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Calculo 2 - Capıtulo 2.3 - Formalizacao do conceito de limite 1

Capıtulo 2.3 - Formalizacao do conceito de limite

2.3.1 - Limite de uma funcao de uma variavel 2.3.3 - Limite de uma funcao de n variaveis2.3.2 - Limite de uma funcao de duas variaveis

Este capıtulo e dedicado a formalizacao do conceito de limite, tanto daquele visto para funcoes de umavariavel real quanto para funcoes de duas ou mais variaveis reais. E um capıtulo de aprofundamento, comconceitos um pouco mais complexos do que normalmente e ensinado em alguns cursos de Calculo.

2.3.1 - Limite de uma funcao de uma variavel

Para definir de forma mais rigorosa o que e um limite de funcoes de duas ou mais variaveis e necessarioaprofundar o conceito de limite visto ate entao. Antes de mostrar a definicao formal do limite de uma funcaof = f(x) quando x → x0, e bom lembrar que, embora o Calculo Diferencial e Integral tenha surgido com IsaacNewton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717) no seculo XVII, foi somente no seculo XIXque essa definicao foi formalizada pelo frances Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e pelo alemao Karl TheodorWilhelm Weierstrass (1815-1897).

Dado um limite limx→x0

f(x) = L, a definicao formal baseia-se em construir dois intervalos abertos: um em

torno do limite L e outro em torno do ponto x0, como mostra a primeira figura a seguir. O intervalo em tornode x0 tem que ser pequeno o suficiente para que a sua imagem esteja contida no intervalo em torno do limiteL (segunda figura a seguir).

x

y

x0

Lbc

bc

bc bc x

y

x0

Lbc

bc

bc bc

Prova-se que o limite e verdadeiro se, para qualquer intervalo em torno de L, nao importa o quao pequenoele seja, for sempre possıvel encontrar um intervalo em torno de x0 de modo que a imagem desse intervalo estejacontida no intervalo em torno de L. A figura a seguir mostra um caso em que isto nao e possıvel, mostrandoque o limite e falso.

x

g(x)

0 x0

L b

bc

bc

bc

bc bc x

g(x)

0 x0

L b

bc

bc

bc

bc bc

Determinando que o intervalo em torno de L e dado por (L − ǫ, L + ǫ) e o intervalo em torno de x0 e dadopor (x0 − δ, x0 + δ), onde ǫ (epsilon) e δ (delta) sao ambos maiores que zero, podemos dizer que o limite esta


correto se, para y ∈ (L− ǫ, L+ ǫ), existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0− δ, x0 + δ). Isto tem que ser verdadepara qualquer valor de ǫ que escolhermos. Um exemplo mais especıfico e dado a seguir.

Isaac Newton (1642-1727): Newton foi um dos maiores genios da humanidade. Nasceu na pequena cidadede Woolsthorpe, na Inglaterra, e estudou na Universidade de Cambridge, tornando-se depois professor nessamesma universidade. Ele era fısico, matematico, astronomo e alquimista, tendo contribuıdo significativamentepara todos esses campos. Ele foi o criador da mecanica racional e da lei da gravitacao universal. Foi um doscriadores do Calculo Diferencial e Integral, juntamente com Leibniz. Desenvolveu varios trabalhos em optica,tendo revolucionado essa area da Fısica. Tambem foi dele a invencao do telescopio refletor, que e usado emobservatorios do mundo inteiro e no espaco. Newton tambem exerceu importantes cargos publicos e foi sagrado sir

(cavalheiro) pela rainha da Inglaterra na epoca. Morreu como uma celebridade em seu paıs, embora ja mostrassevarios sinais de demencia senil.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1717): matematico, filosofo, fısico e estudioso das leis alemao. Nasceuem Leipzig e estudou na prestigiosa universidade de mesmo nome. Junto com Newton, foi o criador do CalculoDiferencial e Integral. Tambem foi responsavel por boa parte da notacao matematica usada ate hoje. Alem disso,foi um grande filosofo, tendo tecido uma visao de um universo baseado em princıpios fundamentais e racionais, semrejeitar as concepcoes cristas. Sua conviccao de que tudo podia ser demonstrado racionalmente quando utilizadauma notacao coveniente levou-o a organizar varias expressoes matematicas em termos de sımbolos. Leibniz sofreurevezes com a rivalidade entre ele e Newton devida a controversia sobre quem teria sido o criador do CalculoDiferencial e Integral.

Exemplo 1: tentaremos mostrar que lim x → 1x2 = 1 usando o novo criterio que acaba de ser descrito. Tomandoumintervalo que inclui todos os numeros que estao a distancias menores que ǫ = 1 do ponto y = 1, temos que esse intervalovai de y = 0 ate y = 2. Este intervalo tem comprimento 2ǫ = 2 e pode ser escrito como (0, 2). Se considerarmosagora um intervalo centrado em x = 1 de comprimento 2δ = 0, 4, isto e, o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2),este produzira a seguinte imagem em y: para x = 0, 8 temos f(0, 8) = 0, 64; para x = 1, 2, f(1, 4) = 1, 44. Portanto,a imagem produzida pelo intervalo em x centrado em x = 1 e de comprimento 2δ = 0, 4 produz uma imagem em ydada pelo intervalo (0, 64 , 1, 44), que esta contido no intervalo (0, 2).

x

y

−2 −1 01 2

1

2

3

4

bc

bc

2ǫ = 2

x

y

−2 −1 01 2

1

2

3

4

bc

bc

bc bc

2ǫ = 2

2δ = 0, 4

Do mesmo modo como escolhemos 2δ = 0, 4 ⇒ δ = 0, 2, poderıamos ter escolhido δ = 0, 1 ou δ = 0, 4, que aimagem produzida pelo intervalo (1− δ, 1+ δ) ainda estaria contida no intervalo (0, 2). Na verdade, contanto que δseja menor ou igual a

√2 − 1 ≈ 0, 414, o intervalo produzido em x leva a uma imagem que esta contida em (0, 2).

