capítulo 4 análises estruturais

Escola Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie

Coordenadoria de Engenharia Civil

Método dos Elementos Finitos: Teoria e prática

aplicadas a problemas multidisciplinares

Copyright 2007 © Direitos reservados

Created by Pappalardo Jr., Alfonso

Capítulo 4 Análises Estruturais

4 ANÁLISES

ESTRUTURAIS

ANÁLISES

ESTRUTURAIS

Capítulo 4 Análises estruturais

Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia Civil: Teoria e Prática








4.1 GENERALIDADES

As análises estruturais são utilizadas para determinar o campo

dos deslocamentos (translação e rotação) e, a partir dos

mesmos, as tensões, as deformações, as reações de apoio e

outras grandezas, decorrentes da aplicação de forças externas

ativas.

1/43 Capítulo 4 Análises estruturais









4.2 TIPOS DE ANÁLISES

Análise modal

Análise harmônica

Análise transiente

Análise espectral Análise de flambagem

Análise de fadiga

Análise estática

Análise dinâmica

Análise linear Análises não-lineares (física, geométrica, de contato...)










4.3 ANÁLISES ESTÁTICAS

As análises estruturais estáticas são apropriadas para resolver

problemas em que as forças de inércia e os amortecimentos

podem ser desprezados não afetando significativamente a

resposta estrutural.

4.3.1 Elástica-linear

Os carregamentos são aplicados lentamente (quase perma-

nentes) produzindo pequenos deslocamentos (linearidade

geométrica) e preservando a proporcionalidade entre tensão e

deformação (linearidade física);










A energia potencial total para problemas estruturais e

conservativos é definida por

4.3.1 Elástica-linear (cont...)

, U (4.1)

onde U é a energia de deformação (trabalho esforços internos) e

é a energia potencial (trabalho das forças externas). Para

materiais que apresentam comportamento elástico-linear, pode-

se escrever:

,d2

1 T

V

VU (4.2)










onde


zxyzxyzyxT

(4.3)

zxyzxyzyxT

são, respectivamente, o tensor das deformações e o tensor das

tensões e suas componentes para o caso da elasticidade

tridimensional.

x

z

yxy

zx yz

x

z

yxy

zx yzEsquema 4.1 Componentes do tensor

das tensões e das deformações











Esquema 4.2 Diagrama tensão-deformação:

energia de deformação específica (J/m3)

(MPa)

(%)

energia de deformaçãoem regime elástico-linear










As Equações Constitutivas relacionam tensão e deformação,

que na forma genérica, pode-se escrever:


onde D é a matriz constitutiva, que depende do tipo de

formulação utilizada. A seguir, serão apresentadas as matrizes

constitutivas para diversas formulações estruturais.

, D (4.4)









Capítulo 4 Análises Estruturais 2/8

315/325

4.3.1.1 Elementos unidimensionais

X

Y

viga 2-D

treliça 2-D

X Y

Z

viga 3-D

treliça 3-D

ED x

T

xT

Matriz 4.1 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 1D: treliças e vigas (2D e 3D)

E módulo de elasticidade

(longitudinal)

8/43

Capítulo 4 Análises estruturais









316/325

4.3.1.2 Elementos bidimensionais

2/)1(00

01

01

1 2

ED

xyyxT

xyyxT

X

Y

EPT

4.3.1.2.1 Estado Plano de Tensão

Poisson de ecoeficiente

yxzsendo )(

E

Matriz 4.2 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 2D: chapas



9/43








4.3.1.2.2 Estado Plano de Deformação

4/8

317/325

2/)21(00

01

01

)21)(1(

ED

xyyxT

xyyxT

X

Y

EPD

)( yxzsendo

Matriz 4.3 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos confinados



10/43








4.3.1.2.3 Estado Axissimétrico de Tensão

5/8

318/325

2)21(000

01

01

01

)21)(1(

ED

xyyxT

xyyxT

rusendo

Matriz 4.4 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 2D: sólidos de revolução

X

Y

axissimétrico



11/43








319/325

Matriz 4.5 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca fina e placa delgada

4.3.1.3 Elementos tridimensionais

4.3.1.3.1 Casca fina e placa delgada

X Y

Zcasca fina

placa fina

2/)1(00

01

01

1 2

ED

xyyxT

xyyxT

)yx(2)y(

)x(

2xye

22y

22xsendo

wzwz

wz



12/43








320/325

Matriz 4.6 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: casca espessa e placa espessa

4.3.1.3.2 Casca espessa e placa espessa

X Y

Zcasca espessa

placa espessa

zxyzxyyxT

2)21(0000

02)21(000

002)21(00

0001

0001

)21)(1(

ED

zxyzxyyxT



13/43








321/325

Matriz 4.7 Relações constitutivas para materiais elástico-lineares isotrópicos usadas para os elementos finitos estruturais 3D: sólido

