cap. 17 - eletromagnetismo

ELETROMAGNETISMO I

UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino

153

A formulação completa das equações de Maxwell só será possível quando estudarmos os campos eletromagnéticos variáveis no tempo. Por enquanto, vamos fazer uma abordagem inicial destas equações, apenas para campos invariantes no tempo. Este capítulo tem por objetivo resgatar os conceitos apresentados até o momento e formulá-los de uma forma mais concisa, de modo que permita uma melhor compreensão dos fenômenos já estudados. Em seguida formularemos as equações de Poisson e de Laplace, deduzidas a partir das equações de Maxwell. 17.1 – AS QUATRO EQUAÇÕES DE MAXWELL PARA CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

ESTACIONÁRIOS Como pudemos observar em todo o desenvolvimento deste curso, as leis básicas do eletromagnetismo foram formuladas por cientistas do século XIX, a partir da observação de fenômenos elétricos e magnéticos, complementadas por pesquisas experimentais. Com o auxílio das técnicas empregadas em cálculo diferencial e integral, essas equações receberam uma apresentação formal, mais elegante e sofisticada. Esse trabalho é devido a James Clerk Maxwell, cientista inglês que deu origem a um famoso grupo de equações conhecido por Equações de Maxwell. As equações de Maxwell podem ser escritas tanto na forma integral, como na forma diferencial. Na verdade, o grupo de equações de Maxwell, na sua forma integral, nada mais é do que a expressão de leis e conceitos já conhecidos e estudados de campos elétricos e magnéticos. Na forma integral, para campos invariantes no tempo, já vimos que:

(C)dvρSdD.vs ∫∫ =⋅

rr (17.1)

0LdE

l=⋅∫rr

(17.2)

)A(SdJLdH

Sl ∫∫ ⋅=⋅rrrr

(17.3)

0SdB

S

=⋅∫rr

(17.4)

A equação (17.1) é a justificativa matemática para a lei de Gauss, mostrando que o fluxo total que atravessa uma superfície fechada corresponde à carga elétrica líquida por ela envolvida. Em seguida, a equação (17.2) mostra que a integral de linha do campo elétrico estático sobre um caminho fechado é nula, numa clara expressão da lei de Kirchhoff para as malhas em circuitos elétricos em corrente contínua. Em seqüência a equação (17.3) expressa a lei circuital de Ampère onde a integral de linha do campo magnético estático sobre um caminho fechado corresponde à corrente elétrica enlaçada por este percurso. Finalmente, a equação (17.4) mostra que o fluxo total do campo magnético sobre uma superfície fechada é nulo e demonstra, em um paralelo com a lei de Gauss na equação (17.1), a inexistência de cargas magnéticas. A pura aplicação dos teoremas de Stokes e da Divergência permite que as equações de Maxwell sejam expressas na sua forma diferencial ou pontual. Assim, pela ordem:

)m/C(D 3ρ=⋅∇r

(17.5)

17

EQUAÇÕES DE MAXWELL, POTENCIAL MAGNÉTICO E EQUAÇÕES DE CAMPO

ELETROMAGNETISMO I


154

0E=×∇r

(17.6)

)m/A(JH 2rr=×∇ (17.7)

0B=⋅∇

r (17.8)

Utilizando as identidades e relações vetoriais já vistas (gradiente, divergente, rotacional, teorema da divergência, teorema de Stokes), qualquer dos conjuntos de equações pode ser obtido, a partir do outro. A interpretação física dada para as equações (17.1) e (17.5) é a de que podem existir cargas elétricas isoladas e que o fluxo elétrico total que atravessa uma superfície fechada é igual à carga total (líquida) por ela envolvida. A segunda dupla, ou seja, as equações (17.2) e (17.6), nos dizem que o campo elétrico estacionário é de natureza conservativa. As equações (17.3) e (17.7) da terceira dupla informam que a corrente total que atravessa uma superfície aberta é igual à integração do vetor intensidade de campo magnético ao longo do contorno (caminho fechado) que envolve essa superfície. Passando ao limite, quando essa superfície aberta tende a zero, a circulação do vetor intensidade de campo magnético nos fornece a densidade e a direção da corrente elétrica naquele ponto. Por fim, a quarta dupla, formada pelas equações (17.4) e (17.8), de uma forma elegante mostra que não é possível a existência de pólos magnéticos isolados; eles sempre ocorrem aos pares. A estas equações adicionamos as expressões relacionando D

r com E

r e B

r com H

r (chamadas de

relações constitutivas) presentes em qualquer meio onde:

