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Capítulo 10 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
As equações diferenciais ordinárias são do tipo:
Exemplo 10.1 Seja a equação diferencial ordinária para a posição y de um automóvel
, com a condição inicial: ;
10.1 Método de Euler Explícito
A derivada é aproximada por diferenças finitas:
onde yk+1 é o valor da função no tempo atual, yk é o valor da função no tempo anterior, ∆t é a variação do
tempo (tempo atual menos o tempo anterior).
No método de Euler explícito a função derivada é avaliada no tempo anterior: . O
valor atual da função é obtido por:
Os valores obtidos para o exemplo:
Solução com o passo de integração ∆t=0,01 s;
-Cálculo de y1 a partir de y0 e t0:
-Cálculo de y2 a partir de y1 e t1:
k tk yk f(tk,yk) yk+1
0 0,0000000000 2,0000000000 6,6931471806 y1=2,0669314718
1 0,0100000000 2,0669314718 7,0752023076 y2=2,1376834949
2 0,0200000000 2,1376834949 7,4870969829 y3=2,2125544647
3 0,0300000000 2,2125544647 7,9320994384 y4=2,2918754591
4 0,0400000000 2,2918754591 8,4139390393 y5=2,3760148495
5 0,0500000000 2,3760148495 8,9368860657 y6=2,4653837101
6 0,0600000000 2,4653837101 9,5058480071 y7=2,5604421902
7 0,0700000000 2,5604421902 10,1264863738 y8=2,6617070540
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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8 0,0800000000 2,6617070540 10,8053591616 y9=2,7697606456
9 0,0900000000 2,7697606456 11,5500955862 y10=2,8852616014
10 0,1000000000 2,8852616014 12,3696116824 3,0089577183
10.2 Método de Euler Implícito
A derivada é aproximada por diferenças finitas:
Onde yk+1 é o valor da função no tempo atual, yk é o valor da função no tempo anterior, ∆t é a variação do
tempo (tempo atual menos o tempo anterior).
No método de Euler implícito a função derivada é avaliada no tempo atual: . O
valor atual da função é obtido por:
Os valores obtidos para o exemplo:
Solução com o passo de integração ∆t=0,01 s;
-Cálculo de y1 a partir de y0 , y1 e t1:
No método implícito pode resultar uma equação não-linear para yk+1, nesse caso y1, que deve ser resolvido
por um método de solução de equação algébrica não-linear como Substituição sucessiva ou Newton-
Raphson. Fazendo-se a solução pelo método da substituição sucessiva:
O valor da primeira estimativa de y1,0 é o valor final da estimativa anterior, na primeira é y0=2,0.
Então:
O valor do erro da primeira iteração interna:
O erro não é menor que 1×10-4
, portanto vamos continuar calculando y1. O y1,2 será calculado a partir do
y1,1:
O valor do erro da segunda iteração interna:
O erro não é menor que 1×10-4
, portanto vamos continuar calculando y1. O y1,3 será calculado a partir do
y1,2:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
3
O valor do erro da terceira iteração interna:
0,0001011378
O erro não é menor que 1×10-4
, portanto vamos continuar calculando y1. O y1,4 será calculado a partir do
y1,3:
O valor do erro da quarta iteração interna:
0,0000056886
O erro é menor que 1×10-4
, portanto y1= 2,0709788749 para t1=0,01 s;
Agora y2 é calculado a partir de y1:
Repete-se o método iterativo interno para determinar y2. Os passos são mostrados na tabela a seguir.
k tk yk
0 0,0000000000 2,0000000000
k+1=1
j tk+1 yk+1,j f(tk+1,yk+1,j) yk+1,j+1
Erro < 10-4
0 0,0100000000 2,0000000000 6,7031471806 2,0670314718 0,0324288588
1 0,0100000000 2,0670314718 7,0757640837 2,0707576408 0,0017994231
2 0,0100000000 2,0707576408 7,0967093983 2,0709670940 0,0001011378
3 0,0100000000 2,0709670940 7,0978874917 2,0709788749 0,0000056886
k tk yk
1 0,0100000000 2,0709788749
j tk+1 yk+1,j f(tk+1,yk+1,j) yk+1,j+1 Erro
0 0,0200000000 2,0709788749 7,1079537572 2,1420584125 0,0331828195
1
2,1420584125 7,5122398967 2,1461012739 0,0018838167
2
2,1461012739 7,5355047867 2,1463339228 0,0001083936
3
2,1463339228 7,5368444654 2,1463473196 0,0000062417
k tk yk
2 0,0200000000 2,1463473196
j tk+1 yk+1,j f(tk+1,yk+1,j) yk+1,j+1 Erro
0 0,0300000000 2,1463473196 7,5469216120 2,2218165357 0,0339673483
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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1
2,2218165357 7,9866103746 2,2262134233 0,0019750522
2
2,2262134233 8,0125417552 2,2264727371 0,0001164684
3
2,2264727371 8,0140721873 2,2264880414 0,0000068737
10.3 Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Acopladas
O balanço de massa diferencial em um reator PFR perfeito:
onde Fi é a vazão molar do componente “i”, V é a variável volume do reator tubular, αi,j é o coeficiente
estequiométrico do componente “i” na reação “j”, rj,k é a taxa de reação do componente chave “k” na reação
“j”, αi,j é a matriz do coeficiente estequiométrico do componente chave “k” na reação “j” e NR é o número de
reações químicas.
