Inferência Estatística – Parte 1Inferência Estatística – Parte 1

Intervalo Intervalo

de de

ConfiançaConfiançaProf. Gercino Monteiro FilhoProf. Gercino Monteiro Filho

Intervalo de ConfiançaIntervalo de ConfiançaConceitos FundamentaisConceitos Fundamentais

AmostraAmostra É o conjunto de informações obtido em uma É o conjunto de informações obtido em uma

pesquisa pelo qual, devido à impossibilidade de fazer o pesquisa pelo qual, devido à impossibilidade de fazer o censo, é utilizado para tirar conclusões sobre censo, é utilizado para tirar conclusões sobre parâmetros e/ou características de uma população. parâmetros e/ou características de uma população.

Estimativa Amostral Estimativa Amostral É a avaliação de um parâmetro da população usando É a avaliação de um parâmetro da população usando

dos dados de uma amostrados dados de uma amostra

Conceitos Fundamentais - ContinuaçãoConceitos Fundamentais - Continuação

EstimadorEstimador É o modelo matemático utilizado para se fazer uma É o modelo matemático utilizado para se fazer uma

estimativa.estimativa.

InferênciaInferência Metodologia pelo qual permite avaliar característica Metodologia pelo qual permite avaliar característica

de uma população baseado em dados de uma amostra.de uma população baseado em dados de uma amostra.

Estimador Não-TendenciosoEstimador Não-Tendencioso É todo estimador em que o modelo matemático pelo É todo estimador em que o modelo matemático pelo

qual o valor esperado na amostra é igual ao valor real de qual o valor esperado na amostra é igual ao valor real de uma população.uma população.

Estimadores Importantes de uma Estimadores Importantes de uma pesquisa.pesquisa.

Considere em uma pesquisa uma variável aleatória X, Considere em uma pesquisa uma variável aleatória X,

associada à população alvo cuja média é μ e variância associada à população alvo cuja média é μ e variância

seja seja σσ22, e que dela seja extraída uma amostra;, e que dela seja extraída uma amostra;

Considere agora que esta amostra sejaConsidere agora que esta amostra seja

XX1 1 ― ― XX22 ― ― XX33 ― . . . ― X ― . . . ― Xnn

n é o tamanho da amostra.n é o tamanho da amostra.

n321 x...xxx −−−−

Estimadores Importantes de uma Estimadores Importantes de uma pesquisa.pesquisa.

Média Amostral: Média Amostral:

Em que E denota o valor esperado que seja a média.Em que E denota o valor esperado que seja a média.

( )

n

XXXE i∑==

Estimadores Importantes de uma Estimadores Importantes de uma pesquisa.pesquisa.

Variância Amostral: Variância Amostral:

Onde V designa a variância de cada componente.Onde V designa a variância de cada componente.

==σ ∑

n

XV)X(V i2

X

Estimadores Importantes de uma Estimadores Importantes de uma pesquisa.pesquisa.

Proporção Amostral: Proporção Amostral:

Em que os valores possíveis de XEm que os valores possíveis de Xii são: são:

n

Xp i

A

∑=

=Aeventoosatisfazse1

Aeventoosatisfaznãose0X i

Característica especial da variável XCaracterística especial da variável X Devido à grande abrangência em variáveis de Devido à grande abrangência em variáveis de

pesquisa, um caso muito importante é quando a pesquisa, um caso muito importante é quando a variável aleatória X possuir distribuição normal, variável aleatória X possuir distribuição normal, quando isto ocorrer denota-se:quando isto ocorrer denota-se:

X ~ N(μ , σ2)

Da médiaDa média

Esta propriedade nos afirma que a média Esta propriedade nos afirma que a média amostral é um estimador não-tendencioso da amostral é um estimador não-tendencioso da média da população.média da população.

µ=)X(E

Da VariânciaDa Variância Se a amostra for independente, então:Se a amostra for independente, então:

A Esta propriedade nos afirma que a A Esta propriedade nos afirma que a

variância da média amostral é um estimador variância da média amostral é um estimador

não-tendencioso da variância da população não-tendencioso da variância da população

bastando para isto multiplicar pelo tamanho da bastando para isto multiplicar pelo tamanho da

amostra, desde que esta amostra seja coletada amostra, desde que esta amostra seja coletada

de forma INDEPENDENTE.de forma INDEPENDENTE.