)/( 2mCEDrr

ε= (17.9)

)/( 2mWbHBrr

μ= (17.10) O conjunto formado pelas equações de Maxwell, mais essas duas últimas relações, constituem o cerne da teoria eletromagnética. Deve-se salientar que as equações aqui apresentadas referem-se a campos eletrostáticos e magnetostáticos (não variantes com o tempo). Veremos mais tarde as equações de Maxwell também são formuladas matematicamente para englobar campos elétricos e magnéticos variantes no tempo. 17.2 – POTENCIAL ESCALAR MAGNÉTICO E VETOR POTENCIAL MAGNÉTICO Uma das maneiras encontradas para resolver problemas de campo eletrostático é pela utilização do potencial escalar eletrostático V. Dada uma configuração de cargas, a intensidade de campo elétrico pode ser obtida pelo gradiente dos potenciais eletrostáticos uma dada região. Devido à grande semelhança nas formulações da eletrostática, somos levados a perguntar se esta forma de solução não pode ser utilizada na magnetostática, ou seja, definir uma função potencial escalar magnético, a partir de uma distribuição de correntes, e a partir dela determinar a intensidade de campo magnético. Esta questão pode ter uma resposta afirmativa, sob certas circunstancias. Vamos então designar uma função potencial escalar magnético Vm, numa analogia com a eletrostática e definir que:

)m/A(VH m∇−=r

(17.11)

ELETROMAGNETISMO I


155

O sinal negativo para o lado direito da equação 17.11 deve-se estritamente à analogia com a eletrostática. Escrevendo a Lei de Ampère na forma pontual e substituindo o vetor intensidade de campo magnético pelo gradiente negativo da função escalar potencial magnético teremos;

( ) JVH m

rr=∇−×∇=×∇ (17.12)

As identidades vetoriais mostram que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é identicamente nulo. Portanto, a função potencial escalar magnético só pode ser definida quando a densidade de corrente no ponto em que

rH está sendo calculado for igual a zero. Ou seja:

0H=×∇

r (17.13)

Como muitos problemas magnéticos envolvem geometrias em que os condutores ocupam uma fração muito pequena do domínio, o potencial escalar magnético pode ser útil. O potencial escalar magnético também é aplicável a problemas envolvendo ímãs permanentes. Uma diferença fundamental entre a função potencial escalar eletrostático e a função potencial escalar magnético é que a primeira é um campo conservativo, ao passo que a segunda não o é. O potencial elétrico V é uma função unívoca, ou seja, uma vez que a referência zero seja fixada, existe um, e somente um valor de V associado a cada ponto do espaço. Este não é o caso de Vm. Para que Vm seja uma função unívoca, é necessário que não somente a densidade de corrente seja nula no ponto considerado, mas também que a corrente envolvida pela circuitação do vetor intensidade de campo magnético na região de interesse também seja nula. Por exemplo, um condutor conduzindo uma corrente elétrica apresenta uma densidade de corrente somente no seu interior, o que implica na inexistência de linhas de corrente fora dele. No entanto, fora do condutor, a circuitação do campo magnético enlaça toda a corrente existente no condutor, mostrando que neste caso, o potencial escalar magnético não pode ser determinado de forma única. Frente às limitações da função potencial escalar magnético, no eletromagnetismo moderno, onde a determinação de campos eletromagnéticos é feita por recursos numéricos associados a métodos computacionais, outra função, esta denominada vetor potencial magnético, é mais utilizada, podendo ser estendida a regiões com densidades de corrente diferentes de zero, e campos magnéticos variáveis no tempo. Sabemos que as linhas de força do campo magnético são fechadas, numa clara mostra da inexistência de cargas magnéticas. Desta forma, o fluxo magnético total que atravessa uma superfície fechada resulta sempre nulo, ou seja, numero de linhas de campo que entram na superfície é igual ao numero de linhas que dela saem. A aplicação do teorema da divergência faz então com que a indução magnética resulte nula. Daí:

