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___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia Capítulo 1 MÉTODOS DE ENERGIA 1.1. INTRODUÇÃO Em geral, o estudo da mecânica dos sólidos (corpos rígidos e deformáveis) baseia-se no Método Newtoniano, apoiando-se nas análises vetoriais, sob diversas condições de carregamentos. Em outras palavras, empregam-se os conceitos fundamentais de Tensão e Deformação. De forma alternativa, tal estudo, também pode ser realizado através do Método Lagrangeano, a partir de análises escalares. Estes conceitos, permitem uma solução matemática mais agradável para problemas relativos à deformações e, além disso, extremamente úteis no estudo de peças submetidas a cargas de choque ou impacto. Vale registrar que este trabalho dará ênfase no cálculo de deslocamentos (deflexões) a partir dos Métodos de Energia. Inicialmente, este capítulo abordará os conceitos primários de trabalho externo (força e momento) e de energia interna de deformação, priorizando a fase elasto-linear dos materiais, quando submetidos às tensões normais (esforço normal e momento fletor) e de cisalhamento (esforço cortante e momento torçor). Também serão apresentados outros conceitos relativos à reologia do material, tais como, Tenacidade e Resiliência. Em seguida, será apresentado o Princípio da Conservação da Energia, igualando o trabalho oriundo de ações externas com a energia interna provocada pelos esforços internos. Vale ressaltar que tal princípio é de grande utilidade no cálculo de deslocamento, apenas em casos que se tem a ação de apenas uma força aplicada na estrutura. Por fim, apresentam-se o Teorema de Castigliano e o Princípio do Trabalhos Virtuais para cálculo de deslocamentos lineares e angulares, considerando um número qualquer de cargas externas, bem como de quaisquer naturezas. 1.2. TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Neste item, será apresentada a definição de trabalho (externo) oriundo de uma força e de um momento (binário; conjugado), bem como sua relação com a energia de deformação (trabalho interno) de um corpo.

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___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Capítulo 1 MÉTODOS DE ENERGIA

1.1. INTRODUÇÃO

Em geral, o estudo da mecânica dos sólidos (corpos rígidos e

deformáveis) baseia-se no Método Newtoniano, apoiando-se nas análises

vetoriais, sob diversas condições de carregamentos. Em outras palavras,

empregam-se os conceitos fundamentais de Tensão e Deformação.

De forma alternativa, tal estudo, também pode ser realizado através do

Método Lagrangeano, a partir de análises escalares. Estes conceitos, permitem

uma solução matemática mais agradável para problemas relativos à

deformações e, além disso, extremamente úteis no estudo de peças

submetidas a cargas de choque ou impacto. Vale registrar que este trabalho

dará ênfase no cálculo de deslocamentos (deflexões) a partir dos Métodos de

Energia.

Inicialmente, este capítulo abordará os conceitos primários de trabalho

externo (força e momento) e de energia interna de deformação, priorizando a

fase elasto-linear dos materiais, quando submetidos às tensões normais

(esforço normal e momento fletor) e de cisalhamento (esforço cortante e

momento torçor). Também serão apresentados outros conceitos relativos à

reologia do material, tais como, Tenacidade e Resiliência. Em seguida, será

apresentado o Princípio da Conservação da Energia, igualando o trabalho

oriundo de ações externas com a energia interna provocada pelos esforços

internos. Vale ressaltar que tal princípio é de grande utilidade no cálculo de

deslocamento, apenas em casos que se tem a ação de apenas uma força

aplicada na estrutura. Por fim, apresentam-se o Teorema de Castigliano e o

Princípio do Trabalhos Virtuais para cálculo de deslocamentos lineares e

angulares, considerando um número qualquer de cargas externas, bem como

de quaisquer naturezas.

1.2. TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Neste item, será apresentada a definição de trabalho (externo) oriundo de

uma força e de um momento (binário; conjugado), bem como sua relação com

a energia de deformação (trabalho interno) de um corpo.

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

1.2.1. Trabalho de uma Força

Considerando uma barra com comprimento “L”, submetida a uma força

axial “P”, provoca um alongamento “x”.

