Capítulo 21l+al.Lf-Ltv)'1.f,

ou do 2e grauFunção quadrática

1. A parábolaPãa o cstudo da tunção do 2r gÌàu é necessário o conhecimenb de uma cuÌva ptana denominadâ

pârábolâ. EssÂcurva é â intersecçÀo dâ superfície de um cone colÌ trm ptâno paralclo auma rtas gera_

Aparábola estápresenÌe no nosso dìâ-a-dìa enr víÌrìas sìturìçõÕs.

Exenrplos

â) Quando lançamos una peúa obliquamerÌrepb'r c.mi. .u, , l r {etór d ( prrâbot icâ.

bì Qudr do d( end.n , , , o tarol d. , . Jrro, o. r . , r , . .de Ìuz, provenienLes da lâmpadâ, incidemnum espeiho pârubol ico. , !o -et ler ido, I ì : r ! le lJmenÌ(

Je

165

Funçãô quadrática ou do 24grau

Como você vê, emboÌa poucos sâibam o nomeComo a parábola será umê companheirâ constânle

Definjção

,lri ' - . : . ' . '

dessâ cürvâ, elâ fâz paÍe do nosso cotidìânodaqui por drânÌe, convém conìecêla rnais rÌe

if:n,,ú:*:irr;t;#r"..rlrir.:.l

O ponto P. do plano (r. F), peÍence à parábola se,e 'omenre.e. Pf PP 'P é â projeçuo oíogonal

Nomenclafura. A reta r. é a diretriz da pâÌáboÌa.. Oponto F é o foco dâpâÌáboÌa.. A reta pque pd*â por reéperpen, lnuìâr â,

é o eixo d€ sim€tria dâ pâÌábolx.. O ponto v, inÌersecção da pâÌábolâ com o

eixô e, é o Yéúice da paúbola.

2. A parábola como gráfico de uma funçáo

\o plano canesidno do lado Íep'e\enÍamos âpaúbola cujo foco é o ponto F(0, 5) e cujâ direrrÌzé â rera /. peÍpendjcuìâr ao eixo Ov peìo ponroí0. l) Essa cuna e griifico de uma funçio/ : lR -

R.

Usando a definição de paÌábola, podemos deteFminff a lei ) : /(.,r) que associa cadâ Í do domíniode/ à \uâ imagem ),. Para i*o. con,ideÍemo. umponro Pí\. )). genenco dd parábolâ. como mosÍÍ-

166

Funçáo quadrálica ou do 2qqrau

. o ponto PpeÍence à paÌábola; logo, PË: PP'.

. O conpÌimento do segmento PP'é) 3.

. O coÍnpÌimento do segmento PÃ é obtido pelo teoÍemâ de PÍágoÌas no triângulo POF :

(PF)1= (PQll + (QF)'z ë (PFÌ: Ì': + Cr 5Ì . . PI : 'ç'

+ (i - 5f .

Nota

Mesmo que o segmento PF sej a paÉlelo a un dos eixos, O-Ì ou ô, seu cornpriÍnento pode ser obtidopela fóÌmula anterior.

PF : PP' .1'4'+]y s; : y :

. . (ú ' . o ' -5r I =cu-:r . . :É+o s)2=(r , 3F

. . . r t+ y1 tor+25: I 6] '+9

. . r ,+ t6:4J . . )= ? +4.

Loso, a parábola ênterior é o sráfìco dafunçao;,: f ++.

De nânei.a análoga à que fizemos parâ essa cuÌva, podemos demonst.aÌ que toda parábola com ei-xo de simeiriâ peryendicìÌar ao eixo Ox é gÌáfico de umê função do tipo ], = dr': + ójr + c, com1d, à, . Ì cRea+0.

Definição

Exemplos

ã)r -3: tz r 2

b)/(.Ì) : ai'z 2

c\ í@:; - ;

d)]r : Ì,

3. Gráfico de uma funçáo do 2a grau

Essa paÍíbola tem o ei'(o de simetÌia peryendicular ao eixo Or e sua concavidade é voltada para osentido positivo do eixo oy, se d > 0, ou voltadâ para o sentido negativo do eìxo Ot, se d < 0.

