capítulo 5 – integral -...
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Cálculo I - ���������� ℎ� 1
Capítulo 5 – Integral
1. Integral Indefinida
Em estudos anteriores resolvemos o problema:
Dada uma função �, determinar a função derivada �′. Desejamos agora estudar o problema inverso:
Dada uma função �, determinar uma função � tal que ��(�) = �(�), ou seja, desejamos fazer a operação inversa da derivada.
Exemplo:
Encontre a antiderivada de �(�) = 2�. Queremos encontrar uma função tal que sua derivada seja igual a 2� - se �(�) = ����ã���(�) = 2� = �(�) ����(�) é primitiva de � - se �(�) = �� + ���ã���(�) = 2� = �(�) ����(�) é primitiva de� - se �(�) = �� + √3��ã���(�) = 2� = �(�) ����(�) é primitiva de �
Na verdade, há uma infinidade de funções cuja derivada é 2�. Assim, a antiderivada de �(�) = 2� é uma família de funções que pode ser representada pela equação: �(�) = �� + �, onde � é uma constante
�(�) = �(�) + �, ��$��é&'(��)�� Teorema
Seja �(�) uma antiderivada de � num intervalo *. Se �(�) é outra antiderivada de �, então:
Definição
Uma função � será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função � num intervalo I se: ��(�) = �(�), para todo � ∈I.
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O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração indefinida. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função �, usamos a notação: ,�(�)$� = �(�) + � o que nos diz que a integral indefinida de �(�)é a família de funções dada por �(�) + �, onde ��(�) = �(�). O sinal ∫ é chamado de sinal de integração, a função �a ser integrada é chamada de integrando e a diferencial de �, $�, lembra-nos que a operação é executada com respeito à variável independente �. A constante � é chamada de constante de integração.
Uma vez que integração indefinida e diferenciação são processos inversos tem-se:
,� �(�)$� = �(�)� $$� , �(�)$� = �(�) 2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas
Usando a propriedade das funções inversas integração indefinida e diferenciação, podemos, a partir de qualquer fórmula de derivada conhecida, obter uma fórmula correspondente de integral indefinida a qual chamamos de integral imediata. �(�) � �(�) ,� �(�)$� = �(�) + �
� 1 ,$� = � + �
/012345
com � ≠ −1
�3 ,�3$� = �345� + 1 + �
/ln() com > 0� ≠ 1
/ ,/$� = /ln() + ��/ �/ ,�/$� = �/ + �
)��(�) (�)(�) ,(�)(�)$� = )��(�) + �
−(�)(�) )��(�) , )��(�) $� = −(�)(�) + �
�(�) )�(�(�) , )�(�(�)$� = �(�) + �
ln(|�|) 1� ,1� $� = ln(|�|) + � � ≠ 0
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Exemplos:
1),�=$� = �=455 + 1 = �?6 + �
2),A�=$� = �=�4552 + 1 = �B/�7/2 = 27�B/� + �
3),(3�)E$ = (3�)Eln(3�) + �
4), 1√G�H $G =,GI�J$G = 3G5J + � = 3√GH + �
3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas
Exemplos:
1),(5�J + 2 cos(�)) $� = ,5�J $� +,2cos(�) $�
= 5, �J $� + 2,cos(�) $� = 5 N�O4 +�5P + 2()��(�) + ��) =
= 54 �O + 2)��(�) + 5�5 + 2�� == 54�O + 2)��(�) + � =54 �O + 2)��(�) + ���$�� = 5�5 + 2��
2),Q8J − 6√ + 1JS $ = ,(8J) $ + ,T−6√U $ +,Q 1JS $ =
= 8,J $ − 6, 5/� $ + , IJ $ = = 8 NO4 + �5P − 6 V
J�32 + ��W+ NI�−2 + �JP =
= 2O − 4J/� − 12� +(8�5 − 6�� + �J) = 2O − 4J/� − 12� + �
1),X.�(�)$� = X. ,�(�)$� X = (��)��
2),Y�(�) ± �(�)[$� =,�(�)$� ± ,�(�)$�
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3), (&� − 1)�&� $& =,N&O − 2&� + 1&� P $& =,Q&� − 2 + 1&�S$& =
= ,&�$& −,2$& +, 1&� $& = ,&�$& − 2,$& +,&I� $& =
= &J3 − 2& + &I5(−1) + � = &J3 − 2& − 1& + �
4. Técnicas de Integração: Método da Substituição
Seja � uma função composta na forma �T�(�)U e primitiva de �, ou seja, �� = �. Uma vez que antiderivação e diferenciação são processos inversos tem-se:
,\�T�(�)U]�$� = �T�(�)U + � Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se:
,\�T�(�)U]′ $� = ,�′T�(�)U. �′(�)$� = �T�(�)U+ � Como � é uma primitiva de � tem-se que �′T�(�)U = �T�(�)U, então:
,\�T�(�)U]′ $� = ,�T�(�)U. �′(�) = �T�(�)U + �
Diretrizes para o método da substituição:
1) Decidir por uma substituição favorável & = �(�). 2) Calcular a diferencial $& = ��(�)$�. 3) Transformar o integrando apenas em função de &. 4) Calcular a antiderivada envolvendo &. 5) Substituir & por �(�) na antiderivada. O resultado deve conter apenas a
variável �.
,�(�(�)).��(�)$� = �T�(�)U+ � �^��$�)&_)�&�çã�: b & = �(�)$& = ��(�)$�
,�(&)$& = �(&) + �
Método da Substituição
c�d�&'e��'���$��, �� = �, ��ã�
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Exemplos:
Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo: 1), )��(2)$
f & = 2$& = 2$ ∴ $ = $&2 ,)��(&)2 $& = 12, )��(&)$& = −12 cos(&) + � = −12 cos(2) + �
2), �Oh$G
f & = 4G$& = 4$G ∴ $G = $&4 ,�i4 $& = 14,�i $& = 14 . �iln(�) + � = �Oh4ln(�) + �
3),√3� + 4$�
f& = 3� + 4$& = 3$� ∴ $� = $&3 ,√&3 $& = 13,&5/� $& = 13V&J �⁄32 W =29A&J + � =29A(3� + 4)J + �
4), �(�)(��)$�
b & = ��$& = 2�$� ∴ �$� = $&2 , (�)(��)�$� = ,cos(&) Q$&2 S = 12,cos(&) $& =
=12 )��(&) + � = 12 )��(��) + �
5), ��. )�� N�J� P $�
l & = �J�$& = 3� ��$� ∴ ��$� =�3 $&
,)��(&) �3 $& = �3 ,)��(&)$& = −�3 (�)(&) + � = −�3 (�) N�J� P + �
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6), m√7 + 1no5pn� $n b& = √7 + nI5$& = −nI�$n ∴ $nn� = −$& → ,−&5p$& = −,&5p $& = −&5511 + � = −m√7 + 1no
5511 + �
7), 2 − 2�− 2 $ b & = �− 2$& = (2 − 2)$ ∴ $ = $&2 − 2 → ,1& $& = ln(|&|) + � = ln(|�− 2|) + �
8), (��(�)$� = , cos(�))��(�) $�
f & = )��(�)$& = cos(�) $� ∴ $� = $&cos(�) → ,cos(�)& $&cos(�) = , 1& $& = ln(|&|) + � = ln(|)��(�)|) + �
9), cos(�J − 2�) (3��− 2)�rs3T/HI�/U$� b & = )��(�J − 2�)$& = cos(�J− 2�) (3�� − 2) ∴ $ = $&2 − 2 →
,�rs3T/HI�/UYcos(�J − 2�) (3��− 2)$�[ = ,�i $& = �i + � =
= �rs3T/HI�/U + �
10),2� + 53� − 1$�
f& = 3� − 1$� = 3$� ∴ $� = $&3 → & = 3� − 1 ∴ � = & + 13
,2m& + 13 o+ 5& $&3 = , 2& + 2 + 153& $&3 = ,2& + 179& $& = ,2&9& $& + ,179& $&
= 29,$& + 179 ,1& $& = 29& + 179 �|&| + � =
= 29 (3� − 1) + 179 �|3� − 1| + �
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5. Técnicas de Integração: Integração por Partes
Se �(�) e �(�) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto: T�(�). �(�)U� = � �(�).�(�) + �(�). ��(�) Integrando ambos os lados:
,T�(�)�(�)U′′ $� = , � ′(�)�(�) $� +,�(�)�′(�) $�
�(�)�(�) = ,� ′(�)�(�) $� + ,�(�)�′(�) $�
,�(�)�′(�)$� = �(�)�(�) − ,�(�)� ′(�)$�
Esta fórmula expressa a integral ∫&$� em função de outra integral, ∫ �$&. Escolhendo adequadamente &e$� pode ser mais fácil calcular a 2ª integral
do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para & e para $�, em geral pretendemos que $� seja o fator do integrando mais complicado
que se sabia integrar.
