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Professor Luiz Antonio Farani de Souza
1 Capítulo 5 - Formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para treliça 2D
Capítulo 5 - Formulação Corrotacional do Método dos Elementos
Finitos para treliça 2D
Conteúdo Capítulo 5 - Formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para treliça 2D ......... 1
5.1 Introdução ........................................................................................................................... 2
5.2 Formulação Corrotacional de Elementos Finitos ................................................................ 2
5.3 Problema numérico resolvido ............................................................................................. 3
5.3.1 Solução do problema ................................................................................................... 4
5.4 Programa computacional .................................................................................................... 5
5.4.1 Programa principal ....................................................................................................... 6
5.4.2 Sub-rotinas (funções) ................................................................................................... 7
5.5 Exercícios propostos .......................................................................................................... 10
5.5.1 Exercício proposto 1 ................................................................................................... 10
5.5.2 Exercício proposto 2 ................................................................................................... 11
Referências .............................................................................................................................. 13
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2 Capítulo 5 - Formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para treliça 2D
5.1 Introdução
Neste capítulo, a formulação e o código computacional são apresentados para análise não
linear geométrica de treliças planas, com o programa livre Scilab, versão 6.1.1 (SCILAB, 2021).
O programa principal e as sub-rotinas (funções) são apresentados.
Na análise de treliça plana, consideram-se a não linearidade geométrica e a medida de
deformação de Green-Lagrange. A estrutura é discretizada por meio do Método Corrotacional de
Elementos Finitos (YAW, 2009).
O sistema de equações não lineares é resolvido pelo método incremental e iterativo de
Newton-Raphson Padrão associado à técnica de continuação Comprimento de Arco Linear
(hiperplano fixo).
O programa é composto por três partes:
a) Entrada de dados (pré-processamento);
b) Análise do problema (processamento); e
c) Saída de dados (pós-processamento).
5.2 Formulação Corrotacional de Elementos Finitos
A estrutura da treliça pode sofrer grandes deslocamentos e rotações no nível global, mas
pequenas deformações no nível local. Considere o elemento de treliça nas configurações inicial e
corrente como mostrado na Figura 1.
Figura 1: Configurações inicial e corrente do elemento de treliça.
Fonte: Adaptada de Yaw (2009).
Os comprimentos inicial L0 e corrente L são determinados conforme as equações,
respectivamente:
𝐿0 = √(𝑋2 − 𝑋1)2 + (𝑌2 − 𝑌1)
2, (5.1)
𝐿 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2. (5.2)
As coordenadas globais permanecem fixas na formulação corrotacional. O ângulo
corrente do elemento corrotacionado com relação ao sistema de coordenadas globais é denotado
por . Na formulação bidimensional, os valores do seno e cosseno desse ângulo são determinados
por, respectivamente (YAW, 2009; CRISFIELD, 1991):
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =(𝑋2 + 𝑢2) − (𝑋1 + 𝑢1)
𝐿, (5.3)
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =(𝑌2 + 𝑣2) − (𝑌1 + 𝑣1)
𝐿. (5.4)
nas quais ui são os deslocamentos horizontais (na direção do eixo cartesiano global X) e vi são os
deslocamentos verticais (na direção do eixo cartesiano global Y), com i = 1, 2.
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Considere 𝑐 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) e 𝑠 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃). O vetor de força interna elementar Fel é avaliado
pela seguinte expressão:
𝑭𝒆𝒍 =𝑁𝐿
𝐿0𝒓, (5.5)
na qual o vetor 𝒓 = [−𝑐 −𝑠 𝑐 𝑠]𝑇 e N é a força axial interna local dada por:
𝑁 = 𝐴𝐸𝜀𝐺 , (5.6)
em que EA é a rigidez axial e 𝜀𝐺 é a deformação de Green-Lagrange dada por:
𝜀𝐺 =𝐿2 − 𝐿0
2
2𝐿02 , (5.7)
A força axial N é calculada no sistema local de coordenadas cartesianas (Xl, Yl). A matriz
de rigidez elementar Kel é composta por duas parcelas:
𝑲𝒆𝒍 = 𝑲𝑴 +𝑲𝑮, (5.8)
na qual KM é a matriz de rigidez material e KG é a matriz de rigidez geométrica. Essas matrizes
sendo determinadas por, respectivamente:
𝑲𝑴 =𝐴𝐸
2𝐿0(3
𝐿2
𝐿02 − 1)𝒓𝒓𝑇 , (5.9)
𝑲𝑮 =𝑁
𝐿
𝐿
𝐿0[𝑰𝟐 −𝑰𝟐−𝑰𝟐 𝑰𝟐
] =𝐴𝐸𝜀𝐺𝐿0
𝑪, (5.10)
Na qual a matriz C é dada por:
𝑪 = [𝑰𝟐 −𝑰𝟐−𝑰𝟐 𝑰𝟐
] . (5.11)
em que I2 é a matriz identidade de ordem 2.
