cap4 - cinemática inversa

Capítulo 4 - Cinemática Inversa de Posição 42

No capítulo anterior foi visto como determinar a posição e a orientação do órgão terminal emtermos das variáveis das juntas. No presente capítulo será estudado como resolver o problema inverso, ouseja, achar as variáveis das juntas em termos da posição e orientação do órgão terminal:

x0, y0, z0

ângulos do sistema do OT c/ → → θi, i = 1, 2, ... , 6 sistema da base

O problema da cinemática inversa é, em geral, mais difícil de resolver, em forma fechada. Comoexemplo, considere-se um manipulador de Stanford. A solução do problema da cinemática direta deposição (conforme solicitado no problema 3.2 do capítulo 3) é dada pelo conjunto de 12 equações com 6incógnitas

(4.1.1)

onde os membros da direita são os elementos da matriz que fornece a posição e a orientação do órgãoterminal:

CAPÍTULO 04

CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO

4.1 INTRODUÇÃO

Cinemática Inversa de Posição


(4.1.2)

Para achar as variáveis das juntas θ1, θ2, d3, θ4, θ5 e θ6, deve-se resolver o sistema (4.1.1), o que ébastante difícil de conseguir em forma fechada, pois se trata de um sistema altamente não-linear. Alémdisso, enquanto a cinemática direta tem sempre uma única solução, a cinemática inversa pode ter ou nãosolução (p. ex., quando a posição desejada cai fora do volume de trabalho) e, no caso de existir solução,pode a mesma ser ou não única.

Para contornar o problema deve-se, então, desenvolver técnicas sistemáticas eficientes queexplorem a estrutura cinemática particular do manipulador. Será considerado, daqui em diante, que amatriz homogênea dada pela eq. (4.1.2) corresponde a uma configuração no interior do volume de trabalhodo manipulador, o que garante a existência de pelo menos uma solução.

Felizmente, para manipuladores com seis juntas, nos quais os eixos das três últimas juntas seinterceptam em um ponto (como no caso do manipulador de Stanford acima), é possível desacoplar oproblema da cinemática inversa em dois problemas mais simples, conhecidos por cinemática inversa deposição e cinemática inversa de orientação, respectivamente. Ou seja, para um manipulador com seisgraus de liberdade munido de um punho esférico, pode-se inicialmente achar a posição do centro do punho(interseção dos três eixos do punho esférico) e, após, encontrar a orientação do punho.

Considere-se, pois, que existam exatamente seis graus de liberdade e que os eixos das últimas trêsjuntas, os eixos z4, z5 e z6, se interceptem no ponto O (centro do punho), no qual se localizam as origens O4

e O5 e, na maioria das vezes, embora não necessariamente, a origem O3, conforme fig. 3.7. A posição docentro do punho é função apenas das três primeiras coordenadas, não dependendo das três últimascoordenadas. A origem O6 do sistema do órgão terminal é obtida por uma translação d6 ao longo do eixoz5, a partir do centro do punho O. Chamando pc o vetor que vai da origem do sistema da base O0x0y0z0 aocentro do punho, tem-se (ver fig. 4.1):

d = pc + d6Rkou

pc = d - d6Rk (4.2.1)

4.2 DESACOPLAMENTO CINEMÁTICO


Fig. 4.1 Desacoplamento cinemático

onde a orientação do sistema do órgão terminal é dada pela matriz R e a posição do mesmo é dada pelovetor d. Em forma expandida, pode-se escrever a eq. (4.2.1) como

(4.2.2)

onde r13, r23 e r33 são elementos de R, a qual é conhecida (dada). Assim, usando a eq. (4.2.2), pode-secalcular as coordenadas do centro do punho e, depois, achar as três primeiras variáveis das juntas, q1, q2 eq3, através de relações retiradas da geometria do manipulador, conforme será ilustrado mais adiante. Pode-se, após, determinar a orientação do órgão terminal em relação ao sistema O3x3y3z3 (extremidade dopunho) a partir da expressão

R = R30 R

63 (4.2.3)

ou R63 = (R3

0)-1 R

R63 = (R3

0)T R (4.2.4)

pois R30 é ortogonal.

As três últimas variáveis das juntas, q4, q5 e q6, (que, no caso do punho esférico, serão sempre θ4, θ5

e θ6), são então encontradas como um conjunto de ângulos de Euler correspondentes a R63. Note-se que o

membro direito da eq. (4.2.4) é conhecido, pois R é dada e R30 pode ser calculada, já que as três primeiras

variáveis das juntas, q1, q2 e q3, são conhecidas, a partir da geometria do manipulador. A seção seguinteilustra o procedimento.


Nesta seção será apresentado apenas o enfoque geométrico para a cinemática inversa de posiçãopor duas razões. Primeiro, porque as configurações cinemáticas dos robôs industriais são relativamentesimples, conforme foi visto no capítulo 1. Segundo, porque existem poucas técnicas disponíveis para trataro problema geral da cinemática inversa de configurações quaisquer.

