201

Capítulo VII Dispositivos Acústico-Ópticos

7.1 INTRODUÇÃO

Qualquer meio físico (sólido, líquido ou gasoso), quando submetido à ação de uma

distribuição de tensão mecânica tem sua permissividade elétrica alterada. Este efeito é

denominado de efeito elastoóptico ou acústico-óptico. Ao contrário do efeito eletroóptico, este

fenômeno aplica-se indistintamente a meios materiais independentemente da classe de simetria,

anisotropia, etc. [1].

Brillouin (1922) mostrou que uma onda eletromagnética ao se propagar através de um

meio, no qual foi estabelecida uma onda elástica, podia ter parte de sua energia deslocada

angularmente. Dois experimentos independentes realizados em 1932, por Lucas e Biquard, na

França, e por Debye e Sears, nos EUA, verificaram experimentalmente a previsão de Brillouin.

Neste capítulo será realizada uma análise da interação acústico-óptica com fins de

compreender o princípio de funcionamento da célula Bragg, a qual é amplamente utilizada como

dispositivo deslocador de frequências ópticas.

7.2 A CÉLULA BRAGG

Na Fig.7.1 ilustra-se esquematicamente o fenômeno da difração acústico-óptica. Na

Fig.7.1 a), um feixe de laser incide num meio que suporta uma onda elástica que se propaga

com velocidade de fase Va (atenção: no capítulo 6, va se referia à velocidade de partículas; neste

capítulo, Va se refere à velocidade de fase, vL ou vT). Como resultado da interação com o feixe

óptico incidente, emergem dois raios ópticos: um deles, propagando-se na direção do raio

incidente, é denominado de raio não difratado, e o outro, deslocado angularmente, é denominado

202

de raio difratado. Além disso, a frequência óptica do raio difratado encontra-se deslocada

relativamente à do raio incidente, pelo valor da frequência da onda elástica.

(a)

(b)

Figura 7.1 Difração acústico-óptica. a) Raios incidente, difratado e não difratado. b) Detalhe do transdutor piezoelétrico e da coluna acústica.

Na Fig. 7.1 b), ilustra-se o transdutor piezelétrico estudado no Capítulo 6, colado num

substrato volumétrico. Na frequência de ressonância, as ondas elásticas geradas por esse

transdutor são fortemente acopladas ao material, propagando-se ao longo de sua extensão. Na

outra extremidade do dispositivo, uma carga acústica casada deve ser prevista, a fim de evitar

que ocorram reflexões de ondas elásticas e formação de onda estacionária. No caso desta figura,

obtém-se este efeito fazendo-se um ‘chanfro’ na terminação.

O dispositivo originado a partir da Fig.7.1 é denominado de célula acústico-óptica ou

célula Bragg. Em geral, a impedância da fonte de alimentação de RF é igual a 50 Ω. Entretanto,

como foi visto no capítulo anterior, a impedância de entrada da célula Bragg pode ter uma parte

reativa: )()()/(1 0 ωωω aaa jXRCjZ ++= , onde ω é a frequência do sinal de RF [2]. A fim de

que haja uma máxima transferência de potência para a célula, isto é, uma máxima eficiência de

conversão de potência elétrica em potência acústica, torna-se interessante recorrer a uma rede de

casamento de impedâncias. Como, na frequência de ressonância do transdutor, a reatância é

predominantemente capacitiva, basta utilizar uma reatância indutiva, XjZ m += , tal que

0/1 0 =−+ CXX a ω , para efetuar esse casamento de impedâncias. Com isso, proporciona-se um

bom acoplamento de potência para a célula (eficiência ηT , em (6.67), elevada). Neste capítulo, a

menos que se diga o contrário, assume-se que a potência de RF entregue pelo gerador é igual à

potência acústica acoplada. Na Fig.7.2 ilustram-se exemplos de células Bragg, onde se evidencia

as bobinas usadas para casar as impedâncias.

203

(a)

(b)

Figura 7.2- Exemplos de células Bragg. Observa-se a pequena bobina usada para casar as impedâncias de entrada da célula e o gerador de RF.

7.3 O EFEITO FOTOELÁSTICO

O efeito fotoelástico em um meio material relaciona o strain mecânico à variação da

impermeabilidade, e daí, ao índice de refração, segundo a relação tensorial [3]

kijkij Sp=Δη (7.1)

onde ijkp é o tensor elasto-óptico e ijijij n )/1(/1 2== εη é a impermeabilidade óptica relativa. O

tensor pijkl é de quarta ordem e, portanto, tem 34 = 81 elementos.

Conforme foi dito, o efeito acústico-óptico ocorre em todos os estados da matéria, não

importando a classe de simetria cristalina ou anisotropia. O elipsoide de índice de refração, na

presença de um campo de strain, passa a ser:

( ) 1)( =+=Δ+ jikijkijjiijij xxSpxx ηηη (7.2)

Tanto ijη quanto kS são simétricos e, portanto, tanto os índices ( ji, ) quanto ( ,k ) podem ser

permutados. Com isso, ocorre kjiijk pp = , e o número de elementos distintos de pijk reduz-se

para 36. No texto a seguir, as representações x1 = X, x2 = Y e x3 = Z serão empregadas

indistintamente.

Para materiais, dielétrica e acusticamente isotrópicos, a matriz dos coeficientes elasto-

ópticos, em notação de índices reduzidos, é dada por

204

=

000

12

12

11

ppp

pij

000

12

11`

12

ppp

000

11

12

12

ppp

00

000

44p

0

0000

44p

44

00000

p

(7.3)

onde

21211

44ppp −= (7.4)

Matrizes de coeficientes elasto-ópticos para as várias classes de simetria cristalina são

apresentadas no livro de Yariv & Yeh (1984), bem como, os valores numéricos desses

coeficientes para diferentes materiais [1]. A título de ilustração apresenta-se, na Tabela 7.1,

alguns valores para materiais isotrópicos.