Vamos mostar que tambem para valores menores de ǫ conseguimos encontrar valores de δ satisfazendo essascondicoes. Escolhendo ǫ = 0, 5, temos o intervalo (1 − 0, 5 , 1 + 0, 5) = (0, 5 , 1, 5) em y. O que temos que fazeragora e encontrar um valor de δ para o qual o intervalo (1− δ, 1+ δ) em x produza uma imagem que esteja contidano intervalo em y. Tomando δ = 0, 2, teremos o intervalo (1 − 0, 2 , 1 + 0, 2) = (0, 8 , 1, 2) em x que, como javimos, produz a imagem (0, 64 , 1, 44), que esta contida no intervalo (0, 5 , 1, 5).


x

y

−2 −1 01 2

1

2

3

4

bc

bc

2ǫ = 1

x

y

−2 −1 01 2

1

2

3

4

bc

bc

bc bc

2ǫ = 1

2δ = 0, 4

Tomemos agora um valor ainda menor para ǫ: 0,25. Para este valor, temos o intervalo (1 − 0, 25 , 1 + 0, 25) == (0, 75 , 1, 25) em y. Escolhendo δ = 0, 1, temos o intervalo (1− 0, 1 , 1 + 0, 1) = (0, 9 , 1, 1) em x, que tem comoimagem o intervalo (0, 81 , 1, 21), que esta contido no intervalo (0, 75 , 1, 25).

x

y

−2 −1 01 2

1

2

3

4

bc

bc

2ǫ = 0, 5

x

y

−2 −1 01 2

1

2

3

4

bc

bc

bc bc

2ǫ = 0, 5

2δ = 0, 2

Assim, podemos intuir que, para qualquer valor de ǫ que escolhermos, sera sempre possıvel escolher um valor deδ tal que o intervalo (1 − δ, 1 + δ) em x produzira uma imagem em y que estara contida no intervalo (1 − ǫ, 1 + ǫ).Diremos que o limite existe e esta correto quando isto puder ser provado.

Voltemos, agora, a definicao formal de um limite. Podemos dizer que o limite de uma funcao f(x) quandox tende a x0 e L, lim

x→x0

f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ⇒⇒ f(x) ∈ (L − ǫ, L + ǫ).

Agora, podemos escrever |x − x0| < δ no lugar de x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Isto porque

|x − x0| < δ ⇔ −δ < x − x0 < δ ⇔ x0 − δ < x < x0 + δ .

De modo semelhante, podemos escrever |f(x) − L| < ǫ no lugar de f(x) ∈ (L − ǫ, L + ǫ). Isto porque

|f(x) − L| < ǫ ⇔ −ǫ < f(x) − L < ǫ ⇔ L − ǫ < f(x) < L + ǫ .

Portanto, a definicao de limite fica dada a seguir. limx→x0

f(x) = L se, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um

δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.

Definicao 1 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto x0 de I, dizemos queo limite de f(x) quando x tende a x0 existe e e igual a L, o que pode ser escrito como lim

x→x0

f(x) = L,

quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.


Observacao: uma definicao mais formal de limite e feita na Leitura Complementar 2.3.3 e necessita do conceitode ponto de acumulacao, que e visto na Leitura Complementar 2.3.2.

A definicao 2 e usada a seguir para provar dois limites.

Exemplo 2: mostre que limx→3

(x + 2) = 5.

Solucao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valorde ǫ > 0. Temos a = 3, f(x) = x + 2 e L = 5, de modo que a expressao fica

|x − 3| < δ ⇒ |x + 2 − 5| < ǫ ⇔ |x − 3| < δ ⇒ |x − 3| < ǫ ⇔ .

Podemos ver da expressao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ, essa relacao sera valida, pois se |x − 3| < δ eδ ≤ ǫ, entao |x − 3| < ǫ. Portanto, o limite esta provado.


(2x − 1) = 1.

Solucao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valorde ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a expressao fica

|x−1| < δ ⇒ |2x−1−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |2x−2| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ 2|x−1| < ǫ ⇔ |x−1| < δ ⇒ |x−1| <ǫ

2.

Podemos ver da expressao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ2 , essa relacao sera valida, pois se |x − 1| < δ e

δ ≤ ǫ2 , entao |x − 1| < ǫ. Portanto, o limite esta provado.

A definicao de limites que acabamos de desenvolver nao e valida para limites infinitos ou limites envolvendoo infinito. Para esses limites e outros sao necessarias novas definicoes. Na verdade, sao necessarias nove delas(isto e feito na Leitura Complementar 2.3.3).

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matematico frances responsavel pela formulacao mais precisa do conceitode limites e por varias contribuicoes de fundamental importancia na teoria de funcoes de variaveis complexas eem equacoes diferenciais. Cauchy teve uma infancia atribulada, tendo vivido na epoca da Revolucao Francesa.Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napoleao e teve varias tentativas de obter posicoes em universidadesrecusadas, muitas vezes por motivos polıticos. Catolico devoto, teve atritos com seus colegas partidarios do ateısmo.Quando o rei da Franca voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seutrabalho apos o rei ter sido novamente deposto.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1789-1857): matematico nascido na Prussia (atual Alemanha). Emborafosse apaixonado pela matematica, estudou financas por desejo de seu pai. Desinteressado do assunto, levou umavida despreocupada de estudante ate que resolveu, contrariando seu pai, estudar matematica. Tendo abandonadoa universidde, formou-se professor do segundo grau. Exerceu essa profissao ate publicar um artigo sobre inversaode funcoes hiperelıpticas, o que lhe valeu uma posicao na universidade. E considerado o pai da analise matematicapor ter introduzido o rigor atual no Calculo e na teoria de funcoes de variaveis complexas. Fez muitas contribuicoesa matematica, sobretudo nesses dois ultimos campos. Suas aulas eram muito apreciadas e ele tinha estudantesvindos de varias partes do mundo.

2.3.2 - Limite de uma funcao de duas variaveis

Podemos, agora, expandir o conceito de limite para o caso de uma funcao de duas variaveis reais. Relem-brando, uma funcao f = f(x, y) leva elementos de R2 a elementos de R (primeira figura a seguir).


b

x

y

x0

y0

z

f(x0, y0)

f

R2 R

Para definirmos um limite lim(x0,y0)

f(x, y) = L, precisamo primeiro determinar uma regiao em torno do ponto

(x0, y0) e um outro intervalo aberto em torno do limite L. Podemos, por exemplo, desenhar um quadradoou uma circunferencia em torno de (x0, y0) (duas figuras a seguir) e dizer que (x, y) tem que estar dentro dosubconjunto de R2 constituıdo pela regiao interna a esse quadrado ou a essa circunferencia, excluindo as suasbordas (isto e representado pelas linhas pontilhadas nas figuras a seguir).

b

x

y

x0

y0

z

L

f

bc

bc

b

x

y

x0

y0

z

L

f

bc

bc

Como e mais facil determinar a equacao da regiao circular em torno do ponto (x0, y0), escolheremos essetipo de regiao, que chamaremos de bola aberta em torno do ponto, pois ela nao inclui a superfıcie do cırculo.Podemos, entao, dizer que a regiao limitada pela bola aberta e dada pelo cırculo

(x − x0)2 + (y − y0)

2 < δ2 =√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ,

onde δ e o raio da bola aberta.Lembrando agora que

√

(x − x0)2 + (y − y0)2 = ||(x − x0, y − y0)||, podemos dizer que a bola aberta edefinida por ||(x − x0, y − y0)|| < δ. Podemos, entao, utilizar a seguinte definicao de limite.