5.3 Problema numérico resolvido
Considere a estrutura correspondente a uma barra biarticulada com um grau de liberdade,
conforme é ilustrada na Figura 2. A barra tem rigidez axial adimensional EA = 5,0 107. Este
problema foi estudado por Menin (2006) e Crisfield (1991).
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Figura 2: Modelo estrutural da barra com um grau de liberdade.
5.3.1 Solução do problema
Dados de entrada para o método de solução (Newton-Raphson padrão associado à técnica
continuação comprimento de Arco Linear):
Barra de progresso (processamento):
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Trajetória de equilíbrio (deslocamento vertical versus força):
Resultados numéricos no Console do Scilab (ktotal, kmédio e t):
5.4 Programa computacional
Para a criação do programa para a solução do problema de barra descrito na Seção 5.3,
deve-se seguir os passos:
1. Executar o programa Scilab 6.1.1;
2. Criar uma pasta com o nome do programa (por exemplo, "Treliça_2D_Corr");
3. Abrir o programa Editor de texto SciNotes;
4. Criar no SciNotes o arquivo do programa principal (Subseção 5.4.1) com o nome “principal” e
extensão .sce, dentro da pasta criada; e
5. Criar novos arquivos no SciNotes para cada uma das funções (function) (Subseção 5.4.2) com
extensão .sci, dentro da pasta criada;
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5.4.1 Programa principal //Programa principal - treliça 2D //Formulação corrotacional
//Análise não linear geométrica
//Deformação de Green-Lagrange clear
clc
exec('DKG.sci',-1); exec('DFG.sci',-1);
exec('dkelem.sci',0);
exec('ensamkg.sci',-1); exec('contkg.sci',-1);
exec('dfelem.sci',-1);
exec('ensamfg.sci',-1); exec('contfg.sci',-1);
exec('apontador.sci',-1);
exec('result.sci',-1); exec('entrada_dados.sci',-1);
exec('result.sci',-1);
//_____________________________________
//entrada de dados
//tol - tolerância
//deltal - comprimento de arco inicial //Nd - número desejável de iterações
//kmax - número máximo de iterações por passo
//nmax - número máximo de passos de carga //P - incremento de carga
txt = ['tolerância:';'número máximo de iterações:';'número de passos de carga:';'comprimento de arco inicial:';'número de
iterações desejadas por passo de carga:';'incremento de carga:']; sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-8';'150';'25';'110';'5';'-1'])
tol = evstr(sig(1));
kmax = evstr(sig(2)); nmax = evstr(sig(3));
deltal = evstr(sig(4));
Nd=evstr(sig(5)); P=evstr(sig(6));
//Entrada de dados (construção da malha de EF) [NTNOS, NTEL, NNOSCC, NTGL, coord, inci, dofno, Fr, NOCC, E0, A, itipo]=entrada_dados(P);
//_____________________________________ //Processamento
//inicialização
lambda=0; deltal0=deltal;
coord0=coord;
udesl=zeros(NTGL,1); //vetor de deslocamento deltau=zeros(NTGL,1);
DELTAU=zeros(NTGL,1);
vu(1,1)=0; vf(1,1)=0;
ktotal=0; ierro=0;
tic //inicia um cronômetro winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso
realtimeinit(0);
for np=1:nmax //passos de carga
[KG]=DKG(udesl,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez
deltaur=KG\Fr;
Dlambda=deltal/norm(deltaur); if DELTAU'*deltaur<0 //determina o sinal do incremento de carga
Dlambda=-Dlambda;
end DELTAU0=Dlambda*deltaur;
DELTAU=DELTAU0;
[FG,vdef]=DFG(udesl+DELTAU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E0,A,itipo); //vetor de força interna g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desequilibradas
k=0;
realtime(np); while k<kmax //ciclo iterativo
k=k+1; //contador de iterações
[KG]=DKG(udesl+DELTAU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E0,A,itipo); //matriz de rigidez deltaug=KG\g;
deltaur=KG\Fr;
