capitulo ii ~ mÉtricas

7/25/2019 CAPITULO II ~ MTRICAS

1/24

CAPITULO II

2. MARCO TERICO CONCEPTUAL DE LOS MTODOS

ESTADISTICOS

Introduccin

En este capitulo se define la estadstica descriptiva y los mtodos

estadsticos multivariados que se utilizaron en el presente estudio. Dentro de

los mtodos estadsticos multivariados descritos estn: (i) el anlisis de

componentes principales, el cual detalla, sus caractersticas, ob etivos y la

e!plicaci"n de la obtenci"n de ellas. El se#undo mtodo multivariado definido

es (ii) el anlisis de con#lomerados, en este, se describen los ob etivos, las

medidas de seme anza, distancia y las tcnicas de a#rupamiento. $omo

%ltimo mtodo se tiene (iii) el anlisis discriminante, en el cual se detalla la

obtenci"n de las funciones discriminante para los casos de dos o mas

#rupos.

2.1. Estad stica D!scri"ti#a

Ti"os d! Cur#a


2/24

En ocasiones, las frecuencias tienden a acumularse en el lado izquierdo de

la #rafica con una cola o rama que se e!tiende &acia la derec&a. 'e dice que

dic&a curva es sesgada o asimtrica. 'i la cola o e!tremidad va &acia la

derec&a, este tipo de sesgo (o asimetra ) se conoce como positivo . Esta

condici"n se denomina como ses#o ne#ativo.

as curvas pueden clasificarse tambin con base en su #rado de

a#udizaci"n o curtosis . ay tres tipos de curtosis. $uando la curva es muy

a#uda y los e!tremos o cola estn mas por encima de la lnea de la base.

Dic&a curva se llama leptocrtica. a curva que es al#o ac&atada se

denomina mesocrtica, en tanto que la curva muy aplanada, se llama

platocrtica .

Dia$ra%a d! Ca&a

*n dia#rama de ca a es una ilustraci"n #rfica, basada en cuartiles, que

ayuda a visualizar un con unto de datos.

'e requieren cinco tipos de datos para construir un dia#rama de ca a: el valor

mnimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor m!imo.

'i$ura 2.1Dia$ra%a d! Ca&a

37


3/24

+uente: .-. Do nie y /.0. eat&, 1234

5utor: 6amela $ro

Pru!(as d! )ondad d! A&ust!

E!isten diferentes pruebas para verificar el a uste de los datos a una

distribuci"n de probabilidad. as dos mas utilizadas son el contraste de X 2 de

Pearson y la prueba de Kolmogorov-Smirnov .

Pru!(a d! *o+%o$oro#,S%irno#

Este contraste, que es valido %nicamente para variables continuas, compara

la funci"n de distribuci"n (probabilidad acumulada) te"rica con la observada,

calcula un valor de discrepancia, representado &abitualmente como D, que

corresponde a la discrepancia m!ima en valor absoluto entre la distribuci"n

observada y la distribuci"n te"rica, proporcionando asimismo un valor de

probabilidad P , que corresponde, si estamos verificando un a uste a la

distribuci"n normal, a la probabilidad de obtener una distribuci"n que

discrepe tanto como la observada si verdaderamente se &ubiera obtenido

38


4/24

una muestra aleatoria, de tama7o n, de una distribuci"n normal. 'i esa

probabilidad es #rande no &abr por tanto razones estadsticas para suponer

que nuestros datos no proceden de una distribuci"n, mientras que si es

peque7a, no ser aceptable suponer ese modelo probabilstica para los

datos.

