capitulo1

DM-UFSCar-yyb-yksf

Captulo 1

Tpicos de Matrizes e Sistemas Lineares

Este Captulo ser dedicado ao escalonamento de matrizes atravs do Mtodo de Eliminao de

Gauss e tambm do Mtodo de Gauss-Jordan, tendo como aplicaes imediatas o clculo do posto

de matriz, a resoluo de sistemas de equaes lineares e a inverso de matrizes por escalonamento.

Aproveitamos o contedo para sugerir atividades computacionais ligados ao clculo matricial,

remetendo ao Captulo 7, onde introduzimos o programa Octave e oferecemos atividades que com-

plementam este captulo, em 7.2.

1.1 Introduo aos sistemas de equaes lineares

Na Geometria Analtica veremos, entre outras aplicaes, que retas no plano podem ser denidas

por equaes lineares a duas variveis (da forma ax + by + c = 0 onde x e y so as variveis e a ,

b e c constantes); que planos podem ser denidos por equaes lineares a trs variveis (da forma

ax + by + cz + d = 0 onde x, y e z so as variveis e a , b, c e d constantes); que uma reta no

espao pode ser dada como interseco de dois planos

{a1x+ b1y + c1z + d1 = 0

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0, e portanto, como

soluo de um sistema de duas equaes a trs variveis, isto , na forma

{a1x+ b1y + c1z = D1

a2x+ b2y + c2z = D2.

Assim, uma boa compreenso de sistemas lineares vem de auxlio boa conduo dos estudos

futuros.

Comearemos com um exemplo:

()

2x + y + z = 8

x + y + 4z = 15

3y + 2z = 9

Este um sistema de trs equaes lineares a trs variveis. Geometricamente, cada equao

pode ser interpretada como um plano do espao. Uma soluo deste sistema uma terna x = x0,

y = y0, z = z0 de nmeros reais, que satisfaz simultaneamente as trs equaes. Por exemplo,

x = 2, y = 1 e z = 3 uma soluo do sistema. Podemos ainda dizer que (x, y, z) = (2, 1, 3) uma

1

DM-UFSCar-yyb-yksf

2 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

soluo. Na interpretao geomtrica, a soluo obtida a interseco dos trs planos dados, no

caso, exatamente o ponto P = (2, 1, 3).

A matriz dos coecientes desse sistema dado por A =

2 1 11 1 40 3 2

e a matriz ampliada1 dosistema A =

2 1 1 81 1 4 150 3 2 9

.Escrevendo B =

8159

e X =xyz

, temos que o sistema linear original equivalente equaomatricial AX = B: 2 1 11 1 4

0 3 2

xyz

= 8159

Ainda, X0 = (2, 1, 3) soluo do sistema pois AX0 = B:2 1 11 1 4

0 3 2

213

= 8159

.

Formalizando, seja dado um sistema lineara11x1 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + . . . + a2nxn = b2... +

. . . +... =

...

am1x1 + . . . + amn = bm

As matrizes A =

a11 . . . a1n

a21 . . . a2n...

. . ....

am1 . . . amn

e A = [A|B] =a11 . . . a1n b1

a21 . . . a2n b2...

. . ....

...

am1 . . . amn bm

so, respectivamente,a matriz dos coecientes e a matriz completa ( ou matriz ampliada) do sistema.

Colocando B =

b1

b2...

bm

e X =x1

x2...

xn

, o sistema corresponde equao matricial AX = B.1Conhece-se a utilizao da matriz ampliada num problema envolvendo sistema linear de trs equaes a trs

variveis, publicada num manuscrito chins em torno de 200 a.C. a 100 a.C., durante a Dinastia Han. Mas o uso do

termo matriz ampliada parece ter sido introduzido pelo matemtico norte-americano Maxime Bcher. Veja mais em

[3].

DM-UFSCar-yyb-yksf

1.2. MTODOS DE ESCALONAMENTO 3

Os sistemas lineares tambm aparecem em problemas de diferentes reas, como problemas de

posicionamento global utilizados pelos GPS, anlise de rede de uxo de trfego, circuitos eltricos

e reaes qumicas. Veja estas aplicaes em [3].

b Exerccios 1.1: Escreva cada sistema abaixo na forma matricial AX = B, identicando asmatrizes A, X e B. Obtenha tambm a matriz ampliada A.

1.

{x1 + 7x2 = 4

2x1 9x2 = 2

2.

2x1 + 6x2 = 6

5x1 = 1

x1 + 2x2 = 0

3.

x2 + 5x3 = 4

x1 + 4x2 + 3x3 = 2

2x1 7x2 + x3 = 1

4.

{x + 2y = 4

x + 3y + 3z = 2

5.

2u + 3v 5w + 6t = 0

5v + 2t = 0

w 3t = 0

Veja no Captulo 7, a utilizao do programa Octave para apoio ao estudo da Geometria

Analtica. Aps uma pequena introduo, passamos a atividades que podem ser inseridas neste

contexto. A atividade 1 de 7.2 vem de encontro a este momento. Nela entramos com a matriz dos

coecientes A, a matriz coluna dos termos independentes B, obtemos a matriz ampliada AB = [A|B]

digitando AB=[A,B] (Por que no A no nome da matriz?). Obtemos uma soluo de AX = B

diretamente com o comando A\B. Calculamos tambm o determinante e a matriz inversa de A

atravs de comandos prprios do Octave: det(A) e inv(A), relacionando-os com as solues.

1.2 Mtodos de Escalonamento

Antes de introduzirmos efetivamente os mtodos de escalonamento, vamos tecer algumas consi-

deraes:

Observao 1: Existem certos sistemas simplicados em que mais fcil efetuar substituies

para resolv-los. Nesta categoria, encaixam-se os sistemas com matrizes escada como deniremos

DM-UFSCar-yyb-yksf


depois. Por exemplo, o sistema

()

x + y + z = 8

y + 4z = 13

2z = 6

est numa forma triangular chamada forma escada e podemos resolv-la facilmente comeando a

substituio trs-para-frente", fazendo z = 62 = 3, donde y = 13 4z = 13 12 = 1 e portanto,

x = 8 y z = 8 1 3 = 4.

Observao 2: Algumas alteraes no sistema no afetam o conjunto das solues, como

trocar duas equaes entre si, que na matriz ampliada, corresponde a trocar duas linhas entre

si;

multiplicar uma equao por um nmero no nulo, que na matriz ampliada, corresponde a

multiplicar uma linha pelo nmero;

substituir uma equao pela soma dela com uma outra equao, que na matriz ampliada, cor-

responde a somar a uma linha uma outra linha.

