capítulo 3

3. Transformada Wavelet

3.1 Introduo

As transformaes matemticas so empregadas no mapeamento de funes de um domnio para outro.As transformaes so particularmente importantes em processamento e anlise de sinais porque nodomnio transformado algumas propriedades relevantes do sinal ficam mais evidentes. Para a compressode imagens, um dos mtodos mais utilizados a codificao por transformada, cujo objetivo principal datransformada produzir um conjunto de valores representando os pixels reordenados, evidenciando amaior concentrao de energia possvel em menor nmero de coeficientes.

Como j vimos, no captulo anterior, existe vrios mtodos de transformaes que podem ser aplicados aum sinal, entre os quais a transformada de Fourier a mais popular. A transformada de Fourier utilizafunes bases (senos e cossenos) para analisar e reconstruir um sinal, alm disso, elas so funesortogonais, as quais possuem propriedades desejveis para a sua reconstruo. Tanto a transformada deFourier quanto a transformada wavelet so ambas reversveis, porm, a transformada de Fourier possuialgumas limitaes. Como veremos a seguir a transformada wavelet possui algumas vantagens, emespecial nos casos onde a transformada de Fourier no apresenta bons resultados.

3.2 A Transformada de Fourier

A transformada de Fourier foi descoberta no incio do sculo XIX, pelo matemtico francs JosephFourier, que mostrou que qualquer funo peridica pode ser representada como uma soma infinita defunes exponenciais complexas peridicas. Atualmente, a transformada de Fourier tem sido utilizada eminmeras aplicaes em processamento de sinais. Na transformada de Fourier uma funo no domnio dotempo mapeada em uma funo no domnio da freqncia, onde o seu contedo pode ser analisado. Estatransposio ocorre porque a transformada de Fourier expande a funo original em termos de funessenos e cossenos de durao infinita. A transformao inversa de Fourier transforma o sinal do domnioda freqncia para o domnio do tempo.

Seja x(t) uma funo contnua da varivel real t. A transformada de Fourier de x(t), denotado por {x(t)}, definida pela equao [21]

{ x(t)} = ( 3.1 )

ou seja, um produto interno do sinal x(t) com um conjunto de exponenciais complexas, que constituemuma base ortonormal. Na equao acima, t usado para representar o tempo, f a freqncia e j igual a

.

Dado X( f ), x(t) pode ser obtido usando a transformada inversa de Fourier (inverse Fourier transform IFT) definida pela equao:

-1{ X( f )} = ( 3.2 )

As equaes 1.1 e 1.2 existem se x(t) contnua e integrvel e X( f) integrvel. Na transformada deFourier o X denota o sinal no domnio do tempo e na transformada inversa de Fourier o x denota o sinalno domnio da freqncia.

Captulo 3 http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~ionildo/wavelet/cap3.htm

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A transformada de Fourier pode ser facilmente estendida para uma funo de duas varveis f(x, y). Se f(x,y) continua e integrvel e F(u, v) integrvel, a transformada de Fourier definida pela equao

{ f(x, y)} = ( 3.3 )

e a transformada inversa de Fourier definida por:

-1{ F(u, v)} = ( 3.4 )

onde u e v so as variveis de freqncia.

Para uma seqncia de durao finita, possvel desenvolver uma representao alternativa datransformada de Fourier, referida como transformada discreta de Fourier (discrete Fourier transform DFT). Uma vez que a transformada de Fourier no pode ser computada, a DFT, que uma versoamostrada, permite o seu clculo computacional, e para sinais de tempo finito a DFT uma completarepresentao de Fourier do sinal. Mais informaes descrevendo a DFT e a transformada rpida deFourier (fast Fourier transform FFT) podem ser obtidas em [21, 42].

3.2.1 Transformada de Fourier de Tempo-Curto

As funes senos e cossenos tm um suporte infinito e so bem adaptadas para analisar sinaisestacionrios (sinais cujo contedo de freqncia no varia no tempo), porm no so apropriados paradescrever sinais no-estacionrios (transientes), isto , aqueles nos quais a resposta em freqncia variano tempo. Nenhuma informao de freqncia est disponvel no domnio do tempo do sinal, e nenhumainformao de tempo est disponvel no sinal transformado (domnio da freqncia). A transformada deFourier possui resoluo mxima em freqncia mas nenhuma resoluo no tempo. Isto significa quepodemos determinar todas as freqncias presentes em um sinal, porm no podemos saber quando elasesto presentes.

A transformada de Fourier de tempo-curto (short-time Fourier transform STFT) uma soluo paraobter melhor localizao no tempo e freqncia na decomposio de um sinal [10, 44]. A STFT umaverso da transformada de Fourier que utiliza janelas no tempo, e seus respectivos deslocamentos, comobases para a transformada. Em anlise de sinais, existem vrias escolhas possveis para a funo janelag(t), sendo as principais as que possuem suporte compacto e regularidade razovel. Quando a janelaselecionada Gaussiana, a STFT conhecida tambm como transformada de Gabor.

A STFT de um sinal x(t) definida por:

( 3.5 )

onde x(t) o sinal, g(t-t ) a funo janela centrado em t .

