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Capítulo 2
Materiais Piezoelétricos
José Antonio Eiras
Grupo de Cerâmicas Ferroelétricas Departamento de Física - Universidade Federal de São Carlos
CEP: 13.565-905 São Carlos / SP, Brasil [email protected]
Conteúdo 2.1. INTRODUÇÃO .............................................................................................. 3
2.1.1. Fundamentos de piezoeletricidade.......................................................... 3
2.1.2. Equações fundamentais........................................................................... 4
2.1.3. Monocristais vs. policristais (cerâmicas ou filmes finos) ....................... 7
2.2. MATERIAIS PIEZOELÉTRICOS................................................................. 9
2.2.1. Cristais .................................................................................................... 9
2.2.1.1. Quartzo (SiO2) .................................................................................... 9
2.2.1.2. Niobato de lítio (LiNbO3 - LN) e tantalato de lítio (LiTaO3-LT)..... 10
2.2.2. Semicondutores..................................................................................... 12
2.2.3. Cerâmicas.............................................................................................. 13
2.2.3.1. Perovskitas ((A1,A2)(B1,B2)O3) ........................................................ 14
2.2.4. Polímeros .............................................................................................. 16
2.2.5. Compósitos ........................................................................................... 18
2.2.6. Filmes finos........................................................................................... 21
2.3. CARACTERIZAÇÃO DE PROPRIEDADES DIELÉTRICAS E
PIEZOELÉTRICAS.......................................................................................................... 23
2.3.1. Introdução ............................................................................................. 23
2.3.2. Propriedades dielétricas ........................................................................ 23
2.3.3. Propriedades piezoelétricas................................................................... 25
2.3.3.1. O método da ressonância ................................................................. 26
2.3.3.2. Condições de caracterização de elementos piezoelétricos................ 28
2.3.3.3. Modos de vibração em piezoelétricos............................................. 31
2.4. REFERÊNCIAS............................................................................................ 33
2
2.1. INTRODUÇÃO
O efeito piezoelétrico foi descoberto em 1880 em cristais de quartzo pelos irmãos
Pierre e Jacques Curie [1]. Desde então tem motivado inúmeras investigações para o
desenvolvimento de sistemas transdutores eletromecânicos.
O efeito consiste basicamente na conversão de energia mecânica em elétrica (do
grego “piezo” → “pressão”). Posteriormente, em 1881, por análises termodinâmicas,
Lippman [2] previu a existência do “efeito piezoelétrico inverso”, que consiste no
aparecimento de uma deformação do material quando submetido a um campo elétrico.
A primeira aplicação tecnológica de um elemento piezoelétrico pode ser atribuída a
Langevin (1921) [3], que desenvolveu um sonar utilizando o quartzo como elemento
piezoelétrico. O descobrimento, por Roberts [4], que cerâmicas ferroeléctricas de titanato
de bário (BaTiO3) polarizadas apresentam o efeito piezoelétrico marcou o início da
geração das piezocerâmicas.
Os estudos de soluções sólidas de PbZrO3- PbTiO3, por Jaffe [5,6] nos anos 50,
resultaram na obtenção de cerâmicas de titanato zirconato de chumbo (PZT), que
passaram a ser objeto de freqüentes investigações para a otimização de suas propriedades
ou como motivação para o desenvolvimento de novos compostos cerâmicos.
Na atualidade materiais piezoelétricos são utilizados como elementos sensores e/ou
atuadores em aplicações tecnológicas desde baixas (na faixa de Hz) até freqüências da
ordem de 109 Hz. As baixas freqüências são cobertas principalmente pelos materiais
policristalinos (cerâmicos, polímeros ou compósitos). Cristais e filmes finos, por sua vez,
são os mais utilizados em aplicações de altas freqüências.
Neste capítulo apresentaremos um resumo dos conceitos fundamentais da
piezoeletricidade e dos materiais e formas mais destacadas nas aplicações de materiais
piezoelétricos.
2.1.1. Fundamentos de piezoeletricidade
De uma forma geral o efeito piezoelétrico pode ser definido como a conversão de
energia mecânica em energia elétrica (direto) ou a conversão de energia elétrica em
energia mecânica (inverso). Uma representação esquemática é apresentada na Figura 2.1.
3
Figura 2.1- Representação esquemática da conversão de energia no efeito piezoelétrico.
Um sistema piezoelétrico é constituído de dois sistemas físicos acoplados, o
mecânico e o elétrico.
O efeito piezoelétrico pode ser descrito de forma simplificada, desconsiderando a
simetria do material, pelas seguintes equações:
Direto
Inverso Energia Elétrica Energia Mecânica
D = dT + ε E (direto) (2.1)
S = sT + d E (inverso) (2.2)
D - vetor deslocamento elétrico T– Tensão mecânica
E - campo elétrico S – Deformação
ε – permissividade dielétrica s – coeficiente elástico
d – coeficiente piezoelétrico
É importante notar que o efeito piezoelétrico representa uma dependência linear da
deformação com o campo elétrico aplicado. Portanto, se o sentido do campo elétrico é
invertido, o sentido da deformação também será invertido.
2.1.2. Equações fundamentais
As equações constitutivas para representar o efeito piezoelétrico em geral utilizam a
notação matricial. As equações e unidades que serão apresentadas neste capítulo são as
mesmas que se encontram nos IRE Standards on Piezoelectric Crystals ou Ceramics
[7,8,9].
A ausência de um centro de simetria é uma condição necessária para que um material
possa apresentar o fenômeno da piezoeletricidade, por isso todos os materiais
piezoelétricos são anisotrópicos. Para descrever as propriedades de todas as classes de
materiais anisotrópicos existem 18 coeficientes piezoelétricos, 21 coeficientes elásticos e
4
6 coeficientes dielétricos independentes. Na interação piezoelétrica, que resulta da
interação entre o sistema elétrico e o mecânico, dois conjuntos de coeficientes elétricos,
εS ou εT, e dois conjuntos de coeficientes elásticos, cE, sE ou cD, sD, são definidos
dependendo das condições em que se realizam suas medições, a T (tensão mecânica), S
(deformação mecânica), E (campo elétrico) ou D (vetor deslocamento elétrico)
constantes. Dependendo da simetria que apresente o material o número de coeficientes
não nulos pode diminuir. Quanto maior a simetria menor será o número de coeficientes
diferentes de zero. A redução por simetria do número de coeficientes independentes e a
transição da notação tensorial para a notação matricial é discutida em detalhes no livro de
Nye [10].
Alguns cristais não centrossimétricos e cerâmicas ferroeléctricas polarizadas
apresentam o efeito piezoelétrico. Considerando que os campos elétricos aplicados e as
temperaturas sejam baixas, comparadas às temperaturas de Curie Tc, as equações
piezoelétricas lineares (como as Eq. 2.1 e 2.2) podem ser utilizadas para descrevê-los.
Para descrever um material piezoelétrico as matrizes adequadas para representar os
coeficientes εS ou εT, cE, sE ou cD, sD e d, para serem utilizadas nas Eq. (2.1) e (2.2), se
obtém considerando sua simetria macroscópica [7-10]. Assim, por exemplo, para cristais
de quartzo tem-se que considerar as matrizes correspondentes à simetria trigonal (32),
enquanto que para cerâmicas polarizadas as matrizes da simetria (6mm ou ∞mm) [11]
devem ser utilizadas.
