capitulo 6 – resolução de exercícios -...
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Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 53
FORMULÁRIO
Conjuntos Equivalentes no Regime de Juros Simples./Vencimento Comum.
Desconto Racional ou Por Dentro
1 2 1 2
1 2 1 2
... ...1 1 1 1 1 1
m
m
CC C C C C
i n i n i n i n i n i n
11 1
mk
k k
CC
i n i n
Desconto Por Fora ou Comercial
1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1m mC i n C i n C i n C i n
1
1 1m
k k
k
C i n C i n
Conjuntos Equivalentes no Regime de Juros Compostos./Vencimento Comum.
Desconto Racional Composto ou Composto Por Dentro
1 2 1 2
1 2 1 2
' ' '
' ' '
1 1 1 1 1 1m
m
n n n n n n
CC C C C C
i i i i i i
11 1k
mk
n nk
CC
i i
Desconto Comercial Composto ou Composto Por Fora
1 2 1 2
1 2 1 21 1 ... 1 1 1 ... 1mn n n n n n
mC i C i C i C i C i C i
1
1 1k
mn n
k
k
C i C i
Vencimento Médio 1 2 ... mC C C C
no caso de desconto simples por fora 1 1 2 2
1 2
...
...
m m
m
C n C n C nn
C C C
Compras a Prazo
Desconto Racional Simples 1
1
1
n
k
V E Rk i
Desconto Comercial Simples
2 1 2;
2 2 1
i n V EV E R n R
n i n
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 54
Desconto Racional Composto
1 1
1
n
n
iV E R
i i
;
1
1 1
n
n
i iR V E
i
Desconto Comercial Composto
11 1
ni i
V E Ri
;
1
1 1n
V E iR
i i
Taxa Implícita na Compra a Prazo
*
* *
1 1
1n
V E
R i i i
Fórmula Aproximada de Karpin (Compra a Prazo) n R F
F
;
2 3ˆ
2 3 1i
n n
Caso de Prestações Decrescentes em Progressão Aritmética
1 1 ; 1,2,...,jP P j r j n ; 1F n P n r ;
* n ri
F
Caso de Prestações em Progressão Geométrica
1
1 , 1,2 ,j
jP P q j n ;
1n P q F
q F
;
2 3ˆ 1 1
2 3 1i q
n n
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 55
6.9— Exercícios Propostos
1) Determinar, sendo a taxa de juros de 3% a.m., o valor nominal de um título capaz de, com
vencimento para 30 dias, substituir, na data de hoje, outro com valor nominal de R$
1.000,00, vencível em 120 dias, considerando:
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Racional Composto
d) Desconto Comercial Composto
Solução
a) Desconto Racional Simples
1000$ 919,64
1 1 1 0,03 1 1 0,03 4
C C CC R
i n i n
b) Desconto Comercial Simples
1 1 1 0,03 1 1000 1 0,03 4 $ 907,22C i n C i n C C R
c) Desconto Racional Composto
' 1 4
' 1000$ 915,14
1 1 1 0,03 1 0,03n n
C C CR
i i
d) Desconto Comercial Composto
1 4
1 1 1 0,03 1000 1 0,03 $ 912,67n n
C i C i C C R
2) Determinar, sendo a taxa de juros de 3% a.m., o valor nominal de um título capaz de, com
vencimento para 30 dias, substituir, na data de hoje, uma sequência de 4 pagamentos
iguais com valor nominal de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro em 120 dias e os seguintes
a cada trinta dias, considerando:
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Racional Composto
d) Desconto Comercial Composto
Solução
a) Desconto Racional Simples
3 1 2 4
1 2 3 41 1 1 1 1
1000 1000 1000 1000
1 0,03 1 1 0,03 4 1 0,03 5 1 0,03 6 1 0,03 7
CC C CC
i n i n i n i n i n
C
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
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892,85714 869,56522 847,45763 826,446281,03
3436,32627 $ 3.539,421,03
C
CC R
b) Desconto Comercial Simples
1 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1 1C i n C i n C i n C i n C i n
1 0,03 1 1000 1 0,03 4 1 0,03 5 1 0,03 6 1 0,03 7
0,97 3340 $ 3.443,30
C
C C R
