CAPÍTULO III

TORÇÃO – PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS TORÇÃO - PEÇAS DE SEÇÃO VAZADA DE PAREDES FINAS A- TORÇÃO – PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS Vimos até aqui que para calcularmos as tensões em um eixo, era necessário primeiro , calcularmos os momentos de torção internos nas várias partes do eixo.Os momentos eram calculdos partindo-se a estrutura, em equilibrio, na seção onde queriamos conhecer o esforço, aplicando-se a seguir a condição de equilíbrio a rotação, isto é, somatório dos momentos ao redor do eixo longitudinal da estrutura igual a zero. Existem situações em que não se consegue determinar os esforços internos de torção apenas com o uso da estática. Nestes casos, mesmo os esforços externos de torção provenientes dos apoios se tornam impossíveis de calcular somente com as equações da estática. As equações de equilíbrio devem ser complementadas por outras relações, que levam em conta as deformações do eixo e as restrições da geometria do problema.Os exercícios propostos a seguir abordam este tipo de problema. Exercícios: 1. O eixo AB tem 250mm decomprimentoe 20mm de diâmetro, tendo seção transversal circular. O eixo tem seção vazada, com diâmetro interno de 16mm, no trecho de 125mm a partir da extremidade B. O eixo é de aço, sendo engastado nas extremidades.Determinar os momentos torçores reativos, quando é aplicado um tirque de 120N.mno ponto médio de AB.

125mm 125mm

120Nm

2. Um eixo circular de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um ponto fixo e a um disco rígido, como mostra a seção longitudinal da figura. Sabendo-se que as tensões iniciais são nulas, determinar o máximo torçor Mo, que pode ser aplicado ao disco, sendo a tensão admissível ao cisalhamento de 70MPa npara o alumínio e 120MPa para o aço. Adotar G=70Mpa para o aço e G=27Mpa para o alumínio

B- TORÇÃO - PEÇAS DE SEÇÃO VAZADA DE PAREDES FINAS B1. HIPÓTESE DE BREDT

Para o estudo da torção em peças de paredes delgadas,itas, consideramos: 1. Eixo retilíneo 2. A seção transversal é qualquer , mas constante ao longo do eixo.

500mm

8mm 5mm 50mm 5mm 8mm

3. A espessura da parede é pequena em relação às dimensões da seção transversal:

t ≤≤≤≤ dm

10

4. Admitimos que só existe momento DE TORÇÃO em qualquer seção.

5. HIPÓTESE DE BREDT A distribuição das tensões tangenciais ao longo da espessura de um tubo de parede delgada, segue o modelo abaixo, crescendo do centro para as extremidades:

Pelo fato da espessura ser muito pequena, Bredt considerou as tensões tangenciais constantes em uma mesma espessura:

HIPÓTESE DE BREDT:

Em uma peça de paredes delgadas, e submetida à torção, as tensões tangenciais, nos pontos de uma mesma espessura, são paralelas e de valor constante. Esta hipótese conduz a uma distribuição uniforme de tensões tangenciais ao longo de uma espessura.

B. TENSÕES

Imaginemos um tubo de paredes delgadas sujeito à um momento torsor, conforme a figura. Cortamos este tubo por planos P1 e P2 distantes de um elemento de comprimento L

Após, o trecho isolado pelos cortes é cortado novamente , agora por um plano longitudinal P3.

As tensões tangenciais τ1 e τ2 nas espessuras t1 e t2 estão representadas de acôrdo com a hipótese de Bredt, levando-se também em conta a reciprocidade das tensões tangenciais.

Como nas seções cortadas devem aparecer tensões que equilibrem o sistema, podemos verificar as equações de equilíbrio estático. Σ Fy = 0 τ1.t1.L - τ2.t2.L = 0

τ1.t1 = τ2.t2

Como estávamos tratando com espessuras genéricas, podemos generalizar a conclusão: ττττ1.t1 = ττττ2.t2 = ττττ3.t3 = ......... = ττττn.tn = f f - fluxo das rensões tangenciais

"Em uma peça de paredes delgadas, submetida à um momento DE TORÇÃO, o fluxo das tensões tangenciais é constante."

