CAPÍTULO3

Vetores

3-1VETORESESUASCOMPONENTES

ObjetivosdoAprendizado3.01Somarvetoresgeometricamenteeaplicarasleiscomutativaeassociativa.

3.02Subtrairumvetordeoutrovetor.

3.03Calcularascomponentesdeumvetoremumsistemadecoordenadaserepresentá-lasemumdesenho.

3.04Dadasascomponentesdeumvetor,desenharovetoredeterminarseumóduloeorientação.

3.05Converterângulosdegrauspararadianos,evice-versa.

Ideias-Chave•Asgrandezasescalares,comoatemperatura,têmapenasumaamplitude,especificadaporumnúmeroeumaunidade(10oC,porexemplo),eobedecemàsregrasdaaritméticaedaálgebraelementar.Asgrandezasvetoriais,comoodeslocamento,têmumaamplitudeeumaorientação(5mparaonorte,porexemplo)eobedecemàsregrasdaálgebravetorial.

•Doisvetores e podemsersomadosgeometricamentedesenhando-osnamesmaescala,comaorigemdosegundovetornaextremidadedoprimeiro.Ovetorque ligaaorigemdoprimeirovetoràextremidadedosegundoéovetorsoma, .Parasubtrair de ,bastainverterosentidode ,escrevendo− ,esomar− a .• As componentes (escalares) ax e ay de qualquer vetor bidimensional em relação aos eixos coordenados podem serdeterminadas traçando retasperpendicularesaoseixos coordenadosapartir dasextremidadesde .As componentes sãodadaspor

ax=acosθeay=asenθ,

emqueθéoânguloentreosemieixoxpositivoeadireçãode .Osinalalgébricodacomponente indicaoseusentido.Omóduloeaorientaçãodeumvetor podemsercalculadosapartirdascomponentesaxeayusandoasequações

OqueÉFísica?A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação, eprecisadeumalinguagemmatemáticaespecial,alinguagemdosvetores,paradescreveressasgrandezas.Essalinguagemtambéméusadanaengenharia,emoutrasciênciaseatémesmonasconversasdodiaadia.Sevocêjáexplicouaalguémcomochegaraumendereçousandoexpressõescomo“Sigaporestarua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda”, usou a linguagem dos vetores. Na verdade,

Ovetor éperpendiculara e ,oquepodeserdemonstradoobservandoque · =0e · =0;ouseja,quenãoexistem

componentesde emrelaçãoa e .

RevisãoeResumo

EscalareseVetoresGrandezasescalares,comotemperatura,possuemapenasumvalornumérico.Sãoespecificadasporumnúmerocomumaunidade(10°C,porexemplo)eobedecemàsregrasdaaritméticae da álgebra elementar. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um valor numérico(módulo)eumaorientação(5mparacima,porexemplo)eobedecemàsregrasdaálgebravetorial.

SomaGeométricadeVetoresDoisvetores e podemsersomadosgeometricamentedesenhando-osnamesmaescalaeposicionando-oscomaorigemdeumnaextremidadedooutro.Ovetorque ligaasextremidadeslivresdosdoisvetoreséovetorsoma, .Parasubtrair de ,invertemososentidodeparaobter– esomamos– a .Asomavetorialécomutativa

obedeceàleiassociativa

ComponentesdeumVetorAscomponentes(escalares)axeaydeumvetorbidimensional emrelaçãoaoeixosdeumsistemadecoordenadasxysãoobtidastraçandoretasperpendicularesaoseixosapartirdaorigemedaextremidadede .Ascomponentessãodadaspor

emqueθ é o ângulo entre e o semieixox positivo.O sinal algébrico de uma componente indica osentidodacomponenteemrelaçãoaoeixocorrespondente.Dadasascomponentes,podemosdeterminaromóduloeaorientaçãodeumvetor atravésdasequações

NotaçãodosVetoresUnitáriosOsvetoresunitários , e têmmódulo unitário e sentido igual aosentidopositivodoseixosx,yez,respectivamente,seosistemadecoordenadasfordextrogiro(oquepode ser verificado calculando os produtos vetoriais dos vetores unitários). Em termos dos vetoresunitários,umvetor podeserexpressonaforma

emqueax ay eaz sãoascomponentesvetoriaisde eax,ayeazsãoascomponentesescalares.

SomadeVetoresnaFormadeComponentesParasomarvetoresnaformadecomponentes,usamosas

regras

Aqui, e sãoosvetoresaseremsomadose éovetorsoma.Notequeascomponentessãosomadasseparadamenteparacadaeixo.Nofinal,asomapodeserexpressananotaçãodosvetoresunitáriosounanotaçãomódulo-ângulo.