~ Cuidado: a outra equao deve ser mantida!

Para ilustrarmos este ltimo fato, vejamos no caso de um sistema de trs variveis x, y e z:

()

{a11x + a12y + a13z = b1

a21x + a22y + a23z = b2

Substituindo a segunda equao pela soma das duas, temos o novo sistema

()

{a11x + a12y + a13z = b1

(a21 + a11)x + (a22 + a12)y + (a23 + a13)z = (b2 + b1)

bvio que que uma soluo (x0, y0, z0) do sistema (*) satisfaz o sistema (**), pois se{a11x0 + a12y0 + a13z0 = b1

a21x0 + a22y0 + a23z0 = b2,

ento

(a21 + a11)x0 + (a22 + a12)y0 + (a23 + a13)z0 =

=

b1 (a21x0 + a22y0 + a23z0)+

b2 (a11x0 + a12y0 + a13z0) = b2 + b1.

Reciprocamente, se (x0, y0, z0) uma soluo de (**), ento uma soluo de (*), pois a primeira

equao a mesma em ambos os sistemas, e a segunda equao de (*) pode ser obtida de (**) multi-

plicando a primeira equao por (-1) e somando segunda:

a21x0 + a22y0 + a23z0 =

= (a21 + a11)x0 + (a22 + a12)y0 + (a23 + a13)z0 (a11x0 + a12y0 + a13z0) =

= (b2 + b1) b1 = b2.

DM-UFSCar-yyb-yksf


juntando as duas alteraes anteriores, pode-se substituir uma equao pela soma dela com

um mltiplo de outra equao, o que corresponde, na matriz ampliada, a somar a uma linha

um mltiplo de outra linha.

Uma das formas de analisar e resolver sistemas lineares consiste em trocar o sistema inicial por

outro sistema equivalente, isto , com o mesmo conjunto de solues, de forma que o novo sistema

seja mais adequado para discusso e resoluo, como por exemplo, um sistema na forma escada.

1.2.1 Mtodo de Eliminao de Gauss

Um dos mtodos de resoluo de sistemas lineares que vamos estudar aqui o Mtodo de

Eliminao de Gauss2, cujas alteraes para simplicao do sistema baseada nas observaes

acima e feita de forma sistemtica e objetiva.

Podemos sintetizar as alteraes no sistema no Mtodo de Eliminao de Gauss em trs tipos:

1. Troca de equaes entre si.

2. Multiplicao de uma equao por um escalar 6= 0.

3. Adio a uma equao de um mltiplo de outra (sem alterao das demais equaes).

Estas alteraes, na forma matricial, geram operaes com linhas nas matrizes, chamadas

operaes elementares com linhas.

1. Troca de linhas entre si. Notao: Li Lj

2. Multiplicao de uma linha por um escalar 6= 0. Notao: Li Li

3. Adio a uma linha de um mltiplo de outra (sem alterao das demais linhas). Notao:

Li Li + Lk

Veja estas operaes elementares escritas na linguagem do programa Octave e uma pequena

introduo denio de funes no Octave, denindo as operaes elementares acima como funes

swaprow, mulrow e addrow, na atividade 2 em 7.2.

Dizemos que uma matriz B, obtida de uma matriz A por uma sequncia de operaes elemen-

tares sobre linhas l-equivalente (linha-equivalente) matriz A. Denotamos B A.

2Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), utilizou o mtodo em parte do clculo da rbita do asteride Ceres.

Uma verso do mtodo foi publicado na China em torno de 200 a.C. mas popularizado somente quando publicado

por Wilhelm Jordan, em 1888. Veja mais em [3].

DM-UFSCar-yyb-yksf


Pode-se mostrar que uma relao de equivalncia, isto , valem as propriedades: reexiva

(AA), simtrica (A

B implica B

A) e transitiva (A

B e B

C implica A

C).

O Mtodo da Eliminao de Gauss para resolver um sistema linear consiste em procurar um

novo sistema cuja matriz ampliada l-equivalente matriz ampliada original, e tem a forma escada,

denida a seguir.

Definio: Dizemos que uma matriz Mmn est na forma escada se possui as seguintes caracte-

rsticas:

1. As linhas nulas, se houver, cam abaixo das linhas no nulas.

2. Para cada linha no nula i, se ai,ci o primeiro elemento no nulo da linha i, da esquerda

para a direita, os elementos da coluna ci abaixo da linha i so todos nulos.

Ou equivalentemente, se denotamos por ci o nmero da coluna onde ocorre o primeiro elemento

no nulo da linha i, devemos ter c1 < c2 < < cr onde r o nmero de linhas no nulas de

M .

Ou ainda, os nmeros de zeros que antecedem os primeiros elementos no nulos das linhas

no nulas crescente com as linhas.

Isto faz com que a matriz escada tenha uma escada de zeros na parte inferior da matriz, subindo

da direita para a esquerda.

Vejamos um exemplo: A =

2 3 0 10 0 1 00 0 0 0

uma matriz escada pois:1. a linha nula est abaixo das duas linhas no nulas (r = 2);

2. o primeiro elemento no nulo da linha 1 A11 = 2 e todos os elementos da coluna abaixo dele

so nulos;

3. o primeiro elemento no nulo da linha 2 A23 = 1 e todos os elementos da coluna abaixo dele

so nulos.

Observe tambm que c1 = 1 e c2 = 3, donde c1 < c2.

Alm disso, nas linhas no nulas 1 e 2, temos 0 e 2 zeros que antecedem os primeiros elementos no

nulos de linhas, e 0 < 2.

A matriz B =

0 3 0 10 2 0 00 0 0 1

no escada pois c1 = 2 = c2. E tambm o nmero de zerosantes do primeiro elemento no nulo da linha 1 o mesmo na linha 2 (no crescente). E mais,

abaixo do primeiro elemento no nulo da linha 1 tem o no nulo da linha 2.

DM-UFSCar-yyb-yksf


b Exerccio: Para xar as idias, verique quais das matrizes abaixo esto na forma escada:

A =

[1 2 3

0 1 0

]B =

[1 2 0

1 0 0

]C =

1 2 30 1 00 0 30

D = [1 2 30 0 2

]

E =

0 1 30 0 00 0 1

F = [1 2 0 20 0 3 5

]G =

[0 1 0

0 0 30

]H =

0 0 01 2 30 0 2

Resp: A,C,D,F,G.

