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Capítulo 2

Grupos topológicos

Diversas propriedades dos grupos de Lie dependem apenas de sua topologiae não da estrutura de variedade diferenciável. Nesse capítulo serão estudadasalgumas dessas propriedades, que valem para grupos topológicos mais gerais.O objetivo aqui não é fazer um desenvolvimento exaustivo da teoria dosgrupos topológicos, mas apenas estabelecer uma linguagem e demonstraralguns resultados úteis para os grupos de Lie.O elemento neutro de um grupo G será denotado por 1. Para um subcon-

junto A � X de um espaço topológico se denota por A�, A e @A o interior,fecho e fronteira de A, respectivamente.

2.1 Introdução

Um grupo topológico é um grupo cujo conjunto subjacente está munido deuma topologia compatível com o produto no grupo, no sentido em que

1. o produto p : G � G ! G, p (g; h) = gh, é uma aplicação contínua,quando se considera G�G com a topologia produto e

2. a aplicação � : G! G, � (g) = g�1, é contínua (e, portanto, um home-omor�smo, já que ��1 = �).

Essas duas propriedades podem ser condensadas tomando a aplicaçãoq : G � G ! G, de�nida por q (g; h) ! gh�1. De fato, q é contínua se p e� são contínuas e, reciprocamente, se q é contínua então g ! (1; g) ! g�1 écontínua e, portanto, p (g; h) = q (g; h�1) é contínua.

17

18 CAPÍTULO 2. GRUPOS TOPOLÓGICOS

Cada elemento g de um grupo G de�ne, naturalmente, as seguintes apli-cações:

� translação à esquerda Eg : G! G, Eg (h) = gh,

� translação à direita Dg : G! G, Dg (h) = hg e

� conjugação (ou automor�smo interno) Cg : G! G, Cg (h) = ghg�1.

Segue das de�nições que Eg � Eg�1 = Dg � Dg�1 = id. Além do mais,Cg = Eg � Dg�1 portanto todas essas aplicações são bijeções de G. No casode grupos topológicos essas aplicações são contínuas pois Eg = p � sg;1 eDg = p � sg;2 onde sg;1 (h) = (g; h) e sg;2 (h) = (h; g) são aplicações contínuasG ! G � G. A continuidade das translações e as fórmulas (Eg)

�1 = Eg�1 ,(Dg)

�1 = Dg�1 e (Cg)�1 = Cg�1, mostram que essas aplicações são, na ver-

dade, homeomor�smos de G. As fórmulas a seguir relacionam as translaçõescom a inversa �.

� Dg � Eh = Eh �Dg.

� Eg � � = � �Dg�1 .

� Dg � � = � � Eg�1 .

Deve-se observar que a continuidade das translações e das conjugaçõesdependem de uma propriedade mais fraca que a continuidade de p, já que,por exemplo Eg é contínua se, e só se, a �aplicação parcial� h 7! gh écontínua. Em geral aplicações de�nidas em espaços produtos podem sercontínuas em cada variável sem que seja contínua. Esse fenômeno leva àde�nição de grupo semi-topológico, que é um grupo em que o produto éparcialmente contínuo, isto é, todas as translações são contínuas. Exemplosde grupos semi-topológicos e não topológicos serão apresentados abaixo.

Exemplos:

1. Subgrupos de Gl (n;R): Gl (n;C), O(n) Sl (n;R), Sl (n;C), Gl (n;H).

2. (Rn;+).

3. Qualquer grupo em que o conjunto subjacente é munido da topologiadiscreta (em que todos os conjuntos são abertos).

2.1. INTRODUÇÃO 19

4. Num corpo ordenado (K;+; �;�) pode-se de�nir a topologia da ordem,que é gerada pelos intervalos abertos. Em relação a essa topologia aoperação + de�ne um grupo topológico, enquanto que o produto de�neum grupo topológico em K� = K n f0g.

5. O círculo S1 tem uma estrutura de grupo natural que é dada peloproduto de números complexos de módulo 1: S1 = fz 2 C : jzj =1g. Com a topologia canônica S1 é um grupo topológico. De formaalternativa, o produto em S1 é dado pelo quociente S1 = R=Z, em queo produto é dado pela soma módulo 1 de números reais.

6. Exemplos mais gerais que o anterior são dados pelos cilindros Tk�Rm =Rm+k=Zk =

�

Rk=Zk�

� Rm, com topologias canônicas. (Veja abaixoprodutos e quocientes de grupos topológicos.)

7. Seja (C n f0g; �) munido da topologia gerada pela base de abertos, queé formada pelos intervalos abertos das retas verticais ra = fa + ix 2C : x 2 Rg. Esse grupo não é topológico em relação a essa topologia.De fato, a translação à esquerda Eei� é uma rotação de ângulo � 2 R.A imagem do aberto ra = fa + ix 2 C : x 2 Rg não é aberto se, porexemplo, � = ��=2.

8. Sejam G um grupo topológico e X um espaço topológico. Denote porA (X;G) o conjunto das aplicações contínuas f : X ! G. Este con-junto tem uma estrutura de grupo com o produto (fg) (x) = f (x) g (x).Introduza em A (X;G) a topologia compacto-aberto, que tem comobase de abertos os conjuntos do tipo

AK;U = ff 2 A (X;G) : f (K) � Ug

onde K � X é compacto e U � G é aberto. Com essas estruturasA (X;G) é um grupo topológico. De fato, o produto em A (X;G) �A (X;G) é homeomorfo a A (X;G�G) por (f; g) 7! h onde h (x) =(f (x) ; g (x)), com a topologia compacto-aberta em A (X;G�G). SejaqA (f; g) = fg

�1. Através da identi�cação entre esses espaços, q�1A (AK;U)é o conjunto das funções h : X ! G�G tais que h (K) � q�1 (U). Istoé,

q�1A (AK;U) = AK;q�1(U)

onde a vizinhança do segundo membro é vista em A (X;G�G). Por-tanto, o grupo é topológico.


9. Como caso particular do exemplo anterior, seja fGigi2I uma família degrupos indexada pelo conjunto I. O produto cartesiano G =

Q

i2I Gié o conjunto formado pelas aplicações f : I !

S

i2I Gi tais que f (i) 2Gi para todo i 2 I. O produto cartesiano admite uma estrutura degrupo em que o produto é dado componente a componente: (fg) (i) =f (i) g (i). A topologia produto em

Q

i2I Gi é gerada por abertos dotipo

Q

i2I Ai com Ai � Gi abertos, i 2 I e Ai = Gi a menos de umnúmero �nito de índices (topologia compacto-aberta em que I tem atopologia discreta). Como o produto é feito componente a componentee cada Gi é um grupo topológico, G é grupo topológico com a topologiaproduto.

Em particular, se I é um conjunto �nito,Q

i2I Gi = G1�� Gn, seuselementos são n-uplas g = (g1; : : : ; gn), gi 2 Gi, a multiplicação é dadapor

gh = (g1h1; : : : ; gnhn)

com a topologia produto, gerada por subconjuntos do tipo A1�� Ancom Ai � Gi aberto.

10. Este exemplo ilustra um grupo com uma topologia em que o produtoé uma aplicação contínua, mas � (g) = g�1 não é contínua. Considere ogrupo aditivo (R;+) com R munido da topologia (topologia de Sorgen-frey) gerada pela base dada pelos intervalos [a; b), a < b. O produto éuma aplicação contínua pois se x + y 2 [a; b) então para algum " > 0,x+ y+ " < b, o que garante que [a; b) contém [x; x+ "=2)+ [y; y+ "=2)(= fz + w : z 2 [x; x + "=2) e w 2 [x; x + "=2)g). Isso signi�ca que oaberto [x; x + "=2) � [y; y + "=2) está contido em p�1[a; b), mostrandoque p é contínua. Por outro lado, � (x) = �x não é contínua pois, porexemplo, (�2;�1] = ��1[1; 2) não é aberto.

11. Este exemplo ilustra o caso de um grupo G em que a inversa � (g) = g�1

é contínua e p é parcialmente contínua (isto é, G é semi-topológico), masnão contínua. Tome o grupo aditivo (R2;+) com R2 munido da topolo-gia gerada pelas bolas siamesas, que são de�nidas da seguinte forma:tome duas bolas de mesmo raio com centros numa mesma reta verticale que se tangenciam. A bola siamesa correspondente é a união do in-terior das bolas juntamente com o ponto de tangência. O conjunto dasbolas siamesas forma uma base para topologia. Munido dessa topologiaa inversa em R2 é contínua (por simetria em relação à origem), assim

2.1. INTRODUÇÃO 21

como as translações. No entanto, o produto p = + não é contínuo. Defato, (1; 0) + (�1; 0) = (0; 0). Tome uma bola siamesa B com tangên-cia em (0; 0) e sejam B1 e B2 bolas siamesas com pontos de tangênciaem (1; 0) e (�1; 0), respectivamente. Então, B1 + B2 não está con-tida B, como pode ser veri�cado geometricamente. Isso signi�ca queB1�B2 não está contido em p�1 (B). Como B, B1 e B2 são elementosarbitrários da base para a topologia, segue que p não é contínua em((1; 0) ; (�1; 0)).

