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Capítulo 10 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias

As equações diferenciais ordinárias são do tipo:

Exemplo 10.1 Seja a equação diferencial ordinária para a posição y de um automóvel

, com a condição inicial: ;

10.1 Método de Euler Explícito

A derivada é aproximada por diferenças finitas:

onde yk+1 é o valor da função no tempo atual, yk é o valor da função no tempo anterior, ∆t é a variação do

tempo (tempo atual menos o tempo anterior).

No método de Euler explícito a função derivada é avaliada no tempo anterior: . O

valor atual da função é obtido por:

Os valores obtidos para o exemplo:

Solução com o passo de integração ∆t=0,01 s;

-Cálculo de y1 a partir de y0 e t0:

-Cálculo de y2 a partir de y1 e t1:

k tk yk f(tk,yk) yk+1

0 0,0000000000 2,0000000000 6,6931471806 y1=2,0669314718

1 0,0100000000 2,0669314718 7,0752023076 y2=2,1376834949

2 0,0200000000 2,1376834949 7,4870969829 y3=2,2125544647

3 0,0300000000 2,2125544647 7,9320994384 y4=2,2918754591

4 0,0400000000 2,2918754591 8,4139390393 y5=2,3760148495

5 0,0500000000 2,3760148495 8,9368860657 y6=2,4653837101

6 0,0600000000 2,4653837101 9,5058480071 y7=2,5604421902

7 0,0700000000 2,5604421902 10,1264863738 y8=2,6617070540

Solução de Equações Diferenciais Ordinárias

2

8 0,0800000000 2,6617070540 10,8053591616 y9=2,7697606456

9 0,0900000000 2,7697606456 11,5500955862 y10=2,8852616014

10 0,1000000000 2,8852616014 12,3696116824 3,0089577183

10.2 Método de Euler Implícito

A derivada é aproximada por diferenças finitas:

Onde yk+1 é o valor da função no tempo atual, yk é o valor da função no tempo anterior, ∆t é a variação do

tempo (tempo atual menos o tempo anterior).

No método de Euler implícito a função derivada é avaliada no tempo atual: . O

valor atual da função é obtido por:

Os valores obtidos para o exemplo:

Solução com o passo de integração ∆t=0,01 s;

-Cálculo de y1 a partir de y0 , y1 e t1:

No método implícito pode resultar uma equação não-linear para yk+1, nesse caso y1, que deve ser resolvido

por um método de solução de equação algébrica não-linear como Substituição sucessiva ou Newton-

Raphson. Fazendo-se a solução pelo método da substituição sucessiva:

O valor da primeira estimativa de y1,0 é o valor final da estimativa anterior, na primeira é y0=2,0.

Então:

O valor do erro da primeira iteração interna:

O erro não é menor que 1×10-4

, portanto vamos continuar calculando y1. O y1,2 será calculado a partir do

y1,1:

O valor do erro da segunda iteração interna:



y1,2:


3

O valor do erro da terceira iteração interna:

0,0001011378



y1,3:

O valor do erro da quarta iteração interna:

0,0000056886

O erro é menor que 1×10-4

, portanto y1= 2,0709788749 para t1=0,01 s;

Agora y2 é calculado a partir de y1:

Repete-se o método iterativo interno para determinar y2. Os passos são mostrados na tabela a seguir.

