capítulo 3 – movimento em duas ou três dimensões 3.1 – vetor posição e vetor velocidade...
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Capítulo 3 – Movimento em Duas ou Três Dimensões
3.1 – Vetor posição e vetor velocidade
objeto de nosso estudo
sistema
o observador
sistema de referência
.
O
ponto de referência
O
O
O
O
trajetória
objeto de nosso estudo
sistema
modelo:
“partícula”
O
O
)(trVetor posição
Coordenadas cartesianas:
kzjyixr ˆˆˆ
O
)(trVetor posição
O
t
vetor posição da partícula
no instante t
em relação ao observador em O.
)(tr
O
r
)( ttr
tt
)(tr
t
Vetor deslocamento
)()( trttrr
Vetor deslocamento da
partícula entre os instantes t e t +Δt
kzjyixr ˆˆˆ
Componentes:
inicialfinal rr
trttrr
)()(
A
C
B
0
ACAC
BCBC
ABAB
rrr
rrr
rrr
ABr
BCr
O
)(tr
)( ttr r
mv
secante à trajetória
t
rvm
Velocidade média
kt
zj
t
yit
xvm ˆˆˆ
Componentes:
O
t
t decrescente
mv
)(tr r
Velocidade instantânea
O
t
t decrescente
r decrescente
r
)(tr
mv
t
rlimvt
0
tangente à trajetória no instante considerado
O tangente à trajetória
v
)(tv
)(1tv
)(2tv
)(3tv
)(trt
Em termos das componentes:
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
t
rv
t
ˆˆˆlim0
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv zyx ,,
Módulo do vetor velocidade:
222zyx vvvv (igual à velocidade escalar)
3.2 – Vetor aceleração
Aceleração média:t
vam
Aceleração instantânea: dt
vd
t
va
t
0
lim
kdt
dvj
dt
dvi
dt
dva zyx ˆˆˆ
Componentes:
2
2
2
2
2
2
,,dt
zd
dt
dva
dt
yd
dt
dva
dt
xd
dt
dva z
zy
yx
x
)t(v
t
)tt(v
v
)t(a
t
v
td
vda
Componentes perpendicular e paralela da aceleração:
)t(v
)tt(v
Componente perpendicular
Componente paralela
a
||a
v
)( ttv
apenas o módulo da velocidade é alterado!
tav
ta
)(tv
paralelossãoe va
Componente paralela da aceleração altera o módulo da velocidade
Componente perpendicular da aceleração altera a direção da
velocidade)(tv
)( ttv
No limite , a aceleração torna-se perpendicular à velocidade
0t
)(tv
)( ttv
v
a
)(tv
)( ttv
v
a
Componente perpendicular da aceleração altera a direção da
velocidade)(tv
)( ttv
No limite , a aceleração torna-se perpendicular à velocidade
0t
)(tv
)( ttv
v
a
)(tv
)( ttv
v
a
Componente perpendicular da aceleração altera a direção da
velocidade)(tv
)( ttv
No limite , a aceleração torna-se perpendicular à velocidade
0t
)(tv
)( ttv
v
a
)(tv
)( ttv v
a
v
a
Aceleração normal à trajetória: velocidade escalar é constante
Exemplos
v
a
Componente paralela da aceleração normal no mesmo sentido da velocidade: velocidade escalar aumenta
v
a
Componente paralela da aceleração normal no sentido oposto da velocidade: velocidade escalar diminui
3.3 – Movimento de um projétil
• Movimento de um corpo no campo gravitacional da Terra, desprezando os efeitos de resistência do ar, curvatura e rotação da Terra.