2

Se A é um subconjunto de G e g 2 G a translação Eg (A) é denotadasimplesmente por gA = fgx : x 2 Ag. O fato de que as translações sãohomeomor�smos implica que gA é aberto ou fechado seA é aberto ou fechado,respectivamente. A mesma observação vale para as translações à direita Ag.De forma mais geral, seja B � G e escreva

A �B = AB = fxy 2 G : x 2 A; y 2 Bg:

Por de�niçãoAB =S

x2B Ax =S

x2A xB. Dessa forma, seA (ouB) é aberto,então AB é aberto por ser união de abertos. Deve-se observar, no entanto,que AB pode não ser fechado, mesmo que ambos os conjuntos sejam fechados

(por exemplo, em (R2;+) tome os ramos de hipérboles: A = f�

x;1

x

�

: x >

0g, B = f

�

�x;1

x

�

: x > 0g. A soma A + B está contida no semi-plano

y > 0 e, no entanto, (0; 0) está no fecho de A+B).Juntamente com a notação AB, surgem naturalmente as notações A2 =

A � A, A3 = A2 � A = A � A2, etc.Para A � G é usada a notação A�1 = fx�1 2 G : x 2 Ag. Como

� (g) = g�1 é um homeomor�smo, A�1 = � (A) é aberto ou fechado se, e sóse, A é aberto ou fechado, respectivamente.Uma vizinhança U da identidade é dita simétrica se U = U�1. Não é

difícil construir vizinhanças simétricas. De fato, se V é uma vizinhança qual-quer de 1 então V �1 também é uma vizinhança e V \ V �1 é uma vizinhançasimétrica.


2.2 Vizinhanças do elemento neutro

Seja U � G um aberto não vazio e tome g 2 U . Então, g�1U e Ug�1

são vizinhanças do elemento neutro de G. Reciprocamente, se V é umavizinhança de 1 então, dado g 2 G, gV e V g são vizinhanças de g. Essasobservações têm como consequência que toda informação sobre a topologia deG está concentrada no conjunto das vizinhanças abertas do elemento neutro.O conjunto dessas vizinhanças é denotado por V (1) ou simplesmente V.A proposição a seguir lista algumas propriedades de V, que serão usadasposteriormente para descrever a topologia de G.

Proposição 2.1 Seja G um grupo topológico e denote por V o conjunto dasvizinhanças abertas do elemento neutro 1. Então, valem as seguintes pro-priedades:

T1) O elemento neutro 1 pertence a todos os subconjuntos U 2 V.

T2) Dados dois conjuntos U; V em V, U \ V está em V.

GT1) Para todo U 2 V, existe V 2 V tal que V 2 � U

GT2) Dado U 2 V, U�1 2 V.

GT3) Para todo g 2 G e U 2 V, gUg�1 2 V.

Demonstração: As propriedades (T1) e (T2) valem para as vizinhançasde um ponto num espaço topológico qualquer. A propriedade (GT1) éequivalente ao produto ser contínuo em 1. De fato, p�1 (U) � G � Gé um aberto contendo (1; 1). Portanto existe um aberto V de G, com(1; 1) 2 V � V � p�1 (U). Isso signi�ca que V 2 = p (V � V ) � U . Já apropriedade (GT2) foi comentada acima e é equivalente à continuidade em1 da aplicação �. Por �m (GT3) segue de que g1g�1 = 1 e Cg (x) = gxg�1 écontínua. 2

As propriedades enunciadas nesta proposição caracterizam completamenteo conjunto das vizinhanças da identidade.

De�nição 2.2 Um sistema de vizinhanças da identidade (ou elemento neu-tro) em um grupo G é uma família de conjuntos V satisfazendo as pro-priedades da proposição anterior.

2.2. VIZINHANÇAS DO ELEMENTO NEUTRO 23

Será mostrado abaixo que um sistema de vizinhanças da identidade de�nede forma única a topologia de um grupo topológico. Para isso será necessárioum lema que garante a continuidade de aplicações a partir da continuidadeem um único ponto. Resultados análogos a esse lema são utilizados constan-temente na teoria.Uma topologia T num grupoG é dita invariante à esquerda se gA é aberto

de T para todo g 2 G e A 2 T . Uma topologia é invariante à esquerda se, esó se, as translações à esquerda são contínuas (e, portanto, homeomor�smos).Da mesma forma se de�nem as topologias invariantes à direita.Se T é uma topologia invariante à esquerda em G então a topologia

produto em G�G é invariante à esquerda pois (g; h) (A�B) = (gA)� (hB)se A;B � G e (g; h) 2 G � G. Da mesma forma, a topologia produto éinvariante à direita em G�G se for invariante à direita em G.

Lema 2.3 Seja G é munido de uma topologia T invariante à esquerda e àdireita. Então, G é um grupo topológico se, e somente se,

1. p é contínua em (1; 1) e

2. � : G! G, � (g) = g�1, é contínua em 1.

Demonstração: É claro que as condições são necessárias. A demonstraçãoda su�ciência requer as seguintes igualdades, cujas demonstrações são ime-diatas.

1. Dado (g; h) 2 G � G sejam E(g;h) e D(g;h) a translação à esquerdae à direita em G � G, respectivamente. Então p � E(g;1) = Eg � p ep �D(1;g) = Dg � p.

2. Dado g 2 G, � � Eg = Dg�1 � �.

Agora, tome (g; h) 2 G � G. Então p � E(g;1) � D(1;h) = Eg � Dh � p. Osegundo membro dessa igualdade é uma aplicação contínua em (1; 1) poisEg �Dh é homeomor�smo. Portanto, p � E(g;1) �D(1;h) é contínua em (1; 1).Mas E(g;1) � D(1;h) é um homeomor�smo, daí que p é contínua em (g; h) =E(g;1) �D(1;h) (1; 1).Por outro lado, Dg�1 � � é contínua em 1, portanto, � � Eg é contínua em

1 e daí que � é contínua em g = Eg (1). 2


Para caracterizar a topologia de G a partir dos sistemas de vizinhançasda identidade deve-se lembrar que um sistema fundamental de vizinhançasde um ponto x num espaço topológico X é uma família F de abertos de Xtal que cada elemento de F contém x e se A � X é um aberto com x 2 Aentão existe B 2 F tal que B � A.

Proposição 2.4 Seja G um grupo e suponha que V é um sistema de vizin-hanças da identidade em G. Então, existe uma única topologia T que tornaG um grupo topológico de tal forma que V é um sistema fundamental devizinhanças do elemento neutro em relação a T .

Demonstração: De�na T como sendo a família dos subconjuntos A � Gtais que para todo g 2 A, existe U 2 V tal que gU � A. É claro que osconjuntos ; e G são elementos de T . Para ver que T é uma topologia tomeA;B 2 T e x 2 A\B. Então, existem U; V 2 V tais que xU � A e xV � B.Pela propriedade (T2), U \ V 2 V. Mas,

x (U \ V ) = xU \ xV � A \B;

mostrando que A\B 2 T . A de�nição de T mostra que uma união qualquerde conjuntos em T é um elemento de T .Agora as vizinhanças abertas de 1 em relação a T são os elementos de

V. De fato, a própria de�nição de T mostra que os elementos de V sãovizinhanças de 1. Por outro lado, seja U uma vizinhança de 1 em relaçãoa T . Então, existe V 2 V tal que 1 � V � U . Portanto, V é um sistemafundamental de vizinhanças de 1 em relação a T .A de�nição de T e a propriedade (GT3) garantem que T é invariante

à direita e à esquerda. De fato, uma translação à esquerda gU , u 2 V, étambém uma translação à direita da forma gU = (gUg�1) g. Por (GT3) seU 2 V então gUg�1 2 V. Portanto, pelo lema anterior para garantir queG munido de T é grupo topológico, basta veri�car que p e � são contínuasem (1; 1) e 1, respectivamente. Mas essas continuidades são equivalentes àspropriedades (GT1) e (GT2), respectivamente, concluindo a demonstraçãode que G é grupo topológico com a topologia T .Por �m, suponha que T 0 é outra topologia satisfazendo as mesmas con-

dições. Então, V é um sistema fundamental de vizinhanças de 1 em relaçãoa T 0. Realizando translações à esquerda, vê-se que gV , com V variando emV é um sistema fundamental de vizinhanças de g 2 G. Portanto, para todoA 2 T 0 e g 2 A, existe V 2 V tal que gV � A. Daí que todo aberto de

2.2. VIZINHANÇAS DO ELEMENTO NEUTRO 25

T 0 é aberto de T , isto é, T 0 � T . Alterando o papéis de T e T 0, segue queT = T 0, concluindo a demonstração. 2

Exemplo: Uma situação ilustrativa da construção feita acima é quando oselementos de V são subgrupos de G. Nesse caso, as condições para V se re-duzem a (T2) e (GT3) pois se V é um subgrupo então 1 2 V e V 2 = V �1 = V .Um exemplo de um sistema V desse tipo é construido no grupo Z. Dado umnúmero primo p > 0 seja Vp a família de subgrupos Vn = pnZ, n � 1. ComoZ é abeliano, a condição (GT3) é automaticamente satisfeita. Já a condição(T2) vale pois pnZ \ pmZ = pmaxfn;mgZ. Portanto, V de�ne uma topologiaem Z tornando-o um grupo topológico. Essa é a chamada topologia p-ádicaem Z. 2

A descrição feita da topologia em termos das vizinhanças da identidadeestabelece o princípio de que toda descrição topológica em G de ver feitaatravés dessas vizinhanças. A proposição abaixo segue esse principio ao darum critério para que a topologia seja de Hausdor¤ em termos das vizinhançasda identidade.

