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  • Captulo 01: Lgica e Teoria de conjuntos

    Sandra Gaspar Martins18 de Setembro de 2009

    http://josejamesteixeira.blogspot.com/2009_03_01_archive.html

  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.2/98

    Introduo

    ISEL-IPL Anlise Matemtica 1 UIED-FCT-UNL

  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.3/98

    Para compreender bem as definies e teoremas que constituem as teorias matemticas cujoestudo vamos iniciar, indispensvel habituarmo-nos a usar uma linguagem mais precisa e rigorosado que a que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisio desse hbito pode ser muitofacilitada pelo recurso a algumas noes e smbolos da Lgica Matemtica...[Campos Ferreira, 2001]

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  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.4/98

    Aristteles(384 a.C. 322 a.C.) Grego

    Filsofo grego, aluno de Plato e professor deAlexandre, o Grande, considerado um dosmaiores pensadores de todos os tempos e criadordo pensamento lgico.Aristteles figura entre os mais influentes filsofosgregos, ao lado de Scrates e Plato, quetransformaram a filosofia pr-socrtica,construindo um dos principais fundamentos dafilosofia ocidental. Aristteles prestoucontribuies fundantes em diversas reas doconhecimento humano, destacando-se: tica,poltica, fsica, metafsica, lgica, psicologia,poesia, retrica, zoologia, biologia, histria natural. considerado por muitos o filsofo que maisinfluenciou o pensamento ocidental.

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    http://pt.wikipedia.org/wiki/Aristteleshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Aristteles

  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.5/98

    Lgica a cincia do argumento correcto.

    Um argumento correcto aquele em que quem aceita as premissas tem que aceitar a concluso.Para verificar se um argumento correcto estuda-se a ligao entre as premissas e a concluso.

    Aristteles fez duas observaes importantes. A primeira, as outras cincias podem serorganizadas como a geometria, comeando com axiomas bsicos e construindo-as a partir da. Asegunda, os princpios argumentativos bsicos que se usam para derivar teoremas dos axiomas soos mesmos em todas as cincias.

    Os modelos de argumento que Aristteles utilizou para estudar eram padres particularmentesimples chamados silogismos. Por exemplo:

    Todas sardinhas so peixes.Todos os peixes nadam.Portanto, todas as sardinhas nadam.

    Todo o crculo redondo.Nenhum tringulo redondo.Nenhum tringulo crculo. [Vann McGee, 2002]

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  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.6/98

    Aplicaes

    Como vimos, a Lgica serve de base construo do pensamento cientifico.

    Sendo portanto utilizada por todas as cincias...

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  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.7/98

    A Lgica tem aplicao directa em diversas reas do saber...

    Na programao computacional If ... then... else... Repeat ... until...

    Na electricidade

    lgebra dos Circuitos (lgebra Booleana):Um interruptor um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dos doisestados, "fechado"ou "aberto". No estado "fechado"(que indicaremos por 1) o interruptor permiteque a corrente passe atravs do ponto, enquanto no estado "aberto"(que indicaremos por 0)nenhuma corrente pode passar pelo ponto... [Celina Abar, 2004]

    . . .

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  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.8/98

    Objectivos

    No final deste captulo deve:aplicar as propriedades lgicas de forma a simplificarproposies;reconhecer as diferenas entre conjunes e disjunese entre implicaes e equivalncias;utilizar convenientemente os quantificadores universal eexistencial;interpretar e usar operaes e propriedades de conjuntos;aplicar o raciocnio lgico de modo a saber o que podeinferir de uma proposio;utilizar adequadamente mtodos de prova como adeduo lgica, o contra-exemplo, o contra-reciproco e omtodo de induo;seleccionar estratgias de resoluo de problemas;utilizar o raciocnio lgico-dedutivo.

