I.1

CAPÍTULO I: CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1.0 - Objetivo do curso

1.1 - Campos de aplicação

1.2 - Bases para os métodos de análise disponíveis

1.3 - Apresentação da matéria na natureza

1.4 - Conceito de fluidos

1.5 - Conceituação de força cortante e tensão cortante

1.5.1- Unidades básicas da tensão de cisalhamento

1.6 - Classificação dos fluidos, segundo a interação

molecular

1.7 - Mecanismos de transporte de massa pelos fluidos

1.8 - Sistemas de unidades usuais

1.9 – Propriedades dos Fluidos

I.2

1.10 – Noções de termodinâmica

1.10.1- Especificação de estado do gás perfeito

1.10.2 - Casos particulares da equação de estado do gás

perfeito

1.10.3 – Determinação do peso específico dos gases

1.10.3.1 - Observações sobre a constante do gás

1.10.4 - Módulo de elasticidade do gás

1.10.4.1- Simplificações da equação npε

1.10.5- Aplicação das equações de estado para o gás ideal

I.3

1.0 - Objetivo do curso

O principal objetivo do curso de Mecânica dos Fluidos é

fornecer ao estudante de Engenharia Civil base teórica para as

demais disciplinas da área de Hidráulica e do Saneamento. Porém,

este é um curso indispensável ao engenheiro de qualquer

especialidade.

1.1 - Campos de aplicação

A mecânica dos fluidos é o ramo da ciência que trata dos

principio fundamentais do comportamento dos fluidos líquidos e

gás.

Quase todos os problemas relacionados à engenharia

hidráulica são resolvidos basicamente pela aplicação da estática,

de cinemática e da dinâmica dos fluidos.

Exemplos de aplicação da disciplina:

- Engenharia Civil;

- Engenharia Elétrica;

- Engenharia Mecânica;

- Engenharia Química;

- Engenharia Oceânica;

- Hidrologia;

- Hidrossedimentologia.

1.2 - Bases para os métodos de análise disponíveis

Leis do Movimento de Newton

Principio de Conservação da Massa

Princípio de Conservação da Energia

Lei de Newton da Viscosidade

Adota-se a hipótese do contínuo

I.4

1.3 - Apresentação da matéria na natureza

[Distinção explicada pela teoria cinética molecular]

Matéria Estado Sólido

Estado Fluido Líquidos

Aeriformes

Qual a diferença básica entre um sólido de um fluido?

Sólido resiste bem às tensões cisalhantes.

Fluido não resiste às tensões cisalhantes.

1.4 - Conceito de fluidos

Definição -1 [intervenções de tensões cisalhantes]: fluidos são

substancias que se deformam continuamente quando submetidos a

tensões de cisalhamento, mesmo que de pequena magnitude.

[Ex.:Barco navegando num lago, causa tensões cisalhantes na

água mudando a forma da superfície]

Definição -2 [compressibilidade]: fluidos são meios elásticos

que se comprimem na presença de pressões externas, podendo

recuperar a forma original com o alívio de tais pressões.

[Ex. reservatório fechado submetido à pressão na superfície

com água]

I.5

1.5 - Conceituação de força cortante e tensão cortante

Força cortante ou de cisalhamento: é a componente de uma

força agindo tangencialmente a uma superfície. [(0 = x RH x S)]

Tensão cortante média: é a relação entre essa força e a área da

superfície.

F

A (1.1)

1.5.1- Unidades básicas da tensão de cisalhamento

SISTEMA DE UNIDADE

Técnico ou MKFS MKS CGS

Kgf/m2

N/m2

dina/cm2

1.6 - Classificação dos fluidos, segundo a interação molecular

LÍQUIDOS

-São praticamente incompressíveis;

-tomam a forma do volume do recipiente no qual estão contidos;

-formam superfície livre.

AERIFORMES: são gases e vapores

-São muito compressíveis

-Expandem-se até ocuparem o volume nos quais estão contidos

-Não têm volume definido

-Não formam superfície livre.

