Captulo 11.INTEGRAIS TRPLAS11.1.IntegraisTrplasemCoordenadasRetangulares.Chama-seintegraltriplade umafunof(x,y,z),sobreumcampoVlimitadoefechado,olimitedasomatripla correspondente: k j i k j ik j iz mxy mxx mxVz y x z y x f dxdydz z y x fkjiA A A E E E = A A A}}}) , , ( lim ) , , (000) ( O clculo da integral trpla se reduz a calcular sucessivamente trs integrais ordinrias (simples) ou calcular uma dupla e uma simples. Observemosque,raramenteaintegraltriplacalculadadiretamenteapartirdesua definiocomolimite.,aoinvs,usualmentecalculadacomoumaintegralsimples interada. Por exemplo, sejaVlimitado abaixo pela superfcie ) , (1y x f z = , acima pela superfcie ) , (2y x f z = , Figura 11.1 e lateralmente por um cilindro C de geratrizes pararelas ao eixo-z, figura 11.1. SejaAa regio do planoxycompreendido pelo trao do cilindroCsobre o mesmo. Ento o volume da regio V, pode ser obtido calculando-se a integral interada }} } ===Ay x f zy x f zdzdydx V) , () , (21ou }} } ===Ay x f zy x f zdz dydx V) , () , (21 EXEMPLOS-11.1. Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares Exemplo1.Calculara }}}Vdxdydz yz x ,2 2ondeVlimitadopelasdesigualdades, , 1 0 s s x x y s s 0e xy z s s 0 . Resoluo:I = }}},2 2dxdydz yz x I = } } }======10 0 02 2xxx yyxy zzdzdydx yz x ouI = } } }======10 0 02 2xxx yyxy zzdz yz x dy dx I = ===} }]0 3[03210dyzxy zzy x dxx=} }] [3104 510dy y x dxx=== }]0[51315 510yx yy x dx165101) (1111511511011 10=== = =}xxx dx x } } }======10 0 02 2xxx yyxy zzdzdydx yz x1651=Exemplo 2. Calculara}}}VxdV , Vsendo a regio limitada pelo tetraedro de vrtices0 = ( 0, 0, 0 ); A = ( 1, 0, 0 ); B= ( 0, 2, 0 ); C = ( 0, 0, 3 ). Resoluo: A equao segmentria do plano por A, B e C13 2 1= + +z y x, figura 11.1-2a. Entoy x z 3 6 6 0 s s . Figura 11.1-2a Figura 11.1-2b No plano-xy ( z = 0 ), figura 11.1-2b, a regio de integrao limitada por12 1= + y xx y 2 2 = .Istox y 2 2 0 s s .Efazendo0 = y em12 1= + y x, temos1 = x . Isto 1 0 s s x . Logo }}}VxdV= } } }== == ==102 203 6 60xxx yyy x zzxdzdydx= } }== == 102 20) 3 6 6 (xxx yydydx y x x = = = } }== ==102 202] 3 ) ( 6 [xxx yydydx xy x x == = } ==0) 1 ( 2]23 ) 1 ( 6 [210yx yyx y x xxx == = } }====dx x x x x dxxx x x xxxxx] ) 1 ( 6 ) 1 ( 12 [ ]2) 1 ( 23 ) 1 )( 1 ( 2 6 [102 2102 2 2101)4 322( 6 ) 2 ( 6 ) 1 ( 64 3 2103 2102===+ = + = =} } ==xxx x xdx x x x dx x xxx }}}VxdV21=Exemplo3.Calcular }}}VdV x2,sendoV aregiodo1oitantelimitadapeloplano . 10 5 2 = + + z y x Resoluo.Exemplo 4. Determinar o volume compreendido entre as superfcies 2 28 y x z = e 2 23y x z + = . Resoluo.Clculo do cilindroCde interseo entre as duas superfcies z. 2 28 y x = 2 23y x z + = C: 2 22y x + = 4, notemos que o trao de C no plano xy, a elipse de equao ( figura. b )2 42 2y x+ = 1 Determinemos os intervalos de integraes. J sabemos que no eixo-z , o volume V varia de 2 23y x z + =a2 28 y x z = . Na integral dupla em relao axe aysobre essa regio A , integrando primeiro em relao ay, v-se queyvaria de242x a242x + . Entoxvaria de 2a+ 2. Temos assim: } } }+ + +=222 / ) 4 (2 / ) 4 (83222 22 2xxy xy xdzdydz V } }+ + =222 / ) 4 (2 / ) 4 (2 222) 4 2 8 (xxdydx y x V = =dxx xx ]243824) 2 8 ( 2 [2 / 322 / 12222||.|

