que definem o espaço auxiliar, Cc, no critério de Mário Vicente da Silva .............. 48 Figura 4.1 – Exemplo de validação nº1: Corpo sujeito a cargas uniformemente distribuídas normais à superfície (H e V) ................................................................................................................................... 51 Figura 4.2 – Exemplo de validação nº2: Corpo sujeito a cargas normais (H e V) e tangenciais (C) uniformemente distribuídas ................................................................................................................. 52

xviii

Figura 4.3 –aplicadas noFigura 4.4 –Figura 4.5 –Figura 4.6 –Figura 4.7 –Figura 4.8 –Figura 4.9 –Figura 4.10 Figura 4.11 Figura 4.12 Figura 4.13 Figura 5.1 –uma paredeFigura 5.2 –Figura 5.3 –Figura 5.4 –Figura 5.5 –Figura 5.6 –Figura 5.7 –Figura 5.8 –Figura 5.9 –pelos resultFigura 5.10 Figura 5.11 Figura 5.12 por [12] e pFigura 5.13 por [12] e pFigura 5.14 m=0.4375 nFigura 5.15 m=0.875 noFigura 5.16 Figura 5.17 Figura 5.18 a) Análise liFigura 5.19 Figura 5.20 cedência [3Figura 5.21 Figura 5.22 Figura 5.23 carregamenFigura 5.24 carregamen

– Exemplo deo tijolo supe– Discretizaçã– Resultado o– Resultados – Representa– Representa– Discretizaçã– Resultado– Resultado– Represent– Represent

– Tipo de eleme de alvenari– Ficheiro de – Etapas que – Dados nece– Estrutura d– Tipo de car– Domínio de– Proposta ap– Representatados experim– Represent– Determina– Comparaç

pelos ensaios– Comparaç

pelos ensaios– Dissipaçãonos pontos ρ– Dissipaçãoos pontos ρ=– Geometria– Mecanism– Modos demite 1 b) An– Modo de r– Modelo pr0] ................– Superfície – Parâmetro– Comparaçnto ‐deslocam– Comparaçnto – desloca

e validação nrior (V e C) ..ão do corpo obtido pelo Scomplemen

ação do exemação gráfica dão do corpo obtido pelos complemetação do exetação gráficamentos que ia .................leitura do pdefinem o fiessários pela a alvenaria dregamento de estabilidadepresenta no ação gráfica dmentais, partação gráficaação do númção dos mults experimentção dos mults experimento plástica e m=0.25 e 2.8 do plástica e m0.25 e 2.8 doa da alvenarimos de rotura rotura obtidnálise limite 2rotura obtidoroposto pelo....................de cedênciaos do critérioção dos resulmento experção dos resulamento expe

nº3: Provete ........................................SUBLIM3d ....tares obtidomplo no diagdo critério de.................... SUBLIM3d ..ntares obtidemplo no diaa do critério ddefinem os t....................rograma gericheiro de co1º etapa dodo exemplo 1do exemplo 1e do exemplartigo (adapdos resultadora o caso de ρa da tendêncmero de prociplicadores dtais, para o ciplicadores dtais, para o cmalha deformdo exemplo malha deformo exemplo 1ia de pedra ea experimentdos para par2 [17] ...........o para a pareo método sim....................a hiperbólicao de cedêncialtados obtidorimentais da ltados obtidoerimentais da

CARGAS D

de dois tijolo............................................................os pelo SUBLIrama de Moe cedência d........................................dos pelo SUBgrama de Mde cedência tijolos, as jun....................rador de malomandos queo processo de1 [12] ..........1 (adaptado o 1 no planoptado de [12]os obtidos pρ=1 e m=0.8ia do multipessadores mde cedência ocaso de m=0.de cedência ocaso de m=0.mada obtidas1 .................mada obtidas...................e esquema dtal [27] ........ede SW200 p....................ede SW30 pemplificado de.................... ...................a de Mohr ‐os pelas estimparede de cos pelas estima parede SW

DE COLAPSO

os com junta............................................................IM3d ...........hr ................do exemplo ..........................................LIM3d .........ohr ..............do exemplontas e o linte....................has ..............e permite a ge criação de ....................de [12]) ......o de carregam]) ..................elo SUBLIM3875 ...............licador de co

mais eficienteobtidos pelo.4375 ...........obtidos pelo.875 .............s pelo SUBLI....................s pelo SUBLI....................e carregame....................pela: ....................ela Análise Me análise des........................................Coulomb .....mativas teórcorte SW30 ..mativas teór

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O DE SISTEMA

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AS DE ALVEN

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NARIA

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..... 53

..... 54

..... 54

..... 55

..... 57

..... 58

..... 58

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..... 78

..... 81

..... 82 ..... 83 ..... 84 a ..... 84 ..... 85 ..... 86

..... 88

..... 89

Índice de Figuras

xix

Figura 5.25 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas com as curvas de carregamento – deslocamento experimentais da parede de corte SW200 ......................................... 89 Figura 5.26 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas com a curva de carregamento – deslocamento experimental da parede de corte SW250 ........................................... 90 Figura 5.27 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW30 do exemplo2 ............................................................................................................................... 91 Figura 5.28 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW100 do exemplo2 ............................................................................................................................. 92 Figura 5.29 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW200 do exemplo2 ............................................................................................................................. 92 Figura 5.30 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW250 do exemplo2 ............................................................................................................................. 93 Figura 5.31 – Estrutura da alvenaria do exemplo 3 (adaptado de [10]) ............................................... 96 Figura 5.32 – Critério de cedência dos elementos de junta (adaptado de [10]) .................................. 97 Figura 5.33 – Critério de cedência da junta para o caso de tracção uniaxial (adaptado de [10]) ......... 98 Figura 5.34 – Mecanismos de rotura experimentais típicos para os ensaios de compressão biaxial: Compressão (a) uniaxial; (b) biaxial (adaptado de [36]) ....................................................................... 99 Figura 5.35 – Resumo dos modos de rotura para a tracção‐compressão biaxial (adaptado de [37]) 100 Figura 5.36 – Estado de tensão aplicado à alvenaria (círculo de Mohr) ............................................. 102 Figura 5.37 – Carregamento equivalente aplicado na estrutura da alvenaria com θ=90°.................. 103 Figura 5.38 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=90° no ensaio de tracção biaxial ................................................................................... 105 Figura 5.39 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=67.5° no ensaio de tracção biaxial ................................................................................ 105 Figura 5.40 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=45° no ensaio de tracção biaxial ................................................................................... 106 Figura 5.41 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=22.5° no ensaio de tracção biaxial ................................................................................ 106 Figura 5.42 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas (SUBLIM3d e [10]) para o painel com θ=0° no ensaio de tracção biaxial ..................................................................................... 107 Figura 5.43 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=90° no ensaio de compressão biaxial ........................................................................... 108 Figura 5.44 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=67.5° no ensaio de compressão biaxial ........................................................................ 108 Figura 5.45 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=45° no ensaio de compressão biaxial ........................................................................... 109 Figura 5.46 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=22.5° no ensaio de compressão biaxial ........................................................................ 109 Figura 5.47 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [36] para o painel com θ=0° no ensaio de compressão biaxial ............................................................................. 110 Figura 5.48 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [37] para o painel com θ=90° no ensaio de tracção – compressão biaxial ............................................................ 111 Figura 5.49 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [37] para o painel com θ=67.5° no ensaio de tracção – compressão biaxial ......................................................... 111 Figura 5.50 – Comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com os experimentais [37] para o painel com θ=45° no ensaio de tracção – compressão biaxial ............................................................ 112

xx

Figura 5.51 painel com Figura 5.52 painel com Figura 5.53 do exemploFigura 5.54 do exemploFigura 5.55 do exemploFigura 5.56 do exemploFigura 5.57 do exemploFigura 5.58 do exemploFigura 5.59 exemplo 3 cFigura 5.60 exemplo 3 cFigura 5.61 exemplo 3 cFigura 5.62 exemplo 3 cFigura 5.63 exemplo 3 cFigura 5.64

– Comparaçθ=22.5° no e– Comparaçθ=0° no ensa– Dissipaçãoo 3, referente– Dissipaçãoo 3, referente– Dissipaçãoo 3, referente– Dissipaçãoo 3 com θ=0°– Dissipaçãoo 3 com θ=22– Dissipaçãoo 3 com θ=90– Dissipaçãocom θ=0°, re– Dissipaçãocom θ=22.5°– Dissipaçãocom θ=45°, r– Dissipaçãocom θ=67.5°– Dissipaçãocom θ=90°, r– Ensaio de

ção dos resulensaio de tração dos resulaio de tracção plástica e me ao ensaio do plástica e me ao ensaio do plástica e me ao ensaio do plástica e m e σ2=0, refeo plástica e m2.5° e σ2=0, ro plástica e m0° e σ2=0, refo plástica e meferente ao eo plástica e m, referente ao plástica e mreferente ao o plástica e m, referente ao plástica e mreferente ao compressão

ltados obtidoacção – compltados obtidoão ‐ compresmalha deformde tracção bimalha deformde tracção bimalha deformde tracção bimalha deformerente ao ensmalha deformreferente ao malha deformferente ao enmalha deformensaio de tramalha deformao ensaio de malha deformensaio de tr

malha deformao ensaio de malha deformensaio de tr

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CARGAS D

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DE COLAPSO

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O DE SISTEMA

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AS DE ALVEN

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NARIA

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... 117

... 117

... 117

... 118

... 118

... 122

xxi

Índice de Tabelas Tabela 2.1 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério de Mohr ‐ Coulomb .... 29 Tabela 2.2 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério [4] ............................... 30 Tabela 2.3 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério [5] ............................... 32 Tabela 4.1 – Principais características da malha ................................................................................... 54 Tabela 4.2 – Tensões aplicadas no corpo e propriedades do círculo de Mohr ..................................... 55 Tabela 4.3 – Principais características da malha ................................................................................... 58 Tabela 4.4 – Tensões principais aplicadas no corpo e propriedade do círculo de Mohr ...................... 59 Tabela 5.1 – Multiplicador de colapso para as várias proporções da alvenaria dos cálculos efectuados ............................................................................................................................... 73 Tabela 5.2 – Erro obtido ao considerar cada multiplicador de colapso ................................................ 74 Tabela 5.3 –Principais características da malha do exemplo 1 para os casos de m=0.4375 e 0.875 nos pontos ρ=0.25 e 2.8 ........................................................................................................................ 76 Tabela 5.4 – Multiplicadores de cedência obtidos pelo SUBLIM3d para os casos de m=0.4375 e 0.875 nos pontos ρ=0.25 e 2.8 do exemplo 1 ................................................................................................. 76 Tabela 5.5 – Carregamento vertical aplicado a cada parede modelo do exemplo 2 ............................ 81 Tabela 5.6 – Comparação da carga de colapso[KN] obtida experimentalmente com a obtida pelas estimativas teóricas............................................................................................................................... 90 Tabela 5.7 – Principais características da malha de cada parede do exemplo 2 .................................. 91 Tabela 5.8 – Principais características das malhas utilizados no exemplo 3 ...................................... 114

1

Capítulo 1

1 Introdução

1.1 Motivação A motivação para realizar a presente dissertação pode ser enquadrada em duas vertentes

distintas: a pessoal e a científica.

As razões pessoais pelas quais aceitei a proposta de realizar a presente dissertação foram:

• O interesse e a vontade em continuar a contribuir para o desenvolvimento do SUBLIM3d, nomeadamente no tema cargas de colapso de sistemas de alvenaria;

• A transversalidade do tema, da determinação das cargas de colapso, em relação a diferentes áreas da Engenharia Civil (por exemplo: Estruturas, Geotecnia e Construção);

• O gosto e interesse pela programação associada à utilização de métodos de elementos finitos.

No que concerne à vertente científica, o tema apresenta ainda alguns pontos por esclarecer, apresentando assim a possibilidade de conduzir a trabalho inovador e aliciante. Destacam‐se, nomeadamente:

• A dificuldade em simular numericamente a alvenaria, devido a este tipo de estrutura ser um material complexo (composto por unidades, juntas e interfaces unidade/junta) que exibe diferentes propriedades direccionais (resistência e rigidez). Estas propriedades são influenciadas principalmente pelas propriedades dos materiais (unidades e juntas), pela resistência dos interfaces unidade/junta (que assume normalmente um valor muito inferior quando comparado com as unidades e as juntas, assim a presença destes interfaces cria planos de fragilidade ao longo do qual a falha pode iniciar‐se e propagar‐se) e da sua orientação e pelo modo de execução da alvenaria;

• O insucesso dos métodos existentes para estimar a carga de colapso dos sistemas de alvenaria, revelando que se trata de uma área de investigação não concluída, havendo ainda possibilidade para explorar soluções alternativas que permitam ultrapassar as limitações observadas actualmente. Em particular, a utilização dos teoremas da análise limite permitem obter métodos com elevadas potencialidades, mas que têm sido até agora razoavelmente negligenciados;

• A consideração da resistência à compressão da alvenaria na direcção normal à junta horizontal como sendo a única propriedade relevante do material, conduzindo a um estado de compressão triaxial na junta e a um estado de compressão biaxial na unidade. Por isso as estruturas de alvenaria ainda nos dias de hoje, apenas são usadas em compressão, a menos que se use alvenarias reforçadas ou pré‐esforçadas;

• O desprezo da capacidade resistente das paredes não estruturais no cálculo estrutural;

• A inexistência de novas aplicações da alvenaria estrutural, que se deve: o Às razões económicas ‐ Em países desenvolvidos, a alvenaria parece ter perdido

quase completamente a sua função estrutural, para serem usados como um sistema de revestimento ou para preencher paredes não resistentes. Em países em desenvolvimento e países do terceiro mundo a situação é bastante diferente, com a alvenaria estrutural ainda a ser largamente usada;

2

Aprhojesísm

1.2 ObjeDe form

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Capítulo 1. Introdução

3

Para se alcançar o objectivo global, é necessário atingir os seguintes sub‐objectivos que o constituem:

• Desenvolvimento da ferramenta numérica, através da introdução de duas novas superfícies de cedência propostas pelos professores Armando Nunes Antão[4] e Mário Vicente da Silva[5] que tentaram incorporar os diferentes mecanismos de rotura, nomeadamente, rotura por tracção, por corte e por compressão. A superfície de cedência proposta pelo professor Armando Nunes Antão é baseada na superfície de cedência considerada por Lourenço[6], em que a recta vertical apresentada na truncatura em tracção é substituída por um círculo. Por outro lado, a superfície de cedência proposta pelo professor Mário Vicente da Silva é também uma superfície de cedência composta, mas neste caso é constituída pelo critério de Mohr‐Coulomb e por uma truncatura horizontal na zona de compressão. Através da utilização destes dois critérios pretende‐se obter melhores resultados do que os apresentados na literatura, porque os critérios existentes não consideram na sua maioria truncatura em compressão e em tracção, e os que consideram apresentam uma forma que não é mecanicamente possível;

• Implementar numericamente as duas funções na ferramenta numérica SUBLIM3d, permitindo assim o cálculo da dissipação de energia das alvenarias;

• Validar a correcta programação dos critérios, através de exemplos simples em que a carga de colapso real seja de fácil determinação;

• Uma vez dispondo da ferramenta de cálculo totalmente operacional, torna‐se imprescindível proceder à análise de um número variado de exemplos numéricos, que permitem avaliar a robustez (garantir a convergência para a maioria das situações), precisão (apresentar o menor desvio possível à solução real), eficiência (apresentar um tempo de cálculo reduzido), desempenho (obter pelo menos tão bons resultados quanto os existentes na literatura) e capacidade dos modelos propostos. Os resultados previstos pelos modelos são comparados com os resultados obtidos numericamente por outros autores e com os resultados experimentais.

1.3 Metodologia Neste subcapítulo apresentam‐se os métodos existentes para as ferramentas de cálculo e para as

suas características: modelação da alvenaria, comportamento do material, resolução do problema da simulação numérica da alvenaria e superfície de cedência.

No que refere às estratégias de modelação da alvenaria, são conhecidos a modelação micro detalhada, onde as unidades e as juntas são representadas por elementos contínuos e onde os interfaces unidade/junta são representados por elementos descontínuos, a modelação micro simplificada, onde as unidades são expandidas, mas continuam a ser representadas por elementos contínuos, enquanto que o comportamento das juntas e dos interfaces é substituído por uma única superfície que é constituída por elementos de junta e a modelação macro ou homogeneização ou modelação contínua (para se obter esta modelação existem dois processos: a homogeneização xy ou a homogeneização yx, que conduzem à obtenção de diferentes resultados), em que o conjunto das unidades, das juntas e dos interfaces é substituído por um compósito [6].

4

Os matexternas o externas, dprimeira facomportam

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• O mcine

• A aexig

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resentada pmétodo delvenaria, moomadas comtas. Esta pro limite, os mis eficiente n

esentada poução do probqual as unidrfaces aprese

m comportamiginal, ou inerna mais aodência, exib a rotura.

roblema da sNeste traba

e, que é base utiliza técn

cremental, qnal significat

scretos ou mm elevado esf

cedência exissto por D. C.omb, o modepor três ramo vertical prucker [9] cotruncatura e

ma superfícieproposta poção são a sucia propostae apresenta

mais actuais

por P. DeBue análise limodelando a mo rígidas e posta permimecanismos na análise de

or A. W. Pageblema da simdades apresentam um co

CARGAS D

mento elástielástico, em estágio inibe comport

simulação nulho evidenci

seado nos tenicas de opti

que apresenttivo;

método de eforço compu

stentes com. Drucker et elo de truncamos: uma tpara a truncaorresponde em tracção, e de cedêncir H. R. Lotfi uperfície dea por Mário am como b

descritas na

uhan e G. Dmite para aalvenaria cusa a superte obter infode colapso alvenarias d

e (análise demulação numentam um comportamen

DE COLAPSO

ico, em que que o corpcial e ou eltamento elá

umérica da aia‐se a utiliza

eoremas funmização par

ta um proble

lementos disutacional.

m relevância al.[8], o critéatura do intetruncatura eatura em traa um critéria superfíciea composta e P. B. Shing cedência pVicente da ase a super

a literatura p

DeFelice [12a resolução omo um mfície de cedêormações ime a distribu

de grande es

e elementos mérica da alvcomportamento plástico;

O DE SISTEMA

e após a rempo ao ser sulasto‐plásticoástico, e d

alvenaria poação de méto

damentais (a a sua imple

ema de acum

stintos (MED

nesta área ério de cedênerface [6] coesférica em cção, a supeio de cedênce de cedêncipor dois ramg [11]. As noproposta porSilva[5], emrfície de ce

ara a análise

2], que consdo problematerial homência de Mo

mportantes nuição de tencala [13];

finitos não lenaria atravento elástico

AS DE ALVEN

moção das fbmetido a ao, em que depois exibe

odem ser divodos não line

teorema estementação;

mulação de e

D) proposto

são, o critérncia de Ranknstituído pocompressão

erfície de cedcia modificaa proposta pmos inclinadvas superfícr Armando Nm que ambadência de M

e de estrutur

sidera o teoma da simumogéneo, onohr‐Coulomba rotura (comnsões nas se

ineares) [14vés de uma a enquanto q

NARIA

forças acções numa e um

ididos eares,

tático,

erro e

por P.

rio de kine, o r uma o, um dência do de por A. os e a ies de Nunes as são Mohr‐

ras de

orema ulação de as b para mo os ecções

], que nálise que as

Capítulo 1. Introdução

5

• A proposta apresentada por D. J. Sutcliffe et al. [15], que considera a superfície de cedência de Mohr‐Coulomb para as unidades e o modelo de truncatura do interface para as juntas e para os interfaces unidade/junta, sendo que a resolução do problema da simulação numérica da alvenaria é baseada no teorema estático do método de análise limite;

• A proposta apresentada por G. Milani et al. [16], que considera como estratégia de modelação a homogeneização onde o comportamento do corpo é admitido como rígido plástico e o método de resolução do problema da simulação numérica da alvenaria foi a análise limite tanto recorrendo ao teorema cinemático como ao teorema estático;

• A proposta apresentada por A. Orduna e P. B. Lourenço [17], que considera como método de resolução do problema da simulação numérica da alvenaria a análise limite e opta por considerar as unidades como rígidas e as juntas como plásticas sendo que para os interfaces unidade/junta o critério de cedência escolhido foi o de Mohr‐Coulomb;

• A proposta apresentada por A. Zucchini e P. B. Lourenço [18], que escolhe a homogeneização como a estratégia de modelação, executa a resolução do problema da simulação numérica da alvenaria através de uma análise não linear, considerando o material como elástico e os modelos de cedências adoptados foram o de Rankine em tracção e o de Drucker ‐ Prager em compressão;

• A proposta apresentada por P. B. Lourenço [6], que considera a modelação micro simplificada e a homogeneização (com diferentes propriedades direccionais) como as estratégias de modelação da alvenaria, propõe uma superfície de cedência para os interfaces e considera que os materiais apresentam um comportamento plástico;

A ferramenta de cálculo considerada no presente trabalho é o SUBLIM3d [1] que considera a modelação micro simplificada para a modelação da alvenaria, que opta por considerar os materiais como rígido‐plásticos, que se baseia no teorema cinemático do método da análise limite para a resolução do problema da simulação numérica da alvenaria e que considera as seguintes superfícies de cedência: Mohr‐Coulomb, a proposta apresentada por Armando Nunes Antão e a proposta apresentada por Mário Vicente da Silva.

6

1.4 OrgO prese

onde foram‐se os capít

Capítuloem primeiroem seguidauma revisãmétodos detrabalhos mabordagem

Capítuloestudo (SUmatemáticocálculo. Excedência pr

Capítuloexemplos n

Capítuloneste capítude cedêncianumérico etruncatura e teóricos malhadores

Capítulojuntamente

anização ente documem apresentadulos centrais

o 2. Neste cao lugar proc são revistoso bibliográfe resolução dmais relevan).

o 3. O capítUBLIM3d), ino escolhido epõe‐se tamropostas.

o 4. Com o uméricos sim

o 5. Com oulo três exema de Mohr‐Cem que se no resultadodisponíveis

s criados par

o 6. O capíe com algum

do documento encontrdos a motivas da dissertaç

apítulo apresede‐se à cars alguns concfica, na quado problemates no cont

tulo apresenncluindo a fe o modo debém neste

intuito de vmples em qu

o intuito de mplos numéCoulomb, poconsidera oo) em que asna literatu

ra gerar o fich

ítulo apreseas sugestões

mento ra‐se estrutuação, o objecção, cujo con

senta‐se umracterização ceitos sobrel se pretena da simulaçtexto deste

nta resumidformulação incorporar ccapítulo, a

validar os moue a determin

aferir a capricos (dois eorque a influs dois crités soluções oura. Inclui‐sheiro de dad

enta por fims de desenvo

CARGAS D

urado em 6 cctivo e a metnteúdo é sum

a definição rda alvenariao comportade enquadrção numéricatema, desta

amente a fenumérica acorpos rígidoimplementa

odelos propnação da car

pacidade daxemplos numuência da trrios de cedbtidas são coe também dos necessár

m as principolvimentos fu

DE COLAPSO

capítulos. Aptodologia admarizado em

rigorosa do pa (estratégiasamento do mar o leitor a da alvenaracando‐se os

erramenta dadoptada, oos e elementação numér

ostos, apresrga de colaps

s formulaçõméricos, emuncatura nãência propoomparadas cneste tópicio pelo SUBL

ais conclusõuturos.

O DE SISTEMA

pós este capídoptada no tm seguida:

problema ems de modelamaterial e posobre o estria (sendo aps aspectos p

de cálculo uso algoritmo tos de junta rica das dua

sentam‐se neso é fácil.

ões proposta que se consão é relevanostos, devidocom resultadco, a estrutLIM3d.

ões retirada

AS DE ALVEN

ítulo introdutrabalho, seg

m análise. Pação da alvenr último, segtado da artpenas referidprincipais de

sada no prede programna ferramenas superfície

este capítulo

as, apresentasidera a supete e um exeo à influêncdos experimeturação dos

s deste trab

NARIA

utório, guem‐

ra tal, naria), gue‐se e dos dos os e cada

esente mação nta de es de

o dois

am‐se erfície emplo cia da entais s dois

balho,

7

Capítulo 2

2 Definição do Problema

2.1 Considerações iniciais A convenção de sinais geralmente adoptada ao longo deste documento, tanto para as tensões

como para as deformações, será a da geomecânica. Esta convenção considera que a compressão é positiva e que os esforços de corte (tangenciais) são positivos quando provocam a rotação do elemento no sentido horário (para ver as implicações desta convenção consultar [19]). Considerou‐se por outro lado a convenção de sinais da mecânica dos sólidos no capítulo 3, devido a se tratar da convenção utilizada na formulação do SUBLIM3d.

O presente trabalho focou‐se na análise do problema em duas dimensões (2D), por isso as informações contidas em todos os capítulos restringem‐se quase na totalidade ao caso bidimensional.

2.2 Caracterização dos Sistemas de alvenaria Os principais sistemas de alvenaria existentes são: Alvenaria simples (ou não reforçada),

Alvenaria armada (ou reforçada), Alvenaria pré‐esforçada e Alvenaria confinada (ver Figura 2.1). Nos países desenvolvidos, os sistemas de alvenaria perderam quase totalmente a sua função estrutural, porque o betão reforçado e as estruturas de aço tornaram‐se mais competitivas, sendo a resistência o principal factor de concorrência. Assim, nos dias de hoje, o sistema de alvenaria mais usado é o da alvenaria simples aplicada tanto aos sistemas de revestimento, como ao preenchimento de paredes não resistentes. Excepções são os painéis de enchimento para resistir às cargas sísmicas e do vento, os núcleos de alvenaria pré‐esforçada e a alvenaria estrutural usada em edifícios de reduzida altura.

8

FIGURA 2.

A alvenexistindo sesão: as unidou blocos, unidades ircom furaçãunidades cagregados natural, pedas juntas poargamassa‐etc. Por últunidade/unplano de froutros comrotura da al

.1 – Sistemas d

naria simplesempre um indades, as junestas podemregulares), eo horizontalom reduzidacorrentes, bdra artificial,odem ser clacola e argamtimo, neste nidade, consoaqueza na apostos. É aolvenaria.

(a)

(c)

e alvenaria: Ex

s correspondterface entrntas e os intem ser classiem relação à, de unidadea furação, vbetão de ag, argamassa,assificadas emmassa leve), tipo de alveoante as unialvenaria, deo longo deste

xemplos de alve(adap

de a uma soe estes comerfaces. No cificadas em às característes com furaçver Figura 2gregados lev argila, silicam relação aoargila, betumenaria os intdades sejamevido à muites planos qu

CARGAS D

enaria (a) Simpptada de [20])

obreposiçãopostos, assimcaso das unidrelação à sticas geoméção vertical 2.2) e em reves, betão cato de cálcio,os seus constme, cal, relaterfaces pod

m ou não ligao menor rese se podem

DE COLAPSO(b)

(d

ples (b) Armada

de unidadem os materiadades corrensua forma (dtricas da resou de unidaelação aos celular autoc, produtos cetituintes: argção volumétdem ser de das por juntsistência queiniciar e pro

O DE SISTEMA

)

a (c) Pré‐esforç

es ligadas ouais que constntemente chde unidadesspectiva furades maciçasseus constitclavado, adoerâmicos e egamassa (argtrica cimentodois tipos, as, mas actue apresentamopagar as falh

AS DE ALVEN

ada (d) Confina

u não por jutituem a alvehamadas de ts regulares oação (de unis onde se inctuintes (betãobe, vidro, etc.). Por seugamassa coro/cal/areia, unidade/junuam sempre m em relaçãhas, conduzi

NARIA

ada

untas, enaria tijolos ou de dades clui as ão de pedra u lado, rente, cola e nta ou como ão aos indo à

Capítulo 2. Definição do Problema

9

(a) (b)

(c)

FIGURA 2.2 – Classificação das unidades em relação às características geométricas da respectiva furação: Unidades (a) Maciças; (b) com Furação Horizontal; (c) com Furação Vertical [20]

As características globais deste material composto são:

• A simplicidade de execução;

• A estética;

• A solidez;

• A durabilidade;

• A necessidade de pouca manutenção;

• A versatilidade;

• A absorção de som;

• A protecção ao fogo;

• O isolamento térmico;

• A exibição de comportamento heterogéneo e anisotrópico (devido aos interfaces que funcionam como potenciais superfícies de rotura);

• A reduzida resistência à tracção;

• A boa resistência à compressão na direcção normal às juntas horizontais (característica mais relevante), que conduz a um estado de compressão triaxial nas juntas e a um estado de compressão biaxial na unidades.

Os principais factores que influenciam estas características são:

• As características das unidades: Tipo de furação, constituintes, geometria, dimensões e sua relação, e grau de cozedura;

• As características das juntas: Anisotropia, heterogeneidade, porosidade, constituintes, largura, espessura e grau de cura;

• As características dos interfaces: Relação entre as características das unidades e das juntas;

• A relação entre as dimensões das unidades e da alvenaria;

• A existência ou não de preenchimento da junta entre as unidades;

• As diferentes inclinações e orientações das juntas/interfaces;

10

• Os t(ver

FI

FIGU

• Os depunidgraintealve

• A q

• O a

• A id

tipos de dispr Figura 2.3)

GURA 2.3 – Tip

URA 2.4 – Tipos

tipos de spendem da dades estennde espessuerior preencenaria (ver F

ualidade do

mbiente em

dade da Alve

posição da ae alvenaria d

pos de alvenari

s de disposição(c) Flam

ecção transespessura dndem‐se em ra, as unidadchido com pigura 2.5).

