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Tarefas de Investigação em Geometria
Nuno [email protected]
EB 2,3 Vasco Santana, Odivelas
Sumário Proposta curricular (temas, tarefas, tipos de tarefas, organização do trabalho,
avaliação dos alunos, referências) Tarefas
Resumo
Esta proposta curricular faz parte de um trabalho de investigação no âmbito do mestrado em Educação da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, na área de especialização em Didáctica da Matemática, orientado pelo Prof. Dr. João Pedro Ponte. Enunciam-se os temas abordados, as tarefas e a forma como foram classificadas. A organização do trabalho e avaliação dos alunos, como não poderia deixar de ser, foram também uma preocupação que esteve patente em toda a investigação. No final são apresentadas as 26 tarefas que foram trabalhadas com os alunos.
Proposta curricular
Temas. O principal objectivo desta investigação é estudar a forma como os
alunos do 8º ano desenvolvem a sua competência geométrica quando o utilizam
Sketchpad, um ambiente de geometria dinâmica, e a sua aprendizagem é baseada em
tarefas de exploração e investigação.
Uma vez que os temas de geometria relacionados com o último capítulo do
programa do 7º ano, Do espaço ao plano, não foram leccionados na altura devida,
acabaram por também fazer parte deste estudo. Assim, irei concentrar a minha
investigação sobre cinco capítulos do programa da disciplina de Matemática do 7º e 8º
anos: Do Espaço ao Plano (ângulos, triângulos e quadriláteros, eixos de simetria);
Decomposição de Figuras e Teorema de Pitágoras; Lugares Geométricos; Translações e
Semelhança de Triângulos.
1
Como é óbvio alterei a ordem do programa, juntando os assuntos relacionados
com a geometria de modo a que pudesse realizar o estudo de uma forma consecutiva,
sem colocar outros temas entre os que fazem parte desta investigação. No entanto, a
ordem dos temas a abordar não difere muito da preconizada pelo programa. Só foi
retirado da ordem o capítulo Semelhança de Triângulos, para que os alunos não
tivessem um excesso de aulas seguidas sobre um mesmo tema.
Tarefas. A primeira tarefa a desenvolver está relacionada com a ambientação
dos alunos ao programa de geometria dinâmica The Geometer’s Sketchpad,
pretendendo-se que descubram algumas das funcionalidades do referido software. Por
outro lado, é também um manual de que os alunos dispõem para consultarem sempre
que o pretendam.
Na tabela 2 apresento a relação que existe entre os capítulos programáticos, as
respectivas tarefas e a duração prevista para cada uma delas, encontrando-se pela
respectiva ordem de leccionação.
As tarefas foram adaptadas ou inspiradas em Bennett (1995, 1996), De Villiers
(1999), Durão e Baldaque (2003), Key Curriculum Press (1995, 1997) e Lopes et al
(1996). Algumas destas tarefas estão assinaladas como sendo de avaliação. As três
primeiras (tarefas 8, 9 e 17), podem ser consideradas actividades de investigação e nelas
os alunos irão elaborar relatórios que constituirão momentos mais formais de avaliação.
Para os ajudar a elaborar os relatórios fornecer-lhes-ei um guião que se encontra em
anexo. Esses relatórios serão analisados tendo por base a tabela de descritores que
também apresento em anexo.
Na tarefa 8, pretendo que os alunos investiguem o número de eixos de simetria
que tem cada um dos triângulos e quadriláteros estudados. Na tarefa seguinte pretendo
que os alunos utilizem os conhecimentos já adquiridos para estudar as figuras que se
obtêm quando se unem os pontos médios de lados consecutivos de quadriláteros. Por
fim, com a tarefa 17, os alunos terão a oportunidade de relacionar os ternos pitagóricos
com a sua representação geométrica e algébrica.
As tarefas 21 e 26, que também se encontram assinaladas como sendo de
avaliação, são classificadas como sendo actividades de resolução de problemas.
Enquanto que na primeira os alunos irão resolver problemas que envolvem a construção
2
de lugares geométricos, na última os problemas estão relacionados com a construção de
figuras semelhantes.
Tabela 1: Duração prevista para cada tarefa.
CapítulosTarefas Duração
1. Manual do Utilizador 90
Do Espaço ao Plano
(7º ano)
2. Ângulos verticalmente opostos e ângulos de lados paralelos
3. Construção de triângulos
4. Ângulos internos e externos de um triângulo
5. Desigualdade triangular
6. Critérios de igualdade de triângulos
7. Quadriláteros: construções, diagonais e ângulos
8. Avaliação – Eixos de simetria em triângulos e quadriláteros
9. Avaliação – Investigando quadriláteros e pontos médios
90
“
“
45
“
180
90
“
Decomposição
de Figuras. Teorema
de Pitágoras
10. Triângulos e medianas
11. Triângulos e alturas
12. Decomposição de polígonos em triângulos e quadriláteros
13. Tangram
14. Áreas de quadriláteros
15. Teorema de Pitágoras
16. Demonstração do teorema de Pitágoras
17. Avaliação – Ternos pitagóricos
90
“
“
“
”
“
“
“
Lugares
Geométricos
18. Circunferência e círculo
19. Mediatriz de um segmento de recta
20. Circunferência circunscrita e circuncentro
21. Avaliação – Problemas
90
“
“
“
Translações
22. Translações e suas propriedades
23. Vectores e adição de vectores
24. Pavimentações com translações
45
90
“
Semelhança de
Triângulos
25. Semelhança de triângulos
26. Avaliação – Construção de figuras semelhantes
90
“
Tipos de tarefas. As tarefas podem ser divididas em três grandes grupos:
actividades de exploração, actividades de investigação e actividades que se podem
caracterizar como sendo de resolução de problemas. Mas porquê distinguir entre
actividades de exploração e de investigação?
3
Muitas vezes não se distingue entre tarefas de investigação e de exploração, chamando-se “investigações” a todas elas. Isso acontece, muito provavelmente, porque é complicado saber à partida qual o grau de dificuldade que uma tarefa aberta terá para um certo grupo de alunos. No entanto, uma vez que atribuímos importância ao grau de dificuldade das tarefas, é preferível termos uma designação para as tarefas abertas mais fáceis e outra designação para as mais difíceis. (Ponte, 2003, p. 28)
A tabela 3 indica o grupo em que se inclui cada uma das tarefas que fazem parte
desta proposta curricular.
Tabela 2. Tarefas classificadas consoante os grupos onde se enquadram: actividades de exploração, actividades de investigação e actividades de resolução de problemas.
Tarefa Exploração Investigação Resolução deproblemas
1. Manual do Utilizador ------- ------- -------2. Ângulos verticalmente opostos e ângulos de lados paralelos X3. Construção de triângulos X4. Ângulos internos e externos de um triângulo X5. Desigualdade triangular X X6. Critérios de igualdade de triângulos X7. Quadriláteros: construções, diagonais e ângulos X8. Avaliação – Eixos de simetria em triângulos e quadriláteros X9. Avaliação – Investigando quadriláteros e pontos médios X10. Triângulos e medianas X11. Triângulos e alturas X X12. Decomposição de polígonos em triângulos e quadriláteros X X13. Tangram X14. Áreas de quadriláteros X15. Teorema de Pitágoras X X16. Demonstração do teorema de Pitágoras X17. Avaliação – Ternos pitagóricos X18. Circunferência e círculo X19. Mediatriz de um segmento de recta X20. Circunferência circunscrita e circuncentro X21. Avaliação – Problemas X22. Translações e suas propriedades X23. Vectores e adição de vectores
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24. Pavimentações com translações X25. Semelhança de triângulos X26. Avaliação – Construção de figuras semelhantes X
Da análise da tabela é visível que as tarefas que predominam são de natureza
exploratória, o que era de esperar pois um dos factores em jogo é a utilização de um
programa de computador que os alunos não conhecem. As actividades de investigação
também estão presentes em número considerável para “dar ao aluno a responsabilidade
de descobrir e de justificar as suas descobertas” (Ponte, 2003, p. 32). Os problemas
também estão presentes em algumas tarefas, e estarão também presentes nas actividades
do manual escolar propostas para serem feitas fora da sala de aula.