\| ||.|

\| }+ = =( )dxx xx ]2 24382) 4 () 4 ( 2 2 [2 / 32 2 / 1 2222 }= = dxx x]2 3) 4 ( 42) 4 ( 433[2 / 3 2222 / 3 2} = }222 / 3 2) 4 (32 4dx x = =32 4= }dx x2 / 3222} ] ) 2 / ( 1 [ 4 {32 32dx x2 / 3222] ) 2 / ( 1 [}Por substituio trigonomtrica, fazemos txcos2 = sentdt dx 2 = 2) 2 / ( 1 x t sen t2 2cos 1 = =Substituindo as variveisxport, temos: 2 2 s s x 2 cos 2 2 s s t 1 cos 1 s s t 0 s s t t} } = =0402 / 3 232 64) 2 ( ) (32 32t ttdt sen sentdt t sen V , sendo a identidade t t t sen 4 cos812 cos21834+ = ,= V32 64}|.|

\|+ 04 cos812 cos2183tdt t t = = V32 64t ==|.|

\| + ttt sen t sen t0441812212183

= V32 64|.|

\| + + ) 441812212183( ) 0418102121083( t t t sen sen sen sen= V32 64 t t 2 8 ) 0 083( ) 0 0 0 ( =|.|

\|+ + } } }+ + +=22) 4 () 4 (83222 22 2xxy xy xdzdydz V = 2 8t EXERCCIOS-11.1. Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares Determine, por tripla integrao, cada um dos volumes abaixo. 1. Do tetraedro delimitado pelos planos1 / / / = + + c z b y a x , 0 = y e . 0 = z2.Volumeno1octantedelimitadopelocilindro 24 y x = epelosplanos . 0 , 0 , = = = z x y z3. Volume delimitado pelos parabolides elpticos2 29y x z + = e2 29 18 y x z = . 4. Volume comum aos cilindros2 2 2a y x = + e2 2 2a z x = + . 5. Volume de um elipside de semi-eixos a, b e c. 6.Volumedelimitadoabaixopeloplano, 0 = z lateralmentepelocilindroelptico4 42 2= + y xe acima pelo plano . 2 + = x z7. Determine o volume do slido acima do parabolide elpticoz y x = +2 23e abaixo do cilindro42= + z x . RESPOSTAS DOS EXERCCIOS-11.1. Integrais triplas em coordenadas retangulares 1)abc61; 2) 4; 3) 27t ; 4);3163a5)abc t34; 6) 4 . t 7) 4tSugestes: 1) } } }== == ===a xxa x b yyb x a x zzdzdydx V0) / 1 (0) / / 1 (0 =abc61. Volume V figura 11.2a, rea A figura 11.2b Figura 11.2aFigura 11.2b 2) }} }== ===== =2040 04 ] [2yyy xxy zzdxdy dz V u. v. 3) } } }== == =+ ==101 309 1892 2 22 2][yyy xxy x zy x zdxdy dz V=} }== == 10102 22) 18 2 18 ( 4yyy xxdxdy y x= dy yyy}== =102 3 2) 1 ( 144} =204costdt t=t 27 u. v. Obs. Por substituio trigonomtrica, temos:t y sent t3 2 3 2cos ) (1 , = = , como 2 / 0 1 0 1 1 t s s s s s s t sent y . 4) }} }== ===== =a xxx a yyy zza dz V030 0octante 1 no32] [ 22 2|.|