Proposição 2.5 Seja G um grupo topológico. Então, as seguintes condiçõessão equivalentes:

1. A topologia de G é Hausdor¤.

2. f1g é um conjunto fechado.

3.T

U2V(1) U = f1g.

Demonstração: Numa topologia Hausdor¤ todo conjunto unitário é fe-chado, em particular f1g é fechado. Suponha que f1g seja fechado. Paramostrar que a interseção das vizinhanças se reduz ao elemento neutro deve-se mostrar que para todo x 6= 1, existe U 2 V tal que x =2 U . Como f1g éfechado, existe tal V 2 V tal que 1 =2 x�1V , isto é, x =2 V . Por �m, assumaque a interseção se reduz a f1g e tome x 6= 1. Então existe U 2 V tal quex =2 U . Por (GT1) existe V 2 V tal que V 2 � U . Então, V \ xV �1 = ;,pois z 2 V \ xV �1 deve satisfazer z = u = xv�1, u; v 2 V , e daí quex = uv 2 V 2 � U , contradizendo a escolha de U . Consequentemente, osabertos V e xV �1 separam 1 de x. Tome agora y 6= z arbitrários. Então,


existem abertos U1 e U2 com y�1z 2 U1 e 1 2 U2 e U1 \U2 = ;. Portanto, osabertos yU1 e yU2 separam z de y. 2

Seguindo ainda o princípio de que a topologia de G é descrita pelas viz-inhanças da identidade e as translações, a proposição a seguir diz respeito àcontinuidade de homomor�smos.

Proposição 2.6 Sejam G1 e G2 grupos topológicos e � : G1 ! G2 um homo-mor�smo. Então, � é contínuo se, e somente se, � for contínuo no elementoneutro 1 2 G1.

Demonstração: Basta mostrar que a continuidade em 1 acarreta a con-tinuidade em todos os pontos. Como � é homomor�smo, � � Eg = E�(g) � �para todo g 2 G. O segundo membro é contínuo em 1. Portanto, � � Egé contínuo em 1 e como Eg é homeomor�smo, segue que � é contínuo emg = Eg (1). 2

2.3 Grupos Metrizáveis

Uma distância d : G�G! R+ num grupo G é dita invariante à esquerda sed (gx; gy) = d (x; y) para todo g; x; y 2 G. Em outras palavras, d é invarianteà esquerda caso as translações à esquerda Eg são isometrias. As distânciasinvariantes à direita são de�nidas de maneira análoga. Uma distância é bi-invariante se ela é ao mesmo tempo invariante à esquerda e à direita.Uma condição necessária para que um espaço topológico seja metrizável é

que todo ponto admita um sistema fundamental de vizinhanças enumerável.No caso de grupos topológicos essa condição também é su�ciente e, comoantes, basta veri�cá-la no elemento neutro.

Teorema 2.7 Seja G um grupo topológico e suponha que exista um sistemade vizinhanças da identidade que seja enumerável. Então, existem dE e dDdistâncias invariantes à direita e à esquerda, respectivamente, que são com-patíveis com a topologia de G.

Este teorema não será demonstrado aqui. No caso em que G é um grupode Lie a condição de enumerabilidade é satisfeita pois localmente G é home-omorfo a Rn. Portanto, grupos de Lie são metrizáveis. No entanto, para

2.4. SUBGRUPOS 27

grupos de Lie, em particular, existe uma construção mais simples que ada demonstração geral do teorema 2.7, utilizando métricas Riemannianasem variedades diferenciáveis. Essa demonstração será apresentada posterior-mente.Em todo caso, vale a pena ressaltar que o teorema garante a existên-

cia tanto de uma distância invariante à direita quanto de uma invariante àesquerda. Porém, pode não existir uma distância bi-invariante num grupometrizável.

Exemplos: Alguns exemplos de distâncias invariantes são:

1. Seja j�j uma norma qualquer em Rn e d (x; y) = jx� yj. Então d é umadistância bi-invariante em (Rn;+).

Observe que uma distância de�nida por uma norma no espaço de ma-trizes n� n não é necessariamente invariante quando restrita ao grupoGl (n;R).

2. Seja G um grupo compacto metrizável por uma distância d0. De�na

d (g; h) = supx2G

d0 (gx; gy) :

Então d é uma distância invariante à esquerda em G, compatível comsua topologia. A distância d pode ser vista também da seguinte maneira:denote por Hom (G) o grupo dos homeomor�smos de G e seja � : G!Hom (G) a aplicação � (g) = Eg. Então d é a restrição a � (G) da dis-tância em Hom (G) que de�ne a convergência uniforme em relação ad0.

2

2.4 Subgrupos

Seja G um grupo topológico e H um subgrupo de G. Como H é subconjuntode G ele pode ser munido com a topologia induzida, cujos abertos são daforma A \H com A aberto em G. Então, H torna-se um grupo topológico.De fato, denote por pH : H �H ! H o produto em H, que é a restrição aH do produto p de G. Para todo subconjunto A � G vale p�1H (A \H) =


p�1 (A)\(H �H). Em particular, se A é aberto, p�1H (A \H) é um aberto datopologia induzida em H�H pela topologia produto em G�G. No entanto,essa topologia induzida coincide com a topologia produto de H. Daí que pHé contínua. Da mesma forma se mostra que �H (h) = h�1 é contínua em H.Um subgrupoH � G com a topologia induzida é denominado de subgrupo

topológico de G.A seguir serão apresentados alguns resultados envolvendo propriedades

topológicas dos subgrupos deG. Em algumas demonstrações se usa o seguintelema de caráter geral.

Lema 2.8 Seja X um espaço topológico e � : X ! X um homeomor�smo.Suponha que A � X é um subconjunto invariante por �, isto é, � (A) � A.Então A, A� e @A também são invariantes. Além do mais, se � (A) � Aentão �

�

A�

� A.

Demonstração: Tome x 2 A e U uma vizinhança de � (x). Então ��1 (U) éuma vizinhança de x. Portanto, existe y 2 A\��1 (U) e como A é invariante,e � (y) 2 A \ U , mostrando que A é invariante.Seja x 2 A� e tome um aberto U com x 2 U � A. Então � (x) 2 � (U) �

A, pois A é invariante. Como � é homeomor�smo, � (U) é aberto, e, portanto� (x) 2 A�.Como A é invariante, o seu complementar em X também é invariante.

Daí que a @A = A \ Ac é invariante.Suponha que � (A) � A. Como � é homeomor�smo, � (A) = �

�

A�

. Por-

tanto, ��

A�

��

A��= A. 2

Proposição 2.9 Seja H � G um subgrupo. Então seu fecho H também ésubgrupo. Além do mais, se H é normal o mesmo ocorre com H.

Demonstração: Deve-se mostrar que xy 2 H se x; y 2 H. Para issosuponha em primeiro lugar que x 2 H. Então, Ex deixa H invariante eo lema acima garante que Ex

�

H�

� H. Mas, isso signi�ca que se y 2 Hentão xy 2 H. Portanto, dados x 2 H e y 2 H, xy 2 H. Esta frase podeser interpretada dizendo que Dy (H) � H para todo y 2 H. Mas, Dy éhomeomor�smo, portanto Dy

�

H�

� H, para todo y 2 H, o que signi�ca quexy 2 H se x; y 2 H.

2.4. SUBGRUPOS 29

Por um argumento semelhante, a inversa � deixa invariante H, mostrandoque H é subgrupo.Por �m, dizer que H é normal é o mesmo que dizer que H é invariante

pelas conjugações Cg, g 2 G. Pelo lema 2.8 segue que H também é invariantepor Cg, isto é, H é normal. 2

Os subgrupos fechados desempenham um papel central no estudo dasações dos grupos topológicos (e de Lie), pois no caso de ações contínuas, ossubgrupos que �xam um ponto (subgrupos de isotropia) são fechados. Aproposição 2.9 mostra a existência de uma grande quantidade de subgruposfechados. Por outro lado, a situação com o interior H� de um subgrupo H éainda mais simples, já que ou o interior é vazio ou é o próprio H, isto é, Hé aberto e nesse caso fechado, como mostram as proposições a seguir.

Proposição 2.10 Seja H � G um subgrupo e suponha que H� 6= ;. Então,H é aberto.

Demonstração: Suponha que exista x 2 H� . Então para todo y 2 H,o conjunto yx�1 (H�) é aberto, contém y e está contido em H. Isso mostraque y 2 H� e, portanto, H � H�, isto é, H = H�. 2

Proposição 2.11 Suponha que H é um subgrupo aberto de G. Então, H éfechado.