2.2. Estad stica Mu+ti#ariada

2.2.1. Introduccin

a estadstica multivariada es usada para describir y analizar observaciones

multidimensionales o multivariadas. *na observaci"n multidimensional se

obtiene cuando se releva informaci"n sobre varias variables para cada

unidad o 8individuo9 en estudio. a Estadstica -ultivariada provee

&erramientas para comprender la relaci"n de dependencia entre variablesmedidas simultneamente sobre una misma unidad, para comparar, a#rupar

y o clasificar observaciones multivariadas e incluso para comparar, a#rupar y

clasificar variables. ;ran parte de la metodolo#a multivariada se basa en

los conceptos de distancia y de dependencia lineal. as distancias sern

usadas como medidas de variabilidad entre pares de puntos que

representan los datos multivariados y a partir de ellas es posible analizar

similitudes y diferencias entre observaciones y o variables. -ientras que el

anlisis univariado e!plora datos de cada variable independientemente, el

anlisis multivariado e!plora tablas de datos de varias variables y por tanto

permite contemplar distintos tipos de dependencias entre variables:

39


5/24

dependencias entre cada para de variables, entre una variable y todas las

restantes, entre pares de variables controlando por el efecto de otras en el

sistema multivariado y dependencia con unta entre todas las variables.

2.2.2. Matri- d! Datos Mu+ti#ariados

a or#anizaci"n de datos para un anlisis multivariado #eneralmente se lo

realiza en forma de una matriz con n filas, en cada fila se re#istran

observaciones de un mismo individuo, y cada una de las p columnas

representa una variable aleatoria. a Figura 2.2 muestra la matriz de datos

multivariados de dimensi"n n!p. 5 esta matriz de datos la llamaremos X ,

donde cada fila es un caso u observaci"n multivariada. *na observaci"n

multivariada es la colecci"n de mediciones sobre p variables diferentes

tomadas sobre el mismo tem o unidad ob eto de estudio.

'i$ura 2.2Or$ani-acin d! Datos Mu+ti#ariados

Variable

Caso

1 X 2 X j X p X

1 11 X 12 X ... 1 j X ... 1 p X

2 21 X 22 X ... 2 j X ... 2 p X . . . ... . ... .

. . . ... . ... .

n 1n X 2n X ... nj X ... np X

+uente: /enc&er 5., 1223 5utor: 6amela $ro

40


6/24

$ada observaci"n multivariada puede ser representada como un punto en el

espacio R p por un vector pbservando la matriz de datos multivariados puede observarse que los

valores de p variables medidas en n individuos representan la colecci"n de p

vectores columnas n


7/24

variables artificiales (siendo menor que p) las mismas que se pretende,

tendrn tanta informaci"n como las p variables ori#inales.

El 5$6 provee una apro!imaci"n para la construcci"n de nuevas variables y

para decidir cuntas de estas nuevas variables podran ser necesarias para

representar la informaci"n ori#inal.

2. .1. Caract!r sticas 0 O(&!ti#o

'e presenta al#ebraicamente como una combinaci"n lineal de las p

variables aleatorias observadas y #eomtricamente esta combinaci"n lineal

representa la creaci"n de un nuevo sistema de coordenadas obtenidas al

rotar el sistema ori#inal. 6ermite describir la estructura de interrelaci"n de

variables ori#inales consideradas simultneamente, determinando as q

combinaciones lineales de p variables observables que conten#an la mayor

parte de la variable total, y as resumir y reducir los datos disponibles.

El ob etivo de la tcnica consiste en:

/educir el n%mero de variables consideradas tanto como sea posible.

Encontrar una e!plicaci"n de los factores que inciden en el

comportamiento de las p variables ori#inales.

42


8/24

2. .2. Matri- d! arian-a , Co#arian-a

as componentes principales, dependen solamente de la matriz de

Farianzas


9/24

ten#a lon#itud 1. Esta restricci"n debe ser impuesta ya que de lo contrario la

varianza de la combinaci"n lineal podra incrementarse indeterminadamente

a travs de la multiplicaci"n del vector de coeficientes de la combinaci"n por

al#una constante.

2. . . Pro"orcin d! +a arian-a Po(+aciona+ Tota+

El numero de componentes principales posibles de construir es p, pero para

obtener una dimensi"n de reducci"n se selecciona un orden d J p de

combinaciones lineales, la cual retendr una proporci"n de varianza total no

menos del KLM y se usan estas combinaciones como nuevas variables para

#raficar y analizar los datos sin mayor prdida de informaci"n.