k tk yk

0 0,0000000000 2,0000000000

k+1=1

j tk+1 yk+1,j f(tk+1,yk+1,j) yk+1,j+1

Erro < 10-4

0 0,0100000000 2,0000000000 6,7031471806 2,0670314718 0,0324288588

1 0,0100000000 2,0670314718 7,0757640837 2,0707576408 0,0017994231

2 0,0100000000 2,0707576408 7,0967093983 2,0709670940 0,0001011378

3 0,0100000000 2,0709670940 7,0978874917 2,0709788749 0,0000056886

k tk yk

1 0,0100000000 2,0709788749

j tk+1 yk+1,j f(tk+1,yk+1,j) yk+1,j+1 Erro

0 0,0200000000 2,0709788749 7,1079537572 2,1420584125 0,0331828195

1

2,1420584125 7,5122398967 2,1461012739 0,0018838167

2

2,1461012739 7,5355047867 2,1463339228 0,0001083936

3

2,1463339228 7,5368444654 2,1463473196 0,0000062417

k tk yk

2 0,0200000000 2,1463473196

j tk+1 yk+1,j f(tk+1,yk+1,j) yk+1,j+1 Erro

0 0,0300000000 2,1463473196 7,5469216120 2,2218165357 0,0339673483


4

1

2,2218165357 7,9866103746 2,2262134233 0,0019750522

2

2,2262134233 8,0125417552 2,2264727371 0,0001164684

3

2,2264727371 8,0140721873 2,2264880414 0,0000068737

10.3 Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias Acopladas

O balanço de massa diferencial em um reator PFR perfeito:

onde Fi é a vazão molar do componente “i”, V é a variável volume do reator tubular, αi,j é o coeficiente

estequiométrico do componente “i” na reação “j”, rj,k é a taxa de reação do componente chave “k” na reação

“j”, αi,j é a matriz do coeficiente estequiométrico do componente chave “k” na reação “j” e NR é o número de

reações químicas.

A vazão total é a soma das vazões dos componentes:

A vazão molar do componente “i” pode ser escrita na forma:

onde Ci é a concentração molar de “i” e Q é a vazão volumétrica no reator.

A concentração total ao longo do reator CT e a concentração total na entrada CTe:

onde CT é a concentração ao longo do reator, FT é a vazão molar total na distância V do reator, Q é a vazão

volumétrica ao longo do reator, CTe é a concentração total na entrada do reator, P é a pressão em V, Qe é a

vazão volumétrica na entrada do reator, Pe é a pressão na entrada, Te é a temperatura na entrada, T é a

temperatura no ponto V, Z é o fator de compressibilidade ao longo do reator e Ze é o fator de

compressibilidade na entrada do reator.

As concentrações, ao longo do reator, podem ser relacionadas as vazões molares e as variáveis na

entrada do reator (V=0) pelas relações:

- Para reações na fase gasosa:

- Para reações na fase gasosa a temperatura e pressão constantes:

- Para reações em fase líquida:

onde Qe é a vazão volumétrica na entrada do reator PFR.

As taxas de reações são dadas em função das concentrações dos reagentes na forma:


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onde ki,j é a constante de reação “j” relativa ao componente “i”, Ci é a concentração do reagente “i”, I é a

ordem de reação do reagente “i” na reação “j”, Cm é a concentração do reagente “m”, M é a ordem de reação

do reagente “m” na reação “j”, Cn é a concentração do reagente “n”, N é a ordem de reação do reagente “n”

na reação “j”.

Exemplo 10.2 As seguintes reações em fase gasosa ocorrem simultaneamente:

(R1) A → 2B

(R2) 2B → A , Com:

k1= 0,04; k2= 0,05; As constantes de reação tem as unidades mol, L e min.

Determine as concentrações ao longo de um reator PFR de 10 dm3, As concentrações na entrada do reator

são 5,0 mol dm-3

de A e de 1,0 mol dm-3

B. A vazão de entrada é de 10 dm3 min

-1. Resolva pelo método de

Euler explícito com passo de integração 0,2. E, implícito, com solução do sistema por substituição sucessiva,

com passo de integração igual a 0,4 L, com um erro na iteração interna de 1×10-4

. Faça os passos de iteração

até o volume 0,8 L

Solução:

Reescrevendo as reações químicas com os coeficientes estequiométricos com valores “1” para os

componentes das taxas de reações:

(R1) A → 2B

(R2) B → ½ A

Escrevendo os balanços de massas para os componentes:

- Para o componente A:

- Para o componente B:

As taxas de reações são escritas em função das vazões molares:

Resolvendo o sistema de equações algébricas pelo método de Euler explícito para as vazões dos dois

componentes:

- Para o componente “A”:

Fazendo a discretização:


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- Para o componente “B”:

Fazendo a discretização:

O balanço de massa total do sistema:

As variáveis na entrada do reator (k=0):

A concentração total na entrada:

; A vazão molar do componente “A” na entrada:

; A vazão molar do componente “B” na entrada:

; A vazão molar total na entrada:

;

Aplicando o método de Euler explícito com ∆V=0,2:

As vazões no volume 0,2 L (k=1):

As taxas de reações iniciais:

;

;

As vazões a partir da condição inicial:

;

;

;


As taxas de reações no volume anterior V=0,2:

;

;

As vazões a partir da condição anterior:

;


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;

;



;

;


;

;

;



;

;


;

;

;

Aplicando o método de Euler Implícito com ∆V=0,4:

No método de Euler implícito as derivadas são calculadas no valor atual e resulta um sistema para as

variáveis FA,em cada passo

Para o primeiro passo V=0,4 L e ∆V=0,4 L:

;

0;

Resulta o seguinte sistema para as três variáveis:


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O sistema será resolvido nessa forma pelo método da substituição sucessiva com as seguintes estimativas

iniciais

O cálculo da primeira iteração interna j=1:

9,8311145618

O valor dos erros nas variáveis:

não é menor que 1×10

-4; Temos que fazer

outra iteração interna:

O cálculo da segunda iteração interna j=2:


é menor que 1×10

-4;


-4;

Temos que fazer outra iteração interna:



9


é menor que 1×10

-4;

é menor que 1×10

-4;

é menor que 1×10

-4;

As variáveis convergiram e esses são os valores das vazões no volume V=0,4 L (k=1):

Para o segundo passo V=0,8 L e ∆V=0,4 L:

Resulta o seguinte sistema para as três variáveis:

O sistema será resolvido nessa forma pelo método da substituição sucessiva com as seguintes estimativas

iniciais

O cálculo da primeira iteração interna j=1:



-4;

Temos que fazer outra iteração interna:



10


é menor que 1×10

-4;


-4; Temos que fazer

outra iteração interna:



é menor que 1×10

-4;

é menor que 1×10

-4;

é menor que 1×10

-4;


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Exemplo 10.3 O seguinte conjunto de reações ocorre em um reator PFR de 0,2 m

3 de volume, em fase gasosa.

(R1) 4NH3 + 6NO → 5N2 + 6H2O

(R2) 2NO → N2 +O2

(R3) N2 +2 O2 → 2NO2

As constantes de reação são:

k1= 0,43 dm4,5

mol-1,5

s-1

; k2= 2,7 dm3 mol

-1 s

-1; k3= 1,4 dm

6 mol

-2 s

-1;

A vazão de entrada para o reator é de 2,0 L s-1

, na temperatura de 600 K e na pressão de 2 atm. A

composição da entrada é de 70 % em mol de NO e 30 % em mol de NH3. Determine as concentrações ao

longo do reator. O reator é isotérmico e isobárico.

Solução:

Reescrevendo as reações químicas com os coeficientes estequiométricos com valores “1” para os

componentes das taxas de reações:

(R1)

NH3 + NO →

N2 + H2O

(R2) 2NO → N2 +O2

(R3)

N2 + O2 → NO2

Escrevendo os balanços de massas para os componentes:

- Para a Amônia (NH3):

- Para o Óxido Nitroso (NO):

- Para a Água (H2O):

- Para o gás Nitrogênio (N2):

- Para o gás Oxigênio (O2):

- Para o Óxido Nítrico (NO2):

As taxas de reações são escritas em função das vazões molares:

‘


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Resolvendo o sistema de equações algébricas pelo método de Euler explícito para as vazões dos seis

componentes:

- Para a Amônia:

Onde: é a vazão molar do “NH3” no volume “V+∆V”, ∆V é o incremento de volume, é a

vazão molar total no volume “V”, é a vazão molar do “NH3” no volume “V” e é a vazão molar

do “NO” no volume “V”.






Onde as taxas de reações são calculadas no intervalo anterior de volume (V=k∆V).