Outro critério para dividir as tarefas é considerar a(s) componente(s) da
competência geométrica que cada uma desenvolve mais vincadamente e que pretendo
analisar neste estudo. Assim, as tarefas são classificadas segundo as seguintes
categorias: construção de figuras e análise das suas propriedades, padrões e
investigações e resolução de problemas geométricos. Esta forma de divisão é
apresentada na tabela 4.
Tabela 3: Tarefas classificadas consoante as componentes da competência geométrica: Construção de figuras e análise das suas propriedades, Padrões e investigações e
Resolução de problemas geométricos.
TarefaConstrução de figuras e
análise das suas propriedades
Padrões e investigações
Resolução de problemas
geométricos
1. Manual do Utilizador X
2. Ângulos verticalmente opostos e ângulos de lados paralelos X X
3. Construção de triângulos X X
4. Ângulos internos e externos de um triângulo X X
5. Desigualdade triangular X
6. Critérios de igualdade de triângulos X X
7. Quadriláteros: construções, diagonais e ângulos X X
8. Avaliação – Eixos de simetria em triângulos e quadriláteros X
9. Avaliação – Investigando quadriláteros e pontos médios X X
10. Triângulos e medianas X
5
11. Triângulos e alturas X X
12. Decomposição de polígonos em triângulos e quadriláteros X
13. Tangram X
14. Áreas de quadriláteros X X
15. Teorema de Pitágoras X
16. Demonstração do teorema de Pitágoras X X
17. Avaliação – Ternos pitagóricos X
18. Circunferência e círculo X
19. Mediatriz de um segmento de recta X
20. Circunferência circunscrita e circuncentro X
21. Avaliação – Problemas X X
22. Translações e suas propriedades X
23. Vectores e adição de vectores X
24. Pavimentações com translações X
25. Semelhança de triângulos X
26. Avaliação – Construção de figuras semelhantes X X
Analisando a tabela 4 destaca-se, como era de esperar, a Construção de figuras e
a análise das suas propriedades, presente em com 18 tarefas, pois os temas geométricos
tratados valorizam-na. A componente Padrões e investigações, onde estão incluídas a
procura de invariantes e a investigação de propriedades e relações geométricas está
presente em 11 tarefas. Finalmente, a Resolução de problemas geométricos, que permite
que os alunos desenvolvam a aptidão para resolver problemas através de construções,
está presente em 8 tarefas.
Organização do trabalho. Os alunos vão trabalhar em pares, escolhidos por si
próprios, o que corresponde a 9 grupos, uma vez que a turma tem 18 alunos. Eles já
estão habituados a trabalhar com computadores, tanto na disciplina de Matemática como
na disciplina oferta da escola, Oficina Multimédia Transdisciplinar (OMT), na qual têm
trabalhado com o Word, Excel e Power Point desde o 7º ano. Realizaram alguns
projectos recorrendo aos programas anteriores, bem como à Internet.
As aulas decorrerão em blocos de 90 minutos e terão início no 2º período
prolongando-se pelo primeiro mês do 3º período. Terão lugar na sala TIC, equipada
recentemente pelo projecto “1000 salas TIC” do Ministério da Educação. É nesta sala
que os alunos têm a referida disciplina de OMT.
6
Após a primeira actividade, que proporciona o contacto com o Sketchpad, os
alunos irão realizar as tarefas apresentadas no ponto anterior de uma forma sequencial.
No final de cada tarefa, que possivelmente corresponderá ao final da aula, será realizada
uma pequena discussão com toda a turma para partilhar as dificuldades relacionadas
com o programa, cujo tempo irá diminuindo à medida que os alunos se ambientem com
este, e para discutir os resultados a que chegaram. Esta fase do processo investigativo é
muito importante: “É nesta fase que se processa a reflexão sobre todo o trabalho
realizado. Terminar uma aula de investigação sem ter reflectido sobre ela é de algum
modo não a ter finalizado” (Segurado, 2002, p. 58).
Esta discussão final tem como objectivo dar importância à componente da
competência geométrica relacionada com a argumentação, na qual se pretende que os
alunos desenvolvam a aptidão para formular argumentos válidos que descrevam
propriedades e relações geométricas, fazendo conjecturas e justificando os seus
raciocínios. A discussão será orientada pelo professor, ou pelos grupos, dependendo do
decorrer da aula e da pertinência das descobertas que os alunos efectuem. Este momento
também servirá para que os alunos tomem consciência do trabalho que vai sendo
desenvolvido pelos seus colegas.
Cada grupo terá apenas um enunciado da tarefa, que guardará no final da aula
numa pasta que ficará na sala. Os sketchs que os alunos irão concebendo serão
guardados no computador em que trabalharem e posteriormente guardados por mim no
meu computador pessoal.
Alguns problemas do livro relacionados com os assuntos tratados na aula serão
sugeridos aos alunos para que estes os resolvam em casa, ou nas aulas de Estudo
Acompanhado. Estes problemas têm como função clarificar e esclarecer alguma
dificuldade que os alunos tenham sobre algum dos temas tratados nas aulas.
Avaliação dos alunos. Todos os trabalhos produzidos pelos alunos, bem como a
sua participação na resolução das tarefas e na discussão final de algumas delas servirão
para avaliar os alunos. Numa negociação prévia com os alunos, ficou assente que se
substituiriam os testes que poderiam ser feitos nestas unidades pelos trabalhos que eles
irão desenvolver quer nas aulas, quer fora delas.
As apresentações dos resultados encontrados pelos alunos aos seus pares e a
discussão resultante da resolução das tarefas que ocorrerão o final de algumas aulas
7
permite ao professor avaliar o nível de concretização das tarefas e o respectivo
envolvimento dos alunos.
Os relatórios escritos pelos alunos têm vindo a ser introduzidos na avaliação das
actividades de investigação, numa tentativa de a tornar coerente com o trabalho
realizado nas aulas. No entanto, isto levanta alguns problemas quer aos professores,
quer aos alunos. Eu já pedi relatórios a alunos do ensino secundário, mas nunca o fiz a
alunos do ensino básico. Como os meus alunos não estão habituados a fazer relatórios,
senti a necessidade de lhes apresentar um guião para que elaborassem o relatório e
dialogar com eles para lhes explicar o que pretendo. O relatório que lhes apresentei foi
baseado no que é indicado na página Investigar e Aprender (disponível em
http://ia.fc.ul.pt/), estando indicado em anexos.
Se por um lado os relatórios permitirão obter informações sobre algumas das
componentes da competência geométrica, mais propriamente sobre a Construção de
figuras e análise das suas propriedades e Padrões e investigações, também necessitarei
de recolher dados sobre a Resolução de problemas geométricos. Por isso incluí na
avaliação duas tarefas, a 21 e a 26, que têm como objectivo avaliar este último aspecto.
A tabela 5 indica a relação entre a tarefa de avaliação, o que se pretende avaliar
e o tipo de actividade utilizado.
Tabela 4: Relação entre tarefas de avaliação, componentes avaliadas e produto final
Tarefas de avaliação Componente avaliada Produto final
8. Eixos de simetria em
triângulos e quadriláteros(b) Padrões e investigações Relatório
9. Investigando quadriláteros
e pontos médios
(a) Construção de figuras e análise das
suas propriedades
(b) Padrões e investigações
Relatório
17. Ternos pitagóricos(a) Construção de figuras e análise das
suas propriedadesRelatório
21. Problemas
(a) Construção de figuras e análise das
suas propriedades
(c) Resolução de problemas geométricos
Resolução de problemas
26. Construção de figuras
semelhantes
(a) Construção de figuras e análise das
suas propriedades
(c) Resolução de problemas geométricos
Resolução de problemas
8
Referências
Bennett, D. (1995). Pythagoras Plugged In. Berkley: Key Curriculum Press.
