cap 5 livro fisica basica ii moyses nusemberg

Curso de

Física Básica H. Moyses Nussenzveig

Resolução do

Volume II Capítulo 5

Ondas

Grupo Física-Nussenzveig Capítulo - 5

www.estudefisica.com.br

1

1 - Uma corda uniforme de 20m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e freqüência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima.

a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda.

b) Escreva, com função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. (Resolução)

2 - A mesma corda descrita no Probl. 1 está com uma extremidade amarrada num poste. A outra, inicialmente em repouso na posição de equilíbrio, é deslocada de 10 cm para cima, com velocidade uniforme entre t = 0 e t = 0,5 s. A seguir, é deslocada para baixo, com a magnitude da velocidade reduzida à metade da anterior, entre t= 0,5 s e t = 1,5 s, quando retorna à posição de equilíbrio.

a) Desenhe a forma da corda no instante t = 1,7 s. b) Desenhe a forma da corda no instante t = 2,6 s. (Resolução)

3 – Mede-se a velocidade v de propagação de ondas transversais num fio com uma extremidade presa a uma parede, que é mantido esticado pelo peso de um bloco suspenso da outra extremidade através de uma polia. Depois (fig.), mergulha-se o bloco na água até os 2/3 da altura e verifica-se que a velocidade cai para 95,5 % da anterior. Qual é a densidade do bloco em relação à água? (Resolução) 4 - a) Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de ondas numa corda,

que a variação percentual de velocidade vvΔ produzida por uma variação percentual

TTΔ da tensão

na corda é dada por TT

21

vv Δ=

Δ .

b) Um afinador de pianos faz soar a nota lá de um diapasão, de freqüência υ = 440 Hz, para compará-la com a nota lá da escala média de um piano. Com ambos soando simultaneamente, ele ouve batimentos cuja intensidade máxima se repete a intervalos de 0,5 s. Que ajuste percentual ele deve fazer na tensão da corda do piano para afiná-la? (Resolução) 5 – Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na superfície da água,

com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da água, propagam-se com

velocidade de fase πλ

=ϕ 2gv , onde g é a aceleração da gravidade. Mostre que a velocidade de

grupo correspondente é ϕ= v21vg . (Resolução)

6 – Duas ondas transversais de mesma freqüência ν = 100 s-1 são produzidas num fio de aço de

1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm³, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são dadas por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω−=6

tkxcosAy1 , ( )kxtsenA2y2 −ω= , onde A = 2 mm.



2

a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. b) Calcule a intensidade da resultante. c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a região entre os valores

máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? (Resolução) 7 – A corda mi de um violino tem uma densidade linear de 0,5 g/m e está sujeita a uma tensão

de 80N, afinada para uma freqüência υ = 660 Hz. a) Qual é o comprimento da corda?

b) Para tocar a nota lá da escala seguinte, de freqüência 880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f do seu comprimento. Qual é o valor de f? (Resolução)

8 – Uma corda de comprimento l está distendida, com uma extremidade presa a um suporte e a outra extrremidade livre. a) Ache as freqüências υn dos modos normais de vibração da corda. b) Desenhe a forma da corda associada aos três modos de vibração mais baixos (em ordem de freqüência crescente). A velocidade de ondas na corda é v. (Resolução) 9 – Considere novamente a corda do problema 8, com um extremo fixo e outro livre e de comprimento l. No instante t = 0, um pequeno pulso de forma triangular está se propagando para a direita na corda. Depois de quanto tempo a corda voltará à configuração inicial? (Resolução) 10 - Uma corda vibrante de comprimento l presa em ambas as extremidades está vibrando em seu n-ésimo modo normal, com deslocamento transversal dado pela (5.7.10, ou seja,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=δ+ω= )vtncosxnsenb)tcos()xksen(b)t,x(y nnnnnnn ll, (n = 1,2,3,...). Calcule a

energia total de oscilação da corda. Sugestão: Considere um instante em que a corda esteja passando pela posição de equilíbrio, de modo que sua energia total de oscilação esteja em forma puramente cinética. Calcule a densidade linear de energia cinética e integre sobre toda a corda. (Resolução) 11 – (modificada: acrescentou-se a letra 'a' à questão) Duas cordas muito longas, bem esticadas, de densidades lineares diferentes μ1 e μ2, estão ligadas uma à outra. Toma-se a posição de equilíbrio como eixo dos x e a origem O no ponto de junção, sendo y o deslocamento transversal da corda (fig). Uma onda harmônica progressiva, yi=A1cos (k1x - ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com freqüência angular ω. Isto produz na corda 2 (x > 0) uma onda progressiva de mesma freqüência, yt=A2 cos (k2x - ωt) (onda transmitida), e dá origem, na corda 1, a uma onda que viaja em sentido contrário, yr=B1 cos(k1x +ωt) (onda refletida). Dada a

onda incidente yi, de amplitude A1, desejam-se obter a amplitude de reflexão 1

1

AB

=ρ e a amplitude

de transmissão 1

2

AA

=τ .

a) Use sua intuição para prever quais devem ser os valores de ρ e τ para os casos em que: (i) μ1 >> μ2; (ii) μ1 = μ2; e (iii) μ1 << μ2. b) Dada a tensão T da corda, calcule as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos números de onda k1 e k2. O deslocamento total na corda 1 é yi + yr, e na corda 2 é yt. c) Mostre que, no ponto de junção x = 0, deve-se ter yi + yr = yt.