Considerando diferentes formas da energia de Gibbs e desprezando efeitos
magnéticos e de variações de entropia, é possível obter as seguintes relações para
descrever o efeito piezoelétrico [10,11]:
mTmnimin
mmijEiji
ETdD
EdTsS
ε+=
+=
nTmnimim
mmijDiji
DTgE
DgTsS
β+−=
+=
(2.3)
mSmnimin
mmijEiji
ESeD
EeScT
ε+=
−=
nSmnimim
mmijDiji
DShE
DhScT
β+−=
−=
i,j – 1,2,...,6
n,m – 1,2,3
5
ε, β - coef. dielétricos
d,g,e,h - coef. piezoelétricos
dmi – coeficiente piezoelétrico
εmn – permissividade dielétrica
Dn – vetor deslocamento elétrico
Em – campo elétrico
T1, T2, T3 – tensões de tração ou compressão
T4, T5, T6 – tensões de cisalhamento
S1, S2, S3 – deformações “puras”
S4, S5, S6 – deformações de cisalhamento
onde,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
36353433
2625242322
161514131211
,ddddddddddddddd
gd
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
6
5
4
3
2
1
,
SSSSSS
TS
E – campo elétrico constante
D – polarização constante
T – tensão mecânica constante
S – deformação constante
Condições de Medida
(Superescritos)
D EEEE
, =1
2
3
εε ε
εεεε
=11 12
22
13
23
33
s c
s s s ss s s
s ss s
s
ssssss
,
s s s
14
24
35
=
11 12 13 15
22 23 25
33 34
44 45
55
16
26
36
46
56
66
são as matrizes “gerais”, que representam as diferentes propriedades dielétricas,
mecânicas e piezoelétricas dos materiais piezoelétricos.
A escolha de quais equações utilizar para descrever um determinado sistema depende
de que variáveis elétricas, campo elétrico (E) ou vetor deslocamento elétrico (D), ou
6
mecânicas, tensão mecânica (T) ou deformação mecânica (S), devem ser escolhidas
como variáveis independentes [9,10].
2.1.3. Monocristais vs. policristais (cerâmicas ou filmes finos)
Como mencionado anteriormente, embora as primeiras aplicações de materiais
piezoelétricos tenham sido realizadas utilizando cristais, particularmente o quartzo, o
maior crescimento do número de aplicações ocorreu a partir do descobrimento dos
piezoelétricos cerâmicos baseados em titanato zirconato de chumbo (PZT) nos anos 50
[5,6]. Desde então as piezocerâmicas são utilizadas em inúmeras aplicações.
Entretanto, cristais piezoelétricos seguem sendo os mais utilizados para aplicações
como osciladores estabilizados e componentes que funcionam com ondas acústicas de
superfície. Como principais vantagens dos cristais, frente às piezocerâmicas, pode-se
destacar suas altas temperaturas de Curie, alta estabilidade térmica (pequenas alterações
de suas propriedades piezoelétricas em função da temperatura) e alto fator de qualidade
mecânico. Por sua vez, a obtenção de cristais de alta qualidade requer processos ou muito
demorados, ou processos de crescimento muito caros, como os métodos Czochralski ou
Bridgeman, por exemplo. Por serem anisotrópicos os cristais requerem todavia cortes em
orientações específicas para que se possa utilizá-los de forma adequada.
Materiais cerâmicos (policristalinos), por sua vez, apresentam as seguintes
vantagens, frente aos cristais: processo de obtenção mais barato, a possibilidade de serem
preparados em uma grande variedade de composições, o que permite controlar ou alterar
suas propriedades físicas, e a possibilidade de serem produzidos numa maior variedade de
geometrias.
Os materiais piezocerâmicos pertencem à classe dos materiais ferroelétricos1 e,
quando recém produzidos, são isotrópicos, não apresentando uma orientação
macroscópica da polarização espontânea. Por isso requerem que, para que seja possível
utilizá-los como elementos piezoelétricos, sejam polarizados sob a aplicação de altos
campos elétricos. Assim, durante o processo de polarização, é possível escolher a direção
1 Materiais ferroelétricos, ou simplesmente ferroelétricos, caracterizam-se por apresentarem, em um
determinado intervalo de temperatura, polarização espontânea que pode ser reorientada pela aplicação de
um campo elétrico (inferior ao campo de ruptura).
7
da polarização macroscópica. O estado polarizado é, por isso, metaestável e pode variar
com o tempo, com o aumento da temperatura ou sob a aplicação de altos campos elétricos
(da ordem do campo de polarização), com sentidos diferentes ao do campo de
polarização.
Como desvantagens das piezocerâmicas, em comparação aos cristais, poder-se-ia
destacar a maior dependência de suas propriedades eletromecânicas com a temperatura, a
formação de fases não desejadas durante sua produção, o que pode alterar suas
propriedades, e a variação de suas propriedades com o tempo (envelhecimento –
“aging”).
Para selecionar um material piezoelétrico para aplicações tecnológicas procura-se,
em geral, conhecer suas propriedades dielétricas, elásticas e piezoelétricas, que
determinam sua eficiência como elemento piezoelétrico. Entretanto, para uma aplicação
específica nem sempre é necessário determinar todas essas propriedades. Inicialmente é
necessário identificar que coeficientes (dielétricos, elásticos e piezoelétricos) ou modos
de vibração são os mais importantes para a aplicação em que se deseja utilizá-los.
Os parâmetros práticos mais importantes dos materiais piezoelétricos são: a
orientação do corte (para cristais) ou da polarização macroscópica (para cerâmicas), as
constantes dielétricas εT/εo, εS/εo (εo – permissividade no vácuo), o fator de acoplamento
eletromecânico k, os coeficientes piezoelétricos d e g, a constante de freqüência N, a
velocidade do som no meio piezoelétrico v, o fator de qualidade mecânico Qm (para o
modo de vibração que será utilizado), a densidade ρ, a impedância acústica Z (=ρv) e o
coeficiente de temperatura CT (que caracteriza a variação de uma dessas propriedades
com a temperatura).
Buscando intensificar algumas dessas propriedades, para otimizar a performance do
material piezoelétrico numa determinada aplicação, tem-se buscado ainda preparar
materiais piezoelétricos na forma de filmes finos (para aplicações com ondas de
superfície ou microatuadores) ou na forma de compósitos (em aplicações em que se busca
casar impedância acústica a outro meio ou amplificar a deformação gerada pelo elemento
piezoelétrico, por exemplo).
8
2.2. MATERIAIS PIEZOELÉTRICOS
Nesta seção são apresentados os materiais piezoelétricos mais utilizados na
atualidade em aplicações tecnológicas. Informações mais detalhadas ou complementares
sobre outros materiais poderão ser encontradas nos livros de Cady [12], Mason [13] e
Ikeda [11].
2.2.1. Cristais
2.2.1.1. Quartzo (SiO2)
Cristais de quartzo apresentam a fase α em temperaturas inferiores a 573oC, que
possui simetria trigonal e pertence ao grupo pontual 32. Os coeficientes piezoelétricos são
d11=-d12, d14=-d25, d26=-2d11, e11=-e12, e14=-e25 e e26=-e11 [7,10,11]. Como se pode
verificar o quartzo possui somente dois coeficientes piezoelétricos d ou e independentes.