Figura 1 - Barra submetido a ação de uma força "P"

Figura 2 - Curva força-deslocamento

Por definição, tem-se que o trabalho elementar “dT” realizado pela ação

de uma força “P” é dado da seguinte maneira:

(1)

Vale ressaltar que o trabalho externo total (trabalho de deformação) “T”

realizado pela força “P” é numericamente igual a área sob a curva força-

deslocamento, apresentada na Figura 2. Esta grandeza, no Sistema

Internacional de Unidades (S.I.), é representada por “N (Newton) x m (metro)”

ou “J (Joule)”.

Particularizando a análise somente à fase elasto-linear do material (ver

Figura 2) e, considerando que o elemento estrutural esteja submetido

gradualmente a uma ação externa “P”, cujo valor varia de “zero” até um

máximo, igual a “P*”, afirmar-se que, a força “P” é proporcional ao alongamento

“x”. Desta forma, escreve-se:

(2)

Portanto, substituindo a eq. (2) na eq. (1), adequando o limite de

integração e, integrando, tem-se:

(3)

P*

x*

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Com base na forma gradual de aplicação da força “P” e, de acordo com

a eq. (3), entende-se que o trabalho (T) realizado é igual ao valor médio da

força “P*” multiplicado pelo alongamento “x*”. Isto pode ser representado

pela hachura sólida (escura), no gráfico da Figura 3.

Considerando um acréscimo de força axial de tração (P´), provoca no

elemento, um acréscimo de alongamento, igual a (x`) e, desta forma, tem-se

um trabalho (T´) realizado igual a (ver hachura sólida (clara) do gráfico da

Figura 3):

(4)

Portanto, vale observar que para esta nova situação, ou seja, com um

acréscimo de alongamento (x´) e uma força (P*) já aplicada, o trabalho (T)

realizado, torna-se:

(5)

Em resumo, o trabalho total realizado pela ação conjunta das forças (P*)

e (P´) é igual a soma das áreas sob o gráfico da Figura 3, ou seja, a soma dos

valores apresentados pelas equações (3), (4) e (5), dado por:

( ) (6)

A partir da equação (6), estabelece o Teorema de Clapeyron: “O

trabalho realizado pelas forças externas, variáveis desde zero, em corpo

de material elástico linear e que sofre pequenos deslocamentos, é igual a

P*

x* x´ x*

P

Figura 3 - Fase elasto-linear

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

metade do trabalho que resultaria se as forças externas agissem de modo

instantâneo”.

1.2.2. Trabalho de um Momento (conjugado)

De forma análoga, o trabalho devido a ação de um momento externo é

dado da seguinte maneira:

(7)

Considerando que o elemento estrutural, na fase elásto-linear, esteja

submetido gradualmente a uma ação externa “M”, cujo valor varia de “zero” até

um máximo, o trabalho realizado será:

(8)

Entretanto, se o momento já estiver aplicado e ocorrer um acréscimo de

momento devido a outros carregamentos, gerando uma rotação adicional “θ*”,

o trabalho realizado será igual a,

(9)

Em resumo, quando as cargas externas são aplicadas gradualmente

(zero a um valor máximo) em um corpo qualquer e, desde que não haja perda

de calor sob forma de energia (fase elástica), diz-se que ocorre conservação de

energia no sistema. Em outras palavras, pode afirmar que o trabalho externo

realizado pelas ações externas converte-se em trabalho interno, agora

denominado por Energia de Deformação. Tal energia, sempre positiva

(força/momento e deslocamento com o mesmo sentido), é armazenada no

corpo pela atuação das tensões normais e de cisalhamento.

1.2.3. Tensão Normal

De acordo com a Figura 4 e, considerando o material na fase elasto-

linear, é possível representar a Energia de Deformação em função das tensões

normais.