3

d) Aplicando a 3ª lei de Newton ao ponto de junção x = 0, mostre que, nesse ponto, deve-se

ter também tri yx

)yy(x ∂

∂=+

∂∂ .

e) A partir de (b) e (c), calcule as amplitudes de reflexão e transmissão ρ e τ em função das velocidades v1 e v2. Discuta o sinal de ρ. (Resolução) 12 – No problema 11, a refletividade r da junção é definida como a razão da intensidade da onda refletida para a intensidade da onda incidente, e a transmissividade t como a razão da intensidade transmitida para a incidente. a) Calcule r e t. b) Mostre que r + t = 1, e interprete esse resultado. (Resolução)

Resolução R-1) Dados: L = 20m ; m = 2 kg ; A = 3 cm = 0,03 m ; υ = 5 Hz ; T = 10N.

a) A densidade linear da corda vale: m/kg 1,0Lm

==μ .

Logo, a velocidade será: μ

=Tv =

1,010 ⇒ v = 10 m/s

E

υ=λ

v = 5

10 ⇒ λ = 2 m

b) Equação da corda: y (x,t) = A cos (kx - ωt + φ) , onde A foi dado e ω = 2πυ = 10π rad/s , k = (v / ω) = π m-1 De acordo com o problema, temos, em t = 0 e x = 0, que y vale 1,5 cm = 0,015 m. Substituindo na equação da corda: y (0,0) = 0,015 = 0,03 cos (φ) O que nos dá cos φ = (1/2). Logo φ = π/3 rad. Portanto: y(x.t) = 0,03 cos (πx - 10πt + π/3) c) A intensidade I representa o fluxo médio de energia através de um ponto qualquer da corda, ou seja, a intensidade é dada como o valor da potência média sobre um período. Assim: I = (1/2).μ.v.ω².A² ⇒ I = 0,44W R-3) Notação: μ: densidade linear da corda; β = m / Vb: densidade do bloco; ρ: densidade da água; Vb: volume do bloco [A (área da base) x h (altura)]; Vl: volume do líquido deslocado;



4

E = ρ.Vl.g : empuxo sobre o bloco. Primeira situação: T – P = 0 ⇒ μ.v² - m.g = 0 ⇒ μ.v² - β.Vb.g = 0 ⇒ μ.v² = β.A.h.g (I) Segunda situação (bloco é colocado na água): T + E – P = 0 μ.(0,955v)² + ρ.Vl.g – m.g = 0 ⇒ (0,955)².μ.v² + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 (II) Substituindo (I) em (II), cancelando g e substituindo os termos Vb e Vl: (0,955)².β.Vb.g + ρ.Vl.g – β.Vb.g = 0 ⇒ 0,0879.β.A.h = ρ.A.(2 / 3).h R-4)

a) μ

=Tv

T.1.

21

dTdv

μ= =

TT.

T.1.

21

μ =

T1.T.

21

μ =

T1.v.

21

Logo:

T

dT.21

vdv

= ou

b) R5) Seja uma onda na forma:

y = A cos(kx - ωt)

λπ

=2k

πλ

=πλ

ω=ω

=ϕ 2g

2.

kv

λπ

πλ

=ω2.

2.g , que pode ser escrito como

22.

2.g ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

πλ

=ω ou ( )2

22

1

21 2

2g ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πλ

=ω

( )2

22

1

21 22g ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

=ω−

( )2

1

21 2g ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

=ω ⇒ ( ) ( ) 21

21

kg=ω

dkdvgω

=

6,758,7 ≈=ρβ

TT.