Definicao 2 - Dada uma funcao f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 e um ponto (x0, y0) ∈ I,dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e e igual a L, o que pode serescrito como lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que

||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.

Vamos usar esta definicao para provar um limite bem simples, a seguir.

Exemplo 1: prove que lim(x,y)→(x0,y0)

x = x0.

Solucao: temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que

||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ ⇔√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x − x0| < ǫ .

Sabemos que√

(x − x0)2 ≤√

(x − x0)2 + (y − y0)2 ⇔ |x−x0| ≤√

(x − x0)2 + (y − y0)2. Portanto, escolhendo

qualquer δ ≤ ǫ, temos que√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |x − x0| < ǫ, o que prova o limite.

Em geral, e muito difıcil provar limites envolvendo funcoes de duas variaveis. Podemos, no entanto, calcularalguns limites utilizando nossos conhecimentos de limites de funcoes de uma variavel, como mostra o exemploa seguir.


Exemplo 2: calcule lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 + y2)

x2 + y2.

Solucao: usando a simetria do problema, podemos fazer a mudanca de variavel x2+y2 = r2. Quando (x, y) → (0, 0),teremos r → 0, tambem, de modo que podemos escrever

lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= lim

r→0

sen r2

r2.

Se aplicarmos r = 0, este limite fica da forma 00 , de modo que podemos aplicar a ele a regra de L’Hopital:

lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= lim

r→0

sen r2

r2= lim

r→0

2r cos r2

2r= lim

r→0cos r2 = cos 0 = 1 .

Vamos, agora, provar que um limite nao existe.


x2 − y2

x2 + y2.

Solucao: o procedimento que adotaremos e fazer o limite de uma das variaveis e depois o limite da outra. Comecandopelo limite x → 0, temos

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2= lim

y→0

−y2

y2= lim

y→0(−1) = −1 .

Se fizermos primeiro o limite em y e depois o limite em x, obtemos

lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= lim

x→0

x2

x2= lim

x→01 = 1 .

Note que os dois limites nao sao iguais. Isto ja basta para provar que nao existe esse limite.

Na verdade, os exemplos 2 e 3 nao estao formalizados da maneira correta. A Leitura Complementar 2.3.4mostra como faze-lo.

2.3.3 - Limite de uma funcao de n variaveis

Vamos, agora, definir limites para o caso de uma funcao de tres variaveis reais. A generalizacao para funcoesde n variaveis reais podera ser feita facilmente a partir daı. Uma funcao f = f(x, y, z) leva elementos de R3 aelementos de R (figura a seguir). Podemos considerar uma bola aberta em trono de R3 dada por uma esferade raio menor que δ levando a um interavalo |f(x, y, z) − L| < ǫ na imagem (segunda figura a seguir).

b

x y

z

x0 y0

z0

w

f(x0, y0, z0)f

R3 R

b

x y

z

x0 y0

z0

w

Lf

R3 R

bc

bc

Podemos escrever a regiao dentro dessa bola aberta pela equacao√

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ,que e a equacao de uma esfera de raio δ com excecao de sua superfıcie. Novamente, podemos trocar a raiz poruma norma: ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ. A definicao de limite fica, entao, como a dada a seguir.


Definicao 3 - Dada uma funcao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3 e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I,dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existe e e igual a L, o que podeser escrito como lim

(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0

tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.

A generalizacao para o limite de uma funcao de n variaveis reais e direta.

Definicao 4 - Dada uma funcao f(x1, · · · , xn) definida em um intervalo I ⊂ Rn e um ponto(x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tende a (x01, · · · , x0n) ex-iste e e igual a L, o que pode ser escrito como lim

(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)f(x1, · · · , xn) = L, quando, para qual-

quer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1−x10, · · · , xn−xn0)|| < δ ⇒ ⇒ |f(x1, · · · , xn)−L| < ǫ.

Resumo

• Limite de uma funcao f : R → R. Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R

e um ponto x0 de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a x0 existe e e igual a L, o quepode ser escrito como lim

x→x0

f(x) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que

|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ.

• Limite de uma funcao f : R2 → R. Dada uma funcao f(x, y) definida em um intervalo I ⊂ R2 eum ponto (x0, y0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0) existe e e iguala L, o que pode ser escrito como lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = L, quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre

um δ > 0 tal que ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ.

• Limite de uma funcao f : R3 → R. Dada uma funcao f(x, y, z) definida em um intervalo I ⊂ R3

e um ponto (x0, y0, z0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (x0, y0, z0) existee e igual a L, o que pode ser escrito como lim

(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x, y, z) = L, quando, para qualquer ǫ > 0,

existir sempre um δ > 0 tal que ||(x − x0, y − y0, z − z0)|| < δ ⇒ |f(x, y, z) − L| < ǫ.

• Limite de uma funcao f : Rn → R. Dada uma funcao f(x1, · · · , xn) definida em um intervaloI ⊂ Rn e um ponto (x10, · · · , xn0) ∈ I, dizemos que o limite de f(x1, · · · , xn) quando (x1, · · · , xn) tendea (x01, · · · , x0n) existe e e igual a L, o que pode ser escrito como lim

(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)f(x1, · · · , xn) = L,

quando, para qualquer ǫ > 0, existir sempre um δ > 0 tal que ||(x1 − x10, · · · , xn − xn0)|| < δ ⇒⇒ |f(x1, · · · , xn) − L| < ǫ.


Leitura Complementar 2.3.1 - Desigualdadese modulo

Os sımblos < (menor), > (maior), ≤ (menor ou igual) e ≥ (maior ou igual) estabelecem relacoes de ordemno conjunto dos numeros reais. Isto tambem vale para os subconjuntos N, Z e Q. Uma relacao de ordem entredois numeros reais tambem e chamada de desigualdade.

Exemplos: 2 < 7 , −4 > −8 , 3, 4 ≤ 5 , 32 ≥

√2 .

Existem certas regras quando se opera com desigualdades. Para quaisquer numeros reais a e b, valem asseguintes propriedades:

P1) a < b ⇔ a + c < b + c , c ∈ R;

P2) a < b e c < d ⇔ a + c < b + d , c ∈ R e d ∈ R;

P3) a < b ⇔ ac < bc , c ∈ R e c > 0;

P4) a < b ⇔ ac > bc , c ∈ R e c < 0;

P5) a < b ⇔ 1a > 1

b , a 6= 0 e b 6= 0.

Exemplos dessas regras sao dados a seguir.

Exemplo 1: 2 < 3 ⇔ 2 + 4 < 3 + 4 ⇔ 6 < 7 (por P1).

