capitulo 2 - tipos de construcoes. ligacoes e apoios. isostaticidade_2014.pdf

FE UEM/DECi - Eng. Civil Mecnica das Construes

Capitulo 2 - TIPOS DE CONSTRUCOES. LIGACOES E APOIOS. ISOSTATICIDADE_2014 - i/18

NDICE

2. TIPOS DE CONSTRUES, LIGAES E APOIOS, ISOSTATICIDADE,

DISTRIBUIO CONTNUA DE CARGAS ......................................................................... 1

2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS ................................................................................ 1

2.1.1. Estruturas Lineares (reticuladas) ............................................................................ 1

2.1.2. Estruturas Laminares ............................................................................................. 2

2.1.3. Estruturas macias ................................................................................................. 2

2.2. LIGAES E APOIOS ............................................................................................. 3

2.2.1. Graus de Liberdade ............................................................................................... 3

2.2.2. Tipos de apoios ..................................................................................................... 4

2.2.3. Tabela Resumo dos tipos de apoios ....................................................................... 5

2.2.4. Tipos de ligaes ................................................................................................... 6

2.3. ANLISE DE ISOSTATICIDADE ........................................................................... 6

2.3.1. Estruturas isostticas ............................................................................................. 6

2.3.2. Estruturas hipostticas ........................................................................................... 7

2.3.3. Estruturas hiperstticas .......................................................................................... 7

2.3.4. Frmula geral para a anlise da isostaticidade ........................................................ 8

2.3.5. Classificao das estruturas quanto ao tipo. Frmulas especficas .......................... 9

2.3.6. Exemplos ............................................................................................................ 10

2.4. DISTRIBUIO CONTNUA DE CARGAS ......................................................... 12

2.4.1. Carga concentrada ............................................................................................... 12

2.4.2. Carga no uniformemente distribuda .................................................................. 12

2.4.3. Carga uniformemente distribuda (carga rectangular)........................................... 13

2.4.4. Carga triangular ................................................................................................... 14

2.4.5. Carga trapezoidal ................................................................................................ 15

2.4.6. Exemplos ............................................................................................................ 17


Capitulo 2 - TIPOS DE CONSTRUCOES. LIGACOES E APOIOS. ISOSTATICIDADE_2014 - 1/18

2. TIPOS DE CONSTRUES, LIGAES E APOIOS,

ISOSTATICIDADE, DISTRIBUIO CONTNUA DE CARGAS

2.1.ELEMENTOS ESTRUTURAIS

O conjunto de elementos estruturais gera uma estrutura, estes elementos podem ser, por

exemplo, apoios, escorras, vigas, pilares, rtulas, tirantes, etc. A estrutura desempenha um papel

muito importante na construo civil, principalmente o suporte (tambm a esttica, em alguns

casos bem conhecidos como a torre Eiffel, que uma estrutura metlica). O clculo estrutural

indispensvel para uma construo, e a percia e exactido devem estar sempre presentes em

qualquer profissional da rea.

Em funo do tipo de esforos a que as estruturas esto submetidas e de acordo com o

procedimento adoptado na sua determinao, as estruturas podem classificar-se em:

2.1.1. Estruturas Lineares (reticuladas)

So estruturas constitudas por peas lineares em que uma das dimenses (o comprimento)

muito superior s outras duas (que definem a seco transversal). Exemplos: vigas, pilares,

prticos, trelias, arcos, tirantes, escoras.



2.1.2. Estruturas Laminares

So estruturas em que duas das dimenses (comprimento e largura) so da mesma ordem de

grandeza e de valor substancialmente superior outra dimenso (espessura). Exemplos: Lajes,

paredes, vigas-parede, cascas.

2.1.3. Estruturas macias

As estruturas macias apresentam trs dimenses (altura, comprimento e profundidade) da

mesma ordem de grandeza, sendo em geral submetidas a um estado de tenso triaxial. Exemplos:

Barragens e fundaes macias.



2.1.4. Tabela resumo de elementos estruturais

Elemento Smbolo tcnico Tipo Carregamento

Cabo Linear Fora de traco

Barra Linear Fora de traco ou

compresso

Viga

Linear

Qualquer,

momentos flectores

e torsores

Disco

Laminar Fora no plano do

disco

Placa

Laminar

Foras

perpendiculares ao

plano e momentos

flectores

Casca

Laminar Fora em qualquer

direco

2.2. LIGAES E APOIOS

Os apoios so sistemas que realizam as ligaes do corpo rgido com o exterior, constrangendo

translaes e rotaes dando origem as reaces do exterior sobre o corpo rgido.