Demonstração: Uma classe lateral gH de H é obtida de H por umatranslação à esquerda. Portanto, se H é aberto, o mesmo ocorre com gH.Mas o grupo G é a união de H com as classes laterais gH, g =2 H. Issosigni�ca que o complementar de H em G é uma união de abertos, e daí queH é fechado. 2

Um subconjunto A de um espaço topológico X que é ao mesmo tempoaberto e fechado é união de componentes conexas de X, isto é, se uma com-ponente conexa C � X satisfaz C \ A 6= ; então C � A. Esta observaçãojuntamente com a proposição 2.11 mostra que os subgrupos abertos de G sãouniões de componentes conexas de G. Em particular, se o grupo é conexo eleé o único de seus subgrupos abertos.


Em todo caso, as componentes conexas de G estão relacionadas com osgrupos abertos. Essas componentes são descritas a seguir a partir da com-ponente conexa G0 que contém o elemento neutro 1 2 G. Essa componenteconexa é denominada componente da identidade (ou do elemento neutro).

Proposição 2.12 Denote por G0 a componente conexa do elemento neutro.Então G0 é um subgrupo fechado e normal de G. Qualquer outra componenteconexa é uma classe lateral gG0 = G0g de G0. Reciprocamente, toda classelateral gG0 = G0g é uma componente conexa de G.

Demonstração: Uma translação à esquerda Eg, g 2 G, é um home-omor�smo, portanto Eg leva componentes conexas de G em componentesconexas. Em particular, se g 2 G0, então Eg (G0) está contido em uma com-ponente conexa de G. Porém, 1 2 G0 e Eg (1) = g 2 G0. Isso implica queEg (G0) � G0. Tomando, então g; h 2 G0, vê-se que gh 2 G0. Analogamente,o conjunto � (G0) está contido em uma componente conexa de G que só podeser G0 pois � (1) = 1. Isso mostra que G0 é subgrupo. Para ver que é normal,basta repetir o mesmo argumento com as conjugações Cg, g 2 G, levando emconta que Cg (1) = 1. Por �m, por ser componente conexa, G0 é fechado.Como G0 é normal, gG0 = G0g para todo g 2 G. É claro que gG0 =

Eg (G0) é conexo e, portanto, gG0 � C onde C é uma componente conexaG. Suponha por absurdo que gG0 6= C. Então, G0 = Eg�1 (gG0) 6= g�1C eG0 � C, contradizendo o fato de que G0 é componente conexa, já que g�1Cé conexo. 2

Em geral a componente da identidade não é um subgrupo aberto. Porexemplo, em (R;+) considere o subgrupo Q � R munido da topologia in-duzida. Então, a componente da identidade se reduz a f0g, que não é abertoinduzido.Uma condição para que a componente da identidade G0 seja um aberto é

que o grupo seja localmente conexo, no sentido em que todo ponto tem umavizinhança aberta conexa. Os grupos de Lie por serem localmente homeo-morfos a Rn são localmente conexos, assim a proposição a seguir asseguraque as componentes conexas desses grupos são abertas.

Proposição 2.13 Suponha que G é localmente conexo. Então, G0 é umsubgrupo aberto.

2.5. AÇÕES DE GRUPOS E ESPAÇOS QUOCIENTES 31

Demonstração: Como G é localmente conexo, existe uma vizinhançaconexa U do elemento neutro. É claro que U � G0. Portanto, G0 tem inte-rior não vazio, e daí que é aberto. 2

Por �m, será mostrado o seguinte resultado sobre a forma de gerar grupos,que é bastante útil no estudo dos grupos de Lie.

Proposição 2.14 Suponha G conexo e tome uma vizinhança U do elementoneutro. Então, G =

S

n�1 Un.

Demonstração: Seja V = U \ U�1 uma vizinhança simétrica contidaem U . Como

S

n�1 Vn �

S

n�1 Un basta mostrar que G =

S

n�1 Vn. A

uniãoS

n�1 Vn é fechada por produtos. Além do mais, como V é simétrico,

(V n)�1 = V n. Isso implica queS

n�1 Vn é um subgrupo de G, que tem inte-

rior não vazio pois V �S

n�1 Vn. Portanto,

S

n�1 Vn é um subgrupo aberto.

Como G é conexo, G =S

n�1 Vn. 2

2.5 Ações de grupos e espaços quocientes

2.5.1 Descrição algébrica

Uma ação à esquerda de um grupo G num conjunto X é uma função queassocia a g 2 G uma aplicação a (g) : X ! X e que satisfaz as propriedades:

1. a (1) = idX , isto é, a (1) (x) = x, para todo x 2 X e

2. a (gh) = a (g) � a (h).

Essas propriedades garantem que cada a (g) é uma bijeção, já que

a�

g�1�

a (g) = a (1) = a (g) a�

g�1�

= idX :

Visto de outra maneira, uma ação à esquerda é um homomor�smo a : G !B (X), onde B (X) é o grupo das bijeções de X, com o produto dado pelacomposta de duas aplicações.Uma ação à direita é de�nida de maneira análoga substituindo a segunda

propriedade por a (gh) = a (h) � a (g).


De forma alternativa, uma ação à esquerda é de�nida como sendo umaaplicação � : G�X ! X satisfazendo � (1; x) = x e � (gh; x) = � (g; � (h; x)),g; h 2 G e x 2 X. A relação entre � e a é a óbvia: � (g; x) = a (g) (x), istoé, a (g) é a aplicação parcial �g de � quando a primeira coordenada é �xada:�g (x) = � (g; x).A outra aplicação parcial associada a � é obtida �xando x 2 X: �x :

G! X, �x (g) = � (g; x) = a (g) (x).Normalmente, os símbolos a ou � são suprimidos na notação para ações

de grupos. Assim uma ação à esquerda escreve-se apenas g (x), g � x ou gxao invés de a (g) (x). Para ações à direita é mais conveniente escrever o valorde a (g) em x como (x) a (g) aparecendo então a notações (x) g, x � g ou xg.Com essas notações uma ação à esquerda satisfaz 1x = x e g (hx) = (gh) x,já uma ação à direita satisfaz x1 = x e (xg)h = x (gh).Se a é uma ação à esquerda de G em X então a aplicação a0 de�nida por

a0 (g) = a (g�1) é uma ação à direita e vice-versa. No que segue serão tratadasapenas a ações à esquerda. As propriedades enunciadas são automaticamentetransferidas para as ações à direita substituindo a (g) por a (g�1).Dado x 2 X, sua órbita por G denotada por G � x ou Gx é de�nida como

sendo o conjuntoG � x = fgx 2 X : g 2 Gg:

Mais geralmente, se A � G então Ax = fgx : g 2 Ag. Em outras palavras,Ax = �x (A). Cada órbita é uma classe de equivalência da relação de equiv-alência x � y se existe g 2 G tal que y = gx. Por isso, é claro que duasórbitas ou são disjuntas ou coincidem.Um subconjunto B � X é G-invariante se gB � B para todo g 2 G. Um

conjunto invariante é união de órbitas de G. Se B é um conjunto invarianteentão a restrição da ação a G�B de�ne uma ação G�B ! B de G em B.Em particular o grupo G age em suas órbitas.O conjunto Gx dos elementos de G que �xam x é denominado de subgrupo

de isotropia ou estabilizador de x:

Gx = fg 2 G : gx = xg:

O subgrupo de isotropia é de fato um subgrupo de G, pois (gh) x = g (hx),portanto gh �xa x se gx = hx = x. Além do mais, g�1x = x se gx = x, poisa (g�1) = a (g)�1.Os subgrupos de isotropia são obtidos um dos outros pela seguinte relação:


Proposição 2.15 Dados x; y 2 X, suponha que y = gx com g 2 G. Então,Gy = gGxg

�1, onde Gx e Gy denotam os subgrupos de isotropia.

Demonstração: Por de�nição h 2 Gy se, e só se, h (gx) = gx. Aplicandog�1 a esta igualdade segue que (g�1hg) x = x, isto é, g�1hg 2 Gx. Portanto,h 2 Gy se, e só se, h 2 gGxg�1. 2

As ações de um grupo G são distinguidas em classes de acôrdo com aspropriedades de suas órbitas e grupos de isotropia.

De�nição 2.16 Seja a uma ação de G em X.

1. A ação é dita efetiva se ker a = fg 2 G : a (g) = idXg = f1g.

2. A ação é dita livre se os subgrupos de isotropia se reduzem ao elementoneutro de G, isto é, se gx = x para algum x 2 X, então g = 1.

3. A ação é dita transitiva se X é uma órbita de G, isto é, para todo parde elementos x; y 2 X existe g 2 G tal que gx = y.

É claro, a partir das de�nições, que ações livres são efetivas, no entantonem toda ação efetiva é livre. Em termos do homomor�smo a : G! B (X),uma ação é efetiva se, e só se, ker a = f1g, isto é, se a é injetora. Portanto,numa ação efetiva, G é isomorfo à sua imagem a (G) por a. Por essa razão,uma ação efetiva é também denominada de ação �el .Deve-se observar que a restrição da ação a uma órbita é uma ação tran-

sitiva. Portanto, toda a�rmação sobre ações transitivas se aplica à restriçãoda ação a uma órbita.Um caso particular de ação de grupo se dá nos espaços quocientes. Seja

H � G um subgrupo e denote por G=H o conjunto das classes lateraisgH, g 2 G. Então a aplicação (g; g1H) 7! g (g1H) = (gg1)H de�ne umaação à esquerda natural de G em G=H. Denotando por � : G ! G=H aaplicação sobrejetora (projeção) canônica � (g) = gH essa ação �ca escritacomo g� (g1) = � (gg1).Evidentemente a ação de G em G=H é transitiva. Por outro lado toda

ação transitiva se identi�ca (ou melhor, está em bijeção) com um espaçoquociente de G.