Quando baixas freqncias so observadas em um sinal necessrio uma longa observao no tempo. Aocontrrio, quando altas freqncias so observadas, somente uma curta observao no tempo necessria.O princpio da incerteza de Heisenberg, da fsica quntica, estabelece que no podemos obter ainformao exata da freqncia de um sinal e o instante/local exato no tempo/espao onde esta freqnciaocorreu. O que podemos saber o intervalo de tempo os quais certas bandas de freqncia existem. Comisso, no possvel obter alta resoluo em tempo e freqncia simultaneamente. Em outras palavras, um


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sinal no pode ser representado como um ponto no espao tempo-freqncia.

Pelo fato de uma simples janela ser usada para todas as freqncias na STFT, a resoluo da anlise amesma em todas as localizaes do plano tempo-freqncia. Uma vantagem da transformada wavelet que a janela varia, com isso teremos funes bases curtas para alta freqncia e longas para baixafreqncia. A figura 3.1 mostra o diagrama, no plano tempo-freqncia, as bases das funes de Fourier eWavelets [17, 22].

Figura 3.1 Diagrama do plano tempo-freqncia. A esquerda representao de bases de Fourier e direita representao de bases wavelets.

Podemos observar na figura 3.1 ( direita) que baixas freqncias possuem a altura dos retngulos maisbaixas (que correspondem para melhor resoluo em freqncia), porm o comprimento mais longo("pobre" resoluo no tempo). Para altas freqncias ocorre o contrrio. Este fato importante na anlisede sinais j que geralmente so os componentes de baixa freqncia que caracterizam o comportamentode um determinado sinal, enquanto que os componentes de alta freqncia nos fornecem os detalhes destesinal.

3.2.2 Fourier versus Wavelets

A transformada de Fourier de tempo-curto permite a anlise de um sinal em tempo e freqncia. J atransformada wavelet, que veremos a seguir, permite decompor um sinal em componentes que so bemlocalizados em tempo (via translao) e escala (via dilatao/contrao), introduzindo assim a anlise emtempo-escala. No caso de wavelets, normalmente no falamos em representao tempo-freqncia masem representao tempo-escala, porque o termo freqncia reservado a transformada de Fourier. Apartir daqui usaremos o termo tempo-escala. Devido as propriedades de localizao em tempo e escala, atransformada wavelet pode facilmente detectar informao local em um sinal.

Ao contrrio da transformada de Fourier, a transformada wavelet no possui um nico conjunto defunes base, mas sim vrios (infinitos) conjuntos de funes bases (wavelets) possveis.

A transformada discreta wavelet (discrete wavelet transform DWT) uma funo ortogonal que podeser aplicada para um conjunto finito de dados. Ao contrrio das funes senos e cossenos da transformadade Fourier, as wavelets no precisam ter durao infinita. Este suporte compacto permite a transformadawavelet transladar uma funo no domnio do tempo em uma representao que no localizada somenteem freqncia (como a transformada de Fourier) mas tambm no domnio do tempo [8]. O termotranslao usado no mesmo sentido como ele era usado na STFT. Ele est relacionado a localizao dajanela, quando a janela deslocada (shifted) atravs do sinal.

Do ponto de vista funcional, a transformada discreta de Fourier muito parecida com a transformadadiscreta wavelet, naquilo em que a funo de transformao ortogonal, so ambas invertveis, asmatrizes da transformada inversa so as transpostas das originais, o sinal de entrada assumido ser umconjunto de amostras discretas e ambas as transformadas so convolues [17, 18].


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3.3 A Transformada Wavelet

A transformada wavelet uma ferramenta que permite decompor um sinal em diferentes componentes defreqncias, permitindo assim, estudar cada componente separadamente em sua escala correspondente. Otermo "wavelet" significa "pequena onda" (small wave em ingls ou ondelette em francs). O termo"pequena" refere-se condio de que esta funo de tamanho finito (suportada compactamente).

A transformada wavelet contnua (continuous wavelet transform CWT) em L2(R) pode ser definidacomo [11, 45]

( 3.6 )

As funes wavelets (y a,b) so geradas de uma nica funo y (t), denominada wavelet me (motherwavelet) ou wavelet bsica, atravs de operaes de dilataes e translaes definida como

( 3.7 )

onde a, b R, a 0, o parmetro b representa o deslocamento no tempo/espao, a o fator de escala (a > 0

corresponde a dilatao e a < 0 para a contrao de y (t)). O fator de multiplicao para

normalizao da energia atravs das diferentes escalas. Alm disso, y , y L2(R), satisfaz a seguintecondio

( 3.8 )

Para a transformada wavelet ser invertvel, a funo y (t) deve satisfazer condio de admissibilidade

Cy = ( 3.9 )

onde a transformada de Fourier,

. ( 3.10 )

Se a condio de admissibilidade for satisfeita, a transformada wavelet contnua W(a, b) invertvel e atransformada inversa dada pela relao

. ( 3.11 )

A condio de admissibilidade implica que a transformada de Fourier de y (t) se anula na freqncia zero,ou seja


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( 3.12 )

e a funo wavelet y (t) deve oscilar. Em outras palavras, y (t) deve ser uma onda.

3.3.1 Transformada Discreta Wavelet

Na transformada discreta wavelet (DWT) os parmetros de dilatao e translao no variamcontinuamente, como no caso da transformada wavelet contnua, mas sim discretamente. Em certasaplicaes, incluindo aquelas em anlise de sinal, podemos restringir os valores dos parmetros a, b (daequao 1.7) a uma grade discreta, fixando um passo de dilatao a0 > 1 e uma passo de translao b0 0.

