cap4 - parte 6 - distribuições discretas exercicios resolvidos

Fundamentos de Fundamentos de ProbabilidadeProbabilidade

Variáveis AleatóriasVariáveis Aleatórias

Variável AleatóriaVariável Aleatória

ComentárioComentário

Ao usar a variável aleatória para Ao usar a variável aleatória para calcular probabilidades, os modelos de calcular probabilidades, os modelos de análise são mais fáceis,são totalmente análise são mais fáceis,são totalmente abrangentes com fins de pesquisas, alem abrangentes com fins de pesquisas, alem de ser o objetivo de análise probabilística de ser o objetivo de análise probabilística em uma pesquisa. em uma pesquisa.

Variável Aleatória DiscretaVariável Aleatória Discreta

Como foi visto, variável aleatória é a Como foi visto, variável aleatória é a

identificação de resultados de um identificação de resultados de um

experimento aleatório, quando o espaço experimento aleatório, quando o espaço

amostral que o identifica for numérico.amostral que o identifica for numérico.

Caso DiscretoCaso Discreto

Quando os resultados são obtidos por Quando os resultados são obtidos por

“Contagem”.“Contagem”.

Distribuições Discretas de Distribuições Discretas de ProbabilidadeProbabilidade

O que éO que é

São modelos matemáticos criados de São modelos matemáticos criados de

forma coletiva no qual para o usuário, forma coletiva no qual para o usuário,

bastará interpretar o problema de forma bastará interpretar o problema de forma

qualitativa e definirá o modelo a usar de qualitativa e definirá o modelo a usar de

forma sucinta, e sem maiores dificuldades.forma sucinta, e sem maiores dificuldades.


ComentárioComentário

No presente texto serão estudados os No presente texto serão estudados os

modelos de interesse de pesquisa em modelos de interesse de pesquisa em

saúde, os modelos remanescentes para saúde, os modelos remanescentes para

teoria de jogos e outros aspectos teoria de jogos e outros aspectos

científicos não serão vistos. científicos não serão vistos.


Experimento de BernoulliExperimento de Bernoulli

É todo experimento no qual quando É todo experimento no qual quando

realizado possuirá exatamente dois realizado possuirá exatamente dois

resultados possíveis, batizados de resultados possíveis, batizados de

SUCESSO e FRACASSO.SUCESSO e FRACASSO.

Experimento de BernoulliExperimento de BernoulliNotaNota

1.1. No experimento de Bernoulli, por ter No experimento de Bernoulli, por ter exatamente dois resultados, não indica exatamente dois resultados, não indica que ambos terão a mesma chance de que ambos terão a mesma chance de ocorrência, ou seja, nem sempre são ocorrência, ou seja, nem sempre são equiprováveis;equiprováveis;

2.2. A quase totalidade dos experimentos, A quase totalidade dos experimentos, quando executado, transforma em quando executado, transforma em Experimento de Bernoulli devido ao fato Experimento de Bernoulli devido ao fato de ter para o idealizador o resultado que de ter para o idealizador o resultado que Satisfaz o desejado e o que Não-satisfaz.Satisfaz o desejado e o que Não-satisfaz.

Experimento de BernoulliExperimento de BernoulliNotação Notação

Aqui denota-se:Aqui denota-se:

Propriedade: Propriedade:

p + q = 1 p + q = 1

É equivalente a: q = 1 – p.É equivalente a: q = 1 – p.

Distribuição binomialDistribuição binomialCaracterísticaCaracterística

Para que tenha distribuição Para que tenha distribuição binomial é necessário que:binomial é necessário que:

1.1. Experimento ser realizado em Experimento ser realizado em repetições (repetitivo);repetições (repetitivo);

2.2. Em cada Repetição ser um Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli;Experimento de Bernoulli;

Distribuição binomialDistribuição binomialCaracterísticaCaracterística

3.3. Repetir uma quantia fixa de vezes, Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n;denotada por n;

4.4. Estas repetições serem Estas repetições serem independentes;independentes;

5.5. Ter uma variável aleatória, digamos Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições.de sucessos nas n repetições.