c) Desconto Racional Composto
1 2 3 4
31 2 4
1 4 5 6 7
1 1 1 1 1
1000 1000 1000 1000
1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03
888,48705 862,60878 837,48426 813,09151 3401,671601 0,03
$ 3.503,72
n n n n n
CC C CC
i i i i i
C
C
C R
d) Desconto Comercial Composto
1 2 3 4
1 2 3 4
1 4 5 6 7
1 1 1 1 1
1 0,03 1000 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03
0,97 1000 0,88529 0,85873 0,83297 0,80798
$ 3.489,66
n n n n nC i C i C i C i C i
C
C
C R
3) Determinar, sendo a taxa de juros de 5% a.m., o valor nominal de uma sequência com 3
pagamentos mensais e iguais, com vencimento inicial na data de hoje, capaz de substituir,
na data de hoje, uma sequência de 4 pagamentos mensais e iguais com valor nominal de
R$ 1.000,00, vencendo o primeiro em 90 dias, considerando:
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Racional Composto
d) Desconto Comercial Composto
Solução
a) Desconto Racional Simples
1000 1000 1000 1000
1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5 1 0,05 6
C CC
2,86147 3272,12932 $1.143,51C C R
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
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b) Desconto Comercial Simples
1 1 0,05 1 1 0,05 2 1000 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5 1 0,05 6
2,85 3100 $1.087,72
C
C C R
c) Desconto Racional Composto
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 11 1000
1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,06
2,85941 3216,28164 $1.124,81
C
C C R
d) Desconto Comercial Composto
1 2 3 4 5 6
1 1 0,05 1 0,05 1000 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05
2,85250 3180,75408 $1.115,08
C
C C R
4) Determinar o vencimento médio, para que um capital seja equivalente, na data de hoje,
aos compromissos representados por 3 títulos cujos valores nominais são R$ 1.000,00,
R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, vencíveis no fim de 1 ano, 2 anos e 3 anos, respectivamente, se
a taxa de juros corrente for de 5% a.a., e adotando-se o :
a) Desconto Racional Simples
b) Desconto Comercial Simples
c) Desconto Racional Composto
d) Desconto Comercial Composto
Solução
a) Desconto Racional Simples
6000 1000 2000 3000
1 0,05 1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3
60005379,25842 6000 5379,25842 268,96292
1 0,05
6000 5379,258422,30791
268,96292
n
nn
n anos
b) Desconto Comercial Simples
6000 1 0,05 1000 1 0,05 1 2000 1 0,05 2 3000 1 0,05 3
6000 53006000 300 5300 2,333
300
n
n n anos
Alternativamente, lembremos que, no caso de desconto simples por fora, tem-se:
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
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1
1
1000 1 2000 2 3000 32,333
1000 2000 3000
m
k k
k
m
k
k
C n
n anos
C
c) Desconto Racional Composto
1 2 3
6000 1000 2000 3000
1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05
60001 0,05 1,11983
952,38095 1814,05896 2591,51280
0,11318LN 1 0,05 LN 1,11983 2,31968
0,04879
n
n
n n anos
d) Desconto Comercial Composto
1 2 36000 1 0,05 1000 1 0,05 2000 1 0,05 3000 1 0,05
950 1805 2572,125 5327,1251 0,05 0,88785
6000 6000
0,118952LN 0,95 LN 0,88785 2,31907
0,051293
n
n
n n anos
5) Certa loja de departamentos vende determinada geladeira, cujo preço de tabela é
R$ 1.200,00, nas seguintes condições:
à vista, com 10% de desconto
a prazo, com 4 prestações mensais, a primeira vencendo-se 1 mês após a data da
compra.