2. .3. O(t!ncin d! +as Co%"on!nt!s Princi"a+!s

6ara su obtenci"n no se requiere el supuesto de normalidad multivariada,

por otra parte, si las componentes principales se derivan de una poblaci"n

normal multivariada se tienen interpretaciones en trminos de las elipsoides

de confianza.

a tcnica de anlisis de datos, se basa en el al#ebra lineal, presenta

mtodos descriptivos que no &acen nin#%n tipo de &ip"tesis probabilsticas,

mas bien dan prioridad a la informaci"n pero en la b%squeda de

interpretaci"n de los factores, se pueden su#erir formulas de &ip"tesis, a

partir de los resultados

44


10/24

2. . An/+isis d! Con$+o%!radoEl 85nlisis de $on#lomerados9 es una tcnica multivariada que se utiliza

para a#rupar observaciones, variables o entidades de un con unto de datos

en base a sus seme anzas o diferencias. os ob etos pueden corresponder a

estructuras identificables como fsicas o psicol"#icas (personas, empresas,

pases, etc.). as variables son las caractersticas con respecto a las cuales

los ob etos varan entre s y que permiten diferenciarlos.

2. .1. O(&!ti#o d!+ An/+isis d! Con$+o%!rado

El anlisis de con#lomerado tiene como finalidad ubicar los ob etos en

#rupos o clusters de forma su#erida por los datos, no definidos 8a priori9, tal

que los ob etos en un #rupo dado tiendan a ser seme antes en al#%n aspecto

(co&esi"n interna del #rupo) y los ob etos en diferentes #rupos tiendan a ser

distintos (aislamiento e!terno del #rupo). ;eneralmente es utilizado para

conocer el n%mero de #rupos y la estructura de estos mismos. ay otros

usos que se le da al anlisis de con#lomerados como el de clasificaci"n

automtica, la cual parte de la e!istencia de un n%mero determinado de

#rupos y lo que &ace es &allar una se#mentaci"n razonable de los ob etos.

Nambin se lo usa para resumir datos o disminuir dimensi"n ms que

encontrar #rupos 8naturales9 o 8artificiales9, a este procedimiento se lo llama

tambin disecci"n.

45


11/24

2. .2. M!didas d! s!%!&an-aEn el anlisis de con#lomerados se parte de una matriz de datos n ! p

(supon#amos p mediciones o variables en cada uno de los n ob etos

estudiados) que lue#o es transformada en una matriz de pro!imidad (n ! n)

que mide la seme anza o la distancia entre pares de ob etos i y para i, I1,...,

n. ue#o se eli#e un al#oritmo de clasificaci"n que define las re#las

concernientes al procedimiento de a#rupaci"n de los ob etos o variables en

sub#rupos en base a sus pro!imidades. 5l#oritmos diferentes se basan en

diferentes definiciones de clusters y de seme anzas entre los ob etos a

a#rupar.

2. . . Distancias

Dado que el ob etivo bsico del anlisis de con#lomerados es medir la

asociaci"n entre las entidades a a#rupar, es necesario que se establezca

una medida de similaridad, o su complemento (medida de disimilaridad). En

la formaci"n de #rupos, la pro!imidad est dada por al#%n tipo de distancia.

a selecci"n de una medida de distancia apropiada es fundamental en el uso

de cualquier tcnica de a#rupamiento, sin embar#o la selecci"n de esta

depende de la naturaleza de las variables ya sean estas: binaria, discreta,

continua, de la escala de medici"n (nominal, ordinal, intervalo, cociente) y

del conocimiento del ob eto de estudio.

46


12/24

6ara los datos con propiedades mtricas pueden usarse distancias

derivadas de la mtrica de -in os i, mientras que con datos cualitativos o

atributos son ms apropiadas medidas de coincidencia o similaridad.

'upon#amos que se desea a#rupar n observaciones multivariadas, cada

una representada por un vector aleatorio p


13/24

Nransformar distancias en medidas de asociaci"n es bastante sencillo, la

similitud entre el ob eto i y k es 1 (1 Q d i ) si d i es la distancia entre ellos.