Bennett, D. (1996). Exploring Geometry. Berkley: Key Curriculum Press.
De Villiers, M. (1999). Rethinking Proof. Berkley: Key Curriculum Press.
Durão, E., & Baldaque M. (2003). Mat 8. Lisboa: Texto.
Key Curriculum Press (1995). The Geometer’s Sketchpad: User guide and reference manual. Berkley: Key Curriculum Press.
Key Curriculum Press (1997). Discovering Geometry. Berkley: Key Curriculum Press.
Lopes, A., Bernardes, A., Loureiro, C., Varandas, J., Viana, J., Bastos, R., & Graça, T. (1996). Matemática 8. Porto: Edições Contraponto.
Ponte, J. P. (2003). Investigar, ensinar e aprender. Actas do ProfMat 2003 - Encontro Nacional de Professores de Matemática (CD-ROM, pp. 23-39). Lisboa: APM.
Segurado, I. (2002). O que acontece quando os alunos realizam investigações matemáticas? In GTI (Org.) Reflectir e investigar sobre a prática profissional. (pp. 57-73). Lisboa: APM.
9
Tarefas
Tarefa 01 — Manual do Utilizador do Programa The Geometer’s Sketchpad
I Janela do Geometer’s Sketchpad
II Desenhar
Três das ferramentas da Barra de Ferramentas servem para desenhar pontos,
circunferências e rectas.
10
Janelade
desenho
Barra de Ferramentas Barra de MenuBarra de título
Ferramenta activa
Desenhar pontos
Desenhar circunferências
Desenhar rectas e segmentos
Atribuir nomes a pontos, rectas e circunferências ou
fazer caixas de texto
Para escolher uma
ferramenta de
desenho clica sobre
ela.
1. Experimenta cada uma das ferramentas de desenho e tenta desenhar as seguintes
figuras.
III Segmentos de rectas, rectas e semi-rectas
A ferramenta que permite desenhar segmentos de rectas também permite desenhar
rectas e semi-rectas. Para isso é necessário clicar na respectiva ferramenta e esperar que
surjam as três hipóteses de escolha.
2. Utiliza a ferramenta anterior para desenhar as seguintes figuras:
IV Arrastar, seleccionar e criar novas ferramentas
Com esta ferramenta podemos seleccionar um ou mais objectos desenhados.
Também podemos arrastar objectos desenhados.
3. Utiliza a ferramenta anterior para seleccionar uma das figuras que já desenhaste.
Podes também arrastar pontos das figuras desenhadas e verificar o que acontece.
11
c2
c1
nm
o
l
k
j
A
CB
D
E
J
GF
H
I
Segmento de recta Semi-recta Recta
O Sketchpad permite criar novas ferramentas para serem usadas mais tarde. Por exemplo podemos construir um quadrado, gravar essa construção como uma ferramenta e depois utilizá-la mais tarde. Mais tarde vamos utilizar este tipo de ferramentas.
V Menu File
Selecciona o menu File. Podes gravar o sketch anterior na tua pasta. Depois abre um
novo sketch.
VI Menu Construct
4. Constrói um segmento e um ponto fora desse segmento.
5. a) Selecciona o segmento, abre o menu Contruct e verifica as opções que estão
acessíveis.
b) Selecciona o segmento e o ponto, abre o menu Contruct e verifica as opções que
estão acessíveis. Constrói uma recta paralela e uma recta perpendicular ao segmento
inicial.
6. Experimenta as opções deste menu.
12
A
B
C
Sketch novo
Abrir
Gravar
Fechar um sketch
Opções do documento
ImprimirVer como vai ficar a impressãoPropriedades da página
Construir um segmento de recta
Colocar um ponto numa figuraCriar um ponto médio num segmentoCriar um ponto de intersecção entre dois objectos
Construir uma semi-recta
Construir uma recta
Construir rectas paralelas e perpendicularesBissectriz de um ângulo: seleccionar um ângulo
Construir uma circunferência: seleccionando dois pontos ou um
ponto e um segmento
Construir um arco de circunferência: seleccionando uma
circunferência ou três pontoInterior: Construir o interior de uma figura
Lugar geométrico: Construir o lugar geométrico
7. Para utilizar a opção Interior do menu Construct, é
necessário construir uma figura geométrica, por exemplo,
um quadrilátero como o da figura. Depois selecciona os
pontos e utiliza a opção Interior. Podes mudar a cor dos
segmentos e do interior da figura.
VII Menu Measure (medir e calcular)
Com o Sketchpad podes medir comprimentos, ângulos e efectuar cálculos. Para isso
utiliza-se o menu Measure.
8. .Em relação ao quadrilátero do exercício 7. calcula o perímetro, a área e a amplitude
dos seus ângulos. Arrasta os vértices e verifica o que acontece às medidas.
9. Acede à opção Calculate no menu Measure. Calcula a soma dos quatro ângulos que
mediste no exercício anterior, seleccionando as medidas que estão no sketch. Arrasta os
13
Para usares estas opções deves:Comprimento: seleccionar dois pontos ou um ponto e uma recta
Distância: seleccionar um segmento de recta
Perímetro: seleccionar o interior de um polígono, um círculo ou de um arco
Perímetro de uma circunferência: seleccionar uma circunferência
Ângulo: seleccionar três vértices, em que o segundo é o vértice do ângulo
Área: seleccionar o interior de um polígono, um círculo ou de um arco
Ângulo e comprimento de um arco: seleccionar um arco ou um sector
Raio: seleccionar um círculo, um arco ou sector
Razão: seleccionar dois segmentos
Estas opções estão relacionadas com os gráficos
Calculadora: permite fazer operações com medidas
mDAB = 57,56mBCD = 71,99mABC = 106,66mDAB = 57,56Area ABCD = 13,77 cm2
Perimeter ABCD = 15,90 cm
A
B
C
D
vértices e verifica o que acontece e escreve as tuas conclusões no próprio sketch e
grava-o na tua pasta utilizando o menu File.
VIII O menu Edit
IX O menu Display
14
Constrói uma expressão usando os números
em baixo ou o teclado do computador, ou
insere valores e funções clicando nelas no
sketch.
Valores
Funções
Visor das expressões para efectuar cálculos
Estas opções funcionam do mesmo modo que as do Word
Cortar, colar, colar imagens e apagar
Seleccionar objectos
Botões de acção: esconder, animar, movimento, etc.
Propriedades do sketch
Espessura das rectas: altera a largura de rectas, segmentos, etc.Cor: permite alterar a cor de rectas, pontos, figuras, etc.Texto: permite alterar o tipo de letra
Esconder/Mostrar: esconde e mostra objectos
Esconder/Mostrar: esconde e mostra legendas
Deixar rasto/Apagar rasto: o objecto seleccionado deixa rasto
quando é arrastado
Animar um segmento
Aumentar/diminuir a velocidade de uma animação
Parar uma animação
Mostrar/esconder: caixa que formata texto, caixa que controla o
movimento dos objectos e a caixa de ferramentas
10. Desenha um segmento e experimenta algumas opções deste menu.
X O menu Graph
XI O menu Window
XII O menu Transform
Este menu permite fazer transformações: translações, rotações, reflexões e dilações.
15
Definir o sistema de coordenadas
Tipo de gráfico
Esconder/Mostrar grelha
Marcar pontos
Novo parâmetro
Definir e desenhar uma nova função
Desenhar tabelas indicando uma função
Modo de ver vários sketchs
Nome de um sketch
Marcar centro, eixo de simetria, ângulo, razão, vector e distância
Translação, rotação, dilação e reflexão
Iterações
Notas: Nestas linhas podes escrever observações que consideres importantes sobre o
Sketchpad.
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Tarefa 02 — Relações entre ângulos
Vais investigar as relações que existem entre ângulos formados por rectas.