( )n

XV2Xσ

=

Da NormalidadeDa Normalidade

Com amostra independente,Com amostra independente,

Esta propriedade nos afirma que se uma Esta propriedade nos afirma que se uma

variável aleatória possui distribuição normal na variável aleatória possui distribuição normal na

população, quando dela extrai uma amostra população, quando dela extrai uma amostra

independente, a média amostral também possui independente, a média amostral também possui

distribuição normal.distribuição normal.

( )

σµσµ

n,N~Xentão,N~XSe

22

Da ProporçãoDa Proporção Se p é a proporção de um evento na Se p é a proporção de um evento na

população, então:população, então:

E Se a amostra for independente, então:E Se a amostra for independente, então:

p)p(E A =

( )n

)p1(ppV AA

A

−×=

Graus de LiberdadeGraus de Liberdade

Em modelos matemáticos de análise, Em modelos matemáticos de análise,

existem muitos deles que necessita do valor de existem muitos deles que necessita do valor de

um número inteiro para tirar conclusões e este um número inteiro para tirar conclusões e este

numero foi batizado de Graus de Liberdade, numero foi batizado de Graus de Liberdade,

sendo que para cada tipo de análise é dado de sendo que para cada tipo de análise é dado de

forma não idêntica. forma não idêntica.

Intervalo de ConfiançaIntervalo de Confiança

Quando avalia o valor de um parâmetro da população, Quando avalia o valor de um parâmetro da população, baseado em valores de uma amostra, o que se tem na baseado em valores de uma amostra, o que se tem na realidade é uma estimativa e pelo qual se avaliar por um realidade é uma estimativa e pelo qual se avaliar por um único valor (por ponto) não existe modelos matemáticos único valor (por ponto) não existe modelos matemáticos capazes de medir a precisão desta estimativa.capazes de medir a precisão desta estimativa.

Intervalo de confiança faz esta mesma estimativa, Intervalo de confiança faz esta mesma estimativa, porém utilizando um intervalo matemático sendo que porém utilizando um intervalo matemático sendo que mede a validade desta extensão de valores de amostra mede a validade desta extensão de valores de amostra para população.para população.

Nível de ConfiançaNível de Confiança

É a probabilidade de que o intervalo É a probabilidade de que o intervalo encontrado contém o valor real do encontrado contém o valor real do parâmetro procurado.parâmetro procurado.

Notação: Notação: 1 - α.1 - α.

Nível de SignificânciaNível de Significância

É a probabilidade de que o intervalo encontrado É a probabilidade de que o intervalo encontrado

NÃO contém o valor real do parâmetro NÃO contém o valor real do parâmetro

procurado, isto é, a probabilidade de que o valor procurado, isto é, a probabilidade de que o valor

do parâmetro em estudo tem na realidade um do parâmetro em estudo tem na realidade um

valor fora do intervalo construído.valor fora do intervalo construído.

Notação: Notação: α. α.

Observações:Observações: A estatística prefere citar o nível de A estatística prefere citar o nível de

significância no relatório de uma pesquisa.significância no relatório de uma pesquisa.

O valor do Nível de Significância é estipulado O valor do Nível de Significância é estipulado

pelo pesquisador, sendo que em sua maioria e pelo pesquisador, sendo que em sua maioria e

de acordo com padrões internacionais é usado de acordo com padrões internacionais é usado

α = 0,05; α = 0,05; ou seja, um risco de 5,0%. ou seja, um risco de 5,0%.

Intervalo de Confiança para a Intervalo de Confiança para a MédiaMédia

Condições iniciais:Condições iniciais:

X seja a variável em análise;X seja a variável em análise;

X tenha distribuição normal, isto é:X tenha distribuição normal, isto é:

Seja uma amostra aleatória Seja uma amostra aleatória independente de xindependente de x

),(N~X 2σµ

n321 X,...,X,X,X

I. C. da a MédiaI. C. da a Média Pelas condições iniciais e as propriedades de Pelas condições iniciais e as propriedades de

estimadores, tem que:estimadores, tem que:

Aplicando propriedades da normal chega a:Aplicando propriedades da normal chega a:

σµ

n,N~X

2

)1,0(N~

n

XZ

σµ−

=

I. C. da a MédiaI. C. da a Média Usando os modelos matemáticos da Usando os modelos matemáticos da

Distribuição Normal chega a:Distribuição Normal chega a:

Ao qual fazendo as devidas simplificações Ao qual fazendo as devidas simplificações teremos:teremos:

( ) α−=

<σ

µ−<−=<<− 1z

n

XzPzZzP 0000

I. C. da a MédiaI. C. da a Média O intervalo matemático:O intervalo matemático:

É chamado de Intervalo de Confiança da média É chamado de Intervalo de Confiança da média ao nível de significância α.ao nível de significância α.