A famlia de wavelets de interesse, para j, k Z, torna-se ento [11]

, ou ( 3.13 )

( 3.14 )

Note que isto corresponde para

, ( 3.15 )

( 3.16 )

indicando que o parmetro de translao b depende da taxa de dilatao escolhida. Para j grande e

positivo, a funo y j,0 bastante dilatada, e os passos de translao grandes () so adaptados a esta

grande largura. Para j grande e negativo ocorre o contrrio; a funo y j,0 bastante contrada e os passos

de translao pequenos so necessrios para ainda cobrir toda a extenso.

Se assumirmos dilataes binrias e translaes unitrias, isto , a0 = 2 e b0 = 1, a funo wavelet torna-se

( 3.17 )

e constitui uma base ortonormal para L2(R). Dessa forma, teremos uma amostragem didica que maisadequada para clculos computacionais.

3.4 Anlise em Multiresoluo

O conceito de anlise em multiresoluo, desenvolvido por Mallat [32], permite analisar um sinal emdiferentes freqncias com diferentes resolues. Com a anlise em multiresoluo possvel obter umaboa resoluo no tempo e pobre resoluo em freqncia, que se torna til pelo fato de que os sinaisencontrados em aplicaes prticas geralmente apresentam componentes de alta freqncia por curtasduraes de tempo e componentes de baixa freqncia por longa durao de tempo.

Uma anlise em multiresoluo de L2(R) definida por uma seqncia de subespaos fechados Vj

L2(R), j Z, satisfazendo as seguintes propriedades [9, 29, 32, 45, 63]:

Propriedade de aninhamentoa.


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L V-2 V-1 V0 V1 V2 L ( 3.18 )

Densidade da unio em L2(R)b.

denso em L2(R) e ( 3.19 )

( 3.20 )

Propriedade de escalac.

f(t) Vj f(2t) Vj+1 " j Z ( 3.21 )

Propriedade de invarincia do deslocamentod.

f(t) V0 f(t - n) V0 " n Z ( 3.22 )

Existncia de uma funo de escalae.

$ j Vo tal que {j (t k) | k Z} uma base de Riesz de V0. ( 3.23 )

Se {j (t k) | k Z} uma base ortonormal para V0, temos uma anlise em multiresoluo e as bases

wavelet construdas de j (t) so chamadas wavelets ortonormais. A funo j chamada de funo deescala e usada para construir bases wavelets. Multiresoluo requer uma base para cada espao Vj. Para

os outros subespaos Vj (para j 0) definimos

j j,k(t) = 2j/2j (2j t k) ( 3.24 )

onde o ndice j denota a escala e k indica o deslocamento inteiro.

Desde que j V0 V1, ento existe um conjunto finito de coeficientes hk tal que a funo de escala satisfaz

j (t) = = . ( 3.25 )

Esta equao conhecida por vrios nomes diferentes: equao de refinamento (refinement equation),equao de dilatao (dilation equation) ou equao de diferena de escala-dois (two-scale differenceequation).

A funo j (t) usualmente normalizada, ento temos

. ( 3.26 )

Uma base de Riesz de um espao de Hilbert H um subconjunto {e1, e2, ..., en, ...} de H tal que [e1, e2, ...,

en, ...] denso em H e existem constantes 0 < A < B < tais que para toda seqncia de escalares a 0, a 1,

a 2, ... tem se: [9, 19]

( 3.27 )


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3.5 Funes Wavelets

Como temos que o subespao Vj Vj+1, podemos definir Wj, " j Z, como o complemento ortogonal de Vjem Vj+1, isto , um espao que satisfaz [9, 29, 45]

Vj+1 = Vj Wj Wj ^ Vj ( 3.28 )

onde o smbolo a soma direta, e " u Vj+1, u = v + w, de modo que v Vj e w Wj, com v, w = 0,ou seja, cada elemento de Vj+1 pode ser escrito, de maneira nica, como uma soma de um elemento de Wjcom um elemento de Vj.

O espao Wj contm as informaes detalhe, necessrias para ir de Vj em Vj+1. Estas informaes detalhe

so extradas do sinal original usando a funo wavelet y (t). Consequentemente

Vj+1 = , e L2(R) = ( 3.29 )

onde todos os subespaos Wj so mutualmente ortogonais, isto

Wj ^ Wk, j k. ( 3.30 )

Figura 3.2 rvore de decomposio da transformada wavelet.

A funo y uma wavelet se o conjunto de funes {y (t k) | k Z} uma base de Riesz de W0 [63]. A

coleo de funes wavelet {y j,k | j, k Z} ento uma base de Riesz de L2(R).

Uma funo y (t) L2(R) tal que {y (t k) | k Z} dita ser ortonormal se as funes y j,k formarem uma

base ortonormal para W0. Para os outros subespaos Wj (para j 0) e k Z, definimos

y j,k(t) = 2j/2y (2j t k). ( 3.31 )

Esta funo wavelet didica um tipo particular de transformada wavelet (outras dilataes so possveis,porm dilataes didicas so mais prticas computacionalmente). Para a transformada unidimensional,wavelets y j,k, so geradas por escalonamento binrio (contraindo por um fator de 2) e translaes didicas

de uma wavelet y (t).