Uma análise da matriz dos coeficientes mostra claramente que não há resposta
piezoelétrica quando aplicamos um campo elétrico ou tensão mecânica na direção z do
cristal.
Em 573oC o quartzo-α sofre uma transformação de fase α→β, que pertence ao grupo
pontual 622, na qual o coeficiente d14=-d25 praticamente triplica. Para aplicações
tecnológicas, em geral, deseja-se ter modos de vibração puros, alto fator de qualidade
mecânico Qm e baixo (ou nulo) coeficiente de temperatura CT. Visando alcançar essas
condições foram encontrados diversos “cortes práticos” para os cristais de quartzo,
conforme se apresenta na Figura 2.2.
Cristais de quartzo são encontrados na natureza (minerais de quartzo, que para
crescer naturalmente demoram muitos anos) ou podem ser crescidos artificialmente, por
exemplo, por processos hidrotérmicos. Alguns de seus coeficientes característicos são
apresentados na Tabela 2.1.
9
Figura 2.2 – Cortes característicos de cristais de quartzo para ressonadores [11].
Tabela 2.1 – Coeficientes eletromecânicos característicos para cristais de quartzo.
Corte Modo c/co k d (p.C.N-1) e (C.m-2) N (Hz.m) Quartzo 0oX TE 4,6 0,10 2,3 0,17 2850 0oX LE 4,6 0,10 -2,3 2750 -18,5oX LE 4,6 0,095 -2,3 2550 0oY TS 4,6 0,14 -4,6 -0,17 1925 AT TS 4,6 0,09 -3,4 -0,095 1660 AC TS 4,6 0,10 -3,7 -0,11 1650
2.2.1.2. Niobato de lítio (LiNbO3 - LN) e tantalato de lítio (LiTaO3-LT)
Niobato e tantalato de lítio são cristais isomorfos que apresentam simetria trigonal e
pertencem ao grupo pontual 3m na fase ferroelétrica, abaixo de suas temperaturas de
Curie Tc (Tc(LiNbO3)~1210oC e Tc(LiTaO3)~660oC). Na fase ferroelétrica apresentam a
polarização espontânea paralela à direção do eixo c. O niobato de lítio (LN) apresenta os
coeficientes piezoelétricos d33= 16 e d15= 74 pC/N. O tantalato de lítio LT, por sua vez,
apresenta menores valores de coeficientes piezoelétricos d33= 8 e d15= 26 pC/N e de
10
coeficiente de temperatura (CT), por isso é preferido em aplicações onde se deseja alta
estabilidade.
Os cortes mais importantes para aplicações do LN estão apresentados na Figura 2.3.
Os cortes E – rodados de 163o para o LN e de 165o para o LT são particularmente
interessantes pois apresentam coeficientes de acoplamento eletromecânico nulos para o
modo longitudinal, enquanto que para o modo transversal podem chegar a 0,60 (LN) e
0,41 (LT) [14].
LN e LT são largamente utilizados em aplicações com ondas acústicas de superfície
(“SAW” – surface acoustic waves), como filtros eletromecânicos e detectores de
vibrações.
Cristais de LN ou LT podem ser crescidos do material fundido em composições
contendo entre 46 e 50% ou 44 e 54% atômico de Li para o LN ou LT, respectivamente.
A fusão congruente ocorre para concentração de aproximadamente 48.6% at. de Li para o
LN e entre 48.8 e 49.2% at. de Li para o LT [15]. Para os dois cristais se observa um
aumento da temperatura de Curie quando se aumenta a concentração de Li. Cristais
mistos de Li(Nb,Ta)O3 podem ser crescidos e apresentam propriedades intermediárias
entre as do LN e LT.
Figura 2.3 – Cortes característicos de cristais de niobato ou tantalato de lítio [11].
11
Na Tabela 2.2 são apresentados os coeficientes característicos para cristais de
niobato ou tantalato de lítio.
Tabela 2.2 – Coeficientes eletromecânicos característicos para cristais de LN ou LT.
LiNbO3 LiTaO3 LiNbO3 LiTaO3 ρ[103 kg.m-3] 4,7 5,3 d33[10-12 C.N-1] 6 8 ε11
T/ε0 84 51 d31 -1 -2 ε33
T/ε0 30 45 d22 21 7 c11
E[1011 N.m-2] 2,03 2,33 d15 68 26 c33
E 2,45 2,75 e33[C.m-2] 1,3 1,9 c12
E 0,53 0,47 e31 0,2 0,0 c13
E 0,75 0,80 e22 2,5 1,6 c14
E 0,09 -0,11 e15 3,7 2,6 c55
E 0,60 0,94 k33 0,17 0,19 c66
E 0,75 0,93 k31 0,03 0,05 kt 0,16 0,18 k15
’† 0,68 0,43
2.2.2. Semicondutores
Materiais semicondutores com estrutura do tipo wurzita, simetria 6mm, apresentam o
efeito piezoelétrico e valores de coeficientes adequados ou suficientes para aplicações.
Entre esses materiais pode-se destacar o óxido de zinco (ZnO), o sulfeto de cádmio (CdS)
e o nitreto de alumínio (AlN).
Para suas aplicações mais importantes esses materiais têm sido preparados na forma
de filmes finos e servem como geradores ultra-sônicos de alta freqüência. Na Tabela 2.3
são apresentados alguns coeficientes dos principais semicondutores piezoelétricos.
O ZnO é o mais utilizado para aplicações que envolvem geração e/ou detecção de
ondas acústicas de superfície (SAW). O AlN, em particular, se destaca por apresentar alta
velocidade de propagação do som.
Cristais de ZnO (com “grandes” dimensões) podem ser crescidos por processos
hidrotérmicos, enquanto que cristais de AlN são muito difíceis de crescer.
Filmes finos de ZnO são obtidos por evaporação ou “sputtering” do material em
substratos de safira, apropriados para obter orientações adequadas no filme. Embora o
filme seja policristalino é possível obter una orientação preferencial do eixo c
perpendicular à superfície do substrato.
12
Tabela 2.3 – Coeficientes dielétricos e piezoelétricos de semicondutores piezoelétricos.
BeO ZnO CdS CdSe AlN ρ[103kg.m-3] 3,009 5,675 4,819 5,684 3,26 ε11
T/ε0 8,50 9,35 9,70 9,0 ε33
T/ε0 7,66 10,9 10,3 10,6 10,7 d33[10-12 C.N-1] 0,24 12,4 10,3 7,8 5 d31 -0,12 -5,0 -5,2 -3,9 d15 -8,3 -14,0 -10,5 e33[C.m-2] 1,57 0,44 0,35 1,55 e31 -0,36 -0,24 -0,16 -0,58 e15 -0,36 -0,21 -0,14 -0,48 c33
E[1011 N.m-2] 2,11 0,94 0,84 c11
E 2,10 0,91 0,74 3,95 c55
E 0,43 0,15 0,13 3,45 c33
D 2,29 0,96 0,85 1,18 c11
D 2,15 0,91 0,74 c55
D 0,47 0,16 0,13 v31 [km.s-1] >12 6,40 4,50 3,86 11,35 v1t 2,95 1,80 1,54 k33 0,019 0,48 0,262 0,194 0,31 k31 0,009 0,182 0,119 0,084 0,14 k3t 0,38 0,154 0,124 0,25 k15 0,196 0,188 0,130 0,15
A deposição de filmes finos de AlN é feita, mais freqüentemente por deposição de
vapor químico (“chemical vapour deposition” – CVD) ou por “sputtering”.