O Mtodo de Eliminao de Gauss para reduo de uma matriz M a uma forma escada dada

pelo seguinte algoritmo:

1. Seja c1 a primeira coluna no nula de M , da esquerda para a direita. Se necessrio, troque

as linhas para que o elemento da linha 1 e coluna c1 seja no nulo, isto , M1c1 6= 0. Este

elemento chamado de piv. Fixando a linha 1, anule os elementos abaixo do piv M1c1 6= 0,

utilizando as operaes Li Li Mic1M1c1

L1, para cada i > 1.

Chame a nova matriz de M1.

2. Seja c2 a coluna de M1, contada da esquerda para a direita, onde existem elementos no

nulos a partir da linha 2. Se necessrio, troque a linha 2 por alguma abaixo de forma que

M12c2 6= 0. Este o novo piv.

Fixando a linha 2, anule os elementos da coluna c2, abaixo da linha 2 (abaixo do piv).

As operaes so Li Li Mic2M2c2

L2, para i > 2

Chame a nova matriz de M2.

3. Continue o processo, considerando ck a primeira coluna de Mk1, contada da esquerda para

a direita, onde existem elementos no nulos a partir da k-sima linha. Se necessrio, troque a

linha k por alguma abaixo, para que Mk1kck 6= 0. Este o k-simo piv.

Fixando a linha k, anule os elementos da coluna ck abaixo da linha k, isto , abaixo do k-simo

piv, com as operaes Li Li MickMkck

Lk para i > k.

4. Este processo termina quando acabam as linhas no nulas ou as colunas.

Por que utilizamos na operao elementar Li Li MickMkck

Lk, o multiplicador = MickMkck

?

Lembre-se que para anular o novo elemento na posio (i, ck), basta ver que soluo de

Mnovoick = Mick + Mkck = 0.

~ Ateno: Se voc estiver utilizando uma calculadora para efetuar as contas, a escolha dospivs deve ser efetuada com mais cuidado, de forma a reduzir os erros. Uma escolha simples

utilizar como k-simo piv o elemento de maior valor absoluto na coluna ck, a partir da linha k

DM-UFSCar-yyb-yksf


(conhecido como Elininao de Gauss com pivoteamento parcial, em Clculo Numrico).

Voltemos ao nosso exemplo:

()

2x + y + z = 8

x + y + 4z = 15

3y + 2z = 9

, com matriz ampliada A =

2 1 1 81 1 4 150 3 2 9

.A matriz M = A no est na forma escada, pois o elemento M11 = 2 o primeiro elemento

no nulo da primeira linha (logo c1 = 1), e o elemento M21 = 1 o primeiro elemento no nulo da

segunda linha (logo c2 = 1), e portanto no temos c1 < c2.

Vemos tambm que M21 = 1 6= 0 est na mesma coluna e abaixo do primeiro elemento no nulo

da primeira linha.

Vemos que M1c1 = M11 = 2 6= 0 e portanto, podemos utiliz-lo como o primeiro piv, isto ,

podemos xar a linha 1 e anular os termos da coluna c1 = 1 abaixo de M11 = 2. No caso, basta

fazer L2 L2 12L1.

Depois, xando M22 = 12 como o segundo piv, anulamos abaixo dele com L3 L3 6L2. A

matriz E resultante j est na forma escada. Na sequncia abaixo, destacamos os pivs.

A =

2 1 1 81 1 4 150 3 2 9

L2L2 12L1

2 1 1 8

01

272 11

0 3 2 9

L3L36L2

2 1 1 8

01

272 11

0 0 19 57

= EAssim, o sistema (*) ca equivalente ao sistema escalonado

()

2x + y + z = 8

12y +

72z = 11

+ 19z = 57

cuja soluo pode ser dada substituindo de trs-para-frente: z = 5719 = 3, donde, y = 2(11

72 3) =

2 12 = 1 e x =12 (8 1 3) = 2.

A atividade 3 em 7.2 refaz o exemplo acima na linguagem Octave. Alm disso, junto com

ele damos um incio programao do mtodo do escalonamento no Octave, denindo uma funo

pivot que, entrando com a matriz A e o elemento piv, a funo calcula a matriz com os elementos

abaixo do piv j devidamente zerados.

DM-UFSCar-yyb-yksf


b Exerccios 1.2.11. Obtenha uma forma-escada l-equivalente a cada uma das matrizes abaixo, pelo mtodo de

Eliminao de Gauss:

A =

[1 2 3

2 1 0

]B =

[1 2 0

1 0 0

]C =

1 2 3 45 6 7 83 2 1 0

D =

3 2

5 1

2 2

1 3

E =1 2 3

2 4 6

3 6 9

4 8 12

F =1 2 0 20 0 3 51 2 3 7

G =

0 1 00 0 300 1 3

H =0 0 00 0 31 0 2

2. Seu colega resolveu o exerccio anterior, porm chegou a matrizes escada diferentes do seu.

Podem ambos terem acertado tudo?

Resp: possvel. Algumas trocas de linhas a mais, ou multiplicao de linha por algum valor no nulo

(para simplificar as contas ou diminuir os erros de arredondamento), podem levar a valores distintos

na matriz escada. Mas o nmero de linhas no nulas deve coincidir, assim como as posies dos pivs.

3. Suponha que M uma matriz 250 200. Qual o nmero mnimo de linhas nulas que devem

aparecer numa matriz escada l-equivalente a M?

4. Escalone a matriz

M =

1 2 3 4 5

7 8 9 10 11

3 2 1 0 1

200 201 202 203 204

utilizando o Mtodo de Eliminao de Gauss, passo a passo. Conra o resultado no Octave.

1.2.2 Mtodo de Gauss-Jordan

No Mtodo de Gauss-Jordan3 , a sequncia de operaes elementares deve levar a uma nica

matriz mais simplicada que simplesmente escada, chamada matriz escada l-reduzida ou matriz de

Gauss-Jordan:

3Wilhelm Jordan (1842-1899) foi um geodesista alemo e o mtodo apareceu na terceira edio do seu livro de

Geodesia.