Tabela 7.1 – Exemplos de coeficientes elasto-óptico para meios isotrópicos

Substrato λ0 (μm) p11 p12 Sílica fundida 0,6328 0,121 0,270 Água 0,6328 ± 0,31 ± 0,31 Lucite 0,6328 ± 0,30 ± 0,28 Vidro As2S3 1,15 0,308 0,299

A fim de exemplificar o efeito elasto-óptico, considere-se uma onda elástica longitudinal

da forma

( ) ( ) ZtZuZtZuZZKtUtZu aˆ),(ˆ),(ˆcos, 30 ==−Ω= (7.5)

propagando-se num meio isotrópico, sendo U0 a amplitude, Ω a frequência e Ka a constante de

fase da onda acústica. Logo, a única componente de strain não nula será S3, com valor

( ) ( )ZKtSZKtUKxuS aaa −Ω≡−Ω=

∂∂= sensen0

3

33 (7.6)

onde S=KaU0 é a amplitude do strain. Neste caso, fazendo-se k= =3 em (7.1), obtém-se

312331333331111 SpSpSp ===Δη ( )ZKtSp a−Ω= sen12 (7.7 a)

1131232333223322 ηη Δ====Δ SpSpSp (7.7 b)

( )ZKtSpSpSpSpSp a−Ω=====Δ sen1131131133333333333η (7.7 c)

205

quando i=j. Note-se que, quando ji ≠ , ocorre 0=Δ ijη , pois p43 = p53 = p63 =0.

O elipsoide de índices de refração (7.2), perturbado pela onda elástica, será:

( ) ( ) ( ) 1233333

222222

211111 =Δ++Δ++Δ+ xxx ηηηηηη (7.8)

onde 2332211 /1 n=== ηηη , para meio isotrópico com índice de refração n. Ou seja,

( ) ( ) ( ) 1sen1sen1sen1112

2122

2122

2 =

−Ω++

−Ω++

−Ω+ ZKtSp

nZZKtSp

nYZKtSp

nX aaa

(7.9)

revelando que não ocorre rotação de eixos e que o meio passa a ser anisotrópico uniaxial. Os

novos índices de refração serão:

( )ZKtSpnnnn aYX −Ω−≅= sen21

123 (7.10 a)

( )ZKtSpnnn aZ −Ω−≅ sen21 11

3 (7.10 b)

Assim, uma onda óptica polarizada segundo X (por exemplo) percebe um meio com

distribuição de índices de refração nX, a qual é variável no tempo e no espaço, conforme (7.10

a), da forma esquematizada na Fig.7.3.

(a)

(b)

Figura 7.3 – Variação de índices de refração estabelecida na célula Bragg.

Portanto, o meio torna-se periódico, de forma semelhante a uma grade de difração com

período espacial

aΛ =a

a

aaa fV

VK==

/22

ωππ (7.11)

sendo Ka o fator de fase, Va a velocidade de fase e fa a frequência acústica.

Uma vez que a velocidade da onda elástica (da ordem de 103 m/s) é cerca de 5 ordens de

grandeza menor que o da luz, a perturbação periódica causada pela onda elástica é

essencialmente estacionária (sob o ponto de vista do raio óptico).

206

7.4 FORMALISMO ONDA - PARTÍCULA

A característica de difração acústico-óptica pode ser estudada utilizando-se da natureza

onda-partícula da luz e do som. Neste modelo, um feixe de luz com um vetor de propagação K

e

frequência ω , pode ser considerado como um feixe de partículas (fótons) com momentum K e

energia ω , onde

sJxh ,2

10626076,62

34

ππ

−

== (7.12)

sendo h a constante de Planck. De forma similar, a onda acústica é interpretada como um trem

de partículas (fónons) com momentum aK e energia Ω , onde Ω é a frequência acústica.

Além disso, a difração acústico-óptica da luz pode ser interpretada como a soma de

colisões simples, envolvendo as aniquilações de um fóton incidente, com frequência ω, e de um

fónon, com frequência Ω, e a excitação simultânea de um novo fóton na frequência ω′ , que se

propaga na direção do feixe difratado. Na Fig.7.4 ilustra-se este mecanismo.

BUM

Ω ,K a

ω

,K

','K ω

Figura 7.4 - Colisão entre um fóton e um fónon incidentes produzindo um fóton difratado.

Este fenômeno é caracterizado por invariâncias devido as seguintes propriedades físicas: a) Conservação do Momentum

( ) 'KKK a

=+ (7.13)

b) Conservação de Energia

( ) 'ωω =+Ω (7.14)

Portanto, obtém-se

Ω+=+=

ωω '' aKKK

(7.15)

Isto significa que a direção do feixe difratado é estabelecida a partir dos vetores de onda

do feixe óptico incidente e da onda elástica. As direções dos raios de luz mostrados na Figura 7.5

207

refletem este resultado.

Figura 7.5 – Difração acústico-óptica para feixe óptico e onda elástica contra-propagantes.

Outro resultado de extrema importância, é que o feixe difratado sofre deslocamento de

frequência óptica, no valor da frequência da onda elástica. Em última análise, o feixe difratado

tem sua frequência deslocada pelo valor aplicado pelo gerador de RF.

