capítulo 1 - integral duplo

1. INTEGRAL DUPLO

Clculo IntegralO objectivo central deste curso o estudo do Clculo Integral em IRn.Pressupe-se alguma familiaridade com noes bsicas de lgebra Linear e com

o Clculo Diferencial e Integral de funes reais de varivel real. Consideram-seainda adquiridos conhecimentos de Clculo Diferencial em IRn.

No texto integra-se, frequentemente, a abordagem formal com representaesgeomtricas que procuram dar significado intuitivo s questes analticas apresen-tadas. Recorre-se tambm a exemplos para ilustrar conceitos introduzidos ou teo-remas enunciados e so apresentadas ainda aplicaes, nomeadamente na rea daFsica.

1 Integral Duplo

1.1 Introduo

Recordemos a noo de integral para funes reais de varivel real:Seja

f : [a, b] IRuma funo limitada e defina-se uma partio P de [a, b], definida pelos pontos doconjunto {x0, x1, . . . , xn}, tal que a = x0 x1 x2 . . . xn = b.

Sejam aindaMi = sup

x[xi,xi+1]f (x) , i = 0, 1, . . . , n 1,

emi = inf

x[xi,xi+1]f (x) , i = 0, 1, . . . , n 1.

Definimos soma superior de Darboux, S (f, P ) , e soma inferior de Darboux,I (f, P ), da funo f relativamente partio P , respectivamente por

S (f, P ) =n1i=0

Mi (xi+1 xi)

e

I (f, P ) =n1i=0

mi (xi+1 xi) .

Quando a funo f positiva, as somas S (f, P ) e I (f, P ) podem ser interpre-tadas, respectivamente, como a rea do polgono circunscrito e do polgono inscritoao grfico de f e, portanto, como valores aproximados (por excesso e por defeito) darea da poro de plano compreendida entre o grfico da funo, o eixo das abcissas,a recta x = a e a recta x = b.

1

1.1. Introduo

Interpretao geomtrica de I (f, P ) Interpretao geomtrica de S(f,P)

Definimos ainda o integral superior, baf(x)dx, e o integral inferior,

baf(x)dx,

respectivamente por:

infPS(P, f) =

ba

f(x)dx

e

supPI(P, f) =

ba

f(x)dx.

Dizemos que f integrvel Rieman se ba

f(x)dx =

ba

f(x)dx,

representando-se este valor comum por ba

f (x) dx. (1)

Geometricamente, (1) representa a rea da poro de plano compreendida entreo grfico da funo f , o eixo das abcissas, a recta x = a e a recta x = b.

Interpretao geomtrica de baf (x) dx

2

1.2. Medida Jordan

1.2 Medida Jordan

Na seco 1.1 vimos que nas definies de S (f, P ) e I (f, P ) surgiam as quanti-dades xi+1 xi, i = 0, . . . , n 1, que representam, num certo sentido, a medidados elementos da partio, isto , dos intervalos [xi, xi+1].

O conceito de integral de Rieman pode ser generalizado a IRn. Para tal, come-cemos por introduzir um conceito de medida: medida Jordan em D.

Consideremos um conjunto limitado D, com D IR2. Seja R0 uma malhaque cobre D, constituda por quadrados de lado um. Sejam ainda n0 o nmero dequadrados constitudos por pontos interiores de D e n0 o nmero de quadrados queintersectam D.

Notemos que n0 e n0 representam, respectivamente, uma aproximao, por de-feito e por excesso, da rea de D, tendo-se

n0 n0.

A partir de R0 construmos a malha R1, obtida por diviso ao meio dos ladosdos quadrados de R0.

Sejam n1 o nmero de quadrados de R1 constitudos por pontos interiores de De n1 o nmero de quadrados de R1 que intersectam D. Obviamente que

n1 n1.

Alm disso, como cada quadrado de R0 d origem a quatro quadrados de R1,tem-se

4n0 n1e

4n0 n1.

3

1.2. Medida Jordan

Prosseguindo de modo anlogo, constri-se a malha R2 partindo ao meio oslados dos quadrados da malha R1, originando, assim, n2 quadrados constitudos porpontos interiores a D e n2 quadrados que intersectam D. Tem-se

n2 n2, 4n1 n2, 4n1 n2.Procedendo indutivamente, obtm-se as desigualdades

n0 n14 n2

16 . . . nk

22k n

k

22k . . . n

2

16 n

1

4 n0,

em que n0, n14 ,n216, . . . , nk

22k, . . . uma sucesso, crescente e superiormente limitada

onde cada elemento representa uma medida da rea de D, calculada por defeito, en0,

n14,n216, . . . ,

nk

22k, . . . uma sucesso, decrescente e inferiormente limitada, de me-

didas da rea de D, calculadas por excesso.As sucesses anteriores so convergentes. Sejam

(D) = limk

nk

22k

e

(D) = limk

nk22k

.

A construo anterior pode ser feita para qualquer subconjunto limitado de IRn.No caso de n = 3, as redes consideradas sero constitudas por cubos. Assim, sejaV IR3, limitado.

Defina-se uma rede R0 constituda por cubos de lado um e tal que R0 cobre V .Sejam n0 o nmero de cubos constitudos por pontos interiores a V e n0 o nmerode cubos que intersectam V .

Tem-sen0 n0,

sendo n0 uma aproximao, por defeito, do volume de V e n0 uma aproximao, porexcesso, do volume de V .