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Figura 4 - Sólido infinitesimal submetido a tensão uniaxial

Considerando um tensão axial atuante na direção “z” (faces superior e

inferior), conforme Figura 4, representa-se a força e, consequentemente, o

trabalho externo, da seguinte maneira:

(10)

Sabendo-se que “dFz” é aplicada gradualmente e crescente, tem-se,

(11)

Substituindo a eq. (10) na eq. (11) e integrando, obtem-se:

(12a)

Rearranjando,

(12b)

Portanto, considerando um sistema conservativo de energia, sob a ação

de uma tensão uniaxial, pode-se escrever a Energia de Deformação (interna),

da seguinte maneira:

(13)

Desta expressão, também define-se Densidade de Energia de Deformação

“u”, como sendo:

(14)

Comparando as eqs. (13) e (14), observa-se que, em relação à tensão

normal, tem-se:

(15)

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

A eq. (15), considerando “σz” como a tensão normal última (ruptura),

define-se o Módulo de Tenacidade, representando a Energia de Deformação

(interna) por unidade de volume, como sendo o valor necessário para provocar

a ruptura no material. O gráfico abaixo (Figura 5) representa tal valor, ou seja, é

numericamente igual a área sob a curva, considerando o par coordenado

“tensão e deformação de ruptura”.

Figura 5 - Módulo de Tenacidade

A eq. (15), considerando “σz” como a tensão normal de

proporcionalidade, define-se o Módulo de Resiliência, representando a

Energia de Deformação (interna) por unidade de volume, como sendo aquela

que o material pode absorver sem provocar o escoamento no mesmo. O

gráfico abaixo (Figura 6) representa tal valor, ou seja, é numericamente igual a

área sob a curva, considerando o par coordenado “tensão e deformação no

limite superior da fase elasto-linear”.

Figura 6 - Módulo de Resiliência

1.2.3.1. Força Normal

Um corpo de seção transversal variável “Ax”, submetido a um esforço

externo axial, gera, internamente uma tensão normal “σx”. Tal tensão pode ser

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

expressa através da relação entre o Esforço Normal “N” e a citada área. Desta

forma, a eq. 13 pode ser escrita como:

(16)

Conforme a Figura 5 e considerando seção transversal constante ao

longo do comprimento “L”, tem-se:

(17)

Figura 7 - Corpo submetido a força axial

1.2.3.2. Momento Fletor

Para um corpo de seção transversal prismática “A”, submetido a um

momento fletor “M”, gera internamente, uma tensão normal “σx”. Portanto, a

energia de deformação elástica, a partir da eq. 13, pode ser escrita como:

(

)

(18a)

Readequando a equação anterior,

(

)

(∫

) ∫ ( )

(18b)

Figura 8 - Corpo submetido a momento fletor

1.2.4. Tensão de Cisalhamento

De acordo com a Figura 9 e, considerando o material na fase elasto-

linear, é possível representar a Energia de Deformação em função das tensões

de cisalhamento.

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Figura 9 - Sólido infinitesimal submetido a tensão de cisalhamento

Considerando um estado puro de cisalhamento atuante nas faces do

elemento, representa-se a força correspondente e, consequentemente, o

trabalho externo, da seguinte maneira:

(19)

Sabendo-se que “dFz” é aplicada gradualmente e crescente, tem-se,

(20)

Substituindo a eq. (19) na eq. (20) e integrando, obtêm-se:

(21a)

Rearranjando,

(21b)

Portanto, considerando um sistema conservativo de energia, sob a ação

de uma tensão de cisalhamento, pode-se escrever a Energia de Deformação

(interna), da seguinte maneira:

(22)

1.2.4.1. Esforço Cortante

Um corpo de seção transversal “A”, submetido a uma ação externa

perpendicular ao eixo “x”, gera internamente uma tensão de cisalhamento “”.

Figura 10 - Corpo submetido a tensão de cisalhamento oriundo da flexão

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Considerando um corpo cuja relação entre o comprimento da peça

(trecho de momento fletor de mesmo sinal) e altura não for superior a unidade,

define-se como sendo peça curta. Neste caso, a tensão de cisalhamento

(média) devida ao efeito da flexão, é dada pela relação entre o esforço cortante

“V” e a área da seção transversal, isto é:

(23a)

Desta forma, considerando seção transversal prismática, a energia de

deformação será dada por:

∫ ( )

(23b)