Cálculo da concentração na entrada do reator, CTe:

As vazões molares dos componentes na entrada do reator:

- Para a Amônia:


- Para os demais gases:

A vazão total, na entrada, é a soma das vazões dos componentes:

Aplicando o método de Euler para um incremento ∆V= 1 L (1 dm3):

Primeiro passo de integração do método de Euler (Salto de k=0 para k=1):

- Cálculo das taxas de reações para k=0 (entrada do reator, Vk=0, Vk+1=1 L):

- A taxa de reação 1:


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A taxa de reação 2:


Cálculo das vazões para k=1, com ∆V= 1 L:







A vazão total em k=1:

Segundo passo de integração do método de Euler (Salto de k=1 para k=2):

- Cálculo das taxas de reações para k=1 ( Vk=1 L, Vk+1= 2 L, ∆V= 1 L):


14

- A taxa de reação 1:



1,84580893×10

-

09

Cálculo das vazões para k=2 a partir de k=1, com ∆V= 1 L:







A vazão total em k=2:


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Segue-se o cálculo avançando no volume.

Terceiro passo de iteração - Euler explicito:

Vazões em k=3 a

partir de k=2

Vazão do NO: 0,04553823

Vazão do NH3: 0,02434531

Vazão do H2O: 0,00006740

Vazão do N2: 0,00570863

Vazão do O2: 0,00565246

Vazão do NO2: 1,35586345E-08

Vazão total: 0,08131204

Quarto passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=4

Vazão do NO: 0,04272149

Vazão do NH3: 0,02433333

Vazão do H2O: 0,00008538

Vazão do N2: 0,00712298

Vazão do O2: 0,00705181

Vazão do NO2: 4,54640485E-08


Quinto passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=5

Vazão do NO: 0,04024211

Vazão do NH3: 0,02432244

Vazão do H2O: 0,00010170

Vazão do N2: 0,00836808

Vazão do O2: 0,00828327

Vazão do NO2: 1,07418505E-07


Sexto passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=6

Vazão do NO: 0,03804187

Vazão do NH3: 0,02431250

Vazão do H2O: 0,00011662

Vazão do N2: 0,00947312

Vazão do O2: 0,00937583

Vazão do NO2: 2,07833147E-07


Setimo passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=7

Vazão do NO: 0,03607540

Vazão do NH3: 0,02430336


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Vazão do H2O: 0,00013032

Vazão do N2: 0,01046085

Vazão do O2: 0,01035207

Vazão do NO2: 3,53459805E-07


Oitavo passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=8

Vazão do NO: 0,03430674

Vazão do NH3: 0,02429493

Vazão do H2O: 0,00014297

Vazão do N2: 0,01134930

Vazão do O2: 0,01122988

Vazão do NO2: 5,49486105E-07


NONO passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=9

Vazão do NO: 0,03270705

Vazão do NH3: 0,02428711

Vazão do H2O: 0,00015470

Vazão do N2: 0,01215293

Vazão do O2: 0,01202361

Vazão do NO2: 7,99739316E-07


Decimo passo de iteração - Euler explicito: Vazões em k=10

Vazão do NO: 0,03125287

Vazão do NH3: 0,02427984

Vazão do H2O: 0,00016561

Vazão do N2: 0,01288350

Vazão do O2: 0,01274493

Vazão do NO2: 1,10691157E-06


Método de Euler Implícito

Resolvendo o sistema de equações algébricas pelo método de Euler implícito para as vazões dos seis

componentes:

- Para a Amônia:


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Onde: é a vazão molar do “NH3” no volume “V+∆V”, ∆V é o incremento de volume, é a

vazão molar total no volume “V + ∆V”, é a vazão molar do “NH3” no volume “V” e é a

vazão molar do “NO” no volume “V+∆V”.