Construmos, em seguida, a malha R1, construda a partir de R0 por diviso aomeio das arestas de cada cubo. Sejam n1 o nmero de cubos de R1 constitudospor pontos interiores a V e n1 o nmero de cubos que intersectam V . tambmimediato que

n1 n1. (2)Note-se ainda que cada cubo inicial d origem a 23 cubos e que

23n0 n1 (3)e

23n0 n1. (4)

4

1.2. Medida Jordan

Prosseguindo de modo anlogo, dividem-se ao meio os lados dos cubos de R1,constituindo assim a rede R2. Por (2), (3) e (4), tem-se

n0 123n1 1

23n1 n0.

Aps k divises obtm-se

n0 123n1 1

26n1 . . . 1

23knk 1

23knk . . .

1

26n2

1

23n1 n0.

Seja

(V ) = limk

1

23knk

e/ (V ) = lim

k1

23knk.

Para n > 3 consideram-se redes de hipercubos H definidos por

H = {(x1, x2, . . . , xn) : ai xi bi, com ai bi constante e i = 1, . . . , n} .Podemos agora introduzir o conceito de medida em D.

Definio 1.2.1 Seja D IRn um conjunto limitado. Diz-se que D mensurvel Jordan se (D) = (D). Neste caso designa-se tal valor por medida de D erepresenta-se por mes (D).

Definio 1.2.2 O conjunto D IRn tem medida nula se para todo > 0 existiruma famlia U1, U2, . . . , Un, . . . de hipercubos n-dimensionais tais que

D i=1

Ui ei=1

mes (Ui) .

A (Ui)iIN chama-se cobertura de D.

Exemplo 1.2.1 O conjunto A ={(x, y) IR2 : y = 0} tem medida nula. Com

efeito, seja > 0 e consideremos

Ui = [i, i] [i, i] , com i = 4i2i

, i IN.

Tem-se i=1

mes (Ui) = i=1

1

2i= .

Por outro lado, A i=1 Ui porque sendo (x, y) A ento (x, y) = (x, 0) . Almdisso, i IN : i > x. Logo, (x, 0) [i, i] [i, i].

5

1.2. Medida Jordan

Utilizando a definio 1.2.2., fcil estabelecer a seguinte proposio:

Proposio 1.2.1 1. Todo o subconjunto de um conjunto de medida nula, temmedida nula.

2. Um conjunto com um nmero finito de pontos, tem medida nula.

3. Um conjunto com uma infinidade numervel de pontos, tem medida nula.

4. A reunio numervel de conjuntos de medida nula, tem medida nula.

5. Seja

Gf = {(x1, x2, . . . , xn, xn+1) : xn+1 = f (xn) , (x1, x2, . . . , xn) D} ,

em que f contnua e D mensurvel. Ento mes (Gf) = 0.

Generalizamos agora o conceito de partio.

Definio 1.2.3 Sendo D mensurvel Jordan, diz-se que o conjunto

P = {e1, e2, . . . , ek} ,

com ei D, i = 1, . . . , k uma partio de D se

1. ei mensurvel;

2. mes(ei ej) = 0, i = j, ou seja, ei e ej so -disjuntos dois a dois;3. D = ki=1ei.

As definies que se seguem sero necessrias na seco seguinte.

Definio 1.2.4 Sendo P = {e1, e2, . . . , ek} uma partio deD, chama-se dimetroda partio a maxi=1,...,k di, com di = supx,yei x y .

Definio 1.2.5 Sejam P = {e1, e2, . . . , ek} e P ={e1, e

2, . . . , e

p

}duas parties

de D. Diz-se que P um refinamento de P se qualquer elemento de P se escrevercomo unio de elementos de P , isto ,

ei =jI

ej , i = 1, 2, . . . , k,

em que I {1, 2, . . . , p} .

6

1.3. O conceito de Integral Duplo

Definio 1.2.6 Sendo D IRn um conjunto limitado e f : D IR uma funolimitada, a oscilao de f no conjunto D definida por

(f,D)= sup {|f (x) f (y)| : x, y D} .

1.3 O conceito de Integral Duplo

Sejam D IR2 um conjunto compacto e mensurvel, f : D IR, limitada, eP = {e1, e2, . . . , en} uma partio de D.

Introduzimos a soma superior de Darboux, S(f, P ),

S(f, P ) =ni=1

Mimes(ei),

em que Mi = sup(x,y)ei f(x, y), e a soma inferior de Darboux, I(f, P ),

I(f, P ) =ni=1

mimes(ei),

em quemi = inf(x,y)ei f(x, y). Observe-se que o conjunto {S(f, P ), P partio de D} um conjunto de nmeros reais inferiormente limitado e que {I(f, P ), P partio de D} um conjunto de nmeros reais superiormente limitado.

Definam-se o integral inferior de Rieman,D

f(x, y)dxdy = supPI(f, P )

e o integral superior de Rieman,D

f(x, y)dxdy = infPS(f, P ).

7


Definio 1.3.1 Diz-se que f integrvel ( Rieman) em D seD

f(x, y)dxdy =

D

f(x, y)dxdy.

Este valor comum designa-se por integral duplo de f em D e representa-se porD

f(x, y)dxdy.

Exemplo 1.3.1 1. Toda a funo constante, definida num conjunto compactomensurvel D IR2, integrvel em D. Com efeito, sendo f (x, y) = k,tem-se

D

f(x, y)dxdy = supPI(f, P ) = sup

P

ni=1

mi.mes(ei) = supP

ni=1

k.mes(ei) =

= k.mes(D).

Analogamente,D

f(x, y)dxdy = infPS(f, P ) = inf

P

ni=1

Mi.mes(ei) = infP

ni=1

k.mes(ei) =

= k.mes(D).