Se a direção da onda elástica for invertida, o processo é equivalente à geração de um

fóton (difratado) e um fónon, a partir do fóton incidente, o qual é aniquilado. Na Fig.7.6 ilustra-se

este fenômeno. Neste caso, os princípios de conservação de momentum e energia estabelecem

que

'KKK a

+= (7.16 a)

'ωω +Ω= (7.16 b)

ou seja

Ω−ω=ω−=

'KK'K a

(7.17)

BUM

K

'K

'K

aK

aK ω

,K

',' ωK

Ω ,Ka

Figura 7.6 – Reação de aniquilação para direção do fónon invertida

Ao contrário do caso anterior, a frequência óptica do feixe difratado é menor que a do

feixe incidente. Estes resultados foram usados para obter o diagrama da Fig.7.7.

208

Figura 7.7 – Difração acústico-óptica para feixe óptico e onda elástica co-propagantes

O princípio de conservação de momentum implica em que a deflexão do feixe difratado

ocorra num ângulo muito bem definido. No caso de meio dieletricamente isotrópico, os ângulos

que os feixes incidente e difratado formam com a frente de onda acústica são iguais, e, não

ocorre mudanças na polarização.

Para o caso no qual a onda óptica incidente vai de encontro à onda elástica (interação

contra-propagante), tem-se o diagrama da Fig.7.8:

K

'K

aK

θθ

Figura 7.8 – Vetores de onda para o modo óptico e acústico na condição de casamento de fases

Como se sabe, os vetores de onda K

e 'K

têm módulos

cn

cnfnK

o

ωπλπ === 22 (7.18 a)

'K nc

ω + Ω =

(7.18 b)

Além disso, como πω 2/ ∼ Hz1013 e πΩ 2/ ∼ Hz103 , pode-se estabelecer que 'ω<<Ω e, com

isso, 'KK ≅ . A partir da Fig.7.8 pode-se verificar que

θsen2KKa = (7.19)

e, portanto,

209

θsen2

' aKKK ≅≅ (7.20)

Dados os parâmetros do feixe óptico incidente ( ω,K

) e da onda elástica ( Ω,aK

), o

ângulo θ , para o qual ocorre casamento de fase é denominado de ângulo de Bragg. Nota-se que,

para meios isotrópicos,

senK

Ka

2=θ <<1 (7.21)

e, consequentemente θ é muito pequeno, tipicamente de ordem de 3 graus ou menos. Por outro

lado, com materiais anisotrópicos ( por exemplo, o 2TeO telurite= ) é possível obter ângulos de

deflexão tão grandes como 30°, e daí, a importância de estudar a propagação em tais meios.

7.5 INTERAÇÃO ANISOTRÓPICA

Os princípios de conservação de energia e de momentum, na interação entre fótons e

fónons, também podem ser aplicados nos casos de meios dieletricamente anisotrópicos,

conforme esquematizado na Fig.7.9 [4]. Como se observa, se o raio incidente for o raio

ordinário, existem duas possibilidades de difração acústico-óptica, gerando-se raios difratados

ordinário, mostrado na Fig.7.9 a), ou extraordinário, mostrado na Fig.7.9 b). O raio incidente

observa um índice de refração n1, enquanto que o difratado observa n2. Nos triângulos de

momentum, tem-se os vetores de onda 011 /2 λπ nk = e 022 /2 λπ nk = para os raios ópticos

incidente e difratado, respectivamente, e aaK Λ= /2π para a onda acústica.

x

z

0θ1

1k

2k

aK

θ2

(a)

x

z

0θ1

1k

2k aK

θ2

(b)

Figura 7.9 – Difração anisotrópica. a) Raio difratado ordinário. b) Raio difratado extraordinário.

210

Conclui-se, assim, que a interação anisotrópica permite a conversão de polarização, uma

vez que ocorre acoplamento de energia para o raio extraordinário, a partir do ordinário. Com o

auxílio da Fig.7.9 conclui-se que (para ambos os casos):

=+=

2211

2211

coscos θθθθ

kksenksenkK a (7.22)

a partir das quais é possível obter as seguintes equações para os ângulos de incidência e difração:

−Λ−

Λ= )(

21 2

122

0

0

11 nn

nsen a

a λλθ (7.23 a)

−Λ−

Λ= )(

21 2

122

0

0

22 nn

nsen a

a λλθ (7.23 b)

onde n2 pode corresponder ao modo ordinário ou extraordinário (dependendo se o caso

corresponde a Fig. 7.9a ou Fig. 7.9b), de acordo com da magnitude do vetor de onda acústico.

Além disso, demonstra-se que a condição Bragg somente será possível se

12012 )/( nnnn a +≤Λ≤− λ . (7.24)

pois, fora deste intervalo, senθ1 e senθ2 tornam-se maiores que a unidade, impossibilitando que a

difração ocorra.

Quando o triângulo de momentum não se fecha, diz-se que existe um descasamento de

fase na interação, como mostrado na Fig.7.10.

(a)

1k

2kaK

θ1

θ2

αΔ

a1 Kk +

0A

B

(b)

Figura 7.10 – Descasamento de fase. a) Vista no elipsoide de índices. b) Vista em detalhe.

211

Isto pode acontecer porque a célula encontra-se angularmente fora da condição Bragg ou,

porque se encontra fora da frequência de ressonância [5]. Neste texto, supõe-se que o

descasamento de fase aconteça na direção x, com valor αΔ . Considera-se, contudo, que a

condição Ω±= 12 ωω seja satisfeita, uma vez que a energia sempre se conserva [1].