nzXa

nzX:De 00

σ×+

σ×−

I. C. da a Média - LimitesI. C. da a Média - Limites

01. O primeiro membro, isto é:

n

zX 0

σ×−

é chamado de limite inferior; 02. O segundo membro, isto é:

n

zX 0

σ×+

é chamado de limite superior;

Erro Padrão de EstimativaErro Padrão de Estimativa

01. Somente o número: n

σ é chamado de

Erro Padrão ou ainda Desvio Padrão da Média;

02. Enquanto que o número: n

z 0

σ× é

chamado de Erro Padrão de Estimativa,conhecido como Margem de Erro, Simbolizado pela letra: e;

ComentárioComentário

Note que pelo modelo matemático que foi Note que pelo modelo matemático que foi

deduzido, para encontrar o Intervalo de deduzido, para encontrar o Intervalo de

Confiança para a média μ é necessário que Confiança para a média μ é necessário que

conheça o valor da variância populacional, mas conheça o valor da variância populacional, mas

se utiliza é uma amostra é obvio que esta se utiliza é uma amostra é obvio que esta

variância é desconhecida, assim sendo para variância é desconhecida, assim sendo para

encontrar o intervalo de confiança parte do encontrar o intervalo de confiança parte do

teorema:teorema:

IC da Média Variância DesconhecidaIC da Média Variância Desconhecida

( ) então,dodesconhecicom,,N~XSe 22 σσµ

n

sX

tµ−

=

Possui uma distribuição denominada t-Student

com (n-1) graus de liberdade.

Propriedades da Distribuição t-StudentPropriedades da Distribuição t-Student

P1. O teorema acima afirma que se a variância

populacional for desconhecida, para

construir o intervalo de confiança da média

usa a distribuição t e não a normal;

P2. A curva do gráfico é simétrica e semelhante

à da distribuição N(0,1), porém um pouco

mais longa.

Propriedades da Distribuição t-StudentPropriedades da Distribuição t-Student

P3. Quando o número de graus de liberdade é um

valor suficientemente grande, a distribuição

t-Student se aproxima da Normal Padrão.

P4. Por P3, se o número de graus de liberdade for

acima de 35, quando usar tabelas, usa a

distribuição N(0,1) para encontrar valores da

distribuição t-Student.

Intervalo de Confiança da media Intervalo de Confiança da media com variância desconhecidacom variância desconhecida

Pelas características vistas chega a:Pelas características vistas chega a:

t com distribuição t-Student com (n-1) graus de t com distribuição t-Student com (n-1) graus de liberdade.liberdade.

n

stX

n

stX 00 ×+<µ<×−

IC Média - ExemploIC Média - Exemplo Pesquisa: Pesquisa: Fazer avaliação de recuperação de Fazer avaliação de recuperação de

pacientes submetidos a cirurgias cardíacas.pacientes submetidos a cirurgias cardíacas. Acadêmica Roberta Rubiane Vaz TeodoroAcadêmica Roberta Rubiane Vaz Teodoro

Quanto ao tempo de cirurgia, os valores encontrados Quanto ao tempo de cirurgia, os valores encontrados do sexo feminino foram (min):do sexo feminino foram (min):

200200 265265 345345 210210 240240 230230 250250 270 270 205205 265265 210210 325 230325 230 220220 255255 285 285 295295 260260 220220 250250 130130 230230 240 280 240 280 310310 225225 250250 255255 260260 200200 270270 235 235 195195 230 230

Construa o intervalo de confiança para o tempo Construa o intervalo de confiança para o tempo médio de duração deste tipo de cirurgia, para o sexo médio de duração deste tipo de cirurgia, para o sexo feminino ao nível de 5,0% de significância.feminino ao nível de 5,0% de significância.

IC Média – Exemplo - SoluçãoIC Média – Exemplo - Solução Estimativas pontuais:Estimativas pontuais: Da Média:Da Média:

Da variânciaDa variância

3,245

34

8340

34

230...210345265200x ==

+++++=

134

)3,245230(...)3,245265()3,245200(s

2222

−−++−+−

=

92,4015,1654s:PadrãoDesvio15,1674s 2 ===

IC Média – Exemplo - SoluçãoIC Média – Exemplo - Solução

Variância desconhecida usa a t-StudentVariância desconhecida usa a t-Student Graus de Liberdade: 34 – 1 = 33;Graus de Liberdade: 34 – 1 = 33; Na tabela ao Nível de 5,0% obteve: t = 2,0345Na tabela ao Nível de 5,0% obteve: t = 2,0345 O Intervalo é:O Intervalo é:

Chega a:Chega a:

34

92,400345,23,245

34

92,400345,23,245 ×+<µ<×−

57,25902,231 <µ<

Intervalo de Confiança para a Intervalo de Confiança para a proporção p.proporção p.