ProdutodeumEscalarporumVetorOprodutodeumescalareporumvetor éumvetordemóduloevcomamesmaorientaçãode seeforpositivo,ecomaorientaçãoopostaseefornegativo.(Osinalnegativoinverteosentidodovetor.)Paradividir pore,multiplicamos por1/e.

OProdutoEscalar Oproduto escalar de dois vetores e é representado por · e é igual àgrandezaescalardadapor

emqueϕéomenordosângulosentreasdireçõesde e .Oprodutoescalaréoprodutodomódulodeumdosvetorespelacomponenteescalardooutroemrelaçãoaoprimeiro.Noteque · = · oquesignificaqueoprodutoescalarobedeceàleicomutativa.

Nanotaçãodosvetoresunitários,

quepodeserexpandidodeacordocomaleidistributiva.

OProdutoVetorialOprodutovetorialdedoisvetores · ,representadopor ¹ ,éumvetor cujomódulocédadopor

emqueϕéomenordosângulosentreasdireçõesde e .Aorientaçãodeéperpendicularaoplanodefinidopor e eédadapelaregradamãodireita,comomostraaFig.3-19.Noteque × =–( ×),oquesignificaqueoprodutovetorialnãoobedeceàleicomutativa.

Nanotaçãodosvetoresunitários,

quepodeserexpandidodeacordocomaleidistributiva.

Perguntas1Asomadosmódulosdedoisvetorespodeserigualaomódulodasomadosmesmosvetores?Justifiquesuaresposta.

2 Os dois vetores da Fig. 3-21 estão em um plano xy. Determine o sinal das componentes x e y,respectivamente,de(a) 1+ 2;(b) 1– 2;(c) 1– 2.

Figura3-21 Pergunta2.

Figura3-22 Pergunta3.

3ComoamascotedaUniversidadedaFlóridaéumjacaré,aequipedegolfedauniversidadejogaemumcamponoqualexisteumlagocomjacarés.AFig.3-22mostraumavistaaéreadaregiãoemtornodeumdosburacosdocampocomumsistemadecoordenadasxysuperposto.Astacadasdaequipedevemlevaraboladaorigematéoburaco,queestánascoordenadas(8m,12m),masabolapodesofrerapenasosseguintesdeslocamentos,quepodemserusadosmaisdeumavez:

Olagoestánascoordenadas(8m,6m).Seummembrodaequipelançaabolanolago,éimediatamentetransferido para aUniversidade Estadual da Flórida, a eterna rival. Que sequência de deslocamentosdeveserusadaporummembrodaequipeparaevitarolago?

4AEq.3-2mostra que a somade dois vetores e é comutativa. Isso significa que a subtração écomutativa,ouseja,que – = – ?

5 Quais dos sistemas de eixos da Fig. 3-23 são “sistemas de coordenadas dextrogiros”? Como decostume,aletraqueidentificaoeixoestánosemieixopositivo.

Figura3-23 Pergunta5.

6Descrevadoisvetores e taisque

(a) + = ea+b=c;

(b) + = – ;

(c) + = ea2+b2=c2.

7Se = + +(– ),(a) +(– )= +(– ),(b) =(– )+ + e(c) +(– )= + ?

8Se · = · , e énecessariamenteiguala ?

9Se =q( × )e éperpendiculara ,qualéaorientaçãode nastrêssituaçõesmostradasnaFig.3-24seaconstanteqfor(a)positivae(b)negativa?

Figura3-24 Pergunta9.

10AFig.3-25mostraumvetor eoutrosquatrovetoresdemesmomóduloeorientaçõesdiferentes.(a)

Quaisdosoutrosquatrovetorestêmomesmoprodutoescalarcom ?(b)Quaistêmumprodutoescalarcom negativo?

Figura3-25 Pergunta10.

11Emumjogodisputadoemumlabirintotridimensional,vocêprecisamoversuapeçadapartida,nascoordenadas (0, 0, 0), para a chegada, nas coordenadas (−2 cm, 4 cm, −4 cm). A peça pode sofrerapenas os deslocamentos (em centímetros)mostrados a seguir. Se, durante o trajeto, a peça parar nascoordenadas(−5cm,−1cm,−1cm)ou(5cm,2cm,−1cm),vocêperdeojogo.Qualéasequênciadedeslocamentoscorretaparalevarapeçaatéachegada?

12Ascomponentesxeydequatrovetores , , e sãodadasaseguir.ParaquaisdessesvetoresumacalculadoraforneceoângulocorretoquandovocêusaacalculadoraparadeterminaroânguloθdaEq.3-6?ObserveprimeiroaFig.3-12parachegaraumarespostaedepoisuseumacalculadoraparaverificarsesuarespostaestácorreta.