Exemplo 2: 1 < 4 ⇔ 1 + 3 < 4 + 6 ⇔ 4 < 10 (por P2).

Exemplo 3: 2 < 3 ⇔ 2 · 3 < 3 · 3 ⇔ 6 < 9 (por P3).

Exemplo 4: 2 < 3 ⇔ 2 · (−1) < 3 · (−1) ⇔ −2 > −3 (por P4).

Exemplo 5: 2 < 4 ⇔ 12 > 1

4 (por P5).

a) Modulo de um numero real

O modulo ou valor absoluto de um numero real a, escrito |a|, e definido como

|a| = a se a ≥ 0 ; |a| = −a se a < 0 .

Outra definicao e dada em termos da raiz quadrada de um numero ao quadrado:

|a| =√

a2 .

Exemplos: |2| = 2 , | − 4| = 4 , | − 3| =√

(−3)2 =√

9 = 3 .

O modulo de um numero representa a distancia deste ao ponto 0 no eixo dos numeros reais.


0 a

|a|

b 0

|b|

Usamos esta interpretacao para estabelecer algumas relacoes para um numero x ∈ R com relacao a umnumero a > 0. Primeiro,

|x| = a ⇔ x = ±a .

Exemplo 1: calcule x quando |x| = 2.

Solucao: |x| = 2 ⇔ x = ±2, ou seja, x = 2 ou x = −2.

A segunda relacao e a seguinte:

|x| < a ⇔ −a < x < a .

Isto pode ser visto da figura abaixo. O modulo de x sera menor que a quando x estiver dentro do intervaloaberto (−a, a) (outra notacao usada para o intervalo aberto e ] − a, a[ ).

0−a abc bc

x

|x|

Exemplo 2: calcule x quando |x| < 4.

Solucao: |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2, ou seja, x ∈ (−2, 2).

A terceira relacao e:

|x| > a ⇔ x < −a ou x > a .

Isto pode ser visto da figura abaixo. O modulo de x sera maior que a quando x estiver dentro do intervaloaberto (−∞, a) ou no intervalo aberto (a,∞).

0−a abc bc

x

|x|

0−a abc bc

x

|x|

Exemplo 3: calcule x quando |x| > 3.

Solucao: |x| > 3 ⇔ x < −3 ou x > 3, ou seja, x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,∞).

De modo semelhante, podemos escrever

|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a , |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a .

Exemplo 4: calcule x quando |x| ≤ 3.

Solucao: |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3, ou seja, x ∈ [−3, 3].

O modulo de um numero real apresenta as seguintes propriedades:

P1) |ab| = |a| · |b|;

P2)∣

∣

ab

∣

∣ = |a||b| , b 6= 0;

P3) |a + b| ≤ |a| + |b| (desiguladade triangular).


Demonstracao:

P1) podemos escrever |ab| =√

(ab)2 =√

a2b2 =√

a2√

b2 = |a| · |b|.

P2) temos∣

∣

ab

∣

∣ =

√

(

ab

)2=

√

a2

b2=

√a2√b2

= |a||b| .

P3) dados dois numeros reais, sabemos que −|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|. Portanto, temos

−|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ − (|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b| ⇔ |a + b| < |a| + |b| .

Exemplo 5: |3 · (−2)| = | − 6| = 6 = |3| · |2|.

Exemplo 6:∣

∣

−12

∣

∣ =∣

∣−12

∣

∣ = 12 = |−1|

|2| .

Exemplo 7: |3 + (−2)| = |3 − 2| = |1| = 1 e |3| + | − 2| = 3 + 2 = 5. Portanto, |3 + (−2)| ≤ |3| + | − 2|.


Leitura Complementar 2.3.2 - Vizinhanca e pontode acumulacao

Nesta secao, veremos dois topicos da topologia dos numeros reais: os conceitos de vizinhanca e de ponto deacumulacao. Dado um numero real a qualquer pertencente a um subintervalo I ⊂ R, definimos uma vizinhancadesse ponto como sendo um conjunto de pontos pertencentes a I que estejam a uma distancia menor que umnumero ǫ > 0 de a, isto e, uma vizinhanca de a e o intervalo

{x ∈ I | a − ǫ < x < a + ǫ} = {x ∈ I | |x − a| < ǫ} .

aa − ǫ a + ǫbc bc

Exemplo 1: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma vizinhanca do ponto x = 2 pode ser dadapor todos os pontos pertencentes ao intervalo (2 − 1, 2 + 1) = (1, 3), ou seja, pelo conjunto

{x ∈ I | 1 < x < 3} = {x ∈ R | |x − 2| < 1} .

0 1 2 3 6bc bcbc bc

Exemplo 2: dado o intervalo I = (0, 6) da reta dos reais, uma outra vizinhanca do ponto x = 2 pode serdada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (2− 0, 4 , 2 + 0, 4) = (1, 6 , 2, 4), ou seja, pelo conjunto

{x ∈ I | 1, 6 < x < 2, 4} = {x ∈ R | |x − 2| < 0, 4} .

0 1,6 2 2,4 6bc bcbc bc

Exemplo 3: dado o intervalo I = {x ∈ R | x < 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma vizinhanca do pontox = 5 pode ser dada por todos os pontos pertencentes ao intervalo (5− 0, 5 , 5+0, 5) = (4, 5 , 5, 5), ou seja,pelo conjunto

{x ∈ I | 4, 5 < x < 5, 5} = {x ∈ R | |x − 5| < 0, 5} .

0 2 4 4,5 5 5,5

bc b bc bc

Exemplo 4: dado o intervalo I = {x ∈ R | x < 2 ou x ≥ 4} da reta dos reais, uma outra vizinhanca do pon-to x = 5 pode ser dada escolhendo ǫ = 4, de modo que a vizinhanca sera composta por todos os pontospertencentes ao intervalo

{x ∈ I | 1 < x < 9} = (1, 2) ∪ [4, 9) .

0 1 2 4 5 9bc bbc bc b bc


Exemplo 5: dado o intervalo I = {2} da reta dos reais, o ponto x = 2 tem {2} como sua unica vizinhan-ca.

2b

Dado um intervalo I ⊂ R e um ponto a ∈ R, dizemos que a e um ponto de acumulacao do conjunto Iquando todo intervalo aberto (a − ǫ, a + ǫ), de centro a, contem algum ponto x ∈ I diferente de a. Em termosde simbologia matematica, a e um ponto de acumulacao de um conjunto I ⊂ R quando, para qualquer ǫ > 0,existir um x ∈ I tal que 0 < |x − a| < ǫ.

aa − ǫ a + ǫbc bcb

Exemplo 6: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 3 e um ponto de acumulacao desse intervalo, poispara qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3− ǫ, 3+ ǫ)∪ (1, 5) que pertencem a I e que nao sao o ponto x = 3.