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dlambda=-(DELTAU0'*deltaug)/(DELTAU0'*deltaur); //subincremento de carga
deltau=deltaug+dlambda*deltaur; //subincremento de deslocamento
DELTAU=DELTAU+deltau; //incremento de deslocamento Dlambda=Dlambda+dlambda; //incremento de carga
[FG,vdef]=DFG(udesl+DELTAU,NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord0,E0,A,itipo); //vetor de força interna
g=(lambda+Dlambda)*Fr-FG; //vetor de forças desequilibradas if norm(g)<=norm(Fr)*tol //critério de convergência
break
end end
if k==kmax
messagebox('não convergiu!') ierro=1;
break end
udesl=udesl+DELTAU; //deslocamento total
lambda=lambda+Dlambda; //parâmetro de carga total deltal = deltal0*(Nd/k)^0.5;
vu(1+np,1)=-udesl(4,1);
vf(1+np,1)=-lambda*Fr(4,1);
ktotal=ktotal+k; //contador iterações acumuladas
waitbar(lambda,winH); //barra de progresso
end close(winH); //fecha a barra de progresso
kmedio=ktotal/nmax; //número médio de iterações por passo
t=toc() //lê o cronômetro //_____________________________________
//Saída de Dados (pós-processamento)
if ierro==0 //gráfico - trajetória de equilíbrio
[vu1,vf1]=result();
plot(vu,vf,'b-','marker','s','markerFaceColor','b','markerEdgeColor','b','markersize',6);
set(gca(),"auto_clear","off");
plot(vu1,vf1,'k','marker','x','markersize',8) set(gca(),"auto_clear","off");
gca().grid=[1 1 1]; //Linhas de grade xlabel('Deslocamento vertical','fontsize',3); //eixo x
ylabel('Força P','fontsize',3); //eixo y
legend('Programa EF','Menin (2006)',3);
//resultados numéricos (console)
disp('Resultados numéricos') disp('a) Número total de iterações (ktotal):',ktotal)
disp('b) Número médio de iterações por passo (kmédio):',kmedio)
disp('c) Tempo de processamento em segundos (t):',t) end
5.4.2 Sub-rotinas (funções)
Função apontador function [IPO, TAM]=apontador(m, itipo) //Elemeno de barra com 2 NÓS, 2GL/NÓ
if (itipo(m,2)==1) then IPO(1)=1;
IPO(2)=2;
IPO(3)=3; IPO(4)=4;
TAM=4;
end endfunction
Função contfg function [FG]=contfg(NOCC, NNOSCC, FG)
//Impõe as condições de contorno no vetor de força global FG for I=1:NNOSCC
FG(NOCC(1,I))=0;
end endfunction
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Função contkg function [KG]=contkg(NOCC, NNOSCC, NTGL, KG) //Impõe as condições de contorno na matriz de rigidez global KG
for J=1:NNOSCC
for I=1:NTGL KG(NOCC(1,J),I)=0;
KG(I,NOCC(1,J))=0;
end KG(NOCC(1,J),NOCC(1,J))=1;
end
endfunction
Função entrada_dados function [NTNOS, NTEL, NNOSCC, NTGL, coord, inci, dofno, Fr, NOCC, E0, A, itipo]=entrada_dados(P)
//Informa os dados da malha de elementos finitos, vetor de força e propriedades materiais e geométricas das barras
//NTNOS -> NÚMERO TOTAL DE NÓS //NTEL -> NÚMERO TOTAL DE ELEMENTOS
//NTGL -> NÚMERO TOTAL DE GRAUS DE LIBERDADE
//NNOSCC -> NÚMERO DE GRAUS RESTRITOS (CONDIÇÕES DE CONTORNO) NTNOS=2; //informar
NTEL=1; //informar
NNOSCC=3; //informar NTGL=NTNOS*2;
//Informa as coordenadas dos nós (informar a matriz) //coord(i,1)= coordenada x
//coord(i,2)= coordenada y
coord=[0 0;2500 2500]; //informar
//Informa a incidência dos elementos (informar a matriz)
//inci(i,1) = elemento //inci(i,2) = nó i
//inci(i,3) = nó j
inci=[1 1 2]; //informar
//determina os graus de liberdade por nó de cada elemento
for I=1:NTEL //elemento de treliça 2D
dofno(I,1)=inci(I,2)*2-1; //NÓ i
dofno(I,2)=inci(I,2)*2; dofno(I,3)=inci(I,3)*2-1; //NÓ j
dofno(I,4)=inci(I,3)*2;
end
//elemento barra -> itipo(nel,2)==1
//elemento viga -> itipo(nel,2)==2 //material 1 -> itipo(nel,3)==1
//material 2 -> itipo(nel,3)==2
for i=1:NTEL itipo(i,1) = i;
itipo(i,2) = 1;
itipo(i,3) = 1; end
//propriedades materiais e geométricas das barras
for m=1:NTEL
if itipo(m,3)==1