13Quaisdasexpressõesvetoriaisaseguirestãocorretas?Oqueestáerradonasexpressõesincorretas?(a) ·( · )(b) ×( · )(c) ·( × )(d) ×( × )(e) +( · )(f) +( × )(g)5+(h)5+( · )(i)5+( × )(j)( · )+( · )

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísicadeJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo3-1VetoreseSuasComponentes

·1Quaissão(a)acomponentexe(b)acomponenteydeumvetor doplanoxyquefazumângulode250°nosentidoanti-horáriocomoosemieixoxpositivoetemummódulode7,3m?

·2 Um vetor deslocamento no plano xy tem 15m de comprimento e faz um ângulo θ = 30° com osemieixoxpositivo,comomostraaFig.3-26.Determine(a)acomponentexe (b)acomponenteydovetor.

·3Acomponentexdovetor é–25,0meacomponenteyé+40,0m.(a)Qualéomódulode ? (b)Qualéoânguloentreaorientaçãode eosemieixoxpositivo?

Figura3-26 Problema2.

·4 Expresse os seguintes ângulos em radianos: (a) 20,0°; (b) 50,0°; (c) 100°. Converta os seguintesângulosparagraus:(d)0,330rad;(e)2,10rad;(f)7,70rad.

·5Oobjetivodeumnavioéchegaraumportosituado120kmaonortedopontodepartida,masumatempestadeinesperadaolevaparaumlocalsituado100kmalestedopontodepartida.(a)Quedistânciaonaviodevepercorrere(b)querumodevetomarparachegaraodestino?

·6NaFig.3-27,umamáquinapesadaéerguidacomoauxíliodeumarampaquefazumânguloq=20,0°comahorizontal,naqualamáquinapercorreumadistânciad=12,5m.(a)Qualéadistânciaverticalpercorridapelamáquina?(b)Qualéadistânciahorizontalpercorridapelamáquina?

Figura3-27 Problema6.

·7Consideredoisdeslocamentos,umdemódulo3meoutrodemódulo4m.Mostredequeformaosvetoresdeslocamentopodemsercombinadosparaqueomódulododeslocamentoresultanteseja(a)7m,(b)1m,(c)5m.

Módulo3-2VetoresUnitários;SomadeVetoresapartirdasComponentes

·8Umapessoacaminhadaseguinteforma:3,1kmparaonorte,2,4kmparaoestee5,2kmparaosul.(a)Desenhe o diagrama vetorial que representa essemovimento. (b)Que distância e (c) em que direçãovoariaumpássaroemlinharetadomesmopontodepartidaaomesmopontodechegada?

·9Doisvetoressãodadospor

Determine,nanotaçãodosvetoresunitários,(a) + ;(b) – ;(c)umterceirovetor, ,talque –+ =0.

·10Determineascomponentes(a)x,(b)ye(c)zdasoma dosdeslocamentos e cujascomponentesemmetrosemrelaçãoaostrêseixossãocx=7,4,cy=-3,8,cz=-6,1,dx=4,4,dy=–2,0,dz=3,3.

·11(a)Determineasoma + ,nanotaçãodosvetoresunitários,para =(4,0m) +(3,0m) e =(13,0m) +(7,0m) .Determine(b)omóduloe(c)aorientaçãode + .

·12Umcarroviaja50kmparaleste,30kmparaonortee25kmemumadireção30oalestedonorte.Desenhe o diagrama vetorial e determine (a) omódulo e (b) o ângulo do deslocamento do carro emrelaçãoaopontodepartida.

·13Umapessoadesejachegaraumpontoqueestáa3,40kmdalocalizaçãoatual,emumadireção35,0°aonortedoleste.Asruasporondeapessoapodepassarsãotodasnadireçãonorte-sulounadireçãoleste-oeste.Qualéamenordistânciaqueessapessoaprecisapercorrerparachegaraodestino?

·14Vocêdeveexecutarquatrodeslocamentosnasuperfícieplananumdeserto,começandonaorigemdeum sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (–140 m, 30 m). As componentes dosdeslocamentossão,sucessivamente,asseguintes,emmetros:(20,60),(bx,–70),(–20,cy)e(–60,–70).Determine(a)bxe(b)cy.Determine(c)omóduloe(d)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentototal.

·15Osvetores e daFig.3-28têmomesmomódulo,10,0m,eosângulosmostradosnafigurasãoq1=30°eq2=105°.Determineascomponentes (a)xe (b)ydasomavetorialdos doisvetores, (c)omódulode e(d)oânguloque fazcomosemieixoxpositivo.

·16Paraosvetoresdeslocamento =(3,0m) +(4,0m) e =(5,0m) +(–2,0m) ,determine + (a)emtermosdevetoresunitárioseemtermos(b)domóduloe(c)doângulo(emrelaçãoa ).Determine– (d)emtermosdevetoresunitárioseemtermos(e)domóduloe(f)doângulo.

Figura3-28 Problema15.