167

Função quadrálica ou dô 2! grâu

ExempÌo

PâÌâ esboçar o gráfico da função J : Ìr, podemos construir â seguinte tabeÌa:

Como sabeÌnos qüe o gÌático dc umr função do 2! grau é uma parábola. nârcamos no pÌano câÌre-siano os pontos oblidos pclâ tabela e a seguirunimos esses pontos desenìando üma paÌáboÌa.

4, Pontos notáveis da parábolaAlguns pontos da paÌábola, poÌ fâcilitârem â constrüção do gráfico da tìnção do 2q grau, merecem

deúâque. Vejanos quâis são eles.

4.1. Os pontos de intersecção da parábola com o eixo Or (se existirem)PdÌaobtêlos,apaí irdet=ar ' :+b-v+(] ,bastaêtr ibuìÌmosovaÌorz€roàvariável)eresolverâ

equâção: a!: + áj| + . = 0. 1!

Pa.â rc\ ! ' lve la. JrrL,,amo, a rormuld de Bha.kâ â, ' ^= - t .eÌnque^ b 4d,.

. Se a equação (Ì) tiver À > 0, então terá duas Ìaízes reais e distintas: jrj + r:. Assim, os pomos deinrcrsecção da paráboÌâ com o eixo OÌ são (Ìr, 0) e (rr.0).

Resuínindo:

168

Funçáo quadráticã ou do 2qgÍãu

a) Dâdâ â função do 2q gÌãúf:2x2 \ l, para obtemos os pontos de ìntenecção de seu gÍáficocom o eixo Oiy, âtribüímos o vâlor zero à vâriável ) eresolvemos a equação 2r, Ì I :0.

Temos^:à'z AaclL=( 1) ' 4,2.( I ) :9.Como Á > 0, a parábola intercepta o eixo Or Sabemos ainda que o coeficienre de r, é posì-

em dois pontos distintos: (ÍÌ, 0) e (Í,,0), em que tivo (a > 0); logo, â parábola tem a concâvidâde.r1 e -r2 são raízes da equação.

DetemiÌÌêndo .rÌ e ú, temos:

-hlnE I r ì : Ì " ,8

b) ConsideÌ€mos a função do 2q grau f(j') : 3x1 + '7 :t 2.Atrjbuindo o valor zero à vnrjável/(Ì). obtemos a equação 3jr'?+7-v-2:0.TeÌìos Á = b2 4ac +

^:72 4( 3)( 2) :25.

CoÍno  > 0, ê parábola coÍespondente ao Sabemos ainda que o coeficiente de -!, é nega-gÌáfico de/ intercepta o eixo O-Ì em dois pontos tivo (a < 0), o que impÌicâ que â concavidade dadistintos: (Ì,,0) e (,v2,0), em que,vl e ì:: são as raí paÌábola é voltada paÌa bâixo:

DeÌeminândo Ì, e Ìr, tl3mos:

-b ! dE -1 ! ,,8í- 2a 2( 3)

l^

. Se a equação (I) tiver ^

: 0, enlão {eÌá duâs raízes Ìeais e iguais: jrr : jq. Assim, a paÌábola seúÌalÌgente ao eixo oÌ no ponio de âbscissa Ìj : ar.

Resumindo:

_l2

-z\-169

Funqão quádÍóticê ou do 2qsr8u

ExempÌos

â) Sendo y = tz- 6ï + 9. fâ.çamos ) = 0 pam obter as raízes dessâ função' ou seja Í' - 6Ì + q:0

TemosÀ=r '? 4dc+À:( 6\z 4 ' l '9

Como À : 0, temos duas Íaízes Íeaìs e iguâis(.rr : ÍJ; poÍtânto a paníbola tangencia o eixo OÍno ponto de abscissa :rÌ : rr.

Determinando essas râízes, temos:

" -ó iJÀ j ,_ (-6)aJo

^h2

. . . J l :4, = 3.