Proporção é a razão entre o total de resultados Proporção é a razão entre o total de resultados

pelos quais está de conformidade com uma pelos quais está de conformidade com uma

condição pré-estabelecida e o total de condição pré-estabelecida e o total de

resultados existentes, sendo chamada de resultados existentes, sendo chamada de

freqüência relativa, ao qual pode ser freqüência relativa, ao qual pode ser

transformado em porcentagem bastando transformado em porcentagem bastando

multiplicar o seu resultado por 100,0%.multiplicar o seu resultado por 100,0%.

Intervalo de Confiança para a Intervalo de Confiança para a proporção p.proporção p.

Uma proporção, para ser avaliada, é necessário Uma proporção, para ser avaliada, é necessário

que se tenha uma amostra suficientemente que se tenha uma amostra suficientemente

grande, e assim para criar o intervalo de grande, e assim para criar o intervalo de

confiança de p, utiliza diretamente a Distribuição confiança de p, utiliza diretamente a Distribuição

Normal.Normal.

Intervalo de Confiança de p.Intervalo de Confiança de p.

Neste caso basta usar o resultado das propriedades P4 Neste caso basta usar o resultado das propriedades P4

e P5 e substituí-los na fórmula do Intervalo da Média e P5 e substituí-los na fórmula do Intervalo da Média

com variância conhecida, assim procedendo fica:com variância conhecida, assim procedendo fica:

n

)p̂1(p̂zp̂p

n

)p̂1(pzp̂ AA

0AAA

0A

−××+<<

−××−

Intervalo de Confiança de p - ComponentesIntervalo de Confiança de p - Componentes

01. O limite inferior é: n

)p̂1(pzp̂ AA

0A

−××−

02. O limite superior é: n

)p̂1(pzp̂ AA

0A

−××+

03. O Erro Padrão é: n

)p̂1(p AA −×

04. O Erro Padrão de Estimativa é: n

)p̂1(pze AA

0

−××=

Intervalo de Confiança de p - ExemploIntervalo de Confiança de p - Exemplo Pesquisa:Pesquisa: Avaliar fatores que contribui com o Avaliar fatores que contribui com o

peso de criança ao nascer. peso de criança ao nascer. (Dra. Margareth Giglio)(Dra. Margareth Giglio)

Nesta pesquisa foram observadas 19189 crianças Nesta pesquisa foram observadas 19189 crianças que nasceram no ano de 2002 em Goiânia, sendo que que nasceram no ano de 2002 em Goiânia, sendo que destas 1124 nasceram com peso abaixo de 2500g, e destas 1124 nasceram com peso abaixo de 2500g, e classificadas como desnutridas.classificadas como desnutridas.

Construa, ao nível de 5,0% de significância, o Construa, ao nível de 5,0% de significância, o intervalo de confiança da proporção de crianças que intervalo de confiança da proporção de crianças que nascem desnutridas.nascem desnutridas.

IC p – Solução do exemploIC p – Solução do exemplo

Seja p a proporção, na população de Seja p a proporção, na população de todas as crianças ao nascer que sejam todas as crianças ao nascer que sejam desnutridas.desnutridas.

Pelos dados do problema tem que:Pelos dados do problema tem que: n = 19 189 e n(A) = 1 124;n = 19 189 e n(A) = 1 124;

Com estes dados vem:Com estes dados vem:

0586,0

18919

1241p̂ ==

IC p – Solução do exemploIC p – Solução do exemplo

Na tabela da Normal padrão, ao nível de 5,0% tem que Na tabela da Normal padrão, ao nível de 5,0% tem que o valor crítico de z é: o valor crítico de z é:

zz00 = 1,96. = 1,96.

O erro padrão de estimativa é:O erro padrão de estimativa é:

O intervalo de confiança ao nível de 5,0% é:O intervalo de confiança ao nível de 5,0% é:

RespostaResposta

0033,0

18919

)0586,01(0586,096,1e =

−××=

0033,00586,0p0033,00586,0 +<<−

0619,0p0553,0 <<

Intervalo Intervalo de de

ConfiançaConfiança

FIMFIM