·17Trêsvetores, , e ,têmomesmomódulo,50m,eestãoemumplanoxy.Osângulosdosvetoresemrelaçãoaosemieixoxpositivosão30°,195°,e315°,respectivamente.Determine(a)omóduloe(b)oângulodovetor + + e(c)omóduloe(d)oângulode – + .Determine(e)omóduloe(f)oângulodeumquartovetor, ,talque( + )–( + )=0.

·18Nasoma + = ,ovetor temummódulode12,0mefazumângulode40,0°nosentidoanti-horáriocomo semieixoxpositivo;ovetor temummódulode 15,0m e faz umângulo de 20,0° nosentidoanti-horáriocomosemieixoxnegativo.Determine(a)omódulode e(b)oângulode comosemieixoxpositivo.

·19Emumjogodexadrezaoarlivre,noqualaspeçasocupamocentrodequadradoscom1,00mdelado, um cavalo émovido da seguinte forma: (1) dois quadrados para a frente e umquadrado para adireita;(2)doisquadradosparaaesquerdaeumquadradoparaafrente;(3)doisquadradosparaafrenteeumquadradoparaaesquerda.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoaosentido“paraafrente”)dodeslocamentototaldocavaloapósasériedetrêsmovimentos.

··20 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca, que reduziu a visibilidade apraticamente zero, quando retornava ao acampamento. Para chegar ao acampamento, ele deveria tercaminhado 5,6 km para o norte, mas, quando o tempo melhorou, percebeu que, na realidade, haviacaminhado 7,8 km em uma direção 50° ao norte do leste. (a) Que distância e (b) em que sentido oexploradordevecaminharparavoltaràbase?

··21 Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano xy. Ascomponentes(x,y)dequatrocorridasconsecutivasemlinharetasãoasseguintes,todasemcentímetros:(30,0;40,0),(bx;–70,0),(–20,0;cy),(–80,0;–70,0).Odeslocamentoresultantedasquatrocorridastemcomponentes(-140;-20,0).Determine(a)bxe(b)cy.Determine(c)omóduloe(d)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamentototal.

··22 (a)Qualéa somadosquatrovetoresa seguirnanotaçãodosvetoresunitários?Paraessa soma,quaissão(b)omódulo,(c)oânguloemgraus,e(d)oânguloemradianos?

··23Se ésomadoa =3,0 +4,0 ,oresultadoéumvetorcomaorientaçãodosemieixoypositivoeummóduloigualaode .Qualéomódulode ?

··24Ovetor ,paraleloaoeixox,devesersomadoaovetor ,quetemummódulode7,0m.Asomaéumvetorparaleloaoeixoy,comummódulo3vezesmaiorqueode .Qualéomódulode ?

··25OoásisBestá25kmalestedooásisA.PartindodooásisA,umcamelopercorre24kmemumadireção15°aosuldolestee8,0kmparaonorte.AquedistânciaocameloestádooásisB?

··26Determineasomadosquatrovetoresaseguir(a)nanotaçãodosvetoresunitárioseemtermos(b)domóduloe(c)doângulo.

··27Se 1+ 2=5 3, 1– 2=3 3e 3=2 +4 ,determine,nanotaçãodosvetoresunitários,(a) 1

(b) 2.

··28Doisbesouroscorrememumdesertoplano,partindodomesmoponto.Obesouro1corre0,50mparalestee0,80memumadireção30°aonortedoleste.Obesouro2corre1,6memumadireção40°ao leste do norte e depois corre em outra direção.Quais devem ser (a) omódulo e (b) o sentido dasegundacorridadosegundobesouroparaqueeleterminenamesmaposiçãoqueoprimeirobesouro?

··29 Paraseorientarem,asformigasdejardimcostumamcriarumarededetrilhasmarcadasporferomônios.Partindodo formigueiro,cadaumadessas trilhas sebifurca repetidamenteemduas trilhasqueformamentresiumângulode60o.Quandoumaformigaperdidaencontraumatrilha,elapodesaberemquedireçãoficaoformigueiroaochegaraoprimeiropontodebifurcação.Seestiverseafastandodoformigueiro, encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava semovendo,30oparaaesquerdae30oparaadireita.Seestiverseaproximandodoformigueiro,encontraráapenasumatrilhacomessacaracterística,30oparaaesquerdaou30oparaadireita.AFig.3-29mostraumarededetrilhastípica,comsegmentosderetade2,0cmdecomprimentoebifurcaçõessimétricasde60o.Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)dodeslocamento,atéoformigueiro(encontre-onafigura),deumaformigaqueentranarededetrilhasnopontoA.Determine(c)omóduloe(d)oângulodeumaformigaqueentranarededetrilhasnopontoB.

··30Sãodadosdoisvetores:

=(4,0m) –(3,0m) e =(6,0m) +(8,0m) .