\| = 3328 a V= 3316a u.v. 5) Consideremos oelipside de semi-eixos a, b e c , um slido de revoluo em torno do eixo-y, que tem como equao geral (cartesiana), a equao1222222= + +czbyax,figura11.2a.Enoplanoxy(z=0),temosaelpsedeequao 12222= +byax,quedeterminaareaAfigura11.2b.Aplicando }} }=Ay x fy x fdz dydx V) , () , (21, temos } } }= = = = = ==a xa xa x b ya x b ya y a x c za y a x c zdz dydx V222 22 2) / ( 1) / ( 1) / ( ) / ( 1) / ( ) / ( 1. } }= = = = =a xa xa x b ya x b ydydx a y a x c V22) / ( 1) / ( 12 2] ) / ( ) / ( 1 2 [Passando a coordenadas polares generalizadase usegundo as frmulasu u senbxax = =e cos , temos; 2 2 21 2 ) / ( ) / ( 1 2 = c a y a x c . Sendo}} }} }} } = = =') , () , () , ( ) , (21A A Ay x fy x fd d J f dxdy y x f dz dydx V u u , onde u u u cccccccc=cc=y yx xy xJ) , () , (u uu uabb bsensen a a==coscos,eointervalodeintegrao na regio' Ado plano xy, com = + 12222byax1 1 ) ( ) cos (2 2= = + u u sen , como0 > et u 2 0 s s . Temos finalmente u u u t uud d ab c d d J f VA = =} } }}====20102'1 2 ) , ( ]2) 1 () 1 ( [ 2220102 / 1 2 =} }==== ut uudd abc V u u t uut uu} }======= =20202 / 332]012 / 3) 1 ([ dabcd abc V34 abcV= t Figura 11.aFigura 11.b 6)}} }= = + = =+ ===114 44 42022 yyy xy xx zzdzdxdy V= }}= = + = =+114 44 422) 2 (yyy xy xdxdy x= = = = =+} }= =11222 1121 8 ]4 44 4) 22( [dy y dyy xy xxxyy Por substituio trigonomtrica,t y cos = , temos:ttt4 1 82 /2 / 32112= = =} }== ttdt t sen dy y Vu.v. 7)Porsimetriaemrelaoaoeixo-z,determineovolumelimitadono1octantee multiplique o resultado por 4, isto : t u ut uu= = = =} } } } }====== == =+ =2 /04102 / 3 2104 4043cos316) 1 (316 2 22 2d dx x dzdydx Vxxxxx yyx zy x z t 4 =totalV unidades de volume. 11.2Integrais trplas em coordenadas cilndricas Associamos as coordenas polares) , ( u do plano, as coordenadas z do espao, obtendoassimascoordenadascilndricas) , , ( z u .Asequaesquerelacionamas coordenadas cartesianas as coordenadas cilndricas, so = =u u cos xsen y ,|.|