Dado que a loja utiliza a taxa de juros de 5% a.m., qual deve ser o valor das prestações, se
a loja considerar
a) Desconto Racional Simples?
b) Desconto Comercial Simples?
c) Desconto Racional Composto?
d) Desconto Comercial Composto?
Solução
a) Desconto Racional Simples
1 1 1 11080
1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3 1 0,05 4
10803,56437 1080 $ 303,00
3,56437
R
R R R
b) Desconto Comercial Simples
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 59
1080 1 0,05 1 1 0,05 2 1 0,05 3 1 0,05 4
10803,5 1080 $ 308,57
3,5
R
R R R
c) Desconto Racional Composto
1 2 3 4
1 1 1 11080
1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05
10803,54595 1080 $ 304,57
3,54595
R
R R R
d) Desconto Comercial Composto
1 2 3 4
1080 1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05
10803,52438 1080 $ 306,44
3,52438
R
R R R
6) Certa loja de departamentos vende determinada geladeira, cujo preço de tabela é
R$ 1.200,00, nas seguintes condições:
à vista, com 10% de desconto
a prazo, com entrada de 20% mais 4 prestações mensais de R$ 250,00, a primeira
vencendo-se 1 mês após a data da compra.
Qual a taxa implícita mensal que está sendo cobrada pela loja, se sua determinação for
efetuada com base no modelo de
a) Desconto Racional Simples?
b) Desconto Comercial Simples?
c) Desconto Racional Composto?
d) Desconto Comercial Composto?
Solução
a) Desconto Racional Simples
1 1 1 11080 240 250
1 1 2 1 3 1 4
1 1 1 13,36 0
1 1 2 1 3 1 4
i i i i
i i i i
equação que só pode ser resolvida por procedimento iterativo. Como primeira tentativa,
ensaiemos, arbitrariamente, i = 7,0% a.m.
Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,05947; isto é, menor que zero.
Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser maior do que 7%.
Como segunda tentativa, ensaiemos, arbitrariamente, i = 8,0% a.m.
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 60
Para i = 8,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00798; isto é, maior que zero. O
que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,0% e 8,0%.
Daqui para frente, usaremos o método da bisseção, tomando como a próxima tentativa o
ponto médio do intervalo; ou seja. 7,5%.
Para i = 7,5% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,02536; isto é, menor que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,5% e 8,0%.
Para i = 7,75% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00859; isto é, menor que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,75% e 8,0%.
Para i = 7,875% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,000028; isto é, menor que
zero. O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,875% e
8,0%.
Como o erro é da ordem de 10-5 podemos dizer que a taxa implícita linear que a loja está
utilizando está muito próxima de 7,875%a.m.
Poderíamos utilizar a função Solver do Excel para resolver este mesmo problema, como
mostrado na planilha abaixo. Vale notar que o erro apresentado pelo algoritmo foi da
ordem de 10-14.
b) Desconto Comercial Simples
1080 240 250 1 1 2 1 3 1 4
4 3,363,36 4 10 0,064 6,4% . .
10
i i i i
i i ou a m
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 61
c) Desconto Racional Composto
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 1 11080 240 250
1 1 1 1
1 1 1 13,36 0
1 1 1 1
i i i i
i i i i
equação que só pode ser resolvida por procedimento iterativo. Como primeira tentativa,
ensaiemos, arbitrariamente, i = 7,0% a.m.
Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual -0,02721; isto é, menor que zero.
Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser maior do que 7%.
Como segunda tentativa, ensaiemos, arbitrariamente, i = 8,0% a.m.
Para i = 8,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,04787; isto é, maior que zero. O
que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,0% e 8,0%.
Daqui para frente, usaremos o método da bisseção, tomando como a próxima tentativa o
ponto médio do intervalo; ou seja. 7,5%.
Para i = 7,5% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,01067; isto é, maior que zero. O
que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,0% e 7,5%.
