Instituto Federal de

Educação, Ciência e

Tecnologia

Rio Grande do Sul

Campus Rio Grande

CAPÍTULO 4

GEOMETRIA ANALÍTICA

4. Geometria Analítica

4.1. Introdução

Geometria Analítica é a parte da Matemática, na qual associamos seres

algébricos aos geométricos, estudando-se as propriedades de um pela análise

do outro.

Isso significa que a Geometria Analítica algebriza a Geometria. Entre

as vantagens da Geometria Analítica sobre a geometria pura está o aumento

do poder da análise e a eliminação da intuição. Agora substituiremos o

traçado de curvas por equações, que fornecerão conclusões sobre as curvas

correspondentes.

No Ensino Médio exploraremos o ponto, a reta e a circunferência e as

relações entre esses entes geométricos, inseridos no plano cartesiano

ortogonal. Já fizemos algumas análises próprias da Geometria Analítica,

quando calculamos áreas e determinamos a equação da reta por determinantes,

analisamos a posição relativa entre retas analisando suas equações assim

como para a posição relativa entre planos.

Para exemplificar a “algebrização” da geometria, citaremos a

dificuldade de retificar o centro de uma circunferência se esta não foi

feita com compasso, por exemplo, a circunferência impressa abaixo. Os

procedimentos necessários são descritos a seguir:

1. Tomar uma corda AB;

2. Obter a mediatriz1 m desta corda;

3. Tomar uma segunda corda, CD, não paralela;

4. Obter a mediatriz n de CD não paralela a m;

5. A intersecção das mediatrizes será o centro O da

circunferência.

Algebrizando o problema teríamos a equação da

circunferência e por ela encontraríamos as

coordenadas do centro.

Utilizaremos, por vezes, o programa GeoGebra que tem essa dualidade,

tudo o que é feito na área da geometria é relacionado as equações, medidas

de área, etc. na área da álgebra.

Foi no século XVII que a geometria analítica ganhou os contornos que

conhecemos até hoje, com as contribuições de René Descartes e Pierre de

Fermat. Foi Descartes que concebeu um sistema de referência para o plano:

O Sistema Cartesiano Ortogonal, onde cada ponto é representado por um par

ordenado (x,y), com x representando o deslocamento em relação a um ponto

denominado origem em relação ao eixo horizontal, e y representando o

deslocamento em relação ao eixo vertical. Graças a esse sistema conseguimos

esboçar o gráfico de parábolas, hipérboles e muitas outras curvas.

4.2. Distância entre dois pontos

Distância entre dois objetos quaisquer é definida pela medida do menor

caminho que liga estes dois objetos. No caso

de dois pontos A e B no plano cartesiano

A(xA, yA) e B(xB,yB) a distância é a medida do

segmento de reta com extremos em A e B.

d = AB em função das coordenadas de A e de B.

Denotaremos por d(A,B) para explicitar os

pontos a que se quer calcular a distância.

Observando o triângulo retângulo ABC, reto em

C. A distância entre A e B equivale à medida

da hipotenusa. Pelas coordenadas dos pontos A

e B podemos facilmente encontrar a medida dos

1 Mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular a este passando pelo ponto

médio do mesmo.

A

B m D

C

n

O

xA xB

yA

yB

d

catetos.

AC = |xB – xA | BC = | yB - yA |

d(A,B) =

Exemplos:

1.Vamos calcular a distância entre:

(a) A(2,1) e B(2,1)

(b) C(1,2) e D(1,5)

(c) E(5,3) e F(1, 1)

Observação: A fórmula acima é válida para qualquer disposição entre dois

pontos.

4.3. Ponto Médio de um segmento.

Ponto médio é ponto do segmento que

é equidistante aos pontos extremos.

Considerando A (xa, ya) e B(xb, yb)

extremos do segmento e M (xm, ym) o

ponto médio de AB.

Podemos pensar primeiro na abscissa

do ponto médio, ela deve estar a

mesma distância das abscissas de A

e B e depois pensar na ordenada do

ponto médio, satisfazendo o mesmo

critério. Note que os triângulos

retângulos de hipotenusa AM e MB

são congruentes.

