Cap 17 - Função Modular.docx

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<p>MatemticaFrente IICAPTULO 17 FUNO MODULAR</p> <p>CASD Vestibulares16Algebra</p> <p>19CASD VestibularesAlgebraCASD Vestibulares20Algebra</p> <p>1- O QUE O MDULO?</p> <p>O mdulo ou valor absoluto de um nmero x o valor numrico de x desconsiderando seu sinal. A representao do mdulo de x se d por |x| (x entre duas barras verticais). Vejamos alguns exemplos:</p> <p>|2| = 2 |5| = 5 |-3| = 3 |-0,5| = 0,5|0| = 0 </p> <p>OBS: Veja que, se o nmero negativo, o mdulo tem o efeito de trocar o seu sinal. Isso vai ser til para entender o tpico 2.</p> <p>Pense agora quanto vale |1,2| e |-20|. Se voc respondeu 1,2 e 20, voc est apto a seguir em frente na leitura.</p> <p>2 DEFINIO MATEMTICA</p> <p>2.1 Definio algbrica</p> <p>Uma maneira diferente de dizer o que acabamos de definir :</p> <p>Por exemplo: , pois , pois 4 &lt; 0 (aqui, o sinal de menos que colocamos tem o efeito de trocar o sinal) </p> <p>Esta definio importante principalmente quando dentro do mdulo temos expresses mais complicadas. Por exemplo: Digamos que queiramos saber quais valores de x so tais que . Fazemos o seguinte:</p> <p>Faremos isso com freqncia em equaes e inequaes modulares.</p> <p>2.2 Definio geomtrica</p> <p>Outra maneira de ver o mdulo de um nmero a distncia deste nmero origem na reta real. Por exemplo, na figura abaixo esto indicados os pontos 7 e -4 na reta real:</p> <p>Observe que a distncia do ponto -4 origem de 4 unidades |-4| = 4, e a distncia do ponto 7 origem de 7 unidades |7| = 7.</p> <p>3 EQUAES MODULARES</p> <p>Agora que sabemos a definio algbrica de mdulo, podemos utilizar isso para resolver equaes que envolvem mdulos. Veja os exemplos abaixo: </p> <p>Exerccio Resolvido 1</p> <p>Resolva: </p> <p>Resoluo:Para que o mdulo de valha 10, deve ser 10 ou -10. Vamos ento dividir em 2 casos:</p> <p>Caso 1: Neste caso, temos:</p> <p>Caso 2: Neste caso, temos:</p> <p>Resposta: </p> <p>Exerccio Resolvido 2</p> <p>Resolva: </p> <p>Resoluo</p> <p>Dividamos novamente em dois casos:</p> <p>Caso 1: Aqui, temos: </p> <p>Caso 2: Aqui, temos: </p> <p>Resposta: </p> <p>Exerccio Resolvido 3</p> <p>Resolva </p> <p>Resoluo:</p> <p>Chamemos :</p> <p>Resolvendo a equao do 2 grau: ou </p> <p>Como </p> <p>Assim nossas solues so 3 FUNO MODULAR</p> <p>O ato de aplicar mdulo em uma funo tem um efeito bastante interessante. Para exemplificar, tome a funo . Sabemos, com o que vimos no captulo 7, que a funo uma reta crescente que intercepta os eixos coordenados em (1,0) e (0,-1), conforme o grfico abaixo:</p> <p>A pergunta agora : O que aconteceria com o grfico se a funo fosse ? A resposta simples: O mdulo transforma as imagens negativas em positivas(reflete-as para cima do eixo x). Veja abaixo o sinal das imagens de :</p> <p> Sendo assim o grfico de ficaria da seguinte forma:</p> <p>Podemos abstrair esse raciocnio para qualquer outro tipo de grfico. Veja:</p> <p>Exerccio Resolvido 4</p> <p>Esboce o grfico de </p> <p>Resoluo:</p> <p>A primeira coisa a se fazer esboar o grfico da funo sem o mdulo</p> <p>Conforme vimos no Captulo 9: uma parbola com concavidade para cima () e que intercepta o eixo x nos pontos e (suas razes)</p> <p>Sendo assim, temos o grfico de :</p> <p>Refletindo as imagens negativas, temo o grfico de :</p> <p>Assim, se conhecemos o grfico de uma funo qualquer, podemos facilmente esboar o grfico de seu mdulo.</p> <p>IMPORTANTE: Muitos problemas de vestibular demandam esboar grficos de funes cujas expresses no esto totalmente envolvidas no mdulo. Nesses casos, separamos em dois casos usando a definio de mdulo. Veja o exemplo abaixo:</p> <p>Exerccio Resolvido 5</p> <p>Esboce o grfico de </p> <p>Resoluo:</p> <p>Utilizando a definio, temos:</p> <p>Dividamos ento em dois casos:</p> <p>Caso 1: , ou seja: Neste caso, , que uma parbola com concavidade para baixo que intercepta o eixo x nas suas razes(0 e 1).</p> <p>Esboando o grfico para </p> <p>Caso 2: , ou seja, Neste caso, , que uma parbola com concavidade para cima que intercepta o eixo x nas suas razes (0 e 1).