capítulo 5 – integral -...

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Cálculo I - 1 Capítulo 5 – Integral 1. Integral Indefinida Em estudos anteriores resolvemos o problema: Dada uma função , determinar a função derivada . Desejamos agora estudar o problema inverso: Dada uma função , determinar uma função tal que ()=(), ou seja, desejamos fazer a operação inversa da derivada. Exemplo: Encontre a antiderivada de ()=2. Queremos encontrar uma função tal que sua derivada seja igual a 2 - se ()= ã ()=2 =() () é primitiva de - se ()= + ã ()=2 =() () é primitiva de - se ()= +√3 ã ()=2 =() () é primitiva de Na verdade, há uma infinidade de funções cuja derivada é 2. Assim, a antiderivada de ()=2 é uma família de funções que pode ser representada pela equação: ()= + , onde é uma constante () = () + , é Teorema Seja () uma antiderivada de num intervalo . Se () é outra antiderivada de , então: Definição Uma função será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função num intervalo I se: () = (), para todo I.

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Cálculo I - ���������� ℎ� 1

Capítulo 5 – Integral

1. Integral Indefinida

Em estudos anteriores resolvemos o problema:

Dada uma função �, determinar a função derivada �′. Desejamos agora estudar o problema inverso:

Dada uma função �, determinar uma função � tal que ��(�) = �(�), ou seja, desejamos fazer a operação inversa da derivada.

Exemplo:

Encontre a antiderivada de �(�) = 2�. Queremos encontrar uma função tal que sua derivada seja igual a 2� - se �(�) = ����ã���(�) = 2� = �(�) ����(�) é primitiva de � - se �(�) = �� + ���ã���(�) = 2� = �(�) ����(�) é primitiva de� - se �(�) = �� + √3��ã���(�) = 2� = �(�) ����(�) é primitiva de �

Na verdade, há uma infinidade de funções cuja derivada é 2�. Assim, a antiderivada de �(�) = 2� é uma família de funções que pode ser representada pela equação: �(�) = �� + �, onde � é uma constante

�(�) = �(�) + �, ��$��é&'(��)�� Teorema

Seja �(�) uma antiderivada de � num intervalo *. Se �(�) é outra antiderivada de �, então:

Definição

Uma função � será chamada de antiderivada ou de primitiva de uma função � num intervalo I se: ��(�) = �(�), para todo � ∈I.

Cálculo I - ���������� ℎ� 2

O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração indefinida. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função �, usamos a notação: ,�(�)$� = �(�) + � o que nos diz que a integral indefinida de �(�)é a família de funções dada por �(�) + �, onde ��(�) = �(�). O sinal ∫ é chamado de sinal de integração, a função �a ser integrada é chamada de integrando e a diferencial de �, $�, lembra-nos que a operação é executada com respeito à variável independente �. A constante � é chamada de constante de integração.

Uma vez que integração indefinida e diferenciação são processos inversos tem-se:

,� �(�)$� = �(�)� $$� , �(�)$� = �(�) 2. Tabela de Algumas Integrais Indefinidas

Usando a propriedade das funções inversas integração indefinida e diferenciação, podemos, a partir de qualquer fórmula de derivada conhecida, obter uma fórmula correspondente de integral indefinida a qual chamamos de integral imediata. �(�) � �(�) ,� �(�)$� = �(�) + �

� 1 ,$� = � + �

/012345

com � ≠ −1

�3 ,�3$� = �345� + 1 + �

/ln() com > 0� ≠ 1

/ ,/$� = /ln() + ��/ �/ ,�/$� = �/ + �

)��(�) (�)(�) ,(�)(�)$� = )��(�) + �

−(�)(�) )��(�) , )��(�) $� = −(�)(�) + �

�(�) )�(�(�) , )�(�(�)$� = �(�) + �

ln(|�|) 1� ,1� $� = ln(|�|) + � � ≠ 0

Cálculo I - ���������� ℎ� 3

Exemplos:

1),�=$� = �=455 + 1 = �?6 + �

2),A�=$� = �=�4552 + 1 = �B/�7/2 = 27�B/� + �

3),(3�)E$ = (3�)Eln(3�) + �

4), 1√G�H $G =,GI�J$G = 3G5J + � = 3√GH + �

3. Principais Propriedades das Integrais Indefinidas

Exemplos:

1),(5�J + 2 cos(�)) $� = ,5�J $� +,2cos(�) $�

= 5, �J $� + 2,cos(�) $� = 5 N�O4 +�5P + 2()��(�) + ��) =

= 54 �O + 2)��(�) + 5�5 + 2�� == 54�O + 2)��(�) + � =54 �O + 2)��(�) + ���$�� = 5�5 + 2��

2),Q8J − 6√ + 1JS $ = ,(8J) $ + ,T−6√U $ +,Q 1JS $ =

= 8,J $ − 6, 5/� $ + , IJ $ = = 8 NO4 + �5P − 6 V

J�32 + ��W+ NI�−2 + �JP =

= 2O − 4J/� − 12� +(8�5 − 6�� + �J) = 2O − 4J/� − 12� + �

1),X.�(�)$� = X. ,�(�)$� X = (��)��

2),Y�(�) ± �(�)[$� =,�(�)$� ± ,�(�)$�

Cálculo I - ���������� ℎ� 4

3), (&� − 1)�&� $& =,N&O − 2&� + 1&� P $& =,Q&� − 2 + 1&�S$& =

= ,&�$& −,2$& +, 1&� $& = ,&�$& − 2,$& +,&I� $& =

= &J3 − 2& + &I5(−1) + � = &J3 − 2& − 1& + �

4. Técnicas de Integração: Método da Substituição

Seja � uma função composta na forma �T�(�)U e primitiva de �, ou seja, �� = �. Uma vez que antiderivação e diferenciação são processos inversos tem-se:

,\�T�(�)U]�$� = �T�(�)U + � Utilizando a regra da cadeia para derivar a função composta tem-se:

,\�T�(�)U]′ $� = ,�′T�(�)U. �′(�)$� = �T�(�)U+ � Como � é uma primitiva de � tem-se que �′T�(�)U = �T�(�)U, então:

,\�T�(�)U]′ $� = ,�T�(�)U. �′(�) = �T�(�)U + �

Diretrizes para o método da substituição:

1) Decidir por uma substituição favorável & = �(�). 2) Calcular a diferencial $& = ��(�)$�. 3) Transformar o integrando apenas em função de &. 4) Calcular a antiderivada envolvendo &. 5) Substituir & por �(�) na antiderivada. O resultado deve conter apenas a

variável �.

,�(�(�)).��(�)$� = �T�(�)U+ � �^��$�)&_)�&�çã�: b & = �(�)$& = ��(�)$�

,�(&)$& = �(&) + �

Método da Substituição

c�d�&'e��'���$��, �� = �, ��ã�

Cálculo I - ���������� ℎ� 5

Exemplos:

Calcular as integrais indefinidas indicadas abaixo: 1), )��(2)$

f & = 2$& = 2$ ∴ $ = $&2 ,)��(&)2 $& = 12, )��(&)$& = −12 cos(&) + � = −12 cos(2) + �

2), �Oh$G

f & = 4G$& = 4$G ∴ $G = $&4 ,�i4 $& = 14,�i $& = 14 . �iln(�) + � = �Oh4ln(�) + �

3),√3� + 4$�

f& = 3� + 4$& = 3$� ∴ $� = $&3 ,√&3 $& = 13,&5/� $& = 13V&J �⁄32 W =29A&J + � =29A(3� + 4)J + �

4), �(�)(��)$�

b & = ��$& = 2�$� ∴ �$� = $&2 , (�)(��)�$� = ,cos(&) Q$&2 S = 12,cos(&) $& =

=12 )��(&) + � = 12 )��(��) + �

5), ��. )�� N�J� P $�

l & = �J�$& = 3� ��$� ∴ ��$� =�3 $&

,)��(&) �3 $& = �3 ,)��(&)$& = −�3 (�)(&) + � = −�3 (�) N�J� P + �

Cálculo I - ���������� ℎ� 6

6), m√7 + 1no5pn� $n b& = √7 + nI5$& = −nI�$n ∴ $nn� = −$& → ,−&5p$& = −,&5p $& = −&5511 + � = −m√7 + 1no

5511 + �

7), 2 − 2�− 2 $ b & = �− 2$& = (2 − 2)$ ∴ $ = $&2 − 2 → ,1& $& = ln(|&|) + � = ln(|�− 2|) + �

8), (��(�)$� = , cos(�))��(�) $�

f & = )��(�)$& = cos(�) $� ∴ $� = $&cos(�) → ,cos(�)& $&cos(�) = , 1& $& = ln(|&|) + � = ln(|)��(�)|) + �

9), cos(�J − 2�) (3��− 2)�rs3T/HI�/U$� b & = )��(�J − 2�)$& = cos(�J− 2�) (3�� − 2) ∴ $ = $&2 − 2 →

,�rs3T/HI�/UYcos(�J − 2�) (3��− 2)$�[ = ,�i $& = �i + � =

= �rs3T/HI�/U + �

10),2� + 53� − 1$�

f& = 3� − 1$� = 3$� ∴ $� = $&3 → & = 3� − 1 ∴ � = & + 13

,2m& + 13 o+ 5& $&3 = , 2& + 2 + 153& $&3 = ,2& + 179& $& = ,2&9& $& + ,179& $&

= 29,$& + 179 ,1& $& = 29& + 179 �|&| + � =

= 29 (3� − 1) + 179 �|3� − 1| + �

Cálculo I - ���������� ℎ� 7

5. Técnicas de Integração: Integração por Partes

Se �(�) e �(�) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto: T�(�). �(�)U� = � �(�).�(�) + �(�). ��(�) Integrando ambos os lados:

,T�(�)�(�)U′′ $� = , � ′(�)�(�) $� +,�(�)�′(�) $�

�(�)�(�) = ,� ′(�)�(�) $� + ,�(�)�′(�) $�

,�(�)�′(�)$� = �(�)�(�) − ,�(�)� ′(�)$�

Esta fórmula expressa a integral ∫&$� em função de outra integral, ∫ �$&. Escolhendo adequadamente &e$� pode ser mais fácil calcular a 2ª integral

do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para & e para $�, em geral pretendemos que $� seja o fator do integrando mais complicado

que se sabia integrar.

Exemplos: Calcule as integrais indicadas

1),�)��(�)$� u & = �$& = $� l

$� = )��(�)$�∫ $� = ∫)��(�)$�� = −cos(�) ,&$� = &� −, �$&

,�)��(�)$� = −�. (�)(�) − ,−(�)(�)$� = −�. (�)(�) + , (�)(�)$� =

= −�cos(�) + )��(�) + �

c�& = �(�)�� = �(�))ã��&�çõ�)$������(�á���), ��ã� ,�(�)��(�)$� = �(�)�(�) −,�(�)��(�)$� & = �(�) → $& = � ′(�)$�� = �(�) → $� = �′(�)$� → , &$� = &. � − ,�$&

Integração por Partes

Cálculo I - ���������� ℎ� 8

2), �. 5x $� u & = �$& = $� l

$� = 5x$�∫$� = ∫5x$�� = 5xln(5) ,&$� = &� −, �$&

,�. 5x $� = �. 5xln(5) − , 5xln(5) $� = �. 5xln(5) − 1ln(5) .,5x $� =

�. 5xln(5) − 1ln(5) . 5xln(5) + � = 5xln(5) Q� − 1ln(5)S + � = 5x(�. �(5) − 1)ln�(5) + �

3),�. �x� $� u & = �$& = $�yz{

z| $� = �x �} $�, $� = ,�x �} $�� = 2�x�

→ l G = �2 ∴ $G = 12$�,�x �} $� = ,�h (2$G) = 2�h = 2�x� ,&$� = &� −, �$&

,��x�$� = �2�x �} −,2�x �} $� = 2��x �} −42 �x �} + � = 2�x �} (� − 2)+ �

4), )��(4)$ f & = $& = $ yz{

z| $� = )��(4)$,$� = , )��(4)$� = −cos(4)4

→ ~ G = 4$G = 4$,)��(G)$G4 = −cos(G)4 = −cos(4)4

,&$� = &� −, �$&

,)��(4)$ = −14 cos(4) − ,−cos(4)4 $ = −14 cos(4) + 14,cos(4)$ mas

� G = 4$G = 4$, cos(G)$ = )��(G)4 =)��(4)4

,)��(4)$ = −14 cos(4) + )��(4)16 + �

Cálculo I - ���������� ℎ� 9

5),�ln(�) $� �& = ln(�)$& = 1� $� �

$� = �$�, $� = ,�$� ∴ � = ��2 ,� ln(�) $� = ��2 ln(�) − , N��2 P . Q1�S $� =

= ��2 ln(�) − ,�2 $� = ��2 ln(�) − ��4 + �

6),(�n − ��)(�)(�n)$n f& = �n − ��$& = �$n → l $� = (�)(�n)$n,$� = , (�)(�n)$n� = )��(�n)/� →~ G = �n ∴ $G = �$n, (�)(G)� $G = )��(�n)�

,(�n − ��)(�)(�n)$n = (�n − ��))��(�n)� −, )��(�n)� �$n =

= (n − �))��(�n) − ,)��(�n) $n = (n − �))��(�n)—N−cos(�n)� P + � =

= (n − �). )��(�n) + cos(�n)� + �

7), )��(�)�/ $� f & = )��(�)$& = cos(�) $� →l

$� = �/$�, $� = ,�/$�� = �/

,)��(�)�/ $� = )��(�)�/ −,�/cos(�) $�

,�/cos(�)$� → f & = (�)(�)$& = −sen(�)$� → l $� = �/$�,$� = , �/$�� = �/

,)��(�)�/ $� = )��(�)�/ − �cos(�) �/ −,�/(−sen(�)$�� 2,)��(�)�/ $� = �/()��(�) − cos(�)) ,)��(�)�/ $� = �/2 ()��(�) − cos(�)) + �

Cálculo I - ���������� ℎ� 10

6. Integral Definida

Seja � uma função contínua definida no intervalo Y, _[. Dividindo este

intervalo em � subintervalos de comprimentos iguais ∆�, a área � da região sob o gráfico da função pode ser aproximada como sendo o somatório da área dos � retângulos de comprimento ∆� e altura �����, assim:

Esta aproximação será tanto melhor quanto maior for o número de subdivisões do intervalo �� → �∞�. Define-se a Integral Definida de � de para _ como sendo:

, ����$���

� lim3→�������∆�3

��5

A integral definida é um número e não uma função.

c����� � 0e��$� � � � _��ã�, ����$� � 0��

��(�'$�������

c����� � 0e��$� � � � _��ã�, ����$� � 0��

�á��_���$������� Assim, a integral definida é a área “líquida”, ou seja, é a diferença entre as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se encontram acima e abaixo do eixo �.

, ����$� ���

, ����$� �, ����$���

� , ����$���

��

(�' � ( � $ � _

Propriedade:

, ����$� � �5 7 �� � �J��

y=f (x)

a b

�5

��

�J

x

y

c

� �������∆�3

��5

d

Cálculo I - ���������� ℎ� 11

Exemplo:

���� � , ��7 �$/=

����� � $

$� N, �� 7 �$/=

P � �� 7 �

Exemplos:

*�Calcule as integrais definidas indicadas:

1�, �/$�J5

A função ���� � �/é contínua em [1, 3[ . Calculando a antiderivada de �(�) e considerando a constante de integração nula, tem-se:

�(�) = ,�/$� = �/((�'� = 0) Então, pelo teorema fundamental do cálculo, tem-se:

, �/$� = �(�) �31 = �/ �31 =J5 �J − �5 =�J− � ≅ 17,369

2), $�� ?J

, $�� =?J ln(|�|� �63 � ln(6) − ln(3) = ln Q63S = ln(2)

c�&'�&�çã�����(����&�'Y, _[�����&'��$����$$��, �)�é, �� = �, ��ã�: , �(�)$��� = �(�) �_ = �(_) − �()

Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2

Normalmente utiliza-se a simbologia �(�)��� = �(_) − �()

c�&'�&�ç�����(����&�'Y, _[, ��ã��&�çã��(�)$�����$e�r�(�) = , �()$, ≤ � ≤ _/

é$������(�á�� �'(, _)���(�) = �(�)

Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1

Cálculo I - ���������� ℎ� 12

3�, ��J 7 6��Jp

$�

, ��J7 6��Jp

$� � N�O4 7 6��2 P�

p

J� N�O4 7 3��P�

p

J�N3O4 7 3.3�P 7 N0O4 − 3.0�P

= 814 − 27 = 81 − 1084 = −274

4), (�/��)�5 $�

Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula tem-se:

u & = ��$& = 2�$� �$� = $&2 ,( �/� . �)$� = ,�i Q$&2 S = �i2 = �/�2

Então

, (�/� . �)�5 $� = �/�2 �5

� = ���2 − �5�2 = �O2 − �2 = (�O− �)2

5), (3 − �))��(�)$��p

Calculando a integral indefinida e fazendo a constante de integração � nula tem-se:

u& = 3 − �$& = −$�f$� = )��(�)$�� = −cos(�)