DM-UFSCar-yyb-yksf


Definio: Uma matriz R uma matriz escada l-reduzida se:

uma matriz escada,

o primeiro elemento no nulo de cada linha no nula (piv) 1 e,

na coluna onde ocorre o primeiro elemento no nulo de alguma linha, todos os outros elementos

(mesmo os acima) so nulos.

A matriz escada E =

2 1 1 8

01

272 11

0 0 19 57

do exemplo anterior no l-reduzida, pois osprimeiros elementos no nulos das linhas so 2, 12 e 19, diferentes de 1 e, alm disso, no so os

nicos elementos no nulos de sua coluna.

As matrizes escada l-reduzidas 3 3 podem ter seguintes fomatos:

matriz nula;

1 x y0 0 00 0 0

ou0 1 x0 0 00 0 0

ou0 0 10 0 00 0 0

, com uma linha no nula;

1 0 x0 1 y0 0 0

ou 1 x 00 0 1

0 0 0

ou0 1 00 0 10 0 0

, com duas linhas no nulas;

1 0 00 1 00 0 1

, com 3 linhas no nulas

Para obter a matriz escada l-reduzida R, a partir da matriz escada E, basta seguir o seguinte

algoritmo:

1. Transforme todos os pivs em 1, multiplicando as linhas no nulas Li com i { 1, 2, . . . , r }

pelos multiplicadores1

Eici.

2. Comece pelo ltimo piv, anulando todos os elementos ACIMA dele, e prossiga at o segundo

piv (inclusive). Como acima do primeiro piv no h elementos, o processo se completa.

DM-UFSCar-yyb-yksf


No exemplo, E =

2 1 1 8

01

272 11

0 0 19 57

112

12 4

0 1 7 22

0 0 1 3

1

12 0

52

0 1 0 1

0 0 1 3

1 0 0 20 1 0 1

0 0 1 3

= R.Observe que o sistema correspondente matriz ampliada R fornece a soluo de imediato:

x = 2

y = 1

z = 3

Veja esta sequncia no Octave e mais a obteno direta atravs da funo rref disponvel

no programa, na atividade 4 em 7.2.

Se quiser obter diretamente a matriz l-reduzida, a partir de M , pode optar por transformar

todos os pivs em 1, desde o incio, para simplicar a obteno dos multiplicadores. Mais ainda,

uma vez obtido o piv 1, pode zerar todos os outros elementos da coluna, antes de procurar o

prximo piv. Este o mtodo mais conhecido como o Mtodo de Gauss-Jordan.

Como exemplo, vamos obter a matriz l-reduzida de

M =

1 2 3 4 5

7 8 9 10 11

3 2 1 0 1

200 201 202 203 204

pelo Mtodo de Gauss-Jordan.

1 2 3 4 5

7 8 9 10 11

3 2 1 0 1

200 201 202 203 204

pivot(M,1,1)1 2 3 4 5

0 6 12 18 24

0 4 8 12 16

0 199 398 597 796

L2

16L2

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

0 4 8 12 16

0 199 398 597 796

= M

pivot(M*,2,2)

1 0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

= R

DM-UFSCar-yyb-yksf


Acima, pivot(A, k, ck) seria uma funo que anula todos os elementos da coluna do piv Akck ,

exceto o prprio. Modique a funo do arquivo pivot.m fornecido para a tarefa em 7.2, atividade

4. ( )

fato que a cada matriz M , existe uma nica matriz l-reduzida R tal que RM .

b Exerccios 1.2.2:

1. Obtenha as matrizes l-reduzidas das matrizes do exerccio 1 da seo anterior. Houve alguma

alterao na posio dos pivs, em relao matriz escada obtida anteriormente?

2. Considere uma matriz M quadrada de ordem n. verdade que se M invertvel, sua l-

reduzida a matriz identidade In? Sim

1.3 Posto de Matriz

Observe que dada uma matriz M , se esta no for matriz nula, h sempre innitas matrizes

escada obtidas a partir de M , mas todas elas tm em comum o nmero de linhas no nulas e as

colunas onde aparecem os pivs. Aproveitamos uma destas constantes para a denio do posto de

uma matriz:

Definio: O posto4 de uma matriz M o nmero de linhas no nulas de qualquer matriz escada

obtida a partir de M por operaes elementares sobre linhas.

Observamos que existe outra denio de posto de matriz, sem utilizar escalonamento:

O posto de M a ordem da maior submatriz quadrada de M com determinante no nulo.

Por exemplo, seM for quadrada e invertvel, seu posto a ordem da matriz. Pode-se demonstrar

que se trata do mesmo conceito, mas no o faremos aqui. Lembramos que uma submatriz de uma

matriz M obtida eliminando-se algumas linhas e/ou colunas de M . Observe que a ordem das

linhas e colunas da submatriz deve obedecer a ordem na matriz original.

Com esta caracterizao de posto de matriz (atravs de submatrizes) ca evidente que uma

matriz e sua transposta tm o mesmo posto. Mas vamos utilizar preferencialmente a denio via

matriz escada para o clculo do posto.

4O matemtico alemo Ferdinand Frobenius (1849-1917) definiu o conceito de posto (atravs de submatrizes)

e utilizou a palavra rang, em alemo ([3]). Em ingls, utiliza-se a palavra rank, como na maioria dos programas

computacionais, incluindo o Octave, para designar o posto de uma matriz.

DM-UFSCar-yyb-yksf

1.4. RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO 13

Por exemplo, a matriz A =

1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

tem posto 2. De fato,1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

1 2 3 40 4 8 120 8 16 24

1 2 3 40 4 8 120 0 0 0

e portanto, o nmero de linhas no nulas da matriz escada obtida 2.

Fica como exerccio encontrar uma submatriz 2 2 com determinante no nulo e vericar que

todas as submatrizes 3 3 (quantas?) tm determinante 0. Fica como exerccio tambm indicar

quais operaes elementares foram efetuadas nos passos acima.

Veja um exemplo no Octave acerca do exerccio acima, na atividade 5, em 7.2.

b Exerccios 1.31. Encontre o posto da matrizes A H do exerccio 1 das sesso 1.2.1.

2. As matrizes A =

1 x 00 0 10 0 0

, B =0 1 00 0 10 0 0

e C =1 0 y0 1 z0 0 0

so matrizes 3 3 escadal-reduzidas de posto 2 (independentemente dos valores de x, y e z). Quais so as de posto 1?

e 3? A e B podem ser l-equivalentes?

