CAP 3 – AUTO-SIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL 

texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995)

Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y). 

2.1. Fatores de Escala, Algoritmos Recursivos e Exemplos de Fractais 

ex: descrição computacional de uma árvore

* diversas alternativas

a) conjunto completo dos elementos  

b) forma aproximada da envoltória espacial 

c) relação recursiva (auto-similaridade)

pouca informação de entrada

modelo estruturalmente realista

[fig. 3.1] e [fig. 3.2]

geometria auto-similar: uma parte se parece com o todo

* objetos reais auto-similares:

são engendrados por processos recursivos?

* exemplos na natureza:

samambaia, brócolis, sistema de brônquios

http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7959/fractalapplet.html

contorno de nuvens e de litorais, estrutura de montanhas

vórtices em fluidos, etc.

http://www.ba.infn.it/~zito/images/caustic.jpg

* exemplos na área tecnológica:

imagem com retro-alimentação num monitor

http://www.ba.infn.it/~zito/images/figura.jpg

antenas para banda larga miniaturizadas

http://www.engineer.ucla.edu/stories/2002/fractal.htm

adesão de nanopartículas em substratos rugosos, etc.

[ T.S. Chow - J. Phys: Cond. Matter 15, n2 (2003) L83-L87 ]

* objetos com dimensão fracionária: fractais 

* geometria fractal:

associada a tipos de comportamento dinâmico 

* fractais exatos: objetos matemáticos

gerados por algoritmos recursivos

exemplos: 

a) Conjunto de Cantor ( “poeira de pontos” ) [fig. 3.3]

* algoritmo recursivo:

t=0: segmento de reta de comprimento 1

t=1: 2 cópias com comprimento 1/3 cada

t=2: repete o processo para as 2 cópias

(resultam 4 cópias com comprimento 1/9 cada)

t=3: repete o processo para as 4 cópias ...

profundidade da recursão ( maior t usado )

fractal perfeito ( t ) [fig 3.4]

b) Cesta de Serpienski [fig. 3.5]

 

c) Curva de Koch [fig. 3.6]

 

 

d) Ilha de Koch

http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch/koch.html

* perímetro infinito delimitando uma área finita!

* seres vivos: otimização da razão área/volume

[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104]

 

 

e) Esponja de Menger [fig. adicional]

[ Stewart, Does God Play Dice?, p 303]

3.2. Dimensão Fracionária 

* dimensão euclideana:

número de coordenadas necessárias

para posicionar um ponto no objeto

OBJETO DIMENSÃO EUCLIDEANA

PONTO 0

SEGMENTO DE RETA 1

RETÂNGULO PLANO 2

CUBO MACIÇO 3

... 4 ( inteiros )

* objeto auto-similar gerado recursivamente:

: aresta no passo n / aresta no passo n+1

N: número de cópias no passo n+1 / número de cópias no passo n

D: dimensão fractal

log

logND

* definição de dimensão fractal:

abrange os objetos euclideanos!

OBJETO N D

SEGMENTO DE RETA 2 2 1

QUADRADO PREENCHIDO 2 4 2

CONJUNTO DE CANTOR 3 2 0.631

CESTA DE SIERPIENSKI 2 3 1.585

FLOCO DE NEVE DE KOCH 3 4 1.262

ESPONJA DE MENGER 3 20 2.727

exemplo para aula prática: bolas de papel amassado

[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104] 

* diâmetro de cada bola: d

* massa de cada bola: m

relação entre m e d (experimental): m = k . d 2,5

* k: constante de proporcionalidade 

“lei de potência” : invariante de escala

DIMENSÃO POR CONTAGEM DE CAIXAS

dado um objeto pronto qual o valor de D?

procedimento geométrico:

* recobrir o objeto com “caixas” de aresta 0

(cubos, quadrados ou segmentos de reta)

* contar o número de caixas necessárias N = N (0)

* fazer 1 = ( 0 / 2 )

* contar N ( 1)

... recursivamente... função por pontos N = N ()