Proposição 2.17 Suponha que a ação de G em X é transitiva e tome x 2X. Então, aplicação �x : gGx 2 G=Gx 7! gx 2 X é uma bijeção entreG=Gx e X. A aplicação �x é equivariante no sentido em que g�x (g1H) =�x ((gg1)H), g; g1 2 G, isto é, �x comuta com as ações de G em G=H e X,respectivamente. Além do mais, se y = gx então �y = �x �Dg.

Demonstração: Em primeiro lugar, a aplicação é bem de�nida pois se g1e g2 estão na mesma classe lateral, isto é, g1Gx = g2Gx então g�12 g1 2 Gx, oque signi�ca que g�12 g1x = x, isto é, g1x = g2x. Por de�nição a aplicação ésobrejetora se, e só se, a ação é transitiva. Agora, suponha que g1x = g2x.Então g�12 g1x = x, isto é, g

�12 g1 2 Gx e daí que g1Gx = g2Gx, mostrando a

injetividade da aplicação.Seja y = � (g1H). Então y = g1x, e, portanto, gy = g (g1x) = (gg1) x.

Daí que g� (g1H) = � ((gg1)H).Por �m, se y = gx então �y (h) = h (gx) = (hg) x = �x (hg), mostrando

que �y = �x �Dg. 2

A aplicação �x da proposição acima está relacionada com a aplicaçãoparcial �x através do seguinte diagrama comutativo

G�x�! X

# � %�x

G=H

Em virtude dessa identi�cação, um quociente G=H é também chamadode espaço homogêneo, como são chamados normalmente os conjuntos onde osgrupos agem transitivamente. O ponto x escolhido para estabelecer a iden-ti�cação entre X e G=Gx é denominado de origem ou base do espaço ho-mogêneo X. A identi�cação de X com G=Gx depende da escolha da origem.No entanto, alterando x não muda substancialmente o espaço quociente, poisnuma ação transitiva os subgrupos de isotropia são conjugados entre si, comomostra a proposição 2.15. De fato, se H � G é um subgrupo então para todog 2 G a aplicação

hH 7�! g (hH) g�1 =�

ghg�1� �

gHg�1�

estabelece uma bijeção entre G=H e G=gHg�1.


Os fatos descritos acima sobre ações transitivas se aplicam de imediato àsórbitas de uma ação qualquer G �X ! X. Nesse caso, a restrição da açãosobre uma órbita G �x é transitiva o que permite identi�car G �x com G=Gx.Toda a discussão acima se estende de forma análoga a ações à direita,

onde os espaços homogêneos são os quocientes H nG, formados pelas classeslaterais Hg, g 2 G.Num espaço homogêneo G=H, isto é, na presença de uma ação transitiva,

as ações livres são aquelas em que o subgrupo de isotropia H se reduz a f1g.Nesse caso, o espaço homogêneo se identi�ca a G. Já as ações transitivas eefetivas são descritas a seguir pelos subgrupos normais contidos no grupo deisotropia.

Proposição 2.18 Seja G uma ação transitiva em X = G=H. Então, a açãoé efetiva se, e somente se, H não contém subgrupos normais de G, além def1g.

Demonstração: Suponha que N � H é um subgrupo normal de G, istoé, gNg�1 � N para todo g 2 G. É claro que H é o grupo de isotropia daorigem. Mas, pela proposição 2.15, os subgrupos de isotropia são conjugadosentre si. Portanto, qualquer h 2 N está contido em todos os subgrupos deisotropia. Mas isso signi�ca que hy = y, para todo y 2 X, isto é, h = idX .Portanto, se a ação é efetiva, N = f1g.Reciprocamente, o subgrupo normal ker a = fg 2 G : 8y 2 X; gy = yg

está contido em H. Portanto, se H não contém subgrupos normais, além dotrivial, então ker a = f1g e a ação é efetiva. 2

2.5.2 Ações contínuas

No contexto topológico deve-se considerar ações contínuas no seguinte sen-tido.

De�nição 2.19 Seja G um grupo topológico e X um espaço topológico. Umaação de G em X é contínua se a aplicação � : G�X ! X, � (g; x) = gx, écontínua.

Se H � G é um subgrupo, a restrição a H da ação de G em X é umaação de H. Tomando em H a topologia induzida, a restrição de uma açãocontínua é contínua.


No caso de uma ação contínua, os objetos introduzidos anteriormenteadmitem boas propriedades topológicas.De fato, se � é contínua então as aplicações parciais �x : G ! X, x 2

X, e �g : X ! X, g 2 G, são também contínuas. Além do mais, comoa (g) = �g e a (g)

�1 = a (g�1) segue que para cada g 2 G, a (g) : X ! X éhomeomor�smo de X.A proposição a seguir aborda os grupos de isotropia das ações contínuas.

Proposição 2.20 Suponha que a ação de G em X seja contínua e que Xseja espaço de Hausdor¤. Então, qualquer subgrupo de isotropia Gx, x 2 X,é fechado.

Demonstração: Em termos da aplicação �, o subgrupo de isotropia é dadopor

Gx = fg 2 G : � (g; x) = xg = ��1x fxg:

Como X é Hausdor¤, segue que Gx é fechado. 2

O objetivo agora é olhar a bijeção da proposição 2.17 no caso de açõescontínuas. Para isso é necessário introduzir uma topologia em G=H. Essadeve ser a topologia quociente, que é de�nida em geral para relações deequivalência em espaços topológicos da seguinte maneira:

De�nição 2.21 Seja Y um espaço topológico e � uma relação de equivalên-cia em Y . Denote por Y= � o conjunto das classes de equivalência de �e por � : Y ! Y= � a aplicação sobrejetora canônica, que a cada y 2 Yassocia sua classe de equivalência. A topologia quociente em Y= � é aquelaem que um subconjunto A � Y= � aberto se, e só se, ��1 (A) é aberto emY . De forma equivalente, F � Y= � é fechado se, e só se, ��1 (F ) é fechadoem Y .

A topologia quociente é a mais �na (que contém a maior quantidadede abertos possível) que torna a projeção canônica � : Y ! Y= � umaaplicação contínua. A continuidade, em relação à topologia quociente, defunções de�nidas em Y= � é veri�cada através da seguinte propriedade.

Proposição 2.22 Sejam Y e Z espaços topológicos em que Y é munido darelação de equivalência �. Então, uma aplicação f : Y= �! Z é contínua


se, e somente se, f � � : Y ! Z é contínua:

Y� # &Y= � �! Z

Demonstração: Se f é contínua então f � � é contínua, pois � é contínua.Reciprocamente, suponha que f � � é contínua e seja A � Z um aberto. En-tão (f � �)�1 (A) = ��1 (f�1 (A)) é aberto em Y . Pela de�nição da topologiaquociente, segue que f�1 (A) é aberto em Y= �, concluindo a demonstração.2

No caso em que G é um grupo e H � G um subgrupo, o quociente G=Hé o conjunto das classes de equivalência da relação de equivalência em Gem que x � y se, e só se, xH = yH. Portanto, G=H pode ser munido datopologia quociente por essa relação de equivalência, quando G é um grupotopológico.No caso particular de um conjunto de classes laterais G=H a aplicação

canônica � : G ! G=H é uma aplicação aberta. De fato, para um subcon-junto A � G vale

��1 (� (A)) = AH:

Se A é aberto então AH =S

h2H Ah é aberto em G e daí que � (A) é abertona topologia quociente. Deve-se observar também que, em geral a projeçãonão é uma aplicação fechada (por exemplo, tome G = R2, H = f0g � R eF � G o grá�co f(x; y) 2 R2 : �� < x < � e y = tgxg. O conjunto � (F )não é fechado).A topologia quociente tem um bom comportamento em relação ao pro-

duto cartesiano de grupos. Sejam G1 e G2 grupos topológicos e H1 � G1,H2 � G2 subgrupos. O produto H1�H2 é um subgrupo de G1�G2 e o quo-ciente (G1 �G2) = (H1 �H2) se identi�ca com (G1=H1) � (G2=H2) atravésda bijeção

� : (g1; g2) (H1 �H2) 7�! (g1H1; g2H2) :

Essa bijeção é um homeomor�smo em relação às topologias quocientes nos es-paços homogêneos. Isso pode ser visto facilmente pela de�nição de topologiaquociente e o seguinte diagrama comutativo:

G1 �G2id�! G1 �G2

# #

(G1 �G2) = (H1 �H2)��! (G1=H1)� (G2=H2)


Proposição 2.23 A topologia quociente em G=H é de Hausdor¤ se, e so-mente se, H é fechado.