,(3 − �))��(�)$� = (3 − �). (−cos(�)) − ,(− cos(�)). (−$�) =

=−(3 − �) cos(�) − ,cos(�)$� = −(3 − �) cos(�) − )��(�) =

= −3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�) = �(�) Então,

,(3 − �))��(�)$� =, (3 − �))��(�)$� =�p T−3 cos(�) + �(�)(�) − )��(�)U�p� =

= T−3cos(�) + � cos(�) − )��(�)U − T−3cos(0) + 0 cos(0) − )��(0)U = = (3 − � − 0)− (−3 + 0 − 0) = 3 − � + 3 = 6 − �

Cálculo I - ���������� ℎ� 13

7. Aplicações da Integral Definida: Áreas entre Curvas

Vimos que a integral definida representa geometricamente a diferença entre as áreas das regiões limitadas pela curva do gráfico da função que se encontram acima e abaixo do eixo �. 7.1. Região Limitada pela Curva e o Eixo x Seja ���� uma função contínua no intervalo [, _[ cujo gráfico encontra-se acima do eixo � em [, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [, _[. Então, a área (�) da região que se encontra abaixo da curva do gráfico da função e acima do eixo �, limitada lateralmente pelas retas � � e � � _,é:

� � , ������

$� Seja ���� uma função contínua no intervalo [, _[ cujo gráfico encontra-se abaixo do eixo � em [, _[, isto é, ���� � 0 para todo � ∈ [, _[. Então, a área (�) da região que se encontra abaixo do eixo � e acima do gráfico da função, limitada lateralmente pelas retas � � e � � _, é:

� � 7, ������

$� Exemplos:

Encontre a área da região limitada pelo o gráfico da função � e o eixo �, no intervalo indicado:

1����� � ���'Y0,1[ Gráfico acima do eixo � em Y0, 1[ á�� � , ��$� � �J3 �

10 �

5p

1J3 7 0J3 � 13 &.

2����� � cos��� �'Y0,� 2⁄ [ Gráfico acima do eixo � em Y0, � 2⁄ [ á�� � , cos��� $� �

��p

sen��� ��/20 � � sen��/2� 7 sen�0� � 1 7 0 � 1 &. (unidade de área)

Cálculo I - ���������� ℎ� 14

3����� � �O� 3�� � 1�'Y71,1[ Gráfico acima do eixo � em Y71, 1[ á�� � , ��O � 3��� 1�$�5

I5� �=5 � �J � � � 171 �

� Q15 � 1 � 1S 7 Q715 7 1 7 1S �

25 � 2 � 2 �

� 2 � 10 � 105 � 22

5 &.

4����� � ��7 5� � 4�'Y1, 4[ Gráfico abaixo do eixo � em Y1, 4[ á�� � 7, ��� 7 5� � 4�$�O

5�

, ���7 5� � 4�$�O5

� N�J3 7 5��2 � 4�P�41�

� Q643 7 802 � 16S7 Q13 752 � 4S �

633 7 752 � 12 �

� 126 7 225 � 726 � 7276 � 792 � 74,5

� � 7, ��� 7 5� � 4�$�O5

� 7Q792S � 4,5&. .

5����� � 1�� �'Y71,3[

Gráfico acima do eixo � em Y71, 3[ á�� � , 1�� $�, �I�J

I5$� � �7�I5� � 371 �

71� �

371 � Q713 S7 Q

7171S � 743

JI5

�������á��� ¡¢£����¤á¥¤�¥¢? - Devemos notar que o cálculo está errado, pois

���� � 5/� : 0 em todo o seu domínio, portanto a

integral deveria ser positiva.

- O erro acontece porque o Teorema Fundamental do Cálculo aplica-se somente em funções contínuas no intervalo de integração Y, _[, logo ele não poderia ser aplicado aqui pois a função ���� é descontínua em Y71,3[ pois ∄��0�.

Cálculo I - ���������� ℎ� 15

7.2. Região Limitada por Curvas Os conceitos de Integral Definida podem ser utilizados para a determinação da área de qualquer região plana limitada e fechada.