1 3 − ǫ 3 3 + ǫ 5bc bcbc bc

Exemplo 7: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 1 e um ponto de acumulacao desse intervalo, poispara qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3− ǫ, 3+ ǫ)∪ (1, 5) que pertencem a I e que nao sao o ponto x = 1.

1 1 + ǫ 4 5bc bcbc bc

Exemplo 8: dado um intervalo I = (1, 5), o ponto x = 0 nao e um ponto de acumulacao desse intervalo,pois podemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (0 − 0, 5 , 0 + 0, 5) = (−0, 5 , 0, 5) centrado em 0 naoexistem pontos x ∈ I.

0 1 5bc bcbc bc

-0.5 0.5

Exemplo 9: dado um intervalo I = {3}, o ponto x = 3 nao e um ponto de acumulacao desse intervalo, poispodemos escolher ǫ = 0, 5 tal que no intervalo (3−0, 5 , 3+0, 5) = (−2, 5 , 3, 5) centrado em 3 nao existempontos x ∈ I diferentes de 3.

bbc bc32.5 3.5

Exemplo 10: dado um intervalo I = {x ∈ R | x 6= 3}, o ponto x = 3 e um ponto de acumulacao desseintervalo, pois para qualquer ǫ > 0 existem pontos x ∈ (3 − ǫ, 3 + ǫ) que pertencem a I e que nao sao oponto x = 3.

33 − ǫ 3 + ǫbc bc bc

Portanto, se x = a e um ponto de acumulacao de um intervalo I, entao e possıvel escolher uma sequenciade numeros pertencentes a esse intervalo que se aproximem cada vez mais desse ponto sem nunca alcanca-lo.

De posse desses conceitos, podemos agora partir para a definicao formal de limite, dada na proxima leituracomplementar.


Leitura Complementar 2.3.3 - Definicao formalde limite

A definicao formal de limite e dada logo a seguir. E uma das definicoes mais difıceis do Calculo e pesadeloda maioria dos estudantes, mas fica mais facil depois do que vimos nas leituras complementares anteriores.

Definicao 5 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumulacaoa de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a existe e e igual a L, o que pode ser escritocomo lim

x→af(x) = L, quando, para qualquer numero ǫ > 0, existir sempre um numero δ > 0 tal que, se

|x − a| < δ, entao |f(x) − L| < ǫ.

Usando os exemplos da Leitura Complementar 2.3.1, pudemos mostrar o porque da necessidade de umadefinicao tao precisa, por ela ter que funcionar para diversos casos de limites. Note que na definicao e explicitadoo fato de o numero a do limite lim

x→af(x) nao estar necessariamente dentro do intervalo em que se analisa o limite.

Este e o caso do limite da funcao f(x) = x0 quando x → 0, pois x = 0 nao pertence ao domınio desta funcao(isto levando em conta a convencao por nos adotada). Podemos usar essa definicao na demonstracao de diversoslimites, o que sera feito a seguir.


x = 1.

Solucao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valordeǫ > 0. No nosso caso, temos a = 1, f(x) = x e L = 1, de modoque a expressao fica

|x − 1| < δ ⇒ |x − 1| < ǫ .

Podemos ver da expressao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,essa relacao sera valida, pois se |x − 1| < δ e δ ≤ ǫ, entao|x − 1| < ǫ. A figura ao lado ajuda a ilustrar esta situacao.

bc bc x11 − δ 1 + δ

bc bc y11 − ǫ 1 + ǫ

Entao, se tomarmos, por exemplo, ǫ = 1, podemos escolher qualquer 0 < δ < 1 que a relacao sera satisfeita. Seescolhermos ǫ = 0, 1, qualquer 0 < δ < 0, 1 tornara a relacao verdadeira. Portanto, para qualquer valor de ǫ > 0,podemos encontrar valores de δ > 0 para os quais a relacao e verdadeira. Assim, o limite esta provado.


(x + 3) = 5.

Solucao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valordeǫ > 0. Temos a = 2, f(x) = x + 3 e L = 5, de modo que aexpressao fica

|x − 2| < δ ⇒ |x + 3 − 5| < ǫ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ |x − 2| < ǫ .

Podemos ver da expressao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ,essa relacao sera valida, pois se |x−2| < δ e δ ≤ ǫ, entao |x−2| < ǫ.Portanto, o limite esta provado.

bc bc x22 − δ 2 + δ

bc bc y22 − ǫ 2 + ǫ

Os dois proximos exemplos ilustram limites de funcoes do tipo f(x) = ax + b, onde a 6= 1.



(2x − 1) = 1.

Solucao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valordeǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 1, de modo que a expressaofica

|x − 1| < δ ⇒ |2x − 1 − 1| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |2x − 2| < ǫ ⇔⇔ |x − 1| < δ ⇒ 2|x − 1| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |x − 1| <

ǫ

2.

Podemos ver da expressao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ2 , essa

relacao sera valida, pois se |x − 1| < δ e δ ≤ ǫ2 , entao |x − 1| < ǫ.

Portanto, o limite esta provado.

bc bc x11 − δ 1 + δ

bc bc y11 − ǫ/2 1 + ǫ/2


(5x − 4) = 6.

Solucao: temos que mostrar que existem valores de δ > 0 tais que |x− a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ǫ para qualquer valordeǫ > 0. Temos a = 2, f(x) = 5x − 4 e L = 6, de modo que a expressaofica

|x − 2| < δ ⇒ |5x − 4 − 6| < ǫ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ |5x − 10| < ǫ ⇔⇔ |x − 2| < δ ⇒ 5|x − 2| < ǫ ⇔ |x − 2| < δ ⇒ |x − 2| <

ǫ

5.

Podemos ver da expressao acima que sempre que tivermos δ ≤ ǫ5 , essa

relacao sera valida, pois se |x − 2| < δ e δ ≤ ǫ5 , entao |x − 1| < ǫ.

Portanto, o limite esta provado.

bc bc x22 − δ 2 + δ

bc bc y22 − ǫ/5 2 + ǫ/5


(2x − 1) = 4.

Solucao: para tentarmos provar esse resultado (que esta errado), temos que mostrar que existem valores de δ > 0tais que |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ para qualquer valor de ǫ > 0. Temos a = 1, f(x) = 2x − 1 e L = 4, de modoque a expressao fica

|x − 1| < δ ⇒ |2x − 1 − 4| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ |2x − 3| < ǫ ⇔ |x − 1| < δ ⇒ 2|x − 1, 5| < ǫ ⇔⇔ |x − 1| < δ ⇒ |x − 1, 5| <

ǫ

2.