FIGUR

trabalho e o

que a alven

naria.

lvenaria, qude tijolos/blo

a de pedra: Alvco

o da alvenaria dmengo; (d) Tipo

sversal da aa parede, istoda a espdes podem spedras irregu

RA 2.5 – Tipos d

o modo de ex

aria se enco

CARGAS D

e dependemocos (ver Fig

venaria de (a) Cm alinhamento

de tijolos/blocoo monte; (e) Alt

alvenaria trasto é, quandessura, peloser usadas apulares, ou c

de secção trans

xecução da a

ntra inserida

DE COLAPSO

m do tipo de gura 2.4);

Cascalho; (b) Blo [21]

os: Ligação (a) Aternada (ou com

adicional (ndo a espesso contrário, penas para acom cascalh

versal da alven

alvenaria;

a;

O DE SISTEMA

alvenaria: A

locos sem alinh

Americana; (b)mum) [21]

no caso tridura da parese a paredeas camadas eo ou com m

naria [21]

AS DE ALVEN

Alvenaria de

hamento; (c) Bl

Inglesa (ou cru

dimensional)ede é reduzie apresentarexteriores semais camad

NARIA

pedra

locos

uzada);

, que ida as r uma endo o as de


11

Devido às características das alvenarias não reforçadas e aos inúmeros factores que as afectam, torna‐se difícil tanto a simulação do comportamento da alvenaria, bem como a modelação numérica da alvenaria. Sendo a maior exigência, definir o correcto comportamento da alvenaria, através das propriedades individuais dos compostos.

Dependendo do nível de precisão, do campo de aplicação e da simplicidade desejada é possível usar as seguintes estratégias de modelação, ver Figura 2.6:

FIGURA 2.6 – Estratégias de modelação para alvenarias simples: (a) Amostra de alvenaria; (b) Modelação micro detalhada; (c) Modelação micro simplificada; (d) Modelação macro (adaptada de [6])

• Modelação micro detalhada, onde as unidades e as juntas são representadas por elementos contínuos, enquanto que os interfaces unidade/junta são representados por elementos descontínuos e, por isso, corresponde à modelação existente mais detalhada. O objectivo de representar detalhadamente a alvenaria é alcançado através de testes laboratoriais nos materiais e em pequenas amostras de alvenaria, que permitem obter as propriedades de cada composto. Esta modelação necessita tanto para as unidades como para as juntas, das seguintes propriedades: Módulo de Young, Coeficiente de Poisson e opcionalmente propriedades inelásticas. Por outro lado, os interfaces representam um potencial plano de deslizamento/rotura. Esta aproximação é mais eficiente para alvenarias de pequena dimensão, para detalhes de estruturas de alvenaria, para regiões onde haja aberturas de janelas ou de portas, isto é, para zonas onde exista uma forte heterogeneidade de tensões e de deformações;

• Modelação micro simplificada, onde o comportamento das juntas e dos interfaces unidade/junta são colocados em superfícies médias (cada superfície média é constituída por uma junta e por dois interfaces unidade/junta) com espessuras nulas, sendo estas superfícies constituídas por elementos de junta, devido a corresponderem a potenciais linhas de fractura/deslizamento. Por outro lado, as unidades são expandidas (para manter a geometria global inalterada), mas continuam a ser representadas por elementos contínuos. Este tipo de modelação apresenta o mesmo campo de aplicação que a modelação micro detalhada;

• Modelação macro, ou homogeneização ou modelação contínua, onde as unidades, as juntas e os interfaces unidade/junta são substituídos por um compósito anisotrópico (sendo as relações estabelecidas em termos de tensões e deformações médias). Corresponde à modelação que apresenta maior rapidez de obtenção de resultados (devido em primeiro lugar, aos requisitos de memória serem reduzidos e segundo lugar, à fácil geração da malha). Esta modelação deve ser capaz de reproduzir um material ortotrópico, com diferentes

12

resicomimpcomdime de

2.3 ComPara a r

necessário d

2.3.1 FuO comp

exibir componde o corp

2.3.1.1 PA teoria

tensão‐defodeformaçõeresposta deaplicação dde tensão/d

O trabalho equação (2.zero. Basicatensão‐defoconsiderar

istências à tmportamentoplementada mportamentomensões e see deformaçã

mportameresolução dodefinir o com

ndamentportamento dportamento po exibe um

FIGU

arcela eláa da elasticidormação (Fies permaneneste compoa tensão ocodeformação

produzido p.1), onde o vamente a fóormação do todas as co

racção e à co inelásticoem reduzido ortotrópicm aberturasão.

ento do Mo problema dmportamento

tos da teorde um corpoelástico, atécomportam

URA 2.7 – Diagr

ástica dade correspgura 2.7). Ontes (estas dortamento éorre a recupinicial.

pela tensão nvalor nulo apórmula do tmaterial (Figmponentes

compressão o. Não é sdo número, o. Esta apros, isto é, para

aterial da determinao de cada co

ria da elao que respeité atingir a ceento plástico

rama tensão‐d

ponde à teorO comportaeformações reversível, peração total

na fase de cpenas é assurabalho, equgura 2.7), emda tensão e

CARGAS D

ao longo desurpreendendevido à c

oximação é ma zonas onde

ação das caromposto da a

astoplastita esta teoriedência. A pao até atingir

eformação típi

ria que se apamento elássão chamaddado quel das deform

carregamentomido quanduação (2.1),mbora seja lie da deform

DE COLAPSO

e cada eixo dnte que estcomplexidadmais eficiente exista um e

rgas de colapalvenaria sim

icidade a é caracteriartir da cedêa sua rotura

ico em condiçõ

plica no ramstico é caradas de defornum mater

mações, volta

o deve ser so a tensão erepresenta

igeiramente mação. O tra

O DE SISTEMA

do material, ta aproximae intrínsecate para alvenestado homo

pso de sistemmples.

izado por nuência inicia‐s, ver Figura 2

ões uniaxiais

o elástico decterizado pmações elásial elástico ando simples

sempre maioe a deformaça área debmais comple

abalho produ

AS DE ALVEN

bem como ação tenha a de introdunarias de grogéneo de t

mas de alven

uma primeirase a segunda2.7.

e um diagramor não existicas, ), istquando cessmente ao e

or ou igual ação forem igbaixo da curexo no caso uzido pela t

NARIA

o seu sido

uzir o andes ensão

naria é

a fase, a fase,

ma de stirem to é, a ssar a estado

zero, guais a rva de de se ensão


13

quando o corpo foi inicialmente carregado, vai ser totalmente recuperado na fase de descarregamento, porque o corpo durante esta fase liberta a mesma quantidade de energia mas com sentido oposto.

á d 0 (2.1)

Olhando agora para o que acontece no espaço das tensões principais, onde um ponto de tensão no regime elástico, , é caracterizado por nunca tocar na superfície de cedência do material, como se mostra na Figura 2.8,

FIGURA 2.8 – Domínio elástico definido pela superfície de Coulomb – Hipótese de tensão plana

logo em termos numéricos esta restrição é traduzida pela equação (2.2),

0 (2.2)

isto é, o valor do tensor de tensão, σ, deve cumprir no ponto de tensão com a restrição imposta à função que define o critério de cedência, f. Como se pode observar pela Figura 2.8, o tensor da taxa de deformação elástica, , pode apresentar qualquer orientação, não sendo necessário obedecer à regra da normalidade. Tendo como base a equação (2.1) e a informação contida na Figura 2.8 pode‐

se definir uma nova grandeza, a taxa do trabalho elástico, , que é definida pela seguinte fórmula,

d (2.3)

2.3.1.1.1 Definição/Solução do tipo de problema Um corpo homogéneo, isotrópico e elástico linear ocupa um volume, Ω, com fronteira definida

pela superfície Γ, que o envolve. A superfície Γ é constituída por duas partes complementares (Γu e Γσ), isto é, ˄ . A região Γu, corresponde aos requisitos de fronteira cinemática e a região Γσ é representada pelas condições de fronteira estáticas, onde as forças de superfície externas, t, são definidas. O corpo é sujeito a forças de massa constantes por unidade de volume (distribuídas no interior do corpo), b, e a forças de superfície externas (ver Figura 2.9).

14

A soluçpara cada p

• Das

• Das

• Das

Para a o

• As r

ond

• As r

ão do problponto do inte

s component

, ,

s component

, ,

s component

, ,

obtenção de

relações entr

.

de,

0

0

0

relações de e

.

FIGU

ema para o erior do corp

tes de tensão

, , ,

tes de deform

, , ,

tes do desloc

todas estas

re as deform

0 0

0

0

0

0

equilíbrio (tr

0

URA 2.9 – Defin

caso tridimepo ( ),

o:

mação:

camento:

componente

mações‐deslo

ês equações

CARGAS D

nição do tipo d

ensional, ap, das seguint

es, recorre‐s

ocamentos (s

s):

DE COLAPSO

e problema

enas fica cotes compone

se ao uso das

seis equaçõe

O DE SISTEMA

mpleta comentes:

s seguintes r

s):

AS DE ALVEN

o conhecim

elações:

NARIA

mento,

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)


15

onde,

, , (2.10)

0 0,0,0 (2.11)

• As relações constitutivas (seis equações):

. (2.12)

onde através da lei de Hooke generalizada, a matriz D (matriz flexibilidade) é obtida por,

00 (2.13)

sendo,

11

1,

1 0 00 1 00 0 1

, 00 0 00 0 00 0 0

(2.14)

em que, E corresponde ao módulo de Young, υ representa o coeficiente de Poisson e G trata‐se do módulo de distorção que é obtido por,

(2.15)

Os três valores referidos anteriormente (E, G, υ) correspondem às constantes elásticas do material. Sendo apenas necessário o conhecimentos de duas dessas constantes para a correcta resolução do problema.

Adicionalmente, as componentes da tensão e do deslocamento devem satisfazer as condições de fronteira geométricas ( ) e as condições de fronteira estáticas ( ·

), que tornam a solução específica para um problema em particular.

2.3.1.2 Parcela plástica A teoria da plasticidade corresponde por seu lado à teoria que se aplica no ramo plástico de um

diagrama de tensão‐deformação (Figura 2.7). O ramo plástico tem início na tensão de cedência e prolonga‐se até à tensão de rotura, assim a tensão de cedência corresponde à transição entre o comportamento reversível e o comportamento irreversível. Sempre que se atinge a cedência, a deformação plástica que se gera não será recuperada por simples descarregamento do corpo, isto é, se reduzirmos a tensão para o seu valor inicial vamos recuperar a deformação elástica que ocorreu para obter o estado de tensão, mas a deformação plástica permanecerá no corpo (Figura 2.10).

16

Assim, aobtida, se scom a defor

sendo esta pode‐se estdeslocamenanáloga maa taxa das d

,

Para deuma relaçã

resolve o ptensão, σ, cdeformação

deformação

suposição dda taxa de d

de σ entãoregras da possibilidadde deformaDe notar quas taxas de

Olhandono regime pqualquer covector da ta

a deformaçãse admitir a hrmação plást

decomposiçtabelecer a entos, u, e o cas mais convdeformações

, , ,

escrever o eso entre a ta

roblema de como resolveo plástica sã

o plástica) e

da hipótese ddeformação

o a hipótese álgebra linede de relacioação plásticaue no espaçodeformação

o agora paraplástico é deombinação daxa de defor

FIGURA 2.10

ão total ( ) hipótese dostica ( ),

ção fulcral pequação (2.7campo das deniente no âs, ,

, , ,

scoamento pxa de deform

não existir ue o problemaão arranjada

e que têm

de Saint‐Vense encontra

de Saint‐Veear)[19]. Maonar espacial, imprimindoo de tensõeso, porque a e

a o que aconefinido por sede tensões mação, bem

0 – Fase de des

que se acums pequenos d

para a aplica7), que repredeformaçõesâmbito do pr

plástico (quemação plást

uma relação a da irreversas numa ma

como valore

nant que as dm alinhadas

enant deixa as a conseqmente as coo‐as no mesms principais nescala dos res

ntece no espe encontrar(σI, σII e σIII

m como as su

CARGAS D

scarregamento,

mulou durandeslocament

ação de todosenta a relaçs, ε. Em alteresente trab

e descreve a ica, , e as

directa entrsibilidade. Asatriz quadra

es principais

direcções pris (se o mater

de ser umaquência prinomponentes mo gráfico, cnão estamos spectivos eix

paço das tenssobre a sup) pode‐se taas compone

DE COLAPSO

, no regime plá

nte o processto, pela som

os os teoremção de comprnativa, podalho, entre o

deformaçãocomponent

re as deformssume‐se quda simétrica

s , , .

ncipais da mrial for isotró

suposição pncipal da hidas tensõeschamado de a comparar xos é diferen

sões principaerfície de ceambém impentes, Figura

O DE SISTEMA

ástico

so de carregma da deform

mas de comppatibilidade e‐se estabelo campo das

o a seguir à ces de tensão

mações plástiue as compoa (como as

Considera‐

matriz de tenópico e se

para ser umpótese de S com as comespaço de tdirectament

nte.

ais, onde umedência do mrimir nesse 2.11. Escolh

AS DE ALVEN

amento, podmação elástic

portamento.entre o camlecer uma res velocidades

cedência) uso, porque nã

icas e o tensnentes da tacomponent

se também,

são e as da mdepender a

ma exigência Saint‐Venan

mponentes datensões princte as tensõe

m ponto de tmaterial, logomesmo grá

heu‐se imprim

NARIA

de ser ca ( )

(2.16)

. Logo po de elação s, , e

(2.17)

sou‐se ão só,

sor de axa de tes da

, pela

matriz penas

pelas t é a a taxa cipais. s com

ensão o para fico o mir


17

no ponto de tensão, porque enfatiza o facto que a sua direcção é normal à superfície de cedência caso obedeça às regras de escoamento associadas. Caso as tensões aplicadas ao corpo diminuam, de modo que o ponto de tensão se mova para dentro da superfície de cedência então a deformação plástica cessa, permanecendo no corpo apenas as deformações plásticas. Se o corpo voltar a ser recarregado e o ponto de tensão tocar novamente na superfície de cedência, a deformação poderá começar novamente e o vector , será novamente normal à superfície de cedência neste novo

ponto. Esta ideia de normalidade do vector da taxa de deformação em relação à superfície de cedência não é muito intuitiva, mas é muito importante.

FIGURA 2.11 – Domínio plástico definido pela superfície de cedência de Coulomb – Hipótese de tensão plana

Quando o ponto de tensão coincidir com uma singularidade da superfície de cedência (vértice), caso existam, estamos num caso particular da normalidade. Sempre que isto acontece o vector da taxa de deformação plástica pode ser definido por qualquer vector apontando para fora da superfície, localizado dentro do cone que é formado por todos os vectores normais na vizinhança desse ponto, ver Figura 2.12.

FIGURA 2.12 – Caso particular da normalidade (superfície de Cedência de Coulomb) – Hipótese de tensão plana

18

Em tertraduzida p

0

isto é, o vafunção que

Os argucom o estados argumenescrever o p

, ,

onde k reprcomo argumque se podtensões priprincipais. C‐se‐á fixa no

De segu

sempre queencontrar a

onde visuacomprimendeformaçãotaxa do trab

normal à strabalho plá

As outr

• A sadmconvec

mos numériela equação

alor do tensdefine o crit

umentos quedo do corpo ntos são as protótipo de

, ,

resenta uma mentos centde recriar asncipais, masCaso não se o espaço.

uida, define‐

e o corpo salinhado com

0,

almente o tto da projeo fosse colocbalho plástic

superfície deástico máxim

ras duas con

superfície dmissíveis. Esndição presetores, confo

F

icos, a cond(2.18),

or de tensãtério/superfí

e definem o c no início doseis compo

e um critério

,

constante, erais. Pode nãs componens para isso adicione qua

‐se a taxa d

se deforma m as direcçõe

d

traço do precção da tecado em ouco, sendo que

e cedência, mo [22], ver F

sequências d

de cedênciasta consequente em (2.2rme ilustrad

FIGURA 2.13 –

dição do po

o deve cumície de cedên

critério de ceo comportamonentes indide cedência

enquanto f cão ser necestes da tensãé necessárioalquer argum

do trabalho

(considerandes principais)

roduto da ensão na ditro ponto qe esta maxim

correspondeFigura 2.11.

da aplicação

a define obência é fac20) como umo na Figura 2

Consequência

CARGAS D

nto de tens

mprir no ponncia, f.

edência, podmento plásticviduais da m como:

corresponde sário conhecão em qualqo conhecer mento à funç

plástico, ,

do o caso p),

tensão comrecção . Cualquer da smização apen

endo a uma

da taxa do t

brigatoriamecilmente coma restrição2.13.

do trabalho pl

DE COLAPSO

são, , per

nto de tensã

dem ser quaco, mas o mamatriz de te

a uma simplcer todas as quer sistemas respectivção, f, a supe

, que repres

particular do

m a taxa donclui‐se qusuperfície denas será atin

a consequên

trabalho plás

ente um enstatada, mo imposta ao

ástico máximo

O DE SISTEMA

rtencer ao r

ão com a re

se todos os ais apropriadensão. Assim

les função qucomponentea de coordevas orientaçõerfície de ce

senta o trab

o sistema de

0

e deformaçue, se o vee cedência nngida quando

ncia da aplic

stico máximo

espaço convmediante a o produto in

o: Convexidade

AS DE ALVEN

regime plást

strição impo

que tenhamdo candidatom sendo, po

ue tem as tees de tensãoenadas usanões das diredência enco

balho das te

e coordenad

ção represeector da taxnão maximizo , for exte

cação da ta

o são:

vexo de teinterpretaçãnterno entre

[1]

NARIA

tico é

(2.18)

osta à

m a ver o para ode‐se

(2.19)

ensões o dado do as ecções ntrar‐

ensões

das se

(2.20)

nta o xa de zaria a erior e

xa do

ensões ão da e dois


19

• A taxa da dissipação plástica por unidade de volume, D, definida pelo produto interno das tensões pela taxa de deformação plástica,

, (2.21)

que deriva da própria definição da dissipação plástica (2.21) e da normalidade da taxa de deformação face à superfície de cedência. A taxa de dissipação de energia plástica pode ser reformulada, tendo em consideração (2.18), (2.20), (2.22) e (2.23) de forma a depender apenas das taxas de deformação plásticas [23]. É de salientar no entanto que, mesmo para superfícies não estritamente convexas, caracterizadas por múltiplas hipóteses de estados de tensão associados a determinada taxa de deformação plástica, a dissipação conserva‐se ainda como função unívoca da taxa de deformação. Este facto é ilustrado na Figura 2.14 recorrendo ao critério de Mohr‐Coulomb para um estado plano de deformação.

FIGURA 2.14 – Dissipação numa superfície de cedência não estritamente convexa [1]

A forma numérica mais simples de introduzir a condição de normalidade é definir uma regra de escoamento,

, (2.22)

onde a derivada parcial, ⁄ , implica a derivada com respeito a qualquer componente de tensão a partir do qual a expressão da componente respectiva da matriz da taxa de deformação plástica é obtida e o multiplicador plástico (semelhante a um multiplicador de Lagrange), α, representa a magnitude das componentes da taxa de deformação que será indeterminada a menos que mais informação seja fornecida. A equação (2.22) assegura, como já foi dito anteriormente, que é normal à superfície de cedência, mas se o sistema de coordenadas estiver alinhado com as direcções principais do tensor das tensões então a equação (2.22) pode ser reescrita da seguinte forma,

, , , (2.23)

As equações (2.22) e (2.23) são chamadas de regras de escoamento associadas, atendendo ao facto que as deformações plásticas são associadas directamente com a superfície de cedência. Por outro lado, uma regra de escoamento não associada corresponde a substituir nestas mesmas equações a função que define o critério de cedência, f, por outra função, g. Onde as regras de escoamento não associadas vão geralmente negar muitas das vantagens das condições de normalidade, mas podem ser mais desejáveis para certos tipos de materiais ou teorias mais avançadas. Para um maior aprofundamento sobre as regras de escoamento não associado consultar [19].

20

2.3.2 LeiAs leis c

corpo. Comsua implemter no entfundamentapara esta di

O compfase, exibir fase, onde utilizado pecomportamprincipal cainevitavelmnecessariam

2.3.2.1 DUm cor

superfície ΓNa região Γnulo (condiç

u 0

Por outsuperfície e

Suponhque não sãopor meio dcarregamen

is constituconstitutivas

mo o compormentação, potanto em cais na modeissertação.

portamento um comporto corpo exelo SUBLIM3mento rígidoaracterística

mente de fomente o facto

FIGURA 2.1

Definição/rpo rígido pΓ, que o envΓu, exposta pção de front

em

tro lado, Γσ externas, t, sã

ha‐se que o co afectados da introduçnto que não

utivas s correspondrtamento reaor vezes optaconta que lação preten

de um corptamento rígiibe um com3d correspono perfeitame o facto daorma incono de se ter a

15 – Diagrama t

/Considerperfeitamentolve. A supepelo requisiteira de Diric

é represenão definidas

corpo é submpelo multip

ção de um o são afectad

dem a modeal do corpo a‐se pela simessa simplindida. Apres

po que respedo, até ating

mportamentonde a um cente plásticas deformantrolável, o tingindo o co

tensão‐deform

rações do te plástico erfície Γ é coto de frontehlet):

ntada pelas .

metido a doislicador λ til superiordos pelo mu

CARGAS D

elos utilizadoé de difícil omplificação dficação deventa‐se ape

eita este mogir a cedêncio plástico ataso específio, ver Figuções plásticque signif

olapso da es

mação de um co

tipo de pocupa um vonstituída poira cinemáti

condições d

s grupos de R+). Estes

r à letra quultiplicador.

DE COLAPSO

os para simuobtenção, o dessa lei de verá traduzinas a lei rígi

odelo é caraa. A partir daté atingir a co deste mora 2.15. Escas, quandofica que o strutura.

orpo rígido perf

roblema volume, Ω, or duas partca o campo

de fronteira

carregaments dois grupoue define oEm cada gr

O DE SISTEMA

ular o compoque torna acomportamr os aspecdo‐plástica p

acterizado poa cedência inrotura. O modelo, correste modelo ocorreremseu apare

feitamente plás

com fronte

tes complemde deslocam

estáticas, o

tos, os que sos encontramo carregamerupo podem

AS DE ALVEN

ortamento reinda mais dento. Deventos considepor ser a ma

or numa prinicia‐se a segmodelo de cespondendo apresenta se processecimento im

stico

eira definidamentares (Γu mento, u, é

onde as forç

são afectadom‐se diferencento, no casm existir forç

NARIA

eal do ifícil a ndo‐se erados ais útil

meira gunda álculo a um como sarem mplica

a pela e Γσ). fixo e

(2.24)

ças de

os e os ciados so do ças de


21

massa constantes por unidade de volume (distribuídas no interior do corpo), b, e forças de superfície externas, t (ver Figura 2.9). Considera‐se que as aplicações das forças destes grupos são feitas em condições quase estáticas, permitindo desprezar quaisquer efeitos de inércia.

Para este tipo de materiais, o campo de velocidade não tem de ser contínuo em todo o domínio. Por isso, a taxa da dissipação plástica, pode ser reescrita como,

, , (2.25)

onde, doravante, representa apenas as componentes contínuas da deformação plástica, e simboliza as possíveis componentes descontinuas. Os espaços Cc e Cd são definidos de forma a forçar implicitamente o cumprimento com a regra de escoamento normal, equação (2.22) e (2.23), através do confinamento para esses espaços, da taxa do tensor da deformação plástica admissível e das descontinuidades da velocidade, respectivamente. Do ponto de vista físico, as referidas descontinuidades podem ser observadas como uma variação no campo da taxa das deformações plásticas localizadas numa zona de espessura infinitesimal de material. Deste modo, estas descontinuidades encontram‐se igualmente sujeitas às lei de escoamento (2.22) e (2.23). Em Salençon [23], pode ser encontrado um tratamento matemático rigoroso das descontinuidades no campo das velocidades.

Por último, como os deslocamentos sofridos pelo corpo são muito pequenos quando comparados com a sua menor dimensão, considera‐se como válida a hipótese de linearidade geométrica (sendo igualmente válida a hipótese das pequenas deformações), permitindo assim que as condições de equilíbrio possam ser estabelecidas com base na configuração indeformada da estrutura, isto é, podem‐se desprezar quaisquer efeitos de segunda ordem.

2.3.3 Estados planos Um grande conjunto de problemas é abrangido pelas condições geométricas e mecânicas dos

estados planos de tensão plana e de deformação plana.

As condições de tensão plana correspondem a problemas onde todas as tensões associadas com uma direcção das coordenadas são assumidas como nulas. Se o sistema de coordenadas for arranjado de forma a que a tensão nula da direcção particular seja a direcção z, então a matriz de tensão apresenta o seguinte aspecto:

00

0 0 0 (2.26)

Em contraste, as condições de deformação plana referem‐se a situações onde se assume que todas as componentes de deformação associadas com uma direcção das coordenadas são idênticas a zero. Escolhendo a direcção z para ser a direcção apropriada, a matriz de deformação para as condições de deformação plana pode ser apresenta como:

00

0 0 0 (2.27)

A simplificação para estes estados planos pode ser executada sempre que segundo o eixo escolhido, z, não existe dependência da carga, das propriedades e da geometria do corpo.

22

2.4 MétNo pre

resolução defectuar umtrabalhos co

Começacomplemenanálise nãoprincipais q

O princreduzida, aprocesso dmantém a rhipótese sifundamenta

onde F é o vK é a matrirestrições im

Considealtera, temrelativamen

Tudo sealtera duraprogride na

Emboralineares, a onão linearedevido, prinlinearidade linearidade,caso ocorrao comportanão linearidpermanentelinear matea cedência devida às cdiminuir a r

todos de Resente subcado problemm relato exaonsiderados

a‐se primeirontaridade ser linear atravue a afectam

cípio fundama assumir que deformaçãrigidez que pmplifica mual desta anál

vector das caiz de rigidezmpostas.

erando o pr‐se que a ente rapidame

e altera quante o procesa resolução d

a este proceorigem do coes tendo comncipalmentegeométrica., é o corpo am alteraçõeamento não dade, deve es, como emerial deve ser(encurvamecargas aplicarigidez.

Resoluçãoapítulo aprea da simulaaustivo de tomais marca

o por caractrão descritasvés da sua rigm. Logo, a rig

mental da aue a sua foão. Isto signpossui na suito a formulise a equaçã

argas nodais que depend

incípio fundquação (2.2ente, mesmo

ndo se entrasso de defordo problema,

esso de alteomportamenmo base a o, a alteraçõe. O factor prapresentar ges na rigidez linear é defiser usado t

m casos onder aplicada paento, etc.). Padas, onde

o do problesenta‐se umação numérodos os méntes neste d

terizar a anás em conjuntgidez sendo,gidez não é c

nálise linearrma e as pnifica que, dua forma indlação do proão (2.28),

s, d por seu lade para além

damental da8) apenas éo para grand

a na análisermação. Ass, executada a

ração da rignto não lineaorigem da nes na formaincipal paragrandes defodevido princnido como ntanto em sie as deformaara situaçõesPor último, dependendo

CARGAS D

lema ma revisão rica da alvetodos existeomínio.

álise linear eto. A análise, a forma doconstante à m

r correspondropriedadesdurante todoeformada anoblema bem

ado é o vectm da geome

análise lineé resolvida ues modelos.

não linear, im, a matrizatravés de u

gidez seja coar pode ser dnão linearidaa, o comportreconhecer ormações qucipalmente anão linearidatuações ondções geradas em que se a origem dao da forma

DE COLAPSO

bibliográficaenaria. Esta entes, mas a

e a análise linear distin material e omedida que a

de, no casos do materiao o processntes de se sm como a su

or dos desloetria e das p

ear, de queuma vez. Est

atendendo z K deve ser m processo

omum a toddiferente. Asade. Caso otamento nãoque estamoue são visívea alterações nade materialde o carregs são muito pretenda exa alteração de aplicaçã

O DE SISTEMA

a dos princiapresentaçã

antes fornec

não linear, qngue‐se fundo próprio maa estrutura s

o da alteraçãal não se also de deformujeitar ao caua solução.

camentos nopropriedades

a rigidez dte tipo de a

a que a rigidactualizada iterativo.

dos os tiposssim, classificocorram alteo linear é des neste casoeis a olho nunas propried. Onde este amento origelevadas. Asxplicar o comda rigidez pão, pode ta

AS DE ALVEN

pais métodoão não precer uma idei

que devido amentalmenaterial os facse deforma.

ão da rigidelteram duramação, o marregamentoSendo a eq

odais e por ús do materia

o modelo nnálise é reso

dez neste caà medida q

s de análisecam‐se as anerações na refinido como particular du. Por outrodades do macaso particugine deformssim, a análismportamentopode tambénto aument

NARIA

os de tende ia dos

à sua nte da ctores

ez ser nte o

modelo o. Esta uação

(2.28)

último al, das

não se olvido

aso se que se

es não nálises rigidez o não da não o lado, terial, lar da

mações se não o após m ser tar ou


23

Como ilação da análise linear e não linear, conclui‐se que a análise linear assume‐se como uma ferramenta mais prática, mas que apenas pode ser aplicada a materiais elásticos e que por seu lado a análise não linear apresenta uma elevada complexidade na formulação do problema e exibe um tempo de solução elevado, razões pelas quais mesmo hoje em dia, os engenheiros se encontram relutantes em usar análises não lineares.

Dentro da análise não linear existe o método de elementos discretos ou método de elementos distintos (MED) proposto por P.A. Cundall [7], que corresponde a modelar o material através de um conjunto de partículas discretas. Estas partículas (podem ser consideradas como rígidas ou deformáveis) são definidas por funções matemáticas e a interacção com as partículas adjacentes são feitas através de forças de contacto. À medida que o conjunto de partículas se deforma, existe a possibilidade de o contacto entre elas ser criado ou extinto, mas movem‐se sempre para posições de equilíbrio de acordo com a lei de Newton.

Os problemas estáticos são resolvidos por uma aproximação dinâmica onde o processo de cálculo é realizado em pequenos intervalos de tempo, para que a perturbação que se gera, não se propague além da vizinhança mais próxima de cada partícula. Esta hipótese optimiza o uso da memória computacional evitando o uso de processos iterativos permitindo, assim, a representação de interacções não lineares entre um grande número de partículas.

Este método apresenta como principal desvantagem o elevado esforço computacional que é exigido, limitando tanto a extensão da simulação como o número de partículas usado. Apresenta como vantagem mais relevante a capacidade de executar um estudo mais detalhado da microdinâmica dos fluxos das partículas que o obtido através de experiências físicas.