2. A funo f : D IR, com D = [0, 1] [0, 1], definida por

f (x, y) =

{0 se x racional ou y racional1 se x e y so ambos irracionais

,

no integrvel em D, uma vez que os respectivos integrais superior e inferiorso diferentes. Com efeito, sendo P = {e1, e2, . . . , en} uma partio qualquerde D, tem-se

D

f(x, y)dxdy = supPI(f, P ) = sup

P

ni=1

mi.mes(ei) = supP

ni=1

0.mes(ei) = 0

eD

f(x, y)dxdy = infPS(f, P ) = inf

P

ni=1

Mi.mes(ei) = infP

ni=1

1.mes(ei) = 1.

So vlidas as seguintes propriedades:

8


Proposio 1.3.1 Sejam f : D IR2 IR, limitada, D compacto mensurvel,P partio de D e P um refinamento de P . Ento

I(f, P ) I(f, P ) e S(f, P ) S(f, P ).Proposio 1.3.2 Sejam f : D IR2 IR, limitada, D compacto mensurvel.Ento

D

f(x, y)dxdy

D

f(x, y)dxdy.

Proposio 1.3.3 Sejam f : D IR2 IR, limitada, D compacto mensurvel.Ento as seguintes afirmaes so equivalentes:

1. f integrvel;

2. > 0 P , partio de D : S(f, P ) I(f, P ) < ;3. > 0 P , partio de D :ni=1 (f, ei) .mes(ei) < ;Prova Estabeleamos a equivalncia de 1. e 2..Admitamos que f integrvel. Ento

D

f(x, y)dxdy =

D

f(x, y)dxdy =

D

f(x, y)dxdy,

donde D

f(x, y)dxdy = infPS(f, P ) (5)

e D

f(x, y)dxdy = supPI(f, P ). (6)

De (5) temos que

> 0 P1 : S(f, P1)

D

f(x, y)dxdy 0 P2 :

D

f(x, y)dxdy I(f, P2) < 2, (8)

em que P1 e P2 representam parties.Seja P um refinamento comum a P1 e a P2, obtido, por exemplo, por interseco

dos elementos de P1 e P2. De (7) e (8) tem-se,

S(f, P ) S(f, P1) 0 P : S(f, P ) I(f, P ) < .Admitamos agora que

> 0 P : S(f, P ) I(f, P ) < . (9)e provemos que f integrvel.

Temos D

f(x, y)dxdy = infPS(f, P ) (10)

e D

f(x, y)dxdy = supPI(f, P ). (11)

De (10) e (11) resulta que

I(f, P )

D

f(x, y)dxdy

D

f(x, y)dxdy S(f, P ) (12)

De (9) e (12) conclumos que

> 0

D

f(x, y)dxdy

D

f(x, y)dxdy < ,

e, portanto, f integrvel.A equivalncia de 2. e 3. imediata atendendo a que, sendo

(f,D)= sup f (D) inf f (D) ,se tem,

ni=1

(f, ei) .mes(ei) = S(f, P ) I(f, P ).

No caso da funo f ser contnua pode obter-se

Df(x, y)dxdy evitando o cl-

culo das somas superiores e inferiores de Darboux, tal como descrito na proposioseguinte.

Proposio 1.3.4 Sejam f : D IR2 IR, contnua , D compacto mensurvele P = {e1, e2, . . . , en} uma partio de D. Ento f integrvel e

D

f(x, y)dxdy = lim0

ni=1

f(xi, yi)mes(ei), (13)

em que (xi, yi) ei e representa o dimetro da partio.

10


Prova A funo f , sendo contnua num compacto, uniformemente contnua.Ento, para todo > 0, existe > 0, tal que

(x1, y1) , (x2, y2) D, (x1, y1) (x2, y2) < = |f (x1, y1) f (x2, y2)| < mes (D)

.

Assim se P uma partio de D com dimetro menor do que , ento

(f, ei) 0

representada, em coordenadas polares, por

r = k.

A coroa circular

Cxy ={(x, y) : k21 x2 + y2 k22, k1, k2 > 0

} definida, em coordenadas polares, por

Cr = {(r, ) : k1 r k2, 0 2} .O conjunto Cr designa-se por rectngulo polar.O sector circular

Sxy ={(x, y) : x2 + y2 k2, m1x y m2x, k,m1,m2 > 0

} definido, em coordenadas polares, por

Sr = {(r, ) : 0 < r k, } ,com = arctan (m1) e = arctan (m2).

O clculo do integral duplo muitas vezes facilitado se o domnio for descrito emcoordenadas polares. Pe-se, ento, a questo de saber como efectuar uma mudanade varivel de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, no integral duplo.

Assim, consideremos a regio Rxy representada na figura seguinte e definida, emcoordenadas polares, pelo rectngulo polar

Rr = {(r, ) : a r b e } .

25

1.4. Mudana de varivel para coordenadas polares

Utilizando a proposio 1.3.4 tem-seRxy

f (x, y) dxdy = lim0

mi=1

nj=1

f(xi , y

j

)mes (Rij) , (23)

em que representa o dimetro da partio, Rij o rectngulo polar definido por

Rij = {(r, ) : ri1 r ri e j1 j}

e(xi , y

j

)um ponto interior de Rij.

Calculemos a medida de Rij. Para tal, observe-se que a rea de um sector circularde raio r e ngulo ao centro dada por 1

2r2. Logo, tem-se

m (Rij) =1

2r2i (j j1)

1

2r2i1 (j j1) =

=1

2

(r2i r2i1

)(j j1) ,

e, portanto,m (Rij) = ri (ri ri1) (j j1) , (24)

em que

ri =1

2(ri + ri1) .