Por inspeção do triângulo OAB na Fig. 7.10 b), verifica-se que

222

222

2

1 )()cos( θαθ senkkKk a +Δ−=+

(7.24)

e, como normalmente 2k<<Δα , algumas considerações simplificadoras são possíveis,

possibilitando demonstrar que

22

22

2

1

cos2 θα

k

kKk a −+−≅Δ

(7.25)

Os ângulos θ1 e θ2 normalmente são pequenos, principalmente se a coluna acústica for

estreita. Na Fig.7.11 ilustra-se esta situação.

ondaacústica

não-difratado

difratado

incidente

x

z

L (a)

1k

2k

α1

α2

β1

β2

θ1

θ2

(b)

Figura 7.11 – Interação com coluna estreita. a) Vista superior. b) Diagrama de fasores.

Na próximas seções, tornar-se-á importante definir 1k

e 2k

em termos das seguintes

componentes, mostrada na Fig. 7.11 b):

zxk ˆˆ 111 βα +=

(7.26 a) zxk ˆˆ 222 βα +=

(7.26 b)

Contudo, como θ1 e θ2 são pequenos, k1 ≈ α1 e k2 ≈ α2. Com isso,

212

1111 / pvk ωα =≅

(7.27 a)

2222 / pvk ωα =≅

(7.27 b)

onde ω1 e ω1 são as frequências, e, vp1 e vp2 são as velocidades dos modos ópticos incidente e

difratado, respectivamente.

Conforme foi observado na seção 7.3, um meio dieletricamente isotrópico pode tornar-se

anisotrópico na presença de uma onda acústica. Neste caso, o meio também deixa de ser

homogêneo, porque a permissividade varia senoidalmente ao longo da coluna acústica. Com

certeza, a solução da propagação de uma onda eletromagnética neste meio não é trivial. Contudo,

recorrendo-se à teoria de modos acoplados, pode-se obter uma solução para o campo

eletromagnético propagando-se no meio perturbado pela onda acústica, a partir das soluções

obtidas para o caso não perturbado. Nas seções seguintes, estuda-se um modelo geral de

interação acústico-óptica que permite obter não só as características cinemáticas, mas também,

as característica dinâmicas, como as amplitudes dos campos, relações de potência, etc. Antes,

porém, algumas relações de ortogonalidade precisam ser deduzidas.

7.6 RELAÇÕES DE ORTOGONALIDADE

Considere-se, inicialmente, uma onda eletromagnética plana propagando-se num meio

linear, homogêneo, sem perdas, sem cargas livres e sem correntes de condução. Conforme visto

em capítulos anteriores, as equações de onda para este problema são:

0):(2

2

002 =

∂∂−∇

tee r εεμ (7.28 a)

0)(: 2

2

002 =

∂∂−∇

thh r

εεμ (7.28 b)

onde a notação ( : ) implica em multiplicação por um tensor. As seguintes expressões são

soluções desse problema:

)](exp[)(),( rktjrEtre mmmm

•−= ω (7.29 a)

)](exp[)(),( rktjrHtrh mmmm

•−= ω (7.29 b)

onde m é um índice de modos (incidente ou difratado), m=1 ou 2.

213

Percebe-se que é mais conveniente se trabalhar com grandezas fasoriais, em vez de

grandezas instantâneas. Para isto, é interessante observar que **mmmm HEhe ×=× . Assim, por

exemplo, a fim de simplificar o desenvolvimento matemático, verifica-se que é interessante

efetuar uma normalização dos campos, de forma que cada modo apresente um fluxo de potência

de 1 W/m2. Por isso, se mE

e mH

corresponderem à ondas planas e uniformes propagando-se na

direção x, impõe-se a seguinte condição [1]:

2* W/m121 =× dydzHE mm

(7.30)

Pode-se mostra-se facilmente que (ver Capítulo 2):

×=× mmm EHE

*

×

m

mExη

*

ˆ

(7.31)

onde ηm corresponde a impedância intrínseca do meio, dada por (2.59), ou seja:

rpm

m

m

m

m

mm vK εε

μω

ωμα

ωμωμη0

0000

/==≅= (7.32)

com mmK α≅ , devido a (7.27a-b). Desenvolvendo o duplo produto vetorial, (7.31) torna-se

=× *mm HE

)ˆ(ˆ**

xEEEEx mm

m

m

mm •• −

ηη

(7.33)

Combinado-se (7.32) com (7.33), e lembrando-se que mE

e x são ortogonais, verifica-se que

=× *mm HE

xE

mm

m ˆ/0

2

αωμ

(7.34)

a qual, com o auxílio da relação de normalização (7.30), permite concluir que

mm

mm pE ˆ2 0

αωμ=

(7.35)

onde mp é um vetor unitário na direção do campo elétrico. Esta relação será utilizada adiante.

214

A relação (7.30) somente é válida para campos elétrico e magnético associados a um

mesmo modo, m. No caso onde mE

e nH

, para m≠ n, referem-se a modos distintos (por

exemplo, modos incidente e difratado), a relação de normalização geral torna-se

≠=

==× •nmnm

dydzxHE mnnm ,0,1

ˆ)(21 * δ

(7.36)

que corresponde ao conhecido teorema de reciprocidade de Lorentz [6]. Esta relação estabelece o

princípio de ortogonalidade entre modos, ou seja, modos próprios de uma estrutura, com ordens

distintas, não trocam energia entre si (a não ser que uma perturbação seja aplicada ao sistema).

No Capítulo 2, mostrou-se que )/ˆ nnn ExH η

(×= , e assim, deduz-se que

=× *nm HE

xEEn

nm ˆ*

η

• (7.37)

Então, a substituição de (7.37) em (7.36) permite obter

mnn

mnm EE δ

αμω 0* 2=•

(7.38)

a qual também será empregada adiante.