Determine(a)omóduloe(b)oângulo(emrelaçãoa )de .Determine(c)omóduloe(d)oângulode.Determine(e)omóduloe(f)oângulode + ;(g)omóduloe(h)oângulode – ;(i)omóduloe(j)

oângulode – .(k)Determineoânguloentreasdireçõesde – e – .

Figura3-29 Problema29.

··31NaFig.3-30,umvetor comummódulode17,0mfazumânguloθ=56,0°nosentidoanti-horáriocomosemieixoxpositivo.Quaissãoascomponentes(a)axe(b)aydovetor?Umsegundosistemadecoordenadasestáinclinadodeumânguloθʹ=18°emrelaçãoaoprimeiro.Quaissãoascomponentes(c)e(d) nestenovosistemadecoordenadas?

Figura3-30 Problema31.

···32NaFig.3-31,umcubo,dearestaa,temumdosvérticesposicionadonaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz.Adiagonaldocuboéumaretaquevaideumvérticeaoutrodocubo,passandopelocentro. Na notação dos vetores unitários, qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujascoordenadassão(a)(0,0,0),(b)(a,0,0)(c)(0,a,0)e(d)(a,a,0)?(e)Determineosângulosqueasdiagonaisdocubofazemcomasarestasvizinhas.(f)Determineocomprimentodasdiagonaisdocuboemtermosdea.

Figura3-31 Problema32.

Módulo3-3MultiplicaçãodeVetores

·33ParaosvetoresdaFig.3-32,coma=4,b=3ec=5,determine(a)omóduloe(b)aorientaçãode× ,(c)omóduloe(d)aorientaçãode × e(e)omóduloe(f)orientaçãode × .(Emboraexista,

oeixoznãoémostradonafigura.)

·34Doisvetoressãodadospor =3,0 +5,0 e =2,0 +4,0 .Determine(a) × ,(b) · ,(c)( +) · e(d)acomponentedeemrelaçãoa .[Sugestão:Pararesolveroitem(d),considereaEq.3-20

eaFig.3-18.]

Figura3-32 Problemas33e54.

·35Doisvetores, e ,estãonoplanoxy.Osmódulosdosvetoressão4,50unidadese7,30unidades,respectivamente, e eles estão orientados a 320° e 85,0°, respectivamente, no sentido anti-horário emrelaçãoaosemieixoxpositivo.Quaissãoosvaloresde(a) · e(b) × ?

·36Se 1=3 –2 +4 e 2=–5 +2 – ,determine( 1+ 2)·( 1×4 2).

·37Trêsvetoressãodadospor =3,0 +3,0 –2,0 , =–1,0 –4,0 +2,0 e =2,0 +2,0 +1,0 .Determine(a) ·( × ),(b) ·( + )e(c) ×( + ).

··38Determineparaostrêsvetoresaseguir.

··39Omódulodovetor é6,00unidades,omódulodovetor é7,00unidadese · =14,0.Qualéoânguloentre e ?

··40Odeslocamento 1estánoplanoyz, fazumângulode63,0ocomosemieixoy positivo, temumacomponentezpositivaetemummódulode4,50m.Odeslocamento 2estánoplanoxz,fazumângulode

30,0ocomosemieixoxpositivo,temumacomponentezpositivaetemummódulode1,40m.Determine(a) 1· 2;(b) 1× 2e(c)oânguloentre 1e 2.

··41Useadefiniçãodeprodutoescalar, – =abcosθeofatodeque · =axbx+ayby+azbzparacalcularoânguloentreosvetores =3,0 +3,0 +3,0 e =2,0 +1,0 +3,0 .

··42Emumencontrodemímicos,omímico1sedeslocade 1=(4,0m) +(5,0m) eomímico2sedeslocade 2= (–3,0m) + (4,0m) .Determine (a) 1 × 2, (b) 1 · 2, (c) ( 1 + 2) · 2 e (d) acomponentede 1emrelaçãoa 2.[Sugestão:Pararesolveroitem(d),vejaaEq.3-20eaFig.3-18].

··43OstrêsvetoresnaFig.3-33têmmódulosa=3,00m,b=4,00mec=10,0m;θ=30,0°.Determine(a) a componentex e (b) a componenteyde ; (c) a componentex e (d) a componentey de ; (e) acomponentexe(f)acomponenteyde .Se =p +q ,quaissãoosvaloresde(g)pe(h)q?

Figura3-33 Problema43.

··44Noproduto =qv× ,façaq=2,

Determine ,nanotaçãodosvetoresunitários,paraBx=By.