1. Constrói as rectas AB e AC como mostra a figura (o ponto A tem que estar em ambas
as rectas).
a) Mede a amplitude dos ângulos BAC, CAE, EAD e DAB.
b) Arrasta os pontos B. Os ângulos BAC e EAD dizem-se ângulos verticalmente
opostos. Este nome está relacionado com o facto de terem o mesmo vértice e serem
opostos. Os ângulos EAD e DAB também são ângulos verticalmente opostos.
Escreve uma conjectura sobre as amplitudes de ângulos deste tipo.
2. Os ângulos BAC e CAE dizem-se ângulos suplementares. O nome advém do
facto de existir uma relação entre eles. Qual é?
3. Constrói a rectas AB e o ponto C que não pertence a AB.
Depois, constrói a recta paralela a AB que passa por C e a recta AC.
Constrói os pontos D, E, F, G e H como mostra a figura.
17
A
B
C
D
E
A B
C
A B
C
A B
C
H
G
D
E
F
a) Mede os oito ângulos da figura anterior e arrasta o ponto A. Existem relações entre os
ângulos?
b) Os ângulos ECF e CAB dizem-se ângulos de lados paralelos. Escreve todos os
pares de ângulos de ângulos de lados paralelos da figura anterior. Depois escreve uma
conjectura sobre as amplitudes de ângulos de lados paralelos.
c) Os ângulos FCA e CAH dizem-se ângulos internos alternos.
Escreve todos os pares de ângulos internos alternos da figura anterior.
Escreve uma conjectura sobre as amplitudes de ângulos internos alternos.
d) Os ângulos ECF e GAH dizem-se ângulos externos alternos.
Escreve todos os pares de ângulos externos alternos da figura anterior.
Escreve uma conjectura sobre as amplitudes de ângulos externos alternos.
4. Faz um resumo sobre os diferentes tipos de ângulos estudados nesta ficha.
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18
A
BC
Tarefa 03 — Construção de triângulos
Vamos construir vários triângulos e estudar propriedades relacionadas com os seus
ângulos e lados.
1. a) Constrói um triângulo e mede os seus lados. Arrasta um dos seus vértices até que
tenha dois lados iguais. Desenha aqui o triângulo que obtiveram e as medias dos seus
lados.
b) O Sketchpad permite fazer construções reais de figuras, isto é, quando arrastadas
mantêm a sua forma, o que não acontece com o triângulo que desenhaste.
Para construir um triângulo com dois lados iguais, temos que garantir que a sua
construção é feita de tal modo que os seus dois lados fiquem sempre iguais.
Constrói uma circunferência e marca um ponto sobre ela. Depois, constrói os lados do
triângulo ABC e esconde a circunferência (selecciona a circunferência e no menu
Display selecciona Hide Circle).
Este triângulo tem lados iguais? Quantos?
Se arrastares um dos seu vértices o que acontece?
Consegues arranjar uma justificação?
c) Triângulos com dois lados iguais dizem-se triângulos isósceles. Investiga o que
acontece com a amplitude dos seus ângulos.
2. Para construir um triângulo que tenha três lados iguais deves começar por construir o
segmento AB e as duas circunferências como mostra a figura. O ponto C é um dos
pontos onde se intersectam as circunferências.
19
C
A B
Mede todos os lados do triângulo que construíste. Arrasta o vértice A. O que acontece?
Consegues arranjar uma justificação?
b) Triângulos com todos lados iguais dizem-se triângulos equiláteros. Investiga o que
acontece com a amplitude dos seus ângulos.
3. Triângulos com todos lados diferentes dizem-se triângulos escalenos.
Constrói um triângulo que tenha todos os lados diferentes e investiga o que acontece
com a amplitude dos seus ângulos.
4. Os ângulos dos triângulos também os permitem classificar.
Um triângulo que tenha todos os ângulos agudos (< 90º) chama-se triângulo
acutângulo.
Um triângulo que tenha um ângulo recto (= 90º) chama-se triângulo rectângulo.
Um triângulo que tenha um ângulo obtuso (> 90º e < 180º) chama-se triângulo
obtusângulo.
a) Constrói um triângulo rectângulo que fique rectângulo quando os seus vértices são
arrastados. Descrevam como procederam.
b) Será que o triângulo rectângulo pode ser também um triângulo isósceles? Porquê?
E será que pode um triângulo equilátero? E escaleno? Porquê?
Investiga as relações que existem entre os triângulos acutângulos, obtusângulos,
equiláteros, isósceles e escalenos. Faz um esquema das relações que encontraste.
20
Tarefa 04 — Ângulos internos e externos de um triângulo
1. Desenha um triângulo e mede os seus ângulos, como mostra a figura.
Arrasta um vértice qualquer e escreve uma conjectura sobre o que observas.
Como provar (demonstrar) que a tua conjectura está correcta? É o que irás fazer na
próxima actividade.
2. Desenha uma recta paralela ao lado AC e que passa pelo ponto B, conforme mostra a
figura.
A
B
C
D E
a) Qual é a relação que existe entre o ângulo ABD e o ângulo BAC? Porquê?
b) Qual é a relação que existe entre CBE e ACB? Porquê?
c) Qual é o a soma de ABD, CBE e ABC?
d) Descrever em pormenor os passos dados para obter a demonstração sobre a soma dos
ângulos internos de um triângulo.
3. Os triângulos também têm ângulos externos. O próximo sketch permitirá que
investigues esses ângulos.
Constrói a semi-recta AB e o ponto C fora da recta. Depois constrói o triângulo ABC e
o ponto D como mostra a figura. Calcula a amplitude dos ângulos BAC, ACB,
ABC e CBD.
21
A
C
B D
a) Calcula a soma de BAC com ACB. Arrasta o ponto C, verifica o que acontece.
Escreve uma conjectura.
b) Consegues encontrar uma demonstração que prove a tua conjectura?
22
Tarefa 05 — Desigualdade triangular
Será que com três segmentos de recta podemos construir sempre um triângulo?
Para responder a esta questão vamos fazer a seguinte investigação.
1. Constrói um triângulo e mede os seus lados. Soma os comprimentos de dois lados dos
triângulo e arrasta um dos seus vértices para que a soma seja igual ao outro lado.
Conseguiste?
Descreve o que aconteceu ao triângulo?
É possível construir um triângulo em que a soma de dois dos seus lados seja maior do
que o terceiro lado?
Escreve uma conjectura que relacione os lados de qualquer triângulo.
23
m NO+m OP = 6,36 cm
m PN = 3,49 cm
m OP = 3,55 cm
m NO = 2,81 cm
P N
O
Tarefa 06 — Critérios de igualdade de triângulos
Dois triângulos são iguais quando se podem sobrepor ponto por ponto. Nesta tarefa
pretende-se que construas triângulos partindo de alguns dados iniciais e verifiques as
relações que existem entre os triângulos de cada questão.
I. Caso de igualdade entre triângulos em que se conhece os comprimentos dos três lados
de um triângulo (LLL).
1º
Constrói três segmentos e mede-os como mostra a
figura.
2º
Constrói uma circunferência com centro num outro
24
G H
G H
I
G H
m EF = 3,12 cm
m AB = 1,53 cm
m CD = 2,33 cmC D
A B
E F
ponto qualquer e raio AB (selecciona o ponto, o
segmento AB e no menu Construct escolhe a opção
Circle By Center+Radius). Depois constrói um
ponto H sobre essa circunferência.
3º
Constrói outra circunferência com centro no ponto
H e raio CD.
4º
Constrói a terceira circunferência com centro no
ponto G e raio EF. Esconde as circunferências.
1ª Questão: Mede os lados do triângulo GHI, arrasta o ponto B e descreve o que
acontece?
E se arrastares o ponto D, o que acontece? E se for o ponto F?
2ª Questão: Desenha outro triângulo seguindo as instruções anteriores. Qual a relação
que existe entre este triângulo e o triângulo GHI? Que conjectura podes formular?
Regista-a.