Como o coefìciente de 'I':é Positivo (d > 0)' â

concavidade dâ parábola é voltâda para cima:

b) Na função /(r) = ar' - 1à - 9. fazendo f(r) = 0' obremos âs rìízes de í ou sejâ:4t2-12.x-9=0'

remosÀ : ò, _4ac = À = (_l2F -4( aX-9) = 0.

Como À : 0, Ìemos {ìuas Íaízes reais e igüais O coeficiente de rz é negativo (d < 0); logo' a

(,r1 :.r,);Ponân;o  paúbola tangencia o eixo O:Í paúbola tem a concavidade voltada paÌa baixo:

no Ponto de abscissa Ìr = tr.DeteÍminando essas mízes, temos:

,hL " lL r-12) a J0x=-- 2d - Í r \4)

3z

. Se a equação (l) tiver À < 0, então não teÌá Íâízes Ìeais Assìm' a paÌábola não terÁ ponto em co-

mum com o eìxo o.{.

Resumindo:

{concavidad€ pâE baixo)

r?0

Função quadráuca ou do 2egrau

Exemplosa) Sejâ): 2Ì'?+ Ì + l. Fazendol,: 0, Ìemos 2Ì'?+ r + I : 0.

L-bt 4at + L:1 ' 4,2.1:-1.

CoÌÌo  < 0, a equação não possuì raízes reaìsl"o srgnrlrca que a parabola corrc.pondenre a;gÍáfico da função não tem ponto em comum como eiro Or. Sabemo. ainda que o coef ic ienre de íé po' ì r ivo íd 0): logo. a concavidlde e \o l r r , l "pala cìma, conforme gúfico ao lado,

Para deÌerminamos a posição dessa parábola, podemos construir uma tabeÌâ:

Nota

Nos subitens 1.2 e 4.3 seguintes, estudaremos alguns pontos notáveis da paÌìíboÌa que dispensarào aconsÌrução dessâ tabeÌê.

b) seja/(r) = -Ií7 + 2:í - 1. Fazendo f(-Ì) : 0, temosi 2Ìz+2r l=0.A = b'1 4ac + L :22 4( 2X-1) = 4.

como  . 0. d equaçào nào po,sui rarze, reai'.poÍanto a parábola não tem ponÌo em comumcom oeixo O,. Como o coelìc ienre de,:ë negar-vo (d < 0), a concavidade dâ pan4bola é voltadapâIa bâìxo, conforÍne gráfico âo Ìâdo.

Se quisermos deterninaÌ a posição da paÌábola, podemos construir uma tabela:

171

Fun(áô quâdÍár ca ou do 2!sÌau

4.2. O ponto de intersecçáo da parábola com o eixo O1'Parâ obtê Ìo. â paúir de ) = ar, + ó-! + c, basla âúbuiÌmos o valor zero à vadáveÌ Ì:

t :a,V+b.0+c+y=,1.

Assim, o ponto de ìrtersecção da paúboÌâ com o eixo O) é (0, .).

ExempÌo

Para esboçar o giífico da função ) : .r2 - 6r + 5, vâmos obler os pontos de intersecção da paráboÌacom os eixos OÌ e O]Ì.

Fazendo):0, temos -r'] 6r + 5 = 0.

L=b1-1ac

..À=(-6f-1.1.5 16

t"+ l ÍLogo. Ì: _-:::1 +

- ( 6) :JL2l

Ëntão, â parábolê inÌeÌceptê o eixo Oj no ponto(0.5).

O esboço do gií1ìco é:

. . i ì=5ir , :1.

Poíânro. a parJbola nreÍceprd o ei \o O, nu,ponÌos ( Ì ,0) e (5. 0) .

Fazendo -Ì - 0, temos

l :o ' ]6 '0+5=-r:5.

4.3. O vértice da parábolaOuÌIo ponto norável da parábola é o seu véÌlice. CoÌno obrê lo?No exempìo anÌeÌioÌ vimos que o esboço gÍáfico da função )Ì: Ì1 6r + 5 é.