A vazão total é a soma das vazões dos componentes:
A vazão molar do componente “i” pode ser escrita na forma:
onde Ci é a concentração molar de “i” e Q é a vazão volumétrica no reator.
A concentração total ao longo do reator CT e a concentração total na entrada CTe:
onde CT é a concentração ao longo do reator, FT é a vazão molar total na distância V do reator, Q é a vazão
volumétrica ao longo do reator, CTe é a concentração total na entrada do reator, P é a pressão em V, Qe é a
vazão volumétrica na entrada do reator, Pe é a pressão na entrada, Te é a temperatura na entrada, T é a
temperatura no ponto V, Z é o fator de compressibilidade ao longo do reator e Ze é o fator de
compressibilidade na entrada do reator.
As concentrações, ao longo do reator, podem ser relacionadas as vazões molares e as variáveis na
entrada do reator (V=0) pelas relações:
- Para reações na fase gasosa:
- Para reações na fase gasosa a temperatura e pressão constantes:
- Para reações em fase líquida:
onde Qe é a vazão volumétrica na entrada do reator PFR.
As taxas de reações são dadas em função das concentrações dos reagentes na forma:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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onde ki,j é a constante de reação “j” relativa ao componente “i”, Ci é a concentração do reagente “i”, I é a
ordem de reação do reagente “i” na reação “j”, Cm é a concentração do reagente “m”, M é a ordem de reação
do reagente “m” na reação “j”, Cn é a concentração do reagente “n”, N é a ordem de reação do reagente “n”
na reação “j”.
Exemplo 10.2 As seguintes reações em fase gasosa ocorrem simultaneamente:
(R1) A → 2B
(R2) 2B → A , Com:
k1= 0,04; k2= 0,05; As constantes de reação tem as unidades mol, L e min.
Determine as concentrações ao longo de um reator PFR de 10 dm3, As concentrações na entrada do reator
são 5,0 mol dm-3
de A e de 1,0 mol dm-3
B. A vazão de entrada é de 10 dm3 min
-1. Resolva pelo método de
Euler explícito com passo de integração 0,2. E, implícito, com solução do sistema por substituição sucessiva,
com passo de integração igual a 0,4 L, com um erro na iteração interna de 1×10-4
. Faça os passos de iteração
até o volume 0,8 L
Solução:
Reescrevendo as reações químicas com os coeficientes estequiométricos com valores “1” para os
componentes das taxas de reações:
(R1) A → 2B
(R2) B → ½ A
Escrevendo os balanços de massas para os componentes:
- Para o componente A:
- Para o componente B:
As taxas de reações são escritas em função das vazões molares:
Resolvendo o sistema de equações algébricas pelo método de Euler explícito para as vazões dos dois
componentes:
- Para o componente “A”:
Fazendo a discretização:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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- Para o componente “B”:
Fazendo a discretização:
O balanço de massa total do sistema:
As variáveis na entrada do reator (k=0):
A concentração total na entrada:
; A vazão molar do componente “A” na entrada:
; A vazão molar do componente “B” na entrada:
; A vazão molar total na entrada:
;
Aplicando o método de Euler explícito com ∆V=0,2:
As vazões no volume 0,2 L (k=1):
As taxas de reações iniciais:
;
;
As vazões a partir da condição inicial:
;
;
;
As vazões no volume 0,4 L (k=2):
As taxas de reações no volume anterior V=0,2:
;
;
As vazões a partir da condição anterior:
;
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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;
;
As vazões no volume 0,6 L (k=3):
As taxas de reações no volume anterior V=0,4:
;
;
As vazões a partir da condição anterior:
;
;
;
As vazões no volume 0,8 L (k=4):