II. Caso de igualdade entre triângulos em que se conhece o comprimento de um dos
lados do triângulo e as amplitudes de dois ângulos que têm esse lado em comum
(ALA).
1º
Constrói o segmento AB e os ângulos ECD e
HFG e mede-os como mostra a figura.
25
mHFG = 25,50mECD = 37,95m AB = 1,53 cm
A B
C E
D
F H
G
2º
Constrói uma circunferência com centro num
outro ponto qualquer e raio AB. Depois constrói
um ponto P sobre essa circunferência.
3º
Selecciona o ponto O e no menu Transform
escolhe a opção Mark Center. Depois, selecciona
ECD (as letras têm que ser escolhidas por esta
ordem) e no menu Transform escolhe a opção
Mark Angle. Agora selecciona o ponto P e no
menu Transform escolhe a opção Rotate. Na
janela que surgir escolhe a opção Marked Angle e
depois OK. Depois constrói a semi-recta OP’.
4º
Vamos fazer como no ponto anterior, mas para o
outro ângulo. Selecciona o ponto P e escolhe a
opção Mark Center. Depois, selecciona GFH
(as letras têm que ser escolhidas por esta ordem) e
escolhe a opção Mark Angle. Agora selecciona o
ponto O e no menu Transform escolhe a opção
Rotate. Na janela que surge escolhe a opção
Marked Angle e depois OK. E constrói a semi-
recta PO’.
5º
Constrói o ponto de intersecção das duas semi-
rectas e depois esconde as semi-rectas, os pontos
O’ e P’ e a circunferência, de modo a que só fique
visível o triângulo OQP.
26
O P
P'
O P
O'P'
O P
QO'
P'
O P
3ª Questão: Mede POQ e OPQ e o lado OP, arrasta o ponto B, o que aconteceu?
E se arrastares o ponto D, o que acontece? E se for o ponto G?
4ª Questão: Desenha outro triângulo seguindo as instruções anteriores. Qual a relação
que existe entre este triângulo e o triângulo OQP? Que conjectura podes formular?
Regista-a.
III. Caso de igualdade entre triângulos em que se conhece a amplitude de um dos
ângulos do triângulo e o comprimento dos lados que o formam (LAL).
1º
Constrói os segmentos AB e CD e o ângulo
EFG e mede-os como mostra a figura.
2º
Constrói uma circunferência com centro num
outro ponto qualquer e raio AB. Depois constrói
um ponto P sobre essa circunferência e outra
circunferência de centro P e raio CD.
27
mGEF = 38,66m CD = 3,68 cmm AB = 2,49 cm
A B C D GE
F
O P
3º
Selecciona o ponto O e escolhe a opção Mark
Center. Depois escolhe o ângulo GEF e escolhe a
opção Mark Angle. Agora selecciona o ponto P e
no menu Transform escolhe a opção Rotate. Na
janela que surge escolhe a opção Marked Angle e
depois OK. Depois, constrói a semi-recta OP’ e
marca o ponto Q na intersecção da segunda
circunferência com a semi-recta OP’.
4º
Esconde a semi-recta, o ponto P’ e as
circunferências. Ficará o triângulo da figura.
5ª Questão: Mede POQ e os lados OP e PQ, arrasta o ponto B, o que aconteceu?
E se arrastares o ponto D, o que acontece? E se for o ponto F?
6ª Questão: Desenha outro triângulo seguindo as instruções anteriores. Qual a relação
que existe entre este triângulo e o triângulo OPQ? Que conjectura podes formular?
Regista-a.
Resumo:
LLL: Dois triângulos são iguais se, de um para o outro, têm __________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
28
Q
P'
O P
Q
O P
ALA: Dois triângulos são iguais se, de um para o outro, têm __________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
LAL: Dois triângulos são iguais se, de um para o outro, têm __________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
29
D
A B
C
A
C
D
B
Tarefa 07 — Quadriláteros
Vamos construir quadriláteros e investigar algumas das propriedades dos seus ângulos e
diagonais.
I. Desenha um quadrilátero e mede a amplitude dos seus ângulos internos. Soma essas
amplitudes e escreve uma conjectura que relacione os ângulos internos de um
quadrilátero.
Constrói uma das diagonais do quadrilátero anterior e tenta demonstrar a conjectura que
fizeste.
II. Vamos construir alguns quadriláteros especiais (podes utilizar o mesmo sketch):
paralelogramo, rectângulo, papagaio, losango, trapézio e quadrado.
Paralelogramo.
Constrói o segmento AB e o ponto C numa
recta paralela a AB. Depois constrói o
segmento AC. Agora Constrói uma recta
paralela a AC e que passa por B. Esconde as
rectas e constrói os segmentos BD e CD de
modo a obteres um paralelogramo.
Rectângulo.
Constrói o segmento AB e a recta
perpendicular a AB no ponto A. Nessa recta
marca o ponto C e constrói o segmento AC.
Acaba de construir o rectângulo ABCD.
30
D
A B
C
Papagaio.
Constrói o ângulo BAC. Depois constrói o
segmento BC (será uma das diagonais do
papagaio). Selecciona o segmento BC e no
menu Transform selecciona a opção Mark
Mirror. Selecciona os segmentos AB e AC e o
ponto A e no menu Transform selecciona a
opção Refletc. Esconde a diagonal BC e ficará
o papagaio.
Losango.
Constrói uma circunferência com dois raios
como mostra a figura. Utiliza o mesmo método
que foi usado para construir o papagaio.
Esconde a circunferência e a diagonal BC.
Quadrado.
Constrói o segmento AB e a circunferência de centro em A e raio AB. Agora constrói a
recta perpendicular ao segmento AB em A. Constrói o ponto C, a intersecção entre a
recta e a circunferência. Traça o segmento AC. Desenha as rectas paralelas a cada um
dos lados AB e AC e marca o ponto de intersecção, D. Esconde as linhas auxiliares.
Trapézio.
Existem três trapézios diferentes, que podem ser obtidos a partir dos triângulos
isósceles, rectângulo e escaleno. Constrói os três triângulos anteriores sobre a mesma
recta e uma recta paralela à base do triângulo como mostra a figura.
31
DA
C
B
A
C
Bpapagaio
DA
B
C
A
B
C
DA
B
C
C
A BA B
DC
A B
DC
A B
triânguloisósceles
triângulorectângulo triângulo
escaleno
Constrói os pontos de intersecção entre a recta paralela e os lados dos triângulos e os
lados que faltam dos três trapézios.
III. Como se podem definir cada um dos quadriláteros anteriores, ou seja quais são as
características que cada um deles tem que o torna único?
Podes começar por medir os lados e os ângulos de cada um e compará-los entre si...
IV. Traça as diagonais dos quadriláteros anteriores e indica as suas propriedades. Podes
começar por desenhar um esquema de cada um e das suas diagonais e tentar encontrar
relações entre elas.
V. Os dois pontos anteriores determinam uma hierarquia entre os quadriláteros, isto é,
eles estão relacionados devido às suas propriedades.
Os que estão mais acima na hierarquia são o trapézio e o papagaio.
Completa o esquema com os outros.
32
trapézioisósceles
trapéziorectângulo
trapézioescaleno
33
Quadrilátero
Trapézio Papagaio
Tarefa 08 — Eixos de simetria
Até agora já desenhámos, com a ajuda do Sketchpad, vários tipos de triângulos e
quadriláteros. Vamos, agora estudar os eixos de simetria de cada uma delas.
Eixo de simetria divide sempre uma figura em duas geometricamente iguais de tal
modo que podem ser sobrepostas uma pela outra dobrando a figura inicial.
Utiliza o Sketchpad para investigar quantos eixos de simetria têm os diferentes
triângulos que conheces, o paralelogramo, o papagaio, o losango, o rectângulo e o
quadrado.
34
Tarefa 09 — Investigando quadriláteros e pontos médios
Constrói o quadrilátero que entenderes e marca os pontos médios dos seus lados. Une os
pontos médios de lados consecutivos. Que quadrilátero obtiveste?