4.3.1.3.3 Sólido

2)21(00000

02)21(0000

002)21(000

0001

0001

0001

)21)(1(

ED

X Y

Z

sólido

zxyzxyzyxT

zxyzxyzyxT



14/43








4.3.1 Linear (cont...)

Por outro lado, a energia potencial das cargas externas é dada

pela expressão nodal:

.eTUF (4.5)

As Equações de Compatibilidade que relacionam

deformações e deslocamentos são dadas por:

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

uw

wv

vu

w

v

u

(4.6)











e podem ser escritas no formato matricial como:

z)y,(x,

z)y,(x,

z)y,(x,

x0z

yz0

0xy

z00

0y0

00x

zx

yz

xy

z

y

x

w

v

u

(4.8)

ou na forma compacta por:

(4.7)

.z)y,x,(uL











Considerando que os deslocamentos – em qualquer ponto no

interior de um elemento finito – podem ser aproximados a partir

das funções de interpolação (anexo A) e dos deslocamentos

nodais, ou seja:

,z)y,(x,~z)y,(x, eTUNuu (4.9)

sendo

,

300200100

030020010

003002001T

NNN

NNN

NNN

N (4.10)










onde Ni são as funções de interpolação e u.i, v.i, w.i representam

as componentes dos deslocamentos nodais para o elemento e.

Introduzindo-se 4.9 em 4.8, tem-se:


(4.11) ,eeT UBUNL

onde L é a matriz dos operadores diferenciais de primeira

ordem. Observa-se na expressão (4.12) que o estado de

deformação do elemento pode ser obtido a partir dos seus

deslocamentos nodais. A partir (4.7) e (4.10) tem-se:











x

N

z

Ny

N

z

Nx

N

y

Nz

Ny

Nx

N

x

N

z

Ny

N

z

Nx

N

y

Nz

Ny

Nx

N

x

N

z

Ny

N

z

Nx

N

y

Nz

Ny

Nx

N

303

330

033

300

030

003

202

220

022

200

020

002

101

110

011

100

010

001

B (4.12)











X

Y

u1, ,v w1 1

3

2

1

Z

u2, ,v w2 2

u3, ,v w3 3

2

2

1

1

1

e

v

u

w

v

u

U (4.13)

u (x,y,z) .

Esquema 4.3 Deslocamentos nodais para

o elemento triangular de três nós











Pode-se observar, mediante a análise das expressões 4.4, 4.11

e 4.12 que a escolha adequada das funções de interpolação

afeta, significativamente, o estado de tensão e deformação do

elemento finito. Por exemplo, para o caso do elemento triangular

de três nós, a função de interpolação é linear, conforme visto no

Anexo A. A partir da expressão 4.11, que relaciona as

deformações com os deslocamentos nodais, observa-se que o

estado de tensão e de deformação é constante no interior do

elemento finito (CST constant strain triangle).











Combinando-se a expressão 4.1 com 4.2 e 4.5, chega-se a:

,d2

1 TT UF V V (4.14)

e se introduzindo a equação 4.4 e a aproximação 4.11 em 4.14,

leva a:

.d)(2

1 TTT UFUBDΒU V V (4.15)











Minimizando-se o funcional da energia potencial total em

relação aos deslocamentos nodais, chega-se a:

0d)( T

FUBDΒ

U VV

(4.16)

que é a condição estacionária em que se garante a condição de

equilíbrio entre esforços internos e externos. Daí decorre que:

,dTe VV BDBK (4.17)

é a matriz de rigidez do elemento finito.










Após montagem das matrizes globais, apresentadas no

Anexo.D, chega-se ao sistema de equações lineares dado por:


,FUK (4.18)

análogo ao sistema da equação 3.24, sendo neste caso K é a

matriz de rigidez da estrutura, U é o vetor deslocamento e F é o

vetor carregamento.

O sistema 4.18 é resolvido por métodos diretos (Gauss,

Cholesky), métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel) ou

métodos de otimização (Gradientes Conjugados).











Os carregamentos indicados a seguir podem ser representados

pelo vetor carregamento F. As expressões a seguir convertem

os carregamentos especificados por forças nodais equivalentes

formando o vetor carregamento F . Para maiores detalhes das

deduções destas expressões consulte WEAVER (1984).