Exemplos: Calcule as integrais indicadas
1),�)��(�)$� u & = �$& = $� l
$� = )��(�)$�∫ $� = ∫)��(�)$�� = −cos(�) ,&$� = &� −, �$&
,�)��(�)$� = −�. (�)(�) − ,−(�)(�)$� = −�. (�)(�) + , (�)(�)$� =
= −�cos(�) + )��(�) + �
c�& = �(�)�� = �(�))ã��&�çõ�)$������(�á���), ��ã� ,�(�)��(�)$� = �(�)�(�) −,�(�)��(�)$� & = �(�) → $& = � ′(�)$�� = �(�) → $� = �′(�)$� → , &$� = &. � − ,�$&
Integração por Partes
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2), �. 5x $� u & = �$& = $� l
$� = 5x$�∫$� = ∫5x$�� = 5xln(5) ,&$� = &� −, �$&
,�. 5x $� = �. 5xln(5) − , 5xln(5) $� = �. 5xln(5) − 1ln(5) .,5x $� =
�. 5xln(5) − 1ln(5) . 5xln(5) + � = 5xln(5) Q� − 1ln(5)S + � = 5x(�. �(5) − 1)ln�(5) + �
3),�. �x� $� u & = �$& = $�yz{
z| $� = �x �} $�, $� = ,�x �} $�� = 2�x�
→ l G = �2 ∴ $G = 12$�,�x �} $� = ,�h (2$G) = 2�h = 2�x� ,&$� = &� −, �$&
,��x�$� = �2�x �} −,2�x �} $� = 2��x �} −42 �x �} + � = 2�x �} (� − 2)+ �
4), )��(4)$ f & = $& = $ yz{
z| $� = )��(4)$,$� = , )��(4)$� = −cos(4)4
→ ~ G = 4$G = 4$,)��(G)$G4 = −cos(G)4 = −cos(4)4
,&$� = &� −, �$&
,)��(4)$ = −14 cos(4) − ,−cos(4)4 $ = −14 cos(4) + 14,cos(4)$ mas
� G = 4$G = 4$, cos(G)$ = )��(G)4 =)��(4)4
,)��(4)$ = −14 cos(4) + )��(4)16 + �
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5),�ln(�) $� �& = ln(�)$& = 1� $� �
$� = �$�, $� = ,�$� ∴ � = ��2 ,� ln(�) $� = ��2 ln(�) − , N��2 P . Q1�S $� =
= ��2 ln(�) − ,�2 $� = ��2 ln(�) − ��4 + �
6),(�n − ��)(�)(�n)$n f& = �n − ��$& = �$n → l $� = (�)(�n)$n,$� = , (�)(�n)$n� = )��(�n)/� →~ G = �n ∴ $G = �$n, (�)(G)� $G = )��(�n)�
,(�n − ��)(�)(�n)$n = (�n − ��))��(�n)� −, )��(�n)� �$n =
= (n − �))��(�n) − ,)��(�n) $n = (n − �))��(�n)—N−cos(�n)� P + � =
= (n − �). )��(�n) + cos(�n)� + �
7), )��(�)�/ $� f & = )��(�)$& = cos(�) $� →l
$� = �/$�, $� = ,�/$�� = �/
,)��(�)�/ $� = )��(�)�/ −,�/cos(�) $�
,�/cos(�)$� → f & = (�)(�)$& = −sen(�)$� → l $� = �/$�,$� = , �/$�� = �/
,)��(�)�/ $� = )��(�)�/ − �cos(�) �/ −,�/(−sen(�)$�� 2,)��(�)�/ $� = �/()��(�) − cos(�)) ,)��(�)�/ $� = �/2 ()��(�) − cos(�)) + �
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6. Integral Definida
Seja � uma função contínua definida no intervalo Y, _[. Dividindo este
intervalo em � subintervalos de comprimentos iguais ∆�, a área � da região sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da área dos � retângulos de comprimento ∆� e altura �����, assim:
Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de subdivisões do intervalo �� → �∞�. Define-se a Integral Definida de � de para _ como sendo:
, ����$���
� lim3→�������∆�3
��5
A integral definida é um número e não uma função.
c����� � 0e��$� � � � _��ã�, ����$� � 0��
��(�'$�������
c����� � 0e��$� � � � _��ã�, ����$� � 0��
�á��_���$������� Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se encontram acima e abaixo do eixo �.
, ����$� ���
, ����$� �, ����$���
� , ����$���
��
(�' � ( � $ � _
Propriedade:
, ����$� � �5 7 �� � �J��
y=f (x)
a b
�5
��
�J
x
y
c
� �������∆�3
��5
d
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Exemplo:
���� � , ��7 �$/=
����� � $
$� N, �� 7 �$/=
P � �� 7 �
Exemplos:
*�Calcule as integrais definidas indicadas:
1�, �/$�J5
A função ���� � �/é contínua em [1, 3[ . Calculando a antiderivada de �(�) e considerando a constante de integração nula, tem-se:
�(�) = ,�/$� = �/((�'� = 0) Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se:
, �/$� = �(�) �31 = �/ �31 =J5 �J − �5 =�J− � ≅ 17,369
2), $�� ?J
, $�� =?J ln(|�|� �63 � ln(6) − ln(3) = ln Q63S = ln(2)
c�&'�&�çã�����(����&�'Y, _[�����&'��$����$$��, �)�é, �� = �, ��ã�: , �(�)$��� = �(�) �_ = �(_) − �()
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2
Normalmente utiliza-se a simbologia �(�)��� = �(_) − �()
c�&'�&�ç�����(����&�'Y, _[, ��ã��&�çã��(�)$�����$e�r�(�) = , �()$, ≤ � ≤ _/
�
é$������(�á�� �'(, _)���(�) = �(�)
Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1
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3�, ��J 7 6��Jp
$�
, ��J7 6��Jp
$� � N�O4 7 6��2 P�
p
J� N�O4 7 3��P�
p
J�N3O4 7 3.3�P 7 N0O4 − 3.0�P
= 814 − 27 = 81 − 1084 = −274
4), (�/��)�5 $�
Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula tem-se:
u & = ��$& = 2�$� �$� = $&2 ,( �/� . �)$� = ,�i Q$&2 S = �i2 = �/�2
Então
, (�/� . �)�5 $� = �/�2 �5
� = ���2 − �5�2 = �O2 − �2 = (�O− �)2
5), (3 − �))��(�)$��p
Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula tem-se:
u& = 3 − �$& = −$�f$� = )��(�)$�� = −cos(�)
,(3 − �))��(�)$� = (3 − �). (−cos(�)) − ,(− cos(�)). (−$�) =
=−(3 − �) cos(�) − ,cos(�)$� = −(3 − �) cos(�) − )��(�) =
= −3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�) = �(�) Então,
,(3 − �))��(�)$� =, (3 − �))��(�)$� =�p T−3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�)U�p� =
= T−3cos(�) + � cos(�) − )��(�)U − T−3cos(0) + 0 cos(0) − )��(0)U = = (3 − � − 0)− (−3 + 0 − 0) = 3 − � + 3 = 6 − �
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7. Aplicações da Integral Definida: Áreas entre Curvas
Vimos que a integral definida representa geometricamente a diferença entre as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se encontram acima e abaixo do eixo �. 7.1. Região Limitada pela Curva e o Eixo x Seja ���� uma função contínua no intervalo [, _[ cujo gráfico encontra-se acima do eixo � em [, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [, _[. Então, a área (�) da região que se encontra abaixo da curva do gráfico da função e acima do eixo �, limitada lateralmente pelas retas � � e � � _,é:
� � , ������
$� Seja ���� uma função contínua no intervalo [, _[ cujo gráfico encontra-se abaixo do eixo � em [, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [, _[. Então, a área (�) da região que se encontra abaixo do eixo � e acima do gráfico da função, limitada lateralmente pelas retas � � e � � _, é:
� � 7, ������
$� Exemplos:
Encontre a área da região limitada pelo o gráfico da função � e o eixo �, no intervalo indicado:
1����� � ���'Y0,1[ Gráfico acima do eixo � em Y0, 1[ á�� � , ��$� � �J3 �
10 �
5p
1J3 7 0J3 � 13 &.
2����� � cos��� �'Y0,� 2⁄ [ Gráfico acima do eixo � em Y0, � 2⁄ [ á�� � , cos��� $� �
��p
sen��� ��/20 � � sen��/2� 7 sen�0� � 1 7 0 � 1 &. (unidade de área)
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3����� � �O� 3�� � 1�'Y71,1[ Gráfico acima do eixo � em Y71, 1[ á�� � , ��O � 3��� 1�$�5
I5� �=5 � �J � � � 171 �
� Q15 � 1 � 1S 7 Q715 7 1 7 1S �
25 � 2 � 2 �
� 2 � 10 � 105 � 22
5 &.
4����� � ��7 5� � 4�'Y1, 4[ Gráfico abaixo do eixo � em Y1, 4[ á�� � 7, ��� 7 5� � 4�$�O
5�
, ���7 5� � 4�$�O5
� N�J3 7 5��2 � 4�P�41�
� Q643 7 802 � 16S7 Q13 752 � 4S �
633 7 752 � 12 �
� 126 7 225 � 726 � 7276 � 792 � 74,5
� � 7, ��� 7 5� � 4�$�O5
� 7Q792S � 4,5&. .
5����� � 1�� �'Y71,3[
Gráfico acima do eixo � em Y71, 3[ á�� � , 1�� $�, �I�J
I5$� � �7�I5� � 371 �
71� �
371 � Q713 S7 Q
7171S � 743
JI5
�������á��� ¡¢£����¤á¥¤�¥¢? - Devemos notar que o cálculo está errado, pois
���� � 5/� : 0 em todo o seu domínio, portanto a
integral deveria ser positiva.
- O erro acontece porque o Teorema Fundamental do Cálculo aplica-se somente em funções contínuas no intervalo de integração Y, _[, logo ele não poderia ser aplicado aqui pois a função ���� é descontínua em Y71,3[ pois ∄��0�.
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7.2. Região Limitada por Curvas Os conceitos de Integral Definida podem ser utilizados para a determinação da área de qualquer região plana limitada e fechada.
Sejam ���� e ���� funções contínuas no intervalo [, _[ e ���� � ���� para todo � ∈ [, _[. Então, a área da região limitada superiormente pela curva n � ����, inferiormente pela curva n � ���), à direita pela reta � � e à esquerda pela reta � � _ é:
� � , Y���� 7 ����[��
$�
Exemplos:
1�Encontre a área da região limitada superiormente por n � �� � 2, inferiormente por n � � e lateralmente por � � 71 e � � 2. Inicialmente temos que visualizar a região que se deseja calcular a área fazendo os esboços dos gráficos das funções envolvidas. Observando que �� � 2 � � em Y71, 2[, a área � procurada é:
� � , Y��� � 2�7 ���[�I5
$�
� � , �� 7 � � 2�I5
$� � �J3 7 ��2 � 2��
I5
��
� Q83 742 � 4S 7 Q7
13 7
12 7 2S �
93 7
32 � 6 �
� 9 7 32 �152 &.