Investiga o que se passa se o quadrilátero inicial for um quadrado, um losango, um
paralelogramo, ...
Escreve as tuas conjecturas e tenta justificá-las.
35
Tarefa 10 — Triângulos e medianas
Mediana de um triângulo é o segmento que une um dos vértices com o ponto médio do
lado oposto.
1. Desenha um triângulo qualquer ABDe uma das suas medianas.
Calcula a área dos triângulos ABC e ACD, e arrasta um dos vértices do triângulo inicial.
O que aconteceu? Escreve uma conjectura sobre o que observas.
2. Desenha um triângulo equilátero, um triângulo isósceles e um triângulo escaleno.
Desenha as três medianas de cada um deles. Encontra semelhanças e diferenças entre as
medianas e tenta relaciona-las com os diferentes triângulos. Escreve as tuas conjecturas
e tenta justificá-las.
3. As medianas de um triângulo encontram-se num ponto, o baricentro do triângulo.
Este ponto é o centro de gravidade do triângulo, isto é, podemos equilibrar o triângulo
na ponta de um lápis.
Encontra o baricentro de um triângulo e imprime o triângulo. Recorta-o e equilibra-o
com a ponta de um lápis.
36
CB
A
D
Tarefa 11 — Triângulos e alturas
Altura de um triângulo é o segmento da perpendicular traçada de um vértice para o lado
oposto ou para o seu prolongamento.
1. Desenha um triângulo qualquer. Desenha a perpendicular ao lado AC e que passa por
B.
O segmento BD é uma das alturas do triângulo ABC.
a) Mede todos os ângulos dos triângulos ABD e BCD. Compara os resultados. Arrasta
os vértices do triângulo, o que observas? Escreve uma conjectura que relacione os
vários ângulos desses triângulos.
2. As alturas de um triângulo encontram-se num ponto, o ortocentro do triângulo. Para
encontrar este ponto é preciso desenhar as três alturas do triângulo.
Desenha três triângulos, um acutângulo, um rectângulo e um obtusângulo. Traça as
alturas para encontrar os respectivos ortocentros. Compara as suas posições em relação
aos triângulos. Escreve as tuas conjecturas.
37
D
A
B
C
Tarefa 12 — Decomposição de polígonos em triângulos e quadriláteros
È difícil calcular a área de algumas figuras. Mas, se as decompusermos em figuras
conhecidas, como por exemplo triângulos e quadriláteros, o cálculo torna-se mais fácil.
1. Abre o Sketch Ficha12 e decompõe as figuras em triângulos e quadriláteros para
calcular a sua área considerando como unidade de medida
38
Tarefa 13 — Tangram
O Tangram é o puzzle mais antigo que é conhecido e foi inventado na China há mais de
4 mil anos. O Tangram é constituído por 7 peças que formam um quadrado e que depois
de separadas permitem obter novas figuras.
Com a ajuda do Sketchpad constrói um tangram e imprime-o. Depois recorta-o e tenta
construir outras figuras.
Na construção deves ter em atenção que os pontos A, B, C e D são pontos médios.
Existem vários sites na internet relacionados com o tangram. Consulta-os e tenta
construir algumas das figuras que encontrares.
39
D
C
B
A
Tarefa 15 — Áreas de quadriláteros
Na Ficha 7 construíste alguns quadriláteros: rectângulo, quadrado, paralelogramo,
papagaio, losango e trapézio. Pretende-se agora que descubras como se calculam as suas
áreas. Para isso é necessário construir cada um desses quadriláteros.
1. Área do rectângulo
Depois de construíres o rectângulo pede ao Sketchpad para calcular a área do
rectângulo, mede dois dos seus lados diferentes e calcula o seu produto. Compara esse
resultado com a área do rectângulo. Arrasta um dos vértices do rectângulo e observa o
que acontece. Escreve uma conjectura sobre a área do rectângulo.
2. Área do quadrado
Procede do mesmo modo que no caso do rectângulo e escreve a fórmula que permite
calcular a área do quadrado.
3. Área do paralelogramo
Depois de construíres o paralelogramo prolonga o lado AC como mostra a figura.
Constrói as perpendiculares a AC que passam por B e por D. Constrói o rectângulo
BDEF.
40
D
A C
B
FE
D
A C
B
a) Qual é a relação entre as bases AC do paralelogramo e EF do rectângulo?
b) Mede as áreas do paralelogramo ABDC e do rectângulo EBDF. Compara as medidas
e escreve a fórmula que permite calcular a área do paralelogramo.
4. Área do papagaio
Depois de construíres um papagaio, constrói as suas diagonais BC a diagonal maior e
AD a diagonal menor (fig. 1)
Agora constrói o rectângulo EFGH cujos pontos A, B, C e D são os pontos médios dos
seus lados (fig. 2). Depois de construíres os polígonos interiores mede as áreas do
papagaio ABCD e do rectângulo EFGH.
a) Arrasta os vértices do papagaio. O que observas? Escreve a fórmula que permite
calcular a área do papagaio.
5. Área do losango
Procede do mesmo modo que no caso do papagaio e escreve a fórmula que permite
calcular a área do losango.
6. Área do trapézio
41
HG
E F
DA
B
C
DA
B
C
Figura 1 Figura 2
Depois de construíres o trapézio ABCD e o seu interior (fig. 3), marca o ponto médio,
M, de CD. Selecciona o ponto M e no menu Transform selecciona a opção Mark
Center. Depois selecciona a figura toda e no menu Transform selecciona a opção
Rotate. O ângulo de rotação é 180º.
a) Que figura obtiveste?
b) Com a ajuda do Sketchpad mede as áreas do trapézio e da figura que obtiveste
ABA’B’. Que relação existe entre essas áreas?
c) Arrasta os vértices do trapézio e verifica se a tua conjectura se mantém.
d) Qual é a formula que permite calcular a área dessa nova figura?
e) Tendo em conta o trapézio inicial tenta escreve a fórmula que permite calcular a sua
área
42
Figura 3
M
A D
B C
A B
C
Figura 1
Tarefa 15 — Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras relaciona triângulos rectângulos e quadrados construídos sobre
os seus lados.
1. Para não teres que construir vários quadrados vamos criar uma ferramenta que
construa imediatamente quadrados, dado o seu lado.
(i) Num sketch novo (não pode ser uma página nova) constrói um quadrado. Selecciona
o quadrado e na Barra de Ferramentas selecciona o botão
(ii) Agora selecciona Create New Tool. No menu que surgir escreve “Quadrado”.
(iii) Para teres acesso a esta nova ferramenta tens que gravar o sketch da seguinte
maneira:
no menu File selecciona a opção Save As. Procura a pasta
Programas; dentro desta escolhe a pasta Sketchpad 4.0 e
dentro desta escolhe a pasta Tool Folder.
(iv) Agora, sempre que usares o Sketchpad tens acesso à ferramenta que constrói
quadrados. Experimenta-a num novo sketch. Conseguiste construir quadrados?
2. Constrói um triângulo rectângulo. O lado maior desse rectângulo chama-se
hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos. Sobre esses lados constrói
quadrados como mostra a figura 1.
a) Na figura 1 indica quais são os lados do triângulo
ABC que são catetos e qual é hipotenusa.
43
b) Mede as áreas dos quadrados. Arrasta um dos vértices do triângulo e tenta encontrar
uma relação entre as três áreas. Escreve uma conjectura que relacione as áreas dos
quadrados
3. O teorema de Pitágoras costuma ser escrito na forma de equação, utilizando letras
que representam os lados dos quadrados. Para isso é preciso considerar que AB=a,
AC=b e BC=c e pensar na fórmula que permite calcular a área de um quadrado.
a) Tenta escrever a conjectura da questão 2b) usando estas letras anteriores.
4. O teorema de Pitágoras também pode ser escrito utilizando linguagem corrente:
Num triângulo _______________, o _______________ da
hipotenusa é igual à ______________ dos _________________ dos
catetos.