As taxas de reações no volume anterior V=0,6:
;
;
As vazões a partir da condição anterior:
;
;
;
Aplicando o método de Euler Implícito com ∆V=0,4:
No método de Euler implícito as derivadas são calculadas no valor atual e resulta um sistema para as
variáveis FA,em cada passo
Para o primeiro passo V=0,4 L e ∆V=0,4 L:
;
0;
Resulta o seguinte sistema para as três variáveis:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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O sistema será resolvido nessa forma pelo método da substituição sucessiva com as seguintes estimativas
iniciais
O cálculo da primeira iteração interna j=1:
9,8311145618
O valor dos erros nas variáveis:
não é menor que 1×10
-4; Temos que fazer
outra iteração interna:
O cálculo da segunda iteração interna j=2:
O valor dos erros nas variáveis:
é menor que 1×10
-4;
não é menor que 1×10
-4;
Temos que fazer outra iteração interna:
O cálculo da segunda iteração interna j=3:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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O valor dos erros nas variáveis:
é menor que 1×10
-4;
é menor que 1×10
-4;
é menor que 1×10
-4;
As variáveis convergiram e esses são os valores das vazões no volume V=0,4 L (k=1):
Para o segundo passo V=0,8 L e ∆V=0,4 L:
Resulta o seguinte sistema para as três variáveis:
O sistema será resolvido nessa forma pelo método da substituição sucessiva com as seguintes estimativas
iniciais
O cálculo da primeira iteração interna j=1:
O valor dos erros nas variáveis:
não é menor que 1×10
-4;
Temos que fazer outra iteração interna:
O cálculo da segunda iteração interna j=2:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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O valor dos erros nas variáveis:
é menor que 1×10
-4;
não é menor que 1×10
-4; Temos que fazer
outra iteração interna:
O cálculo da segunda iteração interna j=3:
O valor dos erros nas variáveis:
é menor que 1×10
-4;
é menor que 1×10
-4;
é menor que 1×10
-4;
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Exemplo 10.3 O seguinte conjunto de reações ocorre em um reator PFR de 0,2 m
3 de volume, em fase gasosa.
(R1) 4NH3 + 6NO → 5N2 + 6H2O
(R2) 2NO → N2 +O2
(R3) N2 +2 O2 → 2NO2
As constantes de reação são:
k1= 0,43 dm4,5
mol-1,5
s-1
; k2= 2,7 dm3 mol
-1 s
-1; k3= 1,4 dm
6 mol
-2 s
-1;
A vazão de entrada para o reator é de 2,0 L s-1
, na temperatura de 600 K e na pressão de 2 atm. A
composição da entrada é de 70 % em mol de NO e 30 % em mol de NH3. Determine as concentrações ao
longo do reator. O reator é isotérmico e isobárico.
Solução:
Reescrevendo as reações químicas com os coeficientes estequiométricos com valores “1” para os
componentes das taxas de reações:
(R1)
NH3 + NO →
N2 + H2O
(R2) 2NO → N2 +O2
(R3)
N2 + O2 → NO2
Escrevendo os balanços de massas para os componentes:
- Para a Amônia (NH3):
- Para o Óxido Nitroso (NO):
- Para a Água (H2O):
- Para o gás Nitrogênio (N2):
- Para o gás Oxigênio (O2):
- Para o Óxido Nítrico (NO2):
As taxas de reações são escritas em função das vazões molares:
‘
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Resolvendo o sistema de equações algébricas pelo método de Euler explícito para as vazões dos seis
componentes:
- Para a Amônia:
Onde: é a vazão molar do “NH3” no volume “V+∆V”, ∆V é o incremento de volume, é a
vazão molar total no volume “V”, é a vazão molar do “NH3” no volume “V” e é a vazão molar
do “NO” no volume “V”.
- Para o Óxido Nitroso (NO):
- Para a Água (H2O):
- Para o gás Nitrogênio (N2):
- Para o gás Oxigênio (O2):
- Para o Óxido Nítrico (NO2):
Onde as taxas de reações são calculadas no intervalo anterior de volume (V=k∆V).