Substituindo (24) em (23), e atendendo a que existem ri , j tais que

xi = ri cos

j e y

j = r

i sin

j ,

26


tem-seRxy

f (x, y) dxdy = lim0

mi=1

nj=1

[f(ri cos

j , r

i sin

j

)ri (ri ri1) (j j1)

].

(25)A soma do membro direito de (25) pode ser interpretada como uma soma de

Riemann de uma funo g (r, ), sendo

g (r, ) = f (r cos , r sin ) r,

definida num rectngulo Rr = [a, b] [, ] e, portanto,Rxy

f (x, y) dxdy =

Rr

f (r cos , r sin ) r drd.

Usando um resultado anlogo ao Teorema de Fubbini no clculo do integral duploem Rr, conclui-se que

Rxy

f (x, y) dxdy =

ba


Seja agora

Rr = {(r, ) : e h1 () r h2 ()} ,em que h1 e h2 representam funes contnuas em [, ] . Usando um procedimentoanlogo ao apresentado na proposio 1.3.11, tem-se

Rr

f (r cos , r sin ) r drd =

h2()h1()


27


No caso de

Rr = {(r, ) : a r b e g1 (r) g2 (r)} ,com g1 e g2 contnuas em [a, b] , e usando de novo o procedimento da proposio1.3.11, vem

Rr

f (r cos , r sin ) r drd ==

ba

g2(r)g1(r)

f (r cos , r sin ) r ddr.

Exemplo 1.4.1 1. Calculemos o integralD

ln (1 + x2 + y2)x2 + y2

dxdy

em que D = {(x, y) : 1 x2 + y2 4, 0 x y 2x}

2.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

28


Efectuando uma mudana de varivel para coordenadas polares, tem-se

D1 ={(r, ) : 1 r 2 e

4 arctan 2

},

dondeD

ln (1 + x2 + y2)x2 + y2

dxdy =

arctan24

21

ln(1 + r2

)drd =

=

arctan24

[r ln

(r2 + 1

)+ 2 (arctan r r)]2

1d =

=

arctan24

ln25

2 2 arctan 1

2+ 4

2d =

=

(ln

25

2 2 arctan 1

2+ 4

2

)(arctan 2

4

).

3. Seja agora D

y

x+x2 + y2

dxdy

onde

D ={(x, y) : (x 1)2 + y2 1, (x 2)2 + y2 4, |y| x} .

1 2 3 4

-2

-1

1

2

Atendendo a que a regio D descrita em coordenadas polares por

D1 ={(r, ) :

4

4, 2 cos r 4 cos

},

29


tem-se D

y

x+x2 + y2

dxdy =

4

4

4 cos 2 cos

sin

cos + 1rdrd =

= 6

4

4

sin

cos + 1cos2 d = 0.

4. Calculemos D

xdxdy

em que D a regio do 1oquadrante limitada pelas curvas de equaes

y = x, x2 y2 = 1, x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

Atendendo a que a inequao

x2 y2 1traduz-se em coordenadas polares por

12

arccos1

r2

tem-seD

xdxdy =

21

4

12arccos 1

r2

r2 cos ddr =

=

21

(2

2 cos

(arcsin 1

r2

2+

4

))r2dr =

1

6

2

(14 6

3).

30

1.5. Aplicaes do integral duplo

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 4:

1.5 Aplicaes do integral duplo

Clculo de reas de Superfcies PlanasSeja D um conjunto compacto e mensurvel. Considerando P = {e1, e2, . . . , en}

uma partio de D e o respectivo dimetro, tem-seD

1dxdy = lim0

ni=1

1.mes(ei) = lim0

mes(D) = mes(D).

Logo,

mes (D) =

D

dxdy.

Exemplo 1.5.1 Seja D = {(x, y) : y2 x3, y x}.

Ento,

mes (D) =

D

dxdy =

10

xx32

dydx =

10

x x 32dx =

=1

2

[x2]10 2

5

[x52

]10=

1

10.

Clculo de VolumesSejam f : D IR2 IR uma funo contnua, no negativa, em que D

representa um compacto mensurvel. Sendo

C = {(x, y, z) : (x, y) D 0 z f(x, y)}

31


ento, da interpretao geomtrica do integral duplo, tem-se

mes (C) =

D

f(x, y)dxdy.

Sejam 1, 2 : D IR2 IR funes contnuas e no negativas em D edefina-se

C = {(x, y, z) : (x, y) D 1(x, y) z 2(x, y)} .Sendo

C1 = {(x, y, z) : (x, y) D 0 z 1(x, y)}e

C2 = {(x, y, z) : (x, y) D 0 z 2(x, y)} , imediato que

mes (C) = mes (C2)mes (C1) .Logo,

mes (C) =

D

(2(x, y) 1(x, y)) dxdy.

A igualdade anterior generalizvel ao caso de 1 e 2 serem quaisquer funes,contnuas em D.

Exemplo 1.5.2 Vamos deduzir a frmula do volume de uma esfera de centro (0, 0, 0)e raio k.Considerando que a superfcie esfrica, de equao

x2 + y2 + z2 = k2, k > 0

32


pode ser definida pelas funes

1(x, y) = k2 x2 y2

e2(x, y) =

k2 x2 y2,

tem-se que o volume do conjunto

V ={(x, y, z) : x2 + y2 k2

k2 x2 y2 z

k2 x2 y2

},

dado por

mes (V ) =

D

k2 x2 y2

(k2 x2 y2

)dxdy =

=

D

2k2 x2 y2 dxdy =

=

20

k0

2k2 r2 r drd = 4

3k3.