2.2.3. Cerâmicas
Desde o descobrimento, por Roberts [4], de que cerâmicas de titanato de bário
(BaTiO3) podiam ser polarizadas e apresentar o efeito piezoelétrico, materiais cerâmicos
são os mais utilizados, até o presente, como elementos piezoelétricos na maioria das
aplicações tecnológicas. O descobrimento de Roberts marca assim o início da era das
piezocerâmicas. As piezocerâmicas são materiais ferroelétricos que se obtém através de
métodos de preparação de cerâmicas avançadas. Em seu estado não polarizado (e não
texturadas) são isotrópicas. Para sua utilização como elementos piezoelétricos precisam
ser polarizadas sob a aplicação de um campo elétrico dc da ordem de alguns kilovolts por
milímetro (kV/mm). O fato de ser ferroelétricas permite que se reoriente a polarização
espontânea, na direção do campo de polarização. Cerâmicas piezoelétricas (ou
ferroelétricas polarizadas) apresentam simetria 6mm ou ∞mm.
Não se pretende neste capítulo discutir todas as composições estudadas para produzir
piezocerâmicas, pois são muitas, mas apenas apresentar as mais destacadas. Em geral, as
13
piezocerâmicas comerciais possuem mais de um elemento dopante em suas composições
básicas, que são incorporados para controlar ou intensificar determinadas propriedades
físicas. As cerâmicas mais utilizadas como elementos piezoelétricos possuem estrutura
do tipo perovskita, por essa razão será a única estrutura apresentada neste capítulo.
2.2.3.1. Perovskitas ((A1,A2)(B1,B2)O3)
Perovskita é o nome originalmente designado à estrutura do titanato de cálcio
(CaTiO3). A maioria dos materiais piezoelétricos cerâmicos apresentam a estrutura
perovskita.
Estudos em cerâmicas da família das perovskitas têm sido centrados essencialmente
em algumas composições base como o titanato de bário (BaTiO3), soluções sólidas de
titanato zirconato de chumbo (Pb(Zr,Ti)O3 - PZT), (Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 – PMN) [16] e
perovskitas complexas Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 – PbTiO3 (PMN-PT), Pb(Zn1/3Nb2/3)O3 –
PbTiO3 (PZN-PT), Pb(Mg1/3Nb2/3)O3 – Pb(Zr,TiO3) (PMN-PZT) [17] entre outras. Na
estrutura perovskita, generalizada como ABO3, os sítios A são ocupados por cátions
divalentes (Pb2+, Ba2+, Ca2+...) enquanto que os sítios B, no centro do octaedro de
oxigênio, são ocupados por cátion Ti4+, Zr4+, Nb5+, Mg2+ ou Zn2+. Na Figura 2.4
apresenta-se uma representação esquemática de uma célula unitária de uma estrutura
perovskita.
Figura 2.4 - Representação esquemática de uma célula unitária com estrutura perovskita.
Os primeiros intentos para otimizar as propriedades eletromecânicas do titanato de
bário (BaTiO3 - BT) se basearam na substituição do Ba por Pb, Sr ou Ca e de Ti por Zr,
14
ou Sn. À temperatura ambiente o BT apresenta uma estrutura tetragonal (4mm) e
temperatura de Curie Tc=120oC. Várias soluções sólidas de (PbxBa1-x)TiO3 e (CaxBa1-
x)TiO3 foram desenvolvidas com propriedades adequadas para aplicações tecnológicas
[6].
Desde que foi constatado por Jaffe et. al [5,6] que soluções sólidas de (Pb(ZrxTi1-
x)O3 - PZT) apresentam excelentes propriedades piezoelétricas, ao redor do contorno de
fase morfotrópico (0.51≤ x ≤ 0.55), o PZT passou a ser mais utilizado que o BT em
transdutores piezoelétricos. O PZT tem estrutura perovskita com os cátions Zr4+ e Ti4+
distribuídos de forma aleatória no sitio B.
A substituição progressiva do BT pelo PZT para a produção de piezocerâmicas
ocorreu porque, quando comparado ao BT, o PZT apresenta: 1) maiores coeficientes
eletromecânicos, 2) temperatura de Curie mais alta para a maioria das composições
práticas (Tc ~ 360oC), 3) é mais fácil de ser polarizado e 4) é possível incorporar uma
grande variedade de dopantes, o que permite alterar de forma controlada muitas de suas
propriedades eletromecânicas. Desde o descobrimento do PZT muitos trabalhos de
investigação foram desenvolvidos com o objetivo de otimizar ou controlar suas
propriedades eletromecânicas, através da adição de óxidos de cátions de bi- a
pentavalentes em substituição ao Pb, Zr ou Ti. Desse tipo de estudos resultou a série
PZT4, -5, -6, -7 e -8 (patente da Clevite Corporation). Trabalhos de Takahashi et. al
[18,19] por sua vez determinaram a influência da adição de cátions nas propriedades
ferroelétricas e eletromecânicas do PZT. Um resumo dos resultados mais importantes
[6,18,19] publicados mostram que:
1) Elementos aceitadores. A adição de elementos de menor valência, elementos
aceitadores (Fe3+, Al3+ em substituição a Zr4+ o Ti4+) é compensada pela formação de
vacâncias de oxigênio, que passam a formar um defeito complexo (com o Zr4+ ou Ti4+)
20. Sua incorporação causa um aumento do campo coercitivo, do fator de qualidade
mecânico e do envelhecimento (variação de suas propriedades com o tempo) e uma
diminuição da constante dielétrica, da polarização remanente e das perdas dielétricas.
PZT’s com essas características são utilizados como elementos piezoelétricos em
transdutores de alta potência, como em sonares, soldadores e limpadores ultra-sônicos.
2) Elementos doadores. A adição de cátions de maior valência é compensada pela
formação de vacâncias de chumbo (para pequenas quantidades do aditivo). Elementos
doadores (Nb5+, W6+ em substituição ao Zr ou Ti, ou La3+ em substituição ao Pb2+) 15
diminuem o campo coercitivo, o fator de qualidade mecânico e o envelhecimento,
enquanto que aumentam a constante dielétrica, a polarização remanente e o fator de
acoplamento eletromecânico .
Aplicações típicas de PZT’s com essas características são os hidrofones, transdutores
ultra-sônicos de diagnose (ensaios não destrutivos ou em medicina), em que atuam como
emissores e receptores, e em sensores.
3) Elementos isovalentes. Elementos isovalentes (Ba2+, Sr2+ em substituição ao Pb2+)
diminuem a dissipação dielétrica e aumentam o envelhecimento .
4) Cr3+ e Mn2+. Elementos como o manganês e o cromo atuam como estabilizadores
das propriedades.