I.6

1.7 - Mecanismos de transporte de massa pelos fluidos

Advecção: o transporte ocorre movido pelo próprio movimento

do fluido [o fluido transporta porque se move. Ex. Transporte

de contaminantes em rios]

Difusão ou condução: é o processo de transporte através do meio

fluido em movimento ou em repouso, no sentido decrescente da

concentração da propriedade transferida. [Ex.: Fumaça em

chaminé]

1.8 - Sistemas de unidades usuais (coerentes): um sistema de

unidade é dito coerente quando uma unidade de força provoca

uma aceleração unitária em uma unidade de massa.

GRANDEZAS SISTEMAS

MKFS MKS CGS INGLES

FORÇA kgf N dina lbf

MASSA utm kg g slug

COMPRIMENTO m m cm ft

TEMPO s s s s

1kgf = 1 utm x 1m/s2

1utm = 9,81 kg

1N = 1 kg x 1m/s2

1 lbf = 1 slug x 1 ft/s2

1kgf = 9,81 N

Fatores de conversão:

1 ft = (´) = 0,305 m = 12 pol (``) (in)

1 slug = 32,2 lbm = 14,62 kg

1 Psi (libra/pol2) 7x 10

-2 kgf/cm

2

Gravidade no sistema inglês: 32,2 ft/s2

1 pol (in)(``) = 25,4 mm = 2,54 cm

EXEMPLO 1.1: converter um Psi em Pascal

I.7

1.9 – Propriedades dos Fluidos

Possibilitam diferenciar fluidos, nas mais diversas formas de

apresentação na natureza. Assim, possibilita-se particularizar

líquido e gás e possibilita-se também comparar gás com líquidos e

vice e versa. As propriedades mais importantes são: massa

específica; peso específico; densidade relativa; viscosidade;

compressibilidade; tensão superficial; pressão de vapor;

capilaridades; coesão; adesão etc.

a) Massa Específica (): é a relação entre a massa da porção do

fluido e o seu volume.

(1.2)

a.1) Unidades de massa específica:

Dimensões e unidades de massa específica

Técnico internacional Sistema dimensional

MKFS ou MK*S MKS CGS INGLES MLT FLT

utm/m3

kg/m3

g/cm3 slug/ft3

M . L-3

F . T2 L

-4

kgf.s2/m

4 lbf.s

2/ft

4

102 1000 1,0 1,94 1kgf = 1 utm x 1m/s

2 1 lbf = 1 slug x 1 ft/s

2

b) Peso específico (): é a relação entre o peso do fluido e o seu

volume.

Líquidos:

peso

volume

massag

volumeg (1.3)

v

m

I.8

b.1) Unidades de peso específico

Dimensões e unidades de peso específico

Técnico internacional Sistema dimensional

MKFS ou

MK*S

MKS CGS INGLES MLT FLT

kgf/m3

N/m3

Kg / m2 . s

2

dina/cm3

lbf/ ft3

M .L-2

.T-2

F .L-3

1kgf = 1 utm x 1m/s2

1 lbf = 1 slug x 1 ft/s2

c) Volume específico (Vs): é o volume ocupado por unidade de

peso de fluido

V 1

(1.4)

c.1) Unidades de volume específico:

- Sistema MKFS: m3/kgf

- Sistema CGS: cm3/dyn

d) Densidade relativa (dr): é a relação entre o peso específico de

uma substância e o peso de uma outra tomada como referência.

Para os líquidos, a água é o fluido tomado como referência.

Para os gases a referência é o ar.

drg

g

s

agua

s

agua

s

agua

(1.5)

I.9

e) Compressibilidade: é a propriedade que têm os fluidos de

reduzirem seus volumes quando submetidos ao aumento de

pressões externas. A compressibilidade é traduzida pelo

coeficiente de compressibilidade.

dv vdp.. (1.6)

Na qual:

= Coeficiente de compressibilidade cúbica (m

2/kgf)

v = Volume inicial a transformação

f) Módulo de Elasticidade Volumétrica (): é a propriedade dos

fluidos de retomarem seus volumes originais ou primitivos

quando se alivia as pressões externas, as quais foram submetidos.

Ou seja, é o inverso do coeficiente de compressibilidade.

1

(1.7)

É característico de cada fluido, dado em kgf/m2.