A maioria dos robôs industriais é composta de seis graus de liberdade, com três variáveis de juntasno tronco e três no punho, em geral esférico. Além disso, conforme já foi visto anteriormente, muitos dosparâmetros DH ai e di são nulos, enquanto que os parâmetros αi são 0 ou ± π/2. Nesses casos, odesacoplamento é bastante facilitado, conforme será ilustrado a seguir.

Seja o manipulador articulado da fig. 4.2, onde px, py e pz, já foram obtidos através da eq. (4.2.2):

Fig. 4.2 Manipulador articulado

O vetor pc, que liga O0 a O (não mostrado na figura), aparece projetado (vetor r) sobre o planohorizontal que passa pela origem do sistema O1x1y1z1 (note-se que é a mesma origem do sistema O0x0y0z0).

Da figura:1θ = arctg

p

p

y

x

(4.3.1)

Observe-se que existe uma segunda solução válida para θ1, que é

1θ π= +arctgp

p

y

x

(4.3.2)

As soluções para θ1, dadas pelas eqs. (4.3.1) e (4.3.2), não são válidas para px = py = 0 porque,

nesse caso, arctgp

p

y

x

é indeterminado e o manipulador encontra-se em uma posição singular, na qual o

centro do punho está sobre o eixo z0 e, portanto, qualquer valor de θ1 satisfaz esta configuração, existindo,pois, uma infinidade de soluções, conforme ilustra a fig. 4.3:

4.3 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO. ENFOQUE GEOMÉTRICO


Fig. 4.3 Configuração singular

Para sanar esse problema, pode-se introduzir uma excentricidade no ombro, d1, como mostra a fig.4.4. Nesse caso, o centro do punho não cairá sobre o eixo z0, havendo então somente duas soluções paraθ1.

Fig. 4.4 Manipulador articulado com excentricidade no ombro

Tais soluções correspondem às chamadas configurações braço esquerdo e braço direito,conforme mostram as vistas superiores das fig. 4.5 e 4.6, respectivamente:

Fig. 4.5 Configuração braço esquerdo


Fig. 4.6 Configuração braço direito

Da fig. 4.5 tira-se a primeira solução, para a configuração braço esquerdo:

θ1 = φ - α (4.3.3)onde

dpp

darctg

dr

darctg

p

parctg

2

1

2

y

2

x

1

2

1

2

1

x

y

−+=

−=

=

α

φ

A segunda solução, obtida a partir da configuração braço direito da fig. 4.6 é dada por

dpp

darctgp

parctg

2

1

2

y

2

x

1

x

y

1

−++=θ (4.3.4)

Para achar os ângulos θ2 e θ3, dado θ1, considere-se o plano formado pelo braço e pelo antebraço,conforme fig. 4.7:

Fig. 4.7 Plano vertical formado pelo braço e antebraço


Tendo em vista que o movimento do braço e do antebraço é planar, a solução é análoga àdesenvolvida para o manipulador planar do cap. 1. Assim, aproveitando aqueles resultados (eqs. (1.7.4) a(1.7.7)) e fazendo as devidas adaptações, pode-se escrever (comparar as figs. 1.18 e 4.7):

(4.3.5)

onde d1 aqui é o parâmetro DH e não a excentricidade recém descrita.

Portanto, θ3 é dado por3

2

arctg1- DDθ =

± (4.3.6)

onde as duas soluções para θ3 correspondem às posições cotovelo acima e cotovelo abaixo,respectivamente.

Analogamente, θ2 é dado por 2

1θ = −

+=

−

+−

+arctg

s

rarctg a S3

a a C3arctg

p d

p parctg a S3

a a C33

3 3

z

x

2

y

2

3

3 3

(4.3.7)

Um exemplo de manipulador articulado com excentricidade é o robô PUMA mostrado na fig. 4.8.Existem quatro soluções, conforme ilustra a figura. Será visto mais adiante que existem duas soluções paraa orientação do punho esférico, dando, assim, um total de oito soluções para a cinemática inversa dessetipo de manipulador.


Fig. 4.8 Quatro soluções da cinemática inversa de posição do manipulador PUMA

No item anterior foi utilizado o enfoque geométrico para a obtenção das três primeiras variáveis dasjuntas, correspondentes a uma dada posição do centro do punho. Resta, agora, resolver o problema dacinemática inversa de orientação, ou seja, encontrar os valores das três últimas variáveis das juntas,correspondentes a uma dada orientação do órgão terminal, com relação ao sistema O3x3y3z3. Para umpunho esférico, isso significa achar um conjunto de ângulos de Euler correspondentes a uma dada matriz derotação R, conforme exposto no capítulo 3.

4.4 CINEMÁTICA INVERSA DE ORIENTAÇÃO


Seja dada a matriz de orientação U = uij, obtida a partir do membro direito da eq. (4.2.4) e seja R63

a matriz de transformação, obtida através da eq. (2.4.1). O problema consiste, então, em encontrar osângulos de Euler φ, θ e ψ, que satisfazem a equação matricial

(4.4.1)

Dois casos podem se apresentar.

1o caso: u13 e u23 não são simultaneamente nulos.