'in embar#o, lo contrario no es cierto, debido a que las distancias deben

satisfacer las condiciones de positividad, simetra y desi#ualdad trian#ular.

;o er mostr" que si la matriz de similitudes es definida no


14/24

son sometidas a un al#oritmo de clasificaci"n para a#rupar observaciones

y o variables.

2. . .1. T4cnicas d! a$ru"a%i!nto &!r/r5uico

as tcnicas de a#rupamiento errquicas estn or#anizados de tal manera

que un cluster puede estar contenido completamente dentro de otro cluster,

pero no est permitido otro tipo de superposici"n entre ellos. os al#oritmos

de clasificaci"n errquicos utilizados con fines de a#rupamiento pueden ser

acumulativos o a#lomerativos y divisorios.

En el caso de los a#lomerativos, estos se determinan a travs de fusiones de

los n ob etos variables por una serie de uniones sucesivas= donde en el inicio

&ay tantos #rupos como ob etos y los ob etos similares se a#rupan primero y

esos #rupos iniciales son lue#o unidos de acuerdo a sus similitudes, como

las diferencias van disminuyendo, al final todos los sub#rupos formarn un

solo #rupo. -ientras que en el caso de los divisorios particionan los n

ob etos variables en subdivisiones cada vez ms finas.

os mtodos ms utilizados en la prctica de anlisis estadstico de datos

son los mtodos acumulativos o a#lomerativos.

*tilizando el procedimiento errquico a#lomerativo, se muestran el si#uiente

dendro#rama los resultados del a#rupamiento, en el que se pueden observar

las uniones y o divisiones que se van realizando en cada nivel del proceso

de construcci"n de con#lomerados 6'i$ura 2. 7. En el dendro#rama se traz"

49


15/24

una lnea de referencia a nivel de una ma#nitud de distancia i#ual a L, en la

cual se pueden identificar L con#lomerados, si la referencia &ubiese estado

en 3, se &abran clasificado los ob etos en H #rupos.

'i$ura 2. D!ndro$ra%a Construido "or un Proc!di%i!nto 8!r/r5uico

A$+o%!rati#o d! C+asi9icacin

Encadenamiento promedio (average linkage)

S.SS 1.KH G.H3 L.BB 4.24 3.KS 1S.HH 1B.13

Distancia

H1KS

1L4BSBBHSLSKGG4LBBL1KLB1

KL4K

GGKLLL

+uente: /enc&er 5., 1223 5utor: 6amela $ro

*na de las principales caractersticas de los procedimientos de

a#rupamiento errquicos a#lomerativos es que la ubicaci"n de un ob eto en

un #rupo (cluster) no cambia, o sea, que una vez que un ob eto se ubic" en

un con#lomerado, no se lo reubica, s"lo puede ser fusionado con otros

50


16/24

ob etos pertenecientes a al#%n otro con#lomerado, para formar un tercero

que incluye a ambos.

Nodos los mtodos acumulativos proceden de manera seme ante:

1. $ada ob eto pertenece a un con#lomerado diferente, lue#o

B. 'e fusionan los dos ob etos variables ms cercano (con#lomerado)=

G. *n nuevo ob eto variable se a#re#a al con#lomerado formado por

esos dos ob etos variables u otros dos ob etos variables se fusionan

formando otro con#lomerado.

H. El proceso contin%a de manera similar &asta que, eventualmente,

se forma un solo con#lomerado que contiene todos los

ob etos variables como inte#rantes del mismo.

as tcnicas de a#rupamiento errquico difieren por las definiciones

alternativas de distancia o seme anza que utiliza. as tcnicas acumulativas

ms comunes son:

2.4.4.1.1. Encad!na%i!nto Si%"+! 6Sin$+! +in:a$!7

Este mtodo utiliza el concepto de mnima distancia y comienza buscando

los dos ob etos variables que la minimizan. Ellos constituyen el primer

con#lomerado. En las etapas si#uientes se procede como se &a e!plicitado

en el punto anterior, pero partiendo de n


17/24

con#lomerado formado anteriormente. a distancia entre con#lomerados

est definida como la distancia entre sus miembros ms cercanos.