ProblemasAdicionais

45Osvetores e estãonoplanoxy. temmódulo8,00eângulo130o; temcomponentesBx=–7,72eBy = –9,20. (a)Determine 5 · . Determine 4 × 3 (b) na notação dos vetores unitários e (c) nanotaçãomódulo-ângulo em coordenadas esféricas (veja a Fig.3-34). (d)Determine o ângulo entre osvetores e4 ×3 (Sugestão:Penseumpoucoantesdeiniciaroscálculos.)Determine+3,0 (e)nanotaçãodosvetoresunitáriose(f)nanotaçãomódulo-ânguloemcoordenadasesféricas.

Figura3-34 Problema45.

46Ovetor temmódulo5,0meapontaparaleste.Ovetor temmódulo4,0meapontanadireção35o

aoestedonorte.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãodovetor + .Determine(c)omóduloe(d)aorientaçãodovetor – .(e)Desenheosdiagramasvetoriaiscorrespondentesàsduascombinaçõesdevetores.

47Osvetores e estãonoplanoxy. temmódulo8,00eângulo130o; temcomponentesBx=-7,72eBy=-9,20.Determineoânguloentreosemieixoynegativoe(a)ovetor ,(b)ovetor × e(c)ovetor×( +3,00 ).

48Doisvetores e têmcomponentes,emmetros,ax=3,2,ay=1,6,bx=0,50eby=4,5.(a)Determineoânguloentre e .Existemdoisvetoresnoplanoxyquesãoperpendicularesa etêmummódulode5,0m.Um,ovetor ,temumacomponentexpositiva;ooutro,ovetor ,temumacomponentexnegativa.Determine(b)acomponentexe(c)acomponenteyde ;(d)acomponentexe(e)acomponenteyde .

49Umbarcoavelapartedoladonorte-americanodolagoErieparaumpontonoladocanadense,90,0kmaonorte.Onavegante,contudo,termina50,0kmalestedopontodepartida.(a)Quedistânciae(b)emquedireçãodevenavegarparachegaraopontodesejado?

50 O vetor 1 é paralelo ao semieixo y negativo 2 e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo.Determineaorientação(a)de 2/4e(b)de– 1/4.Determineomódulo(c)de 1· 2e(d)de 1·(2/4).Determineaorientação(e)dovetor 1× 2e(f)dovetor 2× 1.Determineomódulo(g)de 1×2e(h)de 2× 1.Determine(i)omóduloe(j)aorientaçãode 1×( 2/4).

51Umafalhageológicaéumarupturaaolongodaqualfacesopostasdeumarochadeslizaramumaemrelaçãoàoutra.NaFig.3-35,ospontosAeBcoincidiamantesdearochaemprimeiroplanodeslizarparaadireita.Odeslocamentototal estánoplanodafalha.Acomponentehorizontalde éorejeitohorizontalAC.Acomponentede dirigidaparabaixonoplanodafalhaéorejeitodemergulhoAD.(a)Qualéomódulododeslocamentototal seorejeitohorizontalé22,0meorejeitodemergulhoé17,0m?(b)Seoplanodafalhafazumânguloϕ=52,0°comahorizontal,qualéacomponenteverticalde ?

Figura3-35 Problema51.

52Sãodadostrêsdeslocamentosemmetros: 1=4,0 +5,0 –6,0 , 2=–1,0 +2,0 +3,0 e 3=4,0+3,0 +2,0 .(a)Determine = 1– 2+ 3.(b)Determineoânguloentre eosemieixozpositivo.(c)Determineacomponentede 1emrelaçãoa 2.(d)Qualéacomponentede 1queéperpendiculara 2

eestánoplanode 1e 2?[Sugestão:Pararesolveroitem(c),considereaEq.3-20eaFig.3-18;pararesolveroitem(d),considereaEq.3-27.]

53Umvetor 1demódulo10unidadeseumvetor demódulo6,0unidadesfazemumângulode60o.Determine(a)oprodutoescalardosdoisvetorese(b)omódulodoprodutovetorial × .

54ParaosvetoresdaFig.3-32,coma=4,b=3ec=5,calcule(a) · ,(b) · e(c) · .

55Umapartículasofretrêsdeslocamentossucessivosemumplano: 1,4,00mparasudoeste, 2,5,00paraleste,e 3,6,00emumadireção60,0oaonortedoleste.Useumsistemadecoordenadascomoeixoy apontando para o norte e o eixo x apontando para leste. Determine (a) a componente x e (b) acomponente y de 1. Determine (c) a componente x e (d) a componente y de 2. Determine (e) acomponente x e (f) a componente y de 3. Considere o deslocamento total da partícula após os trêsdeslocamentos.Determine (g)acomponentex, (h)acomponentey, (i)omóduloe (j) aorientaçãododeslocamentototal.Paraqueapartículavolteaopontodepartida(k)quedistânciadevepercorrere(l)emquedireçãodevesedeslocar?

56Determineasomadosquatrovetoresaseguir(a)emtermosdosvetoresunitárioseemtermos(b)domóduloe(c)doânguloemrelaçãoaosemieixoxpositivo.