</p> <p>Esboando o grfico para :</p> <p>Juntando os dois grficos, chegamos ao resultado:</p> <p>Cada problema ento exige um raciocnio individual, mas em geral a diviso em dois casos pela definio funciona bem.</p> <p>EXERCCIOS PROPOSTOS</p> <p>Nvel I</p> <p>1. Resolva as equaes modulares abaixo. Se necessrio, consulte os exerccios resolvidos 1,2 e 3:a) b) = 0c) d) e) f) g) </p> <p>2. Esboce o grfico das funes abaixo. Se necessrio, consulte a teoria do item 3 e os exerccios resolvidos 4 e 5:</p> <p>a) b) c) d) </p> <p>3. Dadas as funes e definidas por e , o nmero de pontos na interseo do grfico de f com o grfico de g igual a:</p> <p>a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1</p> <p>4. (ITA-2011) O produto das razes da equao: igual a:</p> <p>a) -5 b) -1 c) 1 d) 2 e) 5</p> <p>5. (UFJF-2006) Sobre os elementos do conjunto-soluo da equao , podemos dizer que:</p> <p>a) So um nmero natural e um nmero inteirob) So nmeros naturaisc) O nico elemento um nmero naturald) Um deles um nmero racional, o outro um nmero irracionale) No existe, isto , o conjunto-soluo vazio.</p> <p>6. (UFV-2002) Se x e y so nmeros reais quaisquer, ento CORRETO afirmar que:</p> <p>a) Se ento b) Se ento c) Se , ento d) e) </p> <p>7. (UFPI-2000) A soma das razes da equao :</p> <p>a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2</p> <p>8. (FATEC-2000) A igualdade verdadeira para todos os elementos do conjunto</p> <p>a) b) c) d) e) </p> <p>9. (UFMG-2000) Considere a equao</p> <p>O nmero de razes DISTINTAS dessa equao :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4</p> <p>10. (UFRJ-2008) Considere a funo definida por . Determine os valores de x para os quais </p> <p>11. (UFPE-2005) Sejam x e y nmeros reais tais que e . Analise a veracidade das afirmaes a seguir:</p> <p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) </p> <p>12. (PUC-PR-2005) Sendo x e y nmeros reais, quais das afirmaes so verdadeiras?</p> <p>I. Se ento II. Se , ento III. Se ento IV. Se ento V. 13. Se ento as razes irracionais da equao so:</p> <p>a) e b) e c) e d) e </p> <p>14. (Ufscar-2002) Sejam as funes e .a) Calcule as razes de b)Esboce o grfico de </p> <p>Nvel II</p> <p>15. (CEFET-CE-2005) Para , simplificando a expresso , tem-se:</p> <p>a) b) c) d) e) </p> <p>16. (PUC-RS-2003) Considerando a funo f definida por , a representao grfica da funo g dada por :</p> <p>17. (Udesc-2009) A alternativa que representa o grfico da funo :</p> <p>18. (Fuvest-2002) O mdulo de um nmero real x definido por se e se . Das alternativas a seguir, a que melhor representa o grfico da funo :</p> <p>19. (UEG-2007) Dada a funo , </p> <p>a) esboce o grfico da funo f</p> <p>b) calcule a rea da regio delimitada pelo grfico da funo f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = -1 e x = 2</p> <p>20. (UECE-2007) Sobre o conjunto M dos pontos de interseo dos grficos das funes e possvel afirmar que M:</p> <p>a) o conjunto vazio b) o conjunto unitrioc) possui dois elementosd) possui trs elementos</p> <p>21. (ITA-2007) Sobre a equao na varivel real x,</p> <p>Podemos afirmar que:</p> <p>a) ela no admite soluo realb) a soma de todas as suas solues 6c) ela admite apenas solues positivasd) a soma de todas as solues 4e) ela admite apenas duas solues reais</p> <p>22. (MACK-1997) A soma das solues reais da equao a seguir :</p> <p>a) 8 b) 10 c) 6 d) 4 e) 2</p> <p>Nvel III</p> <p>23. (FUVEST-2004) Seja um nmero real e sejam f e g funes reais definidas por e </p> <p>a) Esboar, no plano cartesiano os grficos de f e g quando e b) Determinar as razes de quando </p> <p>c) Determinar, em funo de m, o nmero de razes da equao </p> <p>GABARITO</p> <p>1.a) ou b) c) ou d) e) ou f) ou g) No existem solues reais(nem complexas :P)</p> <p>2. a)</p> <p>b)</p> <p>c) d) </p> <p>3. b 4. a 5. a 6. c 7. a 8. c 9. c 10. ou 11. VVFFV12. As corretas so II e III 13. c 14. a) ou b)</p> <p>15. d 16. a 17. a 18. E19.a) b) 5,5</p> <p>20. c 21. d 22. a23.a)</p> <p>b) , ou c) 2 solues 4 solues 3 solues 2 solues</p>