Sejam ���� e ���� funções contínuas no intervalo [, _[ e ���� � ���� para todo � ∈ [, _[. Então, a área da região limitada superiormente pela curva n � ����, inferiormente pela curva n � ���), à direita pela reta � � e à esquerda pela reta � � _ é:

� � , Y���� 7 ����[��

$�

Exemplos:

1�Encontre a área da região limitada superiormente por n � �� � 2, inferiormente por n � � e lateralmente por � � 71 e � � 2. Inicialmente temos que visualizar a região que se deseja calcular a área fazendo os esboços dos gráficos das funções envolvidas. Observando que �� � 2 � � em Y71, 2[, a área � procurada é:

� � , Y��� � 2�7 ���[�I5

$�

� � , �� 7 � � 2�I5

$� � �J3 7 ��2 � 2��

I5

��

� Q83 742 � 4S 7 Q7

13 7

12 7 2S �

93 7

32 � 6 �

� 9 7 32 �152 &.

Cálculo I - ���������� ℎ� 16

2�Encontre a área da região limitada pelo gráfico de n � �� e n � √8� . De acordo com os esboços dos gráficos, observa-se que a região desejada

situa-se abaixo da curva n � √8� e acima da curva n � �� e está limitada lateralmente pelos pontos de interseção entre elas. Assim, os limites de integração são as abscissas destes pontos. As abscissas dos pontos de interseção são obtidas

igualando as equações n � �� e n � √8� e resolvendo a equação resultante em relação a �.

√8� � �� → 8� � �O → ��8 7 �J� � 0 � � 0�8 7 �J � 0 → � � √8H � 2

Em � � 0 tem-se n � 0e em � � 2 tem-se n � 4, portanto os pontos de interseção são �0,0� e �2,4�. A área da região é:

� � , \√8� 7 ��]�p

$� �, \√8�5 �⁄ 7 ��]�p

$� � √8�J �⁄ 237�J3 �p

��

�2√8√�J 7 �J3 �p

��N2√8√2J 7 2J3 P7 �0� � 16 7 8

3 � 83 &. .

3�Determinar a área da região limitada pelas curvas n � �� e n � 8 7 ��. Observa-se no esboço traçado que a curva n � 87 �� encontra-se acima da curva n � ��. Os limites de integração são as abscissas dos pontos de interseção das curvas.

Igualando as equações:

8 7 �� � �� → 2�� � 8 → |�| � 2 → � � 2�� � 72 A área da região é:

� � , Y�8 7 ��� 7 ����[�I�

$� � , 87 2���I�

$� �

� 8� 7 2�J3 �p

�� N8. 2 7 2.2J

3 P7 N8. �72� 7 2. �72�J3 P �

� 2 Q16 7 163 S � 2Q323 S �643 &.

Cálculo I - ���������� ℎ� 17

4� Encontre a área da região limitada pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2�. Limites de integração: Precisamos determinar as abscissas dos pontos de interseção entre as curvas o que pode ser calculado igualando as duas equações.

�J 7 �� � 2� → �J 7 �� 7 2� � 0 → ���� 7 � 7 2� � 0 � � 0��� 7 � 7 2 � 0

Resolvendo a equação �� 7 � 7 2 � 0 � � 7�71� Z A�71�� 7 4.1.�72�2 � 1 Z 3

2 → � � 71�� � 2 Os pontos de interseção são: �71,72�, �0,0���2,4�. Traçando o gráfico das funções, podemos observar que no intervalo Y71, 2[ há duas regiões distintas limitas pelas curvas n � �J 7 �� e n � 2�.

No intervalo Y71, 0[ a curva n � �J 7 �� está acima da curva n � 2�. A área ��5� entre as curvas é: �5 �, ���J7 ���7 2��p

I5$� � , ��J 7 �� 7 2��p

I5$� � N�O4 7 �J

3 7 ��P�I5

p�

� �0� 7 N�71�O4 7 �71�J3 7 �71��P � 714 713 � 1 �

737 4� 1212 � 5

12 &. . No intervalo Y0, 2[ a curva n � 2� está acima da curva n � �J 7 ��. A área ���� entre as curvas é: �� � , �2� 7 ��J7 �����

p$� � , �7�J� �� � 2���

p$� � N7�O4 � �J3 � ��P�

p

��

� N7�2�O4 � �2�J3 � �2��P7 �0� � 7164 � 83� 4 � 8

3 &. A área desejada é a soma das áreas das duas regiões.

� � �5 � �� �, ��J 7 �� 7 2��pI5

$� �, �7�J � �� � 2���p

$� � 512 �

83 �

5� 3212 � 37

12 � � 37

12 &. .�&��$$�$���

��

�5