Para a água: = 2,2 x109 Pa = 2,2 Gpa = = 2,2 x10

8 kgf/m

2

EXEMPLO 1.2

Respeitando-se o princípio de conservação da massa expresse o

módulo de elasticidade volumétrica de um fluido, em função da

variação da massa específica e da pressão.

Solução:

Da definição de massa específica:

vddvdm

vm

I.10

Pelo princípio de conservação da massa dm0

ddv

vvddv 0 (*)

Combinar a equação (*) com a equação (1.6):

vdpd

v

d

dpvdp

dv

1 (1.8)

= massa inicial à transformação

EXEMPLO 1.3

Prove que para os líquidos, como a água, cujo coeficiente de

compressibilidade cúbica ( 0) é próximo de zero a massa

especifica () inicial a transformação permanece inalterada,

mesmo se o fluido é submetido a diferenças de pressões elevadas.

Solução: a partir da equação (1.8) temos:

pfp

f

f

pfp

1

pfpp

fp

f 1

Para fluidos incompressíveis 0

cte

f

(1.9)

I.11

EXEMPLO 1.4

Qual a redução no volume que se observa quando se submete 1

m3 de água a uma pressão de 0,10 Mpa? (dado: = 2,2 x10

9 Pa =

2,2 Gpa)

OBSERVAÇÃO: a partir do conceito de compressibilidade

concluímos que os fluidos são meios elásticos, que se comprimem

quando submetidos a força de pressão. Porém, na maioria das

aplicações práticas, um líquido pode ser considerado

incompressível, exceto quando ocorram variações elevadas na

pressão ou na temperatura.

g) Pressão de vapor: é a pressão limite para o líquido passar ao

estado gasoso. A pressão de vapor é diretamente associada a

agitação molecular, a qual o líquido está submetido. Tal agitação

pode ser afetada pelas variações de temperatura ou reduções

substanciais da pressão reinante no líquido [Ex. o caso dos sifões

invertidos].

h) Tensão superficial: trata-se de tensão que se observa na

interface entre um líquido e um gás, ou entre dois líquidos

imiscíveis. É uma tensão resultante das forças de coesão e tem

unidade N/m.

I.12

EXEMPLO 1.5

estabelecer analiticamente o raio da gota em um conta-gotas, para

um fluido de peso específico () e tensão superficial ().

Figura 1.1: conta-gotas

EXEMPLO 1.6

Um tubo de vidro limpo de 4,0 mm de diâmetro é inserido em

água a 20 0C. Determine a altura de ascensão capilar. A água

apresenta superfície horizontal no contato com o tubo. [dados: =

0,0075 kgf/m; 998 kgf/m3].

Figura 1.2: ascensão capilar

I.13

i) Viscosidade: quando um fluido escoa em condutos livres ou

forçados surgem, no mínimo, duas formas de atrito que interferem

no escoamento. O atrito externo, do fluido com a superfície

sólida, e o atrito interno gerados pelas próprias partículas de

fluidos ao se deslocarem. Portanto, a viscosidade é a propriedade

que determina a capacidade do fluido de resistir ao escoamento.

dy

dvμτ (1.10)

A equação 1.10 traduz a Lei de Newton da Viscosidade

assim enunciada:

"Para uma dada intensidade de deformação angular

dy

dv, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à

viscosidade do fluido."

Como obter a lei de Newton da viscosidade?

Consideremos uma placa móvel se deslocando sobre outra

fixa, separadas por uma distância “y”, cujo espaço é preenchido

por um fluido de viscosidade dinâmica . Na placa móvel, impõe-

se uma força F de modo a dar-lhe a velocidade V constante. Ou

seja, nessas condições a placa se locomoverá em movimento

uniforme.

Figura 1.3: definição qualitativa da viscosidade

I.14

Para a obtenção da Lei de Newton da Viscosidade, como se

apresenta na equação dv

dy faz-se necessário valer-se das

seguintes suposições:

[1] a placa móvel desloca-se em movimento uniforme (V =

constante);

[2] deve-se considerar que a distância entre as placas é

infinitesimal, de modo a considerar uma distribuição linear de

velocidades entre elas;

[3] considerar que o fluido entre as placas desloca-se em

escoamento laminar;

[4] deve-se admitir que o escoamento obedece ao postulado da

aderência: quando uma partícula de fluido desloca-se aderida a

uma superfície sólida a velocidade da partícula é a mesma desta.