Dado que el procedimiento de encadenamiento simple une con#lomerados

en funci"n de la mnima distancia entre ellos, el procedimiento puede tener

problemas cuando &ay #rupos muy cercanos o con cierta superposici"n. El

procedimiento de encadenamiento simple, es uno de los pocos

procedimientos de clasificaci"n que tienen un buen desempe7o con

confi#uraciones de con#lomerados no


18/24

Este al#oritmo si#ue el mismo procedimiento que los al#oritmos de

encadenamiento simple y completo e!cepto que las distancias entre

con#lomerados se definen como el promedio de distancias entre todos los

pares de puntos, con cada miembro del par perteneciendo a uno de los

con#lomerados del par.

.

2. . .1. . Otros Proc!di%i!ntos d! A$ru"a%i!nto 8!r/r5uicos

C!ntroid!

Noma el promedio de todos los ob etos en un con#lomerado (centroide) para

representar al con#lomerado y medir distancias entre ob etos y el

con#lomerado o entre con#lomerados.

;ard

6romedia todas las distancias entre los pares de ob etos en diferentes

#rupos, a ustando por las covarianzas.

2. . .2. Proc!di%i!ntos No,&!r/r5uicos

*no de los mtodos no errquico de a#rupamiento ms utilizado es el

procedimiento conocido como 8T


19/24

2. . .2.1. *,%!ans

El procedimiento comienza con un a#rupamiento inicial o con un #rupo de

puntos semilla (centroides) que formarn los centros de #rupo (partici"n

inicial del #rupo de ob etos en T items). 6rosi#ue asi#nando cada ob eto al

#rupo que tiene el centroide (media) ms cercano. ;eneralmente se utiliza

distancia Eucldea con observaciones estandarizadas o no. /ecalcula el

centroide para el con#lomerado que recibi" un nuevo tem y para el que lo

perdi". /epite el accionar descrito varias veces &asta que ya no e!isten ms

re


20/24

conoce a qu #rupo pertenecen. Esta observaci"n nueva (no usada en la

construcci"n de la re#la de clasificaci"n), se asi#nar al #rupo en el cual

tienen ms probabilidad de pertenecer en base a sus caractersticas

medidas. 6ara tal asi#naci"n es necesario definir re#las de clasificaci"n.

5 diferencia del anterior, en el anlisis discriminante descriptivo estamos ms

interesados en las variables empleadas para diferenciar los #rupos, y lo que

deseamos es determinar cules de esas variables son las que ms

diferencian a los #rupos, cuales son importantes y cuales no a efectos de

clasificar los su etos.

2.3.1. O(t!ncin d! +as 9uncion!s discri%inant!s

Ncnicamente, se puede decir que el anlisis discriminante tratar

de encontrar funciones de variables cuyos valores separen o discriminen lo

ms posible a los #rupos e!istentes. Estas funciones, denominadas

funciones o e es discriminantes, sern combinaciones lineales de las

variables ori#inales de la forma:

< I a S Q a 1? 1 Q a B? B Q C. Q a p? p

donde p es el n%mero de variables e!plicativas y los coeficientes Ua S, a 1,C.,

a pV se eli#en de tal forma que se consi#a la m!ima separaci"n entre los

#rupos e!istentes, es decir, tratando de que los valores que toman

estas funciones discriminantes W en los #rupos sean lo ms diferentes

posibles.

55


21/24

Varianza entre Grupo

Varianza !entro !e Grupo

Estadsticamente, este criterio equivale a ma!imizar la varianza 8entre

#rupos9 frente a la varianza 8dentro de #rupos9. 6or tanto, los coeficientes Ua S,

a 1,C., a pV se ele#irn de tal forma que se consi#a ma!imizar el valor del

cociente:

=__________________________

'i la varianza 8entre #rupos9 es #rande, es decir si &ay #randes

diferencias entre los valores que toma la funci"n W en los distintos

#rupos, pero la varianza 8dentro de #rupos9 es peque7a, es decir, los

valores de W para municipios de un mismo #rupo son muy similares, entonces

diremos que la funci"n discriminante separa bien a los #rupos, que sern,

internamente muy &omo#neos y a la vez muy diferentes entre s.

ay que se7alar que el n%mero de funciones que pueden obtenerse es el

mnimo entre el n%mero de variables e!plicativas disponibles y el

n%mero de #rupos menos uno. Estas funciones se obtienen de forma

sucesiva en funci"n de su capacidad discriminatoria. 5s, la primera

funci"n discriminante, que ser de la forma:


22/24

'er la si#uiente en capacidad discriminatoria y adems, estar

incorrelacionada con la funci"n anterior W 1.