Isto significa que para qualquer valor de ǫ > 0, existe sempreum δ > 0 tal que, se x estiver dentro do intervalo aberto no eixox dado por (1 − δ, 1 + δ), entao f(x) estara sempre dentro dointervalo aberto

(

1, 5 − ǫ2 , 1, 5 + ǫ

2

)

no eixo y. Para mostrar queisto nao esta correto, basta achar um contra-exemplo. A figura aolado facilita isto.

bc bc x1

1 − δ 1 + δ

bc bc y1, 5

1, 5 − ǫ/2 1, 5 + ǫ/2

Da figura, podemos ver que escolhendo ǫ/2 < 0, 5, isto e, ǫ < 1, nao ha forma de escolher um intervalo (1−δ, 1+δ)de modo a garantir que, se x esta dentro desse intervalo, entao f(x) estara dentro do intervalo (1, 5−ǫ/2 , 1, 5+ǫ/2).Portanto, o limite esta incorreto.

Ha ainda a possibilidade de demonstrar alguns limites mais complicados, como os que envolvem funcoesquadratica,s mas isso foge da intencao desta leitura complementar.

A definicao de limite feita aqui e apenas aquela que e adequada a limites finitos quando se tende a numerosfinitos. A seguir, veremos algumas definicoes de limites envolvendo o infinito.

a) Limites no infinito

Quando tomamos os limites x → ∞, a definicao 5 de limite torna-se inapropriada, pois nao podemos tomarum intervalo |x − a| < δ quando a → ±∞. Substituindo a por ∞ nessa desigualdade, temos

|x − a| < δ ⇒ |x −∞| < δ ⇒ | −∞| < δ ⇒ ∞ < δ ,


pois x −∞ = −∞ para qualquer x ∈ R. De forma semelhante, substituindo a por −∞, temos

|x − a| < δ ⇒ |x − (−∞)| < δ ⇒ |x + ∞| < δ ⇒ |∞| < δ ⇒ ∞ < δ ,

pois x +∞ = ∞ para qualquer x ∈ R. Como nao existe um numero real δ tal que δ > ∞, temos que usar umaoutra definicao para esse tipo de limite.

Pensemos o seguinte: o limite limx→∞

f(x) = L existe quando, fazendo x tender a infinito, o intervalo |f(x)− ǫ|tender a zero. Isto pode ser escrito da seguinte forma: para qualquer ǫ > 0, existe um numero N tal que, todavez que x > N , automaticamente, |f(x) − L| < ǫ. Esta ideia e formalizada na definicao a seguir.

Definicao 6 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto no ∞, dizemos que olimite de f(x) quando x tende a ∞ existe e e igual a L, o que pode ser escrito como lim

x→∞f(x) = L,

quando, para qualquer numero ǫ > 0, existir sempre um numero N > 0 tal que, se x > N , entao|f(x) − L| < ǫ.

De modo semelhante, podemos dizer que o limite limx→−∞

f(x) = L existe quando, fazendo x tender a menos

infinito, o intervalo |f(x) − ǫ| tender a zero, isto e, que dado um ǫ > 0, existe um numero N < 0 tal quex < N ⇒ |f(x) − L| < ǫ. A definicao seguinte formaliza esta ideia.

Definicao 7 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos que olimite de f(x) quando x tende a −∞ existe e e igual a L, o que pode ser escrito como lim

x→−∞f(x) = L,

quando, para qualquer numero ǫ > 0, existir sempre um numero N < 0 tal que, se x < N , entao|f(x) − L| < ǫ.

b) Limites infinitos

Primeiro, veremos os caso de limites que vao para infinito ou menos infinito quando x tende a um valorfinito:

limx→a

f(x) = ∞ ou limx→a

f(x) = −∞ .

O motivo de nao termos definido esses limites no texto principal foi porque ainda nao vimos funcoes queapresentam esse comportamento. No entanto, para que as definicoes fiquem completas, faremos aqui as duasque restam.

Definicao 8 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumulacaoa de I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a e igual a ∞, o que pode ser escrito comolimx→a

f(x) = ∞, quando, para qualquer M > 0, existir sempre um δ > 0 tal que, se |x − a| < δ, entao

f(x) > M .

Definicao 9 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R e um ponto de acumulacao ade I, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a e igual a −∞, o que pode ser escrito comolimx→a

f(x) = −∞, quando, para qualquer M < 0, existir sempre um δ > 0 tal que, se |x − a| < δ, entao

f(x) < M .

c) Limites infinitos no infinito

Resta agora definir os limites no infinito das funcoes de potencias naturais f(x) = xn com n > 0. Esseslimites sao infinitos, de modo que as definicoes 2 e 3 nao sao mais apropriadas, pois quando o limite for ∞,teremos

|f(x) − L| < ǫ ⇒ |f(x) −∞| < ǫ ⇒ | −∞| < ǫ ⇒ ∞ < ǫ


e, quando o limite for −∞,

|f(x) − L| < ǫ ⇒ |f(x) − (−∞)| < ǫ ⇒ |∞| < ǫ ⇒ ∞ < ǫ .

Como nao existe ǫ real tal que ǫ > ∞, nao podemos aplicar essas definicoes aos casos em que o limite tende ainfinito. Podemos dizer, no entanto, que o limite quando x → ∞ de uma funcao tende a ∞ quando, quantomaior for o valor de x, maior sera o valor de f(x). Podemos tambem dizer isto da seguinte forma: para todovalor M > 0, existe sempre um valor N > 0 tal que x > N ⇒ f(x) > M . Como existem diversas situacoesdependendo do limite que tomamos, e necessario fazer as quatro definicoes a seguir.

Definicao 10 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que olimite de f(x) quando x tende a ∞ e igual a ∞, o que pode ser escrito como lim

x→∞f(x) = ∞, quando,

para qualquer numero M > 0, existir sempre um numero N > 0 tal que, se x > N , entao f(x) > M .

Definicao 11 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que olimite de f(x) quando x tende a ∞ e igual a −∞, o que pode ser escrito como lim

x→∞f(x) = −∞, quando,

para qualquer numero M < 0, existir sempre um numero N > 0 tal que, se x > N , entao f(x) < M .

Definicao 12 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em ∞, dizemos que olimite de f(x) quando x tende a −∞ e igual a ∞, o que pode ser escrito como lim

x→−∞f(x) = ∞, quando,

para qualquer numero M > 0, existir sempre um numero N < 0 tal que, se x < N , entao f(x) > M .