E0(m)=5*10^7; //informar o módulo de elasticidade
A(m)=1; //informar a área da seção transversal da barra
end end
//vetor de força externa Fext Fr=zeros(NTGL,1);
//informar as forças (carregamento) nos graus de liberdade
Fr(2*2,1)=P; //nó * 2gl (força na direção do eixo Y)
//informar as condições de contorno (graus de liberdade restringidos)
NOCC=[1 2 3]; //informar os graus de liberdade restringidos endfunction
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9 Capítulo 5 - Formulação Corrotacional do Método dos Elementos Finitos para treliça 2D
Função dfelem function [FELEM, eps]=dfelem(m, E0, A, inci, udesl, dofno, coord0) //Determina o vetor de força elementar
FELEM=zeros(4,1);
for i=1:4 u(i)=udesl(dofno(m,i),1);
end
X1=coord0(inci(m,2),1); X2=coord0(inci(m,3),1);
Y1=coord0(inci(m,2),2);
Y2=coord0(inci(m,3),2); L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2); //comprimento indeformado
L(m)=sqrt( (X2+u(3)-X1-u(1))^2 + (Y2+u(4)-Y1-u(2))^2 ); //comprimento deformado
c=(X2+u(3)-X1-u(1))/L(m); s=(Y2+u(4)-Y1-u(2))/L(m);
r=[-c;-s;c;s];
eps=(L(m)^2-L0(m)^2)/(2*L0(m)^2); //deformação Green Lagrange FELEM = E0(m)*A(m)*eps*(L(m)/L0(m))*r; //vetor de força elementar
endfunction
Função DFG function [FG, vdef]=DFG(udesl, NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord0, E0, A, itipo) //Determinação do vetor de força interna global (FG)
FG=zeros(NTGL,1);
for m=1:NTEL [FELEM,eps]=dfelem(m,E0,A,inci,udesl,dofno,coord0);
[FG]=ensamfg(m,FELEM,dofno,itipo,FG);
vdef(m,1)=eps; end
[FG]=contfg(NOCC,NNOSCC,FG);
endfunction
Função dkelem function [KELEM]=dkelem(m, E0, A, inci, udesl, dofno, coord0)
//Monta a matriz de rigidez elementar Kelem
KELEM=zeros(4,4);
for i=1:4
u(i)=udesl(dofno(m,i),1);
end X1=coord0(inci(m,2),1);
X2=coord0(inci(m,3),1);
Y1=coord0(inci(m,2),2); Y2=coord0(inci(m,3),2);
L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2); //comprimento indeformado
L(m)=sqrt( (X2+u(3)-X1-u(1))^2 + (Y2+u(4)-Y1-u(2))^2 ); //comprimento deformado c=(X2+u(3)-X1-u(1))/L(m);
s=(Y2+u(4)-Y1-u(2))/L(m);
r=[-c -s c s]; C = [1 0 -1 0;
0 1 0 -1;
-1 0 1 0; 0 -1 0 1];
const=L(m)/L0(m);
eps=(L(m)^2-L0(m)^2)/(2*L0(m)^2); //deformação Green Lagrange KM = E0(m)*A(m)/L0(m)*0.5*(3*const^2-1)*r*r';
Kg = E0(m)*A(m)*eps/L(m)*L(m)/L0(m)*C;
KELEM=KM+Kg; //matriz de rigidez
endfunction
Função DKG function [KG]=DKG(udesl, NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord0, E0, A, itipo) //Determinação da matriz de rigidez global (KG)
KG=zeros(NTGL,NTGL);
for m=1:NTEL [KELEM]=dkelem(m,E0,A,inci,udesl,dofno,coord0);
[KG]=ensamkg(m,KELEM,dofno,itipo,KG);
end [KG]=contkg(NOCC,NNOSCC,NTGL,KG);
endfunction
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Função ensamfg function [FG]=ensamfg(m, FELEM, dofno, itipo, FG) //Monta o vetor de força global
[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);
for I=1:TAM P=dofno(m,IPO(I));
if (P>0)
FG(P,1)=FG(P,1)+FELEM(I,1); end
end
endfunction
Função ensamkg function [KG]=ensamkg(m, KELEM, dofno, itipo, KG)
//Monta a matriz de rigidez global
[IPO,TAM]=apontador(m,itipo); for I=1:TAM
for J=1:TAM
P=dofno(m,IPO(I)); Q=dofno(m,IPO(J));
if (P>0 & Q>0)
KG(P,Q)=KG(P,Q)+KELEM(I,J); end
end
end endfunction
Função result function [vu1, vf1]=result()
//resultados deformação de Green-Lagrange (Menin, 2006): com o programa Pega Ponto vu1=[7.80E+02
1.26E+03
1.76E+03 3.27E+03
3.78E+03
4.27E+03];
vf1=[3.16E+06
3.28E+06
2.41E+06 -2.49E+06
-3.32E+06
-3.07E+06]; endfunction
5.5 Exercícios propostos
5.5.1 Exercício proposto 1
Adaptar o programa para as seguintes medidas de deformação:
- Deformação de Engenharia;
- Deformação de Green-Lagrange;
- Deformação de Almansi; e
- Deformação de Biot.