Então , da eq. (4.4.1), vemos que Cφ Sθ = u13 ≠ 0Sφ Sθ = u23 ≠ 0

de onde se conclui que Sθ ≠ 0, logo Sθ ≠ 0 ⇒ u31 ≠ 0u32 ≠ 0u33 = Cθ ≠ ± 1

Logo, podemos escrever θ = arctg (Sθ/Cθ), ou seja,

θ = arctg 1- u

u

33

2

33

(4.4.2)

ou θ = arctg 1- u

u

33

2

33

−(4.4.3)

Se for escolhido o primeiro valor para θ, então Sθ > 0 e a primeira solução é dada por

φ = arctg u

u13

23 (4.4.4)

e ψ = arctg u

-u31

32 (4.4.5)

Por outro lado, se for escolhido o segundo valor para θ, então Sθ < 0 e a segunda solução é dada por

φ = arctg -u

-u13

23 (4.4.6)

e ψ = arctg -u

u31

32 (4.4.7)


2o caso: u13 e u23 são simultaneamente nulos.

Se u13 = u23 = 0, então, pela eq. (4.4.1), Sθ = 0 e a matriz de rotação U passa a ter a forma

onde u33 = ± 1 pois Cθ = ± (1 - S2θ)1/2 = ± 1. A seguir, serão examinadas cada uma das possibilidades parau33.

Cθ = 1(1) Se u33 = + 1 ⇒ ⇒ θ = 0 e a eq. (4.4.1) se torna

Sθ = 0

Assim, a soma φ + ψ pode ser determinada como

φ ψ + = arctg u

u = arctg -u

u

21

11

12

11

(4.4.8)

Como, nesse caso, apenas a soma φ + ψ pode ser determinada, existe um número infinito de soluções.Pode-se, por convenção, tomar φ = 0 e achar ψ através da eq. (4.4.8).

Cθ = - 1(2) Se u33 = - 1 ⇒ ⇒ θ = π e a eq. (4.4.1) se torna

Sθ = 0

Assim, a diferença φ - ψ pode ser determinada como

φ ψ - = arctg -u

-u = arctg -u

-u

12

11

22

21

(4.4.9)

Como, nesse caso, apenas a diferença φ - ψ pode ser determinada, existe um número infinito de soluções.Podemos, por convenção, tomar φ = 0 e achar ψ através da eq. (4.4.9).


Exemplo ilustrativo: manipulador articulado com punho esférico.

A cinemática inversa de posição já foi resolvida, conforme eqs. (4.3.1) a (4.3.7). Para resolver acinemática inversa de orientação, podemos iniciar determinando R3

0, pois

R30 = A1

0 A2

1 A3

2

onde as matrizes Aii-1 são dadas pela eq. (3.5.2). Fazendo tal cálculo, chega-se facilmente a

(a)Por outro lado, a matriz R6

3, referente ao punho esférico, já foi fornecida pela eq. (3.8.1), aqui repetida:

(b)Portanto, dada a matriz de rotação total R:

=

rrr

rrr

rrr

333231

232221

131211

R (c)

trata-se de resolver R63 = (R3

0)T R = U (d)

Substituindo as eqs. (a), (b) e (c) na eq. (d), obtemos uma equação matricial da qual tiramos as seguintesequações algébricas relevantes para a aplicação do procedimento exposto anteriormente:

- elementos (1,3): C4S5 = C1C23r13 + S1C23r23 - S23r33 = u13

- elementos (2,3): S4S5 = -C1S23r13 - S1S23r23 - C23r33 = u23

- elementos (3,3): C5 = -S1r13 + C1r23

10 caso: u13 e u23 não são simultaneamente nulos

C4S5 ≠ 0Então: ⇒ S5 ≠ 0

S4S5 ≠ 0


e pode-se usar as eqs. (4.4.2) a (4.4.7) para obter os ângulos θ5 (ângulo de Euler θ), θ4 (ângulo de Euler φ)e θ6 (ângulo de Euler ψ).

20 caso: u13 e u23 são simultaneamente nulos

C4S5 = 0Então: ⇒ S5 = 0 ⇒ eixos das juntas 3 e 5 são colineares e somente

S4S5 = 0

a soma θ4 + θ6 pode ser determinada. Uma solução é escolher θ4 arbitrariamente e então determinar θ6

usando a eq. (4.4.8) ou a eq. (4.4.9).

4.1 Resolver o problema da cinemática inversa de posição e de orientação de um robô cartesiano dotado depunho esférico, cujas primeiras três coordenadas das juntas são d1, d2 e d3.

4.2 Idem 4.1, para um robô cilíndrico RPP com punho esférico.

4.3 Completar o exemplo ilustrativo do item 4.4, detalhando todas as passagens matemáticas.

4.4 De posse de todas as expressões para a cinemática inversa do manipulador articulado, obtidas noproblema anterior, escrever um programa de computador para resolver o problema completo da cinemáticainversa. Incluir procedimentos para identificar configurações singulares e escolher uma solução particularquando a configuração é singular. Testar o programa para vários casos especiais (incluindo configuraçõessingulares) de fácil verificação.

PROBLEMAS

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