Distribuição binomialDistribuição binomialNotaçãoNotação

Nas condições acima diz ter:Nas condições acima diz ter:

“ “Uma distribuição binomial de Uma distribuição binomial de parâmetros parâmetros nn e e pp”, ”,

Ao qual denota: Ao qual denota: X X b(n,p) b(n,p)

O símbolo: ~ lê-se: “Possui O símbolo: ~ lê-se: “Possui Distribuição”Distribuição”

Distribuição binomialDistribuição binomialPropriedadesPropriedades

Se Se X X b(n,p) b(n,p) , então:, então:

1.1. Cálculo de probabilidade –Cálculo de probabilidade –

Usa a Fórmula:Usa a Fórmula:


Detalhe:Detalhe:


Fórmula da Combinação:Fórmula da Combinação:


2.2. Média:Média:

3.3. Variância: Variância:

Em que:Em que:

Distribuição binomialDistribuição binomialExemplo 1Exemplo 1

Ao jogar uma moeda cinco vezes de Ao jogar uma moeda cinco vezes de forma consecutiva, ache a probabilidade forma consecutiva, ache a probabilidade de que a face cara ocorra:de que a face cara ocorra:

a.a. Duas vezes; Duas vezes;

b.b. Nenhuma vez.Nenhuma vez.

SoluçãoSolução

Jogar ao acaso uma moeda 5 vezes. Jogar ao acaso uma moeda 5 vezes.

Distribuição binomialDistribuição binomialExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Característica do experimento:Característica do experimento:

Jogar 5 vezes: Experimento Repetitivo;Jogar 5 vezes: Experimento Repetitivo;

Moeda possui 2 faces: Moeda possui 2 faces:

É Experimento de Bernoulli;É Experimento de Bernoulli;

Número de Repetições 5: Quantia fixa;Número de Repetições 5: Quantia fixa;

Exemplo 1Exemplo 1 Característica do experimentoCaracterística do experimento

Qualquer face que ocorra em uma Qualquer face que ocorra em uma repetição, na próxima a moeda repetição, na próxima a moeda permanece nas mesmas características: permanece nas mesmas características: Repetições Independentes;Repetições Independentes;

Nota: As características acima Nota: As características acima designam um designam um ExperimentoExperimento BinomialBinomial

Variável Aleatória X: “número de Variável Aleatória X: “número de caras nas 5 repetições”caras nas 5 repetições”

Exemplo 1Exemplo 1Cálculo de ProbabilidadeCálculo de Probabilidade

Pela definição da variável aleatória, Pela definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer Cara em um Sucesso é ocorrer Cara em um lançamento.lançamento.

Assim Assim X X b(n,p) b(n,p)

onde n = 5 e onde n = 5 e


a.a. Cara duas vezesCara duas vezes

Desenvolvendo:Desenvolvendo:


Nenhuma Cara:Nenhuma Cara:

Exemplo 1Exemplo 1 RespostaResposta

Exemplo 1Exemplo 1 RespostaResposta

Interpretação:Interpretação:

a.a. Existe 31,25% de chance de que Existe 31,25% de chance de que ocorrerá face cara duas vezes;ocorrerá face cara duas vezes;

b.b. Existe 3,125% de chance de que Existe 3,125% de chance de que ocorrerá face cara em nenhuma vezes;ocorrerá face cara em nenhuma vezes;

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Condições Iniciais Condições Iniciais

Experimento ser realizado em repetições Experimento ser realizado em repetições (repetitivo);(repetitivo);

Em cada Repetição ser um Experimento Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli;de Bernoulli;

Repetir uma quantia fixa de vezes, Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n;denotada por n;

Estas repetições sejam SEM Reposição;Estas repetições sejam SEM Reposição;


Ter uma variável aleatória, digamos X, Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições.sucessos nas n repetições.

NotaNota

Por ser SEM reposição, indica que a Por ser SEM reposição, indica que a cada repetição o original fica reduzido em cada repetição o original fica reduzido em uma unidade, devido a isto é necessário uma unidade, devido a isto é necessário ter as Condições Iniciais para ter o ponto ter as Condições Iniciais para ter o ponto de partida do experimento.de partida do experimento.


Considere que no inicio (antes de efetuar a Considere que no inicio (antes de efetuar a

primeira repetição), a situação inicial é primeira repetição), a situação inicial é

que tenha o seguinte diagrama: que tenha o seguinte diagrama:

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Propriedades.Propriedades.

Com as condições iniciais acima citado,Com as condições iniciais acima citado,

Se Se X X hipergeométrica hipergeométrica::

Cálculo de Probabilidade:Cálculo de Probabilidade:

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Propriedades.Propriedades.