Cerâmicas de titanato de chumbo (PbTiO3 - PT) com alta densidade são difíceis de
obter, sem a adição de aditivos, devido à alta deformação espontânea na transição de fase
para – ferroelétrica (Tc=490OC). Na fase ferroelétrica o PT apresenta simetria tetragonal
com c/a ~1.061 [21]. Ikegami et. al [22] conseguiram sinterizar cerâmicas densas de PT
dopadas com La e Mn, com alta anisotropia piezoelétrica (kt/ k31 ~ 25) e baixa razão de
Poisson (σ ~0.2 –0.3), quando comparados a outros materiais (PZT - kt/ k31~1 e σ ~0.3 –
0.4). Estas características são particularmente importantes para aplicações em
transdutores e filtros eletromecânicos, visto que promovem a supressão de ressonâncias
espúrias. Trabalhos posteriores [22] mostraram que composições de (Pb1-xMx)TiO3 + 0.2
mol% Mn (com M=La, Sm, Nd...) apresentam baixo coeficiente de temperatura e
propriedades adequadas para dispositivos SAW.
Valores típicos dos coeficientes eletromecânicos para piezocerâmicas são mostrados
na Tabela 2.4.
2.2.4. Polímeros
O descobrimento da piezoeletricidade em polímeros se deve a Kawai [23], que
observou que o polyvinylidene fuoride (PVDF o PVF2) tracionado e polarizado em altos
campos elétricos (~300 kVcm-1) apresenta coeficientes piezoelétricos superiores aos do
quartzo.
16
Tabela 2.4 – Coeficientes eletromecânicos característicos para cerâmicas piezoelétricas [11].
PVDF é um polímero que apresenta una cristalinidade de 40-50% e pode ser obtido
nas fases: I ou β (que é piezoelétrica) e II ou α.
Na Tabela 2.5 são apresentados valores típicos para coeficientes eletromecânicos de
alguns polímeros piezoelétricos.
Tabela 2.5. Valores típicos para coeficientes eletromecânicos de polímeros piezoelétricos [11].
17
2.2.5. Compósitos
A motivação para o desenvolvimento de materiais piezoelétricos compósitos resultou
da necessidade de alcançar propriedades específicas num material, que não podem ser
encontradas em materiais com uma única fase. Por exemplo, para aumentar a
sensibilidade piezoelétrica de transdutores eletromecânicos, para obter um melhor
casamento acústico com a água, se necessita diminuir a densidade do elemento
piezoelétrico ou, por outro lado, para obter elementos mecanicamente flexíveis, para
poder acoplá-los a superfícies curvas. Essas propriedades podem ser muito difíceis de
obter em materiais monofásicos. Logo, um material compósito é um material que possui
dois ou mais componentes e que apresenta propriedades físicas e químicas que resultam
da soma, de uma combinação ou do produto das propriedades de seus componentes.
As primeiras investigações com compósitos piezoelétricos foram realizadas para
obter hidrofones, para aplicações submarinas [24,25,26]. Um hidrofone é um transdutor
ou microfone utilizado para detectar ondas acústicas na água. A sensibilidade de um
hidrofone é determinada pela voltagem produzida por uma onda de pressão hidrostática,
que está associada ao coeficiente de voltagem hidrostático gh. O coeficiente hidrostático
de deformação dh (dh=gh/εoΚ, εo-permissividade do vácuo e K- constante dielétrica), que
relaciona a voltagem que resulta de uma pressão hidrostática, é também um coeficiente
utilizado para avaliar um hidrofone. Uma figura de mérito prática para caracterizar um
hidrofone é o produto dhgh.
Cerâmicas como o PZT são muito utilizadas em transdutores porque possuem altos
coeficientes piezoelétricos. Entretanto, para a utilização em hidrofones o PZT apresenta
algumas desvantagens, pois possui altos coeficientes d33 e d31 (que tem o sinal contrário
ao d33, ou seja, é negativo, se d33 é considerado positivo). Por isso seu coeficiente
hidrostático dh=(d33+2d31) é pequeno ou quase nulo. Além disso, o PZT tem alta
constante dielétrica K (>1000) e alta densidade (ρ=7,9 kg/m3, comparada à da água), o
que resulta num baixo coeficiente gh e maior dificuldade em conseguir um casamento
acústico com a água.
Polímeros como o PVDF oferecem várias vantagens, como baixa constante
dielétrica, baixa densidade e flexibilidade, para aplicações em hidrofones. Por isso,
embora tenham baixos coeficientes d33 e dh, quando comparados ao PZT, seu coeficiente
gh é grande devido a sua baixa constante dielétrica. Por outro lado, polímeros apresentam
18
desvantagens, como a dificuldade de serem polarizados e baixa constante dielétrica (e,
em geral, pequena espessura), o que dificulta a construção de circuitos de detecção
(devido à sua baixa capacitância).
Buscando minimizar essas desvantagens apresentadas pelos polímeros e cerâmicas
foram desenvolvidos os compósitos piezoelétricos.
A maneira em que os materiais componentes se encontram interconectados em um
compósito denomina-se conectividade [27]. Para compósitos compostos de dois
componentes existem 10 conectividades: 0-0, 1-0, 2-0, 3-0, 1-1, 2-1, 3-1, 2-2, 3-2 e 3-3.
Os números 1 a 3 se referem aos três eixos ortogonais, que indicam as direções em que
cada componente está interconectado ou é contínuo. Compósitos piezoelétricos, em geral,
são compostos de cerâmicas e polímero ou vidro. Por convenção, o primeiro número se
refere à conectividade da cerâmica, enquanto que o segundo ao polímero ou vidro. Uma
representação esquemática das 10 conectividades é mostrada na Figura 2.5.
Figura 2.5. – Formas de conectividade para compósitos de dois componentes. As setas indicam a direção em que cada componente está conectado [11].
Entre os compósitos piezoelétricos aqueles com conectividade 1-3 (palitos de PZT /
polímero) e 0-3 (partículas de PZT dispersas em polímero), pela maior facilidade de
19
obtenção, são os mais estudados para a construção de elementos eletromecânicos. As
principais vantagens desses compósitos são a baixa impedância acústica (que possibilita
um melhor casamento com meios que têm impedância acústica menor que a da
cerâmica), alta flexibilidade mecânica e baixo fator de qualidade mecânico (o que
permite detecção num largo espectro de freqüências). Os compósitos 1-3 possuem alto
fator de acoplamento eletromecânico de espessura (kt), aproximadamente igual ao fator
de acoplamento eletromecânico k33 da cerâmica. A Figura 2.6 apresenta a variação da
impedância acústica (Figura 2.6a) e do fator de acoplamento eletromecânico (Figura
2.6b), para compósitos piezoelétricos polímero (poliuretano)-cerâmica (PZT) 3-1, em
função da concentração volumétrica de cerâmica no elemento.
(a) (b)
Figura 2.6. - Variação da impedância acústica (a) e do fator de acoplamento eletromecânico (b), para compósitos piezoelétricos polímero (poliuretano)-cerâmica
(PZT) 3 -1, em função do volume fracionário de PZT.
Na Tabela 2.6, a seguir, são apresentados alguns resultados característicos obtidos
em compósitos piezoelétricos para diferentes conectividades. Uma descrição detalhada
dos resultados mais importantes obtidos em compósitos piezoelétricos pode ser
encontrada no livro de Levinson [28].
20
Tabela 2.6 – Coeficientes dielétrico e piezoelétricos de compósitos piezoelétricos
cerâmica / polímero com conectividade 1-3.