Pelo fato de que V0 e W0 so subespaos de V1, V0 V1 e W0 V1, podemos expressar a wavelet y (x) em

termos da funo de escala j (t)

y (t) = = , ( 3.32 )


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para um conjunto finito de coeficientes gk, de modo que

, ( 3.33 )

satisfazendo

. ( 3.34 )

Vimos at momento os aspectos tericos da transformada wavelet, todavia tudo isso seria de poucaimportncia prtica se no fosse pelo fato de podermos computar eficientemente os coeficientes waveletse reconstruir funes a partir desses coeficientes. Estes algoritmos, conhecidos como transformadawavelet rpida (fast wavelet transform FWT), so anlogos a transformada rpida de Fourier e seguemda equao de refinamento mencionada acima.

Veremos a seguir a funo wavelet de Haar, uma funo ortonormal que apresenta suporte compacto e aforma mais simples de wavelets. A funo de Haar gerada diretamente da funo me e constitui uma

base ortonormal de L2(R).

3.6 A Funo Wavelet de Haar

A funo wavelet de Haar, o qual ser discutido em mais detalhes nesta seo, o exemplo mais simplesde wavelets. A transformada de Haar foi introduzida em 1910, por Alfred Haar [24], e o mais antigo dosmtodos de transformada wavelet. A transformada de Haar usa pulsos quadrados para aproximar a funooriginal. Transformadas wavelet utilizando funes de Haar, como funes bases, so as mais simplespara implementar e so computacionalmente as menos exigentes.

Na construo de bases wavelets normalizada, o filtro passa baixa de Haar hk definido por h0 = h1 =

e todos os demais coeficientes iguais a zero. Substituindo o filtro passa baixa de Haar na equao1.25, teremos

j (t) = j (2t) + j (2t - 1) ( 3.35 )

A soluo para esta recorrncia a funo de escala de Haar

j (t) = ( 3.36 )

As funes de escala de Haar so mostradas na figura abaixo.


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Figura 3.3 Funes de escala de Haar j (t), j (2t) e j (2t - 1).

O filtro passa alta de Haar gk definido por g0 = , g1 = - e zero para todos os demais coeficientes.Substituindo o filtro passa alta de Haar na equao 1.32, teremos

y (t) = j (2t) j (2t - 1) ( 3.37 )

A soluo para esta recorrncia a funo wavelet de Haar

y (t) =

As funo wavelet y (t) mostrada na figura abaixo.

Figura 3.4 Funes wavelet de Haar y (t), j (2t) e j (2t 1).

Aplicando j (t) para f(t) teremos

= = , ( 3.38 )

o valor da mdia de f sobre o intervalo [0, 1). Aplicando y (t) para f(t) teremos

= = - . ( 3.39 )

O filtro j um operador de mdia que serve para suavizar o sinal e o filtro y um operador diferena que utilizado para reconstruir o sinal.

Segue abaixo as rotinas, codificadas na linguagem C, para calcular a transformada de Haar e sua inversa,

de um sinal unidimensinal armazenado no vetor M. A decomposio do sinal efetuado vezes,que corresponde a transformar o sinal at obter a menor resoluo possvel. O nmero de amostras dosinal definido em size, os quais deve ser potncia de 2.

void Haar(int size)


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{

int i;while (size>1){

for (i=0; i

filtros passa baixa para analisar as baixas freqncias.

3.7.1 Reduo na Taxa de Amostragem por um Fator In teiro

Subamostragem (decimador) de um sinal corresponde a reduzir a taxa de amostragem (subsampling), ouremover algumas amostras do sinal. Por exemplo, subamostrar um sinal de entrada por um fator de 2refere-se a extrair uma amostra a cada duas, de modo que o sinal de sada ter a metade do nmero deamostras. Subamostragem de um sinal por um fator M reduz o nmero de amostras do sinal M vezes, ouseja xd[n] = x[nM] = xc(nMT).

A representao do smbolo do subamostrador visto abaixo [42].

Figura 3.5 Representao de um subamostrador de fator M.

3.7.2 Aumento na Taxa de Amostragem por um Fator In teiro

Superamostragem (interpolao) de um sinal corresponde a aumentar a taxa de amostragem (upsampling)de um sinal adicionando novas amostras para o sinal. Por exemplo, subamostrar um sinal por 2 refere-se aadicionar uma nova amostra, usualmente zero ou um valor interpolado, entre cada duas amostras do sinal.Superamostragem de um sinal por um fator L aumenta o nmero de amostras do sinal L vezes.

A representao do smbolo do superamostrador visto abaixo [42].

Figura 3.6 Representao de um superamostrador de fator L.

3.7.3 Esquema de Codificao Sub-banda

A DWT emprega dois conjuntos de funes chamadas funes de escala e funes wavelet, os quais soassociadas com filtros passa baixa e filtros passa alta respectivamente. A DWT computada analisando osinal em diferentes bandas de freqncias com diferentes resolues atravs da decomposio do sinal emcomponentes aproximao (ou smooth) e componentes detalhe. So os componentes detalhe quearmazenam as informaes necessrias para permitir a reconstruo da imagem a partir dos componentesaproximao.

Figura 3.7 Codificao sub-banda de anlise.