21

vv Δ=

Δ



5

( )2

1

21

g 2g

21v ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

πλ

=

2

1

g 2.g

21v ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

πλ

= = ϕv.21

R-6) Temos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω−=6

tkxcosAy1 ≡ A1 cos (θ + φ1)

( kxtcosA2y2 −ω= ) ≡ A2 sen (-θ) ≡ A2.[-sen (θ)] ≡ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−+θ

2cosA2 ≡ A2 cos (θ +φ2)

Onde definimos: (I) Em notação complexa, podemos escrever:

z1 = )(i1

1e.A φ+θ

z2 = )(i2

2e.A φ+θ

que representam, também, as equações das duas ondas. Logo: z = z1 + z2 = + = + ) )(i

11e.A φ+θ )(i

22e.A φ+θ )(i

1221e.A φ−φ+φ+θ (i

22e.A φ+θ

[ ]44 344 21β

+= φ−φφ+θ

i

212

e.B

2)(i

1)(i Ae.Aez

em que (II) Para um dado complexo z, temos: e seu conjugado será β= ie.Bz β−= ie.B*z z = B cosβ + iB senβ ⇒ z* = B cosβ - iB senβ E z.z* = B² Como z é dado por (II): B² = [A1cos (φ1 - φ2) + A2]² + [A1sen(φ1 - φ2)]²

= A1²cos²(φ1 - φ2) + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) + A2² + A1²sen²(φ1 - φ2) A1² B² = A1² + A2² + 2.A1.A2cos (φ1 - φ2) (III) Basta substituirmos os valores na equação (III), lembrando que: A1 = 2mm = 2x10-3m; A2 = 2A1; φ1 e φ2 dados em (I). Com isso, obtemos: Encontrando β:

A1 = A A2 = 2A φ1 = π/6 φ2 = - (π/2)

B.eiβ = A 2) A+(i

1 e. 21 φ−φ

B = 5,29x10-3 m



6

)<><

De acordo com (II): β+β=β seniBcosBe.B i = [A1cos (φ1 - φ2) + A2] + i[A1sen (φ1 - φ2)]

Aplicando a identidade de números complexos: B cosβ = A1cos (φ1 - φ2) + A2 ⇒ Resolvendo, encontramos: cosβ = 0,945 ⇒ β = 0,33 A onda resultante é a parte real de:

)(i 2e.Bz β+φ+θ=y = (Re)z = B cos (θ + φ2 + β) =

R-11) Temos o seguinte esquema: μ1 μ2 O v

( )( )( )

( )(( )

1 1

2 2

1 1

000

i

t

r

y A cos k x t xy A cos k x t xy B cos k x t x

ωωω

= −⎧⎪ = −⎨⎪ = +⎩

1

1

BA

ρ = 2

1

AA

τ =

a) (iii)

1 2

1 1

2

10 0

B AA

μ μρτ

<<≅ − → ≅ −≅ → ≅

1 2

1 00 1

se μ μρτ

<− < <

< <

(ii)

1 2

1

2 2

0 01

BA A

μ μρτ

== →= →

=≅

(i)

1 2

1 1

2 2

12 2

B AA A

μ μρτ

>>≅ →≅ →

≅≅

1 2

0 10 2

se μ μρτ

>< << <

b) 11

Tvμ

= ; 22

Tvμ

= ; 11

kvω

= ; 22

kvω

= .

c) Continuidade da corda, caso contrário ela estaria quebrada. d) yi + yr = yt As derivadas no ponto de junção são iguais (a tangente é horizontal).

BA)cos(Acos 2211 +φ−φ

=β



7

( )( ) ( )( )0 0i r t,t ,ty y y

x x∂ ∂

+ =∂ ∂

(*)

e)

( ) ( ) ( )1 1 1 2A cos t B cos k x t A cos tω ω ω− + − = −

( ) ( ) ( )1 1 2A B cos t A cos tω ω+ = Pode-se cancelar cos(ωt), pois o termo é válido para qualquer t e há t que não zera o cosseno). Logo:

A1 + B1 = A2 (**)

1 1 1 1 1 10 0

k A sen k x t k B sen k x tω ω= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− − − =

= ( ) ( )1 1 1 1k A sen t k B sen tω ω− (***)

( )( ) ( ) (2 2 2 2 20t ,ty k A sen k x t k A sen t )

xω ω∂

= − − =∂

(****)

Igualando (***) = (****): ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2k A sen t k B sen t k A sen tω ω ω− =

( ) ( )1 1 1 1 2 2k A k B sen t k A sen t( )ω ω− = 1 1 1 1 2 2k A k B k A− =

11 1 2

1 1

2B Ak k kA A

− = ⇒ 1 2

1 1

1 2

1

B k AA k Aρ τ

− =

2 1

1 2

k vk vk v

ω= ⎫⎪⎬= ⎪⎭

De (**): 1 2

1 1

1 B AA A

+ = 1

2

1

1 vv

ρ τ

ρ τ

+ =⎧⎪⎨ − =⎪⎩

Logo:

1 2

2 1

v vv v

ρ −=

+ 2

2 1

2.vv v

τ =+

R-12)

Dados: r

i

IrI

= ; t

i

ItI

= .

a) 2 21

2I v Aμ ω=

2 21 1 1

12iI v Aμ ω= ; 2 2

1 1 112rI v Bμ ω= ; 2 2

2 2 212tI v Aμ ω=

221

1

Br rA

ρ⎛ ⎞

= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠



8

222 2 2 2 2

1 1 1 1 1

v A vt tv A v

μ μ τμ μ

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b)

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