5. E se o triângulo não for rectângulo será que o teorema de Pitágoras ainda é
válido?
a) Desenha um triângulo acutângulo e quadrados nos seus lados. O teorema de
Pitágoras é válido?
b) Desenha um triângulo obtusângulo e quadrados nos seus lados. O teorema de
Pitágoras é válido?
44
Tarefa 16 — Demonstração do teorema de Pitágoras
1. O teorema de Pitágoras pode ser demonstrado de muitas formas diferentes. Nós
vamos utilizar a demonstração de Perigal.
(i) Constrói um triângulo rectângulo com quadrados sobre os seus lados.
(ii) Constrói as diagonais do quadrado que está sobre o cateto AB (o cateto maior do
triângulo rectângulo) e encontra o seu centro (ponto onde se cruzam as diagonais)
(iii) Constrói a recta paralela a CB (a hipotenusa do triângulo rectângulo) que passa pelo
centro anterior.
(iv) Constrói a recta perpendicular à hipotenusa do triângulo rectângulo e que também
passa pelo centro anterior (figura 1).
(v) Marca os pontos onde as rectas anteriores se intersectam com os lados do quadrado
(figura 1).
(vi) Constrói o interior dos quatro quadriláteros que dividem o quadrado (figura 2).
(vii) Constrói também o interior do quadrado que está sobre o cateto AC (o mais
pequeno do triângulo rectângulo).
(viii) Esconde todos os pontos que estão na figura. Ficaste com as cinco peças de um
“puzzle”.
2. Vamos investigar se é possível colocar essas peças dentro do quadrado que está sobre
a hipotenusa (CB), de tal modo que não se sobreponham.
45
Figura 1
A B
C
A B
C
Figura 2
a) Para fazeres essa experiência tens que seleccionar as várias peças (uma de cada vez)
e no menu Edit seleccionar a opção Cut seguida da opção Paste. Podes agora tentar
recolocar as peças no quadrado que está sobre a hipotenusa. O que observas?
3. O que prova isto? Explica como este puzzle demonstra o teorema de Pitágoras.
4. Será que funciona para qualquer triângulo rectângulo? (Experimenta alterar o
triângulo inicial e repete os passos da questão 2.)
5. Existem muitas demonstrações do teorema de Pitágoras. Uma delas está no sketch
ficha 16. Abre-o e responde às questões que lá estão.
46
Tarefa 17 — Ternos Pitágoras
Com esta investigação pretende-se que descubras conjuntos de três números inteiros que
satisfaçam o teorema de Pitágoras. Se isso acontecer então esses números são os lados
de um triângulo rectângulo.
1. Os números 3, 4 e 5 formam um terno pitagórico?Ajuda 1: Começa por construir segmentos de recta exactamente com 3,
4 e 5 cm. (i) Para cada um deves marcar um ponto no sketch; (ii) depois
selecciona no menu Transform e escolhe a opção Mark Center; (iii)
depois selecciona o ponto e no mesmo menu escolhe a opção Translate;
(iv) na janela que surgir escolhe para Fixed Distance 3 cm e para Fixed
Angle o ângulo 0º (para que o segmento seja horizontal); (v) Repete o
processo para obteres os outros dois segmentos.
Ajuda 2: Numa tarefa anterior aprendeste a construir triângulos dados os seus três lados. Consulta-a e
constrói o triângulo que tem por lados 3, 4 e 5 e verifica se é um triângulo rectângulo.
Encontrar outros ternos pitagóricos.
2. Há uma outra maneira de verificar que três números formam um terno pitagórico.
Para isso temos que considerar o teorema de Pitágoras escrito na forma de equação.
Tenta encontrar mais ternos pitagóricos usando essa equação.
47
3 cm
4 cm
5 cm
Tarefa 18 — Circunferência e círculo
Lugar geométrico diz respeito ao conjunto de pontos que têm uma certa propriedade.
1. Circunferência
(i) Desenha uma circunferência; (ii) coloca um ponto sobre a circunferência; (iii) mede
a distância desse ponto ao centro da circunferência.
Qual é a propriedade que os pontos da circunferência apresentam?
2. Círculo
Muitas vezes circunferência e círculo são lugares geométricos confundidos. Mas, a
grande diferença é que também fazem parte do círculo os pontos que se encontram no
interior da circunferência. Com a ajuda do Sketchpad constrói um círculo.
Qual é a propriedade que os seus pontos apresentam?
3. Coroa circular
Uma figura não muito falada é a coroa circular.
(i) Desenha duas circunferências que tenham o mesmo centro.
(ii) A coroa circular é a porção do plano que fica entre as duas circunferências.
a) Desenha a coroa circular que obtiveste com a ajuda do Sketchpad.
b) Quanto medem os raios?
c) Que propriedades têm os pontos que fazem parte da coroa circular que desenhaste?
48
Resumo
Circunferência é o _______________ _______________ dos pontos do plano que se
encontram a _______________ distância de um dado ponto, o _______________ .
Círculo é o _______________ _______________ dos pontos do plano situados numa
_______________, ou no seu _______________.
Coroa circular é o _______________ _______________ dos pontos do plano situados
entre _______________ _______________ com o mesmo _______________.
49
CB = 2,94 cmCA = 2,96 cm
A B
C
Tarefa 19 — Mediatriz de um segmento de recta
Mediatriz de um segmento é o conjunto de pontos que se situam a igual distância dos
extremos do segmento.
1. (i) Desenha o segmento de recta AB; (ii) marca o ponto C que não pertence ao
segmento AB; (iii) mede a distância de C a A; (iv) mede a distância de C a B; (v) arrasta
o ponto C até que as distâncias entre a A e C e entre B e C sejam iguais (ou quase); (vi)
marca outros pontos e repete os passos anteriores.
Qual é o lugar geométrico dos pontos que situam a igual distância dos pontos A e B?
2. Desenhar duas circunferências que tenham o mesmo raio e centros nas extremidades
do segmento.
a) Desenha a seguinte figura num sketch.
b) Os pontos onde as duas circunferências se intersectam definem uma recta a que
chamamos _____________.
c) O segmento AB é intersectado pela mediatriz num ponto. Qual é a distância desse
ponto a cada um dos extremos do segmento AB?
d) Qual seria o nome lógico a dar ao ponto anterior? Porquê?
50
raio
A B
e) Qual é a relação entre um segmento e a sua mediatriz? Consegues arranjar uma
justificação?
3. Constrói um segmento de recta e a sua mediatriz. Que quadriláteros consegues obter
se unires os dois extremos do segmento e dois pontos que pertençam à mediatriz? Tenta
justificar.
51
Tarefa 20 — Circunferência circunscrita e circuncentro
1. (i) Desenha um triângulo ABC qualquer; (ii) constrói as mediatrizes dos lados do
triângulo; (iii) arrasta os vértices e verifica o que acontece às mediatrizes. Escreve uma
conjectura sobre as mediatrizes do triângulo.
2. O ponto onde as mediatrizes se encontram chama-se circuncentro.
a) Mede a distância entre o circuncentro e os vértices do triângulo. O que
observas?
b) Constrói a circunferência que tem centro no circuncentro e passa no vértice
A. O que observas?
Circunferência circunscrita é a circunferência que tem como centro o
________________.e passa pelos _____________ do _________________.
52
Tarefa 21 — Problemas
Podes utilizar o Sketchpad em todos os problemas seguintes. Grava os sketches que
utilizares.
1. Marca um ponto P. Marca 6 pontos que estejam a 6 cm do ponto P. Que figura
geométrica obtiveste?
2. O Nuno e o Pedro estão a 7 metros um do outro. A Ana Rita está a 5 metros do Nuno
e a 4 metros do Pedro. Onde está a Ana Rita?Ajuda: No desenho podem consideram 1 metro com sendo 1 cm.
3. Num jogo de basquetebol a bola está a 4 metros do Manuel e a 5 metros da Sara.
Onde está a bola?