Resolver o problema da barra biarticulada com um grau de liberdade ilustrado na Figura
1, e comparar as trajetórias de equilíbrio para as diferentes medidas de deformação. A solução do
problema (trajetórias de equilíbrio) apresentada por Menin (2006) aparece na Figura 3.
Tabela 1: Matriz de rigidez e o vetor de força interna elementares para as diferentes medidas de
deformação.
Deformação Fel Kel = KM + KG
Engenharia
(MENIN, 2006) 𝑭𝐞𝐥 = 𝐸𝐴𝑒𝒓
𝑲𝑴 =𝐸𝐴
𝐿0𝒓𝒓𝑻
𝑲𝑮 = 𝐸𝐴𝑒𝑪
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Green-Lagrange
(MENIN, 2006) 𝑭𝐞𝐥 = 𝐸𝐴𝐺
𝐿
𝐿0𝒓
𝑲𝑴 =𝐸𝐴
2𝐿0(3
𝐿2
𝐿02 − 1)𝒓𝒓𝑻
𝑲𝑮 = 𝐸𝐴𝐺𝐿
𝐿0𝑪
Biot
(MENIN, 2006) 𝑭𝐞𝐥 = 𝐸𝐴𝐵
𝐿0𝐿𝒓
𝑲𝑴 =𝐸𝐴
𝐿(3
𝐿02
𝐿2− 2
𝐿0𝐿)𝒓𝒓𝑻
𝑲𝑮 = 𝐸𝐴𝐵𝐿0𝐿𝑪
Almansi
(MENIN, 2006) 𝑭𝐞𝐥 = 𝐸𝐴𝐴𝐿0
2
𝐿2𝒓
𝑲𝑴 =𝐸𝐴
2𝐿(5
𝐿04
𝐿4− 3
𝐿02
𝐿2)𝒓𝒓𝑻
𝑲𝑮 = 𝐸𝐴𝐴𝐿0
2
𝐿2𝑪
Figura 3: Trajetórias de equilíbrio.
Fonte: Menin (2006).
5.5.2 Exercício proposto 2
Seja a treliça plana com dez barras, cuja geometria e o carregamento são apresentados na
Figura 4. As barras têm módulo de elasticidade E = 5,0 × 1010 N/m2 e área da seção transversal A
= 1,0 × 10-4 m². Obter a trajetória de equilíbrio para a medida de deformação de Engenharia. A
solução (trajetória de equilíbrio com dois pontos limites de força) é apresentada na Figura 5.
Figura 4: Modelo estrutural da treliça abatida com 10 barras.
Fonte: Adaptada de Wriggers, Wagner e Miehe (1988).
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Figura 5: Trajetória de equilíbrio.
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Referências
CRISFIELD, M. A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. Vol. 1. New
York: Wiley, 1991.
MENIN, R. C. G. Aplicação da descrição cinemática co-rotacional na análise não-linear
geométrica de estruturas discretizadas por elementos finitos de treliças, vigas e cascas. Tese
(Doutorado em estruturas e construção civil) - Departamento de Engenharia Civil e Ambiental,
Faculdade de Tecnologia, Universidade de Brasília, Brasília, 2006.
ROCHA, G. Estratégias de incremento de carga e de iteração para análise não linear de
estruturas. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal
de Ouro Preto, Ouro Preto, 2000.
SCILAB, versão 6.1.1. France: ESI Group, 2021.
WRIGGERS, P.; WAGNER, W.; MIEHE, C. A quadratically convergent procedure for the
calculation of stability points in finite element analysis. Computer methods in applied
mechanics and engineering, v. 70, n. 3, p. 329-347, 1988.
YAW, L. L. 2D Co-rotational Truss Formulation. Walla Walla University, 2009.