\|=+ =xytgy x12 2 2u ez = z. Observemos que; fazendoconstante comu ezvariveis, o lugar de ) , , ( z u ser um cilindro circular reto de raioe eixo 0z (Fig. 11.2a). Sendou constante, temos um plano que contm o eixo-z e faz um ngulo ucom o plano x0z (Fig. 11.2b). Sendo z constante, temos um plano paralelo ao plano x0y (Fig. 11.2c). Sendo= 0 o prprio eixo-z. EXEMPLOS-11.2. Integrais trplas em coordenadas cilndricas Exemplo 1. Determinar o volumeV comum esfera 2 2 2 24a z y x = + +e ao cilindro 2 2 2a y x = + . Resoluo. Em coordenadas retangulares temos }} } ===Ay x f zy x f zdzdydx V) , () , (21. Observemos que a regio do volume procurado simtrica em relao ao plano x0y (Fig. 11.2 2).. Determinemos, ento, a regio A do plano x0y e os limites de integrao em0 > z . Isto: 2 2y a x =;0 = z ) ( 42 2 2y x a z + + = . EntoV=dxdy dza ya yy a xy a xy x a zz} } }+ = = + = =+ ==2 22 22 2 2) ( 40osemivolumedoslido procurado. Passando das coordenadas retangulares para as coordenadas cilndricas:- Temos 2 2 2y x+ = ) ( 42 2 2y x a z + == 2 24 a ) 0 z ( > , isto z 4 02 2s s a . - E para os limites de integraes na regio A do plano x0y, temos 2 2y a x = 2 2 2y x a + = , como2 2 2y x+ = , ento2 2a = ) 0 ( > = a , isto a 0 s s et u 2 0 s s , fazendou d d dxdy =( Jacobiano ), temos V =dxdy dza ya yy a xy a xy x a zz} } }+ = = + = =+ ==2 22 22 2 2) ( 40=} } }==== ==t uuu 20 0402 2a a zzd d dzResolvendo esta ltima integral tripla, temos } } } }======== == ==t uut uuu u 20 02 220 02 2404a ad d a d dza zz V = = === =} }====u u uut uud a a a daa a] ) 0 4 ( ) 4 ( [310 2 / 3) 4 (212 / 3 2 2 2 / 3 2 20202 / 3 2 2 v. u. ) 8 3 3 ( 202) 8 3 3 ( ) 8 3 3 (3 3203 === = =} ==a a d a tut uu ut uu Logo o volume total dado porv. u. ) 8 3 3 ( 4 v. u. ) 8 3 3 ( 2 23 3 = a a t tExemplo 2. Calcular o volume da parte do cilindro, 22 2ax y x = +compreendido entre o parabolideaz y x 22 2= +e o plano XOY. Resoluo. Por integrao tripla em coordenadas retangulares (Fig. 11.2 3), temos Fig. 11.2 3 . 220202 / ) (02 2 2} } }== ==+ ===a xxx ax yya y x zzdzdydx VPassandoparacoordenadascilndricasasequaesa y x z 2 / ) (2 2+ = e 22 x ax y = , temos, respectivamente u cos 2a 0e a 2 / z 02 s s s s , com2 /0 t u s s . Logo o volume do slido em coordenadas cilndricas, dado por = = =} } } } }==========u u t uuu t uuu d d a d d dz Va a a zz] 2 / [ 2 ] [ 222 /0cos 202 /0cos 202 /02 ==== =} } }======uu u t uut uuu daad daa]0cos 24[1] [2122 /042 /0cos 203 = + + + = =} }====u u u u ut uut uudaad aa2 /042 /04)] 4 cos 1 (212 cos 2 1 [41416) cos 2 (41 === + + + = + + + =} ==02 /)44212122 2( ) 4 cos21212 cos 2 1 (32 /03ut uuuuu u u ut uusen sena d a =)` + ++ + ++ = ]4) 0 4 (210212) 0 2 ( 20 [ ]4)24 (212 212)22 ( 22[3sen sensen senatttt 43] 0 0 0 [ ]402[33aat t t=)`+ + + + = 433aVt= EXERCCIOS-11.2. Integrais trplas em coordenadas cilndricas 1) Calcule o volume delimitado pelo parabolide 2 2y x z + =e pelo plano. 2y z =2)Calculeovolumedelimitadopelaesfera 2 2 2 22a z y x = + + epelo parabolide 2 2y x az + = . 3)RESPOSTASDOSEXERCCIOS-11.2.Integraistrplasemcoordenadas cilndricas 1) 2t ; 2)6 / ) 7 2 8 (3a t ;3)Sugestes. 1) }} } =+ ==xyRy zy x zdxdy dz V22 2] [}} }==== ===t uuu u u 020sen 2 zz2] [send d dz} = dt t sen434 = 2t 2) } } } }} }==== ==+ =+== =t uuu 20 022 /) ( 22 222 2 22 2z] [ ] dz[a a zzRy x a zay xzd d dxdy Vxy ==6 / ) 7 2 8 (3a t 3)11.3Integrais Trplas em coordenadas esfricas Numproblemaondehajasimetriaemrelaoaumponto,podeser convenientetomaressepontocomoorigemeusarcoordenadascilndricas,figura 13.3.1. Essas coordenadas relacionam-se com as cartesianas pelas equaes . cos,, cos u u = = = z sen sen y sen x Figura 13.3.1 Observemos que 2 2 2 2 = + + z y xe verificam-se as seguintes relaes entre as coordenadas cartesianas, cilndricas e esfricas. = = =u u cos zsen r = = =z zsen r yr xuu cos = = = u u coscoszsen sen ysen x Sedermosa , eu acrscimosu d d de , ,seremoslevadosa considerar o elemento de volume. Ver figura 13.3-2 u u ud d d sen d sen d d dV2= = Figura 13.3-2 e integrais triplas da forma} } }) , , ( u f u d d d sen2 } } }= =u u u ) ( ) (2d d d senEXEMPLOS-11.3Integrais Trplas em coordenadas esfricas Exemplo1.Determinarovolumeemformadesorvetedecasquinha,comumesfera cone ao e o = = a . Ver figura 11.3-1 Figura 11.3-1 Resoluo. Como intervalo de integrao temos: t u o 2 0e0, 0 s s s s s s a . Logo o volume dado porV =====} } } } }==========u u t uuo t uuo d d senad d d sena]0 3[20 0320 0 02 =uo u t uut uuo } } }======== =20320 03]0cos [3]3[ dad d sena = uou ot uut uu} }===== + =2032033) cos 1 (] 1 cos [3dada 3) cos 1 ( 23o t =aVExemplo2.DeterminarovolumeVemformadesorvetedecasquinha,comum superfcie cnica ) ( 32 2y x z + = e a superfcie esfrica 1 ) 1 (2 2 2= + + z y x . Ver figura 13.2-2. Resoluo.Determinemosinicialmente,asequaesdassuperfciescnicaeesfrica em coordenadas esfricas. Superfcie esfrica: Sejaasuperfcie1 ) 1 (2 2 2= + + z y x (deequaocartesiana)easequaes equivalentes em coodenadas esfricas ,, cos u u sen sen y sen x = = cos = ze2 2 2 2 = + + z y x 1 1 2 ) 1 (2 2 2 2 2 2= + + + = + + z z y x z y x 0 cos 22= === cos 20 0 ) cos 2 ( , sendo, portanto, estes os extremos de integrao em . Superfcie cnica:Sejaasuperfcie) ( 32 2y x z + = (deequaocartesiana).Entoemcoodenadas esfrica, fica] ) () cos [( 32 2u u sen sen sen z + = ] 1 [ 3 ][cos 32 2 2 2 2 2 = + = u u sen sen sen z3 sen z = . Sendo cos = z ,temos; cos3 sen = 33cos= =sentg . Como 330 s s tg 6t = e =0,sendo,portantoestesosextremosde integrao em . E finalmente, verificamos que uvaria de. 2 a 0 t u u = =Ento o volume V dado pela integral tripla } } }=======t uut u 206 /0cos 202d d d sen V} }=======t uut u 206 /03]0cos 23[ d d sen V} } } }======== = =t uut t uut u u 206 /03206 /03) cos ( ] [cos38]3cos 8[ d d d d sen V u ut t t uud d V ] 1 ) 2 / 3 [(32]06 /4cos[384204204} } === === 12716732 20tut=|.|