Demonstração: A aplicação � : G! G=H é contínua e H = ��1fxg se xdenota a origem de G=H. Portanto, se G=H é Hausdor¤, H é fechado.Reciprocamente, suponha que H é fechado. A propriedade de Hausdor¤

é equivalente à diagonal

� = f(x; x) 2 G=H �G=H : x 2 G=Hg

ser um conjunto fechado em relação à topologia produto emG=H�G=H, quecoincide com a topologia quociente em (G�G) = (H �H). Deve-se mostrarque ��12 (�) é um conjunto fechado em G�G onde �2 : G�G! G=H�G=Hé a projeção canônica. Mas, �2 (g; h) 2 � se e só se gH = hH, isto é, seh�1g 2 H. Em outras palavras,

��12 (�) = q�1 (H)

onde q é a aplicação contínua q (x; y) = x�1y. Portanto, se H é fechado,��12 (�) é fechado. 2

Proposição 2.24 A ação de G em G=H é contínua em relação à topologiaquociente.

Demonstração: A aplicação � : G � G=H ! G=H que de�ne a ação fazparte do seguinte diagrama comutativo

G�Gp�! G

id ## � # �

G�G=H��! G=H

SejaA � G=H um aberto. Então, p�1��1 (A) é aberto e daí que (id� �)�1 (A)é um aberto em G�G. Mas, isso signi�ca que ��1 (A) é aberto em G�G=H,pela de�nição da topologia quociente. 2

Voltando agora a uma ação geral G�X ! X cada órbita G � x está embijeção com o quociente G=Gx. Por intermédio dessa bijeção pode-se colocaruma topologia na órbita G � x declarando que um subconjunto A � G � x é


aberto se o conjunto correspondente em G=Gx for um aberto da topologiaquociente.No entanto, se a ação G � X ! X for contínua, então a órbita G �

x � X admite também a topologia induzida de X. A discussão a seguirtem por objetivo comparar essas topologias, analisando a propriedade dehomeomor�smo da aplicação �x. Para isso é su�ciente considerar o caso deações transitivas pois se uma ação é contínua G�X ! X é contínua entãosua restrição à uma órbita G � x também é contínua em relação à topologiainduzida.

Proposição 2.25 Seja G � X ! X uma a ação contínua e transitiva deG em X. Fixe x 2 X e considere a bijeção �x : G=Gx ! X dada por�x (gGx) = gx. Então, �x é contínua em relação à topologia quociente emG=Gx.

Demonstração: Pela proposição 2.22 basta mostrar que �x � � é contínua.Agora, �x �� (g) = �x (gH) = gx, isto é, �x �� = �x que é contínua se a açãoé contínua. 2

A situação ideal seria poder identi�car, como espaços topológicos, o es-paço X onde se dá uma ação transitiva com o quociente G=Gx. Em geralisso não é possível, pois a aplicação �x não é homeomor�smo por não seraplicação aberta. Um exemplo disso é apresentado a seguir.

Exemplo: Se G é um grupo a aplicação g 2 G 7! Eg de�ne uma ação(à esquerda) de G em si mesmo por translações à esquerda. Essa ação éclaramente transitiva em que o subgrupo de isotropia Gg = f1g para todog 2 G. Portanto, para cada g 2 G existe um diagrama

G�g�! G

# � %�g

G=f1g = G

onde �g (h) = hg. Em particular, �1 (h) = h é a aplicação identidade. Dessaforma, para exibir um exemplo de uma ação contínua em que �x não é umaaplicação aberta basta mostrar a existência de um grupo munido de duastopologias T1 e T2 com T2 �

6=T1. Nesse caso

�1 = id : (G; T1) �! (G; T2)


é contínua, mas não aberta. Se ambas topologias tornam G um grupotopológico então a ação à esquerda de G em G é contínua.Um exemplo de um grupo desses é dado pela reta real (R;+). Tome T1

como sendo a topologia usual. Quanto a T2, considere um �uxo irracional notoro T2, isto é, a imagem em R2=Z2 de uma reta r � R2, com inclinação irra-cional. Esse conjunto é um subgrupo de T2 isomorfo a R, porém a topologiainduzida sobre a imagem é uma topologia T2 em R estritamente contida natopologia a usual. Em ambas topologias R é um grupo topológico, pois atopologia T2 é a que torna R um subgrupo topológico de T2. 2

A seguir será apresentado um resultado de caráter geral garantindo que�x é uma aplicação aberta, dentro do contexto do teorema das categorias deBaire. Antes disso é conveniente reduzir o problema a um único ponto.

Lema 2.26 Suponha que exista x0 2 X tal que para toda vizinhança abertaU 2 V (1), o conjunto U � x0 = �x0 (U) contém x0 em seu interior. Então, �xé uma aplicação aberta para todo x 2 X e, portanto, é um homeomor�smo.

Demonstração: Considere em primeiro lugar �x0. Neste caso, dado umaberto V � G deve-se mostrar que V � x0 é um aberto, isto é, se g 2 V entãogx0 é ponto interior de V �x0. Por hipótese, se g 2 V então U = g�1V 2 V (1)é tal que U �x0 é uma vizinhança de x0. Isso implica que V �x0 = (gU) �x0 =g (U � x0) é uma vizinhança de gx0, já que g é um homeomor�smo. Issomostra que �x0 é aplicação aberta.Agora, se x = hx0 então �x = �x0 � Dh. Portanto, se �x0 é aplicação

aberta, o mesmo ocorre com �x. 2

O resultado geral a seguir sobre o homeomor�smo G=Gx ! X valequando X é um espaço de Baire, isto é, a união enumerável de conjuntosde interior vazio ainda tem interior vazio. Exemplos de espaços de Baire sãoos espaços métricos completos ou os espaços topológicos que são de Hausdor¤e localmente compactos.

Lema 2.27 Sejam G um grupo topológico, D � G um subconjunto denso eU 2 V (1) uma vizinhança da identidade. Então,

G =[

g2D

gU:


Demonstração: Tome uma vizinhança simétrica W � U . Então, dadox 2 G existe g 2 D tal que g 2 xW , isto é, x�1g 2 W . A simetria de Wgarante que g�1x 2 W , o que signi�ca que x 2 gW � gU , concluíndo ademonstração. 2

Proposição 2.28 Seja G�X ! X uma ação contínua e transitiva. Supo-nha que G seja separável (isto é, admite um conjunto enumerável denso) eque X seja um espaço de Baire. Então, as aplicações �x : G=Gx ! X sãohomeomor�smos.

Demonstração: Tome x0 2 X, U 2 V (1) uma vizinhança aberta eW umavizinhança simétrica tal que W 2 � U . Pelo lema 2.26 é su�ciente mostrarque U �x0 é vizinhança de x0. Seja gn uma sequência densa em G. Pelo lemaanterior, os conjuntos gnW cobrem G e, portanto, os conjuntos gnW � x0cobrem X. No entanto, X é um espaço de Baire, o que garante que paraalgum n0, gn0W � x0 tem interior não vazio, isto é, contém gn0g � x0 em seuinterior para algum g 2 W . Como gn0g é homeomor�smo, segue que x0 éponto interior de g�1g�1n0 (gn0W � x0). Mas,

g�1g�1n0 (gn0W � x0) = g�1W � x0 � U � x0;

concluindo a demonstração. 2

Por �m deve-se observar que no caso de ações diferenciáveis grupos deLie será mostrado posteriormente, com o auxílio do cálculo diferencial, queas aplicações �x são homeomor�smos (na verdade difeomor�smos).

2.5.3 Grupos quocientes

Uma situação especial dos quocientes considerados acima acontece quando osubgrupo H é normal em G. Nesse caso o quociente G=H tem uma estruturade grupo, de�nida por (gH) (hH) = (gh)H e a projeção canônica � : G !G=H é um homomor�smo. Com a topologia quociente esse grupo passa aser um grupo topológico. Para ver isso basta recorrer à proposição 2.22 eescrever o diagrama

G�Gp�! G

� ## � # �

G=H �G=H��! G=H


onde � denota o produto emG=H. Então, da mesma forma que na proposição2.24 mostra-se que � é contínua. Por outro lado, a continuidade da inversaem G=H provém da comutatividade do diagrama

G��! G

# � # �

G=H��! G=H

juntamente com a proposição 2.22.Em relação à topologia quociente, a projeção � : G! G=H é um homo-

mor�smo contínuo e uma aplicação aberta.

2.6 Grupos compactos e conexos

Nesta seção serão demonstrados dois resultados que são bastante utilizadospara veri�car, via espaços quocientes, que certos grupos topológicos são com-pactos ou conexos.

Teorema 2.29 Seja G um grupo topológico e H � G um subgrupo. Se H eG=H são compactos então G é compacto.