De outra forma, para um corpo cuja relação entre o comprimento da

peça e altura seja superior a unidade, tem-se o efeito preponderante da flexão

e, por isso, tal tensão pode ser expressa através da seguinte expressão:

. Assim sendo, a eq. 22 pode ser escrita como:

(

)

(24a)

Rearranjando a equação acima,

∫ ( )

(∫ (

)

)

( )

(

)

(24b)

Para facilitar a resolução da integral interna da eq. (24b), define-a como

sendo “fator de forma - fc”, para cisalhamento e, este parâmetro tem o objetivo

de adequar a variação da tensão de cisalhamento ao longo da seção

transversal. Em outras palavras, é um fator adimensional que adequa o valor

máximo da tensão de cisalhamento (na flexão) em relação a tensão média de

cisalhamento, considerando a forma da seção transversal. Seja:

(24c)

Resolvendo a equação acima para algumas seções transversais usuais,

têm-se os seguintes valores:

*Seção retangular:

*Seção circular cheia:

*Seção circular vazada com parede delgada:

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Conforme a Figura 10 e considerando seção transversal constante ao

longo do comprimento “L”, tem-se:

∫ ( )

(25)

1.2.4.2. Momento Torçor

Para um corpo de seção transversal variável “Ax”, ligeiramente cônica,

submetido a um momento torçor “T”, gera internamente, uma tensão de

cisalhamento “”.

Figura 11 - Barra não-prismática sob ação de momento torçor

Sabe-se que esta tensão varia linearmente a partir do centro da seção e,

particularmente, a uma distância “”, a tensão de cisalhamento é dada por

Portanto, a energia de deformação elástica, a partir da eq. 22, será:

(

)

(25a)

Readequando a equação anterior,

(

)

(∫

) ∫

(25b)

Conforme a Figura 12 e considerando seção transversal constante ao

longo do comprimento “L”, tem-se:

(26)

Figura 12 - Barra prismática sob ação de momento torçor

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

Para o caso geral de Estado Uniaxial de Tensões, têm-se:

∫ ( )

∫ (

)

(27)

1.2.5. Tensão Multiaxial

Para o Estado Multiaxial de Tensões (Figura 13) e considerando o corpo

na fase elasto-linear, determina-se a Energia de Deformação Interna utilizando

a superposição de efeitos. Isto é feito a partir das equações (12a) e (21a). Veja:

∫ ( )

(28)

Lei de Hooke Generalizada,

{

[ ( )]

[ ( )]

[ ( )]

. (29a)

{

(29b)

Substituindo as eqs. (29a; 29b) na eq. (28), obtêm-se a equação da

Energia de Deformação Elástica (interna) para o Estado Multiaxial de Tensões:

∫ *

(

)

( )

(

)+

(30)

O caso particular de Estado Multiaxial de Tensões Principais (Fig. 13b):

∫ *

(

)

( )+

(31)

Figura 13 - Estado multiaxial de tensões

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

1.3. TEOREMAS GERAIS DE DEFORMAÇÕES

Para retomar os conceitos básicos, afirma-se que o Trabalho Externo

“Text” realizado é igual variação da Energia Interna “Uint” de um corpo.

Considerando que um corpo elástico, inicialmente descarregado, seja

submetido ao efeito de forças externas e, desconsiderando troca de calor no

sistema, pode afirmar que o Trabalho Externo é igual a variação da Energia

Interna (cinética e de deformação). Além disso, se o corpo for gradualmente

solicitado (cargas estáticas) e não sofrer deslocamentos de corpo rígido, a

variação da Energia Cinética pode ser desconsiderada. Sendo assim, o

Trabalho Total Externo realizado pelas forças externas é igual a Energia de

deformação Interna armazenada no corpo. A seguir serão apresentados

alguns teoremas importantes, que de alguma maneira se relacionam com o

cálculo de deformações.

1.3.1. Teorema de Maxwell ou da Reciprocidade de Deslocamentos

O Teorema de Maxwell foi postulado por James Clerk Maxwell em

1864. Para a demonstração, considera-se uma viga submetida a duas forças

externas, conforme mostrado na Figura 14.