Para i = 7,25% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,7558; isto é, menor que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,25% e 7,5%.
Para i = 7,375% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00127; isto é, maior que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,25% e 7,375%.
Para i = 7,3125% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00345; isto é, menor que
zero. O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 7,3125% e
7,375%.
Se continuássemos mais algumas iterações poderíamos chegar à taxa i = 7,3582% a.m.
com valor bem próximo da taxa efetiva.
Alternativamente, e de uma maneira mais eficiente, podemos combinar a aproximação
dada pela fórmula de Karpin com o algoritmo de Newton-Rapson. Como
4 250 8400,190476
840
a primeira aproximação será
1
2 0,190476 3 0,190476ˆ 0,073556 7,3556% . .
2 4 0,190476 3 4 1i ou a m
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 62
Com
1 1 2 3 4
1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 1 1 1
1 1 1 1ˆ( ) 840 250 0,049745ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1
1 2 3 4ˆ( ) 250 1886,908731ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1
V ii i i i
e
V ii i i i
Logo
12 1
1
ˆ( ) 0,049745ˆ ˆ 0,73556 0,073582 7,3582% . .ˆ 1886,908734( )
V ii i ou a m
V i
Assim, como 2ˆ( ) 0,000003V i , já é suficientemente próxima de zero, podemos concluir
que a taxa implícita exponencial que está sendo cobrada é 7,3582% a.m.
Em se dispondo da HP 12C, fazendo-se caso da função IRR, teremos
[f][REG]1080[ENTER]240[-][CHS][g][CF0]250[g][CFj]4[g][Nj][f][IRR]7,358201
Poderíamos também utilizar a função Solver do Excel para resolver este mesmo problema,
como mostrado na planilha abaixo.
d) Desconto Comercial Composto
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 63
1 2 3 4
1 2 3 4
1080 240 250 1 1 1 1
3,36 1 1 1 1 0
i i i i
i i i i
equação que só pode ser resolvida por procedimento iterativo. Como primeira tentativa,
ensaiemos, arbitrariamente, i = 7,0% a.m.
Para i = 7,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual 0,01269; isto é, maior que zero.
Como o lado esquerdo da equação cresce com a taxa, seu valor deve ser menor do que
7%. Como segunda tentativa, ensaiemos, arbitrariamente, i = 6,0% a.m.
Para i = 6,0% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,07493; isto é, menor que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 6,0% e 7,0%.
Daqui para frente, usaremos o método da bisseção, tomando como a próxima tentativa o
ponto médio do intervalo; ou seja. 6,5%.
Para i = 6,5% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,03089; isto é, menor que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 6,5% e 7,0%.
Para i = 6,75% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00905; isto é, menor que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 6,75% e 7,0%.
Para i = 6,875% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,00184; isto é, maior que zero.
O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 6,75% e 6,875%.
Para i = 6,8125% a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,00360; isto é, menor que
zero. O que nos leva a concluir que a taxa procurada está no intervalo entre 6,8125% e
6,875%.
Se continuássemos mais algumas iterações poderíamos chegar à taxa i = 6,85388% a.m.
com valor bem próximo da taxa efetiva.
Observação: A aplicação do algoritmo de Newton-Raphson
No caso mais geral, de n prestações periódicas e iguais a R, nosso problema consiste em
determinar a taxa de juros i tal que:
1
1 , 0 1n
j
j
V E R i com i
Consideremos a função F(i) , definida como
1
( ) 1 , 0 1n
j
j
F i V E R i com i
Nosso problema é, então, determinar a taxa i*, com 0 < i* < 1, tal que se tenha F(i*)=0.
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 64
Como 1
1
( ) 1 0n
j
j
F i R j i
, se i < 1 e 2
1
( ) 1 1 0n
j
j
F i R j j i
, se
i < 1, segue-se que o algoritmo de Newton-Raphson, tal como discutido no Apêndice 6A, é
aplicável.