L

z

y

xT

L

Te L

p

p

p

NLpN ddF

Carregamento de borda uniformemente distribuído: p (N/m)

1

23

L px (N/m)











Carregamento devido a variação da temperatura: DT (oC)

Carregamento devido a gravidade (volume): b (N/m3)

V

z

y

xT

V

Te V

b

b

b

NV ddbNF

D

DV

z

y

xT

V

Te VTVT dd DBαDBF

23

by (N/m )3

1

dA

23

1

DT










4.3.2 Não-linearidade física

É requerida no caso em que as tensões não são proporcionais

às deformações. Vários tipos de não-linearidades físicas podem

ser incluídas:

plasticidade, elasticidade não-linear, hiperelasti-

cidade: caracterizadas pela relação não-linear entre

tensão-deformação;

viscoelasticidade, viscoplasticidade e fluência: onde

também são incluidos os efeitos da deformação depende

do tempo, da temperatura, da forma de aplicação do

carregamento, do nível de tensão, entre outros.










4.3.2 Não-linearidade física (cont...)

O carregamento deve ser aplicado incrementalmente. Em cada

incremento de carga são realizadas as iterações de equilíbrio do

Método de newton-Raphson, conforme esquema 4.4.

Equação 4.17 escrita na forma incremental é dada por:

onde KT é a matriz de rigidez tangente (que relaciona

incrementos de deslocamentos com incrementos de carga), Du

é o vetor incremento de deslocamento, F* é o carregamento

aplicado, FNR é o vetor carregamento restaurador e DF é o vetor

carregamento desbalanceado.

,)(ΔΔ)( i ii1ii TNR uFFuuK F (4.19)











A cada iteração de equilíbrio, a matriz de rigidez tangente KT e o

vetor carregamento desbalanceado FNR são atualizados.

O critério de convergência pode ser definido em função do

incremento do carregamento D.F ou, do incremento de

deslocamento D.u, de maneira similar a fórmula 3.29. Para

problemas com fortes não-linearidades envolvidas sugere-se

que se diminua o incremento de carga (LOADSTEP) de modo

que se contorne as dificuldades de convergência do problema.

O esquema 4.4 apresenta a interpretação geometrica do

algoritmo.











F*

u*

u(m)

u 1 u2

F(N)

K (uT 0

)

F =K(u )uNR

1 0 1

K (u1T )

u 0

co eficiente

angular

Du 2

D F =F* FN R11

Esquema 4.4 Método de newton-Raphson










4.3.3 Não-linearidade geométrica

(a) grandes deformações: não existem restrições quanto a

magnitudes das deformações e rotações que podem

ocorrer. A formulação leva em conta este efeito ajustando-

-se a forma dos elementos para refletir a mudança da

geometria;

(b) grandes deslocamentos: neste caso as deformações são

pequenas, porém as rotações são grandes que leva a

mudança da orientação espacial do elemento. Segundo esta

formulação os carregamentos não são conservativos;

Ocorre quando os deslocamentos afetam significativamente a

rigidez da estrutura. A seguir, citam-se alguns tipos de não-

linearidades geométricas:










4.3.3 Não-linearidade geométrica (cont...)

(c) rigidez geométrica (stress stiffening): leva em conta o

aumento ou a diminuição da rigidez estrutural devido ao

estado de tensão. Este estado de tensão é utilizado para

calcular a matriz de rigidez geométrica S, que será

adicionada ou subtraída à matriz de rigidez K da estrutura,

de acordo com a equação governante:

.)( FUSK (4.20)

Fisicamente, este efeito representa o acoplamento entre os

deslocamentos transversais e aqueles contidos no plano do

elemento estrutural. Para a solução da equação acima, utiliza-se

o Método de newton-Raphson, conforme apresentado no caso

da não-linearidade física.










4.3.4 Não-linearidade de contato

Empregada na determinação das forças de contato, levando-

se em conta o atrito nas interfaces descontínuas. Constitui-se

uma análise não-linear pela mudança brusca de rigidez em

função das partes que se contatam.

Em uma análise estrutural não-linear, pode-se levar em conta,

simultaneamente, as não-linearidades física e geométrica.










4.4 ANÁLISES DINÂMICAS

As análises estruturais dinâmicas são apropriadas para resolver

problemas em que as forças de inércia e os amortecimentos não

podem ser negligenciados afetando significativamente a

resposta estrutural.

Todas as cargas são de origem dinâmica, seja espacial ou

temporal, mas em muitos casos os efeitos dinâmicos podem ser

desprezados realizando-se uma análise pseudo-estática. Em

geral, se a freqüência de excitação for menor que 1/3 da menor

freqüência natural da estrutura, a análise estática pode ser

utilizada como uma boa aproximação do problema dinâmico.