Ao se observarem as 4 (quatro) suposições supramencionadas

pode-se admitir, com base em experiências práticas já

consagradas, que:

Y

VAμ=F (1.11)

O coeficiente de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica

do fluido, do qual é uma propriedade característica. Na Figura 1.3,

por semelhança de triângulos, temos:

dy

dv=

y

v (1.12)

dy

dvμ=

A

F (1.13)

I.15

dy

dvμτ (1.14)

Na qual:

A: área da placa separada pela distância y. Corresponde a área

preenchida pelo fluido que está submetida ao cisalhamento.

AF

: tensão cisalhante ou esforço tangencial que tende a

separar o fluido entre as placas;

y: espessura da camada de fluido de viscosidade que preenche o

espaço entre as placas.

i.1.Classificação dos fluidos de acordo com a Lei de Newton

da Viscosidade:

Figura 1.4: classificação dos fluidos

[1]Newtoniano: deforma-se segundo a Lei de Newton da

Viscosidade, ou a tensão cisalhante é diretamente proporcional à

velocidade de deformação angular.

Exemplo: água e a maioria dos líquidos

I.16

[2] Não-Newtoniano: há deformação, embora não proporcional à

velocidade de deformação, exceto para baixos valores da tensão.

Exemplo: mangue, lama, misturas bifásicas.

[3] Plástico Ideal: suporta pequenas tensões sem se deformar, em

seguida, deforma-se segundo a Lei de Newton da Viscosidade.

Exemplo: tinta, pasta de dente, gelatina, parafina.

[4] Fluido Ideal: Na análise dos fluidos ideais, não são

considerados os efeitos da viscosidade. Existe deformação para

qualquer valor da tensão atuante. (Hipotético, não existe na

natureza).

[5] Sólido Ideal: não se deforma, mesmo para altos valores de

tensões.

[6] Sólidos: deformam-se segundo a Lei de Hooke.

i.2. Unidades de Viscosidade dinâmica Dimensões e unidades de viscosidade dinâmica

Técnico internacional Sistema dimensional

MKFS ou

MK*S

MKS CGS INGLES MLT FLT

kgf.s/m2

utm / m.s

N.s/m2

Kg / m . s

dyn.s/cm2

g / cm . s

POISE

lbf .s/ ft2

slug / ft.s

M .L-1

.T-1

M . T.L-2

centipoise=10-2

poise

j) Viscosidade Cinemática

É a relação entre viscosidade dinâmica do fluido e a massa

específica

(1.15)

j.1.Unidades de Viscosidade Cinemática

Sistema MKS: m2/s

Sistema CGS: cm2/s (stokes)

I.17

EXEMPLO 1.7: Um viscosímetro de cilindros cocêntricos é acionado pela queda

de uma massa M ligada por meio de corda e polia como mostrado

na figura abaixo. O líquido que foi testado preenche a folga anular

de largura a e altura H. Após um breve transiente de partida, a

massa cai a velocidade constante Vm. Encontre uma expressão

algébrica que relacione essas grandezas medidas para determinar

a viscosidade do líquido e avalie a mesma empregando os valores

encontrados abaixo.

Figura 1.5: viscosímetro

EXEMPLO 1.8

Um cilindro de 130 mm de raio gira concentricamente dento de

um cilindro fixo de 140 mm de raio. Os cilindros têm 400 mm de

comprimento. Determinar a viscosidade do líquido que enche o

espaço entre os cilindros, se um torque de 0,12kgf.m é necessário

para impor uma velocidade angular de 80 rpm.

Figura1.6 - Exercícios de cilindros concêntricos

I.18

EXEMPLO 1.9:

Um cubo tem 40 cm de arestas e pesa 25 kgf. Deixa-se o cubo

escorregar, com uma velocidade V constante sobre um plano

inclinado, no qual existe uma película de óleo lubrificante, cuja

viscosidade dinâmica = 2,16 X 10-2

Poise. Admitindo satisfeitas

as suposições básicas para a dedução da lei de Newton da

viscosidade, solicita-se: Determine, em m/s, a velocidade do

cubo.