 

expressão teórica: DkN )(

procedimento prático: 1

1

log

) (

) (log

i

i

i

i

N

N

D

exemplo: atrator caótico de um mapa bidimensional (“mapa de Ikeda”)

x i +1 = 1 + 0.7 (x i cos t i – y i sen t i )

y i +1 = 0.7 (x i sen t i + y i cos t i )

sendo t i = 0.4 – [ 6 / ( 1 + x i2 + y i

2)] 

* imagem do objeto auto-similar (para outro parâmetro):

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/ikeda/

* sistema real: laser numa cavidade em anel

http://hedgehog.math.arizona.edu/~ura/001/huang.pojen/#Ikeda

* auto-similaridade [fig. adicional] 

caixas com 0 = 0.08 N ( 0 ) = 43 [fig. pg. 116 (esquerda)]

caixas com 1 = 0.04 N ( 1 ) = 110 [fig. pg. 116 (meio)]

caixas com 2 = 0.02 N ( 2 ) = 250 [fig. pg. 116 (direita)] 

* levando na fórmula: tende para D 1,2

* menor valor de depende da resolução da figura

3.3. Auto-Similaridade Estatística

as partes são, em média, similares ao todo

exs: 

* fractais na natureza ( costas litorâneas, árvores, etc )  

* fractais matemáticos

( gerados por processo determinístico caótico )

( gerados com adição de números aleatórios )

AUTO-SIMILARIDADE NO TEMPO

* exemplo determinístico:

saída caótica de um mapa unidimensional 

x t +1 = x t + xt2 (mod 1)

 

diagrama de 1o retorno: [fig. pg. 118] 

série temporal: [fig. pg. 119]

mostra invariância de escala!

* exemplo estocástico:

saída de um gerador de números aleatórios

série temporal: [fig. pg. 120]

* exemplo observado na natureza:

registro dos batimentos cardíacos

série temporal [fig. pg. 121]

 

todos mostram invariância de escala!

 

espectro de um sinal auto-similar no tempo:

“ ruído 1/f ”

energias aproximadamente iguais nos intervalos

0.1 Hz < f < 1 Hz

1 Hz < f < 10 Hz

10 Hz < f < 100 Hz

100 Hz < f < 1 kHz . . .

fenômenos que respeitam esta distribuição:

* tempos de chegada de chamadas telefônicas

* ruído intrínseco em semicondutores

* densidade do tráfego de automóveis urbano

* nível de cheias em rios

* ritmos biológicos, etc. 

3.4. Fractais e Comportamento Dinâmico

“fractal” objeto geométrico auto-similar

“caos” evolução temporal imprevisível de uma variável

os dois conceitos são intimamente relacionados

exemplos (em sistemas não-lineares):

* “jogo fractal” ou “jogo do caos”

* autômatos celulares

* passeio aleatório e movimento browniano

* escape para infinito

* fronteiras de bacia fractais

* agregação e percolação, etc

“JOGO FRACTAL”

dinâmica discreta com elemento aleatório

algoritmo (entrada aleatória: lance de um dado)

* triângulo equilátero ABC

* condição inicial: 0 (qualquer ponto tomado dentro do triângulo)

* lança-se o dado para selecionar um vértice

1 ou 2 A ; 3 ou 4 B ; 5 ou 6 C

* ponto 1:

ponto médio entre 0 e o vértice sorteado

* lança-se o dado novamente

* ponto 2:

ponto médio entre 1 e o novo vértice sorteado

. . .

resultados (ex 2; 6; 1; ...):

3 lances [fig. 3.7]

100, 1000, 5000 lances [fig. 3.8]

* para infinitos lances:

é construída uma cesta de Serpienski !

 

* uma regra simples gera um objeto complexo!

 

* conjunto final:

quase independe da seqüência de lances

é o atrator do sistema dinâmico

 

explicação lógica:

 

* o sistema é, em parte, determinístico

 

* a cada lance t:

divide-se o triângulo em 3t regiões possíveis

ponto 0: 1 região (triângulo inteiro)

ponto 1: 3 regiões resultados: A, B ou C

ponto 2: 9 regiões resultados (1o e 2o lances)

AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC

ponto 3: 27 regiões 1o , 2o e 3o lances

AAA, AAB, AAC, ABA, etc... [fig. 3.9]

 

aplicação importante: pode revelar correlações!