A decomposio do sinal em diferentes bandas de freqncias obtida simplesmente por sucessivasfiltragens passa baixa e passa alta do sinal no domnio do tempo. Filtros passa baixa e passa alta juntosconstituem um banco de filtros. O sinal original sj (figura 3.7) primeiro filtrado por um filtro passa baixa


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e um filtro passa alta . Depois da filtragem do sinal, a metade das amostras podem ser eliminadaspor um subamostrador de fator 2 (2 ). O resultado ser um sinal passa baixa (sj-1) e um sinal passa alta(dj-1), cada um deles contendo a metade das amostras do sinal de entrada sj.

Em processamento digital de sinais, os filtros e so chamados de filtros de quadratura espelhada(quadrature mirror filters QMF). Esses filtros foram estudados antes da teoria wavelet.

Esta decomposio reduz pela metade a resoluo no tempo dado que somente a metade do nmero deamostras agora caracterizam o sinal de entrada. O procedimento acima, que tambm conhecido comocodificao por sub-banda, pode ser repetida para obter uma decomposio adicional [44].

Podemos construir uma representao hierrquica de um sinal filtrando recursivamente a sada passabaixa do banco de filtros. Este processo ilustrado graficamente na figura 3.8 para quatro nveis deresoluo (os filtros aplicados quatro vezes), onde sj o sinal original que ser decomposto (ou

transformado) e e so filtros passa baixa e passa alta, respectivamente. Este esquema conhecidotambm como decomposio piramidal.

Figura 3.8 Banco de filtros de anlise hierrquico.

A sada sj-4 do banco de filtros uma verso do sinal de entrada numa resoluo dezesseis vezes menor. Ofiltro passa alta produz os coeficientes wavelets para o nvel, e o filtro passa baixa produz a funo escalapara o prximo nvel da decomposio hierrquica.

Os coeficientes da sada sj-4 corresponde ao subespao V-4 e os coeficientes dj-4, dj-3, dj-2 e dj-1,correspondem aos subespaos W-4, W-3, W-2 e W-1 respectivamente. O conjunto de aproximaessucessivas (Vj) juntamente com o conjunto de detalhes sucessivos (Wj) forma o que chamamos dedecomposio em multiresoluo do sinal original.

Nos sistemas ditos de dois canais, o sinal de entrada transformado em duas bandas, sendo uma de baixafreqncia e outra de alta freqncia. Quando as bandas de baixa freqncia forem entradas para um outrosistema de banco de filtros, idntico ao primeiro, cria-se uma estrutura do tipo rvore, como na figura 3.8,que divide o espectro do sinal original em oitavas. A figura 3.9 ilustra a decomposio do sinal emoitavas, que o ponto inicial do esquema em multiresoluo.


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Figura 3.9 Decomposio do espectro em oitava.

O processo de sntese, ou reconstruo, consiste em interpolar o sinal por um fator de 2 ( 2), ou seja,colocar zeros entre cada amostra. Em seguida, o sinal filtrado utilizando um filtro passa baixa H e um

filtro passa alta G inversos aos filtros e , respectivamente. Uma representao do processo desntese, utilizando um banco de filtros de dois canais ilustrado abaixo:

Figura 3.10 Codificao sub-banda de sntese.

A figura abaixo ilustra o processo de reconstruo hierrquica de um sinal que foi transformado emquatro nveis de resoluo.

Figura 3.11 Banco de filtros de sntese hierrquico.

Um banco de filtro digital uma coleo de filtros digitais, com uma entrada ou uma sada comum. Oesquema completo para um banco de filtros com dois canais descrito abaixo na figura 3.12. Ele envolve

dois filtros de anlise (passa baixa) e (passa alta) e dois filtros de sntese H (passa baixa) e G (passaalta).

Figura 3.12 Banco de filtros com dois canais.

Uma perfeita reconstruo do sinal de entrada S pode ser obtida caso seja realizado um projeto apropriadodos filtros de anlise e filtros de sntese do banco de filtros. Um banco de filtros dito ser um banco defiltros de reconstruo perfeita (perfect reconstruction filter bank PRFB) se o sinal de sada for igual aosinal de entrada, como na figura 3.12, e teremos nesse caso, os filtros de anlise seguido pelos de snteseigual a identidade

H + G = I, ( 3.41 )


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e os filtros de sntese seguido pelos de anlise a identidade tambm, ou seja

H = I, G = 0, H = 0, G = I. ( 3.42 )

A teoria de banco de filtros estabelece que para eliminar aliasing a relao [66]

g1(n) = (- 1)n+1h0(n) e h1(n) = (- 1)ng0(n) ( 3.43 )

devem ser satisfeitas, onde g0(n) e g1(n) so os filtros de sntese e h0(n) e h1(n) os filtros de anlise. Nestecaso, temos os filtros de sntese definidos em termos dos filtros de anlise.

3.8 Transformada Wavelet Aplicado Imagens

A figura 3.13 mostra os processos de compresso e descompresso aplicados em imagens digitais. Aperda de informaes geralmente ocorrem na aplicao da transformada wavelet (decorrentes doarredondamentos de valores de ponto flutuante) e na etapa de quantizao/limiar (threshold) doscoeficientes transformados. Os codificadores de entropia permitem a compresso sem que haja a perda deinformaes.

Figura 3.13 Diagrama em blocos do processo de compresso/descompresso de imagens.