\| =}d V127

t=Vunid. de volume. EXERCCIOS-11.3Integrais Trplas em coordenadas esfricas.1. Calcule a integralu t uut d d d sena} } }======204 /0cos 202. 2.Encontre o volume do slido limitado pela esfera 2 2 2 2a z y x = + +3. Determine o volume compreendido pela superfcie). cos 1 ( = a4. Calcular a integral } } } +RRx Rx Ry x Rdz y x dy dx2 22 22 2 202 2) ( , transformando-a previamente em coordenadas esfricas. 5.Calculeovolumedelimitadopelaesfera 2 2 2 2a z y x = + + epelocone 2 2 2y x z + =(externo em relao ao cone). RESPOSTASDOSEXERCCIOS-11.3IntegraisTrplasemcoordenadas esfricas 1)t3a ;2);34320 0 02a d d d senat u t uut = } } }====== 3) Temoscomo intervalos:t u t 2 0 e 0 e ) cos 1 ( 0 s s s s s s a ; Ento a integral tripla em coordenadas esfrica, do volume por V = } } }== = ===t uut tu 20 0) cos 1 (03238 a ad d d sen ; 4) 5202 /0 02 2 2154) cos 1 ( R d d d senRt u t uut } } }======= . 5) 32 23a t: sugesto; 2 2 2 2 2 = = + + a z y xa = e2 2 2y x z + = u u 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sen sen sen + = 12= tg 45 ou4tt = =} } }====== =t uut t u 204 / 54 / 02 2ad d sen V = 32 23a t