Cálculo da concentração na entrada do reator, CTe:
As vazões molares dos componentes na entrada do reator:
- Para a Amônia:
- Para o Óxido Nitroso (NO):
- Para os demais gases:
A vazão total, na entrada, é a soma das vazões dos componentes:
Aplicando o método de Euler para um incremento ∆V= 1 L (1 dm3):
Primeiro passo de integração do método de Euler (Salto de k=0 para k=1):
- Cálculo das taxas de reações para k=0 (entrada do reator, Vk=0, Vk+1=1 L):
- A taxa de reação 1:
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A taxa de reação 2:
A taxa de reação 3:
Cálculo das vazões para k=1, com ∆V= 1 L:
- Para a Amônia (NH3):
- Para o Óxido Nitroso (NO):
- Para a Água (H2O):
- Para o gás Nitrogênio (N2):
- Para o gás Oxigênio (O2):
- Para o Óxido Nítrico (NO2):
A vazão total em k=1:
Segundo passo de integração do método de Euler (Salto de k=1 para k=2):
- Cálculo das taxas de reações para k=1 ( Vk=1 L, Vk+1= 2 L, ∆V= 1 L):
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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- A taxa de reação 1:
A taxa de reação 2:
A taxa de reação 3:
1,84580893×10
-
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Cálculo das vazões para k=2 a partir de k=1, com ∆V= 1 L:
- Para a Amônia (NH3):
- Para o Óxido Nitroso (NO):
- Para a Água (H2O):
- Para o gás Nitrogênio (N2):
- Para o gás Oxigênio (O2):
- Para o Óxido Nítrico (NO2):
A vazão total em k=2:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Segue-se o cálculo avançando no volume.
Terceiro passo de iteração - Euler explicito:
Vazões em k=3 a
partir de k=2
Vazão do NO: 0,04553823
Vazão do NH3: 0,02434531
Vazão do H2O: 0,00006740
Vazão do N2: 0,00570863
Vazão do O2: 0,00565246
Vazão do NO2: 1,35586345E-08
Vazão total: 0,08131204
Quarto passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=4
Vazão do NO: 0,04272149
Vazão do NH3: 0,02433333
Vazão do H2O: 0,00008538
Vazão do N2: 0,00712298
Vazão do O2: 0,00705181
Vazão do NO2: 4,54640485E-08
Vazão total: 0,08131502
Quinto passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=5
Vazão do NO: 0,04024211
Vazão do NH3: 0,02432244
Vazão do H2O: 0,00010170
Vazão do N2: 0,00836808
Vazão do O2: 0,00828327
Vazão do NO2: 1,07418505E-07
Vazão total: 0,08131771
Sexto passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=6
Vazão do NO: 0,03804187
Vazão do NH3: 0,02431250
Vazão do H2O: 0,00011662
Vazão do N2: 0,00947312
Vazão do O2: 0,00937583
Vazão do NO2: 2,07833147E-07
Vazão total: 0,08132015
Setimo passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=7
Vazão do NO: 0,03607540
Vazão do NH3: 0,02430336
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Vazão do H2O: 0,00013032
Vazão do N2: 0,01046085
Vazão do O2: 0,01035207
Vazão do NO2: 3,53459805E-07
Vazão total: 0,08132236
Oitavo passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=8
Vazão do NO: 0,03430674
Vazão do NH3: 0,02429493
Vazão do H2O: 0,00014297
Vazão do N2: 0,01134930
Vazão do O2: 0,01122988
Vazão do NO2: 5,49486105E-07
Vazão total: 0,08132437
NONO passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=9
Vazão do NO: 0,03270705
Vazão do NH3: 0,02428711
Vazão do H2O: 0,00015470
Vazão do N2: 0,01215293
Vazão do O2: 0,01202361
Vazão do NO2: 7,99739316E-07
Vazão total: 0,08132620
Decimo passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=10
Vazão do NO: 0,03125287
Vazão do NH3: 0,02427984
Vazão do H2O: 0,00016561
Vazão do N2: 0,01288350
Vazão do O2: 0,01274493
Vazão do NO2: 1,10691157E-06
Vazão total: 0,08132786
Método de Euler Implícito
Resolvendo o sistema de equações algébricas pelo método de Euler implícito para as vazões dos seis
componentes:
- Para a Amônia:
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Onde: é a vazão molar do “NH3” no volume “V+∆V”, ∆V é o incremento de volume, é a
vazão molar total no volume “V + ∆V”, é a vazão molar do “NH3” no volume “V” e é a
vazão molar do “NO” no volume “V+∆V”.