Demonstração: Para a demonstração será utilizada a propriedade deinterseção �nita, que caracteriza os espaços compactos: um espaço topológicoK é compacto se, e só se, para uma família F de fechados vale

T

F2F F 6= ; seela satis�zer a propriedade de interseção �nita, isto é, se toda interseção �nitaF1 \ � � � \Fk elementos de F for não vazia. Nesse caso pode-se assumir, semperda de generalidade, que F é completa, isto é, fechada por interseção �nitade seus elementos, pois a família de todas as interseções �nitas de elementosde F também satisfaz a propriedade da inteseção �nita.Seja então F uma família de fechados em G satisfazendo a propriedade

da interseção �nita. As projeções � (F ), F 2 F , não são necessariamenteconjuntos fechados emG=H, mas a família f� (F )gF2F satisfaz a propriedadede interseção �nita, já que

� (F1 \ � � � \ Fk) � � (F1) \ � � � \ � (Fk) :

Portanto, os fechos � (F ), F 2 F , formam uma família de fechados em G=Hsatisfazendo a propriedade da interseção �nita. Como G=H é compacto,

2.6. GRUPOS COMPACTOS E CONEXOS 43

existe g 2 G tal quegH 2

\

F2F

� (F ):

Isto é, gH 2 � (F ) para todo F 2 F .Seja U 2 V (1) uma vizinhança da identidade em G. Então, Ug é um

aberto que contém g e como � é uma aplicação aberta, segue que � (Ug) éaberto que contém gH. Como gH 2 � (F ) conclui-se que para todo F 2 Fvale � (Ug) \ � (F ) 6= ;, isto é, UgH \ F 6= ;. Em resumo, para todoU 2 V (1) e todo F 2 F , vale UgH \ F 6= ;, isto é, gH \ U�1F 6= ;. Emparticular,

(F1 \ � � � \ Fs) \ UgH 6= ; (2.1)

para todo em U 2 V (1) e F1; : : : ; Fs 2 F , pois F é uma família completa.Agora será usada a compacidade de H (ou melhor de gH) para mostrar

a existência de h 2 H tal que para toda vizinhança U 2 V (1), o aberto Ughintercepta todos os fechados Fi. Considere a família dos subconjuntos de gHque são da forma E = U�1F \ gH com F 2 F e U 2 V (1). Essa famíliasatisfaz a propriedade da interseção �nita. De fato, dado um número �nitode elementos nessa família, tem-se�

U�11 F1 \ gH�

\ � � � \�

U�1s Fs \ gH�

=�

U�11 F1 \ � � � \ U�1s Fs

�

\ gH: (2.2)

De�na W =Ts

i=1 U�1i 2 V (1). Então, o segundo membro de (2.2) contém o

conjunto(WF1 \ � � � \WFs) \ gH

que por sua vez contém o conjunto (W (F1 \ � � � \ Fs)) \ gH. Mas, esteconjunto é não vazio por (2.1). Portanto, a família de fechados (U�1F \ gH)�

em gH satisfaz a propriedade de interseção �nita. Como gH é compacto (poisH é compacto) conclui-se que

\

U2V(1);F2F

�

U�1F \ gH��6= ;:

Por �m tome h 2 H tal que gh pertence a esta interseção. Para este hpode-se mostrar que gh 2

T

F2F F .De fato, �xe F 2 F , tome U 2 V (1) e escolha V 2 V (1) tal que V 2 � U .

Então, V gh é uma vizinhança de gh e, portanto,

V gh \�

V �1F \ gH�

6= ;:


Em particular, V gh \ V �1F 6= ; o que implica que ; 6= (V 2gh) \ F �(Ugh) \ F . Como U é arbitrário isso garante que gh 2 F = F , concluindo ademonstração. 2

É claro que se G é compacto então G=H também é compacto, uma vezque a projeção canônica � : G ! G=H é contínua e sobrejetora. Por outrolado, se H é fechado e G compacto então H também é compacto. Portanto,a recíproca ao teorema acima é verdadeira com a hipótese adicional de queH é fechado.

Proposição 2.30 Suponha que H e G=H são conexos. Então, G é conexo.

Demonstração: Suponha por absurdo que A;B � G são abertos nãovazios, disjuntos e tais que A[B = G. Então, � (A) e � (B) são abertos nãovazios tais que � (A)[� (B) = G=H. Como G=H é conexo, � (A)\� (B) 6= ;.Isso signi�ca que existe uma classe lateral gH que intercepta ambos os con-juntos A e B. Então, A \ gH e B \ gH são abertos disjuntos, não vazios etais que � (A)[� (B) = gH, contradizendo o fato de que H é conexo, já quegH é homeomorfo a H. 2

Quanto à reciproca da proposição anterior, é claro que G=H é conexose G for conexo. No entanto, pode ocorrer que tanto G quanto G=H sejamconexos, mas H não seja conexo.Os dois resultados desta seção fornecem um método útil para descrever a

topologia de diversos grupos conhecidos, como mostram os exemplos a seguir.

Exemplos:

1. O grupo G = Gl (n;R) age em Rn de maneira canônica: � (g; x) = gx,g 2 Gl (n;R), x 2 Rn. Essa ação é contínua pois � é restrição deuma aplicação polinômial (de grau 2) Mn (R) � R

n ! Rn. Existemexatamente duas órbitas, a origem f0g e o seu complementar Rn n f0g.É evidente que a origem é uma órbita. Para ver que o seu comple-mentar também é uma órbita, tome e1 = (1; 0; : : : ; 0) 2 Rn n f0g ex = (x1; : : : ; xn) 6= 0. Então existe uma matriz g 2 Gl (n;R) tal quege1 = x. De fato, é possível estender x a uma base fx; v2; : : : ; vn�1g deRn. Denote por fe1; : : : ; eng a base canônica de Rn. Então, g de�nidapor ge1 = x e gei = vi, i = 2; : : : ; n é um elemento de Gl (n;R) quesatisfaz o desejado.

2.6. GRUPOS COMPACTOS E CONEXOS 45

O subgrupo de isotropia em 0 é todo Gl (n;R). Já o subgrupo deisotropiaGe1 em e1 é formado pelas matrizes (em relação à base canônica)da forma

�

1 b0 C

�

(2.3)

com b uma matriz linha 1� (n� 1) e C 2 Gl (n� 1;R). Os grupos deisotropia em x 6= 0 são conjugados de Ge1 . Em todo caso, o quocienteGl (n;R) =Ge1 é homeomorfo ao cilindro R

n n f0g.

A ação de canônica Gl (n;R) em Rn induz, por restrição, ações de seussubgrupos. Essas ações são todas contínuas, no entanto a estrutura dasórbitas varia de acôrdo com o subgrupo. Eis alguns exemplos:

(a) Seja O(n) � Gl (n;R). As órbitas são as esferas

Sr = fx 2 Rn : jxj = rg r � 0:

(A norma j�j utilizada aqui é a proveniente do produto internocanônico, lembrando que esse produto interno está implícito nade�nição de O(n).) O argumento para mostrar que as esferas sãoas órbitas é semelhante ao utilizado acima, estendendo vetoresnão nulos a bases, tomando o cuidado agora de escolher basesortogonais. O subgrupo de isotropia em e1 (ou em �e1, � 6= 0) éformado pelas matrizes ortogonais que têm a forma de (2.3), istoé, pelas matrizes da forma

�

1 00 C

�

com C 2 O(n� 1). Esse grupo é isomorfo a O(n� 1). Portanto,o quociente O(n) =O(n) é homeomorfo à esfera de dimensão n�1.

(b) Os mesmos argumentos do item anterior permitem mostrar que asórbitas de SO (n) = fg 2 O(n) : det g = 1g também são as esferas.Nesse caso o grupo de isotropia em e1 é isomorfo a SO (n� 1).

(c) O grupo Sl (n;R) = fg 2 Gl (n;R) : det g = 1g age transitiva-mente em Rn n f0g, como pode ser veri�cado através do argu-mento de construção de bases. Assim, Sl (n;R) tem exatamenteduas órbitas em sua ação canônica em Rn.


2. Novamente, seja G = Gl (n;R) e seja X = Pn�1 o espaço projetivodos subespaços de dimensão um de Rn. Se V 2 Pn�1 e g 2 Gl (n;R)gV = fgx : x 2 V g é um subespaço de Rn de dimensão 1, e daí quegV 2 Pn�1. A aplicação V 7! gV de�ne uma ação de Gl (n;R) émPn�1. Esta ação é contínua em relação à seguinte topologia quocienteem Pn�1. Dado v 2 Rn, denote por [v] o subespaço gerado por v. Sev 6= 0, [v] 2 Pn�1. Existe portanto uma aplicação sobrejetora � : v 2Rn n f0g 7! [v] 2 Pn�1. Os abertos de Pn�1 são os conjuntos A � Pn�1

tais que ��1 (A) é aberto, isto é, a topologia em Pn�1 é a topologiaquociente pela relação de equivalência v � w se v = aw, a 6= 0, emRn nf0g. Com essa topologia a ação de Gl (n;R) é contínua. Essa açãoé transitiva e a isotropia em [e1] é o subgrupo formado pelas matrizesdo tipo

�

a b0 C

�

com a 2 R, b uma matriz linha (n� 1) � (n� 1) e C 2 Gl (n� 1;R).A projeção � é equivariante em relação às ações de G em Rn n f0g ePn�1. Como no caso da ação em Rn, essa ação induz ações de todosos grupos lineares, isto é, dos subgrupos de Gl (n;R). Essas ações sãodenominadas de ações projetivas.