4.4.1 Modal

Utilizada na determinação das freqüências naturais e modos

de vibração de uma estrutura. Pode-se avaliar a ocorrência do

fenômeno da ressonância, com base na comparação entre as

freqüências naturais e a freqüência de excitação do

carregamento (pessoas, máquinas, equipamentos, veículos em

movimento).

Pode-se considerar o amortecimento estrutural, assim como, o

efeito do pré-tensionamento. Todas as análises dinâmicas

sempre são antecedidas pela análise modal, para identificação

das freqüências naturais da estrutura que levarão à amplificação

dos deslocamentos.










4.4.1 Modal (cont...)

Em uma análise modal leva-se em conta vibrações livres

amortecidas ou não-amortecidas, descritas pela Equação do

Movimento:

,0uKuCuM (4.21)

,)( 2 0uMCK i (4.22)

que recai num problema de autovalores e autovetores. Assim, a

equação 4.20 reduz-se na forma:

onde representa as freqüências naturais (autovalores) e representa os modos de vibração natural (autovetores). Para

a maioria das análises modais o amortecimento pode ser

desprezado.

u










4.4.1 Modal (cont...)

A equação 4.22 pode ser resolvida por diversos métodos

encontrados na literatura (Lanczos, Subespaços). Os métodos

citados são muito eficientes para extração dos autovalores,

sendo o primeiro mais preciso.

Quando se tiver limitação quanto ao armazenamento das

matrizes plenas, pode-se optar por métodos reduzidos (Guyan),

que caracterizam a resposta dinâmica da estrutura com um

número menor de graus de liberdade (conhecidos por master

degree of freedom), que além de viabilizarem a solução

reduzem significativamente o tempo de processamento.










4.4.2 Harmônica

Determina a resposta de uma estrutura de comportamento

elástico-linear submetida a um carregamento harmonicamente

variável no domínio do tempo (bases de equipamentos,

geradores) operando numa certa freqüência de excitação. Todas

as cargas aplicadas na estrutura atuam numa mesma

freqüência, mas não necessariamente em fase. As não-

linearidades e os efeitos transientes não podem ser incluídos.

Para uma freqüência de excitação muito próxima de uma das

freqüências naturais da estrutura, observa-se a amplificação dos

deslocamentos. Por este motivo, sempre uma análise modal

deve preceder uma análise harmônica, para identificação das

freqüências naturais da estrutura.










4.4.2 Harmônica (cont...)

,)(tFuKuCuM (4.23)

A equação governante de uma análise harmônica é um caso

particular da equação geral do movimento

onde F(t) é a função carregamento que varia harmonicamente

com uma amplitude conhecida. Assim, para uma dada

freqüência e um certo ângulo de fase f, tem-se:

.)(sen)(cos)( 0 ff titFtF (4.24)










4.4.2 Harmônica (cont...)

Os deslocamentos incógnitos variam harmonicamente na

mesma freqüência , mas não necessariamente em fase com a

função carregamento. Os deslocamentos são especificados,

para uma certa freqüência, em termos de amplitude e ângulo de

fase, ou seja, parte real e imaginária. A análise harmônica fará

uma varredura num passo constante, dentro de um intervalo de

freqüências de excitação, capturando os deslocamentos nodais.

Os métodos disponíveis para análise harmônica disponíveis no

programa ANSYS são: pleno, reduzido e superposição modal,

sendo o primeiro mais geral e preciso.










4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM

Empregada na determinação das cargas críticas de

flambagem e dos modos de flambagem associados, que

levam a estrutura a perda de equilíbrio. A solução de uma

análise de flambagem, assim como a análise modal, recai num

problema de autovalores e autovetores:

,)( 0uSK (4.25)

onde é o fator de carga (autovalor), é o modo de flambagem

(autovetor), K é a matriz de rigidez da estrutura e S é a matriz

de rigidez geométrica.

u










4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...)

As cargas críticas são obtidas multiplicando-se a carga aplicada

pelo fator de carga (autovalor), conforme esquema 4.5. Diversos

modos de flambagem podem ser capturados (torcional, flexional,

lateral, local e localizado). Tais análises permitem a

compreensão do fenômeno da flambagem, a verificação da

segurança à flambagem e a eficiência de um reforço estrutural.

Pode-se incluir os efeitos da protensão (prestress) e do peso

próprio (vide esquema 4.6).










4.5 ANÁLISE DE FLAMBAGEM (cont...)

Esquema 4.5 Fatores de carga para identificação

da carga crítica de flambagem

P1=1kN

processamento...

=150

cr

P = .P =150 kN

1

1 1

P =10kN2

processamento...

=15

cr

P = .P =150 kN

2

2 2

P =60kN3

processamento...

=2,5

cr

P = .P =150 kN

3

3 3



capítulo 4 análises estruturais

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