Figura 1.7: cubo

EXEMPLO 1.10:

O dispositivo da figura abaixo é constituído de dois pistões de

mesmas dimensões geométricas que se deslocam em dois

cilindros de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros

existe um lubrificante de viscosidade dinâmica igual a 10-²

N.s/m². O peso específico do pistão (1) é 20.000 N/m³. Qual é o

peso específico do pistão (2) Para que o conjunto se desloque na

direção indicada com uma velocidade de 2m/s constante?

Desprezar o atrito na corda e nas roldanas Fonte: (Brunet; 2008,

pág.13) – resposta: 16.800 N/m³

I.19

Referência Bibliográfica

Brunet, F. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: editora Pearson/Prentice Hall. 2º edição.

2008. 429 p. 24cm.ISBN978-85-7605-182-4.

I.20

1.10 – Noções de termodinâmica

Introdução: quando um fluido não puder ser considerado

incompressível e, ao mesmo tempo, houver efeitos térmicos

envolvidos na descrição qualitativa do seu escoamento, haverá a

necessidade de se determinar as variações da massa específica,

em função da pressão e da temperatura, através de equações de

estado, como aquela mostrada pela equação 1.15.

f ( , T, P) =0 (1.16)

As equações de estado mais conhecidas de interesse nos estudos

de mecânica dos fluidos são: a equação do gás perfeito e a

equação politrópica dos gases:

RTPVS (1.17a)

RTρP (1.17b)

(1.17c)

P: pressão absoluta inicial

Vs: volume específico do gás

R : constante do gás

T ; temperatura em K.

:massa específica do gás.

Sobre a constante (R): A constante do gás “R” é função da

constante universal do gás cujo valor é comum para qualquer gás

e igual a:

2

1

1

2

2

1

T

T

ρ

ρ.

P

p

I.21

kelvin . molk

kJ8,314R

(1.18)

Tabela 1.1 – Propriedade dos gases ideais a 300k. Fonte: Potter e Wiggert (2007)

Transformações isotérmicas: o processo é dito isotérmico

quando na transformação não há variação de temperatura

2211vpvp (1.19a)

(1.19b)

(1.19c)

2

2

1

1

ρ

p

ρ

p

2

2

1

1pp

I.22

Transformações isobáricas: o processo é dito isobárico quando

na transformação não há variação de pressão.

2

2

1

1

T

v

T

v

(1.20)

2211TρTρ (1.20a)

Processo isocórico, isométrico ou isovolumétrico: nesse caso

não há variação de volume.

2

2

1

1

T

p

T

p

(1.21)

Nas transformações adiabáticas: o processo é dito adiabático

quando na transformação não há troca de calor.

ρ

p

ρ

pn

2

2

n

1

1 (1.22)

n

22

n

11Vp Vp

2npε (1.22a)

n

n )1(

2

1

2

P1

p

T

T

)1(

1

2

1

1

2

T

T

V

V

n

I.23

Nas quais:

P1; P2 – respectivamente pressão absoluta inicial e final a

transformação;

V1; V2 – respectivamente volume inicial e final a transformação;

T – temperatura em Kelvin

K = 273 + 0C

1 – massa específica inicial a transformação (kgf.s2/ m4

);

g – aceleração da gravidade;

Vs – volume específico – m3 / kgf;

V

P

C

Cn

(1.23)

Cp – calor específico do gás a pressão constante;

CV – Calor específico do gás a volume constante.

1.10.1 - Módulo de elasticidade do gás

O módulo de elasticidade do gás dependo do tipo de

transformação a qual o gás possa ser submetido. Para a sua real

descrição usa-se a equação politrópica dos gases, sempre

respeitando o principio de conservação da massa.