7.7 PROPRIEDADES DINÂMICAS DA INTERAÇÃO ACÚSTICO-ÓPTICA

Seja ),(1 tre um modo óptico que é acoplado à célula Bragg, na presença de uma

perturbação dielétrica ),,( zyxεΔ , tal que

)](exp[)(),( 1111 rktjrEtre •−= ω (7.39)

Sabe-se, do eletromagnetismo, que este modo, na presença de uma dada perturbação, pode dar

origem a um vetor polarização induzida dada por [3]

),(),,( 1 trezyxp εΔ=Δ (7.40)

que atua como uma fonte de alimentação distribuída, e que fornece energia para estabelecer um

outro modo próprio da estrutura, ),(2 tre :

215

)](exp[)(),( 2222 rktjrEtre •−= ω (7.41)

Diz-se, neste caso, que a perturbação dielétrica ),,( zyxεΔ acopla os modos ),(1 tre e ),(2 tre .

A permissividade dielétrica do meio perturbado pode ser obtida a partir dos dois

primeiros termos da série de Taylor para ε (z,t) (atenção: agora, a propagação é na direção z):

...),(),( +Δ+= tztz εεε (7.42)

onde ε é a permissividade não perturbada, independente da onda acústica, e ),( tzεΔ é uma

distribuição periódica associada à onda acústica propagando-se na direção z.

Por outro lado, a equação de onda para o meio perturbado pela coluna acústica, deve ser

0:)],([2

2

02 =Δ+

∂∂−∇ etzt

e εεμ (7.43)

ou

0:),(:),(:: 2

2

2

2

2

2

02

2

02 =

∂Δ∂+

∂∂Δ+

∂∂−

∂∂−∇ e

ttz

tetze

ttee εμεμεμεμ (7.44)

Como ε é estático no tempo, tem-se que 0/ 22 =∂∂ tε , e, como Ω<<ω, percebe-se que 22 / t∂Δ∂ ε

varia lentamente em relação à taxa de variação de )(te . Com isso, as terceira e quinta parcelas de

(7.44) podem ser desconsideradas. Além disso, usando-se a notação fasorial, conclui-se que

(7.44) conduz a

0:),(: 20

20

2 =Δ++∇ EtzEE

εωμεωμ (7.45)

A solução de (7.45) corresponderá ao modo difratado na saída da célula Bragg.

Não existe solução analítica exata para (7.45), contudo, uma técnica que conduz a

resultados bastante precisos corresponde à chamada teoria de modos acoplados. Neste método,

assume-se a hipótese que a solução global de (7.45), E

, é dada pela superposição dos modos não

perturbados ),(1 tre e ),(2 tre , com coeficientes A1 e A2, respectivamente . Contudo, esses

coeficientes não são constantes, mas variam com a dimensão transversal x, uma aproximação

válida para célula Bragg com coluna acústica estreita [1]. Ou seja,

)](exp[)()](exp[)( 22221111 rktjExArktjExAE •• −+−= ωω (7.46)

onde zxrk 111 βα +=•

e zxrk 222 βα +=•

.

216

Escrevendo-se a superposição (7.46) como

)](exp[ zxtjEAE mmmmm βαω −−=

(7.47)

para m=1 e 2, substituindo-a em (7.45) e procedendo-se a algumas manipulações algébricas,

obtém-se

0)](exp[:2 02

2

2

=−−

Δ+∂

∂+∂

∂− zxtjEAxA

xAj mmmmmm

mmm βαωεμωα

(7.48)

Assumindo-se que a perturbação dielétrica é fraca, tal que as amplitudes dos modos

variam lentamente com x, aplica-se a aproximação parabólica abaixo:

dxdA

dxAd m

mm α22

2

<< (7.49)

a qual faz com que (7.48) torne-se

)](exp[:),()](exp[.2 20 zxtjEtzAzxtjE

xAj

mmmmm

mm

βαωεωμβαωα −−Δ−=

−−

∂∂−

(7.50)

para m, = 1,2.

Recorrendo-se ao resultado da seção 7.3, verifica-se que é possível escrever ),( tzεΔ

como:

)]}(exp[)]({exp[)cos(2),( 11 zKtjzKtjzKttz aaa −Ω−+−Ω=−Ω=Δ εεε (7.51)

sendo ε1 um fator de amplitude. Assim, substituindo-se (7.51) em (7.50) e multiplicando o

resultado escalarmente por )](exp[ 111*1 zxtjE βαω −−−

, obtém-se

21*1

222011

*11

210

2*1

22

*11

11

:]})(exp[])(exp[])(exp[])({exp[

).exp(:)cos(2

)].(exp[22

EEzKjtjzKjtj

xjAEEKztA

zxjEEdx

dAjEEdxdAj

aa

εβωβωαωμεωμ

βαωαα

•

•

••

+ΔΩ+Δ−+−ΔΩ−Δ−

Δ−−Ω−=

Δ−Δ−Δ−−−

(7.52)

onde 21 ααα −=Δ (7.53 a)

217

21 βββ −=Δ (7.53 b)

21 ωωω −=Δ (7.53 c)

Integrando-se (7.52) em relação à z e t, para 0<z<Λa e 0<t<T, respectivamente, onde T é o

período da onda acústica, e recorrendo-se a (7.35) e (7.38), obtém-se

]exp[2121 xjAj

dxdA ακ Δ−= (7.54)

no qual aproximou-se as frequências ω1 ≈ ω2 =ω, e onde

21*1

21

02

12 :2

pp εαα

μωκ •= (7.55)

é chamado de fator de acoplamento da interação acústico-óptica. Aconselha-se o leitor a

verificar, como exercício, este último resultado. Por outro lado, substituindo-se (7.51) em (7.50),

multiplicando o resultado escalarmente por )](exp[ 222*2 zxtjE βαω −−−

, e procedendo de forma

análoga à dedução acima, obtém-se

]exp[1212 xjAj

dxdA ακ Δ−= (7.56)

onde *1221 κκ = .