0B=⋅∇r

(17.14)

O vetor potencial magnético (bem como a função potencial escalar magnético) não possui nenhum significado físico (pois, ao contrário da eletrostática, não existem cargas magnéticas isoladas). A sua definição provém de uma lei do cálculo vetorial, que afirma que o divergente do rotacional de qualquer função vetorial é nulo. Desta forma, deve existir uma função

rA tal que sua circuitação produza a densidade de fluxo magnético

Br

. Assim,

ABrr

×∇= (17.15) Fica assegurado então que:

0)A( =×∇⋅∇r

(17.16)

ELETROMAGNETISMO I


156

A função

rA é conhecida como o vetor potencial magnético e sua dimensão é Wb/m no Sistema

Internacional de Unidades. Embora seja possível encontrar expressões matemáticas para o vetor potencial magnético, análogas àquelas para o potencial eletrostático, em termos de uma integral envolvendo corrente (ou densidade de corrente), elementos diferenciais de comprimento (ou de superfície, ou de volume) e as distâncias dessas distribuições a pontos onde se deseja calcular o valor de

rA , não o faremos aqui. Essas

expressões são de uso bastante limitado em casos voltados à prática, com soluções analíticas bastante complexas e até mesmo impossíveis. Ao invés disso, partindo da definição do vetor potencial magnético e das leis já conhecidas do eletromagnetismo, vamos formular as equações de campo que servem como ponto de partida para o cálculo de campos elétricos e magnéticos por métodos numérico-computacionais. 17.3 – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 17.3.1 – Para a Magnetostática A lei de Ampère para campos eletromagnéticos estáticos na sua forma pontual informa que:

JHrr

=×∇ (17.17)

ou ainda pela relação constitutiva da equação (17.10):

JB r

r

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

×∇ (17.18)

A definição do vetor potencial magnético em (17.15) faz com que a expressão acima fique:

J)A1(rr

=×∇μ

×∇ (17.19)

Consideremos que o nosso problema tenha um comportamento bidimensional, ou seja, o potencial magnético só possui a componente na direção z e só varia nas direções x e y, ou: Ax = Ay = 0 e

0zAz =∂∂ . Isso pode ser ilustrado pela figura 17.1.

Figura 17.1 Campo magnético com comportamento bidimensional. Consideremos ainda que o vetor densidade de corrente J

r, neste caso, só possui a componente em

relação ao eixo z deste sistema cartesiano de coordenadas.

Az Bx

By

x

y

B

ELETROMAGNETISMO I


157

Desenvolvendo os rotacionais da equação (17.19) com essas simplificações em mente chegaremos à expressão:

J

yA

yxA

x−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ν∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ν∂

∂∂

(17.20)

em que ν é a relutividade, definida como o inverso da permeabilidade magnética do meio. Se o meio não for linear, ν terá dependência sobre a indução magnética B e vice-versa. A equação (17.20) é uma equação diferencial não linear, mais conhecida como função Quase-Poisson (ou equação de Poisson não linear). Se a relação entre B e H for linear, ν pode ser isolado na equação (17.20), recaindo na equação de Poisson, dada abaixo.

JJ

yA

yxA

xμ−=

ν−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

(17.21)

Se o meio for desprovido de correntes, a equação (17.21) se reduzirá à equação de Laplace:

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0Ax

Ay

+ = (17.22)

A solução da equação (17.20), que naturalmente engloba as equações (17.21) e (17.22), permite o conhecimento do campo magnético em qualquer ponto de um circuito magnético. Entretanto esta equação não possui uma solução analítica conhecida. Por essa razão, a única maneira de fazê-lo é através de métodos numéricos. 17.3.2 – Para a Eletrostática A obtenção da Equação de Poisson para a eletrostática é extremamente simples. A partir da forma pontual da lei de Gauss:

ρ=⋅∇ Dr

(17.23)

Da definição de rD :

EDrr

ε= (17.24

Sabendo também que o campo elétrico Er

é determinado pelo gradiente negativo dos potenciais elétricos, tem-se que:

rE V= − ∇ (17.25

Substituindo (17.25) e (17.24) em (17.23) vem:

ρ=∇ε⋅∇− )V( (17.26) ou:

ερ

−=∇ V2 (17.27)

Essa é a equação de Poisson para a eletrostática, válida para uma região onde a permissividade elétrica ε do meio é constante. Expandindo-a em coordenadas cartesianas temos:

∇ = + + = −2

2

2

2

2

2

2V Vx

Vy

Vz

∂∂

∂∂

∂∂

ρε

(17.28)

ELETROMAGNETISMO I


158

Se o meio não possuir cargas livres, ou seja, se ρ for igual a zero, a equação (17.28) recairá na equação de Laplace abaixo:

0

zV

yV

xVV 2

2

2

2

2

22 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ (17.29)

Onde a operação 2∇ é chamada de Laplaciano de V. Em coordenadas cilíndricas a expressão para a equação de Laplace é:

0

zVV

r1

rVr

rr1V 2

2

2

2

22 =

∂

∂+

∂φ

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇ (17.30)

e em coordenadas esféricas temos:

0V

senr1Vsen

senr1

rVr

rr1V 2

2

2222

22 =

∂φ

∂

θ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂θ∂

θθ∂∂

θ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇ (17.31)

Tendo em vista que a equação de Poisson considera as características condutivas e dielétricas do meio, a equação de Laplace é um caso particular para um meio desprovido de cargas elétricas livres. 17.4 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE LAPLACE As equações de campo obtidas na seção anterior são equações diferenciais onde as soluções analíticas só são possíveis para problemas muito simples. Os meios devem ser homogêneos e lineares, bem como a geometria de tratamento bastante simples. Nesta seção apresentaremos uma maneira para se obter a solução analítica da equação de Laplace em duas dimensões. Em coordenadas retangulares, teremos para o caso bidimensional:

0

yV

xV

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

(17.32)

Esta é uma equação diferencial a derivadas parciais de segunda ordem (possui derivadas de segunda ordem) e primeiro grau (não possui potências além da primeira). A equação (17.27) é a maneira mais geral de se expressar a variação do potencial eletrostático V em relação à posição (x,y,z), não sendo específica a nenhum problema em particular. Em outras palavras, para se resolver um problema em eletrostática utilizando esta equação de um modo particular para cada caso, deve-se conhecer as condições de contorno do problema. Vamos resolver a equação (17.32), caso particular da equação (17.27), utilizando o método da separação de variáveis, onde assumimos que V pode ser expresso como o produto de duas funções F e G tal que: )y(G)x(F)y,x(V = (17.33) onde: F é função apenas de x e G função apenas de y. Tomando esta expressão do potencial e aplicando-a na equação (17.32), temos: ( ) ( ) 0

dyyGdF

dxxFdG 2

2

2

2=+ (17.34)

ELETROMAGNETISMO I


159

Dividindo esta equação por F(x)G(y),

( )( )

( )( ) 0

dyyGd

yG1

dxxFd

xF1

2

2

2

2=+ (17.35)

Tendo em vista que a soma destes dois termos resulta numa constante e que o primeiro termo é independente de y e o segundo de x, cada qual será uma constante. Então, podemos escrever:

( )( ) 22

2a

dxxFd

xF1

= (17.36)

ou: ( ) ( )xFa

dxxFd 2

2

2= (17.37)

e, similarmente: ( ) ( )yGa

dyyGd 2

2

2−= (17.38)

O problema agora consiste em achar a solução para cada variável separadamente (daí o nome “separação de variáveis”). A expressão dada em (17.37) mostra uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem e homogênea cuja solução geral é obtida pelas raízes do correspondente polinômio característico. Desta forma, a solução geral para a equação (17.37) é: ( ) ax

2ax

1 eAeAxF −+= (17.39) ou, de maneira equivalente: ( ) ( ) ( )axsenhCaxcoshCxF 21 += (17.40) onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, obtidas a partir das condições de contorno do problema específico. De maneira semelhante, a solução geral apresentada para a equação (17.38) é: ( ) jay

4jay

3 eAeAyG −+= (17.41) ou, ( ) ( ) ( )aysenCaycosCyG 43 += (17.42) Qualquer termo em (17.39) é uma solução e a soma deles também é uma solução. Para verificar isso, basta substituir o valor de F da equação (17.40) na equação (17.37). Desta forma, a solução geral da equação (17.32) fica:

( ) )eAeA)(eAeA(y,xV jay4

jay3

ax2

ax1

−− ++= (17.43)

ELETROMAGNETISMO I


160

ou ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ([ asenCaycosCaxsenhCaxcoshCy,xV 4321 ++=

(17.44)

Assim como as constantes A1, A2, A3 e A4, ou C1, C2, C3 e C4 serão determinadas em função das condições de contorno do problema em estudo. Exemplo 17.1 Considere um capacitor de placas paralelas, de área 100 cm2 e distância entre as placas 0.01 m. Sabe-se que a placa inferior está no potencial zero e a placa superior no potencial 100 V. Utilizando a equação de Laplace, determine a distribuição de potencial entre as placas, desprezando o espraiamento das linhas de força do campo elétrico estabelecido. Solução: O problema pede na verdade o campo elétrico estabelecido entre as placas. Neste caso, podemos desconsiderar o efeito das bordas ou o espraiamento das linhas de campo visto que a distância entre as placas planas é muito menor do que a área delas. Assim o nosso problema recai no clássico capacitor de placas planas paralelas e infinitas, representado pela figura 17.2 abaixo.

Figura 17.2 - Capacitor de placas paralelas. Não há variação do potencial nas direções y e x, mas apenas na direção z. Portanto a equação de Laplace se reduz a:

0dz

Vd2

2

=

Pelo fato da segunda derivada de V em relação a z ser zero, a primeira derivada deve ser igual a uma constante. Desta forma:

1CdzdV

=

ou:

dzCdV 1= integrando:

∫ ∫= dzCdV 1

ou:

21 CzCV += Utilizando agora as condições de contorno, vamos determinar as constantes C1 e C2.

z1

z

y

V = 0

V = 100 V

ELETROMAGNETISMO I


161

Em z = 0, temos V = 0. Portanto:

0CC00 22 =⇒+= Em z = 0.01 m, temos V = 100 V. Portanto:

10000C01.0C100 11 =⇒= Introduzindo os valores de C1 e C2 na equação da solução:

)V(z10V 4= O campo elétrico entre as placas será então determinado pelo gradiente dos potenciais onde rE V= − ∇ . Assim,

z4 a10E −=

r

Portanto, constante e de módulo igual a V/d, como era de se esperar. Exemplo 17.2 Calcule a distribuição da função potencial eletrostático na região interna entre dois planos radiais, isolados por um gap infinitesimal, conforme ilustrado na figura 17.3.

Figura 17.3 – Dois planos radiais infinitos com ângulo α interior

Solução Para essa configuração, as superfícies equipotenciais também são planos radiais, e a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas se reduz a:

0Vr1V 2

2

22 =

∂φ

∂=∇

Excluindo r = 0, teremos:

0V2

2=

∂φ

∂

O que dá como solução

ELETROMAGNETISMO I


162

BAV +φ=

As condições de contorno permitem obter A e B: Para φ = 0, V = 0 → B = 0. Para φ = α, V = V0 → A = V0/α. Portanto:

αφ

= 0VV (V)

Exemplo 17.3 Calcule a distribuição da função potencial eletrostático na região interna da calha retangular mostrada na figura 17.4. Solução:

Figura 17.4 Calha retangular (topo isolado). Este problema recai no caso onde os potenciais são como um produto de funções independentes, cuja solução geral já discutimos anteriormente. O potencial é uma função de x e de z sob a forma:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]axsenCaxcosCazsenhCazcoshCV 4321 ++=

As condições de contorno para este problema específico implicam em:

V = 0 em x = 0, V = 0 em z = 0, Estas condições fazem nulos os termos com C2 e C4, sendo requerido então que as constantes C1 e C3 sejam nulas para que V seja igual a zero. Por outro lado, a condição V = 0 em x = c, leva-nos a concluir que a = nπ/c, onde n é um número inteiro. Tendo C1 e C3 nulos a expressão geral contém apenas o produto C2C4 que substituído por C faz com que a expressão para o potencial torne-se:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=cxnsen

cznsenhCV

Como n pode ser qualquer número inteiro, a expressão para V deve ser escrita como sendo uma série infinita em que:

d

c V = 0

V = 0V = 0

V =V0

z

x

ELETROMAGNETISMO I


163

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=1n

n cxnsen

cznsenhCV

A condição V = V0 em z = d, permite escrever:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=1n

n0 cxnsen

cdnsenhCV

O produto formado pelos dois primeiros termos resulta numa constante e a expressão acima pode ser escrita

