Séries Temporais(Parte 2 - Tendência)

Prof. Gercino Monteiro Filho

Séries Temporais - Tendência Para encontrar a função que fornece o valor da

tendência em cada tempo, usa um dos modelos:

I. Método dos Mínimos Quadrados

II . Método das médias móveis;

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados

Este Método consiste em ajustar uma curva

aos dados originais conforme os modelos

matemáticos já estudados no capítulo 10,

referente a Regressão e Correlação.

O cuidado é o de atribui um valor para indicar

o inicio da contagem do tempo.

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados As curvas mais usuais são:

01. A Reta;

02. A Logarítmica;

03. A Exponencial.

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados Exemplo

01. Considere os dados da tabela:

T a b e la 1 – C a p . 1 1 G r ã H o t el P K S M - N ú m er o d e U n id a d es O c u p a d as , d a d o s r e f ere n te s a 8 s e m a n as s eg u i d a s – 0 3 / J u lh o a 2 7 / a g o s to d e 2 0 0 0

P er í o do

D ia d a S em a n a

S eg u n da T er ça Q ua r ta Q ui n ta S ex ta S á b a do D o m in g o

0 3 a 0 9 4 6 4 8 5 3 55 41 26 2 0

1 0 a 1 6 3 8 5 1 4 9 40 34 29 1 8

1 7 a 2 3 3 9 5 1 5 1 48 33 23 1 9

2 4 a 3 0 3 8 4 9 4 8 40 34 28 1 6

3 1 a 0 6 3 6 4 2 2 6 45 41 22 2 0

0 7 a 1 3 4 2 4 5 4 5 51 33 19 1 9

1 4 a 2 0 3 5 5 0 4 7 59 47 21 2 1

2 1 a 2 7 3 7 4 4 4 6 44 26 18 1 6

F o n te : H ip o té tica

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados

Encontre a reta de Tendência que explica

a quantidade de ocupações em cada dia.

Solução Denotando por : x: a variável: “ Época a que se Refere os Dados, tomando dia 30 de junho como origem, e com variação dia a dia ”

y: a variável: “ Número de Unidades Ocupadas”

Vem:

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados

Perceba que com a definição de x “ Época tomando dia 30 de junho como origem,e variação dia a dia ”

E com os dados originais:

h) Primeira Semana e Segunda Feira: x =3 e y = 46; i) Primeira Semana e Terça Feira: x = 4 e y = 48;j) Primeira Semana e Quarta Feira: x =5 e y = 53;k) Primeira Semana e Quinta Feira: x =6 e y = 55;l) Segunda Semana e Segunda Feira: x =10 e y = 38 ;m) Etc.

T a b e la 1 – C a p . 1 1 G r ã H o t el P K S M - N ú m er o d e U n id a d es O c u p a d as , d a do s r e fere n te s a 8 s e m a n as s eg u i d a s – 0 3 / J u lh o a 2 7 / a g o s to d e 2 0 0 0

P er í o do

D ia d a S em a n a

S eg u n da T er ça Q ua r ta Q ui n ta S ex ta S á b a do D o m in g o

0 3 a 0 9 4 6 4 8 5 3 55 41 26 2 0

1 0 a 1 6 3 8 5 1 4 9 40 34 29 1 8

1 7 a 2 3 3 9 5 1 5 1 48 33 23 1 9

2 4 a 3 0 3 8 4 9 4 8 40 34 28 1 6

3 1 a 0 6 3 6 4 2 2 6 45 41 22 2 0

0 7 a 1 3 4 2 4 5 4 5 51 33 19 1 9

1 4 a 2 0 3 5 5 0 4 7 59 47 21 2 1

2 1 a 2 7 3 7 4 4 4 6 44 26 18 1 6

F o n te : H ip o té tica

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados

:Dados OriginaisT a b e la 1 – C a p . 1 1

G r ã H o t el P K S M - N ú m er o d e U n id a d es O c u p a d as , d a do s r e fere n te s a 8 s e m a n as s eg u i d a s – 0 3 / J u lh o a 2 7 / a g o s to d e 2 0 0 0