As expressões (7.55) e (7.56) formam um sistema de equações diferenciais acopladas, nas

variáveis A1 e A2. Sua solução é clássica, e depende de condições iniciais para A1 e A2. Um caso

de grande interesse prático, corresponde àquele onde a energia incidente está totalmente no raio

incidente, isto é, no qual A2(x=0) = 0 e A1(x=0) ≠ 0. Com isso, obtém-se

Δ−

Δ= )(sen)cos()0(

2exp)( 11 sx

sjsxAxjxA αα (7.57 a)

)(sen)0(2

exp)(*12

12 sxs

AxjjxA κα

Δ−−= (7.57 b)

onde 12κκ = , e

2

22

2

Δ+= ακs (7.58)

Define-se como eficiência de difração a relação entre as intensidades ópticas dos raios

difratado e incidente, ou seja

218

2

1

2

)0()(

ALA

II

i

d = (7.59)

na qual, recorrendo-se a (7.57 a) e (7.57 b), obtém-se

222

222

2

2

)2/(sinc)2/(

)2/(sensen L

LL

sLsI

I

i

d αδδαδ

αδδκ Δ+=Δ+

Δ+== (7.60)

onde 2)( Lκδ = e sinc(x) = sen(x)/x.

7.7.1 Coeficiente de acoplamento

Se [εr] e [ηr] são as matrizes de permissividade e impermeabilidade dielétricas relativas

de um meio não perturbado, respectivamente, e [εr´] e [ηr´] referem-se às matrizes no meio

perturbado, então

][][][ Irr =ηε (7.61 a)

][´][´][ Irr =ηε (7.61 b)

onde [I] é a matriz identidade. Se, no entanto, o meio for submetido a algum tipo de perturbação

como, por exemplo, uma onda acústica, pode-se escrever que as novas matrizes serão

][][´][ rrr ηηη Δ+= (7.62 a)

e

][][´][ rrr εεε Δ+= (7.62 b)

Pós-multiplicando (7.62 b) por ][][ rr ηη Δ+ e usando (7.61 b), obtém-se

][][][][][][][][][ Irrrrrrrr =ΔΔ+Δ+Δ+ ηεηεηεηε (7.63)

Em seguida, pós-multiplicando (7.63) por ][0 rεε e simplificando, mostra-se que

0

][][][][ε

εηεε rΔ−=Δ (7.64)

onde [ε] e [Δε] são grandezas absolutas. Esta relação será muito útil adiante.

219

Considere-se, novamente, o coeficiente de acoplamento dado por (7.55). A seguir,

investiga-se o fator abaixo, dado na forma matricial

121121*1 ][][][

21:

pppp ii εε Δ=• (7.65)

para i, = 1,2 e 3. Na forma tensorial, (7.65) torna-se

)()(

21: 2121

*1 pppp ii εε Δ=• (7.66)

para i, = 1,2 e 3, tal que

≠=

==•kiki

ikjkij

,0,1

0

δηεε

(7.67)

sendo ηij a impermeabilidade relativa.

Considerando-se o diferencial de (7.67), aproximando-se ijijd εε Δ≅ e ijijd ηη Δ≅ , e pós-

multiplicando o resultado por 0/εε k , obtém-se

00 εεε

εεηε

ε kmnjkmnijkjkijij

Sp−=

Δ−=Δ (7.68)

onde foi utilizada a relação (7.1).

Com isso, substituindo-se (7.68) em (7.66), conclui-se que

0

2121

*1 2

)()(:

εεε

ε pSpppp kmnjkmniji−=• (7.69)

Considere-se, agora, o caso onde a onda acústica sempre é excitada com polarização

paralela a um dos eixos do versor ),,(ˆ 321 aaaa = , e cujo vetor deslocamento de partículas é dado

por

arbKtUu a ˆ].ˆcos[0

•−Ω= (7.70)

220

onde ),,(ˆ321 bbbb = é um versor que aponta na direção do vetor de onda acústico aK

. Nesta

hipótese, quando um≠0 ocorre un=0, e, quando un≠0 ocorre um=0, para m≠n. Então, pode-se

empregar a seguinte relação simplificada para o strain, independentemente de a onda ser

longitudinal ou transversal:

n

mmmn

n

mmn x

uSSxuS

∂∂==

∂∂= γ (7.71)

onde γ =1 para m=n e γ=1/2 para m≠n., e, sendo S1= S11, S2= S22, S3= S33, S4= 2S23, S5= 2S13,

S6= 2S12. Com isso, a matriz de strain para um deslocamento de partículas (7.70) será

[ ] arbKtbUKbUKbUK

S aa

a

a

mn ˆ].ˆˆ[sen30

20

10

•−Ω

=

(7.72)

Assim, definindo-se

mnmn abSS )(= (7.73 a) onde

0UKS a= (7.73 b)

e observando-se que 20111 )()()( iiiiiiji nppp εεε == e 2

0222 )()()( nppp k εεε == , em

termos de índices de refração para os feixes incidente e refratado, respectivamente, nota-se que

(7.69) converte-se em

2)()()(

:222

2110

21*1

knmjkmnj npbSapnppp

εε −=•

(7.74)

Definindo-se, também, o fator de coeficiente elasto-óptico efetivo como

knmjkmnj pbappp )()( 21= (7.75)

então, (7.74) e (7.75) fazem com que o fator de acoplamento (7.55) torne-se

22

21

21

002

12 4nnSp

ααεμωκ = (7.76)

Da Fig. 7.11, observa-se ainda que

221

2121

212121 coscoscoscos θθωωθθααcn

cnkk == (7.77)

então

21

32

31

2

20

22

coscos4 θθλπκ nnSp= (7.78)

uma forma mais apropriada para cálculos.

