capÍtulo i- teoria das probabilidade
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CAPÍTULO I- TEORIA DAS PROBABILIDADE. Axiomas da Probabilidade. Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
CAPÍTULO I- TEORIA DAS PROBABILIDADE
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Axiomas da Probabilidade
Para qualquer evento A, associa-se um número P(A), chamado de probabilidade do evento A. Este número satisfaz as seguintes três condições denominadas de axiomas da probabilidade.
Note que (iii) estabelece que se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é igual a soma de suas probabilidades)
).()()( então , Se (iii)unitário) é amostras de espaço do dade(Probabili 1)( (ii)
negativo) não número um é dade(Probabili 0)( (i)
BPAPBAPBAP
AP
3
. A
As seguintes conclusões seguem dos axiomas:a. Se tem-se usando (ii)
Mas e usando (iii),
b. Similarmente, para qualquer evento A,
Então segue que:
Mas então,
c. Supondo que A e B não são disjuntos, como se deve
calcular a
, AA
.1)() P( PAA, AA
).(1)P(ou 1)P()()P( APAAAPAA
. )()( PAPAP
, AA .0 P
?)( BAP
4
Para se calcular a deve-se expressar em termos de eventos disjuntos, da forma:
onde A e são eventos disjuntos. Usando o axioma (iii), tem-se:
Para calcular pode-se expressar B como
e
obs. e são eventos disjuntos
BA
, BAABA
).()()()( BAPAPBAAPBAP
),( BAP
ABBAABABAABBB )()( )(
),()()( ABPBAPBP
ABBA BAAB
BA A BA
BA
)( BAP
)()()( ABPBPBAP
).()()()( ABPBPAPBAP
5
1.
Probabilidade Condicional e IndependênciaP(A|B) = Probabilidade do evento A dado que B ocorreu
Define-se como: com ,)()()|(
BPABPBAP .0)( BP
,00)(0)()|(
BP
ABPBAP ,1)()(
)()()|(
BPBP
BPBPBP2.
3. Se .)(
)()(
))(()|(BP
CBABPBP
BCAPBCAP
Mas então, BCAB ).()()( CBPABPCBABP
),|()|()()(
)()()|( BCPBAP
BPCBP
BPABPBCAP
Portanto,satisfaz todos os axiomas da probabilidade
,cA
6
Propriedades da Probabilidade Condicional
a. Se então
Visto que se então a ocorrência de B implica automaticamente na ocorrência de A.
b. Se, então:
, , BABAB
1)()(
)()()|(
BPBP
BPABPBAP
,AB
).()()(
)()()|( AP
BPAP
BPABPBAP
, , AABBA
c. Se então, BA 0)/( BAP
7
c. Pode-se usar a probabilidade condicional para expressar a probabilidade de um evento em termos de outros eventos. Seja eventos disjuntos, cuja união é igual a .
Assim, e.
1
n
iiA
nAAA ,,, 21
ji AA
.)( 2121 nn BABABAAAABB
Mas, , jiji BABAAA
n
iii
n
ii APABPBAPBP
11
).()|()()(
Chamado de teorema da probabilidade total
1A2A
nAiA
jAB
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Eventos Independentes
A e B são ditos serem independentes se
Supondo que A e B são independentes, então
Se A e B são independentes, o fato do evento B ter ocorrido, não fornece nenhuma informação a cerca do evento A. Não faz nenhuma diferença saber se A ou B ocorreu.
).()()( BPAPABP
).()(
)()()()()|( AP
BPBPAP
BPABPBAP
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Exemplo 1: Uma caixa contém 6 bolas brancas e 4 bolas pretas. Retira-se duas bolas aleatoriamente sem reposição. Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca e a segunda seja preta?Seja W1 = “ a primeira bola é branca”, B2 = “a segunda é preta”
Deseja-se calcular tem-se?)( 21 BWP
.122121 WBBWBW
).()|()()( 1121221 WPWBPWBPBWP
,53
106
466)( 1
WP ,94
454)|( 12
WBP
.27.04512
94
53)( 21 BWP
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São os eventos W1 e B2 independentes? Parece que não. Para verificar é necessário calcular P(B2). A primeira bola tem duas opções: W1 = “a primeira bola é branca” ou B1= “a primeira bola é preta”.
Note que e Então W1 juntamente com B1 formam uma partição. Assim
e
Como esperado, os eventos W1 e B2 não são independentes.
,11 BW .11 BW
,52
1524
52
31
53
94
104
363
53
454
)()|()()|()( 1121122
BPBBPWPWBPBP
.8120)(
53
52)()( 1212 WBPWPBP
11
Probabilidade Condicional
ou
Então:
Esta última equação é conhecida como teorema de Bayes
).()|()( BPBAPABP
,)()(
)()()|(
APABP
APBAPABP
).()|()( APABPABP
).()|()()|( APABPBPBAP
)()(
)|()|( APBP
ABPBAP
12
Uma versão mais geral do teorema de Bayes envolve uma partição do espaço de amostras .
,)()|(
)()|()(
)()|()|(
1
n
iii
iiiii
APABP
APABPBP
APABPBAP
,1 , niAi niABP i 1 ),|( .1 ),( niAP i
1A2A
nAiA
jAB)(
)()|()|( AP
BPABPBAP
n
iii
n
ii APABPBAPBP
11
).()|()()(
13
Exemplo 2: Duas caixas B1 e B2 contem 100 e 200 lâmpadas respectivamente. A primeira caixa (B1) tem 15 lâmpadas defeituosa e a segunda, 5. Suponha que uma caixa é selecionada aleatoriamente e uma lâmpada é retirada.
a) Qual é a probabilidade de que ela seja defeituosa?
Solução: A caixa B1 tem 85 lâmpadas boas 15 defeituosas A caixa B2 tem 195 boas e 5 defeituosas. Seja o evento D = “uma lâmpada defeituosa é retirada”.
.025.02005)|( ,15.0
10015)|( 21 BDPBDP
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Uma vez que uma caixa é selecionada aleatoriamente, então elas são igualmente prováveis.
Assim B1 e B2 formam uma partição, então:
Portanto, a probabilidade de se tomar uma lâmpada defeituosa é de aproximadamente 9% .
.21)()( 21 BPBP
.0875.021025.0
2115.0
)()|()()|()( 2211
BPBDPBPBDPDP
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b) Supondo que se testa uma lâmpada e verifica-se que ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela provenha da caixa B1?
Sabe-se que a priori que toma-se então aleatoriamente uma caixa, testa-se Uma lâmpada e verifica-se que é defeituosa. Pergunta-se: Essa informação pode levar a alguma pista de que a caixa selecionada foi a caixa 1? Tem-se que :
.8571.00875.0
2/115.0)(
)()|()|( 111
DPBPBDPDBP
;5.0)( 1 BP
,5.0857.0)|( 1 DBP 143.0)|( 2 DBP
(decisão: Máxima probabilidade a posterior)