(análise de séries temporais - CAP 6)

 

* séries totalmente aleatórias

* séries determinísticas caóticas

* séries mistas

 

ruído 1/f [fig. adicional a]

movimento browniano [fig. adicional b]

mapa logístico com a=3.999 [fig. adicional c]

seqüência de bases do DNA p/ amilase [fig. adicional d]

[ Peak & Frame, Chaos under Control, p 222]

 

PASSEIO ALEATÓRIO

 

difusão: processo físico em escala molecular

deslocamentos aleatórios devidos a colisões

não envolve gasto de energia

persiste enquanto há diferença de concentração

“movimento browniano” [R. Brown, 1827] 

modelo:

* passos de mesmo comprimento

* direção e sentido aleatórios 

investiga-se:

para a população de partículas:

* distribuição espacial em função do tempo

ex: distribuição gaussiana

para cada partícula

* deslocamento total médio em função do tempo 

ex: 2 dimensões, 500 passos [fig. pg. 127]

* lei de potência observada:

d MED = k . t 1/2 ou dMED = k . t ( 4 - ) / 2 ; = 3

 

* para passos de comprimentos também aleatórios

continua auto-similar (expoente ½ , outro k) 

“caminhada intencional”:

d MED = k . t = k . t ( 4 - ) / 2 ; = 2 [fig. pg. 127] 

“passeio de Lévy”:

d MED = k . t ( 4 - ) / 2 ; 2 < < 3

* comprimento dos passos: lei de potência

* eventualmente, pode haver passos muito longos

* prazo longo ou curto: diferentes estimativas

 

ESCAPE PARA INFINITO 

*para muitos sistemas dinâmicos: a variável diverge para infinito

*isso depende da condição inicial

*condições iniciais que não divergem: podem formar um fractal

(ex: conjunto de Cantor) [fig. 3.12]; [fig. 3.13]

FRONTEIRAS DE BACIA FRACTAIS 

sistemas dinâmicos multiestáveis:

dois ou mais atratores coexistentes (periódicos ou caóticos)

* para cada atrator: conjunto de condições iniciais

“BACIA DE ATRAÇÃO”

* pontos de fronteira entre duas bacias:

podem formar um conjunto fractal 

exemplos:

mapa de Hénon (bidimensional)http://www.enseeiht.fr/hmf/travaux/CD9900/travaux/optmfn/hi/00pa/cshp07/chap1.htm

resolução de z4 – 1 = 0 pelo método de Newton

http://www.chiark.greenend.org.uk/~sgtatham/newton/ 

sistema ótico de 4 esferas

http://webs1152.im1.net/~dsweet/Spheres/reprint.pdf

CONJUNTO DE MANDELBROT

mapa com variável complexa ( z t = a t + b t i )

z t +1 = z t2 + c

c = x + y i

para cada par (x,y) no plano: inicia-se com z0 = 0

se z divergir para infinito ponto em preto

se z não divergir ponto em branco

http://www.lboro.ac.uk/departments/ma/gallery/mandel/

* estrutura de uma couve-flor: coincidência?

http://www.ba.infn.it/~zito/project/cavolo.png

http://www.cite-sciences.fr/english/ala_cite/expo/explora/mathematiques/math_29.htm

CRESCIMENTO FRACTAL, AGREGAÇÃO E PERCOLAÇÃO

exemplos:

deposição eletrolítica de metais

colônias de microorganismos

difusão em líquidos imiscíveis, etc 

padrões podem ser simulados por algoritmos muito simples!

 

Modelo de Eden: [M. Eden, 1961] 

rede quadrada

t = 0 inicia com uma primeira célula

t = 1 outra célula é acrescentada aleatoriamente (4 posições)

t = 2 uma terceira célula (6 posições), etc

[fig. pg. 137]; [fig. pg. 138]

 

* para grande t: a fronteira do conjunto é fractal!

Agregação limitada por difusão ( “D.L.A.” )

[Witten e Sander, 1981]

também supõe uma partícula-semente

outras partículas são distribuídas e sofrem difusão aleatória

quando tocam na semente, são agregadas

[figs. pg. 140]

 

Percolação:

* transição de fase (ponto crítico perfeitamente definido)

* as ramificações se aglutinam formam uma massa única

[Stewart, Does God Play Dice?, p.308]