Figura 14 - Esquema estático de viga - ação de duas forças externas

Inicialmente, considera-se somente a atuação de uma força externa,

sendo aplicada no ponto “C1”, cujo valor varia gradualmente de “zero” a “P1”.

Figura 15 - Esquema estático de viga - ação de "P1"

A aplicação desta força gera deformação na viga e, consequentemente,

provoca os deslocamentos “x11” e “x21”. Tais deslocamentos são proporcionais

entre si, podendo ser escritos da seguinte maneira:

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

{

(32)

Assim sendo, conforme o Teorema de Clapeyron, tem-se:

(33)

Substituindo a eq. (32) na eq (33),

(34)

Mantendo a aplicação da carga “P1” e, considerando o sistema da Figura

15 em equilíbrio na posição deformada (ver Figura 17 – linha tracejada), aplica-

se a força externa “P2”, gradualmente, no ponto “C2” (ver Figura 16).

Figura 16 - Esquema estático de viga - ação de "P2"

A aplicação da força “P2” deforma novamente a viga (ver Figura 17 –

linha contínua), provocando os deslocamentos “x12” e “x22”.

Figura 17 - Deformada da viga - sob ação das forças "P1"e "P2"

Tais deslocamentos são proporcionais entre si, podendo ser escritos da

seguinte maneira:

{

(35)

Conforme o Teorema de Clapeyron, tem-se:

(36)

Substituindo a eq. (35b) na eq (36),

(37)

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

No ponto “C1”, devido o deslocamento “x12” causado pela aplicação da

força “P2”, gera o seguinte valor de energia de deformação (Teorema de

Clapeyron):

(38)

Substituindo a eq. (35a) na eq (38),

(39)

Portanto, a partir da superposição de efeitos, tem-se a energia de

deformação total no elemento, a partir da soma das expressões apresentadas

nas equações (34), (37) e (39):

(40)

Fazendo o inverso, ou seja, aplicando primeiramente a força “P2” e, em

seguida, a Força “P1”, obtém-se:

(41)

Sabendo-se que a energia de deformação apresentada nas equações

(40) e (41) são iguais, chega-se a seguinte conclusão:

(42)

Desta conclusão, definiu-se o Teorema de Maxwell: “O deslocamento

do ponto “k”, provocado por uma força externa aplicada no ponto “i”, é igual ao

deslocamento do ponto “i”, provocado por uma força externa aplicada no ponto

“k”, desde que as direções das forças e deslocamentos coincidam nos

respectivos pontos”. Do referido teorema, tem-se:

(43)

A figura abaixo ilustra a definição.

Figura 18 - Ilustração da aplicação do Teorema de Maxwell

___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia

1.3.2. Teorema de Castigliano

O Teorema de Castigliano (2º Teorema), a seguir demonstrado, foi

postulado pelo engenheiro civil (especializado em ferrovias) Carlo Alberto

Castigliano, em 1873.

Para a demonstração, considera-se uma viga submetida a duas forças

externas, conforme mostrado anteriormente na Figura 14. A partir da equação

(40) ou (41), realiza-se a derivada parcial da energia de deformação em

relação às cargas “Pi”, ou seja, para o caso apresentado, em relação as cargas

“P1” e “P2”. Veja:

{

(44a)

Substituindo as equações (32) e (35) na (44),

{

(44b)

Desta forma, tem-se o 2º Teorema de Castegliano:

(44c)

A expressão acima, apresentada em termos dos esforços solicitantes:

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

)

(45)

Para o cálculo de deslocamento, empregando o Teorema de

Castegliano, adotam-se dois procedimentos:

a) No cálculo do deslocamento de um ponto do corpo, onde exista uma

carga aplicada, cujo valor seja conhecido, considera-se, inicialmente,

uma carga literal “Pj”. Após o cálculo do deslocamento, substitui-se a

carga literal pelo seu valor numérico;

b) No cálculo do deslocamento de um ponto do corpo, onde não exista

uma carga aplicada, considera-se, inicialmente, uma carga literal “Pj”

aplicada no ponto “j” e na direção do deslocamento a ser

determinado. Após o cálculo do deslocamento, substitui-se a carga

literal pelo valor “zero”.