3. Justique, usando a caracterizao de posto de matriz como ordem da maior submatriz com

determinante no nulo, que uma matriz e sua transposta tm o mesmo posto. E que toda

matriz invertvel tem posto mximo que a ordem da matriz.

4. Invente matrizes, encontre uma forma-escada e a forma escada l-reduzida de cada uma. Faa

o mesmo com as transpostas. Compare os postos (devem ser iguais). Nas matrizes escolhidas,

quais tm o posto mximo possvel?

1.4 Resoluo de sistemas lineares por escalonamento

Vimos que o sistema linear ()

2x + y + z = 8

x + y + 4z = 15

3y + 2z = 9

discutido anteriormente tem so-

luo nica, isto , (x0, y0, z0) = (2, 1, 3) soluo e no existem outros valores para x, y e z que

satisfaam o sistema. Portanto um sistema possvel e determinado.

DM-UFSCar-yyb-yksf


Como a matriz ampliada A = [A|B] do sistema (AX = B) l-equivalente matriz l-reduzida

R =

1 0 0 20 1 0 10 0 1 3

, onde1 0 00 1 00 0 1

corresponde l-reduzida de A, temos que p = posto(A) iguala q = posto(A), que igual ao nmero de variveis, n = 3. Pelas observaes prelimares denio

de posto, p e q podem ser calculadas com qualquer matriz escada E A.

Lembramos que a soluo nica deste sistema determinado aparece na ltima coluna de R.

Consideremos agora outro exemplo: ()

{x + y + 4z = 15

3y + 2z = 9,

com matriz ampliada A =

[1 1 4 15

0 3 2 9

], j na forma escada.

Reduzindo forma de Gauss-Jordan temos:

A =

[1 1 4 15

0 3 2 9

]

[1 1 4 15

0 1 23 3

]

[1 0 103 12

0 1 23 3

]= R

Logo o sistema acima equivalente a

{x + 103 z = 12

y + 23z = 3

donde x = 12 103 z, y = 3 23z e z pode variar livremente, assumindo qualquer valor real. Por

exemplo, para z = 0, temos a soluo (x, y, z) = (12, 3, 0) , para z = 3 temos outra soluo (x, y, z) =

(2, 1, 3) e para z = t R qualquer, temos (x, y, z) = (12 103 t, 323t, t) = (12, 3, 0) + t(

103 ,

23 , 1).

Figura 1.1. Interpretao geomtrica de sis-tema linear (**): cada equao representa um planoe a soluo a reta de interseco.

10

5

0

5

10

x

10

5

0

5

10

y

10

5

0

5

10

O exemplo acima mostra um sistema com innitas solues, ou seja, um sistema possvel e

indeterminado, com grau de liberdade igual a 1. Ou seja, todas as solues podem ser descritas

variando livremente uma das variveis no caso, z e as outras variveis podem ser escritas em

funo dessa varivel. A varivel z acima a chamada varivel livre e t foi o parmetro utilizado

para descrev-lo.

Observe que neste caso, p = 2 = q < n = 3, onde p = posto(A), q = posto(A) e n o nmero de

variveis. Alm disso, o grau de liberdade n p = 3 2 = 1.

Observe tambm que a varivel livre z escolhida acima correspodente coluna 3 de R (ou de

qualquer escada E A), e nesta coluna no aparece nenhum piv.

DM-UFSCar-yyb-yksf


Se considerarmos o sistema (***)

{x + y + 4z = 15

2x + 2y + 8z = 30, com matriz ampliada A =[

1 1 4 15

2 2 8 30

], teremos pelo escalonamento, o sistema equivalente

{x + y + 4z = 15

0 + 0y + 0z = 0.

Obviamente a segunda linha nula e no tem inuncia no sistema. Assim, camos somente

com a equao x+ y + 4z = 15, e portanto, x = 15 y 4z onde y e z podem variar livremente.

Por exemplo, (x, y, z) = (15, 0, 0), (x, y, z) = (14, 1, 0) e (x, y, z) = (11, 0, 1) so solues parti-

culares do sistema.

Para uso futuro, interessante escrever as solues na forma

(x, y, z) = (15, 0, 0) + t(1, 1, 0) + s(4, 0, 1), t, s R.

Isto pode ser obtido designando parmetros s variveis livres: y = t e z = s, donde (x, y, z) = (15

y4z, y, z) = (15t4s, t, s) = (15, 0, 0)+(t, t, 0)+(4s, 0, s) = (15, 0, 0)+t(1, 1, 0)+s(4, 0, 1).

O sistema que acabamos de mostrar tambm sistema possvel e indeterminado, com grau de

liberdade 2. Observe que p = q = 1 < 3 = n e as variveis livres escolhidas correspondem s colunas

2 e 3 da matriz escada R =

[1 1 4 15

0 0 0 0

], onde no aparece nenhum piv. Poderia ter utilizado

outras variveis como livres? Sim, mas com certeza as escolhidas funcionam bem.

Qual a interpretao geomtrica deste sistema? (Resposta: os planos descritos pelas equaes

so coincidentes e portanto, a soluo, o prprio plano, que pode ser descrito por 2 parmetros.)

Observe que o grau de liberdade a diferena entre o nmero de variveis e o nmero de equaes

no nulas na forma escada que aparecem nos sistemas possveis e indeterminados.

Mas um sistema pode ser impossvel, se ao reduzirmos na forma escada obtivermos uma equao

do tipo 0 = b 6= 0, ou seja, desconsiderando a coluna dos termos independentes, a forma escada

possui pelo menos uma linha no nula a menos que a matriz completa. Isto signica que p =

posto(A) < q = posto(A).

1.4.1 Teorema de Rouch-Capelli

Os exemplos acima ilustram o seguinte teorema acerca de solues de sistemas lineares, em ter-

mos de postos de matrizes:

Teorema de Rouch-Capelli5. Seja um sistema linear de m equaes a n variveis AX = B,

cuja matriz dos coecientes A tem posto p e cuja matriz ampliada A tem posto q. Ento:5Tambm conhecido como Teorema de Rouch-Frobenius. Eugne Rouch (1832-1910) publicou uma verso em

1875, mas depois de George Fonten. Uma verso italiana apareceu em 1886 publicado por Alfredo Capelli (1855-

DM-UFSCar-yyb-yksf


1. se p 6= q, o sistema impossvel;

2. se p = q = n, o sistema possvel e determinado;

3. se p = q < n, o sistema possvel e indeterminado, com grau de liberdade n p.