Coordenadas do ponto médio: M

Supomos A e B no primeiro quadrante. Chegaríamos a mesma conclusão

trabalhando com outros quadrantes.

Exemplo:

(a) Determine as coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo ABC,

em que A(3, 2), B(1,4) e C(1,1). (b) Determine as medianas relativas aos vértices.

Equações da Reta

4.4. Equação Reduzida da Reta.

A reta já é conhecida por nós como o

gráfico de uma função afim, ou seja, se a lei

da função é y = ax + b, onde a é o coeficiente

angular da reta e b o coeficiente linear,

coeficientes reais. Esta forma também é

conhecida como equação reduzida da reta. Os

coeficientes a e b são números reais

quaisquer.

A interpretação desses coeficientes

também é conhecida.

a = tg com o ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo ox. b é o valor da ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo oy.

b

Esta forma apresenta esta vantagem, se conhecemos o ângulo e a

intersecção da reta com o eixo y obtemos diretamente a equação da reta.

Exemplo: Determine a equação reduzida da reta que faz um ângulo de 30º com

o sentido positivo do eixo ox e que contém o ponto A(3,1).

Pense: Toda reta pode ser representada pela equação reduzida?

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4.5. Equação Geral da Reta.

Podemos expressar a equação da reta a partir da forma reduzida

colocando todos os termos para o primeiro membro e igualando a zero,

originando a forma:

r: mx + ny + k = 0.

Com m, n e k, coeficientes reais onde m e n não podem ser nulos

simultaneamente, pois teríamos k = 0, absurdo, se k 0. Nesta forma os coeficientes m e n também possuem significado geométrico,

que veremos na próxima aula.

Vimos no segundo bimestre que podemos obter a equação de uma reta que

passa pelos pontos A(xa,ya) e B(xb,yb) usando determinantes:

0

1yx

1yx

1yx

bb

aa

O desenvolvimento do determinante nos fornece diretamente o formato da equação geral da

reta.

Exemplo: Determine a equação geral da reta que contém os pontos A(-2,5) e B(3,1).

4.6. Exercícios.

1. Determine a distância dos pontos a seguir:

(a) A (2,5) e B (3,1) (b) P(4,0) e Q(1, 5)

(c) R 1 ,5.0 e S (5, 1) (d) T (0, 8) e V( 7,0)

2. Calcule o perímetro do triângulo ABC, dadas as coordenadas de seu

vértice:

(a) A (3,0), B(0, 4) e C(0,0)

(b) A(1,3), B(1, 2) e C(5,0) (c) A(6,1), B(4,2) e C(3,1)

3. Mostre que o triângulo de vértices A(3,1), B(8,1) e C(3,7) é retângulo.

Determine qual é o vértice do ângulo reto.

4. Obtenha o ponto da bissetriz2 dos quadrantes ímpares que é equidistante

dos pontos A(3,5) e B(2,8).

5. Obtenha as coordenadas do ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:

(a) A(3,1) e B(3,5) (c) A (b+2,b) e B(6 – b, 5b)

(b) A

6,

3

5 e B

1,3

2 (d) A

0,

4

3 e B(0,4)

6. Dados os pontos A(4,2), B(6,5) e C(10,3), calcule a medida da mediana3

AM do triângulo ABC.

7. Sabendo que A(1,6) e que o ponto médio do segmento AB é M (3,5),

determine as coordenadas de B.

8. Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os

pontos médios de seus lados são M(2,1), N(5,2) e P(2,3).

9. Determine a equação reduzida da reta que intersecciona o eixo oy em y

= 4 e faz um ângulo de 135º com o eixo ox.

10. Considere um quadrado, cujos vértices são A(0,0) , B(0,2), C(2,0) e

D(2,2). Determine a equação da reta cuja direção é ortogonal à diagonal do

quadrado e que o ponto E (1,1) pertence a essa reta.

11. Demonstre que o quadrilátero de vértices A(a,b), B(a+4,b+3), C(a+7,b+7)

e D(a+3,b+4) é um losango, usando argumentos da geometria analítica.

12. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:

(a) A(-3,4) e B(2,1)

(b) C(1,1) e D(-4,-5)

2 Bissetriz é uma reta que divide um ângulo ao meio. 3 Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice do triângulo

ao ponto médio do lado oposto.