A transformada wavelet direta mapeia os dados da imagem original para um outro domnio, sem fornecernenhuma compresso dos dados em relao a imagem original, porm a transformada inversa, em muitoscasos, permite uma reconstruo exata das informaes anteriores. Neste novo domnio os dados socaracterizados por uma grande quantidade de valores iguais ou prximos de zero, que torna eficiente ouso de codificadores de entropia. A compresso realizada pela quantizao/limiar e pela codificao doscoeficientes wavelets. A reconstruo da imagem efetuada invertendo as operaes do processo decompresso.

Considerando novamente a transformada wavelet de Haar no normalizada, demonstraremos comomultiplicaes de matrizes podem ser utilizadas para efetuar as mdias e diferenas. Seja A1 uma matriz 8

8 formada pela base de Haar e assumindo M um vetor com 8 elementos correspondente aos dados deentrada e contido em V0.

Multiplicando a matriz M pela matriz A1 obteremos a matriz M, que corresponde ao primeiro nvel dedecomposio da matriz de entrada. Isto significa que os componentes de entrada separado em duasseqncias, uma representado as mdias e outra as diferenas. A matriz A1 mostrada a seguir [37].


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A operao acima corresponde decomposio do subespao V0 em V-1 e W-1. Em seguida o subespaoV-1, que corresponde aos coeficientes mdia, dever ser transformado. Para isso, deveremos multiplicar amatriz M pela matriz A2 resultando na matriz M. A multiplicao das matrizes alterar apenas osvalores da primeira metade do vetor. Esta operao corresponde decomposio do subespao V-1 em V-2e W-2. A matriz A2 e mostrada a seguir.

Finalmente, a matriz M dever ser multiplicado por A3. Como a decomposio binria, podemos ter,

no mximo , isto , 3 nveis de decomposio didica. Chamaremos de N o resultado do produto damatriz de entrada pelas matrizes A1, A2 e A3, que consiste em decompor o subespao V0 em V-3, W-3, W-2e W-1. A matriz A3 mostrada a seguir.

A seqncia final formada pelo vetor N corresponde ao sinal original transformado. O primeiro elementodessa seqncia chamado de coeficiente de escala (ou aproximao) e os demais elementos dessaseqncia so os coeficientes detalhe, ou coeficientes wavelets.

Este processo aplicado seqncia original para a obteno de verses de mais baixa resoluo chamado de anlise ou decomposio e o processo para a obteno dos coeficientes da transformada conhecido como transformada wavelet.


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Chamaremos de W a matriz formada pela multiplicao das matrizes A1, A2 e A3, respectivamente. Umarepresentao da matriz W apresentada a seguir.

Como as colunas das matrizes Ai so ortogonais, cada uma destas matrizes so inversveis. Denotaremos

por a transformada wavelet inversa de Haar, onde = . A matriz mostradaabaixo.

Seja M a matriz de uma imagem 2r 2r, ento a equao Q = MW e M = Q expressam a relao entre

M e as linhas da imagem transformada Q, onde W = A1. A2. ... . Ar = . Para efetuar a transformaonas colunas da imagem, devemos repetir os passos acima com a matriz transposta. Teremos ento aseguinte equao, os quais expressa a relao entre a imagem original M e a imagem transformada naslinhas e colunas N:

N = ((M.W)T)T = WT.M.W ( 3.44 )

e a equao de composio, ou transformada inversa, dado por

( 3.45 )

A aplicao da transformada bidimensional de Haar pode ser vista como a aplicao da transformada deHaar em uma das dimenses e em seguida na outra dimenso da imagem. Este fato resultante de umadas propriedades da transformada de Haar, conhecida por separabilidade. Esta propriedade deseparabilidade uma caracterstica importante, o qual faz da transformada wavelet uma poderosaferramenta em processamento de sinais em vrias dimenses. Para um sinal com uma dimenso n maiordo que 1, a transformada wavelet realizada atravs da transformao de cada dimenso do sinalindependentemente.

A transformada wavelet de Haar normalizada, mencionada anterior, pode ser implementada substituindo


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as constantes iguais a e todos os coeficientes iguais a 2, das matrizes Ai, por e ,respectivamente. As colunas de cada matriz Ai formam ento uma base ortonormal. Consequentemente, omesmo verdade para a matriz W.

3.8.1 Transformada Wavelet Bidimensional

Existem duas maneiras pelo qual podemos usar wavelets para decompor uma imagem bidimensional [57]:decomposio padro e decomposio no-padro.

Para obter a decomposio padro de uma imagem, primeiro aplicamos a transformada waveletunidimensional em cada uma das linhas da imagem. Esta operao fornece um coeficiente de mdia e oscoeficientes detalhe para cada linha. Em seguida, tratamos estas linhas transformadas como se elas fossemuma nova imagem e aplicamos mais uma vez a transformada unidimensional para cada coluna daimagem. O resultado destas operaes sero todos coeficientes detalhe, exceto o primeiro pixel, quecorresponde ao nico coeficiente aproximao (mdia). Neste caso, estamos levando em considerao aaplicao da transformada at obter o menor nvel de resoluo possvel.

Figura 3.14 Transformada discreta wavelet bidimensional.