2.2.1. Graus de Liberdade

As translaes e rotaes independentes que determinam a exibilidade de movimentao de um

corpo rgido livre representam os graus de liberdade. As translaes e rotaes correspondentes

aos graus de liberdade genericamente sero designadas por movimentos fundamentais.



Um corpo rgido no espao tem seis graus de liberdade, correspondentes a trs translaes

segundo trs direces ortogonais e trs rotaes em torno dos mesmos trs eixos.

No plano, um corpo rgido tm trs graus de liberdade, correspondentes s duas translaes

segundo duas direces ortogonais e uma rotao em torno da direco perpendicular ao plano.

2.2.2. Tipos de apoios

Os apoios retiram graus de liberdade e por consequncia podem ser classicados de acordo com

o nmero de graus de liberdade restringidas, ou pelo nmero de reaces que introduzem.

No plano h que vericar quais dos trs movimentos fundamentais so restringidos pelo apoio:

Apoio simples ou mvel: impede o deslocamento em apenas uma direco e introduz

uma fora de reaco na direco do deslocamento impedido uma reaco com linha de

aco conhecida. A linha de aco da reaco perpendicular superfcie de apoio.

Apoio duplo ou xo: impede duas translaes segundo duas direces ortogonais e

introduz uma fora de reaco com linha de aco desconhecida o que pode ser

decomposta em duas direces ortogonais (ex. direco dos eixos coordenados).

Encastramento: uma ligao que impede duas translaes e a rotao - constrange aos

trs graus de liberdade - e equivalente a uma fora de reaco com linha de aco

desconhecida (ou duas componentes ortogonais) e um momento.



Alm destes apoios podem conceber-se outros sistemas de apoio que constrangem

combinaes de graus de liberdade. Exemplo: encastramento deslizante.

2.2.3. Tabela Resumo dos tipos de apoios

Designao Smbolo Reaco Graus de

Liberdade

Apoio

simples/mvel

2

Apoio

duplo/fixo

1

Encastramento

0



2.2.4. Tipos de ligaes

Assim com existem elementos de ligaes externas (apoios), tambm existem elementos de

ligao interna, que so usados para ligar os elementos estruturais (rtula, Ligao rgida, etc).

Ligao

Designao Rtula Ligao rgida Extremidade livre

Foras

transmitidas Fx, Fy Fx, Fy, M -

Graus de

liberdade 1 0 3

2.3. ANLISE DE ISOSTATICIDADE

2.3.1. Estruturas isostticas

As estruturas isostticas tm o nmero de reaces estritamente necessrio para impedir qualquer

movimento. As reaces esto eficazmente dispostas de forma a restringir os possveis

movimentos da estrutura.

Podem ser definidos dois tipos de estruturas isostticas, a saber

Estruturas em que nmero de reaces igual ao nmero de equaes de equilbrio da

esttica.

Estruturas em que o nmero de reaces superior ao nmero de equaes de equilbrio

da esttica tornada isosttica mediante a libertao criteriosa de ligaes entre os

possveis corpos da estrutura global.

Neste ultimo caso, alm das equaes de equilbrio da esttica, so necessrias equaes de

equilbrio adicionais em nmero igual ao excesso de incgnitas do problema relativamente ao

nmero de equaes de equilbrio da esttica. Estas equaes so definidas de acordo com as

referidas libertaes introduzidas na estrutura.

Em geral, diz-se que a estrutura isosttica (n=0) quando o nmero de ligaes estritamente o

necessrio para assegurar o equilbrio da estrutura podendo-se, neste tipo determinar os esforos

a partir das equaes de equilbrio da esttica.



2.3.2. Estruturas hipostticas

As estruturas hipostticas no so estveis, no possuem equilbrio esttico, tendo por isso algum

movimento no restringido.

De um modo geral, estas estruturas possuem um nmero de reaces de apoio inferior ao nmero

de equaes de equilbrio da esttica. No entanto, igualmente possvel realizar uma estrutura

hiposttica com um nmero de reaces igual ou at superior ao nmero de equaes de

equilbrio esttico desde que essas reaces estejam dispostas de forma ineficaz.

Em suma: Quando o nmero de ligaes insuficiente para assegurar o equilbrio da estrutura, a

estrutura hiposttica (n0). Neste tipo, a determinao dos esforos, s pode efectuar-se

a partir do conhecimento das leis de comportamento mecnico do prprio material de que as

vrias partes da estrutura so constitudas.

Notas importantes:

A anlise da isostaticidade da uma estrutura independente do carregamento da mesma;

impossvel calcular uma estrutura hiposttica;

Para as estruturas hiperstticas no so permitidos movimentos contribuindo para uma

destruio fcil;



De uma forma geral para que uma estrutura no plano seja estvel, so necessrias pelo

menos trs ligaes exteriores. Sendo esta ltima uma condio necessria mas no

suficiente.