Clculo da massa, centro de massa e momento de inrcia

O integral duplo pode ser utilizado nos clculos da massa, centro de massa emomento de inrcia de uma lmina fina.

Consideremos ento uma lmina de espessura desprezvel, ocupando uma regioD do plano xOy, e cuja densidade (massa por unidade de superfcie), no ponto(x, y) D, representada por (x, y), sendo uma funo contnua em D.

Efectuando uma partio de D atravs de conjuntos ei, i = 1, . . . , n, a massa mida poro de lmina correspondente a ei dada aproximadamente por

mi (xi , yi )mes (ei) ,

em que (xi , yi ) ei, vindo, portanto,

m ni=1

(xi , yi )mes (ei) ,

em que m a massa total da lmina.Considerando que o dimetro da partio tende para zero, define-se a massa

m da lmina por

m = lim0

ni=1

(xi , yi )mes (ei) =

D

(x, y) dxdy.

33


Vamos agora determinar o momento de inrcia, considerando que momento deuma partcula relativamente a um eixo o produto da sua massa pela distn-cia da partcula ao eixo. Assim, os momentos M ix e M

iy da poro de lmina

correspondente a ei, relativamente aos eixos Ox e Oy, tm valores aproximadosdados respectivamente por

M ix [ (xi , yi )mes (ei)] yie

M iy [ (xi , yi )mes (ei)] xi .Logo, os momentos de inrcia de uma lmina fina, ocupando uma regio D do

plano xOy, e de densidade (x, y), em relao aos eixos Ox e Oy so definidos,respectivamente, por

Mx =

D

y (x, y) dxdy e My =

D

x (x, y) dxdy.

O ponto de coordenadas (x, y), definidas por

x =My

me y =

Mx

m,

designa-se por centro de massa da lmina.

Exemplo 1.5.3 Calcular a massa e o centro de massa de uma lmina triangularde vrtices (0, 0) , (1, 0) e (0, 2) e de densidade de massa (x, y) = 1 + 3x+ y.Tem-se, para massa da lmina,

m =

D

1 + 3x+ y dxdy =

10

22x0

1 + 3x+ y dydx =8

3,

e para coordenadas do centro de massa,

x =1

m

D

x (1 + 3x+ y) dxdy =3

8e y =

1

m

D

y (1 + 3x+ y) dxdy =11

16.

Clculo de reas de superfcies no planas possvel calcular a rea de uma superfcie no plana atravs de um integral

duplo. Para isso comecemos por construir um conceito de medida de uma superfcie.Assim, consideremos a superfcie S definida por

S ={(x, y, z) IR3 : (x, y) D, z = (x, y)} ,

34


Figure 5:

35


com D IR2, D compacto, mensurvel e simplesmente conexo, e de classe C1.Sejam P = {e1, e2, . . . , en} uma partio de D e

Si ={(x, y, z) IR3 : (x, y) ei, z = (x, y)

}.

Tomemos (xi, yi) ei e designemos por i o plano tangente a Si no ponto(xi, yi, (xi, yi)). Consideremos ainda

S i = {(x, y, z) i : (x, y) ei} .

O conjunto Si representa, portanto, uma superfcie plana, tendo sido a sua me-dida ( Jordan) j definida anteriormente. A medida de S, superfcie no plana,calcula-se a partir das medidas das superfcies S i, como descrito na definio seguinte.

Definio 1.5.1 Designa-se por medida de S o limite,

mes(S) = lim0

ni=1

mes (Si) (26)

em que representa o dimetro da partio P .

Note-se que nesta definio est de certo modo implcita uma ideia de planificaode S, pois S i representa a projeco de Si sobre o plano i.

Vamos agora deduzir uma frmula de clculo para (26).Comecemos por notar que se Si fosse um segmento de recta ento

mes (ei) = mes (Si) |cos ()| (27)

em que o ngulo formado por ei e S i.

36


Uma vez que tambm o ngulo formado pela normal n ao plano i, no ponto(xi, yi, (xi, yi)), com o vector e3, ento, sendo e3 = (0, 0, 1) e

n =

(x

(xi, yi, (xi, yi)) ,y

(xi, yi, (xi, yi)) ,1)

tem-se|(n | e3)| = 1. (28)

Por outro lado,

|(n | e3)| =(

x

)2+

(

y

)2+ 1 |cos ()| . (29)

De (28) e (29) conclui-se que

|cos ()| = 1(x

)2+(y

)2+ 1

. (30)

De (27) e (30) tem-se

mes(S i)= mes (ei)

(

x

)2+

(

y

)2+ 1. (31)

Consideremos agora que S i um rectngulo em que um dos lados paralelo axOy. fcil concluir que

mes (ei) = mes (Si) |cos (n | e3)| , (32)

sendo, portanto, vlida, neste caso, a igualdade (31).Observe-se que as medidas que surgem em (32) so as medidas Jordan que,

neste caso, representam as reas dos rectngulos Si e ei.Consideremos, por fim, S i um conjunto no rectangular, compacto e mensu-

rvel, contido em i. Tomemos uma cobertura de S i constituda por uma malha derectngulos Rik em que um dos lados paralelo a xOy.

37


De (32) tem-se que

mes (Rik) = mes (Rik) |cos (n | e3)| ,

em que Rik representa a projeco em xOy de Rik, concluindo-se, portanto, quemes (Si) satisfaz (27).

Retomemos agora a definio 1.4.1. Provmos ento que

mes (S) = lim0

ni=1

mes (ei)(

x

)2+

(

y

)2+ 1

(xi,yi,(xi,yi))

.Logo, pela proposio 1.3.4, tem-se

mes (S) =

D

(

x

)2+

(

y

)2+ 1dxdy.