• Movimento ocorre em um plano, definido pelo vetor velocidade inicial e pela vetor aceleração da gravidade
gaa
jga
yx
,0
ˆ
000000
000
sen ,cos
ˆˆ
vvvv
jvivv
yx
yx
a
0
Decomposição do movimento
• Movimento horizontal com velocidade constante
• Movimento vertical com aceleração constante (“queda livre”)
a
0
000 cosvv x
gay
Demonstração: Kit LADIF 1C-02
Vídeos: “Physics Demonstrations in Mechanics” I.4, I.5, I.6
Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=fwNQKjTj-0w
(a partir de 46:10 min)
Equações do movimento de projétil
• Movimento horizontal com velocidade constante
• Movimento vertical em queda livre
a
0
tvx
vv x
00
000
cos
cos
200
00
2
1sen
sen
gttvy
gtvvy
Aplicações:
• Distância até a origem a qualquer instante 22 yxrr
x
y
)(tr
• Módulo da velocidade a qualquer instante 22yx vvvv
)(tv
• Direção e sentido da velocidade:
xv
yv
x
y
v
vtg
x
y
• Equação da trajetória:
00 cosv
xt
200
00
2
1sen
cos
gttvy
tvx
Sabemos que:
2
000000 cos2
1
cossen
v
xg
v
xvy
2
022
00 cos2
tg xv
gxy
A trajetória é uma parábola (resultado
obtido pela primeira vez por Galileu)
x
y
• Altura máxima:
211001 2
1sen gttvtyh
h
Obtemos o tempo t1 para alcançar a altura máxima a partir da condição
0yv
g
vt
gtvvy
001
100
sen
0sen
Então substituimos t1 na equação para :)(ty
2
000000
sen
2
1sen sen
g
vg
g
vvh
g
vh
2
sen 022
0
Note que a altura será a
maior possível para 900
x
y
• Alcance:
2002 cos tvtxR
R
Obtemos o tempo t2 para o projétil retornar ao solo:g
vtt 0012
sen 22
Então substituimos t2 na equação para :)(tx
Note que o alcance será
o maior possível para 450
0
g
vvR 00
00
sen 2cos
g
vR
cossen 2 0020
g
vR
2sen 020
Galileu: “As amplitudes das parábolas descritas por projéteis disparados com a mesma velocidade, mas com ângulos de elevação acima e abaixo de 45o e equidistantes de 45o, são iguais entre si”
Demonstração experimental: Kit LADIF (lançador de projéteis)
3.4 – Movimento circular
Movimento circular uniformeMovimento ao longo de uma trajetória circular com velocidade escalar constante (velocidade muda apenas de direção): aceleração será sempre perpendicular à velocidade, apontando para o centro do círculo (centrípeta)
R
v
rada
v
rada
rada
v
rada
v
R
varad
2
Período (T ): Tempo para uma volta completa
2
24,
2
T
Ra
T
Rv rad
Exemplo: Y&F 3.11 Um carro possui aceleração lateral máxima de 0,96g. Se o carro se desloca a 144
km/h, qual o raio mínimo da curva que ele pode aceitar?
m/s 40 km/h 144 v
m170
m/s8,996,0
m/s 40
2
2
max
2
min
2
a
vR
R
varad
R
v
rada
Exemplo: Órbitas dos planetas
Raio médio (U.A)
T translação
(anos) (U.A.)
Mercúrio 0,39 0,24
267,30 40,7
Vênus 0,72 0,62 73,94 38,3
Terra 1 1 39,47 39,5Marte 1,52 1,88 16,98 39,2Júpiter 5,20 11,86 1,459 39,5Saturno 9,54 29,46 0,4340 39,5Urano 19,19 84,01 0,1073 39,5Neptuno 30,06 164,79
0,04370 39,5
Plutão 39,53 247,70 0,02544 39,7
2
24
T
Rarad
radaR2
Movimento circular não uniforme
Além da aceleração radial (centrípeta), existe também uma aceleração tangencial, que causa variações na velocidade escalar
dt
vda
R
va tgrad
,
2
3.5 – Velocidade relativa
Velocidade depende do sistema de referência (referencial): conjunto de eixos e um cronômetro
Em 1D:
xA, xB
yA
OA
yB
OB
A: referencial de um observador externo, parado na estrada
B: referencial de um observador sentado dentro do ônibus
xP/A
PxP/BxB/A
ABBPAP xxx ///
Derivando em relação ao tempo, obtemos:
dt
dx
dt
dx
dt
dx ABBPAP /// ABBPAP vvv /// m/s 3
m/s 4
m/s1
:Exemplo
///
/
/
ABBPAP
AB
BP
vvv
v
v
Em 2D e 3D:
ABBPAP rrr ///
Derivando em relação ao tempo, obtemos:
yA
OA xA
zA
yB
OB
zB
ABr /
P
BPr /
APr /
ABBPAP vvv ///
Transformação de velocidades de
Galileu
xB
Exemplos: Y&F 3.14 e 3.15
Velocidade do avião em relação à Terra:
23km/h 240
km/h 100arctg
km/h 2602/
2//
///
EAAPEP
EAAPEP
vvv
vvv
Em que direção o piloto deve inclinar seu avião para ir do Sul para o Norte?
25km/h 240
km/h 100arcsen
Velocidade do avião em relação à Terra:
km/h 2182/
2// EAAPEP vvv
Próximas aulas:
6a. Feira 26/08: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 30/08: Aula Magna (sala A-343) e teste do Cap. 3
Avisos:
Mudança na data da P2: 2a. Feira 28/11, 17h
Testes (valendo até 1,0 ponto na prova):
0,8
0,2 testes)nos Media(prova na Bonus
(Ausências nos testes são computadas como nota zero para o cálculo da média)