Passemos à considerar agora uma seçã genérica "S": Seja: C - contôrno médio da seção dω - elemento de área compeendido pelo contôrno médio (área oAB) dS - arco elementar componente do contôrno médio

dωωωω ==== r.dS2

Consideremos um elemento de área ao longo do contôrno:

dA = t.dS A tensão desenvolvida neste elemento de área dA, dá origem à uma força dF: dF = ττττ . t . dS O momento desta força em relação ao centro de torção o é: mt = dF . r = ( ττττ . t . dS) . r = ττττ . t . r . dS O momento de torção total da seção será:

Mt r dS r dS= . t = . t

C C

ττττ ττττ . . . observe que ττττ . t = f = cte

observe também que r.dS = 2.dω daí tiramos que: Mt d d

C

==== . t . = 2. . t C

ττττ ωωωω ττττ ωωωω2. .

d

C

ωωωω = ΩΩΩΩ

onde ΩΩΩΩ representa a área da superfície englobada pelo contôrno médio C.

Substituimos a integral por seu significado, representado por ΩΩΩΩ :.

Mt = 2. τ . t . Ω ou

ττττ = Mt2. t.ΩΩΩΩ

Obs: 1. Esta expressão possibilita calcular as tensões tangenciais em qualquer

espessura da parede do tubo. 2. A tensão máxima ocorre nos pontos de menor espessura.

ττττmáxmínt

= Mt2.ΩΩΩΩ.

C. DEFORMAÇÕES

Sabemos que ττττ = Mt2. . tΩΩΩΩ

e que : ττττ θθθθ = G. .r

então: G. .r = Mt2. . t

θθθθΩΩΩΩ

Integrando esta igualdade ao longo do contôrno médio da seção, obtemos:

G rC

. .θθθθ = Mt2. . tC ΩΩΩΩ

ou Mt dS

tC2.ΩΩΩΩ = G. r.dS

C θθθθ

Já vimos que: r dS

C

. = 2.ΩΩΩΩ

então: 2. . .G dStC

θθθθ ΩΩΩΩΩΩΩΩ

= Mt2.

ou θθθθ = Mt4.G.

2ΩΩΩΩdStC

Esta expressão nos possibilita calcular o angulo unitário de torção em uma

peça tubular de paredes delgadas submetida à torção. A deformação total pode ser obtida por H = θθθθ. L

Observação : Avaliação de dStC

1. Casos de peças de espesura constante:

dStC

= 1t

dSCtC

==== onde C = comprimento do contôrno médio

2. Seção transversal constituida por trechos de espessura constante:

dStC

= Citii

n

====

1

θθθθ = Mt4.G.

Citi2

i = 1

n

ΩΩΩΩ

3. Seção transversal com lei matemática para variação da espessura ao longo do contôrno médio:

Neste caso basta substituirmos t pela sua lei matemática e resolvermos matemáticamente a integral. 4. Se a seção transversal não se enquadrar nos casos anteriores a integral deve

ser avaliada por um processo aproximado. 5. As seções da figura abaixo são construidas com o mesmo material e estão

submetidas ao mesmo torsor. Calcular a relação R/e à fim de que trabalhem com a mesma segurança.

R: 7,4 6. Uma peça tubular cuja seção reta e indicada na figura, é construida com

material que apresenta tensão de cisalhamento admissível de 20 MPa. O comprimento da peça é de 4 metros, seu módulo de elasticidade longitudinal 2 . 105 MPa e seu coeficiente de Poisson 0,3. Determine: a. Maior torsor que a seção admite. b. Ângulo total de torção.

R: a. 10,08 kN. m b. 0,1032 rad

7. A figura abaixo mostra a seção de uma peça tubular de paredes delgadas com

material que apresenta tensão de cisalhamento admissível de 4 kN/cm2 . Pede-se a dimensão 't' da seção sabendo-se que ela esta submetida a um torsor de 1 kN.m.

R: 0,32 cm

8. Aplica-se uma torção de 90 N.m ao eixo de seção vasada da figura. Determine as tensões de cisalhamento nos pontos A e B.

R: ponto A = 4,73 MPa ponto B = 9,46 MPa

9. Uma barra vasada, tendo seção transversal indicada é feita com uma lamina metálica de 1,6 mm de espessura. Sabe-se que um torque de 339 N.m será aplicado a barra. Determinar a menor dimensão 'd' de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse 3,45 MPa.

R: d ≥ 184,4 mm