Exemplo 1.5.4 1. Calculemos a rea do tringulo definido pelo conjunto

S = {(x, y, z) : x+ y + z = 1, x 0, y 0, z 0} .

Tem-se

mes (S) =

D

3dxdy,

comD = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x+ 1} .

Ento

mes (S) =

10

x+10

3dydx =

3

2.

38


2. Determinar a rea da parte da superfcie z = x2+2y que est acima da regiotriangular T do plano xOy, definida por

T = {(x, y) : 0 x 1, 0 y x} .

SendoS =

{(x, y, z) : z = x2 + 2y, (x, y) T} ,

tem-se

mes (S) =

T

(2x)2 + 22 + 1dxdy =

10

x0

4x2 + 5dydx =

1

12

(27 5

5).

Seja S definido por

S ={(x, y, z) IR3 : (x, z) D, y = (x, z)} .

39


Figure 6:

Prova-se, de modo anlogo ao anterior, que

mes (S) =

D

(

x

)2+

(

z

)2+ 1 dxdz.

Considere-se agora

S ={(x, y, z) IR3 : (y, z) D, x = (y, z)} .

Tem-se que

mes (S) =

D

(

y

)2+

(

z

)2+ 1 dydz.

40

1.6. Exerccios

1.6 Exerccios

Superfcies Qudricas1. Identifique e faa um esboo grfico de cada uma das seguintes superfcies

qudricas:

(a) x2 + 2y2 + z2 = 1

(b) x2 + z2 = 9

(c) x2 + y2 + z2 = 2z(d) x2 + y2 = 4 z(e) (z 4)2 = x2 + y2

(f) y = x2

(g){

z = 2 y2x 2

(h) x2 + 2y2 z2 = 1(i) x2 y2 z2 = 9

2. Represente geometricamente o slido S definido pelas condies:

(a) x2 + y2 z 2 x2 y2

(b) x2 + y2 4 e x2 + y2 (z 6)2

(c) x2 + y2 1 e 0 z x+ y(d) 0 z 2 e x2 + y2 z2 1

3. Faa o esboo grfico dos seguintes subconjuntos de IR3:

(a) V ={(x, y, z) IR3 : x 0, y 0, z 0, 6x+ 3y + 2z 12}

(b) V ={(x, y, z) IR3 : x2 + y2 = 6y e x2 + y2 + z2 36}

(c) V ={(x, y, z) IR3 : 4 + z x2 + y2 e 2 z

x2 + y2

}

41

1.6. Exerccios

4. Mostre que a curva obtida pela interseco das superfcies

x2 + 2y2 z2 + 3x = 1 e 2x2 + 4y2 2z2 5y = 0pertence a um plano.

5. Mostre que a projeco da curva de interseco das superfcies

z = x2 + y2 e z = 1 y2,no plano xOy, uma elipse.

Coordenadas Cilndricas e Esfricas1. Converta de coordenadas rectangulares para coordenadas cilndricas:

a) (1,1, 4) b) (3, 3,2) c) (1,3, 2) d) (3, 4, 5)2. Represente, no sistema Oxyz, os seguintes pontos, dados em coordenadas ciln-

dricas, e determine as respectivas coordenadas rectangulares:

a)(3,

2, 1)

b)(

2, 4,

2)

c) (3, 0,6) d) (1, , e) e) (4,3, 5)

f)(5,

6, 6)

3. Dados os seguintes pontos, em coordenadas rectangulares, determine as re-spectivas coordenadas esfricas:

a) (3, 0, 0) b) (4,4, 46) c) (1,3,2) d) (0, 33, 3) e) (53, 5, 0)4. Represente, no sistema Oxyz, os seguintes pontos, dados em coordenadas es-

fricas, e determine as respectivas coordenadas rectangulares:

a)(4,

3, 4

)b)(1,

6, 6

)c)(7, 0,

2

)d) (1, , 0) e)

(5, ,

2

)f)(

2, 32, 2

)5. Identifique as superfcies definidas pelas seguintes equaes :

a) = 3 b) r = 3 c) = 3

d) z =33r e) =

4f) z = r2

g) = 4 cos, [0, 2

]h) cos = 2 i) r = 2 cos j) r2 = r

k) r2 + z2 = 25 l) r2 2z2 = 4 m) 2 (sin2 cos2 + cos2 ) = 46. Identifique as superfcies definidas pelas seguintes condies e represente-as em

coordenadas esfricas ou cilndricas:

a) x2 + y2 + z2 = 16 x 0 y 0 z 0 b) x2 + y2 = z2 z 0c) y =

33x x < 0 d) z = 3 e) x2 + y2 = 2y

42

1.6. Exerccios

7. Identifique as regies do espao, definidas pelas seguintes condies e represente-as em coordenadas esfricas:

(a) x2 + y2 + z2 25 x2 + y2 + z2 9

(b) x2 + y2 + z2 25 y x y 3x

(c) x2 + y2 + z2 25 z x2 + y2

(d) x2 + y2 + z2 25 z2 x2 + y2

(e) z x2 + y2 z 2 x 0 y 0

8. Identifique as regies do espao, definidas pelas seguintes condies e represente-as em coordenadas cilndricas:

(a) z x2 + y2 z 2 (x2 + y2)

(b) z x2 + y2 z 2 x 0 y 0

43

1.6. Exerccios

Integral DuploClculo do integral duplo em coordenadas cartesianas

1. Calcule

D

f(x, y) dA, sendo:

(a) f(x, y) = x2 + y2 e D = [0, 1] x [0, 1]; R: 23

(b) f(x, y) ={

1 x y se x+ y 10 se x+ y > 1

e D = [0, 1] [0, 1]; R: 16

(c) f(x, y) = x y 1 e D a regio de IR2 definida por y x2 e x y2;R: 1

4

(d) f(x, y) = sin x e D a regio de IR2 definida por

y sinx, y 2x e x 0;R:

284

(e) f(x, y) = |x+ y| e D = {(x, y) IR2 : |x| 1 , |y| 1}; R: 83

(f) f(x, y) =1

2a x eD = {(x, y) R2 : (x a)2 + (y a)2 a2 , 0 x a , 0 y a};R:(8

3+ 2

2)a32

2. Inverta a ordem de integrao e calcule, nos casos em que dada a funointegranda, os seguintes integrais:

(a) 10

22x

ey2dydx; R: e

414

(b) 90

3y

sin(x3) dx dy; R: 1cos 273

(c) e1

lnx0

y dy dx; R: e22

(d) 10

1x

1

ysin y cos(

x

y) dy dx; R: sin 1 (1 cos 1)

(e) 22

4x22

4x22

f(x, y) dy dx;

44

1.6. Exerccios

(f) r0

dx

2rxx2x

f(x, y) dy;

(g) 10

x20

f(x, y) dy dx+

31

3x2

0

f(x, y) dy dx;

(h) 11

y2+12y2

f (x, y) dxdy;

(i) 10

2xxx2

f (x, y) dydx;

Mudana de varivel no integral duplo

3. Calcule os seguintes integrais, passando para coordenadas polares:

(a)

D

x dxdy onde

D = {(x, y) IR2 : y x, x 0, x2 + y2 9 e x2 + y2 4};

R:19(

22)6

(b) 22

4x20

(x2 + y2)32 dy dx; R: 32

5

(c) 10

1x20

e

x2 + y2 dy dx; R:

2

(d)

D

dxdy onde

D = {(x, y) IR2 : x2 + y2 2x 0, x2 + y2 4 e y

3x};

R: 76

34

4. Calcule os seguintes integrais, efectuando a mudana de varivel indicada:

(a)

D

dxdy, fazendo{

x = u+ vy = u v , com

D = {(x, y) IR2 : y 0, x 0 e x+ y 1}; R: 12

45

1.6. Exerccios

(b)

D

(x+ y) dxdy, fazendo u = x+ y e v = 2x y, sendoD = {(x, y) IR2 : y 0, x 0 e x+ y 1}; R: 1

3

5. Usando uma mudana de varivel adequada, calcule:

(a)

D

eyxy+x dxdy, onde D o tringulo limitado pelas rectas x = 0, y = 0

e x+ y = 2;R: e 1

e

(b)

D

(x y)2 sin2(x+ y) dxdy, onde D o polgono de vrtices nos pon-tos de coordenadas (, 0), (2, ), (, 2), (0, ). R:

4

3

6. Usando a transformao {x+ y = uy = uv

,

mostre que 10

1x0

ey

x+y dy dx =1

2(e 1) .

7. Usando mudanas de coordenadas convenientes, calcule

D

xy dxdy, onde

D = {(x, y) IR2 : (x2+y2 4x 0y 0)(4x2+y2 4x 0y 0)} .

R: 32

8. Calcule E

(x y) ex+ydxdy,

onde

E ={(x, y) IR2 : (x+ y)2 + (x y)2 3, x+ y 0, x y 0} .

R: e3

2

(13)+ 1

4

46

1.6. Exerccios

Aplicaes do integral duplo

9. Determine, usando integrais duplos, as reas dos domnios planos definidospor:

(a) D = {(x, y) IR2 : y 6x x2 e y x2 2x}; R: 643

(b) D = {(x, y) R2 : x2 + y2 16, (x+ 2)2 + y2 4 e y 0}; R: 6

(c) D = {(x, y) R2 : x2 + y2 2x, y 3x e y x}; R: 33+612

(d) D = {(x, y) R2 : 2x2 + y2 1, y x e y 0}; R:2 arctan

(22

)4

(e) D = {(x, y) R2 : x2

4+ y2 1, x

2

4+y2

9 1, y x, x 0 e y 0};

R: 3 arctan 23

2+ arctan 1

2

(f) D = {(x, y) R2 : y2 4x e y 2x 4}; R: 9

10. Usando integrais duplos, calcule a rea da regio plana D definida por

D = {(x, y) IR2 : x2 + y2 1, (x 1)2 + y2 1 e y 0} .

R: 3

34

11. Considere a regio D definida por

D ={(x, y) : x2 + y2 4 x2 + y2 4x x2 + y2 4y} .

(a) Represente-a graficamente.

(b) Diga quais dos seguintes integrais iterados representa a medida da reade D.

i. 01

4(x+2)20

dydx+

13

4x22+4x2

dydx

ii. 01

4(x+2)224x2

dydx+

13

4x224x2

dydx

47

1.6. Exerccios

iii. 20

arcsin( r4)arccos(r4)

r ddr

iv. 10

2+4y24(y2)2

dxdy +

31

2+4y24y2

dxdy

v. 20

arccos( r4)arcsin( r4)

r ddr

vi. 5

6

2

20

r drd +

56

4 sin 0

r drd

vii. 2

3

2

4 cos 0

r drd +

56

23

20

r drd +

56

4 sin 0

r drd

(c) Calcule a medida da rea de D. R: 1.77189

12. Calcule as reas das seguintes superfcies :

(a) Poro do plano de equao 6x+3y+2z = 12 situada no primeiro octante;R: 14

(b) Poro do parabolide de equao x2 + y2 = 2z situada no interior da

superfcie cilndrica x2 + y2 = 1; R:2(2

21)3

(c) Superfcie esfrica; R: 4r2

(d) Poro da superfcie cnica de equao x2 + y2 = z2 situada no interiorda superfcie cilndrica de equao x2 + y2 = 1; R: 2