Definicao 13 - Dada uma funcao f(x) definida em um intervalo I ⊂ R aberto em −∞, dizemos queo limite de f(x) quando x tende a −∞ e igual a −∞, o que pode ser escrito como lim

x→−∞f(x) = −∞,

quando, para qualquer numero M < 0, existir sempre um numero N < 0 tal que, se x < N , entaof(x) < M .

Essas sao, na verdade, todas as definicoes de limites para funcoes de uma variavel real a valores reais.


Leitura Complementar 2.3.4 - Alguns teoremaspara limites

A presentaremos nesta leitura complementar dois teoremas que facilitam o calculo de alguns limites impor-tante envolvendo funcoes de duas ou mais variaveis. Esse teoremas sao seguidos de exemplos que os utilizam,entre eles formas mais corretas dos exemplos 2 e 3 da secao 2.3.2 deste capıtulo.

O primeiro teorema, enunciado a seguir, diz que um limite existe se, seguindo qualquer caminho possıvelate ele, o resultado for sempre o mesmo. Tais caminhos podem ser parametrizados por curvas que sao imagensde funcoes vetoriais de um parametro real.

Teorema 1 - Considere que lim(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

f(x1, · · · , xn) = L. Dada uma funcao vetorial F (t) de

R em Rn, contınua em t = t0 e tal que F (t0) = (x10, · · · , xn0) e F (t) 6= (x10, · · · , xn0) se t 6= t0, e talque F (t) ∈ D(f), entao, lim

t→t0f (F (t)) = L.

Exemplo 1: mostre que lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= 1.

Solucao: este e o mesmo exemplo 3 da secao 2.3.2 deste capıtulo, so que formulado de maneira mais rigorosa usandoo teorema 1. Consideremos uma curva que e a imagem da funcao vetorial F (t) = (t cos θ, t sen θ), onde t e umparametro real positivo e θ e um angulo qualquer. Tal curva parametriza caminhos radiais em direcao a origemvindos de angulos θ distintos e e tal que F (0) = (0, 0) para todo o valor de θ e tal que F (t) 6= (0, 0) para t 6= 0.

Portanto, pelo teorema 1, podemos considerar x(t) = t cos θ e y(t) = t sen t, que nada mais sao que coordenadaspolares (Leitura Complementar 1.1.4). Como x2 + y2 = t2 cos2 t + t2 sen 2t = t2(cos2 t + sen 2t) = t2, podemosescrever o limite da seguinte forma:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = limt→0

sen t2

t2.

Tal limite pode ser resolvido usando L’Hopital:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = limt→0

cos t2 · 2t

2t= lim

t→0cos t2 = cos 02 = 1 .

Como esse resultado e valido para qualquer angulo θ, entao por qualquer caminho que possamos usar, o limite e omesmo, o que prova que o limite esta correto.

Este mesmo raciocınio pode ser utilizado para outros problemas que exibam simetria radial, como o doexemplo a seguir.

Exemplo 2: mostre que lim(x,y)→(1,−2)

e−x2−y2+2x−4y−5 = 1.

Solucao: completando quadrados, podemos escrever

−x2 − y2 + 2x − 4y − 5 = −(x2 − 2x) − (y2 + 4y) − 5 = −[

(x − 1)2 − 1]

−[

(y + 2)2 − 4]

− 5 =

= −(x − 1)2 + 1 − (y + 2)2 + 4 − 5 = −(x − 1)2 − (y + 2)2 .

Escolhendo a funcao F (t) = (1 + t cos θ,−2 + t sen θ) para qualquer valor de θ, teremos (x − 1)2 + (y + 2)2 =(1+t cos theta−1)2+(−2+tsent+2)2 = t2, um resultado que independe de θ. Essa funcao e tal que F (0) = (1,−2)e F (t) 6= (1,−2) para t 6= 0. Do teorema 1,

lim(x,y)→(1,−2)

e−x2−y2+2x−4y−5 = lim(x,y)→(1,−2)

e−(x−1)2−(y+2)2 = limt→0

e−t2 = e0 = 1 .

Esse resultado e valido para qualquer angulo θ, o que prova que o limite esta correto.


A seguir, utilizamos o teorema 1 para provar que um dado limite nao existe.

Exemplo 3: mostre que lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2nao existe.

Solucao: nossa estrategia sera mostrar que podemos obter resultados diferentes atraves de duas curvas distintas.Comecamos pela curva associada a funcao vetorial F (t) = (t, 0), que e tal que F (0) = (0, 0) e F (t) 6= (0, 0) parat 6= 0. Entao, o limite pode ser escrito trocando x = t e y = 0, de modo que

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2= lim

t→0

t2 − 0

t2 + 0= lim

t→01 = 1 .

Considerando agora uma curva associada a funcao vetorial F (t) = (0, t), que e tal que F (0) = (0, 0) e F (t) 6=6= (0, 0) para t 6= 0, entao o limite pode ser escrito trocando x = 0 e y = t, de modo que

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2= lim

t→0

0 − t2

0 + t2= lim

t→0(−1) = −1 .

Como os dois limites nao coincidem, podemos afirmar que o limite dado nao existe.

O teorema a seguir afirma que, quando podemos quebrar uma funcao em duas outras, onde o limite daprimeira e zero e a segunda funcao e limitada, entao o limite da funcao original e zero.

Teorema 2 - Dado um limite tal que

lim(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

f(x1, · · · , xn) = lim(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn) ,

onde lim(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

g(x1, · · · , xn) = 0 e |h(x1, · · · , xn)| ≤ M , M ∈ R e M > 0, dentro do intervalo

||(x1, · · · , xn) − (x10, · · · , xn0)|| < r, r ∈ R e r > 0, entao lim(x1,··· ,xn)→(x10,··· ,xn0)

f(x1, · · · , xn) = 0.

Exemplo 4: prove que lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2= 0.

Solucao: podemos escrever

lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)x · x2

x2 + y2.

Temos que lim(x,y)→(0,0)

x = 0 e

∣

∣

∣

∣

x2

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

≤ 1, pois um numero positivo (quadrado) dividido por ele mais outro numero

positivo sempre sera menor ou igual a 1. Entao, pelo teorema 2, lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2= 0.

Exemplo 5: prove que lim(x,y)→(∞,∞)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= 0.

Solucao: podemos escrever

lim(x,y)→(∞,∞)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= lim

(x,y)→(∞,∞)

1

x2 + y2· sen (x2 + y2) .

Uma vez que lim(x,y)→(∞,∞)

1

x2 + y2= 0 e

∣

∣ sen (x2 + y2)∣

∣ ≤ 1, entao, pelo teorema 2, lim(x,y)→(∞,∞)

sen (x2 + y2)

x2 + y2= 0.


Exercıcios - Capıtulo 2.3

Nıvel 1

Limites de funcoes de uma variavel

Exemplo 1: escreva o domınio e a imagem da funcao f(x, y) = e−x2−y2

.