O teorema ca evidente se analisarmos os sistemas lineares na forma escada, de preferncia de

Gauss-Jordan:

1. Se p 6= q, signica que a matriz ampliada escalonada tem a q-sima linha do tipo[0 0 bq

],

que corresponde equao 0x1 + + 0xn = bq, sem soluo, j que bq 6= 0. Observe que p 6= q s

ocorre com q = p+ 1.

2. Se p = q = n, as n linhas no nulas da matriz de Gauss-Jordan da ampliada da forma1 0 0 | b1

0 1 0 | b2...

.... . .

... |...

0 0 1 | bn

,donde a nica soluo (x1, x2, . . . , xn) = (b1, b2, . . . , bn).

Pode haver linhas nulas abaixo desta matriz.

3. No caso p = q < n, veja o mtodo apresentado a seguir. Fica claro que possvel escrever as

p = q variveis correspondentes s colunas dos pivs em funo das outras n p incgnitas.

1.4.2 Sistemas indeterminados e a escolha das variveis livres

Quando um sistema possvel e indeterminado, com grau de liberdade np, surgem as questes:

quais so as variveis livres? como apresentar as solues?

Vamos agora indicar um mtodo para a escolha das variveis livres e a forma de apresentar as

solues com uso de parmetros e algumas solues particulares, nos sistemas indeterminados.

1. Obtenha a forma escada da matriz ampliada do sistema. Esta matriz deve ter p < n linhas

no nulas e n+ 1 colunas. As primeiras n colunas correspondem s n variveis.

2. Determine quais variveis so livres. Se os pivs esto nas colunas c1 < c2 < < cp, as

demais n p colunas (sem contar a ltima coluna) correspondem s variveis livres.

As colunas com pivs correspondem s variveis que se escrevem em termos das variveis livres

(podendo inclusive ser constante).

1910). Ferdinand Frobenius (1849-1917) que introduziu o conceito de posto de matriz, reapresentou o Teorema em

1905 dando crditos a Rouch e Fontene. Veja em http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Rouche.

html e em http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Printonly/Capelli.html

DM-UFSCar-yyb-yksf


Por exemplo, se a matriz ampliada de um sistema de 4 variveis x, y, z e w, dada por

A =

1 20 0 3 | 100 0 1 1 | 50 0 0 0 | 0

temos que os pivs estos nas colunas c1 = 1 e c2 = 3 de x e z, dondeos candidatos s variveis livres so as demais, y e w. Temos que x = 10 20y 3w e z = 5 w.

3. Utilizando parmetros para as variveis livres, escreva as solues de forma a evidenciar

cada parmetro.

Por exemplo, no sistema acima, utilizando parmetros y = t e w = s, temos

(x, y, z, w) = (10 20t 3s, t, 5 s, s) =

= (10, 0, 5, 0) + t(20, 1, 0, 0) + s(3, 0,1, 1), com t, s R.

Esta apresentao das solues facilita a identicao do conjunto das solues e a ligao com

o grau de liberdade, na interpretao geomtrica. Quando a soluo descrita com um parmetro,

a interpretao geomtrica do conjunto das solues de um objeto de dimenso 1, como retas no

plano ou no espao. Quando so utilizados dois parmetros na descrio das solues, temos um

plano de solues (dimenso 2).

Observamos que o comando A\B para resolver o sistema AX = B no Octave funciona bem se o

sistema for possvel e determinado. Quando p < q, o comando resulta em somente uma das solues.

importante conhecer o Teorema de Rouch-Capelli, para saber se existem outras solues alm

da apresentada pelo computador. Como obter outras solues?

1.4.3 Sistemas Lineares Homogneos

Um sistema linear homogneo se os termos independentes so todos nulos, isto , um sistema

da forma AX = 0.

Neste caso, sempre h a soluo nula (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0). Resta ver se tem somente a

soluo nula (sistema homogneo determinado) ou se existem outras solues (sistema homogneo

indeterminado). Matricialmente, a ltima coluna da matriz ampliada sendo nula, as operaes ele-

mentares sobre linhas no modicam essa situao, e por isso, muitas vezes esta coluna omitida

por economia.

Uma relao interessante entre um sistema no homogneo AX = B e o sistema homogneo as-

sociado AX = 0, que se X0 uma soluo particular do sistema no homogneo, isto , AX0 = B,

as outras solues podem ser escritas na forma X = X0 +X1, onde X1 uma soluo do sistema

homogneo.

DM-UFSCar-yyb-yksf


No exemplo (anteriormente estudado) ()

{x + y + 4z = 15

3y + 2z = 9,

o sistema homogneo associado ()

{x + y + 4z = 0

3y + 2z = 0.

Vimos que as solues de (*) so da forma

(x, y, z) = (12, 3, 0) + t(103 ,23 , 1), t R.

Observe que (12, 3, 0) uma soluo particular do sistema (*) e que

t(103 ,23 , 1), t R

so as solues do sistema homogneo (). Na verdade, em vez da soluo particular (12, 3, 0)

poderia ser qualquer outra soluo de (*).

Geometricamente, o sistema no homogneo tem como soluo a reta que passa pelo ponto

(12, 3, 0) e tem a direo da reta (isto , paralela reta) dada como soluo de sua homognea

associada, que representa uma reta pela origem. Veremos mais tarde que (103 ,23 , 1) representa o

vetor direo da reta.

No outro exemplo, cuja matriz ampliada j dada por

A =

1 20 0 3 | 100 0 1 1 | 50 0 0 0 | 0

,a matriz ampliada do sistema homogneo associado ca

A =

1 20 0 3 | 00 0 1 1 | 00 0 0 0 | 0

.Sendo as variveis x, y, z e w no sistema homogno AX = 0 acima, onde as variveis livres so y

e w, fazendo (y,w) = (1, 0), obtemos (x, y, z, w) = (20, 1, 0, 0) e, fazendo (y,w) = (0, 1), obtemos

(x, y, z, w) = (3, 0,1, 1) e as solues do sistema linear homogneo podem ser escritas na forma

t(20, 1, 0, 0) + s(3, 0,1, 0), com t, s R.

Ou seja, uma soluo geral de um sistema linear AX = B soma de uma soluo particular do

sistema, com uma soluo do sistema homogneo AX = 0.

b Exerccios 1.41. Para cada sistema abaixo:

Escreva o sistema na forma matricial AX = B, identicando A, X e B. Obtenha a matriz

ampliada A = [A|B].