4. Constrói uma circunferência e dois pontos sobre ela. Quais são os pontos que estão à
mesma distância desse dois pontos?
Um desse pontos é o _________ da _______________.
5. Desenha o rectângulo ABCD, em que A e C são vértices opostos, AB=10 cm e BC=
6 cm.
a) Qual é o lugar geométrico dos pontos que estão a menos de 3 cm do vértice B?
b) Qual é o lugar geométrico dos pontos que estão a mais perto de C do que de A?
53
6. O Tiago, o Pedro e a Joana vivem à mesma distância da paragem da camioneta que os
leva para a escola. Onde se situa a paragem?
7. O Sr. António tem uma vaca presa a um dos vértices do estábulo que tem a forma
rectangular. Sabendo que a corda tem 4 metros, qual é a área em que vaca pode pastar?
8. Desenha um triângulo em que os lados medem 9 cm, 6 cm e 5 cm. Constrói a
circunferência que passa nos três vértices.
9. Desenha duas rectas paralelas. Qual será o caminho de uma aranha sabendo que se
desloca respeitando as seguintes regras:
-entre as duas rectas;
-paralelamente às rectas;
-sempre à mesma distância de ambas as rectas?
54
Tarefa 22 — Translações e suas propriedades
1. (i) Desenha a letra inicial do teu nome em forma de polígono; (ii) constrói o interior
da letra; (iii) selecciona a letra e no menu Transform escolhe a opção Translate; (iv) na
janela que surgir escolhe a distância e o ângulo que quiseres; (v) repete o processo para
que a letra surja em várias posições; (vi) arrasta um dos pontos da letra inicial.
O que observas? O que acontece à forma da letra? E ao seu tamanho?
2. (i) Desenha o segmento AB e a letra inicial do nome do teu colega; (ii) selecciona os
pontos A e B, por esta ordem, e no menu Transform escolhe a opção Mark Vector e
depois selecciona a letra e a opção Translate; (iii) arrasta o ponto A.
O que observas? O que acontece à forma da letra? E ao seu tamanho?
3. Indica propriedades das translações.
55
A
B
Tarefa 23 — Vectores e adição de vectores
1. (i) Desenha o segmento AB e um triângulo qualquer (AB vai ser o vector que permite
fazer translações); (ii) selecciona os pontos A e B, por esta ordem, e no menu Transform
escolhe a opção Mark Vector e depois selecciona a opção Translate; (iii) selecciona o
triângulo novo e repete o processo (figura 1); (iv) desenha o segmento CD e procede
como na questão anterior (figura 2).
Arrasta os pontos A, B, C e D. Regista o que observas.
2. Um vector tem sempre uma direcção, um sentido e um comprimento.
Completa:
a) vector AB: direcção – horizontal
sentido – da esquerda para a direita
comprimento – _______________ (completa com o valor do teu sketch)
b) vector CD: direcção – ____________________________________
sentido – _____________________________________
comprimento – ________________________________
56
Figura 1
A B
A BC
D
Figura 2
c) vector BA: direcção – ____________________________________
sentido – _____________________________________
comprimento – ________________________________
d) vector DC: direcção – ____________________________________
sentido – _____________________________________
comprimento – ________________________________
3. Numa nova página do sketch desenha os segmentos AB e BC. De tal modo que
tenham direcções diferentes e o triângulo (figura 3).
a) Selecciona o interior do triângulo e aplica o vector AB. À figura que aparecer aplica
o vector BC. O que observas? (desenha aqui um esquema do sketch)
b) Selecciona o interior do triângulo inicial e aplica o vector AC. Arrasta um dos pontos
iniciais. O que aconteceu? Faz uma conjectura sobre o que observas.
c) Será correcto dizer: “A soma do vector AB com o vector BC é o vector AC”?
(abreviadamente ) Porquê?
57
Figura 3
AB
C
AB + BC = AC
Tarefa 24 — Pavimentações com translações
1. (i) Constrói um rectângulo ABCD; (ii) esconde os lados e constrói dois pontos
quaisquer no lado AC e une-os como mostra a figura 1; (iii) faz uma translação desses
segmentos através do vector AB; (iv) repete o mesmo para o lado AB e faz uma
translação desses segmentos através do vector AC (figura 2); (v) constrói o interior da
figura que construíste; (vi) faz translações dessa figura segundo os vectores AB e AC.
a) Descreve o que observas.
b) Achas que conseguirias cobrir o sketch todo com essas figuras?
2. a) Se aplicares à figura original o vector AC e seguido do vector CD onde ficará a
figura? Apresenta um esquema desta situação.
b) Se aplicares à figura original o vector AD onde ficará a figura? Apresenta um
esquema desta situação.
3. E se partíssemos inicialmente de outros quadriláteros também conseguiríamos
pavimentar? E com triângulos? Regista as tuas descobertas.
58
Figura 1 Figura 2
D
A B
CD
A B
C
Tarefa 25 — Semelhança de triângulos
1. (i) Desenha o triângulo ABC; (ii) marca o ponto E e faz passar por ele, rectas
paralelas aos lados do triângulo ABC (figura 1).
Figura 1
a) Mede os ângulos de ambos os triângulos. Arrasta um dos pontos originais. O que
observas?
b) Mede os lados de ambos os triângulos e divide os lados correspondentes ( ,
etc.). Arrasta um dos pontos originais. O que observas?
c) Para que dois triângulos sejam semelhantes, como é o caso dos triângulos ABC e
DEF os seus ângulos e os seus lados têm que respeitar determinadas condições. Quais
são?
2. Os casos LLL, LAL e AA da igualdade de triângulos, que estudámos na ficha 6,
podem ser adaptados à semelhança de triângulos. Preenche os espaços:
a) LLL: Dois triângulos são semelhantes se, de um para o outro, têm ___________________________
___________________________________________________________________________________
b) AA (era ALA na igualdade de triângulos): Dois triângulos são semelhantes se, de um para o
outro, têm __________________________________________________________________________
59
F
B
CA
E
D
c) LAL: Dois triângulos são semelhantes se, de um para o outro, têm ___________________________
___________________________________________________________________________________
3. a) Calcula o perímetro e a área dos dois triângulos semelhantes ABC e DEF. Divide-
os e compara com os valores obtidos com a divisão de lados correspondentes. Arrasta
um dos pontos originais e verifica o que acontece.
b) Escreve uma conjectura que relacione os perímetros de triângulos semelhantes e
outra que relacione as suas áreas.
60
Centro
Figura 3
Tarefa 26 — Construção de figuras semelhantes
1. (i) Constrói um rectângulo e traça uma das suas diagonais; (ii) constrói um outro
rectângulo dentro do anterior como mostra a figura 1.
Será que estes dois rectângulos são semelhantes? Porquê?
2. Desenha um triângulo qualquer e traça uma recta paralela a um dos seus lados (figura
2).
Será que os triângulos ABC e CDE são semelhantes? Porquê?
3. (i) Constrói um quadrilátero qualquer e o seu interior; (ii) marca um ponto fora do
quadrilátero e chama-lhe “centro” (figura 3); (iii) selecciona o interior do quadrilátero e
no menu Transform e escolhe a opção Dilate, com centro no ponto “centro”; (iv) a
janela que surge tem uma fracção que representa a razão de semelhança; (v) no
numerador coloca 2 e no denominador coloca 1 (a razão de semelhança vai ser 2).
61
Figura 1
E
A
C
B
D
Figura 2
a) Os dois quadriláteros são semelhantes? Porquê?
b) Qual é a relação entre os perímetros e as áreas dos dois quadriláteros? Justifica a tua
resposta.
4. Constrói um triângulo rectângulo em A e a altura referente à hipotenusa (figura 4).
a) Os triângulos APC e APB são semelhantes entre si? Porquê?
b) O triângulo APC é semelhante ao triângulo ABC? E o triângulo APB é semelhante
ao triângulo ABC? Porquê?
62
Figura 4
P
A
B
C