Compósito
__
ρ (Kg/m3)
__
33K
__
33d (pC/N)
__
33g (10-3Vm/N)
__
hd (pC/N)
__
hd (10-3Vm/N)
______
hh gd (10-15m2/N)
PZT palitos – Spurrs epoxy [24]
1370 54 150 313 27 56 1536
PZT palitos – Poliuretano [29]
1430 40 170 480 20 56 1120
PZT palitos – Poliuretano [29]
930 41 180 495 73 210 15330
2.2.6. Filmes finos
Filmes finos não constituem propriamente uma classe de materiais piezoelétricos,
mas sim uma outra geometria. Entretanto, pela crescente importância que têm atualmente
os filmes finos para o desenvolvimento de sensores e atuadores, consideramos importante
acrescentar esta seção.
Na realidade filmes finos piezoelétricos são produzidos com os mesmos materiais
que se utilizam na forma de cristais ou cerâmicas piezoelétricas. Na maioria dos casos
têm sido preparados com as mesmas composições que os elementos cerâmicos.
Conforme mencionado anteriormente, aplicações que envolvem ondas acústicas de
superfície (SAW – Surface Acoustic Waves) são as que apresentam maior potencial para
utilização em filmes finos piezoelétricos. As ondas superficiais são ondas de Rayleigh e,
conseqüentemente, o transporte de energia encontra-se confinado próximo à superfície.
As principais aplicações consistem em ressonadores, filtros ou linhas de atraso. Um
diagrama esquemático de um transdutor de SAW é apresentado na Figura 2.7.
Figura 2.7. – Diagrama esquemático de um transdutor de SAW.
21
Os parâmetros mais importantes para a seleção de um material para aplicações SAW
são a velocidade da onda superficial (Vsup), o coeficiente de temperatura (CT), o
coeficiente de acoplamento eletromecânico (ksup) e a atenuação de onda acústica durante
a propagação.
Cristais de LiNbO3 e LiTaO3 são os mais utilizados em altas freqüências (> 500
MHz).
Óxido de zinco (ZnO) e nitreto de alumínio (AlN), que possuem estrutura wurzita,
são materiais que podem ser depositados, com orientação c, por “sputtering” em
substratos (de safira ou vidro, por exemplo). A performance do ZnO é limitada por seu
baixo coeficiente de acoplamento eletromecânico .
Filmes finos de materiais cerâmicos como os PZT’s, os titanatos de bário (BT) ou de
chumbo (PT) vêm despertando grande interesse para aplicações como microatuadores.
Para aplicações como filtros esses materiais apresentam as limitações de possuir baixo
fator de qualidade mecânico e alto coeficiente de temperatura, quando comparados aos
cristais.
Na Tabela 2.7 são apresentados os coeficientes característicos de materiais, cristais
ou cerâmicos, mais utilizados como componentes baseados em ondas acústicas de
superfície.
Tabela 2.7. – Coeficientes eletromecânicos característicos (fator de acoplamento (k), coeficiente de temperatura (TCD), velocidade da onda de superfície (vo) e constante dielétrica relativa (εr) para os
materiais mais usados em dispositivos baseados em ondas acústicas de superfície).
22
2.3. CARACTERIZAÇÃO DE PROPRIEDADES DIELÉTRICAS E
PIEZOELÉTRICAS
2.3.1. Introdução
A caracterização completa de um material que se deseja utilizar como transdutor
(atuador ou sensor) requer, na maioria dos casos, a determinação de diferentes
propriedades físicas. Materiais ferroelétricos por que apresentam propriedades dielétricas
e piezoelétricas destacadas frente a outros materiais, entre outras, são os mais utilizados
e destacados para aplicações em sensores e atuadores.
A determinação das propriedades dielétricas, em função da freqüência, temperatura
ou voltagem constitui a primeira e principal caracterização de um material ferroelétrico .
Por isso deve ser executada antes de se efetuar uma caracterização mais detalhada das
propriedades piezoelétricas.
As propriedades piezoelétricas de um material são definidas, por sua vez, pelos
coeficientes dielétricos, elásticos e piezoelétricos. Todos esses coeficientes dependem da
amplitude do sinal de medição (de campo elétrico ou tensão mecânica) e, em caso de
materiais ferroelétricos, dependem do estado de polarização . Em geral a determinação
desses coeficientes é feita na região linear (baixos campos).
Neste capitulo são apresentados os fundamentos de técnicas dinâmicas de
caracterização que se utilizam para determinar as propriedades dielétricas e piezoelétricas
de materiais ferroelétricos. Para a caracterização de cristais as técnicas são exatamente as
mesmas, com a exceção de que o elemento piezoelétrico deve ter seus cortes efetuados
segundo orientações cristalográficas definidas, conforme mostrado anteriormente.
2.3.2. Propriedades dielétricas
A permissividade dielétrica ε geral varia com a freqüência de medida e, por isso, é
conveniente defini-la como uma função complexa, ε* = ε’ + iε” (ε’ – parte real e ε” –
parte imaginária) [30].
A determinação da permissividade dielétrica ou da constante dielétrica κ (=ε’/εo, εo
é a permissividade do vácuo) e do fator de dissipação D (=ε”/εo), a baixos campos (<1
23
V/mm, região linear), é uma das caracterizações mais importantes nos materiais
ferroelétricos.
Em geral, esses parâmetros são determinados em amostras em forma de discos ou
placas, que possuem eletrodos em suas faces, de forma que possam ser analisadas como
capacitores plano-paralelos preenchidos com um dielétrico (o material que se deseja
caracterizar). Os eletrodos são depositados nas faces por evaporação, “sputtering” ou
pintura (com prata, grafite ou outro material condutor), de forma que fiquem aderidos ao
material. Dessa maneira, a medição consiste basicamente em uma medida da capacitância
de um capacitor.
Existem varias técnicas que podem ser utilizadas para medir a capacitância de um
capacitor, cada uma com vantagens e desvantagens frente às demais. Considerações
como intervalo de freqüência, valores de capacitância, precisão e facilidade de operação
determinam a opção por uma determinada técnica. Considerando o intervalo de
freqüência como critério, são recomendados os circuitos ponte (ponte de Shering, por
exemplo), circuitos ressonantes e medidas de I – V (I-corrente elétrica e V-voltagem)
desde ~10 Hz até ~100 MHz (analisadores de impedância); medidas de RF I – V entre
100 MHz e ~3 GHz (analisadores de impedância) e analisadores de rede para freqüências
superiores a 3 GHz. Por convenção, medições “standard” são realizadas na
freqüência de 1 kHz. Na Figura 2.8 se apresenta um diagrama esquemático de um
sistema para medir a constante dielétrica de uma amostra.
Figura 2.8. Diagrama esquemático de um sistema para medir a constante dielétrica de uma amostra em função da freqüência e/ou temperatura.
24
Uma vez determinada a capacitância C (=C’ + iC”) do capacitor que representa a
amostra, a constante dielétrica (κ) e o fator de dissipação (D) são calculados com as
seguintes relações :
Ao
dkε
'C= Ao
dDε
"C= (2.4)
onde d é a espessura da amostra e A a área do eletrodo.
Para materiais isolantes e cerâmicas ferroeléctricas não polarizadas a constante
dielétrica praticamente não varia até ~400 MHz. Em freqüências superiores alguns
materiais ferroelétricos, como o titanato de bário e o titanato zirconato de chumbo podem
apresentar uma relaxação provavelmente associada aos domínios ferroelétricos. Em
baixas freqüências mecanismos de polarização interfacial e de condução afetam as
medidas de constante dielétrica em amostras cerâmicas.