De uma forma geral, mas desprezando como simplificação a rotação como grau de liberdade, a formulação deste método resume‐se à aplicação da Segunda Lei de Newton às partículas (que conduz ao cálculo dos deslocamentos) e à aplicação das Leis de força‐deslocamentos aos contactos (que calculam as forças nos nós). Assim cada partícula possui uma equação de movimento descrita da seguinte forma,

, , , (2.29)

onde M e C são respectivamente as matrizes de massa e amortecimento da partícula. A parcela total das forças é composta pelas forças de contacto entre as partículas , pelas forças geradas através dos elementos lineares de vínculo entre duas partículas , pelos esforços internos

que serão nulos caso as partículas sejam consideradas como rígidas e pelas acções externas aplicadas .

Por último, nos métodos das análises não lineares descreve‐se a análise limite, que devido a ser a abordagem que baseia a ferramenta de cálculo proposta para a resolução do problema, será apresentada no seguinte tópico:

24

2.4.1 AnOptou‐s

problema, dseguintes as

• Pos

• Perteo

• Ent

• Sim

• Necpartpar

• Não

Contudlugar, esta materiais geometricaanálise não

A AnálisDeste modoactividade dque conduzcolapso commaioria das

Introdupara o quadomínio a campo de te

,

como tamb

·

onde n reprdo vector d

Assim, cseu colapsoestrutura. Pregião de ca

nálise Limse pela análidado se trataspectos:

ssibilidade da

cepção da rema cinemá

endimento d

mplicidade pa

cessidade deticular impoa as alvenari

o exibe prob

o, o uso da fabordagem perfeitamenmente lineaconsegue pr

se Limite deo, é conveniede determinazirá o sistemm a carga ds situações a

za‐se agora al é possívelcondição deensões que r

0

ém nas front

resenta o veas forças de

considera‐seo, sempre quPara um conarregamento

mite ise limite comar de uma té

a compreens

distribuição ático;

da capacidad

ara ser inseri

e um reduzidortância atenias;

lemas de acu

formulação bapenas podnte plásticoares e apresrever o comp

bruça‐se sobente clarificaação das carma para o ede cedência,cedência oc

o conceito dl obter umae cedência (respeite as c

teiras estátic

rsor da normmassa.

e que um siste para um cnjunto genéos admissíve

mo sendo a écnica promi

são suficiente

da deforma

de de carrega

da numa fer

do número dndendo à dif

umulação de

baseada nese ser aplicados com psentando caportamento

bre a determar o que se ergas de colapestado imine, embora emcorre muito a

de carregamea distribuição(2.18). Entencondições de

cas,

mal exterior à

tema mecânarregamentorico de carris (ver Figura

CARGAS D

abordagem ssora para r

e do mecani

ação última

amento;

rramenta com

e parâmetroficuldade em

e erro;

sta análise tada a materiaplasticidade rregamentosda estrutura

minação das centende compso está totaente de colam alguns caantes do cola

ento admissío de tensõende‐se por de equilíbrio n

à fronteira e

ico atingiu oo admissívelregamentos a 2.16).

DE COLAPSO

escolhida paesolver este

smo de cola

(pelo men

mputacional

os dos materm obter parâ

ambém apreais elásticosassociada,

s monotónica durante o e

cargas de como determinlmente relacapso. Não sesos possam apso do siste

ível, que cores equilibraddistribuição ão só no dom

bj represent

o carregamenpossam oco

, , … .

O DE SISTEMA

ara o métodotipo de prob

pso;

os, nas sec

prática;

riais, aspectoâmetros exp

senta limitaçperfeitameninseridos

cos. Por últiestado pré‐c

olapso de sistação das carcionada come deve confter o mesm

ema.

rresponde a das, que resde tensões mínio,

ta a compon

nto limite, esorrer deform

é possív

AS DE ALVEN

o de resoluçblema, devid

ções criticas

o que se reveerimentais f

ções: Em printe plásticosem prob

imo, este tipolapso.

temas mecârgas de colap

m descobrir a fundir a carmo valor, m

um carregamspeite em toequilibrada

ente na dire

stando imineações plásticvel definir‐se

NARIA

ção do do aos

s), no

ela de fiáveis

meiro s ou a lemas po de

nicos. pso. A carga ga de

mas na

mento odo o s, um

(2.30)

(2.31)

ecção j

ente o cas na e uma


25

FIGURA 2.16 – Domínio dos carregamentos admissíveis [1]

Como nota da Figura 2.16, observa‐se que a região de carregamentos admissíveis herda as propriedades de convexidade da superfície de cedência e que a carga de colapso do sistema não é influenciada pela trajectória do carregamento, como se pretende ilustrar através das duas trajectórias representadas a tracejado [23].

As três principais ferramentas da análise limite são o teorema estático que conduz à obtenção de um valor inferior ao conjunto das cargas admissíveis, o teorema cinemático que conduz à obtenção de um valor exterior ao conjunto das cargas admissíveis e o teorema da unicidade que leva à obtenção do carregamento limite (sendo que no presente trabalho apenas se irá expor os dois primeiros teoremas). Através destes teoremas pode‐se retirar conclusões sobre a possibilidade de dado carregamento ser passível de ser suportado e consequentemente sobre a carga de colapso de uma estrutura. Deste modo eles constituem uma poderosa ferramenta teórica que permite através de uma forma expedita a obtenção de majorantes/minorantes para as cargas de colapso.

Admite‐se então um sistema mecânico que verifica as limitações e que aceita como válido o princípio do trabalho plástico máximo, logo estas premissas garantem a validade dos teoremas a seguir enunciados:

2.4.1.1 Teorema da região inferior (Teorema Estático) Este teorema diz que se for possível encontrar pelo menos um campo de tensões que seja

admissível, isto é, onde as condições de cedência (2.18) e de equilíbrio (2.30) se verifiquem localmente em todo o domínio e que satisfaça igualmente a condição de equilíbrio (2.31) na fronteira estática, então o carregamento pertence à região dos carregamentos admissíveis (ou suportáveis) e o corpo não colapsará (estas condições permitem considerar campos de tensão que não seriam fisicamente razoáveis em condições normais). Qualquer campo de tensão que satisfaça o critério do teorema da região inferior é chamado de campo de tensão estaticamente admissível. A carga obtida por este teorema, devido a ser um valor interior ao conjunto das cargas admissíveis pelo corpo, será a favor da segurança para motivos de dimensionamento.

A aplicação do teorema estático segue resumidamente as seguintes etapas:

1. Cria‐se como hipótese um campo de tensão estaticamente admissível; 2. Tenta‐se obter os valores particulares da tensão através das condições de equilíbrio, mas

haverá sempre um ou mais destes valores que não serão totalmente especificados; 3. Tenta‐se ajustar as tensões indeterminadas para que a carga aplicada na estrutura seja

maximizada, e a condição de cedência seja satisfeita em todo o domínio; 4. A carga resultante torna‐se na estimativa do teorema da região inferior para a carga de

colapso real da estrutura.

26

2.4.1.2 TPor out

da determiobtenção dum campo potência dis

Assim, trabalho daA deformaçfronteira dopodem ocomecanismosuficientemsatisfaça ocinemáticamcargas adm

No preaplicação de

1. CriaobeDiri

u

e à

onddostrid

2. Calcexp

ond

Teorema dtro lado, esteinação do me um majorade velocidadssipada plast

o colapso das forças exteção plástica cos deslocameorrer lacunasos de deformmente simpleo critério dmente admisissíveis do co

esente docueste teorem

a‐se como hedecer à regchlet (2.24),

0 em

à equação de

em

de represens deslocameimensional (

cula‐se a taxpresso no cap

de,

D

D

da região e modelo promenor carreante da cargdes (não trivticamente e

deve ocorrereriores no cocompatível centos e que s, sobreposiçmação possíves para foro teorema ssível. A cargorpo, será co

mento seráa segue resu

hipótese umgra de esco às condiçõe

m Γ

e compatibili

m Ω

nta o tensorntos e B é (equação (2.

xa do trabalhpítulo 2.3.2.1

D

superior ocura estabeegamento poga de colapsoial) cinemátia potência d

r se, para qorpo for iguacorresponde seja possíveções ou sepaveis, mas o rnecer resulda região

ga obtida poontra a segur

á adoptado umidamente

m campo de oamento noes de compat

dade:

r da taxa deo operador 8));

ho das forças1:

D

D

CARGAS D

(Teoremelecer uma eotencialmeno, logo, o teoicamente addas forças ex

qualquer defal ou superioa uma deforel cinemáticaarações. Meobjectivo cotados úteis.superior é

or este teorerança para m

o teorema as seguintes

velocidadeormal associtibilidade na

e deformaçãpadrão de

s exteriores

DE COLAPSO

a Cinemáestimativa dote não supoorema aqui emissível queteriores.

formação plor à taxa de ermação que amente, isto smo assim, orresponde . Qualquer é chamado ma, devido amotivos de di

aqui exposs etapas:

cinemáticaado (2.23), fronteira cin

o plástica, compatibilid

aplicada ao

O DE SISTEMA

ático) o carregameortável, resuexposto resue minimize a

lástica compenergia de dverifica todaé, nas deforexiste um ga investigarcampo de de campo

a ser exterioimensionam

sto (teorem

mente admà condiçãonemática,

representa dade diferen

sistema, We,

AS DE ALVEN

ento limite atultando assiulta na procu diferença e

patível, a tadissipação intas as condiçõrmações do rande núme aqueles qudeformação de deformor ao conjuntento.

ma cinemátic

issível, logo o de frontei,

o tensor dancial, para o

, de acordo c

NARIA

través im na ura de ntre a

xa do terna. ões de corpo ero de ue são o que mação to das

co). A

deve ra de

(2.32)

(2.33)

a taxa o caso

com o

(2.34)

(2.35)

(2.36)


27

3. Calcula‐se a taxa de dissipação da energia plástica interna, WD, que dependerá da escolha do campo de velocidade, mas será independente da carga aplicada ao sistema, de acordo com o expresso no capítulo 2.3.2.1:

D D (2.37)

onde D representa a taxa de dissipação de energia plástica interna total por unidade de volume que pode ser expressa apenas em termos de campos cinemáticos e representa a região em que ocorre as descontinuidades do campo de velocidade [23];

4. Relacionam‐se estas duas taxas:

(2.38)

se a equação se verificar então o colapso da estrutura irá ocorrer; 5. Iguala‐se a equação (2.38) e resolve‐se a equação em ordem ao multiplicador; 6. O multiplicador resultante, chamado de multiplicador de colapso (λc), torna‐se na estimativa

do teorema da região superior para a verdadeira carga de colapso da estrutura.

Para compreender a evolução das formulações implementadas no SUBLIM3d basta consultar [1].

2.5 Funções de dissipação Neste tópico são enumeradas todas as funções de dissipação associadas aos critérios de cedência

utilizados neste trabalho, bem como a sua definição do espaço auxiliar, Cc. As expressões aqui adoptadas seguem a definição apresentada por Salençon [23]. As referidas expressões são definidas no espaço das tensões e das deformações principais, pressupondo a seguinte ordenação:

(2.39)

Não se define o espaço Cd (espaço que afecta as descontinuidades no campo de velocidade), porque o modelo numérico proposto impõe‐o implicitamente através dos elementos de junta (elementos colapsados), como será descrito posteriormente.

28

2.5.1 CriA forma

t

onde τ, c respectivamcedência co

Reformtensões prin

em que a transversal

Para o dimensões,

itério de Ma usual do cr

an

e σ repremente e o ânorresponde a

ulando a eqncipais, obtê

1 sin

sua represeequivale a u

FIGURA 2.

presente p exibido na F

MohrCouritério de Mo

sentam a tngulo φ é refea uma linha r

FIGURA 2

quação (2.40êm‐se que,

1 si

entação gráfum hexágono

.18 – Represen

roblema é Figura 2.19.

ulomb ohr‐Coulomb

tensão de cerido como orecta no diag

2.17 – Critério d

0), de forma

n 2 co

fica correspoo irregular, v

tação gráfica d

mais releva

CARGAS D

b é:

corte, a coo ângulo de grama de Mo

de cedência de

a a escrever

os

onde a umaer Figura 2.1

da superfície de

nte a repre

DE COLAPSO

oesão do matrito internohr como se

Mohr ‐ Coulom

r‐se o critéri

a pirâmide e18.

e cedência de M

esentação do

O DE SISTEMA

material e ao do materiapode ver pe

mb

io de cedên

em expansão

Mohr‐Coulomb

o lugar geo

AS DE ALVEN

(

a tensão noal. Este critéla Figura 2.1

ncia em orde

o e a sua s

[1]

métrico em

NARIA

(2.40)

ormal, rio de 17.

em às

(2.41)

secção

duas


29

FIGURA 2.19 – Superfície de cedência de Mohr‐Coulomb em duas dimensões – Hipótese de tensão plana

Define‐se agora a expressão da dissipação do material em estudo neste tópico bem como a sua definição de espaço auxiliar, usando sempre as componentes das deformações principais (consultar Tabela 2.1).

TABELA 2.1 – Função da taxa de dissipação da energia plástica para o critério de Mohr ‐ Coulomb

Critério D(ε) Cc

Mohr – Coulomb tantr ε tr ε | | | | | |

2.5.2 Critério de Armando Nunes Antão Em comunicação privada [4] foi proposta uma função de cedência constituída por três zonas (em

ordem às tensões principais):

Truncatura à tracção, associado com a rotura por tracção (modo I):

(2.42)

Critério de Mohr – Coulomb, associado com a rotura por corte (modo II):

1 sin 1 sin 2 cos (2.43)

Truncatura à compressão, associado com a rotura por compressão (modo III):

(2.44)

onde e representam a truncatura à compressão e à tracção, respectivamente. Considera‐se que estas truncaturas apenas possuem valores maiores ou iguais a zero, devido a representarem o valor da truncatura em módulo. A representação gráfica deste critério no diagrama de Mohr é representada na Figura 2.20.

30

Define‐auxiliar, usa

TABELA 2.2 –

Critério

Armando Nunes Antão

onde,

tr ε

tr |ε| |

Este critpor Louren2.21):

• Na circ

• Na trun

Estas a(Figura 2.21

• Elimnat

• Reado e

se agora a eando sempre

Função da taxa

Modo(s)

I

II e III

| | |

tério foi basço [6], mas

truncatura àcular;

truncatura ncatura circu

lterações re1):

mina‐se os vureza;

aliza‐se as truestado de te

FIGURA

expressão dae as compone

a de dissipação

1

tr ε

| |

eado nos coconsiderou‐

à tracção, em

à compressular;

ealizadas co

értices da s

uncaturas seensão de um

A 2.20 – Critério

a dissipação entes das de

o da energia plá

| | tr

tr

1 sin

nceitos de tr‐se no prese

m vez de ser

são, em vez

nduzem a u

uperfície de

empre atravématerial;

CARGAS D

o de cedência p

deste critéreformações p

ástica para o cr

D(ε)

r ε tan4

ε | |

tr ε

runcatura doente critério

um corte re

de ser um

um comport

cedência, q

és de círculo

DE COLAPSO

proposto em [4

rio, bem comprincipais, co

ritério [4]

2

| |

o modelo deo diferentes

ecto vertical

a truncatura

tamento do

que são de d

s de Mohr, q

O DE SISTEMA

4]

mo a sua deonsultar Tabe

tr ε

tr ε

interface comodos de t

optou‐se po

a elíptica co

o material m

difícil realiza

que é a melh

AS DE ALVEN

finição de eela 2.2,

Cc

tr |ε|

tr |ε|

omposto protruncatura (F

or uma trunc

onsiderou‐se

mais real, p

ação por par

hor represen

NARIA

spaço

(2.45)

(2.46)

(2.47)

oposto Figura

catura

e uma

orque

rte da

ntação


31

FIGURA 2.21 – Comparação do modelo de interface composto[6] com o critério de Armando Nunes Antão[4]

Sendo o comportamento do material mais próximo da realidade obtêm‐se melhores resultados, quando comparados com os existentes na literatura, como será demonstrado mais à frente.

2.5.3 Critério de Mário Vicente da Silva Também em comunicação privada [5] foi proposta pelo professor Mário Vicente da Silva um

critério de cedência constituído por três zonas (em ordem às tensões principais):

Truncatura à tracção, associado com a rotura por tracção (modo I):

(2.48)

Critério de Mohr – Coulomb, associado com a rotura por corte (modo II):

1 sin 1 sin 2 cos (2.49)

Truncatura ao corte, associado também com a rotura por corte (modo III):

(2.50)

onde a sua representação gráfica no diagrama de Mohr é apresentada na Figura 2.22.

32

Define‐auxiliar, usa

TABELA 2.3 –

Critério

Mário Vicente da Silva

Este moFigura 2.23)

• Aum

• Elimatrade M

O intuitde tensão ptensões priMohr a trac

se agora a eando sempre

Função da taxa

Modo(s)

I

II e III

odelo tem s):

mentou‐se o

minou‐se a tavés de um cMohr corres

to deste critépara além dancipais ( cejado, ver F

FIGURA

expressão dae as compone

a de dissipação

1

tan

semelhanças

modo II (ass

truncatura à corte recto hpondente à

ério foi de ca truncatura ) não exigura 2.22.

A 2.22 – Critério

a dissipação entes das de

o da energia plá

D| | tr ε

tr ε

2 sin

s ao critério

sociado com

compressãohorizontal a rotura do en

riar uma supà compressãxceda duas v

CARGAS D

o de cedência p

deste critéreformações p

ástica para o cr

(ε) tan

4| |

tr ε

[4], com as

a rotura por

o e definiu‐spassar pela nsaio de com

perfície queão (como no vezes a tens

DE COLAPSO

proposto em [5

rio, bem comprincipais (co

ritério [5]

2

| |2

s seguintes

r corte);

se em vez dtensão de co

mpressão sim

não fosse ficritério [4]),

são de corte

O DE SISTEMA

]

mo a sua deonsultar Tab

tr ε

0 tr ε

alterações (

disso um truorte máxima

mples (Tc).

nita e que p, desde que máxima,

AS DE ALVEN

finição de eela 2.3).

Cc

tr |ε|

tr |ε|

ver Figura 2

ncatura ao a, á , do c

permitisse esa relação en

á , do círcu

NARIA

spaço

2.22 e

corte, círculo

stados ntre as ulo de


33

FIGURA 2.23 – Comparação do critério de Armando Nunes Antão com o critério de Mário Vicente da Silva

As alterações enunciadas anteriormente, conduzem à criação de um vértice, mas este vértice é de pouca relevância, porque o ângulo entre o modo II e III é muito grande podendo variar entre 130° (para φ=50°) e 170° (para φ=10°), logo o círculo de Mohr crítico é quase coincidente com o vértice criado.

Aparentemente a utilização do critério de Mário Vicente da Silva em condições de deformação plana poderá fornecer melhores resultados que o critério de Armando Nunes Antão se tivermos em consideração que a rotura ocorrerá por corte e não por limite de compressão.

34

CARGAS DDE COLAPSOO DE SISTEMAAS DE ALVENNARIA

35

Capítulo 3

3 Ferramenta de cálculo

Neste capítulo apresenta‐se a formulação final da ferramenta de cálculo que serve como base ao presente documento, SUBLIM3d (para compreender a evolução das formulações do SUBLIM3d até chegar à formulação final basta consultar [1]).

A formulação do SUBLIM3d resolve o problema através de programação matemática não‐linear, utilizando o modelo de elementos finitos misto que considera uma aproximação global para o campo das velocidades e uma aproximação local ao nível de cada elemento para a taxa das deformações. Recorrendo a um método iterativo baseado no algoritmo de Uzawa, procede‐se à determinação da solução óptima através da resolução sucessiva do problema de minimização, utilizando alternada e independentemente as variáveis de decisão relativas às aproximações utilizadas para os diferentes campos. Assim, a estratégia delineada por esta ferramenta de cálculo permite que a não‐linearidade do problema possa ser tratada de um modo simples e expedito, já que se afectam apenas as grandezas locais dos elementos.

3.1 Formulação numérica Como ponto de partida, escalam‐se todos os mecanismos plásticos, através da imposição da

condição (3.1) que obriga a que o trabalho efectuado pelo carregamento variável seja unitário:

1 (3.1)

Esta medida conduz à reformulação do problema de optimização, permitindo que a solução do novo problema corresponda ao parâmetro da carga de colapso óptimo. Deste modo, evita‐se a necessidade de testar diversos parâmetros de carga, resultantes de um algoritmo auxiliar de pesquisa da carga de colapso.

Para qualquer mecanismo cinemáticamente admissível, pode‐se estabelecer para a expressão do multiplicador a equação (3.2), através da introdução da equação (3.1) num corolário do teorema cinemático (substituindo (2.34) em (2.38)):

. (3.2)

assim, a procura do mínimo valor da região superior do multiplicador da carga de cedência, , pode ser delineada através da resolução de um único e simples problema de programação matemático de minimização,

Min , (3.3)

que se encontra sujeito às condições (2.24), (2.33), (3.1) e

(3.4)

que obrigam a obedecer às condições de admissibilidade cinemática.

36

Note‐sedissipada é

Usandoentre os cade minimiza

• As refo

• A ndo t

Resume‐se da taxa datratadas dirproblema (3

Min

sujeito apeparâmetro Lagrange retensões.

Introducampos da t

•

Ondda velo(2.2

•

Ondplás

na cedência

, , ,

∑

∑

onde nE repde Lagrange

e que o tercancelado, u

o agora o mémpos da taxação (3.3), b

condições dorçando a co

ormalizaçãotermo suplem

assim a mina deformaçãrectamente 3.3) obtido p

, , ,

enas a (3.4).de penalidaepresentam

zindo agora taxa de defo

, ,

de no que diforma nodaocidade nod24) e a comp

, ,

de o vector stica que sãoa da função L

∑

presenta o ne,

rmo da desuma vez que

étodo do Lagxa de deformastando para

de compatibonvergência a

definida pomentar de p

imização a uão. Nesta redurante o a

pela formulaç

μλ e μ são ade (escalara grandeza

duas aproxiormação plás

, , T

iz respeito aal convencioal dos elemepatibilidade e

, , , 2

ei junta os o assumidos Lagrangiana

número da m

continuidade ele é descar

grangiano aumação e os caa isso, impor

bilidade (2.3através de u

r (3.1), usanenalidade.

um problemaeformulaçãoalgoritmo dação do Lagra

1

vectores cor positivo). a dual do ca

mações indestica,

, ,

o elemento onal e o veentos finitosentre elemen

, 2 , 2 ,

valores aprcomo constaobtém‐se,

∑

∑

∑

malha dos ele

CARGAS D

e da velocirtado pela p

umentado, qampos da ver‐se na funçã

33), aplicandm termo de

do a técnica

a com restriç, as restriçõa minimizaçãangiano aum

olectores doDe um ponampo da tax

ependentes

em

finito i, a mector di o s. Assim sendntos são gara

, T

oximados daantes.

ementos, μ c

DE COLAPSO

dade na exresente form

ue permite eelocidade, poão objectivo:

do os multippenalização

anterior, m

ções explícitões impostaão do Lagraentado pode

s multiplicato de vista xa de defor

e simultânea

atriz Ni reúnpeso assocido, as condiantidas.

em

as compone

∑

corresponde

O DE SISTEMA

xpressão da mulação de e

estabelecer ode‐se reform:

plicadores d quadrático;

as neste cas

as afectandoas pela condangiano aume ser express

d |

dores de Lafísico os m

rmação, isto

as para a vel

ne as funçõeado, dado ções de fron

entes da tax

∑

∑

ao vector do

AS DE ALVEN

taxa de enelementos fin

a compatibilmular o prob

de Lagrange,

o sem a utili

o apenas o cdição (3.4)

mentado. Assso:

| d

agrange e r multiplicadoro é, o camp

locidade e pa

es de aproximpelos valorenteira cinem

xa de deform

os multiplica

NARIA

nergia nitos.

lidade blema

, μ, e

ização

campo serão sim, o

(3.5)

é um es de o das

ara os

(3.6)

mação es de áticas

(3.7)

mação

(3.8)

adores

Capítulo 3. Ferramenta de cálculo

37

222

(3.9)

e a matriz A0 assume a seguinte forma,

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1

2 0 0

0 0 0 0 12 0

0 0 0 0 0 12

(3.10)

De seguida apresenta‐se de forma sintética o modo de incorporar os elementos de junta e os elementos de corpo rígido na implementação da presente formulação.

3.1.1 Modelação das descontinuidades (Elementos de junta) Na teoria da análise limite o campo das velocidades associado aos mecanismos de colapso não é

necessariamente contínuo. Assim foram estudadas duas estratégias que visam a introdução no modelo proposto de descontinuidades no campo das velocidades, correspondentes a fortes gradientes na taxa de deformação plástica.

A primeira estratégia corresponde na introdução de elementos degenerados. Para se permitir a formação das descontinuidades, deve‐se inserir na malha de elementos finitos um trecho de elementos degenerados, com espessura nula, entre os elementos regulares adjacentes. A principal característica destes elementos degenerados é o facto que dois dos nós do mesmo elemento colapsarem e partilharem assim a mesma coordenada, ver Figura 3.1.

FIGURA 3.1 – Interface de dois elementos 2D formado por elementos degenerados [1]

Para assegurar a consistência do modelo, é necessário modificar o parâmetro de penalidade adoptado para os elementos degenerados na malha de elementos finitos, rp, caso contrário, os termos quadráticos da função Lagrangiana (3.8) destes elementos assumiriam o valor de infinito. Para ultrapassar este problema o parâmetro rp deve ser obtido pela seguinte expressão,

∆ , ∆ 0 (3.11)

38

onde Δp reppara os elecomo princpraticamenespecial cuarbitrária leser usados expectáveis

A seguformulaçãodenominaçãporque tam(mista).

Começa(i‐ésima fro

, ,

onde a mavector crepresenta

Como npartilhados 3.2). Por úlatravés do c

onde + e – de forma al

presenta o vmentos regucipal atractivte nenhumaidado, na ineva a um desmoderadams.

unda estraté uma terceão referida mbém consi

a‐se por apronteira inter‐

, ,

triz agrucontém por a velocidade

FIGURA 3

na primeira epelos elemetimo, estabecampo das v

representameatória (Figu

volume do elulares e δ é vo a grandea alteração ntrodução dsnecessário amente e ape

égia, chamaira aproximporque aprodera duas a

oximar o camelementar),

,

upa as funçõseu lado o

e relativa nod

3.2 – Fronteira

estratégia, naentos, havenelece‐se a covelocidades r

m as duas reura 3.2).

lemento dega espessurae facilidade ao código os elementoaumento de nas em regi

ada de formação na frooxima campaproximaçõe

mpo das velo

,

ões de aproxos pesos dadal.

com descontin

as fronteirasndo uma redompatibilizarelativas,

egiões delimi

CARGAS D

generado, r ca do elementde implemedo modelo os degeneragraus de libeiões delimita

mulação híbonteira dos pos tanto noes independ

ocidades rela

ximação, quas respectiv

nuidades entre

s inter‐elemeundância deção do cam

itadas pela f

DE COLAPSO

correspondeto degeneraentação, nãcontínuo. N

ados na malerdade, portadas onde s

brida/mista,elementos.o domínio cdentes de c

ativas na fro

e podem sevas funções

e dois elemento

entares com e nós com aspo das veloc

fronteira Γd,

O DE SISTEMA

e ao parâmetado. Esta esto sendo neNesta estratha, porque tanto, estes singularidade

consiste eEsta estrat

como na froampos disti

nteira dos e

er constantede aproxim

os adjacentes [

descontinui mesmas coocidades entr

sendo a sua

AS DE ALVEN

tro de penaltratégia apreecessário efetégia deve‐sa sua introdelementos des na soluçã

em introduztégia apreseonteira (híbrintos no do

lementos pa

es ou linearemação, cujo

1]

idades, os nóordenadas (Fre dois elem

a ordem esco

NARIA

lidade esenta ectuar se ter dução devem ão são

zir na enta a ida) e omínio

ara

(3.12)

es e o valor

ós são Figura

mentos

(3.13)

olhida


39

3.1.2 Elementos de Corpo Rígido Os elementos de corpo rígido podem ser modelados de duas formas distintas:

• Uma forma mais expedita, que consiste em modelar os elementos através da atribuição de elevadas propriedades mecânicas fictícias. Impossibilita‐se assim a deformação plástica destes elementos na formação do mecanismo de colapso óptimo, por estar, necessariamente associada a dissipações incomportavelmente elevadas. Ainda por cima, no ponto de vista numérico, este procedimento é ineficiente, porque não só durante o processo de minimização local estes elementos seriam desnecessariamente processados, como também haveria uma utilização de graus de liberdade supérfluos no sistema global.

• A forma usada na presente formulação, que consiste em associar a cada corpo rígido um nó virtual localizado na origem do sistema de coordenadas global (Figura 3.3). A este nó são

atribuídos seis graus de liberdade: três correspondem a velocidades , , e os

restantes três correspondem a velocidades angulares , , .

FIGURA 3.3 – Graus de liberdade de um corpo rígido [1]

Pode‐se estabelecer uma relação unívoca entre estes graus de liberdade, d, e os graus de liberdade de velocidade de um nó genérico que pertença a um dos elementos que

constituem o corpo rígido, ,

d TTd d T d (3.14)

onde T corresponde à matriz transformação e é definida por,

T1 0 0 0 z y0 1 0 z 0 x0 0 1 y x 0

(3.15)

em que xi, yi, zi são as coordenadas do nó genérico i e os vectores dos graus de liberdade são representados por,

dddd

, d

dddddd

(3.16)

40

Estado virtcon

graucon

Estecálcnecactu

3.2 AlgoNo pres

matemáticoatingir o caminimizaçãaspectos nãboa aproxmultiplicadodos multiplpartir de (3

A tarefa decusto compminimizadoprimeiro m(d.o.f.), d, erelação à tchamadas drepresentadsimultânea linearidade minimizaçãapresentad

a relação pesistema govual. Para tantribuições e

us de liberdnsiderável no

es elementoculo (na mocessitam de ualização do

oritmo desente tópicoo utilizado pampo cinemo de Uzawa ão lineares dimação à mores, μk), veicadores rec.6) e o forne

e obter o exaputacional sor do Lagrangminimiza‐se ae ao multiplitaxa de defde FASE 1 e Fda por um sde todos odo problemo local (Figuo nas subsec

ermite eliminvernativo gll, é necessáelementares,

dade locais os graus de li

os, na formuontagem da se associar s mesmos.

e programo, procede‐selo SUBLIM3mático óptimque exibe udo problemaminimizaçãor Figura 3.4.correndo à dcido por (3.7

acto minimizsignificativo. giano, realizaa função obcador de Laormação doFASE 2, respeistema lineaos elementoa e é executura 3.4). O dcções seguin

nar todos os lobal, substiário que, an, se proceda

dos nós, . berdade do

ulação nummatriz do smultiplicad

mação mate a uma ap3d para simumo do Lagrauma converga. Este algorio da funçã Seguidamediscrepância7),

zador do LagAlternativamado através bjectivo em grange, , os d.o.f., e, ectivamentear de equaçõos da malhatada ao níveldetalhe nectes.