P er í o do

D ia d a S em a n a

S eg u n da T er ça Q ua r ta Q ui n ta S ex ta S á b a do D o m in g o

0 3 a 0 9 4 6 4 8 5 3 55 41 26 2 0

1 0 a 1 6 3 8 5 1 4 9 40 34 29 1 8

1 7 a 2 3 3 9 5 1 5 1 48 33 23 1 9

2 4 a 3 0 3 8 4 9 4 8 40 34 28 1 6

3 1 a 0 6 3 6 4 2 2 6 45 41 22 2 0

0 7 a 1 3 4 2 4 5 4 5 51 33 19 1 9

1 4 a 2 0 3 5 5 0 4 7 59 47 21 2 1

2 1 a 2 7 3 7 4 4 4 6 44 26 18 1 6

F o n te : H ip o té tica

Tabela de Operações

xi yi xi2 yi

2 xi . yi

3 4 5 6 7 • • •

57 58

46 48 53 55 41

• • •

18 16

9 16 25 36 49

• • •

3 249 3 346

2 126 2 304 2 809 3 025 1 681

• • •

324 256

138 192 265 330 287

• • •

1 026 928

1 708 2 062 66 724 84 000 60 709

Tendência – Método dos Mínimos Quadrados

E os valores obtidos foram:

Substituindo:

Sabe-se que: 2

i2i

iiii

)x(x.n

y.xy.x.nb

∑∑∑ ∑∑

−

−= e x.bya −=

xi yi xi2 yi

2 xi . yi

1 708 2 062 66 724 84 000 60 709

Inclinação: 1491,0170872466x56

0622x708170960x56b

2−=

−−=

Intercepto 3690,4156

7081x)1491,0(

56

0622a =−−=

Resp. A reta de tendencia é: T= - 0,1491.x + 41,369

Estimativa Pela Tendência Estimar Pela Tendência, é avaliar quanto iria ter ocorrer em cada

período com o modelo matemático encontrado.

Exemplo

3. Faça a estimativa, para cada período avaliado na ocupação do Gran-

Hotel.

Solução

Como a equação da reta ajustada foi:

Vem:

Resp. A reta de tendencia é: T= - 0,1491.x + 41,369

Para 03 / Julho, isto é: x = 3 9217,403690,4131491,0y julhode03 =+×−=

Para 04 / Julho, isto é: x = 4 7726,403690,4141491,0y julhode03 =+×−=

Estimativa Pela Tendência Fazendo para cada período chega a:

Período Dia da Semana

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo

03 a 09 40,92 40,77 40,62 40,47 40,32 40,18 40,03

10 a 16 39,88 39,73 39,58 39,43 39,28 39,13 38,98

17 a 23 38,83 38,68 38,53 38,39 38,24 38,09 37,94

24 a 30 37,79 37,64 37,49 37,34 37,19 37,04 36,89

31 a 06 36,74 36,59 36,45 36,30 36,15 36,00 35,85

07 a 13 35,70 35,55 35,40 35,25 35,10 34,95 34,80

14 a 20 34,66 34,51 34,36 34,21 34,06 33,91 33,76

21 a 27 33,61 33,46 33,31 33,16 33,01 32,86 32,72

Tendência – Método das Médias Móveis Este método consiste em:

01. Definir o número de agrupamentos, digamos k , de

valores seqüenciais que comporão cada média;

02. Calcular médias dos k valores a partir do: 10 valor;

depois a partir do 2o , do 3o , etc.

Atribuição: Existem 2 situações possíveis sobre o valor de

k ,PAR ou IMPAR , com isto considera a primeira média

móvel acordo com a posição:

Posição do Elemento Que Será Atribuído à 1a Média

Valor de K Par Impar

Posição 2

k 2

1k +

Método das Médias Móveis - Exemplo 01. Encontre as médias móveis dos dados da Tabela 1,

tomando k = 7.