Em cerâmicas ferroeléctricas polarizadas a impedância de uma amostra, na forma de
um capacitor plano-paralelo, pode apresentar forte dependência com a freqüência devido
ao efeito piezoelétrico, como será mostrado a seguir (em propriedades piezoelétricas).
2.3.3. Propriedades piezoelétricas
Conforme mencionado anteriormente a caracterização completa das propriedades
piezoelétricas ou eletromecânicas de um material requer a determinação de seus
coeficientes elásticos, dielétricos e piezoelétricos. O número desses coeficientes, para a
um determinado material, depende da simetria macroscópica do material. Assim, por
exemplo, para cristais de quartzo tem-se que considerar a simetria trigonal (32), enquanto
que para cerâmicas polarizadas a simetria (∞mm) [11] deve ser considerada.
Muitas vezes não é necessária a determinação de todos os coeficientes elásticos,
dielétricos e piezoelétricos, mas somente de alguns deles, para avaliar o potencial de
aplicação do material como elemento piezoelétrico. É fundamental, porém, que se saiba
exatamente que coeficiente se está medindo.
Um sistema piezoelétrico é constituído de dois sistemas acoplados, o mecânico e o
elétrico, conforme apresentado anteriormente.
A determinação dos coeficientes piezoelétricos de um material pode ser realizada
através de técnicas estáticas ou quasi-estáticas e dinâmicas (ressonantes).
25
As técnicas estáticas ou quasi-estáticas consistem em aplicar uma tensão mecânica
ou uma voltagem (campo elétrico) a uma amostra do material e medir a carga elétrica em
eletrodos, que se depositam nas faces (efeito piezoelétrico direto) ou a deformação do
material (efeito piezoelétrico inverso), respectivamente.
As técnicas ressonantes consistem em excitar a amostra com uma freqüência em
torno da freqüência fundamental de ressonância mecânica, de um de seus modos de
vibração característico. Assim, por exemplo, uma amostra em forma de disco pode ser
excitada para vibrar no modo de vibração radial ou planar e no modo de espessura.
As técnicas ressonantes são mais precisas e permitem a determinação de um número
maior de coeficientes eletromecânicos e de alguns coeficientes elásticos. Além disso, as
técnicas ressonantes fornecem os valores dos coeficientes em regime dinâmico, condição
em que os elementos piezoelétricos são mais comumente utilizados.
A seguir é apresentado o método da ressonância, com os coeficientes que podem ser
determinados, dependendo dos modos característicos de vibração de cerâmicas
polarizadas.
2.3.3.1. O método da ressonância
O método da ressonância para caracterizar elementos piezoelétricos, assim como as
equações e unidades, encontram-se discutidas em detalhes nos IRE Standards on
Piezoelectric Crystals ou Ceramics [31].
Ressonadores piezoelétricos consistem de amostras de um material piezoelétrico, em
forma de disco, barra ou anéis, com eletrodos depositados de forma a poder excitar
isoladamente um de seus modos de vibração. Em geral, se considera que a freqüência de
ressonância do modo em análise situa-se distante daquela de outro modo de vibração do
ressonador.
A representação mais simples do comportamento de um ressonador piezoelétrico,
forçado a oscilar em torno de uma ressonância, é dada por um circuito equivalente como
o da Figura 2.9.
As ressonâncias mecânicas do ressonador são representadas, na Figura 2.9, pelos
componentes L, C, R1 e R2. A capacitância Co e a resistência Ro reapresentam o capacitor
formado pelo material e seus eletrodos.
26
Figura 2.9. – Circuito equivalente de um ressonador piezoelétrico .
No método da ressonância a admitância do ressonador, o módulo ou suas partes
real e imaginária, são determinados em função da freqüência. Um arranjo experimental
para a realização das medidas pelo método da ressonância pode ser o mesmo utilizado
para a caracterização dielétrica (Figura 2.8), desde que o intervalo de freqüências permita
cobrir as freqüências de ressonância desejadas. Na Figura 2.10 se apresenta como varia a
admitância com a freqüência de excitação em freqüências próximas de uma ressonância .
(a) (b)
Figura 2.10. – Admitância, a) modulo y b) partes real e imaginaria, em função da freqüência de um ressonador piezoelétrico ao redor de uma ressonância .
Nas Figuras 2.10a e 2.10b FR e FA correspondem às freqüências de ressonância e
anti-ressonância do piezoelétrico, respectivamente. Observa-se que na freqüência de
ressonância FR a admitância é máxima, que corresponde à ressonância do ramo R1R2LC-
série do circuito da Figura 2.9. Na freqüência de anti-ressonância FA a admitância é
mínima e corresponde à ressonância do ramo formado pelo ramo R1R2LC-série em
paralelo com Co.
Caracterizando as freqüências de ressonância e anti-ressonância para os diferentes
modos de vibração de um ressonador piezoelétrico é possível determinar seus
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1500,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
FA
FR
Mód
ulo
da A
dmitâ
ncia
(mS)
Frequência (kHz)70 80 90 100 110 120 130
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
f1/2f-1/2
FAFR
FR
Real Imaginario
G ,
B (m
S)
Frequência (kHz)
27
coeficientes eletromecânicos. Para caracterizar completamente um material piezoelétrico
é necessário preparar amostras com diferentes geometrias ou orientações (no caso de
cristais), de forma a poder excitar diferentes modos puros de vibração, como veremos
adiante.
Para a determinação das freqüências de ressonância e anti-ressonância um ressonador
pode ser forçado a vibrar em, essencialmente, duas condições: vibração (ou acoplamento)
transversal e vibração (ou acoplamento) longitudinal, que serão apresentadas a seguir.
2.3.3.2. Condições de caracterização de elementos piezoelétricos
Materiais elásticos podem apresentar um grande número de ressonâncias mecânicas,
a fundamental e os respectivos harmônicos de cada modo de vibração. As mais
pronunciadas são aquelas em que a dimensão das amostras, na direção da deformação em
análise, corresponde aproximadamente à metade do comprimento de onda de uma onda
elástica estacionária.
Para caracterizar as propriedades piezoelétricas de um material se utiliza o efeito
piezoelétrico para excitar uma onda estacionária em uma determinada direção da amostra.
Para uma caracterização precisa de um determinado modo de vibração procura-se
desacoplar o modo de interesse dos demais, ou seja, isolar a freqüência fundamental de
ressonância do modo em análise de qualquer ressonância de outros modos. A forma
prática de obter essa condição é preparar a amostra com dimensões, comprimento,
diâmetro ou espessura, adequados para que se desacoplem os modos, como veremos a
seguir.
Consideremos uma amostra piezoelétrica em forma de uma placa de espessura
t,comprimento L e largura w, com eletrodos nas faces e excitada por uma tensão alternada
V na direção 3, conforme mostra a Figura 2.11.
28
L
w t V
1
3
2
Figura 2.11. – Reapresentação esquemática do arranjo experimental para caracterização de uma amostra piezoelétrica pelo método da ressonância .
Conforme mencionado anteriormente, a caracterização de materiais piezoelétricos é
feita essencialmente em duas condições: 1) análise da deformação ou vibração em uma
direção perpendicular à excitação elétrica aplicada – acoplamento transversal ou 2)
análise da deformação ou vibração na direção paralela à excitação elétrica aplicada –
acoplamento longitudinal.