O \í r i .c v Ja Fraboid pe ence uo e' \o desiÌÌetr-iâ e. l-ogo. sua úscissâ é a do ponto médrodo segmento de extremos (1, 0) e (5. 0). ou seja,

Substitü;ndoÌpor3 emJ: Ì, 6j + 5. obte-Ínos a o cnadado véÌlice:

)=r ' o r+: ì+Ì=-4.

Po.lanro o rèruce dâ pír;botJ e o ponv(3, 4).

Percebemo,. por e$e c\emplo. que. quanuuuma pJribolJ i!ìrercepra o ei(o O.rem dor. ponto,di . ì inro ' , rorna^e ÍJcr l dereminrr J5 coordenadr..r, e )Ìv de seu véÍÌce.

172

Funçãô quâdrálìca ou do 2e grau

Pensemos agoÌa na lunção ) : -.r, + 4Ì - 4, cujo gráfico él

QuaÌ é o véÌlice dessâ pâráboÌâ? Clâro que é o ponto de tângênciâ (2, 0).Esse câso âìndâ se mostrou simples. Analisemosentão um câso mâis compl;câdo, ou seja. uÌÌâpaníboÌa que não intercepre o eixo OÌ. Por exem-plo:)=Í ' :+2r+zl

FazendoJ = 0, ÌemosÌr + 2t + 4= 0.

L,=b, 4acé A,=21 4.1.4: 12.

Como 0ea 0. a paÍdbola nào po*urponto em comum com o eixo oi e sua conca-vidâde é voltada paÍa cima, confome gráfiso âoÌâdo.

Como determimr o véÍtice dessâ prráboÌâ? TÌâcemos peÌo

Dererminemo, o, vâìore. de , de modo q e í , . . , .

seja ponto dâ parábolâ, oì.r sejâ:

)-: a -+ x2 + zÍ + y'=/..-v:+ 2r = 0 . '.-r(.,r + 2) : 0+Ì=0our:-2

ponto (0, 4) urnâ reta paÌalelâ ao ei{o Or:

173

Funçãó quadrálica ou do 2! grau

O véÌ.ìce y peÌlence ao eixo de simetria da parábola; Ìogo, süâ âbscissâ é â do ponÌo médio do segmenlode extrcmos (-2.0) e (0,0), is to é, Ì = 1.

Sübstituindo -r por - 1 em I : Ì, + 2,Ì + 4. obtemos a ordenada do vériice:r : ( l Ì+2( l )+4.. . )=3.

Logo. o váÌice dâ paÌábola é o ponÌo y( 1, 3).Vêmos plovâÌ geneÌicamente que:

DemonstraçáoConsideremos â função ) = &t1+ bt+ c,comla,b,.l C R e a + 0. Sendo À : òr 4d.. Ìemos

lrês casos: À > 0 (I); Á : 0 (I)i eA < 0 (ID.

Lrro: - : 'Nesse câso a função tem duas raízes reâis e distintas:

h+. lL' ,= n ," ,= bJtr

2a

A parábola intercepÌa o eixo OÌ nos ponios (.Ì1, 0) e (-r,, 0):

O véÍice y da paÍáboÌâ peíence âo eixo de simetria e. Logo, a abscissâ Ìy é a do ponto médio do seg-menio d€ extÌ€mos (irj 0) e (r:, 0). Essa abscissa é a méúa aritÌnéÌica das abscissas r, e -rr, ou seja:

rv = ---- =

h+JL b-4tr 2b------+_--=- ---

2a-2a2a2a

Subsiituindo na tunção ]' : dÌ2 + tÌ + c a variável .r por - 3, obternos a oraenâdâ 1,, do véÍice:

"Jv:

+.,b

2a

b'

b ' 2b'+ 4dc4a

(b'1 4ac) A

174

(c.q.d.)

Função quad.ática ô! dô 2qgraú

ÌüÌ4*,, jÌ

Nesse caso â função tem duas nízes reâis e iguâis Ìr = i!,

o.r no ponto ale âbscissâ Ì , : "' = -

,oL.