Deste modo, partindo da aproximação inicial
1
2(0)ˆ(0) 1
n R V EFi
F n n R
tem-se, recursivamente
1
ˆ( )ˆ ˆˆ( )
kk k
k
F ii i
F i
Por conseguinte, no caso em questão, onde V-E = 840, n = 4 e R = 250, tem-se:
1
12 1
1
23 2
2
2 4 250 840ˆ 0,064 6,4% . .
4 5 250
ˆ( ) (0,064) 9,916514ˆ ˆ 0,064 0,064 0,068518 6,8518% . .ˆ (0,064) 2195,097856( )
ˆ( ) (0,068518) 0ˆ ˆ 0,068518 0,068518ˆ (0,068518)( )
i ou a m
com
F i Fi i ou a m
FF i
e
F i Fi i
FF i
,0461390,068539 6,8539% . .
2174,695436ou a m
Então como F(0,068539)= – 0,000928, já é suficientemente próximo de zero, temos que a
taxa que está sendo cobrada, de acordo com o modelo de desconto composto por fora, é
de 6,8539%a.m.
Poderíamos, também, utilizar a função Solver do Excel para resolver este mesmo
problema, como mostrado na planilha a seguir.
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 65
7) Um comerciante oferece a seus clientes um esquema de compra a prazo com entrada de
R$ 500,00, mais 3 prestações mensais de R$ 300,00, a primeira vencendo-se 45 dias após o
pagamento da entrada, para o caso de uma mercadoria cujo preço à vista é R$ 1.000,00.
Determinar a taxa efetiva exponencial implícita no plano.
Solução
A taxa mensal i de juros compostos que está implícita no plano de compra a prazo em
questão é tal que:
1,5 2,5 3,5
300 300 3001000 500
1 1 1i i i
ou
1,5 2,5 3,5
300 300 300500 0
1 1 1i i i
equação que só pode ser resolvida por um processo de tentativas.
Fazendo uso do algoritmo de Newton-Raphson, sendo
1,5 2,5 3,5
1 1 1( ) 500 300
1 1 1F i
i i i
e
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 66
1,5 2,5 3,5
1,5 2,5 3,5( ) 300
1 1 1F i
i i i
tem-se
1
(0) 400ˆ 0,177778(0) 2250
Fi
F
e, recursivamente
1
ˆ( )ˆ ˆˆ( )
kk k
k
F ii i
F i
Logo
12 1
1
23 2
2
34 3
3
ˆ( ) 103,186376ˆ ˆ 0,177778 0,262030ˆ 1224,728925( )
ˆ( ) 12,121967ˆ ˆ 0,262030 0,274762ˆ 952,084358( )
ˆ( ) 0,218001ˆ ˆ 0,274762 0,275000ˆ 918,112357( )
F ii i
F i
F ii i
F i
F ii i
F i
Como 4ˆ 0,000073F i já é suficientemente próximo de zero, segue-se que a taxa de
juros compostos que está implícita no plano é 27,5%a.m.
Alternativamente, para que possamos fazer uso da função IRR da HP 12C, trabalharemos
com o período de 15 dias. Com isto, o fluxo de caixa que caracteriza o plano de compras a
prazo em questão, do ponto de vista do comerciante, é:
0 1 2 3 4 5 6 7500; 0; 300; 0; 300; 0; 300CF CF CF CF CF CF CF CF
Logo, para determinação da taxa relativa ao período de 15 dias, teremos:
[f][REG]500[CHS][g][CF0]0[g][CFj][g][CFj]300[g][CFj]0[g][CFj]300[g][CFj]0[g][CFj]
300[g][CFj][f][IRR]12,915887
Por conseguinte, como a taxa relativa ao período de 15 dias é 12,915887%, temos que a taxa mensal
procurada é:
2
1 0,129159 1 0,27500 27,5% . .i ou a m
Podemos também utilizar a função TIR do Excel, como indicado na planilha a seguir. Vale notar que
o mesmo fluxo de caixa utilizado na resolução pela HP 12C foi utilizado no Excel, em que cada
período é de 15 dias. Observamos, ainda, que as células são apresentadas na forma percentual; isto
é, os verdadeiros valores calculados são 0,129159 e 0,275.