CARGAS D

graus de libituindo‐os, ates de se rea à transform

Este procedcorpo.

érica do SUsistema govores de Lag

temático presentação ular o compoangiano aumência robustitmo passa po Lagrangiante no fim dentre os ca

grangiano, pmente, optoda minimizarelação aospor outro laassim estas. A FASE 1, tões de fácil a. Por outrl do elementessário para

DE COLAPSO

berdade assoalternativamealizar a opemação das g

dimento pod

UBLIM3d, sãvernativo e grange, abre

detalhada dortamento ementado (3.8ta e permitepela obtençãana (associade cada iterampos da tax

para a iteraçãou‐se por oação sucessivs deslocamedo, a seguns duas miniambém chamresolução e o lado, a Fto, por esta ra executar e

O DE SISTEMA

ociados a nómente, pelaseração de egrandezas c

de represen

o ignoradosna minimizaeviando assi

do algoritmoestrutural. Ne8) aplicou‐see diminuir a cão a cada iteada ao valação, realizaxa de deform

ão k, não é bter uma bva da funçãontos dos grda minimizamizações inmada de minencarrega‐sFASE 2, trabrazão tambéestas duas m

AS DE ALVEN

ós do corpo s variáveis despalhamentalculadas pa

ntar uma red

s no procesação local) em o proces

o de programeste caso, pae o algoritmcomplexidaderação, k, deor corrente‐se a actualimação calcul

trivial e exigboa estimativo objectivo, iraus de libeação realiza‐sdependentenimização glose da contribbalha com aém é designaminimizações

NARIA

rígido do nó to das ara os

dução

so de e não so de

mação ara se mo de de dos e uma e dos ização ado a

(3.17)

ge um va do isto é, rdade se em es são obal é buição a não ada de s será


41

FIGURA 3.4 – Implementação do algoritmo de minimização de Uzawa [1]

Como nota, apresenta‐se de seguida algumas características de dois parâmetros muito importantes: número de ciclos de relaxação interior, m, e valor inicial do parâmetro de penalidade, r0. O valor do parâmetro m, ver Figura 3.4, pode ser escolhido livremente, mas deve ter sempre em consideração as experiências numéricas conduzidas pelos autores do artigo [24]. Por outro lado, o parâmetro r0 apresenta um papel importante no ritmo de convergência do método iterativo de Uzawa. O seu valor não pode ser muito elevado, o que origina uma evolução muito rápida no processo iterativo podendo tornar‐se num problema mal formulado e pôr assim em risco a convergência (convergindo para um valor da região superior menos preciso do que aquele que o método é capaz de produzir), nem muito reduzido, que provoca uma evolução muito lenta no processo iterativo podendo assim levar a um significativo decréscimo da taxa de convergência.

3.2.1 Minimização global (FASE 1) O problema de minimização presente na FASE 1 do algoritmo de Uzawa é denominado de

minimização global, porque corresponde a uma minimização em relação ao campo de velocidades, que envolve simultaneamente a contribuição de todos os elementos finitos que definem o domínio. Assim, esta minimização tem como objectivo a procura do ponto estacionário que minimiza a função Lagrangiana aumentada em relação às variáveis d e μλ:

, , , 0, , , 0

(3.18)

resultando num sistema linear de equações que se resolve para cada iteração,

, , Ʌ ,

, 1 (3.19)

42

onde,

∑

∑

∑

Ʌ ∑

,

sendo os ve

A matrilogo todas linear de eqnecessária

equação do

,

multiplicandlinear de eq

,

onde

,

sendo,

Para eliminexpressão c

,

Observadefinições qse procedeu

∑

ectores ei e μ

iz do sistemas modificaquações apruma única

o sistema line

do agora de quações (3.19

,

ar a variávecalculável da

,

ando atentaque se apresu a qualquer

μi constantes

ma governativções afectamresentado anfactorização

ear de equaç

Ʌ

ambos os la9) e, por últi

Ʌ

el μλ, basta es velocidade

amente a esentam nestr alteração/a

,

s durante a m

vo, A, mantm apenas onteriormenteo da matriz,

ções (3.19) e

,

ados por mo, resolven

,

então introdes nodais, d:

,

equação prita dissertaçãcrescento.

CARGAS D

minimização.

têm‐se inaltes restantes e. Assim durpara o cálc

m ordem a

,

, introduzinndo em orde

uzir a equaç

ncipal da mo em nada a

DE COLAPSO

erada durantermos da prante todo oculo dos ter

, , sobre

ndo depois aem a μλ obtê

ção (3.26) em

minimização a influenciam

O DE SISTEMA

te todo o pprimeira equo processo itrmos. Resolv

essai a segui

a segunda eqm‐se:

m (3.25), ob

global (3.3m, logo, na p

AS DE ALVEN

processo iteruação do sisterativo, apevendo a pri

nte condição

quação do sis

btendo‐se as

30) vê‐se qpresente fas

NARIA

(3.20)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

rativo, stema enas é meira

o,

(3.25)

stema

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

ssim a

(3.30)

ue as se não


43

3.2.2 Minimização local (FASE 2) O problema de minimização presente na FASE 2 do algoritmo de Uzawa é denominado de

minimização local porque corresponde a uma minimização em relação ao campo da taxa de deformações, que é restrita a cada elemento. Esta fase pode ser realizada elemento a elemento de modo independente. Sem entrar em qualquer comportamento específico do material, começa‐se por eliminar todos os termos afectados apenas pelas variáveis desconhecidas d e μ, que nesta etapa são fixos. Depois pode‐se eliminar o domínio de integração, porque se assume como constante a aproximação executada ao campo da taxa de deformação (3.7) para todos os elementos. Tomando em consideração as hipóteses anteriores, que em nada alteram o ponto óptimo, o problema optimizado local pode ser reformulado para cada elemento finito por:

(3.31)

onde,

, , , 2 , 2 , 2 , T (3.32)

que contem as componentes do tensor Si,

(3.33)

Por fim, para se obter uma redução no espaço das variáveis de decisão e consequentemente na complexidade do problema de minimização, converte‐se‐o num problema de minimização equivalente formulado no espaço das deformações principais,

(3.34)

onde o vector guarda as componentes principais da aproximação do tensor da taxa de deformação do domínio,

, , (3.35)

e o vector reúne os valores próprios do tensor Si, que são ordenados de forma decrescente ,

, , (3.36)

A obtenção das componentes do vector , (3.35), realiza‐se através da decomposição da matriz ortogonal,

0 00 00 0

(3.37)

sendo a matriz Yi formada pelos valores próprios normalizados da matriz Si e que se encontra organizada da mesma forma que os vectores próprios.

44

Como oe no termocoeficientescaracterístic

Como simp

As formcritérios deproblema 3

eIII 0 ˄ s

são explicadMohr – Cocritério de A

3.2.2.1 CTendo c

Coulomb, T

L eI, eII

que correspde desigual

A estramínimo da f

L eI, eII

à equação objectivo at

,

Em seguidaver Tabela 2caso contrálocalizado n

|

como se potermos quadefine supe

o primeiro e o intermédios do vector ca que o vec

lificação, nas

mulações adoe cedência nD, bastando

III 0

dos seguidaulomb já seArmando Nu

ritério decomo base aTabela 2.1, po

eI

ponde a umadade lineare

atégia adoptfunção objec

0

(3.40) indeptinge o seu v

a, a solução a2.1. Em casoário, a soluçãna superfície

| | | si

ode constataadráticos sãoerfícies esfér

o último tero cada comp , logo con

ctor

s expressões

optadas parano caso de para isso im

mente de fo encontra imunes Antão e

e Mohr – Ca função da ode‐se espec

eII sIeI

a função objees.

tada consistctivo,

pendentemevalor mínimo

,

anterior é teo afirmativo, ão consiste do domínio

n

ar pela obsero os mesmoricas centrad

mo da equaponente da clui‐se que a

,

s deste tópico

a resolver o deformação

mpor,

orma detalhamplementad de Mário Vi

Coulomb [taxa de disscificar o prob

sIIeII

ectivo nodal

te primeiram

nte das resto, , é dada

estada verifio ponto óptno ponto mpossível [26

rvação da fuos (r/2), pordas no ponto

CARGAS D

ção (3.34) aptaxa de defa solução óp

o não se incl

problema do plana, qu

ada. Note‐sedo, pretendecente da Silv

[25] sipação de eblema de min

eI eII

quadrática

mente em i

trições. A sopor:

cando se elatimo do probmais próximo6],

unção objectrtanto, a equo óptimo sem

DE COLAPSO

presentam uformação é ptima partilh

luem os índic

de minimizaçe correspon

e que na ferendo‐se nestva.

energia plástnimização lo

em R2, sujei

mpor a con

olução sem r

a pertence ablema de mio do ponto ó

tivo (3.40) osuipotencialidm restrições,

O DE SISTEMA

um comportaafectada diha necessari

ces de iteraç

ção (3.34), pnde a um ca

rramenta SUta dissertaçã

tica para o cocal (3.34) em

ta em cada p

ndição, que

restrições pa

ao domínio pnimização loóptimo sem

s coeficientedade da sup . Como o

AS DE ALVEN

amento isotrrectamente amente a m

ção (k, m).

para os diferaso particul

(

BLIM3d o crão implemen

critério de Mm,

ponto a rest

permite ob

ara qual a fu

possível, ocal foi alcanrestrições (

es que afectaperfície da fuo domínio po

NARIA

rópico pelos

mesma

(3.38)

rentes ar do

(3.39)

ritério ntar o

Mohr –

(3.40)

rições

bter o

(3.41)

unção

(3.42)

, nçado, (3.42),

(3.43)

am os unção ossível


45

é convexo, o ponto óptimo é necessariamente o ponto do domínio possível mais próximo do centro. De acordo com a restrição (3.38), apenas os dois pontos seguintes são candidatos admissíveis:

0,0 (3.44)

1 sin

1 sin (3.45)

Por fim, a escolha da solução óptima resume‐se nos seguintes passos:

I. Confirmar se os pontos admissíveis pertencem ao espaço auxiliar que confina a taxa do tensor da deformação, Cc, ver Tabela 2.1;

II. Seleccionar entre todos os pontos que verifiquem a condição anterior, o que minimiza a função objectivo (3.40).

Uma discussão mais detalhada sobre esta minimização pode ser encontrada em [26].

3.2.2.2 Critério de Armando Nunes Antão Tendo como base a função da taxa de dissipação de energia plástica para o critério de Armando

Nunes Antão[4], Tabela 2.2, pode‐se especificar o problema de minimização local (3.34):

Modo I:

L eI, eII | | | | tan | | | | sIeI

sIIeII eI eII (3.46)

sendo a regra de normalidade traduzida pela restrição,

| | | | (3.47)

Modo II e III:

L eI, eII | | | | sIeI sIIeII eI eII (3.48)

onde a constante H é obtida, como já foi dito anteriormente, pela equação (2.45). A regra da normalidade deste modo é traduzida pela seguinte restrição,

| | | | (3.49)

A função objectivo, neste caso, corresponde a uma função por ramos, onde em cada ramo se define uma função nodal quadrática, sujeita em cada ponto a restrições de desigualdade lineares.

46

Começasituações

(iii) 0(vii) Associadas função obje

0,0

0,

onde é d

FIGURA 3.5 –

ando por cona conside

˄ 0 ; ˄

a cada umaectivo, atravé

1,1

,

, 0

, 2 tan

1,

,

1,1

designado po

– Zonas que def

ntrapor a ordrar (ver F

(iv) –0 ; (viii)

a das 10 sités da equaçã

,

or coeficient

finem o espaço

denação (3.3Figura 3.5)

00 ˄

tuações antão (3.41):

e de impulso

CARGAS D

o auxiliar, Cc, no

38) com as r): (i) 0 ; (v)

0 ; (ix) eriores são

o activo, sen

DE COLAPSO

o critério de Ar

restrições (3. ˄ 0

˄ ˄

encontrada

do dado por

O DE SISTEMA

rmando Nunes

.47) e (3.49)0 ; (ii)

0 ; (v0 e (x)

s soluções q

r:

AS DE ALVEN

Antão

, restringem ˄

vi) ˄

que minimiz

NARIA

‐se as 0 ;

0 ; 0 .

zam a

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)

(3.60)


47

e por seu lado, é designado por coeficiente de impulso passivo, sendo dado por:

(3.61)

Dos candidatos apresentados são rejeitados liminarmente aqueles que não satisfazem a regra da normalidade (Modo I: equação (3.47); Modo II e III: equação (3.49)). Os restantes são testados, escolhendo‐se, eventualmente, aquele que produz o menor valor para a função objectivo definida por ramos (Modo I: equação (3.46); Modo II e III: equação (3.48)).

Como nota, explica‐se o processo de definição da estratégia de minimização escolhida para este critério: Inicialmente tinha‐se optado por uma estratégia semelhante à apresentada no critério de Mohr‐Coulomb (capítulo 3.2.2.1), mas a solução obtida não correspondia à esperada. Depois de vários testes realizados chegou‐se à conclusão que este facto se devia à perda de precisão com a execução das projecções, sendo mais relevante, nas situações próximas das zonas de transição (zonas (i), (iii), (v), (viii) e (x)), conduzindo assim à redução da qualidade dos candidatos a solução. De modo a ultrapassar esta falha, escolheu‐se a estratégia apresentada neste tópico, devido a definir explicitamente todos os candidatos a solução.

3.2.2.3 Critério de Mário Vicente da Silva Tendo como base a função da taxa de dissipação de energia plástica para o critério de Mário

Vicente da Silva[5], Tabela 2.3, pode‐se especificar o problema de minimização local (3.34):

Modo I:

L eI, eII | | | | tan | | | | sIeI

sIIeII eI eII (3.62)


| | | | (3.63)

Modo II e III:

L eI, eII | | | | sIeI sIIeII eI eII (3.64)


0| | | | (3.65)

A função objectivo corresponde a uma função por ramos, onde em cada ramo se define uma função nodal quadrática, sujeita em cada ponto a restrições de desigualdade lineares.

48

Como s(3.63) é semequação (3.raciocínio a

Pelo coMohr‐Couloformado prestringem‐(vii) 0 impõe‐se a

• Par

L e

fica

• Parsolu

dev

FIGURA 3.6 –

se pode obsemelhante ao.46) e restriçpresentado

ontrário, paromb: Começpelas compo‐se as sit˄ 0. Prestrição pro

a a situação

eI, eII

ndo esta zon

a a situação ução (ver Fig

0,0

vido a ser o ú

– Zonas que def

ervar, o primo primeiro rção (3.47), pono critério d

a o Modo Içando por conentes printuações a Para cada umovocada pela

(v) o problem

na limitada p

(vi), o problgura 3.6),

único ponto q

finem o espaço

meiro ramo damo da funor isso para de Armando

I e III optoucontrapor ancipais da considerar

ma das 3 sia regra da no

ma de minim

por (ver Figu

ema de mini

que verifica a

CARGAS D

o auxiliar, Cc, no

da função oção objectivo modo I (zoNunes Antão

u‐se por uma ordenaçãoaproximaçãr: (v) tuações antormalidade (

mização local

ra 3.6),

imização loc

a restrição p

DE COLAPSO

o critério de M

bjectivo (3.6vo do critérionas (i), (ii), (o (ver Figura

a estratégiao (3.38) como do tenso0 ˄ 0

teriores, sim(3.65):

l simplificado

sIeI s

al torna‐se n

provocada pe

O DE SISTEMA

Mário Vicente da

62) bem como de Arman(iii) e (iv)) uti3.6).

semelhantem os quadraor da taxa 0 ; (vi) mplifica‐se a

o fica,

sIIeII eI

num problem

ela regra da n

AS DE ALVEN

a Silva

mo a sua resndo Nunes Ailizou‐se o m

e à do critérantes do grde deform0 ˄

equação (3.

eII (

ma com uma

normalidade

NARIA

strição Antão, mesmo

rio de ráfico, mação, 0 e

.64) e

(3.66)

(3.67)

única

(3.68)

e,

(3.69)


49

• Para a situação (vii), o problema de minimização local também se torna num problema com uma única solução (ver Figura 3.6),

0,0 (3.70)

devido a ser o único ponto que verifica a restrição provocada pela regra da normalidade,

(3.71)

Debruçando agora sobre a situação (v), que falta resolver, impõe‐se a condição que permite obter o mínimo da função objectivo (equação (3.41) na equação (3.66)) independentemente das restrições (3.67), logo a solução sem restrições para a qual nesta zona a função objectivo atinge o seu valor mínimo, , é dada por,

, 1 , 1 (3.72)

Em seguida, a solução anterior é testada verificando se ela pertence ao domínio possível, equação (3.67). Em caso afirmativo, o ponto óptimo do problema de minimização local foi alcançado,

, caso contrário, a solução consiste no ponto mais próximo do ponto óptimo sem restrições (3.72), localizado na superfície do domínio possível,

(3.73)

Como se pode constatar pela observação da função objectivo (3.66) os coeficientes que afectam os termos quadráticos são os mesmos (r/2), portanto, a equipotencialidade da superfície da função define superfícies esféricas centradas no ponto óptimo sem restrições, . Como o domínio possível é convexo, o ponto óptimo é necessariamente o ponto do domínio possível mais próximo do centro. De acordo com a restrição (3.38), apenas os três pontos seguintes são candidatos admissíveis:

1, 1 (3.74)

0,0 (3.75)

1, (3.76)

Por fim, a escolha da solução óptima resume‐se nos seguintes passos:

I. Confirmar se os pontos admissíveis, até , pertencem ao espaço auxiliar que confina a taxa do tensor da deformação, Cc, ver Tabela 2.3;

II. Seleccionar entre os pontos que verifiquem a condição anterior, o que minimiza a função objectivo (Modo I: equação (3.62); Modo II e III: equação (3.64)).

51

Capítulo 4

4 Validação

O processo de validação utilizado para cada um dos critérios propostos (Armando Nunes Antão e Mário Vicente da Silva) foi semelhante, por isso de seguida expõem‐se e explicam‐se os exemplos que definem o processo de validação do presente trabalho:

I. Corpo sujeito a cargas uniformemente distribuídas normais à superfície (H e V), ver Figura 4.1, o processo de validação iniciou‐se com este exemplo devido a ser o que apresenta o raciocínio de resolução mais simples, porque não só o corpo é sujeito a cargas em todas as faces, como se encontra formulado em tensões principais;

FIGURA 4.1 – Exemplo de validação nº1: Corpo sujeito a cargas uniformemente distribuídas normais à superfície (H e V)

II. Corpo sujeito a cargas normais (H e V) e tangenciais (C) uniformemente distribuídas, ver Figura 4.2. Este exemplo foi realizado em segundo lugar porque o corpo se mantém sujeito a cargas aplicadas em todas as faces, mas desta vez, não se encontra formulado em tensões principais, o que irá dificultar a resolução do exemplo (SUBLIM3d e teórica);

52

FIGU

III. ProFigu

FIG

escodos

URA 4.2 – Exem

vete de doiura 4.3:

GURA 4.3 – Exe

a. Considedos intinteracç

b. Consideintuito alvenaralvenar

olheu‐se ters exemplos e

mplo de validaç

s tijolos com

emplo de valida

erando em perfaces unidção entre os erando nestede verificar

ria, testandoria presentes

minar com em alvenaria.

ão nº2: Corpo

m junta suje

ação nº3: Prove

primeiro lugadade/junta, dois materiae caso para r a incorpoo assim a ests nas aplicaçõ

este tipo de .

CARGAS D

sujeito a cargadistribuídas

ito a cargas

ete de dois tijosuperior (V e

ar, a modelaoptou‐se poais que constestratégia doração dos tratégia conões numérica

exemplo de

DE COLAPSO

s normais (H e s

s aplicadas n

olos com junta sC)

ação micro dor este tipotituem a alvee modelaçãoelementos dsiderada na as (ver capít

forma a faz

O DE SISTEMA

V) e tangencia

no tijolo sup

sujeito a cargas

detalhada seo de estratéenaria (tijoloo a micro simde junta (cmodelação ulo 5);

er a transiçã

AS DE ALVEN

ais (C) uniforme

perior (V e C

s aplicadas no

m a considegia para teso e junta); mplificada, capítulo 3.1.dos exempl

ão para o do

NARIA

emente

C), ver

tijolo

eração star a

com o 1) na los de

omínio

Capítulo 4. Validação

53

De modo a se executar correctamente a validação, isto é, para verificar a correcta implementação dos critérios para cada uma das zonas que os constituem (Critério de Armando Nunes Antão: capítulo 3.2.2.2, Critério de Mário Vicente da Silva: capítulo 3.2.2.3), variou‐se tanto o sentido e a intensidade das cargas aplicadas, como a escolha da carga variável, para cada um dos exemplos atrás enunciados.

De seguida para cada um dos critérios propostos, apresenta‐se como modelo, um dos exemplos simples que definem o processo de validação, onde para cada exemplo se executa uma comparação entre os resultados obtidos pelo SUBLIM3d e os resultados analíticos reais obtidos através de cálculos simples.

4.1 Critério de Armando Nunes Antão Para o presente critério, expõe‐se como modelo o exemplo II (ver Figura 4.2), considerando que

a carga variável corresponde à carga V, aplicada na face superior do corpo. De seguida apresenta‐se uma breve, mas precisa, descrição dos dados necessários para a resolução do problema (SUBLIM3d e teórica):

• DIMENSÃO DO CORPO: o 1

• CARGAS: o 2 çã o 1 çã o 5

• PROPRIEDADES DO CORPO: o 10 o 20° o 10 o 50

FIGURA 4.4 – Discretização do corpo

Em primeiro lugar, apresenta‐se a resolução do problema através do SUBLIM3d. Esta resolução inicia‐se pela geração da malha do corpo. Devido à homogeneidade de solução do exemplo, o resultado obtido por uma malha mais e menos refinada será o mesmo, por isso optou‐se por uma discretização do corpo menos refinada, ver Figura 4.4. Na Tabela 4.1 encontram‐se as principais características da malha utilizada, designadamente, o tipo e o número de elementos associado à malha, bem como o número de graus de liberdade globais e locais.

54

TABELA 4.1 –

Tipo de

L

O próxicorpo e poro ficheiro d

Como comconfiguraçã

Como nseria de escálculos em

Principais cara

e elementos

Linear

imo passo ér último parae dados cria

mplemento, ão do mecan

Dissipação

0

F

nota final daperar devid

m computaçã

cterísticas da m

Núm

é associar asa concluir o fdo, obtendo

FIGU

representa‐sismo de cola

o Plástica

máx.

FIGURA 4.6 – R

Figura 4.5, o à simplicido sequencia

malha

ero de elem

4

restrições aficheiro de do‐se o seguin

RA 4.5 – Result

se a distribapso (Figura

Resultados com

conclui‐se qdade do exel inferior a 1

CARGAS D

entos

ao corpo, deados, aplicate resultado

tado obtido pe

buição da d4.6).

mplementares o

ue a converemplo, o qusegundo.

DE COLAPSO

Globai7

epois definem‐se as carg, ver Figura 4

lo SUBLIM3d

dissipação p

Mecani

obtidos pelo SU

gência da soue conduz a

O DE SISTEMA

DOF

s

‐se o critérigas ao corpo4.5.

plástica nos

smo de Colaps

UBLIM3d

olução foi mum tempo

AS DE ALVEN

Locais 8

o de cedênc. Por fim, co

s elementos

o

uito rápida, de execuçã

NARIA

cia do rre‐se

s e a

como o dos


55

Por último, apresenta‐se a resolução real do problema obtida através de cálculos analíticos simples:

I. Começa‐se por converter as cargas aplicadas no corpo em tensões, ver Tabela 4.2 estado inicial (λ=1);

TABELA 4.2 – Tensões aplicadas no corpo e propriedades do círculo de Mohr

Estado Tensões Inicial (i) Colapso (c) τxy [MPa] ‐5 ‐5 σx [MPa] ‐2 ‐2 σy [MPa] ‐1 ‐6.875

Propriedades do círculo de Mohr R [MPa] 5.025 5.563 OC [MPa] ‐1.500 ‐4.438 σI [MPa] 3.525 1.125 σII [MPa] ‐6.525 ‐10

II. Define‐se o critério de cedência (Figura 2.20) para este exemplo, através das propriedades do corpo, que se encontra representado na Figura 4.7. Expõe‐se também nesta figura o círculo de Mohr no estado de tensão inicial;

FIGURA 4.7 – Representação do exemplo no diagrama de Mohr

III. Obtém‐se a σy no colapso, tendo como base a Figura 4.7. Para isso pensa‐se no processo de carregamento até ocorrer o colapso do corpo. O processo de carregamento corresponde a aumentar o carregamento variável (V) e a manter os restantes carregamento constantes (H e C), isto é, corresponde a diminuir σy, e a manter constante σx e τxy. Deste processo conclui‐se que o círculo de Mohr no estado de tensão no colapso apresenta as seguintes características (ver Tabela 4.2):

• É constituído pelo ponto (σx, τxy), que é comum ao círculo de Mohr no estado de tensão inicial;

• Assume como valor de tensão principal, σII, o valor de ;

56

do c

dep

‐se

e no

Porequ

equcara

IV. Obtesta

V. Precorcor

Mo

Mo

Mo

ond

Para o refecírculo de M

pois define‐se

Como ambigualar as du

4

o caso da dis

último, paruação (4.5) e

Para compuações (4.7),acterísticas d

tém‐se o muado inicial:

6.875

tende‐se, derespondentepo, na expre

do I:

do II:

do III:

de a sua repr

erencial da pohr (OC) no

e as mesmas

bas as grandeuas hipótese

4

stância ao ce

ra obter o varesolver em

pletar a colu (4.6), (4.1) do processo

ultiplicador d

e modo infoe a este exeessão do crité

10

resentação g

primeira caracolapso,

s grandezas p

ezas referidas de cálculo,

entro do círcu

alor objectivm ordem a σy

una de colapou (4.3) e (4de carregam

de colapso (λ

ormativo, detemplo. Paraério de cedê

50

gráfica aprese

CARGAS D

acterística de

para o refere

s são refere, obtendo‐se

ulo de Mohr

vo da σy, ba:

pso da Tabe4.2) ou (4.4)mento.

λc), bastando

terminar nea isso comencia para cad

2.040

enta o seguin

DE COLAPSO

efine‐se o ra

encial da seg

ntes ao círcue no caso do

no colapso

sta apenas i

la 4.2, basta) pelos respe

o apenas divi

ste tópico aça‐se por sda modo (eq

28.563

nte aspecto

O DE SISTEMA

aio (R) e a di

gunda caract

ulo de Mohr Raio (igualar

(igualar (4.2)

introduzir a

a substituir ectivos valor

idir a σy no c

a zona da fuubstituir as quação (2.42

(Figura 4.8):

AS DE ALVEN

istância ao c

erística,

no colapso, r (4.1) a (4.3)

) a (4.4)),

equação (4

as grandezares numérico

colapso pela

nção de cedpropriedad), (2.43) e (2

NARIA

centro

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

pode‐)),

(4.5)

(4.6)

.6) na

(4.7)

as nas os das

σy no

(4.8)

dência es do 2.44)):

(4.9)

(4.10)

(4.11)


57

FIGURA 4.8 – Representação gráfica do critério de cedência do exemplo

Nesta figura, também se insere:

• O ponto de tensão principal no estado inicial , onde,

(4.12)

(4.13)

onde as grandezas OC e R são calculadas através de (4.2) e (4.1), respectivamente. Os valores numéricos de todas as variáveis definidas neste tópico apresentam‐se na Tabela 4.2;

• O ponto de tensão principal no estado de colapso , , ver Tabela 4.2;

• A direcção e o sentido do carregamento;

• A direcção e o sentido da taxa de deformação (e).

Observando onde o ponto toca na superficie de cedência (Figura 4.8), conclui‐se que este exemplo se encontra na zona (iii) do modo I, através da comparação com a Figura 3.5.

Em nota, refere‐se que a convenção de sinais adoptada neste ponto corresponde à convenção de sinais considerada no capítulo 3 (ver capítulo 2.1).

Comparando os diversos resultados obtidos pelo SUBLIM3d, com os resultados reais analíticos, chega‐se à conclusão que em todos os casos o corpo atinge o colapso onde se estava à espera, o que confere uma grande confiança sobre a correcta implementação do critério de Armando Nunes Antão.