7.7.2 Interação acútico-óptica em meios isotrópicos

Como se sabe, o lugar geométrico dos vetores de onda ópticos, para um meio dielétrico

isotrópico, é uma esfera. Assim, a interação acústico-óptica é tal qual mostrada na Fig. 7.12. Na

situação de casamento de fase, Δα=0, ocorre kkk == 21

e θθθ == 21 . Além disso, s = κ em

(7.58) e β1 = β2 = k1 senθ = Ka /2, isto é, asen Λ= 2/0λθ .

raioincidente

raiodifratado

raio não-difratado

xz

1k

2k

aK

z1β

z2β−

θθ

Figura 7.12 – Interação acústico-óptica isotrópica.

Com isso, (7.57 a) e (7.57 b) tornam-se

−=

=

)(sen)0()(

)cos()0()(

1

*12

2

11

xAjxA

xAxA

κκ

κκ

(7.79)

o que permite concluir que

21

22

21 )0()()( AxAxA =+ (7.80)

222

Este resultado é extremamente importante, pois valida o modelo aqui proposto, uma vez

que estabelece que a energia se conserva. Na Fig.7.13 apresenta-se o comportamento de 2

1 )(xA

e 2

2 )(xA em função de κ x. Como se observa na figura, em κ x = κ L = π/2, a potência incidente

é totalmente transferida para o feixe difratado.

Figura 7.13 – Acoplamento reversível de energia ao longo de x.

Recorrendo-se a resultados obtidos no Capítulo 6, para o transdutor piezoelétrico com

área (H L), tem-se

HLvPS

a

a3

2 2ρ

= (7.81)

sendo va a velocidade de partículas, e, substituindo-a em (7.78), obtém-se

LHPM a

Bθλπκ 22

0

22

cos2= (7.82)

Por sua vez, substituindo-se (7.82) em (7.60), finalmente chega-se a

21

22

3

6

2

22

cos1

2sen

=θρλ

πaef

aoin

d PHLp

vn

II (7.83)

Costuma-se denominar de fator do mérito da célula Bragg, o termo

3

26

a

ef

vpn

ρ=Μ (7.84)

o qual depende somente de características do material. Desta forma, como ,1cos ≅θ (7.83)

torna-se aproximadamente

223

aoin

d ILII Μ=

λπ2

sen 2 (7.85)

onde Ia é a intensidade acústica [W/m2] .

_________________________________________________________________________

Exemplo 7.1: A Fig.7.14 ilustra uma célula Bragg onde o meio acústico-óptico é a água (meio

elasticamente isotrópico). A onda elástica propaga-se na direção Z e o feixe óptico é polarizado

em Y. Determinar a eficiência de difração

Figura 7.14 – Esquema geral da interação acústico-óptica

Solução: Nas condições do problema, já foi mostrado (ver seção 7.3) que

( )ZKtSpnnn ay −Ω−= sen21

123

e, portanto, o coeficiente elasto-óptico efetivo é p12.

A água possui os seguintes parâmetros físicos (livro do Yariv) para λ0=0,6328 μm:

33,1=n , 31,012 =p , smxva3105,1= e 3/1000 mKg=ρ .

Como no caso de H2O ocorre ,124,1 2

2

≅Μ

OH

oλπ então, (7.85) torna-se

)4,1(sen2a

in

d ILII =

Apesar de não ser muito comum implementar-se células Bragg de água, ela é importante

pois constitui um padrão a partir da qual tabelas para outros tipos de materiais são

confeccionadas. O próximo exemplo ilustra esta ideia.

Exemplo 7.2: Efeito acústico-óptico em PbMoO4 (Molibdato de Chumbo)

224

Repetir o problema anterior para um meio acústico-óptica em molibdato de chumbo, sendo

λ0=0,6328 μm, W1=aP , L×H= 1 mm × 1 mm, L = 1 mm.

Solução: Para materiais diferentes do H2O, pode-se escrever

Μ= aw

in

d ILII

)μm(6328,04,1sen2

λ

onde

OH

materialw M

2

Μ=Μ

Para o PbMoO4, consulta-se o livro do Yariv para se obter 22,0≅Μw e, portanto,

%40≅in

d

II

___________________________________________________________________

7.7.3 Operação sob Baixa Eficiência de Difração

Sabe-se, da matemática, que para pequenos valores de x tem-se que:

1sensensen2 <<=≅= xxxxxx . Assim, em situações onde Id << Iin, a eficiência de

difração (7.83) torna-se

Ba

aoin

d PHLp

vn

II

θρλπ

22

3

6

2

2

cos1

2≅ (7.86)

Denominando-se o fator F como

θρλ

π2

23

6

2

2

cos1

2 HLp

vnF

ao

= (7.87)

obtém-se

ain

d PFII ≅ (7.88)

Ou seja, a eficiência de difração é proporcional a potência de RF acoplada à célula. A seguir,

serão mostrados algumas aplicações utilizando-se dispositivos com célula Bragg.

7.8 APLICAÇÕES DA CÉLULA BRAGG

225

Esta seção tem por objetivos ilustrar algumas aplicações clássicas da célula Bragg, sem

no entanto entrar em detalhes muito profundos. Para maiores informações, sugere-se que o leitor

consulte a referência [7]. Dentre estas aplicações destacam-se o modulador de intensidade óptica,

o defletor acústico-óptico, o analisador de espectro de RF e o filtro óptico sintonizável.

7.8.1 Modulador de Intensidade

O arranjo geral do modulador de intensidade óptica é ilustrado na Fig.7.18, onde o feixe

difratado é monitorado por um fotodetector de lei quadrática.