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 67
8) A De Faro Automóveis Importados está vendendo um certo modelo de carro importado da
China, nas seguintes condições:
i. à vista, por R$ 48.000,00
ii. a prazo, com R$ 8.000,00 de entrada , mais 10 pagamentos mensais de
R$ 4.500,00, cada um, com o primeiro sendo 1 mês após o pagamento da entrada.
Considerando uma inflação mensal no período de financiamento à taxa de 0,5% a.m.,
pede-se:
a) determinar a taxa anual aparente de juros compostos que está implícita no plano,
fazendo uso da HP 12C.
b) determinar a taxa anual real de juros compostos que está implícita no plano.
Solução
a) Fazendo uso da HP 12C, e tendo em vista que o valor financiado é R$ 40.000,00,
tem-se que a taxa mensal é dada por:
[f][REG]40000[CHS][g][CF0]4500[g][CFj]10[g][Nj][f][IRR]2,200912
Logo, a taxa anual aparente de juros compostos , i , que está implícita no plano de
compra a prazo em questão é:
12
1 0,02200912 1 0,298546 29,8546% . .i ou a a
b) Como a taxa mensal de inflação é suposta constante e igual a 0,5% a.m., temos
que a taxa mensal real é:
,
1 0,022009121 0,016924 1,6924% . .
1 0,005R mi ou a m
Logo a taxa anual real é:
12
, 1 0,016924 1 0,223107 22,3107% . .R ai ou a a
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
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9) Sejam os dois seguintes conjuntos de pagamentos, todos eles com seus respectivos
vencimentos contados a partir de uma mesma data origem:
Conjunto A
1 1
2 2
3 3
4 4
$18.000,00 ; 45
$15.000,00 ; 60
$25.000,00 ; 90
$22.000,00 ; 105
P R n dias
P R n dias
P R n dias
P R n dias
Conjunto B
1 1
2 2
3 3
$30.000,00 ; 30
$12.000,00 ; 60
; 90
P R n dias
P R n dias
P N n dias
Considerada a taxa de juros de 2% a.m., determinar o valor nominal N do pagamento 3P
de modo que, relativamente à data origem, os conjuntos A e B sejam equivalentes, se for
adotado o princípio do
a) desconto racional simples
b) desconto comercial simples
c) desconto racional completo
d) desconto comercial composto
Solução
a) considerado o princípio do desconto racional simples, o valor N deve ser tal que:
18000,00 15000,00 25000,00 22000,00
45 60 90 1051 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02
30 30 30 30
30000,00 12000,00
30 60 901 0,02 1 0,02 1 0,02
30 30 30
N
ou
17475,72816 14423,07692 23584,90566 20560,74766
29411,76471 11538,46154 0,943396
$37.199,89
N
N R
b) considerando o princípio do desconto comercial simples, o valor de N dever ser tal que:
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
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45 60 90 18000 1 0,02 15000 1 0,02 25000 1 0,02
30 30 30
105 + 22000 1 0,02
30
30 60 9030000 1 0,02 12000 1 0,02 1 0,02
30 30 30N
ou
17460 14400 23500 20460 29400 11520 0,94
$37.127,66
N
N R
c) considerando o princípio do desconto racional composto, o valor de N deve ser tal que:
45/30 60/30 90/30 105/30
30/30 60/30 90/30
18.000 15.000 25.000 22.000
1 0,02 1 0,02 1 0,02 1 0,02
30.000 12.000
1 0,02 1 0,02 1 0,02
N
ou
17473,19193 14417,53172 23558,05836 20526,83917
29411,76471 11534,02537 0,942322 $37.173,94N N R
d) considerando o princípio do desconto comercial composto, o valor de N deve ser tal
que:
45/30 60/30 90/30 105/30
30/30 60/30 90/30
18000 1 0,02 15000 1 0,02 25000 1 0,02 22000 1 0,02
30000 1 0,02 12000 1 0,02 1 0,02N
ou
17462,70907 14406,00000 23529,80000 20498,11596
29400,00000 11524,80000 0,941192
$37.156,95
N
N R
10) Relativamente ao exercício anterior, suponha que o valor de N seja estabelecido de modo
que a soma dos valores nominais dos pagamentos do conjunto A, iguale a soma dos
valores nominais dos pagamentos do conjunto B.