- A concentração total no volume (k+1):

Resulta o seguinte sistema de equações algébricas simultâneas para as vazões dos componentes no

reator:

(Eq.1)

(Eq.2)

(Eq.3)

(Eq.4)


18

(Eq.5)

(Eq.6)

(Eq.7)

O sistema é resolvido pelo método da substituição sucessiva:

Os passos do método de Euler implícito:

Volume (Valores iniciais) V0= 0 L (k=1,j=0)

Vazão do NO: FNO,k=0,0569105691

Vazão do NH3: FNH3,k=0,0243902439

Vazão do H2O: FH2O,k=0,0000000000

Vazão do N2: FN2,k=0,0000000000

Vazão do O2: FO2,k=0,0000000000

Vazão do NO2: FNO2,k=0,0000000000

Vazão total: FT,k=0,0813008130 Volume (primeira iteração Euler

explícito) V1=1 L (k=1,j=1)

j=1

Vazão do NO: FNO,k+1=0,0525130008 -0,0837424681

Vazão do NH3: FNH3,k+1=0,0243734633 -0,0006884787

Vazão do H2O: FH2O,k+1=0,0000251709 1,0000000000

Vazão do N2: FN2,k+1=0,0022071745 1,0000000000

Vazão do O2: FN2,k+1=0,0021861987 1,0000000000

Vazão do NO2: FNO2,k+1=0,00 #DIV/0!

Vazão total: FT,k+1=0,0813050082 0,0000515977

Volume V1=1 L (k=1,j=2) j=2

Vazão do NO: FNO,k+1=0,0531658804 0,0122800480

Vazão do NH3: FNH3,k+1=0,0243753824 0,0000787300

Vazão do H2O: FH2O,k+1=0,0000222923 -0,1291302977

Vazão do N2: FN2,k+1=0,0018797742 -0,1741699833

Vazão do O2: FN2,k+1=0,0018611964 -0,1746201143

Vazão do NO2:

FNO2,k+1=1,8458089267E-

09 1,0000000000

Vazão total: 0,0813045275 -0,0000059122


Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530722817 -0,0017636077

Vazão do NH3: 0,0243751029 -0,0000114637

Vazão do H2O: 0,0000227114 0,0184551981


19

Vazão do N2: 0,0019267136 0,0243624221

Vazão do O2: 0,0019077868 0,0244212171

Vazão do NO2: 1,1393800323E-09 -0,6200116505

Vazão total: 0,0813045977 0,0000008636


Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530857714 0,0002541107

Vazão do NH3: 0,0243751431 0,0000016481

Vazão do H2O: 0,0000226512 -0,0026602363

Vazão do N2: 0,0019199487 -0,0035235115

Vazão do O2: 0,0019010721 -0,0035321073

Vazão do NO2: 1,2270274160E-09 0,0714306645

Vazão total: 0,0813045876 -0,0000001241


Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530838287 -0,0000365967

Vazão do NH3: 0,0243751373 -0,0000002374

Vazão do H2O: 0,0000226599 0,0003830993

Vazão do N2: 0,0019209229 0,0005071766

Vazão do O2: 0,0019020391 0,0005084120

Vazão do NO2: 1,2141276009E-09 -0,0106247606

Vazão total: 0,0813045890 0,0000000179


Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530841085 0,0000052710

Vazão do NH3: 0,0243751382 0,0000000342

Vazão do H2O: 0,0000226586 -0,0000551777

Vazão do N2: 0,0019207826 -0,0000730536

Vazão do O2: 0,0019018998 -0,0000732316

Vazão do NO2: 1,2159797483E-09 0,0015231729

Vazão total: 0,0813045888 -0,0000000026


Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530840682 -0,0000007592

Vazão do NH3: 0,0243751380 -0,0000000049

Vazão do H2O: 0,0000226588 0,0000079471

Vazão do N2: 0,0019208028 0,0000105216

Vazão do O2: 0,0019019199 0,0000105472

Vazão do NO2: 1,2157128689E-09 -0,0002195250

Vazão total: 0,0813045889 0,0000000004


Vazão do NO: FNO,k+1=0,0530840740 0,0000001093


20

Vazão do NH3: 0,0243751381 0,0000000007

Vazão do H2O: 0,0000226588 -0,0000011446

Vazão do N2: 0,0019207999 -0,0000015154

Vazão do O2: 0,0019019170 -0,0000015191

Vazão do NO2: 1,2157513044E-09 0,0000316145

Vazão total: 0,0813045889 -0,0000000001

capítulo 10 - rodolfo rodriguesrodolfo.chengineer.com/data/uploads/ba312_cap10.pdf · com passo de...

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