:10,0m,25,0onosentidoanti-horárioemrelaçãoa+x

> :12,0m,10,0onosentidoanti-horárioemrelaçãoa+y

> :8,00m,20,0onosentidohorárioemrelaçãoa–y

> :9,00m,40,0onosentidoanti-horárioemrelaçãoa–y

57Se ésomadoa ,oresultadoé6,0 +1,0 .Se ésubtraídode ,oresultadoé–4,0 +7,0 .Qualéomódulode ?

58Umvetor temmódulo2,5meapontaparaonorte.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãode4,0.Determine(c)omóduloe(d)aorientaçãode–3,0 .

59Ovetor temummódulode12,0mefazumângulode60,0onosentidoanti-horáriocomosemieixoxpositivodeumsistemadecoordenadasxy.Ovetor édadopor(12,0m) +(8,00m) nomesmosistemadecoordenadas.Osistemadecoordenadassofreumarotaçãode20,0onosentidoanti-horárioemtornoda origem para formar um sistema x'y'. Determine os vetores (a) e (b) na notação dos vetoresunitáriosdonovosistema.

60Se – =2 , + =4 e =3 +4 ,determine(a) e(b) .

61(a)Determine,nanotaçãodosvetoresunitários, = – + para =5,0 +4,0 –6,0 , =–2,0 +2,0 +3,0 e =4,0 +3,0 +2,0 .(b)Calculeoânguloentre eosemieixozpositivo.(c)Determineacomponentede emrelaçãoa .(d)Determineacomponentede emumadireçãoperpendiculara ,noplanodefinidopor e . [Sugestão:Para resolvero item(c),vejaaEq.3-20eaFig.3-18; pararesolveroitem(d),vejaaEq.3-27.]

62Umjogadordegolfeprecisadetrêstacadasparacolocarabolanoburaco.Aprimeiratacadalançaabola3,66mparaonorte,asegunda1,83mparasudesteeaterceira0,91mparasudoeste.Determine(a)omóduloe(b)adireçãododeslocamentonecessárioparacolocarabolanoburaconaprimeiratacada.

63Sãodadostrêsvetoresemmetros:

Determine(a) 1·( 2+ 3),(b) 1·( 2× 3)e(c) 1×( 2+ 3).

64Asdimensõesdeumasalasão3,00m(altura)×3,70m×4,30m.Umamoscapartedeumcantodasalaepousaemumcantodiagonalmenteoposto.(a)Qualéomódulododeslocamentodamosca?(b)Adistânciapercorridapodesermenorqueestevalor?(c)Podesermaior?(d)Podeserigual?(e)Escolhaumsistemadecoordenadasapropriadoeexpresseascomponentesdovetordeslocamentonanotaçãodosvetoresunitários.(f)Seamoscacaminhar,emvezdevoar,qualéocomprimentodocaminhomaiscurtoparaooutrocanto?(Sugestão:Oproblemapodeserresolvidosemfazercálculoscomplicados.Asalaécomoumacaixa;desdobre asparedespara representá-las emummesmoplanoantesdeprocurarumasolução.)

65Ummanifestantecomplacadeprotestopartedaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz, comoplanoxynahorizontal.Elesedesloca40mnosentidonegativodoeixox,fazumacurvadenoventagrausàesquerda,caminhamais20mesobeatéoaltodeumatorrecom25mdealtura.(a)Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéodeslocamentodaplacadoinícioaofim?(b)Omanifestantedeixacairaplaca,quevaipararnabasedatorre.Qualéomódulododeslocamentototal,doinícioatéessenovofim?

66Considereumvetor nosentidopositivodoeixox,umvetor nosentidopositivodoeixoy,eumescalard.Qualéaorientaçãodovetor / (a)sed forpositivoe(b)sed fornegativo?(c)Qualéovalorabsolutode · ?(d)Qualéovalorabsolutode · / ?(e)Qualéaorientaçãodovetor × ?(f)Qualéaorientaçãodovetor × ?(g)Qualéomódulodovetor × ?(h)Qualéomódulodovetor × ?Supondoquedsejapositivo,(i)qualéomódulodovetor × /d?(j)Qualéaorientaçãodovetor × /d?

67 Suponha que o vetor unitário aponta para leste, o vetor unitário aponta para o norte e o vetorunitário apontaparacima.Quantovalemosprodutos(a) · ,(b)(– )·(– )e(c) ·(– )?Quaissãoasorientações(como,porexemplo,paralesteouparabaixo)dosprodutos(d) × ,(e)(– )×(– )e(f)(– )×(– )?