Dado uma imagem x(m, n), ela inicialmente filtrada na direo m (linhas da imagem), resultando numaimagem passa baixa L e uma imagem passa alta H. Aps a subamostragem, teremos ambas as imagensreduzidas pela metade em relao a imagem original. Em seguida realiza-se a filtragem na direo n(colunas da imagem) resultando em quatro subimagens:

LL (passa baixa-passa baixa) correspondendo a banda passa baixa em ambas as direes.

LH (passa baixa-passa alta) correspondendo a banda passa baixa na direo vertical e passaalta na direo horizontal.

HL (passa alta-passa baixa) correspondendo a banda passa alta na direo vertical e passabaixa na direo horizontal, e

HH (passa alta-passa alta) correspondendo a banda passa alta em ambas as direes.

A aplicao da transformada wavelet na imagem resulta em uma imagem com o mesmo tamanho mascomposto de trs imagens detalhes (HL, LH e HH) e uma imagem aproximao (LL), sendo que todaspossuem a metade da resoluo da imagem inicial.

Este processo pode ser repetido novamente na subimagem LL, resultando em mais quatro subimagens, eassim por diante at que tenhamos apenas um nico coeficiente aproximao. O menor nvel de resoluopossvel conter um nico coeficiente os quais a mdia de todas as amostras do sinal original, isto , ele o coeficiente DC ou freqncia zero do sinal. O algoritmo da transformada wavelet inversa construdo


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de maneira semelhante aplicando o processo inverso.

Figura 3.15 Estgios de decomposio wavelet bidimensional padro com 5 nveis de resoluo.

A seguir mostraremos a aplicao da transformada wavelet padro, usando a imagem Lenna. Inicialmentea transformada aplicado apenas nas linhas da imagem, e em seguida apenas nas colunas.

Linhas

L

Colunas

L

Figura 3.16 Decomposio padro da imagem Lenna.

O segundo tipo de transformada wavelet bidimensional, chamada decomposio no padro, alterna entreoperaes nas linhas e nas colunas. Primeiro, calculamos um passo de mdias e diferenas no valor dospixels de cada linha da imagem. Em seguida, calculamos as mdias e as diferenas em cada coluna. Apsesta operao obteremos a imagem da figura 3.17 (c), composta por quatro imagens menores. A imagemdo canto superior esquerdo contm os coeficientes de baixa resoluo, correspondente mdia dos pixelsda imagem original, enquanto que as trs demais imagens contm os coeficientes de alta resoluo, oscoeficientes wavelets, que iro permitir a reconstruo da imagem. Para completar a transformao,repetimos este processo recursivamente, somente nos quadrantes contendo as mdias, em ambas direes.

Se uma imagem for decomposta em N nveis de resoluo (N > 0 e N Z), isso implicar na obtenao de3N + 1 subimagens.

Figura 3.17 Estgios de decomposio wavelet bidimensional no padro.


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A figura 3.17 ilustra os cinco primeiros nveis de resoluo de uma imagem bidimensional aps aaplicao da transformada wavelet no padro. Em (a) temos a imagem original, (b) a imagem aps aaplicao da transformada em suas linhas, (c) aplicao da transformada nas linhas e nas colunas, umnvel de resoluo, (d) a imagem com dois nveis de resoluo e finalmente em (e) a imagem aps cinconveis de resoluo.

A seguir mostraremos a aplicao da decomposio wavelet no padro, usando a imagem Lenna.

L

Figura 3.18 Decomposio no padro da imagem Lenna.

A decomposio wavelet padro de uma imagem mais atraente pelo fato de requerer somente operaesem uma dimenso, ou seja, primeiro aplica-se a transformada apenas nas linhas e em seguida apenas nascolunas da imagem. Por outro lado, um pouco mais eficiente a computao da decomposio

no-padro. Para uma imagem m m, a decomposio padro requer o clculo de 4(m2 m) operaes,

enquanto que a decomposio no padro requer somente (m2 1) operaes [57].

Podemos verificar que a transformada wavelet permite armazenar uma imagem em diversas resolues,ilustrado tambm na figura 3.19. Dessa maneira, podemos transmitir inicialmente os coeficientes daimagem com menor resoluo, permitindo assim a visualizao de uma aproximao da imagem. Comisso, possvel efetuar a reconstruo gradual da imagem pelo receptor. Em seguida, somente ainformao necessria para derivar uma verso mais detalhada da imagem, a partir da imagem de maisbaixa resoluo, transmitida. Aps a transmisso de todos os coeficientes detalhe, o receptor ter umacpia completa da imagem. Este tipo de transmisso conhecido como transmisso progressiva(progressive transmission). Para a transmisso progressiva os coeficientes wavelet precisam serarranjados em ordem de importncia. A decomposio em multiresoluo da transformada torna-se idealpara isso.

Figura 3.19 Imagem Lenna em vrias resolues.

Uma visualizao da reconstruo gradual da imagem Lenna apresentado na figura 3.20. Inicialmente aimagem reconstruda a partir dos coeficientes aproximao do quarto nvel de decomposio da imagem(matriz 16 16), em seguida com os coeficientes detalhe do quarto nvel de decomposio possvelvisualizar a imagem (b). Na seqncia, imagem (c), temos a imagem reconstruda a partir dos coeficientesdetalhe do terceiro nvel de decomposio e na imagem (d) a reconstruo a partir do segundo nvel de


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decomposio. Finalmente, na imagem (e), temos a imagem original reconstruda.