Determine, para cada um dos quatros modelos de desconto, a correspondente taxa de
juros implícita.
Solução
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 70
Em sendo o valor nominal de 3P fixado de modo que
18000 15000 25000 22000 30000 12000
$38.000,00
N
N R
,
teremos, trivialmente, qualquer que seja o modelo de desconto, que os dois conjuntos são
equivalentes à taxa nula. Ou seja, em qualquer um dos 4 casos, a correspondente taxa
implícita é nula.
11) Ainda com relação ao exercício 9, suponha-se que se tenha fixado N=R$ 37.000,00. Pede-
se determinar, relativamente a cada um dos quatros modelos de desconto, a
correspondente taxa implícita mensal.
Solução
a) desconto racional simples.
A taxa mensal de juros simples implícita deve ser tal que:
18000 15000 25000 22000 30000 12000 37000
1 1,5 1 2 1 3 1 3,5 1 1 2 1 3i i i i i i i
ou introduzindo a função F (i), definida como
18000 15000 25000 22000 30000 12000 37000
1 1,5 1 2 1 3 1 3,5 1 1 2 1 3
30000 18000 3000 12000 22000
1 1 1,5 1 2 1 3 1 3,5
F ii i i i i i i
i i i i i
segue-se que a taxa i procurada deve anular a função F i .
Ora, a equação 0F i só pode ser resolvida por um processo de tentativas. Assim,
observando que, quando a taxa i foi fixada em 2% a.m., no exercício 9, tivemos N = R$
37.199,89, e que o valor de N decresce quando se aumenta o valor de i, tomemos
como primeira tentativa 1 2,5% . .i a m Temos que:
0,025 29268,2968 17349,39739 2857,142857 11162,79070
20229,88506 5.342130
F
Como 1( ) 0F i , deveríamos, a rigor, para saber se devemos ou não aumentar o valor
da estimativa, determinar o sinal da derivada de ( )F i . Como isto é por demais
trabalhoso, ensaiemos, algo arbitrariamente, 2 2,8% a.m.i Teremos
0,028 29182,87938 17274,47217 2840,909091 11070,11070
20036,42987 101,178950 0
F
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 71
Podemos, pois, concluir que a taxa implícita pertence ao intervalo (2,5% ; 2,8%).
Prosseguindo, adotando o método da bisseção, testemos
3 2,5 2,8 2 2,65% a.m.i . Temos que:
0,0265 29225,52362 17311,85381 2849,002849 11116,25753
20132,69275 48,231740
F
Concluiríamos que 2,5% ; 2,65%i , o que nos levaria a tomar como 4ª tentativa
4 2,5 2,65 2 2,575% a.m.i ; e assim por diante. Concluiriamos que a taxa
procurada é da ordem de 2,51% a.m.
b) desconto comercial simples
Agora, a taxa mensal de juros simples que está implícita é a taxa i tal que:
18.000 1 1,5 15.000 1 2 25.000 1 3 22.000 1 3,5 30.000 1
12.000 1 2 37.000 1 3
i i i i i
i i
que se traduz em uma equação do primeiro grau em i .