Média: Média:

Variância:Variância:

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Exemplo 1Exemplo 1

Em um laboratório de análises clínicas Em um laboratório de análises clínicas foram realizados 54 exames de HIV, das foram realizados 54 exames de HIV, das quais 14 deram soropositivos. Um quais 14 deram soropositivos. Um inspetor irá pegar ao acaso 5 destes inspetor irá pegar ao acaso 5 destes exames de forma casual. Ache a exames de forma casual. Ache a probabilidade de que o número de probabilidade de que o número de exames escolhidos que tenha exames escolhidos que tenha soropositivo seja:soropositivo seja:

a. 2; b. 5 a. 2; b. 5

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Exemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Pegar ao acaso 5 exames.Pegar ao acaso 5 exames.


Pegar cinco exames: Experimento Pegar cinco exames: Experimento Repetitivo;Repetitivo;

Possui dois tipos, Soropositivo ou Possui dois tipos, Soropositivo ou soronegativo: Experimento de Bernoulli;soronegativo: Experimento de Bernoulli;

Número de Repetições cinco: Quantia Número de Repetições cinco: Quantia fixa;fixa;



A escolha é feita SEM reposição;A escolha é feita SEM reposição;

Nota: As características acima designam Nota: As características acima designam um um ExperimentoExperimento HipergeométricoHipergeométrico

Variável Aleatória X: “número de Variável Aleatória X: “número de exames que deu soropositivo entre as 5 exames que deu soropositivo entre as 5 selecionadas”selecionadas”


Pela definição da variável aleatória, Pela definição da variável aleatória, Sucesso é exame selecionado ser Sucesso é exame selecionado ser soropositivo.soropositivo.

Esta característica indica que X tem Esta característica indica que X tem distribuição Hipergeométrica, com a distribuição Hipergeométrica, com a situação inicial: situação inicial:

r = 14 (Número de sucessos) r = 14 (Número de sucessos)

k = 40 (Número de Fracasso)k = 40 (Número de Fracasso)

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Exemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução..

Com as condições iniciais acima citado,Com as condições iniciais acima citado,

X X hipergeométrica hipergeométrica::

Dois soropositivoDois soropositivo

Distribuição hipergeométricaDistribuição hipergeométrica Exemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução..

b.b. Cinco soropositivosCinco soropositivos

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonCaracterísticaCaracterística

1.1. Experimento ser realizado em repetições Experimento ser realizado em repetições (repetitivo);(repetitivo);

2.2. Em cada Repetição ser um Experimento de Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) tende a ZERO;tende a ZERO;

3.3. Repetir uma quantia fixa de vezes, Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n, e que n tende a infinito;denotada por n, e que n tende a infinito;

4.4. repetições sejam independentes;repetições sejam independentes;

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonCaracterísticaCaracterística

5.5. Ter uma variável aleatória, digamos X, Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições.sucessos nas n repetições.

NotaNota

Pela característica da Poisson, Pela característica da Poisson, percebe-se que são as mesmas da percebe-se que são as mesmas da Binomial, com o detalhe é que: Binomial, com o detalhe é que:

i) p i) p 0,000 ; 0,000 ;

i i) n i i) n ∞.∞.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonNota – Cont.Nota – Cont.

Por: Por: p p 0,000 0,000 diz-se que a diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.de eventos raros.

Na quase totalidade da Distribuição Na quase totalidade da Distribuição de Poisson, o valor de p depende da de Poisson, o valor de p depende da unidade do tempo, é preciso atentar para unidade do tempo, é preciso atentar para este fato para achar o seu valor. Por diz-este fato para achar o seu valor. Por diz-se que a distribuição de Poisson é a se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.distribuição de eventos raros.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo de Eventos RarosExemplo de Eventos Raros

No caso de saúde, existe uma quantidade muito No caso de saúde, existe uma quantidade muito grande de eventos raros, aos quais pode grande de eventos raros, aos quais pode ilustrar:ilustrar:

1.1. Ocorrer óbito, em mulheres grávidas Ocorrer óbito, em mulheres grávidas devido à gestação;devido à gestação;

2.2. Criança, no útero da mãe, sofrer uma Criança, no útero da mãe, sofrer uma anomalia grave;anomalia grave;

3.3. Na sociedade, escolher um adolescente e Na sociedade, escolher um adolescente e ele ser usuário de cocaína;ele ser usuário de cocaína;

4.4. Uma pessoa sofrer o mal de Parkinson;Uma pessoa sofrer o mal de Parkinson;5.5. Etc.Etc.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonNotaçõesNotações

No caso da distribuição de Poisson, a No caso da distribuição de Poisson, a

média é denotada por: média é denotada por: , ao qual se , ao qual se

compara-la com a da binomial chega que:compara-la com a da binomial chega que:

Denota-se: X ~ Poisson (Denota-se: X ~ Poisson ())

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonTeorema: SeTeorema: Se X ~ Poisson ( X ~ Poisson ())

1.1. Cálculo de probabilidade:Cálculo de probabilidade:

e = 2,71828 . . . (Número e, base e = 2,71828 . . . (Número e, base

do logaritmo natural)do logaritmo natural)

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonTeorema: SeTeorema: Se X ~ Poisson ( X ~ Poisson ())

2.2. Cálculo da Média:Cálculo da Média:

3.3. Cálculo da variância:Cálculo da variância:

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1Exemplo 1

Em Angola, de cada 100 mil mulheres Em Angola, de cada 100 mil mulheres grávidas, 1 500 morrem devido à grávidas, 1 500 morrem devido à gravidez (OMS 09/04/2005). Numa gravidez (OMS 09/04/2005). Numa comunidade Angolana em que houver comunidade Angolana em que houver 300 mulheres em estado de gravidez, 300 mulheres em estado de gravidez, ache a probabilidade de que morrerão:ache a probabilidade de que morrerão:

a.a. Nenhuma Nenhuma

b.b. 3 delas 3 delas

c.c. 5 delas.5 delas.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Avaliar condições de saúde de 300 Avaliar condições de saúde de 300 mulheres grávidas.mulheres grávidas.


i.i. 300 mulheres estarem grávidas: 300 mulheres estarem grávidas: Experimento Repetitivo;Experimento Repetitivo;

i.i. Possui dois tipos (sobreviver, Possui dois tipos (sobreviver, não-sobreviver): Experimento de Bernoulli;não-sobreviver): Experimento de Bernoulli;


Característica do experimento(cont.):Característica do experimento(cont.):

iii.iii. Número de Repetições 300: Quantia Número de Repetições 300: Quantia fixa;fixa;

iv.iv. Óbito de uma não influência Óbito de uma não influência na saúde da outra: Repetições na saúde da outra: Repetições Independentes;Independentes;

Nota: As características acima designam Nota: As características acima designam um um ExperimentoExperimento Binomial.Binomial.


Característica do experimento(cont.): Característica do experimento(cont.):

v.v. Variável Aleatória X: “número de Variável Aleatória X: “número de óbitos entre as 300 grávidas”óbitos entre as 300 grávidas”

(X possui distribuição binomial)(X possui distribuição binomial)

Devido à definição da variável aleatória, Devido à definição da variável aleatória,

Sucesso é ocorrer óbito, e assim:Sucesso é ocorrer óbito, e assim:


n = 300 (Número de Repetições);n = 300 (Número de Repetições);

Nota: Em uma pesquisa, este número é Nota: Em uma pesquisa, este número é chamado de “Prevalência”.chamado de “Prevalência”.

Assim: Assim: X X b(300 ; 0,015) b(300 ; 0,015)


Devido aos valores de n e de p, esta Devido aos valores de n e de p, esta

variável aproxima de uma distribuição de variável aproxima de uma distribuição de

Poisson com:Poisson com:

= 300x0,0015 = 4,5= 300x0,0015 = 4,5

Este número indica que em 300 mulheres Este número indica que em 300 mulheres

gestantes em Angola é de se esperar que gestantes em Angola é de se esperar que

4,5 delas virão a óbito devido à gravidez.4,5 delas virão a óbito devido à gravidez.


a.a. Nenhum óbitoNenhum óbito

b.b. 3 Óbitos3 Óbitos

Resposta: 0,1687 é equivalente a:16,87%Resposta: 0,1687 é equivalente a:16,87%


a.a. Nenhum óbitoNenhum óbito


b.b. 3 Óbitos3 Óbitos

Resposta: 0,1687 Resposta: 0,1687

é equivalente a : 16,87%é equivalente a : 16,87%


5 óbitos5 óbitos

Resposta: 0,1708 (17,08%)Resposta: 0,1708 (17,08%)

Variáveis AleatóriasVariáveis Aleatórias

FIMFIMProf. Gercino Monteiro FilhoProf. Gercino Monteiro Filho

cap4 - parte 6 - distribuições discretas exercicios resolvidos

Documents