3. Analogamente às ações projetivas, o grupo Gl (n;R) age na Grassman-niana Grk (n), formada pelos subespaços de Rn de dimensão k. A açãoé dada por (g; V ) 7! gV onde gV é a imagem do subespaço V pela apli-cação linear g. Essa ação de Gl (n;R) também é transitiva e é contínuaem relação à seguinte topologia em Grk (n): denote por Bk (n) o con-junto das matrizes n�k de posto k, munido da topologia induzida pelatopologia do espaço vetorial de todas as matrizes n � k. Existe umaaplicação sobrejetora � : Bk (n) ! Grk (n) que associa a uma matrizp 2 Bk (n) o espaço vetorial gerado pelas colunas de p. De�nindo emBk (n) a relação de equivalência p � q se existe a 2 Gl (k;R) tal quep = qa. Então, Grk (n) se identi�ca ao conjunto das classes de equiv-alência Bk (n) = � e � : Bk (n) ! Grk (n) com a projeção canônicaBk (n)! Bk (n) = �. Isso de�ne a topologia quociente em Grk (n) cu-jos abertos são os conjuntos A � Grk (n) tais que ��1 (A) é aberto emBk (n).

Seja V0 2 Grk (n) o subespaço gerado pelos primeiros k vetores dabase canônica. Então o subgrupo de isotropia em V0 é formado pelas

2.7. EXERCÍCIOS 47

matrizes do tipo�

P Q0 R

�

com P 2 Gl (k;R) e Q 2 Gl (n� k;R).

4. Seja Z um campo de vetores em uma variedade diferenciável M declasse C1 e suponha que Z seja completo, isto é, as soluções maximaisde Z se estendem ao intervalo (�1;+1). O �uxo de Z denotado Zt,t 2 R, é de�nido a partir das trajetórias t 7! Zt (x) é a trajetória de Zque em t = 0 passa por x. O �uxo satisfaz as propriedades Z0 (x) = xe Zt+s (x) = Zt (Zs (x)). Portanto, (t; x) 7! Zt (x) de�ne uma açãode R em M . Os teoremas de dependência de soluções em relação àscondições iniciais garantem que essa ação é contínua. As órbitas dessaação são as trajetórias do campo. Já os subgrupos de isotropia em xsão descritos como: 1) Gx = R se x é uma singularidade do campo devetores, isto é, Z (x) = 0; 2) Gx = f0g se a trajetória x não é umacurva fechada e 3) Gx = !Z se a trajetória que passa por x é periódicade período !.

2

O teorema 2.29 e a proposição 2.30 são úteis para mostrar que deter-minados grupos topológicos são compactos ou conexos. As ações descritasacima ilustram bem essa aplicações. Tome, por exemplo, o caso da açãotransitiva de O(n) na esfera Sn com grupo de isotropia SO (n� 1). Se n = 1então Sn�1 = f�1g e SO (n� 1) é trivial. Isso signi�ca que tanto o quocienteO(1) =SO (0) quanto o subgrupo de isotropia são compactos. Portanto, o teo-rema 2.29 garante que O(1) é compacto. Procedendo por indução e usando ofato de que as esferas são compactas, se veri�ca que os grupos O(n) são com-pactos. Da mesma forma, pode-se aplicar sucessivamente a proposição 2.30para veri�car que os grupos SO (n), Sl (n;R), Gl+ (n;R), etc. são conexos.

2.7 Exercícios

1. Seja G�X ! X uma ação contínua do grupo topológico G no espaçotopológico X. Seja A � X um subconjunto G-invariante. Mostre que arestrição G�A! A da ação a A também é contínua, com a topologiainduzida em A.


2. Mostre que num grupo topológico o fecho de um subgrupo abeliano éabeliano.

3. Seja H � G um subgrupo e denote por N (H) = fg 2 G : gHg�1 � Hgo seu normalizador. Mostre que se H é fechado então N (H) é fechado.

4. Seja G um grupo topológico de Hausdor¤. Mostre que o centralizadorfg 2 G : 8x 2M; gx = xgg do conjunto M é um subgrupo fechado.

5. Sejam G um grupo topológico e K;F � G fechados com K compacto.Mostre que KF é fechado.

6. Seja G um grupo topológico conexo e não compacto. Seja tambémV � G uma vizinhança compacta do elemento neutro. Veri�que quepara todo k � 1, V k é compacto. Use isso para provar que para todok � 1, V k+1 contém propriamente V k.

7. Um subgrupo D de um grupo topológico G é discreto se existe umavizinhança V da identidade tal que V \ D = f1g. Mostre que se Dé discreto, com vizinhança V , então gV \ D = fgg para todo g 2 D.Mostre também que D é fechado.

8. Seja G um grupo topológico. Mostre que se D � G é um subgrupo dis-creto então a projeção � : G! G=D é uma aplicação de recobrimento.

9. Sejam G um grupo topológico e D � G um subgrupo discreto. Mostreque se G é conexo e D é subgrupo normal então D está contido nocentro Z (G) de G. (Sugestão: para x 2 D considere a aplicação g 2G 7! gxg�1 2 D.)

10. SejamG um grupo topológico eH � G um subgrupo fechado. Suponhaque D � G é um subgrupo discreto. Mostre que D\H é um subgrupodiscreto de H.

11. Seja G um grupo (não necessariamente topológico) agindo no espaçotopológico X. De�na a relação de equivalência em X por x � y sex e y pertencem à mesma G-órbita. Mostre que a projeção canônicaX ! X= � é uma aplicação aberta sobre a topologia quociente.

12. Seja X um espaço topológico e x � y uma relação de equivalência emX. Mostre que o espaço das classes de equivalência X= �, munido

2.7. EXERCÍCIOS 49

da topologia quociente, é de Hausdor¤ se, e só se, a relação é umsubconjunto fechado de X �X.

13. Dada uma ação contínua G�X ! X do grupo topológico G no espaçoX, seja F � X um subconjunto fechado. Mostre que o semigupoSF = fg 2 G : g (F ) � Fg é fechado. Conclua que o subgrupoGF = fg 2 G : g (F ) = Fg também é fechados.

14. Seja G um grupo topológico e H um subgrupo fechado. Mostre quese H e G=H são localmente compactos então G também é localmentecompacto. (Sugestão: adapte a demonstração do teorema 2.29.)

15. SejaG um grupo compacto e tome x 2 G. Mostre que o fecho fxn : n � 1gdo conjunto das potências de x é um subgrupo.

16. Um subsemigrupo S de um grupo é um conjunto fechado pelo produto:se x; y 2 S então xy 2 S (não necessariamente x�1 2 S). Mostre queum subsemigrupo fechado de um grupo compacto é um grupo (use oexercício anterior).

17. Sejam G um grupo topológico e H1 � H2 � G subgrupos. De�na� : G=H1 ! G=H2 por � (gH1) = gH2. Veri�que que esta aplicaçãoé bem de�nida e mostre que ela é contínua e aberta (em relação àstopologias quocientes). Mostre também que � é equivariante, isto é,g� (x) = � (gx), x 2 G=H1.

18. Seja G um grupo topológico localmente conexo e H � G subgrupofechado localmente conexo. Mostre que se H não é conexo então G=Hnão é simplesmente conexo. (Sugestão: considere a componente daidentidade H0 de H.)

19. Seja G um grupo topológico compacto e � : G! R um homomor�smocontínuo. Mostre que � � 0.

20. Use o exercício anterior para mostrar que se G � Gl (n;R) é um grupocompacto então para todo g 2 G, det g = 1 ou �1.

21. Seja G um grupo topológico e suponha que o o grupo comutador [G;G](isto é, o subgrupo de G gerado pelos comutadores xyx�1y�1, x; y 2 G)seja denso. Mostre que se H é um grupo abeliano e � : G ! H é umhomomor�smo, então � é trivial, isto é, � (x) = 1 para todo x 2 G.


22. Mostre que os únicos subgrupos fechados de (R;+) são o próprio R eos subgrupos da forma Zx, x 2 R.

23. Mostre que O(n) é compacto e que Sl (n;R) não é compacto.

24. Sejam O(n) o grupo das matrizes n � n ortogonais (ggT = gTg = 1)e SO (n) = fg 2 O(n) : det g = 1g. Mostre que SO (n) é conexopor caminhos, sem usar a proposição 2.30. (Sugestão: escreva a formacanônica de Jordan de uma matriz ortogonal). Conclua que O(n) temduas componentes conexas.

25. Mostre que Gl (n;R) tem duas componentes conexas: fg : det g > 0g efg : det g < 0g. (Use o fato de que qualquer matriz g pode ser escritacomo g = ks com k 2 O(n) e s positiva de�nida.)

26. Considere a ação de Sl (n;R) no espaço projetivo real Pn�1, dada porg[v] = [gv], onde [v] denota subespaço gerado por 0 6= v 2 Rn. Mostreque essa ação é transitiva. Mostre que a restrição dessa ação a SO (n)também é transitiva.

27. Dê exemplo de um subgrupo G � Gl (n;R), não compacto, cuja açãoem Pn�1 não é transitiva.

28. Substitua, nos exercícios anteriores, Pn�1 pela Grassmanniana Grk (n)dos subespaços de dimensão k de Rn.

29. Dê exemplo de um grupo compacto que não é metrizável. (Sugestão:KR com K um grupo compacto.)

30. Denote por S (1) o grupo de todas as bijeções (permutações) de N.Para cada n 2 N seja Sn (1) o subgrupo de Sn (1) formado peloselementos que �xam cada um dos inteiros de f1; : : : ; ng. Mostre que oconjunto Sn (1), n � 1, forma um sistema de vizinhanças da identi-dade de S (1), dando origem a uma topologia em S (1), que o tornagrupo topológico. Mostre que essa topologia é totalmente desconexa.

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