2dA paÌáboÌa é tângente âo eixo

(c.q.d.)

A*im, a ab.cr.sã \ . do veí ice I e - - : . Vimo' no ca'o ( | | que..ubsl i ru i ído nâ run!ào

) = a1'z+ ó.ï +. avariáv.l tp", +,

Nola

obtém-selv: ad

0.

Nesse caso a função não tem mízes reâis; poÍanto a pâÍáboÌâ não tem ponto eO:Í:

Como ^

= 0, tremos que ), =

O ponto de intersecção do gráfico com o eixo O) é (0, c).

L

175

Função quadrálica o! do 2!grâr

Nota

É cÌâÍo que o gÌáfico podeÌiâ estaÌ em umaposição diferente dessâs. Estâmos iÌustÍândo apena$ paetàcÌÌitaÌ o râciocínio.

Consideremos a reta que pas$a pelo ponro (0. c) e é paralela ao eixo Or.

Parâ deteminarmos as cooÌdenadas dos pontos da parábola que têm ordenadâ .. basta substiruirmosna 1ìrnção ] = ar'z + ór + c a vêriável J por.:

y' : d + hx + y ' . .o: ax.+ b\ . .0: Ì (aÌ+r,) . . "=o *,= a.

Como o v&úce y peÍence âo eixo de simetriâ s, temos qüe à âbscissâ Ìy é a do ponto médio do seg/Àì

menro de extremos (0,0ì e | ; ,0.1

ou serr

o*í aì\ a) h

2a'

Colno vinosno caso (I), subsÌiruindo na tunção J : at' + àÌ + . a variável.,v por - f, "tt.*

*,

^

176

Funçàô quâdÍáiicá ou do 2qgrau

Exercícios resolvidosEin'a: Esboçd o gúnco da tunção) = Ì'1 6Ì + 8. dando sen domínio e conjunto imagem.

ResoluçãoFazendoÌ = 0, tenos:rl - 6Ì + 8 = 0 + , = 2 ou Ì:4.

' Logo, a püáboÌa inteMpta o eixo OÌ nos potrtos (2, 0) e (4, 0).Frzendo a = 0, temos ) = 02 - 6 0+8 + l=8.Logo, a püáboÌa intercepta o eixo O) no potrto (0, 8).A abscÌssa ry do !éíice é a do ponto médio do segmento de extremoi (2, 0) e (4. 0). Isto é:

, - ï - ,

A oidemda)vdo véltice é obtìdâ substituindeset por 3 em) = ai óÌ+8.htoé:

)v=32 ó 3+8r yv= I

Logô, o véÍice é o ponto Y(1. l).

O doÍúnio da fDnção é R, pojs lda quaÌquer Ã Ì € lR, existe f real tal que ) = a1 6Ì + 8.O conjmlo iMgen da füÍção é aquele fomado pèhs ordenadâs de todos os potrtos do gútico Essasordenadas são todos os números reais maiores ou iguais a l

In={}€RlÌ> 1} ou Im : t -1, +-t .

Êiz*i',r Esboçe o erá1ìco da função y : .É + 4, 5. dúdo seu domínio e conjulo imsem

ResoluçãoFendo ) = 0,temos -rl + 4Í 5 = 0.

À =:P 4( l ) ( -5) . ' . Á = 4.

Cono ^

< 0, a função úo t€m nrízes reais: poÍanto a pdáhola não intercepta o ei\o or'FâzendoÌ:0. temosl ' = ( t+4 0 5+l : -5Logo, a pdáboÌa intercepta o ei{o t}] no ponto (0. - 5 )PaÌì delenindmos o vénic€ V(Ì', rv). vmos usâr âs fónulas:

' ' ' 21 2( ì )

a _ ( 4) _. _ ,t ' 4u - ìq t l - "

Temos então q& V(2, 1).

E

.E

177

Função q!âdráricâ óu do 2qs6!

E

E

O esboçÒ do eÌánco ó:

B:3':ì:l o gránco da lmçãolt) = d1 + ,a + . é ilâdÒ do lado.De1enim..óe..