2

(e) S = {(x, y, z) IR3 : x2+ y2+ z2 = 4 e x2+ y2 z2}; R: 8 (22) .13. Usando integrais duplos, calcule o volume dos subconjuntos de IR3 definidos

pelas seguintes condies:

(a){

x2 + y2 10 z x+ y R:

23

2

(b) x2 + y2 z 2 x2 y2 R:

48

1.6. Exerccios

(c){

x2

4+ y2 1

1 z 12 3x 4y R: 22

(d){

x2 + y2 + z2 4x2 + y2 2x R:

163 64

9

(e){

(z 16)2 x2 + y2x2 + y2 4 R:

323

(f){

z 2 (x2 + y2)y + z 2 R:

32

14. Seja E = {(x, y, z) IR3 : x2 + z2 1, x2 + z2 y2 e 0 y 2}.Determine o volume de E usando integrais duplos. R: 4

3

15. Estabelea, atravs de integrais iterados, o volume do slido do 1ooctantelimitado pelas superfcies

y = x, y = 2x, z = 1 y2 e z = 0,

considerando que o slido projectado

(a) no plano xOy;

(b) no plano yOz;

(c) no plano xOz.

16. Utilizando integrais duplos, determine a massa m, os momentos Mx e My e ocentro de massa C(x0, y0), de uma lmina T , cuja densidade em cada pontoP (x, y) de T dada por (x, y), quando:

(a) T um tringulo rectngulo issceles, cujos catetos medem a, e (x, y) directamente proporcional ao quadrado da distncia de P ao vrtice dongulo recto;R: m = ka

4

6; My = Mx = ka

5

15; (x0, y0) =

(2a5, 2a5

)(b) T = {(x, y) IR2 : 0 y a2 x2} (a IR+) e (x, y) a distncia

de P ao ponto O(0, 0);R: m = a

33

; Mx = a4

2; My = 0; (x0, y0) =

(0, 3a

2

)

49

1.6. Exerccios

Questes de Exames

17. Considere o integral duplo I definido por

I =

11

3|x|x2+1

f (x, y) dydx

em que f : D IR2 IR uma funo contnua no domnio de integraoD.

(a) Descreva analiticamente o domnio D e faa a sua representao grfica.

(b) Inverta a ordem de integrao.

(c) Calcule o volume do seguinte conjunto:

V ={(x, y, z) IR3 : y x2 + 1, y 3 |x| e 2 z 2} . (S: 28

3)

18. Seja f : IR2 IR uma funo contnua em IR2 tal que

f (x, y) = f (x, y) .

Seja

I =

D

f (x, y) dydx =

a0a0

2x2e|x|

f (x, y) dydx

com ea0 = 2 a20 e a0 0.

(a) Esboce D e calcule a sua rea. (S: 2ea0 23a30 + 4a0 + 2)

(b) Inverta os extremos de integrao e determine o valor de I. (S: 0)

19. Seja f : IR2 IR uma funo contnua em IR2 tal que para todo o 0,

f (x, y) dy = ex2.

Considere

J =

R

f (x, y) dxdy =

22

4|y|12y2

f (x, y) dxdy.

(a) Esboce R e calcule a sua rea. (S: 283)

(b) Inverta os extremos de integrao e determine o valor de J . (S:2e4 8e2 + 2)

50

1.6. Exerccios

20. Considere o integral 10

21y2

f (x, y) dxdy +

51

2y1

f (x, y) dxdy.

(a) Esboce o domnio plano D definido pelos limites de integrao apresen-tados.

(b) Inverta a ordem de integrao.

(c) Calcule o volume do seguinte conjunto:

V ={(x, y, z) IR3 : (x, y) D, 0 z y} . (S : 98

15)

21. (a) Esboce a seguinte regio do plano

S ={(x, y) : x2 + y2 2y, x2 + y2 1, y x} .

(b) Descreva a regio anterior em coordenadas polares, apresentando um con-junto da seguinte forma:

S1 = {(r, ) : , () r ()} .

22. Considere o seguinte subconjunto de IR3:

A ={(x, y, z) : x2 + y2 + z2 1, 3z2 x2 + y2, 0 z 2} .

Faa um esboo da regio A e descreva-a em coordenadas esfricas.

23. Seja

D

ex

xdxdy dado pela expresso

I =

30

y24y

ex

xdxdy +

43

2+4y24y

ex

xdxdy.

(a) Faa um esboo do conjunto D.

(b) Reescreva a expresso I, invertendo a ordem de integrao.

(c) Calcule o valor de I. R: e3 4

24. Considere o tringulo definido pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e ax+by+cz+d = 0 (a, b, c, d = 0). Usando o conceito de integral, determine uma relaoentre a, b e c tal que a rea do tringulo tenha o valor k.

51

1.6. Exerccios

25. Considere o slido V limitado pelas superfcies

z = x2 + 4, y = 2 e z = 4 2y.

Atravs de integrais simples iterados estabelea uma expresso para o volumede V , considerando que:

(a) A projeco de V feita no plano xOy.

(b) A projeco de V feita no plano yOz.

26. Calcule, usando coordenadas polares, a rea da parte da superfcie cnicaz =

x2 + y2 que se encontra dentro do cilindro x2 + y2 = 2y e fora do

cilindro x2 + y2 = 1.

R:

2(3+

32

)

52

capítulo 1 - integral duplo

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