I.24

constante = ρ

pn (1.24)

constante =V.P n

(1.25)

Para encontrar a equação que relaciona o módulo de elasticidade

do gás com a pressão final a transformação basta diferenciar a

equação (1.25) em relação a pressão e ao volume:

dP.Vn + n V

(n-1) dV . P = 0 (1.26)

0=P.dVV

n.V + V.dP

n

n

(1.27)

0=V

dV.P.n+ dP (1.28)

ε

dP.V_=dV (1.29)

npε (1.30)

1.10.4.1- Simplificações da equação (1.30)

Nas transformações isotérmicas (n=1): o módulo de

elasticidade volumétrica, em qualquer instante, iguala-se a

pressão após a transformação ( = P).

I.25

Nas transformações adiabáticas: não há troca de calor entre a

massa do gás e o meio. O módulo de elasticidade depende da

constante politrópica do gás ( = nP).

1.10.2- Aplicação das equações de estado para o gás ideal

Uma das mais significativas aplicações das equações de

estado do gás ideal é referente ao movimento geral de circulação

do ar na atmosfera.

(i) a atmosfera basicamente pode ser dividida em duas camadas:

a troposfera, mais próxima da terra (11 km a partir da superfície

livre do mar).

(ii) camadas superiores: acima da troposfera (a estratosfera; a

ionosfera; e a exosfera) o movimento de circulações se dá por

processo isotérmico, no qual não há variação da temperatura.

(i.1) variação da pressão na troposfera: a pressão é função da

altitude e da temperatura (esta variável). Por outro lado, o

movimento geral de circulação do ar na atmosfera segue a lei do

gás perfeito (equação 1.39)

dzγdp (1.31)

)()(0

zTzT (1.32)

RTPVS (1.33)

T: temperatura final do gás.

Aplicando as equações (1.32) e (1.33) em (1.31) obtemos, para a

troposfera, a equação geral que relaciona a pressão num ponto

acima do nível do mar com a temperatura no nível do mar e a com

a altitude.

I.26

dzRT

pdp (1.34)

)(T

dz

R

1

p

dp

0z

(1.35)

αz)(T

dz

R

1

p

dp z

0

0

p

Patm

(1.36)

A integração da equação (1.36) fornece:

R

T

zTpatmp

.1

0

0

(1.37)

Na equação 1.37 temos:

To: temperatura no nível do mar ou no nível inferior

Z : altitude no nível superior

: taxa de variação da temperatura = 0,0065 K/m

P: pressão no nível superior

Patm: pressão atmosférica ano nível do mar

R: constante do gás para o ar atmosférico (R=29,30 m/K)

ii.1) na camada superior a troposfera: a transformação a que o ar

está submetido é considerada isotérmica.

dz T R.

1

p

dp (1.38)

z

z

p

Po 0

dz R.T

1

p

dp (1.39)

A integração da equação 1.39 fornece:

I.27

TR

zz

epop .

)( 0

.)(

P0: pressão no nível inferior

T: temperatura no nível superior

Obs: se atmosfera for considerada isotérmica:

TR

z

epatmp ..)(

(1.40)

EXEMPLO 1.11

Um pneu de automóvel com volume de 0,60m³ é inflado até

alcançar uma pressão manométrica de 200kPa. Calcule a massa

de ar no pneu, sabendo-se que a temperatura é de 20° C. Dados:

R= 29,30 m/k e Patm= 100 kPa. (Resposta: m= 2,182 kg).

[FONTE - Ciências térmicas: M.C.Potter]

EXEMPLO 1.12

Aplicação das equações termodinâmicas. A temperatura na

atmosfera perto da superfície da terra (até uma altura de 10.000m)

pode ser aproximada por T(Z)= 15 - 0,0065.Z °C. Determine a

pressão a uma altura de 3.000 m. Dado: Patm= 101kPa em Z= 0.

(Resposta: P= 69,90 kPa). [FONTE - Ciências térmicas:

M.C.Potter]

EXEMPLO 1.13

Um recipiente contém 500 litros de hidrogênio à pressão de 2,0

kgf/cm². A seguir é comprimido, reduzindo seu volume para 160

litros. Determine a nova pressão absoluta, o módulo de

elasticidade volumétrica () e o coeficiente de compressibilidade

() nas seguintes condições:

a) Em condições isotérmicas.

b) Em condições adiabáticas (n= 1,41).