58

4.2 CritPara es

variável corbreve, masteórica):

• DIM

• CAR

• PRO

Como nresolução psolução do Tabela 4.3 enúmero de

TABELA 4.3 –

Tipo d

O próxicorpo e poro ficheiro d

tério de Mte critério exrresponde à precisa, de

MENSÃO DO o 2

RGAS: o 40o 10

OPRIEDADESo 20o 30o 15o 6

no modelo pelo SUBLIMexemplo, oencontram‐selementos a

Principais cara

de elemento

Linear

imo passo ér último parae dados cria

Mário Vicexpõe‐se comà carga H, aescrição dos

CORPO:

0 0 S DO CORPO0 0° 5 5

anterior, coM3d inicia‐se ptou‐se por se as principassociado à m

cterísticas da m

os N

é associar asa concluir o fdo, obtendo

FIGUR

ente da Silmo modelo oplicada na fdados nece

ã ã

:

FIGURA 4.9 – D

omeça‐se pepela geraçãuma discreais caracterímalha, bem c

malha

Número de e

4

restrições aficheiro de do‐se o resulta

RA 4.10 – Resul

CARGAS D

lva o exemplo I (face direita essários para

Discretização d

ela resoluçãoão da malhatização do císticas da macomo o núm

elementos

ao corpo, deados, aplicaado apresent

ltado obtido pe

DE COLAPSO

ver Figura 4do corpo. Da a resoluçã

o corpo

o do problea do corpo.corpo menosalha utilizadamero de graus

Glo6

epois definem‐se as cargtado na Figu

elo SUBLIM3d

O DE SISTEMA

.1), considerDe seguida aão do proble

ma através Devido à hos refinada, va, designadas de liberdad

DOF

obais 6

‐se o critérigas ao corpora 4.10.

AS DE ALVEN

rando que a apresenta‐seema (SUBLIM

do SUBLIMomogeneidaver Figura 4.amente, o tipde globais e l

F

Loca8

o de cedênc. Por fim, co

NARIA

carga e uma M3d e

M3d. A de de .9. Na po e o locais.

is

cia do rre‐se


59

Como complemento, representa‐se a distribuição da dissipação plástica nos elementos e a configuração do mecanismo de colapso (Figura 4.11).

Dissipação Plástica Mecanismo de Colapso

0 máx.

FIGURA 4.11 – Resultados complementares obtidos pelo SUBLIM3d

Como nota final da Figura 4.10, conclui‐se que a convergência da solução foi muito rápida, como seria de esperar devido à simplicidade do exemplo, o que conduz a um tempo de execução dos cálculos em computação sequencial inferior a 1 segundo.

Por último, apresenta‐se a resolução real do problema obtida através de cálculos analíticos simples:

I. Começa‐se por converter as cargas aplicadas no corpo em tensões (tensões principais), ver Tabela 4.4 estado inicial (λ=1);

TABELA 4.4 – Tensões principais aplicadas no corpo e propriedade do círculo de Mohr

Estado Tensões Inicial (i) Colapso (c) Truncatura (t) σI [MPa] 40 75 65 σII [MPa] 10 10 0

Propriedade do círculo de Mohr R [MPa] 15 32.5 32.5

II. Define‐se o critério de cedência (Figura 2.22) para este exemplo, através das propriedades do corpo, que se encontra representado na Figura 4.12. Expõe‐se também nesta figura o círculo de Mohr no estado de tensão inicial e no estado de tensão que origina a truncatura (Tabela 4.4);

60

III. Obtcarraumcorde 4.4)

(4.3

O vcararesp

IV. Obtesta

V. Preantpormo

Mo

Mo

Mo

tém‐se a σI nregamento amentar o caresponde a aMohr no est):

• É consttensão

• Assumede tens

Assim, para3) para o caso

2

valor numériacterística dpectivos valo

tém‐se o muado inicial:

1.875

tende‐se, deerior) a zonar substituir ado (equação

do I:

do II:

do III:

FIGURA 4

no colapso, taté ocorrer oarregamentoaumentar σI tado de tens

tituído pelo inicial;

e como valorão que origi

á

a obter o vao do Raio (R)

co desta eqdo processoores numéric

ultiplicador d

e modo infoa da função as propriedao (2.48), (2.49

15

4.12 – Represen

tendo como o colapso do variável (He a manter são no colap

ponto (σII,

r de raio o mna a truncat

alor objectivo) no colapso

uação (Tabeo de carregcos.

de colapso (λ

ormativo, dde cedência ades do corp9) e (2.50)):

65

CARGAS D

ntação do exem

base a Figuro corpo. O pH) e a mantconstante σpso apresent

0) que é co

mesmo valorura (t):

o de σI, baste resolver e

ela 4.4), obtégamento e

λc), bastando

eterminar ncorrespondpo, na expre

3 69.2

5

DE COLAPSO

mplo no diagram

ra 4.12. Paraprocesso de ter constantσII. Deste prota as seguint

omum ao cír

que o raio d

ta substituir m ordem a σ

ém‐se tendosubstituindo

o apenas div

neste tópicoente a este eessão do cr

82

O DE SISTEMA

ma de Mohr

isso pensa‐scarregamente o carregacesso conclutes caracterí

rculo de Mo

do círculo de

na equaçãoσI:

o em consideo as várias

idir a σI no c

o (à semelhaexemplo. Paitério de ce

AS DE ALVEN

se no procesnto correspoamento V, isui‐se que o císticas (ver T

ohr no estad

e Mohr no e

o (4.14) a eq

eração a prigrandezas

colapso pela

ança do exera isso comedência para

NARIA

sso de nde a sto é, círculo Tabela

do de

estado

(4.14)

uação

(4.15)

meira pelos

a σI no

(4.16)

emplo eça‐se a cada

(4.17)

(4.18)

(4.19)


61

onde a sua representação gráfica apresenta o seguinte aspecto (Figura 4.13):

FIGURA 4.13 – Representação gráfica do critério de cedência do exemplo

Nesta figura, também se insere:

• O ponto de tensão principal no estado inicial , , no estado de colapso

, e no estado que origina a truncatura , , ver Tabela 4.4;

• A direcção e o sentido do carregamento;

• A direcção e o sentido da taxa de deformação (e).

Observando onde o ponto toca na superficie de cedência (Figura 4.13), conclui‐se que este exemplo se encontra na zona (v) do modo III, através da comparação com a Figura 3.6.

Em nota, refere‐se que a convenção de sinais adoptada neste ponto corresponde à convenção de sinais considerada no capítulo 3 (ver capítulo 2.1).

Comparando os diversos resultados obtidos pelo SUBLIM3d, com os resultados reais analíticos, chega‐se à conclusão que em todos os casos o corpo atinge o colapso onde se estava à espera, o que confere uma grande confiança sobre a correcta implementação do critério de Mário Vicente da Silva.

63

Capítulo 5

5 Aplicações Numéricas

De forma a ilustrar a execução e versatilidade dos critérios propostos, efectuou‐se uma procura bibliográfica de forma a encontrar um conjunto de exemplos susceptíveis de serem analisados neste capítulo. Depois de se ter seleccionado um conjunto alargado de exemplos, procedeu‐se à sua triagem, excluindo‐se muitos deles devido às seguintes razões:

• Falta de dados geométricos;

• Introdução de particularidades (falhas, etc.) na alvenaria;

• Propriedade(s) desapropriada(s) para os cálculos referentes aos tijolos;

• Falta de alguma(s) propriedade(s) dos tijolos;

• Propriedade(s) desapropriada(s) para os cálculos referentes às juntas;

• Falta de alguma(s) propriedade(s) das juntas;

• Semelhança de carregamento com outro(s) exemplo(s);

ficando assim os três exemplos (correspondendo dois, a casos de critérios sem truncatura e um, a um caso de critérios com truncatura) presentes no subcapítulo 5.2, atendendo a que apresentavam a totalidade dos dados necessários para a resolução do problema ou, alternativamente, caso em que não seja fornecida a totalidade dos dados necessários para a resolução do problema, é possível obter os parâmetros em falta através dos restantes dados. Nesse subcapítulo procede‐se à análise destes exemplos através da comparação dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d com as soluções disponíveis na literatura (testes experimentais e outras análises).

Para facilitar a obtenção do ficheiro de dados destes exemplos, criaram‐se programas para acelerar o processo de análise destes exemplos. A principal característica destes programas é a capacidade de gerar a malha para qualquer dimensão da alvenaria/tijolo.

5.1 Programas

5.1.1 Bases SUBLIM3d Neste tópico apresentam‐se algumas bases sobre o SUBLIM3d que são relevante no presente

trabalho:

• Os elementos de junta são definidos considerando negativa a sua numeração;

• Os elementos de corpo rígido são definidos considerando negativo o número do material que os constituem.

64

5.1.2 DeO progr

no capítuloetapas:

I. DefII. LeitIII. CriaIV. Cria

FIGURA 5.

V. Cria

Depois, o au

• A p

• A p

• A p

• A ca

• A pcom

• A pmal

• A ca

Alterou‐se t5.2. Como sno program

• As p

• As p

• As p

• Os v

esenvolvimrama apreseo 5.2. Este p

finição das vatura e associação dos nósação dos elem

.1 – Tipo de ele

a. Os tijolob. As juntac. O Lintel

ação e impre

utor da prese

ossibilidade

ossibilidade

ossibilidade

apacidade de

possibilidademponente co

ossibilidade lha);

apacidade de

também o fise concluiu dma:

propriedade

propriedade

propriedade

valores num

mento dontado nesteprograma já

ariáveis; ação da infos; mentos (ver

ementos que de

os; as; l (caso existaessão do fich

ente disserta

de existênci

de existênci

de existênci

e carregar as

e dos carregonstante e ou

de se observ

e inserir auto

cheiro de leida observaçã

s dos tijolos;

s das juntas;

s do lintel (c

éricos das ca

Jun

programe tópico correá existia ant

rmação forn

Figura 5.1) p

efinem os tijolo

a); eiro de dado

ação reviu o

a de lintel su

a de apoios

a de diferen

s faces da alv

gamentos autra variável

var a numer

omaticamen

itura de dadoão desta figu

;

;

aso exista);

argas aplicad

nta

CARGAS D

ma geradoesponde ao teriormente,

necida pelo fi

para:

os, as juntas e o

os.

programa e

uperior numa

nos extremo

tes tipos de

venaria com

plicados na ;

ração dos ele

te o nome d

os, ficando cura é necessá

das nas faces

DE COLAPSO

r da malhusado na an apresentan

icheiro de le

o lintel do mod

acrescentou

a largura dife

os;

apoios;

diferentes t

alvenaria s

ementos de j

do ficheiro de

com o aspectário introduz

s da alvenaria

L

O DE SISTEMA

ha nálise dos exndo a seguin

itura às variá

delo de uma pa

u várias func

erente da lar

ipos de carre

serem const

junta (atravé

e dados.

to final aprezir manualme

a;

Lintel

AS DE ALVEN

xemplos presnte sequênc

áveis;

arede de alvena

ionalidades:

rgura da par

egamento;

tituídos por

és da distorç

sentado na Fente alguns

Tijo

NARIA

sentes cia de

aria

ede;

r uma

ção da

Figura dados

olo

Capítulo 5. Aplicações Numéricas

65

• Os valores dos parâmetros opcionais (tolerância, número máximo de iterações e alterações ao parâmetro de penalidade inicial).

FIGURA 5.2 – Ficheiro de leitura do programa gerador de malhas

Por último, procedeu‐se à validação do programa para as várias funcionalidades que o constituem, concluindo após este processo de que o programa foi correctamente implementado.

Durante o processo de desenvolvimento deste programa, tomou‐se consciência de algumas limitações:

• Incapacidade de aumentar o grau de refinamento da alvenaria;

• Incapacidade de considerar diferentes tipos de malha;

• Impossibilidade de considerar diferentes larguras para o primeiro bloco da primeira e da segunda fiada;

onde a sua introdução provocaria a reformulação quase completa da programação deste programa, levando a que o trabalho que se teria seria semelhante ao da criação de um novo.

66

5.1.3 CriEmbora

dos elemenprograma fodesenvolvimetapas, ver

De segu

• Eta

Etapa III:

•Definiçã•Def

iação do fa este métodntos de juntoi criado pelmento. QuanFigura 5.3.

FIGURA 5.3 –

uida apresen

pa I: o Ponto

encontr

E

•

Conversão do SUBLIM3

•Abertura do ficão, se for caso disinição dos critéri

•Definição da•Impressão do

ficheiro ddo não tenhata, é capaz lo Professor ndo o progra

– Etapas que de

tam‐se algun

2: As variáram‐se na Fig

FIGURA 5.4 –

Etapa I: Cr

•

••Impressão de t

Etapa II: Criação

•Cri•Re‐impressão de

formato Ansys3d (Convert ‐n)

heiro de dados asso, de elementosos de cedência das cargas distribuficheiro de dado

de comanda sido usado de ultrapasDoutor Márma se encon

efinem o ficheir

ns esclarecim

áveis iniciaisgura 5.4.

– Dados necess

riação da malh(Script_

•Criação do ficDefinição do valo•Criação do lim

•Refinam•Aplicação das

•Aplicação das catoda a informaçã

o da malha das

•Abertura do fiação dos elemene toda a informaç

s para o format)

nterior;s de corpo rígidoos materiais;ídas;s final.

CARGAS D

dos possibno presentessar as limitio Vicente dntrar concluí

ro de comando

mentos sobre

s que preci

sários pela 1º e

ha dos tijolos no_masonry_2d)

heiro de dados ior numérico das vmite exterior dos tmento dos tijolos;restrições à alveargas nodais à alvão relevante no fi

s juntas no form

cheiro de dados ntos de junta entrção relevante no

to

;

DE COLAPSO

bilitando e trabalho, dtações refera Silva, mas ído irá apres

os que permite

e estas etapa

sam de ser

etapa do proces

o formato Ansy

nicial;variáveis;tijolos;;enaria;venaria;cheiro de dados

mato Ansys (Di

inicial;re os tijolos;ficheiro de dado

Etapa IV

•Ordena•Correr o ficheir

O DE SISTEMA

a geraçãodevido ao insidas no ponainda se encentar a segu

a geração de m

as (ver Figur

r introduzid

sso de criação

ys

inicial.

smesh)

os inicial.

V: Conclusão do(Prep_calc3d

ção do ficheiro dro de dados obtid

AS DE ALVEN

o de malhsucesso na crnto anteriorcontra em fauinte sequên

malhas

a 5.3):

das manualm

de malhas

o programa d)

e dados final;do no ponto ante

NARIA

has riação . Este ase de cia de

mente

rior.


67

o Ponto 3: Depois da criação do limite exterior dos tijolos, define‐se que os tijolos da fiada ímpar são constituídos pelos materiais 1 e 2 de forma alternada e os tijolos da fiada par são constituídos pelos materiais 3 e 4 de forma alternada. Esta disposição é fulcral para a etapa II, porque permite saber onde se deve colocar os elementos de junta (tanto na horizontal como na vertical);

o Ponto 6: Neste ponto associam‐se os nós onde são aplicadas as cargas ao respectivo grupo de carregamento. Para permitir que a alvenaria possa ser carregada com qualquer tipo de carregamento, definiram‐se sete grupos de carregamento: dois carregamentos na face esquerda (normal e tangencial), dois carregamentos no topo (normal e tangencial), dois carregamentos na face direita (normal e tangencial) e um carregamento na base (tangencial);

• Etapa II: Esta etapa corresponde à etapa que se encontra ainda em fase de desenvolvimento;

• Etapa III: o Ponto 2: Neste ponto tem que se definir manualmente se existem elementos de

corpo rígido; o Ponto 3: Aqui define‐se manualmente o critério de cedência dos tijolos (quatro

materiais) e das juntas; o Ponto 4: Neste tópico procede‐se à conversão das cargas nodais em cargas

distribuídas e define‐se manualmente o valor numérico de cada grupo de carregamento;

o Ponto 5: Este ponto engloba a introdução manual dos valores dos parâmetros opcionais (tolerância, número máximo de iterações e alterações ao parâmetro de penalidade inicial).

O autor da presente dissertação tratou da revisão deste programa e da correcção de falhas detectadas.

Como nota final deste método, refere‐se que este se encontra numa fase inicial de desenvolvimento, não tendo merecido uma atenção maior atendendo a que os exemplos apresentados no capítulo 5.2 são gerados facilmente pelo primeiro programa.

5.2 Exemplos O processo de validação da aplicabilidade dos critérios usados propriamente dito inicia‐se neste

subcapítulo, com a análise de dois exemplos de aplicação de critérios sem truncatura e um exemplo de aplicação de critérios com truncatura.

5.2.1 Exemplos de aplicação de critérios sem truncatura As cargas de colapso destes exemplos não são afectadas pelas truncaturas dos critérios

propostos, pelo que se considerou exclusivamente o critério de Mohr‐Coulomb (capítulo 3.2.2.1). Este critério, como foi dito anteriormente, já se encontrava implementado na formulação do SUBLIM3d, servindo o processo de análise, neste caso, para validar a aplicabilidade deste critério à determinação de cargas de colapso de sistemas de alvenaria.

68

5.2.1.1 ExEste pri

uma alvenaanalisar a alvenaria, palvenarias sparedes.

5.2.1.1.1 Para a d

[12], em rel

• Pro

A estrum=0.87

• Pro

As juntatrito d

ta

• Tipo

Estas pestrutu

xemplo 1imeiro exemaria simples aplicabilidadpretende‐se tsimples: ráci

Definidefinição delação a:

opriedades d

utura deste e75) encastra

opriedades d

tas exibem dado por:

an 0.6

o de Carrega

paredes foraura (θ) até oc

1 mplo foi retirasujeita à inde deste crtambém inveo entre a lar

ição ste exemplo

a alvenaria:

exemplo corda na base e

FIGUR

os materiais

propriedade

amento:

am sujeitas correr o seu

ado do trabaclinação do itério na deestigar a inflrgura e a alt

o apresentam

rresponde a em toda a su

RA 5.5 – Estrutu

s:

es de resistê

ao aumentcolapso, ver

CARGAS D

alho de P. Deplano de sueterminaçãouência dos sura dos tijol

m‐se de segu

uma alvenaa largura, ve

ura da alvenaria

ência puram

o do ângulor Figura 5.6.

DE COLAPSO

eBuhan e G.uporte. Nesto de cargas eguintes aspos e o rácio

uida os dado

ria de tijoloser Figura 5.5.

a do exemplo 1

ente atrítica

o de inclina

O DE SISTEMA

DeFelice [1te exemplo,de colapso

pectos no coentre a larg

os fornecidos

s rectangula.

1 [12]

as 0 se

ção do plan

AS DE ALVEN

2]. Correspo para além o de sistemmportamentgura e a altur

s pelos autor

res (m=0.43

endo o ângu

no de supor

NARIA

onde a de se as de to das ra das

res de

75 ou

ulo de

(5.1)

rte da


69

FIGURA 5.6 – Tipo de carregamento do exemplo 1 (adaptado de [12])

5.2.1.1.2 Resultados experimentais/Propostas Os resultados experimentais existentes foram obtidos em testes realizados no Departamento de

Ingegneria Strutturale e Geotecnica da Universidade de Roma. O ensaio a que foram sujeitas as paredes é equivalente a inclinar a gravidade por um ângulo θ até ocorrer o colapso da alvenaria, isto é, semelhante a considerar as paredes sujeitas tanto ao peso específico dos blocos (γ), que é vertical e constante, como a uma componente horizontal das forças de massa (λγ) que é aumentada gradualmente até ocorrer o colapso da alvenaria (onde λ ≥ 0 é um parâmetro de carregamento não dimensional). Portanto pode‐se representar o domínio de estabilidade da estrutura no seguinte plano de carregamento 0, 0 que se encontra simplesmente limitado por uma semi‐linha de equação , onde corresponde ao último valor de λ, ver Figura 5.7.

FIGURA 5.7 – Domínio de estabilidade do exemplo 1 no plano de carregamento (γ1,γ2) [12]

Na Figura 5.7 representa‐se a trajectória de carregamento do ensaio experimental que segue um esquema circular de carregamento (caminho número 2) definido por:

γ γ cos θ, γ γ sin θ (5.2)

θ

70

O valor exppor:

tan

onde rvalores exppara o caso

Apresenconsidera aum materiacinemático cedência de

Considenula, provomecanismose um movi(ver Figura

relação ao p

Tendo (esta estimapresentam

λ λ

perimental d

representa operimentais de m=0.437

nta‐se agora modelação al perfeitamdo método e Mohr‐Coulo

erando os blocando queo homogeneiimento virtu5.8) e num

ponto O

em atençãoativa, encon

m o sinal nega

do parâmetr

t

o ângulo de obtidos atra75 e na Figur

a resumidammacro para

mente plásticda análise lomb.

ocos como u a deformazado de rotual de corpo a segunda f

0 .

FIGURA 5.8 –

o este mecanntra‐se corrigativo no exp

ro de carreg

tan

inclinação liavés da conva 5.13 para o

mente a ferra modelaçãoco e os tijollimite para a

um materialação nessa ura de corporígido à partfase corresp

– Proposta apre

nismo de rugida em relaoente do pri

se ρ

se ρ

CARGAS D

amento não

imite em quversão (5.3)o caso de m=

ramenta de o da alvenaros como uma resolução

rígido, a vedirecção ta

o rígido, ondte da estrutuponde a orig

esenta no artig

uptura obtémação à apresimeiro ramo

DE COLAPSO

o dimensiona

e o colapso encontram=0.875.

cálculo apria, optando pm material rdo problem

elocidade na ambém sejae, numa primura localizadaginar‐se uma

o (adaptado de

m‐se a estimsentada em do sistema

O DE SISTEMA

al no colaps

da parede f‐se impresso

resentada nopor considerrígido. Basea e conside

direcção pe nula. Assimmeira fase coa acima da lia rotação de

e [12])

mativa obtid[12], porqude equações

AS DE ALVEN

so é o

foi observados na Figura

o artigo [12rar as juntas ia‐se no teora a superfíc

erpendicular m propõe‐sorresponde nha inclinade corpo rígid

da nesta proue os autores):

NARIA

obtido

(5.3)

do. Os a 5.12

2] que como orema cie de

(y3) é e um a dar‐da OO’ do em

oposta es não

(5.4)


71

onde,

(5.5)

2 (5.6)

levando à determinação de um valor da região superior , que é obtido através do caminho número 1 da Figura 5.7. Conclui‐se da observação da equação (5.4) que o valor extremo do parâmetro de carregamento, λ+, é uma função que não depende do peso específico dos tijolos. A representação gráfica da equação (5.4), para os casos de m=0.4375 e m=0.875 encontra‐se na Figura 5.12 e na Figura 5.13, respectivamente.

5.2.1.1.3 Simplificações/Considerações O primeiro objectivo deste exemplo era a possibilidade de comparar os resultados experimentais

apresentados por P. DeBuhan e G. DeFelice [12] com os resultados obtidos pelo SUBLIM3d, mas tal não foi possível porque a informação apresentada nesse artigo é muito incompleta em relação a vários aspectos que afectam a criação do ficheiro de dados. Em última circunstância, para resolver esta falta de dados, tentou‐se contactar via correio electrónico o professor P. DeBuhan, mas não se obteve qualquer resposta. Assim como forma meramente comparativa resolveu‐se apresentar os resultados experimentais nos mesmos gráficos que os resultados das propostas.

O segundo objectivo deste exemplo era a possibilidade de comparar os resultados obtidos pela proposta apresentada por P. DeBuhan e G. DeFelice [12] com os resultados obtidos pelo SUBLIM3d. Este objectivo já foi possível, mas para ser alcançado correctamente teve‐se que executar um conjunto de hipóteses:

• Em relação às propriedades da alvenaria: o Considerou‐se que os tijolos apresentam uma largura irreal de 1.6 mm, porque é o

primeiro valor com uma casa decimal que origina que a altura dos tijolos tenha no máximo duas casas decimais para os dois casos de m;

o A altura dos tijolos é obtida resolvendo a equação (5.6) em relação a a,

(5.7)

o Considerou‐se que a alvenaria é constituída por 512 fiadas; o O número de tijolos que constituem cada fiada é obtido considerando que,

º (5.8)

º (5.9)

substituindo agora estas equações na equação (5.5) obtém‐se,

º º

(5.10)

tendo agora em consideração a equação (5.6), basta resolver a equação (5.10) em relação ao número de tijolos por fiada,

72

• Em

• Em

• Em

• Em

O procforma extraponúmerdesse iatravés

º

conclude exialvenaa varia

º

Como ocom a pm, consdepois resultadnúmerode ρ pel

o Considehipótes

relação às po Embora

enunciacoesão ocorra s

relação ao to Conside

‐se queconstanhorizon

o Considetijolos (um valo

relação aos o Conside

o Consideporque

relação ao n

cesso de alcasimplificativolação para o de tijolos intervalo, cas da equação

º

indo‐se que stirem 7 tijria (mantendr no interval

o SUBLIM3d aproposta (qusiderar valoreuma linha qdo obtido po de tijolos pla equação (5

erou‐se os se apresenta

propriedadesa os tijolos sado no segunde 1000MPsempre nas j

tipo de carreerou‐se o me a parede nante) e na hntal das forçaerou‐se que (que correspor unitário pa

parâmetroserou‐se que a

erou‐se que este valor p

número de f

ançar resultava, apenas os restantespor fiada apalcula‐se o reo (5.11)),

o único valoolos por fiado‐se constalo de 1 a 6), v

º

apenas forneue correspones de ρ a varque passa ppela equaçãor fiada para5.10);

tijolos comda pela prop

s dos materiejam modelndo tópico da e um ângujuntas;

egamento: esmo raciocía vertical se orizontal a as de massa (o multiplica

ponde à concara o peso es

s opcionais: solução obti

a alteraçãoermite que a

fiadas que co

ados que nãopara o ponts casos dessapenas pode vespectivo nú

or inteiro obada. Em segante a relaçãver Tabela 5

CARGAS D

ece resultadonde uma funriar entre 0.0pelos diversoo (5.11) é a o número i

mo elementoposta);

iais: ados por eledo capítulo 5ulo de atrito

ínio do carreencontra suuma carga (λγ); ador de colaclusão da prospecífico (1N

ida pelo SUBL

o ao parâmea solução sej

onstituem a

o se distingato ρ=1 da Fa figura e davariar no intúmero de fia

btido correspguida, para o entre a alt.1.

DE COLAPSO

os pontuais,nção contínu05 e 3 em incos pontos ddecimal, nenteiro mais

os rígidos (

ementos rígi5.1.1, que eso de 45°, par

egamento dajeita ao pesovariável qu

pso não depoposta), optN/m3);

LIM3d é alcan

etro de penja boa e que

alvenaria:

m dos homoFigura 5.13a Figura 5.12tervalo de 1 das, através

ponde a 16 feste caso,tura e a largu

O DE SISTEMA

a única manua) foi, para crementos ddefinidos. Emesses casos,próximo e re

(que corres

idos considestes elementra que o col

a proposta, iso específico ue represent

pende do petando‐se ass

nçada pela pr

nalidade inicconvirja rap

ogeneizados e depois e2. Começa‐sea 10. Depoi

s da seguinte

fiadas que saumenta‐seura) em múlt

AS DE ALVEN

neira de com um determe 0.05, crianm alguns ca, arredondaecalcula‐se o

ponde à m

erou‐se, devitos exibiriamapso da alve

sto é, considdos blocos (ta a compo

eso específicim por cons

recisão (1x10

cial é igual pidamente;

foi executadxecutou‐se e por supor is, para cadae equação (o

e verifica noe a proporçãtiplos de 2n (c

NARIA

(5.11)

mparar minado ndo‐se asos o a‐se o o valor

mesma

do ao m uma enaria

derou‐ (que é nente

co dos iderar

0‐6);

a 0.1,

do, de a sua que o a caso obtida

(5.12)

o caso ão da com n


73

TABELA 5.1 – Multiplicador de colapso para as várias proporções da alvenaria dos cálculos efectuados

Nº tijolos por fiada Nº fiadas λc 7 16 0.5161 14 32 0.4507 28 64 0.4181 56 128 0.4050 112 256 0.3988 224 512 0.3959 448 1024 0.3946

Depois corre‐se o ficheiro de dados das 7 proporções consideradas, obtendo‐se os resultados apresentados na Tabela 5.1 e na Figura 5.9.

FIGURA 5.9 – Representação gráfica dos resultados obtidos pelo SUBLIM3d, pela proposta [12] e pelos resultados experimentais, para o caso de ρ=1 e m=0.875

Para se ter a noção da capacidade do SUBLIM3d (para o caso de ρ=1 e m=0.875), representam‐ ‐se também nesta figura (Figura 5.9) tanto os resultados obtidos pela proposta [12] como os resultados experimentais. Pela observação da Figura 5.9 conclui‐se que os resultados que não se distinguem dos homogeneizados se atingem para um número de fiadas maior ou igual a 128. Para achar o número de fiadas óptimo (que se supõe neste caso que se atinge quando o erro é inferior ou igual a 2%) representou‐se os resultados na Figura 5.10,

0,35

0,37

0,39

0,41

0,43

0,45

0,47

0,49

0,51

0,53

0 200 400 600 800 1000

λc

Nº Fiadas

SUBLIM3d

Homogenização [12]

Experimental (1)

Experimental (2)

74

de formtende

tende determ

%

para ca

TABELA

Concluverificaalvena

• Núm

Com recapacidneste esurge aresulta

0,

0,

0,

0,

λc

FIGU

ma a que se o multiplica

para infinitmina‐se o err

%

ada uma das

5.2 – Erro obti

ui‐se então pa‐se nas 512ria).

mero de pro

ecurso a umdades compuexemplo reca seguinte qados mais ra

,38

,43

,48

,53

‐1,39E‐17 0,

URA 5.10 – Rep

possa deterador de cola

to), que corro respectivo

100%

s proporções

do ao consider

Nº fiadas 16 32 64 128 256 512 1024

pela observaç2 fiadas (com

ocessadores

m sistema deutacionais, écorreu‐se aoquestão: Quaapidamente)

,01 0,02

presentação grá

rminar, atravapso na hom

rresponde ao,

considerada

rar cada multip

ção da tabemo se tinha

utilizados no

e processamé possível teso Geoclusteral o número para os vá

y = 1

0,03 0Nº Fiada

CARGAS D

áfica da tendên

vés de uma rmogeneizaçã

ao valor de

as, ver Tabel

plicador de cola

la anterior (Tinserido na

os cálculos:

mento em pastar alvenarir para se ex de processarios cálculos

,9828x + 0,39R² = 0,9978

0,04 0,05s‐1

DE COLAPSO

ncia do multipl

regressão lino extrema (

0.3905. Te

a 5.2.

apso

Tabela 5.2), hipótese em

aralelo (Geocas de grandexecutar os cáadores mais s deste exem

905

0,06 0

O DE SISTEMA

icador de colap

near simples,(quando o n

endo este v

Erro (%) 32.2 15.4 7.1 3.7 2.1 1.4 1.1

que o valor m relação às

cluster), quees dimensõeálculos. Depeficiente (qmplo? A res

0,07

S

R

AS DE ALVEN

pso

, o valor parnúmero de

alor limite,

que se prets propriedad

e possui razoes, por isso apois desta deque permite sposta reque

SUBLIM3d

Regressão line

NARIA

ra que fiadas

,

(5.13)

tendia des da

oáveis penas ecisão obter er um

ear


75

procedimento muito simples, que corresponde a calcular a alvenaria, que apresenta 224 tijolos por cada uma das 512 fiadas com ρ=1 e m=0.875, para os diferentes números de processadores disponíveis (3, 5, 9, 17 e 33) limitando o cálculo às 150000 iterações (nunca atingindo a precisão de 1x10‐7). Chega‐se à conclusão que neste caso o número de processadores mais eficiente corresponde a 17, porque se atinge o multiplicador de colapso no menor espaço de tempo (ver Figura 5.11).