68 Um banco no centro de Boston é assaltado (veja o mapa da Fig. 3-36). Os bandidos fogem dehelicóptero e, tentando despistar a polícia, fazem três voos em sequência, descritos pelos seguintesdeslocamentos:32km,45oaosuldoleste;53km,26oaonortedooeste;26km,18oa lestedosul.Nofinaldoterceirovoo,sãocapturados.Emquecidadeosbandidosforampresos?

Figura3-36 Problema68.

69 Uma roda com um raio de 45,0 cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal (Fig. 3-37). Noinstante t1,opontoPpintadonabordadarodaestánopontodecontatoentrea rodaeopiso.Emuminstante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (emrelaçãoaopiso)dodeslocamentodopontoP.

Figura3-37 Problema69.

70Umamulhercaminha250mnadireção30oalestedonortee,emseguida,caminha175mnadireçãoleste.Determine(a)omóduloe(b)oângulododeslocamento totaldamulheremrelaçãoaopontodepartida.(c)Determineadistânciatotalpercorrida.(d)Qualémaior,adistânciapercorridaouomódulododeslocamento?

71Umvetor temummódulode3,0meapontaparaosul.Determine(a)omóduloe(b)aorientaçãodovetor5,0 .Determine(c)omóduloe(d)aorientaçãodovetor−2,0 .

72 Uma formiga-de-fogo, em busca de molho picante em uma área de piquenique, executa trêsdeslocamentossucessivosnoníveldosolo: 1,de0,40mparasudoeste(ouseja,45°entresuleoeste),2,de0,50mparaleste,e 3,de0,60memumadireção60°aonortedoleste.Suponhaqueosentido

positivodoeixoxaponteparalesteeosentidopositivodoeixoyaponteparaonorte.Quaissão(a)acomponentexe(b)acomponenteyde 1?Quaissão(c)acomponentexe(d)acomponenteyde 2?Quaissão(e)acomponentexe(f)acomponenteyde 3?

Quaissão(g)acomponentexe(h)acomponentey,(i)omóduloe(j)osentidododeslocamentototaldaformiga?Paraaformigavoltardiretamenteaopontodepartida,(k)quedistânciaeladevepercorrere(l)emquedireçãodevesemover?

73Doisvetoressãodadospor =3,0 +5,0 e =2,0 +4,0 .Determine(a) × ,(b) · ,(c)( +)· e(d)acomponentede emrelaçãoa .

74Ovetor estánoplanoyz,fazumângulode63,0ocomosemieixoypositivo,temumacomponentezpositivaetemummódulode3,20unidades.Ovetor estánoplanoxz, fazumângulode48,0ocomosemieixoxpositivo,temumacomponentezpositivaetemummódulode1,40unidade.Determine(a) ·,(b) × e(c)oânguloentre e

75Determine(a)oprodutovetorialde“norte”e“oeste”,(b)oprodutoescalarde“parabaixo”e“sul”,(c)oprodutovetorialde“leste”e“paracima”,(d)oprodutoescalarde“oeste”e“oeste”e(e)oprodutovetorialde“sul”e“sul”.Suponhaquetodososvetorestêmmódulounitário.

76Umvetor ,cujomóduloé8,0m,ésomadoaumvetor ,quecoincidecomoeixox.Asomadosdoisvetoreséumvetorquecoincidecomoeixoyecujomóduloéduasvezesmaiorqueomódulode .Qualéomódulode ?

77Umhomemsaiparapassear,partindodaorigemdeumsistemadecoordenadasxyz,comoplanoxyhorizontaleoeixoxapontandoparaleste.Carregandoumamoedafalsanobolso,elecaminha1300mparaleste,caminhamais2200mparaonorteedeixacairamoedadoaltodeumpenhascocom410mdealtura.(a)Qualéodeslocamentodamoeda,nanotaçãodosvetoresunitários,dopontodepartidaatéopontoemqueelachegaaosolo?(b)Qualéomódulododeslocamentodohomemnopercursodevoltaaopontodepartida?

78Qualéomódulode × ( × )sea=3,90,b=2,70eoânguloentreosdoisvetoresé63,0o?

79NaFig.3-38,omódulode é4,3,omódulode é5,4eϕ=46o.Calculeaáreadotriânguloformadopelosvetoreseadiagonaldoparalelogramo.

Figura3-38 Problema79.

_______________1Ooutrotipopossíveldesistema,raramenteusadonaprática,échamadodesistemadecoordenadaslevogiro.Oquedistingueosdoistiposdesistemaséaposiçãorelativadoseixosx,yez.Emumsistemalevogiro,oeixoyestarianaposiçãoocupadapeloeixoznaFig.3.13, evice-versa.(N.T.)*Comoos conceitos abordadosneste tópico só serãousadosmais adiante (noCapítulo7, para o produto escalar, e noCapítulo 11, para oprodutovetorial),talvezoprofessordocursoacheconvenienteomiti-lonomomento.