    Competncias globais

    Tambm deve:escrever e verbalizar os seu pensamentosde uma forma clara, concisa e organizada;justificar os raciocnios;compreender e utilizar a linguagemmatemtica;utilizar programas computacionais comoferramenta de apoio ao estudo;formular hipteses; interpretar, prever ecriticar resultados no contexto doproblema;fazer raciocnios demonstrativos, usandomtodos adequados (nestes, incluem-se omtodo de reduo ao absurdo, o mtodode induo matemtica e a utilizao decontra-exemplos);ser autnomo na auto-avaliao e, senecessrio, na procura de elementoscomplementares de estudo.

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  • IntroduoCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.9/98

    Note que:

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    http://help.adobe.com/en_US/Reader/9.0/index.html

  • 01 ExpressesCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.10/98

    Expresses

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  • 01 ExpressesCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.11/98

    Expresses com sentido:

    Sem variveis:

    Designaes, termos ou nomes

    Designam entes matemticos (nmeros,vectores, figuras geomtricas...).

    Exemplos:2 + 3

    par

    Proposies ou frases:

    Afirmaes sobre entes matemticos sobre asquais faz sentido dizer se so verdadeiras oufalsas.

    Exemplos:2 + 3 = 6

    2 par

    Com variveis:

    Expresses designatrias:

    Quando a concretizao das variveis astransforma em designaes.

    Exemplos:2x + 3

    cos(t)

    Expresses proposicionais ou condies:

    Quando a concretizao das variveis astransforma em proposies.

    Exemplos:2x + 3 < 4

    3n + 1 par

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  • 01 ExpressesCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo pg.12/98

    Princpio da no contradio

    Uma proposio no pode ser verdadeira e falsaao mesmo tempo.

    Princpio do terceiro excludo

    Uma proposio ou verdadeira ou falsa.

    Se uma proposio verdadeira diz-se que tem ovalor lgico verdadeiro, caso contrrio, diz-seque tem o valor lgico falso.

    1. Classifique as seguintes expresses:

    a) x > 3

    b) 4(5 + 1) < 10

    c) (2,3)

    d) contnua

    e) f (x) > 0

    f) cos(x)

    g) ln(e + 1) < 3

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.13/98

    lgebra proposicional

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.14/98

    No conjunto das proposies definem-se operaes entre proposies que do origem a novas proposiescom valores lgicos dependentes dos valores lgicos iniciais...

    ...em analogia com a lgebra elementar, onde uma operao, por exemplo a adio, entre dois nmerosreais d um novo nmero real...

    Por exemplo,

    sendo p uma proposio, podemos construir uma nova proposio p,que se l: no verdade que p.

    Se a proposio p for verdadeira ento p ser falsa e vice-versa.

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.15/98

    No que segue consideramos p, q, r , a, b e c proposies...

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.16/98

    Negao

    p oupno verdade que: p;

    no p.

    p pVF

    ( p verdadeiro quando p falso e vice-versa )

    Propriedade da negao

    p =

    Confirmei no livro as minhas respostas.

    Negue as proposies:1. "2 par";

    2. "2+5=8";

    3. "A funo f : R Rx 7 x2

    contnua".

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.17/98

    Conjuno

    p qconjuno de p e q;

    p e q.

    p q p qV VV FF VF F

    (s verdadeiro se p e q forem ambosverdadeiros)

    Confirmei no livro as minhas respostas.

    Propriedades da conjuno

    1. a b b a(prop. comutativa)

    2. (a b) c a (b c)a b c

    (prop. associativa)3. a V =

    (V o elemento neutro da conjuno)4. a F =

    (F o elemento absorvente da conjuno)5. a a =

    (prop. idempotncia)6. a a =

    Confirmei no livro as minhas respostas.

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.18/98

    1. Mostre a propriedade associativa usando atabela de verdade.

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.19/98

    2. Verifique as outras propriedades usando atabela de verdade.

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  • 02 lgebra proposicionalCaptulo 01: Lgica, Teoria de conjuntos e Mtodo de Induo

    pg.20/98

    3. Simplifique usando as propriedades:a) (p q) p

    b) (p p) q

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