FIGURA 5.11 – Determinação do número de processadores mais eficiente para o exemplo 1

5.2.1.1.4 Resultados SUBLIM3d Os resultados obtidos pelo SUBLIM3d (tendo em consideração o capítulo 5.2.1.1.3) para o caso

de m=0.4375 e m=0.875 apresentam‐se de forma gráfica na Figura 5.12 e Figura 5.13, respectivamente.

FIGURA 5.12 – Comparação dos multiplicadores de cedência obtidos pelo SUBLIM3d com os obtidos por [12] e pelos ensaios experimentais, para o caso de m=0.4375

0dia(s) 00h:00m:00s

0dia(s) 12h:00m:00s

1dia(s) 00h:00m:00s

1dia(s) 12h:00m:00s

2dia(s) 00h:00m:00s

2dia(s) 12h:00m:00s

3dia(s) 00h:00m:00s

1 3 5 9 17 33

Duração

Número de processadores

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λ

ρ

m=0.4375

Experimentais Homogenização [12] Sublim3D

76

FIGURA 5.1

Os resuconvergêncconvergênc(ρ=2.95), po50 minutos

De SUBLIM3d apresentar número de

TABELA 5.3 –P

m

0.4375

0.875

Depois apre

TABELA 5.4 – e 2.8 do exem

13 – Comparaçã

ultados exprcia quase semcia varia entor outro ladoe 23 segund

seguida, cpara o casna Tabela 5.elementos a

Principais carac

ρ Tip

0.25 2.8 0.25 2.8

esenta‐se na

Multiplicadoremplo 1

m

0.4375

0.875

0,25

0,35

0,45

0,55

0

λ

ão dos multipliensai

ressos nestampre decresre 5 horas 2o, para o casdos (ρ=0.05)

omo formao de m=0.4.3, as principassociado à m

cterísticas da m

po de eleme

Linear Linear Linear Linear

Tabela 5.4 o

es de cedência

0 0,5

Experimen

icadores de cedos experiment

s figuras (Fiscente com 22 minutos so de m=0.87a 22 minuto

a exemplific4375 e m=0pais caractermalha, bem c

malha do exemp

ntos

os multiplica

obtidos pelo S

1

ntais H

CARGAS D

dência obtidos ais, para o caso

igura 5.12 eo aumento e 56 segund75 o tempo s e 13 segun

cativa, apre0.875 nos písticas da macomo o núm

plo 1 para os ca

Número de

320828606418572

dores de ced

SUBLIM3d para

ρ 0.25 2.8 0.25 2.8

1,5ρ

Homogenizaç

DE COLAPSO

pelo SUBLIM3do de m=0.875

e Figura 5.13de ρ. No cados (ρ=0.05)de convergêndos (ρ=3).

sentam‐se pontos ρ=0.alha utilizad

mero de graus

asos de m=0.43

elementos

8960 048 8432 608

dência obtid

a os casos de m

2

m=0.8

ão [12]

O DE SISTEMA

d com os obtid

3) apresentaaso de m=0.4) a 6 minutoência varia e

os resultad.25 e ρ=2.8a, designadas de liberdad

375 e 0.875 nos

Globa13777124412754024729

os pelo SUBL

m=0.4375 e 0.87

0.40.20.30.2

2,5 3

875

Sublim3D

AS DE ALVEN

dos por [12] e p

am um temp4375 o temos e 57 seguntre 1 dia 0

dos obtidos 8. Começa‐seamente, o tipde globais e l

s pontos ρ=0.2

DOF ais Loc

792 6417

16 572

048 1283

96 1145

LIM3d.

75 nos pontos

λc 48270 29258 39655 27251

NARIA

pelos

po de po de undos horas

pelo e por po e o locais.

5 e 2.8

cais 7920 096 6864 5216

ρ=0.25


77

Por fim, representa‐se a distribuição da dissipação plástica nos elementos e a configuração do mecanismo de colapso (Figura 5.14 para o caso de m=0.4375 e Figura 5.15 para o caso de m=0.875).

m=0.4375, ρ=0.25

m=0.4375, ρ=2.8

0 máx.

FIGURA 5.14 – Dissipação plástica e malha deformada obtidas pelo SUBLIM3d, para o caso de m=0.4375 nos pontos ρ=0.25 e 2.8 do exemplo 1

78

FIGURA 5.15 –

5.2.1.1.5 Começa

5.13, bem c

• Tané umse tmac

• Qua

– Dissipação pl

Discusando pela obcomo dos res

nto os resultama função dtorna cada vecroscópicos

anto menor o Maior a

mais pla

ástica e malha

ssão dos rbservação, tasultados apre

ados experimecrescente cez mais fácilde deslizame

o valor da “ea interligaçãoano, o que p

m=0

m=00

deformada obe 2.8 d

resultadoanto do desesentados na

mentais comocom a esbelt de derrubarento para ro

esbelteza” doo entre os tijprovoca o aum

CARGAS D

0.875, ρ=0.25

0.875, ρ=2.8 má

btidas pelo SUBdo exemplo 1

os envolvimenta Figura 5.14

o os teóricosteza (caracter a parede dotação em to

o tijolo (m):jolos, logo a mento da ca

DE COLAPSO

áx.

BLIM3d, para o

to dos gráfic4 e na Figura

s mostram qerizada pelo fevido ao tiporno de um p

fenda de rotrga de colap

O DE SISTEMA

caso de m=0.8

cos da Figura 5.15, conclu

ue a estabilifactor adimeo de rotura mponto;

tura forma‐spso da estrut

AS DE ALVEN

75 nos pontos

a 5.12 e da Fui‐se que:

dade da estrensional ρ) pmudar em te

se para um âtura;

NARIA

ρ=0.25

Figura

rutura orque ermos

ângulo


79

o Mais sensível será a estrutura à esbelteza global, ρ, (menor será o patamar e maior será o declive do decréscimo da carga de colapso), porque como a estrutura é mais resistente, qualquer alteração da sua forma influenciará significativamente a carga de colapso.

Em seguida comparam‐se os resultados obtidos pelas estimativas teóricas (com maior ênfase para os obtidos pelo SUBLIM3d) com os ensaios experimentais (Figura 5.12 e Figura 5.13):

• Para todos os valores de esbelteza global da Figura 5.12 e apenas para alguns valores de esbelteza global reduzida (ρ ≤ 0.5) da Figura 5.13, observa‐se que os valores teóricos obtidos pelo SUBLIM3d são inferiores aos valores experimentais, esta diferença pode ser justificada pelo "efeito da escala", isto é, quanto menor o modelo ensaiado, menor será o número de juntas por tijolo (menos fragmentado se encontrará a alvenaria), logo maior poderá ser a carga de colapso. Mas este efeito é também consideravelmente acentuado pela consideração dos tijolos como elementos rígidos (como se verifica neste exemplo), logo considerando que os tijolos exibam parâmetros finitos de resistência é esperado que não apresente a mesma relevância [12];

• Em alguns casos, torna‐se questionável a comparação dos resultados teóricos, com os experimentais, devido a que alguns ensaios experimentais foram realizados com um número reduzido de fiadas [12];

• Para o caso de m=0.875, observa‐se que os valores teóricos obtidos pelo SUBLIM3d apresentam uma maior semelhança ao resultados experimentais que os obtidos por [12];

• Do ponto de vista da análise limite, conclui‐se de uma maneira geral que para os dois gráficos os resultados obtidos pelo SUBLIM3d aproximam‐se mais do verdadeiro percurso do multiplicador de colapso de uma alvenaria homogeneizada do que os resultados obtidos por [12], mas continua na mesma a fornecer valores contra a segurança da alvenaria. Este melhoramento conduz às seguintes implicações na solução teórica obtida pelo SUBLIM3d:

o Diminuição do patamar inicial; o Transição mais suave entre o patamar inicial e a zona posterior; o Redução do declive, na fase decrescente; o Diminuição da estabilidade da estrutura.

Apresentam‐se agora os valores principais sobre o melhoramento da solução:

o Para o caso de m=0.4375, o melhoramento da solução apresenta como valor máximo 19.5% (ρ=0.90);

o Para o caso de m=0.875 o melhoramento da solução apresenta como valor máximo 5.2% (ρ=1.35).

De seguida, para se confirmar o erro máximo óptimo adoptado (2%), recalculou‐se para cada caso de m, cinco alvenarias (ρ=0.60, ρ=1.20, ρ=1.81, ρ=2.41, ρ=3.00) com o dobro da proporção, utilizando o mesmo raciocínio que o apresentado no processo de alcançar a homogeneização de resultados (referente ao tópico que trata da determinação do número de fiadas que constituem a alvenaria). Conclui‐se que o erro máximo óptimo deste exemplo, para o caso de m=0.4375 é de 5.4% (ρ=1.81) e para o caso de m=0.875 é de 2.2% (ρ=1.81), não se obtendo erros da mesma ordem de grandeza para qual a geometria da alvenaria foi definida.

80

Por últirígidos:

• As j

• Os conconimpSUB

5.2.1.2 ExEste ex

sujeitando‐horizontal q

5.2.1.2.1 Para a d

pelos artigo

• Pro

A estruem cad‐se o dparedeparedeTabelaelemenos blocbase cox 20 x aplicar

mo, apresen

untas neste

tijolos aprensiderados anseguidos coplica que o aBLIM3d.

xemplo 2xemplo foi ras a difereque é aumen

Definidefinição daos [27], [28] e

opriedades d

utura deste eda uma das 1deslocamente, mas tambée modelo (d 5.5): na printos; na segcos mas coloom a primeir20 cm). Utilir a força vert

ntam‐se algu

exemplo de

esentam apapresentam om apenas oumento do

2 etirado do tentes níveis ntado monot

ição parede de ce [29], em re

a alvenaria (

exemplo cor10 fiadas, coto horizontaém devido a definida peloimeira modaunda modalocaram‐se dra fiada e ouizou‐se esta ical de forma

mas implicaç

sempenham

enas deslocdeslocamenos elementorefinamento

trabalho dede carrega

tonicamente

corte apreseelação a:

(ver Figura 5

responde a orrespondendal na base num calço coo tipo de calidade (.1) idade (.2) nãduas camadautra na ligaçãviga para apa distribuída

CARGAS D

ções devido

m o papel dec

camentos cotos de 1ª oos considerao nas juntas

D. Oliveira amento ver.

entam‐se de

5.16):

uma alvenardo dimensioão só atravéolocado no pcarregamentnão se colocão se colocoas de argamão da últimaplicar a forçaa por toda a l

DE COLAPSO

a se conside

cisivo no cola

onstantes, lordem (consados no prenão iria mel

[27] que tertical consta

seguida os d

ria definida ponalmente a és do encasprimeiro tijolto), definiramcou qualqueu qualquer m

massa de nive fiada com aa vertical malargura da pa

O DE SISTEMA

erar os tijolos

apso da alve

ogo os elestantes ou lesente trabahorar o resu

estou sete aante com u

dados impor

por 5 blocos 100 x 100 x stramento do da primeirm‐se duas er material dmaterial de elamento, ua viga de betãis eficientemarede.

AS DE ALVEN

s como elem

naria;

mentos de lineares) qulho (dois), oultado obtido

alvenarias sium carregam

rtantes forne

(20 x 10 x 220 cm. Reste toda a bara fiada. Paramodalidadesde interligaçinterligação ma na ligação reforçadomente, isto é

NARIA

mentos

junta e são o que o pelo

mples mento

ecidos

20 cm) ringe‐ ase da a cada s (ver ão de entre ão da o (160 é, para


81

FIGURA 5.16 – Geometria da alvenaria de pedra e esquema de carregamento (adaptado de [27])

• Propriedades dos materiais:

Neste caso a parede de alvenaria é constituída pelos seguintes elementos: Blocos de pedra, Viga de Betão Reforçado, interfaces bloco/bloco e argamassa de nivelamento. Destes elementos são fornecidas as seguintes propriedades: Os blocos apresentam uma resistência à compressão média de 57.1 MPa e uma resistência à tracção média de 3.72 MPa, por outro lado, os interfaces bloco/bloco exibem propriedades de resistência puramente atríticas 0 sendo o ângulo de atrito dado por:

tan 0.62 (5.14)

e por último a argamassa de nivelamento apresenta uma resistência à compressão elevada, cerca de 50 MPa.

• Tipo de carregamento (ver Figura 5.16):

Cada uma das 4 paredes modelo, designadas por SW30, SW100, SW200 e SW250, é sujeita a um carregamento vertical constante (com auxílio de uma viga de aço colocada sobre a viga de betão reforçado o que conduz a uma carga adicional de 1.0 KN), indicado na Tabela 5.5, seguido da aplicação de um carregamento horizontal crescente até à ocorrência do colapso da parede de alvenaria.

TABELA 5.5 – Carregamento vertical aplicado a cada parede modelo do exemplo 2

Parede modelo Modalidade Carregamento vertical (KN) Tensão normal (MPa)

SW30 SW30.1

30 0.15 SW30.2

SW100 SW100.1

100 0.50 SW100.2

SW200 SW200.1

200 1.00 SW200.2

SW250 SW250.1 250 1.25

82

5.2.1.2.2 Os resu

Engenharia modelos de

na Figura 5deslocamenaplicadas à

Apresentamexemplo, oFigura 5.23

Resultultados expeCivil da Un

e parede é ap

.23 à Figura nto horizontestrutura.

m‐se agora nde as repraté à Figura

tados exprimentais exiversidade dpresentado n

FIGURA 5

5.26 apresetal da viga

resumidameesentações 5.26 e os re

perimentaxistentes forado Minho. Ona Figura 5.1

.17 – Mecanism

entam‐se as e na Tabela

ente as várgráficas das spectivos va

CARGAS D

ais/Propoam obtidos O mecanismo17,

mos de rotura e

curvas expea 5.6 aprese

rias propostforças horiz

alores numér

DE COLAPSO

ostas de testes reo de rotura

experimental [2

rimentais deentam‐se as

tas existentzontais de cricos são apr

O DE SISTEMA

alizados no experiment

27]

e carregamens forças hor

tes na literacedência sãoesentados n

AS DE ALVEN

Departamenal para os q

nto em funçrizontais má

atura sobreo apresentada Tabela 5.6

NARIA

nto de quatro

ção do ximas

e este das na .


83

• Análise limite [17]:

Esta ferramenta de cálculo considera a modelação micro simplificada na modelação da alvenaria, optando por considerar os materiais como perfeitamente plásticos e obedecendo às regras de escoamento não associado (dado para um ângulo de dilatação nulo). Baseia‐se no teorema cinemático do método da análise limite para a resolução do problema e considera uma superfície de cedência composta tanto pelo critério de mecanismo de esmagamento como pelo critério de Mohr‐Coulomb. Esta análise considera duas hipóteses, uma que corresponde a limitar as tensões de compressão nos interfaces bloco/bloco e uma segunda que impõe que a alvenaria não tem qualquer resistência à tracção. Nesta proposta definem‐se dois tipos de análises:

o Análise limite 1 ‐ considera que todos os tijolos são modelados como elementos rígidos;

o Análise limite 2 ‐ considera que todos os tijolos são modelados como elementos rígidos, excepto o tijolo mais à esquerda da 3 fiada (contando o número de fiadas a partir da base). Este tipo de análise foi criado devido à observação dos modos de rotura experimentais da parede SW200, ver Figura 5.17, que levou à consideração da fendilhação no bloco especificado.

Como complemento desta proposta apresentam‐se na Figura 5.18 os modos de rotura obtidos para a parede SW200.

a) b)

FIGURA 5.18 – Modos de rotura obtidos para parede SW200 pela: a) Análise limite 1 b) Análise limite 2 [17]

• Análise MEF ([30] e [31]):

Esta ferramenta de cálculo considera a modelação micro simplificada na modelação da alvenaria, optando por considerar os tijolos como um material rígido e as juntas como um material plástico. Baseia‐se no teorema cinemático do método da análise limite para a resolução do problema e considera a superfície de cedência proposta por P. B. Lourenço e J. G. Rots (modelo de interface composto) [32], ver Figura 2.21. Pela observação experimental da Figura 5.17, considerou‐se impossível a fendilhação dos blocos para as paredes SW30 e SW100, por outro lado para as paredes SW200 e SW250 considerou‐se potenciais falhas no meio dos blocos.

A representação gráfica das forças horizontais de cedência desta proposta é obtida através da convergência assimptótica da solução. Como complemento desta proposta apresenta‐se na Figura 5.19 o modo de rotura obtido para a parede SW30.

84

• Env

Esta feacordocorpo deslizaestáticuma re

que co

• Mé

FIGUR

Esta prconsistparcialdas escompre

FIGU

velope Bi‐line

erramenta deo com o critérígido, por omento, fendos simples (degressão line

2.06 0.5

11.84 0.3

rresponde à

todo simplif

RA 5.20 – Mode

roposta corrtindo num cmente em pscoras é limessão vertic

RA 5.19 – Mod

ear [30]:

e cálculo conério de Manoutro lado, ndilhação e esdevido ao caear, obtendo

2

estimativa d

ficado de an

elo proposto pe

responde à ccontínuo de paralelo, ver mitado pelo al máxima n

do de rotura ob

nsiste num enn e Muller no segundo rsmagamentoarregamento‐se,

da carga de c

álise [30]:

elo método sim

conversão doescoras diaFigura 5.20.ângulo de

na base do

CARGAS D

btido para a par

envelope bi‐l[33]. No priramo, defineo dos blocoso vertical ser

colapso dest

mplificado de a

o exemplo nagonais distr. Neste mecaatrito do leque (dime

DE COLAPSO

rede SW30 pela

inear (equaçmeiro ramoe‐se um mods). O primeirreduzido) e

ta proposta.

nálise descreve

na cedência ribuídas paranismo o máinterface blensão m na

O DE SISTEMA

a Análise MEF

ção (5.15)) q define‐se udo de roturaro ramo é obo segundo r

endo o equilíbr

para um mercialmente cáximo declivloco/bloco, Figura 5.20

AS DE ALVEN

[31]

ue foi definium mecanisma misto (que btido por cáramo é obtid

rio na cedência

ecanismo simcomo um leqve (com a veenquanto q0) é limitada

NARIA

do de mo de inclui lculos do por

(5.15)

a [30]

mples, que e ertical) que a a pela


85

resistência média à compressão dos tijolos (fc). Pelas condições de equilíbrio obtém‐se a seguinte expressão para a estimativa da força horizontal de cedência (H):

tan 1 tan (5.16)

sendo,

(5.17)

em que V corresponde à força vertical total aplicada à alvenaria e b, h, t correspondem à largura, altura e espessura da parede, respectivamente.

• Modelo de Carol e López [34]:

Nesta proposta as paredes foram simuladas numericamente usando o modelo de análise proposto por Carol e López [35]. Esta ferramenta de cálculo baseia‐se na elasto‐plasticidade (considerando o amolecimento) e encontra‐se formulada em termos de deslocamentos relativos. A superfície de cedência usada por este modelo para os interfaces bloco/bloco foi uma superfície de cedência hiperbólica que tende assimptoticamente para a superfície de cedência de Mohr‐Coulomb (ver Figura 5.21).

FIGURA 5.21 – Superfície de cedência hiperbólica

Nesta proposta inserem‐se juntas verticais nos blocos, para permitir a ocorrência das falhas transversais nestes elementos.

5.2.1.2.3 Simplificações/Considerações O objectivo deste exemplo era a possibilidade de comparar tanto os resultados experimentais

obtidos por D. Oliveira [27] como os resultados obtidos pelas várias propostas encontradas na literatura com os resultados obtidos pelo SUBLIM3d. Este objectivo, para ser alcançado correctamente foi necessário admitir o seguinte conjunto de hipóteses:

86

• Em

• Em

relação às po Apenas

qualqueo Inserirao Conside

assumido Conside

1 x 0.1 x

relação às po Embora

devido foram parâme

I.

II.

III.

IV.

propriedades se executarer material dam‐se as dimeraram‐se oda pela maioera‐se que ax 0.2 m e qu

propriedadesa os blocos ao enunciadefinidos peetros deste c

FIGURA

Representavalores da rDefiniram‐s

1

1

Determinar

Tendo em no ponto III

s da alvenarram as paredde interligaçãensões dos ts tijolos comoria das propa viga de be foi modela

s dos materide pedra sedo no seguelo critério ritério segui

A 5.22 – Parâme

‐se graficamresistência à se as coorden

cos , sin

1 cos ,

ram‐se as coo

,

,

consideraçãoI,

CARGAS D

ia: des modelo pão de elementijolos em mmo elementpostas; betão reforçada por elem

iais: ejam modelando tópico de cedênciaram‐se as se

etros do critéri

mente os encompressãonadas do Po

sin

ordenadas d

o a condição

DE COLAPSO

para a primentos); etros; tos rígidos,

çado (lintel) mentos rígido

ados por eledo capítuloa de Mohr eguintes etap

io de cedência

nsaios que lo e à tracção nto A e B:

dos vectores

o de norma

O DE SISTEMA

ira modalida

que corresp

apresenta os;

ementos rígio 5.1.1, que – Coulomb

pas, ver Figur

de Mohr ‐ Cou

levaram à dmédia.

BA e V1:

lidade dos v

AS DE ALVEN

ade (não se c

ponde à hip

como dime

dos consideestes elem

b. Para definra 5.22:

lomb

determinação

vectores refe

NARIA

coloca

pótese

ensões

era‐se, mentos nir os

o dos

(5.18)

(5.19)

(5.20)

(5.21)

eridos


87

: 0 0 (5.22)

determina‐se o valor do ângulo α,

28.56° (5.23)

V. Sabendo que,

90° 61.44° (5.24)

determina‐se o valor do ângulo φ.

VI. Substitui‐se as equações (5.24) e (5.18) na equação (2.40) e resolve‐se em ordem à coesão, obtendo‐se,

7.27 (5.25)

o Embora o lintel seja modelado por elementos rígidos considera‐se, devido ao enunciado no segundo tópico do capítulo 5.1.1, que o lintel também foi definido pelo critério de cedência de Mohr ‐ Coulomb sendo definido por c=10 MPa e φ=65° (correspondem a parâmetros irreais, tendo‐se optado por estes valores para que a rotura nunca se dê por este elemento).

• Em relação ao tipo de carregamento: o Converteram‐se as cargas aplicadas em tensões, σ, através da seguinte equação,

(5.26)

o Considera‐se que a força horizontal aplicada na parede de alvenaria corresponde a uma tensão de corte distribuída em toda a largura do lintel;

o Considera‐se que o peso específico equivalente e distribuído da viga de betão reforçado (p.e.e.d.v.b.r.) é obtido pelo seguinte raciocínio:

I. Considera‐se que o . . 25 / (peso especifico do betão reforçado); II. Calcula‐se o peso específico equivalente do betão reforçado:

. . .. . 80 / (5.27)

onde e , correspondem respectivamente ao volume real e

considerado da viga de betão reforçado;

III. Calcula‐se o valor pretendido através da seguinte equação,

. . . . . . . . . . (5.28)

• Em relação aos parâmetros opcionais: o Considera‐se que a solução obtida pelo SUBLIM3d é alcançada pela precisão (1x10‐6);

o Considera‐se que a alteração ao parâmetro de penalidade inicial é igual a 0.01 para a parede SW30 e igual a 0.1 para a parede SW250, porque estes valores permitem que a solução seja boa e que convirja rapidamente.

88

5.2.1.2.4 Os resu

paredes SW5.24, na Fig

FIGURA

Resultultados obtiW30, SW100,ura 5.25 e n

5.23 – Compar

0

5

10

15

20

25

0

Força Horizon

tal [KN

]

ExperimenAnálise limAnálise ME

tados SUBdos pelo SU, SW200 e Sa Figura 5.26

ração dos resuldeslocam

5

Fo

ntal [27]mite 1 [17]EF ([30] e [31]

BLIM3d UBLIM3d (teSW250 apres6, respectiva

L

tados obtidos mento experime

10Deslocame

orça Ver

])

CARGAS D

endo em cosentam‐se dmente.

Legenda:

pelas estimativentais da pared

15ento Horizont

rtical =

SW 3

DE COLAPSO

nsideração e forma grá

vas teóricas comde de corte SW

20tal [mm]

30KN

Sublim3DMétodo simEnvelope B

30.2

O DE SISTEMA

o capítulo 5fica na Figur

m as curvas deW30

25

mplificado de Bi‐linear [30]

SW 30.1

AS DE ALVEN

5.2.1.2.3) para 5.23, na F

carregamento

30

análise [30]

NARIA

ara as Figura

o ‐


89

Legenda:

FIGURA 5.24 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas com as curvas de carregamento – deslocamento experimentais da parede SW100

Legenda:

FIGURA 5.25 – Comparação dos resultados obtidos pelas estimativas teóricas com as curvas de carregamento – deslocamento experimentais da parede de corte SW200

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30

Força Horizon

tal [KN

]

Deslocamento Horizontal [mm]

Força Vertical= 100KN

Experimental [27] Sublim3DAnálise limite 1 [17] Modelo de Carol e López [34]Método simplificado de análise [30] Análise MEF ([30] e [31])Envelope Bi‐linear [30]

0

15

30

45

60

75

90

105

0 5 10 15 20 25 30

Força Horizon

tal [KN

]

Deslocamento Horizontal [mm]

Força Vertical= 200KN

Experimental [27] Sublim3D

Análise limite 1 [17] Análise limite 2 [17]

Modelo de Carol e López [34] Método simplificado de análise [30]

Análise MEF ([30] e [31]) Envelope Bi‐linear [30]

SW 100.1 SW 100.2

SW 200.2

SW 200.1

90

FIGURA

Na Tabdiversas pa

TABELA 5.6 –

Paredes Ex

. 1

SW30 22

SW100 42

SW200 72

SW250 10

Nota: Os valorelação à méd

Os resuatravés do relação ao t

Observamuito rápida 19 segund

ForçaHorizon

tal[KN

]

A 5.26 – Compa

bela 5.6 apreredes.

Comparação d

xperimental [27

1 . 2 Méd

2 23 22.5

2 49 45.5

2 69 70.5

02 ‐ ‐

ores entre parêdia dos valores

ultados teóricraciocínio itipo de carre

a‐se a partirda, apresentados, que é no

0

20

40

60

80

100

120

140

0

Força Horizon

tal [KN

]

ExperimenModelo dAnálise M

ração dos resudeslocam

esentam‐se

a carga de cola

7]

SUBLIM3dia

5 16.4

(‐27.1%)

5 51.6

(13.4%)

5 101.5 (44%) 126.4 (23.9%)

ntesis represenexperimentais

cos obtidos pnverso apreegamento).

r do ficheiro ando um temotável para u

5

F

ntal [27]e Carol e LópeEF ([30] e [31

L

ultados obtidosmento experime

numericam

apso[KN] obtida

d Análise limi

1

16.5 (‐26.7%) 52.5

(15.4%) 101.4 (43.8%)

‐

ntam o erro (ms (excepto para

pelo SUBLIMesentado no

de cálculo, mpo de execum problema

10Deslocame

orça Ve

ez [34]1])

CARGAS D

Legenda:

s pelas estimatiental da parede

ente os res

a experimenta

Estim

ite [17] ModeCar

Lópe2

‐

‐ 4

(‐1276.9 (9.1%)

7(2.1

‐ 9

(‐6.mesmo raciocína a parede SW2

M3d, apreseno capítulo 5.

que a convecução dos cáa não linear c

15ento Horizont

ertical= 2

DE COLAPSO

ivas teóricas coe de corte SW2

ultados obt

lmente com a o

mativas teórica

elo de rol e z [34]

Mésimplifanális

‐ 13

(‐3840 .1%)

43(‐4

72 1%)

8(2

95 9%)

1(4.

nio da equação250).

ntados nesta2.1.2.3 (na

ergência da lculos em cocom possibil

20al [mm]

250KN

Sublim3DMétodo simEnvelope B

SW

O DE SISTEMA

om a curva de c250

idos pelo S

obtida pelas es

s

todo icado de se [30]

Aná([30

3.9 8.2%) (‐3.7 4%) (86 2%) (1107 .9%) (‐ (5.13)) das est

s figuras e taequação (5

solução paromputação sidades múlti

25

mplificado de Bi‐linear [30]

250.1

AS DE ALVEN

carregamento –

UBLIM3d pa

stimativas teór

álise MEF 0] e [31])

EnvBi‐

17 24.4%)

1(‐

47.5 (4.4%)

4 (‐

81.4 15.5%)

7(7

98 ‐3.9%)

9(‐

timativas teóri

abela, são ob.26), definid

a cada paresequencial iniplas de rotu

30

análise [30]

NARIA

–

ara as

icas

velope ‐linear [30] 17.1 ‐24%) 43.8 ‐3.7%) 75.8 7.5%) 91.8 ‐10%) cas em

btidos da em

de foi nferior ura.


91

De seguida, apresentam‐se na Tabela 5.7 as principais características da malha utilizada para as paredes do exemplo 2, designadamente, o tipo e o número de elementos associado à malha, bem como o número de graus de liberdade globais e locais.