(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 3.20 Reconstruo progressiva a partir da imagem com menor resoluo.

As imagens geralmente apresentam mais informaes de baixa freqncia (pouca variao) do queinformaes de alta freqncia (muita variao). Em virtude disso, muitos dos valores resultantes daaplicao do filtro passa alta (coeficientes detalhe) so muito pequenos em magnitude, como pode serobservado analisando o histograma da imagem Lenna aps a aplicao da transformada wavelet com oitonveis de decomposio (figura 3.21). A transformada wavelet concentra as informaes da imagem emum nmero relativamente pequeno de coeficientes. O histograma apresenta somente um grande pico naorigem. Isto significa que muitos coeficientes wavelets so iguais a zero e que uma grande quantidadedesses coeficientes so prximos de zero. Esta caracterstica que faz a transformada wavelet ideal paracompresso de imagens. Os poucos coeficientes wavelet diferentes de zero permitem uma boaaproximao da imagem.

Figura 3.21 Histograma da imagem da Lenna aps a aplicao da transformada wavelet.

Os mtodos de compresso de imagens baseados na transformada wavelet devem tirar vantagem dessacaracterstica das imagens. Armazenando os coeficientes da transformada possibilitar uma reduosignificante das informaes da imagem, sendo que a imagem original no permitiria quase nenhumacompresso. Uma representao grfica do histograma da imagem original da Lenna de tamanho 256 256 e 8 bits por pixel e mostrado na figura abaixo.


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Figura 3.22 Histograma da imagem original da Lenna.

Se fixarmos um limiar d e substituir por zero todos os coeficientes wavelets da imagem transformada, osquais o valor absoluto menor ou igual a d , teremos uma matriz esparsa. Quanto maior for o limiar maiorser o fator de compresso, pois uma maior quantidade de valores sero zerados, porm com uma menorqualidade da imagem reconstruda. Este processo chamado de compresso sem perdas quando nenhumainformao perdida, isto , d = 0. Caso contrrio chamado de compresso com perdas (d > 0). Para oscasos em que d > 0 somente uma aproximao da imagem original ser possvel obter aps areconstruo.

Podemos observar que a quantidade de informao se mantm a mesma. Para comprimir estescoeficientes devemos aplicar tcnicas de codificao sem perdas, tais como: RLE, codificao deHuffman ou codificao aritmtica.

Recorrendo a outras tcnicas de codificao, tais como LZW, EZW e Predio, podemos ainda explorar aredundncia que existe entre os coeficientes das diversas subimagens, podendo aumentar ainda mais ofator de compresso.

(a) (b)

Figura 3.23 (a) Imagem original. (b) Representao wavelet com um nvel de resoluo.

Como vimos anteriormente, a aplicao da transformada wavelet divide a imagem em quatro novassubimagens, (LL, HL, LH e HH). As subimagens detalhes (HL, LH e HH) enfatizam, respectivamente, ascaractersticas vertical, horizontal e diagonal da imagem, conforme pode ser observado na figura 3.23.

O processo padro para a realizao da compresso (figura 2.1) constitui na aplicao da DWT, quantizaros coeficientes wavelets resultantes (para compresso sem perdas os coeficientes no so quantizados) ecodificao sem perdas dos coeficientes quantizados. O mtodo mais simples para codificar essescoeficientes percorrer cada uma das linhas (da imagem bidimensional), partindo do canto superioresquerdo e finalizando no canto inferior direito. Esta ordem conhecida como raster scan. O problemacom o raster scan que as informaes relativas as correlaes na vertical so perdidas e apresenta umadescontinuidade ao passar de uma linha para outra.

Figura 3.24 Curva de Hilbert percorrendo um espao de dimenso 16 16.


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Uma outra tcnica de codificao, que pode ser aplicada na imagem transformada, a curva de Hilbert[40, 58]. A Curva de Hilbert permite percorrer a imagem seguindo uma trajetria alternativa e tomarvantagem da correlao dos pixels na horizontal e vertical, de cada um dos quadrantes da imagemseparadamente.

A curva de Hilbert quebra a direcionalidade dos mtodos convencionais para o caso bidimensional,conforme ilustrado na figura 3.24. Uma propriedade desta curva a diviso dos espaos dentro dequadrantes. Somente aps um dos quadrantes ter sido totalmente percorrido, que o prximo dever serpercorrido, e assim sucessivamente at a imagem ter sido completamente percorrida.

Um esquema alternativo para codificao dos coeficientes wavelets foi recentemente proposto porShapiro [55] e aprimorado por Said e Pearlman [50], conforme apresentado na seo 1.3.

3.8.2 Compresso de Imagens Coloridas

O processo de compresso de imagens coloridas utilizando a transformada wavelet se divide em duasetapas [40]: uma sendo a converso da imagem do sistema RGB para o sistema YCbCr (Y o canal deluminncia e CbCr so os dois canais de crominncia correspondente ao azul e ao vermelho tambmchamado YUV) e outra associada as operaes de decomposio, enumerao, quantizao e codificaode cada um dos canais.

Como neste trabalho estamos interessados na compresso de imagens com nveis de cinza no iremosdetalhar as tcnicas usadas para compresso deste tipo de imagem.


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capítulo 3

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