Figura 7.15 – Modulador de intensidade óptica com célula Bragg

Figura 7.16 – Modulação de intensidade óptica a partir da modulação da potência acoplada à célula.

Conforme (7.88), em regime de pequenos sinais (baixa potência), modulando-se a

potência acoplada a onda elástica Pa (a qual pode ser obtida pela modulação da potência elétrica

do gerador de RF), obtém-se controle de intensidade do feixe óptico difratado. Na Fig.7.16,

aplica-se esta ideia, para obter a modulação da luz a partir de um sinal analógico.

226

7.8.2 Defletor Acústico-Óptico

A equação (7.21) pode ser usada para implementar um defletor acústico-óptico. Na

Fig.7.17 ilustra-se seu esquema geral. A partir de (7.21), relacionando-se o ângulo de Bragg

interno, θ, com o externo, θB, através da lei de Snell, mostra-se que

a

oB Λ

=2

sen λθ (7.89)

onde aaa fV /=Λ (comprimento de onda acústico) e θB é medido no ar.

Figura 7.17 – Defletor acústico-óptico

Substituindo-se Λa em (7.89), conclui-se que

aa

oB f

V

=

2sen λθ (7.90)

ou seja, o ângulo de deflexão Bragg θB pode ser alterado através da frequência da onda elástica

fa. Para cada valor de fa associa-se um ângulo de deflexão. Desta forma, alterando-se a

frequência do gerador de RF pode-se controlar essas deflexões eletronicamente.

Um material que permite ângulos de deflexão bastante elevados, de até 300, é o TeO2,

chamado de para-telurite. Na Fig.7.18 ilustra-se um tal defletor, onde se percebe que existe um

desvio angular entre o vetor de onda aK

e a direção do feixe acústico. De fato, conforme

discutido no Capítulo 2, em meios anisotrópicos pode haver diferenças entre as direções do fluxo

de energia e do vetor aK

.

227

Figura 7.18 – Deflexão acústico-óptica em TeO2.

Na Fig.7.19 ilustram-se células Bragg dedicadas à deflexão de feixes de laser. Em

particular, na Fig.7.19 b), tem-se um arranjo para deflexão bidimensional.

(a)

(b)

Figura 7.19 – Defletores acústico-ópticos. a) Deflexão simples. b) Deflexão bidimensional.

7.8.3 Analisador de Espectro de RF

Este sistema tem a vantagem de analisar um sinal de RF com grande velocidade

beneficiando-se da característica de processamento paralelo da célula Bragg. A Fig.7.20 ilustra

seu esquema geral. De fato, se no lugar do gerador de RF houver um sinal composto por

múltiplas frequências, o qual se deseja analisar, haverá múltipla deflexão do feixe, devido à

(7.90). Utilizando-se um dispositivo CCD (Coupled-Charge Devices) para fazer a leitura das

intensidades dos feixes defletidos, realiza-se a análise espectral do sinal composto.

228

Figura 7.20 – Analisador de espectro acústico-óptico

7.8.4 Filtro Óptico Sintonizável

Atualmente existe grande interesse em se obter filtros sintonizáveis que operem nas

frequências ópticas. Por exemplo, em sistemas de comunicação por fibras ópticas, tem crescido

o emprego de técnicas de multiplexação de sinais por divisão em comprimentos de ondas ópticas

(WDM Wavelength Division Multiplexing). Neste sistema, diversos canais de informação, cada

qual operando num dado comprimento de onda, são transmitidos simultaneamente por uma única

fibra óptica. Porém, isto faz necessário que no receptor exista um mecanismo capaz de separar os

vários canais, a fim de recuperar as mensagens. Isto pode ser obtido a partir de filtros ópticos

sintonizáveis, como esquematizado na Fig.7.21.

Figura 7.21 – Filtro óptico sintonizável utilizado em sistemas WDM.

Na Fig.7.22 ilustra-se um esquema geral de filtro óptico sintonizável. Seu princípio de

funcionamento pode ser compreendido a partir da seguinte equação:

229

a

oB Λ

=2

sen λθ (7.91.)

Figura 7.22 – Filtro óptico sintonizável.

Mantendo-se o sinal de RF fixo, observa-se que o ângulo de deflexão depende do

comprimento de onda da luz, λ0. Assim, se a célula Bragg for operada com luz branca, a cada

comprimento de onda estará associado um ângulo de deflexão. Na Fig.7.22 é mostrada uma

fenda que seleciona o comprimento de onda desejado. A seleção desse comprimento de onda

pode ser obtida movendo-se a fenda, ou então, variando-se a frequência de RF, o que causará

deflexão de todos os feixes igualmente. 7.9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Yariv, A. & Yeh, P., Optical Waves in Crystals, New York, John Wiley & Sons, 1984.

[2] Rosenbaum, J.F., Bulk Acoustic Wave Theory and Devices, Artech House, 1988.

[3] Nelson, D.F., Electric, Optic, and Acoustic Interaction in Dielectrics, John Wiley & Sons,

1979.

[4] Dixon, R.W., Acoustic Diffraction of Ligth in Anisotropic Media, IEEE J. Quantum

Electronics, vol.QE-3, pp.85-93, 1967.

[5] Chang, I.C., Acoustooptic Devices and Application, IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics,

vol.SU-23, pp.2-22, 1976.

[6] Collin, R.E., Foundations for Microwave Engineering, 2nd. Edition, McGraw-Hill, 1992,

924p.

[7] Berg, N.J. & Lee, J.N., Acousto-Optic Signal Processing – Theory and Implementation,

Marcel Dekker, 1983.