Escalone a matriz ampliada pelo Mtodo da Eliminao de Gauss.

Obtenha os postos das matrizes A e A (p e q) e faa uma anlise completa do sistema com o

Teorema de Rouch-Capelli.

Quando possvel, resolver o sistema, prosseguindo com a matriz ampliada at obter a l-reduzida

(Mtodo de Gauss-Jordan). No caso de sistemas indeterminados, escreva as respostas no for-

mato (x1, . . . , xn) = (b1, . . . , bn) + 1(a11, . . . , a1n) + + r(ar1, . . . , arn), onde 1, . . . , r so

parmetros.

DM-UFSCar-yyb-yksf


Quando impossvel, resolva o sistema linear homogneo associado.

a)

x1 +2x3 +3x4 = 0

+x2 +x3 2x4 = 0

+x5 = 0

b)

3x +5y = 1

2y +z = 3

z = 1Nos tens abaixo, considere o problema em trs variveis, x, y, z:

c) 2x 3y + 4z = 1 d) x+ 2y = 0 e) y = 0 f)

x = 1z = 32. Resolva os sistemas reduzindo forma escada l-reduzida e conra os resultados com o Teo-

rema de Rouch-Capelli. Faa o escalonamento passo a passo.

a)

x1 +3x2 +2x3 +3x4 7x5 = 14

2x1 +6x2 +x3 2x4 +5x5 = 2

x1 +3x2 x3 +x5 = 1

b)

x1 +x2 +x3 +x4 = 0

x1 +x2 +x3 x4 = 4

x1 +x2 x3 +x4 = 4

x1 x2 +x3 +x4 = 2

c)

{x +y +z = 4

2x +5y 2z = 3

d)

3x +5y = 1

2x +z = 3

5x +y z = 0

e)

2x 5y = 0

x +y = 0

2x +y = 0

Resp: a) (2915,0,1415,175

,0)+1(3,1,0,0,0)+2(8

15

,0,715,115

,1) , e) (0,0)

b) (1,1,2,2) , c) (173

,53

,0)+1(7

3

,43,1) , d) (716,116

,178

)

3. Dado o sistema 1 2 0 1

1 0 2 1

1 2 2 1

3 4 4 3

x

y

z

w

=2

2

4

8

a) Mostre que (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) soluo.

b) Agora resolva efetivamente o sistema.

c) Resolva tambm o sistema homogneo associado.

d) Verique que toda soluo obtida em (b) soma de uma soluo encontrada em (c) com a

soluo de (a).

4. Para que valores de , o sistema

x+ y = 0x+ (2 + 1)y = 0 tem(a) uma nica soluo? (b) innitas solues? (c) nenhuma soluo?

Resp: Infinitassoluessefor1ou2,soluonicacasocontrrio .

5. Construa exemplos de sistemas com trs variveis x, y e z, a m equaes, com posto da matriz

dos coecientes p, para cada caso abaixo. Se no existir, justique.

DM-UFSCar-yyb-yksf


a) m = 1 e impossvel. b) m = 2 e grau de liberdade 2.

c) m = 2 e grau de liberdade 1. d) m = 2 e impossvel.

e) m = 2 e determinado. f) m = 3 e grau de liberdade 2.

g) m = 3 e grau de liberdade 1. h) m = 3 e soluo nica.

i) m = 3, impossvel e p = 1. j) m = 4 e grau de liberdade 3.

k) m = 3, impossvel, p = 2, duas das equaes formando sistema sem soluo.

l) m = 3, impossvel e dois a dois com innitas solues.

1.5 Inverso de matrizes por escalonamento e matrizes elementares

Uma outra aplicao do processo de Gauss-Jordan na inverso de matrizes.

Dada uma matriz A quadrada n n, podemos invert-la construindo a matriz M = [A | In]

obtida justapondo A com a matriz identidade In. Aplicando o processo de Gauss-Jordan em M , se

a matriz A for invertvel, deve-se chegar na matriz escada l-reduzida R = [In | A1].

Isto signica tambm que a matriz invertvel A na sua forma de Gauss-Jordan, reduzida

matriz identidade, o que fornece o posto mximo n e que o determinante de A no nulo. Alm

disso, as mesmas operaes que levam A em In levam In em A1. Observe que se a matriz no

invertvel, a matriz escada l-reduzida R no ter In na primeira parte.

Exemplo: Considere a matriz A =

[1 2

3 4

]. Temos que

M = [A | I2] =

[1 2 1 0

3 4 0 1

]

[1 2 1 0

0 2 3 1

]

[1 2 1 0

0 1 3/2 1/2

]

[1 0 2 1

0 1 3/2 1/2

]= R = [I2 | A

1]

e portanto, a inversa da matriz A A1 =

[2 1

3/2 1/2

]

No Octave, imediato implementar o mtodo utilizando a funo rref que efetua direta-

mente o processo de Gauss-Jordan. Veja atividade 6 em 7.2.

Podemos demonstrar a validade deste processo de inverso de matrizes, utilizando as chamadas

matrizes elementares, obtidas da matriz identidade por uma operao elementar sobre linhas.

A cada operao elementar em M corresponde uma multiplicao E M de M por uma matriz

elementar E, onde E obtida de uma matriz identidade pela operao elementar em questo.

DM-UFSCar-yyb-yksf

1.5. INVERSO DE MATRIZES POR ESCALONAMENTO 21

Por exemplo, a matriz E =

0 0 10 1 01 0 0

uma matriz elementar obtida de I3 pela operaoL1 L3, e podemos ver que multiplicando uma matriz M esquerda por E temos

E 0 0 10 1 01 0 0

M 0 2 3 34 1 5 2

1 1 7 0

=1 1 7 04 1 5 20 2 3 3

.Conra o resultado da operao elementar aplicada diretamente em M :0 2 3 34 1 5 2

1 1 7 0

L1L31 1 7 04 1 5 20 2 3 3

Analogamente, a matriz E =

1 0 00 1 05 0 1

uma matriz elementar obtida de I3 pela operaoL3 L3 + 5L1, e multiplicar uma matriz M esquerda por E1 0 00 1 0

5 0 1

1 2 3 34 1 5 25 1 7 0

=1 2 3 34 1 5 20 11 22 15

equivalente a aplicar a operao na matriz M : 1 2 3 34 1 5 2

5 1 7 0

L3L3+5L11 2 3 34 1 5 20 11 22 15

Do mesmo modo, a matriz elementar E =

1 0 00 1 00 0 x

obtida da identidade I3 multiplicando alinha 3 por x, produz numa multiplicao E M o mesmo resultado que multiplicar a linha 3 de M

por x.