2.3.4. Frmula geral para a anlise da isostaticidade

Onde: t .. n de ligaes exteriores

p .. n de elementos estruturais

n... grau de isostaticidade

r n de ligaes interiores

2.3.4.1. Determinao do nmero de ligaes interiores

a) Rtula

No plano, a ligao de m barras por meio de uma articulao (rtula) restringe ao

conjunto ( ) graus de liberdade.

( )

Onde: m .... n de barras que convergem na rtula

r ....... n de ligaes interiores

No espao, a ligao de m barras por meio de uma articulao restringe ao conjunto

( ) graus de liberdade.

( )

Onde: m ..... n de barras que convergem na rtula

r .. n de ligaes interiores

b) N rgido

No plano, a ligao de m barras por meio de um n rgido restringe ao conjunto

( ) graus de liberdade

( )

Onde: m....n de barras que convergem na rtula

r. n de ligaes interiores



No espao, a ligao de m barras por meio de uma articulao restringe ao conjunto

( ) graus de liberdade.

( )

Onde: m.....n de barras que convergem na rtula

r.. n de ligaes interiores

2.3.5. Classificao das estruturas quanto ao tipo. Frmulas especficas

Estrutura aberta: quando no apresenta nenhum espao fechado.

( )

Onde: L..n de ligaes exteriores

G.Graus de liberdade ( igual ao nmero de rtulas)

Estrutura contnua: apresenta espaos abertos e espaos fechados.

Onde: E.n de espaos fechados

R.n de rtulas

L..n de ligaes exteriores

Estrutura articulada: quando todos os elementos da estrutura so ligados por rtulas,

isto , quando no existe nenhum n rgido na estrutura e nenhuma barra curva.

Onde: L.. n de ligaes exteriores

B.. n de rtulas

N...n de ns



2.3.6. Exemplos

Para as estruturas representadas abaixo, utilizando as frmulas gerais e especficas, analise a

isostaticidade:

a)

Frmula geral:

: um encastramento (trs ligaes externas) e um apoio simples (uma

ligao externa)

: no existe alguma ligao interna

: temos uma nica barra (elemento estrutural)

a estrutura hiperesttica do primeiro grau.

Frmula especfica:

A estrutura aberta, logo ( )

: um encastramento (trs ligaes externas) e um apoio simples (uma ligao

externa).

: nenhuma rtula.

( ) a estrutura hipersttica do primeiro grau.

b)

Frmula geral:

: Dois apoios duplos (duas ligaes externas)



[ ( )] ( ) : Quatro rtulas em que convergem trs

barras e uma rtula em que convergem duas barras.

: temos sete barras

a estrutura hiperesttica do primeiro grau.

Frmula especfica:

A estrutura articulada, logo

: Dois apoios duplos (duas ligaes externas).

: temos cinco barras.

: temos cinco ns.

a estrutura hipersttica do primeiro grau.

c)

Frmula geral:

: Um encastramento (trs ligaes externas).

[ ( )] ( ) : Quatro rtulas em que convergem duas

barras e uma rtula em que convergem trs barras.

: Considera-se existirem cinco barras.

a estrutura isosttica.

Frmula especfica:

A estrutura contnua, logo

: dois espaos fechados.

: temos seis rtulas.

: Um encastramento (trs ligaes externas).

a estrutura isosttica.



2.4. DISTRIBUIO CONTNUA DE CARGAS

2.4.1. Carga concentrada

uma aproximao de cargas distribuidas quando a rea relativamente pequena.

2.4.2. Carga no uniformemente distribuda

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )



2.4.3. Carga uniformemente distribuda (carga rectangular)

Fora:

( ) ( )

( ) ( )

[ ]

A resultante dada pela rea do rectngulo

[

]

[ ]



2.4.4. Carga triangular

A variao da carga pode ser representada atravs do grfico da equao do primeiro grau, sendo

neste caso, uma recta que passa pela origem.

{

O valor de b zero, isto , pois a recta passa pela origem.

O coeficiente angular da recta ser igual a

, Obtendo-se desta forma a equao da variao da carga; ( )

Fora:

( ) ( )

[

]

A resultante dada pela rea do tringulo.

( )

[

]



( )

2.4.5. Carga trapezoidal

{



O valor do ; o coeficiente angular da recta ser igual a

Obtm-se desta forma uma equao da variao da carga

( )

Fora:

( ) ( )

(

)

[

]

[ ]

A resultante dada pela rea do trapzio.

( )

(

)

[

]

[

]

( )

( )

( )

( )



2.4.6. Exemplos

Para os carregamentos abaixo apresentados determinar a resultante e o seu ponto de aco.

a)

b)

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