En ciertas ocasiones, la capacidad discriminatoria de la primera funci"n,

W1, es tan #rande, que la informaci"n a7adida por la se#unda funci"n W B

apenas es relevante y sta se i#nora, ya que su contribuci"n a la separaci"n

entre los #rupos no es si#nificativa.

El ob etivo del anlisis discriminante es, precisamente, me orar la

separaci"n entre #rupos utilizando no s"lo un par de variables, sino

todas variables disponibles. 6ara ello, la informaci"n de todas las

variables se combina en unas funciones lineales que son las denominadas

funciones discriminantes

2.3.2. An/+isis Discri%inant! d! 'is=!r

+is&er (12G4) present" la primera apro!imaci"n a la clasificaci"n multivariante

para el caso de dos #rupos. os coeficientes propuestos por +is&er se utilizan

%nicamente para la 8clasificaci"n9. 5l solicitar esta opci"n se obtiene una

funci"n de clasificaci"n para cada #rupo. En el caso de dos #rupos, la

diferencia entre ambas funciones da lu#ar a un vector de coeficientes

proporcional a los coeficientes no tipificados de la funci"n discriminante

can"nica. 6ara aplicar estos coeficientes, se calcula cada una de las

funciones para un su eto dado y se clasifica al su eto en el #rupo en el que la

57


23/24

funci"n obtiene una puntuaci"n mayor.

Es importante mencionar que el mtodo de +is&er no requiere del supuesto

de normalidad multivariada, asume matrices de covarianzas &omo#neas

entre #rupos y usa la mtrica de -a&alanobis para la discriminaci"n.

2.3. . An/+isis Discri%inant! Cannico 6ADC7

$uando ms de dos #rupos o poblaciones describen la estructura de las

observaciones, el mtodo de +is&er es #eneralizado ba o el nombre de

anlisis discriminante can"nico.

a l"#ica del 5D$ para la separaci"n de los #rupos se sustenta en la

obtenci"n de la combinaci"n lineal (X) de las variables independientes (W i),

de forma que la correlaci"n entre X y W i sea ma!imizada. a idea bsica en el

5D$ es encontrar los valores de los coeficientes que ma!imicen la

correlaci"n entre X y W i. El 5D$ transforma las variables ori#inales en un

n%mero peque7o de variables compuestas, denominadas funciones o

variables can"nicas, que ma!imizan la variaci"n entre los #rupos y minimizan

la variaci"n dentro de ellos.

a combinaci"n lineal para una funci"n discriminante (X) puede ser

representada por:

X I Y 1 W1 Q YB WB Q ... Q Yi Wi

58


24/24

Donde Y i es el coeficiente can"nico y W i son las variables independientes

medidas.

El n%mero m!imo de funciones discriminantes can"nicas #eneradas es i#ual

al n%mero de #rupos menos uno.

a distancia de -a&alanobis (D B), definida como el cuadrado de la distancia

entre las medidas de los valores estandarizados de X (centros), fue utilizada

para verificar si e!istan diferencias si#nificativas entre los #rupos. De esa

forma, cuanto mayor el valor de D B, mayor la distancia entre las medias de

los dos #rupos considerados. El centro de cada #rupo representa el valor

medio discriminante de los individuos de cada tratamiento. El estadstico

lambda de 0il s fue usado para evaluar si las funciones discriminantes

can"nicas contribuyeron si#nificativamente en la separaci"n de los #rupos.

capitulo ii ~ mÉtricas

Documents