(0,2)€l + 2=d 02+à 0+..(1.0)e/ + 0:4. r r+á. 1 +. .(4.0) € í + o = d. 41 Í b. 4 +. : .

remosentãoa= i , o : -1, , - ,

Rt4:,,: pm que ratores reais de u a função /(r) =

Uma função do 2q sran,/(a) : a\1+ bx +ou *jar È: - 4a. > 0.

Asim. !âú dcterminüd. à e.. basrâ Íesorvemos o sisrem" { I *=r1 !t'= n,rt,L ióa+4ò+.:0. ( I l l )

Substituindo . por 2 eft (ll) e (1Í). e, a segulJ, nDlriplicdndo lor 4 ambos os menbrcs de (Ìl). Lemos:

Somando. membro a memhÍÒ, esas dlas úÌtimas equâções, renosr i2a ó = 0 e a =

sou'r i , ' inoo. ". i Iq. , po. | ", ,po.2..r 'r".*, |

*r,+z:o = l= ].

O domíúo da função é R.o conjunto imasem é In: l--, 11.

}Ir+ 5Ì + n + 3 admiledua$raÍzes reàis edisrinlnsl

.i. admile duas mízes Êais è distìúas se, € somelte se, Á > 0.

la+b+2= o.( 4) | 4a-4ó-u:ol l6a+4ó+2 - 0 l lóz+4r+2:( ì

I

2

Natunção/(-Ì) = ãr + 5Ì + / + 3, Ìemoí:\= b) 4ac

- a:5: 4 . 2(n + 3)

. .4=25 8(u +3). ' .4:25 8n 2:1 . . ,1=l 8n.

lmpondoA O.rem,F: l 8a 0, . f - . - r . .V, f , , r l

Loso. a função/ rem duas raízes r€aìs c disiintas para rod.. e r".. f,.

174

Funçào quadÌári.â ou dô 2! OÉu

:Ëì5i' o cránco da fuçãolk) = eÌ7+ r l, t € R, é uftâ !âíhola que posui dois ponros distintos em comumcom o eixo Or. Deteminü os po$ívçis vãiôÍes dè t.

ResolusãoPa.a quê o eúôco de/ seja uma pdáboÌa. devemos impor ünâ condição pda B:Ìmtir quefé tunção do2q gra!. Esa condição éì

:.-i +í:: rrrPda que a pddbola teúa dois pontos distinros em conüú com o eixo Or, a funçao/ deye tcr duas rdzesreais e distinllsi lorlanlo devemos tor A > 0.

L:b,_4dc + ^=1'

4.À,( t ) . . .Â=1+4n.

r r . "ndoa , , . 'emo\: | !Á 0. . r r . . r , i i l i * : , " ': . i : : l+: i :1 _

Por í I ì e í Ì Ì ì . km.\ Í > - e t +{J.

rEiF.'li DeLemiid ô onjunro imasem da tunçãol : [ 2, 2t -

R ta] q!e/(Ì) Ìr 2.r 3.

Consideremos a função 8: R- R tai que 8(r) = Ì' 2r - 3.

A,=b1 4ac- ^=(

21 1,1.( 3). .À=16.

- ,x,LT ( 2) 1 JLt= , , - r= : . r

Ao resirlngimos o domínio da tNção s ao intdalo [ 2. 2t. oblemos a função /, ou sejâ:

/ r I 2.2t- R 1al que/(a) = Ì r 2t 3 '

. f ( 2)=\ 2) ' 2( 2)-3 r / ( 2)=5 efQ)=t 2.2 3 +JQ)= 3

Loso. o conjunto imasèú de/ él

Im=l)€rRl 4<:r '<51 ou Im=l 4,51.