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=1n

n0 cxnsenbV

Cada constante bn pode ser determinada como um coeficiente de uma série de Fourier em seno (função ímpar) para f(x) = V0 constante onde 0 < x < c. Desta forma,

dxcxnsen

cV2dx

cxnsen)x(f

c2b

c

00c

0n ∫∫π

=π

=

⎩⎨⎧

π=

ímparnn/V4parn0

b0

n

Daí :

imparn/p)c/dn(senh

1nV4

C 0n ππ=

A função potencial será então:

∑ πππ

π=

imparn

0

cxnsen

)c/dn(senh)c/zn(senh

nV4V

17.5 – SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE POR ITERAÇÕES NUMÉRICAS Na seção anterior apresentamos uma solução exata para a equação de Laplace em um problema extremamente simples, para efeitos práticos. Apesar da simplicidade da configuração analisada, a solução analítica já se mostrou bastante complexa. Configurações mais complexas tornam a solução analítica extremamente difícil, e, na maioria dos casos, impossível. É por essa razão que a solução de problemas envolvendo as equações de Poisson e Laplace, na maioria dos casos práticos, só é possível com o uso de métodos numéricos. Métodos numéricos permitem uma solução aproximada para o problema, de acordo com uma tolerância pré-estabelecida. Para ilustrar a utilização dos métodos numéricos, nesta seção vamos apresentar um método bastante primitivo para a solução numérica da equação de Laplace. Este método serviu como ponto de partida para a formulação do método das diferenças finitas, que em sua formulação no domínio do tempo, FDTD, é largamente utilizado na solução de problemas envolvendo campos eletromagnéticos variáveis no tempo. Para simplificar a variação na direção z não existe. Isso reduz o nosso problema a um problema de campo bidimensional:

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0V

xV

y+ = (17.45)

ELETROMAGNETISMO I


164

O primeiro termo na equação 17.45 é a derivada parcial segunda de V em relação a x, isto é, a taxa de variação em relação a x da taxa de variação de V em relação a x. Idem para o 2º termo, em relação a y. Vamos reescrever a equação 17.45 da seguinte maneira:

( )∂ ∂∂

∂

∂ ∂∂

∂

Vx

x

Vy

y=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (17.46)

Considere agora uma distribuição bidimensional de potenciais em torno de um ponto P, como é mostrado na figura 17.5. Seja o potencial no ponto P igual a V0, e os potenciais nos quatro pontos em torno dele iguais a V1, V2 V3 e V4, conforme é mostrado. Vamos agora substituir as derivadas na equação 17.46 por diferenças do tipo (V0 - V1)/Δx (neste caso específico, esta é a inclinação da curva de V entre os pontos P e 1). A diferença das inclinações, dividida pela distância incremental Δx é aproximadamente igual a ∂2V/∂x2. A equação de Laplace pode agora ser reescrita como: ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]V V x V V x

xV V y V V y

y2 0 0 1 3 0 0 4− − −

≅ −− − −/ / / /Δ Δ

Δ

Δ Δ

Δ (17.47)

figura 17.5 - Construção para encontrar o potencial em P. Fazendo Δx = Δy, teremos:

V V V V V1 2 3 4 04 0+ + + − ≈ (17.48) ou:

)VVVV(

41V 43210 +++≈ (17.49)

Se conhecermos o potencial nos pontos 1, 2, 3 e 4, podemos calcular o potencial no ponto P de acordo com a equação 17.49. Em outras palavras, o significado físico da equação de Laplace é que o potencial em um ponto é simplesmente a média dos potenciais dos quatro pontos que o circundam, a uma mesma distância. Exemplo 17.4 Considere a configuração Mostrada na figura 17.6. A placa superior está a um potencial de 40 V, e isolada. O perfil em forma de U está no potencial zero. Calcular a distribuição de potenciais para esta configuração, utilizando o método de solução repetitiva da equação de Laplace. Solução:

P

V0

4

2 1

3

V1 V2

V4

V3

Δx Δx

Δy

Δy

ELETROMAGNETISMO I


165

O valor de V no centro do quadrado será

)V(104

00040=

+++

O potencial no gap será a média aritmética entre o potencial na placa superior e o potencial nulo:

V202

040=

+

Fig 17.7 - 1º cálculo do potencial O valor do potencial no centro dos novos quadrados será:

)V(5.174

0012040=

+++

)V(5..24

00100=

+++

Calculando novamente os potenciais nos quadrados internos teremos:

V5.74

05.25.1710=

+++ , V25.21

4105.175.1740=

+++

40 V

0

0 0

Gap Gap

40 V

0

0 0 10 V

20 V 20 V

Fig 17.6 - Configuração do exemplo 17.4

ELETROMAGNETISMO I


166

V75.34

1005.25.2=

+++

Fig. 17.8 - 2º cálculo do potencial Fig. 17.9 - 3º cálculo do potencial Os cálculos de potenciais podem prosseguir indefinidamente. quanto maior for o número de potenciais calculados por esse processo, maior será a precisão. Finalmente, a figura 17.10 apresenta um gráfico com o mapeamento dos potenciais eletrostáticos. Cada linha representa um valor de potencial (30, 20, 15, 10, 5 e 2.5 V)

Fig. 17.10 - Mapeamento dos potenciais eletrostáticos Apresentamos neste capítulo dois exemplos, um com a solução analítica da equação de Laplace, outro com uma solução numérica. A solução analítica das equações de Laplace e Poisson se restringem a casos onde a geometria é bastante simples, e por isso ela não é muito utilizada. A solução numérica dessas equações é bastante comum, e métodos bastantes avançados já foram desenvolvidos. Apesar de termos realizados exemplos de eletrostática, o mesmo procedimento é realizado no caso de campos magnéticos, onde as complexidades de geometria e meios magnéticos não lineares são ainda maior.

20 20

0

40 V

0 0 10 V

2.5

17.5 17.5

2.5

20 V 20 V

17.5 17.5

2.5

0

40

0 0 10 V

2.5

21.3

7.5 7.5

3.8

0 0 0 0

0

0

0

0

0 0

40 40

0

0

0

0

3.8

17.5 17.5

2.5

0

0 10 V

2.5

21.3

7.5 7.5

0 0 0 0

0

0

0 40 40 20 40 20

ELETROMAGNETISMO I


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Literatura Adicional Sobre o Assunto: Eletromagnetismo, J. A. Edminister, capítulo 8. (Disponível na Biblioteca). Eletromagnetismo, J. D. Krauss, Capítulo 7. (Disponível na Biblioteca). Eletromagnetismo, W. H. Hayt Jr, Capítulo 7. (Disponível na Biblioteca). EXERCÍCIOS 1) - Quatro placas de 20 cm de largura formam um quadrado, conforme indicado na figura 3. se as

placas são isoladas entre si, e estão submetidas aos potenciais indicados, encontre o valor do potencial nos pontos a e b, indicados na figura.

figura 1 - figura do problema 1 2) - Encontre o valor do potencial V nos pontos P1 e P2 da configuração abaixo.

5 cm

40 V 20 V

30 V

10 V

a

15 cm

10 cm

5 cm

b

gap = 1 mm

P2 9 cm

3 cm

9 cm

3 cm P1

V = 100

V = 0

ELETROMAGNETISMO I


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3) - Um potencial em coordenadas cilíndricas é função apenas de r e φ, não o sendo de z. obtenha as equações diferenciais separadas para R e Φ, onde V = R(r)Φ(φ), e resolva-as. A região é sem cargas.

4) – Encontre uma expressão para V0 na figura abaixo, em função de V1, V2, V3 e V4, sabendo que

h1, h2, h3 e h4 são diferentes entre si.

5) Dado o campo potencial φ=φ cosdrV),r(V 0 :

a) Mostre que satisfaz a equação de Laplace. b) Descreva as superfícies de potencial constante. c) Descreva especificamente as superfícies onde V = V0 e V = 0. d) Escreva a expressão para o potencial em coordenadas cartesianas.

P

V0

4

2 1

3

V1 V2

V4

V3

h2 h1

h4

h3

cap. 17 - eletromagnetismo

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