- Para o Óxido Nitroso (NO):
- Para a Água (H2O):
- Para o gás Nitrogênio (N2):
- Para o gás Oxigênio (O2):
- Para o Óxido Nítrico (NO2):
- A concentração total no volume (k+1):
Resulta o seguinte sistema de equações algébricas simultâneas para as vazões dos componentes no
reator:
(Eq.1)
(Eq.2)
(Eq.3)
(Eq.4)
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
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(Eq.5)
(Eq.6)
(Eq.7)
O sistema é resolvido pelo método da substituição sucessiva:
Os passos do método de Euler implícito:
Volume (Valores iniciais) V0= 0 L (k=1,j=0)
Vazão do NO: FNO,k=0,0569105691
Vazão do NH3: FNH3,k=0,0243902439
Vazão do H2O: FH2O,k=0,0000000000
Vazão do N2: FN2,k=0,0000000000
Vazão do O2: FO2,k=0,0000000000
Vazão do NO2: FNO2,k=0,0000000000
Vazão total: FT,k=0,0813008130 Volume (primeira iteração Euler
explícito) V1=1 L (k=1,j=1)
j=1
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0525130008 -0,0837424681
Vazão do NH3: FNH3,k+1=0,0243734633 -0,0006884787
Vazão do H2O: FH2O,k+1=0,0000251709 1,0000000000
Vazão do N2: FN2,k+1=0,0022071745 1,0000000000
Vazão do O2: FN2,k+1=0,0021861987 1,0000000000
Vazão do NO2: FNO2,k+1=0,00 #DIV/0!
Vazão total: FT,k+1=0,0813050082 0,0000515977
Volume V1=1 L (k=1,j=2) j=2
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0531658804 0,0122800480
Vazão do NH3: FNH3,k+1=0,0243753824 0,0000787300
Vazão do H2O: FH2O,k+1=0,0000222923 -0,1291302977
Vazão do N2: FN2,k+1=0,0018797742 -0,1741699833
Vazão do O2: FN2,k+1=0,0018611964 -0,1746201143
Vazão do NO2:
FNO2,k+1=1,8458089267E-
09 1,0000000000
Vazão total: 0,0813045275 -0,0000059122
Volume V1=1 L (k=1,j=3) j=3
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530722817 -0,0017636077
Vazão do NH3: 0,0243751029 -0,0000114637
Vazão do H2O: 0,0000227114 0,0184551981
Solução de Equações Diferenciais Ordinárias
19
Vazão do N2: 0,0019267136 0,0243624221
Vazão do O2: 0,0019077868 0,0244212171
Vazão do NO2: 1,1393800323E-09 -0,6200116505
Vazão total: 0,0813045977 0,0000008636
Volume V1=1 L (k=1,j=4) j=4
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530857714 0,0002541107
Vazão do NH3: 0,0243751431 0,0000016481
Vazão do H2O: 0,0000226512 -0,0026602363
Vazão do N2: 0,0019199487 -0,0035235115
Vazão do O2: 0,0019010721 -0,0035321073
Vazão do NO2: 1,2270274160E-09 0,0714306645
Vazão total: 0,0813045876 -0,0000001241
Volume V1=1 L (k=1,j=5) j=5
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530838287 -0,0000365967
Vazão do NH3: 0,0243751373 -0,0000002374
Vazão do H2O: 0,0000226599 0,0003830993
Vazão do N2: 0,0019209229 0,0005071766
Vazão do O2: 0,0019020391 0,0005084120
Vazão do NO2: 1,2141276009E-09 -0,0106247606
Vazão total: 0,0813045890 0,0000000179
Volume V1=1 L (k=1,j=6) j=6
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530841085 0,0000052710
Vazão do NH3: 0,0243751382 0,0000000342
Vazão do H2O: 0,0000226586 -0,0000551777
Vazão do N2: 0,0019207826 -0,0000730536
Vazão do O2: 0,0019018998 -0,0000732316
Vazão do NO2: 1,2159797483E-09 0,0015231729
Vazão total: 0,0813045888 -0,0000000026
Volume V1=1 L (k=1,j=7) j=7
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530840682 -0,0000007592
Vazão do NH3: 0,0243751380 -0,0000000049
Vazão do H2O: 0,0000226588 0,0000079471
Vazão do N2: 0,0019208028 0,0000105216
Vazão do O2: 0,0019019199 0,0000105472
Vazão do NO2: 1,2157128689E-09 -0,0002195250
Vazão total: 0,0813045889 0,0000000004
Volume V1=1 L (k=1,j=8) j=8
Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530840740 0,0000001093