Logo:
80.000 27.000 30.000 75.000 77.000 79.000 30.000 24.000
111.000 1.000 44.000 0,022727 ou 2,27% a.m
i i i i i i
i i
c) desconto racional composto
A taxa mensal i de juros compostos, deve ser tal que:
1,5 2 3 3,5 2 3
18.000 15.000 25.000 22.000 30.000 12.000 37.000
11 1 1 1 1 1ii i i i i i
ou
1,5 2 3 3,5
30.000 18.000 3.000 12.000 22.0000
1 1 1 1 1i i i i i
Para que possamos fazer uso da função TIR da HP 12C, precisamos trabalhar com um
fluxo de caixa cujo período seja um número inteiro. Assim, no caso, adotaremos como
base o período de 15 dias (meio mês). Com isto, a taxa procurada, relativa ao período
de 15 dias, será a taxa interna de retorno do fluxo de caixa:
0 1 2 3 4 5
6 7
0; 30.000; 18000; 3.000; 0;
12.000; 22.000
CF CF CF CF CF CF
CF CF
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 72
Deste modo, teremos:
00 30000
18000 3000 12000
22000 1,357072
j j
j j j
j
f REG g CF g CF CHS g CF
g CF g CF CHS g CF
g CF f IRR
Ou seja, a taxa implícita de juros compostos, relativa ao período de 15 dias, é
1,357072% a.m. Logo, a taxa mensal procurada é:
2
1 0,0357072 1 0,027326 ou 2,73% a.m.i
d) desconto comercial composto
Neste caso, a taxa mensal de juros compostos que está implícita é a taxa i tal que:
1 1,5 2 3
3,5
30.000 1 18.000 1 3.000 1 12.000 1
22.000 1 0
i i i i
i
Alternativamente, trabalhando-se com a taxa i relativa ao período de 15 dias, esta
deve ser tal que:
2 3 4 6 7
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ30000 1 18000 1 3000 1 12000 1 22000 1 0i i i i i
Ou seja, trabalhando com a incógnita auxiliar
ˆ1x i
devemos resolver a equação1
2 3 4 6 7( ) 30.000 18.000 3.000 12.000 22.000 0F x x x x x x
ou
2 4 5( ) 30 18 3 12 22 0x x x x x
Observando que a equação ( ) 0x só pode ser resolvida por tentativas, e tendo em
vista que, fazendo uso da relação (5.21), que relaciona as taxas de desconto comercial
e racional, tomaremos como primeira aproximação a taxa 1i dada por
1 1
0,013571ˆ ˆ0,013389 1 0,013389 0,9866311 0,013571
i x
1 Observe-se que F(x) apresenta a raiz espúria ˆ0 1x i
Capitulo 6 – Resolução de Exercícios
Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 73
onde a taxa 1,3571% ao período de 15 dias é solução obtida no caso do desconto
racional composto.
Temos que:
0,986631 0,124819 0 e 1 1 0
Portanto, podemos inferir que a solução procurada está no interior do intervalo
(0,986631;1), sendo mais próxima da extremidade esquerda. Como segunda
estimativa, testemos, então, 2 0,988x .
Como 0,988 0,010551 , podemos inferir que a raiz procurada é levemente
superior à tentativa 2x . Testemos, então, 3 0,9885x .
Como 0,9885 0,030710 0,988 ; 0,9885x . Assim, prosseguindo agora
com o método da bisseção, testemos o ponto médio do intervalo :
4 0,988 0,9885 2 0,988250x .
Como
5
0,988250 0,010070 0,988; 0,988250
0,988 0,98825 2 0,988125
x
x
;
com 0,988125 0,000243 , que podemos considerar já suficientemente
próximo de zero.
Assim, com razoável precisão, a taxa de desconto comercial composto, relativa ao
período de 15 dias, que está implícita quando se considera o modelo de desconto
comercial composto, é:
0,5 1 0,988125 0,011875 ou 1,1875%i
Por conseguinte, em termos de taxa mensal, teremos:
2 2
0,51 1 1 1 0,011875 0,023609 ou 2,3609% a.m.i i