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2�Encontre a área da região limitada pelo gráfico de n � �� e n � √8� . De acordo com os esboços dos gráficos, observa-se que a região desejada
situa-se abaixo da curva n � √8� e acima da curva n � �� e está limitada lateralmente pelos pontos de interseção entre elas. Assim, os limites de integração são as abscissas destes pontos. As abscissas dos pontos de interseção são obtidas
igualando as equações n � �� e n � √8� e resolvendo a equação resultante em relação a �.
√8� � �� → 8� � �O → ��8 7 �J� � 0 � � 0�8 7 �J � 0 → � � √8H � 2
Em � � 0 tem-se n � 0e em � � 2 tem-se n � 4, portanto os pontos de interseção são �0,0� e �2,4�. A área da região é:
� � , \√8� 7 ��]�p
$� �, \√8�5 �⁄ 7 ��]�p
$� � √8�J �⁄ 237�J3 �p
��
�2√8√�J 7 �J3 �p
��N2√8√2J 7 2J3 P7 �0� � 16 7 8
3 � 83 &. .
3�Determinar a área da região limitada pelas curvas n � �� e n � 8 7 ��. Observa-se no esboço traçado que a curva n � 87 �� encontra-se acima da curva n � ��. Os limites de integração são as abscissas dos pontos de interseção das curvas.
Igualando as equações:
8 7 �� � �� → 2�� � 8 → |�| � 2 → � � 2�� � 72 A área da região é:
� � , Y�8 7 ��� 7 ����[�I�
$� � , 87 2���I�
$� �
� 8� 7 2�J3 �p
�� N8. 2 7 2.2J
3 P7 N8. �72� 7 2. �72�J3 P �
� 2 Q16 7 163 S � 2Q323 S �643 &.
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4� Encontre a área da região limitada pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2�. Limites de integração: Precisamos determinar as abscissas dos pontos de interseção entre as curvas o que pode ser calculado igualando as duas equações.
�J 7 �� � 2� → �J 7 �� 7 2� � 0 → ���� 7 � 7 2� � 0 � � 0��� 7 � 7 2 � 0
Resolvendo a equação �� 7 � 7 2 � 0 � � 7�71� Z A�71�� 7 4.1.�72�2 � 1 Z 3
2 → � � 71�� � 2 Os pontos de interseção são: �71,72�, �0,0���2,4�. Traçando o gráfico das funções, podemos observar que no intervalo Y71, 2[ há duas regiões distintas limitas pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2�.
No intervalo Y71, 0[ a curva n � �J 7 �� está acima da curva n � 2�. A área ��5� entre as curvas é: �5 �, ���J7 ���7 2��p
I5$� � , ��J 7 �� 7 2��p
I5$� � N�O4 7 �J
3 7 ��P�I5
p�
� �0� 7 N�71�O4 7 �71�J3 7 �71��P � 714 713 � 1 �
737 4� 1212 � 5
12 &. . No intervalo Y0, 2[ a curva n � 2� está acima da curva n � �J 7 ��. A área ���� entre as curvas é: �� � , �2� 7 ��J7 �����
p$� � , �7�J� �� � 2���
p$� � N7�O4 � �J3 � ��P�
p
��
� N7�2�O4 � �2�J3 � �2��P7 �0� � 7164 � 83� 4 � 8
3 &. A área desejada é a soma das áreas das duas regiões.
� � �5 � �� �, ��J 7 �� 7 2��pI5
$� �, �7�J � �� � 2���p
$� � 512 �
83 �
5� 3212 � 37
12 � � 37
12 &. .�&��$$�$���
��
�5