179

Funçãô quadráticã ou do 2'gÌâu

Exercíc,ios básicosi$fi:i'i o'i,*" . g.ri"" a" cada una das ruções. dúdo seu domínio e conjunto imase6:

f ) r=zÌr 2t+l9J : 5rr+ 2r I

i ) r : r t 4x 4) ) : Ì r -6r+5

Ì) )= 3a'+5ì'm)t = Ì '+ 41+ 5n) ] : 2r '? 18

*jË-i!l o eranco aa ruçao i, : 62 + bt + c é:

'ì) os valores dc a, b e.l

b) o corju.to inaeen de$a turyão.

ffi:fi O gráfico da fmção I : N1+ bx + c é:

DereDìne os valores de a, à e .

f f iÉ o eráf ico da fução/(Ì) =ú2+tu+cé:

a) Detemine os valores de a, à e..b) calcuÌe /(4).

ÉF;# rta que ralores rcais de u a função /(r) = m, + 3Ì + I possui duas raíz€s reais e disrinras?

Bì$ã# para que vatoes reals dcn a função/(Ì): r: + m + n 1 admire .tuâs raías eais e iguais?'ôi..,'i.f r-" qr"

'a.r"r.""isdena fungao/(Ì) = (u 2h, + 2M + t + 3

'ã,o ̂ dnite raLes reais?

í80

Função quadrática ou do 2egrau

E x e rcício s c omple me ntare sSendo {a, à,.} c R. coma + 0. o eránco dafuçao/G)=d'z+ór+.é:

:ÇriË;i

:C:â;osúf icÒddfunçãÒ/(r) :3Ì , - ( i+2I Ì+Ì- l , t€R,énnapdábolãcujovédiceperrenceaoexo

das abs.issar. Deremine o valor de t.

Ce;l O gúfìco d! lìnção /(r) - kÌ'1 Qr + 4F + t + 4,t € R. jn1érèp1â o eixo das abscissâs em dois ponÌosJinrnro. Detenne o. pn*r \er. valôF' dê / .

4-i+::1 OCráficodafunção/o)=rr+r+21 3, t € lR, não inle.ceptâ o eixo {t6 abscissas. DeÌemine os possíveis valorcs de À

€*ii Conslaere o con;unto A : t-1,21èafmção/:Á -Rtalque/(r) =rr 7r+ 12. Derernine o conjúnto

inasem dè /.

:GlÊ.* ouentu o conjunto imasem da tunçao/r f0,4t - R 1âl qüè/(ì) = Í: 21 3

:@Ê senoo o con;untoa = 10, +-teaiìnção/;Á- R tâl qúe/('): -Í'?+ 4r, qlal é o conjunlo imrsem

Questões dos ve stibulare s:Èì4Ì (Fuvesr-SP) O súfìco de/(, =

': + br + ., onde à e. são constantes reais, pussaleÌos pontosÁ(o,0) e

ro,e.e'".r( f ) "a",

CÌdsinque como V ou F câda ma das afimações:

d) O núnero reaÌ. é legaiivo.b) O número reaÌa élosilivo.c) A abscissa do véíice y é negaiiva.d) O númcrorcalò énesâtivo.

er,q. oraeraaa ao,e,t*". íò 44'ì4,

f) Odisdinindtedaeqnação/(r) : 0énü]o.

e)4" ,3:iitáÊli 6uu"rt s4 conri t"re a ptrábola de equação ) = x2 + N + 4m.

ã) Ache a iÍtúsecção da pdábola com o eixo OÌ, quddo n = 2.b) Dehine o conjÌnro dos vrlores de a paÍa os quais a ldábola não intercepta o ejxo O-Ì.

i i i .g l l * (UFAC) Dud"u- loção^: Í ( ' , r ) €Á x B talque J: a '?- 6a + 5l . en que Á = I 1,71c Ì l = t0,5t .consÌrua o eÌáfico. dê o doftínìo e o conjunlo lmagem deÃ.

:ÌÌl'Èii: Orucl o ""':'"r"

de lodos os mlores reais de /, pda os qlais o co':iunto imsen de

t/^ r ' ru f_

f taB tr-rB.r . 2 e:

-2

a) (ol

b) \ 2.21

o+ o+

o{ '5. '5 id) {-,6 , "6 l") l ,ilo , "/iõ J

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