TABELA 5.7 – Principais características da malha de cada parede do exemplo 2

Paredes Tipo de elementos Número de elementos DOF

Globais Locais SW30, SW100, SW200, SW250 Linear 730 794 1460

Como complemento, para as paredes de corte SW30, SW100, SW200 e SW250 representa‐se respectivamente na Figura 5.27, na Figura 5.28, na Figura 5.29 e na Figura 5.30 a distribuição da dissipação plástica nos elementos e a configuração do mecanismo de colapso.

0 máx.

FIGURA 5.27 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW30 do exemplo2

92

FIGURA 5.28 –

FIGURA 5.29 –

– Dissipação pl

– Dissipação pl

ástica e malha

ástica e malha

0

deformada ob

0

deformada ob

CARGAS D

má

btida pelo SUBL

má

btida pelo SUBL

DE COLAPSO

áx.

LIM3d para a p

áx.

LIM3d para a p

O DE SISTEMA

arede de corte

arede de corte

AS DE ALVEN

e SW100 do exe

e SW200 do exe

NARIA

emplo2

emplo2


93

0 máx.

FIGURA 5.30 – Dissipação plástica e malha deformada obtida pelo SUBLIM3d para a parede de corte SW250 do exemplo2

5.2.1.2.5 Discussão dos resultados Começa‐se pela a análise dos resultados apresentados (experimentais e teóricos) para cada uma

das paredes estudadas:

• Parede SW30: o Pela observação da Figura 5.23 e da Tabela 5.6, conclui‐se que a proposta que mais

se aproxima da média dos resultados experimentais é o envelope Bi‐linear [30]. A proposta do SUBLIM3d aparece em quarto lugar, com uma diferença em relação à melhor solução de 0.7KN (3.1%), correspondendo a uma diferença pouco significativa, o que leva a dizer que o resultado obtido pelo SUBLIM3d corresponde a uma boa estimativa da carga de colapso experimental. Nesta parede todas as propostas apresentadas exibem valores inferiores aos observados experimentalmente, conduzindo assim à obtenção de valores a favor da segurança;

o Pela observação da Figura 5.17, da Figura 5.19 e da Figura 5.27, conclui‐se que o mecanismo de colapso obtido experimentalmente é muito semelhante ao obtido pela aproximação numérica (Análise de MEF [31]), nomeadamente, uma progressão gradual de separação dos blocos ao longo da diagonal de compressão, provocada pela rotação da parte superior em relação à base da parede, não se observando praticamente qualquer tipo de esmagamento ou fendilhação dos blocos. Por outro lado, o mecanismo de rotura obtido pelo SUBLIM3d também é semelhante ao verificado experimentalmente, contudo também apresenta uma separação dos tijolos na parte inferior decrescente com o aumento da altura.

94

• Par

• Par

ede SW100:o Pela ob

se apro([30] e diferença uma dSUBLIMNesta pinferior

o Pela obcolapsosemelhafendilhatambémo mecados tijo

o Os resestimatdos tijoreduzidpedra (v

ede SW200:o Pela ob

se aproCarol ediferençdiferençcorresptodas aexperim

o Pela obmecanipela apconstandeslizamesmagada diagSUBLIMexperim

o Os resucorrespconsidesignificafendilha

: bservação daoxima da mé [31]). A pça em relaçãdiferença po

M3d correspoparede existres aos valorebservação dao obtido exante ao descação dos blom que existeanismo de rolos na parte ultados obttiva da cargaolos. A diferea proporçãover Figura 5.

: bservação daoxima da mé López [34]ça em relaçãça significatponde a umaas propostasmentalmentebservação dasmo de colaproximação nnte dos blomento da amento sevegonal de comM3d (semelhmentalmenteultados obtidponder a umerassem as ativa devidoação nos blo

a Figura 5.24édia dos resuproposta do ão à melhor souco significonde a umatem tanto pes observadoa Figura 5.1perimentalmcrito para a ocos de pedram duas diagotura obtidoinferior dectidos pelo Sa de colapsoença obtida o de fenóme17).

a Figura 5.25édia dos res. A propostaão à melhoriva, o que la má estimats apresentae; a Figura 5.17apso obtido numérica (Anocos ao lonparte supeero dos blocompressão. Pante ao dae; dos (carga ema melhor e

deformaçõo à elevadocos de pedra

CARGAS D

4 e da Tabelaultados expeSUBLIM3d

solução de 4ativa, o quea boa estimapropostas quos experime17 e da Figumente e o parede SW3a foram nestgonais de como pelo SUBLrescente comSUBLIM3d pexperimentnão seria prenos de esm

5 e da Tabelaultados expea do SUBLIMr solução deleva a dizer tiva da cargdas apresen

7, da Figuraexperimentnálise limitengo da diagrior sobre os de pedra,Por outro lad Análise lim

e mecanismstimativa daões dos tijoa proporçãa (ver Figura

DE COLAPSO

a 5.6, concluerimentais, maparece em

4.1KN (9%), c leva a dizerativa da carue apresentntalmente;ura 5.28 conobtido pelo30, mas os fete caso obsempressão. CoIM3d também o aumentopoderiam cal caso se corovavelmentmagamento

a 5.6, concluerimentais, M3d aparecee 29.5KN (41que o resua de colapsontam valore

5.18 e da talmente é 2 [17]), nomgonal de cas juntas acompanhado, o mecamite 1 [17])

o de colapsa carga de colos. A difo de fenó 5.17).

O DE SISTEMA

ui‐se que a pmajorando‐am segundo corresponder que o resurga de colaptam valores

nclui‐se que o SUBLIM3d enómenos dervados no teomo no casoém apresento da altura; orresponderonsiderasseme muito signe fendilhaçã

ui‐se que a pmajorando‐oe em último1.9%), corresultado obtidoo experimens superiores

Figura 5.29, muito sememeadamentecompressão, horizontais,

ado com fennismo de ronão corres

so) pelo SUBcolapso expeferença obtmenos de

AS DE ALVEN

proposta que, é a Análiselugar, comndo mesmo ultado obtidopso experimsuperiores

o mecanismé relativam

e esmagameeste e observo da parede ta uma sepa

r a uma mm as deformnificativa devão nos bloc

proposta queo, é o Modeo lugar, comspondendo ao pelo SUBLntal. Nesta ps aos obser

conclui‐se qelhante ao oe, uma sepaprovocada

, ocorrendodilhação ao otura obtidosponde ao o

BLIM3d poderimental catida poderiaesmagamen

NARIA

e mais e MEF uma assim o pelo mental. como

mo de mente ento e vou‐se SW30 aração

melhor mações vido à cos de

e mais elo de m uma a uma LIM3d parede rvados

que o obtido aração pelo

o um longo o pelo obtido

eriam aso se a ser nto e


95

• Parede SW250: o Pela observação da Figura 5.26 e da Tabela 5.6, conclui‐se que a proposta que mais

se aproxima do resultado experimental, majorando‐o, é o Método simplificado de análise [30]. A proposta do SUBLIM3d aparece em segundo lugar, com uma diferença em relação à melhor solução de 19.4KN (19%), correspondendo a uma diferença significativa, o que leva a dizer que o resultado obtido pelo SUBLIM3d corresponde a uma média estimativa da carga de colapso experimental. Nesta parede existem tanto propostas que apresentam valores superiores como inferiores aos valores observados experimentalmente;

o Pela observação da Figura 5.17 e da Figura 5.30 conclui‐se que o mecanismo de colapso obtido experimentalmente é semelhante ao descrito para a parede SW200, mas os fenómenos de esmagamento e fendilhação foram neste caso mais severos e também se observou que existe encurvadura da parede. Logo conclui‐se que este mecanismo de colapso não é de todo semelhante ao obtido pela aproximação numérica (SUBLIM3d);

o Os resultados obtidos (carga e mecanismo de colapso) pelo SUBLIM3d poderiam corresponder a uma melhor estimativa da carga de colapso experimental caso se considerassem as deformações dos tijolos. A diferença obtida não seria tão significativa como na parede SW200 porque surgem nesta parede fenómenos de encurvadura lateral (que não se implementaram) embora exista uma elevada proporção de fenómenos de esmagamento e fendilhação nos blocos de pedra (ver Figura 5.17).

Por último, apresentam‐se alguns comentários da interpretação do comportamento geral das quatro paredes modelo ensaiadas:

• Comparando as duas modalidades (.1 e .2) chega‐se à conclusão que não existe nenhuma diferença significativa. Este resultado era esperado porque o comportamento experimental observado é praticamente controlado pelos fenómenos que acontecem tanto na parte central como na parte superior das paredes (ver Figura 5.17);

• A falta de material de interligação promove concentrações de tensões em alguns pontos de contacto, levando à fendilhação vertical dos blocos. Este processo é mais relevante quanto maior o carregamento vertical aplicado (ver Figura 5.17);

• Pela observação da Tabela 5.6, conclui‐se que a força horizontal máxima aumenta com a força vertical aplicada, como seria de esperar devido ao aumento do confinamento da parede, conduzindo também a um aumento da fragilidade da parede;

• Os diagramas que se apresentam na Figura 5.23 até à Figura 5.26 são caracterizados por dois comportamentos distintos globais. Inicialmente, as curvas exibem grande rigidez e comportamento elástico (até aproximadamente 30% da carga de pico), depois para pequenas deformações existe uma degradação contínua da tangente da rigidez. A segunda parte dos diagramas é caracterizada por uma oscilação da força horizontal provocada pelos movimentos relativos dos blocos, devido à ausência de material de interligação.

96

5.2.2 ExPor fim

determinaçapresentadimplementaa capacidadeterminaç

Este exempsujeitando‐obtendo‐se

5.2.2.1 DPara a d

fornecidos p

• Pro

As alveângulo

De seg

emplo dem, o procesção das caros no capítados na formde dos moção de cargas

plo foi propos a difere o mais com

Definição definição dopelos artigos

opriedades d

enarias, que os entre a jun

uida apresen

o Ensaio dOs painéis o Ensaio dOs painéisrectangulauma das 8 O ensaio dexecutado

e aplicaçãosso de validgas de colatulo 3.2.2.2mulação do Sodelos propos de colapso

osto por A. ntes níveis pleto conjun

s vários pains [10, 36, 37]

a alvenaria (

apresentam nta horizonta

FIGURA 5.31 –

ntam‐se as p

de tracção bsão formadode compresss foram enres (que aprfiadas, corree tracção‐coutilizando u

o de critédação termapso são af2 e no capSUBLIM3d, seostos comode sistemas

W. Page [1de tracção,

nto de dados

néis de alven], em relação

(Figura 5.31)

a forma de al e a tensão

– Estrutura da a

propriedades

biaxial: os por 4 tijolosão e tracçãosaiados a mresentam umespondendo ompressão bm painel ma

CARGAS D

érios com ina com a fectadas pepítulo 3.2.2.3ervindo assimo para valid de alvenaria

10, 36, 37] , de comprs de resistênc

naria apreseno a:

):

painéis quad vertical, θ (0

alvenaria do ex

s específicas

os rectangulo‐compressãmetade da m rácio entredimensionabiaxial no casais esbelto.

DE COLAPSO

truncaturanálise do las truncatu3. Estes crim o processodar a aplicaa.

que analisouessão e de cia de alvena

ntam‐se de s

drangulares, 0°, 22.5°, 45°

xemplo 3 (adap

da alvenaria

ares em cadão biaxial: escala, sen

e a largura elmente a 360so de σ2=0 (t

O DE SISTEMA

ra (Exempexemplo s

uras dos critérios não o de análise abilidade de

u vários paitracção‐co

aria carregad

seguida os d

são ensaiad°, 67.5°, 90°)

ptado de [10])

a para cada e

a uma das 1

ndo formade a espessura0 x 360 x 50 tracção unia

AS DE ALVEN

plo 3) seguinte, onritérios propse encontrnão só para estes critério

néis de alvempressão bda biaxialme

dados import

as para difer.

ensaio:

0 fiadas.

dos por 3 ta de 2.2) emmm. axial) e θ=22

NARIA

nde a postos ravam aferir os na

enaria biaxial, nte.

tantes

rentes

tijolos m cada

.5° foi

Capít

•

D

•

OFp

tulo 5. Aplica

Proprieda

De seguida a

o EAs jucedêcorte

o E

A junconfforne

o E

Os mcomassu

Tipo de C

Os painéis sF1(σ2). De separa cada en

o E

Este inve

o E

Este apre(com

ações Numé

ades dos ma

apresentam‐

Ensaio de trauntas são mência apresee(Fs) é igual a

FIGUR

Ensaio de com

nta é constifere uma resecida uma re

Ensaio de tra

materiais depressão biaxme o valor d

Carregament

são carregadeguida aprensaio:

Ensaio de tra

tipo de ensrso ao apres

Ensaio de com

tipo de ensesentado nampressão uni

ricas

ateriais:

se as proprie

acção biaxialmodeladas pentado na Fa 0.29 MPa e

RA 5.32 – Critér

mpressão bi

tuída por umistência médesistência mé

acção‐compr

este ensaioxial, exceptode 5.08 MPa.

to (Figura 5.3

dos proporcsentam‐se a

acção biaxial

saio é realizaentado na Fi

mpressão bi

saio é realizaa Figura 5.3axial segund

edades espe

: or elementoFigura 5.32, e 0.24 MPa,

rio de cedência

axial:

m traço voludia à compreédia à comp

ressão biaxia

apresentamo no caso da.

31):

cionalmente algumas info

:

ado aplicandigura 5.31.

axial:

ado aplicand31. Os paindo a σ1), 10, 4

cíficas dos m

os de junta onde a resrespectivam

a dos elemento

umétrico de essão de 5.55ressão de 15

al:

m as mesmaa resistência

nas direcçõormações es

do as tensõe

do as tensõenéis são suj4, 2 e 1.

materiais para

que são desistência limente.

os de junta (ada

1:1:6 (cime5 MPa. No ca5.41 MPa.

as proprieda média à co

ões das tensspecíficas do

es principais,

es principais,jeitos a rác

a cada ensai

efinidos pelomite à tracçã

aptado de [10])

ento:cal:areiaaso dos tijolo

ades que noompressão d

sões principo tipo de ca

, F2 e F1, co

, σ1 e σ2, cocios (σ1/σ2)

97

o:

o critério deão (Ft) e ao

)

a) o que lheos, apenas é

o ensaio deda junta que

ais, F2(σ1) earregamento

m o sentido

m o sentidode infinito

7

e o

e é

e e

e o

o

o o

98

5.2.2.2 RNo caso

programa permanecetracção uni5.33 se inte

sendo a corte na jurotura para

Para o enDepartameexperimentapresentad

o Ensaio d

Este tipo dcom o sentensão prinsujeitos a runiaxial).

Resultadoso do ensaiode computam em regimaxial, a cedêersectam, isto

·

FIGURA 5.33 –

tensão de trunta, respect cada ângulo

nsaio de cnto de Engtais típicos oos na Figura

de tracção‐c

de ensaio é ntido inversoncipal horizorácios (|σ2|/

s experimo de tracçãoador iteratie elástico e qência da junto é, quando,

Critério de ced

racção aplicativamente. Do (entre a jun

compressão genharia Civobtidos nest5.34:

compressão

realizado apo ao apreseontal, σ2, com/|σ1|) de inf

mentais/Po biaxial, A.vo de elemque as juntata ocorre qu,

dência da junta

ada à alvenaDesde a Fignta horizonta

biaxial, avil da Univetes ensaios,

CARGAS D

biaxial:

plicando, porntado na Fim o sentido finito (comp

Propostas W. Page sim

mentos finits apresentamuando as du

a para o caso de

aria e onde ura 5.38 à Fal e a tensão

nalisaram‐seersidade de que depend

DE COLAPSO

r um lado, agura 5.31 eapresentadoressão uniax

mulou uma tos [10] qum uma respoas rectas (τ1

e tracção uniax

e τ represFigura 5.42, o vertical) con

e experimeNewcastle.

dem do ráci

O DE SISTEMA

a tensão prin por outro o nessa figuxial), 30, 10,

série de paue consideraosta não line

1 e τ2) aprese

xial (adaptado

sentam a teexpõem‐se nsiderado.

ntalmente . Os mecano das tensõ

AS DE ALVEN

ncipal verticlado aplicanra. Os painé, 5, 2 e 0 (tr

ainéis usanda que os tear. Para o caentadas na F

de [10])

nsão normaos envelop

102 painéinismos de rões principai

NARIA

al, σ1, ndo, a éis são racção

do um tijolos aso de Figura

(5.29)

l e de pes de

is no rotura s, são

Capít

FIG

Desdenvehorizuniaxdos p

Por fno Dexperverticplano

tulo 5. Aplica

GURA 5.34 – Me

e a Figura lopes de rotontal e a texial segundo painéis e do c

im, para o eDepartamentrimentais típcal e para oo do painel e

ações Numé

ecanismos de r

5.43 à Figuura (obtidosnsão verticaσ2), 0.1, 0.2carregament

nsaio de trao de Engenpicos obtidoss diferentes e são sumariz

ricas

rotura experimuniaxial

ura 5.47 aps através da il. Nestas fig25 e 0.5 forato.

cção‐comprenharia Civil ds nestes ensarácios das t

zados na Figu

mentais típicos pl; (b) biaxial (ad

presentam‐seimpressão duras, os resuam obtidos d

essão biaxiada Universidaios, para os tensões prinura 5.35.

para os ensaiosdaptado de [36

e os resultae curvas méultados parados resultad

l, analisaramdade de Newvários ângu

ncipais, ocor

s de compressã6])

ados experidias) para caa os rácios (σos experime

m‐se experimwcastle. Os los da junta rem num pl

ão biaxial: Com

mentais bemada ângulo eσ1/σ2) de 0 (entais usand

mentalmentemecanismohorizontal colano (planos

99

mpressão (a)

m como osentre a junta(compressãoo a simetria

106 painéisos de roturaom a tensãos) normal ao

9

s a o a

s a o o

100

FIG

A. W. Page restantes phorizontais

Desde a Fienvelopes dhorizontal e

GURA 5.35 – Re

ensaiou o paainéis. Esta intersectem

igura 5.48 àde rotura (obe a tensão ve

esumo dos mo

ainel θ=22.5°alteração ge

m as extremid

à Figura 5.5btidos atravéertical.

odos de rotura p

° referente àeométrica sedades livres d

52, apresenés da impres

CARGAS D

para a tracção‐

à tracção unierve para asdo painel (Fig

tam‐se os rssão de curva

DE COLAPSO

‐compressão bi

axial, com ussegurar quegura 5.35).

resultados eas médias) p

O DE SISTEMA

iaxial (adaptad

ma esbelteze um maior n

experimentapara cada ân

AS DE ALVEN

do de [37])

a maior do qnúmero de j

is bem comgulo entre a

NARIA

que os juntas

mo os junta


101

5.2.2.3 Simplificações/Considerações O objectivo deste exemplo era permitir a comparação entre a proposta, referente ao ensaio de

tracção biaxial, e os resultados experimentais, referentes aos ensaios de compressão e de tracção‐compressão biaxial, obtidos por A. W. Page [10, 36, 37] com os resultados obtidos pelo SUBLIM3d. Para se alcançar este objectivo foi necessário executar um conjunto de hipóteses:

• Em relação às propriedades da alvenaria: o Inseriu‐se as dimensões dos tijolos em metros; o Considerou‐se que para simular este painéis, toda a base da alvenaria se encontrava

simplesmente apoiada (ver Figura 4.2); o Para a determinação das dimensões dos tijolos no caso do ensaio de tracção biaxial

considerou‐se que: I. A espessura dos painéis e o rácio entre a largura e a espessura dos tijolos são

os mesmos que os apresentados pelo ensaios de compressão e tracção‐compressão biaxial;

II. A junta apresenta uma espessura de 0.015 m (espessura existente nos ensaios de compressão e tracção‐compressão biaxial);

Através de cálculos simples, usando as propriedades da alvenaria, obtém‐se as dimensões pretendidas: 0.11 x 0.035 m. No caso do ensaio de compressão e tracção‐compressão biaxial:

I. As dimensões dos tijolos foram obtidas através de cálculos simples, usando as propriedades da alvenaria, resultando dimensionalmente em 0.11 x 0.031875 m;

II. Considerou‐se que o painel no ensaio de tracção uniaxial para o caso de θ=22.5° também apresenta a mesma secção que os restantes painéis.

• Em relação às propriedades dos materiais: o Para definir os parâmetros do critério da junta seguiram‐se as seguintes etapas:

I. Considerou‐se que o Ft do ensaio de tracção biaxial corresponde à resistência média à tracção da junta;

II. Considerou‐se que a resistência média à compressão assume o valor de 8.01 MPa (valor apresentado em [38]);

III. Para a obtenção dos restantes parâmetros seguiu‐se o mesmo raciocínio presente no capítulo 5.2.1.2.3 em relação às propriedades dos blocos de pedra (considerando para esta determinação que a resistência média à compressão assume o valor apresentado no ensaio de tracção‐compressão biaxial), obtendo‐se neste caso c=0.607 MPa e φ = 63.125°. Observou‐se que o ângulo de atrito obtido é muito elevado, por isso optou‐se por um valor médio (que corresponde a sensivelmente metade do obtido), isto é, considerou‐se φ = 30°.

o Para definir os parâmetros do critério do tijolo seguiram‐se as seguintes etapas: I. Considerou‐se que a resistência média à compressão dos tijolos é de

15.41 MPa (valor fornecido para os ensaios de compressão e de tracção‐compressão biaxial);

II. Considerou‐se que a resistência média à tracção dos tijolos é de 1 MPa; III. Considerou‐se que ângulo de atrito exibe o mesmo valor que o apresentado

pela junta inicialmente, isto é, φ = 63.125°.

102

Para o ensà tracção de 2.95M

• Em

IV.

saio de tracçdo tijolo e dPa e 0.2MPa

relação ao to De seguReformularmalhador d

I.

II.

III.

Pela relação

tan

obtendo‐se

ção‐compresda junta, em a, respectivam

tipo de carreuida apresenram‐se as cadescrito no cRepresentaconsiderand(porque pasimetria do

FIG

Representoalvenaria qu

90°

equivale a d

Pela visualizocorrer o co

o dos triângu

e, c = 1.841 M

ssão biaxial cvez dos valomente.

egamento: tam‐se as hiargas aplicadcapítulo 5.1.2‐se no círculdo que o ráara os restas painéis e d

GURA 5.36 – Est

ou‐se na Figuuando θ=90°

dizer quando

zação da Figolapso do pa

CARGAS D

ulos presente

1

MPa.

considerou‐sores apresen

ipóteses espdas na estrut2, através dolo de Mohr, cio de |F2(σantes rácios o carregame

tado de tensão

ura 5.36 o e°, isto é, com

o α=0°;

gura 5.36, imainel;

DE COLAPSO

es na Figura

e que os parntados anteri

ecíficas do etura da alveno seguinte rao estado de

σ1)|/|F1(σ2)|os resultad

ento), ver Fig

o aplicado à alv

estado de temo

magina‐se o p

O DE SISTEMA

5.22, determ

râmetros de iormente, ap

ensaio de comnaria de formciocínio: tensão aplicé sempre mdos foram ogura 5.36:

venaria (círculo

ensão equiv

processo de

AS DE ALVEN

mina‐se a coe

resistência mpresentam o

mpressão biama a aprove

cado na alvemaior ou iguobtidos usan

o de Mohr)

valente aplic

carregament

NARIA

esão,

(5.30)

média o valor

axial: eitar o

enaria, al a 1 ndo a

ado à

(5.31)

to até

Capíttulo 5. Aplica

V

ações Numé

IV. Supõque provoduas 5.37:

FIGU

V. Supo

obtêm

τ t

VI. Para anulasubst

na ex

á

obten

VII. Por fcompprese

ricas

e‐se inicialma rotura ococa que o ccomponent

URA 5.37 – Car

ndo que,

1

m‐se as resta

an

tan

representarar a suposiçtituiu‐se a te

pressão do r

ndo‐se (reso

á

im, substituiponentes vaente na Figur

mente que oorre por aucarregamenttes (compon

rregamento eq

antes compo

r correctameção executaensão vertica

1 tan

rácio,

lvendo em o

indo a equaçariáveis quera 5.37):

o carregameumento do co aplicado ànente fixa e

uivalente aplic

onentes (atra

ente o proceda no pontal (ver Figura

n

ordem a

ção (5.38) na se aplicam

ento F1(σ2) scarregamentà alvenaria variável), v

cado na estrutu

avés da Figur

esso de carrto IV (comp5.36),

),

a equação (5m ao painel

se mantém to F2(σ1). Espara α=0° sever Figura 5.

ura da alvenaria

ra 5.36),

regamento, ponente fixa

5.33), obtêml com α=0°

103

constante esta hipótesee divida em.36 e Figura

a com θ=90°

(5.32)

(5.33)

(5.34)

(5.35)

teve‐se que). Para isso

(5.36)

(5.37)

(5.38)

‐se as várias (ver soma

3

e e m a

)

)

)

)

e o

)

)

)

s a

104

• Em

o De seguReformularraciocínio aas várias seguintes e

Equação (5

sendo o Rá

á ta

onde o âng

o De segubiaxial:

Reformularraciocínio anão se cona mesma componenequações:

á

á

τ tan

sendo o Rá

á ||

relação aos o Conside

o Não se valor st

τ tan

uida apresenram‐se as capresentadocomponenteequações:

á1

átan

5.41)

ácio neste ca

an

gulo ψ aprese

uida apresen

ram‐se as capresentadosidera a hipórelação detes variávei

á

á

ácio neste ca

||

parâmetroserou‐se que a

executou qandard perm

á

á

tam‐se as hicargas aplicao para o ensaes variáveis

n

so dado tam

enta os valor

ntam‐se as h

cargas aplicao para o ensótese apresee grandeza s que se a

1

tan

so dado ape

s opcionais: solução obti

ualquer altemitem que a

CARGAS D

1

tan

ipóteses espadas na estaio de compque se ap

mbém pela fó

res de 90°, 8

ipóteses esp

adas na estaio de compentada no po(σ2≥σ1). O

aplicam ao

enas pela fór

ida pelo SUBL

eração ao pasolução seja

DE COLAPSO

ecíficas do erutura da apressão biaxiplicam ao p

órmula,

81°, 72°, 63°,

pecíficas do e

rutura da apressão biaxonto I, porquObtiveram‐sepainel com

mula,

LIM3d é alcan

arâmetro dea boa e que c

O DE SISTEMA

ensaio de traalvenaria, atal, obtendo‐ainel com α

54° e 45°.

ensaio de tra

alvenaria, atxial. Note‐se ue as tensõese para esteα=0° atrav

nçada pela pr

e penalidadeconvirja rapid

AS DE ALVEN

cção biaxial:través do m‐se para esteα=0° atravé

acção‐compr

través do mque neste es mantêm see caso as vés das segu

recisão (1x10

e inicial, pordamente.

NARIA

(5.39)

(5.40)

(5.41)

mesmo e caso és das

(5.42)

(5.43)

(5.44)

ressão

mesmo ensaio empre várias uintes

(5.45)

(5.46)

(5.47)

(5.48)

0‐6);

que o

Capít

5.2.2O

de tra

FIGUR

FIG

F 2/F

tF 2/F

t

tulo 5. Aplica

2.4 ResulOs resultadosacção biaxia

RA 5.38 – Comp

GURA 5.39 – Co

0

0,5

1

1,5

0

2/t

0

0,5

1

1,5

0

2/t

ações Numé

tados SUBs obtidos pel são apresen

paração dos res

omparação dos

0,5 1

0,5 1

θ=

ricas

BLIM3d elo SUBLIM3ntados desde

sultados obtidono

s resultados obθ=67.5

1,5

F1/Ft

θ=90⁰

1,5

F1/Ft

=67.5⁰

d (tendo eme a Figura 5.

os pelas estimao ensaio de trac

btidos pelas est5° no ensaio de

2 2,5

2 2,5

m consideraç38 à Figura 5

ativas teóricas cção biaxial

imativas teóric tracção biaxia

3 3,

5 3

ão o capítul5.42.

(SUBLIM3d e [1

cas (SUBLIM3d l

5SU

SU

Ele

SUBL

SUBL

Elem

o 5.2.2.3) pa

Legenda:

10]) para o pai

Legenda:

e [10]) para o

UBLIM3d ‐ Arm

UBLIM3d ‐Má

ementos Finit

LIM3d ‐ Arma

LIM3d ‐Mário

mentos Finitos

105

ara o ensaio

nel com θ=90°

painel com

mando Antão

ário Silva

tos [10]

ndo Antão

o Silva

[10]

5

o

106

FIGURA 5.40

FIGURA 5.

– Comparação

.41 – Comparaç

0

0,5

1

1,5

2

0

F 2/F

t

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

F 2/F

t

dos resultados

ção dos resulta

0,5

F1

θ=45⁰

0 0,5

F1

θ=22.5

s obtidos pelasno ensaio

ados obtidos peθ=22.5° no ens

1 1,5

1/Ft

⁰

1 1,

1/Ft

5⁰

CARGAS D

s estimativas tede tracção biax

elas estimativasaio de tracção

2

5

DE COLAPSO

eóricas (SUBLIMxial

s teóricas (SUBo biaxial

O DE SISTEMA

Legen

M3d e [10]) par

Legen

BLIM3d e [10])

SUBLIM3d ‐

SUBLIM3d ‐

Elementos F

SUBLIM3d ‐

SUBLIM3d ‐

Elementos F

AS DE ALVEN

nda:

ra o painel com

nda:

para o painel c

‐ Armando An

‐Mário Silva

Finitos [10]

‐ Armando An

‐Mário Silva

Finitos [10]

NARIA

m θ=45°

com

tão

tão

Capít

FIGU

Pdesde

tulo 5. Aplica

RA 5.42 – Com

Para o ensaie a Figura 5.4

F 2/F

t

ações Numé

paração dos re

o de compr43 à Figura 5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0

F 2/F

t

θ

ricas

esultados obtidno

ressão biaxia5.47.

