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Capítulo 6 – Trabalho e Energia Cinética Muitos problemas de Mecânica não têm solução simples usando as Leis de Newton Exemplo: velocidade de um carrinho de montanha-russa durante seu percurso (mesmo desprezando atrito e resistência do ar) Em algumas situações, esses problemas podem ser resolvidos usando os conceitos de trabalho e energia e o princípio de conservação da energia O princípio de conservação da energia tem validade muito além da Mecânica Clássica, tratando-se de um princípio geral da Física

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Page 1: Capítulo 6 – Trabalho e Energia Cinéticacapaz/fisica1/AulaMagna5.pdf6.3 – Trabalho e energia com forças variáveis • Se a força não for constante ... • Cálculo da velocidade

Capítulo 6 – Trabalho e Energia Cinética • Muitos problemas de Mecânica não têm solução simples usando as Leis de Newton • Exemplo: velocidade de um carrinho de montanha-russa durante seu percurso (mesmo desprezando atrito e resistência do ar) • Em algumas situações, esses problemas podem ser resolvidos usando os conceitos de trabalho e energia e o princípio de conservação da energia

O princípio de conservação da energia tem validade muito além da Mecânica

Clássica, tratando-se de um princípio geral da Física

Page 2: Capítulo 6 – Trabalho e Energia Cinéticacapaz/fisica1/AulaMagna5.pdf6.3 – Trabalho e energia com forças variáveis • Se a força não for constante ... • Cálculo da velocidade

• Distinção entre o conceito de trabalho em Física e a noção intuitiva de “esforço muscular”

• Trabalho de uma força constante no sentido do deslocamento:

6.1 – Trabalho

x

F

d

FdW = Unidade S.I.: joule=newton.metro (J=N.m)

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• Se a força não estiver na direção do deslocamento:

x

F

d

F

φcos|| FF =

φsenFF =⊥φ

φcosFddFW =⋅=

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• Trabalho é uma grandeza escalar, podendo ser positivo, negativo ou nulo:

Exemplo: Y&F 6.2

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6.3 – Trabalho e energia com forças variáveis • Se a força não for constante (mas ainda movimento retilíneo):

Suponha que a componente x da força varie com a posição da seguinte forma:

x

Fx

0

Vamos dividir o deslocamento entre x1 e x2 em pequenos deslocamentos de tamanho Δx

x1 x2 Δx

Em cada pequeno deslocamento, a força é aproximadamente constante, de modo que: xFW x∆=∆

Page 6: Capítulo 6 – Trabalho e Energia Cinéticacapaz/fisica1/AulaMagna5.pdf6.3 – Trabalho e energia com forças variáveis • Se a força não for constante ... • Cálculo da velocidade

x

Fx

0 x1 x2 Δx

O trabalho realizado em cada deslocamento infinitesimal é:

xFW x∆=∆

xF

Note que é a área do retângulo sombreado xFW x∆=∆

Desta forma, somando-se todos pequenos trabalhos realizados em cada deslocamento infinitesimal, obtemos o trabalho total entre x1 e x2 como a soma das áreas de todos os retângulos.

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x

Fx

0 x1 x2

No limite a soma das áreas dos retângulos torna-se a área sob a curva

0→∆x

xF

Δx

)(xFx

W

Esta área é integral definida da função entre as posições e )(xFx 1x 2x

∫=2

1

x

xxdxFW

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• Exemplo 1: Força constante (devemos recuperar a expressão obtida anteriormente)

x

Fx

0 x1 x2

W

F

d = x2 - x1

( )∫∫ =−===2

1

2

1

12

x

x

x

xx FdxxFdxFdxFW

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• Exemplo2: Força para esticar uma mola (Lei de Hooke)

x

Fx

0 X

W

Robert Hooke

2

00 21 kXkxdxdxFW

XX

x === ∫∫

Constante de mola (unidades S.I.: N/m)

kXÁrea do

triângulo: 2

21))((

21 kXkXXW ==

Atenção: Este é o trabalho realizado sobre a mola pelo agente externo. Trabalho realizado pela mola é negativo!

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6.2 – Energia cinética e teorema trabalho-energia • O trabalho está relacionado a variações na velocidade de um corpo • Considere o trabalho de uma força resultante sobre um corpo em 1D:

∫=2

1

x

xxtot dxFW ∫=

2

1

x

xxdxma

• Note que:

dxdvv

dtdx

dxdv

dtdva x

xxx

x ===

• Assim: ∫=

2

1

x

x

xxtot dx

dxdvmvW ∫=

2

1

v

vxxdvvm

21

22 2

121 mvmvWtot −=

2

21 mvK =Definindo a energia cinética:

KKKWtot ∆=−= 12

Teorema trabalho-energia!

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Exemplo: revisitando o problema de queda livre por uma altura h • Cálculo da velocidade final supondo que o objeto foi solto a partir do repouso:

h

v

m 00 =v Trabalho realizado pelo peso (força constante):

gm

mghW =

Variação de energia cinética: 021 2 −=−=∆ mvKKK if

Teorema trabalho-energia: KW ∆=

2

21 mvmgh =

ghv 2=

Mesmo resultado obtido anteriormente, quando estudamos o problema de queda livre

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Significado da energia cinética de uma partícula: • trabalho total realizado para acelerá-la a partir do repouso até sua velocidade presente • trabalho total que ela pode realizar no processo de ser conduzida até o repouso Exemplo: Y&F 6.4

Vídeo “Physics Demonstrations in Mechanics” VI.3 e VI.4

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Teorema trabalho-energia para o movimento ao longo de uma curva:

Trajetória F F

F

F

F

F

F

• Vamos dividir a trajetória em pequenos segmentos infinitesimais

• Em cada segmento, o movimento é aproximadamente linear e a força é aproximadamente constante, de modo que a contribuição para o trabalho total é:

ld

ldFdW

⋅=

• Assim, o trabalho total é:

∫ ⋅=2

1

P

P

ldFW

1P

2P

Integral de trajetória

• Teorema trabalho-energia:

KldFWP

P

∆=⋅= ∫2

1

ld

Exemplo: Y&F 6.8

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6.4 – Potência • Taxa temporal de realização de trabalho • Potência média: t

WPm ∆∆

=

• Potência instantânea: dt

dWt

WPt

=∆∆

=→∆ 0

lim

• Unidade S.I.: watt = joule/segundo (W=J/s)

James Watt

Atenção: quilowatt.hora (kW.h) é unidade de energia e não de potência (trabalho realizado durante 1h quando a potência vale 1 kW)

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Podemos reescrever a expressão para a potência da seguinte maneira:

• Potência instantânea: dt

dWP =

ldFdW

⋅=

dtldFP

⋅= v (velocidade)

vFP ⋅=

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Próximas aulas:

6a. Feira 16/09: Aula de Exercícios (sala A-327)

4a. Feira 21/09: Aula Magna (sala A-343) e teste do Cap. 6

6a. Feira 23/09: Aula de Exercícios (sala A-327)