2.3.3.2.1. Acoplamento transversal (vibração transversal)
Para a análise do acoplamento transversal, utilizando a Figura 2.11, considera-se a
vibração da amostra na direção do comprimento L. Para obter o desacoplamento dos
modos de vibração se requer que as dimensões das amostras satisfaçam a seguinte
condição : L > w >> t.
As condições de contorno elétricas e mecânicas são:
Mecânicas Elétricas
Ti ≈ 0 exceto T2 Ei = E3
T2 = 0 p/ y = L/2 dE/dy = 0 (campo uniforme)
onde Ti são as tensões mecânicas e Ei o campo elétrico (=V/L).
Quando se varia a freqüência da tensão elétrica V na ressonância a mais baixa
freqüência, na curva de admitância (Figura 2.10), pela condição L > w >>t, ocorrerá em
uma freqüência fR dada por:
29
) (41
112
2ER sL
fρ
= → ER sLLf
11 1
21
2 ρν
== → /2 λ=L (2.5)
onde v é a velocidade da onda mecânica extensional, ρ a densidade do material, a
constante elástica a campo elétrico constante e λ o comprimento de onda.
Es11
Quando se registra a curva da admitância da amostra em função da freqüência f da
tensão elétrica externa aplicada, se obtêm as curvas como as das Figuras 2.10a ou 2.10b.
A partir das freqüências de ressonância fR e anti-ressonância fA, que se obtêm das curvas
de admitância, é possível calcular a constante elástica e o fator de acoplamento
eletromecânico k
Es11
31 para o modo de vibração transversal com a relação abaixo [8,9]:
kk
ff
tg f ff
A
R
A R
R
312
3121 2 2−
=−π π( )
(2.6)
A notação com o sufixo 31 corresponde à utilizada em piezoelétricos cerâmicos,
onde o sufixo 3 se refere à direção de aplicação do campo e o sufixo 1 à direção da
deformação.
2.3.3.2.2. Acoplamento Longitudinal (Vibração de Espessura)
Para a análise da vibração de espessura (acoplamento longitudinal) se considera a
deformação na direção do campo elétrico aplicado. As condições de contorno elétricas e
mecânicas são:
Mecânicas Elétricas
Sij ≈0 exceto S3 Ei = E3
dD/dz= 0 (pol. uniforme)
onde Si é a deformação relativa (“strain”) e D o vetor deslocamento elétrico.
A condição L > w >>t implica que as ressonâncias do modo de vibração de
espessura ocorrem em freqüências superiores às dos modos transversais e seus
harmônicos. Na prática, para “isolar” a freqüência fundamental do modo de espessura
dos harmônicos dos modos transversais, as dimensões da amostra devem ser tais que L e
w ≥ 20-25 t.
30
Para o modo de vibração de espessura a condição t = λ/2 ocorre na freqüência
de anti-ressonância fA, dada por:
ρν D
Ac
ttf 33
21
2==
ρ233
4tcf
D
A = t = λ/2 (2.7)
onde v é a velocidade da onda mecânica, ρ a densidade do material, a constante
elástica “stiffness” a deslocamento elétrico constante e λ o comprimento de onda.
Dc33
Determinando as freqüências de ressonância fR e anti-ressonância fA das curvas de
admitância, pode-se calcular o fator de acoplamento para o modo de espessura ou
longitudinal kt com a seguinte equação :
kff
tg f fft
R
A
A R
R
2
2 2=
−π π( ) (2.8)
2.3.3.3. Modos de vibração em piezoelétricos
As condições de caracterização apresentadas anteriormente quando utilizadas para
determinar todos os coeficientes eletromecânicos (elásticos, elétricos e piezoelétricos)
requerem que amostras sejam preparadas com orientações ou geometrias diferentes, cada
uma adequada para obter determinados coeficientes.
Para o caso de cristais é necessário cortá-los segundo orientações específicas
escolhidas de tal forma a poder excitar modos de vibração puros. As orientações dos
cortes dependem da simetria do cristal, como foi mostrado anteriormente para o quartzo,
niobato de lítio e tantalato de lítio.
Para materiais cerâmicos, por sua vez, tem-se que considerar que no estado
polarizado sua simetria macroscópica é sempre ∞mm. Assim, para determinar suas
propriedades piezoelétricas é necessário preparar as amostras com geometrias e
diferentes direções de polarização. A Tabela 2.8, apresenta as geometrias mais comuns
utilizadas em transdutores piezoelétricos, as condições de contorno e quais coeficientes
podem ser determinados nesse tipo de amostra. As letras (T) ou (L) se referem ao
acoplamento transversal ou longitudinal, respectivamente. A flecha (↔) indica a direção
da vibração correspondente ao modo que será excitado.
31
Tabela 2.8 – Modos de vibrações em cerâmicas piezoelétricas.
Geometria do ressonador
Condição de contorno Fator de Acoplamento (k2)
Constante Elástica
Elástica Elétrica 1 (T)
Transversal
T1=T3≈ 0 0
2
3 =∂∂
xE
Es11
1
TEsdk
3311
2312
31
ε=
2 (L) Longitudinal
T1=T2≈ 0 0
2
3 =∂∂
xD
TEs
dk3333
2332
33
ε= Ds33
1
3 (T)
Radial/Extensional
T3≈ 0 0 3 =
∂∂
rE
(a)
3311
2312 )-(1
2 TEp sdk
εσ=
(b)
. Eefc
4 (T)
Radial/Dilatacional
S3≈ 0 0 3 =
∂∂
rE
Ec11 (c)
33
~
11
2312 ' )'(1
2 TE
p
c
ekεσ+
=
5 (T)
S2≈ 0 T3≈ 0 0
1
3 =∂∂
xE
(d)
Eef
2 '312 '
31
Tefc
ekε
=
(b)
. Eefc
6 (T)
S3≈ 0 T2≈ 0 0
1
3 =∂∂
xE
(e)
"E 'ef
2"'312 "
31
Tefc
ekε
=
(ff) '.
Eefc
7 (L) Espessura (1)
S1≈ 0 S2≈ 0 0
3
3 =∂∂
xD
SDt c
ek3333
2332
ε=
Dc33
8 (L)
Espessura (2)
S2≈ 0 S3≈ 0 0
1
3 =∂∂
xE
SEte c
ek3311
2312
ε=
Ec11
9 (L)
Cisalhamento (1)
S4≈ 0 0
1
1 =∂∂
xD
SDc
ek1155
2152
15
ε=
Dc55
10 (T)
Cisalhamento (2)
S6≈ 0 0
1
1 =∂∂
xE
SEc
ek1155
2152 '
15
ε=
Ec55
11
Hidrostático
(g)
33
22
TE
h
hh s
dkε
=
32
a) E
E
ss
11
12 - =σ - razão de Poisson. f) EEEEef cccc 11
21211
' /)( - =
b) . g) EEEEEef cccsc 33
21311
211 /)( - )1(/1 =−= σ 33312 dddh += ;
c) E
E
cc
11
12 - =σ ; ) - 1( ~ 233
T33
T33 kεε = . EEEEE
h sssss 33131211 4)(2 +++=
d) ; . EE cceee 33133331'31 / - = ) - 1( 2
31T33
Tef kεε =
e) . )/ - (1 111331"31
EE ccee =
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