Assim, dada uma matriz quadrada invertvel A, e a matriz M = [A | In], temos uma sequncia

de matrizes elementares E1, E2, . . . , Er, correspondentes s operaes elementares efetuadas para se

chegar na sua matriz escada l-reduzida R = [In | B], tal que R = Er E2 E1 [A | In]. Mostremos

que B = A1.

Primeiro, um fato da multiplicao de matrizes: pode-se provar que, se escrevemos uma matriz

M na forma M = [M1 | M2 | | Mm] ( estamos colocando | para separar blocos de matrizes,

como no caso M = [A | In]), ento, multiplicando M esquerda por U temos:

U M = [U M1 | U M2 | | U Mm].

DM-UFSCar-yyb-yksf


Assim, temos que R = [In | B] = [Er E2 E1 A | Er E2 E1 In]. Das primeiras n colunas,

conclui-se que Er E2 E1 A = In, donde Er E2 E1 = A1. Pelas n ltimas colunas, segue

que Er E2 E1 In = B. Logo, B = A1. c.q.d.

Veja a inverso da matriz A =

0 1 23 4 51 2 1

com o Octave, mostrando todos os passos doescalonamento por Gauss-Jordan na atividade 7, em 7.2. Aproveitamos tambm para obter e uti-

lizar as matrizes elementares, para ilustrar a justicativa do mtodo de inverso e a atuao das

matrizes elementares.

O mesmo exemplo, resolvido manualmente:

Passo1. Trocando linha 1 com linha 2, em M = [A|I3]:

M =

0 1 2 1 0 03 4 5 0 1 01 2 1 0 0 1

3 4 5 0 1 00 1 2 1 0 01 2 1 0 0 1

= M1

M1 =

0 1 01 0 00 0 1

0 1 2 1 0 03 4 5 0 1 01 2 1 0 0 1

Passo 2. Transformando o primeiro piv em 1, ao multiplicar a linha 1 por 13 :

M1 =

3 4 5 0 1 00 1 2 1 0 01 2 1 0 0 1

1

43

53 0

13 0

0 1 2 1 0 0

1 2 1 0 0 1

= M2

M2 =

13 0 0

0 1 0

0 0 1

3 4 5 0 1 00 1 2 1 0 01 2 1 0 0 1

Passo 3. Zerando os elementos no nulos abaixo do primeiro piv. No caso, com a operao

L3 L3 + L1:

M2 =

143

53 0

13 0

0 1 2 1 0 0

1 2 1 0 0 1

1 4353 0

13 0

0 1 2 1 0 0

0 10383 0

13 1

= M3

M3 =

1 0 00 1 01 0 1

1

43

53 0

13 0

0 1 2 1 0 0

1 2 1 0 0 1

DM-UFSCar-yyb-yksf

1.5. INVERSO DE MATRIZES POR ESCALONAMENTO 23

Passo 4. O segundo piv j sendo 1, vamos zerar os outros elementos da coluna 2, com

L1 L1 43L2 e L3 L3

103 L2:

M3 =

1 43

53 0

13 0

0 1 2 1 0 0

0 10383 0

13 1

1 0 1 4313 0

0 1 2 1 0 0

0 10383 0

13 1

= M4

1 0 1 43

13 0

0 1 2 1 0 0

0 0 4 10313 1

= M5

M4 =

1 43 0

0 1 0

0 0 1

1 4353 0

13 0

0 1 2 1 0 0

0 10383 0

13 1

M5 =

1 0 00 1 00 103 1

1 0 1 4313 0

0 1 2 1 0 0

0 10383 0

13 1

Passo 5. Transformar o terceiro piv em 1 e anular os outros elementos da coluna, com L3 14L4,

L1 L1 + L3 e L2 L2 2L3:

M5

1 0 1 43

13 0

0 1 2 1 0 0

0 0 1 56 112

14

(exerccio)

1 0 0 12

14

14

0 1 0 2316

12

0 0 1 56 112

14

= R = [ I3 |A1 ]Qual a matriz U tal que R = U M5?

b Exerccios 1.5

1. Considere A =

3 1 5 0

0 2 0 1

2 0 1 3

1 1 2 0

.a) Encontre A1 usando escalonamento.

b) Para cada operao elementar ei efetuada, obtenha a matriz elementar Ei correspondente.

Qual o resultado de ir multiplicando esquerda por essas matrizes elementares, a partir de A

DM-UFSCar-yyb-yksf


(isto , ErEr1 . . . E1A =?) e a partir de I?

c) Para cada matriz elementar obtida, calcule o determinante.

d) Verique que o determinante :

(*) 1 para matriz elementar da operao Li Li + Lk,

(**) -1 para matriz elementar da troca de linhas Li Lj e

(***) para matriz elementar da multiplicao de linha por , Li Li.

d) Obtenha a partir das informaes acima, um mtodo para clculo de determinante.

2. Invente matrizes quadradas, e aplique o mtodo da inverso por escalonamento.

O que ocorre quando no obtemos na matriz l-reduzida, a matriz identidade na primeira

metade? Resp: Anoinvertvel .

3. Calcule o determinante de M =

2 0 13 0 24 3 7

(a) usando desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna (por que pela segunda coluna?).

(b) por escalonamento.

Inverta (se possvel) pelo escalonamento.

Observao 1: O mtodo do clculo do determinante de uma matriz A = (aij)1i, jn pelo

desenvolvimento de Laplace o seguinte:

Primeiro, escolhe-se uma linha i0 [ou uma coluna j0] de A.

Ento

det(A) =

j=1...n

ai0jAi0j

[ou det(A) =

i=1...n

aij0Aij0

],

onde Aij = (1)i+j det(A(i,j)) conhecido como cofator de aij , sendo que A(i,j) a submatriz

obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j.

Observe que se escolhermos a linha ou coluna com mais elementos nulos, menos contas temos a

fazer!

Observao 2: Outra forma de se calcular determinantes, para o caso de matrizes 33 a regra

de Sarrus, muito utilizada pelos alunos.

~ O problema sua utilizao indevida para matrizes maiores. No vale generalizar!

capitulo1

Documents