0,5 1

F1/Ft

θ=0⁰

dos pelas estimo ensaio de trac

al os resulta

1,5

ativas teóricascção biaxial

ados obtidos

s (SUBLIM3d e [

s pelo SUBL

SUBL

SUBL

Elem

Legenda:

[10]) para o pa

IM3d são a

LIM3d ‐ Arma

LIM3d ‐Mário

mentos Finitos

107

inel com θ=0°

presentados

ndo Antão

o Silva

[10]

7

s

108

FIGURA 5.43 –

FIGURA 5.44

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

0

σ 2 [M

Pa]

[MP

]

– Comparação

– Comparação

0 2 4 6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

0 2

σ 2[M

Pa]

dos resultados

o dos resultados

6 8 10 12

θ

2 4 6 8

θ=

s obtidos pelo Sensaio de c

s obtidos pelo no ensaio de

2 14 16 18

σ1 [MPa]

θ=90⁰

8 10 12 14

σ1 [MPa]

=67.5⁰

CARGAS D

SUBLIM3d comcompressão bia

SUBLIM3d come compressão b

8 20 22 24

4 16 18 20

DE COLAPSO

m os experimentaxial

m os experimenbiaxial

4 26 28 30

0 22 24

O DE SISTEMA

tais [36] para o

ntais [36] para o

0 32

AS DE ALVEN

Legenda:

o painel com θ=

Legenda:

o painel com θ

SUBLIM3d ‐Armando ASUBLIM3d ‐Mário Silva

Experiment[36]Envelope drotura [36]

SUBLIM3d ‐Armando A

SUBLIM3d ‐Mário SilvaExperiment[36]Envelope drotura [36]

NARIA

=90° no

θ=67.5°

‐Antão‐

tais

e

‐Antão

‐

tais

e

Capít

FIGUR

FIGUR

tulo 5. Aplica

RA 5.45 – Comp

RA 5.46 – Comp

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

σ 2[M

Pa]

ações Numé

paração dos res

paração dos re

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2

σ 2 [M

Pa]

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

0

2

4

0 2 4

ricas

sultados obtidoens

sultados obtidono en

2 4 6 8

σ1

θ=45

6 8 10

σ1

θ=22

os pelo SUBLIMsaio de compre

os pelo SUBLIMnsaio de compr

8 10 12 1

[MPa]

5⁰

12 14 16

[MPa]

.5⁰

M3d com os expessão biaxial

M3d com os expressão biaxial

4 16 18

18 20 22

perimentais [36

perimentais [36

24

Lege

6] para o painel

Lege

6] para o paine

SUBArmSUBMárExpe[36]

Enverotu

SUBArm

SUBMárExpe[36]Enverotu

109

enda:

l com θ=45° no

enda:

el com θ=22.5°

LIM3d ‐ando AntãoLIM3d ‐io Silvaerimentais

elope de ra [36]

LIM3d ‐ando Antão

LIM3d ‐io Silvaerimentais

elope de ra [36]

9

o

110

FIGURA 5.47

Para o apresentad

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

0

σ 2 [M

Pa]

– Comparação

ensaio de os desde a F

0 2 4 6

dos resultados

tracção – Figura 5.48 à

6 8 10 12

s obtidos pelo ensaio de c

compressãoFigura 5.52.

2 14 16 18

σ1 [MPa]

θ=0⁰

CARGAS D

SUBLIM3d comcompressão bia

biaxial os

8 20 22 24

DE COLAPSO

m os experimenaxial

resultados

4 26 28 30

O DE SISTEMA

ntais [36] para o

obtidos pel

0 32

AS DE ALVEN

Legenda:

o painel com θ

lo SUBLIM3d

SUBLIM3d ‐Armando ASUBLIM3d ‐Mário Silva

Experiment[36]Envelope drotura [36]

NARIA

θ=0° no

d são

‐Antão‐

tais

e

Capít

FIGUR

FIGUR

[MP

]T

ã

tulo 5. Aplica

RA 5.48 – Comp

RA 5.49 – Comp

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0

σ 1[M

Pa]‐

Tracção

SUBLIM

Experim

0

0,1

0,2

0,3

0

σ 1[M

Pa]‐

Tracção

ações Numé

paração dos res

paração dos re

1 2 3

M3d ‐ Armando

mentais [37]

0 1

σ2 [

θ=

ricas

Legend

sultados obtidoensaio d

sultados obtidono ensaio

3 4 5

o Antão

2

[MPa] ‐ Comp

=67.5⁰

da:

os pelo SUBLIMde tracção – com

os pelo SUBLIMo de tracção – c

6 7

σ2 [MPa] ‐

θ=90

SUBL

Envel

3

pressão

M3d com os expmpressão biaxi

M3d com os expompressão bia

8 9 1

‐ Compressão

0⁰

IM3d ‐Mário

ope de rotura

4

perimentais [37ial

perimentais [37axial

10 11 12

o

Silva

a [37]

SUBL

SUBL

Expe

Enve

7] para o painel

Legenda:

7] para o paine

13 14

LIM3d ‐ Arman

LIM3d ‐Mário

rimentais [37]

lope de rotura

111

l com θ=90° no

el com θ=67.5°

15 16

ndo Antão

Silva

]

a [37]

1

o

112

FIGURA 5.50 –

FIGURA 5.51 –

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

σ 1[M

Pa]‐

Tracção

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

0,

1,

1,

1,

1,

1,

σ 1[M

Pa]‐

Tracção

– Comparação

– Comparação

0 1

0

,1

,2

,3

,4

,5

,6

,7

,8

,9

1

,1

,2

,3

,4

,5

0 1 2

dos resultadose

dos resultadosno

2

σ2 [MPa] ‐

θ=45

3 4 5

σ2 [MPa] ‐

θ=22.5

s obtidos pelo Snsaio de tracçã

s obtidos pelos ensaio de trac

3 4

Compressão

⁰

6 7 8 9

Compressão

5⁰

CARGAS D

SUBLIM3d comão – compressã

SUBLIM3d comção – compres

5

9 10 11 12

DE COLAPSO

m os experimentão biaxial

m os experimensão biaxial

6

O DE SISTEMA

Legen

tais [37] para o

Legen

ntais [37] para

SUBLIM3d ‐

SUBLIM3d ‐

Experimenta

Envelope de

SUBLIM3d ‐

SUBLIM3d ‐

Experimenta

Envelope de

AS DE ALVEN

nda:

o painel com θ=

nda:

o painel com θ

Armando Ant

Mário Silva

ais [37]

e rotura [37]

Armando Ant

Mário Silva

ais [37]

e rotura [37]

NARIA

=45° no

θ=22.5°

tão

tão

Capít

FIGUR

Os reraciopara enco

Orápidminurotur

Aprestipo ee loca

tulo 5. Aplica

RA 5.52 – Comp

esultados teócínio inversoo ensaio de ntram‐se em

Observa‐se aa, apresentato e 5 segunra.

sentam‐se ne o número dais.

000000000

σ 1[M

Pa]‐

Tracção

ações Numé

paração dos re

óricos obtidoo apresentadtracção e de

m módulo.

a partir do fando um temndos, que é

na Tabela 5.8de elemento

00,10,20,30,40,50,60,70,80,91

1,11,21,31,41,51,61,71,81,92

2,12,22,32,42,5

0 2 4

σ2 [M

θ

ricas

sultados obtidoensaio d

os pelo SUBdo no capítule tracção – co

ficheiro de cmpo de exenotável par

8, as principaos associado

4 6 8 10

MPa] ‐ Compr

θ=0⁰

os pelo SUBLIMde tracção ‐ com

LIM3d, aprelo 5.2.2.3 (emompressão b

cálculo, que cução dos cra um proble

ais caracteríà malha, be

12 14 16

ressão

M3d com os expmpressão biaxi

sentados nem relação aobiaxial os res

a convergêncálculos em ema não line

sticas das mm como o nú

perimentais [37ial

estas figuras,o tipo de carrsultados apre

ncia da soluçcomputaçãoear com pos

malhas utilizaúmero de gr

SUBL

SUBL

Exper

Envel

Legenda:

7] para o paine

, são obtidosregamento).esentados ne

ção para cado sequencial ssibilidades m

das, designaraus de liberd

LIM3d ‐ Arman

LIM3d ‐Mário

rimentais [37]

lope de rotura

113

el com θ=0° no

s através do Além disso,estas figuras

da painel foiinferior a 1múltiplas de

adamente, odade globais

ndo Antão

Silva

]

a [37]

3

o , s

i 1 e

o s

114

TABELA 5.8 –

TraComp

Tracção –

Por últi

• Ens

A distrmecan5.55,

FIGURA 5.5

FIGURA 5.5

Principais cara

Ensaio

acção biaxialpressão biaxCompressão

mo, para cad

saio de tracçã

ribuição típicismo de col

53 – Dissipação

54 – Dissipação

cterísticas das

ial o Biaxial

da ensaio ap

ão biaxial:

ca da dissipaapso obtido

o plástica e marefer

o plástica e marefere

malhas utilizad

Tipo de elem

LinearLinearLinear

resentam‐se

ação plásticas pelo SUBL

θ = 0

lha deformadaente ao ensaio

θ = 0

lha deformadaente ao ensaio

CARGAS Ddos no exemplo

mentos N

r r r

e algumas inf

a nos elemenLIM3d são ap

90°, ψ = 72° má

a típicas obtidaso de tracção bia

90°, ψ = 18° má

a típicas obtidasde tracção bia

DE COLAPSOo 3

Número de e

534316316

formações c

ntos do painpresentados

áx.

s pelo SUBLIM3axial – Parte I

áx.

s pelo SUBLIM3xial – Parte II

O DE SISTEMA

lementos

omplementa

nel e a confidesde a Fig

3d para os pain

3d para os pain

AS DE ALVEN

DOF Globais L647 390 390

ares:

iguração típigura 5.53 à F

néis do exempl

néis do exempl

NARIA

Locais 1068 632 632

ica do Figura

o 3,

o 3,


115

θ = 67.5°, ψ = 72°

0 máx.

FIGURA 5.55 – Dissipação plástica e malha deformada típicas obtidas pelo SUBLIM3d para os painéis do exemplo 3, referente ao ensaio de tracção biaxial – Parte III

• Ensaio de compressão biaxial:

A distribuição típica da dissipação plástica nos elementos do painel e a configuração típica do mecanismo de colapso obtidos pelo SUBLIM3d são apresentados desde a Figura 5.56 à Figura 5.58,

θ Critério Compressão uniaxial (σ2=0)

0°



0 máx.

FIGURA 5.56 – Dissipação plástica e malha deformada típicas obtidas pelo SUBLIM3d para os painéis do exemplo 3 com

θ=0° e σ2=0, referente ao ensaio de compressão biaxial

116

θ Cr

22.5°

ArmNA

MVida

FIGURA 5.57

θ Cr

90°

ArmNA

MVida

FIGURA 5.58

• Ens

A distrcolapsoe para 5.63,

ritério

mando Nunes Antão

/ Mário icente a Silva

7 – Dissipação p

ritério

mando Nunes Antão

Mário icente a Silva


saio de tracçã

ibuição da do obtidos peos diferente

plástica e malhaθ=22.5° e σ

plástica e malhaθ=90° e σ2

ão ‐ compre

issipação pláelo SUBLIM3des rácios das

a deformada tíσ2=0, referente

a deformada tí

2=0, referente a

ssão biaxial:

ástica nos eled, para os vás tensões pri

CARGAS D

Compressão

0

ípicas obtidas p ao ensaio de c

Compressão

0

ípicas obtidas pao ensaio de co

:

ementos do ários ângulosncipais, são

DE COLAPSO

uniaxial (σ2=0)

máx.

pelo SUBLIM3dcompressão bia

uniaxial (σ2=0)

máx.

pelo SUBLIM3dompressão biax

painel e a cos da junta hosumarizados

O DE SISTEMA

d para os painéiaxial

d para os painéixial

onfiguração orizontal coms desde a Fig

AS DE ALVEN

is do exemplo 3

is do exemplo 3

do mecanismm a tensão vegura 5.59 à F

NARIA

3 com

3 com

mo de ertical Figura


117

θ Critério Tracção uniaxial (σ2=0) Outros Rácios (σ1/σ2) Compressão uniaxial (σ1=0)

0°



0 máx.

FIGURA 5.59 – Dissipação plástica e malha deformada obtidas pelo SUBLIM3d para os painéis do exemplo 3 com θ=0°,

referente ao ensaio de tracção – compressão biaxial


22.5°



0 máx.

FIGURA 5.60 – Dissipação plástica e malha deformada obtidas pelo SUBLIM3d para os painéis do exemplo 3 com θ=22.5°,



45°


/ Mário Vicente da Silva

0 máx.

FIGURA 5.61 – Dissipação plástica e malha deformada obtidas pelo SUBLIM3d para os painéis do exemplo 3 com θ=45°,


118

θ Critéri

67.5°

ArmandNuneAntão

/ MárioVicentda Silv

FIGURA 5.62 –

θ Critéri

90°

ArmandNuneAntão

MárioVicentda Silv

FIGURA 5.63

5.2.2.5 DComeça

cada um do

• Ens

io Tracç

do s o

o te va

– Dissipação pl

io Tracç

do s o

o te va


Discussão a‐se por apreos ensaios es

saio de Tracço Pela ob

ção uniaxial (σ2

lástica e malhareferent

ção uniaxial (σ2

plástica e malhareferen

dos resulesentar a antudados:

ção biaxial: servação da Os resultado critério detipo de trunOs resultada estimativ[10], provavutilizados; Para a maioresistência

2=0)

0

deformada obte ao ensaio de

2=0)

0

a deformada ote ao ensaio de

ltados álise dos res

Figura 5.38os obtidos sãe [5], como sncatura à traos obtidos pa obtida atrvelmente de

oria dos ângdos painéis.

CARGAS D

Outros Rácio

btidas pelo SUBe tracção – com

Outros Rácio

btidos pelo SUe tracção ‐ com

sultados apre

à Figura 5.42ão semelhanseria de especção; pelos critérioravés da aplevido aos di

gulos ψ, o ân

DE COLAPSO

os (σ1/σ2)

máx.

BLIM3d para osmpressão biaxia

os (σ1/σ2)

máx.

BLIM3d para ompressão biaxia

esentados (e

2, conclui‐sentes tanto paerar, porque

os propostosicação do mferentes crit

ngulo θ exer

O DE SISTEMA

Compress

s painéis do exeal

Compress

os painéis do exal

experimenta

que: ara o critérioe ambos apre

s majoram ométodo dos térios de ce

rce uma gra

AS DE ALVEN

ão uniaxial (σ1=

emplo 3 com θ=

ão uniaxial (σ1=

xemplo 3 com θ

is e teóricos

o de [4] comoesentam o m

u igualam seelementos fdência das j

ande influênc

NARIA

=0)

=67.5°,

=0)

θ=90°,

) para

o para mesmo

empre finitos juntas

cia na


119

o Pela observação da Figura 5.53 à Figura 5.55, conclui‐se que: Para θ=90°, o aumento do ângulo ψ provoca a alteração do tipo de rotura, isto é, passa de uma rotura progressiva através de um número de juntas horizontais e verticais em padrões intensificados (θ = 90°, ψ = 18°), para uma rotura ao longo dos planos das juntas horizontais (θ = 90°, ψ=72°);

Com a diminuição do ângulo θ (para o mesmo ψ), mantêm‐se o mesmo tipo de rotura mas aumenta‐se a componente de corte.

• Ensaio de Compressão biaxial: o Pela observação da Figura 5.43 à Figura 5.47, conclui‐se que:

Os resultados obtidos pelo critério do Mário Vicente da Silva majoram bastante a grande maioria dos resultados experimentais. A excepção a esta afirmação verifica‐se quando a σ1=σ2, porque nestes casos não se consegue atingir a convergência da solução;

Os resultados obtidos pelo critério de Armando Nunes Antão demonstram uma boa semelhança em relação aos resultados experimentais;

Para a maioria dos rácios (σ1/σ2), o ângulo θ exerce uma pequena influência na resistência dos painéis, excepto quando uma das tensões principais é predominante;

o Pela observação tanto da Figura 5.34 como da Figura 5.56 à Figura 5.58, conclui‐se que:

Os modos de rotura obtidos pelo critério do Mário Vicente da Silva, para a compressão uniaxial, são semelhantes aos obtidos experimentalmente, excepto quando θ=0° e σ2=0;

Os modos de rotura obtidos pelo critério de Armando Nunes Antão, para a compressão uniaxial, são semelhantes aos obtidos experimentalmente, excepto quando θ=90° e σ2=0;

Para a compressão uniaxial, a rotura ocorre sempre num plano normal ao plano do painel. O aumento do ângulo θ provoca a alteração do tipo de rotura, isto é, passa de uma rotura que ocorre por fendilhação e deslizamento ao longo da junta horizontal e/ou vertical, para um mecanismo combinado envolvendo tanto a fendilhação dos tijolos como das juntas;

Para a compressão biaxial, a rotura ocorre tipicamente por divisão da amostra a metade da espessura (num plano paralelo à sua superfície livre), independentemente do ângulo θ. Para níveis elevados dos rácios (cerca de 10), a orientação da junta desempenha um papel importante e a rotura ocorre num mecanismo combinado envolvendo tanto a rotura da junta como a divisão lateral.

o Por fim, apresentam‐se alguns comentários: Os efeitos da escala produzidos pelo uso da alvenaria a metade da escala não afectaram os resultados obtidos numericamente, porque a comparação é feita com um modelo teórico (SUBLIM3d) derivado de testes a metade da escala;

Quando não existe a possibilidade de rotura do tijolo num plano paralelo ao plano da parede da alvenaria, existe uma boa concordância entre os resultados obtidos experimentalmente e os resultados obtidos pelo SUBLIM3d. Caso contrário, quando existe a possibilidade de rotura do tijolo num plano paralelo ao plano da parede de alvenaria, existe uma maior

120

• Ens

saio de Tracço Pela ob

o Pela obque:

o Por fimde com

discrepânciobtidos exp

ção – Comprservação da Os resultaduma boa cocasos em qσ2/σ1=∞;30alguns casoOs resultaduma muitoexcepto node σ2/σ1=∞Para o paicritérios pralteração daPara a maioresistência com o aume

bservação ta

Para os casmodos de robtidos expPara os resVicente da para θ=0° coPara todos do painel pou num me, apresentampressão biaxPara θ=45° valor de traocorre semdeve‐se ao Para θ=90°,mas neste cnenhum quPara θ=0° evárias vezejuntas horizestá presendeve‐se à reforçado pnum planotijolos como

a entre os perimentalm

essão biaxiaFigura 5.48

dos obtidos oncordância que o ângu0), de 22.5°os, devido à idos obtidos o boa concos casos em q∞;30), de 22nel θ=22.5° ropostos e a geometria oria dos ráciodos painéisento do ângunto da Figur

os de θ=22.5rotura obtidperimentalmstantes casoSilva são seom σ1=0 e paos casos, a r

por fendilhaçecanismo comm‐se alguns cxial): e θ=67.5°,

ansição. Estempre nas juninício do apa, verifica‐se acaso como aeda correspe 22.5°, a rots tanto os tzontais refornte na junta alteração d

pela resistêno transversao as juntas.

CARGAS D

resultados ente;

al: à Figura 5.52pelo critériocom o enve

ulo θ assum° e de 0°. Esncapacidadepelo critérioordância coque o ângul2.5° e de 0°;sujeito a tos resultadodo painel; os (σ2/σ1), o s, onde estaulo θ. ra 5.35 como

5° (outros ráos pelos critente; s o critério emelhantes ara θ=90° corotura ocorrção apenas dmbinado envcomentários

verifica‐se qe facto deventas, onde aarecimento da mesma cona junta horizondente da tura é mais ctijolos como rçam os painvertical. A q

do modo decia atrítica dl ao painel,Por outro la

DE COLAPSO

obtidos pelo

2, conclui‐seo do Mário lope de rotue os valoresta afirmaçãe de convergo de Armanm o enveloo θ assume

tracção uniaos experime

ângulo θ exa resistência

o da Figura

cios e σ1=0) térios propo

de Armandoaos obtidosom σ1=0, respe num planodas juntas (tvolvendo tans (adicionais

que os picoe‐se porque a queda na da tensão denstatação apontal está seresistência;complexa coas juntas, onéis mesmoqueda para oe rotura. Qda junta hori num mecaado, quando

O DE SISTEMA

o SUBLIM3d

que: Vicente da ura experimees de 90° (po é justificaência da soludo Nunes Aope de rotuos valores 9

axial, a diveentais é de

xerce um papa decresce s

5.59 à Figur

e de θ=45° (ostos não se

o Nunes Antexperimentpectivamento (ou planosipo de roturnto os tijolos aos apresen

s encontrama rotura emresistência

e tracção naspresentada nempre em tr

om o plano donde os efe quando a to envelope d

Quando existzontal, logo anismo envoσ2=0, não e

AS DE ALVEN

d e os resul

Silva apreseental, exceptpara os casda em parteução; Antão apreseura experim90° (para os

ergência entvido em pa

pel importansignificativam

ra 5.63, conc

(outros rácioe assemelham

tão e o de talmente, exe; ) normal ao ra predomincomo as jun

ntados pelo e

m‐se próximm ambos os para altos s juntas [37];no tópico antracção não o

de rotura a iitos do atrittensão de trde rotura dete σ2 o paia rotura ocoolvendo tanexiste este ti

NARIA

ltados

entam to nos os de e para

entam mental, casos

tre os arte à

nte na mente

clui‐se

os), os m aos

Mário xcepto

plano ante), ntas. ensaio

os do casos rácios ; terior, ocorre

incluir to nas racção e θ=0° inel é orrerá nto os po de


121

reforço ocorrendo a rotura apenas nas juntas em forma de padrão, envolvendo tanto as juntas horizontais como as verticais.

Por fim, apresentam‐se alguns comentários sobre as decisões tomadas:

o Tipo de apoio considerado (ver Figura 4.2): a visualização das deformadas apresentadas pelos diversos painéis (deformação quase nula na base e deformações significativas no topo), levou a questionar se o tipo de apoio seria o correcto, por isso executaram‐se diversos testes (com mais e menos fiadas do que o considerado nos cálculos). Obtiveram‐se nestes testes diferenças mínimas, permitindo assim afirmar que se optou pelo sistema de apoio correcto, que não tem qualquer influência no resultado;

o Propriedades dos materiais considerados: para chegar a estas propriedades passou‐se por um vasto processo de discussão/interpretação/comparação de resultados que se apresenta sumarizado de seguida. Inicialmente, optando‐se pelas propriedades fornecidas por A. W. Page, observou‐se que não havia uma boa semelhança entre os resultados obtidos pelo SUBLIM3d e os resultados obtidos experimentalmente. Por isso, para se obter um maior ajustamento global aos resultados obtidos experimentalmente, procedeu‐se à optimização dessas propriedades. Essa optimização foi alcançada primeiro, através da compreensão da influência dos diversos parâmetros que definem a influência do comportamento dos materiais que constituem a alvenaria no comportamento global desta e, depois, pela escolha dos parâmetros que melhor reproduzem esse comportamento;

o Critérios que definem os materiais: apesar de neste exemplo ser possível existir deformação no sentido perpendicular ao plano da parede, continuou‐se a supor a deformação plana nos critérios utilizados para simular o comportamento da alvenaria;

o Resultados experimentais/Propostas (capítulo 5.2.2.2): apenas se apresentaram os resultados (experimentais e teóricos) obtidos por A. W. Page, porque as restantes estimativas teóricas existentes na literatura baseiam‐se no comportamento ortotrópico dos materiais;

5.2.3 Considerações finais Em todos os exemplos analisados no capítulo 5.2, verifica‐se que os resultados experimentais das

alvenarias mostram tipicamente uma larga dispersão, o que dificulta a correcta comparação com os modelos teóricos.

No presente trabalho pretendeu‐se comparar os resultados existentes (tanto experimentais como teóricos) com os regulamentos existentes, CEN [2], mas tal não foi possível devido não só à complexidade dos exemplos estudados como também devido a este regulamento ser mais específico para edifícios.

Poder‐se‐ia, eventualmente, chegar a um melhor acordo entre os resultados obtidos experimentalmente e os obtidos pelo SUBLIM3d caso estivessem disponíveis as propriedades dos materiais (tijolos e juntas) necessárias à utilização dos critérios propostos. Muitas das vezes, não há ensaios suficientes para a completa caracterização dos materiais que constituem a alvenaria. Outras das vezes, existindo esses ensaios, são de natureza de tal forma dispersa que não se coadunam com a análise determinística do problema.

122

Adicionpode ser ccondição deobservandoensaio, o mdevido à ligunidade/junna junta evertical (vepodem con

almente, o caracterizadoe tensão plao o ensaio dematerial da jugação com esnta, resultannquanto nor Figura 5.64duzir à rotur

FIGURA 5.

comportamo com umaana é tambée compressãunta tem tenstes fica conndo assim, nus tijolos se 4). Este estara do prisma

.64 – Ensaio de

ento mecân condição dém discutíveão uniaxial sndência paranfinada. Esteum estado informa tens

ado de tensã.[39]

e compressão so

CARGAS D

nico das alvede deformael. Esta afirmobre um pri se expandir confinamennterno de tensão no planoão provoca o

ob provetes de

DE COLAPSO

enarias comção plana.

mação pode sma de alver lateralmentnto provoca nsão, que coo horizontao início de fa

e alvenaria e su

O DE SISTEMA

elementos No entantoser compreeenaria (ver Fite mais do qtensões de consiste em col associada alhas de div

uas consequênc

AS DE ALVEN

deformáveio, a utilizaçãendida facilmigura 5.64). que os tijoloscorte na inteompressão tcom compr

visão verticai

cias

NARIA

s não ão da mente Neste s, mas erface riaxial ressão is que

123

Capítulo 6

6 Conclusões e Desenvolvimentos futuros Nesta dissertação efectuou‐se inicialmente a definição do problema que originou este trabalho,

através do seu enquadramento nos sistemas de alvenaria, no comportamento do material e nos métodos de resolução. De seguida caracterizou‐se a ferramenta de cálculo utilizada no presente trabalho, SUBLIM3d, bem como se procedeu à implementação de dois critérios de cedência (propostos ao autor). Depois, procedeu‐se à validação da implementação numérica destes critérios. Por fim, através da aplicação da ferramenta numérica desenvolvida a três exemplos numéricos, aferiu‐se a capacidade do SUBLIM3d na determinação de cargas de colapso de sistemas de alvenaria.

6.1 Conclusão Os dois exemplos de aplicação de critérios sem truncatura analisados serviram para validar a

aplicabilidade do critério de Mohr – Coulomb na determinação de cargas de colapso de sistemas de alvenaria, apresentando ambos bons resultados, tanto em relação aos resultados experimentais como em relação aos resultados obtidos por outras estimativas teóricas.

Por outro lado, o exemplo de aplicação de critérios com truncatura analisado serve não só para aferir a capacidade dos modelos propostos como serve para validar a aplicabilidade dos critérios propostos, captando no exemplo a forma dos envelopes de rotura. O critério presente em [4] revelou‐se ser aquele que apresenta melhores resultados, isto é, aquele que se aproxima mais dos valores obtidos experimentalmente.

Este exemplo demonstra que a escolha de critérios baseados na deformação plana não corresponde à melhor forma de representar o correcto comportamento da alvenaria. Contudo, a opção pela realização dos cálculos em condições de tensão plana poderá também não ser a mais representativa do comportamento da alvenaria. Assim sendo será necessário a efectivação de cálculos em condições tridimensionais de forma a verificar a capacidade do SUBLIM3d em representar o colapso da alvenaria nas mais diversas condições.

Mesmo assim, conclui‐se por todos os exemplos analisados, da robustez, da precisão, da eficiência, do desempenho e da capacidade dos critérios analisados na determinação de cargas de colapso de sistemas de alvenaria.

Em retrospectiva final, conclui‐se que o presente trabalho atingiu globalmente os objectivos definidos no início do trabalho, isto é, desenvolveu‐se eficientemente a ferramenta numérica de elementos finitos existente no DEC, com vista à sua aplicação na determinação de cargas de colapso de sistemas de alvenaria. Com a inclusão destes dois novos critérios de cedência, a ferramenta numérica de elementos finitos existente no DEC apresenta também um aumento de capacidade para se tornar numa ferramenta poderosa para a avaliação de estruturas de alvenaria, na prática da engenharia, sendo possível oferecê‐la no futuro aos analistas da alvenaria e aos projectistas ao nível micro.

124

6.2 DesEm jeito

ferramenta pretendend

I. Em

II. Em

envolvimo de conclusde cálculo

do‐se explorá

relação à fe

• Implem

• Desenvinferior

• Definir critério

• Definir relação aos

• Paredes

• Paredes

• Paredes

• Paredes

• Alvenar

• Edifício

• Pontes

• Túneis a

• Reforço

• Sistema

mentos futsão enuncia‐se em seguná‐los em trab

rramenta de

mentar uma a

olver a ferrar);

a utilizaçãode Mohr – C

tridimensionexemplos a

s com abertu

s de alvenari

s de adobe r

s de alvenari

rias curvas em

s de alvenar

de alvenaria

antigos de al

o de sistemas

as de alvenar

turos se um conjudo com os balhos futuro

e cálculo:

análise dinâm

amenta de

o de critérioCoulomb;

nalmente os analisar:

uras (Janelas

ia em 3D [41

eforçadas ou

ia sujeitas a

m 3D reforça

ia (incluindo

a em 2D e em

lvenaria [50]

s de alvenari

ria com outr

CARGAS D

nto de tópicexemplos a os.

mica [40];

cálculo para

s em condiç

critérios apr

s e portas)[6]

1];

u não [42];

momentos d

adas ou não

o catedrais)[1

m 3D [17, 48,

];

ia [17];

o tipo de em

DE COLAPSO

cos, relacionaanalisar, qu

a o teorema

ções de ten

resentados n

];

de flexão e d

com FRP [45

16, 47];

, 49];

mparelhamen

O DE SISTEMA

ados em primue se conside

estático (te

são plana, n

no presente t

e torção [43

5, 46];

nto de pedra

AS DE ALVEN

meiro lugar cera interessa

eorema da r

nomeadame

trabalho;

, 44];

s [51, 52].

NARIA

com a antes,

região

ente o

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CARGAS D

on‐linear prurnal for Nu

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