Solucao: o domınio dessa funcao e D(f) = R2, enquanto sua imagem e Im(f) = [0, 1], pois a funcao exponencialso pode assumir valores positivos ou nulos e a funcao chega a um valor maximo em f(0, 0) = 1.

E1) Escreva os domınios e as imagens das funcoes dadas a seguir.

a) f(x, y) = 4x2 + 4y2, b) f(x, y) = 2x2 + 3y2, c) f(x, y) =√

9 − x2 − y2, d) f(x, y) = 1√1−x2−y2

,

e) f(x, y) = 3x2 − 2y2, f) f(x, y) = x4 + y4, g) f(x, y) = ln(x2 + y2), h) f(x, y) = ln(x2 − y3).

Limites


(3xy − y3).

Solucao: lim(x,y)→(1,0)

(3xy − y3) = 3 · 1 · 0 − 03 = 0.

E2) Calcule os seguintes limites:

a) lim(x,y)→(2,1)

(2xy − x2), b) lim(x,y)→(1,0)

sen xy

y, c) lim

(x,y,z)→(1,0,0)(yz2 + ln x),

d) lim(x,y,z)→(0,0,0)

ln(x2 + y2 + z2).

Nıvel 2

E1) Verifique se f(x, y) =sen (x2 + y2)

x2 + y2e contınua em (0, 0).

E2) Verifique se f(x, y) =

sen (x2 + y2)

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1 , (x, y) = (0, 0), e contınua em (0, 0).

Nıvel 3

E1) Prove que limx→1

(4x − 2) = 2.

E2) Prove que lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) = 0.

E3) Prove que lim(x,y)→(x0,y0)

k = k para quaisquer (x0, y0) ∈ R2 e k ∈ R.


E4) Considere a funcao CES (Constant Elasticity of Substitution - Elasticidade de Substituicao Constante)

P (K,L) = A [αKρ + (1 − α)Lρ]1/ρ.

a) Calcule o limite de z = ln P quando ρ → 0. (Dica: use a regra de L’Hopital.)b) Mostre que o limite da funcao CES quando ρ → 0 e a funcao de Cobb-Douglas.

E5) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim(x,y)→(∞,∞)

1

x2 + y2= 0.

E6) (Leitura Complementar 2.3.4) Prove que lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 − y2)

x2 − y2= 1.


xy

x2 + y2= 0.


x√

x2 + y2= 0.


x + y

x − ynao existe.

Respostas

Nıvel 1

E1) a) D(f) = R2, Im(f) = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}. b) D(f) = R2, Im(f) = R+.

c) D(f) ={

(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 9}

, Im(f) = [0, 3].

d) D(f) ={

(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1}

, Im(f) = R+∗ = {x ∈ R | x > 0}. e) D(f) = R2, Im(f) = R.

f) D(f) = R2, Im(f) = R+. g) D(f) ={

(x, y) ∈ R2 | (x, y) 6= (0, 0)}

, Im(f) = R.

h) D(f) ={

(x, y) ∈ R2 | x2 − y3 > 0}

, Im(f) = R.

E2) a) 0, b) 1, c) 0, d) −∞.

Nıvel 2

E1) Nao e contınua em (0, 0), pois f(0, 0) nao existe.

E2) E contınua em (0, 0), pois lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0) = 1.

Nıvel 3

E1) Como |f(x) − L| < ǫ ⇔ |4x − 2 − 2| < ǫ ⇔ |4x − 4| < ǫ ⇔ |x − 1| <ǫ

4, entao para qualquer ǫ > 0, sempre existe um

0 < δ ≤ ǫ

4tal que |x − 1| < δ ⇒ |f(x) − 2| < ǫ.

E2) Como |f(x, y) − L| < ǫ ⇔ |x2 + y2 − 0| < ǫ e ||(x − x0), (y − y0)|| =√

(x − x0)2 + (y − y0)2 =√

x2 + y2, entao para

qualquer 0 < δ ≤ ǫ teremos√

x2 + y2 < δ ⇒ |x2 + y2| < ǫ ⇔ −ǫ < x2 + y2 < ǫ. Como 0 <√

x2 + y2 < δ, entao

x2 + y2 < δ2. Com isto, podemos dizer que√

x2 + y2 < δ ⇒ −ǫ < x2 + y2 < ǫ ⇔ δ2 ≤ ǫ e δ > 0, de modo que devemoster δ <

√ǫ. Portanto, sempre que δ <

√ǫ, teremos ||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x) − L| < ǫ, o que prova o limite.

E3) Temos que mostrar que, para qualquer ǫ > 0, existe um δ > 0 tal que

||x − x0, y − y0|| < δ ⇒ |f(x, y) − L| < ǫ ⇔√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ ⇒ |k − k| < ǫ ⇔ 0 < ǫ .

Como, por hipotese, ǫ > 0 sempre, entao para qualquer δ > 0 a afirmacao acima e verdadeira, o que prova o limite.

E4) a) limρ→0

z = ln(

AKαL1−α)

b) limρ→0

P = limρ→0

exp(ln P ) = exp

[

ln

(

limρ→0

P

)]

= exp[

ln(

AKαL1−α)]

= AKαL1−α. O limite pode ser deslocado para

dentro das funcoes exponencial e logaritmo natural porque elas sao contınuas.


E5) Escolhendo F (t) = (t cos θ, t sen θ), temos lim(x,y)→(∞,∞)

1

x2 + y2= lim

t→∞1

t2= 0 para qualquer valor de θ, o que prova o

limite.

E6) Escolhendo F (t) = (t cosh θ, t senh θ), temos lim(x,y)→(0,0)

sen (x2 − y2)

x2 − y2= lim

t→0

sen t2

t2= lim

t→0

cos t2 · 2t

2t= cos 0 = 1 para

qualquer valor de θ, o que prova o limite.

E7) lim(x,y)→(0,0)

x = 0 e

∣

∣

∣

∣

y

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

< 1, de modo que lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2= 0.

E8) lim(x,y)→(0,0)

x = 0 e

∣

∣

∣

∣

∣

1√

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

∣

< 1, de modo que lim(x,y)→(0,0)

x√

x2 + y2= 0.

E9) Escolhendo F (t) = (t, 0), entao lim(x,y)→(0,0)

x + y

x − y= lim

t→0

t + 0

t − 0= 1. Escolhendo F (t) = (0, t), entao

lim(x,y)→(0,0)

x + y

x − y= lim

t→0

0 + t

0 − t= −1. Portanto, o limite nao existe.

cap´ıtulo 2.3 - formaliza¸c˜ao do conceito de limite · pdf...

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