Solução Considere as Variáveis :

x: “Época, tendo dia 30 de junho como origem”

y: “Numero de Unidades Ocupadas”Dados originais são:

Período

Dia da Semana

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Dom.

03 a 09* 46 48 53 55 41 26 20

10 a 16* 38 51 49 40 34 29 18 17 a 23* 39 51 51 48 33 23 19 24 a 30* 38 49 48 40 34 28 16

31 a 06** 36 42 26 45 41 22 20 07 a 13** 42 45 45 51 33 19 19 14 a 20** 35 50 47 59 47 21 21 21 a 27** 37 44 46 44 26 18 16

Método das Médias Móveis - Exemplo Médias Móveis com 7 períodos seqüenciais:

Médias Móveis:

Dados originais são:

Período

Dia da Semana

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Dom.

03 a 09* 46 48 53 55 41 26 20

10 a 16* 38 51 49 40 34 29 18 17 a 23* 39 51 51 48 33 23 19 24 a 30* 38 49 48 40 34 28 16

31 a 06** 36 42 26 45 41 22 20 07 a 13** 42 45 45 51 33 19 19 14 a 20** 35 50 47 59 47 21 21

21 a 27** 37 44 46 44 26 18 16

Primeira Média Móvel

29,417

20264155534846y1 =

++++++=

Segunda Média Móvel

14,407

38202641555348y 2 =

++++++=

Terceira Média Móvel

57,407

51382026415553y 3 =

++++++=

Etc. • • •

Método das Médias Móveis - Exemplo :E o quadro completo de médias móveis é

Por este exemplo percebe-se que:

a) A primeira média móvel refere-se ao dia 6 de julho (x = 6)

b) A segunda média móvel refere-se ao dia 7 de julho (x = 7)

c) A última média móvel refere-se ao dia 24 de agosto (x = 55)

Dia 3 4 5 6 7 8 9

Ocupação 46 48 53 55 41 26 20

Média Móvel - - - 41,29 40,14 40,57 40,00

Dia • • • 54 55 56 57 58

Ocupação • • • 46 44 26 18 16

Média Móvel • • • 33,71 33,00 - - -

Estimativa da Tendência Pelo Método das Médias Móveis

Neste caso, basta fazer o ajuste de uma curva às médias

obtidas, utilizando-se do Método dos Mínimos Quadrados.

Exemplo 3

01. Encontre a Reta de Tendência das médias móveis de

7 dias .

Tendência com Médias MóveisSolução

Sabe-se que o ajuste é feito através das Fórmulas:

Originais Cálculos

2i

2i

iiii

)x(x.n

y.xy.x.nb

∑∑∑ ∑∑

−−

= x.bya −=

Dia 3 4 5 6 7 8 9

Ocupação 46 48 53 55 41 26 20

Média Móvel - - - 41,29 40,14 40,57 40,00

Dia • • • 54 55 56 57 58

Ocupação • • • 46 44 26 18 16

Média Móvel • • • 33,71 33,00 - - -

Tabela de Operações

xi yi xi2 yi

2 xi . yi

6

7

8

9

•

•

•

54

55

41,29

40,14

40,57

40,00

•

•

•

33,71

33,00

36

49

64

81

•

•

•

2 916

3 025

1 704,51

1 611,45

1 646,04

1 600,00

•

•

•

1 136,65

1 089,00

247,71

281,00

324,57

360,00

•

•

•

1 820,57

1 815,00

1 525 1 839,29 56 925 67 921,12 55 664,29

Tendência com Médias Móveis

Fórmulas:

Encontrados:

Substituindo:

Reta ajustada:

2i

2i

iiii

)x(x.n

y.xy.x.nb

∑∑∑ ∑∑

−−

= x.bya −=

xi yi xi2 yi

2 xi . yi

1 525 1 839,29 56 925 67 921,12 55 664,29

2152592556x50

29,8391x525129,66455x50b

−−

= 0417,0b −=

50

5251x)0417,0(

50

29,8391a −−= 0577,38a =

y = - 0,0 417.X + 38,0577

Séries Temporais

Tendência

Fim. Prof Gercino Monteiro Filho